Рубрика: Геометрии

Что такое вектор, как найти длину? Координаты? Формулы

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом. В некоторых учебниках вектор могут называть направленным отрезком.

Вектор обозначается одной строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными со стрелкой (в некоторых случаях — прямой линией) сверху.

Интересно, что порядок букв в названии вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за его конец. Поэтому и — абсолютно разные векторы.

Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова

Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков

Виды векторов

Во-первых, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными.

Коллинеарными называют те векторы, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке и и являются коллинеарными, а и относительно друг друга — нет.

Векторы различаются и по направлению. Если векторы уже являются коллинеарными, они могут быть сонаправленными или противоположно направленными. Сонаправленные векторы обозначаются так: Если же они противоположно направлены, мы можем записать это следующим образом:

Равными являются те векторы, которые одновременно и коллинеарны, и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так: Он считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрии вводят дополнительные понятия, рассмотрим и их:

• Закреплённый вектор — отрезок с упорядоченными концами: если С — точка начала вектора, а Е — точка конца, тогда (это то, что мы понимаем под обычным вектором в школьной геометрии).

• Свободный вектор — вектор, начало и конец которого не закреплены. Его можно перемещать как вдоль прямой, на которой он находится, так и параллельно этой прямой. По сути под свободным вектором понимают множество закреплённых векторов.

Сложение и вычитание векторов

Действия с векторами описываются и в алгебре, и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим способы, благодаря которым можно сложить и вычесть векторы, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что в пространстве заданы векторы и которые нам необходимо сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку такие векторные величины, как сила, часто приложены к одному и тому же телу. В таком случае возникает вопрос: а как же рассчитать результирующее действие всех этих сил?

В этом на помощь физикам приходит математика — царица наук! Чтобы сложить два вектора, необходимо:

1. Отложить начало одного вектора от конца другого.

2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором , который соединяет начало вектора с концом вектора

Сложение: метод параллелограмма

Сложить векторы можно и по-другому, используя метод параллелограмма:

1. Совместим между собой концы и

2. Отложим от конца вектор, равный

3. Отложим от конца вектор, равный

4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (четырёхугольник, противоположные стороны которого параллельны и равны).

5. Проведём диагональ параллелограмма между и на которой будет лежать вектор, равный сумме и

Задача решена, вы великолепны!

Обратите внимание

Как метод параллелограмма, так и метод треугольника подразумевает перемещение векторов в пространстве: мы или совмещаем их концы, или откладываем от конца одного вектора начало другого. Получить сумму векторов, не имеющих общей точки, с этими методами не представляется возможным.

Сложение: метод многоугольника

А что если векторов больше, чем два? На эту проблему математика уже подготовила решение: воспользуемся расширенным методом треугольника, который получил название «метод многоугольника».

Согласно этому методу мы последовательно совмещаем конец и начало векторов, а после изображаем суммирующий вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом последнего. Лучше всего рассмотреть это на чертеже:

Вычитание векторов

Продолжаем проделывать с векторами всевозможные действия, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это по своей сути то же сложение, но с обратным числом.

С векторами работает та же штука: вместо вычитания попробуем прибавить вектор, противоположно направленный исходному:

Изобразим разность векторов с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Боитесь запутаться в векторах сонаправленных и противоположно направленных? Существует отдельное правило для их вычитания:

1. Отложим один вектор от начала другого.

2. Тогда вектор их разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а начало — с концом уменьшаемого.

Этот метод схож и с методом параллелограмма, но в этом случае мы берём другую диагональ.

Учёба без слёз (бесплатный гайд для родителей)

Пошаговый гайд от Екатерины Мурашовой о том, как перестать делать уроки за ребёнка и выстроить здоровые отношения с учёбой.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных действий с векторами нам необходимо поместить их в такую систему координат, чтобы можно было определить их положение относительно друг друга. Для этого используют декартову систему координат, которой можно пользоваться как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Тогда, если находится на плоскости, его координаты можно выразить как если в пространстве —

Базисные векторы — это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей оси координат, в трёхмерном пространстве их обозначают

Любой вектор в трёхмерном пространстве можно разложить по трём базисным векторам.

с координатами можно записать так:

Умножение вектора на число

Представьте, что нам необходимо растянуть вектор в два раза или же сжать, но уже в три. За все эти действия отвечает одна простая задача: умножение вектора на число.

Для того чтобы увеличить или уменьшить вектор в некоторое количество раз, необходимо умножить все координаты вектора на это число.

