Уравнения, квадратные относительно логарифма
На уравнениях такого вида многие ученики «зависают». При этом сами задачи отнюдь не являются сложными — достаточно просто выполнить грамотную замену переменной, для чего следует научиться выделять устойчивые выражения.
В дополнение к этому уроку вас ждет довольно объемная самостоятельная работа, состоящая из двух вариантов по 6 задач в каждом.
Метод группировки
Сегодня мы разберем два логарифмических уравнения, одно из которых не решается «напролом» и требует специальных преобразований, а второе… впрочем, не буду рассказывать все сразу. Смотрите видео, скачивайте самостоятельную работу — и учитесь решать сложные задачи.
Итак, группировка и вынесение общих множителей за скобку. Дополнительно я расскажу вам, какие подводные камни несет область определения логарифмов, и как небольшие замечания по области определений могут существенно менять как корни, так и все решение.
Начнем из группировки. Нам нужно решить следующее логарифмическое уравнение:
log2x · log2 (x − 3) + 1 = log2 (x2 − 3x)
В первую очередь отметим, что x2 − 3x можно разложить на множители:
log2x(x− 3)
Затем вспоминаем замечательную формулу:
logafg = logaf + logag
Сразу же небольшое замечание: данная формула прекрасно работает, когда а, f и g— обычные числа. Но когда вместо них стоят функции, данные выражения перестают быть равноправными. Представьте себе такую гипотетическую ситуацию:
f < 0; g < 0
В этом случае произведение fg будет положительным, следовательно, loga (fg) будет существовать, а вот logaf и loga
g отдельно существовать не будут, и выполнить такое преобразование мы не сможем.Игнорирование данного факта приведет к сужению области определения и, как следствие, к потере корней. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, нужно обязательно заранее убедиться, что функции f и g положительные.
В нашем случае все просто. Поскольку в исходном уравнении есть функция log2x, то x > 0 (ведь переменная x стоит в аргументе). Также имеется log2 (x − 3), поэтому x − 3 > 0.
Следовательно, в функции log2x(x − 3) каждый множитель будет больше нуля. Поэтому можно смело раскладывать произведение на сумму:
log2x log2 (x − 3) + 1 = log2x + log2 (x − 3)
log2x log2 (x − 3) + 1 − log2x− log2 (x − 3) = 0
На первый взгляд может показаться, что легче не стало. Напротив: количество слагаемых лишь увеличились! Чтобы понять, как действовать дальше, введем новые переменные:
log2x = а
log2 (x − 3) = b
Получим:
a· b + 1 − a − b = 0
А теперь сгруппируем третье слагаемое с первым:
(a · b − a) + (1 − b) = 0
a(1 · b − 1) + (1 − b) = 0
Заметим, что и в первой, и во второй скобке стоит b− 1 (во втором случае придется вынести «минус» за скобку). Разложим нашу конструкцию на множители:
a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0
(b − 1)(а · 1 − 1) = 0
А теперь вспоминаем наше замечательно правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
b − 1 = 0 ⇒ b = 1;
a − 1 = 0 ⇒ a = 1.
Вспоминаем, что такое b и а. Получим два простейших логарифмических уравнения, в которых останется лишь избавиться от знаков logи приравнять аргументы:
log2x = 1 ⇒ log2x = log2 2 ⇒ x1 =2;
log2 (x − 3) = 1 ⇒ log2 (x − 3) = log2 2 ⇒ x 2 = 5
Мы получили два корня, но это не решение исходного логарифмического уравнения, а лишь кандидаты в ответ. Теперь проверим область определения. Для первого аргумента:
x > 0
Оба корня удовлетворяют первому требованию. Переходим ко второму аргументу:
x − 3 > 0 ⇒ x > 3
А вот здесь уже x = 2 нас не удовлетворяет, зато x = 5 вполне нас устраивает. Следовательно, единственным ответом будет x = 5.
Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.
log0,7 (x2 − 6x + 2) = log0,7 (7 − 2x)
Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы:
x2 − 6x + 2 = 7 − 2x
x2 − 4x − 5 = 0
Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:
(x − 5) (x + 1) = 0;
x − 5 = 0 ⇒ x = 5;
x + 1 = 0 ⇒ x = −1.
