Свойства тангенсоида и тангенсоида – Тангенс tg x котангенс ctg x

Свойства функции тангенса

Перед изучением функции тангенса и её свойств, вспомним понятие самого тангенса. Определение тангенса можно ввести двумя способами: с помощью прямоугольного треугольника и с помощью понятий синуса и косинуса.

Определение 1

Тангенсом острого угла называется отношение длины противолежащего катета к прилежащему катету прямоугольного треугольника (рис 1):

\[cos\alpha =\frac{a}{b}\]

Рисунок 1. Прямоугольный треугольник.

Определение 2

Тангенсом угла называется отношение значения синуса этого угла к значению косинуса этого угла.

Введем таблицу некоторых значений тангенса (таблица 1).

Рисунок 2. Значения тангенса.

Геометрический смысл

Рассмотрим тригонометрическую единичную окружность и прямую $x=1$. Ордината точки $B$ на прямой $x=1$ является тангенсом угла $\alpha $ (рис. 2).

Рисунок 3. Значение тангенса с помощью единичной окружности.

Поэтому, когда точка $B$ опишет вертикальную прямую $x=1$ её ордината примет все значения множества действительных чисел, откуда $tg\alpha $ — вся числовая прямая. Поэтому прямая $x=1$ называется линией тангенсов.

Свойства функции $f(x)=tgx$

Рассмотрим теперь свойства функции $f\left(x\right)=tgx$.

  1. По определению 2, получим, что область определения$x\in {\mathbb R}{\rm ,}{\rm \ }x\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$.
  2. Из геометрического смысла следует, что область значения — все числа.
  3. $f\left(-x\right)={tg \left(-x\right)\ }=-tgx=-f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=tgx$ нечетна.
  4. $f\left(x+\pi \right)={tg \left(x+\pi \right)\ }=tgx=f(x)$, следовательно, функция$f\left(x\right)=tgx$ периодическая с минимальным периодом $\pi $.
  5. Пересечение с осями координат:

При $x=0$, $f\left(0\right)=tg0=0$.

При $y=0$, $x=\pi n,n\in Z$.

  1. Функция выше оси $Ox$ при $x\in (\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
  2. Функция ниже оси $Ox$ при $x\in (-\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n),n\in Z$.
  3. $f’\left(x\right)={\left(tgx\right)}’=\frac{1}{{cos}^2x}$.

Функция $f\left(x\right)=tgx$ возрастает, при $x\in \left(-\frac{\pi }{2}+\pi n,\frac{\pi }{2}+\pi n\right)$.

  1. Функция имеет точку разрыва второго рода при $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,\ n\in Z$.

  2. ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n-0} tgx\ }=-\infty $, ${\mathop{lim}_{x\to \frac{\pi }{2}+\pi n+0} tgx\ }=+\infty $,

График функции $y=tgx$

Графиком функции $y=tgx$ является тангенсоида (рис. 3).

Рисунок 4. Тангенсоида.

Задача на построение тангенсоиды

Пример 1

Построить график функции $y=tg(x-2\pi )$.

Так как $tgx$ периодическая с минимальным периодом $\pi $, то получим, что $y=tg\left(x-2\pi \right)=tg\left(x-\pi \right)=tgx$. Получаем график:

Рисунок 5.

spravochnick.ru

Тангенс и его свойства

Развернуть структуру обучения Свернуть структуру обучения
  • Описание курса
  • Аксиомы планиметрии
  • Точки, отрезки и прямые
  • Угол. Углы на плоскости
  • Площадь геометрической фигуры
  • Окружность. Уравнение окружности
  • Треугольник (Трикутник)
  • Четырехугольник
  • Тригонометрия
    • Тангенс и его свойства
    • Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике
    • Тригонометрический круг
    • Радианы и градусы. Радiани i градуси
    • Таблица значений тригонометрических функций
      • Синус, ко синус, тангенс угла 15 градусов (sin 15 cos 15 tg 15)
      • Синус, косинус и тангенс угла 30 градусов (sin cos tg 30) — таблица значений
      • Синус, косинус, тангенс угла 45 градусов (sin 45, cos 45, tg 45)
      • Синус, косинус, тангенс угла 30 и 60 градусов (sin cos tg 30 и 60)
      • Синус, косинус, тангенс угла 105 градусов (sin 105 cos 105 tg 105)
      • Синус, ко синус, тангенс угла 120 градусов (sin 120 cos 120 tg 120)
    • Тригонометрические тождества и преобразования
  • Многоугольники

Тригонометрическая функция тангенс угла, обозначается как tg. «Тангенс» дословно переводится с латинского как «касающийся».

