Рубрика: Геометрии

Шпаргалка: площадь многоугольников для геометрии 8 класса, формулы нахождения площади треугольника, квадрата, ромба, параллелограмма

31 августа, 2022

1 мин

Треугольник 

• Площадь треугольника по основанию и высоте: S=​1/2 a⋅h
• Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними: S=​1​​/ a⋅b⋅sinα
• Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трём сторонам: S = ​4R/​a⋅b⋅c
• Площадь треугольника по формуле Герона: S = √p(p — a)(p — b)(p — c). Где p — полупериметр, a,b,c — стороны треугольника.
• Площадь равностороннего треугольника по стороне: S = √3/4a²
• Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам: S= ½ a • b
• Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность: S = d • e. Где d и e — отрезки гипотенузы.

Параллелограмм 

• Площадь параллелограмма по основанию и высоте: S = a • h
• Площадь параллелограмма по двум сторонам и углу между ними: S = a⋅b⋅sinα
• Площадь параллелограмма по двум диагоналям и углу между этими диагоналями: S =​ ​​1​​/2⋅d​1​​⋅d​2​​⋅sinα

Ромб (он же параллелограмм, у которого все стороны равны и в который можно вписать окружность)

• Площадь ромба по вписанной окружности и стороне: S = 2 • a • r 

Прямоугольник и квадрат 

• Площадь прямоугольника через две стороны: S = a • b
• Площадь квадрата: S = a²

Если вы нашли ошибку, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Мы обязательно поправим!

Редакция Без Сменки

Честно. Понятно. С душой.

44 подписчиков

+ Подписаться

Редакция Без Сменки

15 июня, 2022

1 мин

Физ 🔬

Угловая скорость

Каждая точка вращающегося вокруг оси тела, проходящей через точку О, движется по окружности, и. ..

Редакция Без Сменки

13 июня, 2022

1 мин

Био 🦠

Эксперимент на догадках

Что здесь происходит? Давайте всмотримся детально в рисунок: 1️⃣ Солнышко в углу — значит…

Редакция Без Сменки

15 июня, 2022

1 мин

Инф 💻

Дел

📌 Необходимо найти наименьшее А при котором следующее неравенство будет истинно: (Дел(х, А)/\Дел…

Редакция Без Сменки

01 июля, 2022

1 мин

Лит 📚

Как отличить ямб от хорея?

Жили-были два потомственных котика 🐈🐈: старый, пожилой, очень знаменитый котик Иван и совсем ещё. ..

Подпишитесь на еженедельную рассылку полезных материалов про ЕГЭ, высшее образование и вузы и получите скидку на курсы Вебиума

Домашняя работа по геометрии за 9 класс к учебнику «Геометрия. 7-9 класс» А.В.Погорелов§14. Площади фигур

Решебники и ГДЗ

Начните вводить часть условия (например, могут ли, чему равен или найти):

• № 1. Докажите, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.
• № 2. Стороны двух участков земли квадратной формы равны 100 ми 150 м. Найдите сторону квадратного участка, равновеликого им.
• № 3. Найдите площадь квадрата S по его диагонали а.
• № 4. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в ту же окружность?
• № 5. Как изменится площадь квадрата, если каждую его сторону увеличить в 3 раза?
• № 6. Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, чтобы его площадь уменьшилась в 25 раз?
• № 7. Чему равны стороны прямоугольника, если они относятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
• № 8. Чему равны стороны прямоугольника, если его периметр 74 дм, а площадь 3 м2 ?
• № 9. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если площадь его равна половине площади прямоугольника.
• № 10. Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? 0бъясните ответ.
• № 11. Найдите площадь ромба, если его высота 10 см, а острый угол 30°.
• № 12. Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а меньшая диагональ 13 см.
• № 13. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
• № 14. Найдите, стороны ромба, зная, что его диагонали относятся как 1:2, а площадь ромба равна 12 см2.
• № 15. Разделите данный треугольник на три равновеликие части прямыми, проходящими через одну вершину.
• № 16*. Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника параллелограмм.
• № 17. Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м? ΔАВС — равнобедренный, АВ = ВС = 100 м, АС = 120 м.
• № 18. Найдите площадь равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой а. Рассмотрим ΔАВС, ∠С = 90°, ВС = АС, АВ = а — гипотенуза.
• № 19. У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне 8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к стороне 4 см?
• № 20. Докажите, что стороны треугольника обратно пропорциональны его высотам, т.е.:
• № 21. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а.
• № 22. Найдите площадь правильного треугольника, вписанного вкруг радиуса 5.
• № 23. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и 18 см.
• № 24. Чему равны катеты прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
• № 25. У треугольника ABС АС = а, ВС = E. При каком угле С площадь треугольника будет наибольшей?
• № 26. Найдите площадь равнобедренного треугольника, у которого боковые стороны равны 1 м, а угол между ними равен 70°.
• № 27. Найдите площадь параллелограмма, если его стороны 2 ми 3 м, а один из углов равен 70°.
• № 28*. Найдите площадь треугольника по стороне a и прилежащим к ней углам а и b.
• № 29. Выведите формулу Герона для площади треугольника:
• № 30. Найдите площадь треугольника по трем сторонам:
• № 31. Стороны треугольника а, b, с. Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
• № 32. Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, опущенную на основание, равное: 1) 25 см; 2) 11 см.
• № 33. Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, а его боковая сторона на 11 см больше основания. Найдите высоту треугольника, опущенную на боковую сторону.
• № 35. Найдите высоту треугольника со сторонами
• № 36. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами: 1) 5, 5, 6; 2) 17,65, 80 и наибольшую высоту
• № 37. Найдите площадь трапеции, у которой параллельные стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и 37 см.
• № 38. В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 24 см, боковая сторона 25 см. Найдите площадь трапеции.
• № 39. В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м, боковая сторона 17 ми диагональ 39 м. Найдите площадь трапеции.
• № 41*. Докажите, что среди всех параллелограммов сданными диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
• № 42. Выведите следующие формулы для радиусов описанной (R) и вписанной (r) окружностей треугольника:
• № 43. Найдите радиусы описанной (5) и вписанной (г) окружностей для треугольника со сторонами: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7. 1) а = 13, b = 14, с = 15. Полупериметр треугольника:
• № 44. Боковая сторона равнобедренного треугольника 6 см, высота, проведенная к основанию, 4 см. Найдите радиус описанной окружности. Пусть АВС — равнобедренный треугольник, АВ = ВС =
• № 45. Найдите радиусы окружностей описанной около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b и вписанной в него.
• № 46. Найдите радиус г вписанной и радиус 5 описанной окружностей для равнобедренного треугольника с основанием 10 см и боковой стороной 13 см.
• № 47. Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен половине разности между суммой катетов и гипотенузой.
• № 48. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и 42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей.
• № 49. Докажите, что площадь многоугольника, описанного около окружности, равна половине произведения периметра многоугольника на радиус окружности.
• № 50. Через середину высоты треугольника проведена перпендикулярная к ней прямая. В каком отношении она делит площадь треугольника? Пусть ΔАВС, ВН — высота, ВО = ОН.
• № 51. Прямая, перпендикулярная высоте треугольника, делит его площадь пополам. Найдите расстояние от этой прямой до вершины треугольника, из которой проведена высота, если она равна А.
• № 52. Периметры правильных n-угольников относятся как а:b. Как относятся их площади?
• № 53. Найдите площадь круга, если длина окружности l.
• № 54. Найдите площадь кругового кольца, заключенного между двумя окружностями с одним и тем же центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 ми 6,5 м; 3) а и b, а > b.
• № 55. Во сколько раз увеличится площадь круга, если его диаметр увеличить: 1) в 2 раза; 2) в 5 раз; 3) в m раз? Если диаметр увеличить в n раз, то радиус увеличится тоже в n раз, тогда площадь увеличится в n2 раз.
• № 56. Найдите отношение площади круга к площади вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. 1) Пусть ABCD — квадрат, вписанный вкруг.
• № 57. Найдите отношение площади круга, вписанного в правильный треугольник, к площади круга, описанного около него.
• № 58. Найдите отношение площади круга, описанного около квадрата, к площади круга,вписанного в него.
• № 59. Найдите площадь сектора круга радиуса R, если соответствующий этому сектору центральный угол равен: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
• № 60. Дана окружность радиуса 5. Найдите площадь сектора, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R, 2) l.
• № 61*. Найдите площадь кругового сегмента с основанием a√3 и высотой — a/2.
• № 62. Найдите площадь той части круга, которая расположена вне вписанного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника; 3) правильного шестиугольника. Радиус круга 5. 1)

Поиск по сайту

Геометрия Часть 7: Площадь и периметр

Автор: cindyelkins

C. Elkins, OK Math and Reading Lady

Сегодняшняя тема — измерение площади и периметра. Хотя их можно считать стандартами измерения, они тесно связаны с геометрией (например, атрибуты прямоугольника). Прочтите предыдущие посты в моей серии «Геометрия» (составление и разложение), чтобы узнать о других упоминаниях площади и периметра.

Неправильные представления открывают окно в детское мышление. Если мы заранее узнаем о неправильных представлениях, мы можем направить наше обучение и направления, чтобы помочь студентам избежать их. Я рассмотрю несколько неправильных представлений и некоторые стратегии и/или уроки, которые могут их исправить. Заблуждения № 1-2 появляются в этом посте. Заблуждения № 3-5 будут представлены в посте на следующей неделе.

Заблуждение №1:    Учащийся слышит это:  «Мы используем площадь для измерения внутри фигуры и периметр для измерения вокруг фигуры».

• Проблема: Учащийся не знает, как применить это определение к реальным ситуациям, требующим измерения площади и/или периметра.
• Проблема: Учащийся может подумать: «Поскольку периметр измеряет внешний край, то площадь означает измерение внутреннего края».
• Проблема: Учащиеся путают два термина.

Идеи:

Заблуждение № 2 : Учащийся слышит это: «Чтобы найти площадь, умножьте длину на ширину».

• Проблема: Учащийся не знает правила умножения.
• Проблема: Учащийся не знает, какие размеры являются длиной и шириной.

Идеи:

• Хорошее руководство: длина l — это l верхняя сторона. Ширина — самая короткая сторона.
• Длина и ширина равны двум  , примыкающих к сторонам (не противоположным сторонам).
• Покажите, как разбить прямоугольник на квадраты. Если прямоугольник имеет размер 4″ x 2″, покажите им, как сделать 4 столбца и 2 строки. Смотрите, как они это делают. Многие ученики рисовали внутри 4 вертикальные линии, чтобы получились столбцы, и 2 горизонтальные линии, чтобы получились строки. Это, очевидно, приведет к набору квадратов 5 x 3, но учащиеся не всегда проверяют. Знают ли они — «Чтобы разделить прямоугольник на 4 столбца, мне нужно провести всего 3 линии». Теперь подсчет квадратов — не самый эффективный метод, но он может помочь учащимся, которые борются с концепцией или фактами умножения.
• Некоторые прямоугольники слишком велики, чтобы в них можно было рисовать квадраты. Если учащиеся не знают фактов умножения, прямоугольник можно разделить на 2 (или более) меньших прямоугольника, используя известные им факты. Затем площадь каждого меньшего прямоугольника складывается вместе, чтобы найти общую площадь. Для примера см. изображение под . Опять же, учащиеся должны подключиться к геометрии, чтобы понять, что противоположные стороны прямоугольника равны.
  • Пример. Прямоугольник имеет размеры 8 x 7. Используя более известные факты, разбейте одно из измерений на 2 слагаемых (например, разбейте 7 на 5 + 2). Разделите прямоугольник на 2 прямоугольника и используйте 5 + 2, чтобы обозначить одну сторону (вместо 7). Используя концепцию распределительного свойства, учащийся вычисляет следующее:  8 x 7 = 8 (5 + 2) = (8 x 5) + (8 x 2) = 40 + 16 = 56 кв. единиц.

Заблуждение №3:    Учащийся видит только 2 заданных числа на изображении прямоугольника и не знает, складывать их или умножать.

• Проблема: Учащийся не знает свойств прямоугольника, применимых к этой ситуации, — что противоположные стороны равны по размеру.
• Проблема: Учащийся не понимает, как подсчет квадратов может помочь в вычислении площади и периметра.

Заблуждение № 4:    Учащийся слышит следующее:  «Запишите размер площади как квадратных дюймов , а размер периметра как дюймов». Примечание. Это относится к использованию таких единиц измерения, как см, футы, метры, ярды, мили и т. д.

• Проблема: Учащийся не понимает разницы между квадратными и неквадратными измерениями.

Заблуждение №5:    Учащиеся думают, что между площадью и периметром может существовать связь. Они могут думать, что все фигуры с одинаковой площадью имеют одинаковый периметр.

• Проблема. Это означает, что если одна фигура имеет площадь 12 квадратных дюймов и периметр 16 дюймов, они могут подумать, что все фигуры с площадью 12 имеют периметр 16 дюймов.

Следующее сообщение: Идеи по устранению заблуждений № 3, 4 и 5 и ссылки на действия в области и по периметру!! Оставайтесь с нами

Рубрика: Площадь и периметр, Геометрия / Измерение, Математика

Tagged площадь, геометрия, математические заблуждения, измерение, периметр

· 16 февраля

Базовая геометрия – Как найти площадь сложных фигур – Complete Test Preparation Inc.

• Сообщение от Брайан Стокер
• Дата 9 октября 2017 г.

Как найти площадь сложных фигур

Сложные фигуры можно разделить на несколько меньших фигур, для которых известна формула периметра или площади, а затем сложить их.

Пример.

Чтобы определить площадь любой составной фигуры, просто введите ADD площади каждой составной базовой фигуры. Обязательно запишите свой окончательный ответ в квадратных единицах.

Определить площадь заданной фигуры.

Исходную форму можно перерисовать как прямоугольник и треугольник. У прямоугольников противоположные стороны конгруэнтны (совершенно одинаковые).

Площадь _{Составной} = Площадь _{Треугольник} + Площадь _{Прямоугольник}

Площадь _{Треугольник} = (1/2)(Основание)(Высота) = (1/2)(3м)(1,5м) = 2,25 м ²

Площадь _{Прямоугольник} = (Основание)(Высота) = (3 м)(1,5 м) = 4,5 м ²

Площадь _{Композит} = (2,25 м ² ) + (4,5 м ² ) = 6,75 м

Чтобы определить площадь поверхности любого составного тела, просто  добавьте  площадей поверхности каждого составного основного тела. Вы также должны вычесть площадь любой внутренней грани. Обязательно запишите свой окончательный ответ в квадратных единицах.

Пример. Определить площадь поверхности данной фигуры. Оставьте окончательный ответ в терминах числа пи.

Исходная форма может быть перерисована в виде цилиндра и конуса. Нам придется вычесть площадь круга, где встречаются фигуры, из каждого уравнения площади поверхности, потому что они находятся «внутри» твердого тела.

SurfaceArea _Composite  = S.Area  _Конус  + S.Area  _{Цилиндр}

S.Area  _Cone  = (Basic Area)+(1/2)(ightPerimeter) )(dπ)(h) = (1/2)(6π)(2) = 6π футов ²

S. Площадь  _{Цилиндр}  = 2(Площадь основания)+(Периметр)(Высота) = (πr ² )+(dπ)(h) = (π3 ² )+(6π)( 5) = 39π FT ²

S.Area _{Композит} = (6π FT ² ) + (39π FT ² ) = 45π FT ²

.

• Решить недостающий угол или сторону
• Нахождение площади или периметра различных фигур (например, треугольников, прямоугольников, кругов)
• Задачи с использованием теоремы Пифагора
• Расчет свойств геометрических фигур, таких как углы, прямые углы или параллельные стороны
• Расчет объема или площади поверхности сложных форм, например сфер, цилиндров или конусов
• Решение геометрических преобразований, таких как вращение, перемещение или отражение

Самые популярные вопросы по геометрии

Общие вопросы по геометрии в стандартизированных тестах:

• Найдите недостающий угол или сторону
• Нахождение площади или периметра различных фигур (например, треугольников, прямоугольников, кругов)
• Задачи с использованием теоремы Пифагора
• Расчет свойств геометрических фигур, таких как углы, прямые углы или параллельные стороны
• Расчет объема или площади поверхности сложных форм, например сфер, цилиндров или конусов
• Решение геометрических преобразований, таких как вращение, перемещение или отражение

Автор: , Брайан Стокер, Массачусетс, Complete Test Preparation Inc.

Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.

		Раздел недели: Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д.
Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник	Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Геометрические фигуры. Свойства, формулы: периметры, площади, объемы, длины. Треугольники, Прямоугольники и т. д. Градусы в радианы. / / Плоские фигуры. Свойства, стороны, углы, признаки, периметры, равенства, подобия, хорды, секторы, площади и т.д. Поделиться:    Площадь треугольника, площадь прямоугольника, площадь трапеции, площадь квадрата, площадь круга, площадь полукруга и сектора, площадь параллелограмма. Площади плоских фигур. Формулы площади. Свойства треугольника. В том числе равенство и подобие, равные треугольники, стороны треугольника, углы треугольника, площадь треугольника — формулы вычисления, прямоугольный треугольник, равнобедренный треугольник, высота треугольника. Свойства треугольников. Неравенство треугольника. Углы треугольника. Признаки подобия треугольников, прямая параллельная стороне. Вычисления в треугольнике. Равнобедренный, равносторонний и прямоугольный треугольники. Замечательные линии треугольника. Медиана, средняя линия, биссектриса, высота, серединный перпендикуляр, взаимное расположение линий треугольника. Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Построение прямых углов на целочисленных гипотенузах. Пифагоровы тройки. Пифагоровы треугольники. Таблица сторон прямоугольных треугольников. Свойства окружностей. Прямые, отрезки и углы, связанные с окружностью. Взаимное расположение окружности и прямой, окружности и точки, двух окружностей. Свойства углов, связанных с окружностью. Метрические соотношения в окружности Вписанные и описанные окружности. Описанные и вписанные в треугольник, четырехугольник, ромб, прямоугольник, квадрат, трапецию и правильный многоугольник окружности. Расчет углов и сторон при помощи плотницкого угла = угольника плотницкого. + Справочно: первые известные треугольники Пифагора. Вписанные и описанные треугольники. Окружности вписанные в треугольники и описанные вокруг треугольников. Признаки равенства треугольников. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Признаки подобия треугольников. Признаки подобия прямоугольных треугольников. Длина хорды, центральный угол в ° (угловых градусах) и радианах при делении окружности единичного диаметра на равные сегменты. Правильные многоугольники. Сторона. Радиус вписанной окружности. Радиус описанной окружности. Площадь. Формулы и таблица соотношений между ними. Вычисление межосевого размера присоединительных отверстий фланцев по измерениям соседних отверстий и числу Вычисление элементов плоских фигур. Площадь. Центр тяжести. Ключевые размеры.Квадрат. Прямоугольник. Параллелограмм. Треугольник. Трапеция. Правильный шестиугольник. Правильный многоугольник. Круг. Полукруг. Сектор. Сегмент. Кольцо. Кольц.сектор. Эллипс Диаметр круга, описанного вокруг квадрата и шестигранника. Таблица: Диаметр заготовок — круглых прутков под квадраты и шестигранники в мм в зависимости от размеров квадратов и шестигранников. Замечательные кривые — Лемниската Бернулли, циклоида, астроида, спираль Архимеда, логарифмическая спираль, эвольвента, трехлепестковая роза, кардиоида — внешний вид и уравнения Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста. Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru Начинка: KJR Publisiers Консультации и техническая поддержка сайта: Zavarka Team	Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса. Free xml sitemap generator

Площади и объемы геометрических фигур

Похожие презентации:

Площадь фигуры. Измерение и единицы площади

Площади фигур

Площадь. Равновеликие и равносоставленные фигуры

Площади и объемы. Контрольный вопрос

Объемы геометрических тел

Единицы площади: квадратный километр, квадратный миллиметр, ар, гектар

Решение задач на нахождение площади геометрических фигур на сетке. ОГЭ . Задание № 19