Но эти корни еще не являются окончательными ответами. Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, т.е. учет области определения строго обязателен.
Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля:
x2 − 6x + 2 > 0
С другой — второй аргумент тоже должен быть больше нуля:
7 − 2x > 0
Эти требования должны выполняться одновременно. И вот тут начинается самое интересное. Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь?
Давайте заметим одну тонкость. Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Отсюда следует, что требования x 2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 равносильны. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство:
−2x > −7
x < 3,5
Поскольку мы делили обе части на отрицательное число, знак неравенства поменялся.
Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений. Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Очевидно, что нас устроит лишь x = −1, потому что x = 5 > 3,5.
Можно записать ответ: x = 1 является единственным решением исходного логарифмического уравнения.
Выводы из данного логарифмического уравнения следующие:
- Не бойтесь раскладывать логарифмы на множители, а потом множители раскладывать на сумму логарифмов. Однако помните, что разбивая произведение на сумму двух логарифмов, вы тем самым сужаете область определения. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, обязательно проверьте, каковы требования области определения. Чаще всего никаких проблем не возникает, однако лишний раз перестраховаться не помешает.
- Избавляясь от канонической формы, старайтесь оптимизировать вычисления. В частности, если от нас требуется, чтобы f > 0 и g > 0, но в самом уравнении f = g, то смело вычеркиваем одно из неравенств, оставляя себе лишь самое простое. Область определения и ответы при этом никак не пострадают, а вот объем вычислений существенно сократится.
Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать о группировке.:)
Типичные ошибки при решении
Сегодня мы разберем два типичных логарифмических уравнения, на которых спотыкаются многие ученики. На примере этих уравнения мы увидим, какие ошибки чаще всего допускаются в процессе решения и преобразования исходных выражений.
Дробно-рациональные уравнения с логарифмами
Сразу следует отметить, что это довольно коварный тип уравнений, в которых отнюдь не всегда сразу присутствует дробь с логарифмом где-то в знаменателе. Однако в процессе преобразований такая дробь обязательно возникнет.
При этом будьте внимательны: в процессе преобразований изначальная область определения логарифмов может существенно измениться!
Переходим к еще более жестким логарифмическим уравнениям, содержащим дроби и переменные основания. Чтобы за один короткий урок успеть больше, я не буду рассказывать элементарную теорию. Сразу перейдем к задачам:
4 log25 (x − 1) − log3 27 + 2 logx− 1 5 = 1
Посмотрев на это уравнение, кто-то спросит: «При чем здесь дробно-рациональное уравнение? Где в этом уравнении дробь?» Давайте не будем спешить и внимательно посмотрим на каждое слагаемое.
Первое слагаемое: 4 log25 (x − 1). Основанием логарифма является число, но в аргументе стоит функция от переменной x. С этим мы пока ничего сделать не можем. Идем дальше.