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение катета, лежащего против этого угла, ко второму катету.

Для визуального запоминания: На рисунке внизу нужные стороны треугольника обозначены двусторонней стрелкой. «Синий» катет нужно разделить на «красный».

Тригонометрична функція тангенс кута, позначається як tg. «Тангенс» дослівно перекладається з латинської як «що торкається».

Тангенс гострого кута прямокутного трикутника є відношення катета, що лежить проти цього кута, до другого катету.

Для візуального запам’ятовування: На малюнку внизу потрібні сторони трикутника позначені двосторонньою стрілкою. «Синій» катет потрібно розділити на «червоний».


Простыми словами, чтобы вычислить тангенс угла в прямоугольном треугольнике мы действуем следующим образом:
  • Берем длину катета,
    противоположного
    острому углу (α) — это катет BC, обозначенный на рисунке синим цветом
  • Делим ее на длину второго катета (это катет AC, который обозначен на рисунке красным цветом)
  • Полученное значение будет верным и одинаковым для данной величины угла в любом прямоугольном треугольнике и не будет зависеть от размеров треугольника

Из этого следует, что:

  • Зная длины катетов в прямоугольном треугольнике, можно определить значение тангенса угла, а потом, с помощью функции arctg() можно определить величину этого угла
  • Поскольку tg α всегда равен tg α = BC / AC, то при известной величине угла α и одного из катетов, всегда можно вычислить величину второго катета
Простими словами, щоб обчислити тангенс кута в прямокутному трикутнику ми діємо наступним чином:
  • Беремо довжину катета, протилежного гострого кута (α) — це катет BC, позначений синім кольором на малюнку
  • Ділимо її на довжину другого катета (це катет AC, який позначений на малюнку червоним кольором)
  • Отримане значення буде правильним і однаковим для заданої величини кута у будь-якому прямокутному трикутнику і не буде залежати від розмірів трикутника
З цього випливає, що:
  • Знаючи довжини катетів в прямокутному трикутнику, можна визначити значення тангенса кута, а потім, за допомогою функції arctg() можна визначити величину цього кута
  • Оскільки tg α завжди дорівнює tg α = BC / AC, то при відомій величині кута α і одного з катетів, завжди можна обчислити величину другого катета


Описанные выше соотношения часто используются при решении задач. При этом подразумевается, что, используя базовое свойство функции тангенса tg α = BC / AC (см. выше рисунок с обозначениями сторон), можно легко найти размеры треугольника или иной геометрической фигуры. Однако, на практике, именно это простейшее свойство тангенса и вызывает трудности при решении.Описані вище співвідношення часто використовуються при вирішенні завдань. При цьому мається на увазі, що, використовуючи базове властивість функції тангенса tg α = BC / AC (див. вище малюнок з позначеннями сторін), можливо легко знайти розміри трикутника або іншої геометричної фігури. Однак, на практиці, саме це просте властивість тангенса і викликає труднощі при рішенні.

Тригонометрический круг тангенса. Тригонометричне коло тангенса


Линия тангенсов – это касательная l к единичной окружности в точке А (1;0). За положительное направление линии тангенсов берут направление снизу вверх.

По определению тангенса угла (tg α = sin α / cos α)  tg α = BA1 / OA1 = CA / OA = CA, так как ОА=1. Т.е. тангенс угла α – это величина отрезка АС на линии тангенсов. Иначе говоря, тангенс угла – это величина отрезка касательной, проведенной через точку

А (конец неподвижного радиуса), от точки касания А до пересечения с продолжением подвижного радиуса ОВ.

Рассмотрим изменение величины (отрезка АС) при движении подвижного радиуса ОВ по окружности и увеличении угла.

