События несовместные примеры – . .

возможные и невозможные события, совместные и несовместные, противоположные и достоверные события. Примеры.

Пространство элементарных событий Каждый из равновозможных результатов испытаний называется элементарным исходом или (элементарным событием). Всякий мыслимый результат эксперимента называют элементарным событием и обычно обозначают буквами Пространством элементарных событий называется множество всех взаимно исключающих исходов эксперимента такое, что результатом эксперимента всегда является один и только один исход. Пространство элементарных событий обычно обозначается и считается заданным, если указаны все его элементы. Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Результат испытания называетсясобытием, независимо от его значимости. Результат испытания, который нельзя заранее прогнозировать, называется случайным событием. Любое подмножество данного множества интерпретируется как событие (возможно, и ненаблюдаемое). Совокупность всех наблюдаемых событий составляет множество событий

для данного эксперимента. Множество для данного испытания может быть дискретным, или иметь более сложную структуру. К дискретным относятся конечные или счетные множества элементарных исходов. Построение множества(если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества. Другими словами, если нас интересуют события и т.д., являющиеся наблюдаемыми событиями в данном эксперименте, то множество должно состоять из таких исходов, чтобы существовали подмножества данного множества, равносильные событиямит.д.

Наступление события, благоприятствующие исходы Каждое случайное событие определяется как подмножество в множестве элементарных событий. При этом те элементарные события из, при которых событиенаступает (т.е. принадлежит подмножеству) называют

благоприятствующими событию . Говорят, что событиепроизошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход, принадлежащий().Совместные (совместимые), несовместные (несовместимые) события Два события называются совместными (совместимыми) в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления другого. Два события называются несовместными (несовместимыми) в данном опыте, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Несколько событий называются несовместными, если они попарно несовместны. Другими словами, события исовместны, если соответствующие множестваиимеют общие элементы, и несовместны в противном случае, если появление одного из них исключает появление другого, и соответствующие множестваине имеют общих элементов, т.е. пересечение этих множеств является пустым множеством.

Достоверное и невозможное события Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий .

Событие, совпадающее с пустым множеством , называетсяневозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством , называетсядостоверным событием. События называют равновозможными, если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности случайных событий. Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

studfiles.net

Вероятность несовместных событий

Факт 1.

Случайное событие – это событие, которое при данных условиях может произойти, а может не произойти.

Например, событие “при бросании игральной кости выпало 3 или 4 очка”. Напомним, что игральная кость – это кубик с шестью гранями, на которых написаны числа от 1 до 6.

 

Предположим, что мы проводим некоторое испытание (эксперимент), например, бросаем игральную кость. Результатом нашего испытания может быть одно из шести событий: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков. Такие события называются элементарными событиями (то есть это “простейшие” события, которые в совокупности образуют все множество исходов нашего эксперимента).
Например, событие “при бросании игральной кости выпало 3 или 4 очка” не является элементарным, оно состоит из двух элементарных событий “при бросании игральной кости выпало 3 очка” и “при бросании игральной кости выпало 4 очка”.
Если сложить вероятности всех возможных элементарных событий у некоторого эксперимента, то получится \(1\).

 

Два события мы будем называть равновероятными (равновозможными), если вероятности наступления любого из них одинаковы. Например, при бросании игральной кости вероятности любого из событий: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков, одинаковы. Или, например, при подбрасывании монеты вероятности событий “выпадет орел” и “выпадет решка” также одинаковы.
Примером неравновероятных событий могут послужить два события: “при бросании игральной кости выпадет 1 очко” и “при бросании игральной кости выпадет нечетное количество очков”. Почему? В первом случае нам удовлетворяет только исход, когда кубик упадет кверху гранью, на которой написано 1; во втором случае нам подходит целых три исхода: он может выпасть кверху гранью с 1, с 3 или с 5.

 

Факт 2.

Если при проведении некоторого эксперимента возможны \(N\) равновероятных элементарных событий, то вероятность события \(A\) : \[P(A)=\dfrac mN,\] где \(m\) – количество “

подходящих” элементарных событий.
Вероятность обозначается буквой \(P\).

На рисунке схематично изображено множество всех возможных равновероятных (одинаковые по размеру круги) исходов у некоторого эксперимента, которые не пересекаются:

 

Таким образом, под такой вероятностью можно понимать часть, которую составляют “подходящие” исходы от всех возможных исходов.
Давайте рассмотрим несколько примеров, в которых используется данная формула.

 

Пример 1.
Найдите вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет 3 очка.

 

Решение. Всего при бросании игральной кости возможны шесть исходов (в данном случае, элементарные события), которые мы описывали ранее. Как мы уже говорили, вероятности наступления каждого из этих исходов одинаковы. Следовательно, \(N=6\). Подходит нам только один исход: когда выпадет 3 очка. Следовательно, \(m=1\).