Следующее слагаемое: log 3 27. Вспоминаем, что 27 = 33. Следовательно, весь логарифм мы можем переписать следующим образом:
log 3 27 = 33 = 3
Итак, второе слагаемое — это просто тройка. Третье слагаемое: 2 logx− 1 5. Тут тоже не все просто: в основании стоит функция, в аргументе — обычное число. Предлагаю перевернуть весь логарифм по следующей формуле:
logab = 1/logba
Такое преобразование можно выполнить только если b ≠ 1. Иначе логарифм, который получится в знаменателе второй дроби, просто не будет существовать. В нашем случае b= 5, поэтому все в порядке:
2 logx− 1 5 = 2/log5 (x− 1)
Перепишем исходное уравнение с учетом полученных преобразований:
4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log5 (x− 1) = 1
В знаменателе дроби у нас стоит log5 (x− 1), а в первом слагаемом мы имеем log25 (x − 1). Но 25 = 52, поэтому выносим квадрат из основания логарифма по правилу:
Другими словами, степень в основании логарифма становится дробью спереди. А выражение перепишется так:
4 1/2 log5 (x− 1) − 3 + 2/ log5 (x− 1) − 1 = 0
У нас получилось длинное уравнение с кучей одинаковых логарифмов. Введем новую переменную:
log5 (x − 1) = t;
2t− 4 + 2/t = 0;
А вот это уже дробно-рациональное уравнение, которое решается средствами алгебры 8—9 класса. Для начала разделим все на двойку:
t− 2 + 1/t = 0;
(t2 − 2t + 1)/t = 0
В скобках стоит точный квадрат. Свернем его:
(t− 1)2/t = 0
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Никогда не забывайте про этот факт:
(t− 1)2= 0
t = 1
t ≠ 0
Вспоминаем, что такое t:
log5 (x − 1) = 1
log5 (x − 1) = log5 5
Избавляемся от знаков log, приравниваем их аргументы, и получаем:
x− 1 = 5 ⇒ x = 6
Все. Задача решена. Но давайте вернемся к исходному уравнению и вспомним, что там присутствовали сразу два логарифма с переменной x. Поэтому нужно выписать область определения. Поскольку x− 1 стоит в аргументе логарифма, это выражение должно быть больше нуля:
x− 1 > 0
С другой стороны, тот же x− 1 присутствует и в основании, поэтому должен отличаться от единицы:
x− 1 ≠ 1
Отсюда заключаем:
x > 1; x ≠ 2
Эти требования должны выполняться одновременно. Значение x = 6 удовлетворяет обоим требованиям, поэтому является x = 6 окончательным решением логарифмического уравнения.
Переходим ко второй задаче:
Вновь не будем спешить и посмотрим на каждое слагаемое:
log4 (x + 1) — в основании стоит четверка. Обычное число, и его можно не трогать. Но в прошлый раз мы наткнулись на точный квадрат в основании, который пришлось выносить из-под знака логарифма. Давайте сейчас сделаем то же самое:
log4 (x + 1) = 1/2 log2 (x + 1)
Фишка в том, что у нас уже есть логарифм с переменной x, хоть и в основании — он является обратным к логарифму, который мы только что нашли:
8 logx + 1 2 = 8 · (1/log2 (x + 1)) = 8/log2 (x + 1)
Следующее слагаемое — log2 8. Это константа, поскольку и аргументе, и в основании стоят обычные числа. Найдем значение:
log2 8 = log2 23 = 3
То же самое мы можем сделать и с последним логарифмом:
Теперь перепишем исходное уравнение:
1/2 · log2 (x + 1) + 8/log2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;
log2 (x + 1)/2 + 8/log2 (x + 1) − 4 = 0
Приведем все к общему знаменателю:
Перед нами опять дробно-рациональное уравнение. Введем новую переменную:
t = log2 (x + 1)
Перепишем уравнение с учетом новой переменной:
Будьте внимательны: на этом шаге я поменял слагаемые местами. В числителе дроби стоит квадрат разности:
Как и в прошлый раз, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
(t− 4)2 = 0 ⇒ t = 4;
t ≠ 0
Получили один корень, который удовлетворяет всем требованиям, поэтому возвращаемся к переменной x:
log2 (x + 1) = 4;
log2 (x + 1) = log2 24;
x + 1 = 16;
x = 15
Все, мы решили уравнение. Но поскольку в исходном уравнении присутствовало несколько логарифмов, необходимо выписать область определения.
Так, выражение x + 1 стоит в аргументе логарифма. Поэтому x + 1 > 0. С другой стороны, x + 1 присутствует и в основании, т.е. x + 1 ≠ 1. Итого:
0 ≠ x > −1
Удовлетворяет ли найденный корень данным требованиям? Безусловно. Следовательно, x = 15 является решением исходного логарифмического уравнения.
Напоследок хотел бы сказать следующее: если вы смотрите на уравнение и понимаете, что вам предстоит решать что-то сложное и нестандартное, по старайтесь выделить устойчивые конструкции, которые впоследствии будут обозначены другой переменной. Если же какие-то слагаемые вообще не содержат переменную x, их зачастую можно просто вычислить.
Вот и все, о чем я хотел сегодня рассказать. Надеюсь, этот урок поможет вам в решении сложных логарифмических уравнений. Смотрите другие видеоуроки, скачивайте и решайте самостоятельные работы, и до встречи в следующем видео!
