Рубрика: Геометрии

Точка, линия, прямая, луч, отрезок, ломанная

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C

точка 1, точка 2, точка 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки "А" и предложить ребёнку провести линию через две точки "А". Но как понять через какие?
AAA

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c

Линия может быть

1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены

замкнутые линии

разомкнутые линии

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру.  Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку.

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.

1. самопересекающейся
2. без самопересечений

самопересекающиеся линии

линии без самопересечений

1. прямой
2. ломанной
3. кривой

прямые линии

ломанные линии

кривые линии

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a

прямая линия AB

Прямые могут быть

1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
   • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.

параллельные линии

пересекающиеся линии

перпендикулярные линии

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a

луч AB

Лучи совпадают, если

1. расположены на одной и той же прямой,
2. начинаются в одной точке,
3. направлены в одну сторону

лучи AB и AC совпадают

лучи CB и CA совпадают

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки

прямая линия AB

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ BA✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB

Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая?

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE

вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E

звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE

звено AB и звено BC являются смежными

звено BC и звено CD являются смежными

звено CD и звено DE являются смежными

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см.  У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF

многоугольник ABCDEF

вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F

вершина A и вершина B являются соседними

вершина B и вершина C являются соседними

вершина C и вершина D являются соседними

вершина D и вершина E являются соседними

вершина E и вершина F являются соседними

вершина F и вершина A являются соседними

сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF

сторона AB и сторона BC являются смежными

сторона BC и сторона CD являются смежными

сторона CD и сторона DE являются смежными

сторона DE и сторона EF являются смежными

сторона EF и сторона FA являются смежными

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

треугольники

четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, дельтоид, ромб, параллелограмм, трапеция

пятиугольники

Отрезок

Отрезок. Длина отрезка. Треугольник.

 1. В этом параграфе вы познакомитесь с некоторыми понятиями геометрии. Геометрия — наука об «измерении земли». Это слово происходит от латинских слов: geo – земля и metr — мера, мерить. В геометрии изучаются различные геометрические объекты, их свойства, их связи с окружающим миром. Простейшие геометрические объекты – это точка, линия, поверхность. Более сложные геометрические объекты, например, геометрические фигуры и тела, образованы из простейших.

 Если приложить к двум точкам А и В линейку и вдоль нее провести линию, соединяющую эти точки, то мы получим отрезок, который называют АВ или ВА (читаем: «а – бэ», «бэ– а»). Точки А и В называются концами отрезка (рисунок 1). Расстояние между концами отрезка, измеренное в единицах длины, называется длиной отрезка.

 Единицы длины: м – метр, см — сантиметр, дм – дециметр, мм – миллиметр, км – километр и др. (1 км = 1000 м; 1м =10 дм; 1 дм = 10 см; 1 см = 10 мм). Для измерения длины отрезков используют линейку, рулетку. Измерить длину отрезка, значит, выяснить, сколько раз в нем укладывается та или иная мера длины.

 Равными называются два отрезка, которые можно совместить, наложив один на другой (рисунок 2). Например, можно вырезать реально или мысленно один из отрезков и приложить к другому так, чтобы совпали их концы. Если отрезки АВ и СК равны, то пишут    АВ = СК. Равные отрезки имеют равные длины. Верно обратное: два отрезка, имеющие равные длины, равны. Если два отрезка имеют различные длины, то они не равны. Из двух неравных отрезков меньше тот, который составляет часть другого отрезка. Сравнивать отрезки наложением можно, используя циркуль.

 Если мысленно продлить отрезок АВ в обе стороны до бесконечности, то мы получим представление о прямой АВ (рисунок 3). Любая точка, лежащая на прямой, разбивает ее на два луча (рисунок 4). Точка С разбивает прямую АВ на два луча СА и СВ. Тоска С называется началом луча.

 2. Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, то получим фигуру, называемую треугольником. Данные точки называются вершинами треугольника, а отрезки, их соединяющие, сторонами треугольника (рисунок 5). FNM — треугольник, отрезки FN, NM, FM – стороны треугольника, точки F, N, M – вершины треугольника. Стороны всех треугольников обладают следующим свойством: длина любой из сторон треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.

 Если мысленно продлить во все стороны, например, поверхность крышки стола, то получим представление о плоскости. Точки, отрезки, прямые, лучи располагаются на плоскости (рисунок 6).

Блок 1. Дополнительный

 Мир, в котором мы живем, все, что нас окружает, древние называли природой или космосом. Пространство, в котором мы живем, считается трехмерным, т.е. имеет три измерения. Их часто называют: длина, ширина и высота (например, длина комнаты 4 м, ширина комнаты 2 м и высота 3 м).

 Представление о геометрической (математической) точке дает нам звезда на ночном небе, точка в конце этого предложения, след от иглы и т.д. Однако все перечисленные объекты имеют размеры, в отличие от них размеры геометрической точки считаются равными нулю (её измерения равны нулю). Поэтому реальную математическую точку можно лишь мысленно представить. Можно также сказать, в каком месте она находится. Поставив авторучкой в тетради точку, мы не изобразим геометрическую точку, но будем считать, что построенный объект есть геометрическая точка (рисунок 6). Точки обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, D, (читают «точка а, точка бэ, точка цэ, точка дэ») (рисунок 7).

 Провода, висящие на столбах, видимая линия горизонта (граница между небом и землей или водой), русло реки, изображенное на карте, гимнастический обруч, струя воды, бьющая из фонтана дают нам представление о линиях.

 Различают замкнутые и незамкнутые линии, гладкие и негладкие линии, линии с самопересечением и без самопересечения (рисунки 8 и 9).

 Лист бумаги, лазерный диск, оболочка футбольного мяча, картон упаковочной коробки, новогодняя пластиковая маска и т.д. дают нам представление о поверхностях (рисунок 10). Когда красят пол комнаты или автомобиль, то покрывают краской именно поверхность пола или автомобиля.

 Тело человека, камень, кирпич, головка сыра, мяч, ледяная сосулька и т.д. дают нам представление о геометрических телах (рисунок 11).

 Наиболее простая из всех линий – это прямая. Приложим к листу бумаги линейку и проведем карандашом вдоль неё прямую линию. Мысленно продолжив эту линию до бесконечности в обе стороны, мы получим представление о прямой. Считают, что прямая имеет одно измерение – длину, а два других ее измерения равны нулю (рисунок 12).

 При решении задач прямую изображают в виде линии, которую проводят вдоль линейки карандашом или мелом. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, n, m (рисунок 13). Можно обозначать прямую также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. Например, прямую n на рисунке 13 можно обозначить: АВ или ВА, АD или DА, DВ или ВD.

 Точки могут лежать на прямой (принадлежать прямой) и не лежать на прямой (не принадлежать прямой). На рисунке 13 изображены точки A, D, B, лежащие на прямой AB (принадлежащие прямой AB). При этом пишут . Читают: точка A принадлежит прямой AB, точка В принадлежит AB, точка D принадлежит АВ. Точка D принадлежит также и прямой m, ее называют общей точкой. В точке D прямые AB и m пересекаются. Точки P и R не принадлежат прямым AB и m:

 Через любые две точки всегда можно провести прямую и причем только одну.

 Из всех видов линий, соединяющих любые две точки, наименьшую длину имеет отрезок, концами которого служат данные точки (рисунок 14).

 Фигура, которая состоит из точек и соединяющих их отрезков называется ломаной (рисунок 15). Отрезки, образующие ломаную, называются звеньями ломаной, а их концы — вершинами ломаной. Называют (обозначают) ломаную, перечисляя по порядку все ее вершины, например, ломаная ABCDEFG. Длиной ломаной называется сумма длин ее звеньев. Значит, длина ломаной ABCDEFG равна сумме:  AB + BC + CD + DE + EF + FG.

 Замкнутая ломаная называется многоугольником, ее вершины называются вершинами многоугольника, а ее звенья сторонами многоугольника (рисунок 16). Называют (обозначают) многоугольник, перечисляя по порядку все его вершины, начиная с любой, например, многоугольник (семиугольник) ABCDEFG , многоугольник (пятиугольник) RTPKL:

Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника и обозначается латинской буквой p (читаем: пэ). Периметры многоугольников на рисунке 13:

P_ABCDEFG = AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA.

P_RTPKL = RT + TP + PK + KL + LR.

Мысленно продлив поверхность крышки стола или оконного стекла до бесконечности во все стороны, получим представление о поверхности, которая называется плоскостью (рисунок 17). Обозначают плоскости малыми буквами греческого алфавита: α, β, γ, δ,… (читаем: плоскость альфа, бетта, гамма, дельта, и т.д.).

Блок 2. Словарь. 

Составьте словарь новых терминов и определений из §2. Для этого в пустые строки таблицы впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице 2 укажите номера терминов в соответствии с номерами строк. Рекомендуется перед заполнением словаря еще раз внимательно просмотреть §2 и блок 2.1.

Блок 3. Установите соответствие (УС). 

Геометрические фигуры.

Блок 4. Самопроверка.

Измерение отрезка с помощью линейки.

 Напомним, что измерить отрезок АВ в сантиметрах, значит, сравнить его с отрезком длиной 1см и узнать, сколько таких отрезков по 1см помещается в отрезке АВ. Чтобы измерить отрезок в других единицах длины, поступают подобным же образом.

 Для выполнения заданий работайте по плану, приведенному в левой колонке таблицы. При этом правую колонку рекомендуем закрыть листом бумаги. Затем вы сможете сопоставить свои выводы с решениями, приведенными в таблице справа.

Блок 5. Установление последовательности действий (УП).

Построение отрезка заданной длины.

 Вариант 1. В таблице записан перепутанный алгоритм (перепутанный порядок действий) построения отрезка заданной длины (например, построим отрезок ВС = 7см). В левом столбце указание к действию в правом результат выполнения этого действия. Переставьте строки таблицы так, чтобы получился верный алгоритм построения отрезка заданной длины. Запишите верную последовательность действий.

 Вариант 2. В следующей таблице приведен алгоритм построения отрезка КМ = n см, где  вместо n можно подставить любое число. В этом варианте нет соответствия между действием и результатом. Поэтому необходимо установить последовательность действий, затем для каждого действия выбрать его результат. Ответ запишите в виде: 2а, 1в, 4б и т.д.

 Вариант 3.  Используя алгоритм варианта 2, постройте  в тетради отрезки при              n = 3 см, n = 10 см, n = 12 см.

Блок 6. Фасетный тест. 

Отрезок, луч, прямая, плоскость.

 В задачах фасетного теста используются рисунки и записи под номерами 1 – 12, приведённые в таблице 1. Из них формируются данные задач. Затем к ним добавляются требования задач, которые в тесте помещены после соединительного слова «ТО». Ответы к задачам помещены после слова «РАВНО». Набор задач приведён в таблице 2. Например, задача 6.15.19 составляется следующим образом: «ЕСЛИ в задаче используется рисунок 6, затем к нему добавляется условие под номером 15, требование задачи стоит под номером 19.»

Содержание теста.

13) построить четыре точки так, чтобы каждые три из них не лежали на одной прямой;

14) провести через каждые две точки прямую;

15) каждую из поверхностей коробки продлить мысленно во все стороны до бесконечности;

ТО:

16) количество различных отрезков на рисунке;

17) количество различных лучей на рисунке;

18) количество различных прямых на рисунке;

19) количество получившихся различных плоскостей;

20) длина отрезка АС в сантиметрах;

21) длина отрезка АВ в километрах;

22) длина отрезка DC в метрах;

23) периметр треугольника PRQ;

24) длина ломаной QPRMN;

25) частное периметров треугольников RMN и PRQ;

26) длина отрезка ED;

27) длина отрезка BE;

28) количество получившихся точек пересечения прямых;

29) количество получившихся треугольников;

30) количество частей, на которые оказалась разделена плоскость;

31) периметр многоугольника, выраженный в метрах;

32) периметр многоугольника, выраженный в дециметрах;

33) периметр многоугольника, выраженный в сантиметрах;

34) периметр многоугольника, выраженный в миллиметрах;

35) периметр многоугольника, выраженный в километрах;

РАВНО (равна, имеет вид):

а) 70;  б) 4;  в) 217;   г) 8;   д) 20;  е) 10;   ж) 8∙b;  з) 800∙b;  и) 8000∙b;   к) 80∙b;                л) 63000;  м) 63;  н) 63000000;  о) 3;   п) 6;  р) 630000;  с) 6300000;  т) 7;  у) 5;  ф) 22;  х) 28

Блок 7. Давай поиграем.

7.1. Математический лабиринт.

 Лабиринт состоит из десяти комнат с тремя дверьми каждая. В каждой из комнат находится по одному геометрическому объекту (он нарисован  на стене комнаты). Сведения об этом объекте находятся в «путеводителе» по лабиринту. Читая его, надо переходить в ту комнату, о которой написано в путеводителе. Проходя по комнатам лабиринта, рисуйте свой маршрут. В двух последних комнатах имеются выходы.

Путеводитель по лабиринту

1. Войти в лабиринт надо через комнату, где находится геометрический объект, у которого нет начала, но есть два конца.
2. Геометрический объект этой комнаты не имеет размеров, он подобен далёкой звезде на ночном небе.
3. Геометрический объект  этой комнаты составлен из четырёх отрезков, имеющих три общие точки.
4. Этот геометрический объект состоит из четырёх отрезков с четырьмя общими        точками.
5. В этой комнате находятся геометрические объекты, каждый из которых имеет начало, но не имеет конца.
6. Здесь два геометрических объекта, не имеющих ни начала, ни конца, но с одной общей точкой.

7. Представление об этом геометрическом объекте даёт полет артиллерийских снарядов

    (траектория движения).

8. В этой комнате находится геометрический объект с тремя вершинами, но это не горные

    вершины.

9. Об этом геометрическом объекте даёт представление полёт бумеранга (охотничье

    оружие коренных жителей Австралии). В физике эту линию называют траекторией

    движения тела.

10. Представление об этом геометрическом объекте даёт поверхность озера в

      безветренную погоду.

Теперь можете выходить из лабиринта.

В лабиринте находятся геометрические объекты: плоскость, незамкнутая линия, прямая, треугольник, точка, замкнутая линия, ломаная, отрезок, луч, четырёхугольник.

7.2. Периметр геометрических фигур.

 В рисунках выделите геометрические фигуры: треугольники, четырёхугольники, пяти – и шестиугольники. С помощью линейки (в миллиметрах) определите периметры некоторых из них.

7.3. Эстафета геометрических объектов.

 В заданиях эстафеты есть пустые рамки. В них запишите пропущенное слово. Затем перенесите это слово в другую рамку, куда показывает стрелка. При этом можно изменять падеж этого слова. Проходя по этапам эстафеты, выполняйте требуемые построения. Если эстафету пройдёте правильно, то в конце  получите слово: периметр.

7.4. Крепость геометрических объектов.

Прочитайте § 2, выпишите из его текста названия геометрических объектов. Затем впишите эти слова в пустые клетки «крепости».

Что такое Сиде? Определение Факты и примеры

Сторона в математике

Представьте, если бы у нас не было линий, соединяющих точки. Не было бы форм! Линии и точки составляют все плоские формы, которые мы видим, такие как квадраты, прямоугольники и треугольники.

Когда мы говорим о стороне, мы используем ее для описания различных сторон объекта, например стороны монеты или стороны страницы.

Мы также используем слово «бок», чтобы описать, где что-то расположено по отношению к другому объекту.

Например, «магазин находится на левой стороне улицы». Однако сторона в математике имеет другое значение.

Сторона в математике означает линию, которая образует часть плоской фигуры. Давайте лучше поймем это с точки зрения геометрии.

Определение стороны в математике?

Сторона в математике — это аспект геометрической формы. Формы, которые мы видим, состоят из линий (отрезков) и точек (вершин). Эти отрезки соединяются друг с другом в вершинах, образуя фигуру. Эти отрезки называются сторонами.

Сторона в геометрии определяется как отрезок, соединяющий две вершины формы или двумерной фигуры.

Другими словами, сторона в математике — это линия, соединяющая две точки фигуры. Форма здесь означает двумерную (плоскую) форму, такую ​​как прямоугольник, квадрат или треугольник.

Вот, например, прямоугольник имеет четыре стороны.

Стороны в двумерных фигурах

Многоугольник — это замкнутая фигура, состоящая из трех или более отрезков. Эти фигуры обычно называют в зависимости от того, сколько у них сторон. Например, у треугольника 3 стороны, у четырехугольника 4 стороны, а у пятиугольника 5 сторон.

Если все стороны многоугольника равны, он называется правильным многоугольником.

Например, у равностороннего треугольника три равные стороны, у квадрата четыре равные стороны, а у правильного шестиугольника шесть равных сторон. Эти формы являются некоторыми примерами правильных многоугольников.

Давайте петь!

У всех двухмерных фигур есть сторона.

У кого-то три, у кого-то пять.

Вы можете назвать их всех по бокам!  

Давай сделаем это!

Покажите ребенку изображения разных двухмерных фигур. Попросите их посчитать количество сторон, которые у них есть, и назовите их имена. Вы можете дополнительно объяснить, как эти фигуры были названы в зависимости от количества сторон, которые у них есть.

Решенные примеры 

Пример 1. Сколько сторон у треугольника?

Решение : Треугольник имеет три стороны.

Пример 2: Если многоугольник имеет 5 сторон, как он называется?

Решение . Многоугольник с 5 сторонами называется пятиугольником.

Пример 3. Является ли квадрат многоугольником?

Решение : Да, квадрат является многоугольником, потому что это замкнутая фигура с 4 сторонами. Многоугольник – это замкнутая фигура с тремя или более сторонами.

Пример 4. Является ли прямоугольник четырехугольником?

Решение : Да, прямоугольник является четырехугольником, потому что это замкнутая фигура с четырьмя сторонами. Замкнутая фигура с четырьмя сторонами — это многоугольник, известный как четырехугольник.

Практические задачи

1

Замкнутая фигура имеет 5 отрезков, соединенных в вершинах. Как это называется?

Квадрат

Прямоугольник

Пятиугольник

Четырехугольник

Правильный ответ: Пятиугольник
5 линий, соединенных в вершинах, означают, что фигура имеет 5 сторон. Замкнутая фигура с 5 сторонами называется пятиугольником.

2

Многоугольник имеет четыре стороны. Какая из следующих форм это?

Треугольник

Пятиугольник

Прямоугольник

Шестиугольник

Правильный ответ: Прямоугольник
Это прямоугольник, потому что прямоугольник является четырехугольником. Многоугольник с четырьмя сторонами называется четырехугольником, который может быть квадратом, прямоугольником или другой замкнутой фигурой с четырьмя сторонами.

3

Как называется замкнутая фигура с тремя или более сторонами?

Треугольник

Объемная фигура

Квадрат

Многоугольник

Правильный ответ: Многоугольник
Многоугольник – это замкнутая фигура, имеющая три или более сторон.

4

Двумерные фигуры состоят из отрезков, соединенных в точках. Как называются отрезки прямой?

Вершины

Ребра

Стороны

Многоугольники

Правильный ответ: Стороны
Стороны — это отрезки, которые соединяются в вершинах, образуя двумерные фигуры.

5

Многоугольник состоит из трех отрезков, которые соединяются друг с другом в трех точках. Как это называется?

Треугольник

Многоугольник

Пятиугольник

Четырехугольник

Правильный ответ: Треугольник
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.

Часто задаваемые вопросы

Может ли открытая фигура иметь стороны?

Да, отрезки незамкнутой формы также называются сторонами. И открытые, и закрытые формы имеют стороны.

Как называются стороны трехмерной фигуры?

Стороны трехмерной фигуры в геометрии называются ребрами.

Формулы по геометрии — Понятные формулы с рисунками по геометрии

Теоремы по геометрии

Теорема Виета

18.12.202205

Рассмотрим квадратное уравнение где a – коэффициент при x2 b – коэффициент при x c – свободный член Теорема Виета – сумма корней X1, X2 приведенного квадратного

Теоремы по геометрии

Теорема Чевы

18.12.202207

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. A, B, C – вершины треугольника A1 – точка, лежащая на стороне BC треугольника B1 – точка, лежащая на стороне AC

Теоремы по геометрии

Теорема Фалеса

18.12.202206

Рассмотрим параллельные прямые c, d, e и произвольные прямые, секущие их. c, d, e – параллельные прямые a, b – произвольные прямые, секущие параллельные

Теоремы по геометрии

Теорема о биссектрисе

18. 12.202208

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. α – угол треугольника α/2 – угол между биссектрисой и стороной треугольника AD – биссектриса треугольника A, B

Теоремы по геометрии

Теорема о медианах треугольника

18.12.202208

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. ma – медиана треугольника, проведенная к стороне BC mb – медиана треугольника, проведенная к стороне AC mc– медиана

Теоремы по геометрии

Теорема о сумме углов многоугольника

18.12.202206

Рассмотрим произвольный многоугольник АВСDEF. α – углы правильного многоугольника A, B, C, D, E, F – вершины многоугольника n – количество сторон многоугольника

Теоремы по геометрии

Теорема о сумме углов треугольника

18. 12.202205

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. α, β, γ – углы треугольника A, B, C – вершины треугольника Теорема о сумме углов треугольника формулируется следующим

Теоремы по геометрии

Обратная теорема Пифагора

18.12.202207

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. a, b – катеты прямоугольного треугольника c – гипотенуза прямоугольного треугольника A, B, C – вершины треугольника

Теоремы по геометрии

Теорема тангенсов

18.12.202205

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. a, b, с – стороны треугольника α – угол треугольника, противолежащий стороне a β – угол треугольника, противолежащий

Теоремы по геометрии

Теорема косинусов

18.12.202205

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. a, b, с – стороны треугольника α – угол треугольника, противолежащий стороне a β – угол треугольника, противолежащий

Формулы нахождения площадей фигур.

