Решение обратной задачи аналитической геометрии. Теория R-функций / Хабр
Навеяно недавним постом о построении различных картинок с помощью кривой Гильберта. Будет немного теории и немного картинок.
Немного теории
Компьютерный век породил теорию R-функций — функций с «логическим зарядом», возникшую на стыке дискретного и непрерывного анализов, использующую аппарат булевой алгебры, который органически присущ и ЭВМ. На основе теории R-функций была решена обратная задача аналитической геометрии, появилась возможность строить в виде элементарной функции уравнение границы сложного объекта, и притом такое уравнение, которое обладало бы необходимыми дифференциальными свойствами. В. Л. Рвачев с помощью конструктивного аппарата теории R-функций разработал единый подход к проблеме построения координатных последовательностей для основных вариационных и проекционных методов. К настоящему времени метод R-функций был применен для решения большого числа задач электродинамики, механики деформируемого твердого тела, теории пластин и оболочек, гидродинамики и магнитной гидродинамики, теплофизики и др.
Определение R-функций и основные системы R-функций
Если назвать булевым знаком величины , то можно дать такое определение R-функций: функция называется R-функцией, если булевый знак этой функции равен булевой функции булевых знаков аргументов . Любую булеву функцию можно представить через (в конъюнктивной и дизъюнктивной нормальных формах). Этот факт означает, что система является полной системой булевых функций (то есть множество H-реализуемых функций (M(Н)) есть множество всех булевых функций).
Рассмотрим функции:
Функции первой колонки — это R-функции. Любую непрерывную функцию любого числа аргументов можно отнести к одной из этих колонок. Какой признак отделяет R-функции от не R-функций, представленных во второй колонке?
Человек, не имеющий предварительного знакомства с R-функциями, вряд ли сможет отгадать «тайну R-функций».
| — | — | — | — | — | + |
| — | — | + | + | — | + |
| — | + | — | — | — | |
| — | + | + | — | — | — |
| + | — | — | + | — | — |
| + | — | + | — | — | — |
| + | + | — | — | + | + |
| + | + | + | + | + | + |
Если в этой таблице заменить «–» на «0», а «+» на «1», то получим таблицы трех булевых функций. Например, функции соответствует конъюнкция , функции соответствует булева функция .
Наиболее распространенной и исторически первой является такая система R-функций:
Собственно пример
Пусть даны простые (опорные )области
— горизонтальная полоса между прямыми ,
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
а сложный чертеж определяется логической формулой:
Нетрудно заметить, что этот чертеж является крестообразной областью, изображенной на рисунке, при условии, что .
В результате получаем:
Немного картинок
Аппарат R-функций позволят строить объекты показанные ниже, при этом мы всегда знаем точное (аналитическое) выражение для каждого геометрического объекта, и собственно можем не терять точность на приближенном описании геометрии объекта.
А вот и программка, которая умеет визуализировать и решать задачки с помощью R-функций
Источник: Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения
9 класс ГЕОМЕТРИЯ — К урокам математики
14.09.2020 Тема. Вписанная и описанная окружности. Решение задач Выполнить задание на сайте СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЭ Ваша задача повторить решение этих заданий. Обратите внимание на принятые условные обозначения: r -радиус вписанной окружности, R — радиус описанной окружности Особые случаи — ВЫУЧИТЬ 1. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на гипотенузе, а радиус равен половине гипотенузы. (Гипотенуза является диаметром окружности, описанной около прямоугольного треугольника) Задача 1. 2. В равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают. Это точка пересечения медиан, биссектрис, высот и серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Посмотрите рисунок. ВК — медиана, состоит из r+R (радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности), О — точка пересечения медиан, делит медиану в отношении 2:1 считая от вершины. Тогда R=2r, или r=1/3 ВК, или ВК=3r и т.д. Это нужно понять и запомнить. Задача 2. В равносторонний треугольник со стороной 12 см вписана окружность. Найдите радиус этой окружности. 