Смотрите также:
- Заключительный комплект уроков по решению логарифмических уравнений
- Логарифмические уравнения: несколько видеоуроков по теме
- Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 8 (без производных)
- Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №4
- Задачи B6 с монетами
- Задачи на проценты считаем проценты с помощью формулы
www.berdov.com
| 1. |
Логарифмическое уравнение (определение)
Сложность: лёгкое |
|
| 2. |
Сумма логарифмов (потенцирование)
Сложность: лёгкое |
|
| 3. |
Разность логарифмов (потенцирование)
Сложность: лёгкое |
|
| 4. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному
Сложность: лёгкое |
|
| 5. |
Логарифмирование (показательное уравнение)
Сложность: лёгкое |
|
| 6. |
Сумма логарифмов
Сложность: лёгкое |
|
| 7. |
Логарифмическое уравнение (неизвестно основание)
Сложность: среднее |
|
| 8. |
Логарифмическое уравнение (произведение равно 0)
Сложность: среднее |
|
| 9. |
Логарифмическое уравнение, разность логарифмов
Сложность: среднее |
|
| 10. |
Логарифмическое уравнение (логарифм в квадрате)
Сложность: среднее |
|
| 11. |
Логарифмическое уравнение (разложение на множители)
Сложность: среднее |
|
| 12. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к дробно-рациональному (разность логарифмов)
Сложность: среднее |
|
| 13. |
Логарифмирование (основное логарифмическое тождество)
Сложность: среднее |
|
| 14. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к линейному
Сложность: среднее |
|
| 15. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (основание — натуральное число)
Сложность: среднее |
|
| 16. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (обыкновенная дробь)
Сложность: среднее |
|
| 17. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к квадратному (сумма логарифмов)
Сложность: среднее |
|
| 18. |
Метод введения новой переменной (логарифм частного)
Сложность: среднее |
|
| 19. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к алгебраическому (теорема Виета)
Сложность: среднее |
|
| 20. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к алгебраическому (дискриминант)
Сложность: среднее |
|
| 21. |
Логарифмическое уравнение (тригонометрия)
Сложность: сложное |
|
| 22. |
Логарифмическое уравнение (новая переменная)
Сложность: среднее |
|
| 23. |
Логарифмическое уравнение, сводимое к дробно-рациональному (десятичный логарифм)
Сложность: сложное |
|
| 24. |
Показательное уравнение (логарифмические корни)
Сложность: сложное |
|
| 25. |
Логарифмическое уравнение (графический способ)
Сложность: сложное |
www.yaklass.ru
Логарифмические уравнения, формулы и примеры
Определение и формулы логарифмических уравнений
Типы логарифмических уравнений
Тип 1. Простейшим логарифмическим уравнением называется уравнение вида
решение которого (при условии, что )
Тип 2. Уравнения вида .
Такие уравнения эквивалентны системе
Тип 3. Уравнения .
Уравнения такого типа равносильны одной из систем:
или
Из указанных двух систем выбирается та, которая содержит более простое неравенство.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Логарифмические уравнения | LAMPA — онлайн-учебник, который каждый может улучшить
Логарифмическое уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную под знаком или в его основании.
Логарифмическое уравнение в ЕГЭ может иметь вид logbh(x)=logck(x),\log_b h(x)= \log_c k(x),logbh(x)=logck(x), или logbh(x)=d,\log_b h(x)=d,logbh(x)=d, или logh(x)b=d\log_{h(x)}b=dlogh(x)b=d при b>0b\gt 0b>0, b≠1b\neq1b≠1 и с>0с\gt 0с>0, c≠1c\neq1c≠1.
- Выпишите . Уравнение вида logbh(x)=logck(x)\log_b h(x)= \log_c k(x)logbh(x)=logck(x) определено при h(x)>0h(x)\gt 0h(x)>0 и k(x)>0k(x)\gt 0k(x)>0
- Приведите левую и правую части уравнения к одному основанию, так чтобы оно приняло вид logaf(x)=logag(x)\log_a f(x)=\log_a g(x)logaf(x)=logag(x).
- Примените .
- Решите уравнение f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x).
- Проверьте, что корни уравнения лежат в его области определения.
- В некоторых случаях удобнее напрямую воспользоваться определением . Уравнение logbh(x)=d\log_b h(x)=dlogbh(x)=d можно привести к виду h(x)=bdh(x)=b^dh(x)=bd.
Решим уравнение log0,21x+21=log5(x−3)+log5(x−4)\log_{0,2} \frac{1}{x+21}=\log_5 (x-3)+\log_5(x-4)log0,2x+211=log5(x−3)+log5(x−4).
Уравнение определено, если 1x+21>0\frac{1}{x+21}\gt 0x+211>0, при этом x−3>0x-3\gt 0x−3>0 и x−4>0x-4\gt 0x−4>0. Заметим, что при x>4x\gt 4x>4 все три неравенства выполняются. Поэтому область определения: x>4x\gt 4x>4.
Приведем обе части уравнения к одному основанию. Основание левой части равно 0,2=15=5−10,2=\frac{1}{5}=5^{-1}0,2=51=5−1. Воспользовавшись , преобразуем левую часть log0,21x+21=−1⋅log51x+21=log5(x+21).\log_{0,2} \frac{1}{x+21}=-1\cdot \log_5 \frac{1}{x+21} =\log_5 (x+21).log0,2x+211=−1⋅log5x+211=log5(x+21). Также используя формулы действия с логарифмами, перепишем правую часть log5(x−3)+log5(x−4)=log5(x−3)(x−4)=log5(x2−7x+12).\log_5 (x-3)+\log_5(x-4)=\log_5 {(x-3)(x-4)}=\log_5 (x^2-7x+12).log5(x−3)+log5(x−4)=log5(x−3)(x−4)=log5(x2−7x+12).
Мы привели обе части уравнения к основанию 555: log5(x+21)=log5(x2−7x+12).\log_5 (x+21)=\log_5 (x^2-7x+12).log5(x+21)=log5(x2−7x+12).
Применив метод отбрасывания логарифмов, получаем x2−7x+12=x+21⇔x2−8x−9=0.x^2-7x+12=x+21\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,x^2-8x-9=0.x2−7x+12=x+21⇔x2−8x−9=0. равен D=(−8)2−4⋅1⋅(−9)=64+36=100=102D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot (-9)=64+36=100=10^2D=(−8)2−4⋅1⋅(−9)=64+36=100=102.
равны x1=8−102=−1x_1=\frac{8-10}{2}=-1×1=28−10=−1 и x2=8+102=9.x_2=\frac{8+10}{2}=9.×2=28+10=9.
Корень x1=−1x_1=-1×1=−1 лежит вне области определения уравнения.
Ответ: 999.
Метод отбрасывания логарифмов
Уравнение вида logaf(x)=logag(x)\log_a {f(x)} =\log_a {g(x)}logaf(x)=logag(x), где a>0a\gt 0a>0 и a≠1a\neq 1a≠1, можно упростить:
из logaf(x)=logag(x)\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}logaf(x)=logag(x) следует, что f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x).
То есть для решения logaf(x)=logag(x)\log_a{f(x)}=\log_a{g(x)}logaf(x)=logag(x) достаточно решить уравнение f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x), а потом исключить корни, в которых не определен. Логарифм не определен, когда f(x)≤0f(x)\le 0f(x)≤0 или g(x)≤0g(x)\le 0g(x)≤0.
При проверке корней достаточно убедиться, что хотя бы одно из неравенств f(x)>0f(x)\gt 0f(x)>0 или g(x)>0g(x)\gt 0g(x)>0 выполняется. Второе неравенство будет выполняться автоматически, поскольку f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x). Поэтому если одна из функций f(x)f(x)f(x) и g(x)g(x)g(x) положительна для всех xxx, то уравнения logaf(x)=logag(x)\log_a f(x)=\log_a g(x)logaf(x)=logag(x) и f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x) эквивалентны. То есть проверка корней не требуется.
log3(6x+4)=log39⇔6x+4=9\log_3 (6x+4) =\log_3 9 \,\Leftrightarrow \, 6x+4=9log3(6x+4)=log39⇔6x+4=9, поскольку 9>09\gt 09>0 при любом xxx.
lampa.io
Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное входит в виде аргумента логарифмической функции.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
, (26)
где — некоторое положительно число, отличное от единицы, — любое действительное число. Логарифмическое уравнение (26) эквивалентно алгебраическому уравнению
.