Чтобы решить задачи по геометрии, надо знать формулы — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем.

Для начала выучим формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте!

Конечно, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задач по геометрии и стереометрии во второй части профильного ЕГЭ по математике применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем.

А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ.

1. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур.

Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным . Высоты этих треугольников равны и . Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: .

Ответ: .

2. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей.

Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: .

Ответ: .

3. Иногда в задании надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга.Найдите площадь сектора круга радиуса , длина дуги которого равна .

На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна , так как . Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна (так как ), а длина дуги данного сектора равна , следовательно, длина дуги в раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в раз меньше, чем полный круг (то есть градусов). Значит, и площадь сектора будет в раз меньше, чем площадь всего круга.

Площадь геометрической фигуры — численная характеристика геометрической фигуры показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром данной фигуры). Величина площади выражается числом заключающихся в нее квадратных единиц.

Формулы площади треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты
   
2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
   
3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
   
где S — площадь треугольника,
— длины сторон треугольника,
— высота треугольника,
— угол между сторонами и,
— радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности,

Формулы площади квадрата

1. Формула площади квадрата по длине стороны
   Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
2. Формула площади квадрата по длине диагонали
   Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
   

   S =	1	2
   	2

где S — Площадь квадрата,
— длина стороны квадрата,
— длина диагонали квадрата.

Формула площади прямоугольника

Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон

где S — Площадь прямоугольника,
— длины сторон прямоугольника.

Формулы площади параллелограмма

1. Формула площади параллелограмма по длине стороны и высоте
   Площадь параллелограмма
2. Формула площади параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
   Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон умноженному на синус угла между ними.

   a · b · sin α

где S — Площадь параллелограмма,
— длины сторон параллелограмма,
— длина высоты параллелограмма,
— угол между сторонами параллелограмма.

Формулы площади ромба

1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
   Площадь ромба равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты.
2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
   Площадь ромба равна произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами ромба.
3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
   Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей.
где S — Площадь ромба,
— длина стороны ромба,
— длина высоты ромба,
— угол между сторонами ромба,
1 , 2 — длины диагоналей.

Формулы площади трапеции

1. Формула Герона для трапеции

   Где S — Площадь трапеции,
   — длины основ трапеции,
   — длины боковых сторон трапеции,
   

Все формулы площади плоских фигур

Площадь равнобедренной трапеции

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

а — нижнее основание

b — верхнее основание

с — равные боковые стороны

α — угол при нижнем основании

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

2. Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности

R- радиус вписанной окружности

D- диаметр вписанной окружности

O- центр вписанной окружности

H- высота трапеции

α, β — углы трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобедренную трапецию:

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d- диагональ трапеции

α,β- углы между диагоналями

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

c- боковая сторона

m- средняя линия трапеции

α, β — углы при основании

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании,

(S):

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

a — нижнее основание

b — верхнее основание

h — высота трапеции

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

Площадь треугольника по стороне и двум углам, формула.

a, b, c- стороны треугольника

α, β, γ- противолежащие углы

Площадь треугольника через сторону и два угла (S):

Формула площади правильного многоугольника

a — сторона многоугольника

n — количество сторон

Площадь правильного многоугольника, (S):

Формула (Герона) площади треугольника через полупериметр (S):

Площадь равностороннего треугольника равна:

Формулы расчета, площади равностороннего треугольника.

a — сторона треугольника

h – высота

Как вычислить площадь равнобедренного треугольника?

b — основание треугольника

a — равные стороны

h – высота

3. Формула площади трапеции через четыре стороны

a — нижнее основание

b — верхнее основание

c , d — боковые стороны

Радиус описанной окружности трапеции по сторонам и диагонали

a — боковые стороны трапеции

c — нижнее основание

b — верхнее основание

d — диагональ

h — высота

Формула радиуса описанной окружности трапеции, (R)

найти радиус описанной окружности равнобедренного треугольника по сторонам

Зная стороны равнобедренного треугольника, можно по формуле, найти, радиус описанной окружности около этого треугольника.

a, b — стороны треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника (R):

Радиус вписанной окружности в шестиугольник

a — сторона шестиугольника

Радиус вписанной окружности в шестиугольник, (r):

Радиус вписанной окружности в ромб

r — радиус вписанной окружности

a — сторона ромба

D, d — диагонали

h — высота ромба

Радиус вписанной окружности в равнобочную трапецию

с — нижнее основание

b — верхнее основание

a — боковые стороны

h — высота

Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник

a, b — катеты треугольника

с — гипотенуза

Радиус вписанной окружности в равнобедренный треугольник

a, b — стороны треугольника

Доказать, что площадь вписанного четырёхугольника равна

\/(р — а)(р — b) (р — с) (р — d),

где р — полупериметр и а, b, с и d — стороны четырёхугольника.

Доказать, что площадь вписанного в круг четырёхугольника равна

1/2 (ab + cb) · sin α , где а, b, с и d — стороны четырёхугольника и α — угол между сторонами а и b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). — Читайте подробнее на FB.ru:

Площадь произвольного четырёхугольника (рис. 1.13) можно выразить через его стороны а, b, c и сумму пары противоположных углов:

где р – полупериметр четырёхугольника.

Площадь вписанного в окружность четырёхугольника () (рис. 1.14, а) вычисляется по формуле Брахмагупты

а описанного (рис. 1.14, б) () – по формуле

Если же четырёхугольник вписан и описан одновременно (рис. 1.14, в), то формула становится совсем простой:

Формула Пика

Чтобы оценить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, достаточно подсчитать, сколько клеток покрывает этот многоугольник (площадь клетки мы принимаем за единицу). Точнее, если S – площадь многоугольника, — число клеток, которые целиком лежат внутри многоугольника, и — число клеток, которые имеют с внутренностью многоугольника хоть одну общую точку.

Будем рассматривать ниже только такие многоугольники, все вершины которых лежат в узлах клетчатой бумаги – в таких, где пересекаются линии сетки. Оказывается, что для таких многоугольников можно указать такую формулу:

где — площадь, r – число узлов, которые лежат строго внутри многоугольника.

Эту формулу называют «формула Пика» — по имени математика, открывшего её в 1899 году.

Измерьте площадь прямоугольника с разными сторонами. Формулы Square Trapezia

Прямоугольник является частным случаем четырехугольника. Это означает, что прямоугольник имеет четыре стороны. Его противоположные стороны равны: Например, если одна из его сторон равна 10 см, то и противоположная ей сторона тоже будет равна 10 см. Особым случаем прямоугольника является квадрат. Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Для вычисления площади квадрата можно использовать тот же алгоритм, что и для вычисления площади прямоугольника.

Как узнать площадь прямоугольника по двум сторонам

Для того чтобы найти площадь прямоугольника, нужно умножить его длину на ширину: площадь = длина × ширина. В указанном ниже случае: Площадь = АВ × ВС.

Как узнать площадь прямоугольника по стороне и длине диагонали

В некоторых задачах необходимо найти площадь прямоугольника по длине диагонали и одной из сторон . Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. Следовательно, вы можете определить вторую сторону прямоугольника, используя теорему Пифагора. После этого задача сводится к предыдущему пункту. 92 × sin (острый угол между диагоналями) / 2.

Что такое площадь и что такое прямоугольник

Площадь – это такая геометрическая величина, по которой можно определить размер любой поверхности геометрической фигуры.

На протяжении многих веков было так необходимо, что расчет площади называли квадратурой. То есть, чтобы узнать площади простых геометрических фигур, достаточно подсчитать количество одиночных квадратов, которые были условно покрыты фигурами. А фигура, имевшая площадь, называлась квадратичной.

Таким образом, можно подытожить, что площадь – это такая величина, которая показывает нам размер плоскости, соединенной между собой отрезками.

Прямоугольник – это такой четырехугольник, у которого все углы прямые. То есть четырехугольник, у которого четыре прямых угла и противоположные стороны, называется прямоугольником.

Как найти площадь прямоуголь к изображению прямоугольника. Количество заполненных квадратиков и будет площадью в квадратных сантиметрах. Например, на рисунке видно, что прямоугольник приходится на 12 квадратов, значит, его площадь равна 12 квадратным метрам. см.

Но для нахождения площади больших объектов, например квартиры, нужен более универсальный метод, поэтому доказана формула нахождения площади прямоугольника, чтобы умножить его длину на ширина.

А теперь попробуем ответить на правило нахождения площади прямоугольника в формуле. Обозначим площадь нашей фигуры буквой S, буквой А будет обозначена ее длина, а буквой В ширина.

В итоге получаем такую ​​формулу:

S = а*б.

Если наложить эту формулу на рисунок прямоугольника выше, то мы получим те же 12 кв. см, потому что а=4 см, b=3 см, а S=4*3=12 кв. .м.

Если взять две одинаковые фигуры и наложить их одну на другую, то они совпадут, но будут называться равными. Такие равные фигуры также будут равны своей площади и периметру.

Зачем уметь находить площадь

Во-первых, если вы знаете, как найти площадь какой-то фигуры, то с помощью ее формулы вы сможете решать любые задачи по геометрии и тригонометрии.
Во-вторых, научившись находить площадь прямоугольника, вы сначала сможете решать простые задачи, а со временем перейдете к решению более сложных, и научитесь находить площади фигур, которые вписанный в прямоугольник или около него.
В-третьих, зная такую ​​простую формулу, как s=a*b, вы получаете возможность без особых проблем решать любые несложные бытовые задачи (например, найти s квартиры или дома), а со временем и применить их к решать сложные архитектурные проекты.

То есть, если совсем упростить формулу Квадрата, то она будет выглядеть так:

N = d x sh

Что обозначает n — искомая площадь, D — ее длина, w — обозначает ее ширину, а x — знак умножения.

Известно ли вам, что площадь любого полигона можно освятить на определенное количество квадратных блоков, находящихся внутри этого полигона? Чем отличается площадь от периметра

Попробуем понять разницу между периметром и площадью. Например, наша школа находится на участке, который огорожен забором — общая длина этого забора будет периметром, а пространство, которое находится внутри забора, — площадью.

Единицы измерения Квадрат

Если периметр измеряется в линейных единицах, такими как дюймы, футы и метры, то s относится к двумерному исчислению и имеет длину и ширину.

И измеряется в квадратных единицах, например:

Один квадратный миллиметр, где s квадрат имеет сторону, равную одному миллиметру;
Квадратный сантиметр, имеет такой квадрат, у которого сторона равна одному сантиметру;
Квадратный дециметр — это площадь этого квадрата со стороной в один дециметр;
Квадратный метр имеет площадь S, сторона которой равна одному метру;
Наконец, у квадратного километра есть квадрат, сторона которого равна одному километру.

Для измерения площадей больших участков на поверхности Земли применяют такие единицы, как:

Один АР или плетение — если s квадрат имеет сторону десять метров;
Один гектар равен квадрату, сторона которого равна ста метрам.

Задания и упражнения

А теперь рассмотрим несколько примеров.

На рисунке 62 нарисована фигура, которая состоит из восьми квадратов и каждая сторона этих квадратов равна одному сантиметру. Следовательно, S такого квадрата будет квадратным сантиметром.

Если записать, то это будет выглядеть так:

1 см2. А s всей этой фигуры, состоящей из восьми квадратов, будет 8 кв.м.

Если взять какую-нибудь фигуру и разбить ее на «р» квадратов со стороной, равной одному сантиметру, то ее площадь будет равна:

Р см2.

Посмотрим на прямоугольник, изображения на рисунке 63. Этот прямоугольник состоит из трех полос, и каждая такая полоса разделена на пять равных квадратов со стороной 1 см.

Попробуем найти его площадь. И так берем пять квадратов, и умножаем на три полоски и получаем площадь равную 15 кв.м.:

Рассмотрим следующий пример. На рис. 64 показан прямоугольник ABCD, ломаная линия KLMN разбита на две части. Его первая часть равна площади 12 см2, а вторая имеет площадь 9 см2. Теперь найдем площадь всего прямоугольника:

Итак, берем три и умножаем семь и получаем 21 кв.см:

3 7 = 21 кв.м. При этом 21 = 12 + 9.

И делаем вывод, что площадь всей нашей фигуры равна сумме площадей отдельных ее частей.

Рассмотрим другой пример. И так на рисунке 65 изображен прямоугольник, который разбит на два равных треугольника ABC и ADC с отрезком АС

А так как мы уже знаем, что квадрат это такой же прямоугольник, только имеющий равные стороны, то площадь \ каждый треугольник будет равен половине площади всего прямоугольника.

Представим, что сторона квадрата равна, тогда:

S = A A = A2.

Делаем вывод, что формула квадрата квадрата будет иметь такой вид:

А запись A2 называется квадратом числа a.

Итак, если сторона нашего квадрата равна четырем сантиметрам, то его площадь будет:

4 4, то есть 4*2=16 кв.м.

Вопросы и задания

Найдите фигуру фигуры, которая разбита на шестнадцать квадратов, сторона которых равна одному сантиметру.
Запомните формулу прямоугольника и запишите ее.
Какие измерения нужно произвести, чтобы узнать площадь прямоугольника?
Дайте определение равным фигурам.
Могут ли быть одинаковые фигуры разных площадей? А периметры?
Если известны площади отдельных частей фигуры, как узнать ее общую площадь?
Слово и запиши чему равен квадрат.

Историческая справка

А знаете ли вы, что древние люди в Вавилоне умели вычислять площадь прямоугольника. Также древние египтяне производили расчеты различных цифр, но так как точных формул они не знали, то в расчетах были небольшие погрешности.

В своей книге «Начало» известный древнегреческий математик Евклид описывает различные способы вычисления площадей различных геометрических фигур.

Урок на тему: «Формулы определения площади треугольника, прямоугольника, квадрата»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверяются антивирусной программой.

Учебные пособия и тренажеры в интернет-магазине «Интеграл» для 5 класса
Тренажер к учебнику И.И. Зубарева и А.Г. Мордкович
Тренажер к учебнику Г.В.Дорофеева и Л.Г.Петерсона

Определение и понятие Квадрата Рисунок

Чтобы лучше понять, что такое площадь фигуры, рассмотрим чертеж.
Эта произвольная фигура разбита на 12 маленьких квадратиков. Сторона каждого квадрата равна 1 см. А площадь каждого квадрата равна 1 квадратному сантиметру, что записывается так: 1 см 2.

Тогда площадь фигуры равна 12 квадратных сантиметров. В математике площадь обозначается латинской буквой S.
Итак, площадь нашей фигуры равна: S Цифры = 12 см 2 .

Площадь фигуры равна площади всех маленьких квадратов, из которых она состоит!

Ребята, помните!
Площадь измеряется в квадратных единицах длины. Единицы измерения площади:
1. Квадратный километр — км 2 (когда площадь очень большая, например, страна или море).
2. Квадратный метр — м 2 (вполне подходит для того, чтобы измерить площадь участка или квартиры).
3. Квадратный сантиметр — см 2 (обычно используется на уроках математики, когда фигуры рисуются в тетради).
4. Квадратный миллиметр — мм 2 .

Площадь треугольника

Рассмотрим два вида треугольников: прямоугольный и произвольный.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника нужно знать длину основания и высоту. В прямоугольном треугольнике высота заменяет одну из сторон. Поэтому в формуле площади треугольника вместо высоты подставляем одну из сторон.
В нашем примере стороны 7 см и 4 см. Формула вычисления площади треугольника записывается так:
S прямоугольного треугольника ABC = Солнце * SA: 2

S прямоугольный треугольник ABC = 7 см * 4 см: 2 = 14 см 2

Теперь рассмотрим произвольный треугольник.

Для такого треугольника необходимо провести высоту до основания.
В нашем примере высота 6 см, а основание 8 см. Как и в предыдущем примере, вычисляем площадь по формуле:
S произвольный треугольник АВС = Солнце*Н:2.

Подставляем наши данные в формулу и получаем:
S произвольный треугольник ABC = 8 см * 6 см: 2 = 24 см 2 .

Прямоугольник и квадрат Квадрат

Возьмите прямоугольник AVD со сторонами 5 см и 8 см.
Формула вычисления площади прямоугольника записывается так:
S Прямоугольник AVD = AV*Sun.

S Прямоугольник AVD = 8 см * 5 см = 40 см 2.

Теперь посчитаем площадь квадрата. В отличие от прямоугольника и треугольника, чтобы найти площадь квадрата, нужно знать только одну сторону. В нашем примере сторона квадрата ABCD равна 9 см. S квадрат AVD = AB * Sun = AB 2.

Подставляем наши данные в формулу и получаем:
S Квадрат ABSD = 9 см * 9 см = 81 см 2.

Мы уже познакомились с понятием квадрат Цифра , узнали одну из единиц измерения Площадь — квадратных сантиметра . На уроке выводим правило, как вычислить площадь прямоугольника.

Мы уже умеем находить площади фигур, которые делятся на квадратные сантиметры.

Например:

Определим, что площадь первой фигуры 8 см 2 , площадь второй фигуры 7 см 2 .

Как найти площадь прямоугольника, длина стороны которого равна 3 см и 4 см?

Для решения задачи ломаем прямоугольник на 4 полоски по 3 см 2 каждая.

Тогда площадь прямоугольника будет 3*4 = 12 см 2 .

Тот же прямоугольник можно разделить на 3 полосы по 4 см 2 . прямоугольник будет 4 * 3 = 12 см 2 .

В обоих случаях для нахождения площади прямоугольника перемножаются числа, выражающие длины сторон прямоугольника.

Находим площадь каждого прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник Акмо.

В одной полоске 6 см 2 , а таких полосок в этом прямоугольнике 2. Следовательно, мы можем сделать следующее:

Цифра 6 обозначает длину прямоугольника, а 2 — ширину прямоугольника. Таким образом, мы изменили сторону прямоугольника, чтобы найти площадь прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник KDCO.

В прямоугольнике КДКО в одной полоске 2см 2 , а таких полосок 3. Следовательно, мы можем выполнить действие

Цифра 3 обозначает длину прямоугольника, а 2 — ширину прямоугольника. Мы изменили их и узнали площадь прямоугольника.

Можно сделать вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, не нужно каждый раз разбивать цифру на квадратные сантиметры.

Для вычисления площади прямоугольника необходимо найти его длину и ширину (длины сторон прямоугольника должны быть выражены в одинаковых единицах измерения), а затем вычислить произведение полученные числа (площадь будет выражена в соответствующих единицах площади)

Обобщая: площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

Решить задачу.

Вычисли площадь прямоугольника, если длина прямоугольника 9см, а ширина 2см.

Мы так спорим. В этой задаче известны длина и ширина прямоугольника. Поэтому действуем по правилу: площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

Записываем решение.

Ответ: Площадь прямоугольника 18 см 2

Как вы думаете, какой еще может быть длина стороны прямоугольника с такой площадью?

Ты можешь так говорить. Так как площадь есть произведение длин прямоугольника, значит нужно вспомнить таблицу умножения. При умножении каких чисел получится 18?

Правильно, при умножении 6 и 3 тоже получится 18. Значит, прямоугольник может быть частью 6см и 3см и его площадь тоже будет равна 18см2.

Решить задачу.

Длина прямоугольника 8см, ширина 2см. Найдите его площадь и периметр.

Мы знаем длину и ширину прямоугольника. Необходимо помнить, что для нахождения площади необходимо найти произведение ее длины на ширину, а для нахождения периметра нужна сумма длины и ширины умноженная на два.

Записываем решение.

Ответ: Площадь прямоугольника 16 см 2 , а периметр прямоугольника 20 см.

Решить задачу.

Длина прямоугольника 4см, ширина 3см. Что такое треугольный квадрат? (см. рисунок)

Чтобы ответить на вопрос задачи, сначала нужно найти площадь прямоугольника. Мы знаем, что для этого нужно длину умножить на ширину.

Посмотрите на рисунок. Вы заметили, что диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника? Следовательно, площадь одного треугольника в 2 раза меньше площади прямоугольника. Значит, надо уменьшить 12 в 2 раза.

Ответ: Площадь треугольника равна 6 см 2.

Сегодня на уроке мы познакомились с правилом, как вычислить площадь прямоугольника и научились применять это правило при решение задач на нахождение площади прямоугольника.

1. М.И. Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: В 2-х частях, часть 1. М., «Просвещение», 2012.

2. М.И. Моро, М.А.Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: В 2 ч., ч. 2. М., «Просвещение», 2012.

3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.

4. Нормативный документ. Контроль и оценка результатов обучения. М., «Просвещение», 2011.

5. Школа России: Программы начальной школы. — М.: «Просвещение», 2011.

6. Волков С.И. Математика: контрольная работа. 3 класс. — М.: Просвещение, 2012.

7. В.Н. Лодницкая. Тесты. М., «Экзамен», 2012 (127С.)

2. Издательство «Просвещение» ()

1. Длина прямоугольника 7 см, ширина 4 см. Найдите площадь прямоугольника.

2. Сторона квадрата 5 см. Найдите площадь квадрата.

3. Наклоните возможные варианты прямоугольников, площадь которых 18 см. 2.

4. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Квадрат геометрической формы — Числовая характеристика геометрической фигуры, показывающая размер этой фигуры (части поверхности, ограниченной замкнутым контуром этой фигуры). Величина площади выражается количеством квадратных единиц, входящих в нее.

Формулы квадрата треугольника

1. Формула площади треугольника по стороне и высоте
   Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину высоты израсходовано
   
2. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
   
3. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
   Площадь треугольника Равен произведению полуверсионера треугольника на радиус вписанной окружности.
   
