Геометрии — Таловская средняя школа

Решения задач онлайн по геометрии: геометрии калькулятор

alexxlab / 06.08.202309.05.2023 / Геометрии

Решение задач по геометрии по фото

Даже прилежный ученик может столкнуться со сложностями при подготовке уроков. Если вам требуется найти решение трудных задач по геометрии по фотографии, читайте эту статью. Из нее будет ясно, какие ресурсы и программы стоят внимания.

Содержание

Znanija — приложение, которое поможет решить уравнение по геометрии
Основные достоинства приложения для решения сложных задач по геометрии:
Photomath — быстрое выполнение задач по фотографии
Desmos Graphing Calculator — онлайн-калькулятор по геометрии
«Геометрия» — приложение, которое решает формулы по фото
Allcalc Geometry — бесплатная программа для помощи в решении задач
Видео-инструкция

Znanija — приложение, которое поможет решить уравнение по геометрии

На сайте znanija.com пользователи могут выкладывать фотографии с геометрическими задачками. Это русскоязычный сегмент проекта brainly.com. Он позволяет ученикам обращаться за квалифицированной помощью специалистов со всего мира.

Вы можете найти приложение «Знания» по запросу «Brainly» на платформе App Store или Google Play. Скачайте эту программу на свой телефон, чтобы пообщаться с экспертами и отличниками.

Основные достоинства приложения для решения сложных задач по геометрии:

Преимущества приложения:	Пояснения:
Здесь разбирающиеся в предмете люди могут оказать посильную помощь тем, кто в этом нуждается.	Набирайте за это баллы и получайте увеличение статуса. Чтобы увидеть размер вознаграждения, посмотрите на иконку в правом верхнем углу от вопроса. Наведите на нее курсор, и вы сможете узнать больше о системе баллов.
Если не хотите ожидать ответа, воспользуйтесь поиском по архиву.	В библиотеке «Знания» накопилось уже немало готовых решений задач. Наверняка там найдется и нужная вам информация.
В приложении есть встроенные покупки.	Однако цена годовой подписки на App Store сравнительно невелика.
Сообщество работает круглосуточно.	Пользователи проживают в разных часовых поясах, поэтому могут отвечать на вопросы в любое время.

Для записи геометрических функций и математических знаков работает клавиатура LaTeX.

В приложении можно получить помощь по всем базовым предметам, включая геометрию. Доступны такие языки как украинский, казахский, белорусский.

Чтобы вас не ввели в заблуждение, эксперты сообщества просматривают ответы к задачам и оставляют пометку «Проверенный». Если вы ее увидите, то можете полагаться на такой комментарий.

Ответы находятся очень быстро. Решение большинства задач по геометрии находится в течение первых 10 минут с момента загрузки фото в приложение. Однако на всякий случай постарайтесь скидывать снимки заранее. Даже если вы получите ответ сразу, у вас останется больше времени на то, чтобы понять объяснение и подготовиться к уроку.

Photomath — быстрое выполнение задач по фотографии

Некоторые задачи из тригонометрии можно решить с помощью приложения Photomath. Однако это касается примеров, записанных с помощью цифр и математических формул. Разобраться с рисунками геометрических фигур Photomath не сможет.

Чтобы скачать приложение для OS Android, переходите на площадку Google Play. Версия для Айфонов лежит на сайте App Store.

Desmos Graphing Calculator — онлайн-калькулятор по геометрии

Продвинутый графический калькулятор Десмос позволяет решать задачки по алгебре и геометрии на компьютере по фотографии. Аддон для Google Chrome можно установить в магазине расширений. Официальный сайт программы находится по адресу https://www.desmos.com/calculator?lang=ru.

Своя версия приложения для Android представлена и в магазине Google Play. Владельцы Айфонов и Айпадов могут загрузить программу из App Store. Это абсолютно бесплатный софт, который доступен любому желающему.

«Геометрия» — приложение, которое решает формулы по фото

Большинство выложенных в онлайн-магазинах приложений содержат лишь справочники формул. Хотя они могут быть полезны в процессе самоподготовки или в качестве шпоры, поручить им решение заданий не получится. Однако это не относится к бесплатной программе «Геометрия» от NaNSolvers.

Данный софт выложен в Google Market. Он зарабатывает на показах рекламы, которую пользователю требуется просмотреть для перехода к решению задач. Также есть возможность докупить PRO-версию, чтобы получить доступ к дополнительной информации на более сложные темы.

Как работать с этим софтом для решения сложных задач по предмету геометрия:

Просто перенесите рисунок из вашего учебника в приложение с помощью встроенных инструментов.
В результате программа выдаст решение, снабженное подробными пояснениями к каждому шагу.
Если приложение сразу же не запускается на русском языке, выберите его самостоятельно в «Настройках», или «Settings».

Программа справится с любой задачкой по геометрии. Если вы столкнулись с ошибкой, напишите разработчикам. Они продолжают работать над софтом, чтобы сделать его еще полезнее.

Это может быть полезным: Uchi.ru вход на сайт: Регистрация — Я родитель.

Allcalc Geometry — бесплатная программа для помощи в решении задач

Скачать программу можно с платформы Google Play. Она функционирует по аналогии с приложением «Геометрия». Из недостатков данного ПО стоит отметить невозможность выгрузить результат расчетов на онлайн-ресурс или сохранить его на телефон. Его придется либо запоминать, либо переписывать вручную.

Приложение вышло уже давно, однако по-прежнему поддерживается разработчиками. С изображениями оно не работает, однако вы можете перенести информацию с фотографии вручную. Это удобный калькулятор, в котором легко делать простые расчеты для строительства, при сборке мебели и в процессе выполнения других повседневных работ.

Видео-инструкция

В данном видео вы узнаете, каким образом делать решение разных задач по геометрии через приложение Brainly по фотографии.

‎App Store: Geometry solver ² — Геометрия

Описание

Удостоенный наград геометрический калькулятор с искусственным интеллектом. Решайте задачи на объем, площадь поверхности и периметр и многое другое!

Вам нужна помощь по геометрии? Вы попали по адресу! «Geometry solver» сертифицирован сайтом Educational App Store, а также мы заняли #11 место в категории «Математика» в конкурсе Mobile Learning in Action!

— Теперь с помощником AI, который будет сканировать и решать ваши геометрические задачи!
— Изучите 100+ геометрических фигур и изучите их свойства.
— Совершенствуйте свои навыки в геометрии с помощью пошаговых решений.
— Решайте задачи на объем и площадь поверхности и вычисляйте периметр геометрических фигур.
— Визуализируйте фигуры с помощью предварительного просмотра в реальном времени и смотрите, как меняется общая форма при изменении ее размеров.
— Поделитесь полным решением с одноклассниками или коллегами или просто проверьте формулы и теоремы для любой геометрической фигуры.
— Получайте самые быстрые результаты по математике мгновенно: от задачи до решения всего за несколько касаний!

Неважно, кто вы — родитель, которому нужно проверить домашнее задание ребенка, или студент, которому нужно написать эту домашнюю работу, теперь в вашем распоряжении помощник по геометрии!

Геометрия также имеет множество практических применений в повседневной жизни, инженерии или строительстве: например, измерение окружности, площади и объема. Идеально, когда вам нужно что-то построить или создать. Например, нужно рассчитать периметр двора, чтобы определить, сколько нужно ограждений, или рассчитать площадь поверхности стен, чтобы определить, сколько нужно краски.

Калькулятор вычисляет периметр и поверхность для двухмерных фигур, таких как:
— квадрат,
— прямоугольник,
— круг,
— треугольник,
— трапеция,
— тригонометрию,
— равносторонний треугольник,
— равнобедренные треугольник,
— прямой треугольник,
— эллипсис,
— концентрические круги,
— круговой сегмент,
— круговой сектор,
— кольцевой сектор,
— эллиптический сегмент,
— параллелограмм,
— Квадратная функция,
— Кубическая функция,
— ромб,
— по кругу и по окружности треугольника,
— салинон,
— парабола,
— крест,
— закругленный прямоугольник,
— шестеренка,
— сердце,
— спандрел,
— прямоугольник с вырезом,
— форма дома,
— воздушный змей,
— воздушный змей с прямым углом,
— полуквадратный воздушный змей и многие другие. ..

Это также поможет вам рассчитать площадь и объем трехмерных тел, таких как:
— конус,
— пирамида,
— сфера,
— куб,
— цилиндр,
— тор,
— прямоугольная призма,
— усечённый конус,
— кубоид,
— усеченная пирамида,
— бочка,
— асимметричный ствол,
— трапециевидная,
— паралеллограммная призмы,
— клин,
— эллиптический конус,
— Тетраэдр,
— Октаэдр,
— Додекаэдр,
— Икосаэдр,
— скошенный цилиндр,
— скошенная призма,
— скошенный конус,
— скошенный усеченный конус,
— усеченный эллиптический конус
— Треугольная призма,
— Фрустум,
— Правая призма,
— Шаровой сектор,
— Сферический сегмент,
— Шаровой слой,
— Сферический клин
— эллипсоид,
— тороид,
— призматоидный,
— эллиптический цилиндр,
— эллиптический параболоид,
— призма с регулярным основанием,
— полый цилиндр,
— прямоугольная труба,
— арка (мост),
— перекошенный кубоид,
— клиновидный кубоид,
— антипризма,
— капсула,
— бак — цилиндрический сегмент,
— бак — капсульный сегмент,
— полусфера,
— вырезанная треугольная призма,
— вырезанный куб,
— резервуар с усеченными конусами,
— цилиндрический сектор,
— конический сектор и многие другие. ..

Email: [email protected]
Educational App Store certificate: https://www.educationalappstore.com/app/geometry-solver
Mobile Learning in action: https://bestonlineuniversities.com/favorite-mobile-learning-apps/
Terms of Use (EULA): https://www.apple.com/legal/internet-services/itunes/dev/stdeula/

2 мая 2023 г.

Версия 3.4.0

— пошаговые решения для клина, правильной трапециевидной призмы, трапециевидной призмы, правильного параллелограмма и призмы с правильным основанием.
— 113 геометрических фигур!
— ИИ-помощник просканирует и решит вашу задачу по геометрии (или математике)!

Оценки и отзывы

Оценок: 48

Хорошее приложение

Добавьте пожалуйста титан в весы)

Вы можете добавить титан в настройках. Просто введите плотность и он появится в списке 😉

Спасибо!

Клевый калькулятор, регулярные обновление и добавления.

Спасибо 😉

Лучше не встречал

Лучшие!

Разработчик Rudolf Halmi указал, что в соответствии с политикой конфиденциальности приложения данные могут обрабатываться так, как описано ниже. Подробные сведения доступны в политике конфиденциальности разработчика.

Не связанные с пользователем данные

Может вестись сбор следующих данных, которые не связаны с личностью пользователя:

Конфиденциальные данные могут использоваться по-разному в зависимости от вашего возраста, задействованных функций или других факторов. Подробнее

Информация

Провайдер: Rudolf Halmi
Размер: 91,8 МБ
Категория: Образование
Возраст: 4+
Copyright: © Halmi.sk
Цена: Бесплатно

Сайт разработчика
Поддержка приложения
Политика конфиденциальности

Поддерживается

Другие приложения этого разработчика

Будьте впереди в геометрии: решайте задачи как профессионал с помощью более 1500 иллюстраций и рисунков

Поиски геометрии,
Проблемы, которые нужно решить, мы одержимы,
Творческое завоевание.

	Конечной целью может быть поощрение математических навыки мышления и решения проблем, а также воспитывать чувство общности среди тех, кто интересуется геометрией и математикой в более широком смысле.
	Геометрия: открытые задачи Задачи по геометрии с сайта gogeometry.com ожидают решения.
	Геометрия Проблемы — Визуальный указатель. Онлайн-образование, школа, колледж.
	Геометрическая задача 1537. Задача: можете ли вы найти недостающую площадь в параллелограмме, используя средние точки и точки пересечения?
	Геометрия Задача 1536. Откройте для себя силу средних точек: нахождение недостающих площадей в четырехугольниках.
	Геометрия Задача 1535. Взломайте код: вписанный круг в квадрат — вызов угла! Разгадать тайну.
	Геометрия Задача 1534: Головоломка для старших классов: касательные окружности, общая внешняя касательная и угловые головоломки!.
	Геометрия Задача 1533. Выявление взаимосвязей между углами и прямыми во внешнем прямоугольном треугольнике квадрата. Задача средней школы.
	Геометрия Задача 1532: взломать код геометрии Задача 1532: как найти угол в квадрате с касательной к полуокружности! — Вызов старшей школы.
	Геометрия Задача 1531. Узнай, как рассчитать длину хорды в окружности с пересечением диаметров и углом между диаметром и хордой — задача средней школы.
	Геометрия Задача 1530. Раскройте секреты геометрических углов: рассчитайте измерение угла в квадратной и прямоугольной фигуре сегодня! — Вызов старшей школы.
	Геометрия Задача 1529: разгадать тайну треугольников: нахождение недостающего угла с углами 100-50-30 градусов и длинами по Чевиану — задача средней школы.
	Геометрия Задача 1528. Взлом кода окружности: определение касательной и угла вписанной окружности в пределах 9Круговой сектор 0 градусов.
	Геометрия Задача 1527. Обнаружение скрытого угла: решение головоломки о двух пересекающихся кругах.
	Геометрия Задача 1526. Овладение геометрией Решение задачи. Найдите расстояние между двумя сторонами параллелограмма с помощью биссектрис и мер расстояния.
	Геометрия Задача 1525 и тематическая поэма. Раскрытие секретов равностороннего треугольника в геометрии прямоугольного треугольника: нахождение расстояния между серединами отрезков.
	Геометрия Задача 1524 и тематическая поэма. Раскройте тайну параллелограммов: узнайте длину отрезка между биссектрисами пересекающихся углов.
	Геометрия Задача 1523 и тематическая поэма. Узнайте, как рассчитать длину высоты в равнобедренном треугольнике — получите советы экспертов по геометрии прямо сейчас!.
	Геометрия Задача 1522 и тематическая поэма. Разгадка меры угла треугольника с медианой и удвоенной длиной стороны.
	Геометрия Задача 1521 и тематическая поэма. Раскройте секрет нахождения меры угла в треугольнике с двумя сторонами как диаметрами окружностей.
	Геометрия Задача 1520 и тематическая поэма. Определение расстояний в прямоугольнике с внешней точкой: задание по геометрии.
	Геометрия Задача 1519 и тематическая поэма. Определите длину сегмента параллелограмма, используя средние точки и параллельные линии.
	Геометрия Задача 1518 и тематическая поэма. Улучшите свои навыки геометрии: найдите количество сторон равноугольного многоугольника с внутренней точкой и углом, разделенным пополам.
	Геометрия Задача 1517 и тематическая поэма. Разблокировка длины стороны треугольника: решение с медианой и двумя углами. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1516 и тематическая поэма. Нахождение длины стороны равноугольного шестиугольника с заданными длинами трех сторон. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1515 и тематическая поэма. Освоение расчета расстояния треугольника: найдите расстояние от пересечения медиан до внешней линии. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1514 и тематическая поэма. Откройте для себя секрет нахождения расстояний в правильных шестиугольниках с помощью внутренних квадратов. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1513 и тематическая поэма. Решение основания в прямой трапеции с двойным углом и суммой двух Стороны. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1512 и тематическая поэма. Нахождение длины отрезка треугольника с медианой и чевианой с заданным отношением. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1511 и тематическая поэма. Нахождение высоты равнобедренного треугольника с помощью расстояний от точки на продолжении основания. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1510 и тематическая поэма. Конгруэнтность треугольников, периметр, измерение. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1509 и тематическая поэма. Конгруэнтность треугольников трапеции и квадрата, Измерение. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1508. Понимание геометрии треугольника: равнобедренный, равносторонний, четырехугольный, угловой. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1507. Понимание геометрии треугольника: двойные углы, высоты и измерения. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1506. Параллельные Лучи, Углы, Соответствующие, Чередующиеся. Уровень сложности: высокий Школа.
	Геометрия Задача 1505. Параллельные лучи, углы и биссектрисы, соответствующие, чередующиеся, сопряженные. Уровень сложности: средняя школа.
	Геометрия Задача 1504 и Стихотворение. Квадраты, Равносторонний треугольник, Параллельность, Угол. Уровень сложности: высокий Школа.
	Геометрия Задача 1503. Треугольник, Вписанная окружность, Касательная, Конгруэнтность, Перпендикуляр.
	Геометрия Задача 1502. Прямоугольный треугольник, вписанная окружность, внутренний радиус, среднее геометрическое двух внутренних радиусов, биссектриса угла, перпендикуляр, касательный четырехугольник.
	Геометрия Задача 1501. Квадрат, Внешняя точка, Конгруэнтные углы, Отрезок, Измерение.
	Геометрия Задача 1500. Окружность, Перпендикуляр, Касательная, Секущая, Вписанный четырехугольник, Параллель, Подобие, Измерение.
	Геометрия Задача 1499. Треугольник, Углы, Чевиана, Конгруэнтность, Равнобедренный, Равносторонний, Вспомогательная конструкция.
	Геометрия Задача 1498. Пересекающиеся окружности, Диаметр, Общая хорда, Секущая, Вписанный четырехугольник, Совпадающие прямые, Конциклические и коллинеарные точки.
	Геометрия Задача 1497. Треугольник, Поперечный, Одинаковое отношение, Пропорциональность, Равнобедренный, Двойной угол.
	Геометрия Задача 1496. Треугольник, равный, равнобедренный, двойной угол, 30 градусов.
	Геометрия Задача 1495. Окружность, параллельные хорды, угол 30 градусов, радиус в квадрате.
	Геометрия Задача 1494. Параллелограмм, Середины, Восьмиугольник, Площади.
	Геометрия Задача 1493. Четыре квадрата, параллелограмм, вспомогательные прямые.
	Геометрия Задача 1492. Прямоугольный треугольник, Высота, Центры наклона, Угол, Измерение.
	Геометрия Задача 1491. Вписанный четырехугольник, диагональ, вписанная окружность, угол, измерение.
	Геометрия Задача 1490. Треугольник, Чевиана, Вписанная окружность, Касательная, Измерение.
	Геометрия Задача 1489. Прямоугольный треугольник, биссектрисы угла, перпендикуляр, измерение.
	Геометрия Задача 1488. Прямоугольный треугольник, Высота, Вписанная окружность, Касательная, Измерение.
	Геометрия Задача 1487. Прямоугольный треугольник, высота, вписанная окружность, касательная, измерение.
	Геометрия Задача 1486. Прямоугольный треугольник, Высота, Вписанная окружность, Касательная, Измерение.
	Геометрия Задача 1485. Треугольник, Ортоцентр, Высота, Окружность, Диаметр, Касательная, Измерение.
	Геометрия Задача 1484. Прямоугольный треугольник, Высота, Вписанные окружности, Инрадиус, Измерение.
	Геометрия Задача 1483. Равнобедренный прямоугольный треугольник, эксцентр, перпендикуляр, измерение.
	Геометрия Задача 1482. Прямоугольный треугольник, Перпендикуляр, Двойной угол, Измерение.
	Динамическая геометрия 1481. Пять касательных или описанных четырехугольников, теорема Пито, конгруэнтность, пошаговая иллюстрация. ГеоГебра, iPad.
	Динамическая геометрия 1480. Японская теорема для циклического многоугольника, сангаку, триангуляции, непересекающихся диагоналей, суммы внутренних радиусов, инварианта, пошаговой иллюстрации. ГеоГебра, iPad.
	Динамическая геометрия 1479. Треугольник, Окружность, Биссектриса, Перпендикулярная биссектриса, хорда, конциклические точки, параллельные линии, пошаговая иллюстрация. ГеоГебра, iPad.
Перейти на страницу: Предыдущая \| 1 \| 10 \| 20 \| 30 \| 40 \| Далее

Бесплатные задачи и вопросы по геометрии с решениями

Бесплатные учебники по геометрии по таким темам, как биссектриса, центральные и вписанные углы, описанные окружности, закон синусов и свойства треугольников для решения задач с треугольниками. Также включены задачи по геометрии с подробными решениями на треугольники, многоугольники, параллелограммы, трапеции, пирамиды и конусы. Также включены уравнения полярных координат, преобразование и построение графиков. Также включены более сложные задачи по геометрии.

Задачи по геометрии

Треугольники

Проблемы треугольника. Задачи треугольника с подробными решениями.
Примеры конгруэнтных треугольников и задачи с решениями.
Примеры подобных треугольников и задачи с решениями. Определение и теоремы о подобных треугольниках, включая примеры и задачи с подробными решениями.
Задачи на равносторонние треугольники с решениями.
Равнобедренные треугольники Задачи с решениями.
Задачи на площадь и периметр прямоугольных треугольников с решением.
Задачи закона косинусов. Закон косинуса используется для решения текстовых задач.
Проблемы закона синусов. Закон синусов используется для решения текстовых задач.
Треугольник, вписанный в окружность — проблема с решением. Задача о вписанном прямоугольном треугольнике с подробным решением.
Окружность, касающаяся прямоугольного треугольника — задача с решением. Решите прямоугольный треугольник, все стороны которого касаются окружности. Представлена как проблема, так и ее подробное решение.

Круги

Задача о перекрывающихся кругах. Найдите площадь пересечения двух кругов: задача с подробным решением.
Задачи на секторы и круги. Задачи с подробными решениями, связанные с секторами и кругами.
Два квадрата и круг — задача с решением. Представлена задача с подробным решением на окружности, вписанной в один квадрат и описанной в другом.
Два круга и квадрат — задача с решением. Представлена задача с подробным решением на квадрате, вписанном в одну окружность и описанном в другую.

Четырехугольники

Проблемы с прямоугольниками. Задачи на прямоугольники на площадь, размеры, периметр и диагональ с подробными решениями.
Задачи по геометрии на квадратах. Квадратные задачи на площадь, диагональ и периметр с подробными решениями.
Задачи на параллелограмм. Текстовые задачи, связанные с параллелограммами, представлены вместе с подробными решениями.
Проблемы с трапецией. Задачи трапеций представлены вместе с подробными решениями.
Решите трапецию, зная ее основания и катеты.
Задачи на ромбы. Определение и свойства ромба представлены вместе с задачами с подробными решениями.

Полигоны

Проблемы с полигонами. Задачи, связанные с правильными многоугольниками.
площадь восьмиугольника — проблема с решением. Найдите длину одной стороны, периметр и площадь правильного восьмиугольника, зная расстояние между двумя противоположными сторонами (пролет).

Уголки

Углы в параллельных прямых и задачи о секущих. Задачи, связанные с параллельными прямыми и альтернативными и соответствующими углами.

3D-фигуры

Проблемы с объемом 3D-форм. Трехмерные фигуры, такие как призмы, объемные задачи с подробными решениями.
Сравните объемы трехмерных фигур. Задача на сравнение объемов конуса, цилиндра и полусферы.
Как построить усеченный конус?. Если отрезать верхнюю часть конуса плоскостью, перпендикулярной высоте конуса, получится усеченный конус. Как построить усеченный конус, зная радиус основания, радиус вершины и высоту?
Проблемы с конусом. Представлены задачи, связанные с площадью поверхности и объемом конуса, с подробными решениями.
Проблемы пирамиды. Задачи пирамиды, связанные с площадью поверхности и объемом, с подробными решениями.
Теорема о перехвате и задачи с решениями.

Учебники по геометрии

Круги

Части круга.
Касательные к кругу с вопросами и решениями.
Пересекающиеся вопросы по теореме о секущей и касательной с решениями.
Вписанные и центральные углы в окружности. На примерах и задачах обсуждаются определения и теоремы, относящиеся к вписанным и центральным углам в окружности.
Вопросы по теореме о пересекающихся хордах с решениями.
Пересекающиеся вопросы по теореме о секущих с решениями.
Теорема Фалеса о полуокружности с вопросами и решениями
Центральные и вписанные углы — Интерактивный апплет. Свойства центрального и вписанного углов, пересекающих общую дугу окружности, исследуются с помощью интерактивного геометрического апплета.

Треугольники

Треугольники. Определения и свойства треугольников в геометрии.
Задачи на площадь треугольников с решениями. Используйте различные формулы площади треугольника для вычисления площадей треугольников и фигур.
Свойства треугольников. Апплет используется для интерактивного изучения свойств треугольников.
Простые доказательства теоремы Пифагора и задачи с решениями.
Закон синусов — неоднозначный случай — апплет. Неоднозначный случай закона синусов при решении задач треугольника исследуется интерактивно с помощью апплета.
Высоты, медианы и биссектрисы треугольника.
Треугольники, биссектрисы и окружности — интерактивный апплет. Свойства серединных перпендикуляров в треугольниках и описанных окружностях исследуются в интерактивном режиме с помощью Java-апплета геометрии.