В простейшем случае, когда , логарифмическое уравнение (26) имеет решение
.
Множество решений логарифмического уравнения вида , где — некоторый многочлен указанного неизвестного, находится следующим образом.
Вводится новая переменная , и уравнение (25) решается как алгебраическое уравнение относительно . После этого решаются простейшие логарифмические уравнения вида (25).
П р и м е р 1. Решить уравнение
. (27)
Относительно неизвестного данное уравнение – квадратное:
.
Корни этого уравнения: , .
Решая логарифмические уравнения
, ,
получаем решения логарифмического уравнения (27): , .
В некоторых случаях, для того чтобы свести решение логарифмического уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо предварительно сделать подходящие преобразования логарифмов, входящих в уравнение. Такими преобразованиями могут быть преобразование суммы логарифмов двух величин в логарифм произведения этих величин, переход от логарифма с одним основанием к логарифму с другим основанием и т. д.
П р и м е р 2. Решить уравнение
. (28)
Для того чтобы свести решение данного уравнения к последовательному решению алгебраического и простейших логарифмических уравнений, необходимо прежде всего привести все логарифмы к одному основанию (здесь, например, к основанию 2). Для этого воспользуемся формулой
,
в силу которой . Подставив в уравнение (28) вместо равную ему величину, получаем уравнение
.
Заменой это уравнение сводится к квадратному уравнению относительно неизвестного :
.
Корни этого квадратного уравнения: , . Решаем уравнения и :
,
,
П р и м е р 3. Решить уравнение
.
Преобразуя разность логарифмов двух величин в логарифм частного этих величин:
,
сводим данное уравнение к простейшему логарифмическому уравнению
.
Заключение
Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.
В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные. Я надеюсь, что мое сочинение может послужить неплохим справочным материалом при решении тех или иных уравнений. В заключении хотелось бы отметить, что при написании данного сочинения я не ставил себе цели показать все виды уравнений, а излагал лишь имеющийся у меня материал.
studfiles.net
Уравнения с логарифмами | Логарифмы
Рассмотрим уравнения с логарифмами, для решения которых используется метод оценки.
При решении уравнений методом оценки сравнивают область значений каждой из функций, стоящих в разных частях уравнения. Если для уравнения
одновременно выполняются условия
то уравнение равносильно системе
Остаётся найти корни одного из уравнений системы и проверить, удовлетворяют ли они другому уравнению.
Примеры уравнений с логарифмами, решаемых методом оценки левой и правой части.
ОДЗ:
Под знаком логарифма стоит квадратичная функция
Её график — парабола ветвями вверх. Своё наименьшее значение функция принимает в вершине параболы
и оно равно
поэтому
Так как основание 2>1, логарифмическая функция
возрастает, следовательно, большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть при x0=4 f(x) принимает своё наименьшее значение и оно равно
то есть
Левая часть уравнения — квадратичная функция, график — парабола ветвями вниз, в вершине достигает своего наибольшего значения:
то есть
Решаем второе уравнение:
Его единственный корень
является также корнем первого уравнения, а значит, исходное уравнение имеет единственный корень x=4.
Ответ: 4.
ОДЗ:
Так как
то
Так как 0,9<1 и функция
убывает, то
С другой стороны,
Следовательно, исходное уравнение равносильно системе
Решим второе уравнение:
Проверяем, удовлетворяют ли полученные корни первому уравнению.
При x=1
При x= -1
Следовательно, уравнение имеет один корень x=1.
Ответ: 1.
ОДЗ:
Следовательно, исходное уравнение равносильно системе
Решим первое уравнение:
Проверяем, является ли 0 корнем второго уравнения:
Следовательно, исходное уравнение имеет один корень x=0.
Ответ: 0.
www.logarifmy.ru