8 класс 14.05.2020 Тема. Повторение. Площадь Повторить формулы площадей (памятка-шпаргалка) Тесты стр.62 задания А1-А7 оформить полное решение с чертежами, пояснениями, ссылками на теоремы. Фото заданий загружаем в Google Classroom 12. Тема. Вписанная и описанная окружности. Повторение Решить задачи (не забудьте дано и чертеж) 1. Равносторонний треугольник АВС вписан в окружность радиуса 6 см. Найдите его сторону. 2. Прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см вписан в окружность. Найдите его радиус. 3. В треугольник вписана окружность так, что три из шести отрезков касательных равны 3 см, 5 см и 6 см. Найдите периметр треугольника. 4. Точки А и В делят окружность с центром О на дуги АКВ и АРВ так, что дуга АРВ на 60 градусов меньше дуги АКВ. АК — диаметр окружности. Найдите величины углов АКВ, АВК, АРВ. 5. Хорды АВ и СЕ пересекаются в точке К так, что АК=3см, ВК=16см, СК:ЕК=1:3. Найдите величину хорды СЕ и наименьшее значение радиуса этой окружности. (Вспомните теорему об отрезках пересекающихся хорд) Фото заданий загружаем в Google Classroom 28.04.2020 4 и 5 задание на эту неделю. Следующие задания после 11.05.2020 Тема. I группа задач Нужно разобрать решение задачи ниже. На рисунке начало плана, под рисунком — продолжение и часть решения. Важно понимать, что АК и AN — отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, и они равны. На этом свойстве основано решение задач 1 и 2. в) Применим теорему Пифагора в треугольнике АВС АВ2=АС2+ВС 2 АВ=АК+КВ=6+4=10 АС=АN+NС=АК+х=6+х ВС=ВМ+МС=ВК+х=4+х, тогда 102=(6+х)2+(4+х)2 — раскрываете скобки (формула квадрата суммы (а+b)2=a2+2ab+b2 ) и решаете квадратное уравнение. г) Определим радиус (значение х) Используя эту задачу, нужно решить задачи 1 и 2, чертеж, как на рис.54 выше. 1. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в треугольник окружности 2 см. 2. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 2 см, а сумма катетов равна 17 см. Найти периметр и площадь треугольника. II группа задач Для их решения нужно использовать несколько формул для нахождения площади треугольника (метод площадей — найти площадь двумя способами и применить значение площади для поиска оставшегося неизвестного.) Формулы на фото. 1. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 20 см, 20 см и 24 см. 2.Вокруг равностороннего треугольника описана окружность, радиус которой равен 2√3 (корень из трех, может не отображаться символ). Найдите площадь треугольника, если его сторона равна 6 см. 3. Найти радиус окружности, описанной около треугольника, стороны которого равны 15 см, 9 см и 12 см. 20-25 апреля 24. 3 задание. Тема. Вписанная и описанная окружности. Решение задач Извините, качество картинок не очень… Для решения задач нужно знать свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки (стр.165 полностью): отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Переписать в тетрадь задачи с решением, вставив пропущенные слова. №4 решить по образцу, новая формула для вычисления площади описанного треугольника на стр. 180 (у вас должна быть выписана в теорию). После задач выполните тест ( ссылка на тест ) на понимание теории и ее воспроизведение. 2 задание. 22.04.2020 . Срок до 24.04.2020. В пятницу будет новое задание. 1 задание. 21.04.2020 Тема. Вписанная и описанная окружности. Изучаем в учебнике теорию на стр. 178-181. Выписываем определения, теоремы, замечания (по желанию, разбираем доказательства, переписывать их не нужно!) и учим. Выполняем № 701 и 711 (нужно понять, где находятся центры вписанной и описанной окружностей, как построить с помощью циркуля точки пересечения биссектрис и серединных перпендикуляров, чему равны радиусы окружностей, и вписать и описать окружности. Найдите и изучите ответы на эти вопросы в Интернет. Выполните построения на листах А4, как мы делали в прошлом году, вспомните. У всех это хорошо получалось.) Жду 21.04 фото тетради с теорией и 2 листов, с №701 на одном и №711 на другом. Выложить в Google Classroom, присоединиться по коду pmklweg, если не получится, то выслать на почту[email protected] 13-18 апреля 17.04.2020 — 8а, 8в, 18.04.2020 — 8б 6 задание Проверочный тест. Задания разошлю на почту каждому, кто сдал 3 работы по теории, по мере проверки работ. Если вы все сдали, но не получили задание, то я еще не проверила. Если вы не сможете выполнить тест вовремя (по любым причинам), нужно мне написать. 15.04.2020 — 8б, 8в, 16.04.2020 — 8а 5 задание Итак, первые выводы (мы об этом говорили в 7 классе, когда строили медианы, биссектрисы… Но тогда мы эти факты принимали без доказательств, сейчас вам предлагается познакомиться с доказательствами… Поэтому, я думаю, что эти темы вам немного знакомы и не должны вызывать сложностей при чтении. Вспомните, как вы строили с помощью циркуля медианы, биссектрисы и высоты в треугольнике, при построении медианы, как раз строили серединный перпендикуляр)
Новая тема. Свойство высот Учебник стр. 176-177 (п.76) — выписать теорему (доказательство разобрать по желанию). Выучить формулировки. Вспомнить как и построить высоты в остроугольном и в тупоугольном треугольниках (стр. 34 рис.62) без циркуля, не усложняйте задание, только с помощью угольника! Но, нужно не просто приблизительно перерисовать картинки, а нарисовать правильно тупоугольный треугольник и провести в нем высоты Выписать вывод на стр. 177: замечательные точки треугольника и выучить. Решить из учебника №684,685 — опять про равнобедренный треугольник, 7 класс Вспомнить построение серединного перпендикуляра с циркулем в №686 построить, мы это строили (в справочнике 7 кл.) Переслать отчет о выполнении работы (фото) мне на почту [email protected] 14.04.2020 4 задание Новая тема. Свойства серединного перпендикуляра к отрезку Учебник стр. 174-175 (п.75) — выписать определение, теорему, чертеж (рис. Записать в тетрадь решение задачи на фото Решить из учебника №679-б),681,682 (дано, чертеж, решение) — две про равнобедренный треугольник, 7 класс Переслать отчет о выполнении работы (фото) мне на почту [email protected] 14.04.2020 3 задание Новая тема. Свойства биссектрисы угла. Учебник стр. 173-174 (п.74) — выписать теорему, чертеж (рис.224) (доказательство разобрать по желанию), выписать следствие 1 и следствие 2 с рисунком 225. Выучить формулировки. Записать в тетрадь решение след. задачи Решить из учебника №676-а),678-а),674 (дано, чертеж, решение) Если вы сами не можете решить задачу, то разобрать решение по ссылке Переслать отчет о выполнении работы (фото) мне на почту [email protected] Домашнее задание ко вторнику №676-б),678-б),677 2 задание Задание для 8Б и 8В 08. Это задание на повторение стр. 164,165,168-170 Я прошу вас зарегистрироваться на сайте СДАМ ГИА: РЕШУ ОГЕ. Лучше это сделать побыстрее, вечером сайт работает хуже, т.к. много желающих. Загружается задание довольно медленно. Нужно подождать Выполнять задание нужно под своим именем. Если при регистрации вы использовали загадочные подписи fhkgyuk, то прошу мне на почту прислать расшифровку, чтобы знать, чью работу я проверяю. На сайте вводятся только ответы. После отправки решения, видны результаты. Решения нужно оформить письменно в тетради так, как мы оформляли тесты: чертеж и краткое решение. Отправить мне фото решения на почту [email protected]. Еще раз, на сайт вы записываете ответы и проверяете их, а на почту — фото решений Домашняя работа № 25072011 https://math-oge.sdamgia.ru/test?id=250720111 задание 07.04.2020 — задание нужно было сдать всем во вторник. Тема. Касательная к окружности. Вписанные и центральные углы. Пересекающиеся хорды Повторить стр. 164,165,168-170, определения и теоремы учить. Новая теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд. Выписать в тетрадь, дано, чертеж, кратко доказательство. Научиться применять при решении задач №666-а,б,в) Решить задачу (составить уравнение): Хорды AB и CD пересекаются в точке К, причем хорда АВ делится точкой К на отрезки, равные 10 см и 6 см. На какие отрезки точка К делит хорду CD, если CD>AB на 3 см? Фото работы прислать на почту [email protected] |
Карточки с правилами трансформации
ДеталиТитул Правила трансформации Описание Все слова в пакете Всего карточек 32 Предмет Математика Уровень 10-й класс Создан 21. | Нажмите здесь, чтобы изучить/распечатать эти карточки . Создайте свои собственные флеш-карты! Подпишите здесь. |
Карты
Терм
| Определение
| ||
Термин
| Определение
| ||
Срок
| |||
| (x,y) переходит в (-x,y) |
| r y = x |
| (x,y) переходит в (y,x) |
| Что делать, если выполняется отражение над линией, для которой не задано правило: |
| Нанесите точку и нарисуйте линию, над которой вы размышляете, отсчитайте одну точку до линии и нарисуйте ее по другую сторону линии |
| Линейная симметрия |
| создает зеркальное отображение |
| Типы симметрии линий |
| (1) Горизонтальное, H (2) Вертикальная, V (3) Диагональная, D |
| Точечная симметрия |
| Если вы можете поместить чертёжную кнопку в середину фигуры и перевернуть её на 180 градусов, и при переворачивании она останется такой же, значит, она имеет точечную симметрию |
| Точка Отражение в начало координат Правило: (x,y) переходит в (-x,-y) |
| Чтобы найти геометрическую фигуру при повороте на градус, что вам нужно найти форму, что вы делаете? |
| 360 разделить на угол поворота, который вы делаете |
| Перевод |
| Слайды, движения |
| T означает, что вы делаете перевод |
| (x + первое число после «Т», y + второе число после «Т») |
| Если даны точка и штрих, что вы делаете, чтобы найти правило перевода? |
| Алгебра! Non-Prime x или y + переменная = Prime x или y |
| Расширение |
| Увеличение или уменьшение, изменение размера, обозначаемое как заглавная буква «D» со строчной буквой «k» рядом с ней (x,y) переходит в (x умножить на k, y умножить на k) |
| Преобразование |
| Перевороты, скольжения и повороты Символ — заглавная буква «R» Всегда поворачивайте против часовой стрелки |
| (x,y) переходит в (-y,x) |
| (x,y) переходит в (-x,-y) |
| (x,y) переходит в (y,-x) |
| (x,y) переходит в (x,y) |
| Изометрия |
| преобразование, сохраняющее расстояние между точками. Изображение и пре-образ совпадают |
| Преобразование подобия |
| преобразование, которое создает изображение, похожее на прообраз, но не обязательно конгруэнтное |
| Прямая изометрия |
| Изометрия, сохраняющая ориентацию. Порядок точек по часовой стрелке на изображении и прообразе одинаков. |
| Противоположная изометрия |
| изометрия, которая не сохраняет ориентацию. порядок точек на изображении и прообразе по часовой стрелке обратный. |
| Изометрии |
| Перемещение, вращение, отражение точки, отражение линии и отражение скольжения. |
| прямые измерения |
| перемещение, вращение и точечное отражение |
| противоположные формы |
| линейное отражение и скользящее отражение |
| расстояние |
| перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения. |
| параллелизм |
| расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения. |
| середина |
| расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения |
| угловая мера |
| расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения |
| коллинеарность |
| расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения |
| ориентация |
| расширение, перемещение, вращение и точечное отражение |
CRAN — Пакетная геометрия
Создает библиотеку Qhull qhull.org>
доступны в R так же, как в Octave и MATLAB. Кхулл
вычисляет выпуклые оболочки, триангуляции Делоне, полупространство
пересечения вокруг точки, диаграммы Вороного, дальний узел
Триангуляции Делоне и диаграммы Вороного дальней точки. Это
работает в 2D, 3D, 4D и более высоких измерениях. Он реализует
Алгоритм Quickhull для вычисления выпуклой оболочки. Кхулл не
поддерживать ограниченные триангуляции Делоне или создание сетки
невыпуклые объекты, но пакет включает некоторые функции R
которые позволяют это.
| Версия: | 0.4.6.1 |
| Зависит от: | Р (≥ 3.0.0) |
| Импорт: | магия, Rcpp, lpSolve, linprog |
| Связь с: | Ркпп, РкппПрогресс |
| Предлагает: | правописание, testthat, rgl, R.matlab, интерп |
| Опубликовано: | 04.07.2022 |
| Автор: | Jean-Romain Roussel [cph, ctb] (написал функцию tsearch с QuadTrees),
CB Barber [cph],
Кай Хабель [cph, авт. ],
Рауль Грасман [cph, авт.],
Роберт Б. Грамейси [cph, авт.],
Павел Можаровский [cph, авт.],
Дэвид С. Стерратт
[cph, авт, кре] |
| Сопровождающий: | Дэвид С. Стерратт |
| Отчеты об ошибках: | https://github.com/davidcsterratt/geometry/issues |
| Лицензия: | GPL (≥ 3) |
| URL-адрес: | https://davidcsterratt.github.io/geometry/ |
| ПотребностиКомпиляция: | да |
| Язык: | en-GB |
| Материалы: | НОВОСТИ |
| CRAN чеки: | результаты геометрии |
Документация:
| Справочное руководство: | геометрия.pdf |
| Виньетки: | Примеры Qhull |
Загрузки:
| Источник пакета: | геометрия_0.4.6. |