Решение задач на нахождение площади геометрических фигур на сетке. ОГЭ

Единицы измерения площадей

Площадь. Равновеликие и равносоставленные фигуры

Математика
5 класс
Расшифруйте ребус:
Расшифруйте ребус:
18.05.20
Площади и
объемы
Расшифруйте ребус:
v = 15 км/ч
Формула пути
s = ? км
s = vt
t =4ч
Формулы
Запись какого-нибудь правила с помощью букв
называют формулой
v = 60 км/ч
t=?ч
s = 600 км
t=s:v
Формулы
v = ? км/ч
t=4ч
s = 24 км
v=s:t
Площадь. Формула площади прямоугольника
1 см
1 см
S= 1 см2
Площадь квадрата со стороной 1 см
называют квадратным сантиметром
S= 21 см2
Если какую-нибудь фигуру можно разбить на р
квадратов со стороной 1 см, то её площадь
равна р см2
Площадь. Формула площади прямоугольника
4 см
а
b
S = ab
5 см
Чтобы найти площадь прямоугольника надо
умножить его длину на ширину
S = 5 ∙ 4 = 20 см2
Площадь. Формула площади прямоугольника
Две фигуры называются равными, если одну из
них можно так наложить на вторую, что эти
фигуры совпадут
Площади равных фигур равны.
Их периметры тоже равны.
Найдите одинаковые фигуры
Площадь. Формула площади прямоугольника
D
S
С
Q
R
P
А
N
M
В
Площадь всей фигуры равна сумме площадей её
частей
Площадь. Формула площади треугольника
С
D
b
А
а
В
Площадь треугольника равна половине площади
всего прямоугольника
S = ab : 2
Площадь. Формула площади квадрата
Квадрат – это прямоугольник с равными сторонами
а
а
Площадь квадрата равна квадрату его стороны
S = a ∙ а = а2
Ответьте на вопросы:
1. Чему равна площадь фигуры, если эту фигуру
можно разбить на 18 квадратов со стороной 1см?
2. Назовите формулу площади прямоугольника.
3. Какие измерения надо провести, чтобы найти
площадь прямоугольника?
4. Какие фигуры называют равными?
5. Могут ли равные фигуры иметь различные
площади? А периметры?
6. Как найти площадь всей фигуры, зная площади
всех ее частей?
7. Назовите формулу площади квадрата.
Единицы измерения площадей
квадратный миллиметр – 1 мм2
квадратный сантиметр – 1 см2
квадратным дециметр – 1 дм2
квадратный метр – 1 м2
квадратный километр – 1 км2
гектар – 1 га
сотка – ар – 1 ар
Гектар – это площадь квадрата со стороной 100 м
Ар (сотка) – площадь квадрата со стороной 10 м
Единицы измерения площадей
1 см2 = 100 мм2
1 дм2 = 100 см2 = 10 000 мм2
1 м2 = 100 дм2 = 10 000 см2 = 1 000 000 мм2
1 км2 = 100 га = 1 000 000 м2 = 100 000 000 дм2
1 а = 100 м2 = 10 000 дм2 = 1 000 000 см2
1 га = 10 000 м2 = 1 000 000 дм2
Если длина и ширина прямоугольника измерены в
разных единицах, то их надо выразить в одних
единицах
Единицы измерения площадей
С
D
14 см
8 м 30 см
А
В
а = 8 м 30 см = 830 см
b = 14 см
S − ? см2
S = ab
S = 830 ∙ 14 = 11 620 см2
Ответ: 11 620 см2
Единицы измерения площадей
С
D
30 см
А
6 дм
а = 6 дм
b = 30 см = 3 дм
S − ? дм2
S = ab
S = 6 ∙ 3 = 18 дм2
Ответ: 18 дм2
В
Ответьте на вопросы:
1. Назовите единицы измерения площадей.
2. Что такое квадратный метр; квадратный
дециметр; квадратный километр?
3. В каких единицах измеряют площади земельных
участков?
4. Что такое гектар?
5. Что такое ар (сотка)?
6. Сколько квадратных метров в гектаре?
7. Сколько гектаров в квадратном километре?
8. Объясните, почему 1 дм2 = 100 см2 = 10 000 мм2;
почему 1 км2 = 1 000 000 м2.
Найдите площади фигур
3 см
С
2 см
В
5 см
Н
D
3 см
4 см
4 см
А
F
E
Найдите площади фигур
4 см
X
2 см 1 см
T
3 см
S
M 2 см
2 см
K
2 см
Y
Z
4 см
3 см
R
P
N
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед
Грани (6)
Поверхность прямоугольного параллелепипеда
состоит из 6 прямоугольников, каждый из
которых называют гранью прямоугольного
параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед
Вершины (8)
Ребра (12)
Противоположные грани прямоугольного
параллелепипеда равны.
Стороны граней называют ребрами
параллелепипеда, а вершины граней – вершинами
параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед
высота
ширина
длина
Прямоугольный параллелепипед имеет три
измерения – длину, ширину и высоту
КУБ
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у
которого все измерения одинаковы
Ответьте на вопросы:
1. Приведите примеры предметов, имеющих форму
прямоугольного параллелепипеда.
2. Сколько граней имеет прямоугольный
параллелепипед?
3. Какую форму имеют эти грани?
4. Сколько ребер у прямоугольного параллелепипеда?
5. Сколько у него вершин?
6. Является ли куб прямоугольным
параллелепипедом?
7. Назовите единицы измерения площадей.
Важным свойством тела
является его вместимость.
Вместимость фигуры
характеризуют объемом.
За единицу измерения
объема принимают объем
единичного куба.

33. ЕДИНИЦЫ ОБЪЁМА

35.

English     Русский Правила

TIMES MODULE M11 — Площадь, объем и площадь поверхности

Проект улучшения математического образования в школах (TIMES)

вернуться к индексу

Площадь, объем и площадь поверхности

Измерение и геометрия: Модуль 11Year: 8-10

Июнь 2011 г.

PDF-версия модуля

Предполагаемые знания

• Знание площадей прямоугольников, треугольников, кругов и составных фигур.
• Определения параллелограмма и ромба.
• Знакомство с основными свойствами параллельных прямых.
• Знакомство с объемом прямоугольной призмы.
• Базовые знания о конгруэнтности и подобиях.
• Поскольку будут задействованы некоторые формулы, учащимся потребуется некоторый опыт работы с подстановкой, а также с дистрибутивным законом.

Мотивация

Площадь плоской фигуры является мерой пространства внутри нее. Вычисление площадей — важный навык, используемый многими людьми в повседневной работе. Строителям и торговцам часто необходимо продумать площади и размеры возводимых ими сооружений, а также архитекторам, дизайнерам и инженерам.

Хотя прямоугольники, квадраты и треугольники обычно встречаются в окружающем нас мире, встречаются и другие формы, такие как параллелограмм, ромб и трапеция. Рассмотрим, например, этот вид крыши с высоты птичьего полета.

Вид состоит из двух трапеций и двух треугольников.

Точно так же часто встречаются твердые тела, отличные от прямоугольной призмы. Пакет Toblerone ©
(с основанием на конце) является примером треугольной призмы, а масляный барабан
имеет форму цилиндра. Важно уметь находить объемы таких твердых тел.

Медицинские специалисты измеряют такие параметры, как скорость кровотока (что делается с использованием скорости жидкости и площади поперечного сечения потока), а также размер опухолей и новообразований.

В физике площадь под графиком скорость-время показывает пройденное расстояние.

В этом модуле мы будем использовать простые идеи для получения ряда фундаментальных формул
для площадей и объемов. Учащиеся должны понять, почему формулы верны, и запомнить их.

Содержание

Площадь параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны.

Мы можем легко найти площадь параллелограмма, зная его основание b и высоту h.
На приведенном ниже рисунке мы проводим диагональ BD и делим фигуру на два треугольника, каждый с длиной основания b и высотой h. Поскольку площадь каждого треугольника равна bh, общая площадь A равна

A= bh.

Обратите внимание, что два треугольника на диаграмме не только имеют одинаковую площадь, но и являются конгруэнтными треугольниками.

Некоторые учителя могут предпочесть установить формулу площади параллелограмма без использования формулы площади треугольника, чтобы вычислить площадь треугольника, используя формулу площади параллелограмма.

Это можно сделать, показав, что треугольник справа на левой диаграмме ниже можно расположить слева, чтобы сформировать прямоугольник, основание и высота которого такие же, как у параллелограмма, так что снова площадь равна равно бх.

Площадь трапеции

Трапеция – это четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна. (Название происходит от греческого слова, означающего стол.)

Мы можем найти площадь трапеции, если знаем длины двух параллельных сторон и перпендикулярное расстояние между этими двумя сторонами.

Как и в случае с параллелограммом, проводим одну из диагоналей. У нас тогда есть два треугольника, оба с высотой h, и один с основанием a, и один с основанием b.

Таким образом, площадь трапеции A равна

Таким образом, формула площади трапеции с параллельными сторонами a и b и перпендикулярным расстоянием h между ними равна

А = ч(а +b).

Это можно представить как «высоту, умноженную на среднее значение параллельных сторон».

щелкните для просмотра экрана

Упражнение 1

Вот еще один вывод формулы площади трапеции. Предположим, что ABCD
— трапеция.

Возьмем F за середину CD и проведем через нее прямую EG, параллельную AB.

а Объясните, почему треугольники CFG и DFE равны.

b Что это говорит нам о CG и ED?

cОбъясните, почему AE = (BC +AD).

d Используйте формулу площади параллелограмма, чтобы вывести формулу площади трапеции.

щелкните для просмотра экрана

Упражнение 2

(В этом упражнении используются подобные треугольники).

На рисунке ABCD представляет собой трапецию, в которой AB параллельна DC, а расстояние между ними h. Точки E и F являются серединами AD и BC соответственно. AG перпендикулярна DC в G и пересекает EF в H. Пусть a = AB, b = DC и = EF.

а Покажите, что EF параллелен DC.

b Рассматривая треугольники AEH и ADG, покажите, что AH = HG = .

c Сравнивая площади трех образованных таким образом или иначе
трапеций, покажите, что площадь трапеции ABCD равна h.

Площадь ромба и воздушного змея

Ромб – четырехугольник, у которого все стороны равны. В модуле Ромбы, Воздушные змеи и Трапеции с помощью простых геометрических рассуждений мы показали

• противоположные стороны параллельны
• диагонали делят друг друга пополам под прямым углом

Таким образом, ромб является параллелограммом, и мы можем вычислить площадь ромба, используя формулу площади параллелограмма.

Теперь возьмем ромб с диагоналями длины x и y.

Поставив ромб на один угол, мы видим, что две диагонали разрезают ромб на четыре прямоугольных треугольника, из которых можно составить четыре прямоугольника внутри
большой прямоугольник.

Поскольку площадь восьми треугольников одинакова (действительно, все они конгруэнтны), площадь ромба равна половине площади большого прямоугольника, т. е. xy.

Следовательно, если x и y длины диагоналей ромба, то

Площадь ромба = xy.

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

щелкните для просмотра экрана

Упражнение 3

Предположим, что ABCD представляет собой ромб с одной диагональю 8 см и одной стороной 5 см, как показано на рисунке.

a Используйте теорему Пифагора, чтобы найти
длину другой диагонали.

b Отсюда найдите площадь ромба.

щелкните для просмотра экрана

Упражнение 4

Воздушный змей – это четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

a Используйте конгруэнтность и два равнобедренных треугольника, чтобы показать, что диагонали воздушного змея перпендикулярны.

b Ясно, что мы можем собрать воздушного змея в форме
прямоугольник, площадь которого в два раза больше площади воздушного змея,
поэтому

площадь воздушного змея = xy,

, где x и y — длины диагоналей воздушного змея.

Пример

Найдите площадь каждой фигуры: (Все измерения даны в сантиметрах.)

a b c

Решения

a Площадь = × (13 + 3) × (6 + 6) = 96 см2.

b Площадь = × 5 × (7 + 15) = 55 см2.

c Площадь = × (8 + 8) × (6 + 6) = 96 см2.

Площадь полигонов

Любой многоугольник можно разбить на треугольники. Следовательно, площадь любого многоугольника определена и может быть рассчитана путем вычисления площади каждого треугольника.

Объем призмы

Многогранник – это тело, ограниченное многоугольниками. Прямая призма — это многогранник, у которого две конгруэнтные и параллельные грани (называемые основанием и вершиной), а все остальные грани — прямоугольники. Это означает, что когда на основание поставлена ​​прямая призма, все стенки представляют собой вертикальные прямоугольники. Обычно мы говорим «призма», когда на самом деле имеем в виду «правильную призму». Призма имеет однородное поперечное сечение. Это означает, что когда вы делаете срезы твердого тела параллельно основанию, вы получаете многоугольники, конгруэнтные основанию. Таким образом, площадь каждого среза всегда одинакова. В прямоугольной призме поперечное сечение всегда прямоугольник.

В модуле Введение в измерения мы видели, что объем прямоугольной призмы определяется произведением площади основания на высоту, или

Объем = lwh, где l и w — длина и ширина призмы. призмы и h высота.

Треугольные призмы

В треугольной призме каждое поперечное сечение, параллельное треугольному основанию, представляет собой треугольник, конгруэнтный основанию.

Предположим, у нас есть треугольная призма длиной 4 см, как показано на рисунке.
Мы можем разрезать призму на слои, каждый из которых имеет длину 1 см.

Ранее мы видели, что из остроугольного треугольника можно составить прямоугольник с удвоенной площадью.

Точно так же мы можем собрать треугольную призму, чтобы сформировать прямоугольную призму. Объем каждого из 1 см слоев равен половине объема соответствующей прямоугольной призмы, т.е.

Объем каждого слоя = × 3 × 2 см3.

Таким образом, объем треугольной призмы равен

Объем = площадь треугольного поперечного сечения × перпендикулярная высота = Ah.

Поскольку любой многоугольник можно разрезать на треугольники, объем любой призмы с многоугольным основанием равен площади A многоугольного основания, умноженной на высоту h, то есть

Объем = Ah

, где A — площадь многоугольного основания, а h — высота, когда призма стоит на своем основании.

Пример

Найдите объем призмы, изображенной на рисунке.

Решение

Поперечное сечение представляет собой переднюю грань призмы и состоит из треугольника и прямоугольника.

щелкните для просмотра экрана

Упражнение 5

Большой пьедестал имеет форму призмы, лицевая сторона которой представляет собой трапецию.

а Найдите площадь передней грани.

b Найдите объем пьедестала.

Объем цилиндра

Цилиндры используются повсеместно в повседневной жизни. Например, консервы обычно поставляются в банках цилиндрической формы.

Если мы разрежем цилиндр параллельно его основанию, то каждое поперечное сечение будет окружностью того же размера, что и основание.

Таким образом, цилиндр обладает тем же основным свойством, что и призма, и мы возьмем формулу объема цилиндра как произведение площади круглого основания на высоту. Мы не можем строго доказать эту формулу на данном этапе, потому что доказательство включает в себя построение цилиндра как предела призм.

Если окружность основания цилиндра имеет радиус r, то мы знаем, что площадь окружности равна
А =π r2. Если высота цилиндра h, то его объем равен

Объем = π r2 × h = π r2h.

Пример

Для цилиндра радиусом 7 см и высотой 3 см найдите:

a точный объем, выраженный в π .

b приблизительное значение объема с использованием π .

Раствор

Задание 6

Термос высотой 30 см имеет форму двух цилиндров, один внутри другого. Он имеет внутренний радиус 8 см и внешний радиус 10 см. Какой объем между двумя цилиндрами?

Площадь поверхности призмы

Предположим, мы возьмем прямоугольную призму размером 3 см на 4 см на 5 см и раскроем ее, как показано ниже.

Мы можем найти площадь сплющенной прямоугольной призмы, сложив площади шести прямоугольников. Имеются три пары равных прямоугольников, поэтому общая площадь равна

A = 2 × (3 × 4 + 3 × 5 + 4 × 5) = 94 см2.

Это называется площадью поверхности призмы.

Таким образом, площадь поверхности призмы равна сумме площадей ее граней. Действительно, площадь поверхности многогранника также равна сумме площадей всех его граней.

Пример

Найдите площадь поверхности треугольной призмы
, показанной напротив.

Раствор

Площадь лицевой стороны = × 12 × 16 = 96 см2.

Площадь спинки = 96 см2.

Длина ребра

Длина ребра призмы равна сумме длин всех его ребер.

щелкните для просмотра экрана

Упражнение 7

Найдите общую длину ребра призмы в приведенном выше примере.

Упражнение 8

Палатка, изготовленная из ситца, включая настил
, имеет форму треугольной призмы с размерами, как показано на рисунке. Сколько бязи нужно для изготовления палатки?

Ссылки Вперед

Площади

Теперь мы можем найти площади основных геометрических фигур. Мы также видели в модуле по кругам, что площадь круга определяется выражением A = π r2, где r — радиус. Чтобы понять площадь фигуры, которая не ограничена ни прямыми линиями, ни дугами окружности, нам понадобится интегральное исчисление. Хотя эти идеи восходят к Архимеду и Евдоксу, систематическое развитие интегрального исчисления принадлежит Ньютону и Лейбницу.

Мы можем использовать тригонометрию, чтобы найти площади различных фигур, имея достаточно информации об их сторонах и углах.

Объемы: пирамиды и призмы

Можно показать, что объем квадратной пирамиды составляет одну треть объема соответствующей прямой призмы с такими же высотой и основанием.

Объем пирамиды = Ah,
, где A — площадь основания
, а h — высота перпендикуляра
, измеренная от основания.

Эта формула верна для пирамид с многоугольным основанием площадью A.

Поперечные сечения конуса (или сферы) представляют собой окружности, но радиусы сечений различаются. Объем конуса равен одной трети объема соответствующего цилиндра той же высоты и радиуса.

Объем конуса = π r2h,
, где r — радиус основания
, а h — высота.

Наконец, объем сферы равен

Объем сферы = π r3,
где r — радиус сферы.

Это завершает формулу объема для основных твердых тел. Тела с неправильными границами можно рассматривать с помощью интегрального исчисления. Все они рассматриваются в модуле Конусы, пирамиды и сферы .

Площадь поверхности

Точно так же, как мы «разрезали» призму, чтобы найти площадь поверхности, мы можем «разрезать» цилиндр радиусом r и высотой h, чтобы показать, что площадь искривленной поверхности равна 2π rh . Добавляя два круглых конца, мы получаем формулу A = 2π rh + 2π r2 для общей площади поверхности цилиндра. Формула площади поверхности конуса: A = π r2 + π rl, где r — радиус, а l — наклонная высота. Наконец, площадь поверхности сферы определяется выражением A = 4π r2, где r — радиус сферы.

История и применение

Многие названия фигур и тел, площадь и объем которых мы нашли, происходят от греч. Например, слово «трапеция» (несмотря на латинское окончание) происходит от греческого слова «стол», тогда как «призма» происходит от греческого слова, означающего «пилить» (поскольку поперечные сечения или разрезы конгруэнтны), а слово «цилиндр» происходит от слова «стол». Греческое слово, означающее катиться. Древние греки первыми систематически исследовали площади и объемы плоских фигур и тел.

В эллинистический период великий математик Архимед (ок. 287–212 г. до н. э.) аппроксимировал площадь круга, используя вписанные многоугольники, и нашел очень хорошие приближения к π . Он также вывел формулы объема и площади поверхности шара. Архимед разработал метод нахождения площадей и объемов, названный «методом исчерпания», который был близок к идеям, используемым в современном исчислении.

До разработки интегрального исчисления, которое вывело площади и объемы на новый уровень абстракции, итальянский математик Бонавентура Франческо Кавальери (1598-1647) вывел результат, известный как принцип Кавальери, который утверждает, что два тела имеют одинаковый объем, если площади их соответствующих поперечных сечений равны во всех случаях. (Тот же принцип был ранее открыт Цзу Гэнчжи (480–525 гг.) в Китае.) Умное использование этого метода показывает, что объем полусферы радиусом r равен объему твердого тела, полученного путем удаления конуса из радиуса r и высоты r из цилиндра той же высоты и радиуса, таким образом показывая, что объем полушария равен π r3.

Принцип Кавальери можно использовать для нахождения объема наклонных тел (в отличие от прямых тел). Таким образом, косая призма имеет параллельные горизонтальные основание и вершину, но стороны не вертикальны. Такое твердое тело называется параллелепипедом (другое греческое слово, означающее параллельные плоскости). × перпендикулярная высота.

Следующим большим достижением стало интегральное исчисление, когда можно было придать смысл понятию площади под кривой, используя идеи предела. Хотя Ферма и Декарт добились в этом значительного прогресса, именно (независимая) работа Ньютона и Лейбница привела к современной теории интеграции.

Существуют приближенные методы нахождения площади фигуры с неровной границей. Одно довольно точное из них называется правилом Симпсона, которое было известно Кавальери, заново открыто Грегори (1638-1675) и приписано Томасу Симпсону (1710-1761). Это правило позволяет найти приблизительное значение площади неправильной фигуры, производя измерения поперек фигуры в различных точках вдоль некоторой оси. Сегодня он используется кардиологами для измерения, например, объема правого желудочка (ПЖ), связанного с кровотоком в сердце.

Ответы на упражнения

Упражнение 1

b CG = ED (соответствие сторон равных треугольников)

D Площадь трапеции = площадь параллелограмма

= AE × H

= ( AD + BG ). ADG и BCK вместе образуют треугольник ACD ( B и A совпадают). E и F являются средними точками AC и AD соответственно. Треугольник AFE подобен треугольнику ACD и, таким образом, EF параллелен DC (соответствующие углы равны).

b Треугольник AEH подобен треугольнику ADG (AAA)

AH = HG =

с

Упражнение 3

a 6 см

b 24 см2

Упражнение 4

Упражнение 5

a 31,5 м2 b 94,5 м3

Упражнение 6

1080π см3

Упражнение0003

123 см

Упражнение 8

60 м2

Проект улучшения математического образования в школах (TIMES) 2009–2011 гг. финансировался Министерством образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

Мнения, выраженные здесь, принадлежат автору и не обязательно отражают точку зрения Министерства образования, занятости и трудовых отношений правительства Австралии.

© Мельбурнский университет от имени Международного центра передового опыта в области образования в области математики (ICE-EM), образовательного подразделения Австралийского института математических наук (AMSI), 2010 г. (если не указано иное). Эта работа находится под лицензией Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3. 0 Unported License.
https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/

Объем геометрических фигур – формулы и примеры

Объем геометрических фигур является одним из наиболее важных измерений трех- объемные фигуры. Объем — это мера пространства, занимаемого объектом в трехмерном пространстве. Поскольку объем является трехмерной мерой, для его измерения мы используем кубические единицы. Формула объема зависит от формы фигуры и различных ее размеров.

Здесь мы узнаем о формулах важнейших трехмерных фигур. Затем мы будем использовать эти формулы для решения некоторых задач.

ГЕОМЕТРИЯ

Актуально для …

Изучение формул объема геометрических фигур.

См. формулы

Содержание

ГЕОМЕТРИЯ

Актуально для …

Изучение формул объема геометрических фигур.

См. формулы

Определение объема

Объем геометрической фигуры определяется как количество места, занимаемого объектом или фигурой в трехмерном пространстве. Объем измеряется в кубических единицах, например, м³, см³ и так далее. Объем можно рассматривать как способность контейнера вмещать некоторое количество жидкости (газа или жидкости).

Объем можно рассчитать арифметически путем перемножения его различных измерений и, в некоторых случаях, с использованием некоторых констант. Две геометрические фигуры могут иметь одинаковый объем в зависимости от их размеров и формы.

Формулы объема геометрических фигур

Формула объема геометрических фигур зависит от формы и размеров фигуры. Существует большое количество объемных геометрических фигур, однако наиболее важными из них являются куб, прямоугольная призма, цилиндр, сфера, пирамида и тетраэдр.

Объем прямоугольной призмы

Прямоугольный штрих – это призма с прямоугольными основаниями и прямоугольными боковыми гранями. Объем этих призм зависит от их трех измерений.

Объем прямоугольной призмы = l bh

где l  длина ширины призмы, b 6 длина основания и h 901 1 901 .

Объем куба

Куб — это трехмерная фигура, все стороны которой имеют одинаковую длину. Всего у куба шесть квадратных граней.

Объем куба =  a³

, где a  – длина одной из сторон куба.

Объем цилиндра

Цилиндр характеризуется наличием двух круглых оснований и поверхности, соединяющей эти два основания.

Объем цилиндра = πr²h

, где r — радиус оснований, а h — высота цилиндра.

Объем шара

Шар — это полностью круглая трехмерная фигура. Сфера определяется радиусом. 93}}{6 \sqrt{2}}$

, где a  – длина одной из сторон тетраэдра.

Table of formulas for the volume of geometric figures

, где r  – радиус,  a  и  l  – разные длины фигур, представляет собой площадь основания.

Алгебра+геометрия=математика!

Всё для аттестацииПубликация в сборникеВебинарыЛэпбукиПрофтестыЗаказ рецензийНовости

← Предыдущая

Создать дискуссию

Следующая →

В этом году в 10 классе алгебра и геометрия больше не изучается отдельными предметами: в учебном плане значится предмет «математика». Может ли кто внятно пояснить, для чего так?

Дискуссию начал(а) Андрей Анатольевич01.10.2019 13404

Ответить на вопросПригласить к дискуссииСледить за дискуссией

Образовательные вебинары
для педагогов

Сертификат выдается сразу после прохождения
Лицензия на образовательную деятельность – №0001058

Информационно-коммуникационные технологии в образовании

2 КПК и 15 вебинаров

Медиация в школе. Работа с конфликтами

12 вебинаров

Организация работы с детьми с ОВЗ

5 вебинаров

Современный детский сад

4 вебинара

Организация проектной деятельности в школе

4 вебинара

Профориентация в школе

3 вебинара
&nbsp

Беласик Людмила Николаевна(эксперт сообщества)

Андрей Анатольевич, есть методическое письмо
о преподавании учебных предметов «Математика», «Алгебра»,
«Геометрия», «Математика: алгебра и начала
математического анализа, геометрия»
в общеобразовательных организациях.
На основании содержания Примерной программы по Математике для основного общего и среднего (полного) общего образования:

не допускается деление предмета на два («Алгебру» и «Геометрию») при заполнении журналов и аттестационных документов;
предлагается построение курса в форме последовательности тематических блоков с чередованием материала по алгебре, анализу, дискретной математике, геометрии;
учителя математики могут предложить собственный подход лишь в структурировании материала, определении последовательности изучения тем, путях формирования системы знаний, умений и способов деятельности;
не допускается уменьшение часов на изучение заявленных в программе тем;
резерв свободного времени распределяется на усмотрение учителя;
содержание предмета, заложенное в примерной программе, должно быть реализовано полностью;
преподавание предмета должно предполагать формирование общеучебных умений, навыков и способов деятельности, описанных в примерной программе.

Отредактировано 01-10-2019 20:26

Беласик Людмила Николаевна(эксперт сообщества)

На основании федеральных требований и в связи с вышеизложенным рекомендуем в учебном плане указывать образовательную область «Математика», а в журнале записывать математика (алгебра), математика (геометрия). За четверть и за год выводить одну оценку по предмету «Математика».

Традиционно образовательная область «Математика» представлена двумя предметами: алгебра и геометрия. Всего на математику отводится 5 часов в неделю из расчёта: 3 ч в неделю – алгебра. 2 ч в неделю – геометрия. Для более полного и осознанного усвоения учебного материала образовательная область «математика» ведётся через изучение отдельных предметов: алгебра и геометрия». Ситуация объясняется следующим образом: в стандарте заявлена образовательная область «математика», но учебники и программы разработаны отдельно по алгебре и геометрии.

Ввиду этого в пояснительной записке учебного плана общеобразовательного учреждения следует указать примерно следующее: «в соответствии с федеральным базисным учебным планом на изучение математики отводится в основной школе не менее 5 часов в неделю; в старшей школе на базовом уровне не менее 4 часов, на профильном – не менее 6 часов (увеличение объёма времени возможно за счёт часов регионального и школьного компонентов).

Андрей Анатольевич(эксперт сообщества)

Ответ на сообщение #2 пользователя Беласик Людмила Николаевна

Спасибо, Людмила Николаевна. Но всё это не есть хорошо.

Беласик Людмила Николаевна(эксперт сообщества)

Ответ на сообщение #4 пользователя Андрей Анатольевич

У нас как всегда… до основания…. а затем…..

Ивлиева Наталия Алексеевна(эксперт сообщества)

Наверное делают как в коррекционной школе!::smile4:: У нас один предмет «математика»!

Федорова Людмила Ивановна(эксперт сообщества)

Мы тоже годиков три-четыре (я работаю в коррекционной школе) вместо русского языка проводили «письмо и развитие речи». Содержание преподавания не менялось, а название учебного предмета сводило к нулю смысл обучения (или образования). Получается, выпускники заканчивали школу и не знали, что такое русский язык.
В этом году вернулись к прошлому: снова — «Русский язык»! Моё сердце вздохнуло с облегчением: я- учитель «великого и могучего» русского языка!

Белянина Светлана Николаевна(эксперт сообщества)

Почему только в этом году?У нас давно уже в учебном плане «математика» (модуль «алгебра» и «модуль геометрия»). Но это очень плохо (мое мнение).Так ведь это не только в 10 классе. У нас теперь предмет «Математика» во всех классах.Оценку за четверть ставим одну.И экзамен по математике, а не по алгебре или геометрии. В экзаменационную работу включили задания и по алгебре, и по геометрии, поэтому и назвали «математика».

Андрей Анатольевич(эксперт сообщества)

Ответ на сообщение #7 пользователя Белянина Светлана Николаевна

Пусть бы экзамен назывался «математика», т.к. включает алгебру и геометрию, но уж предметы объединять ну совсем нецелесообразно.

Белянина Светлана Николаевна(эксперт сообщества)

Ответ на сообщение #8 пользователя Андрей Анатольевич

Очень даже согласна с Вами,Андрей Анатольевич!!!Сейчас получается полная ерунда.У каких-то учащихся лучше идет алгебра, у каких-то геометрия, а оценку ставим среднюю.И опять же предмет один, а учебников два, тетрадей четыре и т.д.Вообщем, ерунда получается.

Андрей Анатольевич(эксперт сообщества)

Ответ на сообщение #9 пользователя Белянина Светлана Николаевна

Вот именно. Очень неудобно.

Авхадеева Раиса Ивановна

А у нас в школе в прошлом году перешли на такой учебный план. учителя разработали рабочие программы по предмету «Математика». В этом учебном году опять вернулись к Алгебре и Геометрии. Вот так вот!!!

Елена

С прошлого года так. В одно КТП все вбили и всё! Было так лет не помню сколько назад, когда с седьмого класса так в журнал записывали, потом опять на алгебру- геометрию разделили! Заняться кому-то не чем!

Синяк Татьяна Ивановна(эксперт сообщества)

У нас раньше тоже так было. В 10 и 11 классе так и заполняют.А те, кто по ФГОС, алгебра и геометрия.

Елена Вениаминовна Чурина(эксперт сообщества)

Андрей Анатольевич, по моему так работали по старым стандартам, а по ФГОС у нас сейчас алгебра и геометрия. У меня в этом году, конечно, нет старшеклассников и я что то не интересовалась. На мой взгляд, когда алгебра и геометрия модулями в математике, то уменьшается уровень подготовки у детей к геометрии. Но и преподавая математику КТП я составляла, чтобы на неделе была и алгебра, и геометрия. А так на нас, математиках и филологах, какой только видимости работы не создают разные уровни руководства.

Темы: Образовательные программы и ФГОСы

Похожие дискуссии:

• КИМ ЕГЭ, ОГЭ и ГВЭ на 2019 год
• Вместо «знаний»- «научить учиться»
• Должны ли родители покупать рабочие тетради? Кто вправе их закупать?
• Какая школа лучше – американская или российская? Давайте сравним!
• Нужно КТП по географии для 8 кл
• Самый «ненужный» предмет в школе… А как мы сами считаем?
• Стало известно, как выросли зарплаты учителей в 2018 году. Кто ощутил, коллеги?
• Традиционный и системно-деятельностный подходы в преподавании
• Тренировочные работы в формате ОГЭ
• ФГОС для обучающихся с ОВЗ

Если выйдет 2 по алгебре или геометрии в этой четверти, я тупо наложу на себя руки.

Просьбы о помощиНапишите свою историю

Мне 15 лет, учусь в 9 классе. И я просто не знаю, как дальше жить… Я всегда хотела быть юристом, с самого садика, но чтобы быть юристом, нужны идеальные оценки. А что имею я? 2 по алгебре и геометрии. Маму вызывали к директору, там сказали, что если получу 2 еще в одной четверти, не допустят к экзаменам. А это будет конец… Химия, физика всегда тройки, я никогда не понимала точные науки. Вот русский и литература 4-5, и остальные предметы тоже. Проблема еще в том, что, учительница по истории еще и не допускает к сдаче экзамена. У меня твердая 4, но она говорит, что это сложно, я не справлюсь. И просто запретила. Если я еще и историю не смогу сдавать. Я уже поняла, что я тупая и ничего не добьюсь. Я не понимаю алгебру. Не понимаю геометрию, уже 7 репетиторов поменяла. Я уже не знаю, что делать и если выйдет 2 по алгебре или геометрии в этой четверти, я тупо наложу на себя руки. А даже если не выйдет, историю мне все равно не сдать. Я запуталась.. Кажется это моя последняя неделя.

Татьяна , возраст: 15 / 26.12.2016

Отклики:

Юрист — профессия гуманитарная, математика там не нужна. Я юрист, поэтому знаю. А еще я знаю очень много юристов, у которых «2+2=5». И ничё, люди не мучаются, и даже делают довольно успешную карьеру. Поэтому выбросьте глупые мысли из головы! Математика Вам при любом раскладе не нужна! Поэтому оценка по ней не будет иметь никакого значения! Значение имеет средний балл по аттестату (и то — не главное), которые можно повысить за счет повышения балла по другим предметам, например обществознанию, истории и прочим, которые Вам даются. А самое главное — это результат ЕГЭ (я думаю, что не математику же Вы выберете))). А еще рекомендую рассмотреть варианты со сменой школы. В разных школах, не взирая на одинаковую программу, — разные нагрузки,требования и душевная обстановка. Ваша ситуация не является безнадежной! Поверьте, большинство студентов — гуманитариев имеют 3-йки по математике! Лично я себе, когда оказываюсь в непонятной ситуации, повторяю: «Даже если тебя съели, у тебя есть два естественных выхода!»

Ленчик , возраст: 38 / 26.12.2016

Здравствуй, Татьяна. Не нужно опускать руки и думать о смерти. Намного правильнее подумать, как решить свои проблемы. Лично мне кажется, что есть два пути их решения. В первом случае Ты остаешься в школе, стараешься ее хорошо окончить. Может быть, имеет смысл поговорить с Мамой о переходе в параллельный класс. Там будут другие учителя, понять которых Тебе может быть легче. В то же время, Ты будешь учиться в знакомой школе, сможешь общаться со знакомыми ребятами, не потребуется много времени на адаптацию. Если этот вариант невозможен, продолжай усердно работать. Это психологически важно — понимать, что делаешь все возможное. Не нужно ругать себя и обзывать, это вообще бессмысленно. Впереди каникулы, есть время, нужно его правильно распределить. Оставить не только на прогулки, но и занятия. Определи свои главные пробелы. Не пожалей времени и вернись назад по школьной программе. Только понимая предыдущие темы, сможешь легче понять следующие. Выучи по геометрии теоремы вместе с доказательствами, запомни примеры решений типичных задач. В свое время мне это очень помогло. Поищите с Мамой нового репетитора, лучше чтобы это был Твой школьный учитель. Или учитель, работающий в вашей школе и знающий требования Твоего учителя. Для этого Маме можно подойти к учителю и спросить, какой выход из ситуации видит он. Или задать этот же вопрос директору. Не бывает безвыходных ситуаций, работая в школе, знаю это точно. Ну а второй возможный вариант для Тебя — поступить после этого учебного года в колледж. Сдать экзамены, думаю, не станет большой проблемой, ведь Ты серьезно относишься к учебе. Уже через три или четыре года Ты получишь диплом юриста, после чего поступишь в институт. Может, даже на вечернее отделение, а параллельно будешь работать по специальности. В результате будет два диплома — о среднем образовании и высшем. Это сделает Тебя более привлекательной при поиске работы. Ты выбрала очень распространенную специальность, лишние знания и навыки пригодятся Тебе. Кстати, точные науки в колледже не так трудно будет изучать. Там профильные предметы начнутся уже через год. Так что подумай, какой из вариантов Тебе лучше подойдет. Не думай о роковой ошибке. Желаю Тебе больших успехов!

Arina , возраст: 28 / 26.12.2016

Таня, привет! Учитель истории не имеет права не допустить к ЕГЭ, консультация юриста: «не учитель решает, допускать вас к ЕГЭ или нет, а педсовет. И единственный способ учителю сделать так, чтобы педсовет принял решение о недопуске вас к ЕГЭ — это поставить вам «двойку» в году по своему предмету. Если вам неуд не грозит, то слова учителя — пустые угрозы (Приказ Минобрнауки РФ от 28.11.2008 N 362)». Так что, Тань, не паникуй, если у тебя твердая четверка по истории, то она не может не допустить тебя к экзамену и она это знает, просто сейчас ей не хочется с тобой возиться и думает, что ее слова заставят тебя не сдавать экзамен, потому что ты не знаешь, что она блефует. В общем, историю ты сдавать будешь! 🙂

Ты пишешь: «чтобы быть юристом, нужны идеальные оценки. А что имею я? 2 по алгебре и геометрии». Во-первых, алгебра и геометрия не играют никакой роли, они не сдаются при поступлении на юридический факультет. Там нужны обществознание и история (ну и + русский). Поэтому они здесь не при чем, не волнуйся ты так о них. Во-вторых, не идеальные оценки нужны, нужны знания! И знания именно по профильным предметам. Если обществознание и история тебе даются легко, они тебе нравятся, то вперед! Если они представляют для тебя трудность, то лучше подумать о том, чтобы выбрать другую профессию, потому что иначе тебе будет сложно учиться, а в дальнейшем и работать. Так что ты подумай хорошенько о том, действительно ли это то, чем ты можешь заниматься в будущем? Просто очень часто подростки заблуждаются в своих представлениях о профессии, они часто пребывают в фантазиях и нереальных представлениях о ней. Поэтому подумай о том, насколько ты успешна в профильных предметах для юрфака, насколько они тебе интересны.

По поводу алгебры и геометрии, Тань, никакому учителю не выгодно, чтобы ученик не был допущен к экзаменам или остался на второй год, это означает, что учитель не смог научить ребенка. Тебя просто запугивают, пытаясь смотивировать тем самым, чтобы ты подтянулась. Не волнуйся, позанимайся с вашим классным учителем математики, тогда она с большой долей вероятности будет лично заинтересована в том, чтобы у тебя все получилось. И я думаю, что все у тебя и получится. Тебе трудно сейчас по большей части из-за твоего эмоционального состояния и настроя, что ты «никогда не понимаешь точные науки». Постарайся дать себе другую установку, это очень важно, перестрой свое отношение к математике, сейчас она тебе кажется чем-то неподъемным, но это просто оттого, что у страха глаза велики и оттого, что до сих пор у тебя с ней было все туго. Но это не означает, что дальше будет также. Все-таки, начни заниматься с преподавателем, пусть он будет уже восьмым, но ты не сдавайся, будь сильной, нужно разрешить все пробелы с предыдущих классов, планомерно все подтягивать и результат однозначно будет, его не может не быть. Главное, не паникуй и не переставай заниматься с преподавателем.

И еще, ты говоришь, что ты глупая и основываешь такое свое мнение только исходя из того, что по алгебре и геометрии у тебя двойки, но Тань, все люди разные, кто-то гуманитарий, кто-то склонен к точным наукам, у тебя хорошо идут русский, литература, история… Почему же ты обращаешь внимание на то, в чем ты не сильна и не замечаешь своих талантов? Не надо однобоко судить о себе и вешать на себя ярлык, это неправда, что ты глупая, ты просто человек с гуманитарным складом ума и это замечательно! А все эти математики, физики и химии через два года тебе вообще не будут нужны, ты о них забудешь и неуспешность в этих предметах никак не будет влиять на твою жизнь. Так что перестань себя принижать, оценивай себя адекватно, не зацикливайся на неудачах и настраивайся на намеченные цели, у тебя обязательно все получится! 🙂

Катя , возраст: 30 / 26.12.2016

Татьяна, для того, чтобы стать юристом, нужны не высокие оценки, а высокие баллы по ЕГЭ, а конкретно — русскому, истории и обществознанию. И конечно желание учиться. Вас больше запугивают учителя, никуда они не денутся, допустят до всего. Тем более, огэ ни на что не влияет. И уж тем более по алгебре.
Так что не волнуйтесь и готовьтесь к тем предметам, которые нужны для поступления в вуз. Все получится.

Виктория , возраст: 19 / 26.12.2016

Здравствуйте, Татьяна, милая. Открываете интернет, и читаете, сколько миллиардеров бросили школу))) Я не призываю Вас бросить школу, но послушайте, оценка по предмету — это СУБЪЕКТИВНОЕ мнение преподавателей. Не более того. Школьная оценка не дает никаких гарантий на счастливую или несчастливую жизнь. Поговорите с мамой, скажите, что не получается. Милая, я Вам желаю счастья и незабываемого волшебного Нового года!!!

Ирина , возраст: 28 / 26.12.2016

Таня, привет! Посмотрите с родителями информация про школы-экстернаты. Это очень удобная форма обучения. Там можно учиться и дистанционно, и за 1 год пройти программу 2 классов (10 и 11) например. Насчет того, что говорит учительница по истории — это неправда. Она не имеет права допускать или не допускать тебя, это решаете вы с родителями, какой предмет ты выбираешь в качестве дополнительного экзамена.
Она просто не хочет с тобой заниматься. Но это другой совсем вопрос. Ты можешь и сама подготовиться по пособиям к сдаче ОГЭ. Насчет математики — надо с директором поговорить. Это родители должны сделать. Мне кажется, что двойки в четвертях не являются основанием к тому, чтобы ребенка не допустить до экзамена. Вот это надо уточнить. Потому что можно просто подготовиться к сдаче ОГЭ, совсем не обязательно сдавать его на 5. Тебе достаточно тройки. А на тройку ты написать сможешь, если тебя будут готовить.
Не надо бояться ничего. Чтобы быть юристом не нужны хорошие оценки по алгебре и геометрии. Очень советую выяснить про обучение в экстернате, там учиться легче, потому что идет полное погружение в один предмет, потом его дети сдают, и так по всем предметам. А потом идет только подготовка к ЕГЭ.
У тебя все получится, не надо расстраиваться раньше времени.

Оля , возраст: 42 / 26.12.2016

Здравствуйте. Татьяна, главное сейчас не паниковать, настраиваться позитивно, ничего не бояться. И конечно не думать о суициде. Никакая учёба не стоит вашей жизни. Большинство детей сдают экзамены, и вы не хуже. Всё будет хорошо, потихоньку пройдёте сложный период, успехов вам.

Ирина , возраст: 29 / 26. 12.2016

Ну если ты в школе залётов не имеешь, то 2 по алгебре никто не поставит и из школы не выгонят. По-поводу быть юристом, ты уверена, что работу найдёшь вообще?. У нас вон юристы некоторые санитарами работают в больницах, потому что никому диплом не нужен ихний. Может другую профессию, рядом стоящую присмотреть?

[email protected] , возраст: 28 / 26.12.2016

Учеба нужна прежде всего для знаний. Оценки не повод так переживать. Любить жизнь — чудесно. Ведь жизнь — это дар и это чудо. Каждый день человек может найти что-то чему радоваться, даже если что-то гнетет можно посмотреть на мир глазами Любви!

Кирилл , возраст: 26 / 26.12.2016

  Предыдущая просьбаСледующая просьба  
Вернуться в начало раздела

Связь между геометрией и алгеброй

Мы узнали, что Алгебра — это область математики, в которой используются переменные в форме букв и символов вместо величин или чисел в формулах и уравнениях. Мы также знаем, что Геометрия — это область математики, изучающая точки, линии, многомерные объекты и формы, поверхности и твердые тела. Но так ли уж они отличаются друг от друга??

Одним из способов связи алгебры и геометрии является использование уравнений на графиках. Мы можем построить набор точек (x, y) в соответствии с уравнением (например, линейный график слева!), чтобы сформировать график. Это один из способов, которым алгебра связана с геометрией. Набор точек может удовлетворять любому уравнению, которое может построить график любого типа, а не только прямые линии.

теорема Пифагора

В геометрии преобразование — это способ изменить положение фигуры или формы. Ниже приведены четыре основных типа преобразований: 

Так как преобразование, геометрическое понятие, связано с функциями, алгебраическим понятием? Ну, во-первых, что такое функция? Функция похожа на машину, она выполняет функцию (некоторые называют ее правилами) на входе и производит соответствующий результат. В алгебре многие уравнения на самом деле являются функциями, потому что когда мы подставляем одно значение в уравнение, мы получаем другое значение. Как мы видели в разделе «Координатная геометрия» вверху, мы можем графически изобразить эти уравнения или функции. После того, как мы нарисуем уравнения, мы можем перемещать график вверх или вниз или из стороны в сторону, добавляя константу (значение) либо к x, либо к y в функции. Ниже приведены некоторые примеры того, как функции могут «преобразовываться»: 

В следующем разделе мы рассмотрим функции более подробно!

Применение алгебры к геометрии

Ключевые термины

o Фондовое решение

Цели

o Практика Применение алгебры к решению проблем в геометрии

O HON

Алгебра в геометрии

Применение алгебры к геометрии по существу включает использование переменных, функций и уравнений для представления различных известных или неизвестных аспектов, например, геометрических фигур. Чтобы применить алгебру в этом контексте, вам не нужны какие-либо новые навыки алгебры, но вам нужно иметь некоторое понимание геометрии и способность переводить несколько абстрактные идеи алгебры в более конкретное использование в геометрии. Давайте начнем с пары практических задач для иллюстрации.

Практическая задача : Найдите периметр следующей фигуры, если площадь прямоугольника равна 63 квадратных единиц.

Решение : Из основ геометрии мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. В этом случае длина 7 x , а ширина x . Постановка задачи говорит нам, что площадь прямоугольника равна 63 квадратным единицам; мы можем использовать этот факт для построения уравнения с переменной x , которое мы затем можем решить для x .

A = LW

63 = (7 x ) ( x ) = 7 x ²

. обработки этого типа уравнения. Воспользуемся факторинговым подходом (впрочем, вполне законны и другие подходы).

7 x ²  – 63 = 0

x ²  – 9 = 0

( x  – 3)( x + 3) = 0

Таким образом, мы можем видеть, что либо 90, либо 90; однако отрицательное значение не имеет смысла в этом контексте, поэтому мы отвергаем его как ложное решение (решение, которое не имеет никакого смысла в контексте задачи). Это оставляет нам x = 3 единицы. Давайте проверим, работает ли это значение для получения площади:

A = (7)(3)(3) = 63

Теперь мы должны найти периметр прямоугольника, для чего и задан вопрос. Периметр — это просто сумма длин четырех сторон прямоугольника.

P = 2 l + 2 w = 2(3) + 2(3)(7) = 6 + 42 = 48

Таким образом, периметр прямоугольника равен 4 8 единицам. Немного более строгая версия этой задачи потребует от вас найти периметр прямоугольника площадью 63 квадратных единицы и длиной, в семь раз превышающей ширину. Эта формулировка вопроса заставит вас присвоить переменную в дополнение к решению проблемы.

Практическая задача : Найдите площадь заштрихованной области на рисунке ниже, где O находится в центре круга и вставленного квадрата, а r 7

2 равно

6 .

 

 

Решение : Эта задача немного сложнее предыдущей. Мы хотим найти площадь заштрихованной области; давайте сначала выясним, что мы знаем. Мы знаем, как вычислить площадь квадрата со стороной 9.0004 l and a circle of radius r :

 

Area _circle = π r ²

Area _square = l ²

 

The area of ​​the shaded область — это просто разница между площадью круга и площади квадрата. На рисунке r — это радиус окружности и половина диагонали квадрата. Поскольку указано r , мы уже можем вычислить площадь круга.

 

Площадь _круг =

 

Чтобы найти решение задачи, нам нужно найти площадь квадрата. Мы видим, что диагональ квадрата равна диаметру круга, который равен 2 r или . Нам нужно будет использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны квадрата, которую мы назовем x . Для иллюстрации мы можем использовать следующую схему.

 

 

Теорема Пифагора говорит нам, что сумма квадратов двух катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. В этом случае оба катета прямоугольного треугольника имеют длину x , а гипотенуза имеет длину 2 r . Таким образом, мы можем записать это выражение следующим образом:

Подставим известное значение на и найдем x .

Обратно, мы сможем повторно отрицательный номер. В результате длина стороны квадрата равна 4 единицам. Тогда общая площадь квадрата равна 16 единицам. Давайте воспользуемся этим, чтобы найти площадь заштрихованной области.

 

Площадь _{заштрихована} = Площадь _круг  – Площадь _{квадрат} = 8π – 16 ≈ 9.13

 

Таким образом, площадь заштрихованной области составляет около 9,13 квадратных единиц.

 

 

Эти две практические задачи показали нам, как алгебра может помочь в решении ряда задач геометрии. Конечно, для решения этих задач необходим определенный уровень знаний в области геометрии, но главное, что вы должны осознать, это то, что алгебра действительно может быть полезна в других областях математики (и, в частности, в этом случае, геометрия). Важнейшим навыком является способность правильно назначать переменные или неизвестные и правильно строить уравнения, которые можно решить, чтобы найти эти переменные или неизвестные.

Вся школьная геометрия — в одном калькуляторе

Родителям школьников порой не будет лишним освежить свои знания из давным-давно пройденного курса геометрии, чтобы помочь своим детям осваивать эту важную науку. В этом им поможет универсальный «геометрический калькулятор» Easy Geometry Calculator от разработчика DudiE — приложение для Android, которое можно загрузить из Google Play, позволяющее решать не только треугольники. В данном калькуляторе собрано многое из того, что может понадобиться изучающему геометрию школьнику.

Данное приложение, хотя и является весьма функциональным, тем не менее относится к числу достаточно простых, поскольку ориентировано на базовый школьный курс геометрии и вряд ли подойдет для решения тех задач, которые стоят перед профессиональными математиками, что следует из его названия, которое переводится как «простой геометрический калькулятор». Но прост в нем только дизайн — классическая черная «школьная доска» и разноцветный «мел». И ничего лишнего, что отвлекало бы от геометрии.

Впрочем, рассматриваемое приложение не относится и к числу тех программных средств, которые выполняют всего одну задачу, ярким примером такого приложения является преобразователь градусов Фаренгейта в градусы Цельсия и наоборот. То, какое приложение лучше использовать, — «однозадачное» или комплексное — зависит и от набора решаемых задач и от предпочтений пользователя. Поэтому для ОС Android в огромном множестве созданы самые разнообразные программные инструменты. При необходимости планшет можно даже на время превратить в большой настольный калькулятор.

В любом случае в Easy Geometry Calculator собрана практически вся та геометрия, которая может потребоваться школьнику.

Главное окно приложения напоминает страницу приложений операционной системы Android. На ней располагаются ярлыки тех задач, которые оно умеет решать. Язык интерфейса приложения — английский. Для понимания того, для какой задачи предназначен каждый ярлык, будет вполне достаточно школьных знаний английского и некоторого представления о математической терминологии.

Кроме всего прочего, приложение позволяет производить также вычисления со стереометрическими фигурами. В качестве примера рассмотрим нахождение объема конуса. Для этого сначала найдем ярлык с изображением конуса и надписью «Volume». Для того чтобы приложением было осуществлено вычисление, необходимо ввести два параметра конуса: его радиус (radius) и высоту (height). Предположим, что радиус равен 10, а высота — 20. Введем значения в соответствующие поля ввода и коснемся кнопки «Calc».

Приложение покажет не только объем конуса (V = 2093,33), но и ход решения задачи. На экран будет выведена формула вычисления объема конуса — π x r² x h/3 («число π, умноженное на радиус в квадрате и высоту, деленную на 3»), что применительно к данному конусу соответствует ~3,14 х 100 х 20/3. Следует отметить, что в первом, упрощенном, варианте вычисления значение числа π округлено до 3,14.

Ниже приложение выведет также более точный вариант данного вычисления — V = 2094,3951023932. Значение числа π в данном случае округлено до 15 знаков после запятой и составляет 3,141592653589793. Таким образом, приложение Easy Geometry Calculator предложит два варианта решения задачи.

На этом примере становится ясно, каким образом данный «геометрический калькулятор» осуществляет вычисления. В каждом случае пользователь вводит необходимые приложению параметры геометрической фигуры и получает результат, который сопровождается выводом на экран смартфона или планшета формулы. Кроме того, на экран выводятся также путь решения задачи и иллюстрация.

Если предстоит, к примеру, вычислить синус, приложение сопровождает страницу вычисления относящимися к предмету формулами. Поэтому данный калькулятор является не столько программным средством для решения геометрических задач, сколько мощным обучающим средством, которое родители смогут использовать для повышения познаний своих детей в геометрии.

Easy Geometry Calculator, подобно приложению для решения систем линейных уравнений, является еще одним примером того, что функциональность Android-устройств не ограничивается их развлекательными возможностями и только от самого пользователя зависит, станет ли Android-девайс его помощником в учебе.

Могут ли смартфоны стать для школьников теми инструментами, которые повысят их интерес к учебе?

Приложение: Easy Geometry Calculator

Разработчик: DudiE

Категория: Образование

Версия: 3.3.8

Цена: Бесплатно

Скачать: Google Play

ГДЗ: решебник по фото учебника Загрузка приложения [Обновленный Apr 22]

Бесплатно

Компания: Sfera LLC

Жанр приложения: Образование

Номинальные параметры: 4.64

Версия: 1.25.0

Вышел: Sep 16, 2020

Обновленный Apr 20, 2022

Загрузки: 2,493

ГДЗ: решебник по фото учебника — это приложение a Образование, разработанное Sfera LLC и доступное для загрузки в iOS App Store и Android Play Store. Это приложение совместимо с iOS 10.0 или более поздней версии и требует 109MB свободного места для установки на вашем устройстве.

Что такое ГДЗ: решебник по фото учебника?

Мечта школьников!

Краткие изложения школьной программы на лето с 5 по 11 класс.

Решебник по фотографии. Достаточно сфотографировать страницу с домашним заданием из учебника или рабочей тетради камерой смартфона, и приложение подскажет ответ. В библиотеке вы найдете готовые домашние задания и решебники по всем школьным предметам с 1 по 11 класс.

У нас вы найдете ответы и готовые домашние задания по самым популярным предметам школьной программы:
— Математика
— Русский язык
— Алгебра
— Английский язык
— Геометрия Физика
— Биология/Окружающий мир
— История
— География
— Литература
— Химия
— Немецкий язык
— Информатика
— Обществознание

В библиотеке приложения вы найдете ГДЗ к учебникам, рабочим тетрадям, контрольно-измерительным материалам, дидактическим материалам, тестам, контрольным работам, тренажерам, сборникам задач следующих авторов: Александрова, Алимов, Атанасян, Афанасьева, Баранов, Баранова, Бархударов, Башмаков, Боголюбова, Босова, Бунеев, Бунимович, Бутузов, Быстрова, Ваулина, Виленкин, Волкова, Габриелян, Гаврилова, Гамбарин, Глазков, Гольцова, Горецкий, Демидова, Дорофеев, Дудницын, Евстафьева, Егорова, Ерина, Ефремова, Желтовская, Жохов, Звавич, Зив, Зубарева, Иванов, Истомина, Иченская, Канакина, Кауфман, Кибирева, Климанова, Ключникова, Козлов, Колягин, Комарова, Коровина, Кузнецова, Кузовлев, Купалова, Ладыженская, Ларионова, Литвинова, Львова, Макарычев, Мартышова, Мерзляк, Меркин, Минаева, Миндюк, Миракова, Мищенко, Мордкович, Моро, Муравин, Мякишев, Никитина, Никольский, Перышкин, Песняева, Петерсон, Пичугов, Погорелов, Полонский, Попов, Попова, Потапов, Разумова, Разумовская, Рамзаева, Рубин, Рудницкая, Рыбченкова, Смирнова, Соловейчик, Ткачева, Тростенцова, Чекин, Чесноков, Чулков, Шарыгин, Шмелев, Яценко и других.

Решения по всей школьной программе за 1 класс, 2 класс, 3 класс, 4 класс, 5 класс, 6 класс, 7 класс, 8 класс, 9 класс, 10 класс, 11 класс.

Вы можете найти наше приложение, если введете: гдз, математика, gdz, brainly, знания, решение уравнений, якласс, учебник, решение примеров, решебник по математике, решебник по английскому, решебник по алгебре, гдз по алгебре, гдз английский, учеба, математика решение, алгебра, решебник, решение по фото, решение, учебники, шпаргалки, матиматика, гдз ру, гдз решебник, гдз по фото, задания, решать примеры, решения, класс, приложения для школы, гдз по русскому, гдз без интернета, уроки, решебник по фото, домашнее задание, учи, ответы, гдз по математике, еуроки, гдз по английскому, готовые домашние задания, решение задач, шпоргалки, математика 6 класс, дз, химия решение, решение математики, гдз домашка, фотокалькулятор, гдз от путина, решебник уравнений, гдз алгебра, ответы по фото, шпоры, решение задач по фото, онлайн уроки, решения по фото, шпора, гдз русский, гдз и решебник по алгебре, гдз геометрия, домашние задания, задачи по математике.

Нужна помощь? Присоединяйтесь к нашему ГДЗ: решебник по фото учебника форум, чтобы получать помощь, задавать вопросы и обсуждать приложение с другими пользователями со всего мира.

Скачать ГДЗ: решебник по фото учебника

СКАЧАТЬ ПРИЛОЖЕНИЕ

Скачать ГДЗ: решебник по фото учебника для ПК (Windows/Mac Os)

Чтобы установить приложение ГДЗ: решебник по фото учебника на свой ПК (Windows 10/8/7), следуйте нашему руководству по использованию Bluestacks для установки файлов APK на ваш компьютер. Если вам понравилось приложение ГДЗ: решебник по фото учебника Образование, вам также понравится наш список такие приложения, как ГДЗ: решебник по фото учебника.

Не забудьте поделиться с друзьями!

Share on Share on Share on

Участвуйте В Комментарии ГДЗ: решебник по фото учебника

Ознакомиться Со Всеми Отзывами

Вам также может понравиться

• Дневник МЭШ
• iOS Образование
• By: правительство-москвы
• Oct 16, 2020

• Промбезопасность тесты Б-8. 23
• iOS Образование
• By: andrey-andreyev
• Aug 26, 2020

• План счетов БУ РФ
• iOS Образование
• By: sergey-dorovenko
• Mar 20, 2022

• NetSchool
• iOS Образование
• By: зао-иртех
• Feb 10, 2022

Более »

Моментальное решение математических задач с помощью Microsoft Math Solver

16 января 2020 г. | Центр новостей Microsoft Индия

Для большинства учащихся предстоящее задание по математике или тест являются источником беспокойства. Что, если мы скажем вам, что выучить математику можно так же просто, как щелкнуть фотографию со своего смартфона?

Познакомьтесь с Microsoft Math Solver, универсальным приложением, которое помогает с широким спектром математических понятий — от элементарных арифметических и квадратных уравнений до вычислений и статистики. Все, что вам нужно сделать, это использовать камеру вашего смартфона, чтобы щелкнуть фотографию математической задачи, чтобы решить ее, будь то рукописная или напечатанная.

Вы также можете напечатать или набросать математическую задачу на экране своего смартфона или планшета, как на бумаге. Math Solver использует искусственный интеллект (ИИ), чтобы мгновенно распознать проблему и предоставить точное решение. Это не все. Он также предоставляет пошаговое объяснение с дополнительными учебными материалами, такими как рабочие листы и видеоуроки.

Читайте дальше, чтобы узнать, как получить помощь в выполнении домашних заданий и обрести уверенность в различных концепциях с помощью Microsoft Math Solver.

Нарисуйте, напечатайте или нажмите на фотографию

В приложении учащиеся могут добавлять формулировки задач тремя способами — рисовать, сканировать или печатать.

• Просто рисуйте на дисплее вашего устройства пальцем или стилусом. Приложение на базе искусственного интеллекта распознает ваш почерк и мгновенно покажет проблему в текстовом виде. Вы можете легко использовать приложение на планшетах iPad и Android.

•  Вы также можете щелкнуть фотографию уравнения или загрузить изображение.

• В качестве альтернативы можно ввести условие задачи, используя научный калькулятор в приложении.

Получить пошаговое руководство

Microsoft Math Solver предоставляет мгновенные решения и выходит за рамки, предоставляя пошаговые инструкции по различным методам решения проблем. Благодаря интерактивным определениям и объяснениям учащиеся могут легко понять и лучше запомнить понятия.

Улучшайте визуализацию с помощью интерактивных графиков  

Понимание уравнений упрощается с помощью графиков. В приложении учащиеся могут сканировать и строить таблицы данных XY для линейных или нелинейных функций. С интерактивными графиками изучение корреляций никогда не было проще.

Практикуйтесь до совершенства

Math Solver также предоставляет дополнительные учебные ресурсы, такие как видеоуроки и аналогичные рабочие листы, которые облегчают учащимся глубокое погружение в тему и ее освоение.

Изучайте математику на своем языке

Язык больше не является препятствием для изучения математики. Приложение поддерживает 22 языка, включая 12 индийских языков, таких как ассамский, бенгальский, гуджарати, хинди, каннада, конкани, маратхи, малаялам, ория, пенджаби, тамильский и телугу, помимо международных языков, таких как немецкий, испанский, упрощенный китайский и русский.

В восторге от быстрого решения математических задач? Начните работу с Microsoft Math Solver сегодня, доступной для iOS в App Store и Android в Google Play. Узнайте больше на math.microsoft.com

Математика — Bilder und stockfotos

Bilder

• Bilder
• Fotos
• Grafiken
• Vektoren
• видео

DUMAFSTERN SHIE 1.

208.2045645645645.208.204564564564. Odersuchen Sie nach формула oder школа, um noch mehr faszinierende Stock-Bilder zu entdecken.

Сортировать по номеру:

Am beliebtesten

abstrakte mathematische formeln auf dunklem undergrund. билдунгсконцепт. 3D-рендеринг — математические изображения и изображения

Abstrakte mathematische Formeln auf dunklem Hintergrund….

berechnung isometrisch. вектор — математика графика, -клипарт, -мультфильмы и -символ

Берехнунг изометрии. Вектор

Берехнунг изометрич. Vectorillustration isometrischer flacher Designstil. Konzept der Finanzbuchhaltung. Taschenrechner, Zwischenablage, Bleistift. Изолирующий объект. Математическая концепция.

zufällige mathematische symbole und ziffern auf der metalloberfläche. — математический рисунок, -клипарт, -мультфильмы и -символ

Zufällige Mathematische Symbole und Ziffern auf der Metalloberfläc

Mathematische Symbole und bildungskonzept. — математические фотографии и изображения

Mathematische Symbole und Bildungskonzept.

Математические символы и концепции развития. Holzblöcke мит математических символов. Копировать Sie den Platz für Text.

Кляйнер Юнге, дер Основа-10-метод проверен, um zu hause add zu machen — math Stock-fotos und Bilder

Клэйнер Юнге, der die Basis-10-Метод verwendet, um zu Hause…

Kleiner Junge, der die Base-10-Methode verwendet, um zu Hause Addition zu machen

es muss eine lösung sein! — Математика фото и изображения

Es muss eine Lösung sein!

Kollegen, Die Mathematische Formeln auf einem Transparenten Wischbrett Schreiben

Hintergrund Mit Zahlen Verstreut Chaotisch -Math Stock -Grafiken, -клейпорт, hImtorngren n -hiMbolen

-hIntrigngrent

.0005 mann, der auf dem boden voller mathematischer formeln geht. bildungs- und problemlösungskonzept — math stock-fotos und bilder

Mann, der auf dem Boden voller mathematischer Formeln geht. …

junge studentin schreiben mit kreide an die grüne tafel im klassenzimmer — math stock-fotos und bilder

Junge Student mitin schreiben Kreide an die grüne Tafel im…

ein klassenzimmer in einer grundschule — math stock-fotos und bilder

Ein Klassenzimmer in einer Grundschule

Abakus и другие Schulmaterialien в одном классе

робот неоновая вывеска черная пятница — математика фото и фотографии

робот неоновая вывеска черная пятница

математический символ. 3d-рендеринг-иллюстрация — математические стоковые фотографии и изображения

Математические Pi-Zahlensymbol. 3D-Render-Illustration

Kleines Mädchen, das ein Theaterstück hat, als büro und als buchhalterin — math stock-fotos und bilder

Kleines Mädchen, das ein Theaterstück hat, als Büro und als…

Intelligentes Kleinkind, das etwas über Finanzen und Mathematik lernt

grundlegende trigonometrische identitäten. formeln zur berechnung von summen und winkeldifferenzen. bildung, unterricht bekommen, schulprogramm höhere mathematik — математическая графика, -clipart, -cartoons und -symbole

Grundlegende trigonometrische Identitäten. Formeln zur…

Handgeschriebener mathematischer Text. Isolated.Vektor-Illustration

тафель с уравнениями — математические стоковые фотографии и изображения

Tafel mit уравнений

Wissenschaftliche formeln und berechnungen in der physik und mathematik — math stock-fotos und bilder

Wissenschaftliche Formeln und Berechnungen in der Physik und… -алгебра-нетеррихт. — math stock-fotos und bilder

Teenager Kind Schüler denkt über löst Beispielproblem mit Brüchen

Teenager-Kind-Schüler löst ein Beispielproblem mit Brüchen an der Tafel im Schulklassenzimmer im Mathe-Algebra-Unterricht

Математический символ Hintergrund — математическая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символ

Математический символ Hintergrund

buchhaltung, berechnungszeichen-symbol. glyphenvektor isoliert auf weißemhintergrund — математическая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символ

Buchhaltung, Berechnungszeichen-Symbol. Glyphenvektor isoliert…

haushypothekenberechnung, wohnbudget, versicherung oder kosten und ausgaben, immobilieninvestition oder wohnheim-geldkonzept, geschäftsmann agent oder makler mit bleistift mit hausrechner — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Haushypothekenberechnung, Wohnbudget, Versicherung oder Kosten…

aufnahme eines kleinen mädchens, das auf einer tafel in einem klassenzimmer mathe macht — math stock-fotos und bilder

Aufnahme eines kleinen Mädchens, das 90 in 10m einer Tafel Eine Vorschule ist der Beginn der Lernerfahrung

nachdenkliche kinder schule schüler mit gelben glühbirne und schule und kindheit liefert design-elemente. kind-ideen und entwicklungskonzept — математическое фото и изображения

Nachdenkliche Kinder Schule Schüler mit gelben Glühbirne und…

pädagogische illustrationen durch passende wörter für kleine kinder. lerne wörter, die zu bildern passen. wie in der kategorie spielzeug gezeigt — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Pädagogische Illustrationen durch passende Wörter für kleine…

mathematische theorie. математический расчет по классу тафель. алгебра и геометрия wissenschaft handschriftliche formeln vektor-bildungskonzept — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Математическая теория. Математический расчет в Der Klasse…

hinzufügen, subtrahieren, teilen, multiplizieren von symbolen linie und volumenkörper, bildungskonzept, mathematik berechnen zeichen auf weißemhintergrund, grundlegende mathematische symbole plus, minus, умножение и деление в умриссе. вектор. — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Добавление, вычитание, разделение, умножение символов…

Добавление, вычитание, разделение, умножение Sie die Die Symbole Line und Volumenkörper, Bildungskonzept, Mathematik berechnen Sie das Zeichen auf weißem Hintergrund, Grundlegende mathematische Symbole plus, Minus, Multiplikation und Division in der Gliederung. Вектор

Finanzen Hintergrund — математические графики, -клипарты, -мультфильмы и -символы

Finanzen Hintergrund

mädchen bereiten sich auf die prüfung. junge frau sitzen lesen buch und denken über formeln. bildung, wissenskonzept. schule, studium und literatur — математическая графика, клипарт, мультфильмы и символы

Mädchen bereiten sich auf die Prüfung. Junge Frau sitzen lesen…

Mädchen bereiten sich auf die Prüfung vor. Junge Frau, die sitzt, liest Buch und denkt über Formeln nach. Bildung, Wissensvektorkonzept. Школа, студия и литература

kleines kind mathestudent, der wissenschaftliche formeln auf blauem hintergrund schreibt — math stock-fotos und bilder

Kleines Kind Mathestudent, der wissenschaftliche Formeln auf…

Kleines Kind Matheschüler schreibt naturwissenschaftliche Formeln auf blauem Hintergrund

grünen tafel mathematische mit dünnen linienformen und вписать. вектор — математика стоковые графики, -клипарты, -мультфильмы и -символы

Grünen Tafel mathematische mit dünnen Linienformen und…

lächelnder lehrer applauert jungem schüler im klassenzimmer — math stock-fotos und bilder

Lächelnder Lehrer applaudiert jungem Schüler im Klassenzimmer

Mathe oder Mathe Wissenschaft icons schwarz & weiß set groß — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Mathe oder Mathe Wissenschaft Icons schwarz & weiß Set groß

5 Diese

5 Vektorillustration und kann ohne Auflösungsverlust auf jede beliebige Größe skaliert werden.

dreieckslineal und winkelmesser solide symbol, Briefpapier konzept, mess- und zeichenwerkzeuge zeichen auf weißemhintergrund, schule dreieck linear mit winkelsymbol im glyphenstil. вектор. — математический рисунок, -клипарт, -мультфильмы и -символ

Dreieckslineal und Winkelmesser solide Symbol, Briefpapier…

Dreieckslineal und Winkelmesser durchgehendes Symbol, Schreibwarenkonzept, Mess- und Zeichenwerkzeugschild auf weißem Hintergrund, Schuldreieckslineal mit Winkelmessersymbol im Glyphenstil. Вектор

символ для математики им Linienstil — математические стоковые графики, -клипарт, -мультфильмы и -symbole

Символ для математики им Linienstil

wissenschaftstechnologiekonzept. абстрактный фон. — математические стоковые фотографии и изображения

Wissenschaftstechnologiekonzept. Abstrakter Hintergrund.

sehr junge wissenschaftler — математика фото и фотографии

sehr junge wissenschaftler

kleines Kind vor einer Tafel voller Gleichungen als Lehrer!

математический символ, набор иконок. математические знания. linie mit editierbaren schlaganfall — математическая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символ

математических символов, набор иконок. mathematische Berechnungen….

7 лет изменить junge zählt auf finger. — математические стоковые фотографии и изображения

7 Jahre alter Junge zählt auf Finger.

aufziehbares — математические фото и изображения

Aufziehbares

Witz über eine Katze, die Arithmetik studiert

mathematisches wissenschaftskonzept. winzige männliche und weibliche schüler charaktere in work oder schule klasse lernen mathematik and riesigen tafel. menschen, die bildung und schreiben formel. мультипликационная векторная иллюстрация — математическая графика, клипарт, мультфильмы и символы

Mathematisches Wissenschaftskonzept. Winzige männliche und…

willkommen zurück in der schule, süße doodle bunte set mit schriftzug. рука gezeichnete вектор-иллюстрация, isoliert auf weiß. — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Запросы в школе, süße Doodle bunte Set mit…

flach legen oder top blick auf schwarzen stift mit taschenrechner auf lebhaften gelbenhintergrund tisch mit leere kopie raum, Математика, косты, steuern oder investition berechnung — math stock-fotos und bilder

Flach legen oder Top Blick auf schwarzen Stift mit…

Flache Verlegung oder Draufsicht des schwarzen Stifts mit Taschenrechner auf einer lebhaften gelben Hintergrundtabelle mit leerem Kopierraum, Mathematik, Kosten-, Steuer-oder Investitionsberechnung.

arbeitsblatt für Pilze und Vogelbeeren-Mathespiele — математическая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символы

Arbeitsblatt für Pilze und Vogelbeeren-Mathespiele

Cartoon-Pilze und Vogelbeere Mathe Spiel Vektor Arbeitsblatt. Kindererziehungslabyrinth oder Zählpuzzle mit Additionsgleichungen, Kinderlogiktest mit Rahmenrahmen von Schulmaterial und Gegenständen

торговый тэг-линия и значок Volumenfest, marktkonzept, sonderangebot zeichen auf weißemhintergrund, prozent rabatt tag-symbol im umriss-stil für mobiles konzept und web-design. векторграфикен. — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Shopping-Tag-Line und Volumenfest Icon, Marktkonzept,…

Shopping-Tag und Volumen-Icon, Marktkonzept, Sonderangebotsschild auf weißem Hintergrund, Prozentuales Rabatt-Tag -Icon Gliederungsstil для мобильных устройств Konzept und Webdesign. Векторграфик 9…

Weiße und dunkelhäutige Kinder sitzen zusammen am Tisch und zählen auf den Abakus und das Lächeln

bildung, classenzimmer und lernen, während schwarze schüler eine mathematische gleichung lösen und antworten aufreiben das whiteboard. kluger kleiner schuljunge, der eine multiplikationssumme macht und eine losung im unterricht berechnet — math stock-fotos und bilder

Bildung, Klassenzimmer und Lernen, während schwarze Schüler eine…

Bildung, Klassenzimmer und Lernen, während schwarze Schüler eine mathematische Gleichung lösen und Antworten auf das Whiteboard schreiben. Kluger kleiner Schuljunge, der Summen multipliziert und eine Lösung im Unterricht berechnet

sudoku-spiel mit der antwort — math Stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Sudoku-Spiel mit der Antwort

bildungskonzept — bücher auftisch dem schreibre — математические стоковые фотографии и изображения

Bildungskonzept — Bücher auf dem Schreibtisch im Auditorium

Bildungskonzept — Bücher auf dem Schreibtisch in der Aula

tafel mit wissenschaftlichen formeln und berehnungen in der физико-математические аспекты. wissenschaftliche themen gebunden, quantenmechanik, relativitätstheorie und wissenschaftliche berechnungen zeigen — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Tafel mit wissenschaftlichen Formeln und Berechnungen in der. ..

Blackboard mit wissenschaftlichen Formeln und Berechnungen in Physik und Mathematik beschriftet . Kann wissenschaftliche Themen zur Quantenmechanik und zu allen wissenschaftlichen

modernes farbe dünne linie konzept von mathematik ab. — математический рисунок, -клипарт, -мультфильмы и -символ

Modernes Farbe dünne Linie Konzept von Mathematik ab.

Teenage macht hausaufgaben in seinem zimmer — math stock-fotos und bilder

Teenager macht Hausaufgaben in seinem Zimmer

wissenschaft-formel und mathematische gleichung abstraktenhintergrund-math Stock-fotos und bilder

Wissenskungschaft-Formel 0500002 05strachungatisabche Gle 05strachungatisabche -, wissens- и mathematikwissenschaftskonzept. Winzige weibliche charakter mit lernen Briefpapier College oder universitätsstudenten in bachelor cap mit rechner. Cartoon menschen vektor illustration — math stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Bildungs-, Wissens- und Mathematikwissenschaftskonzept. Winzige…

mädchen lesen lehrbuch — math Stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Mädchen Lesen Lehrbuch

mathematische gleichungen, die auf einer tafel geschrieben sind — math Stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole

Mathematische Gleichungen, die auf einer Tafel geschrieben sind

Mathematische Gleichungen an der Tafel — mathematische und naturwissenschaftliche Konzepte

der lehrer schreibt auf einer tafel mit kreide eine formel für strom-fomektris der lehrer schreibt0002 Der Lehrer schreibt auf einer Tafel mit Kreide eine Formel für…

abstrakte bunte farbgestaltung kreis geometrische muster und undergrund. — математические графические изображения, -клипарты, -мультфильмы и -символы

Abstrakte bunte Farbgestaltung Kreis geometrische Muster und…

der Männliche lehrer spreizt seine hande. über dem kopf des lehrers befinden sich symbole der wissenschaften. globus, bakterium, quadratwurzel, алфавит — математика, графика, клипарт, мультфильмы и символы

Der mannliche Lehrer spreizt seine Hände.

Прямая и обратная пропорциональность. Коэффициент и формулы

• Прямая пропорциональность
• Формула прямой пропорциональности
• Обратная пропорциональность
• Формула обратной пропорциональности

Пропорциональность — это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.

Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.

Прямая пропорциональность

Прямая пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными.

Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость  v  равной  5 км/ч,  то пройденный путь  s  будет зависеть только от времени движения  t:

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения  t,  во столько же раз увеличивается пройденное расстояние  s.  В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.

В данном случае скорость  (v = 5 км/ч)  является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:

следовательно,

5	=	10	=	20	=	40	=	80	= 5.
1		2		4		8		16

Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:

В этом примере коэффициентом прямой пропорциональности, то есть, отношением пути к скорости, которое остаётся неизменным, является время  (t = 2 ч):

следовательно,

Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Формула прямой пропорциональности

Формула прямой пропорциональности:

y = kx,

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных  y  и  x  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность — это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными.

Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:

s = vt,

где  s  — это путь,  v  — скорость, а  t  — время.

При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь  s  равным  120 км,  то потраченное на преодоление этого пути время  t  будет зависеть только от скорости движения  v:

Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения  v,  во столько же раз уменьшается время  t.  В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.

В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:

s = vt,

следовательно,

10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120.

Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Формула обратной пропорциональности

Формула обратной пропорциональности:

где  y  и  x  — это переменные величины, а  k  — это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных  y  и  x,  равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

xy = k.

Коэффициент пропорциональности седьмого класса Математика, Математика, золото, материал png

Коэффициент пропорциональности седьмого класса Математика, Математика, золото, материал png

теги

• золото,
• материал,
• константа,
• площадь,
• пропорция,
• пропорциональность,
• отношение,
• школа,
• среднее,
• седьмой класс,
• шестой класс,
• статистика,
• символ,
• понимание,
• вероятность И статистика,
• вероятность,
• значок,
• шар,
• круг,
• восьмой класс,
• дробь,
• геометрия,
• линия,
• математика,
• средняя школа,
• процент,
• желтый,
• png,
• прозрачный png,
• без фона,
• бесплатная загрузка

Скачать PNG ( 76. 02KB )

Размер изображения

512x512px

Размер файла

76.02KB

MIME тип

Image/png

изменить размер PNG

ширина(px)

высота(px)

Некоммерческое использование, DMCA Contact Us

• Математика Расчет Начальная школа, Математика, текст, начальная школа png 668x682px 111.27KB
• Liber Abaci Золотое сечение Золотая спираль, Математические с, угол, текст png 942x638px 31.22KB
• Число Фибоначчи Золотая спираль Золотое сечение Последовательность, спираль, угол, белый png 1600x1012px 47.16KB
• org/ImageObject»> Золотая спираль числа Фибоначчи Золотое сечение Либера Абачи, Математика, угол, белый png 800x524px 18.2KB
• Евклидово изображение, золотое знамя, корона и лента иллюстрация, CDR, этикетка png 800x800px 151.53KB
• Математика Orange Middle School Математическая запись Алгебра Число, падение креатив, лист, текст png 844x797px 98.24KB
• фейс арт, золотое сечение лицо, математика, лицо, лицо, угол, белый png 603x800px 94.68KB
• Общественные науки США Средняя школа World Learning, мультфильм глобус, глобус, класс png 456x596px 92.6KB
• Веб-баннер Лента Евклидова, Золотая лента, баннерная лента, партия золотой ленты, другие, текст png 3085x5498px 1. 74MB
• Золотая спираль Золотое сечение число Фибоначчи, другие, разное, угол png 2400x1697px 34.32KB
• Теория вероятностей Математика Вероятность и статистика Независимость, Кости, угол, белый png 2000x1500px 165.45KB
• Знак процента Компьютерная Иконка Процент, Хорошее Чтение, текст, другие png 512x512px 13.4KB
• Неделя Школьного духа Восьмого класса Одежда, Звезда, текст, спорт png 600x451px 135.91KB
• Математика Математические науки Седьмой класс Информатика, Математика, фиолетовый, текст png 724x511px 294.81KB
• org/ImageObject»> Фи Золотое сечение Символ Пи Математика, символ, разное, текст png 628x768px 19.7KB
• математическое уравнение, математика для младших классов средней школы Евклидово обучение, рисованная формула математики для младших классов средней школы, угол, текст png 1540x1546px 104.69KB
• Витрувианский Человек Золотое сечение Лицо Математика, Лицо, белый, люди png 1206x1600px 324.7KB
• золотая звезда, звезда золото, песочная звезда, коричневый, звезды png 600x500px 252.71KB
• Математическая нотация Математический символ Арифметика, Предварительный расчет с, умножение, сложение png 1600x1329px 226.87KB
• org/ImageObject»> Золотое сечение Золотая спираль число Фибоначчи, Математика, угол, белый png 2000x1268px 39.15KB
• Фракция математика 1/4 балла, математика, угол, число png 600x600px 16.54KB
• числовые иллюстрации, евклидово число, элемент PPT, текст, прямоугольник png 12454x13187px 3.86MB
• логотип белой птицы, логотип Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Индонезия Министерство образования и культуры Южной Джакарты, Tut wuri handayani, CDR, логотип png 800x445px 175.84KB
• умножение и буквы, математика, милая маленькая математика, текст, прямоугольник png 2917x2917px 697.11KB
• org/ImageObject»> вывески с воздушными шарами иллюстрации, бумага желтый узор, воздушный шар границы, граница, рамка png 2154x1260px 246.01KB
• Круг Золотая спираль Золотое сечение число Фибоначчи, круг, угол, белый png 2000x1237px 40.91KB
• Иррациональное число Математика Иррациональность, Математика, угол, белый png 500x500px 39.98KB
• Logo Средняя школа Начальная школа Эмблема, школа, эмблема, текст png 1261x1262px 89.21KB
• Школа образования Icon, Образование детей, инфографика, ребенок png 2000x2000px 1.5MB
• Число Фибоначчи Золотое сечение Золотая спираль Золотой прямоугольник, круг, угол, белый png 2000x1266px 79. 55KB
• Число Фибоначчи Золотое сечение Золотая спираль Математика, Математика, угол, спираль png 1024x755px 612.7KB
• Дети, сидящие на стуле, Студенческий вопрос Компьютерный файл, Студенты отвечают на вопросы в классе, Разное, угол png 1157x1443px 125.24KB
• коричневая строка искусства, рамка золотой узор, золотой узор, рамка, угол png 1114x586px 134.37KB
• скриншот разноцветного логотипа, инфографическая иконка проекта Викимедиа, простые квадратные рамки, рамка, цвет Splash png 585x586px 59.06KB
• математическое уравнение, математическая формула, евклидова формула, эссе для средней школы, рисованная математическая формула для средней школы, угол, текст png 2029x1547px 63. 03KB
• Bas de casse Математика, золотые буквы, текст, другие png 1271x1280px 190.18KB
• Scripps National Spelling Bee Ученик средней школы, школа, текст, логотип png 897x900px 817.02KB
• Школа математики Formula School Графический дизайн, творческая формула математики для младших классов средней школы, угол, белый png 1600x1225px 80.62KB
• Фракции, Десятичные числа, Проценты 1/4 Половина процента, BB-8, фиолетовый, угол png 717x538px 20.1KB
• Круглый круг Пирог Фракция Одна половина, Круговая диаграмма, угол, оранжевый png 1024x512px 38. 68KB
• Иллюстрация монеты четыре золотых доллара, икона, золотые монеты, еда, золотая монета png 2312x1936px 599.44KB
• Золотой угол Круг Геометрия Точка Правильный многоугольник, красный круг, угол, белый png 2785x2525px 86.26KB
• круглый желтый и белый логотип, желтый круг, рамка желтого круга, рамка, золотая рамка png 3001x2743px 464.88KB
• желтая шестерня, Университет Уилфрида Лорье Образовательные технологии Школа Преподаватель, инновации, угол, класс png 550x550px 78.51KB
• Золотое сечение Золотая спираль Золотой прямоугольник, квадраты, угол, белый png 1280x838px 31. 12KB
• дети, занимающиеся спортом икона, физкультура, 61 милый мультфильм дети играют, мультипликационный персонаж, ребенок png 1673x1320px 274.82KB
• красный и коричневый номер шесть, добыча золота в Папуа-Новой Гвинее, золотой и красный номер шесть, золото, цвет png 2775x4140px 3.14MB
• белый баннер с воздушными шарами, веб-баннер ленты материал воздушного шара, праздничный баннер ленты воздушный шар, баннер, лента Лук png 1800x1800px 158.67KB
• Золотая рамка, золотая икона, мультфильм Золотой круг, мультипликационный персонаж, золотая рамка png 2001x1871px 496.43KB
• org/ImageObject»> 6 иллюстраций, номер, золотой деко номер шесть, цвет, шрифт png 3032x4110px 1.57MB

Пропорциональные символы—ArcGIS Pro | Документация

Пропорциональные символы используются для отображения относительных различий в количестве элементов. Пропорциональная символика аналогична символике градуированных символов в том, что обе рисуют символы, размер которых соответствует величине атрибута объекта. Но там, где градуированные символы распределяют функции по отдельным классам, пропорциональные символы представляют количественные значения в виде серии неклассифицированных символов, размер которых соответствует каждому конкретному значению.

Пропорциональные символы могут быть определены для точечных, линейных или полигональных векторных слоев. При применении к точечным или линейным символам размер объекта изменяется напрямую. При применении к полигональным объектам точечный символ пропорционального размера рисуется в центре полигона. Для справки вы можете указать единый фоновый символ для многоугольников, которые рисуются под точками.

На этой анимированной карте используются пропорциональные символы, чтобы показать колебания количества осадков в Мексике.

Пропорциональные символы могут быть основаны на поле атрибута в наборе данных, или вы можете написать выражение Arcade, на основе которого будут генерироваться числовые значения для обозначения.

Предупреждение:

Когда пропорциональные символы основаны на одном поле, символы рисуются в отсортированном порядке, где более крупные объекты отображаются первыми, а более мелкие — выше. Когда символы основаны на выражении, такой сортировки не происходит, и некоторые меньшие символы могут быть скрыты более крупными.

Относительный размер

Если значения атрибута представляют количество (например, население или количество добытых бушелей), а не измеримое количество, или если единица измерения неизвестна, можно указать минимальный и максимальный размер символа. Все символы отображаются между этими двумя размерами, и вы можете использовать гистограмму для интерактивной установки значений данных, соответствующих минимальному и максимальному размерам. Значения, находящиеся ниже или за пределами этого диапазона, отображаются с наименьшими и наибольшими символами соответственно.

Или вы можете установить Максимальный размер на Нет. В этом случае Минимальный размер соответствует наименьшему значению в данных, а все остальные символы имеют размер пропорционально этому минимальному размеру. Если оставить диапазон открытым, не определив максимальный размер символа, диапазон символов будет действительно относительного размера, но это может привести к тому, что некоторые символы будут слишком большими, если существует большой разброс значений.

Погружение:

Читатели карт склонны недооценивать размер пропорциональных кругов на картах, особенно в верхней части диапазона размеров. Чтобы противодействовать этому восприятию, вы можете проверить компенсацию внешности (Фланнери). Компенсация внешнего вида использует алгоритм, определенный Джеймсом Флэннери, в котором более крупные символы масштабируются, чтобы компенсировать это восприятие. Вы можете использовать компенсацию внешнего вида, только если у вас есть пропорциональные символы относительного размера (пропорциональные символы без указания единицы измерения) и не указан Максимальный размер. Поскольку исследование Флэннери относится именно к восприятию кругов, компенсацию внешнего вида следует использовать только с круглыми символами.

Фактический размер

Если символизируемый атрибут напрямую связан с фактическим значением с известной единицей измерения, вы можете использовать пропорциональные символы для рисования символов, размер которых точно соответствует этим размерам. Например, у вас может быть точечный слой отдельных деревьев, который включает атрибут радиуса кроны дерева, измеряемый в футах, и вы хотите представить каждое дерево в виде круга, используя его реальный размер кроны.

Задайте для свойства Unit единицу измерения, которую представляют ваши данные. Значение атрибута умножается на эту единицу для определения размера каждого символа. Вы также должны указать, должно ли это значение соответствовать площади, радиусу (половина ширины в случае квадрата) или высоте символа в свойстве «Данные представляют». Высота может быть указана только тогда, когда вы работаете в сцене.

При выборе Area значение атрибута умножается на квадрат значения Unit. В случае линейной геометрии вы выбираете, представляют ли данные ширину или расстояние от центра. Затем вы можете отформатировать основные свойства выбранной фигуры, такие как цвет и контур. Пропорциональные символы, нарисованные с реальным размером, ограничены только кругами или квадратами.

Поскольку размер символа представляет собой измеряемую единицу, карта должна быть в системе координат проекции или сцена должна быть в режиме локального просмотра с использованием системы координат проекции. Для получения точных изображений следует использовать равновеликую проекцию, особенно если вы наносите на карту большую географическую область.

Нарисуйте слой с пропорциональными символами относительного или фактического размера

Вкладка Основные символы имеет две подвкладки для установки градуированных символов:

• На вкладке Классы вы устанавливаете количество легенд и управляете нулевыми и исключенными значениями.
• На вкладке «Гистограмма» можно просматривать и редактировать диапазоны данных символов. Дополнительные сведения см. в разделе Использование гистограмм символов.

Чтобы отобразить количественные данные с пропорциональными символами, выполните следующие действия:

1. Выберите векторный слой на панели Содержание.
2. На вкладке Векторный слой в группе Рисование щелкните Символы и щелкните Пропорциональные символы.

   Появится панель Символы.

3. На панели Символы на вкладке Первичные символы выберите числовое поле для данных, которые необходимо сопоставить, или напишите выражение.

   Чтобы использовать выражение, щелкните Задать выражение, чтобы открыть диалоговое окно Построитель выражений. Напишите выражение и нажмите «Проверить», чтобы подтвердить его. Обратите внимание, что хотя выражение допустимо, оно может не возвращать допустимое числовое значение. Вы можете отфильтровать диалоговое окно Expression Builder, чтобы отображались только числовые поля, чтобы предотвратить это.

4. Чтобы нормализовать данные, выберите поле в меню «Нормализация» или выберите процент от общего числа, чтобы разделить значение данных для создания соотношений, или выберите логарифм для обозначения логарифма каждого значения. Это может быть эффективным способом создания меньшего диапазона значений, если набор данных содержит значительные выбросы. Нормализация доступна, только если пропорциональные символы основаны на поле. Если он символизируется в выражении, поле Нормализация недоступно.
5. Решите, следует ли отображать данные фактическими или относительными пропорциональными символами. Обратитесь к разделам выше для получения дополнительной информации. При желании установите минимальный и максимальный размеры символа, представляющего ваши данные.
   • Чтобы использовать пропорциональные символы относительного размера, выберите Unknown для Unit. Установите Минимальный размер и Максимальный размер символа, представляющего ваши данные. Или установите для параметра Максимальный размер значение Нет. При необходимости отрегулируйте шаблон и фоновые символы.
   • Для отображения пропорциональными символами реального размера выберите единицу измерения для представления данных. Установите элемент управления «Данные представляют» на «Площадь», «Радиус» (1/2 ширины), «Высота» (только 3D), «Ширина» (только линии) или «Расстояние от центра» (только линии). При необходимости отрегулируйте форму символа, его заливку и фоновый символ.

Изменить пропорциональные символы

На вкладке Основные символы на вкладке Классы можно выполнить следующие действия:

• их или выбрать другие.
• Если исходные данные были изменены или обновлены, нажмите «Дополнительно» и нажмите «Обновить значения», чтобы обновить диапазон значений.
• Чтобы отобразить нулевые значения, нажмите «Дополнительно» и выберите «Показать нулевые значения». На вкладке «Классы» разверните «Нулевые значения», чтобы указать символ, метку легенды и описание легенды. Если поле атрибута, используемое для определения символов пропорционального размера, содержит нулевые значения, символы для этих объектов не будут отображаться, если только вы явно не выберете их отображение с помощью выделенного символа.

На вкладке Дополнительные параметры символов можно выполнить следующие действия:

• По умолчанию размер выборки, используемый для расчета статистики и диапазонов классов, составляет 10 000 записей. Чтобы изменить максимальный размер выборки, разверните Размер выборки и измените значение Максимальный размер выборки. Ограничение размера выборки повышает производительность, но может непреднамеренно пропустить важные выбросы в наборе данных. Как правило, чем больше набор данных, тем больший размер выборки следует использовать.
• Чтобы настроить маскирование для отдельных объектов, разверните Маскирование на уровне объектов.
• Чтобы исключить значения данных из схемы символов и при необходимости определить альтернативный символ для исключенных значений, разверните Исключение данных, чтобы определить запрос. Чтобы прекратить отображение исключенных значений, на вкладке Основные символы щелкните Дополнительно и снимите флажок Показать исключенные значения.

Изменение пропорциональных символов с помощью прозрачности, поворота или цвета

В дополнение к указанию величины объектов с пропорциональными символами вы также можете отображать дополнительные атрибуты, изменяя прозрачность, поворот и цвет символов. Хотя все эти обработки можно применять одновременно, имейте в виду, что слишком большое количество визуальных вариаций затрудняет интерпретацию слоя. Рекомендуется экономно применять вторичные символы.

Узнайте больше о концепциях символов

1. На панели Символы щелкните вкладку Изменение символов по атрибуту .
2. Расширение прозрачности, поворота или цвета.

Публикация слоя с пропорциональными символами

Когда вы публикуете слой с пропорциональными символами в ArcGIS Online или ArcGIS Enterprise в качестве векторного веб-слоя или слоя веб-сцены, слой отображается с неклассифицированными символами градуированного размера и может выглядеть иначе, чем слой в ArcGIS Pro.

Если указана единица измерения, она не учитывается в результирующем слое веб-карты, но учитывается в слое веб-сцены. В веб-сцене единицы могут представлять высоту и ширину. Значение максимального размера, установленное на None, также не учитывается. Применяется максимальное значение, и все символы имеют размер в пределах этого диапазона.

Слой с пропорциональными символами может быть опубликован как веб-слой листов только в том случае, если для параметра Максимальный размер установлено значение Нет. Слой веб-листов выглядит так же, как слой в ArcGIS Pro.

Похожие темы

---

Отзыв по этой теме?

Сегменты Середины и лучи

Концепция линий проста, но большая часть геометрии связана с частями линий. Некоторые из этих частей настолько особенные, что имеют собственные имена и символы.

Линейный сегмент

Отрезок представляет собой соединенный кусок линии. Он имеет две конечные точки и называется по своим конечным точкам. Иногда для обозначения сегмента используется символ – написанный поверх двух букв. Это отрезок CD (рис. 1).

Рисунок 1  Сегмент линии.

пишется CD (Технически CD относится к точкам C и D и всем точкам между ними, а CD без относится к расстоянию от C до D . ) Обратите внимание, что CD является частью .

Постулат 7 (Постулат линейки): Каждая точка на линии может быть соединена ровно с одним действительным числом, называемым ее координата . Расстояние между двумя точками равно положительной разности их координат (рис. 2).

Рисунок 2  Расстояние между двумя точками.

Пример 1 : На рисунке 3 найдите длину QU .

Рисунок 3  Длина сегмента линии.

Постулат 8 (Постулат сложения сегментов): Если B лежит между A и C в строке, то AB + BC = AC (рисунок 4).

Рисунок 4  Сложение длин отрезков.

Пример 2 : На рисунке 5 A находится между C и T . Найдите CT , если CA = 5 и AT = 8.

Рисунок 5  Сложение длин отрезков.

Поскольку A лежит между C и T , постулат 8 говорит вам, что

Средняя точка

Середина отрезка прямой является средней точкой или точкой, равноудаленной от конечных точек (рис. 6).

Рисунок 6  Середина отрезка.

R является средней точкой QS , потому что QR = RS или потому что QR = ½ QS или RS = ½ QS

Пример 3: На рисунке 7 найдите середину KR .

Рисунок 7  Середина отрезка прямой.

Середина KR будет равна ½ (24) или 12 пробелам либо от K , либо от R . Поскольку координата K равна 5, и она меньше, чем координата R (которая равна 29), чтобы получить координату средней точки, вы можете либо прибавить 12 к 5, либо вычесть 12 из 29. В любом случае вы определить, что координата середины равна 17. Это означает, что точка O является средней точкой KR , потому что KO = ИЛИ .

Другой способ получить координату средней точки — найти среднее значение координат конечной точки.

Тесты по геометрии для 9 класса онлайн

• Тест по теме «Правильные многоугольники»

  11.11.2020 4592 0

  Проверочная работа в форме теста по теме «Правильные многоугольники»

• ВЕКТОРЫ 9 класс

  19.10.2020 5978

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса по теме «Векторы». Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. Есть задания на определения, и есть задания на решения задачи.

• Синус, косинус, тангенс

  16. 12.2020 6463

  Тест для проверки знаний по темам «Синус, косинус, тангенс» и «Соотношение сторон и углов в прямоугольном треугольнике»

• ГЕОМЕТРИЯ выбор верных утверждений 9 класс

  11.04.2021 11380 0

  Тест содержит 35 заданий. Задания в тест выбираются случайным образом из общей базы заданий. Критерии: «3» 50-69%, «4» 70-90%, «5» 91-100%. Оценка выставляется сразу после прохождения теста.

• Геометрия 9 класс Теорема о площади треугольника

  21.12.2020 2191 0

  Тест предназначен для проверки знаний по теме Теорема о площади треугольника

• Геометрия.

  (ОГЭ). Анализ геометрических высказываний.

  04.08.2021 295

   Тест по геометрии для учащихся 8-9 классов проверяет умение учащихся анализировать геометрические высказывания

• Подготовка к ОГЭ по математике модуль «Геометрия»

  27.04.2020 12398 0

  Тест создан для учеников 9 класса с целью подготовки к ОГЭ по математике по модулю «Геометрия»

• Табличные значения тригонометрических функций углов от 0 до 180 градусов.

  22.12.2022 169 0

  Предлагаемый тест позволяет закрепить знание табличных значений тригонометрических функций углов от 0 до 180 градусов.  

• Уравнение окружности

  25.11.2020 7896

  Тест для проверки знаний по теме «Уравнение окружности» (геометрия 9 класс)

• Проверочный тест по теме «Соотношения между сторонами и углами треугольника».

  28.01.2021 1945 0

  Тест по математике для проведения итогового контроля по теме «Соотношения между углами и сторонами треугольника»   Цель: установление уровня сформированности предметных, метапредметных и личностных результатов     обучающихся по теме «Соотношения между углами и сторонами треугольника».   Требования стандарта: Личностные результаты: формирование ответственного отношения к учению, формирование готовности и способности обучающегося к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию. Метапредметные результаты: умение осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач, умение оценивать правильность выполнения учебной задачи. Предметные результаты: Овладение приемами решения геометрических задач о сумме углов треугольника, Развитие умения использовать рисунки для решения различных математических задач.   Инструкция по выполнению работы           На выполнение всей работы отводится 40 минут. Работа состоит из 15 заданий с выбором одного верного ответа.

• Итоговый тест по геометрии, тема: «Решение треугольника, подобные треугольники»

  27.04.2020 323 0

  Проверочный тест к теме «Решение треугольников и подобные треугольники»

• Векторы.

  Координаты вектора на плоскости. Задачи.

  14.10.2020 362 0

  Применение основных понятий вектора для решения простейших задач. Использование векторов для решения разнообразных задач.

• Геометрия ОГЭ 15-19

  01.02.2022 1364

  Тест предназначен для контроля знаний по геометрии при подготовке к ОГЭ

• ОГЭ Задания № 1-5. Печки

  11.12.2020 2874 0

  Тест содержит задачи о печках (№ 1-5 ОГЭ 2021). Генерируется 2 варианта. Время на прохождение – 20 минут.

• Простейшие задачи в координатах

  18.11.2020 3173 0

  Тест позволяет проверить знания из раздела «Простейшие задачи в координатах».

• Геометрия 9. Контрольная работа по теме » Длина окружности, площадь круга»

  14.04.2020 668 0

  Контрольная работа по теме «Длина окружности. Площадь круга»

• Тест по математике 9 класс

  22.03.2020 9616

  Тест по математике. 9 класс. В тесте 5 вопросов. В каждом вопросе только один правильный вариант ответа. 

• Простейшие задачи в координатах

  23.11.2020 1454 0

  В данном тесте подобраны задания разного уровня сложности. Будьте внимательны при решение задач  

• ОГЭ 8 класс математика

  29.04.2020 687 0

  Вариант ОГЭ математика 2020 год. Содержит 25 демонстрационных вариантов из сборника подготовки к ОГЭ, адаптированных к программе 8 класса.

• Тест по теме «Векторы»

  17. 09.2016 9345

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса по теме «Векторы». Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. Есть задания на определения, и есть задания на решения задачи.   

• Треугольник (тест подготовка к ОГЭ)

  01.01.2021 1007 0

  Тест по теме «Треугольники», подготовка к ОГЭ. Тест ограничен по времени 2 часа.

• Геометрия 9 класс

  27.04.2021 711 0

  Тест по 19 и 10 вопросам ОГЭ по математике. Надеюсьон получился интересным и познавательным

• Входной тест по Геометрии 9

  24.07.2020 247 0

  Входной тест по геометрии, предназначенный для контроля остаточных знаний по геометрии за 8 класс.

• Итоговый тест по геометрии для 9 класса

  27.05.2020 1980 0

  Тест предназначен для учащихся 9 классов для промежуточного контроля по геометрии, в нём содержатся задачи по разделу «Планиметрия». В тесте 10 задач из Открытого банка ОГЭ. Ответом для каждого задания служит целое число или десятичная дробь.

• Геометрия 8-9 класс.

  Треугольники

  04.08.2021 819 0

  Задание 16 ОГЭ несложная планиметрическая задача в одно -два действия, проверяющая владение базовыми знаниями по теме «Треугольники»

• Векторы. Метод координат.

  24.12.2017 2958 0

  . 

• ОГЭ 2019 Математика Демонстрационный вариант. Модуль «Геометрия»

  21.10.2018 8160 0

  При ознакомлении с демонстрационным вариантом следует иметь в виду, что включённые в него задания не отражают всех элементов содержания, которые будут проверяться с помощью вариантов КИМ в 2019 году. Данный тест представляет собой модуль «Геометрия».

• Векторы на плоскости

  18.11.2018 3519 0

  Тест предусматривает контроль знаний по предмету Геометрия. Раздел «Векторы и метод координат». 9 класс.

• Геометрия 9 кпасс

  16.01.2019 14501

  Данный тест предназначен для определения знания предмета «Геометрия» за курс 9 класса.

• ОГЭ математика 1 часть 2020

  12.04.2020 262 0

  В тесте предствалены задания первой части ОГЭ по математике 2020 для учащихся 9 классов.

• ОГЭ математика (№2)

  15.04.2020 387 0

  Вариант ОГЭ математика 2020 год. Содержит 25 демонстрационных вариантов из сборника подготовки к ОГЭ.

• Начальные сведения из стереометрии. Вариант 1.

  20.04.2020 1318 0

  Тест по геометрии, учебник авторов Л.С. Атанасян и др. Итоговый тест по теме.

• 9 класс. Математика. Итоговое повторение. 1 вариант.

  23.04.2020 403 0

  Данный тест предназначен для учащихся 9 классов. Состоит из 25 вопросов базового уровня. Лучше тестировать учащихся в конце учебного года, при повторении изученного материала.

• ОГЭ математика (№3)

  04.05.2020 54 0

  Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.

• ОГЭ математика №4

  11.05.2020 18 0

  Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.

• Обобщение темы «Треугольники» в 9 классе

  13.05.2020 343 0

  Данный тест можно использовать для обобщения знаний по теме «Треугольники» в 9 классе. 

• ОГЭ математика (№5)

  21.05.2020 82 0

  Работа предназанчина для подготовки к ОГЭ по математике 2020. Всего заданий 26, из них: с кратким ответом — 20; заданий с развёрнутым ответом — 6. Заданий базового уровня сложности 20, повышенного — 4, высокого — 2. Максимальное количество баллов — 30.

• Задания по геометрии

  28.10.2020 157 0

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса. Тест по геометрии имеет задания как с выбором вариантов ответа, умением соотнести функцию с ее значениями.

• Контрольный тес по теме «Векторы»

  17.11.2020 498 0

  Данный тест предназначен для контроля знаний обучающихся 9 класса по теме «Векторы». Тест имеет задания как с выбором вариантов ответа, так и ввод числа, а также ввод текста. Есть задания на определения, и есть задания на решения задачи.

• Образовательный тест

  23. 11.2020 204 0

  Предлагаю Вам пройти данный тест для проверки знаний учащихся 9 классов (задание №6 и задание №19). Тест онлайн, 9 класс, который вы можете использовать в своей работе для проверки знаний или тренировки навыков по различным темам. Данный тест бесплатный и не требуют регистрации на сайте. Вы также можете использовать этот сервис для создания своих тестов и получения результатов их выполнения в виде удобной таблицы. 

• Простейшие задачи в координатах 1 вариант

  03.12.2020 118 0

  Тест по геометрии по теме «Простейшие задачи в координатах». Геометрия 9 класс. Атанасян. Учитель: Черникова Н. П

• Простейшие задачи в координатах 1 вариант — Copy

  03. 12.2020 42 0

  Тест по геометрии по теме «Простейшие задачи в координатах». Геометрия 9 класс. Атанасян. Учитель: Черникова Н. П.

• Векторы на плоскости

  11.12.2020 259 0

  Тест содержит 6 заданий. Каждый правильный ответ оценивается 1 баллом. 

• Четырехугольники (подготовка к ОГЭ)

  01.01.2021 659 0

  В тесте 35 вопросов вам будет  предложено случайным выбором 20 задач. Время ограниченно 1 часа. Все задачи подоброны из ОГЭ. (с вопросами подходим во время дополнительных занятий)

• СОР.

  Геометрия 9 класс. 4/05/2021

  03.05.2021 121 0

  СОР. Геометрия 9 класс за 4 апреля 2021 года. Максимальное количество баллов 11. 

• Векторы на плоскости Основные понятия.

  31.10.2021 1231 0

  Тест содержит вопросы на основные определения, связанные с векторами, а также на действия с векторами на плоскости.

• Тест по теме «Прогрессия»

  07.12.2021 72 0

  Интересный тест для всех желающих проверить свои знания по теме Прогрессия

ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян

Введите номер (1-1170):

Геометрия нужна для получения знаний о пространстве, развития объемного воображения, логического мышления. При помощи гдз по геометрии за 7-9 класс, ученики получают навыки вычисления и решения геометрических задач. Решебник по геометрии Атанасян Л.С. 7-9 класс описывает вычисление площади различных фигур, дает знания о синусе, косинусе, тангенсе, котангенсе. Готовые домашние задания Атанасян позволят вам понять, как вычисляются тригонометрические функции, значения углов, площади фигур, длины дуг окружности.

https://uchim.org/gdz/po-geometrii-7-9-klass-atanasyan — uchim.org

Выберите номер задания: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 185, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 259, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 271, 272, 273, 274, 275, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 311, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 318, 363, 364, 365, 366, 367, 368, 369, 370, 371, 372, 373, 374, 375, 376, 377, 379, 380, 381, 382, 383, 386, 387, 388, 389, 390, 391, 392, 394, 395, 397, 398, 399, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 406, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 471, 472, 473, 474, 475, 476, 477, 478, 479, 480, 481, 482, 483, 484, 485, 486, 487, 488, 489, 490, 491, 492, 493, 494, 495, 496, 497, 498, 499, 500, 501, 502, 503, 504, 505, 506, 507, 508, 509, 510, 511, 512, 513, 514, 515, 516, 517, 518, 519, 520, 521, 522, 523, 524, 525, 526, 527, 528, 529, 530, 531, 532, 533, 534, 536, 537, 538, 539, 540, 541, 542, 543, 544, 545, 546, 547, 548, 549, 550, 551, 552, 553, 554, 555, 557, 558, 559, 560, 561, 562, 563, 564, 565, 566, 567, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 576, 577, 579, 580, 581, 582, 583, 585, 586, 587, 588, 591, 592, 593, 594, 595, 596, 597, 598, 599, 600, 601, 602, 603, 604, 605, 606, 607, 608, 609, 610, 611, 612, 613, 614, 615, 616, 617, 618, 619, 620, 621, 622, 623, 624, 631, 632, 633, 634, 636, 637, 638, 639, 640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648, 649, 650, 651, 652, 653, 654, 655, 656, 657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666, 667, 668, 669, 670, 671, 672, 674, 675, 676, 677, 678, 679, 680, 681, 682, 683, 684, 685, 687, 688, 689, 690, 691, 692, 693, 694, 695, 696, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 704, 705, 706, 707, 708, 709, 710, 711, 712, 713, 714, 715, 716, 717, 719, 720, 721, 722, 723, 725, 726, 727, 728, 730, 731, 732, 733, 734, 735, 736, 737, 738, 739, 740, 741, 742, 743, 744, 745, 746, 747, 748, 749, 750, 751, 752, 753, 754, 755, 756, 757, 758, 759, 760, 761, 762, 763, 764, 765, 766, 767, 768, 769, 770, 771, 772, 773, 774, 775, 776, 777, 778, 779, 780, 781, 782, 783, 784, 785, 786, 787, 789, 790, 791, 792, 793, 794, 795, 796, 797, 798, 799, 800, 801, 802, 803, 804, 805, 806, 807, 808, 809, 810, 911, 912, 913, 914, 915, 916, 917, 918, 919, 920, 921, 922, 923, 924, 925, 926, 927, 928, 929, 930, 931, 932, 933, 934, 935, 936, 937, 938, 939, 940, 941, 942, 943, 944, 945, 946, 947, 948, 949, 950, 951, 954, 955, 956, 957, 958, 959, 960, 961, 962, 963, 964, 965, 966, 967, 968, 969, 970, 971, 973, 974, 975, 976, 977, 979, 980, 982, 983, 985, 986, 987, 988, 989, 990, 991, 992, 993, 994, 995, 996, 997, 998, 999, 1000, 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, 1006, 1007, 1008, 1009, 1010, 1011, 1012, 1013, 1014, 1015, 1016, 1017, 1019, 1020, 1021, 1022, 1023, 1024, 1025, 1026, 1027, 1028, 1029, 1030, 1031, 1032, 1034, 1035, 1036, 1037, 1038, 1039, 1040, 1041, 1042, 1043, 1044, 1045, 1046, 1047, 1048, 1049, 1050, 1051, 1052, 1053, 1056, 1057, 1058, 1059, 1060, 1061, 1062, 1063, 1064, 1065, 1066, 1067, 1068, 1069, 1078, 1079, 1080, 1081, 1082, 1083, 1084, 1085, 1086, 1087, 1088, 1089, 1090, 1091, 1092, 1093, 1094, 1095, 1096, 1097, 1098, 1099, 1100, 1101, 1102, 1103, 1104, 1105, 1106, 1107, 1108, 1109, 1110, 1111, 1112, 1113, 1114, 1115, 1116, 1117, 1118, 1119, 1120, 1121, 1122, 1123, 1124, 1125, 1126, 1127, 1128, 1129, 1130, 1131, 1132, 1133, 1134, 1135, 1136, 1137, 1138, 1139, 1140, 1141, 1142, 1143, 1144, 1148, 1149, 1150, 1152, 1153, 1154, 1155, 1157, 1158, 1159, 1160, 1161, 1162, 1163, 1164, 1165, 1166, 1167, 1168, 1169, 1170.

Вы будете уметь решать самые разнообразные задачи, владея знаниями о свойствах фигур. В этом задачнике рассматривается решение задач планиметрии и многое другое. Всё бесплатно и онлайн.

Всё для учебы » ГДЗ бесплатно » ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян — онлайн

Онлайн-алгебра для первокурсников 9-го класса

Посмотрите наши демонстрации уроков!

Математика в 9-м классе обычно фокусируется на алгебре I, но может включать и другие сложные математические дисциплины, такие как геометрия, алгебра II, предварительное исчисление или тригонометрия. Это год, когда они формализуют и расширят свое понимание и применение квадратичных и экспоненциальных функций, а также других передовых математических концепций.

Девятиклассники должны полностью понять концепции, прежде чем двигаться дальше, иначе они скоро потеряются и запутаются. Узнайте, как помочь вашему ребенку добиться успехов в учебе по математике, используя приведенную ниже информацию.

Что должен знать по математике девятиклассник

Если ваш ученик еще не изучал предварительную алгебру, этот курс должен стать для него отправной точкой. Однако, если они уже прошли предварительную алгебру, вы должны начать с алгебры 1 или геометрии попеременно для вашего ученика. На этом этапе это вопрос предпочтений и индивидуальных способностей вашего ученика.

Идеальная учебная программа по математике для девятого класса предлагает учащимся возможность практиковать и развивать навыки, полученные в средней школе. По сути, в начале года 9Ученик математики 1-го класса должен уметь:

• Продемонстрировать беглость математических фактов выше среднего.
• Исследуйте и решите ряд задач, используя теорему Пифагора.
• Используйте навыки рассуждения для решения многошаговых задач с рациональными и иррациональными числами.
• Переставьте и решите основные алгебраические уравнения.

Узнайте больше об учебной программе Time4Learning по математике для девятого класса, ознакомившись с планами уроков математики для 9-го класса ниже.

Цели по математике для 9-го класса

Выбрав идеальную программу по математике для 9-го класса, обязательно поставьте перед собой достижимые цели. Они должны включать:

• Повысить способность решать алгебраические выражения, включающие радикалы и многочлены.
• Развить беглость в написании и решении уравнений и неравенств с несколькими переменными.
• Получите представление о нелинейных функциях, включая экспоненциальные и квадратичные функции.
• Улучшите навыки анализа данных с помощью различных отображений данных, включая диаграммы, регрессионные модели и многое другое.
• Достигните высокого уровня успеха в решении нескольких алгебраических выражений и многомерных фигур.
• Хорошее понимание бюджетирования, инвестирования и основных понятий статистики.

Программа Time4Learning по математике для 9-го класса

Глава 1: «Представление отношений»

• Количественное рассуждение
• Анализ размеров
• Написание и решение уравнений с двумя переменными
• Написание и графическое отображение уравнений с двумя переменными
• Введение в функции
• Обозначение функции
• Оценка функций
• Анализ графиков
• Аналитические таблицы
• Распознавание образов

Глава 2: «Линейные функции»

• Введение в линейные функции
• Наклон линии
• Форма пересечения наклона линии
• Точечно-наклонная форма линии
• Написание линейных уравнений
• Специальные линейные соотношения

Глава 3: «Линейные уравнения и неравенства»

• Решение линейных уравнений: переменная с одной стороны
• Решение линейных уравнений: переменные с обеих сторон
• Решение линейных уравнений: распределительное свойство
• Решение проблем со смесями
• Решение проблем скорости
• Буквенные уравнения
• Решение уравнений абсолютного значения
• Решение неравенств с одной переменной
• Введение в сложные неравенства

Глава 4: «Системы уравнений и неравенств»

• Решение систем линейных уравнений: построение графиков
• Решение систем линейных уравнений: замена
• Решающие системы: введение в линейные комбинации
• Решение систем линейных уравнений: линейные комбинации
• Моделирование с помощью систем линейных уравнений
• Графики линейных неравенств с двумя переменными
• Моделирование с помощью линейных неравенств с двумя переменными
• Решение систем линейных неравенств
• Моделирование с помощью систем линейных неравенств

Глава 5: «Нелинейные функции»

• Линейные кусочно-определенные функции
• Ступенчатые функции
• Функции абсолютного значения и преобразования
• Отражения и расширения функций абсолютного значения
• Функция извлечения квадратного корня
• Функция кубического корня
• Задача производительности: создание и анализ кусочных функций
• Суммарный экзамен

Глава 6: «Экспоненциальные функции»

• Экспоненциальные функции роста
• Функции экспоненциального затухания
• Вертикальные растяжения и сжатия экспоненциальных функций
• Отражения экспоненциальных функций
• Перевод экспоненциальных функций
• Экспоненциальные функции с основаниями радикалов
• Геометрические последовательности

Глава 7: «Полиномиальные выражения»

• Введение в многочлены
• Сложение и вычитание многочленов
• Умножение мономов и биномов
• Умножение многочленов и упрощение выражений
• Факторные полиномы: GCF
• Факторные полиномы: двойная группировка
• Факторинг трехчленов: a = 1
• Факторинг трехчленов: a = 1 (продолжение)
• Факторинг трехчленов: а > 1
• Факторные полиномы: разность квадратов
• Факторные полиномы: сумма и разность кубов
• Факторизация полиномов полностью

Глава 8: «Квадратичные функции»

• Введение в квадратичные функции
• Квадратичные функции: стандартная форма
• Квадратичные функции: факторизованная форма
• Квадратичные функции: форма вершины
• Завершение квадрата
• Завершение квадрата (продолжение)
• Моделирование с квадратичными функциями

Глава 9: «Квадратные уравнения»

• Решение квадратных уравнений: свойство нулевого произведения
• Решение квадратных уравнений: Факторинг
• Решение квадратных уравнений: свойство квадратного корня
• Решение квадратных уравнений: заполнение квадрата
• Решение квадратных уравнений: завершение квадрата (продолжение)
• Знакомство с квадратичной формулой
• Моделирование с помощью квадратных уравнений
• Решение линейно-квадратичных систем

Глава 10: «Анализ данных»

• Описание данных
• Двухсторонние столы
• Относительные частоты и ассоциация
• Меры центра
• Коробчатые участки
• Стандартное отклонение
• Линия Best Fit
• Анализ остатков
• Сила корреляции
• Модели регрессии
• Задача производительности: Super Survey Simulator
• Суммарный экзамен

Почему стоит выбрать Time4Learning Учебная программа

Глава 19. Гипербола

Глава 19. Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называеых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается через2а. Фокусы гиперболы обозначают буквами и , расстояние между ними — через 2с. По определению гиперболы , или .

Пусть дана гипербола. Если оси декатовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид

(1)

где . Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением гиперболы. При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — ее центром симметрии (рис. ). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии — центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. Вершины гиперболы суть точки А’ и А.

Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.

Отрезки длиной 2a и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженного) являются асимптотами гиперболы, их уравнения суть

,

Уравнение

(2)

определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей, с фокусами на оси ординат; уравнение (2), как и уравнение (1), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b.

Две гиперболы, которые определяются уравнениями

,

в одной и той же системе координат, называются сопряженными.

Гипербола с равными полуосями (a=b) называется равносторонней; ее каноническое уравнение имеет вид

или

Число

где а — расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы . Если М(x; y) — произвольная точка гиперболы, то отрезки и (см. рис.) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам

, ,

фокальные радиусы точек левой ветви — по формулам

, .

Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяемые уравнениями

, ,

называются ее директрисами (см. рис.). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями

, .

Каждая директриса обладает следующим свойством: если r — расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d — расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентрисистету гиперболы:

.

Текст издания:	© Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии». М., Наука, Физматлит, 1998.
Решение задач:	© Кирилл Кравченко, http://a-geometry.narod.ru/. Все права принадлежат мне, если не оговорено иное 😉

Сайт управляется системой uCoz

Гипербола (математика) | это.

.. Что такое Гипербола (математика)?

У этого термина существуют и другие значения, см. Гипербола.

Гипербола и её фокусы

Сечения конусов плоскостью (с эксцентриситетом, большим единицы)

Гипе́рбола (др.-греч. ὑπερβολή, от ὑπερ — «верх» + βαλειν — «бросать») — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от M до двух выделенных точек и (называемых фокусами) постоянно. Точнее,

причем

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

Содержание 1 История 2 Определения 2.1 Коническое сечение 2.2 Как геометрическое место точек 2.2.1 Через фокусы 2.2.2 Через директрису и фокус 3 Связанные определения 3. 1 Соотношения 4 Типы гипербол 4.1 Гиперболы, связанные с треугольником 5 Уравнения 5.1 Декартовы координаты 5.1.1 Канонический вид 5.2 Полярные координаты 5.3 Уравнения в параметрической форме 6 Свойства 6.1 Асимптоты 6.2 Диаметры и хорды 7 Касательная и нормаль 8 Кривизна и эволюта 9 Применения 10 См. также 11 Примечания 12 Литература

История

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение

Три основных конических сечения

Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающееся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек

Через фокусы

Гипербола может быть определена, как Геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.

Через директрису и фокус

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на асимптоты
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F₁ и F₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

• Гипербола состоит из двух отдельных кривых, которые называют ветвями.
• Ближайшие друг к другу точки двух ветвей гиперболы называются вершинами.
• Кратчайшее расстояние между двумя ветвями гиперболы называется большой осью гиперболы.
• Середина большой оси называется центром гиперболы.
• Расстояние от центра гиперболы до одной из вершин называется большой полуосью гиперболы.
  • Обычно обозначается a.
• Расстояние от центра гиперболы до одного из фокусов называется фокальным расстоянием.
  • Обычно обозначается c.
• Оба фокуса гиперболы лежат на продолжении большой оси на одинаковом расстоянии от центра гиперболы. Прямая, содержащая большую ось гиперболы, называется действительной или поперечной осью гиперболы.
• Прямая, перпендикулярная действительной оси и проходящая через её центр называется мнимой или сопряженной осью гиперболы.
• Отрезок между фокусом гиперболы и гиперболой, перпендикулярный её действительной оси, называется фокальным параметром.
• Расстояние от фокуса до асимптоты гиперболы называется прицельным параметром.
  • Обычно обозначается b.
• В задачах, связанных с движением тел по гиперболическим траекториям расстояние от фокуса до ближайшей вершины гиперболы называется перицентрическим расстоянием
  • Обычно обозначается ..

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .

Типы гипербол

Равнобочная гипербола

Гиперболу, у которой , называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Гиперболы, связанные с треугольником

• гипербола Енжабека — кривая, изогонально сопряженная прямой Эйлера;
• гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряженная прямой проходящей через точка Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

См. также Треугольник#Эллипсы, параболы и гиперболы

Уравнения

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

,

где коэффициенты A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y, и C удовлетворяют следующему соотношению

и

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,

где a и b — полуоси^{[источник?]}.

Полярные координаты

График гиперболы в полярных координатах

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

Параметризация ветви гиперболы с помощью гиперболических функций

Уравнения в параметрической форме

Подобно тому, как эллипс может быть представлен уравнениями в параметрической форме, в которые входят тригонометрические функции, гипербола в прямоугольной системе координат, центр которой совпадает с её центром, а ось абсцисс проходит через фокусы, может быть представлена уравнениями в параметрической форме, в которые входят гиперболические функции^[1].

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.

Свойства

• Оптическое свойство. Свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
  • Иначе говоря, если и фокусы гиперболы, то касательная в любой точки гиперболы является биссектрисой угла .
• Для любой точки лежащей на гиперболе отношение расстояний от этой точки до фокуса к расстоянию от этой же точки до директрисы есть величина постоянная.
• Гипербола обладает зеркальной симметрией относительно действительной и мнимой осей, а также вращательной симметрией при повороте на угол 180° вокруг центра гиперболы.

• Каждая гипербола имеет сопряженную гиперболу, для которой действительная и мнимая оси меняются местами, но асимптоты остаются прежними. Это соответствует замене a и b друг на друга в формуле, описывающей гиперболу. Сопряженная гипербола не является результатом поворота начальной гиперболы на угол 90°; обе гиперболы различаются формой.

Асимптоты

Две сопряженные гиперболы (голубая и зелёная) обладают совпадающими асимптотами (красные). Эти гиперболы единичные и равнобочные, так как a = b = 1

Для гиперболы, заданной в каноническом виде

уравнения двух асимптот имеют вид:

.

Диаметры и хорды

Диаметры гиперболы

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент соответствующего диаметра связан соотношением

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Определение центра гиперболы по её графику

Касательная и нормаль

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x₀, y₀) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

,

или, что то же самое,

.

Вывод уравнения касательной
Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций . Тогда производная этих функций имеет вид . Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

.

Вывод уравнения нормали
Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид . Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций . Тогда производная этих функций имеет вид . Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим .

Кривизна и эволюта

Синим цветом показана гипербола. Зелёным цветом — эволюта правой ветви этой гиперболы (эволюта левой ветви вне рисунка. Красным цветом показан круг, соответствующий кривизне гиперболы в ей вершине)

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:

.

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:

.

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен

.

Вывод формулы для радиуса кривизны
Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид: . Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы: Тогда, первая производная x и y по t имеет вид , а вторая производная — Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем: .

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.

Эллиптическая система координат

Применения

• Семейство конфокальных (софокусных) гипербол вместе с семейством софокусных эллипсов образуют двумерную эллиптическую систему координат.

• Другие ортогональные двумерные координатные системы, построенные с помощью гипербол, могут быть получены с помощью других конформных преобразований. Например, преобразование w = z² отображает декартовы координаты в два семейства ортогональных гипербол.

См. также

• Каустика
• Гиперболоид
• en:Smoothed octagon#Construction

Примечания

1. ↑ Погорелов А. В. Геометрия. — М.: Наука, 1983. — С. 15—16. — 288 с.

Литература

• Бронштейн И. Гипербола // Квант. — 1975. — № 3.
• Математическая энциклопедия (в 5-и томах). М.: Советская энциклопедия, 1982.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые // Популярные лекции по математике. — Гостехиздат, 1952. — В. 4.

Гипербола

Знаете ли вы, что орбита космического корабля иногда может быть гиперболой?

Космический корабль может использовать гравитацию планеты, чтобы изменить свой путь и оттолкнуть его на высокой скорости от планеты и обратно в космос, используя технику, называемую «гравитационной рогаткой».

Если это произойдет, то траектория космического корабля будет гиперболой .

(Играйте с этим в Gravity Freeplay)

Определение

Гипербола — это две кривые, похожие на бесконечные луки.

Глядя только на одну из кривых:

любая точка P ближе к F , чем к G на некоторую постоянную величину

Другая кривая является зеркальным отражением и ближе к G, чем к F.

Другими словами, расстояние от P до F всегда меньше расстояния от P до G на некоторую постоянную величину. (А для другой кривой от P до G всегда меньше от P до F на эту постоянную величину.)

В виде формулы:

|PF − PG| = константа

• PF — расстояние от P до F
• PG — это расстояние от P до G
• || функция абсолютного значения (превращает любое отрицательное значение в положительное)

Каждый лук называется ветвью , а F и G называются фокусом .

Попробуйте сами:

Попробуйте переместить точку P : что вы заметили в длинах PF и PG ?

Также попробуйте поставить точку P на другой ветке.

Есть и другие интересные вещи:

На схеме видно:

• ось симметрии (проходящая через каждый фокус)
• две вершины (где каждая кривая делает свой самый крутой поворот)
• расстояние между вершинами (2а на диаграмме) постоянная разность между длинами PF и PG
• две асимптоты , которые не являются частью гиперболы, но показывают, куда пойдет кривая, если продолжать ее бесконечно в каждом из четырех направлений

И, строго говоря, есть еще другая ось симметрии , которая идет посередине и разделяет две ветви гиперболы.

Коническая секция Вы также можете получить гиперболу, разрезав двойной конус. Срез должен быть круче, чем у параболы, но не должен быть параллелен оси конуса, чтобы гипербола была симметричной. Итак, гипербола является коническим сечением (сечением конуса).

Уравнение

Поместив гиперболу на график x-y (с центром по осям x и y), уравнение кривой будет таким:

x ² а ² − у ² б ² = 1

Также:

Одна вершина находится в точке (a, 0), а другая — в точке (−a, 0)

.

Асимптоты — это прямые:

• у = (б/а)х
• у = -(б/а)х

(Примечание: уравнение аналогично уравнению эллипса: x ² /a ² + y ² /b ² = 1 , за исключением «-» вместо » +»)

Эксцентриситет

Любая ветвь гиперболы также может быть определена как кривая, где расстояния любой точки от:

• фиксированная точка ( фокус ) и
• фиксированная прямая ( директриса ) всегда находятся в одном и том же соотношении.

Это отношение называется эксцентриситетом, и для гиперболы оно всегда больше 1.

Эксцентриситет (обычно обозначаемый буквой е) показывает, насколько «неизогнутая» (в отличие от окружности) гипербола является.

На этой диаграмме:

• P — точка на кривой,
• F это фокус и
• N — точка на директрисе, так что PN перпендикулярно директрисе.

Эксцентриситет представляет собой отношение PF/PN и рассчитывается по формуле:

e = √(a ² +b ² ) a

Используя «a» и «b» из диаграммы выше.

Широкая кишка прямой кишки

Широкая прямая кишка — это линия, проходящая через фокус и параллельная директрисе. Длина прямой кишки 2b 2 /a.

1 шт.

Обратная функция y = 1/x является гиперболой!

 

 

этимология — Риторика против математики: многоточие/эллипс, притча/парабола, гипербола/гипербола

спросил 8 лет, 6 месяцев назад

Изменено 2 месяца назад

Просмотрено 13 тысяч раз

Имеют ли многоточие , притча и гипербола из риторики что-либо общее с геометрическими кривыми эллипс , парабола и 3 гипербола3 , используемые в математике 901?

Существуют три геометрические кривые , известные как конические сечения:

1. Эллипс: кривая на плоскости, окружающая две фокальные точки, такая, что прямая линия, проведенная из одной из фокальных точек в любую точку кривой, а затем обратно в другую фокальную точку, имеет одинаковую длину для каждой точки на изгиб.

2. Парабола: двумерная зеркально-симметричная кривая, имеющая приблизительно U-образную форму при ориентации, как показано на схеме.

3. Гипербола: состоит из двух частей, называемых соединенными компонентами или ответвлениями, которые являются зеркальным отображением друг друга и напоминают две бесконечные дуги.

Есть также три термина в лингвистике с аналогичными названиями (фактически во многих языках с одинаковыми названиями): в контексте остальных элементов.

• Джон умеет играть на гитаре, а Мэри на скрипке.

Притча: краткий дидактический рассказ в прозе или стихах, иллюстрирующий один или несколько поучительных уроков или принципов.

• Новая одежда императора

Гипербола: использование преувеличения в качестве риторического приема или фигуры речи.

• Этот чемодан весил тонну!

Есть ли у них что-то общее? Есть ли этимологическая или иная причина, связывающая каждую пару вместе? Многоточие чем-то напоминает эллипс и т. д.? Есть ли между ними аналогия?

• Etymology
• Математика
• Аналогия
• RHETORIC
• ГРЕК

В древне -греке, где были изобретены 900.604. parabole» — это «сопоставление/обстановка бок о бок» — с использованием латинских морфов «сопоставление» или «смежность». В риторике это сравнение, которое ставит рядом два термина ; позже оно обозначает вымысел, который «положен рядом» и параллелен («лежит рядом») с реальностью. В геометрии это коническое сечение, образованное пересечением конуса с плоскостью с таким же наклоном к оси, как и одна из сторон конуса — плоскость параллельна этой стороне.

«Гипербола» — это буквально «отливка/обстановка сверху», в более общем смысле излишество. В риторике это преувеличение, то, что говорит о чем-то в чрезмерных терминах. В геометрии это другое коническое сечение, образованное пересечением плоскости с обеими ветвями конуса, в котором наклон секущей плоскости к оси превышает сторону конуса

«Многоточие» — «отставание, недостаток». В риторике это означает опущение одного или нескольких слов, необходимых для полноты смысла — таким образом, высказывание не достигает завершенности. В геометрии это коническое сечение, в котором наклон секущей плоскости меньше — меньше — наклона стороны конуса.

11

Эти английские термины косвенно происходят от соответствующих древнегреческих корней:

• ἔλλειψις (эллипсис) : несоответствие / упущение
• παρά- (пара-) : «рядом с» или «приложение»
• ὐπερ- (супер-) : «превышать»

Отношение риторических терминов к этим истокам должно быть очевидным. Вместо этого я сосредоточусь на конических сечениях.

Мы знаем, что Аполлоний Пергский (ок. 200 г. до н. э.) называл конические сечения родственниками их нынешних английских названий. Неясно, придумал ли он эти термины или они уже использовались в то время. Точная причина, по которой были выбраны эти слова, также является предметом обоснованных предположений; Джефф Миллер цитирует некоторые источники.

---

Одним из простых объяснений является то, что термины для конических сечений относятся к углу между конусом и секущей плоскостью. Если секущая плоскость пара параллельна ровно одной образующей конуса, то коника не ограничена и называется бола пара . Если плоскость пересекается под меньшим углом, это эллипс; если он пересекается под большим углом, это гипербола.

---

Однако объяснение параболы может быть сложнее. Согласно онлайн-словарю этимологии,

парабола (н.)

1570-е годы, от современной латыни parabola, от греческого parabole «парабола, сравнение, аналогия; применение» (см. притча ), названная так Аполлонием Пергским около 210 г. до н.э. потому что он получается путем «приложения» данной площади к данной прямой линии. В пифагорейской геометрии оно имело иной смысл.

Диаметр — что это такое

Круг. Круг — геометрическая фигура

Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас – атомы и молекулы – имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Молекулы воды – основы всего живого – тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо – птицы вьют его также в этой форме.

Данная фигура в древних помыслах культур

Круг – это символ единства. Он присутствует в разных культурах во многих мельчайших деталях. Мы даже не придаем столько значения этой форме, как это делали наши предки.

Издавна круг – это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. В дохристианскую эпоху он был древним знаком колеса солнца. Все точки в этой фигуре эквивалентны, линия круга не имеет ни начала, ни конца.

А центр круга был источником бесконечного вращения пространства и времени для масонов. Круг – конец всех фигур, недаром в нем была заключена тайна творения, по мнению масонов. Форма циферблата часов, имеющая тоже такую форму, обозначает собой непременное возвращение в точку отправления.

Эта фигура имеет глубокий магический и мистический состав, которым его наделили многие поколения людей из разных культур. Но что собой представляет круг как фигура в геометрии?

Что такое окружность

Часто понятие круга путают с понятием окружности. Это немудрено, ведь они между собой очень тесно взаимосвязаны. Даже названия их схожи, что вызывает много путаницы в незрелых умах школьников. Чтобы разобраться, «кто есть кто», рассмотрим эти вопросы подробнее.

По определению, окружностью является такая кривая, которая замкнута, и каждая точка которой находится равноудалённо от точки, именуемой центром окружности.

Что необходимо знать и чем уметь пользоваться, чтобы построить окружность

Чтобы построить окружность, достаточно выбрать произвольную точку, которую можно обозначить как О (именно так в большинстве источников именуются центр окружности, не будем отходить от традиционных обозначений). Следующим этапом идет использование циркуля – инструмента для черчения, который состоит из двух частей с закрепленными на каждой из них либо иглой, либо пишущим элементом.

Эти две части соединены между собой шарниром, что позволяет выбирать произвольный радиус в определенных границах, связанных с длиной этих самых частей. С помощью данного прибора в произвольную точку О устанавливается остриё циркуля, а карандашом уже очерчивается кривая, которая из итоге получается окружностью.

Какими величинами характеризуется окружность

Если соединить при помощи линейки центр окружности и любую произвольную точку на кривой, полученной в результате работы циркулем, мы получим радиус окружности. Все такие отрезки, именуемые радиусами, будут равны. Если же соединить при помощи линейки прямой линией две точки на окружности и центр, мы получим ее диаметр.

Для окружности также характерно вычисление ее длины. Чтобы ее найти, необходимо знать либо диаметр, либо радиус окружности и воспользоваться формулой, представленной на рисунке ниже.

В этой формуле С – длина окружности, r – радиус окружности, d – диаметр, а число Пи – константа со значением 3,14.

Кстати, константа Пи была вычислена как раз из окружности.

Оказалось, что независимо от того, каков диаметр круга, соотношение длины окружности и диаметра одинаковое, равное примерно 3,14.

В чем же главное отличие круга от окружности

По сути, окружность – это линия. Она не является фигурой, она является кривой замкнутой линией, не имеющей ни конца, ни начала. А то пространство, что расположено внутри нее – это пустота. Простейшим примером окружности выступает обруч или, по-иному, хула-хуп, который дети используют на занятии физической культуры или же взрослые, для того чтобы создать себе стройную талию.

Теперь мы подошли к понятию того, что такое круг. Это в первую очередь фигура, то есть некое множество точек, ограниченных линией. В случае круга этой линией выступает окружность, рассмотренная выше. Выходит, что круг – это окружность, в середине которой не пустота, а множество точек пространства. Если натянуть на хула-хуп ткань, то мы уже не сможем его крутить, ведь он будет уже не окружностью – его пустота замещена тканью, куском пространства.

Перейдем непосредственно к понятию круга

Круг – геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной окружностью. Для него также характерны такие понятия, как радиус и диаметр, рассмотренные выше при определении окружности. И вычисляются они точно таким же образом. Радиус круга и радиус окружности являются идентичными по размеру. Соответственно, длина диаметра тоже аналогична в обоих случаях.

Так как круг является частью плоскости, то для него характерно наличие площади. Вычислить ее можно снова-таки при помощи радиуса и числа Пи. Формула выглядит следующими образом (см. рисунок ниже).

В данной формуле S – площадь, r – радиус круга. Число Пи – снова та же константа, равная 3,14.

Формула круга, для вычисления которой возможно также использовать диаметр, изменяется и принимает вид, представленный на следующем рисунке.

Одна четвертая появляется из того, что радиус – это 1/2 диаметра. Если радиус в квадрате, выходит, что соотношение преобразуется до вида:

r*r = 1/2*d*1/2*d;

r*r = 1/ d*d.

Круг – это фигура, в которой можно выделить отдельные части, например сектор. Выглядит он как часть круга, которая ограничена отрезком дуги и его двумя радиусами, проведенными из центра.

Формула, которая позволяет вычислить площадь данного сектора, представлена на нижеследующем рисунке.

Использование фигуры в задачах с многоугольниками

Также круг – геометрическая фигура, которая часто используется в комплекте с другими фигурами. Например, такими как треугольник, трапеция, квадрат или ромб. Нередко встречаются задачи, где нужно найти площадь вписанного круга или, наоборот, описанного вокруг определенной фигуры.

Вписанный круг является таким, который соприкасается со всеми сторонами многоугольника. С каждой стороной любого многоугольника у окружности должна быть точка соприкосновения.

Для определенного вида многоугольника определение радиуса вписанной окружности вычисляется по отдельным правилам, которые доступно объясняются в курсе геометрии.

Можно привести для примера несколько из них. Формула круга, вписанного в многоугольники, может вычисляться следующим образом (ниже на фото приведено несколько примеров).

Несколько простых примеров из жизни, для того чтобы закрепить понимание разницы между кругом и окружностью

Перед нами канализационный люк. Если он открыт, то железная каемка люка – это окружность. Если он закрыт, то крышка выступает в роли круга.

Окружностью также можно назвать любое кольцо – золотое, серебряное или бижутерию. Кольцо, которое держит на себе связку ключей, – тоже окружность.

А вот круглый магнит на холодильнике, тарелка или блинчики, испеченные бабушкой, –это круг.

Горлышко бутылки или банки при виде сверху – это окружность, а вот крышка, которая закроет это горлышко, при том же виде сверху является кругом.

Таких примеров можно привести множество, и для усвоения такого материала их нужно приводить, чтобы дети лучше улавливали связь теории с практикой.

Окружность и круг

Окружность и круг являются геометрическими фигурами, которые связаны между собой. Окружность является граничной, ломаной линией (кривой) круга. Рассмотрим определение окружности несколько подробней. Окружность является замкнутой кривой с равноудаленными от центра точками. Стоит отметить, что центр окружности также является точкой. Для того, чтобы построить окружность, необходимо выбрать вышеупомянутую точку, которая будет служить центром, а затем провести циркулем замкнутую линию.

Если же мы соединим центр окружности с произвольной точкой, которая лежит на окружности, то получим отрезок, который называется радиусом. Причем, если мы меняем точки на окружности и проводим с центра несколько линий до разных точек окружности, не трудно догадаться, что отрезки (радиусы) будут одинаковыми. Если же мы соединяем две точки окружности одной линией, но при этом проводим данную линию через центр окружности, то мы получаем отрезок, который называется диаметром. Сделав нехитрые подсчеты и, даже просто взглянув на окружность, можно практически сразу сказать, что диаметр окружности равен двум радиусам.

Теперь поговорим о таком определении, как круг и выясним, чем же он отличается от окружности. Круг – это часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Центр, диаметр и радиус окружности одновременно являются центром, диаметром и радиусом круга. Однако не забываем про то, что круг, в отличии от окружности, является частью плоскости, а значит имеет свою площадь. Как же измеряется данный параметр для круга? Все очень просто: площадь круга равна произведению радиуса, возведенному в квадрат и числу Пи. Также следует знать и то, что можно искать площадь не всего круга, а определенного сектора, который может образоваться в результате проведения из центра в две разные точки, которые лежат на окружности круга, прямых.

Длина окружности

C = 2πr = πd

Длина дуги, равной n°

L =   πr   180° n°

Площадь круга

S = πr 2   = πd 2     = Cd 4 4

Свойства хорд, секущих и касательной

BS * ES = CS * DS MB * MC = MD * ME MA 2   = MB * MC = MD * ME

Сегмент и сектор

a = 2Rsin α 2 h = a 2 tg α 2

Площадь сектора: S   OABC = 1 2 R 2   α

Площадь сегмента: S   ABC = S   OABC — S   OAC

Площадь кругового кольца

S = π(R 2   — r 2   ) = π 4 (D 2   — d 2   ) = 2π r k, где R,r — внешний и внутренний радиусы, D, d — внешний и внутренний диаметры, r — средний радиус, k — ширина кольца.

Circles — PSAT Math

Все математические ресурсы PSAT

10 диагностических тестов 421 практический тест Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →

PSAT Math Help » Геометрия » Плоская геометрия » Круги

Рисунок выполнен не в масштабе.

На рисунке выше окружность C имеет радиус 18 и угол ACB равен 100°. Чему равен периметр заштрихованной красным области?

Possible Answers:

36 + 20 π

18 + 36 π

36 + 36 π

36 + 10 π

18 + 10 π

Правильный ответ:

36 + 10 π

Объяснение:

Периметр любой области — это общее расстояние вокруг ее границ. Периметр заштрихованной области состоит из двух отрезков прямой линии  AC и BC , а также дуга AB . Чтобы найти периметр всей области, мы должны сложить длины AC , BC и дугу AB .

Длины AC и BC будут равны длине радиуса, который равен 18. Таким образом, периметр AC и BC вместе равен 36.

Наконец, мы нужно найти длину дуги AB и добавить ее к 36, чтобы получить весь периметр области.

Угол ACB является центральным углом и пересекает дугу AB . Длина AB будет равна определенной части окружности. Эта часть будет равна отношению меры угла ACB к мере всех градусов в окружности. В любом круге 360 градусов. Отношение угла ACB к 360 градусам будет 100/360 = 5/18. Таким образом, длина дуги АВ будет равна 5/18 длины окружности, что равно 2 πr , по формуле длины окружности.

длина дуги AB = (5/18)(2 πr ) = (5/18)(2 π (18)) = 10 π .

Таким образом, длина дуги AB равна 10 π .

Таким образом, общая длина периметра равна 36 + 10 π .

Ответ: 36 + 10 π .

Сообщить об ошибке

В круге выше угол A в радианах равен

Какова длина дуги A?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Округа круга =

Длина дуги

Сообщить о ошибке

Если область круга, то такая длина дуги, показанная в диаграмме. ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Нам известна площадь круга, но нам нужно найти длину окружности, чтобы найти длину дуги. Уравнение площади круга:

Поскольку мы знаем, что площадь равна 36, мы можем использовать это уравнение, чтобы найти радиус круга.

Разделите обе стороны на 

Извлеките квадратный корень из обеих сторон и убедитесь, что радиус равен 6.

Теперь мы можем найти длину окружности по формуле

Теперь, когда мы знаем длину окружности, мы можем составить пропорцию. Длина дуги 120 градусов будет только частью общей окружности круга. Положив градусную меру на 360 и установив ее равной x по окружности, мы можем точно определить длину дуги.

Умножая обе части на , вы получаете решение:

Сообщить об ошибке

Круглая пицца из 8 ломтиков помещена в квадратную коробку, размеры которой на четыре дюйма больше диаметра пиццы. Если коробка покрывает площадь поверхности 256 в ² , какова площадь поверхности одного куска пиццы?

Possible Answers:

4. 5π in ²

18π in ²

36π in ²

9π in ²

144π in ²

Правильный ответ:

4,5π в ²

Пояснение:

Первое, что нужно сделать, это рассчитать размеры коробки для пиццы. На основании наших данных мы знаем, что 256 = s ² . Находя s (извлекая квадратный корень из обеих частей), мы получаем 16 = s (или s = 16).

Теперь мы знаем, что диаметр пиццы на четыре дюйма меньше, чем на 16 дюймов. То есть это 12 дюймов. Будь осторожен! Площадь круга выражается в виде радиуса, который составляет половину диаметра или 6 дюймов. Следовательно, площадь пиццы равна π * 6 ² = 36π в ² . Если пицца состоит из 8 ломтиков, один ломтик равен 1/8 всей пиццы или (36π)/8 = 4,5π в ² .

Сообщить об ошибке

Если B представляет собой окружность с линией AC = 12 и линией BC = 16, то какую площадь образует DBE?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Линия AB — это радиус окружности B, который можно найти с помощью теоремы Пифагора:

Так как AB является радиусом B, мы можем найти площадь круга B через:

Угол DBE является прямым углом и, следовательно, окружности следующим образом:

Сообщить об ошибке

Радиус круга выше равен  и . Чему равна площадь заштрихованного участка круга?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Площадь круга = πr ² = π4 ² = 16π

Общее количество градусов в круге = 360

Следовательно, срез 45 градусов = 45/360 доля круга = 1/8

Исследование методов решения геометрических задач на отношения длин

Исследование методов решения геометрических задач на отношения длин

Забелина Галина Михайловна, учитель математики, МБОУ Первомайская СОШ

Решая геометрические задачи, думаем, все, однажды задавались вопросом, нельзя ли одну и ту же задачу решить разными способами. Для решения геометрических задач на отношения длин есть метод, позволяющий быстрее и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. В его основе лежит понятие центра масс или барицентра.

Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э., он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ее способ доказательства отличается от варианта, который рассматривается в школьном курсе геометрии, и мы тоже докажем эту теорему, используя барицентрический метод. Кроме того, интересна возможность применения этого метода к решению задач на отношение длин.

Среди олимпиадных заданий часто встречаются задачи на отношение длин. Такие задания есть в заданиях повышенной сложности ОГЭ и ЕГЭ по математике. Как показывает практика, большинство учащихся не умеет решать данные задачи. Решить такие задачи методами школьной математики довольно сложно. Но за решение данных задач ставят высокий балл на экзаменах.

На примере одной задачи предлагаю различные способы её.

Задача 1 (1-ый способ): На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что AM : MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2. В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?

Дано: ΔАВС, М АВ, N ВС, К АС, АМ:МВ=2:3, АК:КС=2:1, BN:NС=1:2.

Найти: AP:PN.

Решение:

1) Продлим прямую МК до пересечения с прямой ВС, МК не параллельна ВС, так как . Обозначим S – точка пересечения МК и ВС.

2) Рассмотрим ΔАВС с секущей MS. Точки М, К и S лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая:

3) Выразим NS через SB:

4) Рассмотрим ΔВАN с секущей MS. Точки М, Р и S лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая:

Ответ: АP:РN=6:7.

Задача 1 (2-ой способ): На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что AM :MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2. В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?

Дано: ΔАВС, М АВ, N ВС, К АС, АМ:МВ=2:3, АК:КС=2:1, BN:NС=1:2.

Найти: AP:PN.

Решение

Пусть P — точка пересечения прямой MK с отрезком AN. Обозначим = x и  . Тогда

S_ABN = ^. S =S,  =  ^. S =S,

= ^{.  .}  = ^. x ^. . S =x ^. S,

=   ^{.   .}  =   ^. x ^.  . S = x ^.  S,

=  ^.   . S =   ^{.   .} S =S.

Поскольку  =  +  , то

x ^. S + x ^. S =S.

Отсюда находим, что x =  . Следовательно,   =  .

Ответ: AP:PN=6:7

Каждый из нас в детстве качался на качелях, и мы замечали, что если наш товарищ тяжелее, то он качели перевешивал. Если же товарищ передвинется ближе к центру, то качели уравновесятся. Но возникает вопрос: насколько ближе нужно передвинуться, чтобы качели уравновесились? На этот вопрос нам поможет ответить метод нахождения центра масс, который называют барицентром.

Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.

В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1. В его основе лежит понятие центра масс, который называют барицентр.

Эту идею мы применим для решения данной задачи.

Здесь имеет место физическая теорема (правило рычага):

Центром масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что произведение АО * m₁ = BO * m₂ или .

Задача 1. (3-ий способ). На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М, N и К так, что AM : MB = 2:3, АК : КС = 2:1, BN : NC = 1:2. В каком отношении прямая МК делит отрезок AN?

Решение:

Нагрузим точки A, B, C, массами таким образом, чтобы центр масс системы AB находился в точке M, а системы BC в точке N, а системы AC в точке K.

Загрузим точки А и В такие массы, чтобы их центром оказалась точка М; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 2 (т. е. рассмотреть материальную точку 2В), а в точку А – массу 3 (материальная точка 3А).

Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их центром оказалась точка N; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в C массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1C), а в B – массу 2 (материальная точка 2В).

Далее, имея уже материальную точку 1С, подберём для точки А другую такую массу х, чтобы точка К оказалась центром масс двух м. т. 1С и хА. По правилу рычага имеем 1  |КC| = х |АК|, откуда . Следовательно, в точку А помещаем массу 0,5 (материальная точка 0,5А).

Так как P центр масс материальных точек 3,5А и 3N, то 3·|PN|=3.5·|AP|, следовательно  .

Ответ: АP : РN = 6 : 7.

Подведем итог:

• В процессе проведенного исследования методов решения геометрических задач на отношение длин найден оригинальный способ с использованием свойств центра масс, который позволяет существенно упростить решение задач.

• Изученный барицентрический метод позволяет расширить знания по геометрии за рамки школьного курса.

§ Отношение чисел. Как найти отношение чисел

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

Скрыть меню

На главную страницу

Войти при помощи

Темы уроков

Начальная школа

• Геометрия: начальная школа
• Действия в столбик
• Деление с остатком
• Законы арифметики
• Периметр
• Порядок действий
• Разряды и классы. Разрядные слагаемые
• Счет в пределах 10 и 20

Математика 5 класс

• Взаимно обратные числа и дроби
• Десятичные дроби
• Натуральные числа
• Нахождение НОД и НОК
• Обыкновенные дроби
• Округление чисел
• Перевод обыкновенной дроби в десятичную
• Площадь
• Проценты
• Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
• Среднее арифметическое
• Упрощение выражений
• Уравнения 5 класс
• Числовые и буквенные выражения