Заметим, что значение совпадают I и III квадрантах, во II и IV квадрантах:

Лінія тангенсів — це дотична l до одиничного кола в точці А (1;0). За позитивний напрямок лінії тангенсів беруть напрямок знизу вгору.

З визначення тангенса кута (tg α = sin α / cos αtg α = BA1 / OA1 = CA / OA = CA,так як

ОА=1. Тобто, тангенс кута α — це величина відрізка АС на лінії тангенсів. Інакше кажучи, тангенс кута — це величина відрізка дотичної, проведеної через точку А (кінець нерухомого радіуса), від точки дотику А до перетину з продовженням рухомого радіуса ОВ.

Розглянемо зміна величини (відрізка АС) при русі рухомого радіуса по колу і збільшенні кута.

Зауважимо, що значення збігаються у I і III квадрантах, у II і IV квадрантах:


Значения функции тангенса угла (tg α)


В таблице ниже, приведены сведения о том, каково значение функции тангенса (является ли оно положительным или отрицательным) для всех от 0 до 360 градусов (что соответствует значениям от 0 до 2π радиан). Для более простого визуального запоминания, там где функция тангенса принимает положительные значения, tg α обозначен красным цветом, а там, где отрицательные — синим.У таблиці нижче наведено відомості про те, яке значення функції тангенса (є воно позитивним чи негативним) для всіх від 0 до 360 градусів (що відповідає значенням від 0 до 2π радіан). Для більш простого візуального запам’ятовування, там де функція тангенса приймає позитивні значення, tg α позначено червоним кольором, а там, де негативні — синім.

Угол α / Кут α00° < α < 90°9090°<а<180°180180° < a < 270°270270°< а <360°360
Значение функции tg α / Значення функцiї tg α00° < tg α < +∞-∞ <  tg α < 000° < tg α < +∞-∞ <  tg α < 00

Смотрите также:   Теорема косинусов. Пример решения задачи | Описание курса | Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике 

   

profmeter.com.ua

Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса

Глава 1. Тригонометрические функции

Тема 1. Тригонометрические формулы

Тема 2. Тригонометрические функции и их графики.

Тема 3. Решение тригонометрических уравнений.

Содержание обучения

Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента. Формулы приведения.

Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс и котангенс; область определения и множество значений тригонометрических функций. Их свойства: возрастание и убывание, экстремумы, сохранение знака, периодичность, ограниченность. Графики синуса, косинуса. Простейшие тригонометрические уравнения.

Основная цель – ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента; сформировать умения находить значения тригонометрических выражений на основе определений, с помощью калькулятора или таблиц, и выполнять несложные преобразования тригонометрических выражений; сформировать умения студентов строить графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, связывать свойства синуса и косинуса с их графиками; познакомить студентов со способами решения тригонометрических уравнений, формировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

Тема 1. Тригонометрические формулы.

Цель: Ввести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла, понятие радианной меры угла; познакомить со свойствами перечисленных тригонометрических функций, с основными формулами тригонометрии.

Оборудование: модель единичной окружности, справочная литература.

План

  1. Тригонометрия и геометрия.

  2. Радианная мера угла.

  3. Синус, косинус, тангенс и котангенс числового аргумента.

  4. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

  5. Формулы приведения.

  6. Основные тригонометрические формулы.

    1. Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

При нахождении значений чисел , , и любого угла иногда удобно использовать следующие свойства:

  1. Знаки чисел , , и .

Пусть при повороте на угол точка переходит в точку .

а) . в I и II четвертях, в III и IV четвертях. Значит

, если точка окажется в I или II четвертях

, если точка окажется в III или IV четвертях (рис. 5а)

б) . в I и IV четвертях, во II и III четвертях. Значит

, если точка окажется в I или IV четвертях

, если точка окажется во II или III четвертях (рис. 5б)

в) , . и имеют одинаковые знаки в I и III четвертях и разные во II и IV четвертях. Значит

и , если точка расположена в I или III четвертях

и , если точка расположена во II или IV четвертях (рис. 5б)

Рис. 5а

знаки синуса

Рис. 5б

знаки косинуса

Рис. 5в

знаки тангенса и котангенса

Пример.

Определите знаки синуса, косинуса, тангенса углов:

а) ; б) ; в)

Решение:

а) Углу соответствует точка единичной окружности, расположенная во II четверти. Поэтому , , .