Четырехугольники

Четырехугольники, свойства и формулы.
Воздушный змей Вопросы с решениями.

Уголки

Углы в геометрии. Определения и свойства углов в геометрии, включая вопросы с решениями.
Углы параллельных прямых и секущих. Этот урок посвящен соответствующим внутренним и внешним углам, образованным при пересечении поперечной линией двух параллельных прямых.
Система координат широты и долготы.
Найдите широту и долготу GPS с помощью карты Google.

Полигоны

Правильные многоугольники. Учебник по разработке полезных формул площади правильных многоугольников.
Симметрия вращения в правильных многоугольниках. Интерактивный учебник для изучения симметрии вращения правильных многоугольников и получения формулы для угла поворота.

Другие темы по геометрии

Вращательная симметрия геометрических фигур. Интерактивный учебник для изучения вращательной симметрии геометрических фигур.
Перпендикулярные биссектрисы с решениями.

Формулы

Таблица формул для геометрии. Приведены таблицы формул по геометрии, относящиеся к площади и периметру треугольников, прямоугольников, окружностей, секторов и объему шара, конуса, цилиндра.

Проблемы с геометрией

Две касательные окружности и квадрат — задача с решением. Вам дан периметр маленького круга, чтобы найти радиус большего круга, вписанного в квадрат.
Воздушный змей внутри квадрата — проблема с решением. Задача о нахождении синуса угла воздушного змея внутри квадрата.
Решить треугольник по периметру, высоте и углу — задача с решением.
Решить прямоугольный треугольник по периметру и высоте — задача с решением.
Треугольник и касательная окружность — проблема с решением. Задача о треугольнике, касательном в двух точках к окружности, представлена вместе с подробным решением.
Три касательные окружности — проблема с решением. Вместе с решением представлена задача о трех касательных окружностях.
Равносторонний треугольник внутри квадрата — задача с решением. Вместе с подробным решением представлена задача о доказательстве равностороннего треугольника внутри квадрата.
Квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник — Задача с решением. Найдите сторону квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, зная стороны треугольника.

Полярные координаты

Нанесите точки в полярных координатах. Интерактивное руководство о том, как строить точки, заданные их полярными координатами.
Графические полярные уравнения. Это руководство по построению полярных уравнений от руки или наброску, которое поможет вам глубже понять эти уравнения. Приведено несколько примеров с подробными решениями.
Преобразование полярных координат в прямоугольные и наоборот. Представлены задачи с подробными решениями, где полярные координаты преобразуются в прямоугольные координаты и наоборот.
Преобразование уравнения из прямоугольной в полярную форму. Задачи, в которых уравнения в прямоугольной форме преобразуются в полярную форму с использованием соотношения между полярными и прямоугольными координатами, представлены вместе с подробными решениями.
Преобразование уравнения из полярной в прямоугольную форму. Уравнения в полярной форме преобразуются в прямоугольную форму, используя соотношение между полярной и прямоугольной координатами. Представлены задачи с подробным решением.

Геометрические преобразования

Отражение через линию. Свойства отражения фигур через линию исследуются с помощью апплета геометрии.
Вращение геометрических фигур.

Решить задачу онлайн с решением бесплатно по геометрии: геометрии калькулятор

alexxlab / 26.07.202301.06.2023 / Геометрии

Полезные факты для решения задач по геометрии

Анна Малкова

Полезные факты для решения задач ЕГЭ по геометрии (ЕГЭ по математике, Часть 2, профильный уровень).

Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии (задача 16, Профильный уровень)?

Школьные учебники геометрии (Л. С. Атанасян, А. Г. Мерзляк…) неплохие. Даже лучше, чем по алгебре. Однако в них нет задач из вариантов ЕГЭ. Непонятно, как по ним готовиться к ЕГЭ, на что обращать внимание. Да и нет времени в 11-м классе заново читать учебник и решать все задачи подряд.

В освоении планиметрии важен правильный подход. Многие начинают с реальных задач ЕГЭ, а когда не получается, чувствуют разочарование. Не стоит так делать.

Первый этап: выучите теорию. Определения, теоремы, признаки. Основные формулы. Например, для площади треугольника нам нужны 5 формул. Помните их? Все они применяются в решении задач. Теоремы синусов и косинусов. Свойства высот, медиан и биссектрис. И многое другое.

В этом вам поможет Полный справочник Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Именно то, что нужно для решения задач ЕГЭ. Ничего лишнего. А цветные картинки запоминаются сами собой.

И конечно, практика! Решаем задачи ЕГЭ. Сначала – Часть 1, задачи 3 и 6. Не меньше 50 задач первой части ЕГЭ по теме «Планиметрия» надо решить, чтобы выучить и уметь применять теоремы и формулы планиметрии.

Изучить планиметрию и потренироваться в решении задач можно на нашем Онлайн-курсе.

Задачи, решения, видеоразбор.

Отлично, освоили задачи по планиметрии 1 части Профильного ЕГЭ по математике. Пора переходить ко второй! К задаче 16. Но не будем спешить. Пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике – доказательство. А вы знаете, что пункт (а) нужен не только для того, чтобы вы получили один из трех баллов за эту задачу? Что во многих задачах ЕГЭ №16 пункт (а) содержит идеи для решения пункта (б). Намеки на то, как решить задачу полностью. Надо научиться доказывать всевозможные утверждения планиметрии.
Мы публикуем для вас новый и ценный материал — доказательство полезных фактов. Это и повторение всего курса (7-9 класс), и «заготовки» для многих задач ЕГЭ.

Приведем список из 32 полезных фактов. Докажите их самостоятельно и проверьте решения по ссылкам.

Для большинства этих полезных фактов приведены примеры решения задач и первой, и второй части Профильного ЕГЭ по математике.

Углы, треугольники, четырехугольники

1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

2. Свойство медианы прямоугольного треугольника.

3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма.

4. Площадь выпуклого четырехугольника

5. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

6. Свойства равнобедренной трапеции

7. Замечательное свойство трапеции.

8. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

9. Свойства биссектрис треугольника.

10. Свойства медиан треугольника

11. Свойство высот треугольника.

Окружности

12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

13. Теорема о пересекающихся хордах.

14. Теорема о серединном перпендикуляре к хорде.

15. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

16. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

17. Угол между касательной и хордой.

18. Теорема о секущей и касательной.

19. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

20. Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

21. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен .

22. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

23. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и , то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и

24. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

25. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

26. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.

27. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.

28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен , то угол KLM .

30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.

31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна .

32. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.

*При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Полезные факты для решения задач по геометрии» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

«Классические» схемы для решения задач по геометрии

Анна Малкова

Многие старшеклассники считают, что геометрия сложнее алгебры. «В алгебре все просто, — говорят они. – Есть способы решения уравнений. Есть типы задач – на движение, на работу, на проценты – и для каждой свои приемы решения. А задачи геометрии друг на друга не похожи».

Так ли это? Может быть, и в планиметрии есть схемы, на которых строится множество задач?

Да, есть. Я называю их «классические схемы планиметрии». Учимся узнавать их и использовать в задачах! И возможно, что на ЕГЭ вам встретится задача, «ключиком» к которой будет одна из этих схем. Конечно, на ЕГЭ эти утверждения надо доказывать.

Вот 5 полезных схем для решения задач по планиметрии.

Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.

H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК

1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если

Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
, где R – радиус описанной окружности .

Схема 2. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD – в точках С и D, причем МА > МВ, МD > МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны.

Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.

Схема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.

Схема 5. Лемма о трезубце (трилистнике)

И несколько лайфхаков для сдающих ЕГЭ.

1) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Менелая и другую экзотику – вам это и не понадобится. Только то, что есть в нашем Супер-Справочнике . И полезные факты. Зато знать это надо наизусть.

2) Когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур – у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. В каких формулах он встречается? – Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.

3) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу – а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы треугольника. А вы их знаете?

4) Как научиться решать задачи по геометрии? Если у вас маловато опыта – не стоит начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – задачи на доказательство. Тем более что в реальной задаче 16 из варианта ЕГЭ первый пункт – доказательство.

5) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. А это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым. Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б).

6) Среди стратегий подготовки к ЕГЭ есть эффективные. А есть откровенно проигрышные.

Пример плохой стратегии – когда старшеклассник принимает решение заниматься только алгеброй и считает планиметрию и тем более стереометрию слишком сложными для себя. И вот на ЕГЭ попадается сложное неравенство или «экономическая» задача. И всё, баллов не хватает! Тех самых баллов за планиметрию и стереометрию, которые можно было взять, не хватает для поступления!

Чтобы такого не случилось – занимаемся планиметрией как можно больше.

7) Стоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице ««Классические» схемы для решения задач по геометрии» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.05.2023

мгновенных математических задач для бесплатного скачивания! Точные пошаговые ответы с объяснением, чтобы помочь с домашним заданием.

Решение математических задач с помощью калькулятора ИИ и репетиторов

Мы можем решить:

АлгебраГеометрияКоординатная геометрияИсчислениеВероятность и статистикаЛогика и другие

Шаги решения . Банк предлагает простые проценты по ставке 11,5% в качестве процентной ставки на 4 года. Сколько должен будет заплатить Альберт по истечении четырех лет?

Эльза вкладывает 1000 фунтов стерлингов на счет, на который каждый год выплачиваются 2% простых процентов. Сколько процентов она заработает через 5 лет?

Привет, я Гаут Бот. Позвольте мне помочь вам с этой проблемой.

Это задача простого интереса. Мы будем использовать I = P * i * t. Теперь, каковы значения P, i и t?

P = 1000, i = 2%, t = 5

Отличная работа! Теперь вставьте числа в выражение. Какой интерес в итоге?

I = 100

Поздравляем!

Решение ИИ

Решайте математические задачи, используя наши передовые алгоритмы и передовые технологии ИИ.

Сделайте снимок и решите мгновенно, получите ответ за 3 секунды.

Подробные и подробные объяснения шаг за шагом.

Охватывает все типы задач, включая текстовые задачи и геометрию.

Репетитор ИИ готов ответить на ваш вопрос, умный и полезный.

Живой репетитор

Тысячи реальных репетиторов доступны круглосуточно и без выходных. Получите решение за считанные минуты. Начиная с

0,5 доллара США за услугу вопросов и ответов.

Обучение в режиме реального времени и совместная работа
Индивидуальные занятия с экспертом
Подберите идеального репетитора для выбранного вами предмета

Качественно, эффективно и приватно

Знакомьтесь Наши репетиторы

Кристиана Э.

Преподавание от 10 лет
Самый популярный репетитор
Точность 99%

Эмили М.

Решено более 3000 вопросов
Преподавание более 10 лет
Эксперт по геометрии

Лукас К.

Инженер-механик
Доктор прикладной математики 9004 9
Репетитор с самым высоким рейтингом

Анна Л.

Айви Выпускник лиги
Эксперт по алгебре
Репетитор на полную ставку

Кристиана Э.

Преподавание от 10 лет
Самый популярный репетитор
Точность 99%

Эмили М.

Решила 3000+ вопросов
Преподавание от 10 лет
Эксперт по геометрии

Лукас К.

Инженер-механик 9 0049
Доктор прикладной математики
Репетитор с самым высоким рейтингом

Анна Л.

Выпускник Лиги Плюща
Эксперт по алгебре
Репетитор

Кристиана Э.

Преподавание от 10 лет
Самое лучшее популярный репетитор
Точность 99%

Эмили М.

Решено более 3000 вопросов
Преподавание более 10 лет
Эксперт по геометрии

Лукас К.

Инженер-механик
Доктор прикладной математики
Верх репетитор с рейтингом

Анна Л.

Выпускница Лиги Плюща
Эксперт по алгебре
Репетитор, работающий полный рабочий день

Программа Gauthmath помогла миллионам студентов.

Мы здесь для вас!

6 лучших приложений для решения математических задач

Выполнение домашнего задания по математике может быть непростой задачей, но с нужными инструментами под рукой это не обязательно. Мы составили список исключительных приложений для решения математических задач, которые могут превращать сложные уравнения в понятные шаги, делая домашнюю работу по математике менее сложной задачей.

Эти приложения для решения математических задач охватывают широкий спектр математических тем, от основополагающих принципов алгебры и тригонометрии до сложных вычислений и статистики. Они предлагают исчерпывающие инструкции, которые помогут учащимся ориентироваться в математических задачах, обеспечивая глубокое и эффективное понимание предмета.

Способы использования учащимися приложений для решения математических задач

Приложения для решения математических задач могут быть ценными инструментами для учащихся при эффективном использовании. Вот несколько способов, которыми они могут использовать эти приложения для улучшения своего учебного процесса:

1. Практика и закрепление: Учащиеся могут использовать эти приложения, чтобы практиковаться в решении математических задач и укреплять свое понимание концепций. Вводя задачи и проверяя их решения, учащиеся могут обрести уверенность в своих математических способностях.

2. Пошаговое руководство: Многие приложения предлагают пошаговые решения, которые могут быть полезны учащимся, у которых возникли проблемы с определенной концепцией. Эта функция может помочь им понять процесс, связанный с решением проблемы, и определить, где они могли допустить ошибку.

3. Изучение новых понятий: Приложения для решения математических задач часто охватывают широкий круг тем и могут познакомить учащихся с новыми понятиями. Исследуя различные типы задач, учащиеся могут расширить свои математические знания.

4. Тайм-менеджмент: Решение задач с помощью приложения может сэкономить время, особенно при повторяющихся вычислениях или при проверке домашней работы. Студенты могут использовать это дополнительное время для изучения других предметов или решения более сложных математических задач.

5. Подготовка к экзаменам: Приложения для решения математических задач могут быть полезными инструментами для подготовки к экзаменам, предлагая практические задачи и пояснения, чтобы помочь учащимся лучше понять материал. Это может привести к лучшей успеваемости на экзаменах.

6. Совместное обучение: Учащиеся могут использовать эти приложения для совместной работы над проблемами, обсуждения решений и обучения друг у друга. Это может способствовать более глубокому пониманию материала и развитию навыков решения проблем.

7. Доступность: Для учащихся с ограниченными возможностями обучения или трудностями в математике эти приложения могут предоставить дополнительную поддержку и другой подход к обучению. Такие функции, как преобразование текста в речь или наглядные пособия, могут сделать математику более доступной для всех учащихся.

Помните, хотя приложения для решения математических задач могут быть полезными, они не должны заменять учителя или репетитора. Для учащихся важно использовать эти приложения ответственно и в сочетании с традиционными методами обучения, чтобы развить всестороннее понимание математики.

Для веб-сайтов, предлагающих помощь в выполнении домашних заданий по математике, ознакомьтесь с лучшими инструментами для решения домашних заданий по математике для учащихся.

Лучшие приложения для решения математических задач

1. Mathway Mathway

Mathway — это приложение для решения задач, которое включает расширенные математические калькуляторы для алгебры, построения графиков и исчисления. Просто введите свою математическую задачу или наведите камеру своего устройства и сфотографируйте ее, и приложение мгновенно сгенерирует пошаговые решения.

Mathway также включает функцию преобразования голоса в текст, которая позволяет вам произнести свою математическую задачу и преобразовать ее в текст.

Существует также раздел, где учащиеся могут получить доступ к примерам решенных математических задач. Студенты могут просто ввести математическую задачу или использовать категории под окном поиска, чтобы просмотреть эти примеры. Они также могут использовать колонку «Популярные проблемы» справа для быстрого доступа к примерам.

Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.

2. Microsoft Math Solver

Microsoft Math Solver предлагает бесплатные пошаговые инструкции, которые помогут вам с домашним заданием по математике. Он охватывает различные темы от арифметики до продвинутой алгебры и исчисления. Это работает просто: вы можете ввести свою математическую задачу, отсканировать математическую фотографию или написать ее от руки, Microsoft Math Solve мгновенно распознает ее и предоставит вам пошаговое объяснение для ее решения, включая интерактивные графики, аналогичные математические задачи со всего Интернета и онлайн видео уроки.

Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: бесплатно.

3. Cymath

Cymath — это приложение для решения математических задач для учащихся разных классов и уровней подготовки. Учащиеся могут либо напечатать свои математические задачи, либо сфотографировать их и позволить приложению решать их шаг за шагом.

Математические темы включают: алгебру (например, решение уравнений, разложение на множители, логарифмы, экспоненты, комплексные числа, квадратные уравнения, тригонометрию и т. д.), исчисление (например, правило частных, цепное правило, u-подстановку, интегрирование по частям, интегрирование частичной дробью, тригонометрической подстановкой и т. д.), а также построение графиков (например, построение графиков, точки пересечения, асимптоты, домены, диапазоны и т. д.) и т. д.

Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.

4. Gaumath

Gaumath — это приложение для решения математических задач, которое помогает находить решения сложных математических уравнений. Охватываемые темы по математике включают математические задачи, функции, геометрию, тригонометрию, исчисление, статистику, матрицу и логику.

Помимо пошаговых объяснений, Gaumath также предлагает онлайн-репетиторов по математике 24/7. Просто сфотографируйте свою математическую задачу с помощью приложения для решения домашних заданий по математике и мгновенно получите доступ к пошаговым решениям.

Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.

5. Photomath

Photomath — еще одно мощное приложение для решения математических задач. Он предлагает пошаговые объяснения математических задач, охватывающих различные темы, от геометрии до текстовых задач. Эти пояснения проиллюстрированы интерактивными графиками и несколькими методами решения.

Это приложение для решения математических задач также включает расширенный научный калькулятор, облегчающий сложные математические расчеты. Основные математические темы: числа и количество, функции, алгебра, тригонометрия и углы, последовательности, исчисление и другие.

Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.

6. MathPapa

MathPapa поможет вам шаг за шагом решать задачи по алгебре. В частности, это может помочь вам найти решения линейных уравнений и квадратных уравнений, линейных и квадратных неравенств, графических уравнений, коэффициентов квадратных выражений, систем двух уравнений, пошагового порядка операций и многого другого.

Что означает в геометрии дуга: что такое дуга вниз(в геометрии)

alexxlab / 23.07.202324.04.2023 / Геометрии

Как в геометрии обозначается пересечение?

В тексте пересечение прямых обозначают символом ∩.

Что означает A в геометрии?

— Вторая группа — обозначения логических операций, составляющая синтаксическую основу геометрического языка. А(А`, А») – точка А задана на комплексном чертеже горизонтальной и фронтальной проекциями; α(А, b) – плоскость α задана прямой b и точкой А. А`≡ В` – горизонтальные проекции точек А и В совпадают.

Что значит знак дуги в геометрии?

Дуга окружности. Слово «дуга» иногда заменяется знаком . Дуга обозначается двумя или тремя буквами, из которых две ставятся на концах дуги, а третья — у какой-нибудь точки дуги. На чертеже 88 обозначены две дуги: АСВ и ADB. В том случае, когда дуга меньше полуокружности, она обычно обозначается двумя буквами.

Что означает знак є в геометрии?

этот знак значит принадлежит. Например точка О принадлежит отрезку АВ.

Что означает буква H в геометрии?

Линии уровня обозначают: h — горизонталь, f — фронталь, p — профильная прямая. Для прямых используют также следующие обозначения: (АВ) — прямая, проходящая через точки А и В; IABI — длина отрезка АВ (расстояние между точками А и В).

Какие знаки есть в геометрии?

К самым распространённым относятся:

Плюс: +
Минус: −
Знаки умножения: ×, · (в программировании также *)
Знаки деления: :, ∶, /, ∕, ÷
Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
Знак пропорциональности: ∝
Скобки (для определения порядка операций и др.): ( ), [ ], { }
Среднее арифметическое〈〉, ̅

Что означает знак подковы в геометрии?

Дуга вниз в геометрии— знак пересечения.

Как обозначается прямая в геометрии?

С помощью этих фигур мы определим все остальные геометрические фигуры, а точку и прямую можем попытаться только представить: точку — как что-то бесконечно малое, а прямую — как что-то бесконечно простирающееся в обе стороны. Точки обозначаются большими латинскими буквами, прямые обозначаются малыми латинскими буквами.

Как обозначается луч в геометрии?

Точка начала луча разделяет прямую на две части. Обычно луч обозначают малой латинской буквой (например, луч h), либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — какую-нибудь точку на луче (например, луч АО).

Как обозначается плоскость в геометрии?

Чтобы обозначить плоскость на письме, традиционно используются маленькие греческие буквы, например, α, γ или π . Если нам нужно графическое отображение плоскости, то обычно для этого используется замкнутое пространство произвольной формы или параллелограмм.

Как называется плоскость проекции как они обозначаются?

Вертикальная плоскость, расположенная перед нами, называется фронтальной плоскостью проекций и обозначается латинской буквой V (вэ). Под прямым углом к фронтальной плоскости располагается горизонтальная плоскость проекций, которая обозначается латинской буквой Н (аш).

Что такое плоскость в стереометрии?

Плоскость – основные понятия, обозначения и изображение. Мы уже имеем представление о точке и прямой на плоскости. Если поместить плоскость, на которой изображены точки и прямые, в трехмерное пространство, то мы получим точки и прямые в пространстве.

Что называется Планиметрией?

Планиме́трия (от лат. planum — «плоскость», др. -греч. μετρεω — «измеряю») — раздел евклидовой геометрии, изучающий двумерные (одноплоскостные) фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в пределах одной плоскости: треугольники, окружности, параллелограммы и т.

Что такое теорема и аксиома?

Определение. Доказательство – рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство. Теорема – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и требующее доказательства. … Аксиома – утверждение, устанавливающее некоторое свойство и принимаемое без доказательства.

Модуль pygame.draw – геометрические примитивы.

Урок 3

Функции модуля pygame.draw рисуют геометрические примитивы на поверхности – экземпляре класса Surface. В качестве первого аргумента они принимают поверхность. Поэтому при создании той или иной поверхности ее надо связать с переменной, чтобы потом было что передать в функции модуля draw.

Поскольку мы пока используем только одну поверхность – главную оконную, то ее будем указывать в качестве первого параметра, а при создании свяжем с переменной:

import pygame as pg
import sys
 
sc = pg.display.set_mode((300, 200))
 
# здесь будут рисоваться фигуры
 
pg.display.update()
 
while 1:
    for i in pg.event.get():
        if i.type == pg.QUIT:
            sys.exit()
    pg.time.delay(1000)

В большинстве случаев фигуры прорисовывают внутри главного цикла, так как от кадра к кадру картинка на экране должна меняться. Поэтому на каждой итерации цикла в функции модуля draw передаются измененные аргументы (например, каждый раз меняется координата x).

Однако у нас пока не будет никакой анимации, и нет смысла перерисовывать фигуры на одном и том же месте на каждой итерации цикла. Поэтому создавать примитивы будем в основной ветке программы. На данном этапе цикл while нужен лишь для того, чтобы программа самопроизвольно не завершалась.

После прорисовки, чтобы увидеть изменения в окне игры, необходимо выполнить функцию update() или flip() модуля display. Иначе окно не обновится. Рисование на поверхности – одно, а обновление состояния главного окна – другое. Представьте, что в разных местах тела главного цикла на поверхности прорисовываются разные объекты. Если бы каждое такое действие приводило к автоматическому обновлению окна, то за одну итерацию оно обновлялось бы несколько раз. Это приводило бы как минимум к бессмысленной трате ресурсов, так как скорость цикла связана с FPS.

Итак, первый аргумент функций рисования – поверхность, на которой размещается фигура. В нашем случае это будет sc. Вторым обязательным аргументом является цвет. Цвет задается в формате RGB, используется трехэлементный целочисленный кортеж. Например, (255, 0, 0) определяет красный цвет.

Далее идут специфичные для каждой фигуры аргументы. Последним у большинства является толщина контура.

Все функции модуля draw возвращают экземпляры класса Rect – прямоугольные области, имеющие координаты, длину и ширину. Не путайте функцию rect() модуля draw и класс Rect, это разные вещи.

Начнем с функции rect() модуля draw:

pygame.draw.rect(sc, (255, 255, 255), 
                 (20, 20, 100, 75))
pygame.draw.rect(sc, (64, 128, 255), 
                 (150, 20, 100, 75), 8)

Если указывается толщина контура (последний аргумент во второй строке), то прямоугольник будет незаполненным, а цвет определит цвет рамки. Третьим аргументом является кортеж из четырех чисел. Первые два определяют координаты верхнего левого угла прямоугольника, вторые – его ширину и высоту.

Следует отметить, что в функцию draw. rect() и некоторые другие третьим аргументом можно передавать не кортеж, а заранее созданный экземпляр Rect. В примере ниже показан такой вариант.

Обычно цвета выносят в отдельные переменные-константы. Это облегчает чтение кода:

WHITE = (255, 255, 255)
BLACK = (0, 0, 0)
GRAY = (125, 125, 125)
LIGHT_BLUE = (64, 128, 255)
GREEN = (0, 200, 64)
YELLOW = (225, 225, 0)
PINK = (230, 50, 230)
 
r1 = pygame.Rect((150, 20, 100, 75))
 
pygame.draw.rect(sc, WHITE, (20, 20, 100, 75))
pygame.draw.rect(sc, LIGHT_BLUE, r1, 8)

Чтобы нарисовать линию, а точнее – отрезок, надо указать координаты его концов. При этом функция line() рисует обычную линию, aaline() – сглаженную (толщину для последней указать нельзя):

pygame.draw.line(sc, WHITE, 
                 [10, 30], 
                 [290, 15], 3)
pygame.draw.line(sc, WHITE, 
                 [10, 50], 
                 [290, 35])
pygame.draw.aaline(sc, WHITE, 
                   [10, 70], 
                   [290, 55])

Координаты можно передавать как в виде списка, так и кортежа.

Функции lines() и aalines() рисуют ломанные линии:

pygame.draw.lines(sc, WHITE, True,
                  [[10, 10], [140, 70],
                   [280, 20]], 2)
pygame.draw.aalines(sc, WHITE, False,
                    [[10, 100], [140, 170],
                     [280, 110]])

Координаты определяют места излома. Количество точек может быть произвольным. Третий параметр (True или False) указывает замыкать ли крайние точки.

Функция polygon() рисует произвольный многоугольник. Задаются координаты вершин.

pygame.draw.polygon(sc, WHITE, 
                    [[150, 10], [180, 50], 
                     [90, 90], [30, 30]])
pygame.draw.polygon(sc, WHITE, 
                    [[250, 110], [280, 150], 
                     [190, 190], [130, 130]])
pygame.draw.aalines(sc, WHITE, True, 
                    [[250, 110], [280, 150], 
                     [190, 190], [130, 130]])

Сглаженная ломаная здесь повторяет контур многоугольника, чем сглаживает его ребра.

Так же как в случае rect() для polygon() можно указать толщину контура.

Функция circle() рисует круги. Указывается центр окружности и радиус:

pygame.draw.circle(sc, YELLOW, 
                   (100, 100), 50)
pygame.draw.circle(sc, PINK, 
                   (200, 100), 50, 10)

В случае эллипса передается описывающая его прямоугольная область:

pygame.draw.ellipse(sc, GREEN, 
                    (10, 50, 280, 100))

Наконец, дуга:

pi = 3.14
pygame.draw.arc(sc, WHITE,
                (10, 50, 280, 100),
                0, pi)
pygame.draw.arc(sc, PINK,
                (50, 30, 200, 150),
                pi, 2*pi, 3)

Указывается прямоугольник, описывающий эллипс, из которого вырезается дуга. Четвертый и пятый аргументы – начало и конец дуги, выраженные в радианах. Нулевая точка справа.

На данном этапе мы уже готовы создать анимацию. Никакого движения объектов на экране монитора нет. Просто от кадра к кадру изменяются цвета пикселей экрана. Например, пиксель с координатами (10, 10) светится синим цветом, в следующем кадре синим загорается пиксель (11, 11), в то время как (10, 10) становится таким же как фон. В следующем кадре синей будет только точка (12, 12) и так далее. При этом человеку будет казаться, что синяя точка движется по экрану по диагонали.

Суть алгоритма в следующем. Берем фигуру. Рисуем ее на поверхности. Обновляем главное окно, человек видит картинку. Стираем фигуру. Рисуем ее с небольшим смещением от первоначальной позиции. Снова обновляем окно и так далее.

Как «стереть» старую фигуру? Для этого используется метод fill() объекта Surface. В качестве аргумента передается цвет, т. е. фон можно сделать любым, а не только черным, который задан по-умолчанию.

Ниже в качестве примера приводится код анимации круга. Объект появляется с левой стороны, доходит до правой, исчезает за ней. После этого снова появляется слева. Ваша задача написать код анимации квадрата, который перемещается от левой границе к правой, касается ее, но не исчезает за ней. После этого возвращается назад – от правой границы к левой, касается ее, опять двигается вправо. Циклы движения квадрата повторяются до завершения программы.

import pygame
import sys
 
FPS = 60
WIN_WIDTH = 400
WIN_HEIGHT = 100
WHITE = (255, 255, 255)
ORANGE = (255, 150, 100)
 
clock = pygame.time.Clock()
sc = pygame.display.set_mode(
    (WIN_WIDTH, WIN_HEIGHT))
 
# радиус будущего круга
r = 30
# координаты круга
# скрываем за левой границей
x = 0 - r
# выравнивание по центру по вертикали
y = WIN_HEIGHT // 2
 
while 1:
    for i in pygame.event.get():
        if i.type == pygame.QUIT:
            sys.exit()
 
    # заливаем фон
    sc.fill(WHITE)
    # рисуем круг
    pygame.draw.circle(sc, ORANGE,
                       (x, y), r)
    # обновляем окно
    pygame.display.update()
 
    # Если круг полностью скрылся
    # за правой границей,
    if x >= WIN_WIDTH + r:
        # перемещаем его за левую
        x = 0 - r
    else:  # Если еще нет,
        # на следующей итерации цикла
        # круг отобразится немного правее
        x += 2
 
    clock. tick(FPS)

Курс с примерами решений практических работ:
pdf-версия, android-приложение

Что такое дуга в математике? Определение, угол, длина, окружность, примеры

Что такое дуга в математике?

В математике дуга определяется как часть границы окружности или кривой. Его также можно назвать открытой кривой.

Граница круга — это периметр или расстояние вокруг круга, также известное как длина окружности. Итак, дуга — это расстояние между любыми двумя точками, проведенными по его окружности.

Поясним это на примере:

На этом рисунке расстояние между точками A и B представляет собой дугу, проведенную по окружности окружности. Вы можете назвать это дугой AB. Дуга обозначается символом «⌢». Итак, дугу AB можно записать в виде $\widehat{AB}$. Вы также можете записать его как $\widehat{BA}$. Порядок точек не имеет значения.

Связанные игры

Как построить дугу

Чтобы построить дугу, вам понадобится либо хорда, либо центральный угол.

Хорда — это отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Центральный угол — это угол между любыми двумя радиусами окружности. Например, центральный угол на диаграмме между радиусами QA и QB, как показано ниже, равен 60°.

Типы дуг

Вы, должно быть, заметили, что дуга делит окружность на две части.

У одного расстояние между двумя конечными точками меньше (малая дуга), а у другого расстояние больше (большая дуга).

Если не указано иное, дуга всегда будет считаться второстепенной дугой. Чтобы указать большую дугу, вы можете взять третью точку на дуге окружности и использовать три буквы в имени.

На приведенной выше диаграмме $\widehat{AB}$ — это малая дуга, а $\widehat{ADB}$ — большая дуга.

Дуга полукруга

Полуокружность — это дуга, концы которой совпадают с диаметром окружности.

Как найти длину дуги?

Вы можете рассчитать длину дуги, используя приведенную ниже формулу.

Длина дуги окружности = $\frac{y}{360}$ ✕ $2 π r$

Где r = радиус окружности

y = угол (в градусах), образуемый дугой в центре круга

360 = угол одного полного оборота.

Значение $π$ (пи) = 3,14

Решенные примеры

Пример 1: Вычислить длину дуги, образующей угол 60 градусов в центре круга радиусом 5 см.

Решение : Мы знаем, что формула длины дуги $\frac{y}{360} ✕ $2 π r$

В этом примере

y = 60 и r = 5

например, мы получаем

Длина дуги = $\frac{60}{360}$ ✕ 2 ✕ 3,14 ✕ 5 = 5,23 см

Пример 2. Вычислите длину дуги, образующей угол 40 градусов в центре окружности с радиус 6 см.

Решение: Мы знаем, что формула длины дуги $\frac{y}{360}$ ✕ $2 π r$

В этом примере

y = 40 и r = 6

Подставляя эти значения в Например, мы получаем

Длина дуги = $\frac{40}{360}$ ✕ 2 ✕ 3,14 ✕ 6 = 4,186 см

Пример 3: Определите большую дугу в этом круге.

Мы знаем, что большая дуга — это большое расстояние между двумя конечными точками. Итак, здесь $\widehat{ADC}$ — это большая дуга, а $\widehat{ABC}$ — меньшая дуга.

Практические задачи

Вычислите длину дуги, образующей угол 120 градусов в центре круга радиусом 10 см.

20,93 см

10,93 см

14,56 см

30,46 см

Правильный ответ: 20,93 см
Длина дуги = $\frac{y}{360}$ ✕ $2 π r$
Подставляя y = 120 и r = 10 см, получаем
Длина дуги = $\frac{40} {360}$ ✕ 2 ✕ 3,14 ✕ 10 = 20,93 см

Определите малую дугу на рисунке ниже.

$\widehat{AB}$

$\widehat{BD}$

$\widehat{DA}$

$\widehat{ADB}$

Правильный ответ: $\widehat{AB}$
$\widehat{AB}$ — малая дуга на этой диаграмме.

На окружности проведена дуга, покрывающая четверть окружности.

Какова будет величина центрального угла в этом случае?

90°

60°

45°

30°

Правильный ответ: 90°
Для дуги, охватывающей четверть окружности, радиусы, проведенные из ее концов, будут перпендикулярны друг другу.

Какой из этих центральных углов образует наибольшую дугу?

81°

76°

45°

99°

Правильный ответ: 99°
Центральный угол образован соединением концов дуги с центром окружности. Следовательно, чем больше центральный угол, тем больше будет длина образуемой дуги.

Часто задаваемые вопросы

Что такое дуга полукруга?

Полуокружность — это дуга, концы которой лежат на диаметре окружности.

Здесь и $\widehat{AB}$, и $\widehat{ACB}$ являются полуокружностями.

Что такое центральный угол дуги?

Центральный угол — это угол, на который опирается дуга в центре.

Может ли дуга быть прямой линией?

Нет. Дуга всегда является открытой кривой.

Определение дуги в геометрии — примеры и способы определения

Круги просты, но у них есть части. Одна часть — это дуга, отрезок круга, кусок его окружности. Сами дуги бывают разных типов, например, большие дуги, полуокружности и малые дуги.

Окружность — это множество всех точек, равноудаленных от данной точки. Окружность – это расстояние по окружности.

Окружность круга

Круги могут иметь углы, образованные двумя радиусами. Это 90 199 центральных углов 90 200 и почти всегда обозначаются либо их точным измерением угла (или радиана), либо греческой буквой тета, θ\thetaθ.

Центральные углы

Окружности также могут иметь углы, образованные двумя хордами (отрезками линий с концами на окружности) с общей конечной точкой на окружности. Эти углы называются вписанными углами.

Вписанные углы

Как центральные, так и вписанные углы образуют большую и малую дуги.

Полуокружности и дуги

Дуга – это часть окружности, которая меньше всей окружности. Поскольку это допускает почти все возможные части, математики разбивают дуги следующим образом:0007

Малая дуга — Дуга размером меньше или равная 180° или π\piπ радиан
Полуокружность — Дуга размером точно π оррадиан, π\piπ 180 что исключает обозначение какой-либо части окружности как большой или малой
Большая дуга — дуга, размер которой больше или равен 180° или π\piπ радиан

Малая дуга, полуокружность и большая дуга
Идентификация дуг
В типичном рисунке окружности читатель понимает, что речь идет о малой дуге. На этом рисунке нас интересует малая дуга, определяемая центральным углом θ\thetaθ.
Для маркировки малой дуги требуются только ее конечные точки на окружности. Вот второстепенная дуга GO :
Второстепенная дуга
Если вам нужна большая дуга, выберите и пометьте обе конечные точки дуги и случайную точку между ними. Здесь у нас есть главная дуга FUN :
Малая и большая дуги
Дуги обычно обозначаются в письменной форме с помощью их точек (две для малой дуги, три для большой дуги), а затем рисуется крошечная короткая дуга, проведенная над буквами.
Измерительные дуги
Дуги имеют два измерения:
Угол
Длина
Одним из способов измерения дуги является центральный угол окружности. Это угол дуги 90 199 90 200 . Вы помещаете строчную букву m перед письменной формой дуги, например:
Угол дуги
Таким образом, вы можете написать mFUN⌢=45°m\overset\frown{FUN}=45°mFUN⌢=45° и сказать: «Большая дуга FUN измеряет 45 градусов . »
Другой способ измерения дуг — их расстояние по окружности окружности. Это длина дуги . Чтобы записать длину дуги словами, вы ставите маленькую букву l перед письменной формой, например:
Длина дуги
Таким образом, вы можете написать lGO⌢=13.

Знак подобия в геометрии: «Как выглядит знак подобия в геометрии?» — Яндекс Кью

alexxlab / 12.07.202321.04.2023 / Геометрии

Подобные треугольники. Признаки подобия | Геометрия

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.

Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁, у которых ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁:

Стороны AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, CA и C₁A₁, лежащие напротив равных углов, называются сходственными сторонами. Следовательно, отношения сходственных сторон равны:

AB	=	BC	=	AC	= k,
A₁B₁		B₁C₁		A₁C₁

k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.

Подобие треугольников обозначается знаком ~: ABC ~ A₁B₁C₁.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами S и S₁, то:

S	= k².
S₁

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.

Если ∠A = ∠A₁, ∠C = ∠C₁,

то ABC ~ A₁B₁C₁.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Если	AB	=	AC	, ∠A = ∠A₁,
	A₁B₁		A₁C₁
то ABC ~ A₁B₁C₁.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

Если	AB	=	BC	=	AC	,
	A₁B₁		B₁C₁		A₁C₁
то ABC ~ A₁B₁C₁.

Таблица знаков в геометрии и их значения: пересечение, подобие

Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Знаки и символы в геометрии
Ниже представлена таблица с основными математическими символами и знаками, которые используются в геометрии с 7 класса и старше.
00″ data-percent-format=»10.00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>
Знак Название Значение/описание Пример
∠ угол фигура, состоящая из двух лучей и вершины ∠ABC = 30°
ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" />»> острый угол угол от 0 до 90 градусов ∠AOB = 60°
ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" />»> прямой угол угол, равный 90 граусам ∠AOB = 90°
ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" />»> тупой угол угол от 90 до 180 градусов ∠AOB = 120°
ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="80" height="240" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="80" height="240" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" />»> развернутый угол угол, равный 180 градусам ∠AOB = 180°
°
(или deg) градус единица измерения угла, равна 1/360 окружности 45°
′ минута единица измерения угла, 1° = 60′ α = 70°59′
″ секунда единица измерения угла, 1′ = 60″ α = 70°59′59″
ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" />»> линия бесконечная прямая без начала и конца
ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" />»> отрезок участок на прямой между точками A и B
ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="35" height="35" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="35" height="35" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" />»> луч бесконечная прямая, имеющая начало в точке A, но не имеющая конца
ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" />»> дуга дуга, образованная между точками A и B
⊥ перпендикулярность линии (прямые), расположенные под углом 90° по отношению друг к другу AC ⊥ BC
|| параллельность непересекающиеся прямые (линии) AB || CD
∩ пересечение множество одинаковых элементов, принадлежащих как множеству A, так и B A ∩ B
∈ / ∉ принадлежность/
непринадлежность элемент является/не является элементом заданного множества a ∈ S
≅ конгуэнтность эквивалентность геометрических форм и размеров ∆ABC ≅ ∆XYZ
~ подобие та же форма, но разные размеры ∆ABC ~ ∆XYZ
Δ треугольник фигура треугольника ΔABC ≅ ΔBCD
|x-y| дистанция дистанция между точками X и Y | x-y | = 5
π константа «Пи» отношение длины окружности к диаметру круга, π = C/d 141592654…</nobr>» data-order=»<nobr>π = 3.141592654…</nobr>»>π = 3.141592654…
рад (rad)
или ^c радиан единица измерения угла 360° = 2π ^c
microexcel. ru
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Похожие фигурки
Горячая математика
Говорят, что две фигуры похожий если они одинаковой формы. Говоря более математическим языком, две фигуры подобны, если их соответствующие углы равны конгруэнтный , а отношения длин их соответствующих сторон равны.
Это обычное отношение называется масштаб .
Символ ∼ используется для обозначения сходства.
Пример 1:
На рисунке ниже пятиугольник А Б С Д Е ∼ пятиугольник В Вт Икс Д Z .
(Обратите внимание, что порядок, в котором вы пишете вершины, имеет значение; например, пятиугольник А Б С Д Е является нет похоже на пятиугольник В Z Д Икс Вт .)
Пример 2:
Два цилиндра похожи. Найдите масштабный коэффициент и радиус второго цилиндра.
Высота цилиндра справа 1 3 высота цилиндра слева. Итак, масштабный коэффициент 1 3 .
Чтобы получить радиус меньшего цилиндра, разделите 1,8 к 3 .
1,8 ÷ 3 «=» 0,6
Значит, радиус меньшего цилиндра 0,6 см.
Заметим, что двумерная фигура подобна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью вращения , размышления , переводы , и расширения .
Пример 3:
На рисунке выше шестиугольник А 1 Б 1 С 1 Д 1 Е 1 Ф 1 переворачивается горизонтально, чтобы получить А 2 Б 2 С 2 Д 2 Е 2 Ф 2 .
Затем шестиугольник А 2 Б 2 С 2 Д 2 Е 2 Ф 2 переводится как получить А 3 Б 3 С 3 Д 3 Е 3 Ф 3 .
Шестиугольник А 3 Б 3 С 3 Д 3 Е 3 Ф 3 расширяется на масштабный коэффициент 1 2 получить А 4 Б 4 С 4 Д 4 Е 4 Ф .
Обратите внимание, что
А 1 Б 1 С 1 Д 1 Е 1 Ф 1 ∼ А 2 Б 2 С 2 Д 2 Е 2 Ф 2 ∼ А 3 Б 3 С 3 Д 3 Е 3 Ф 3 ∼ А 4 Б 4 С 4 Д 4 Е 4 Ф 4 .
То есть все четыре шестиугольника подобны. (На самом деле, первые три конгруэнтны.)
Пример 4:
Рассмотрим пятиугольник п Вопрос р С Т на координатной плоскости.
Ротация на 180 ° о происхождении отводит пятиугольник к п ‘ Вопрос ‘ р ‘ С ‘ Т ‘ .
Теперь расширение относительно начала координат с помощью масштабного коэффициента 2 берет пятиугольник п ‘ Вопрос ‘ р ‘ С ‘ Т ‘ к п ‘ ‘ Вопрос ‘ ‘ р ‘ ‘ С ‘ ‘ Т ‘ ‘ .
Обратите внимание, что п Вопрос р С Т ∼ п ‘ Вопрос ‘ р ‘ С ‘ Т ‘ ∼ п ‘ ‘ Вопрос ‘ ‘ р ‘ ‘ С ‘ ‘ Т ‘ ‘ . То есть все три пятиугольника подобны. (И первые два совпадают.)
Символы в геометрии
Символы экономят время и место при написании. Вот наиболее распространенные геометрические символы:
.
Символ Значение Пример Словами
△ Треугольник △ABC имеет 3 равные стороны Треугольник ABC имеет три равные стороны
∠ Угол ∠ABC равно 45° Угол, образованный треугольником ABC, равен 45 градусам.
⊥ Перпендикуляр АВ⊥CD Линия AB перпендикулярна линии CD
∥ Параллельный EF∥GH Линия EF параллельна линии GH
° градусов 360° 360 градусов (полный оборот!)
∟ Прямоугольный (90°) ∟ равно 90° Прямой угол равен 90 градусов
Линейный сегмент «AB» АБ Отрезок между А и В
Линия «АВ» Бесконечная линия, включающая A и B
Рэй «АБ» Линия, которая начинается в A, проходит через B и продолжается
≅ Конгруэнтные (одинаковая форма и размер) △ABC ≅ △DEF
Треугольник ABC равен треугольнику DEF
~ Аналогичные (такой же формы, разного размера) △DEF∼△MNO Треугольник DEF подобен треугольнику MNO
∴ Поэтому а=б б=а a равно b, поэтому b равно a

Пример: В △ABC, ∠BAC равно ∟
Действительно говорится: «В треугольнике ABC угол BAC прямой»
Именование углов
Для углов центральная буква находится там, где находится угол.


Знак	Название	Значение/описание	Пример
∠	угол	фигура, состоящая из двух лучей и вершины	∠ABC = 30°
ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" />»>	острый угол	угол от 0 до 90 градусов	∠AOB = 60°
ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" />»>	прямой угол	угол, равный 90 граусам	∠AOB = 90°
ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" />»>	тупой угол	угол от 90 до 180 градусов	∠AOB = 120°
ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="80" height="240" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="80" height="240" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" />»>	развернутый угол	угол, равный 180 градусам	∠AOB = 180°
° (или deg)	градус	единица измерения угла, равна 1/360 окружности	45°
′	минута	единица измерения угла, 1° = 60′	α = 70°59′
″	секунда	единица измерения угла, 1′ = 60″	α = 70°59′59″
ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" />»>	линия	бесконечная прямая без начала и конца
ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" />»>	отрезок	участок на прямой между точками A и B
ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="35" height="35" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="35" height="35" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" />»>	луч	бесконечная прямая, имеющая начало в точке A, но не имеющая конца
ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" />»>	дуга	дуга, образованная между точками A и B
⊥	перпендикулярность	линии (прямые), расположенные под углом 90° по отношению друг к другу	AC ⊥ BC
\|\|	параллельность	непересекающиеся прямые (линии)	AB \|\| CD
∩	пересечение	множество одинаковых элементов, принадлежащих как множеству A, так и B	A ∩ B
∈ / ∉	принадлежность/ непринадлежность	элемент является/не является элементом заданного множества	a ∈ S
≅	конгуэнтность	эквивалентность геометрических форм и размеров	∆ABC ≅ ∆XYZ
~	подобие	та же форма, но разные размеры	∆ABC ~ ∆XYZ
Δ	треугольник	фигура треугольника	ΔABC ≅ ΔBCD
\|x-y\|	дистанция	дистанция между точками X и Y	\| x-y \| = 5
π	константа «Пи»	отношение длины окружности к диаметру круга, π = C/d	141592654…</nobr>» data-order=»<nobr>π = 3.141592654…</nobr>»>π = 3.141592654…
рад (rad) или ^c	радиан	единица измерения угла	360° = 2π ^c

Символ	Значение	Пример	Словами
△	Треугольник	△ABC имеет 3 равные стороны	Треугольник ABC имеет три равные стороны
∠	Угол	∠ABC равно 45°	Угол, образованный треугольником ABC, равен 45 градусам.
⊥	Перпендикуляр	АВ⊥CD	Линия AB перпендикулярна линии CD
∥	Параллельный	EF∥GH	Линия EF параллельна линии GH
°	градусов	360°	360 градусов (полный оборот!)
∟	Прямоугольный (90°)	∟ равно 90°	Прямой угол равен 90 градусов
	Линейный сегмент «AB»	АБ	Отрезок между А и В
	Линия «АВ»		Бесконечная линия, включающая A и B
	Рэй «АБ»		Линия, которая начинается в A, проходит через B и продолжается
≅	Конгруэнтные (одинаковая форма и размер)	△ABC ≅ △DEF	Треугольник ABC равен треугольнику DEF
~	Аналогичные (такой же формы, разного размера)	△DEF∼△MNO	Треугольник DEF подобен треугольнику MNO
∴	Поэтому	а=б б=а	a равно b, поэтому b равно a

Сложные задачи по геометрии: Двадцать задачек (по безумной, восхитительной геометрии) / Хабр

alexxlab / 11.07.202324.04.2023 / Геометрии

Двадцать задачек (по безумной, восхитительной геометрии) / Хабр

Предупреждение врача. Остерегайтесь этих головоломок. Побочные эффекты могут включать потерянное послеобеденное время, скомканные волосы и восклицания «А-а-а-х, вот как это делается» настолько громкие, что могут треснуть оконные стёкла.

Несколько месяцев назад я наткнулся в твиттере на математические головоломки Катрионы Ширер. Они сразу меня увлекли: каждая головоломка такая осязаемая, ручной работы, словно просит её решить. И на каждую вы можете легко потратить час времени, а то и больше.

Катриона разрешила мне подвесить вас на эти задачки — и поделилась 20 своими любимыми головоломками. Она даже удовлетворила моё любопытство и восхищение, дав интервью (см. в конце статьи).

Наслаждайтесь. И не говорите, что врач не предупреждал.

1. Сад часов

Какая часть каждого круга закрашена? (12 точек на равном расстоянии; единственная точка внутри круга — его центр)
«К сожалению, из эти шести моя любимая — единственная, которую я не придумала сама, — говорит Катриона, — это тёмно-синяя».
2. Опрокинутый квадрат

(Как по мне, это классика).
3. Это ловушка

В прямоугольной трапеции зелёная область на 6 больше, чем жёлтая. Чему равен x?
«Это „вторая версия” данной головоломки: она лучше, чем первая, которую я придумала».
4. Три квадратных тарелки

Длины сторон трёх квадратов — последовательные целые числа. Какова общая площадь?
«Эта мне очень нравится: на её основе я нарисовала много красивых узоров».
5. Красивая стрижка

Площадь левого нижнего квадрата 5. Какова площадь синего треугольника?
«Наверное, моя любимая за всё время. Выглядит просто невозможным! Здесь метод решения называется «стрижка», shearing (к сожалению, не в мою честь)».
6. Все люди рождены равными

«Ещё одна переделка, которую я предпочитаю оригиналу».
7. Полукруг турдакен

«Головоломки с углами гораздо труднее составлять. Ученики сказали, что это довольно простая задачка, но мои родители испытали большие трудности. Кажется, эта головоломка требует больше „знаний”, но сам процесс решения проще».
8. Степенные хорды

Какова площадь круга?
«В школе я не изучала теорему о пересекающихся хордах, поэтому люблю везде её использовать!»
9. Сказка о двух кругах

У этих правильных многоугольников одинаковый периметр. Найдите отношение площадей вписанных окружностей.
«Это следствие другой головоломки, но она мне нравится больше, чем оригинал!»
10. Doc Oct

У закрашенной области такое же значение, как у периметра правильного восьмиугольника. Каково значение?
«Думаю, это довольно чистая задачка, хотя выглядит как массовое разграбление головоломок Эда Сауталла».
11. Всё в квадрате

«Мне нравится то, что хотя вы здесь можете найти все стороны оранжевого треугольника (и я это сделала, когда решала), но на самом деле это не нужно — достаточно площади и гипотенузы».
12. Шип в улье

Два из правильных шестиугольников идентичны; у третьего площадь 10. Какова площадь красного треугольника?
«Довольно неплохо: мне нравится, что не нужно иметь дело с любой длиной стороны, которые почти наверняка ужасны».
13. Я видел равнобедренных

Все четыре треугольника равнобедренные. Найдите угол.
«Думаю, что формулировка этой задачки идеальна. Многие пропускают важную информацию и приходят к выводу, что есть бесконечное число решений!»
14. Зеленый против синего

На картинке больше зелёного цвета или синего (и на сколько)?
«Ещё одна из моих любимых».
15. Резцы по камню

Четыре равносторонних треугольника расположены вокруг квадрата с площадью 12. Какова закрашенная площадь?
«Тут самое лучшее — действительно хорошие решения по рассечению площади».
16. Едем, едем, уехалиугольник

Шесть одинаковых квадратов и меньший прямоугольник вписаны в этот правильный шестиугольник. Какую часть шестиугольника они занимают?
«Здесь ответ не такой красивый, но очень удивил меня. Думаю, из-за своей сложности эта задачка не получила такого распространения в твиттере, как другие!»
17. Только один факт

Какова площадь этого квадрата?
«Это одна из моих любимых, потому что сначала кажется, что информации недостаточно».
18. Стиральная машина

Какая часть большого квадрата закрашена?
«Здесь мне нравится сумбур квадратов, как они грохочут вокруг словно в стиралке. И ответ тоже удивительно красивый».
19. Летающие флаги

У квадратов одного цвета одинаковый размер. Какова площадь всех закрашенных областей?
«Это довольно просто, как только вы поймёте — но я поняла не сразу, поэтому простота ответа меня удивила».
20. Тигрогон

Какая часть фигуры закрашена? Шестиугольник правильный, с равномерно расположенными точками по периметру.
«Эту я редко публиковала. Но картинка напоминает мне Тигра Тони [с пачек быстрого завтрака Kellogg — прим. пер.]».

Закат над Квадратным городом

У левого квадрата площадь 4. Какова площадь правого квадрата?
«Мне нравится эта задачка, она напоминает закат над городом скверов.”
Если вы дочитали до этого места — возможно, через 6 месяцев после начала чтения — и ваш стол окружен скомканными бумагами и пустыми китайскими контейнерами для продуктов питания, то вам будет приятно почитать небольшое интервью с Катрионой.
Как вы пришли к разработке своих головоломок?
Я поехала в отпуск в Шотландское высокогорье, но забыла взять пальто, поэтому пришлось сидеть в домике в одиночестве, пока друзья гуляли на природе! Ничего не оставалось, кроме как машинально чертить линии на бумажке.
Не ожидала, что это превратится в хобби, но это немного затягивает, особенно когда люди присылают в ответ свои решения, которые мне нравятся. Почти всегда можно красиво сократить головоломку, что я пропустила.
Как проходит творческий процесс?
Всё начинается с рисования бессмысленных фигурок. В итоге получается целая страница перекрывающихся квадратов под разными углами или правильных (типа) пятиугольников с разными закрашенными частями, а потом я смотрю, есть ли там какая- то хорошая математика — отношения между длинами или площадями или углами.
Многие из ваших задачек нарисованы маркером на бумаге. Почему такой лоутек?
Я пробовала использовать Desmos и Geogebra, но не очень понравилось. По-моему, быстрее нарисовать вписанный круг вручную, после небольшого количества проб и ошибок, чем красиво строить его в геометрии программного обеспечения.
Кроме того, при использовании фломастера вы можете выдумывать вещи, потому что линии настолько толстые. Это хороший компромисс между тем, чтобы выглядеть «правильно», но также знать, что вы не можете просто вытащить линейку и измерить фигуру.
Одна из приятных вещей в геометрии — что она многое прощает. Я могу показать вам безнадёжный квадрат или круг, но этого достаточно, чтобы передать концепцию, потому что они так хорошо определены.
Некоторые из ваших головоломок дают самый минимум информации. Как вы находите эту границу, где диаграмма как раз определена?
Иногда этот минимум на самом деле подсказка, потому что он отправляет вас по одной дороге. Я предпочитаю давать чуть больше необходимого, поэтому есть несколько обманных маршрутов. Это также даёт большее разнообразие решений!
Было дело, я опубликовала пару невозможных головоломок: к счастью, кто-нибудь обычно указывает на это довольно быстро!
Я также публиковала задачки с массивным количеством излишней информации, потому что не видела хорошего решения, чтобы использовать только половину информации.
Советы для потенциальных создателей головоломок?
Отлично, тут мой синдром самозванца полностью проявится. Я определённо ещё новичок — я занимаюсь этим только с августа [статья опубликована в октябре 2018 года — прим. пер.]! С другой стороны, мне нравится создавать головоломки и читать решения даже больше, чем решать их самой.
Основной целью головоломки должно быть развлечение — вот что отличает её от стандартной математической задачи. Таким образом, вам нужно по крайней мере два из трёх:
Красивая постановка задачи. Предоставьте минимум информации, чтобы читателю стало интересно, как вообще можно решить такую задачу. Или несколько дразнящих кусочков информации, каждый из которых якобы предлагает способ решения. Правильные многоугольники и круги — фантастические штуки, потому что скрывают огромное количество информации.

Красивый метод. Трюк или кратчайший путь, или внезапное озарение, которое всё упрощает. Это может быть не самый очевидный метод. Я видела много задачек, которые решаются с помощью алгебры или иррациональных чисел, или ужасных выражений с pi, а в конце всё внезапно сокращается — и я понимаю, что есть более простой способ.

Красивый ответ. Мало удовольствия работать над головоломкой, чтобы в конце получить некрасивый ответ.

В принципе, начните рисовать — найдите головоломку, которую вам понравилось решать, и подумайте, как можно её расширить или изменить некоторые элементы. Если вдруг попадутся соотношения, которые вас удивляют, то с высокой вероятностью они удивят и других. Twitter — отличная платформа, так как люди могут публиковать в ответ собственные картинки.
Интересные задачи по геометрии и геометрические головоломки ✅ Блог IQsha.ru
О чём вы думаете, когда слышите слово “геометрия”? Скорее всего, это будут мысли о треугольниках и квадратах, круге и ромбе. Но геометрия ─ это не только фигуры, но и весь окружающий мир, всё, что имеет структуру. Предлагаем познакомить малышей с этим увлекательным миром и предложить им интересные геометрические головоломки! Эти занимательные задачки подойдут и дошкольникам, и детям постарше и раскрасят череду повседневных игр.
Геометрические головоломки развивают абстрактное и логическое мышление, воображение, комбинаторные способности, а также терпение и усидчивость, ведь составление новых фигур требует времени.
Мы подобрали для вас 25 занимательных задач по геометрии и уверены, что их решение принесёт не только пользу, но и большое удовольствие вашему ребёнку.
Интересные задачи по геометрии
Задача 1
Посмотрите, сколько треугольников на этом рисунке? А четырёхугольников? И сколько фигур всего? Посчитайте их и запишите верные ответы.

Посмотреть ответ
4 треугольника, 1 четырехугольник ─ всего 5 фигур.
Задача 2

Посмотрите внимательно на домик. Назовите все фигуры, которые были использованы при его строительстве.

Посмотреть ответ
круг, треугольник, квадрат, прямоугольник и многоугольник.
Задача 3

Перед вами нелёгкая задача ─ посчитать все фигуры на рисунке. Сколько на нём четырёхугольников, а треугольников?

Посмотреть ответ
5 четырехугольников, 4 треугольника ─ всего 9 фигур.
Задача 4

Как вы думаете, сколько на рисунке треугольников? А четырёхугольников? Сможете их посчитать?

Посмотреть ответ
всего на рисунке 6 треугольников и 7 четырёхугольников.
Задача 5

Как вы думаете, возможно ли обычным циркулем начертить эллипс?
Посмотреть ответ
Это возможно, но с условием: бумага, на которой вы будете чертить, должна лежать на стороне цилиндра или любой трубы. Тогда оборотом обычного циркуля можно начертить эллипс.

Задача 6

На одной плоскости размещены 11 шестерёнок, которые соединены по цепочке. Как вы думаете, смогут ли все шестерёнки вращаться одновременно?
Посмотреть ответ
Давайте представим, что первая шестерёнка двигается по часовой стрелке. Тогда вторая должна двигаться против часовой. Третья ─ вновь по часовой стрелке, четвёртая ─ против и так далее. Получается, что «нечётные» шестерёнки вращаются по часовой стрелке, а «чётные» ─ против часовой. Тогда выходит, что первая и одиннадцатая двигаются одновременно по часовой стрелке, что невозможно. Значит, все шестерёнки одновременно вращаться не могут.
Задача 7

Внимательно посмотрите на фигуру и разделите её сначала на две равные части, затем на три.

Посмотреть ответ
Эту фигуру можно разделить на множество одинаковых частей вот таким образом. А у вас получились такие же части?

Задача 8

Вам нужно нужно разделить фигуру месяца на 6 частей, но провести можно только две прямые линии. Уже знаете, как это сделать?

Посмотреть ответ

Задача 9
Посмотрите внимательно и найдите на фигуре пять прямых углов. Как быстро вы справились с задачей?

Задача 10
Как называются фигуры ─ общая часть треугольников и четырёхугольников?
Посмотреть ответ
Слева изображён треугольник, а справа — пятиугольник.
Задача 11

Какие фигуры были использованы для строительства грузовика? Посчитайте их количество и запишите.

Посмотреть ответ
7
Задача 12

На дороге произошла авария, поэтому водителям приходится объезжать этот участок по другому пути. Он отмечен на картинке пунктирной линией. На сколько этот новый путь длиннее обычной дороги?

Посмотреть ответ
На 6 км. Потому что 5 км ─ это длина прежней дороги.
Задача 13

Как вы думаете, сколько квадратов изображено на рисунке?

Посмотреть ответ
на рисунке изображены 14 квадратов.
Задача 14

Посмотрите внимательно на чертёж и посчитайте количество четырехугольников.

Посмотреть ответ
4
Задача 15

Перед вами шесть фигур. Ваша задача ─ соединить их попарно непроизвольными и непрерывными линиями так, чтобы они не пересекались.

Посмотреть ответ

Задача 16

Посмотрите на рисунок и найдите на нём три одинаковые карточки.

Посмотреть ответ
чтобы легко найти карточки, их нужно было покрутить. На рисунке 3, 4, 5 карточки одинаковые.
Задача 17

К вам в гости пришли 8 гостей и вы хотите их напоить чаем с вкуснейшим тортом! Как поделить плоский круглый торт на 8 равных частей за три прямолинейных надреза ножа? При это перекладывать куски нельзя! Справитесь?
Посмотреть ответ

Задача 18
Посмотрите на чертёж и расположение девяти точек на нём: по три в каждом вертикальном и горизонтальном ряду. Ваша задача ─ нарисовать четырёхзвенную ломаную, не отрывая карандаша от бумаги. Эта ломаная должна проходить через все девять точек.

Посмотреть ответ
в условии задачи не было указано, что ломаная не может выходить за пределы рамки, в которой находятся все точки.

Выполните развивающие упражнения от Айкьюши
Задача 19

Перед вами ещё одна интересная задача! Давайте попробуем сделать из прямоугольника квадрат? Известно, что одна сторона прямоугольника равна 4, а другая 9 единицам длины. Этот прямоугольник разрешается разрезать только на две равные части.

Посмотреть ответ
если разрезать лист лист бумаги так, можно сложить из полученных частей квадрат размером 6 × 6. Проверьте сами!

Задача 20

Как вы думаете, возможно ли сложить шесть карандашей так, чтобы каждый касался любого другого?
Посмотреть ответ
сначала расположим три карандаша, а следом за ними сверху ещё три, но в другом направлении. Посмотрите, каждый карандаш касается остальных. А у вас получилось?

Задача 21
Посмотрите, на картинке нарисован квадратный пруд. У каждого берега пруда растёт дерево. Строителям нужно расширить этот пруд в два раза таким образом, чтобы сохранить его квадратную форму и все деревья по берегам. Как это сделать?

Посмотреть ответ

Задача 22
Вам нужно разделить эту фигуру на 8 одинаковых по форме частей, каждая из которых имеет 4 угла.

Посмотреть ответ
Вот как нужно было разделить эту фигуру. Справились?

Задача 23

А теперь попробуйте решить такую интересную задачку! Вам нужно разрезать шестиугольник на три части и из получившихся кусочков сложить ромб. Готовы попробовать?

Посмотреть ответ

Задача 24

Посмотрите внимательно на эти три квадрата. Сколько светлых маленьких квадратов останется, если наложить фигуры друг на друга.

Посмотреть ответ
останутся три маленьких квадрата. У вас получился тот же ответ?

Задача 25

Ваша задача ─ найти центр круга, используя лишь карандаш и угольника с прямым углом.

Посмотреть ответ
найти центр круга можно было так, как указано на рисунке. А вы смогли справиться с этой задачкой?

Геометрические головоломки

Пентамино

Это головоломка из плоских фигур, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов. Всего таких элементов в пентамино 12, и они обозначаются латинскими буквами, потому что по форме напоминают их. Именно пентамино вдохновила программистов на создание знаменитой компьютерной игры “Тетрис”! С помощью этих элементов вы сможете вместе с ребёнком создавать различные фигуры, проявляя смекалку и сообразительность.
Колумбово яйцо

Это ещё одна популярная и довольно известная головоломка. Колумбово яйцо ─ это овал, который разрезан на 10 частей. С помощью такой головоломки ваш малыш также сможет создавать различные изображения и фигуры.
По легенде, эта головоломка был придумана китайскими мудрецами для сына императора, который хотел найти для ребёнка интересное и полезное занятие для развития ума и сообразительности. Неизвестно, правдива эта легенда или нет, но мы рады, что Колумбово яйцо сейчас доступно любому ребёнку!
Танграм

Это очень популярная и древняя китайская головоломка. Её называют ещё «семь дощечек мастерства», потому что состоит она из семи плоских фигур, которые складываются для получения более сложной фигуры. Так можно собрать изображения людей или животных, предметы быта, буквы алфавита, цифры и многое другое.
Складывая фигуры, нужно соблюдать всего два условия: использовать все 7 деталей танграма и не перекрывать их между собой.
Начинать знакомить малыша с танграмом можно уже с 2-3 лет. Для начала предложите потрогать детали, изучить их форму, величину и цвет. Затем научите ребёнка складывать простые фигуры из 2-4 элементов танграма, например, ёлочку. По мере взросления малыша и развития его познавательных способностей и логического мышления игры с танграмом будут так же усложняться.
Этапы освоения игры Танграм
Ребёнок накладывает на готовую схему части танграма.
Задача усложняется! Теперь малыш самостоятельно складывает фигуры из элементов по схемам.
На этом этапе ребёнку нужно сложить фигуру танграма только по контурному изображению.
Финальный этап ─ это то, к чему должен прийти малыш: он самостоятельно придумывает и составляет фигуры, развивая воображение.

Игры с танграмом совершенствуют не только воображение, но и память, улучшают у детей наглядно-образное мышление и внимание, а также умение выполнять задание инструкции.
Танграм ─ доступная игра, её можно приобрести в магазине или сделать самим из цветного картона или бумаги, фанеры или небольших дощечек. Детали головоломки можно сделать бесцветными, главное, чтобы элементы игры были безопасными.
Тетрамино

Элементы тетрамино известны многим: это те самые “падающие фигуры” в игре “Тетрис”. Узнали их? Если в пентамино фигуры состоят из пяти маленьких квадратов, то в тетрамино их 4.
Как играть? Из элементов тетрамино так же составляются различные фигуры. Можно пользоваться готовыми схемами или придумывать их самостоятельно.
Мы рассказали вам о самых интересных и известных геометрических задачках и головоломках для детей. Они помогут малышу представить себя математиком и мудрецом и весело и интересно провести время. Разгадывайте всей семьёй другие занимательные задания от Айкьюши и развивайте логику, мышление и кругозор!
Выполните упражнения от Айкьюши:

Соотносим фигуру с предметом

Изучаем фигуры

Соотносим фигуры
Екатерина Дорошина,
педагог, методист IQsha, автор статей и упражнений
Двадцать вопросов (сводящая с ума, восхитительная геометрия) – Математика с плохими рисунками ПОБОЧНЫЕ ЭФФЕКТЫ МОГУТ ВКЛЮЧАТЬ ПОТЕРЯ ДНЯ, ВЫДЕРЖИВАНИЕ ВОЛОС КЛОКАМИ И ВОСКЛЫВАНИЯ «А-А-А, ВОТ КАК ТЫ ЭТО ДЕЛАЕШЬ» НАСТОЛЬКО ГРОМКИЕ, ОНИ МОГУТ ПОВРЕДИТЬ ОКНА.
Несколько месяцев назад я наткнулась на математические головоломки Катрионы Ширер в Твиттере. Меня сразу зацепило: они такие осязательные, такие рукотворные, такие созревшие для решения. Каждая из ее великолепно сложных задач может поглотить час за один укус.
Она согласилась позволить мне поразмыслить вас, ребята, поделившись 20 своими любимыми. Она даже удовлетворила мое любопытство и восхищение интервью (см. внизу поста).
Наслаждайтесь. И не говорите, что главврач вас не предупреждал.

1.
Сад часов
Какая часть каждого круга закрашена? (12 точек расположены на одинаковом расстоянии друг от друга; внутри круга используется только центр.)
«К сожалению, моя любимая из шести — единственная, которую я придумала не сама, — говорит Катриона, — темно-синий».

2.
Опрокинутая площадь
(Мне кажется, что это настоящая классика.) 07 В этой прямоугольной трапеции зеленый площадь на 6 больше, чем желтая площадь. Что такое х?
«Головоломка «вторая попытка», которая была лучше, чем первая, которую я придумал».

4.
Трехразовое питание
Длины сторон трех квадратов представляют собой последовательные целые числа. Какова общая площадь?
«Мне очень нравится этот — я нарисовал на его основе множество красивых узоров».

5.
Красота сдвига
Площадь нижнего левого квадрата равна 5. Какова площадь синего треугольника?
«Наверное, мой самый любимый. Это просто кажется невозможным! Судя по всему, используемый здесь метод решения называется сдвигом (к сожалению, не в мою честь)».

6.
Все люди созданы равносторонними
«Еще одно следствие, которое я предпочитаю оригиналу».

7.
Полукруг Тердакена
«Мне кажется, что загадки с углами писать намного сложнее. Мои ученики сказали мне, что это было довольно легко, но моим родителям было очень трудно. Я думаю, что вам нужно «знать» больше, чтобы сделать это, но аспект решения проблем проще».
8.
Power Chords
Какова площадь круга?
«Я никогда не изучал теорему о пересекающихся хордах в школе, поэтому мне нравится все, где я могу ее использовать!»

9.
Сказка о двух кругах
Эти правильные многоугольники имеют одинаковый периметр. Найдите отношение площадей кругов.
«Это продолжение другой головоломки, но мне она нравится больше, чем оригинал!»
10.
Doc Oct
Заштрихованная область имеет то же значение, что и периметр правильного восьмиугольника. Что это за значение?
«Я думаю, что это довольно аккуратно, хотя это выглядит как массивная копия головоломок Эда Саутхолла».
11.
Все в квадрате
«Мне нравится тот факт, что хотя вы можете вычислить все размеры оранжевого треугольника из информации здесь (и я это сделал, когда решал эту задачу), вы не На самом деле это не нужно — достаточно использовать площадь и гипотенузу».

12.
Шип в улье
Два правильных шестиугольника идентичны; площадь третьего равна 10. Какова площадь красного треугольника?
«Это довольно аккуратно — мне нравится тот факт, что вам не нужно вычислять фактические длины сторон, которые почти наверняка ужасны».

13.
Равнобедренный Пила
Все 4 треугольника равнобедренные. Какой угол?
«Думаю, эта формулировка мне больше всего нравится. Многие люди пропустили важную информацию и пришли к выводу, что решений бесконечно много!

14.
Зеленый против синего
В этом дизайне больше зеленого или синего (и насколько)?
«Еще один из моих любимых».
15.
Резаки для драгоценных камней
Четыре равносторонних треугольника расположены вокруг квадрата площадью 12. Какая область заштрихована?
«Лучшее в этом: действительно хорошие решения для вскрытия, которые были опубликованы».

16.
Иду, Иду, ‘угольник
Шесть одинаковых квадратов и меньший прямоугольник вписываются в этот правильный шестиугольник. Какую часть шестиугольника они покрывают?
«Это не очень аккуратно, но ответ меня очень удивил. Я думаю, что из-за того, что это сложнее, он не получил такой популярности в твиттере!

17.
Всего один факт
Какова площадь квадрата?
«Это один из моих любимых, потому что не похоже, что информации достаточно».

18.
Сушильная машина
Какая часть большого квадрата заштрихована?
«Мне нравится, когда квадратики перемешаны, как будто они гремят в сушильной машине. И ответ тоже на удивление аккуратный».

19.
Поднимите флаги
Квадраты одного цвета имеют одинаковый размер. Какова общая заштрихованная площадь?
«Это довольно просто, как только вы это увидите — но я не сразу понял, поэтому простота ответа меня удивила».

20.
Тигр-гон
Какая дробь заштрихована? Шестиугольник правильный, с точками, расположенными на равном расстоянии друг от друга по периметру.
«Этого я чуть не выложил. Но картинка напомнила мне Тигра Тони».

БОНУС:
Закат над Square City
Площадь самого левого квадрата равна 4. Какова площадь квадрата справа?
«Мне нравится этот, потому что он напоминает мне восход солнца над городом площадей».
В случае, если вы дошли до этого поста — в этом случае прошло, вероятно, 6 месяцев с того момента, как вы начали, и ваш стол окружен скомканными бумагами и пустыми контейнерами из-под китайской еды — тогда вот несколько вопросов, которые я задал Катрионе. .
Как вы пришли к разработке этих головоломок?
Я отправился в отпуск в Шотландское нагорье, но забыл взять с собой пальто, так что в итоге я провел внутри больше времени, чем мои друзья! Я продолжал рисовать в духе «Интересно, смогу ли я решить…»
Я не ожидал, что это превратится в хобби, но это вызывает некоторое привыкание — особенно когда люди отвечают своими решениями, которые я любовь. Почти всегда есть изящный ярлык, который я пропустил.
Каков ваш творческий процесс?
Все начинается с рисования. Я закончу целую страницу с перекрывающимися квадратами под разными углами или правильными (почти) пятиугольниками с заштрихованными частями, а затем посмотрю, не прячется ли там какая-нибудь приятная математика — отношения между длинами, площадями или углами.
Многие ваши изображения нарисованы маркером на бумаге. Почему низкотехнологичный подход?
Я пробовал использовать Desmos и Geogebra, но не очень хорошо. Я обнаружил, что гораздо быстрее нарисовать вписанный круг, достав свой компас и проделав немного проб и ошибок, чем красиво построить его в программе для геометрии.
Кроме того, с помощью войлочных наконечников вы можете делать мазки, потому что линии очень толстые. Это хороший компромисс между «правильным» внешним видом и знанием того, что вы не можете просто взять линейку и измерить ее.
Одна из приятных особенностей геометрии заключается в том, что она очень снисходительна — я могу показать вам безнадежное изображение квадрата или круга, но этого достаточно, чтобы передать концепцию, потому что они так хорошо определены.
Некоторые из ваших головоломок дают просто достаточно информации. Как найти ту границу, где едва определена диаграмма?
Иногда предоставление самого минимума на самом деле является раздачей, потому что это оставляет только один путь. Я предпочитаю давать слишком много информации, так что есть пара ложных маршрутов. Это также означает, что я вижу больше разнообразия, когда люди отвечают своими решениями!
Я разместил пару головоломок, которые были невозможны — к счастью, кто-то обычно указывает на это довольно быстро!
Я также публиковал головоломки, которые я сильно преувеличил, потому что я не видел хорошего ярлыка, который бы использовал только половину информации.
Совет для будущих создателей головоломок?
Хорошо, мой синдром самозванца полностью проявил себя. Я определенно еще новичок — я занимаюсь этим только с августа! С другой стороны, я обнаружил, что мне нравится разгадывать головоломки и читать решения даже больше, чем решать их самому.
Основной целью головоломки должно быть развлечение — это то, что отличает ее от стандартной математической задачи. Итак, вам нужно как минимум два из:
Аккуратная установка . Пожалуй, достаточно информации, чтобы читатель недоумевал, как такое вообще возможно. Или несколько дразнящих кусочков информации, каждый из которых, как кажется, предлагает путь. Правильные многоугольники и круги — это фантастическое сочетание двух зайцев и одного камня, потому что они маскируют огромное количество информации, а особо полезные фрагменты не отмечены на диаграмме. .
Чистый метод . Трюк, или ярлык, или озарение, которое все упрощает. Возможно, это не самый очевидный метод — я могу вспомнить множество головоломок, которые я решал с помощью алгебраических строк, или сурдов, или ужасных выражений с числом пи, только для того, чтобы в конце все это сокращалось, и я понимал, что должно быть был более легкий путь.
Аккуратный ответ . Немного неприятно решать головоломку, чтобы получить запутанный ответ.
В общем, начните рисовать — найдите головоломку, которую вам понравилось решать, и посмотрите, что произойдет, если вы расширите ее или измените некоторые ее элементы. Если вы найдете отношения, которые удивят вас, скорее всего, они удивят и всех нас, так что опубликуйте их. Twitter — отличная платформа, так как люди могут публиковать свои собственные диаграммы в ответ.
Кроме того, пока вы здесь: ознакомьтесь с «Математикой с плохими рисунками: книга всех новых и невероятно приятных вещей»!
Нравится:
Нравится Загрузка. ..
Практические вопросы по геометрии. Треугольники, многоугольники, круги: классы Ascent TANCET 2020

Наши студенты заняли первое место в TANCET и получили допуск в Университет Анны в Ченнаи, SSN и PSG

. Практические вопросы ➤ Геометрия
Углы, треугольники, четырехугольники, окружности, полукруги и квадраты. Сборник тщательно подобранных практических вопросов по геометрии, которые обычно появляются в TANCET, GMAT, GRE, CAT и других вступительных тестах B School. Подробные поясняющие ответы и сокращения, где это применимо, предоставляются для каждого из вопросов.
Каково отношение внутреннего радиуса, окружного радиуса и внешнего радиуса равностороннего треугольника?
1 : 2 : 5
1 : 3 : 5
1 : 2 : 3
1 : 1.4142 : 2
Выбор 0 Правильный ответ Объяснение Ответ Трудно
Если в треугольнике ABC \\frac{cos A}{a}) = \\frac{cos B}{b}) = \\frac{cos C}{c}), то что можно сказать о треугольник?
Прямоугольный треугольник
Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Ничего нельзя вывести 70 ^о , каково наименьшее возможное значение наименьшего угла треугольника?
69 ^или
1 ^или
40 ^или 9{2}})
Выбор (4) Кв. (w ² — (3 года) ² ) Правильный ответ Объяснение Ответ Средний
Что из следующего неверно?
Инцентр — это точка, в которой сходятся биссектрисы угла.
Медиана любой стороны треугольника делит сторону пополам под прямым углом.
Точка, в которой встречаются три высоты треугольника, является ортоцентром.
Точка, в которой пересекаются три перпендикулярные биссектрисы, является центром описанной окружности.
Выбор (2) Медиана любой стороны треугольника, делящая сторону под прямым углом пополам, неверна. Правильный ответ Объяснение Ответ Легко
Из квадратного листа вырезается круг максимально возможного размера. Затем из полученного круга вырезается квадрат максимально возможного размера. Какова будет площадь последнего квадрата?
75 % размера исходного квадрата
50 % размера исходного квадрата
75 % размера круга
25% от размера исходного квадрата
Выбор (2) 50% от размера исходного квадрата. Правильный ответ Объяснение Ответ Средний
Какова площадь наибольшего треугольника, который можно вписать в прямоугольник длины ‘l’ единиц и ширины ‘w’ единиц?
\\frac{lw}{3})
\\frac{2lw}{3})
\\frac{3lw}{4})
\\frac{lw}{2})
Выбор (4) Площадь наибольшего треугольника, вписанного в прямоугольник, равна lw/2 . Правильный ответ Объяснение Ответ Средний
Каждый внутренний угол правильного многоугольника на 120 градусов больше, чем каждый внешний угол. Сколько сторон в многоугольнике?
6
8
12
13
Выбор (3) Многоугольник имеет 12 сторон . Правильный ответ Объяснение Ответ Легкий
Лестница высотой 10 футов такова, что на каждую ступеньку приходится полфута вверх и один фут вперед. Какое расстояние пролетит муравей, если он начнет с уровня земли, чтобы достичь вершины лестницы?
30 футов
33 фута
10 футов
29 футов
Вариант (4)
Найдите площадь сектора, покрытого часовая стрелка после того, как она прошла 3 часа, если длина часовой стрелки 7 см.
77 кв.см
38,5 кв.см
35 кв.см
70 кв.см
Выбор (2) Площадь часовой стрелки 38,5 кв.см Правильный ответ Объяснение Ответ Средний
Найдите количество треугольников в восьмиугольнике.
326
120
56
Невозможно определить
Выбор (3) В восьмиугольнике 56 треугольников. Правильный ответ Объяснение Ответ Легко
Каков радиус описанной окружности треугольника, стороны которого равны 7, 24 и 25 соответственно?
18
12,5
12
14
Выбор (2) Радиус описанной окружности составляет 12,5 единиц. Правильный ответ Объяснение Ответ Легко
Чему равен радиус треугольника, стороны которого равны 24, 7 и 25?
12,5
3
6
Ни один из этих
Выбор (2) Внутрирадиус измеряется в 3 единицы. Правильный ответ Объяснение Ответ Простой
Если ABC — прямоугольный треугольник с углом A = 900 и 2s = a + b + c, где a > b > c, где обозначения имеют обычный смысл, то какой из следующих правильный?
(с – б) (с – в) > с (с – а)
(с – а) (с – в) > с (с – б)
(с – а) (с – б) ) < s (s – c)
4s (s – a) (s – b) (s – c) = bc
Выбор (3) (s – a) (s – b) < s ( s – c) Правильный ответ Объяснение Ответ Умеренный
Если сумма внутренних углов правильного многоугольника достигает 1440 градусов, сколько сторон у этого многоугольника?
10 сторон
8 сторон
12 сторон
9 сторон
Выбор (1) Многоугольник имеет 10 сторон. Правильный ответ Объяснение Ответ Легко
Чему равен радиус описанной окружности треугольника со сторонами 9, 40 и 41? (4) Радиус окружности треугольника равен 20,5 единиц. Правильный ответ Пояснение Ответ Easy
На приведенной ниже диаграмме CD = BF = 10 единиц и ∠CED = ∠BAF = 30 ^или . Чему равна площадь треугольника AED? (Примечание: рисунок ниже может быть выполнен не в масштабе.)
100 x (\\sqrt2) + 3)
\\frac {100} {\left ({{\sqrt {3+4}}} \right )})
\\frac {50} {\left ({{\sqrt {3+4}}} \right )})
50 x (\\sqrt3) + 4)
Выбор (4) 50 х (кв.(3) + 4). Правильный ответ Объяснение Ответ Умеренный XAT 2015
Зарегистрируйтесь в 2 простых шага и начните обучение через 5 минут!
★ Зарегистрируйтесь бесплатно
У вас уже есть учетная запись?
★ Войдите, чтобы продолжить
Пакет следующих выходных
Начало вс, 20 октября 2019 г.
★ Информация о классе TANCET
Практические вопросы XAT TANCET — Перечислены по темам
Теория чисел
Комбинация перестановок
Вероятность
Неравенства
Геометрия
Координатная геометрия
Измерение
Тригонометрия
Достаточность данных
Проценты
Прибыль Убыток
Соотношение Пропорция
Смеси и сплавы
Скорость Расстояние и время
Трубы, цистерны и работа, время
Простые и сложные проценты
Гонки
Средние значения и статистика
Прогресс: AP, GP и HP
Теория множеств
Часы Календари
Линейные и квадратные уравнения
Функции
Грамматика английского языка
Общая осведомленность
Лучшие результаты Отзывы
Подготовка к TANCET MBA
Онлайн-курс TANCET MBA
Практические вопросы TANCET
Список рассылки TANCET
Видеотека TANCET
909 Pres
TANCET0 Question Papers p Блог
Онлайн-подготовка к GMAT
Онлайн-курс GMAT
Коучинг GMAT в Ченнаи
Банк вопросов GMAT
Блог GMAT
Онлайн-подготовка к GMAT
Видеобиблиотека GMAT
3 Онлайн-подготовка
GRE6 Онлайн-курс GRE
Бесплатный банк вопросов GRE
GRE Видеотека
Блог GRE
Блог подготовки к GRE
Страница FB подготовки к GRE
CBSE Math Online Coaching
CBSE NCERT, 11 класс, математика
CBSE NCERT, 10 класс, математика
CBSE NCERT, 9 класс, математика
CBSE Math Online Tutorial
CBSE Math Video Library
CBSE Math
Восхождение Образование
14Б/ 1 Dr Thirumurthy Nagar I Street
Nungambakkam, Chennai 600 034
Электронная почта: ascent@ascenteducation.

Что такое радиус в геометрии: Радиус и диаметр окружности — определения, свойства, формулы

alexxlab / 08.07.202310.04.2023 / Геометрии

Геометрия Сфера и шар

Материалы к уроку

Конспект урока

Сфера и шар

В курсе планиметрии вы познакомились с понятием окружности и круга.

Вспомним, что окружность — это множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центр окружности).

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Окружность- множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки..

Круг-часть плоскости внутри окружности.

Аналогично понятию окружности на плоскости вводится понятие сферы в пространстве.

Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется сферой.

Сфера- поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на заданном расстоянии от данной точки

Данная точка — центр сферы (на рисунке точка О).

Данное расстояние — радиус сферы (на рисунке — отрезок ОС).

Радиусом сферы также называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой сферы.

Диаметром сферы называют отрезок, проходящий через центр и любые две точки сферы (на рисунке — отрезок DC).

Аналогично диаметру окружности, диаметр сферы равен двум радиусам.

О- центр сферы.

ОС- радиус сферы R.

DC-диаметр сферы D.

D=2R

Шаром называется тело, ограниченное сферой.

Существует и другое определение шара — шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Очевидно, что центр, радиус, диаметр сферы являются центром, радиусом, диаметром шара.

Шар -тело, ограниченное сферой.

Или:

Шар радиуса R с центром в точке О -тело, содержащее все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Центр, радиус, диаметр сферы -центр, радиус, диаметр шара.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг её диаметра АВ.

Разберём несколько задач, применяя полученные знания.

Задача 1.

Точки А и В лежат на сфере с центром О, О не лежит на отрезке АВ. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.

Доказательство:

1.АО=ОВ как радиусы, АМ=МВ — по условию, тогда треугольник АОВ – равнобедренный.

2.Отрезок ОМ — медиана треугольника АОВ.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому ОМ┴АВ.

Таким образом, мы доказали, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.

Что и требовалось доказать.

Дано: А и В∈ сфере, О∉АВ, АМ=МВ

Доказать: ОМ┴АВ

Доказательство:

1. АО=ОВ= R

АМ=МВ (по условию) Δ АОВ-равнобедренный.

2.ОМ-медиана ΔАОВ ОМ-высота

ОМ┴АВ

Ч.т.д.

Задача 2.

Точки А и В лежат на сфере радиусом R. Найти расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m.

Решение:

1.Дополнительное построение: проведём плоскость через точки А, В и О (центр сферы).

В сечении получим окружность радиуса r.

2.Треугольник АОВ — равнобедренный, так как АО и ОВ — радиусы.

Дополнительное построение: проведём высоту ОМ, которая является и медианой.

ОМ — искомое расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Найдём его.

3.Поскольку АВ=m, ОМ — медиана, то

МА=МВ=m/2

4. Найдём ОМ из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора

Дано: А и В ∈сфере, R-радиус, АВ=m

Найти: расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Решение:

1.Д.п. проведём плоскость АВО

Сечение- окружность радиуса r.

Остались вопросы по теме? Наши репетиторы готовы помочь!

Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

Выбрать репетитораОставить заявку на подбор

ГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс.

Гл.VIII №725. Найдите радиус окружности… – Рамблер/классГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс. Гл.VIII №725. Найдите радиус окружности… – Рамблер/класс
Интересные вопросы
Школа
Подскажите, как бороться с грубым отношением одноклассников к моему ребенку?
Новости
Поделитесь, сколько вы потратили на подготовку ребенка к учебному году?
Школа
Объясните, это правда, что родители теперь будут информироваться о снижении успеваемости в школе?
Школа
Когда в 2018 году намечено проведение основного периода ЕГЭ?
Новости
Будет ли как-то улучшаться система проверки и организации итоговых сочинений?
Вузы
Подскажите, почему закрыли прием в Московский институт телевидения и радиовещания «Останкино»?
Нужна помощь, не мешало бы разобраться. Задача Гл.VIII №725.
Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.

ответы
Я могу тебе помочь, ответ на задачу Гл.VIII №725 будет такой:

Пусть АВСD — трапеция с основаниям и АD и ВС

r — радиус вписанной в нее окружности.
Проведем высоту СН и, учитывая, что СН = 2r, DН =
= а —b и = (а — r) + (b — r) = а + b — 2r, применим
теорему Пифагора к треугольнику СDН: (а — b)2 + 4r2 =
= (а + b — 2r)2 →

Ответ:
ваш ответ
Можно ввести 4000 cимволов
отправить
дежурный
Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия пользовательского соглашения
похожие темы
Экскурсии
Мякишев Г.Я.
Психология
Химия
похожие вопросы 5
Изобразите № 1240 ГДЗ Геометрия 9 класс Атанасян Л.С.
Изобразите тетраэдр DABC, отметьте точку К на ребре DC и точки М и N граней АВС и ACD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. (Подробнее…)
ГДЗГеометрия9 классАтанасян Л.С.
ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян. Гл.VIII №649. Постройте хорду АВ так….
Если не затруднит, объясните задачу Гл.VIII №649.
Начертите окружность с центром О и отметьте на ней точку А. Постройте хорду АВ (Подробнее…)
ГДЗАтанасян Л.С.Геометрия8 класс
ГДЗ по геометрии 8 класс Атанасян. Гл.VIII №677. Докажите, что точка О является центром.
Объясните, как решить задачу Гл.VIII №677.
Биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС пересекаются в точке О. (Подробнее…)
ГДЗ8 классАтанасян Л.С.Геометрия
Определите длину № 25 ГДЗ Математика 6 класс Никольский С.М.
План комнаты имеет вид прямоугольника со сторонами 40 мм
и 31 мм. Определите длину и ширину комнаты, если численный
масштаб (Подробнее…)
ГДЗМатематика6 классНикольский С. М.
Задание 8 Текст. Текст и его план. Русский язык.4 класс. Канакина В.П., Горецкий В.Г. ГДЗ
Приветствую, как ответить на вопросы к заданию?
Прочитайте.
Первая вахта (Подробнее…)
ГДЗРусский языкКанакина В.П.Горецкий В.Г.4 класс
Радиус
— ГИС Вики | Энциклопедия ГИС
Чтобы узнать о других значениях, см. Радиус (значения).
Иллюстрация круга
В классической геометрии радиусом круга или сферы называется любой отрезок прямой от центра до периметра. В более широком смысле, радиус круга или сферы представляет собой длину любого такого сегмента, которая составляет половину диаметра. ^[1]
В более общем смысле — в геометрии, науке, технике и многих других контекстах — радиус чего-либо (например, цилиндра, многоугольника, механической части, дыры или галактики) обычно относится к расстоянию от его центра или оси симметрии до точки на периферии: обычно точки, наиболее удаленной от центр или ось ( самая удаленная или максимальный радиус ) или, иногда, ближайшая точка ( короткая или минимальный радиус ). ^[2] Если объект не имеет явного центра, термин может относиться к радиусу описанной окружности , радиус его описанной окружности или описанной сферы. В любом случае радиус может быть больше половины диаметра (который обычно определяется как максимальное расстояние между любыми двумя точками фигуры).
inradius геометрической фигуры обычно является радиусом наибольшего круга или сферы, содержащейся в ней. Внутренний радиус кольца, трубы или другого полого предмета является радиусом его полости.
Радиус правильного многоугольника (или многогранника) — это расстояние от его центра до любой из его вершин; что также является его радиусом описанной окружности. ^[3] Внутренняя сторона правильного многоугольника также называется апофегмой.
В теории графов радиус графа является минимальным по всем вершинам u максимального расстояния от u до любой другой вершины графа. ^[4]
Название происходит от латинского radius , что означает «луч», но также и спицу колеса колесницы. Множественное число в английском языке — радиусов (как на латыни), но можно использовать радиусов , хотя это редко. ^[5]
Содержание
1 Формулы для окружностей
1.1 Радиус окружности
1.2 Радиус от области
1.3 Радиус по трем точкам
2 Формулы для правильных многоугольников
2.1 Радиус сбоку
3 Формулы для гиперкубов
3.1 Радиус сбоку
4 Каталожные номера
Формулы для окружностей
Радиус от окружности
Радиус окружности с периметром (окружностью) C составляет
Радиус от площади
Радиус круга с площадью A составляет
Радиус из трех точек
для вычисления радиуса круга, проходящего через три точки P ₁, P ₂, P _{3 _{, следующие. :}}
где θ угол
Формулы для правильных многоугольников
Эти формулы предполагают правильный многоугольник с n сторон.
Радиус со стороны
Радиус можно вычислить со стороны s следующим образом: где
Каталожные номера
↑ Определение радиуса на mathwords.com. Проверено 08 августа 2009 г.
↑ Роберт Кларк Джеймс, Гленн Джеймс (1992), Математический словарь . 548 страниц, Springer ISBN 0412990415, 9780412990410
↑ Барнетт Рич, Кристофер Томас (2008), Очерк геометрии Шаума , 4-е издание, 326 страниц. Макгроу-Хилл Профессионал. ISBN 0071544127 , 9780071544122 . Онлайн-версия по состоянию на 08 августа 2009 г.
↑ Джонатан Л. Гросс, Джей Йеллен (2006), Теория графов и ее приложения . 2-е издание, 779 страниц; КПР Пресс. ISBN 158488505X , 9781584885054 . Онлайн-версия доступна 08 августа 2009 г.
↑ Определение радиуса на Dictionary.reference.com. Проверено 08 августа 2009 г.
Круговые факты для детей — площадь, радиус, диаметр, окружность, дуга, касательная, хорда, сектор, сегмент
Круговые факты для детей — площадь, радиус, диаметр, окружность, дуга, касательная, хорда, сектор, сегмент

Логические головоломки денег .

Круг фактов
Ознакомьтесь с нашими круговыми фактами для детей и узнайте интересную информацию об этом двухмерном многоугольнике. Узнайте, что такое радиус, диаметр и длина окружности, как измерить площадь круга, что такое хорда круга, сектор и отрезок и многое другое.
Читайте и наслаждайтесь фактами и мелочами из нашего круга, прежде чем взглянуть на всю другую интересную информацию, посвященную удивительному миру геометрии.
Круг — это круглая двухмерная фигура, похожая на букву «О».
На строгом математическом языке круг относится к границе формы, а «диск» используется для обозначения всей формы, включая внутреннюю часть.
Прямая линия от центра круга к краю называется радиусом.
Прямая линия, которая проходит от одной стороны круга к другой через центр, называется диаметром.
Расстояние по внешней стороне круга называется окружностью.
Все точки на краю круга находятся на одинаковом расстоянии от центра.
Значение числа Пи (π) с точностью до 2 знаков после запятой равно 3,14, оно пригодится при вычислении длины окружности и площади круга.
Длину окружности можно найти по следующей формуле: Длина окружности = π d
Площадь круга можно найти по следующей формуле: Площадь = π r²
Дуга является частью окружности круга.
Хорда — это прямая линия, соединяющая две точки на окружности, диаметр — это пример хорды (самой длинной из возможных).
Сегмент — это область между хордой и дугой, к которой она примыкает.
Касательная — это прямая линия, которая касается одной точки окружности.
Сектор — это область между дугой и двумя радиусами.
Оставить комментарий on Что такое радиус в геометрии: Радиус и диаметр окружности — определения, свойства, формулы/
Ось z в геометрии 9 букв: Ось Z, 9 (девять) букв
alexxlab / 03.07.202321.04.2023 / Геометрии
Ось Oz В Математике — CodyCross ответы
Решение этого кроссворда состоит из 9 букв длиной и начинается с буквы А
Ниже вы найдете правильный ответ на Ось Oz в математике, если вам нужна дополнительная помощь в завершении кроссворда, продолжайте навигацию и воспользуйтесь нашей функцией поиска.
ответ на кроссворд и сканворд
Пятница, 20 Августа 2021 Г.
CodyCross Телестудия Rруппа 607
АППЛИКАТА
предыдущий следующий
ты знаешь ответ ?
ответ:
CODYCROSS Телестудия Группа 607 ГОЛОВОЛОМКА 4
Сыграла дашу букину в сериале счастливы вместе
Часть слова, расположенная перед корнем
Государственный язык эквадора
Фамилия юного помощника остапа из 12 стульев
Мигающая лампочка в электронных приборах
Норвежский рождественский пончик, пышка в смальце
Навязчивый страх боли
Организация, осуществляющая контроль и проверку
Популярный в японии лопоухий советский персонаж
связанные кроссворды
Аппликата
Декартова координата 9 букв
Ось oz в математике 9 букв
Координата z 9 букв
Аппликата
Математический термин, в переводе «приложенная»
Наименование букв латинского алфавита:
1 – а 10 – йот 19 – эс
2 – бе 11 – ка 20 –те
3 – це 12 – эль 21 – у
4 – де 13 – эм 22 – вэ
5 – е 14 – эн 23 – дубль-вэ
6 – эф 15 – о 24 – икс
7 – ге 16 – пе 25 – ипсилон
8 – га 17 – ку 26 –зета
9 – и 18 – эр
Наименование букв греческого алфавита:
1 – альфа 9 – йота 17 – ро
2 – бета 10 – каппа 18 – сигма
3 – гамма 11 – ламбда 19 – тау
4 – дельта 12 – мю 20 – ипсилон
6 – дзета 14 – кси 22 – хи
7 – эта 15 – омикро 23 – пси
8 – тэта 16 – пи 24 – омега
латинский алфавит
Шрифт типа А с наклоном (прописные и строчные буквы)
Рис. 7
ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
Шрифт типа Б с наклоном (прописные и строчные буквы)
Рис. 8
Все графические работы должны выполняться карандашом, в том числе буквы и цифры чертежного шрифта. Необходимо выполнять надписи сначала тонкими линиями жестким карандашом (твердость 2Т), а окончательную обводку с приданием каждой букве и цифре определенной толщины выполнять карандашом средней твердости (ТМ). Применять более мягкие карандаши для обводки не следует, так как они пачкают бумагу, и чертеж теряет свежесть.
Работая карандашом, не надо проводить лишних линий при построении вспомогательной сетки. Вспомогательные линии не следует проводить за пределы буквы и цифры.
Чтобы толщина обводки каждой буквы или цифры была одинаковой, нужно время от времени править карандаш на наждачной бумаге. После этого следует обязательно проверять, какую толщину линии на бумаге дает правленый карандаш. Если под рукой нет наждачной бумаги, то править карандаш можно и на обычной бумаге. Для этого проводят карандашом по бумаге до тех пор, пока графиту не придадут форму конуса или лопатки.
Во избежание загрязнения поверхности чертежа его следует покрыть листом чистой бумаги, оставляя при этом ту часть, на которой в данный момент выполняют надпись.
На лекционных и практических занятиях будет принята система обозначений и символики (табл. 2,3), разработанная проф. Н.Ф.Четверухиным. Система этих обозначений широко применяется в настоящее время кафедрами начертательной геометрии и инженерной графики ведущих вузов России.
Таблица 2
ОБОЗНАЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ
Геометрическая фигура (объект)
Обозначение и пример
Точка
Прописная буква латинского алфавита: А,В,С, … или арабская цифра:1,2,3, … (может быть римская цифра:I,II,III, …).
Центр проецирования S. Начало координатО(буква). Точка в бесконечности:S^,А^,В^, ….
Линия – прямая или кривая
Строчная буква латинского алфавита: a,b,c, …. Горизонтальh; фронтальf; профильная прямая или кривая (профиль)р; ось вращенияi; направление проецирования или направление взгляда в пространстве:s– наП₁,v– наП₂; оси координат:x,y,z; оси проекцийx,y,zилиx₁₂,x₂₄и т.д. (АВ) – прямая, определяемая точкамиАиВ; ΙАВΙ – длина отрезкаАВ, натуральная величина отрезкаАВ.
Скобки не даются, если в тексте имеются соответствующие слова (например, прямая АВ).
Поверхность (включая плоскость)
Прописная буква греческого алфавита: Г(гамма),(сигма),(лямбда), ….
Плоскость проекций
Прописная буква греческого алфавита: П(пи) с добавлением индекса.П₁– горизонтальная плоскость проекций;П₂– фронтальная плоскость проекций;
П₃– профильная плоскость проекций;П₄,П₅, … – дополнительные плоскости проекций.
Угол
Строчная буква греческого алфавита: ,,, ….
Проекция объекта
А₁,b₁,₁– горизонтальные проекции точкиА, линииb, поверхности;
А₂,b₂,₂– фронтальные проекции точкиА, прямойb, поверхности; и т. д.
Таблица 3
СИМВОЛЫ ВЗАИМОРАСПОЛОЖЕНИЯ И ЛОГИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ
Знак
Смысл знака
Пример, пояснение

или


или

Взаимная принадлежность (инцидентность) объектов как множеств, подмножеств
Взаимная принадлежность (инцидентность) объектов, из которых один – множество, другой – элемент множества, т.е. точка
tГ– линияtпринадлежит поверхностиГ; поверхностьГпроходит через линиюt;
Гt– то же (знак открытой частью всегда обращен в сторону большего множества).
tА– линияtпроходит через точкуА; точкаАпринадлежит линииt;
Аt– то же (знакоткрытой частью обращен в сторону множества).
∩
Пересечение
а∩b– линииaиbпересекаются;(a∩b) – плоскостьзадана пересекающимися прямымиaиb.
=
или
Результат
Равенство
Совпадение
А=а∩b– точкаАполучена в результате пересечения линийaиb.АВ=ЕF– отрезокАВравен отрезкуЕF.
А₂=В₂– фронтальные проекции точекАиВсовпадают.
ΙΙ
Параллельность
(АВ) ΙΙ (СD) – прямыеАВиСDпараллельны.

Перпендикулярность
АВСD

Отображается, последовательность действий
А₁А₂– по горизонтальной проекции точкиАстроим фронтальную.
X%2c Y или Z%2c в геометрии — ответы на кроссворды
Кроссворд «За 2с ___» . с 5 буквами в последний раз видели 01 января 1971 года. Мы нашли 20 возможных решений для этой подсказки. Ниже приведены все возможные ответы на эту подсказку, упорядоченные по рангу. Вы можете легко улучшить поиск, указав количество букв в ответе.
Лучшие ответы на X%2c Y или Z%2c В геометрии:
PLAIN, AXES, AXIS
Сортировать по: Классифицировать
Ранг
Длина
Длина
Слово Подсказка
92% 5 ОБЫЧНЫЙ «Для 2с ___»
77% 4 ОСи x, y и z по математике
77% 4 ОСЬ x, y или z в геометрии
74% 3 ГЕН Ввод в X, Y или Z
66% 4 ОРИКС X или Y (анаг)
66% 15 СТРОЧНЫЕ БУКВЫ х, у или г
66% 6 ПИСЬМО Х, Y или Z.
56% 7 АЛГЕБРА Тема «X + Y = Z»
53% 7 БУМЕРЫ Поколение Z, миллениалы, поколение X, ___
53% 5 АКСИОМА Если X=Y и Y=Z, то X=Z, например
51% 3 АТО От ___ г.
51% 3 ТАС Часть X-X-X
51% 14 ПРОФИЛЬНОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ «Малкольм Икс» или «Милк»?
51% 4 ВАШ «Y» в FYI
51% 4 ОБЛАСТЬ Расчет геометрии
51% 14 ЖЕ РАЗНИЦА х — у = х — у
51% 3 НАБОР {х, у, г}, например
51% 7 ДЕЛИТЕЛЬ В х ÷ у, у
48% 4 POSH Fancy-y-y
48% 5 УСЛОВИЯ х и у в «х + у»
Уточните результаты поиска, указав количество букв. Если какие-то буквы уже известны, вы можете предоставить их в виде шаблона: «CA????».
Последние подсказки
Золотой штат, фамильярный кроссворд
Вне книжного бизнеса, возможно, разгадка кроссворда
Уличный хип-хоп Бит Кроссворд Подсказка
Пули и т. д. Кроссворд
Я прах, разложившийся в земле Кроссворд
Звук слизи, падающей на пол Кроссворд
Персидский правитель дает римскому королю 6 разгадку кроссворда
Уютное и расслабляющее место для отдыха Кроссворд
Последнее место, где вы найдете путешественников? Кроссворд
Кроссворд «— Ты извиняешься»
Город, где останавливаются корабли Кроссворд
Спорим, что сыну нужно разгадать головоломки Кроссворд
Захваченный в бронзе, высокий греческий персонаж Кроссворд
Новый префикс, который я подготовил ранее? Кроссворд
Встань на вершину Дейзи, вышедшей замуж ранее Кроссворд
Проверяет измененную подсказку кроссворда Санкции
Класс Pe, Обычно Кроссворд
Кроссворд Страдальца
Действуй как больной неудачник, разгадывай кроссворд
601, К Катону Кроссворд
Разрезать в клочья Кроссворд
Как подсказка кроссворда с рассчитанным ходом
Возьмите переднее пассажирское сиденье Кроссворд Clive
Плата за политические услуги Кроссворд
Благодарность окружного прокурора о назначении кроссворда
Ближневосточная федерация с 1971 года, краткий кроссворд
Переместить границы, возможно, разгадка кроссворда
Дочь Миноса, которая помогла Тесею разгадать кроссворд
Кроссворд доктора, лечащего пазухи
Отмена (Движение за права арендаторов) Кроссворд
Глава, выпустивший крик боли, взял разгадку кроссворда
Создатель кроссвордов Gillikins, Quadlings, Winkies и Munchkins
Убийца может быть рядом с кормой в спасательном плавучем кроссворде
Техас, Кроссворд Звездного штата
Клейкая подсказка для кроссворда «Скотч» или «Канал»
Принятие хитов Кроссворд
Разработка сценария со старой ветчиной из Италии Кроссворд
Память (говорите, впервые едите моллюсков?) Кроссворд
Шикарный тип? Кроссворд
Некоторые онлайн-помощники Кроссворд
Что вы можете пожелать сделать с чем-то отвратительным Кроссворд
Слишком сложно, эта подсказка будет подсказкой кроссворда
Words With Dare, Dime or Diet Кроссворд
Направленный (Анаг. ) Кроссворд
О пинте опрокинутой, Том любит это! Кроссворд
Chipotle Extra, для разгадки короткого кроссворда
Ошибочно расслышав день получения новой академической премии Кроссворд
Подсказка-кроссворд о нестабильном положении дел
Ответы от Корнуоллского чая, заваренного, но не горячего Кроссворд
«СНЛ» Квасцы Педрад Кроссворд
Мы нашли 1 решений для X%2c Y или Z%2c В геометрии .Лучшие решения определяются по популярности, рейтингу и частоте поиска. Наиболее вероятный ответ на подсказку ОБЫЧНЫЙ .
С crossword-solver.io вы найдете 1 решения. Мы используем исторические головоломки, чтобы найти наилучшие ответы на ваш вопрос. Мы добавляем много новых подсказок на ежедневной основе.
С нашей поисковой системой для решения кроссвордов у вас есть доступ к более чем 7 миллионам подсказок. Вы можете сузить возможные ответы, указав количество букв, которые он содержит. Мы нашли более 18 ответов для X%2c Y или Z%2c в геометрии.
Актуальные подсказки
1977 Линда Ронштадт разгадывает кроссворд
Сосед Хорватии Кроссворд
Сайт онлайн-знакомств, кроссворд
Цель маски для лица Кроссворд
Частные беседы в Твиттере, для краткости Кроссворд
Острая корейская капуста Кроссворд
Преувеличенная мужественность Кроссворд
Эмерсон опус Кроссворд Подсказка
Кроссворд израильского морского порта
Перепроверьте разгадку кроссворда
Сухой юмор Кроссворд
A, во французском кроссворде
___ (бостонский небоскреб) Кроссворд
Разгадка кроссворда «На нем»
Сделать много? Кроссворд
Кроссворд канала «Акулий торнадо»
Порт Миссисипи. Кроссворд
Исполнительница песни How We Do (Party) Рита Кроссворд
Актер Эфрон из фильма «Спасатели Малибу» Кроссворд
Болотная птица Кроссворд
Актер Эльба из кроссворда «Кошки»
Героиня сказки «Красавица и чудовище» Кроссворд
Единицы сетки Кроссворд
Кроссворд отношения
Cavs, на табло Кроссворд
Сам по себе кроссворд
Входить с осторожностью Кроссворд Подсказка
Валюта Вьетнама Кроссворд
Держатель значка за заслуги Кроссворд Clue
Кроссворд HH Munro
Хватит говорить Кроссворд
Соответствует кроссворду
Научная орг. Кроссворд
Гонка «Машина времени» Кроссворд
Марион ___, победительница в номинации «Лучшая женская роль» за кроссворд «Жизнь в розовом цвете»
Кроссворд Политический беженец
Исламское право Кроссворд Clive
Покаялся ли кроссворд?
Арест, как преступника Кроссворд Подсказка
Джон Стид и Эмма Пил Кроссворд
Место для парковки Кроссворд
Урад дал, он же черный ___ Кроссворд
Олимпийская гимнастка Strug Кроссворд Clue
Партнер Фреда Астера по танцам. Кроссворд
Очертания кроссворда
Бостонский небоскреб, знакомый кроссворд
Передовая разгадка кроссворда
Система весов Кроссворд
Сайт перископа Кроссворд
Дочь Леды Кроссворд
Повторяющиеся подсказки
Аксессуар к подсказке кроссворда костюма
Покупка в магазине пакетов Кроссворд
Разгадать кроссворд
Отбросьте кроссворд
Краткая подсказка кроссворда
Судья Кроссворд
Подсказка кроссворда соевого творога
Кроссворд актерского мастерства
Входит в кроссворд
Метод Кроссворд Подсказка
Отдых (против) Кроссворд
Отвлечь кроссворд ключ
Кроссворд оленя
Бейливик Кроссворд Подсказка
Разгадка кроссворда телесериала
Кроссворд члена кооператива
Кроссворд для удаления пятен
Поверхности со стразами Кроссворд
Разгадка кроссворда сержанта-инструктора «Один»
Пудели, но не Schnoodles или Doodles Кроссворд Clive
Разгадка кроссворда горького сожаления
Разгадка кроссворда
Отступление Кроссворд Подсказка
Подтолкнуть к кроссворду
Что-то взятое лучником Кроссворд
Собери груши, разгадывай кроссворд
Введение Кроссворд
Кроссворд о наводнениях
Единица работы Кроссворд
Разве это не неправильно? Кроссворд
Один из 64 отделов Луизианы Кроссворд
Кроссворд французского писателя Сагана
Блюда медленного приготовления Кроссворд
Разделы сюжета Кроссворд
Общались с, но не по-настоящему Кроссворд
Подсказка кроссворда шумихи
Найдите ключ к кроссворду русла реки
Разгадка кроссворда
Кроссворд Адриатической страны
Разгадка кроссворда
Река в Англии Кроссворд
Отменено, в некотором роде Кроссворд
Подражание кроссворду
Австралийский мегаполис Кроссворд
Кроссворд преемника Черчилля
Подключенный кроссворд
Кроссворд на итальянском языке «три»
Кроссворд с маленькой картой
Фигура Голова?: Сокр. Кроссворд
Воображаемый кроссворд
Системы координат (Direct3D 9) — приложения Win32
Редактировать
Твиттер LinkedIn Фейсбук Электронная почта
Статья
06.01.2021
Обычно приложения для трехмерной графики используют два типа декартовых систем координат: левостороннюю и правостороннюю. В обеих системах координат положительная ось x направлена вправо, а положительная ось y направлена вверх. Вы можете запомнить, в каком направлении указывает положительная ось z, указав пальцами левой или правой руки в положительном направлении x и согнув их в положительном направлении y. Направление, на которое указывает ваш большой палец, к вам или от вас, является направлением, на которое указывает положительная ось Z для этой системы координат. На следующем рисунке показаны эти две системы координат.
Direct3D использует левостороннюю систему координат. Если вы переносите приложение, основанное на правосторонней системе координат, вы должны внести два изменения в данные, передаваемые в Direct3D.
Измените порядок вершин треугольника так, чтобы система обходила их по часовой стрелке спереди. Другими словами, если вершины v0, v1, v2, передайте их в Direct3D как v0, v2, v1.
Используйте матрицу вида для масштабирования мирового пространства на -1 в направлении z. Для этого поменяйте местами знак _31, _32, _33 и _34 элемента D3DMATRIX структура, которую вы используете для своей матрицы представления.
Чтобы получить правосторонний мир, используйте функции D3DXMatrixPerspectiveRH и D3DXMatrixOrthoRH для определения преобразования проекции. Однако будьте осторожны при использовании соответствующей функции D3DXMatrixLookAtRH , обратном порядке отбраковки обратной грани и соответствующем размещении кубических карт.
Хотя левосторонние и правосторонние координаты являются наиболее распространенными системами, существует множество других систем координат, используемых в 3D-программном обеспечении. Например, приложения для 3D-моделирования нередко используют систему координат, в которой ось Y направлена к наблюдателю или от него, а ось Z направлена вверх.
Формально ориентация набора базисных векторов (т. е. системы координат) может быть найдена путем вычисления определителя матрицы, определяемой конкретным набором базисных векторов. Если определитель положителен, говорят, что базис «положительно» ориентирован (или правосторонний). Если определитель отрицательный, говорят, что базис «отрицательно» ориентирован (или левосторонний). Объяснение того, что такое определитель, см. в любом ресурсе по линейной алгебре.
Оставить комментарий on Ось z в геометрии 9 букв: Ось Z, 9 (девять) букв/
Формула по геометрии: Основные формулы по геометрии и их свойства.
alexxlab / 24.06.202310.05.2023 / Геометрии
Формулы по геометрии

Формулы по геометрии
Площадь плоских фигур
Площадь треугольника
через основание и высоту
через две стороны и угол
формула Герона
через радиус вписсанной окружности
через радиус описсанной окружности
площадь прямоугольного треугольника
площадь равнобедренного треугольника
площадь равностороннего треугольника
площадь параллелограмма
площадь ромба
площадь прямоугольника
площадь квадрата
площадь трапеции
площадь четырехугольника
площадь правильного 6-угольника
площадь круга
площадь эллипса
площадь сектора круга
площадь сегмента круга
площадь кольца
площадь сектора кольца
Площадь поверхности тел
площадь поверхности куба
площадь поверхности параллелепипеда
площадь поверхности правильной пирамиды
боковая поверхность правильной усеченной пирамиды
площадь поверхности конуса
площадь поверхности усеченного конуса
площадь поверхности цилиндра
площадь поверхности сферы
площадь поверхности шарового сегмента
площадь поверхности шарового сектора
площадь боковой поверхности шарового слоя
Периметр фигур
периметр треугольника
периметр прямоугольника
периметр квадрата
периметр параллелограмма
периметр ромба
периметр трапеции
периметр круга или длина окружности
Радиус описанной окружности
радиус описанной окружности треугольника
радиус описанной окружности квадрата
радиус описанной окружности прямоугольника
радиус описанной окружности равнобедренной трапеции
радиус описанной окружности правильного шестиугольника
радиус описанной окружности правильного многоугольника
Объем тел
объем куба
объем параллелепипеда
объем пирамиды
объем правильной пирамиды
объем тетраэдра
объем усеченной пирамиды
объем конуса
объем усеченного конуса
объем цилиндра
объем шара
объем шарового сегмента
объем шарового сектора
объем шарового слоя
Формулы геометрии

    1. Признаки параллельности прямых.
    2.Признаки равенства треугольников.
    3.Теорема Пифагора.
    4.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
    5.Теорема синусов. Теорема косинусов.
    6.Радиус вписанной и описанной окружностей треугольника.

1 2 3 4 5 6 7 8

Признаки параллельности прямых

Признаки равенства треугольников

Теорема Пифагора

Рассчитать стороны прямоугольного треугольника
Катет a     Катет b                   Гипотенуза c =

Гипотенуза c     Катет a                   Катет b =

Репетитор: Васильев Алексей Александрович

Предметы: математика, физика, информатика, экономика, программирование.

  2000 руб / 120 мин — подготовка к ЕГЭ и ГИА для школьников. 3000 руб / 120 мин — индивидуально (базовый уровень). 2000 руб / 120 мин — студенты.

Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников

Рассчитать радиус вписанной и описанной окружностей
Сторона a    Число углов n         Радиус R =        Радиус r =

Теорема синусов

Рассчитать сторону треугольника
Сторона а   sin (α= °)    sin (β= °)      Сторона b =
Рассчитать угол треугольника
Сторона а   sin (α= °)    Сторона b       Угол β =     °

Теорема косинусов

Рассчитать сторону треугольника
Сторона b   Сторона с    cos (α= °)      Сторона a =
Рассчитать угол треугольника
Сторона а    Сторона b     Сторона c       Угол α =     °

Радиус вписанной и описанной окружностей

Рассчитать радиус описанной и вписанной окружности

Сторона а    Сторона b    Сторона c



Площадь S =        Радиус R =        Радиус r =

1 2 3 4 5 6 7 8

геометрических формул и уравнений | Примеры, Методы, Таблица
Примечание: эта страница содержит устаревшие ресурсы, которые больше не поддерживаются. Вы можете продолжать использовать эти материалы, но мы можем поддерживать только наши текущие рабочие листы, доступные как часть нашего членского предложения.
Квадрат – это четырехугольник, у которого четыре равные стороны и четыре прямых угла.
Для квадрата, сторона которого состоит из s единиц:
Площадь квадрата = сторона x сторона = s ² кв. единиц
Например, если у нас есть квадрат, одна сторона которого равна 6 см, его площадь будет рассчитана как:
Площадь = сторона x сторона = 6 x 6 = 36 см ²
Прямоугольник является разновидностью четырехугольника равные противоположным сторонам и четырем прямым углам.
Площадь прямоугольника с длиной ‘ l ‘ и шириной ‘b’ равна l x b
Например, рассмотрим прямоугольник длиной 8 см и шириной 7 см, как показано на рис. рисунок ниже.
Треугольник — это многоугольник, состоящий из трех ребер и трех вершин. Вершины соединяются вместе, образуя три стороны треугольника. Площадь, занимаемая этими тремя сторонами, называется площадью треугольника.
Площадь треугольника определяется как: 1/2 x b x h
Где b = основание треугольника (или любая сторона треугольника)
И
H = высота треугольника от этого основания (или стороны )
На следующем рисунке показаны основание и высота треугольника:
Приведенная выше формула применима независимо от того, является ли треугольник разносторонним (у него разные стороны), равнобедренным треугольником (у которого две стороны равны) или равносторонним треугольником (у которого все стороны равны).
Давайте лучше разберемся на примере. Предположим, у нас есть треугольник, одна сторона которого равна 6 см, а высота основания равна 8 см, как показано на следующем рисунке:
Площадь этого треугольника равна
1/2 x b x h
Где b = 6 см, а h = 8 см
Следовательно, площадь = 1/2 x 6 x 8 = 24 см ²
Пространство, занимаемое кругом, называется его площадью.
Площадь круга с радиусом ‘r’ (расстояние от центра до точки на границе) определяется как πr ², где π = 22/7 или 3,14 (приблизительно)
Например, предположим, что у нас есть круг с радиусом 7 см, как показано на рисунке ниже.
Его площадь определяется как:
Площадь = πr ² = (22/7) x 7 x 7 = 154 см ²
Предположим, что вместо радиуса нам дан диаметр круга, как мы вычисляем площадь?
Мы знаем, что в круге радиус равен половине диаметра. Математически
r = d/2, где d — диаметр, а r — радиус.
Итак, делим заданный диаметр наполовину и получаем радиус.
Пример
Предположим, нам нужно найти площадь круга диаметром 4,2 см.
Здесь диаметр (d) = 4,2 см
Из соотношения между радиусом и диаметром имеем r = d/2.
Отсюда r = 4,2/2 = 2,1 см
Теперь площадь этого круга = = πr ² = (22/7) x 4,2 x 4,2 = 55,44 см ²
Длина, равняется границе круг называется его окружностью . Он определяется как 2πr, где r — радиус. Другими словами, окружность круга — это то же, что периметр для других геометрических фигур, таких как прямоугольник квадрата.
Рассмотрим круг радиусом 7 см. Для того, чтобы найти его длину окружности, нам нужно воспользоваться формулой 2πr.
Следовательно, длина окружности этого круга = 2πr = 2 x (22/7) x 7 = 44 см.
Обратите внимание на единицы измерения периметра и площади. В то время как единицы площади всегда в квадратных единицах, в случае периметра они всегда в стандартных единицах длины, таких как м, см, дм, км и т. д.
Многогранник, содержащий две пары конгруэнтных параллельных оснований, называется прямоугольная призма. Он считается призмой из-за поперечного сечения по длине. Основание прямоугольной призмы представляет собой прямоугольник. Он имеет три измерения, как показано на рисунке ниже:
Объем прямоугольной призмы определяется как:
V = длина x ширина x высота
Где
l = длина основания призмы
w = ширина основания призмы
h = высота призмы
Например, у нас есть прямоугольная призма, длина основания которой равна 6 см; ширина основания 5 см, а высота 4 см. Тогда объем будет равен:
Объем (V) = l x w x h
Где
l = 6 см, w = 5 см и h = 4 см
Объем = 6 х 5 х 4 = 120 куб. см
Не единицы объема. Объем любой геометрической фигуры всегда выражается в кубических единицах.
Количество (в любой форме), которое может удержаться в цилиндре, называется его объемом. Другими словами, объем цилиндра – это занимаемое им пространство. Основание правильного круглого цилиндра представляет собой круг на обоих концах, которые проходят параллельно друг другу, как показано на рисунке ниже.
Объем прямого кругового цилиндра определяется как:
Объем = площадь основания x высота цилиндра
Поскольку основание представляет собой круг, его площадь определяется как πr ²
90 002 Следовательно, объем прямоугольного цилиндра становится πr ² h
Пример
Предположим, мы хотим найти объем правильного круглого цилиндра, радиус которого в основании равен 5 см, а высота цилиндра равна 7 см.
На следующем рисунке показаны заданные размеры этого цилиндра.
Его объем определяется как πr ² ч = (22/7) x 5 x 5 x 7 = 550 куб. см
Конус представляет собой пирамиду с круглым основанием. Его объем равен 1/3πr ² ч, где «r» — радиус основания конуса, а «h» — его высота.
Предположим, мы хотим вычислить объем конуса с радиусом 6 см и высотой 14 см.
Его объем будет равен:
V = 1/3πr ² h = (1/3) x (22/7) x 6 x 14 = 88 куб. см
Вышеприведенные формулы можно обобщить в таблице ниже.
Приведенные ниже формулы обычно требуются в геометрии для расчета длин, площадей и объемов. Вы можете использовать их, чтобы помочь детям с домашним заданием по математике.
Список формул
Площадь квадрата = длина ² (д x д)
Площадь прямоугольника = длина х высота
Площадь треугольника = 1/2 х длина х высота
Площадь круга = ?r ² (? = 3,14 примерно)
Длина окружности длина окружности = 2 r
(? x диаметр)
Объем прямоугольной призмы = длина х высота х глубина
Объем цилиндра = площадь основания x высота = ? (г/2) ² х в
Объем конуса = 1/3 x площадь основания x высота = 1/3 x ?(d/2) ² x h
Мы тратим много времени на изучение и сбор информации на этом сайте. Если вы сочтете это полезным в своем исследовании, используйте приведенный ниже инструмент, чтобы правильно указать ссылку Helping with Math в качестве источника. Мы ценим вашу поддержку!
Базовые формулы геометрии — GeeksforGeeks
В математике геометрия выступает как дисциплина изучения и предмет для анализа форм и структур вместе с их свойствами. Приведенная ниже статья иллюстрирует стандартные фиксированные или производные формулы геометрии для расчета различных параметров конкретной формы. Эти формулы используются для определения неизвестных сторон, углов или других его величин.
Формула базовой геометрии
Формула представляет собой математическое правило, которое формируется путем вывода взаимосвязи между двумя или более физическими величинами или математическими соотношениями. формулы обычно представляются в символической форме с помощью математических символов. Эти символические представления формул состоят из переменных, констант, операционных знаков и терминов.
Геометрические формулы являются стандартными производными формулами для расчета параметров фигур. Этими параметрами являются площадь, объем, периметр, окружность, общая площадь поверхности, площадь боковой поверхности и т. Д. Каждая форма, изучаемая в геометрии, имеет для них свою собственную формулу. Эти формулы перечислены ниже.
Квадрат
Периметр Квадрата = 4а
Площадь Квадрата = а ²
Где а — длина стороны квадрата
Прямоугольник
Периметр прямоугольника = 2(l + b)
Площадь прямоугольника = л × ш
Где ‘l’ длина и ‘b’ ширина
Треугольник
Площадь треугольника = A = 1/2 × b × h
Где ‘b’ основание треугольника
и «h» высота треугольника
Трапеция
Площадь трапеции = A = 1/2 × (b1 + b2) × h
Где b1 и b2 — основания T рапезоид
а, h высота трапеции
Окружность
Площадь окружности = A = π × r2
Длина окружности = A = 2πr
Где «r» — радиус круга
Куб
Площадь поверхности куба = 6a ²
Где «a» — длина сторон куба
Цилиндр 900 03
Площадь криволинейной поверхности цилиндра = 2πrh
Общая площадь поверхности цилиндра = 2πr(r + h)
Объем цилиндра = V = πr2h
Где «r» — радиус основания цилиндра
, а «h» — высота Цилиндр
Конус
Площадь криволинейной поверхности конуса = πrl
Общая площадь поверхности конуса = πr(r + l) = πr[r + √(h ² + р ² )]
Объем конуса = V = 1/2× πr ² h
Здесь ‘r’ — радиус основания конуса
, а h — высота конуса
9 0079 Сфера
Площадь поверхности сферы = 4πr ²
Объем сферы = 4/3 × πr ³
Где r – радиус сферы
Примеры задач
Задача 1. Если радиус круг 14 см. Найдите площадь данного круга.
Решение:
Дано
Радиус окружности равен 14см.
Имеем,
Площадь круга (A)=πr ²
=>22/7 x 14 x 14
=>616см ²
Задача 2. Найдите площадь треугольника с основанием 12см и высотой 8см.
Решение:
Дано
Основание треугольника 12см.
Высота треугольника 8см.
Имеем,
Площадь треугольника(A)=1/2 x b x h
=>1/2 x 12 x 8
=>48см ²
Задача 3. Найдите периметр заданного прямоугольник длиной 10 см и шириной 4 см.
Решение:
Дано
Длина прямоугольника 10см.
Ширина прямоугольника 4см.
Имеем,
Периметр прямоугольника(P)= 2(l+b)
=>2(10+4)
=>2 x 14
=>28см
900 79 Задача 4. Найти периметр квадрата, длина которого 5 см.
Решение:
Дано
Длина квадрата 5см.
Имеем,
Периметр квадрата(P)= 4l
=> 4 x 5
=>20см
Задача 5. Найдите объем сферы, имеющей радиус 9см.
Решение:
Дано
Радиус сферы равен 9см.
У нас есть
Объем сферы (V)=4/3 πr ³
=>4/3 x 22/7 x (9) ³
=>3054,85 см 900 09 3
Задача 6. Вычислить площадь трапеции с основаниями 8см и 10см и высотой 12см.
Решение:
Дано
Пусть основания трапеции равны b1 и b2 со значениями 8см и 10см соответственно.
Высота трапеции 12см.
У нас есть,
Площадь трапеции = A =1/2 × (b1 + b2) × h
=>1/2 x (8 +10) x 12
=>1/2 x 18 x 12
=> 216/2
=>108см ²
Задача 7.
Оставить комментарий on Формула по геометрии: Основные формулы по геометрии и их свойства./
Формулы по геометрии 8 класс: Формулы по геометрии
alexxlab / 22.06.202308.05.2023 / Геометрии
Определения, теоремы и формулы геометрия 8 класс
Определения
Многоугольник-геометрическая фигура, составленная из отрезков так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные-не имеют общих точек.
Выпуклый многоугольник, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Параллелограмм-четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Трапеция-четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие-не параллельны.
Основания трапеции-её параллельные стороны, две другие не параллельные-боковые стороны трапеции.
Равнобедренна трапеция, если её боковые стороны равны.
Прямоугольная трапеция, если один из её углов прямой.
Прямоугольник-параллелограмм, у которого все углы прямые.
Ромб-параллелограмм, у которого все стороны равны.
Квадрат-прямоугольник, у которого все стороны равны.
Точки А и А₁симметричны относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему.
Фигура симметрична относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно данной прямой также принадлежит этой фигуре(это осевая симметрия).
Ось симметрии-данная прямая, относительно которой происходит симметрия.
Точки А и А₁симметричны относительно точки О, если О середина отрезка АА₁.
Фигура симметрична относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре(это центральная симметрия).
Отношение отрезков АВ и СD-отношение их длин, т.е. .
Отрезки АВ и СD пропорциональны отрезкам А₁В₁ и С₁D₁, если .
Стороны треугольника АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, СА и С₁А₁сходственны, если .
Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого
,
где k- коэффициент подобия.
Средняя линия треугольника-отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Синус острого угла прямоугольного треугольника- отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус острого угла прямоугольного треугольника- отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение противолежащего катета к прилежащему.
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – отношение синуса к косинусу этого угла.
Касательная к окружности-прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку-точку касания прямой и окружности.
Полуокружность-дуга, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром окружности.
Центральный угол-угол с вершиной в центре окружности.
Серединный перпендикуляр к отрезку-прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.
Окружность, вписанная в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности. А многоугольник, описанный около этой окружности.
Окружность, описанная около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на окружности. А многоугольник, вписанный в окружность.
Вектор(направленный отрезок)-отрезок, для которого указано, какой его конец является началом, а какой-концом.
Нулевой вектор, если начало совпадает с его концом.
Длина или модуль вектора — длина отрезка АВ.
Векторы коллинеарные , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
Векторы сонаправленные , если они направлены в одну сторону.
Векторы противоположно направленные , если они направлены в разные стороны.
Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны.
Сумма двух векторов (правило треугольника)-вектор с началом в начале первого вектора и концом в конце второго вектора.
Сумма n— векторов (правило многоугольника), если А₁,А₂,…,А_n-произвольные точки плоскости, то , где n_количество векторов.
Разность двух векторов и — вектор , равный сумме векторов и .
Произведение вектора на число k-вектор , длина которого , причем и при и при .
Средняя линия трапеции-отрезок, соединяющий середины её боковых сторон или середины её оснований (вторая средняя линия трапеции).
Правила и теоремы
5.1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна , где n-количество сторон многоугольника.
5.2. Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360⁰.
5.3. Свойства параллелограмма:
1⁰. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2⁰. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
5.4. Признаки параллелограмма:
1⁰. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм.
2⁰. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник параллелограмм.
3⁰. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник параллелограмм.
5.5. Теорема Фалеса. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки.
5.6. Свойство прямоугольника:
1⁰. Диагонали прямоугольника равны.
5.7. Признак прямоугольника:
1⁰. Если в параллелограмме диагонали равны, значит этот параллелограмм-прямоугольник.
5.8. Свойство ромба:
1⁰. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
5.9. Свойства квадрата:
1⁰. Все углы квадрата прямые.
2⁰. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
6.1. Свойства суммы многоугольников:
1⁰. Равные многоугольники имеют равные площади.
2⁰. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
3⁰. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.
6.2. Теорема (о площади прямоугольника). Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.
6.3. Теорема (о площади параллелограмма). Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.
6.4. Теорема (о площади треугольника). Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.
Следствия из теоремы:
1.     Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
2.     Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
6.5. Теорема (о площади двух треугольников). Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
6.6. Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту.
6.7. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
6.8. Обратная теорема Пифагора. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.
6.9. Свойства биссектрис параллелограмма:
1⁰. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2⁰. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3⁰. Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны.
6.10. Свойства биссектрис трапеции:
1⁰. Биссектриса отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона. .
2⁰. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.
3⁰. Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.
4⁰. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.
6.11. Свойство второй средней линии трапеции: Пусть средняя КN-вторая средняя линия трапеции с основаниями ВС и АD, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции М. Тогда .
7.1. Теорема (об отношение площадей подобных треугольников).Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
7.2. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
7.3. Признаки подобия треугольников:
Теорема 1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.
Теорема 2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то эти треугольники подобны.
Теорема 3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то эти треугольники подобны.
7.4. Теорема (о средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
7. 5. Свойство медианы треугольника:
1⁰. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношение 2:1, считая от вершины.
7.6. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
7.7. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы, косинусы и тангенсы этих углов равны.
8.1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d<r), то прямая и окружность имеют две общие точки.
8.2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d=r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку.
8.3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d>r), то прямая и окружность не имеют общих точек.
8.4. Теорема (о касательной и радиусе). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.
8.5. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки. Равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
8.6. Теорема (признак касательной). Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.
8.7. Теорема (о касательной и секущей). Если из точки М, лежащей вне окружности, проведены касательная МС и секущая МВ, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть
, где А и В-точки пересечения с окружностью секущей соответственно, считая от М.
8.8. Если дуга АВ окружности с центром О меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ. Если же дуга АВ больше полуокружности, то её градусная мера считается равной .
8.9. Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360⁰.
8.10. Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
Следствия из теоремы:
1.     Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2.     Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, -прямой.
8.11. Теорема (о произведении отрезков пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.
8.12. Четыре замечательные точки треугольника: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжения).
Теорема (о биссектрисе угла). Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.
Следствие из теоремы: Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема (о серединном перпендикуляре к отрезку). Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
Следствие из теоремы: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
Теорема (о пересечении высот треугольника). Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
8.13. Теорема (об окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать только одну окружность.
8.14. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
8.15. Теорема (об окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать только одну окружность.
8.16. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180⁰.
8.17. Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180⁰, то около него можно описать окружность.
8.18. Свойства равностороннего треугольника:
1⁰. Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают.
2⁰. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).
3⁰. Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой вершины    треугольника равно радиусу описанной окружности.
4⁰. Все высоты равностороннего треугольника равны.
9.1. От любой точки можно отложить только один вектор, равный данному.
9.2. Теорема (правило параллелограмма). Для любых векторов и справедливы равенства:
1. (переместительный закон)
2. (сочетательный закон).
9.3. Теорема (о разности векторов). Для любых векторов и справедливо равенство .
9.4. Произведение любого вектора на 0-это нулевой вектор.
9.5. Векторы и коллинеарны при любых и .
9.6. Свойства произведения вектора на число:
1⁰. (сочетательный закон)
2⁰. (первый распределительный закон)
3⁰. (второй распределительный закон)
9.7. Теорема (о средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полу сумме.
9.8. Сумма противолежащих углов трапеции равна 180⁰.
Формулы
Основное тригонометрическое тождество
Таблица углов
Радиан.
0
0
1
0
-1
0
1
0
-1
0
1
0
1
—
-1
0
—
0
градусы
0⁰
30⁰
45⁰
60⁰
90⁰
120⁰
135⁰
180⁰
240⁰
270⁰
360⁰
*знать таблицу наизусть для 8 класса (зелёный), для 9 класса (зелёный и жёлтый).
все классы, все формулы, все темы
Дорогие школьники, студенты! На сайте вы найдете темы по математике за 5-11 класс и лекции по высшей математике. Мы не только изучаем теоретический материал, но и решаем задачи — подробно их разбираем. Уделяем внимание и разбору интересных задач ЕГЭ по математике. У нас вы найдете все формулы по математике за 5-11 класс, научитесь рассуждать и решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, анализировать функции, брать производные и интегралы. Особое внимание мы уделили важному разделу математики — «Геометрии». Решение пространственных задач, рассуждения, схемы и многое другое ждет вас в этом разделе.
Тригонометрия — еще один важный раздел в математике, он связывает воедино и геометрию и алгебру, помогает осмыслить пространство. Подробно разобраны в этом разделе тригонометрические уравнения и неравенства. Приведены все необходимые формулы.
7 класс. Алгебра.
Решить неравенство t^2≤5t
06. 7k.26 января 2023
Больше или меньше? А если «меньше или равно»? Как решить неравенство? В этом уроке мы решим неравенство
5 класс. Математика.
Таблица умножения на 3
13.7k.23 января 2023
Сколько будет трижды три? Девять. А откуда мы это знаем? Из таблицы умножения на 3. О ней и пойдет речь
6 класс. Математика.
Решите примеры: 8 5/6+4 3/8 и 8 5/6-4 3/8
12.7k.18 января 2023
Два примера на проверку умений складывать и вычитать смешанные числа, то есть такие числа, которые содержат
5 класс. Математика.
Выполните действия: а) 3 2 /3+2 /3 б) 4 1/6 — 1 1/ 5 в) 12×5/18 г) 6: 1 1/5
01.2k.17 января 2023
Решать примеры с дробями можно легко и просто, если знать всего несколько правил — определение общего
5 класс. Математика.
Таблица умножения на 3
13.7k.
Сколько будет трижды три? Девять. А откуда мы это знаем?
5 класс. Математика.
Выполните действия: а) 3 2 /3+2 /3 б) 4 1/6 — 1 1/ 5 в) 12×5/18 г) 6: 1 1/5
01.2k.
Решать примеры с дробями можно легко и просто, если
5 класс. Математика.
Сколько всего двузначных чисел
12.5k.
Как записать, что у Маши двадцать пять карандашей
5 класс. Математика.
Сколько трёхзначных чисел
13.7k.
Подсчитаем сколько всего трехзначных чисел.
5 класс. Математика.
Таблица умножения на 2
3858
Как умножать на два? Что это вообще означает?
5 класс. Математика.
5 5 5 5 5 расставить знаки и скобки чтобы получилось 6, 7, 8, 9, 10
1937
Логическая задача. Даны числа 5 5 5 5 5, расставить
6 класс. 2
01k.
Вычислите. 1) 2) 3) 4) Вычисление: 1) В первом примере
7 класс. Алгебра.
Абсолютная погрешность
1607
Не всегда получается точно измерить длину отрезка или
7 класс. Алгебра.
Формулы сокращенного умножения
01.4k.
Чтобы быстро умножить одно число на другое, придумали
7 класс. Алгебра.
Разность квадратов
12.7k.
Как быстро умножать алгебраические выражения?
7 класс. Алгебра.
Линейная функция y=kx+b и ее график
02.9k.
Если функция задана формулой , где и — некоторые числа
8 класс. Алгебра.
Дискриминант — определение, свойства, геометрический смысл
87k.
Важная характеристика квадратных уравнений — их дискриминант.
8 класс. Алгебра.
Теорема Виета
23. 2
11.9k.2 декабря 2022
Правильное решение получить иногда совсем не просто, хотя под корнем кажется все прекрасно извлекается, но.
9 класс. Алгебра.
9.3.3. Определение арифметической прогрессии. Примеры
02.3k.22 декабря 2013
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с
9 класс. Алгебра.
9.3.1. Числовая последовательность
022.3k.6 декабря 2013
Функция an=f (n) натурального аргумента n (n=1; 2; 3; 4;…) называется числовой последовательностью. Числа a1;
9 класс. Алгебра.
9.3.2. Арифметическая прогрессия. Теория
06.8k.25 сентября 2012
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с
10 класс. Алгебра.
Формулы приведения
116.9k.
Формулы приведения относятся к тригонометрической функции
10 класс. Алгебра.
10.3.0. Вычисление производных
015.1k.
На этом занятии мы будем учиться применять формулы
10 класс. Алгебра.
10.2.6. Решение тригонометрических неравенств. Часть 6
03.1k.
На предыдущих занятиях мы решали тригонометрические
11 класс. Алгебра.
Показательные уравнения и методы решения показательных уравнений
56.3k.
В 10-11 классе в курсе алгебры изучаются показательные
11 класс. Алгебра.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
02.8k.
Как найти площадь криволинейной трапеции ограниченной прямыми?
11 класс. Алгебра.
11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции, прилегающей к оси Оу
03k.
Если криволинейная трапеция прилегает к оси Оу (рис.
11 класс. Алгебра.
11.1.9.2. Площадь криволинейной трапеции. Примеры
042.5k.
Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху
Геометрия
Площадь трапеции
44k.
Формулы для вычисления площади всех видов трапеции
Геометрия
Площадь прямоугольника
214.9k.
Площадь прямоугольника очень часто требуется найти
Геометрия
Как рассчитать площадь круга — все формулы
117k.
Площадь круга часто требуется рассчитать в различных
5 класс. Тесты.
Тренажер таблицы умножения на 2 по возрастанию
0431
Порядок умножения на 2, в котором мы все начинаем учить
5 класс. Тесты.
Тренажер таблицы умножения на 2 (в разброс)
1298
Потренируйтесь в знании таблицы умножения на 2 на нашем
5 класс. Тесты.
Тренажер таблицы умножения на 2 с окошками для введения ответа
0330
Это интерактивный онлайн тренажер таблицы умножения на 2.
6 класс. Тесты.
Тест 6.9.2.1. Линейная функция и ее график
02.3k.
Математика. 6 класс. Тест 9.
Геометрические формулы для 8 класса
Формула
В математике область, изучающая формы, размеры, свойства пространства и взаимное расположение фигур, называется геометрией. В то время люди использовали геометрические формулы для вычисления длины, площади и объема. Расширенная геометрия делится на две категории или группы, т. е. планиметрию и объемную геометрию. Различные формы, такие как треугольник, круг, квадрат, прямоугольник и т. д., являются частью планиметрии. С другой стороны, расчеты периметра, площади, длины и объема различных геометрических фигур и форм относятся к объемной геометрии. Что касается студентов, изучающих геометрию, так это геометрическая формула. Геометрия — это вещь, которую мы используем каждый день в жизни, поэтому ее формулы составляют ее основу, и их очень важно знать.
Список геометрических формул для 8-го класса
Чтобы легко решать геометрические задачи, нам нужно знать формулы, поэтому вот они, формулы важных геометрических фигур приведены ниже.
Квадрат
                                  [Изображение будет загружено в ближайшее время]
Периметр квадрата: 4 x сторона 010
Прямоугольник
                                          [Изображение будет загружено в ближайшее время]
Периметр прямоугольника: 2 x (длина + ширина) квадратная единица
Площадь прямоугольника: длина x ширина
Круг
                                     [Изображение будет загружено в ближайшее время]
Диаметр круга: 2 × r
Окружность круга: 2 × π × r
Площадь круга: π × r2
Треугольник
                                      [Изображение будет скоро загружено]
Мы можем найти площадь и периметр треугольника, используя формула:
Периметр треугольника: сторона a + сторона b + сторона c
Площадь треугольника: ½ основания треугольника x высота треугольника.
Куб
                             [Изображение будет загружено в ближайшее время]
Общая площадь поверхности куба: 6a2 в квадратной единице
Объем куба: a3 кубической единицы 900 10
Прямоугольник
Периметр куба: 4 x (длина + ширина + высота)
Общая площадь прямоугольного параллелепипеда: 2 x [(длина x ширина) + (ширина x высота) + (длина x высота)]
Объем прямоугольного параллелепипеда: длина x ширина x высота
Прямая призма
Общая площадь поверхности прямоугольной призмы: периметр основания x высота + 2 x площадь основания
Объем прямой призмы : площадь основания x высота
Правый круглый цилиндр
                                       [Изображение будет загружено в ближайшее время]
Общая площадь правого кругового цилиндра: 2 π r (h + r) квадратных единиц
Объем правого Круглый цилиндр: πr2h
Правая пирамида
                                        [Изображение будет загружено в ближайшее время]
Общая площадь поверхности пирамиды: площадь основания + ½ (количество сторон основания x наклон высота x длина основания)
Объем пирамиды: ⅓ x площадь основания x высота
Прямой круглый конус
                                                   [Изображение будет загружено в ближайшее время]
м) р
Объем прямого кругового конуса: 1/3 πr2h
Сфера
                                    [Изображение будет загружено в ближайшее время]
Диаметр сферы: 2 r
Площадь поверхности сферы: 4 πr2
Объем сферы: (4 ⁄ 3) πr3
Решенные примеры
Пример 1) Если стороны многоугольника равны 5 см, 4 см и 2 см, найдите периметр.
Решение 1) a = 5 см, b = 4 см и c = 2 см
Периметр = a + b + c
                 = 5 + 4 + 2
                                   = 11 см
Пример 2) Какой будет длина окружности если его радиус равен 7 см?
Решение 2) Используя формулу 2πr
Подставив ее 2 x (22/7) x 7
22 x 7
154 см2
Дата последнего обновления: 02 мая 2023
•
Всего просмотров: 293.1k
•
Просмотров сегодня: 2.58k
Недавно обновленные страницы
Диагональ квадратной формулы — значение, вывод и примеры решения
Формула дисперсионного анализа — определение, полная форма, статистика и примеры
Формула среднего значения — методы отклонения, примеры решения и часто задаваемые вопросы
Формула процентного дохода — APY, атомная экономика и решение Пример
Формула ряда – определение, примеры решений и часто задаваемые вопросы
Формула площади поверхности квадратной пирамиды – определение и вопросы
Диагональ формулы квадрата – значение, вывод и примеры решения
Формула дисперсионного анализа — определение, полная форма, статистика и примеры
Формула среднего — методы отклонения, примеры решений и часто задаваемые вопросы
Формула процентного выхода — APY, атомная экономика и пример решения
Формула ряда — определение, примеры решения и часто задаваемые вопросы
Формула площади поверхности квадратной пирамиды – определение и вопросы
Актуальные темы
Формулы геометрии – все формулы геометрии
Формулы геометрии используются для нахождения размеров, периметра, площади, площади поверхности, объема и т. д. геометрических фигур. Геометрия — это часть математики, которая имеет дело с отношениями точек, линий, углов, поверхностей, измерением тел и свойствами. Существует два типа геометрии: 2D или плоскостная геометрия и 3D или объемная геометрия.
2D-фигуры — это плоские фигуры, которые имеют только два измерения: длину и ширину, такие как квадраты, круги, треугольники и т. д. 3D-объекты — это твердые объекты, которые имеют три измерения, длину, ширину и высоту или глубину, как в кубе, параллелепипеде, сфере, цилиндре, конусе. Давайте учиться все геометрические формулы вместе с несколькими решенными примерами в следующих разделах.
Что такое геометрические формулы?
Формулы, используемые для нахождения размеров, периметра, площади, площади поверхности, объема и т. д. двумерных и трехмерных геометрических фигур, известны как формулы геометрии. 2D-формы состоят из плоских фигур, таких как квадраты, круги, треугольники и т. д., а куб, прямоугольный параллелепипед, сфера, цилиндр, конус и т. д. являются некоторыми примерами трехмерных форм. Основные формулы геометрии даны следующим образом:
Формулы базовой геометрии
Давайте посмотрим список всех формул базовой геометрии здесь.
Формулы 2D-геометрии
Вот список различных формул 2D-геометрии в соответствии с геометрической формой. Он также включает несколько формул, в которых используется математическая константа π(pi).
Периметр квадрата = 4 (сторона)
Периметр прямоугольника = 2 (длина + ширина)
Площадь квадрата = сторона ²
Площадь прямоугольника = длина × ширина
Площадь треугольника = ½ × основание × высота
Площадь трапеции = ½ × (основание ₁ + основание ₂ ) × высота
Площадь круга = A = π×r ²
Длина окружности = 2πr
Формулы трехмерной геометрии
Ниже приведены основные формулы трехмерной геометрии. Следует отметить, что в следующих формулах использовалась математическая константа π(pi)
Площадь криволинейной поверхности цилиндра = 2πrh
Общая площадь поверхности цилиндра = 2πr(r + h)
Объем цилиндра = V = πr ² ч
Площадь криволинейной поверхности конуса = πrl
Общая площадь поверхности конуса = πr(r+l) = πr[r+√(h ² +r ² )]
Объем конуса = V = ⅓×πr ² ч
Площадь поверхности сферы = S = 4πr ²
Объем сферы = V = 4/3×πr ³
где
r = радиус;
ч = высота. и,
l = Наклонная высота
В таблице формул представлены формулы 2D-геометрии и формулы 3D-геометрии.
ФОРМЫ ФОРМУЛЫ
1. Прямоугольный треугольник
Теорема Пифагора: основание ² + высота ² = гипотенуза ²
Площадь = ½ × основание × высота
Периметр = основание + высота + гипотенуза
2. Треугольник
Периметр, P = a + b + c
Где a, b и c — стороны треугольника.
Площадь, A = ½ основания × высота
3. Прямоугольник
Периметр = 2(д + ш)
Площадь = lw
Диагональ, d = √(l ² + w ² )
Где,
l = длина прямоугольника
w = ширина прямоугольника
4.Параллелограмм
Периметр, P = 2(a + b)
Где а и b стороны параллелограмма
Площадь параллелограмма, A = основание × высота
Высота, h = площадь/основание
Основание, b = площадь/высота
5. Трапеция
Площадь, A = ½(a + b)h
Где,
а и b — параллельные стороны
h = расстояние между двумя параллельными сторонами
6. Круг
Окружность = 2πr
Площадь = πr ²
Диаметр = 2r
Где,
r = радиус окружности
7. Квадрат
Периметр, P = 4a
Площадь, А = а ²
Диагональ, d = a√2
Сторона, а = √A
Где,
а = сторона квадрата
8. Дуга
Длина дуги, L = rθ
Здесь θ — центральный угол в радианах, r = радиус
9. Куб
Площадь, А = 6а ²
Объем, В = а ³
Край, a = объем ^⅓
Пространственная диагональ = a√3
Где,
а = сторона куба
10. Прямоугольный
Площадь поверхности, A = 2 (lb + bh + hl)
Объем, В = фунты-час
Пространственная диагональ, d = √( l ² + b ² +h ² )
Где,
l= длина
b= ширина
h= высота
11. Цилиндр
Общая площадь поверхности, A = 2πrh + 2πr ²
Площадь изогнутой поверхности, A _c = 2πrh
Объем, В = πr ² ч
Базовая зона, A _b = πr ²
Радиус, r = √(В/πh)
Где,
r= радиус цилиндра
h= высота цилиндра
12. Конус
Общая площадь поверхности, A = πr(r+l) = πr[r+√(h ² +r ² )]
Площадь изогнутой поверхности, A _c = πrl
Объем, V = ⅓πr ² ч
Наклонная высота, l = √(h ² +r ² )
Базовая зона, А _б = πr ²
Где,
r= радиус конуса
h= высота конуса
l = наклонная высота
13. Сфера
Площадь поверхности, A = 4πr ²
Объем, В = ⁴⁄₃πr ³
Диаметр = 2r
Где,
r= радиус сферы
Cuemath — одна из ведущих мировых обучающих платформ по математике, которая предлагает онлайн-уроки по математике в прямом эфире один на один для классов K-12. Наша миссия — изменить то, как дети изучают математику, чтобы помочь им преуспеть в школе и на конкурсных экзаменах. Наши опытные преподаватели проводят 2 или более живых занятий в неделю в темпе, соответствующем потребностям ребенка в обучении.
Отличное обучение в старшей школе с помощью простых сигналов
Увлекаясь зубрежкой, вы, скорее всего, забудете понятия. С Cuemath вы будете учиться визуально и будете удивлены результатами.
Запишитесь на бесплатный пробный урок
Давайте посмотрим на решенные примеры, чтобы понять основные формулы геометрии.
Примеры решения с использованием формул геометрии
Пример 1: Вычислите длину окружности, площадь и окружность с помощью формул геометрии, если радиус окружности равен 21 единице.
Решение:
Чтобы найти площадь и длину окружности.
Дано: Радиус круга = 21 единица
Используя формулы геометрии для круга,
Площадь круга = π × r ²
= 3,142857 × 21 ² 900 10
= 1385,44
Теперь длина окружности окружности,
Используя формулы геометрии для окружности,
Длина окружности = 2πr
= 2(3,142857)(21)
= 131,95
Ответ: Площадь круга равна 1385,44 квадратных единиц, а длина окружности 131,95 единиц.
Пример 2: Какова площадь прямоугольного парка, длина и ширина которого равны 90 м и 60 м соответственно?
Решение:
Чтобы найти площадь прямоугольного парка:
Дано: Длина парка = 90 м
Ширина парка = 60 м
Используя формулы геометрии для прямоугольника,
Площадь прямоугольника = (Длина × Ширина)
= (90 × 60) м ²
= 5400 м ²
Ответ: Площадь прямоугольного парка равна 5400 м ² .
Пример 3: Используя формулы геометрии куба, вычислите площадь поверхности и объем куба, ребро которого равно 6 единицам.
Решение:
Найти: площадь поверхности и объем куба, длина ребра которого равна 6 единицам
Используя формулы геометрии куба,
Площадь поверхности куба = A = 6a ²
А = 6 (6) ²
А = 6 × 36 = 216 шт. ²
Объем куба, V = a ³
V = (6) ³
V = 216 единиц ³
Ответ: площадь поверхности куба 216 единиц ² . Объем куба 216 единиц ³
Часто задаваемые вопросы по формулам геометрии
Что такое формулы геометрии кубоида?
Формулы геометрии прямоугольного параллелепипеда перечислены ниже:
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, A = 2 (lb + bh + hl)
Объем прямоугольного параллелепипеда, V = lbh
Пространственная диагональ прямоугольного параллелепипеда, d = √(l ² + b ² +h ² )
Где,
l= длина
b= ширина
h= высота
Какие формулы геометрии прямоугольника?
Геометрические формулы прямоугольника перечислены ниже:
Периметр прямоугольника = 2(l + w)
Площадь прямоугольника = lw
Диагональ прямоугольника, d = √(l ² + w ² )
Где,
l = длина прямоугольника
w = ширина прямоугольника
Какие формулы геометрии конуса?
Формулы геометрии конуса приведены ниже:
Общая площадь поверхности конуса, A = πr(r+l) = πr[r+√(h ² +r ² )]
Площадь криволинейной поверхности конуса, A _c = πrl
Объем конуса, V = ⅓πr ² ч
Наклонная высота конуса, l = √(h ² +r ² )
Базовая зона, A _b = πr ²
Где,
r= радиус конуса
h= высота конуса
l = наклонная высота
Какие формулы геометрии окружности?
Геометрические формулы окружности приведены ниже:
Окружность = 2πr
Площадь = πr ²
Диаметр = 2r
Где r = радиус окружности
Какие геометрические формулы сферы?
Две важные геометрические формулы сферы — площадь и объем сферы.
Оставить комментарий on Формулы по геометрии 8 класс: Формулы по геометрии/
Синус в геометрии: Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.
alexxlab / 17.06.202324.04.2023 / Геометрии
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс
Главная

Справочники

Справочник по геометрии 7-9 класс

Подобные треугольники

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С:
Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: «синус альфа».
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус угла, который равен , обозначается символом , читается: «косинус альфа».
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: «тангенс альфа».
На рисунке
                           (1)
                            (2)
                             (3)
Из формул (1) и (2) получаем:
Сравнивая с формулой (3), находим:
                          (4)
Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.
Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
Дано: АВС, А₁В₁С₁, С = С₁ = 90⁰, А = А₁.
Доказать: sin A = sin A₁, cos A = cos A₁, tg A = tg A₁.
Доказательство:
АВС А₁В₁С₁по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С₁ = 90⁰, А = А₁). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:
Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A₁. Аналогично , т.е. cos A = cos A₁, и , т.е. tg A = tg A₁, что и требовалось доказать.
Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.
Докажем основное тригонометрическое тождество:
Из формул (1) и (2) получаем
По теореме Пифагора , поэтому .
Советуем посмотреть:
Пропорциональные отрезки
Определение подобных треугольников
Отношение площадей подобных треугольников
Первый признак подобия треугольников
Второй признак подобия треугольников
Третий признак подобия треугольников
Средняя линия треугольника
Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
Практические приложения подобия треугольников
О подобии произвольных фигур
Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60
Подобные треугольники
Правило встречается в следующих упражнениях:
7 класс
Задание 591, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 639, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 647, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 676, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1024, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1033, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1276, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1307, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Задание 1310, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник
Синус.
Что это такое?
25.10.2016 Категория: Образование и наука Подкатегория: Математика Популярность
Тригонометрия является разделом математики, изучающим тригонометрические функции, а также их использование на практике. К таким функциям относятся синус, косинус, тангенс и котангенс.
Синус – это тригонометрическая функция, отношение величины противолежащего катета к величине гипотенузы.
Синус в тригонометрии.
Как уже сказано выше, синус имеет непосредственное отношение к тригонометрии и тригонометрическим функциям. Его функция определяется тем, чтобы
помогать высчитать угол, при условии известности величин сторон треугольника;

помогать высчитать величины стороны треугольника, при условии известности угла.

Необходимо помнить, что величина синуса будет всегда одинакова для любых размеров треугольника, поскольку синус – это не измерение, а соотношение.
Следовательно, для того чтобы не высчитывать эту постоянную величину при каждом решении той или иной задачи, были созданы специальные тригонометрические таблицы. В них величины синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов уже просчитаны и закреплены. Обычно эти таблицы приводятся на форзаце учебников по алгебре и геометрии. Также их можно найти в Интернете.
Синус в геометрии.
Геометрия требует наглядности, поэтому, чтобы понять на практике, что такое синус угла, нужно нарисовать треугольник с прямым углом.
Допустим, что стороны, образующие прямой угол, названы а, в, противоположный им угол – х.
Обычно в заданиях указана длина сторон. Допустим, а=3, в=4. В таком случае соотношение сторон будет выглядеть как ¾. При этом если удлинить стороны треугольника, прилегающие к острому углу х, то увеличатся и стороны а и в, и гипотенуза – третья сторона прямоугольного треугольника, лежащая не под прямым углом к основанию. Теперь стороны треугольника можно назвать иначе, допустим: m, n, k.
При этом видоизменении сработал закон тригонометрии: длины сторон треугольника изменились, а их отношение – нет.
Тот факт, что при изменении длины сторон треугольника во сколько угодно раз и при сохранении величины угла х, соотношение между его сторонами всё равно останется неизменным, заметили ещё древние ученые. В нашем случае длина сторон могла измениться так: а/в = ¾, при удлинении стороны а до 6 см, а в – до 8 см получаем: m/n = 6/8 = 3/4.
Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике в связи с этим получили названия:
синус угла х – это отношение противолежащего катета к гипотенузе: sinx = а/с;

косинус угла х – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosx = в/с;

тангенс угла х – это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgx = а/в;

котангенс угла х – это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgx = в/а.

Похожие статьи
Что такое синус, косинус и тангенс?
Знаете ли вы, что сказали друг другу два угла, живущие внутри одного и того же прямоугольного треугольника? Первый ракурс звучит так: «Эй, Тельма (или это Тета?), я не хочу отклоняться от темы, но какой у тебя синус?» На что второй угол отвечает: «Фил (или это Фи?), я не знаю, почему ты вообще спрашиваешь, мой синус, очевидно, совпадает с твоим косинусом!»
Ладно, возможно, это не самая лучшая шутка в мире, но как только вы понимаете синусы и косинусы, это довольно забавно. Конечно, это означает, что если вы не не знаешь разницы между синусом и косинусом, ты в настоящее время остаешься в метафорическом холоде.
Очевидно, мы не можем этого допустить — и не позволим! Потому что сегодня мы узнаем все о синусе, косинусе и тангенсе.
Резюме: тригонометрия и треугольники
Когда мы говорили об открытом в новом окне мире тригонометрии, мы узнали, что та часть математики, которая называется тригонометрия, имеет дело с треугольниками. И, в частности, это та часть математики, которая занимается выяснением отношений между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.
Особый интерес для нас представляет особый тип треугольников, известный как прямоугольные треугольники. У каждого прямоугольного треугольника есть один угол в 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от большего, чем 0 градусов, до меньшего, чем 90 градусов (при этом, как мы поговорим в будущем, сумма всех трех углов равна 180 градусов).
Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, не так сложны, как кажутся), важно, чтобы у нас был способ обозначать стороны прямоугольных треугольников.
Как мы узнали в последний раз opens in a new window, самая длинная сторона треугольника называется его «гипотенуза». Сторона, противоположная углу, на который мы смотрим, известна как «противоположная» сторона (логически). А сторона, примыкающая к углу, на который мы смотрим (та, которая не является гипотенузой), известна как «прилегающая» сторона.
Синус, косинус и тангенс
Теперь, когда все эти предварительные сведения счастливо плещутся в нашем растущем бассейне математических знаний, мы, наконец, готовы разобраться со значением синуса, косинуса и тангенса. Вот ключевая идея:
Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.
Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.
Другими словами, значение, которое вы получаете, когда делите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника — скажем, длину стороны, противолежащей одному из его углов, деленную на его гипотенузу, — полностью высечено в камне, как только углы высечены в камне.
Почему? Что ж, если углы фиксированы, увеличение или уменьшение треугольника не влияет на относительную длину его сторон. Но изменение углов треугольника, даже незначительное, имеет значение! Если вам нужно какое-то убеждение, попробуйте нарисовать несколько треугольников самостоятельно, и вы убедитесь, что это действительно так.
Тот факт, что у треугольника три стороны, означает, что существуют также три возможных отношения длин сторон треугольника. И, как вы уже могли догадаться, эти три отношения есть не что иное, как знаменитые тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.
Что такое SOH-CAH-TOA?
Синус одного из углов прямоугольного треугольника (часто сокращенно «sin») — это отношение длины стороны треугольника, противоположной углу, к длине гипотенузы треугольника. Косинус (часто сокращенно «cos») — это отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы. А тангенс (часто сокращенно «тан») — это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей.
Поскольку это слишком сложно для запоминания, добрые люди на протяжении веков придумали удобную мнемонику, которая поможет вам (и бесчисленным поколениям детей в школе) разобраться. Все, что вам нужно помнить, это SOH-CAH-TOA. Другими словами:
SOH → sin = «противоположное» / «гипотенуза»
.
CAH → cos = «прилегающий» / «гипотенуза»
TOA → tan = «противоположный» / «соседний»
Тригонометрия в реальном мире
Вам может быть интересно, как тригонометрия применима в реальной жизни. Как вы будете использовать синус, косинус и тангенс вне классной комнаты и почему это актуально?
Есть несколько карьерных путей, которые приводят к постоянному использованию этих уравнений. Например, предположим, что вы звукорежиссер, работающий над созданием нового альбома популярного исполнителя. Вы знаете, что звук распространяется волнами, и инженеры могут манипулировать этими волнами (измеряемыми и применяя тригонометрию) для создания различных звуков, генерируемых компьютером.
Что делать, если вы архитектор, открывающий в новом окне, и вам нужно знать высоту существующего здания в районе, который вам назначен? Вы можете использовать расстояние от здания и угол возвышения, чтобы определить высоту. Вы даже можете использовать триггер, чтобы определить, под каким углом солнце будет светить в здание или комнату.
Строители также используют синус, косинус и тангенс таким же образом. Им необходимо измерить размеры участков, углы крыши, высоту стен и ширину пола и многое другое.
Криминалисты используют тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.
А как насчет места преступления? Следователи могут использовать тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.
использует синус, косинус и тангенс. Его физики и астронавты часто используют роботизированные руки для выполнения заданий в космосе и используют тригонометрию, чтобы определить, куда и как двигать руку для выполнения своей задачи.
Думаете об изучении морской биологии? В этой карьере синус, косинус и тангенс иногда используются для определения размеров крупных морских существ на расстоянии, а также для расчета уровней освещенности на определенных глубинах, чтобы увидеть, как они влияют на фотосинтез.
Есть десятки профессий, которые используют тригонометрию в своих повседневных задачах. Таким образом, вы можете перестать говорить что-то вроде: «Я никогда не буду использовать тригонометрию в настоящий мир ».
Что дальше?
Хотя все эти разговоры об углах и сторонах прямоугольных треугольников и их соответствии друг другу посредством красоты и великолепия тригонометрии действительно прекрасны, они могут заставить вас немного задуматься о том, «Почему?» «Что?» и когда?» всего этого. Под этим я подразумеваю:
Почему именно это полезно в реальном мире?
Для чего нужны кнопки sin, cos и tan на моем калькуляторе? (И как они работают?)
Когда мне действительно может понадобиться вычислить синус или косинус?
Очевидно, это очень важные (и очень разумные) вопросы. И это также очень важные вопросы, на которые нужно ответить. Именно за эту задачу мы и начнем браться в следующий раз.
Синус
Синус, записываемый как sin⁡(θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.
Определения синусов
Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.
Определение прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.
Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:
Смежный: сторона, следующая за θ, которая не является гипотенузой
Напротив: сторона, противоположная θ.
Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
Пример:
Найдите sin⁡(θ) для прямоугольного треугольника ниже.
Мы также можем использовать функцию синуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.
Пример:
Пандус для инвалидных колясок должен иметь угол наклона 10° и высоту 3 фута. Какова длина пандуса?
Определение единичной окружности
Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций прямоугольным треугольником допускает углы от 0° до 9°.0° (0 и в радианах). Определение единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже.
Имея точку (x, y) на окружности единичного круга, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичной окружности, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности. Поэтому его длина всегда равна 1. Таким образом, мы можем использовать определение синуса прямоугольного треугольника, чтобы определить, что
означает, что значение y любой точки на окружности единичного круга равно sin⁡(θ).
В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острого угла прямоугольного треугольника, если он находится в области определения sin⁡(θ). Область определения синуса равна (-∞,∞), а ее диапазон равен [-1,1].
значения синуса
Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения синуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда Тейлора для синуса. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение синуса вручную, и будет предоставлена таблица, калькулятор или какой-либо другой справочник.
Калькулятор синуса
Ниже приведен калькулятор для нахождения значения синуса угла или угла по значению синуса. Если вы ищете калькулятор sin ^-1, обратитесь к странице arcsin.
грех деградировать =
Обычно используемые углы
Хотя мы можем найти значение синуса для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов как в радианах, так и в градусах, а также координаты соответствующих им точек на единичной окружности.
Рисунок выше служит ориентиром для быстрого определения синусов (значение y) и косинусов (значение x) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, синус имеет значение 0 при 0° и значение 1 при 90°. Косинус следует противоположной схеме; это потому, что синус и косинус являются кофункциями (описаны позже). Другими часто используемыми углами являются 30° (), 45° (), 60° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, так как они очень часто используются.
Один из методов, который может помочь в запоминании этих значений, состоит в том, чтобы выразить все значения sin(θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0° и продвигаясь через 90°, sin(0°) = 0 = . Последующие значения sin(30°), sin(45°), sin(60°) и sin(90°) следуют шаблону, так что, используя значение sin(0°) в качестве эталона, найти значения синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже.
Значения синуса от 0° до -90° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin(θ) на основе положения θ в единичной окружности, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный в квадрантах III и IV. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для косинуса. При необходимости обратитесь к странице косинуса.
Зная значения косинуса и синуса для углов в первом квадранте, мы можем определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах координатной плоскости с помощью опорных углов.
Опорные углы
Опорный угол — это острый угол (<90°), который может использоваться для представления угла любой величины. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол в диапазоне от 0° до 90°. Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ'.
Поскольку θ’ является опорным углом θ, значения sin⁡(θ) и sin⁡(θ’) совпадают. Например, 30° — это базовый угол 210°, и если мы обратимся к единичному кругу, то увидим, что значения синусов обоих имеют величину 1/2, хотя и имеют разные знаки. Поскольку у всех углов есть опорный угол, нам действительно нужно знать только значения sin⁡(θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения одинаковой величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки в зависимости от квадранта, в котором лежит конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

+5 900. гонометрические функции в любом из других квадрантов применяя соответствующий знак к их значению для эталонного угла. Следующие шаги могут быть использованы для нахождения исходного угла заданного угла θ:
Вычтите 360° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть в пределах от 0° до 360° или от 0 до 2π). Если результирующий угол находится в диапазоне от 0° до 90°, это опорный угол.
Определить, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла проходит по положительной оси x)
В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол. В квадранте I θ’=θ.

Синус Косинус Тангенс
Квадрант I + 61
Квадрант II + — —
Квадрант III — — +
Квадрант IV — + —

Квадрант II Квадрант III Квадрант IV
θ’= 180° — θ θ’= θ — 180° θ’= 360° — θ

Пример:
Найдите sin⁡(120°).
θ уже находится в диапазоне от 0° до 360°
120° лежит в квадранте II
180° — 120° = 60°, поэтому опорный угол равен 60°
sin⁡(60°)=. 120° находится в квадранте II, а синус положителен в квадранте II, поэтому:
Пример:
Найдите sin⁡(690°).
690° — 360° = 330°
330° лежит в квадранте IV
360° — 330° = 30°, поэтому опорный угол равен 30°
sin⁡(30°)=. 330° находится в квадранте IV, где синус отрицательный, поэтому:
Свойства функции синуса
Ниже приведены некоторые свойства функции синуса, которые могут быть полезны при работе с тригонометрическими функциями.
Синус — это кофункция косинуса
Кофункция — это функция, в которой f(A) = g(B), учитывая, что A и B — дополнительные углы. В контексте косинуса и синуса:
sin⁡(θ) = cos⁡(90° — θ)
cos⁡(θ) = sin⁡(90° — θ)
Пример:
sin⁡(60 °) = cos⁡(90° — 60°) = cos⁡(30°)
Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡(30°) и sin⁡(60°) и увидеть, что :
Синус — нечетная функция
Нечетная функция — это функция, в которой -f(x)=f(-x). Он имеет симметрию относительно начала координат. Таким образом,
-sin(θ) = sin⁡(-θ)
Пример:
-sin⁡(60°) = sin⁡(-60°)
-sin⁡(60°) = sin⁡(300°)
Ссылаясь на единичный круг, мы можем видеть, что sin⁡(60°)=, поэтому -sin⁡(60°)=, и sin⁡(-60°) эквивалентно sin⁡(-60° + 360°) = sin⁡(300°), что равно . Это только один пример, но это свойство верно для всех углов.
Синус — периодическая функция
Периодическая функция — это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что
f(x+p) = f(x)
для всех x в области значений f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.
Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся в исходную точку. Если мы посмотрим на синусоидальную функцию, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период синусоидальной функции. Мы можем записать это как:
sin⁡(θ+2π) = sin⁡(θ)
Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как
sin⁡(θ+2πn) = sin⁡(θ)
, где n равно целое число.
На рисунке ниже показан пример такой периодичности.
Синим цветом мы видим, что . . Если мы добавим 2π к , мы получим угол, показанный красным цветом, . Как видно из рисунка, несмотря на разную степень поворота в обоих углах, их конечные стороны совершенно одинаковы, а это означает, что . Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидели бы, что имеет то же синусоидальное значение, что и . Такова природа периодических функций. называются котерминальными углами; это углы с одинаковыми начальными и конечными сторонами, но с разными поворотами.
Примеры:
1.
2.
График функции синуса
График синуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞
Повторение этой части y=sin⁡(x) бесконечно слева и справа приведет к полному графику синуса. Ниже приведен график, показывающий четыре периода синусоидальной функции в интервале [-4π,4π].
На этом графике видно, что y=sin⁡(x) демонстрирует симметрию относительно начала координат; если график отражается относительно начала координат, он создает зеркальное отражение. Это подтверждает, что синус является нечетной функцией, поскольку -sin⁡(x)=sin⁡(-x).
Общее уравнение синуса
Общая форма функции синуса:
y = A·sin(B(x – C)) + D
, где A, B, C и D — константы. Чтобы построить график синусоидального уравнения в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y=sin⁡(x), как показано выше. Чтобы применить что-либо, написанное ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.
A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y=sin⁡(x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A=1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон sin⁡(x ).
По сравнению с y=sin⁡(x), показанной ниже фиолетовым, функция y=2 sin⁡(x) (красная) имеет амплитуду, вдвое превышающую амплитуду исходного графика синуса.
B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей точки соответствия) и может быть найден как . В y=sin⁡(x) период равен 2π. Мы можем убедиться в этом, посмотрев на график синусоиды. Ссылаясь на рисунок выше, мы можем видеть, что форма синусоидального графика между [-2π, 0] эквивалентна форме из [0, 2π], что означает, что он повторяется в течение интервала 2π; т. е. имеет период 2π.
По сравнению с y=sin⁡(x), показанным ниже фиолетовым цветом и имеющим период 2π, y=sin⁡(2x) (красный) имеет период . Это означает, что график повторяется через каждые π, а не через каждые 2π.
C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево.
Оставить комментарий on Синус в геометрии: Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс./
1 2 3 … 9 Следующая »
Навигация по записям
1 2 3 4 5 … 9 Следующая
Найти:
Рубрики
Геометрия
Математика
Физика
Химия
Школьная жизнь
Разное
© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»
Карта сайта