где S — площадь треугольника,
— длина стороны треугольника,
— высота треугольника,
— угол между сторонами и
— радиус вписанной окружности,
R — радиус описанной окружности ,

Формулы квадрат квадрат

1. Формула квадрат квадрат сторона
   Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
2. Формула Квадратная диагональ квадрата
   Площадь квадрата Равна половине длины его диагонали.
   

   S =.	1	2
   	2

где S — площадь квадрата,
— длина стороны квадрата,
— длина диагонали квадрата.

Формула квадрата прямоугольника

Квадратный прямоугольник равен произведению длины двух его смежных сторон

где S — площадь прямоугольника,
— Длина сторон прямоугольника.

Формулы площади паралилограммы

1. Формула Квадрат Поллограмма сторона и высота
   Квадрат Поллограмма
2. Формула параллелограмма по двум сторонам и углу между ними
   Поллограмма квадрата Равен произведению его длин на угол между ними.

Где в Интернете найти примеры решения задач по геометрии?

Главная

Справка

Полезная информация

09:40, 25 Июля 2016

В системе общего образования геометрия занимает одно из значимых мест. В России этот предмет появляется у школьников в 7 классе и является одним из самых сложных для изучения.

Знакомые по предыдущим классам математические понятия «луч», «прямая», «отрезок» и геометрические фигуры описываются по-новому. Геометрические задачи предполагают не простой ответ, который формируется путем несложных математических операций, а подробное и развернутое решение с логически выстроенным обоснованием.

Зачастую, чтобы решать задачи по геометрии за 7 класс, недостаточно хороших математических способностей и развитой логики. Здесь еще пригодятся пространственное мышление, способности измерения геометрических величин и навыки черчения. Очень часто решение задач по геометрии предполагает несколько различных способов доказательств.

Обучение геометрии: основные цели

Обучение геометрии ставит перед собой целый комплекс задач — от развития логического (математического) мышления до понимания простейших геометрических понятий, умения подытожить данные и четко сформулировать полученные выводы.

Решение задач по геометрии

Геометрия, как любая точная наука, требует серьезного, вдумчивого подхода. Чтобы научится решать задачи, нужны серьезные теоретические знания и практические навыки. Для приобретения этих навыков нужно рассмотреть не один десяток типовых задач. Для этого можно воспользоваться специальными обучающими ресурсами в сети Интернет, где в режиме онлайн предоставляется тематически подобранный материал по решению задач разного уровня сложности. По отзывам учеников и учителей сайт http://interneturok.ru/ идеально подходит для этой цели. Каждый урок создан учителями-практиками высокой квалификации, сопровождается текстом и чертежами, проверочными тестами, интерактивными тренажерами и контрольными вопросами по изученной теме.

На примере видеоурока мы можем увидеть, как решаются задачи по пройденной теме «начальные геометрические сведения» по предмету «геометрия» в 7 классе. Демонстрирует решение задачи квалифицированный учитель школы «Логос ЛВ» и старший преподаватель факультета довузовской подготовки МИТХТ В.А. Тарасов.

Построение видеоурока:

• Повторение изученного ранее материала (аксиома о параллельных прямых, следствие, единицы измерения и определения луча, углов и прочее).
• Решение типовых задач.
• Примеры.
• Список литературы.
• Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы.
• Рекомендованное домашнее задание.

Каждый зарегистрированный пользователь может прокомментировать урок или задать вопрос по видеоуроку. Ответы даются оперативно и по существу.

Изучение геометрии — процесс многогранный, многоэтапный и объемный. Решение геометрических задач — лишь одна сторона медали. Чтобы достичь успеха в изучении геометрии,  понадобится огромное желание ученика и хорошие помощники.

• ← назад
• все статьи
• обсудить
• вперед →

РАССКАЗАТЬ ДРУЗЬЯМ:

КОММЕНТАРИИ:

Комментарии (0)

Задачи по геометрии Онлайн решение заданий Репетитор МФТИ: Геометрия

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы Геометрии

Практические задачи по геометрии.

1. Подобные треугольники.
2. Признаки подобия треугольников.
3. Задачи на нахождение длин и площадей.
4. Подобные треугольники.
5. Понятие подобных треугольников
6. Отношение периметров
7. Отношение площадей
8. Первый признак подобия
9. Второй признак подобия
10. Третий признак подобия.
11. Задачи про часы и стрелки.
12. Задачи про колесо со спицами.
13. Задачи про лестницу со ступеньками.
14. Задачи на нахождение длин и площадей.

Учеба и наука

Математика — это прежде всего Геометрия.

Для решения типовых задач по геометрии все, что необходимо, — это формула для расчетов, а иногда и не одна.
В данном разделе собраны все базовые геометрические фигуры и тела, где в каждом соответствующем разделе можно найти все формулы в упрощенном виде, вывод формул по геометрии и последовательное описание того, как работает тот или иной онлайн калькулятор по геометрии.

Задачи с решениями по геометрии.

Шар, радиус которого 13 см пересечен плоскостью на расстоянии 12 см от центра.
Найдите площадь сечения.
Пусть точка O центр шара, а точка O1 центр окружности отсекаемой плоскостью альфа, следовательно O1X радиус окружности.

Найдем этот радиус по теореме Пифагора:
O1X2=OX2-O1O2 O1X2=132-122=25 O1X=r=5 S сеч = 25 п.

Темы уроков репетитора онлайн:

• задачи по алгебре
• задачи по географии
• ЕГЭ математика
• геометрические задачи
• задачи по математике 4 класс
• геометрия
• сборник задач по геометрии
• ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян
• задачи на логику
• задачи по черчению

Вы начали изучать геометрию.
Это новая для вас дисциплина, и вы поначалу можете испытывать трудности в её освоении.
Не пугайтесь: пройдет некоторое время, и вы научитесь с легкостью решать любые геометрические задачи.

Для приобретения необходимого навыка нужно лишь приложить немного усилий.
Итак, как решать задачи по геометрии?
#math #zadacha #zadachi #geometria

Сборник задач по геометрии.

Совет 1: Как решать задачи по геометрии 8-11 класса.
Геометрия.
Урок 1. Практические задачи по геометрии.
Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а.
Боковая грань образует с плоскостью основания угол, равный 60°.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Боковая грань образует с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды угол, равный 60°.
Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.

В правильном тетраэдре найдите угол между ребром и плоскостью грани, не содержащей это ребро.
Найдите угол между гранями правильного тетраэдра.
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны.
Найдите угол между соседними боковыми гранями.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна, а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°.
Найдите высоту пирамиды.

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8, апофема (это что такое) пирамиды равна 10.
Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной через середину высоты параллельно плоскости основания.
Угол боковой грани с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен.
Найдите угол бокового ребра с плоскостью основания.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна V3 , а угол боковой грани с плоскостью основания равен 60°.
Найдите объем пирамиды.

Угол бокового ребра с плоскостью основания правильной треугольной пирамиды равен а.
Найдите угол боковой грани с плоскостью основания.

Введение в математический онлайн-курс по геометрии

Основы геометрии, в том числе углы, сходство и конгруэнтность треугольников, сложные задачи на площади, освоение треугольника, специальные четырехугольники, многоугольники, искусство поиска углов, сила точки, трехмерная геометрия, преобразования, аналитическая геометрия, основы тригонометрии, геометрические доказательство и многое другое. Необходимый текст: Введение в геометрию	24 недели Диагностика ВЫ ГОТОВЫ? ВАМ ЭТО НУЖНО? Документы ПРОГРАММА
24 недели ВЫ ГОТОВЫ? ВАМ ЭТО НУЖНО? УЧЕБНЫЙ ПЛАН

Восточное время СШАЦентральное время СШАГорное время СШАТихоокеанское время США

AoPS Holidays

21 декабря и 3 января, 27 и 29 мая занятий нет.

Кто должен принимать?

Уроки

Необходимый учебник

Геометрический решатель ² Обзор — EducationalAppStore

Что такое Geometry Solver ²   приложение

Как следует из названия, Geometry Solver ² решает задачи геометрии. Он охватывает 2D- и 3D-формы и показывает каждый шаг разработки, которому нужно было бы следовать, если бы это было сделано вручную. Каждая из фигур имеет диаграмму, показывающую, к каким свойствам принадлежит каждая переменная.

Что нам нравится в Geometry Solver ²?

Geometry Solver ² тесно сфокусирован на своем назначении, что делает его очень удобным в использовании. Пользователи приложения могут перейти от его открытия к расчету решения своей проблемы за очень короткое время и с минимальными нажатиями на экран.

Представление диаграмм фигур, разработка и формулы очень ясны и актуальны для студентов, работающих над геометрическими задачами. Geometry Solver ² очень хорошо работает как в качестве инструмента для расчета, так и в качестве справочного инструмента.

Какие навыки он улучшает?

Geometry Solver ² как таковой не учит, но помогает учащимся понять геометрические свойства 2D- и 3D-фигур. Он делает это, позволяя им проверять свои ответы на задачи и позволяя им экспериментировать со свойствами формы.

Для какого возраста подходит?

Geometry Solver ² предназначен для учащихся, которые часто вычисляют такие вещи, как площади, периметры, поверхности и центроиды фигур. Как правило, это дети среднего и старшего школьного возраста.

Легко ли использовать Geometry Solver ²?

Geometry Solver ² в основном последователен в использовании и понятен в том, что он сообщает. Единственное отклонение от этого заключается в том, что не сразу видно, что вы попадаете в список фигур, выбирая значки 2D или 3D, а затем проводя пальцем по экрану слева. Как только вы узнаете, это легко, но, поскольку нет визуальных индикаторов для выполнения этого жеста, и это не обычно используемый метод для отображения параметров, вы никогда не поймете.

Помимо этой проблемы, после короткого периода ознакомления пользователи смогут сосредоточиться на математике, а не на том, как использовать приложение.

Какую пользу получат студенты?

Поскольку приложение Geometry Solver ² настолько быстрое и простое в использовании, учащиеся могут легко экспериментировать с тем, как изменение одной переменной в геометрической формуле влияет на другие. Это также очень полезный справочный инструмент, поскольку каждая фигура содержит список соответствующих формул.

Geometry Solver ² — отличный способ для учащихся убедиться в правильности своего понимания. Одна из проблем с домашним заданием заключается в том, что если у учащихся есть фундаментальное непонимание, это может быть выполнено через несколько задач. Это демотивирует, когда тяжелая работа вознаграждается плохими оценками. Студентам придется проявлять самодисциплину, чтобы не злоупотреблять возможностями приложения Geometry Solver ², но оно дает им возможность периодически проверять свое понимание и устранять любые ошибки в нем.

Какую пользу получат учителя?

Приложение Geometry Solver ² предоставляет четкую диаграмму, показывающую различные переменные и особенности каждой 2D- и 3D-формы. Формулы и работа ясны и точны. Учителя могут использовать их, чтобы продемонстрировать, как решать различные задачи, не беспокоясь о своих навыках построения диаграмм и почерке.

Какую пользу получат родители?

Не многие из нас регулярно решают различные геометрические задачи, и наша память о том, как это делать, может угаснуть. Родители, которые когда-то проверяли домашнюю работу своего ребенка или помогали ему с математикой, часто начинают испытывать трудности, когда сложность увеличивается, а память об их собственном изучении математики тускнеет.

Geometry Solver ² предоставляет родителям инструменты для быстрой, простой и точной проверки домашнего задания по геометрии.

Что может улучшить Geometry Solver ²?

Geometry Solver ² отлично смотрится на экранах телефонов, но хуже на больших устройствах, таких как iPad. Он остается пригодным для использования, но интервалы и размеры шрифта не позволяют использовать преимущества больших экранов. Это приложение, скорее всего, будет использоваться на телефонах учащихся, но школы, которые, как правило, больше полагаются на планшетные устройства, должны знать, что оно не точно воспроизводит работу с телефоном.

Сколько стоит Geometry Solver ²?

Geometry Solver ² доступен для бесплатной загрузки, включая рекламу. В бесплатной версии пользователи должны посмотреть рекламу, чтобы временно разблокировать все расчеты. В бесплатной версии заблокировано около половины фигур.

Что входит в бесплатную версию по сравнению с платной?

Приложение становится полностью доступным через встроенные покупки. Один из них удаляет рекламу, а другой открывает все формы. Лучшая покупка в приложении делает и то, и другое.

Покупки в приложении являются разовыми платежами, и пользователь получит выгоду от будущих обновлений приложения.

Полезные факты для решения задач по геометрии

Анна Малкова

Полезные факты для решения задач ЕГЭ по геометрии (ЕГЭ по математике, Часть 2, профильный уровень).

Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии (задача 16, Профильный уровень)?

Школьные учебники геометрии (Л. С. Атанасян, А. Г. Мерзляк…) неплохие. Даже лучше, чем по алгебре. Однако в них нет задач из вариантов ЕГЭ. Непонятно, как по ним готовиться к ЕГЭ, на что обращать внимание. Да и нет времени в 11-м классе заново читать учебник и решать все задачи подряд.

В освоении планиметрии важен правильный подход. Многие начинают с реальных задач ЕГЭ, а когда не получается, чувствуют разочарование. Не стоит так делать.

Первый этап: выучите теорию. Определения, теоремы, признаки. Основные формулы. Например, для площади треугольника нам нужны 5 формул. Помните их? Все они применяются в решении задач. Теоремы синусов и косинусов. Свойства высот, медиан и биссектрис. И многое другое.

В этом вам поможет Полный справочник Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике.  Именно то, что нужно для решения задач ЕГЭ. Ничего лишнего. А цветные картинки запоминаются сами собой.

И конечно, практика! Решаем задачи ЕГЭ. Сначала – Часть 1, задачи 3 и 6. Не меньше 50 задач первой части ЕГЭ по теме «Планиметрия» надо решить, чтобы выучить и уметь применять теоремы и формулы планиметрии.

Изучить планиметрию и потренироваться в решении задач можно на нашем Онлайн-курсе.

Задачи, решения, видеоразбор.

Отлично, освоили задачи по планиметрии 1 части Профильного ЕГЭ по математике. Пора переходить ко второй! К задаче 16. Но не будем спешить. Пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике – доказательство. А вы знаете, что пункт (а) нужен не только для того, чтобы вы получили один из трех баллов за эту задачу? Что во многих задачах ЕГЭ №16 пункт (а) содержит идеи для решения пункта (б). Намеки на то, как решить задачу полностью. Надо научиться доказывать всевозможные утверждения планиметрии.
Мы публикуем для вас новый и ценный материал — доказательство полезных фактов. Это и повторение всего курса (7-9 класс), и «заготовки» для многих задач ЕГЭ.

Приведем список из 32 полезных фактов. Докажите их самостоятельно и проверьте решения по ссылкам.

Для большинства этих полезных фактов приведены примеры решения задач и первой, и второй части Профильного ЕГЭ по математике.

Углы, треугольники, четырехугольники

1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.

2. Свойство медианы прямоугольного треугольника.

3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма.

4. Площадь выпуклого четырехугольника

5. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей

6. Свойства равнобедренной трапеции

7. Замечательное свойство трапеции.

8. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

9. Свойства биссектрис треугольника.

10. Свойства медиан треугольника

11. Свойство высот треугольника.

Окружности

12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

13. Теорема о пересекающихся хордах.

14. Теорема о серединном перпендикуляре к хорде.

15. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.

16. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.

17. Угол между касательной и хордой.

18. Теорема о секущей и касательной.

19. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.

20. Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.

21. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен .

22. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.

23. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и , то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и

24. Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

25. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

26. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.

27. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.

28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.

29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен , то угол KLM .

30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.

31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна .

32. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.

*При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.

Геометрические задачи на доказательство

Теоремы или задачи на доказательство имеют определенную структуру.

Рассмотрим классическую структуру теоремы.

Наиболее привычной является следующая формулировка: из условия 1, условия 2, … , условия n следует справедливость заключения. Другими словами, из выполнения всех условий теоремы, причем одновременного, вытекает истинность заключения.

Рассмотрим конкретные примеры.

Если ABCD – параллелограмм и его диагонали равны (AC = BD), то ABCD – прямоугольник.

В этой теореме два условия (эти условия еще называют посылками):

А = «ABCD – параллелограмм»,

В = «AC = BD».                                                                

И заключение: С = «ABCD – прямоугольник».

Условие задачи может быть представлено в виде схемы: «из А и В следует С».

Для доказательства теоремы, сформулированной по данной схеме, нужно построить цепочку рассуждений Т₁, Т₂, …, Т_k, с помощью которых осуществляется переход от условий теоремы к ее заключению.

Подробно разберем, по каким правилам выбираются или придумываются  рассуждения Т₁, …, Т_k.

Первое правило. В качестве таких утверждений можно брать любое условие теоремы.

Второе правило. Можно взять любую известную теорему или формулу и применить ее к условиям задачи.

Итак, механизм этой операции следующий: подставляем в формулировку теоремы или в формулу те данные, которые содержатся в условиях.

Такую операцию можно назвать «правилом подстановки».

Рассмотрим примеры применения этого правила.

Пример 1 (алгебра).

Решить квадратное уравнение х² – 10х + 24 = 0.

Решение.

Используем известную формулу для решения полных квадратных уравнений:

D = b² – 4ac; x₁,₂ = (-b ± √D)/2a;

и подставим в нее данные из задачи a = 1, b = -10, c = 24.

Получим результат подстановки:

D = 100 – 4 · 24 = 4, откуда x_1,2 = (10 ± √4)/2 или x₁ = 4, x₂ = 6.

Пример 2 (геометрия).

Рассмотрим четырехугольник A₁A₂B₁B_2, вписанный в окружность.

Известна следующая теорема: у вписанного в окружность четырехугольника суммы противоположных углов равны.

Сделаем подстановку в теорему конкретных условий задачи. В результате получим рассуждение:

В рассматриваемом четырехугольнике A₁A₂B₁B₂ сумма углов A₁A₂B₁ и B₁B₂ A₁ равна 180^°.

Вернемся теперь к правилам, по которым строятся рассуждения в доказательстве.

Третий способ получения утверждений в цепочке доказательства состоит в следующем: на основе истинности уже полученных рассуждений (то есть каких либо из предыдущих Т₁, …, Т_k) делается заключение об истинности следующего рассуждения Т_k+1.

Обычно применяется  следующая схема: «из верности рассуждения А и верности рассуждения «из А следует В» следует верность рассуждения В».

Это правило получило название «правило заключения».

Рассмотрим пример применения правила заключения.

Пример 3.

А = «Данный четырехугольник ABCD – прямоугольный (AC и BD – его диагонали)» – условие.

В = «Если четырехугольник прямоугольный, то его диагонали равны» – известная теорема.

По правилу заключения получаем:

С = «У данного четырехугольника ABCD : AC = BD».

В математике существует еще ряд правил, позволяющих получать новые правила из известных рассуждений. Эти правила получили название «правила естественного вывода» или «производные правила вывода».

Подведем некоторые итоги.

Доказательство теоремы – это цепочка рассуждений Т₁, …, Т_k. Последнее рассуждение – это суть заключение теоремы (т.е. это то, что требуется доказать). Рассуждения Т_i в цепочке – это либо условия теоремы, либо известные аксиомы, теоремы, формулы, либо те данные, которые были получены из предыдущих рассуждений поправилам вывода (правило подстановки, правило заключения и др.).

Рассмотрим теперь другие виды формулировок теорем.

Кроме классической формулировки, рассмотренной выше, существует еще ряд распространенных формулировок теорем. Рассмотрим примеры таких формулировок.

«Утверждение А выполняется тогда и только тогда, когда выполняется утверждение В». «Утверждения А₁, А₂, …, А_n – равносильны».

Смысл этих формулировок очень схож. В них говорится о том, что утверждения А и В (А₁, А₂, …, А_n) одновременно истинны или одновременно ложны.

Фактически, в первой формулировке объединены две теоремы: «Из утверждения А следует утверждение В» (прямая теорема) и «Из утверждения В следует утверждение А» (обратная теорема).

Вторая формулировка также распадается на несколько классически сформулированных теорем.

Пример 4.

Теорема. «Четырехугольник ABCD вписывается в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180^°».

Эта теорема распадается на две:

Прямая теорема. Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны 180°.

Обратная теорема. Если суммы противоположных углов четырехугольника равны 180^°, то он вписывается в окружность.

Существует еще один, вид теорем, для доказательства которых часто применяется особый метод – метод математической индукции.

Примерами таких задач могут быть:

Доказать, что квадраты всех нечетных чисел при делении на 4 дают остаток 1.

Или задача: если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Общая схема решения таких задач такова: «Доказать, что все объекты множества М обладают общим свойствома».

Два способа доказательства теорем.

На страницах учебника математики встречается в основном классический способ доказательства теорем. В нем идет последовательный переход от одного рассуждения к другому, пока не получится утверждение теоремы.

Также в математике весьма эффективен способ доказательства «от противного».

Как правило, условия теоремы содержат несколько рассуждений А₁, А₂, … , А_n. Если в ходе доказательства появляется рассуждение «Неверно, что выполняется А_i», то возникает так называемое противоречие.

Сам же метод доказательства «от противного» состоит в следующем:

а) Предполагается, что вместо нужного заключения теоремы (утверждение В), выполняется противоположное утверждение «неверно, что В».

б) Из утверждения «неверно, что В» и утверждений, содержащихся в условии теоремы выводится утверждение «неверно, что А_i» (где А_i – одна из посылок теоремы).

Таким образом, и получается противоречие: одновременно должны выполняться условия А_i и «неверно, что А_i».

в) Делается вывод: предположение о неверности заключения В привело к противоречию, поэтому заключение В вытекает из условий теоремы.

Рассмотрим пример.

Пример 5. 

Доказать, что если биссектрисы треугольника разбивают его на шесть равных по площади треугольников, то данный треугольник – правильный.

Доказательство.

1) Очевидно, что треугольник правильный, если его биссектрисы одновременно являются и его медианами.

2) Биссектриса, проходящая через точку пересечения медиан, является и медианой треугольника.

Вывод: надо доказать, что если три прямых, проходящих через вершины треугольника, пересекаются в одной его внутренней точке М и разбивают треугольник на шесть равных по площади, то М – точка пересечения медиан.

Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1), где АА₁, ВВ₁, СС₁ – медианы, а М₀ – точка их пересечения.

Шесть полученных треугольников с вершиной М₀ имеют одинаковую площадь, поэтому треугольники АВМ₀, ВСМ₀ и АСМ₀ так же имеют одинаковую площадь.

Теперь используем метод «от противного».

Пусть точка М не совпадает с точкой М₀. Рассмотрим треугольники АВМ, АСМ и ВСМ. Из условия вытекает, что площади этих треугольников равны (площадь каждого равна 1/3 площади DАВС). Точка М должна попасть внутрь или на сторону одного из треугольников АВМ₀, АСМ₀ или ВСМ₀ (предположим, что внутрь треугольника АВМ₀).

Очевидно, что S_DАВМ < S_DАВМ0 = 1/3 · S_DАВС.

Итак, получено противоречие, т.к. с одной стороны, S_DАВМ = 1/3 · S_DАВС, а с другой – она меньше.

Из этого следует, что предположение о том, что М не совпадает с М₀ ошибочно, поэтому имеем, что М₀ = М.

Таким образом, доказано, что биссектрисы проходят через точку пересечения медиан, то есть биссектрисы являются медианами, а это верно только для правильных треугольников.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на доказательство?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Справка по геометрии — Бесплатная справка по математике

Нужна помощь по геометрии? У нас есть более тридцати отличных уроков геометрии, разбитых на общие темы. Обязательно просмотрите все темы, чтобы найти то, что вам нужно, или выполните поиск по ключевому слову.

Линии графика

• Асимптоты
• Домен и диапазон
• Нахождение асимптот
• Нахождение горизонтальных асимптот
• Форма уклона точки
• Форма пересечения склонов
• Наклон линии
• Ось X-Y
• Построение параболы

Формы

• Треугольники
• 30-60-90 Прямоугольный треугольник
• Параллелограммы
• Трапеции
• Специальные параллелограммы
• Конгруэнтные треугольники
• Равнобедренные треугольники
• полигонов

Углы, линии и точки

• Формула расстояний
• Мир углов
• Специальные уголки
• Параллельные линии
• Длина сегмента линии
• Сумма углов треугольника
• Внешние углы треугольника
• Внутренние углы многоугольника
• Неравенства треугольников
• Формула средней точки

Другие уроки

• Заполнение уравнений квадрата в круге
• Среднее геометрическое
• Геометрические термины
• Словарь по геометрии

Формулы

• Формулы площади
• Формулы периметра
• Площадь поверхности
• Объемные формулы

Другое

• Важный словарь по геометрии
• Вертикальные углы

Уроки с других сайтов:

• Площади, объемы, площади поверхности
• Длина окружности
• Классификация углов
• Конические сечения/круги
• Внутренние углы правильных многоугольников
• Основы многоугольника
• Теорема Пифагора
• Трехмерные фигуры

Последние вопросы по геометрии

Доказательство, сколько и что имеет значение? Среда, 21 декабря 2022 г.

Логика теории чисел Среда, 21 декабря 2022 г.

Вычислите определитель этой матрицы Tuesday December 20, 2022

Rational Zeros Theorem Tuesday December 20, 2022

Looking for a gif of orderly vs disorderly 2D shapes or information about it Tuesday December 20, 2022

Избранный урок

Прочтите о свойствах прямоугольных треугольников 30-60-90.

Ресурсы для репетиторов

Онлайн-уроки по математике и ссылки могут быть действительно полезными, если у вас есть конкретный вопрос или вы ищете освежение знаний по определенной теме. Но если вам нужна дополнительная помощь, вам может понадобиться репетитор по геометрии. Будь то друг или учитель в школе, местный репетитор или онлайн-репетитор, реальный человек может быстрее ответить на вопросы и объяснить то, чего вы не понимаете, лучше, чем любой урок или доска объявлений.

Изучайте геометрию с помощью онлайн-курсов, классов и уроков

Что такое геометрия?

Геометрия – это область математики, изучающая перпендикулярные прямые, дополнительные углы, координатные плоскости, смежные углы, прямые углы, внешние углы, геометрические фигуры, расстояния и отношения между ними. Примеры включают вычисление углов треугольника, длины кривой или площади поверхности сферы.

Изучите основы геометрии с помощью курсов и уроков для начинающих

Пройдите фундаментальные курсы на edX, чтобы изучить основы геометрии. В курсе SchoolYourself’s Introduction to Geometry вы узнаете, как измерять углы и правила определения конгруэнтности углов, доказывать и применять свойства треугольников, четырехугольников и других многоугольников, вычислять площади многоугольников, кругов, эллипсов и других сложных форм и т. д.

Онлайн-курсы и программы по геометрии

Пройдите бесплатные онлайн-курсы геометрии, чтобы освоить новые навыки и повысить эффективность обучения в классе. 14-недельный базовый курс геометрии от School Yourself можно пройти вместе с курсом старшей школы, и он может служить углубленным учебным пособием по геометрии для дополнительной практики и мастерства. Изучите все основы геометрии, в том числе, как вычислять площади сложных фигур, как измерять углы, как доказывать и применять теорему Пифагора, как применять свойства треугольников и четырехугольников и как применять геометрические формулы. Курс является самостоятельным, поэтому студенты могут переходить к любому разделу по мере необходимости.

Готовы к чему-то более продвинутому? Вычислительная геометрия — это бесплатный онлайн-курс Университета Цинхуа, который может помочь вам подготовиться к углубленному изучению робототехники, автоматизированного проектирования (CAM и CID) и географических информационных систем (ГИС). Изучите геометрические алгоритмы и структуры, а также основные стратегии решения геометрических задач.

В каких работах используется геометрия?

Геометрия сегодня используется во многих областях и профессиях. Вы можете быть удивлены количеством рабочих мест и профессий, которые требуют практических знаний геометрии для выполнения повседневных задач. Ниже приведены несколько примеров профессий, требующих понимания геометрии для выполнения повседневных задач.

Дизайнеры компьютерной графики должны знать и понимать геометрию, чтобы создавать реалистичные трехмерные космические изображения. Некоторые примеры графических дизайнеров включают создателей видеоигр и аниматоров. Понимание того, как использовать фигуры и манипулировать ими, упрощает компьютерные вычисления, поэтому геометрия необходима графическому дизайнеру для выполнения повседневных задач.

Инженерам-робототехникам необходимо понимать геометрию для выполнения сложных задач в своей сфере деятельности. Понимание того, какие углы использовать для диапазона движения робота, является обычной задачей для этих профессионалов. Возможность управлять этими роботами вплоть до малейшего движения заранее определяется дугами и углами. Некоторые роботы созданы с диапазоном зрения для обнаружения объектов, поэтому измерение углов и восприятие являются повседневными задачами в этой профессии.

Медицинские работники используют геометрию для создания трехмерных моделей медицинских проблем, таких как опухоли у пациентов. Получение результатов компьютерной томографии и правильное масштабирование 3D-модели этой опухоли может дать врачам и хирургам информацию, необходимую им для решения этой проблемы непосредственно у их пациентов. Медицинская визуализация с помощью гарнитур виртуальной реальности, таких как Microsoft HoloLens, позволит врачам в будущем реконструировать органы, кости и все остальное в человеческом теле, используя геометрию для точного соединения всех частей воедино.

Модельеры ежедневно используют геометрию, чтобы создавать идеальные образы для своих клиентов. Измерение одежды на основе типа тела и углов может создать или разрушить определенный внешний вид для кого-то. Как модельер, вы должны знать, как создавать трехмерные формы и модели для своих клиентов.

Зачем изучать геометрию онлайн?

Геометрия является общим навыком для многих профессионалов в своей сфере деятельности. Записавшись на онлайн-курсы геометрии, вы сможете выбрать правильный курс, который наилучшим образом соответствует вашим потребностям. Возможно, вы хотите пройти базовый курс геометрии, чтобы освежить свои навыки, если прошло много времени с момента вашего последнего занятия. Возможно, вы ищете более продвинутые курсы, если хотите стать архитектором и вам нужно практиковать передовые методы геометрии. Независимо от того, где вы находитесь, edX предлагает широкий спектр онлайн-курсов по геометрии, разработанных с учетом вашего плотного графика.

Некоторые из наших курсов охватывают понимание параллельных прямых, теоремы Пифагора, прямоугольных треугольников, конических сечений, касательных окружностей, правильных многоугольников, формулы Герона, конгруэнтных углов, геометрических кривых, длин дуг, геометрических понятий, дополнительных углов, измерения ромба.

Интегрированный урок (математика + информатика) по теме: «Теорема Фалеса»

Цели урока:

Образовательная: доказать теорему Фалеса, научить применять её при решении задач по математике и информатике.

Развивающая: развивать у учащихся познавательный интерес к учебным дисциплинам, умение применять свои знания на практике.

Воспитательная: воспитывать внимание, аккуратность, расширять кругозор учеников.

Оборудование и материалы:

Компьютер, экран, проектор.
Проектная работа “Теорема Фалеса”.
Программа “Живая геометрия”.
Плакат с рисунками 1,2,3.

Задачи учителей:

Показать практическое применение теоретических знаний учащихся при решении задач по геометрии и информатике.

Выявить глубокие связи между математикой и информатикой.

Ход урока:

Урок начинает учитель математики. Приветствие и вступительное слово о целях урока.

Фронтальный опрос учащихся:

1. Какие отрезки называются равными?

2. Какие прямые называются параллельными? На рис. 1 покажите параллельные прямые.

3. Какие углы называются вертикальными, внутренними накрест лежащими? Покажите их на рис.2

4. Сформулируйте теорему о свойстве параллельных прямых, пересечённых третьей прямой.

5. Сформулируйте признаки равенства треугольников. По каким признакам равны треугольники на рис 3?

Объяснение нового материала

Учитель математики объясняет новую тему с помощью просмотра проектной работы “Теорема Фалеса”.

(Приложение 1)

Сегодня мы докажем теорему, носящую имя древнегреческого учёного Фалеса, который жил в 624-547г.г. до н.э.

• Великий учёный Фалес Милетский основал одну из прекраснейших наук — геометрию. Известно, что Фалес Милетский имел титул одного из семи мудрецов Греции, что он был поистине первым философом, первым математиком, астрономом и вообще первым по всем наукам в Греции. Короче: он был то же для Греции, что Ломоносов для России
.

Карьеру он начинал как купец и ещё в молодости попал в Египет. В Египте Фалес застрял на много лет, изучая науки в Фивах и Мемфисе. Считается, что геометрию и астрономию в Грецию привёз он.

Фалес — математик. Он измерил по тени высоту пирамиды; установил, что окружность диаметром делится пополам, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Ему же принадлежит теорема, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности- прямой.

Фалес доказал теорему: “Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне”.

При активном участии учащихся разбирается доказательство теоремы с последовательным показом на экране каждого этапа построения чертежа и доказательства теоремы.

Из условия теоремы Фалеса делается вывод, что вместо сторон угла можно взять любые две прямые.

Затем ученики выполняют в тетрадях практическую задачу на деление отрезка длиной в 7см. на 6 равных частей.

Греческие ученые открыли множество геометрических свойств и создали стройную систему геометрических знаний. В ее основу они положили простейшие геометрические свойства, подсказанные опытом. Остальные свойства выводились из простейших с помощью рассуждений.

Все этапы решения задачи учащиеся видят на экране. Это способствует зрительному запоминанию алгоритма решения данной задачи.

Показ проектной работы сопровождается музыкой- игрой на гитаре, что создаёт спокойную рабочую обстановку.

Вторую часть урока ведёт учитель информатики. С помощью программы “Живая геометрия” ученики вместе с учителем на компьютерах делят отрезок на три равные части.

Выполнение практического задания

Разделить данный отрезок на 3-равные части на компьютере с помощью программы “Живая геометрия”.

Используемые ИНСТРУМЕНТЫ “Живой геометрии”:

• стрелка;

• линейка (отрезок, луч).

Используемые КОМАНДЫ “Живой геометрии”:

• построения;

• правка;

Порядок работы:

1 . Построим данный отрезок АВ.

2.Проведем из т. А полупрямую а, не лежащую на прямой АВ.

3.Отложим на полупрямой а 3 равных отрезка.

Для этого используем команду ПОСТРОЕНИЯ— “окружность по центру и радиусу”; зададим произвольный радиус СО и построим на полупрямой а 3 окружности.

Они отсекают на полупрямой а равные отрезки АЕ=ЕР=РО.

4.Соединим точки В и О.

5. Проведем через точки Е и Р прямые, параллельные прямой ВО.

6. Они пересекают отрезок АВ в точках Н и I , которые делят отрезок АВ на 3 равные части; т.к. по теореме Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Домашнее задание.

Задача: Разделить отрезок длиной 5 см. на 7 равных частей. Выучить теорему Фалеса.

Подведение итогов урока.

Приложение

Математика. Основы геометрии: Обобщенная теоремы Фалеса. Пропорции. Масштаб

<< Назад  |   Оглавление  |   Далее >>

Пропорции

Равенство вида

называется пропорцией. При этом говорят, что:

x₁ относится к x₂ как y₁ относится к y₂,

или

отношение чисел x₁ и x₂ равно отношению чисел y₁ и y₂,

или же

числа x₁ и x₂ соотносятся так же, как числа y₁ и y₂,

или, наконец,

числа x₁ и y₁ (!) пропорциональны числам x₂ и y₂ (то есть числители пропорциональны знаменателям).

Входящие сюда числа x₁, x₂, y₁ и y₂ называются членами пропорции. Обычно все они положительны, но это необязательно. Предполагается, однако, что ни одно из них не равно нулю. Особого названия это равенство удостоилось по той причине, что оно часто встречается при решении разных математических задач.

Пропорции можно преобразовывать, перенося члены «с верху» одной части равенства «в низ» другой части равенства и наоборот. Эту процедуру легко обосновать следующим образом. Допустим мы хотим перенести x₁ из левой части в правую. Для этого умножим обе части пропорции на 1/x₁:

В результате получаем

то есть переменная x₁ у нас переместилась «по диагонали сверху вниз». Перенесем теперь «влево наверх» переменную y₂. Это достигается умножением на нее обеих частей данного равенства. В результате имеем

Мы получили новую пропорцию, которая отличается от исходной перестановкой членов, расположенных «по диагонали». Таким образом, в первоначальном равенстве

числители x₁ и y₁ соотносятся между собой точно так же, как и соответствующие им знаменатели x₂ и y₂.

Обобщенная теорема Фалеса

Теорема Фалеса, рассмотренная в прошлый раз, допускает следующее обобщение.

Пусть две произвольные прямые x и y пересекаются тремя параллельными прямыми n₁, n₂ и n₃ в точках X₁, X₂, X₃ и Y₁, Y₂, Y₃, как показано на рисунке:

Тогда длины отсекаемых отрезков образуют следующую пропорцию

Докажем эту теорему в случае, когда отношение длин

представляет собой рациональное число, то есть может быть выражено в виде несократимой дроби

где a и b — некоторые натуральные числа, a < b. Разобьем отрезок X₁X₃ на b одинаковых частей. (При этом точка X₂ окажется одной из точек деления.) Проведем через каждую точку деления прямые, параллельные n₁, n₂ и n₃. (Одна из этих прямых совпадет с прямой n₂.)

По теореме Фалеса (в ее первоначальном варианте), отрезок Y₁Y₃ также делится этими прямыми на b равных частей, из которых a частей составляют отрезок Y₁Y₂. Следовательно,

что и требовалось доказать. Из нашего построения следует также, что

и

Пользуясь свойствами пропорций, эти равенства можно переписать в виде одной цепочки:

Таким образом, отрезки отсекаемые на прямой y пропорциональны соответствующим отрезкам на прямой x.

Теоретически возможна также ситуация, когда отношение длин

не является рациональным числом, поскольку длины отрезков |X₁X₂| и |X₁X₃| могут, в принципе, выражаться иррациональными числами. Однако на практике такой случай никогда не встречается. Для определения длин отрезков мы всегда пользуемся каким-либо измерительным прибором (например, школьной линейкой), который выдает лишь округленные результаты в виде конечной десятичной дроби.

Важное следствие

Пусть даны несовпадающие прямые x и y, которые пересекаются в точке O, и еще — две параллельные прямые n₁ и n₂, которые пересекают прямую x в точках X₁ и X₂ и прямую y в точках Y₁ и Y₂, как показано на рисунке.

Введем обозначения:

x₁ = |OX₁|, x₂ = |OX₂|;

y₁ = |OY₁|, y₂ = |OY₂|;

z₁ = |X₁Y₁|, z₂ = |X₂Y₂|.

Тогда

Действительно, оба равенства в этой цепочке непосредственно следует из обобщенной теоремы Фалеса. Для первого равенства это ясно сразу, а для второго это становится очевидным после того, как мы через точку Y₁ проведем прямую m, параллельную прямой x.

Верно и обратное утверждение. Пусть дана та же геометрическая конструкция и известно, что

Тогда прямые n₁ и n₂ параллельны. В самом деле, проведем через точку X₁ вспомогательную прямую, параллельную прямой n₂. По обобщенной теореме Фалеса, эта вспомогательная прямая проходит через точку Y₁. Следовательно, она совпадает с прямой n₁. Таким образом, прямая n₁ параллельна прямой n₂.

Масштаб

Выйдем на улицу, прихватив с собой лист бумаги и карандаш. Расположим наш лист горизонтально и поставим на нем приблизительно посередине точку O. Из этой точки проведем мысленно лучи в направлении различных примечательных точек на местности, расположенных в радиусе примерно ста метров, — деревьев, столбов, углов зданий и того подобного.

Допустим, у нас есть возможность измерить расстояния до этих примечательных точек. Пусть, например, расстояние до ближайшего дерева равно 10 м. Мысленно отложим от точки O в направлении этого дерева отрезок, длина которого в 1000 раз меньше данного расстояния, и отметим карандашом на бумаге положение второго его конца. Нетрудно рассчитать, что расстояние от точки O до отметки составит 10 м/1000 = 1 см.

Подобным же образом, пусть расстояние до какого-то другого примечательного объекта равно x₁. Умножим это расстояние на число k, равное 1/1000. Мысленно отложим от точки O отрезок длиной x₂ = kx₁ вдоль луча, направленного на данный объект. В том месте на бумаге, где находится второй конец отрезка, сделаем отметку карандашом. Проделаем такую процедуру со всеми примечательными точками на местности, используя всё время одно и то же значение параметра k. Если какие-либо из этих точек соединены между собой забором или стеной или же чем-то подобным, то между соответствующими метками на бумаге также проведем линии.

В результате на нашем листе бумаги получится карта местности. В силу теоремы Фалеса и свойств пропорций, все соотношения между расстояниями на бумаге будут в точности такими же, как и в действительности. Более того, все линии на бумаге окажутся параллельны соответствующим линиям на местности. Эта параллельность, конечно, нарушится, когда мы унесем наш лист куда-нибудь в другое место, однако углы между линиями сохранятся.

Параметр k, который мы использовали в нашем построении, называется масштабным коэффициентом или просто масштабом. Разумеется, он необязательно должен быть равен 1/1000. Он может, в принципе, принимать любое значение, важно лишь, чтобы это значение оставалось всё время неизменным в процессе построения карты.

На настоящих географических картах масштаб обязательно указывается в легенде, при этом вместо дробной черты обычно используется двоеточие. Например, масштаб 1:100 000 означает, что один сантиметр на карте соответствует 100000 сантиметрам (то есть одному километру) на местности.

Технические чертежи также всегда выполняются, как говорят,  в определенном масштабе. Масштаб 1:1 означает, что деталь начерчена в натуральную величину. А масштаб 10:1 говорит о том, что чертеж выполнен с десятикратным увеличением.

Замечание о параллельных прямых

Мы назвали параллельными такие несовпадающие прямые, угол между которыми равен нулю. Мы отметили, что такие прямые нигде не пересекаются. Докажем теперь, что если прямые лежат в одной плоскости и не параллельны (то есть угол между ними отличен от нуля), то тогда они обязательно где-нибудь пересекутся.

Пусть на плоскости даны две прямые — x и n. Отметим на них произвольные точки — O и Y — и проведем через эти точки третью прямую — y. Если исходить из того, что угол между прямыми x и n не равен нулю, то смежные углы должны оказаться не равны друг другу. Пусть для определенности α₁ > α₂, как показано на рисунке.

Проведем через точку O прямую n₁, параллельную прямой n. Отметим на ней со стороны угла α₁ произвольную точку N₁ и проведем через эту точку прямую y₁, параллельную прямой y. При этом образуется параллелограмм, обозначенный на рисунке серым фоном.

Это значит, что прямая y₁ пересекает прямую n в некоторой точке, которую мы обозначим через N. Прямая x, заходя на «территорию» параллелограмма в точке O, обязательно должна где-то оттуда выйти. Она может это сделать либо через отрезок YN, либо через отрезок N₁N. В первом случае сразу становится очевидно, что прямая x пересекает прямую n. Рассмотрим второй случай. Обозначим точку пересечения прямой x и отрезка N₁N через X₁. Проведем через нее прямую n₂, параллельную прямой n. Эта прямая разбивает параллелограмм ON₁NY на два новых параллелограмма и пересекает прямую y в некоторой точке Y₁. Отметим на прямой x такую точку X, для которой выполняется соотношение

Проведем через точки X и Y прямую. Согласно рассмотренному выше следствию из теоремы Фалеса, эта прямая параллельна прямой n₂, а значит, образует нулевой угол с прямой n. Следовательно, новая прямая совпадает с прямой n, которая, таким образом, пересекает прямую x в точке X.

Мы теперь можем утверждать, что следующие три утверждения о несовпадающих прямых a и b, лежащих в одной плоскости, означают в точности одно и то же:

(1) Угол между прямыми a и b равен нулю.

(2) Прямые a и b нигде не пересекаются.

(3) Прямые a и b параллельны.

В традиционных курсах геометрии определением параллельности прямых служит утверждение 2. Мы выбрали для этих целей утверждение 1. Ведь гораздо проще определить угол между двумя прямыми, чем удостовериться, что они нигде не пересекаются на всём своем бесконечном протяжении.

Конспект

1. Равенство вида x₁/x₂ = y₁/y₂ называется пропорцией. Числители пропорциональны знаменателям. Числитель и знаменатель одной дроби соотносятся так же, как числитель и знаменатель другой дроби. Эквивалентное равенство: x₁/y₁ = x₂/y₂.

2. Обобщенная теорема Фалеса. Пусть две произвольные прямые a и b пересекаются тремя параллельными прямыми. Тогда отрезки, отсекаемые на прямой a, пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на прямой b.

3. Следствие 1. Пусть стороны угла с вершиной в точке O пересекаются двумя параллельными прямыми n₁ и n₂. Тогда отрезки, отсекаемые на прямых n₁ и n₂, соотносятся так же, как отрезки, отложенные на любой из сторон угла от точки O до соответствующих точек пересечения с прямыми n₁ и n₂.

4. Следствие 2. Пусть на сторонах угла отложены от вершины отрезки таким образом, что отрезки на одной стороне пропорциональны отрезкам на другой. Тогда прямые, проходящие через соответствующие концы этих отрезков, параллельны друг другу.

5. На карте сохраняются все соотношения между расстояниями и все углы. Отношение расстояния между некоторыми двумя точками на карте к расстоянию между соответствующими точками на местности не зависит от выбора точек и называется масштабом.

6. Если угол между двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, не равен нулю, то такие прямые обязательно пересекаются.

таил | Жизнь | Философия

Содержание

1.	Введение
2.	Личная жизнь Фалеса
3.	Какой вклад Фалес внес в философию?
4.	Геометрия
5.	Резюме
6.	Часто задаваемые вопросы о Фалесе Милетском
7.	Внешние ссылки

16 декабря 2020                

Время чтения: 3 минуты

Чем знаменит Фалес Милетский?

Фалес Милетский был греческим математиком, астрономом и досократическим философом. Он жил в 6-м и 5-м веках до нашей эры в Милете, который находится на территории современной Турции.

Он известен как один из легендарных Семи Волхвов. Известно, что он ввел идею научной философии.

Мало что известно о Фалесе, если не считать того, что говорили о нем другие философы, но он по-прежнему является важной фигурой как первый досократический философ.

Он также известен своим вкладом в математику. Он использовал геометрию для расчета высоты пирамид и расстояния между кораблем и берегом.

Его самое известное утверждение заключалось в том, что все в своей основе состоит из воды. Он считал, что Земля представляет собой плоскую массу, плавающую в огромном море.

Фалес проложил путь эпохе Сократа и классическим философам к установлению центральных тем западной философии.

Многие из его теорий и убеждений покажутся нам странными, но в то время они считались новаторскими.

Если вы когда-нибудь захотите прочитать ее столько раз, сколько захотите, вот загружаемый PDF-файл, чтобы узнать больше.

Читайте также:

• Гипатия Александрийская

Даты жизни Фалеса неизвестны, но приблизительно оценены. Фалес, вероятно, родился около 625 г. до н.э. в Милете в Ионии, Малая Азия. (современная Турция)

Считается, что он никогда не был женат и не женился, потому что ему не нравилась мысль о детях. Хотя в более поздние годы, беспокоясь о семье, он усыновил своего племянника.

Говорят, что в какой-то момент своей жизни он посетил Египет, где узнал о геометрии. Его часто называют первым греческим математиком.

Он хотел оторваться от мифологии и объяснить мир естественными, практическими теориями и гипотезами.

Фалес также был наблюдательным ученым. Ему удалось успешно предсказать солнечное затмение 28 мая 585 г. до н.э., и по сей день мы не знаем, как он это сделал.

Фалес умер в возрасте 78 лет во время 58-й Олимпиады, где он перенес тепловой удар во время просмотра игр.

Фалеса считали уникальным за то, что он отверг греческий пантеон богов и искал предсказуемые законы в природе, подобно современным ученым.

Другими словами, Фалес считал мир рациональным, упорядоченным и постижимым посредством исследования.

По его словам, под всем должно быть что-то объединяющее. Этим Фалес хотел объяснить жизнь.

Из всех элементов Фалес определил воду как объединяющую силу. Но почему вода? Мы подумаем.

В древние времена законы физики плохо понимались. Реки текут в моря, волны разбиваются, приливы и отливы приходят и отливают, а так как они не знали гравитации, вода, казалось, двигалась самостоятельно.

Кроме того, каждому живому существу нужна вода. Мы можем прожить месяцы без еды, но только три дня без воды.

Если все живое нуждается в воде, вода должна быть важным компонентом жизни. Таким образом, вода может объяснить движение, энергию, происхождение земли и способность веществ трансформироваться.

Большинство досократических философов, пришедших после него, последовали за ним в объяснении природы как проистекающей из единства всего, вместо того чтобы прибегать к мифологическим и сверхъестественным объяснениям.

Конечно, теперь мы знаем, что Фалес сильно ошибался. Тем не менее, он начал мыслить научно и рационально еще в те времена, когда люди считали, что за все несут ответственность боги.

Фалес также был известен своими нововведениями в области геометрии. У него были как теоретические, так и практические знания и понимание геометрии.

Фалес изучал и понимал прямоугольные треугольники и подобные им треугольники. Он также использовал свои знания на практике.

Фалес измерял высоту пирамид по их теням в тот момент, когда его собственная тень равнялась его высоте. Он также измерял расстояния кораблей в море с помощью геометрии.

Фалесу Милетскому приписывают открытие 5 геометрических теорем:

• Диаметр окружности делится пополам
• Углы, противолежащие двум равным сторонам треугольника, равны
• Противолежащие углы двух пересекающихся углов равны
• Угол, вписанный в полуокружность, является прямоугольным треугольником
• Мы можем определить треугольник, если у нас есть длина его основания и два угла при основании даны

Фалес очень хорошо известен своей теоремой Фалеса, которую до сих пор преподают в школах.

Теорема Фалеса утверждает, что если A, B и C являются различными точками на окружности, где прямая AC является диаметром, то угол \(∠ABC\) является прямым.

Один интересный факт заключается в том, что Фалес, как говорят, принес быка в жертву греческому богу в знак благодарности за открытие этой теоремы.

Фалес также ввел основную теорему о пропорциональности, которая является одним из широко используемых понятий в геометрии.

Он гласит, что если провести прямую, параллельную одной стороне треугольника, пересекающую две другие стороны в разных точках, то две другие стороны делятся в том же отношении.

На приведенном выше рисунке PQ проведен параллельно стороне YZ треугольника XYZ. Таким образом, согласно теореме, отношение XP и PY будет равно отношению XQ и QZ.

Фалес считается заслуживающим доверия и вдумчивым человеком, несмотря на то, что он ошибался во многих вещах.

Фалес использовал свои небольшие знания, чтобы выдвинуть хорошие теории. Благодаря ему более поздние досократики сформировали новые представления о мире, что в конечном итоге привело к Сократу, человеку, навсегда изменившему западный мир. Изучение математики и ее истории — очень обогащающее путешествие. Присоединяйтесь к нам в обогащающем путешествии, подпишитесь на бесплатную пробную версию.

Cuemath, удобная для учащихся платформа математики и кодирования, проводит регулярные онлайн-занятия для ученых и развития навыков, а их приложение Mental Math для iOS и Android представляет собой универсальное решение для дети для развития нескольких навыков. Ознакомьтесь со структурой оплаты Cuemath и подпишитесь на бесплатную пробную версию.

Почему Фалес известен?

Фалес известен как один из семи мудрецов. Он известен главным образом своей космологией воды как сущности всей материи и тем, что Земля представляет собой плоский диск, плавающий в море.

Где учился Фалес?

Говорят, что в какой-то момент своей жизни Фалес посетил Египет, где узнал о геометрии. Его также часто называют первым греческим математиком и первым в мире философом.

Является ли Фалес первым философом?

Да, Фалес считается первым философом.

Что открыл Фалес?

Фалесу Милетскому приписывают открытие 5 геометрических теорем:

• Круг делится пополам своим диаметром
• Углы, противолежащие двум равным сторонам треугольника, равны
• Противолежащие углы двух пересекающихся углов равны
• Угол, вписанный в полуокружность, является прямоугольным треугольником
• Мы можем определить треугольник, если у нас есть длина его основания и два угла при основании даны

Талес | Природа математики

Фалес Милетский (624 – 546 до н.э.)

Фалес Милетский был одним из семи греческих мудрецов и считался Аристотелем первым философом греческой традиции. Философ ХХ века Бертран Рассел идет дальше и говорит, что западная философия начинается с Фалеса. Насколько нам известно, Фалес был первым математиком, увидевшим необходимость дедуктивных рассуждений. Другие жители древнего мира, например, вавилоняне и египтяне, определенно знали некоторые жемчужины геометрии и успешно использовали их в технике и промышленности. Однако именно Фалес хотел доказать эти факты с помощью дедуктивных рассуждений, начиная с набора аксиом и делая выводы посредством дедукции. Фалес тоже хотел понять мир не через мифологию, а через человеческий разум. Он часто ассоциируется с фразой «Все есть вода». Для современного уха это звучит нелепо и слишком упрощенно. Однако мы также можем рассматривать это выражение как означающее, что мир может быть понят людьми через несколько основных принципов. Это был огромный отход от мышления древнего мира. К сожалению, мы не можем прочитать ни одного из оригинальных сочинений Фалеса, так как они утеряны во времени. То, что мы знаем о нем и его работах, мы получили от других греческих философов. Узнайте больше о Фалесе.

Ниже приведены четыре элементарных факта, которые мы все изучаем в старшей школе и которые приписываются Фалесу, хотя есть некоторые споры о том, какие из этих фактов Фалес фактически доказал в деталях (см. книгу Хита, A History of Greek Mathematics, Vol I ). который является частью назначенного чтения). Эти факты были известны другим гораздо раньше, но Фалес видел необходимость поставить эти факты на прочную основу, т. е. доказать их!

• Круг делится любым диаметром на две равные части.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны .

• При пересечении двух прямых противоположные углы равны.

• Два треугольника равны, если у них одна сторона и два угла равны.

Следующая теорема о подобных треугольниках, которую вы изучаете в средней школе, также приписывается Фалесу.

Теорема : Рассмотрим следующий треугольник ABC вместе с отрезком DE, параллельным BC. Тогда |AB|/|AD| = |AC|/|AE|.

Доказательство: Ссылка. Я привожу доказательство ниже.

Нарисуйте отрезок от B до E и еще один от C до E. Затем нарисуйте отрезок от E до F, перпендикулярный AB, и еще один отрезок от D до G, перпендикулярный AC. См. рисунок ниже.

Площадь(ADE) = 1/2 |AD| |ЭФ| = 1/2 |AE| |ДГ| (база умножается на высоту)

Площадь (BDE) = 1/2 |BD| |ЭФ|

Площадь (CDE) = 1/2 |CE| ГД|

Таким образом, площадь(ADE)/площадь(BDE) = |AD|/|BD| (1)

и площадь(ADE)/площадь(CDE) = |AE|/|CE| (2)

Также обратите внимание, что

Площадь(BDE) = Площадь(CDE) (3)

, поскольку эти два треугольника имеют одно и то же основание DE и, поскольку DE || до н.э. они имеют одинаковую высоту.

Комбинируя уравнения (1), (2), (3), мы видим, что

|AD|/|BD| = |AE|/|CE|

Выполняя обратные обе части, мы получаем

|BD|/|AD| = |CE|/|AE|

и так, прибавляя по 1 к обеим сторонам получаем

|BD|/|AD| + |AD/|AD| = |CE|/|AE| + |АЕ|/|АЕ|

, что означает, что

(|BD| + |AD|)/|AD| = (|CE| + |AE|)/|AE|

Но это означает, что

|AB|/|AD| = |AC|/|AE|

КЭД.

Вот еще одна жемчужина Фалеса.

Теорема : Если AC — диаметр окружности, а B — любая другая точка окружности (кроме A и C), то угол ABC — прямой угол.

Доказательство : Рассмотрим следующий рисунок:

Так как OB = OC (поскольку все они являются радиусами одной окружности), то треугольник OBC является равнобедренным треугольником и, таким образом, согласно одному из Фалесов ранее В результате углы OBC и OCB равны. Поскольку OB = OA, то, опять же по предыдущей теореме Фалеса, углы OAB и ABO равны. Поскольку сумма углов треугольника, в частности треугольника ABC, должна составлять 180 градусов, должно быть так, что a + (a + b) + b = 180. Это означает, что 2 a + 2 b = 180. или, что то же самое, a + b = 90. Это показывает, что угол при вершине B равен 90 градусов. КЭД .

Конечно, в доказательстве этой теоремы отсутствует доказательство того факта, что (внутренние) углы любого треугольника составляют в сумме 180 градусов (или, на языке Фалеса, «сумма двух прямых углов»). Вот доказательство этого драгоценного камня: обозначьте углы вашего треугольника A, B, C и нарисуйте параллельные линии L и M на изображении ниже

Теперь используйте некоторые основные факты об углах (заполните детали), и вы можете см., что A + B + C образует угол 180 градусов на приведенном выше рисунке.

Следует также отметить, что существует обратная теорема Фалеса.

Обратное к теореме Фалеса : Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру описанной окружности.

Доказательство . Возьмите прямоугольный треугольник и переверните его по диагонали, чтобы получился параллелограмм. Обратите внимание, что две диагонали будут пересекаться пополам. Точка пересечения этих двух диагоналей будет центром описанной окружности, очевидно, с гипотенузой в качестве диагонали. КЭД .

Вот хорошее следствие этой теоремы, которое говорит нам, как построить касательную к окружности, используя только линейку и циркуль. Мы поговорим об этом подробнее в разделе, посвященном делению угла пополам и трисечению угла позже или . Прямо сейчас просто вспомните, как разделить угол пополам с помощью линейки и циркуля. Возможно, вам придется просмотреть свои школьные заметки.

Следствие : Имея окружность C и точку P вне окружности, можно построить, используя только линейку и циркуль, касательную к этой окружности, которая проходит через P.

Proo f:

Проведите линию из центра O окружности C в точку P. Теперь с помощью линейки и циркуля проведите середину M линии OP. Теперь нарисуйте окружность с центром в точке M. Таким образом, окружность пересечет исходную окружность C в некоторой точке T. По теореме Фалеса (которую мы только что сделали) треугольник OTP имеет прямой угол в точке T. Согласно определению касательной, это говорит что линия PT касается нашей исходной окружности C. QED .

Мы закончим наш визит к Фалесу приписываемым ему прекрасным приложением, которое находит расстояние от положения на суше до корабля в море. Предположим, что мы находимся на суше в точке А, а корабль выходит в море в точке В.

Как найти расстояние от А до В. Вот остроумный способ сделать это.

– Выберите точку D (на берегу) так, чтобы AD была перпендикулярна AB. Базовая линейка и циркуль говорят, что мы можем это сделать.

– Выберите точку E (снова на берегу) так, чтобы ED был перпендикулярен AB. Опять же, базовая линейка и циркуль говорят, что мы можем это сделать.

–Найти середину M AD. Опять линейка и циркуль.

–Прямая, проходящая через M и B, пройдет через некоторую точку P на прямой ED.

–Рассмотрите треугольники PDM и MBA. Эти треугольники имеют прямые углы при D и A. Согласно Фалесу, эти треугольники имеют равные углы при вершине M. Поскольку M является серединой DA, мы имеем DM = MA. Таким образом, опять же по Фалесу, эти два треугольника конгруэнтны.

– Таким образом, расстояние от A до B (которое мы хотим вычислить) равно расстоянию от P до D (которое мы можем измерить).

Решение обратной задачи аналитической геометрии. Теория R-функций / Хабр

Навеяно недавним постом о построении различных картинок с помощью кривой Гильберта. Будет немного теории и немного картинок.

Немного теории

Компьютерный век породил теорию R-функций — функций с «логическим зарядом», возникшую на стыке дискретного и непрерывного анализов, использующую аппарат булевой алгебры, который органически присущ и ЭВМ. На основе теории R-функций была решена обратная задача аналитической геометрии, появилась возможность строить в виде элементарной функции уравнение границы сложного объекта, и притом такое уравнение, которое обладало бы необходимыми дифференциальными свойствами. В. Л. Рвачев с помощью конструктивного аппарата теории R-функций разработал единый подход к проблеме построения координатных последовательностей для основных вариационных и проекционных методов. К настоящему времени метод R-функций был применен для решения большого числа задач электродинамики, механики деформируемого твердого тела, теории пластин и оболочек, гидродинамики и магнитной гидродинамики, теплофизики и др.

Определение R-функций и основные системы R-функций

Обозначим .

Если назвать булевым знаком величины , то можно дать такое определение R-функций: функция называется R-функцией, если булевый знак этой функции равен булевой функции булевых знаков аргументов . Любую булеву функцию можно представить через (в конъюнктивной и дизъюнктивной нормальных формах). Этот факт означает, что система является полной системой булевых функций (то есть множество H-реализуемых функций (M(Н)) есть множество всех булевых функций).
Рассмотрим функции:

Функции первой колонки — это R-функции. Любую непрерывную функцию любого числа аргументов можно отнести к одной из этих колонок. Какой признак отделяет R-функции от не R-функций, представленных во второй колонке?
Человек, не имеющий предварительного знакомства с R-функциями, вряд ли сможет отгадать «тайну R-функций». Между тем, этот признак очень прост: R-функции обладают тем свойством, что задание знаков аргументов однозначно определяет знак R-функции. И в этом их гениальность. Для это свойство очевидно. Для того, чтобы доказать его справедливость для , рассмотрим прямоугольный треугольник со сторонами . Если , то модули можно не писать, и тогда сумма катетов больше гипотенузы: . Если имеют разные знаки, то есть разность катетов, и тогда . Если отрицательны, то тем более . Знаки такие же, как и у , а знак такой же, как у . Это очевидно. Таким образом, для этих функций можно составить таблицу знаков.

Если в этой таблице заменить «–» на «0», а «+» на «1», то получим таблицы трех булевых функций. Например, функции соответствует конъюнкция , функции соответствует булева функция .

Наиболее распространенной и исторически первой является такая система R-функций:

Собственно пример

Пусть даны простые (опорные )области
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
— вертикальная полоса между прямыми ,
— горизонтальная полоса между прямыми ,
а сложный чертеж определяется логической формулой:
Нетрудно заметить, что этот чертеж является крестообразной областью, изображенной на рисунке, при условии, что .
В результате получаем:

Немного картинок

Аппарат R-функций позволят строить объекты показанные ниже, при этом мы всегда знаем точное (аналитическое) выражение для каждого геометрического объекта, и собственно можем не терять точность на приближенном описании геометрии объекта.

А вот и программка, которая умеет визуализировать и решать задачки с помощью R-функций

Источник: Рвачев В. Л. Теория R-функций и некоторые ее приложения

9 класс ГЕОМЕТРИЯ — К урокам математики

Карточки с правилами трансформации

Карты

Терм Что такое отражение линии?	Определение «переворачивает» каждую точку фигуры на одной линии A. K.A. Зеркальное отображение
Термин r-ось х	Определение (x,y) переходит в (x,-y)
Срок r-ось y	flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Определение (x,y) переходит в (-x,y)
Срок r y = x	Определение (x,y) переходит в (y,x)
gif»> Term Что делать, если выполняется отражение над линией, для которой не задано правило:	Определение Нанесите точку и нарисуйте линию, над которой вы размышляете, отсчитайте одну точку до линии и нарисуйте ее по другую сторону линии
Термин Линейная симметрия	flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Определение создает зеркальное отображение
Терм Типы симметрии линий	Определение (1) Горизонтальное, H (2) Вертикальная, V (3) Диагональная, D
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Терм Точечная симметрия	Определение Если вы можете поместить чертёжную кнопку в середину фигуры и перевернуть её на 180 градусов, и при переворачивании она останется такой же, значит, она имеет точечную симметрию
Срок	Определение Точка Отражение в начало координат Правило: (x,y) переходит в (-x,-y)
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Термин Чтобы найти геометрическую фигуру при повороте на градус, что вам нужно найти форму, что вы делаете?	Определение 360 разделить на угол поворота, который вы делаете
Срок Перевод	com/images/preview_card_back.gif»> Определение Слайды, движения
Срок T означает, что вы делаете перевод	Определение (x + первое число после «Т», y + второе число после «Т»)
com/images/preview_card_back.gif»> Термин Если даны точка и штрих, что вы делаете, чтобы найти правило перевода?	Определение Алгебра! Non-Prime x или y + переменная = Prime x или y
Срок Расширение	Определение Увеличение или уменьшение, изменение размера, обозначаемое как заглавная буква «D» со строчной буквой «k» рядом с ней (x,y) переходит в (x умножить на k, y умножить на k)
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Срок Преобразование	Определение Перевороты, скольжения и повороты Символ — заглавная буква «R» Всегда поворачивайте против часовой стрелки
Срок	Определение (x,y) переходит в (-y,x)
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Срок	Определение (x,y) переходит в (-x,-y)
Срок	Определение (x,y) переходит в (y,-x)
gif»> Срок	Определение (x,y) переходит в (x,y)
Терм Изометрия	Определение преобразование, сохраняющее расстояние между точками. Изображение и пре-образ совпадают
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Терм Преобразование подобия	Определение преобразование, которое создает изображение, похожее на прообраз, но не обязательно конгруэнтное
Терм Прямая изометрия	gif»> Определение Изометрия, сохраняющая ориентацию. Порядок точек по часовой стрелке на изображении и прообразе одинаков.
Срок Противоположная изометрия	Определение изометрия, которая не сохраняет ориентацию. порядок точек на изображении и прообразе по часовой стрелке обратный.
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Терм Изометрии	Определение Перемещение, вращение, отражение точки, отражение линии и отражение скольжения.
Термин прямые измерения	Определение перемещение, вращение и точечное отражение
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Термин противоположные формы	Определение линейное отражение и скользящее отражение
Срок расстояние	Определение перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения.
Терм параллелизм	Определение расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения.
Срок середина	flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Определение расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения
Термин угловая мера	Определение расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения
flashcardmachine.com/images/preview_card_back.gif»> Терм коллинеарность	Определение расширение, перемещение, вращение, отражение порта, отражение линии и отражение скольжения
Клемма ориентация	Определение расширение, перемещение, вращение и точечное отражение

CRAN — Пакетная геометрия

Создает библиотеку Qhull qhull.org> доступны в R так же, как в Octave и MATLAB. Кхулл вычисляет выпуклые оболочки, триангуляции Делоне, полупространство пересечения вокруг точки, диаграммы Вороного, дальний узел Триангуляции Делоне и диаграммы Вороного дальней точки. Это работает в 2D, 3D, 4D и более высоких измерениях. Он реализует Алгоритм Quickhull для вычисления выпуклой оболочки. Кхулл не поддерживать ограниченные триангуляции Делоне или создание сетки невыпуклые объекты, но пакет включает некоторые функции R которые позволяют это.

Версия:	0.4.6.1
Зависит от:	Р (≥ 3.0.0)
Импорт:	магия, Rcpp, lpSolve, linprog
Связь с:	Ркпп, РкппПрогресс
Предлагает:	правописание, testthat, rgl, R.matlab, интерп
Опубликовано:	04.07.2022
Автор:	Jean-Romain Roussel [cph, ctb] (написал функцию tsearch с QuadTrees), CB Barber [cph], Кай Хабель [cph, авт. ], Рауль Грасман [cph, авт.], Роберт Б. Грамейси [cph, авт.], Павел Можаровский [cph, авт.], Дэвид С. Стерратт [cph, авт, кре]
Сопровождающий:	Дэвид С. Стерратт
Отчеты об ошибках:	https://github.com/davidcsterratt/geometry/issues
Лицензия:	GPL (≥ 3)
URL-адрес:	https://davidcsterratt.github.io/geometry/
ПотребностиКомпиляция:	да
Язык:	en-GB
Материалы:	НОВОСТИ
CRAN чеки:	результаты геометрии

Документация:

Загрузки:

Источник пакета:

геометрия_0.4.6. Что такое треугольник в геометрии: Треугольник | это… Что такое Треугольник? alexxlab / 30.01.202315.12.2022 / Геометрии Понятие треугольника — Геометрия — Математика Математика->Треугольники->основные понятия, равенство треугольников-> Тестирование онлайн Основные понятия треугольника Понятие треугольника Если три точки, не лежащие на одной прямой, соединить отрезками, получим треугольник. Одну из сторон треугольника часто называют его основанием. Теорема. Сумма углов треугольника равна 1800 Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол; против равных сторон — равные углы, и обратно. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, а также больше разности двух других сторон. Продолжив одну из сторон треугольника, получим внешний угол. Угол АВD — внешний. Признаки равенства треугольников Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Теорема. Два треугольника равны, если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого. Теорема. Два треугольника равны, если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим углам другого. Теорема. Два треугольника равны, если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого. Медиана, биссектриса и высота треугольника Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой. Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника. Замечательные точки треугольника. 1) Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. 2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 3) Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. 4) Медианы треугольника пересекаются в одной точке. Равнобедренный треугольник Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Теорема. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Треугольник, все про треугольники Онлайн калькуляторы На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике. Справочник Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание! Заказать решение Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб! Определение треугольника В любом треугольнике три угла и три стороны. Против большего угла треугольника лежит большая сторона. Виды треугольников Треугольники бывают остроугольными (если все его углы острые), тупоугольными (если один из его углов тупой), прямоугольными (если один из его углов прямой). Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. равносторонним, если все три стороны равны, разносторонним, если все его стороны разные. Основные линии треугольника Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Биссектрисой угла треугольника называется луч, исходящий из вершины треугольника и делящий его пополам. Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение). Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и параллельный третьей стороне. В любой треугольник можно вписать окружность и около любого треугольника можно описать окружность. Два треугольника называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы. Признаки равенства треугольников I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (по стороне и прилежащим углам). Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Подробнее про признаки равенства треугольников читайте по ссылке. Признаки подобия треугольников Треугольники называются подобными, если их стороны пропорциональны. I признак. Если два угла одного треугольника раны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. II признак. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны. III признак. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Подробнее про признаки подобия треугольников читайте по ссылке. Теоремы треугольников Для любого треугольника справедливы следующие теоремы. Подробнее про теорему косинусов читайте по ссылке. Подробнее про теорему синусов читайте по ссылке. Примеры решения задач Понравился сайт? Расскажи друзьям! Геометрия: введение в треугольники Геометрия: введение в треугольники https://schooltutoring.com/help/wp-content/themes/movedo/images/empty/thumbnail.jpg 150 150 ШколаРепетиторская Академия ШколаРепетиторская Академия https://secure.gravatar.com/avatar/983a20e95a059722e4981790f518b20b?s=96&d=mm&r=g 28 сентября 2012 г. 2 декабря 2014 г. Треугольник — это замкнутая кривая, состоящая из трех отрезков. Отрезки, из которых образован треугольник, называются сторонами треугольника. Точки пересечения сторон треугольника называются вершинами треугольника. Углы, образованные при вершинах, называются углами треугольника. Итак, в треугольнике 3 стороны, 3 вершины и 3 угла. Здесь мы будем называть этот треугольник как ΔABC, где, Стороны: AB, BC, CA Vertices: A, B, C угло БЦА. Части треугольника: Существует некоторая терминология, связанная с треугольниками. Основание: Это нижняя сторона треугольника. Углы основания: Два угла, которые касаются основания. Вершина треугольника: Угол, противолежащий основанию Ноги: Две стороны, не являющиеся основаниями. Типы треугольников: Треугольники классифицируются по сторонам и углам. В зависимости от сторон треугольники классифицируются следующим образом. а)      Равносторонний треугольник: Треугольник, в котором все три стороны (углы) равны. б)      Равнобедренный треугольник: Треугольник, в котором любые две стороны (углы) равны. c)      Разносторонний треугольник: Треугольник, у которого нет двух равных сторон (углов). В зависимости от углов треугольники классифицируются следующим образом. a)      Остроугольный треугольник: Любой треугольник, в котором все углы меньше 90 0 . b)      Тупоугольный треугольник: Любой треугольник, один из углов которого больше 90 0 . c)      Прямоугольный треугольник: Треугольник, в котором один из углов равен 90 0 . Вам также нужна помощь в обучении? Взгляните на наши услуги репетиторства Study Skills. SchoolTutoring Academy — это ведущая компания, предоставляющая образовательные услуги для учащихся K-12 и колледжей. Мы предлагаем программы репетиторства для учащихся K-12, классов AP и колледжей. Чтобы узнать больше о том, как мы помогаем родителям и учащимся на острове Принца-Эдварда, посетите: Репетиторство на острове Принца-Эдварда. Треугольники | Математика ∞ Блог Треугольники — это двумерные фигуры, состоящие из трех сторон и трех углов. Хотя не все они одинаковы, все они должны иметь эти два элемента на месте, чтобы быть треугольником. Вы столкнетесь с несколькими различными типами, каждый из которых определяется своими сторонами и/или углами. Острый: В остроугольном треугольнике все три угла меньше 90 градусов. Тупоугольные: Тупоугольные треугольники имеют один угол больше 90 градусов. Право: В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусов. Равносторонний: Равносторонний треугольник имеет три равные стороны и три равных угла. Разносторонний: В разностороннем треугольнике у вас не будет равных сторон или углов. Равнобедренные: Равнобедренные треугольники имеют две равные стороны и два равных угла. В любом треугольнике, независимо от его типа, сумма всех трех углов составляет 180 градусов. Вы можете использовать этот факт, чтобы найти измерение недостающих углов. Например: В этом треугольнике один угол равен 85 градусам, а другой 65. Сумма трех углов должна равняться 180 градусам, поэтому: 85 + 65 + x = 180 150 + x = 180 150 – 150 + x = 180 – 150 X = 30 Геометрия также дает нам правила для нахождения площади треугольника. Ваша формула для нахождения площади — это ½ основания, умноженное на высоту, или ½ x b x h = A. Основание — это нижний край треугольника, а высота — это вертикальная линия, идущая от основания к противоположному углу в 90 градусов. Предположим, что основание (b) треугольника в этом примере равно 72, а высота (h) равна 50. Когда вы подставите эти числа в уравнение площади (A), оно будет выглядеть так: ½ x 72 x 50 = A Затем, если вы продолжите решать задачу, чтобы найти площадь, вы выполните следующие шаги: ½ x 3600 = A A = 3600 x 1/2 A = 1800 Помните, всегда сначала умножайте основание на высоту. Затем умножьте это число на ½. Вы также можете думать об этом как о делении b x h на два. Конгруэнтность Два треугольника считаются конгруэнтными, если их стороны и углы равны. Неважно, перевернуты ли они боком, вверх ногами или являются зеркальными отражениями друг друга: они все равно будут иметь одинаковые размеры. Пять теорем о конгруэнтных треугольниках были созданы на протяжении веков, и вы можете использовать их, чтобы выяснить, идентичны ли два треугольника, или нарисовать треугольник, конгруэнтный тому, который у вас уже есть на бумаге. Бок-бок-бок (SSS): Если все три стороны двух разных треугольников одинаковы, то и их углы будут одинаковыми, значит, они конгруэнтны. Side-Angle-Side (SAS): Если две стороны треугольника и угол, образованный при их пересечении, идентичны углам другого треугольника, то треугольники конгруэнтны. Угол-Сторона-Угол (ASA): Если два угла и сторона, соединяющая их, равны в двух отдельных треугольниках, они конгруэнтны. Угол-Угол-Сторона (AAS): Если два угла одного треугольника равны двум углам другого и одна сторона каждого из этих треугольников имеет одинаковую меру, вы можете поспорить, что они конгруэнтны. Катет гипотенузы (HL): Эта теорема применима только к прямоугольным треугольникам или треугольникам с одним углом 90 градусов. Когда гипотенуза, или самая длинная сторона, и другая сторона двух треугольников имеют одинаковую длину, треугольники конгруэнтны. Что такое смежный угол в геометрии определение: Свойства смежных углов — ответ на Uchi.ru alexxlab / 27.01.202304.01.2023 / Геометрии Смежные и вертикальные углы. Определения и свойства. Смежные и вертикальные углы.      Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня. Смежные углы.      Изобразим прямую , отметим на ней точку . Получили развёрнутый угол . Проведём произвольный луч  с началом в точке .              Луч  разделил развёрнутый угол  на два угла:  и . Эти два угла и являются смежными. Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми. На рисунке сверху  – общая сторона,  и  – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны). Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:   ТЕОРЕМА: Сумма смежных улов равна .                                 Дано:   и  – смежные                      Доказать:      Доказательство.      По определению смежных углов, луч  является общей стороной углов  и , значит, он проходит между сторонами угла . По аксиоме V (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается каким-нибудь лучом, проходящим между его сторонами) можем записать равенство:      Опять-таки, по определению смежных углов, лучи  и  – дополнительные, значит, образуют развёрнутый угол . А развёрнутый угол имеет градусную меру, равную . Значит,  ч.т.д. Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства. Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.       Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.     Следствие 3. Угол, смежный с острым углом, — тупой; угол, смежный с тупым углом, — острый.                     Вертикальные углы.        Проведём две прямые    и , пересекающиеся в точке . Среди всех получившихся углов обратим внимание на те углы, стороны которых являются дополнительными полупрямыми.         Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла. На рисунке луч  является дополнительным к лучу , а луч  – дополнительным к лучу . Значит,  и  – вертикальные. Аналогично,  и  – тоже вертикальные. Т.е., при пересечении двух прямых получается две пары вертикальных углов. Визуально вы, наверное, заметили, что вертикальные углы равны. А теперь мы это докажем.   ТЕОРЕМА: Вертикальные углы равны.                            Дано:   и  – вертикальные,                                        и  – вертикальные                   Доказать:    и      Доказательство. 1.  – развёрнутый, значит, . Луч  проходит между его сторонами, т.е. 2.  – развёрнутый, значит, . Луч  проходит между его сторонами, т.е. 3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2: Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части». Аналогично доказывается равенство углов . Предлагаю это доказательство провести самостоятельно. Теорема доказана.                               1. Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.                       2. На прямой  отмечена точка , из которой проведены два луча  и . Назовите пары смежных углов, которые вы видите на этом рисунке.   3. Угол  смежный с углом , равен . Найдите угол . 4. Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают?   5. Углы  и  – смежные. Угол  больше угла  в 4 раза. Найдите угол . 6. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, меньший угол равен . Найдите остальные углы. 7. Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить? 8. Нарисуйте луч . Нарисуйте ещё два луча так, чтобы вместе с данным они образовали смежные углы. 9. Найдите угол, смежный с углами: . 10. Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением? 11. Найдите смежные углы, если: а) один из них на  больше другого; б) их разность равна ; в) один в 5 раз меньше другого; г) они равны. 12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как: а) б) в) г) .   13. Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме ? 14. На рисунке . Найдите .             15. Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите больший их этих углов. 16. На рисунке . Найдите .             17. Углы  и  являются смежными. Угол  равен . Найдите угол . 18. Из четырёх углов, образованных при пересечении двух прямых, больший угол равен . Найдите остальные углы. 19. Три прямые пересекаются в точке . Найдите сумму углов 1, 2 и 3.             20. На рисунке . Найдите .         21. Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы.                       22. Углы  и  – смежные, при этом угол  меньше угла  на . Найдите угол . 23. Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают? 24. Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их. 25. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен . Чему равны остальные углы? 26. Докажите, что если один из четырёх углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, имеет величину , то величины трёх остальных углов также равны . 27. Сумма величин двух вертикальных углов равна . Найдите величину каждого из них. 28. Из двух смежных углов один больше другого на . Найдите меньший их этих углов. 29. На рисунке . Найдите .         30. Один из смежных углов равен . Чему равен второй угол? 31.  На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наименьший из них? 32. Нарисуйте два угла  и , имеющие общую сторону  и общую вершину  так, чтобы они были  а) смежными;  б) не смежными. 33. Найдите , если: а)  на  меньше, чем б)  в 3 раза меньше, чем в) величины углов  и  относятся, как   т.е. 34. Даны пары смежных углов: , причём, луч  – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру . 35. Даны углы  и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж. 36. Один из двух вертикальных углов равен . Найдите второй угол.   37. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них? 38. Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину  так, чтобы сторона  одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне  другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными;  б) не вертикальными. 39. Найдите , если: а)  на  меньше, чем б)  в 2 раза меньше в) величины углов  и  относятся как  т.е. 40. Даны две пары смежных углов: , причём, луч  – биссектриса , а луч  – биссектриса . Сделайте чертёж и найдите градусную меру . 41. Даны углы  и . Какой может быть величина угла ? 42. На рисунке изображены три прямые, проходящие через одну точку . Соотношения величин трёх из шести образовавшихся углов указаны на рисунке. Найдите их градусные меры. Чему равен наибольший из них? 43. Нарисуйте два угла  и , имеющие общую сторону  и общую вершину  так, чтобы они были: а) смежными;  б) не смежными. 44. Найдите , если: а)  на  меньше, чем б)  в 2 раза меньше в) величины углов  и  относятся как  т.е. 45. Даны две пары смежных углов: , причём, луч  – биссектриса . Известно, что . Сделайте чертёж и найдите градусную меру . 46. Даны углы  и . Какой может быть величина угла ? Сделайте чертёж. 47. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов  и . 29. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла. 30. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов  и . 31. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых относится к сумме трёх других как . Найдите эти четыре угла. 32. На рисунке показаны величины двух углов. Найдите величины углов  и . 33. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла. 34. Смежные углы относятся, как . Найдите эти углы. 35. Один из смежных углов больше другого на . Найдите эти углы. 36. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на  больше половины другого. 37. При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как . 38. Прямые  и  пересекаются в точке . Внутри угла  взята точка , а внутри угла  – точка . . а) Найдите углы  и . б) Являются ли углы  и  вертикальными? Ответ объясните. 39. Развёрнутый угол  делит плоскость на две полуплоскости. Точка  лежит в одной полуплоскости, а точка  – в другой; . а) Равны ли углы  и ? Ответ объясните. б) Являются ли углы  и  вертикальными? Ответ объясните. 40. Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если один из них равен . 41. Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если: а) один из них на  больше другого; б) один из них составляет половину другого; в) сумма величин двух из них равна . 42. Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на  меньше другого. Найдите эти углы. 43. Найдите углы, которые образуются при пересечении двух прямых, если сумма трёх углов равна . 44. Дан угол со сторонами  и . Проведите полупрямую , дополнительную к . Чему равен угол со сторонами  и ? Какими являются углы со сторонами  и ? 45. На рисунке изображены три прямые, пересекающиеся в точке . Найдите сумму углов .   46. На рисунке . Найдите углы . 47. Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы. 48. На плоскости расположены четыре прямые. Известны углы между некоторыми из них: . Найдите углы между остальными парами прямых. 49. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна . 50. Точка  лежит на биссектрисе угла , а точка  лежит внутри угла, смежного с углом . Найдите угол , если . 51. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как . 52. Точка  лежит на биссектрисе угла , а точка  лежит внутри угла, вертикального по отношению к углу . Найдите угол , если . 53. Сумма градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов. 54. Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов. 55. Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов. 56. Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов. 57. Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов. 58. Прямые  и  пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов  и  равна . Найдите градусную меру угла . 59. Прямые  и  пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов  и  равна . Найдите градусную меру угла . 60. Сумма градусных мер вертикальных углов равна . Найдите градусные меры каждого из этих углов. 61. Сумма градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов. 62. Разность градусных мер двух вертикальных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов. 63. Разность градусных мер двух смежных углов равна . Найдите градусную меру каждого из этих углов. 64. Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов. 65. Прямые  и  пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов  и  равна . Найдите градусную меру угла . 66. Прямые  и  пересекаются в точке . Сумма градусных мер углов  и  равна . Найдите градусную меру угла . 67. Один из смежных углов на  меньше другого. Найдите эти смежные углы. 68. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна . 69. Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы. 70. Найдите все неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна . 71.  С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла. 72. С помощью транспортира начертите угол, равный , и проведите биссектрису смежного с ним угла. 73. На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов. 74. Углы  и  – смежные. Угол  на  больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж. 75. Из точки  выходят четыре луча  и . Каждый из углов  и  является смежным с углом . Найдите угол , если угол  равен . Сделайте рисунок. 76. Углы  и  – смежные, луч  – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте рисунок. 77. На рисунке  и . Найдите угол 1. 78. Найдите угол, если сумма двух смежных с ним углов равна . 79. На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов. 80. Углы  и  – смежные. Угол  в 3 раза больше угла . Найдите угол . Сделайте чертёж. 81. Из точки  выходят четыре луча  и . Лучи  и  лежат на одной прямой, а углы  и  – смежные. Найдите угол , если угол  равен . Сделайте рисунок. 82. При пересечении прямых  и  образовались четыре угла. Углы  и  – вертикальные, луч  – биссектриса угла . Найдите угол , если . Сделайте чертёж. 83. На рисунке  и . Найдите угол 4. 84. Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы.             что это такое в геометрии, формула с формулировкой, как найти, чему равна сумма Содержание: Свойства и виды смежных углов в геометрии Как найти, чему равна сумма Примеры решения задач Содержание Свойства и виды смежных углов в геометрии Как найти, чему равна сумма Примеры решения задач Определение Смежные углы — это два угла, у которых есть общая вершина и одна сторона, а две другие стороны являются продолжением друг друга и лежат на одной прямой. \circ.\) Если две прямые пересекаются, то они образуют две пары смежных углов: \(\angle1\) и \(\angle2\), \(\angle3\) и \(\angle4\), а также \(\angle1\) и \(\angle3\), \( \angle2\) и \(\angle4\). При этом объединение пар, которые обозначены обозначениями 1 и 4, 2 и 3, представляют из себя вертикальные углы, а значит — они равны. Поэтому рассматривать можно только одну из пар смежных углов, другая окажется идентична по всем показателям. У смежных углов одинаковые синусы. Для косинусов и тангенсов тоже распространяется равенство, но их значения противоположны по знаку. Чтобы построить смежный угол уже заданному, требуется продлить одну из сторон существующего угла дальше вершины. Примечание В паре, если один угол тупой, то по правилу другой обязательно острый. Если один из углов является прямым, то второй тоже прямой. Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). \circ.\) Насколько полезной была для вас статья? У этой статьи пока нет оценок. Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter» Поиск по содержимому Что такое смежные углы? | Определение и примеры Смежные углы — важное понятие для понимания в математике. Они являются ключевым понятием в геометрии и обычно вводятся в математике 4-го класса. Несмотря на то, что дети изучают углы на математических курсах на протяжении всего обучения в школе, часто бывает трудно понять эту концепцию. Если вашему ребенку трудно понять не только углы, но и любые другие понятия в математике, вы можете подумать о курсах репетиторства. Чтобы помочь вам или вашему ребенку в вашем путешествии к пониманию углов, мы составили это небольшое руководство, которое проведет вас по ключевым понятиям, определениям и часто задаваемым вопросам, касающимся смежных углов. Нужна помощь с домашним заданием? Воспользуйтесь помощью наставника Смежные углы Определение Смежные углы — это два угла, которые имеют общую сторону и общую вершину (угловую точку), но никоим образом не перекрываются. Когда вы разбиваете фразу на смежные углы, становится легко визуализировать, что это такое; это два угла, которые находятся рядом друг с другом.   Как определить смежные углы? Способность идентифицировать общую сторону и общую вершину — самый простой способ идентифицировать смежный угол. Если два угла имеют одну сторону и оба исходят из одной точки угла (вершины), то они являются смежными углами. Важно помнить, что смежных угла должны иметь ОБЕ общую сторону и общую вершину . Следовательно, если вы видите два угла, которые выходят из одного угла, но есть другой угол посередине, это означает, что у них нет общих сторон. Это означает, что они не являются смежными углами, поскольку у них нет общих сторон и вершин. С практикой становится легче определять смежные углы, а примеры помогут вам понять, что вы ищете.   В чем разница между вертикальным и смежным углами? Определение разницы между соседними углами и вертикальными углами является важным навыком в геометрии. Лучший способ визуализировать разницу между этими двумя типами углов — представить две прямые линии, пересекающиеся друг с другом, образуя крест. При формировании креста образуются четыре угла. Мы знаем, как определить смежные углы, потому что они имеют общую сторону и общую вершину. Но как определить вертикальный угол? Определить вертикальный угол так же просто, как найти смежный угол. Подобно соседним углам, набор вертикальных углов будет иметь общую точку вершины. Однако им не обязательно иметь общую сторону. Когда думаешь о кресте, вертикальные углы — это углы, которые составляют против друг друга. Вот почему их иногда называют вертикально противоположными углами .   Какими свойствами обладают смежные углы? Чтобы еще больше помочь вам визуализировать, как выглядят смежные углы, вот краткий список их свойств: У них общая сторона Они имеют общую вершину Углы не перекрываются Хотя они имеют общую сторону в центре, другая сторона не является общей У них нет общей внутренней точки Они могут быть дополнительными или дополнительными   Примеры смежных углов?   Линейная пара Чтобы понять, как выглядит линейная пара, вы должны представить себе крест. При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Если вы посмотрите на картинку справа, то увидите, что есть четыре угла, обозначенных цифрами 1, 2, 3 и 4. На этом изображении линейные углы равны 1 и 3, 3 и 2, 2 и 4, 4 и 1. Вы можете трижды проверить, что два угла являются линейной парой, посмотрев, составляют ли они в сумме 180 градусов. Все линейные пары углов являются дополнительными, поэтому сумма всегда дает 180 градусов . Если углы смежные и в сумме дают 180 градусов, можно с уверенностью утверждать, что они представляют собой линейную пару смежных углов.   Вертикально противоположные углы Вертикально противоположные углы технически не являются соседними углами, но там, где вы найдете смежные углы, вы, вероятно, также найдете некоторые вертикально противоположные углы. Вертикальные углы уже были изучены, но для уточнения: вертикальные углы имеют одну и ту же вершину, но разные стороны. Если мы возьмем приведенную выше картинку, 3 и 4 и 1 и 2 считаются вертикально противоположными углами. Ключевое свойство вертикально противоположных углов состоит в том, что они измеряют точно так же, как . Например, если угол 1 равен 30 градусам, угол 2 также будет равен 30 градусам.   Часто задаваемые вопросы 1. Что такое смежные углы? Проще говоря, смежные углы — это углы, имеющие общую сторону и общую вершину (угловую точку).   2. Смежные углы равны 180? В некоторых случаях это ПРАВДА! Дополнительные смежные углы всегда дают в сумме 180. Это потому, что два угла расположены рядом друг с другом на прямой, а все углы на прямой в сумме дают 180. Однако, если соседние углы не являются линейными парами и другой угол находится в смеси, два соседних угла не дадут в сумме 180.   3. Могут ли вертикальные углы быть смежными? Поскольку вертикальные и смежные углы часто могут существовать вместе на небольшой площади, многие люди считают, что вертикальные углы также могут быть смежными углами. Это ЛОЖЬ. Вертикальные углы не имеют одной и той же стороны, то есть они не могут быть смежными.   4. Могут ли смежные углы быть линейными парами? ДА! Смежные углы могут быть линейными парами. Поскольку линейные пары имеют общую сторону и общую вершину, их можно считать смежными углами. Однако не все смежные углы являются линейными парами.   Это был краткий обзор смежных углов, чтобы помочь вам разобраться с этой неотъемлемой частью программы по геометрии. Тем не менее, вы всегда можете сделать больше, чтобы получить желаемую оценку.   Домашнее репетиторство   Нужна помощь с домашним заданием? Запросить частного репетитора Смежные углы — определение, свойства и примеры Смежные углы — это углы, которые имеют общую вершину и общую сторону, но не пересекаются. Напомним, что вершина — это точка, в которой встречаются два сегмента или две стороны угла, а стороны — это просто сегменты линии, содержащие угол. Типичным примером смежных углов являются внутренние углы многоугольника. Любая пара внутренних углов, имеющих одну общую сторону в многоугольнике, называется смежными внутренними углами. Здесь мы рассмотрим более подробное определение этих типов углов вместе с диаграммами, иллюстрирующими эти концепции. Также мы узнаем о наиболее важных свойствах смежных углов и рассмотрим несколько примеров. ГЕОМЕТРИЯ Актуально для … Изучение смежных углов на примерах. См. характеристики Содержание ГЕОМЕТРИЯ Актуально для … Изучение смежных углов на примерах. См. свойства Что такое смежные углы? Смежные углы — это углы, имеющие общую вершину и общую сторону. Точка, где встречаются две стороны и находится угол, называется вершиной. Смежные углы могут быть дополнительными или дополнительными, если эти углы имеют общую вершину и сторону. Рассмотрим следующие углы. Зеленый угол образован сегментами OA и OC и представлен как ∠AOC. Розовый угол образован сегментами OC и OB и представлен как ∠COB. Эта пара углов расположена близко друг к другу и считается смежной. Эти углы являются смежными, так как имеют общую вершину, вершину О. Кроме того, углы также имеют общую сторону, сторону ОС. Свойства смежных углов Ниже приведены некоторые важные свойства смежных углов: Смежные углы имеют общую вершину. Эти углы имеют общую сторону. Углы не перекрываются. Эти углы не имеют общей внутренней точки. Смежные углы могут быть комплементарными или дополняющими. Эти углы имеют необщую сторону с обеих сторон общей стороны. Смежные дополнительные углы Мы знаем, что смежные углы имеют общую вершину и одну сторону. Напомним, что если сумма двух углов равна 90°, то такие углы называются дополнительными. Следовательно, смежные дополнительные углы — это углы, которые имеют общую вершину и сторону и в сумме дают 90°. На следующей диаграмме показан пример смежных дополнительных углов. Смежные дополнительные углы Эти виды углов одновременно удовлетворяют условиям дополнительных углов и смежных углов. Формулы по геометрии площади всех фигур: Как найти площадь фигуры, формула alexxlab / 27.01.202302.12.2022 / Геометрии Все формулы по геометрии. Задача в3: площади фигур Больше половины всех задач В3 из вариантов ЕГЭ — это задачи, в которых надо посчитать площадь фигуры. Чтобы решить их, надо знать формулы по геометрии — такие, как площадь треугольника или площадь параллелограмма — а также простые приёмы, о которых мы расскажем. Для начала стоит выучить формулы площадей фигур. Мы специально собрали их в удобную таблицу. Распечатайте, выучите и применяйте! Конечно же, не все формулы по геометрии есть в нашей таблице. Например, для решения задачи С4 применяются и другие формулы площади треугольника. О них мы обязательно расскажем. А что делать, если надо найти не площадь трапеции или треугольника, а площадь какой-либо сложной фигуры? Есть универсальные способы! Покажем их на примерах из банка заданий ФИПИ. Как найти площадь нестандартной фигуры? Например, произвольного четырёхугольника? Простой приём — разобьём эту фигуру на такие, о которых мы всё знаем, и найдем её площадь — как сумму площадей этих фигур. Разделим этот четырёхугольник горизонтальной линией на два треугольника с общим основанием, равным 5. Высоты этих треугольников равны 2 и 3. Тогда площадь четырёхугольника равна сумме площадей двух треугольников: S = 5 + 7,5 = 12,5. Ответ: 12,5. В некоторых случаях площадь фигуры можно представить как разность каких-либо площадей. Не так-то просто посчитать, чему равны основание и высота в этом треугольнике! Зато мы можем сказать, что его площадь равна разности площадей квадрата со стороной 5 и трёх прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке? Получаем: S = 25 – 5 – 5 – 4,5 = 10,5. Ответ: 10,5. Иногда в задании В3 надо найти площадь не всей фигуры, а её части. Обычно речь здесь идет о площади сектора — части круга. Найдите площадь сектора круга радиуса 1, длина дуги которого равна 2. На этом рисунке мы видим часть круга. Площадь всего круга равна πR² = π, так как R=1. Остается узнать, какая часть круга изображена. Поскольку длина всей окружности равна 2πR = 2π (так как R=1), а длина дуги данного сектора равна 2, следовательно, длина дуги в π раз меньше, чем длина всей окружности. Угол, на который опирается эта дуга, также в π раз меньше, чем полный круг (то есть 360 градусов). Значит, и площадь сектора будет в π раз меньше, чем площадь всего круга. Ответ: 1. И ещё примерно половина прототипов задачи В3 — это простые задачи на тему «Координаты и векторы». Для их решения вспомните, что такое абсцисса точки (это ее координата по Х) и что такое ордината (координата по Y). Пригодятся также такие понятия, как координаты вектора и длина вектора (она находится по теореме Пифагора), синус и косинус угла, угловой коэффициент прямой, уравнение прямой, а также сумма, разность и скалярное произведение векторов, угол между векторами. Все прототипы задачи В3 можно найти на сайте mathege.ru. Геометрия на ЕГЭ по математике — одна из сложных тем для абитуриентов. Дело в том, что когда-то экзамен по геометрии в школе был обязательным, а сейчас — нет. В результате у большинства абитуриентов знания по геометрии близки к нулю. Геометрия на ЕГЭ — это четыре задачи в части и В (две по планиметрии и две по стереометрии), а также задача С2 и для многих недосягаемая С4. Как же научиться их решать? Начнем с планиметрии. Прежде всего, вам нужно выучить основные формулы геометрии. На нашем сайте вы найдете курс геометрии с нуля — основные определения, формулы и теоремы, а также разбор множества экзаменационных задач по геометрии из части В. Для решения задачи С4 нужна более серьезная подготовка. Первый этап — теория. Необходимый материал есть в учебнике по геометрии за 7-9 класс (автор — А. В. Погорелов или Л. С. Атанасян). Выпишите в тетрадь определения и формулировки теорем. Сделайте чертежи. Доказывать теоремы старайтесь самостоятельно. Программа по геометрии. 1. Треугольники. Элементы треугольника. Вершины и стороны. Высоты, медианы, биссектрисы (определения). 2. Построение треугольника: практические задания. а) Три стороны треугольника АВС равны 4, 6 и 8 сантиметров соответственно. Постройте треугольник АВС с помощью циркуля и линейки. б) В треугольнике АВС угол В равен 48 градусов, сторона АВ равна двум, ВС равна 9. Постройте треугольник АВС. в) В треугольнике АВС сторона ВС равна 5, угол В равен 26°, угол С равен 58°. Постройте треугольник АВС. 3. Три признака равенства треугольников. Неравенство треугольника. 4. Постройте с помощью циркуля и линейки: а) серединный перпендикуляр к отрезку; б) биссектрису угла. 5. Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Их определение и свойства. 6. Теорема о сумме углов треугольника. 7. Внешний угол треугольника. 8. Постройте в одном и том же треугольнике а) три высоты. Рассмотрите также случаи тупоугольного и прямоугольного треугольника. б) три биссектрисы. в) три медианы. 9. Равнобедренный треугольник. Определение и свойства. Высота в равнобедренном треугольнике. 10. Средняя линия треугольника и ее свойства. 11. Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора. 12. Определения синуса, косинуса и тангенса — для острого угла прямоугольного треугольника — для произвольного угла. 13. Четырехугольники. Сумма углов четырехугольника. 14. Параллелограмм. Определение и свойства. Площадь параллелограмма. 15. Виды параллелограммов и их свойства. (ромб, прямоугольник, квадрат). 16. Трапеция. Средняя линия трапеции. Площадь трапеции. 17. Подобные треугольники. Три признака подобия треугольников. 18. Площадь треугольника. Формулы    и  . 19. Теоремы синусов и косинусов. 20. Чему равно отношение площадей подобных фигур. 21. Свойство медианы (в каком отношении делятся медианы в точке пересечения?) 22. Свойство биссектрисы (в каком отношении биссектриса делит противоположную сторону?) 23. Окружность и круг. Длина окружности. Площадь круга. Длина дуги и площадь сектора. 24. Теорема о радиусе, проведенном в точку касания. 25. Центральный и вписанный углы. Связь между ними. 26. Теоремы о вписанных углах. 27. Теорема о пересекающихся хордах. 28. Теорема об отрезках длин касательных, проведенных из одной точки. 29. Теорема о секущей и касательной. 30. Дан треугольник АВС. Постройте а) окружность, вписанную в данный треугольник б) окружность, описанную вокруг данного треугольника. Где находятся центры этих окружностей? 31. Еще три формулы площади треугольника (через радиус вписанной окружности, через радиус описанной окружности и формула Герона). 32. Когда можно вписать окружность в четырехугольник? Когда — описать вокруг четырехугольника? (Программа по стереометрии будет размещена в ближайшее время.) Отдельно — тема «Векторы». Напомним, что на ЕГЭ по математике векторы встречаются в задаче В3. Они также пригодятся вам в решении задачи С2. Освоив теорию, можно приступать к решению сложных задач по геометрии, входящих в часть С ЕГЭ. Мы рекомендуем вам сборники: Р. К. Гордин «ЕГЭ 2012. Математика. Задача С4. Геометрия. Планиметрия» и А. Г. Корянов и А. А. Прокофьев «Пособие по решению заданий типа С4». Можно найти на сайте alexlarin.net. Разбирая и решая задания ЕГЭ по геометрии, вы заметите очень интересную вещь. Простые задачи из части В, разобранные на нашем сайте, часто оказываются базовыми схемами, на которых строятся сложные С4. Решая на ЕГЭ задачи С4 по геометрии, обращайте особое внимание на оформление. Помните совет, который дал абитуриентам автор бестселлера «Математика — абитуриенту» В. В. Ткачук. Вот он, этот ценнейший совет: «Подробность решения должна быть такова, чтобы его мог понять человек в 10 (десять) раз глупее вас Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии. Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90º. Другими словами, половина развернутого угла. Острый угол — меньший 90º. Тупой угол — больший 90º. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂 Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается С. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла А, обозначается а. Угол А обозначается соответствующей греческой буквой α. Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла. Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов. Катет а, лежащий напротив угла α, называется противолежащим (по отношению к углу α). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла α, называется прилежащим. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе: Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему: Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу: Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу): Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач. Давайте докажем некоторые из них. Сумма углов любого треугольника равна 180º. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90º. С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла β катет а будет прилежащим. Получаем, что cos β = sin A. Иными словами, cos (90º — А) = sin A. Возьмем теорему Пифагора: a2 + b2 = c2. Поделим обе части на cos2 A: Мы получили основное тригонометрическое тождество: Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos2 A, получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла α, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично, Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс? Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a2 + b2 = с2. Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны? С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника. Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные. Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0 до 90°. Обратите внимание на два красных прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют. Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ. 1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 0,1. Найдите cos B. Задача решается за четыре секунды. Поскольку А+В = 90°, sin A = cos B = 0,1. 2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 5, . Найдите AC. Имеем: Отсюда Найдем АС по теореме Пифагора. Задача решена. Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90°, 30° и 60° или с углами 90°, 45° и 45°. Основные соотношения для них запоминайте наизусть! Для треугольника с углами 90°, 30° и 60° катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Треугольник с углами 90°, 45° и 45° — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета. Научно-исследовательская работа «Вычисление площади фигур по формуле Пика» • Наука и образование ONLINE Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Научно-исследовательская работа «Вычисление площади фигур по формуле Пика» Автор: Кобелева Дарья Александровна Место работы/учебы (аффилиация): МБОУ СОШ №4, 6 класс Научный руководитель: Гусейнова Раият Аразовна Всегда было интересно, почему тетрадь по математике – именно в клеточку? Наверное, чтобы удобнее было записывать числа, а еще, чтобы легче было выполнять построения. Клетки на бумаге позволяют выполнять разные чертежи с помощью линейки. Но нужно помнить свойства геометрических фигур, ведь именно они позволяют использовать клетки в полной мере. Однажды на уроке математики учитель предложил найти нам площадь фигуры по клетчатой бумаге. Все сразу начали делить эту фигуру на составные, и это заняло у нас много времени. И тут я задалась вопросом, какие еще есть способы нахождения площадей фигур по клетчатой бумаге. В поисках рационального способа нахождения площади многоугольника по клетчатой бумаге в интернете, я наткнулась на формулу Пика. Мне сразу же стало интересно, как она работает. Актуальность работы заключается в том, что задачи по клетчатой бумаге рассматриваются в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ. Существуют разные способы выполнения таких заданий: способ сложения, способ вычитания и др. Формула Пика не изучается в школьной программе курса геометрии. Поэтому, считаю изучение этого материала полезным для применения его не только в дальнейшем учебном процессе, но и для решения нестандартных олимпиадных задач. Новизна работы заключается в применении формулы Пика в школьной программе. Гипотеза: вычисление площади фигуры по формуле Пика обеспечит правильное и быстрое решение задач по сравнению с вычислением площади фигур по формулам планиметрии. Объект исследования: формула Пика. Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге. Цель исследования: изучение формулы Пика и ее применение для вычисления площади многоугольников по клетчатой бумаге. Задачи: Изучить литературу по теме исследования. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию. Проанализировать и систематизировать полученную информацию. Провести эксперимент, направленный на выявление эффективного способа вычисления площадей фигур по клетчатой бумаге. Сделать выводы по результатам работы. Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры. Разработать рекомендации по использованию формулы Пика в школьной программе. Методы исследования: Моделирование. Анализ и классификация информации. Синтез. Сравнение, обобщение. Исследовательский проект «Математика в архитектуре» Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы Математика – наука, изучающая пространственные формы  и количественные отношения. Меня заинтересовал вопрос о том, где применяются законы математики, я начала углубляться в эту тему и поняла, что  многие математические теории нередко кажутся искусств… Посмотреть работу Урок геометрии в 9 классе «Умножение вектора на число» Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы В ходе данного урока был реализован системно-деятельностный подход: наличие мотивации на каждом этапе урока; система вопросов учителя, способствующих созданию ситуации успеха, дающих возможность учащимся самостоятельно сформулировать тему, цели урока… Посмотреть работу 4″>Исследовательская работа «Лента Мёбиуса — простая и невероятная» Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы Изучение различных необычных фигур, их свойств и их неожиданных и нестандартных применений является достаточно актуальным явлением. В настоящее время в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические… Посмотреть работу Презентация «Неевклидовы геометрии» Доступна к просмотру полнотекстовая версия работы Изучая геометрию, ученики развивают свое мышление и расширяют горизонты своего познания. Школьный курс геометрии предполагает изучение евклидовой геометрии. Учащиеся, широко интересующиеся наукой математика и историей её развития, пытаются узнать о «… Посмотреть работу Мероприятие завершено Основные формулы геометрии — GeeksforGeeks В математике геометрия выступает как дисциплина изучения и предмет для анализа форм и структур вместе с их свойствами. Приведенная ниже статья иллюстрирует стандартные фиксированные или производные формулы геометрии для расчета различных параметров конкретной формы. Эти формулы используются для определения неизвестных сторон, углов или других его величин. Формула базовой геометрии Формула представляет собой математическое правило, которое формируется путем вывода взаимосвязи между двумя или более физическими величинами или математическими отношениями. формулы обычно представляются в символической форме с помощью математических символов. Эти символические представления формул состоят из переменных, констант, операционных знаков и терминов. Геометрические формулы являются стандартными производными формулами для расчета параметров фигур. Этими параметрами являются площадь, объем, периметр, окружность, общая площадь поверхности, площадь боковой поверхности и т. Д. Каждая форма, изучаемая в геометрии, имеет для них свою собственную формулу. Эти формулы перечислены ниже. Квадрат Периметр Квадрата = 4a Площадь Квадрата = a 2 Где «a» — длина стороны квадрата Прямоугольник Периметр прямоугольника = 2(l + b) Площадь прямоугольника = l2 9009 × b 90 ‘l’ — это длина, а ‘b’ — это ширина Треугольник Площадь треугольника = A = 1/2 × b × h Где ‘b  – основание треугольника 903. и «h» высота треугольника Трапеция Площадь трапеции = A =1/2 × (b1 + b2) × h Где b1 и b2 — высота основания трапеции 9, h0030 90 of the Trapezoid Circle Area of ​​Circle = A = π × r2 Circumference of Circle = A = 2πr Where ‘r’ is the radius of a Circle Куб Площадь поверхности куба = 6A 2 , где ‘A’ — длина сторон куба Цилиндер . Общая площадь поверхности цилиндра = 2πr(r + h) Объем цилиндра = V = πr2h Цилиндр Конус Площадь криволинейной поверхности конуса = πrl Общая площадь поверхности конуса = πr(r + l) = πr[r + √(h 90 2 2 900) )] Объем конуса = V =1/2× πr 2 h Здесь ‘r’ — радиус основания конуса , а h — высота конуса Сфера Площадь поверхности сферы = 4πr 2 Объем сферы = 4/3 × πr 3 Где r – радиус сферы Примеры задач Задача 1. Если радиус окружности равен 14 см. Найдите площадь данного круга. Решение: Дано Радиус окружности равен 14см. Имеем, Площадь круга (A)=πr 2 =>22/7 x 14 x 14 =>616см 2 Задача 2. Найдите площадь треугольника с основанием 12см и высотой 8см. Решение: Дано Основание треугольника равно 12см. Высота треугольника 8см. Имеем, Площадь треугольника(А)=1/2 x b x h =>1/2 x 12 x 8 =>48 см 2 Задача 3. Найти периметр заданного треугольника. прямоугольник длиной 10 см и шириной 4 см. Решение: Дано Длина прямоугольника 10см. Ширина прямоугольника 4см. Имеем, Периметр прямоугольника(P)= 2(l+b) =>2(10+4) =>2 x 14 =>28см Задача 4. Найти периметр квадрата, длина которого 5 см. Решение: Дано Длина квадрата 5см. Имеем, Периметр квадрата(P)= 4l => 4 x 5 =>20см Задача 5. Найдите объем сферы, имеющей радиус 9см. Решение: Дано Радиус сферы равен 9см. У нас есть Объем сферы (V)=4/3 πr 3 =>4/3 x 22/7 x (9) 3 =>3054,805см 2 3 Задача 6. Вычислите площадь трапеции с основаниями 8см и 10см и высотой 12см. Решение: Дано Пусть основания трапеции равны b1 и b2 со значениями 8см и 10см соответственно. Высота трапеции 12см. У нас есть, Площадь трапеции = A =1/2 × (b1 + b2) × h =>1/2 x (8 +10) x 12 =>1/2 x 18 x 12 => 216/2 =>108см 2 Задача 7. Найти объем данного конуса радиусом 6см и высотой 12см. Решение: Дано Радиус конуса равен 6см. Высота данного конуса 12см Имеем, Объем конуса = V =1/2× πr 2 h =>1/2 x 22/7 x (6) 2 x 12 =>9504/14 =>678,85 см 3 Задача 8. Вычислить площадь криволинейной поверхности цилиндра радиусом 4см и высотой 8см. Решение: Дано Радиус цилиндра равен 4см. Высота цилиндра 8см. Имеем, Площадь криволинейной поверхности = 2πrh =>2 x 22/7 x 4 x 8 =>201,14 см 2 Задача 9. Вычислите площадь куба. сторона 3 см. Решение: Дано Длина стороны 3см. У нас есть, Площадь куба(A)= 6a 2 => 6 x 3 x3 => 54 см 2 Основы геометрии никоим образом не является «сексуальным» предметом; на самом деле, как правило, вычисление углов, объемов и площадей редко считается заманчивым или забавным. Возможно ли обратное? За последние 10 лет мы видели, как математика проникла в фильмов и телешоу ; Теория большого взрыва — яркий тому пример. Конечно, уравнения не занимают центральное место в сюжете, и, честно говоря, только первые несколько шоу были насыщены математикой. После этого алгебраическая работа всплывала лишь изредка. Тем не менее, приятно видеть, как сложные расчеты разыгрываются на популярной арене, а еще лучше, что в 9 участвуют как мужские, так и женские персонажи.0011 корректировка уравнений ; всего 20 лет назад кинематографическими математиками могли быть только мужчины! Теперь ваша очередь освоить уравнения базовой геометрии , и вам нужен самый эффективный способ сделать это. Или, может быть, вы поклонник Декарта и хотите поднять декартовскую геометрию на новый уровень, но для начала вам нужен прочный фундамент. Ваш Superprof поможет вам разобраться в основных геометрических формулах; хватайте свои угольники и циркуль… мы пошли! Найдите рядом со мной репетитора по математике на Superprof. Лучшие репетиторы по математике Поехали Основные фигуры Ищите здесь репетитора по математике из Юты. Сколько геометрических фигур вы можете найти в этом узоре? Изображение от monicore с Pixabay У вас может возникнуть соблазн подумать «круг», «треугольник» или «квадрат», и вы будете абсолютно правы. Каждая из этих геометрических фигур относится к одной из следующих четырех основных категорий: Треугольники имеют три стороны; стороны могут быть одинаковой длины (равносторонний треугольник) или все разной длины (разносторонний треугольник). Четырехугольник — это любой четырехугольник. Это могут быть прямоугольники, квадраты, ромбы, ромбы… параллелограмм , фигура с двумя парами равных сторон, которая также является четырехугольником Многоугольники: буквально «много сторон». Эти формы могут быть треугольниками, шестиугольниками, пятиугольниками… все эти «угольники» являются многоугольниками. По сути, все, что имеет прямые стороны, называется многоугольником. Окружности являются классом сами по себе, потому что они не имеют прямых линий Их уникальные характеристики включают: Квадраты имеют четыре равные стороны и четыре прямых угла Прямоугольники имеют две пары равных сторон Трапеция имеет только одна пара параллельных сторон Трапеция не имеет сторон одинаковой длины Ромбы: противоположные стороны и противоположные углы равны Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны Прямоугольные треугольники имеют один угол в 90 градусов, противоположный гипотенузе У каждой из этих фигур есть собственная формула для вычисления периметра, площади и углов. С некоторыми вы, возможно, знакомы, например, с теоремой Пифагора , в то время как другие, возможно, менее запоминающиеся. Давайте посмотрим на них сейчас. Вам нужна помощь в изучении геометрии? Возможно, вы могли бы найти репетитора по геометрии… Вычисление треугольников Начиная с форм с наименьшим количеством сторон (но иногда и с самыми сложными формулами), мы беремся за геометрические формулы! Простейшая формула для периметра любого треугольника: a+b+c, , где каждая буква обозначает сторону. Он прекрасен в своей простоте и с ним легко работать, если вы знаете длину каждой стороны. Допустим, ваш треугольник имеет следующие размеры: a = 3 дюйма, b = 4 дюйма и c = 5 дюймов Тогда его периметр будет 3+4+5=12 дюймов. Ясно, что этот треугольник не является ни равносторонним, ни равнобедренным; и не прямоугольный треугольник. Как бы мы вычислили периметр, если даны только два значения, нижняя и одна сторона? В таком случае мы должны опираться на теорему Пифагора : a 2 +b 2 =c 2 . Ты помнишь тот, да? Сначала проведите линию от вершины треугольника прямо к его основанию. Эта линия, h, должна быть перпендикулярной к основанию, тем самым образуя две Уголки 90 градусов – по одному с каждой стороны линии. Теперь у вас есть два прямоугольных треугольника, один из которых имеет измерения как для a, так и для b. Отсюда очень просто подставить известные значения в теорему (не забудьте возвести их в квадрат!) и найти недостающее значение. Попробуем его с вымышленным треугольником: A = неизвестный B = 5 C = 7 A 2 * 5 2 = 7 2 A 2 * 25 = 49. значение должно стоять отдельно на одной стороне уравнения a 2 = 49 – 25 переместите 25 в другую сторону от знака равенства, вычтя его из заданного значения c a 2 = 24 Теперь вам нужно вычислить квадратный корень из 24, чтобы найти значение ‘a’ , которое равно 4,898. После того, как вы вычислили периметр одного прямоугольного треугольника, вы должны вычислить второй, чтобы получить размеры исходного треугольника. Поздравляем! Теперь вы знаете, как вычислить периметр любого треугольника! Выполните поиск здесь, чтобы найти некоторые из лучших эффективных онлайн-курсов по математике на суперпрофессионале. Этот и подобные знаки в виде треугольников используются, чтобы призвать к осторожности на дорогах Изображение Герда Альтманна с Pixabay , вычисление площади треугольника немного сложнее. Если значения даны для всех трех сторон, вы можете применить Формулу Герона : площадь = квадратный корень из [s(s-a)(s-b)(s-c)], где s равно полупериметр, то есть (a+b+c)/2 Это только кажется сложным; помните, что при работе с формулой вам нужно только подставить известные значения, чтобы найти неизвестное. Если подумать таким образом, Hero’s Formula , как ее еще называют, довольно проста! Теперь об уравнениях «площади треугольников», где одно или несколько значений неизвестны. Если вы знаете только значение основания треугольника и его высоты , вы можете применить: площадь = (½) * b * h Если известны только длина двух сторон и степень угла, соединяющего их, вы должны использовать тригонометрию , чтобы найти пропущенные значения. Основная формула: Площадь = (½) * a * b * sin C Имейте в виду, что строчные буквы обозначают линейные размеры, а прописные буквы обозначают углы. Если бы вы знали только значения сторон a и c, вы бы подставили их и вычислили sin B . Точно так же, если вы знаете b и c, вы бы использовали sin A , чтобы получить площадь вашего треугольника. Почему бы не попрактиковаться в них, прежде чем двигаться дальше… Лучшие репетиторы по математике Поехали Вычисление четырехугольников Возможно, вы сможете вычислить периметр квадрата или прямоугольника в своем спать. Эти формулы таковы: P=4a (a представляет стороны квадрата) и P=2l + 2w соответственно. Эти расчеты площадей также должны прийти к вам довольно легко. Для квадратов это A=a 2 , а для прямоугольников это A=l * w . Просто, верно? Все становится сложнее, когда мы переходим к параллелограммам и трапециям; чтобы решить оба этих уравнения, вам нужно знать высоту фигуры (h) и длину основания (b) — линия внизу. Зная эти значения, выберите соответствующую формулу для фигуры: b * h = площадь параллелограмма (½)(a+b) * h = площадь трапеций, где «a» представляет собой сторону, противоположную «b». Четырехугольники могут быть самыми простыми фигурами для работы. Если вам нужна дополнительная практика, в Интернете есть множество ресурсов, где вы можете найти рабочие листы по геометрии и уравнения для решения. Вычисление многоугольников Столкнулись ли вы с апейрогеном (многоугольник с бесконечным числом сторон) или с более знакомым шестиугольником, вам нужно знать, как вычислить его периметр и площадь. К счастью, апейрогоны существуют только гипотетически; представьте, что у вас есть такая фигура, для которой можно вычислить площадь! Если все стороны вашего многоугольника имеют одинаковую длину, вы можете применить P=n * v , где « n » — количество сторон, а « v » — значение каждой стороны. Если стороны указанного многоугольника не имеют одинаковой длины, вам придется сложить эти значения , чтобы получить его периметр. Знак «Стоп», пожалуй, самый известный правильный многоугольник. Изображение Walter Knerr с Pixabay Вычисление площадей многоугольников Существует несколько способов определения значения площади любого многоугольника, некоторые из которых включают вычисления для треугольников. Сначала мы займемся уравнениями правильного многоугольника; такой, у которого все стороны одинаковой длины. Прежде чем мы сможем начать любое шифрование, мы должны определить радиус многоугольника . Это включает в себя рисование круга внутри многоугольника таким образом, чтобы периметр круга касался периметра многоугольника. это называется вписанный круг . Как только мы узнаем значение этого радиуса, мы можем применить эту формулу: A = ½ * p * r Формулы становятся более сложными, чем больше сторон у многоугольника. Допустим, количество сторон представлено ‘n’ , а количество сторон — s . Радиус, также называемый апофемой , обозначается как « a ». Конечно, «A» представляет собой «площадь», что дает формулу, которая выглядит так: A = ns/4 √ 4-s 2 Отсюда формулы становятся еще более сложными. Они заставляют вас бороться с основами геометрии? Вы можете обратиться к нашему полному руководству! Вычисление окружностей Окружности не содержат ни углов, ни прямых, а их периметры называются «окружностями». Однако для их вычислений требуется по крайней мере отрезок прямой, который необходим для любой формулы для окружностей. Как ни странно, формула для вычисления площадей кругов известна больше, чем, возможно, для любой другой геометрической фигуры: πr 2 , или pi * r2 Наверняка вы знаете/помните, что число pi (π) равно 3,1415… Менее известная формула для вычисления окружностей. равно: 2 * π * r Имейте в виду, что это формулы для вычисления площади и периметра двумерных фигур ; как только они приобретают дополнительное измерение – они становятся трехмерными формами и заслуживают расчета объема, а также площади и периметра. Что такое угол в геометрии определение: понятие, определение и виды углов на рисунках alexxlab / 26.01.202315.12.2022 / Геометрии Отрезок, угол, луч — геометрия и искусство Точки и прямые Геометрические фигуры Отрезок, угол, луч Линии Классификация Многоульники Окружность Параллельность и перпендикулярность Плоские фигуры Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (концы отрезка) Длина отрезка — положительное число, показывающее, сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке. Длину отрезка АВ также называют расстоянием ммежду точками А и В. Свойства: 1) Длины равных отрезков равны 2) Длина суммы отрезков равнв сумме их длин Луч (полупрямая) – часть прямой, имеющая начало и не имеющая конца. Угол — фигура образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершина угла). Общая вершина называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла. Обычно под углом понимают плоский угол, но есть другие виды углов — многогранные. Виды углов Острый Прямой Тупой Развёрнутый Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, равный смежному с ним, называется прямым. Угол, больший прямого, называется тупым. Угол называется развёр- нутым, если его стороны сместе составляют прямую. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Теорема. Сумма смежных углов равна 180°. Следствие. Если смежные углы равны, то они прямые. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Теорема. Вертикальные углы равны. Угловая мера меньшего из вертикальных углов называется углом между прямыми. Итак, сформулируем определения понятий луча, отрезка и фигуры: • Лучом называется часть прямой, ограниченная одной из её точек. • Отрезком называется часть прямой, заключенная между двумя её точками. • Под фигурой понимают некоторое сочетание определенным образом расположенных в одной плоскости (а иногда и в пространстве) элементов: точек, прямых, лучей, отрезков (иногда и плоскостей). Olle Baertling Найди разные виды углов на рисунке и картине: Из истории. Единицы измерения углов. Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне задолго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце совершает за 180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен 1/180 развернутого угла. В Вавилоне была принята шестидесятиричная система счисления, т. е. фактически числа записывались в виде суммы степеней числа 60, а не 10, как это принято в нашей десятеричной системе. Естественно поэтому, что для введения более мелких единиц измерения углов один «шаг» последовательно делился на 60 частей. Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Термины, которыми мы пользуемся для названия угловых величин, имеют латинские корни. Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление градуса на 60 частей, т. е. минуты,— это первое деление; деление минуты на 60 секунд — второе деление градуса. Малоупотребительное название 1/60  секунды — терцина, латинское tercina означает «третье» (деление градуса). Принятая сейчас система обозначения величин углов получила широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже пользовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Браге. Но еще К. Птолемей (II в. н. э.) количество градусов обозначал кружком, число минут — штрихом, а секунд — двумя штрихами. Другая единица измерения углов — радиан — введена совсем недавно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), содержащее термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сначала в обозначениях указывалось, что имеется в виду радианная мера , но вскоре инадекс R (или г) стали опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius (спица, луч). Если вспомнить определение угла в один радиан (центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности), то выбор корня «рад» для названия такого угла представляется совершенно естественным.   Главная | Геометрия и искусство | Плоские фигуры | Пространственные фигуры | Движения и преобразования | Орнаменты и стили | Доклад | Разное | Галерея | Главная Карта Сайта Каковы элементы угла? / математика | Thpanorama Элементы угла они — вершина, которая является общей точкой; и два луча или стороны. Геометрически, угол — это часть плоскости, которая включена между двумя лучами, начинающимися из общей точки. Прямые линии определяются как линии, начинающиеся в точке и продолжающиеся бесконечно в одном направлении. Углы обычно измеряются в градусах или радианах (π). Элементы угла те, которые появляются в его определении, а именно: — Общая точка, называемая вершиной. — Два луча, называемые сторонами. Лучи также называют лучами. Формальное определение угла в геометрии гласит следующее: «это отношение между длиной окружности дуги, проведенной между двумя лучами, и ее радиусом (расстоянием до вершины)». Евклид определил угол как наклон между двумя линиями, которые пересекаются друг с другом в плоскости, но не находятся на одной прямой; то есть линии обрезаются в одной точке. 5 основных типов углов Все типы углов присутствуют в геометрии и широко используются при работе с полигонами.. По мере измерения углы классифицируются как: 1- Высокий Это углы, которые составляют менее 90 градусов ( 2- Прямо Это углы, измерения которых равны 90 градусам (90º). Когда угол прямой, говорят, что стороны, которые его формируют, перпендикулярны. 3- тупой Это углы, которые измеряют более 90 градусов, но менее 180 градусов (90º 4- Обычный Это те углы, которые измеряют 180 градусов (180º). 5- Полный или перигональный Это углы, измерения которых равны 360 градусам (360º). Примеры углов — Название «треугольник» объясняется тем, что эта геометрическая фигура имеет 3 угла, которые образованы сторонами треугольника и 3 вершинами. Треугольники классифицируются в соответствии с мерой каждого угла. — На стрелках часов видно, как меняются углы. Центр часов представляет вершину, а стрелки — стороны. Если часы показывают 3 часа дня, то угол между иглами равен 90º. Если часы показывают 6:00 утра, то угол между иглами составляет 180º. — В физике использование углов очень важно знать, как определенные силы действуют на тело, или наклон, с которым должен быть запущен снаряд, чтобы достичь определенного места назначения. . наблюдение Углы формируются не только двумя лучами или лучами. В общем, они могут быть сформированы между двумя прямыми. Разница в том, что в этом последнем случае появляются 4 угла. Если у вас есть ситуация, подобная предыдущей, появляются определения углов, противоположных вершине и дополнительным углам.. Вы также можете определить угол между кривыми и поверхностями, для которого необходимо знать о касательных линиях и касательных плоскостях. ссылки Бурк. (2007). Угол по геометрии Математике Рабочая тетрадь. NewPath Learning. C., E. Á. (2003). Элементы геометрии: с многочисленными упражнениями и геометрией компаса. Университет Медельина. Clemens, S.R., O’Daffer, P.G. & Cooney, T.J. (1998). геометрия. Пирсон Образование. Lang, S. & Murrow, G. (1988). Геометрия: курс средней школы. Springer Science & Business Media. Лира А. , Хайме П., Чавес М., Гальегос М. и Родригес С. (2006). Геометрия и тригонометрия. Порог издания. Moyano, A.R., Saro, A.R. & Ruiz, R.M. (2007). Алгебра и квадратичная геометрия. Netbiblo. Palmer, C.I. & Bibb, S.F. (1979). Практическая математика: арифметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и правила скольжения. Реверте. Салливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитическая геометрия. Пирсон Образование. Вингард-Нельсон, Р. (2012). геометрия. Enslow Publishers, Inc. геометрия — Определение угла и измерение угла Задавать вопрос спросил 5 лет, 11 месяцев назад Изменено 5 лет, 11 месяцев назад Просмотрено 5к раз $\begingroup$ Определение угла в евклидовой геометрии дается следующим образом: Угол. Определение: Фигура, образованная двумя линиями или лучами, расходящимися из общей точки (вершины). Однако определение нигде не указывает, как определять измерение угла. Немного покопавшись/подумав, становится очевидным, что определение измерения выглядит примерно так: . Нарисуйте единичный круг вокруг вершины. Затем угол измеряется как длина дуги между пересечением двух линий и окружностью. (в радианах) Кажется, что именно так всегда определяется измерение угла, но, учитывая, что в определении угла прямо не говорится, что это единственный способ измерения, мне интересно, можно ли использовать другие измерения, которые согласуются с евклидовой геометрией. . Например: (Таким образом, измерением угла $\alpha$ в каждом случае является длина нарисованной от руки стрелки — как если бы она была идеально нарисована поверх дуги/линий). Теперь, для любого измерения, не основанного на окружности, может показаться, что всякий раз, когда «измерительный прибор» вращается, углы меняются, а это означает, что они всегда должны использоваться параллельно некоторой базовой линии. С другой стороны, вычисление sin() и т. д. становится очень простым. Вопрос: Есть ли что-то серьезное в изменении методологии измерения угла, что может нарушить евклидову геометрию? Является ли определение угла «круг» единственно допустимым? геометрия евклидова геометрия $\endgroup$ 1 $\begingroup$ Сложение двух углов определяется без учета меры. Определение меры $m(\alpha)$ угла $\alpha$, чтобы иметь смысл, должно удовлетворять соотношению $m(\alpha+\beta)=m(\alpha)+m(\beta)$, которое ваши альтернативные определения этого не делают. РЕД. Поскольку вышеизложенное кажется недостаточно ясным, приведу пример (см. схему ниже). Возьмем точку $C$ на оси $x$ и луч $OD$ с $OD=OC$. Пусть $E$ — середина $CD$: хорошо известна теорема элементарной геометрии, что в равнобедренном треугольнике $OCD$ медиана $OE$ также делит пополам угол $\angle COD$, так что $\angle COD= 2\угол COE$. Но с вашим треугольным определением, например, мера $\угла COD$, вообще говоря, не является удвоенной мерой $\угла COE$, потому что $AE’>E’D’$. $\endgroup$ 5 Зарегистрируйтесь или войдите в систему Зарегистрируйтесь с помощью Google Зарегистрироваться через Facebook Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль Опубликовать как гость Электронная почта Требуется, но никогда не отображается Опубликовать как гость Электронная почта Требуется, но не отображается Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie . « Предыдущая 1 … 4 5 6 7 8 9 Следующая »