б) Так как , то повороту точки на угол соответствует точка, расположенная в I четверти, Поэтому , , .

в) Так как , то при повороте точки на угол получается точка III четверти. Поэтому , , .

Задание 1. Выполните самостоятельно!

Определите знак выражения:

Решение:

а) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в III четверти, поэтому .

б) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в IV четверти, поэтому .

в) Повороту точки на угол соответствует точка единичной окружности, расположенная в I четверти, поэтому .

Ответ: ; ; .

  1. Синус, косинус, тангенс и котангенс углов и .

Пусть точки и единичной окружности получены поворотом точки на углы и (рис.6).

Рис. 6

— равнобедренный ()

луч — биссектриса , тогда отрезок — медиана и высота . Тогда точки и симметричны относительно оси абсцисс. Если координаты точки , тогда координаты точки , отсюда

Полученные формулы позволяют сводить вычисления значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов. Например,

Задание 2. Решить самостоятельно:

Вычислите .

Решение:

Ответ: .

  1. Периодичность синуса и косинуса.

Если угол поворота равен , то при повороте на каждый из углов , , , , , и т.д. точка придет из в . Абсцисса и ордината точки — это косинус и синус не только числа (угла) , но и чисел (углов) , , , , , и т.д.

Значит, для любого числа выполняются равенства

, ,

, .

Понятно, что аналогичные преобразования верны для и .

Из сказанного можно сделать вывод: при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изменяются.

Пример.

Вычислить:

1) 2)

Решение:

1)

2)

Задание 3. Вычислить самостоятельно

Вычислить:

Решение:

а) .

б)

.

в) с.

Домашнее задание:

Упражнение 5.

Определите знак чисел:

Упражнение 6

Найдите значение выражения:

Упражнение 7

Вычислите:

infourok.ru

тангенсоида — это… Что такое тангенсоида?

  • ТАНГЕНСОИДА — плоская кривая график функции y=tg x. См. Тригонометрические функции …   Большой Энциклопедический словарь

  • ТАНГЕНСОИДА — ТАНГЕНСОИДА, тангенсоиды, жен. (от слова тангенс и греч. eidos вид) (мат.). Кривая линия, изображающая изменения тангенса в зависимости от изменения угла. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • тангенсоида — сущ., кол во синонимов: 1 • линия (182) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 …   Словарь синонимов

  • Тангенсоида —         плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла). Т. состоит (см. рис.) из бесконечного числа отдельных конгруэнтных кривых, получаемых одна из другой сдвигом по оси Ох: на величину, кратную… …   Большая советская энциклопедия

  • ТАНГЕНСОИДА — (от тангенс и греч. eidos вид) график ф ции у = tgx; плоская кривая, изображающая изменение тангенса в зависимости от изменения его аргумента (угла). Т. состоит (см. рис.) из бесконечного числа отд. конгруэнтных кривых, получаемых одна из другой… …   Большой энциклопедический политехнический словарь

  • тангенсоида — плоская кривая  график функции у = tgx. См. Тригонометрические функции. * * * ТАНГЕНСОИДА ТАНГЕНСОИДА, плоская кривая график функции y=tg x. См. Тригонометрические функции (см. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ) …   Энциклопедический словарь

  • тангенсоида — тангенсоида, тангенсоиды, тангенсоиды, тангенсоид, тангенсоиде, тангенсоидам, тангенсоиду, тангенсоиды, тангенсоидой, тангенсоидою, тангенсоидами, тангенсоиде, тангенсоидах (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализняку») …   Формы слов

  • ТАНГЕНСОИДА — график функции y=tg x(рис. a). Т. периодич. кривая с периодом и асимптотами При изменении хот до умонотонно растет от до таким образом, Т. состоит из бесконечного числа отдельных конгруэнтных кривых, получаемых одна из другой сдвигом по оси Ох на …   Математическая энциклопедия

  • ТАНГЕНСОИДА — плоская кривая график функции y = tgx. См. Тригонометрические функции …   Естествознание. Энциклопедический словарь

  • тангенсоида — тангенс оида, ы …   Русский орфографический словарь

  • dic.academic.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *