Таблица пределов для студентов – Непосредственное вычисление пределов, таблица пределов функций

Содержание

Виды и правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация / / Математический справочник / / Предел функции, суммы ряда. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления. / / Виды и правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов

Виды определенностей и неопределенностей при вычислении пределов

Виды определенностей	Виды неопределенностей

Правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов

Вид неопределенности	Правило раскрытия неопределенностей при вычислении пределов
Тип 1.	1.1. Чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени.
	1.2. Для раскрытия неопределенности вида , заданную отношением иррациональных функций, надо и числитель и знаменатель почленно разделить на переменную величину в наибольшей степени с учетом степеней корней.

Тип 2.	2.1. Для того, чтобы определить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при x → a числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить на x — a и перейти к пределу. Если и после этого числитель и знаменатель новой дроби имеют пределы, равные нулю при x → a, то надо произвести повторное деление на x — a.
	2.2. Чтобы раскрыть неопределенность вида , в которой числитель или знаменатель иррациональны, следует надлежащим образом избавиться от иррациональности, умножив и числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. Неопределенность устраняется после сокращения дроби. В случае квадратных корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на сопряженное выражение тому, которое содержит иррациональность и применяется формула . В случае кубических корней и числитель и знаменатель дроби умножаются на неполный квадрат суммы или разности и применяется формула *a³ ± b³ = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)*.

Тип 3.

dpva.ru

Основные правила вычисления пределов, связанные с арифметическими операциями

Если функции y = f(x)иy = (x)имеют конечные пределы прих  а, то:

 , предел суммы равен сумме пределов.
 , предел произведения равен произведению пределов.
 , предел частного равен отношению пределов, если.
 , предел постоянной величины равен самой постоянной.
 − постоянную величину можно выносить за знак предела.

Первый и второй замечательные пределы и следствия из них.

Таблица эквивалентных БМ величин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ:

ВТОРОЙ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ:

где …(натуральное число)

Второй замечательный предел на практике можно использовать и в такой форме ( а, в – соnst)

Следствия из замечательных пределов – это соотношения эквивалентности между некоторыми БМ величинами.

ТАБЛИЦА ЭКВИВАЛЕНТНЫХ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть , т.е. является бесконечно малой величиной.

Следствия из первого

замечательного предела.

Следствия из второго

замечательного предела.

sin x ~ x

tg x ~ x

arcsin x ~ x

arctg x ~ x

1 — cos x ~ x²

/ 2

Техника вычисления пределов

При вычислении пределов функций используется правило предельного перехода под знаком непрерывной функции,которое формулируется так:

Оно справедливо для всех элементарных функций, так как они непрерывны в своих областях определения. Из правила следует, что при вычислении пределов, прежде всего, необходимо аргумент функции заменить его предельным значением и выяснить, имеется ли неопределенноесоотношениие. Кнеопределеннымотносятся соотношения вида:

Если такое выражение существует, необходимо выполнить тождественные преобразования, в результате которых устраняется неопределенность, а затем вычисляется предел.

Логическая схема техники вычисления пределов

Основные этапы поиска способа раскрытия неопределенности представлены в алгоритме на следующей странице, а конкретные примеры вычисления пределов функции приведены в разделе «Примеры выполнения обязательных заданий по теме 4».

Общий алгоритм вычисления предела функции



Подставить (в том числе и) в.

Проанализировать полученное неопределенное соотношение: .

			Если это отношение многочленов, то выделяется главная часть:
	 		алгебраические преобразования : выделение в числителе и знаменателе множителя, стремящегося к нулю.		Если это отношение многочленов, то определяются корни числителя и знаменателя дроби и многочлены раскладываются на множители.
					Если предел содержит квадратные (кубические) корни, то следует умножить и разделить дробь на соответствующий сопряженный множитель.
			использование эквивалентных бесконечно малых величин.		Отношение степенных функций.
			Это неопределенное выражение приводится к виду: или .
		 	Если , то привести к общему знаменателю и получить.
			Преобразование иррациональности .
			Приведение предела к виду второго замечательного предела, т.е. , где— бесконечно малая величина. Затем используют известные формулы или .

studfiles.net

Пределы — Все для студента

Учебно-методические материалы

Студенческие работы

Теги, соответствующие этому тематическому разделу

Файлы, которые ищут в этом разделе

Доверенные пользователи и модераторы раздела

Активные пользователи раздела

این کتاب ترجمه کتابی از یک نویسنده روسی با نام الکساندر الکساندرویچ کیریلوف است This book is the translation of a book from Alexandre Aleksandrovich Kirillov, a Russian mathematician.

№1
3,78 МБ
добавлен 02.06.2018 00:48
изменен 04.06.2018 07:48

Тамбов: Изд-во ТГТУ, 2015. — 25 с. Limit of function х→∞ Limit of function х→а Unilateral limits. Infinitesimal functions and there properties Infinitely large functions and their properties Basic theorems about function limits Remarkable limits Tasks for training References

№2
515,31 КБ
добавлен 03.11.2015 08:55
изменен 03.11.2015 14:36

Л.А. Альсевич, С.Г. Красовский, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович. — Минск: БГУ, 2011. — 58 с. Пособие содержит основные теоретические сведения о последовательностях и их свойствах и предлагает основные приемы нахождения пределов последовательностей. Изложение материала иллюстрируется подробно разобранн