Таким образом, вероятность нашего события равна \(\dfrac16\).
Вообще говоря, вероятность любого из исходов: выпадет 1 очко, выпадет 2 очка, 3 очка, 4 очка, 5 очков или 6 очков, равна \(\frac16\).  

Пример 2.
Найдите вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет 4 очка.

 

Решение. Для начала нужно найти количество всех возможных исходов у нашего эксперимента. Предположим, на первом кубике выпало 1. Тогда на втором кубике может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. То есть уже есть шесть возможных исходов.
Если на первом кубике выпало 2, то на втором также может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6. То есть еще шесть исходов.
Рассуждая аналогично, мы получим шесть “блоков” по шесть исходов. То есть всего у нашего события 36 возможных исходов (в данном случае, они будут элементарными событиями).
На самом деле, если мы бросаем \(k\) игральных костей, то всего у такого эксперимента будет \(6^k\) элементарных исходов.

Теперь давайте подумаем, сколько из них нам подходит. Чтобы в сумме на обоих кубиках было 4 очка, нужно, чтобы:
– на первом кубике выпало 1, на втором 3 очка;
– на первом кубике выпало 2, а на втором 2 очка;
– на первом кубике выпало 3, а на втором 1 очко.
Таким образом, нам подходит только три исхода.   Следовательно, вероятность равна \(\dfrac3{36}=\dfrac1{12}\).

Пример 3.
Торт разделен на 9 кусков, которые условно пронумерованы числами от 1 до 9. Найдите вероятность того, что Маша возьмет кусок с номером 6.

 

Решение. Маша может взять любой из девяти кусков, следовательно, у нашего эксперимента всего девять исходов. Подходящий нам исход только один – Маша должна взять кусок с номером 6.   Следовательно, вероятность равна \(\dfrac19\).

 

Пример 4.
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 8 спортсменов из Аргентины, 6 спортсменов из Бразилии, 5 спортсменов из Парагвая и 6 — из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины.

 

Решение. Заметим, что вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Аргентины, такая же, как вероятность, что он будет выступать первым, вторым, третьим и т.п. Всего претендентов на последнее место \(8+6+5+6=25\) спортсменов. Нам удовлетворяют лишь \(8\) из Аргентины.
Следовательно, вероятность равна отношению количества удовлетворяющих   исходов к количеству всех: \(\dfrac8{25}\).

shkolkovo.net

Виды случайных событий, с примерами

Случайные события бывают: составные и простые, совместные и несовместные, зависимыми и независимыми, противоположными.

Составные и простые случайные события

Например. Во время подбрасывания двух кубиков выпало 11 очков. Это составное событие потому, что оно состоит с разных возможностей для двух простых событий: 1) на первом кубике выпадет 5, а на втором 6; 2) на первом кубике выпадет 6, а на втором 5.

Совместные и несовместные случайные события

Например. На трех станках изготавливают одинаковые детали. Обозначим события: A — бракованная деталь изготовлена на первом станке, B — бракованная деталь изготовлена на втором станке, C — бракованная деталь изготовлена на третьем станке. События A, B и C — совместные события.

Попарно несовместными событиями в данном испытании называют такие случайные события, которые не могут происходить одновременно.

Примеры решения задач

Противоположным событием для некоторого события A называется такое событие , которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A.

Пример. В коробке лежит 15 шаров: 10 белых и 5 красных. С коробки наугад достают один шар и не возвращают его. Если вытянут белый шар (событие A), то вероятность вытянуть белый шар при втором испытании (событие B) равна . Если первый раз был вытянут красный шар, то вероятность . Таким образом, вероятность события B зависит от того, произошло событие A или нет. События A и B — зависимы.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Зависимые и независимые, совместные и несовместные события. — КиберПедия

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие A называют независимым от события B, если появление события B не изменяет вероятности появления события A.

Если появление одного события исключает появление другого, то они называются несовместными; в противном случае два события называются совместными.

Формула сложения вероятностей для любых двух событий.

Теорема 1: Если события несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (2.7)

Доказательство:

N – число всех исходов испытаний.

m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.

m₂ – число испытаний, благоприятствующих наступлению события В.

Р(А + В) = = + = Р(А) + Р(В). Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятности этих событий.

Р(А₁ + А₂ + … + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + … + Р(А_n)

Теорема 2: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Доказательство:

Пусть А₁,А₂, …, А_n – полная группа событий. Тогда наступление одного из этих событий – событие достоверное, т.е. Р(А₁ + А₂ + … +А_n) = 1. Но по теореме сложения несовместных событий можно записать:

Р(А₁) + Р(А₂) + … Р(А) = 1.

Следствие из теоремы:

Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Р(А) + Р(Ā) = 1.

Теорема 3: Если события совместны, то вероятность их суммы вычисляется по формуле:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В)

Доказательство:

m₁ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события А.

m₂ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению события В.

m₃ – число исходов испытаний, благоприятствующих наступлению совместных событий А×В.

N – число всех исходов испытаний.

Р(А + В) = = = Р(А) + Р(В) – Р(А×В).Что и требовалось доказать.

Формулы умножения вероятностей для любых событий.

Теорема умножения: Вероятность произведения событий равна вероятности одного из этих событий, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие уже произошло.

Р(А × В) = Р(А) × Р_A(В).

Доказательство:

N – число всех исходов испытания.

M – число исходов, благоприятствующих наступлению события А.

К – число исходов, благоприятствующих наступлению события В, при условии, что А имело место, т.е. к – число исходов, когда А и В наступили вместе.

Поэтому Р(А × В) = = = = P(A) × PA(B).

Теорема умножения вероятностей обобщается на случай произвольного числа событий:

Р(АВСD) = Р(А)· Р_A(В) ·Р_AB(С) · Р_ABC(D), т.е. вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятности одного из этих событий на условные вероятности других; при этом условная вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события произошли.

Следствия.

Если события независимы, то вероятность события В, при условии, что А наступило.

Р_A(В) = Р(В).

Р_A(А) = P(A).

cyberpedia.su

Несовместные события — это… Что такое Несовместные события?



• Несовершеннолетний
• Несокрушимая свобода

Смотреть что такое «Несовместные события» в других словарях:

• ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром строят и изучают матем. модели случайных явлении. Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса… …   Физическая энциклопедия

• Биишева, Зайнаб Абдулловна — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Биишев. Зайнаб Биишева Имя при рождении: Зайнаб Абдулловна Биишева Дата рождения: 2 января 1908(1908 01 02 …   Википедия

• Александр I (часть 2, III)

  — Период третий. ПОСЛЕДНЕЕ ДЕСЯТИЛЕТИЕ (1816 1825). В Петербурге начало 1816 года было ознаменовано рядом придворных празднеств: 12 го (24 го) января состоялось бракосочетание Великой Княгини Екатерины Павловны с Наследным принцем виртембергским, а …   Большая биографическая энциклопедия

• Пушкин, Александр Сергеевич — — родился 26 мая 1799 г. в Москве, на Немецкой улице в доме Скворцова; умер 29 января 1837 г. в Петербурге. Со стороны отца Пушкин принадлежал к старинному дворянскому роду, происходившему, по сказанию родословных, от выходца «из… …   Большая биографическая энциклопедия

• Список парадоксов — …   Википедия

• Парадоксы —       Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы.   Данное предупреждение не устанавливается на информационные статьи списки и глоссари …   Википедия

• Следствие — А. Предварительное С. 1) Понятие и пределы предварительного С. Судебное исследование преступления распадается на два отдела: подготовительный и окончательный. Подготовительное исследование имеет целью уяснить событие преступления, наметить его… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Римские приключения — Tо Rome with Love …   Википедия

dic.academic.ru

несовместные события — это… Что такое несовместные события?



несовместные события

мат.;
стат. antithetical events

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

• несовместные свойства
• несовместные уравнения

Смотреть что такое «несовместные события» в других словарях:

• Несовместные события

  — В теории вероятностей несколько событий называются несовместимыми, если никакие два из них не могут появиться одновременно в результате однократного испытания случайного эксперимента. Определение Если вероятностное пространство, и группа событий …   Википедия

• ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ — раздел математики, в к ром строят и изучают матем. модели случайных явлении. Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса… …   Физическая энциклопедия

• Биишева, Зайнаб Абдулловна — В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Биишев. Зайнаб Биишева Имя при рождении: Зайнаб Абдулловна Биишева Дата рождения: 2 января 1908(1908 01 02 …   Википедия

• Александр I (часть 2, III) — Период третий. ПОСЛЕДНЕЕ ДЕСЯТИЛЕТИЕ (1816 1825). В Петербурге начало 1816 года было ознаменовано рядом придворных празднеств: 12 го (24 го) января состоялось бракосочетание Великой Княгини Екатерины Павловны с Наследным принцем виртембергским, а …   Большая биографическая энциклопедия

• Пушкин, Александр Сергеевич — — родился 26 мая 1799 г. в Москве, на Немецкой улице в доме Скворцова; умер 29 января 1837 г. в Петербурге. Со стороны отца Пушкин принадлежал к старинному дворянскому роду, происходившему, по сказанию родословных, от выходца «из… …   Большая биографическая энциклопедия

• Список парадоксов — …   Википедия

• Парадоксы —       Служебный список статей, созданный для координации работ по развитию темы.   Данное предупреждение не устанавливается на информационные статьи списки и глоссари …   Википедия

• Следствие — А. Предварительное С. 1) Понятие и пределы предварительного С. Судебное исследование преступления распадается на два отдела: подготовительный и окончательный. Подготовительное исследование имеет целью уяснить событие преступления, наметить его… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• Римские приключения — Tо Rome with Love …   Википедия

dic.academic.ru

3.Несовместные и совместные события. Сумма событий. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Пример.

Операция сложения событий. Опр.: Суммой А+В событий А и В назыв. такое со-бытие, которое считается наступившим, если наступило или событие А или В или вместе. Пр.: Извлечение карты: А- извлечен туз; В- извлечены бубны. а)Пусть рез-т: извлечена 7-ка бубен. А+В –наступило. б)Пусть рез-т: извлечен король крестей => А+В –не наступило.А+А = Е Теоремы сложения вероятностей. Общая формула: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).; В частности: Пусть А и В не совместимы, тогда АВ= ; P(AB)=P()=0 ,т.е. имеем: Теорема: Вероятность суммы двух несовместимых событий = сумме их вероятно-стей., т.е. P(A+B)=P(A)+P(B). 1)Следствие: Пусть события А1,А2,…Ак образуют полную систему, тогда Р(А1)+…+Р(Ак)=1. Док-во: В частности события А1,А2,…Ак –единственно возможны (т.к.)полная сист.), т.е. А1+…+Аn=Е => Р(А1+…+Ак)=Р(Е). По теор. слож. вер-тей: Р(А1)+…+Р(Ак)=1.II.Следствие: Если А и А –пара противоположных событий, то Р(А)+Р(А )=1.

Событие наз-ся несовместным, если наступ-ие одного из них исключает наступление какого любого другого.совместные- наоборот.

4. Полная группа событий. Противоположные события. Соотношение между вероятностями противоположных событий (с выводом). Примеры.

Несколько соб-й образуют полную группу, если она явл.единственно возможными и несовместимыми исходами испытаний . Т.е.в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий.

Частым случаем соб-й, образующих полную группу, явл.противоположные события. Два несовместных события, из которых одно должно обязательно произойти, называются противоположные.

Например. «выпадение герба» «решки».

Сумма ве-й противопол.событий равна 1.следует из того что противополож.соб-я образуют полную группу.

5. Зависимые и независимые события. Произведение событий. Понятие условной вероятности. Теорема умножения вероятностей (с доказательством). Примеры.

Два соб-я называются незавсисимыми, если появление одного изних не меняет вер-ти появление другого.

Теорема Умножения вероятностей.

Т. ~Р(АВ)=Р(А)Ра(В) ~Р(АВС)=Р(А)Ра(В)Рав(С). Следствие. А и В независимы 

Р(АВ)=Р(А)Р(В), т.е. в частности вер-ть произведений 2-х независимых событий равна произведению их вер-стей. Теорема для независимых вер-тей.=> Р(В1)Р(В2)+Р(В1)Р(В2). Пр.: Два стрелка одновременно выстреливают в мишень.Вер-ть попадания для 1-го =0,6; для 2-го 0,8.; Найти: А)Вер-ть того что в мишени будет 1 пробоина. В)будет хотя бы одна пробоина. Реш.: В мишени будет 1 пробо-ина т.ит.т.к. 1-ый попал и 2-ой промахнулся, 1-ый промахнулся и 2-ой попал. А=(В1В2+В1В2)=Р(В1В2)+Р(В1В2). Используем терему для независ. вер-тей. Р(В1)=0,6; Р(В1)=1-0,6=0,4; Р(В2)=0,8; Р(В2)=0,2.; Р(А)=0,60,2+0,40,8=0,44. ХОТЯБЫ 1 => Р(с)=Р(А+D) {D-2-е попадание} P(D)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)==0,60,8=0,48.; P(c)=0,92.

6. Формулы полной вероятности и Байеса (с доказательством). Примеры.

Т.Пусть соб-я А1,А2..Аn образ-т полную группу соб-й, тогда вер-ть события F равна сумме произведений вер-ти каждого из этих событий на сообтветствующую условную вероятность F.

Док-во.

F=A₁F+A₂F+A₃F+…+A_nF

Соб-е A_iF и AjF несовм. (i≠j)

По теор.+вер-ей

P(F)=P(A₁F+..+A_nF)=P(A₁F)+..+P(A_nF)=PA₁)P_A1(F)+..P(A_n)P_An(F)=Σⁿ_i=1P(A_i)P_Ai(F) (т.к.P(A_jF)=P(A_i)P_Ai(F))

Следствие.

Т.(ф-ла Байеса)

Пусть А1,,Аn обр-ют полную группу событий и P(F)≠0

Тогда

P(AkF)=P(A_k)P_ak(F)=P(F)P_f(A_k)

Пр.Имеются 10 карточек

Наудачу выбираем карточки

Р(ВОЛ)=2/10*4/9*3/8=1/30

studfiles.net