Таким образом, если задан координатами то — Кстати, подобным образом можно перевернуть вектор, направив его в противоположную сторону:

Длина вектора

Длина вектора — одно из основных понятий в этом разделе. И неудивительно, ведь она характеризует его протяженность в пространстве и выражается числом.

Итак, длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Её часто называют модулем, что отражается и в обозначении. Если нам необходимо найти длину мы так и запишем:

Длину вектора можно найти разными способами, вот основные:

1. через координаты вектора;

2. через координаты точек начала и конца вектора;

3. через теорему косинусов.

Давайте вместе разберём все методы!

Длина вектора через его координаты

Если задан через координаты то его длину можно найти как

Почему мы можем быть уверены, что эта формула правильная? Рассмотрим вектор в декартовой системе координат.

Отложим вектор от точки с координатами Тогда этот вектор можно назвать , и так как мы строили его из начала координат, координаты вектора могут быть найдены как

Рассчитаем длину через теорему Пифагора:

Задача 1

Посчитайте, чему равен модуль , если его координаты

Решение:

Модуль вектора — это его длина, а значит,

Задача 2

Длина Чему равна координата по оси , если координата по оси

Решение:

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Для начала давайте вспомним, как задать координаты вектора через координаты его начала и конца.

Рассмотрим где и Тогда координаты вектора можно выразить так:

Мы уже знаем, как найти длину вектора через его координаты, поэтому подставим полученное выражение в формулу:

Задача 3

Найдите длину если и

Решение:

Задача 4

Рассчитайте координату по точки вектора , если его длина равна а

Решение:

Остановимся здесь и подставим известные числа в формулу:

или

Длина вектора через теорему косинуса

К сожалению, в задачах не всегда даны координаты точек вектора или его самого. В таком случае мы воспользуемся теоремой косинуса. Давайте вспомним её формулировку.

Теорема косинусов звучит так: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

Эту теорему можно применить и в векторной форме. Немного изменим рисунок:

Тогда, чтобы найти длину , необходимо знать (или иметь возможность вычислить) длины и , знать угол между ними, а также уметь рассчитать произведение длин этих векторов.

Задача 5

Длины и равны 4 и 6 соответственно, а угол между ними равен Вычислите длину

Решение:

Задача 6

Рассчитайте модуль вектора в треугольнике, если длина = 8, длина = 10, а угол между ними равен

Решение:

Скалярное произведение векторов

Мы практически дошли до финала нашего путешествия по царству векторов. 👑 Нам осталось изучить только скалярное произведение векторов. Что это?

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Скалярным произведением и будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

Вспомним, что в той же физике величины делятся на скалярные (не имеющие направления, например, масса) и векторные (имеющие направление, например, сила, ускорение, скорость). В математике под вектором подразумевают направленный отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа.

Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Так, чем больше угол между векторами, тем меньше согласованности, а значит, скалярное произведение будет уменьшаться с ростом угла:

• Скалярное произведение вектора на само себя равно квадрату его модуля: В данном случае значение скалярного произведения является наибольшим из возможных.

• Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, так как

• Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0, так как

• Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как

• Cкалярное произведение вектора на противоположно направленный ему вектор равно отрицательному произведению их длин . В данном случае значение скалярного произведения является наименьшим из возможных.

Конечно, вы можете возразить: «Согласованность направлений отлично показывает угол, для чего нам эти сложные вычисления?». А всё дело в том, что в пространстве порой очень сложно измерить угол, а вот посчитать скалярное произведение — просто, особенно если рассмотреть его через координаты.

Если выражен координатами а то скалярное произведение этих векторов описывается формулой: В пространстве скалярное произведение через координаты векторов будет задаваться так:

Где применяется скалярное произведение? Благодаря ему выполняется большое количество математических операций, таких как нахождение угла между векторами и любых расстояний, если они заданы через координаты. Благодаря скалярному произведению можно описать даже характеристику криволинейных поверхностей, но это мы обсудим как-нибудь в другой раз. 🙂

Чтобы закрепить пройденный материал, нужно больше, чем пара заданий. Поэтом приглашаем на онлайн-уроки математики в школу Skysmart. За короткое время благодаря особенной платформе и учителям-профессионалам вы сможете улучшить школьные отметки, подготовиться к экзаменам и олимпиадам, и самое главное — понять и полюбить математику.

Векторы — Умскул Учебник

• Что вектор украл у точки? 
• Какими могут быть коллинеарные векторы?

Невероятная эффективность: каждый раз, когда мы двигаем стул, мы строим сразу четыре вектора.

Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.

Записывается вектор по следующим правилам: первая буква – это буква начала вектора, а вторая буква – буква конца вектора.

Что такое коллинеарные векторы?

Коллинеарные векторы – это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных.

По данной картинке \(\vec{AB}\), \(\vec{CD}\) и \(\vec{EF}\) являются коллинеарными векторами

Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в одну сторону.
Противоположно направленные векторы – это коллинеарные векторы, направленные в противоположные стороны.

Важно: нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Как можно записать длину вектора?

Длина вектора – это длина отрезка. Она не зависит от направления вектора и всегда неотрицательна, поэтому записывается в модульных скобках.

|\(\vec{AB}\)| и |\(\vec{DC}\)| — длины векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{DC}\)

Теперь давайте рассмотрим равенство векторов.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.
А противоположными называют векторы с равными длинами и противоположными направлениями.

Играя в футбол или бильярд, мы не задумываясь совершаем множество действий с векторами. Давай разберем их с точки зрения геометрии. 

Сложение векторов

Сумма векторов – это перемещение.  

Для сложения векторов используют специальные правила, одним из них является правило треугольника.

Правило треугольника

Если начало одного вектора находится в конце другого вектора, тогда можно из начала первого вектора провести вектор в конец второго. Данное перемещение будет суммой векторов.

Что делать, если векторы отложены не друг за другом?

В таком случае можно сделать параллельный перенос. Это означает, что вектор можно сдвигать в пространстве, не меняя его направления и размера.

Существует еще одно правило сложения векторов.

Правило параллелограмма

Если оба вектора отложены от одной точки, тогда можно достроить данный рисунок до параллелограмма и провести вектор по диагонали из начальной точки. Полученный вектор будет суммой двух изначальных векторов.

Для сложения большего количества векторов применяются те же правила. Сначала складываются первый со вторым вектором, далее складывается сумма с третьим вектором и т. д.

Вычитание векторов

Чтобы вычесть из одного вектора другой, нужно привести их разность к сумме одного изначального вектора и одного противоположного вектора. А далее воспользоваться методами сложения.

Умножение на число

Произведением ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число k называется такой вектор \(\vec{b}\), длина которого равна |k| * |\(\vec{a}\)|.

При k > 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – сонаправлены.
При k < 0, \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) – противоположно направленные.

Например:

Существуют также специальные законы сложения и умножения для векторов, аналогично законам для обычных чисел.

• Вектор – это отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой концом.
• Коллинеарные векторы бывают сонаправленными и противоположно направленными. 
• Векторы могут быть равными и противоположными.
• Для сложения векторов применяется правило треугольника и правило параллелограмма.
• Также векторы можно вычитать и умножать на число.
• Существуют законы сложения и умножения для векторов, подобно законам сложения и умножения для обычных чисел.

Задание 1.
Какие векторы изображены на картинке?

1. Сонаправленные 
2. Противоположно направленные
3. Равные 
4. Противоположные

Задание 2.
Какие векторы изображены на картинке?

1. Сонаправленные 
2. Противоположно направленные
3. Равные 
4. Противоположные

Задание 3.
Выберите верное утверждение для векторов на картинке

1. Вектора сонаправленные
2. Вектора равные
3. Это нулевые вектора
4. Длины данных векторов равны

Задание 4.
Какие векторы изображены на картинке?

1. Равные
2. Противоположно направленные
3. Сонаправленные
4. Противоположные

Ответы: 1. – 2; 2. – 1; 3. – 4; 4. – 3

Векторы на плоскости и в пространстве: основные определения

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

В математике для обозначения вектора обычно используют строчные латинские буквы, однако над вектором всегда ставится небольшая стрелочка, например a→. Если известны граничные точки вектора – его начало и конец, к примеру A и B, то вектор обозначается так AB→.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0→ будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора AB→ понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Длину вектораAB→ принято обозначать так AB→.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Сонаправленными векторами называют два коллинеарных вектора a→ и b→, у которых направления совпадают, такие векторы обозначаются так a→↑↑b→.

Противоположно направленными векторами называются два коллинеарных вектора a→ и b→, у которых направления не совпадают, т.е. являются противоположными, такие векторы обозначаются следующим образом a→↑↓b→.

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть заданы два произвольных вектора на плоскости или в пространстве a→ и b→. Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы OA→=a→ и OB→=b→. Лучи OA и OB образуют угол ∠AOB=φ.

Углы между векторами

Угол φ=∠AOB называется углом между векторами a→=OA→ и b→=OB→.

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π2 радиан).

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Координаты вектора в ДСК

Следующая статья

Длина вектора

• Векторное произведение
• Векторное пространство
• Геометрическая фигура угол
• Деление отрезка в заданном соотношении
• Длина вектора
• Все темы по математике

• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Отчет по практике
• Эссе

Узнать подробнее

Смотреть все работы по c/c++

Урок геометрии в 9-м классе «Действия над векторами». Тема: «Умножение вектора на число»

• Гордеева Марина Эвальдовна

Разделы: Математика, Урок с использованием электронного учебника

Класс: 9

Ключевые слова: Действия над векторами

УМК: «Геометрия: 9 класс» Атанасян Л. Г. и др.

Основные дидактические цели урока:

• Формирование новых знаний и умений по теме: «Умножение вектора на число».

Задачи:

Для реализации поставленной цели учитель должен решить следующие задачи:

• Актуализировать знания и умения учащихся выполнять сложение и вычитание векторов; актуализировать умения строить данные векторы из одной точки; использовать правило треугольника, многоугольника;
• Подвести учащихся к выводу алгоритма нахождения результата умножения вектора на число;
• Сформировать умение нахождения результата произведения вектора на число;
• Создать условия для применения правила в различных ситуациях;
• Произвести первичный контроль усвоения знаний.

Формируемые результаты.

Предметные результаты:

• Знать: алгоритм умножения вектора на число.
• Уметь: находить произведение вектора на число; уметь строить исходный и полученный векторы.

Метапредметные результаты:

• уметь обобщать и делать выводы,
• уметь применять правило в различных ситуациях,
• уметь разрабатывать алгоритм действий,
• уметь использовать математические знания на уроках физики и др. наук.

Личностные результаты:

• уметь ставить перед собой цели, планировать свою деятельность,
• оценивать результаты своей работы и работы одноклассников, достигать поставленных целей.

Структура урока

1. мотивация
2. актуализация знаний и умений учащихся
3. создание проблемной ситуации
4. постановка темы и целей урока
5. формирование новых знаний (введение понятия «произведение вектора на число» и свойств данного произведения)
6. разработка алгоритма нахождения результата произведения вектора на число, вывод алгоритма определения одинакового и противоположного направления данного вектора и вектора, полученного при умножении его на положительное и отрицательное число; алгоритма определения длины результирующего вектора.
7. первичное закрепление: отработка навыка нахождения результата умножения вектора на число с использованием свойств; самоконтроль усвоения новых знаний
8. контроль усвоения, самооценка результатов своей деятельности
9. рефлексия
10. домашнее задание

Этап урока	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Организационный	Приветствует учащихся. Предлагает записать дату в тетрадь	Записывают дату
Мотивационный	Предлагает ответить на вопрос: «Как вы понимаете слова: «Каждый человек может ошибаться, каждый имеет право на ошибку, но при этом очень важно найти её, признать её и исправить».	Поясняют услышанное высказывание.
Актуализация знаний и умений: — выполнять сложение и вычитание векторов	Предлагает ответить на вопросы: — что такое вектор?	— направленный отрезок….
	— какие векторные величины вы знаете?	— сила, скорость….
	— что такое сила тяжести и от чего она зависит?	— сила тяжести — это сила, с которой…., она зависит от массы тела.
	— что такое сила трения?	— сила трения — это сила…….
	— что такое сила упругости?	— сила упругости — это сила……
	Предлагает выполнить задания, записанные на доске: (производит фронтальный опрос учащихся с последующим обсуждением)	Выполняют задания: №1. Вектор FA обозначили вектором a, вектор ED обозначили вектором b. Выразите через векторы а и b векторы: ЕF, CD, AB, DA,OC. №2. №3. Рассмотрите рисунок и ответьте на вопрос: будет ли тело двигаться вниз по наклонной плоскости? №4. Масса первого тела 2 кг. Сила тяжести, действующая на 1 тело 20H. Изобразите ее отрезком 4 см. Изобразите вектор силы тяжести, действующей на 2 и 3 тела, если их массы соответственно 4 кг и 0,5кг. Учащиеся легко выполняют задания 1-3, но при выполнении задания №4 испытывают затруднения.
Постановка темы и целей урока	Учитель, используя методику проблемного диалога, учитель подводит учащихся к постановке темы урока.
	Какова формула силы тяжести?	F=mg
	Если для 1 тела массой 2 кг сила тяжести изображается вектором, длиной 4см, то какова длина вектора силы тяжести для тела массой 4кг, если она прямо пропорционально зависит от массы тела?	Если масса тела увеличена в 2 р, то и длина вектора увеличится в 2р и будет 8 см.
	А для тела, массой 0,5кг?	Соответственно в 2 р меньше и будет 2 см.
	Какое действие с векторами мы сейчас производили?	Умножение и деление вектора на число.
	Можно ли деление на число, заменить умножением?	Деление на число, можно заменить умножением на число, обратное делителю.
	Какова же тема урока? (учитель на доску прикрепляет лист А-4 с темой урока)	Умножение вектора на число.
	Какие цели урока «Умножение вектора на число»? Что вы хотите узнать? Что хотите научиться делать? (учитель прикрепляет на доску лист А-4 с целями урока) и уточняет цели урока (при необходимости)	Узнать, как умножать вектор на число. Научиться умножать вектор на число. Сформулировать свойства умножения вектора на число.
Формирование новых знаний	Предлагает просмотреть видео с сайта Инфоурок, с целью введения понятия «произведение вектора на число». Что такое произведение вектора на число?	Смотрят фильм. 1) Это вектор, длина которого равна произведению длины исходного вектора на число 2) если число положительное, то результирующий вектор сонаправлен с данным 3) если число отрицательное, то результирующий вектор, противоположно направлен данному.
Работа с учебником	Чтобы узнать свойства произведения, откройте учебник на стр.202-203 прочтите и запишите свойства. На доску учитель крепит лист А-4 со свойствами произведения чисел и свойствами произведения векторов. Предлагает рассмотреть свойства и найти сходство.	Читают и записывают свойства. Читают свойства произведения чисел и свойства произведения векторов и находят аналогии, которые помогают осознать, понять свойства произведения векторов.
Первичное закрепление	Предлагает открыть конверты, лежащие на столе, достать оттуда векторы. И показать их. Покажите вектор 0,5 данного вектора 0,25 данного вектора, 2 данного вектора, 1/3 и 5/6 данного вектора Теперь предлагает изобразить вектор -0,5 данного вектора, -0,25 данного вектора, -2 данного вектора, -1/3 и 5/6 данного вектора.	Достают, показывают. Показывают учителю данные вектора, сгибая данный вектор пополам, на 4 части, соединяя 2 вектора, у учеников, сидящих за 1 партой. Сгибая данный вектор показывают вектора 1/3 и 5/6 от данного вектора, акцентируя внимание на направлении полученных векторов. Выполняют задания, уточняя направление данных векторов.
Контроль усвоения	Предлагает выполнить самостоятельную работу. (задания работы см. в приложении)	Учащиеся, обучающиеся на 4-5 в парах садятся за ноутбуки, заходят на сайт ЯКЛАСС, выполняют тренировочную работу «Умножение вектора на число». По окончании работы учащихся оценивает программа сайта, и в итоге учитель видит на экране оценку. Низко мотивированные учащиеся выполняют самостоятельную работу на карточках. По окончании работы за 5 минут до конца урока ответы данной работы учитель показывает на экране. Учащиеся проверяют свои ответы и оценивают свою работу.
Самооценка результатов своей деятельности	Предлагает оценить свою деятельность на уроке. Какова тема урока? Какими были цели урока? Что узнали на уроке? Чему научились? (вывешивает лист А-4, где написано чему научились) Что было самым сложным? Что понравилось? Пригодятся ли данные знания и где? Оцените свой вклад в изучение данной темы.	Отвечают на вопросы.
Домашнее задание	п.86 стр. 202-203 №775, 776	Записывают задания.

19.04.2022

Вектор (геометрия) | это… Что такое Вектор (геометрия)?

Под направленным отрезком в геометрии понимают упорядоченную пару точек, первая из которых — точка A — называется его началом, а вторая — B — его концом.

Определение

Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Учитывая изоморфизм между множеством свободных векторов и множеством их параллельных переносов пространства, если операцию сложения отождествить с композицией переносов, можно использовать множество параллельных переносов пространства даже для определения вектора.

Большую роль играют векторы в изучении бесконечно малых трансформаций пространства.

• Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:

• Вектор называют противоположным вектору .

• Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .

Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда, вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

• Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A,B,C,D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

• точки A,B,C,D располагаются на одной прямой,
• векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

• Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на котой он лежит, не меняет момента силы ни относительно какой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D.

Операции над векторами

Сложение векторов

Два вектора u, v и вектор их суммы

Сложение двух свободных векторов можно осуществлять как по правилу параллелограмма, так и по правилу треугольника.

Правило треугольника. Для сложения двух векторов и по правилу треугольника оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы начало одного из них совпадало с концом другого. Тогда вектор суммы задаётся третьей стороной образовавшегося треугольника, причём его начало совпадает с началом первого вектора.

Правило параллелограмма. Для сложения двух векторов и по правилу параллелограмма оба эти вектора переносятся параллельно самим себе так, чтобы их начала совпадали. Тогда вектор суммы задаётся диагональю построенного на них параллелограмма, исходящей из их общего начала.

Сложение двух скользящих векторов определено лишь в случае, когда прямые, на которых они расположены, пересекаются. Тогда каждый из векторов переносится вдоль своей прямой в точку пересечения этих прямых, после чего сложение осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение двух фиксированных векторов определено лишь в случае, когда они имеют общее начало. Их сложение в этом случае осуществляется по правилу параллелограмма.

Сложение коллинеарных скользящих векторов

Если скользящие векторы параллельны, то при их сложении главная трудность состоит в определении прямой, на которой будет расположена их сумма. (Величину и направление вектора суммы было бы естественно определить точно так же, как и в случае сложения свободных векторов.) В механике при изучении статики для решения вопроса о сложении параллельных сил, которые, как известно, задаются скользящими векторами, вводится дополнительная гипотеза: к системе векторов можно добавить два вектора, равных по величине, противоположных по направлению и расположенных на одной прямой, пересекающей прямые, на которых расположены данные вектора. Пусть, например, надо сложить скользящие векторы и , расположенные на параллельных прямых. Добавим к ним векторы и , расположенные на одной прямой. Прямые, на которых расположены векторы и , и пересекаются. Поэтому определены векторы

Прямые, на которых расположены векторы и , пересекаются всегда, за исключением случая, когда векторы и равны по величине и противоположны по направлению, в котором говорят, что векторы и образуют пару (векторов).

Таким образом, под суммой векторов и можно понимать сумму векторов и , и эта сумма векторов определена корректно во всех случаях, когда векторы и не образуют пару.

Произведение вектора на число

Произведением вектора и числа λ называется вектор, обозначаемый (или ), модуль которого равен , а направление совпадает с направлением вектора , если , и противоположно ему, если . Если же , или вектор нулевой, тогда и только тогда произведение  — нулевой вектор.

• Обычно принято в записи произведения числа и вектора число записывать слева, но в принципе допустим и обратный порядок, хотя все же обычное соглашение состоит в том, чтобы его избегать, если нет прямой необходимости. Так или иначе, .

Из определения произведения вектора на число легко вывести следующие свойства:

1. если , то . Наоборот, если , то при некотором λ верно равенство ;
2. всегда °, то есть каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Скалярное произведение

Основная статья: Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов и называют число, равное , где  — угол между векторами и . Обозначения: или .

Если один из векторов является нулевым, то несмотря на то, что угол не определён, произведение равно нулю.

Свойства скалярного произведения векторов:

1.  — коммутативность.
2.  — дистрибутивность.
3.  — линейность по отношению к умножению на число.
4.  — норма вектора.

Геометрически скалярное произведение есть произведение длины одного из сомножителей на ортогональную проекцию другого на направление первого (или наоборот). Скалярное произведение какого-то вектора с единичным вектором есть ортогональная проекция вектора на направление единичного вектора.

Векторное произведение

Основная статья: Векторное произведение

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними

• вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
• вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Обозначение:

Геометрически векторное произведение есть ориентированная площадь параллелограмма, построенного на векторах , представленная псевдовектором, ортогональным этому параллелограмму.

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак (антикоммутативность), т.е

1. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, то есть

1. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

Смешанное произведение

Основная статья: Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

(равенство записано для разных обозначений скалярного и векторного произведения).

Иногда смешанное произведение называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрически смешанное произведение есть (ориентированный) объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Условие коллинеарности векторов

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример

Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x₁ = λx₂и y₁ = λy₂, где

См. также

• Нулевой вектор
• Вектор (алгебра)
• Радиус-вектор
• Тензор
• Момент силы
• Псевдовектор

Ссылки

• Г. С. М. Коксетер, С.  П. Грейтцер. Новые встречи с геометрией, 1978

Сложение векторов — свойства, правила и примеры решения задач

Отрезок, который имеет направление, называется вектором. По сути, эта линия, характеризующаяся определённой длиной. Так как с математической точки зрения это выражение, то с ним можно выполнять различные операции. Простейшими являются действия вычитания двух и более векторов и их сложение. Выполняются они по правилам геометрии и алгебры.

Содержание

• Общие сведения
• Сложение координат
• Правило параллелограмма
• Альтернативные методы

Общие сведения

Понятие вектор используется как в физике, так и в математике. С его помощью обозначают действие различных сил, указывают их направление, определяют движение. По сути, это величина, противопоставляемая массе, объёму, плотности, температуре, то есть «скалярам». Согласно определению вектор — это отрезок, имеющий строгое направление. Точку, из которой он выходит, называют начальной, а в которой заканчивается — конечной.

Обозначают отрезок помощью заглавных латинских букв, сверху которых ставится чёрточка. Рисуют же его с помощью прямой ограниченной линии.

Например, запись AB обозначает, что точка A является началом, а B концом. В некоторых случаях для кратности отрезки допустимо обозначать одной маленькой буквой, так: AB = a.

Векторная запись используется тогда, когда невозможно величины описать с помощью одного числа. Численное значение выражение определяется длиной отрезка или его модулем. Эта величина является скалярной. В том случае если начало и конец ограниченной линии совпадают, то говорят о нулевой линии. Обозначают её цифрой 0.

Векторы, расположенные на плоскости или в пространстве, по отношению друг к другу могут быть:

• коллинеарными — отрезки лежат на одной линии или ей параллельны;
• соноправленными — замкнутые линии направление которых одинаковое;
• противоположными — вектора направлены в разные стороны;
• ортогональными — перпендикулярными друг другу;
• компланарными — лежащими на одной плоскости или ей параллельные;
• равными — ограниченными прямыми, совпадающими как по направлению, так и по величине.

Так как вектора — это выражения, то с ними можно выполнять различные действия. Их возможно складывать, вычитать, умножать на число. При работе с векторными величинами используют декартовую систему координат. В ней прямую замкнутую линию раскладывают по базису и определяют координаты её точек. Другими словами, выполняют проекции отрезков на оси. Непосредственно за базис берут орты.

Если известны начальные координаты и конечные, то текущие вычисляют путём вычитания из последних первые. Существующая возможность записать любое геометрическое свойство, используя координаты, позволяет отойти от геометрии и использовать для вычислений алгебру.

Сложение координат

Существует простое правило применимое для направленных отрезков и позволяющее найти их сумму. Заключается оно в следующем: если необходимо прибавить один вектор к другому описывающийся каждый своими координатами, достаточно сложить соответствующие их орты. Например, предположим есть два вектора a и b. Первый отрезок имеет координаты (ax; ay), а второй (bx;by). При их сложении получится новый вектор c. В результате действия его координаты будут c (ax + bx; ay + by).

Это теорема доказывается просто. Пусть даны отрезки f (x 1; y 1) и g (x 2; y 2). В системе координат относительно рассматриваемых векторов получится: f = x 1 a + y 1 b; g = x 2 a + y 2 b. Тогда искомая сумма будет: f + g = x1a + y1b + x2a + y2b = a (x 1 + x 2) + b (y 1 + y 2). Что и нужно было доказать. Это правило применимо к векторам имеющим любые координаты. Например, пусть есть a (1; 2), b (-3; 1). Нужно найти их сумму. С помощью формулы сложения получится новый направленный отрезок с координатами a + b = (1 — 3; 2 + 1) = (-2; 3).

Как и при операциях с простыми числами при работе с векторными выражениями используют различные их свойства. Существует три правила сложения векторов:

При выполнении операции очерёдность слагаемых значения не имеет: a + b = b + a. То есть от перемены мест слагаемых результат не изменится.

Приведённые свойства соответственно называют переместительным, сочетательным, нулевым законом. Например, предположим есть два направленных отрезка a (2; 2) и b (-4; 1). Согласно первому свойству, очерёдность значения не имеет, поэтому что при прибавлении b к a, что при a к b результат будет одинаковый: a + b = (2 -4; 2 + 1) = (-2; 3), b + a = (-4 + 2; 1 +2) = (-2; 3). По аналогии можно проверить правильность утверждения и двух оставшихся свойств.

Следует отметить, что при сложении двух противоположных ограниченных прямых сумма будет равняться нуль-вектору: a + (-a) = 0. Это утверждение не требует доказательства, так как здесь используется фундаментальный закон алгебры — правило знаков.

Правило параллелограмма

По сути, все операции с векторными выражениями сводятся к их приращению или уменьшению. Если координаты точек неизвестны, то алгебраический метод складывания не подходит. В таком случае используют геометрические операции. Одним из способов, позволяющих сложить два неколлинеарных вектора, является правило параллелограмма или прямоугольника при перпендикулярном направлении складываемых отрезков.

Сформулировать способ можно следующим образом: если имеются два отрезка не лежащие на параллельной прямой и не принадлежащие ей, то нужно достроить данные вектора до параллелограмма. Для этого необходимо взять произвольную точку и отложить от неё отрезок AB равный первому вектору, и AD совпадающий со вторым. При этом необходимо придерживаться соотношения геометрии наклона. Затем достроить необходимые параллельные прямые таким образом, чтобы образовался параллелограмм ABCD. Если в такой фигуре провести диагональ, то её длина и будет равняться сумме складываемых отрезков.

Доказать правильность утверждения можно следующими доводами. Пусть имеются две ограниченные линии a и b. От точки A можно отложить первый отрезок конец, которого обозначить как B, и второй, с точкой D. Теперь через D и B возможно провести соответственно параллельные прямые AB и AD. Место, в которой они пересекутся, пусть будет обозначено как С. Тогда используя признак параллельности двух пар прямых в фигуре ABCD, можно утверждать, что это параллелограмм. Вектор AC = a + b. Это следует из равенства отрезков AD = BC и теоремы о подобных треугольниках.

Пример задания. Определить, чему равна сумма двух отрезков длиной 2 см и 1 см расположенные друг к другу под углом 45. Для того чтобы воспользоваться правилом, нужно взять листочек в клеточку и построить два вектора, исходящие из одной точки O. Тогда первый отрезок будет OA, а второй OB. Затем достроить прямые таким образом, чтобы на рисунке получился параллелограмм. Новая полученная точка пусть будет D. Теперь с помощью линейки можно измерить диагональ фигуры, длина которой и будет искомой суммой. В ответе должно получиться, что OA + OB = OD = 3 см.

Простыми словами это правило можно рассказать так: сумма двух отрезков будет равняться диагонали параллелограмма, построенного на исходных векторах. Эта теорема чаще используется не в геометрии, а физике, например, при сложении сил.

Альтернативные методы

Операцию по сложению двух векторов можно выполнить и с помощью правила треугольника. Делается это так. Выбирается любая точка на плоскости, от которой откладываются два вектора. При этом необходимо соблюдать их размерность и наклон по отношению друг к другу. Затем две конечные точки соединяют прямой. Её длина и будет искомой величиной. То есть в итоге должна получиться равнобедренная фигура.

Применение метода сложения векторов по правилу треугольника позволяет довольно легко находить сумму для трёх и более отрезков. Для этого сначала вычисляют результат сложения для двух любых линий, а после прибавляют к полученной ограниченной прямой третью и так далее.

При сложении нескольких векторов удобно выполнять следующую последовательность построений:

• от выбранной точки пространства рисуется вектор, равняющийся первому слагаемому;
• от конечной точки откладывается вектор, совпадающий со вторым слагаемым;
• приведённая последовательность потеряется необходимое число раз;
• прямой линией соединяется точка, с которой началось построение с конечной последнего вектора;
• длина полученного отрезка и будет являться результатом сложения.

Этот способ получил название метод многоугольника. Он довольно часто применяется на практике, позволяя, довольно просто выполнить нахождение суммы. Из правила треугольника, а, следовательно, и многоугольника, вытекает следствие, которое подтверждает, что если складывается отрезок с нулевым векторным выражением, то в ответе получится длина, совпадающая со значимым слагаемым.

Следует отметить, что методы используются только, если направление отрезков является сонаправленным.

Если же отрезки неколлинеарные, то от конца одного откладывается другой. Тогда искомая сумма будет равняться длине линии, первой точкой которой будет начало одной векторной прямой, а конец совпадать с точкой, завершающей другую. То есть сумма — это отрезок, начало которого совпадает с началом обеих линий, а длина равна разности их длин, при этом направление его будет совпадать с тем что больше по длине.

Предыдущая

ГеометрияПлощадь треугольника по координатам вершин — формулы для расчета

Следующая

ГеометрияПлощадь прямоугольной трапеции через угол и основания

Объяснение урока: Векторы: геометрический подход

В этом объяснении мы узнаем, как определять векторы, записывать векторы и определять геометрическую интерпретацию основных векторных операций.

Начнем с того, что вспомним, что скаляр — это математическое объект, у которого есть размер, но нет направления; Например, у нас может быть длина 4 м или скорость 5 м/с. Для представления величин, которые иметь направление, а также размер, например, смещение на 4 м на восток или скорость 5 м/с вверх, нам нужна другая концепция: вектор.

Обратите внимание, что в этом объяснении мы будем работать с векторами в 2D-плоскости.

Определение: Вектор

Вектор — это математический объект, который имеет как величину (размер), так и направление.

Геометрически мы можем представить вектор как направленный отрезок, где длина отрезка обозначает величину, а ориентация стрелки указывает направление.

Некоторые векторы определяются с точки зрения их начальной и конечной точек; Итак, первый вектор выше равен 𝑆𝑇.

Для других векторов мы используем жирные строчные буквы, как показано выше; это обычно пишется от руки как 𝑎.

Мы также встречаем векторы, которые сочетают в себе оба вида маркировки, такие как 𝐴𝐵=c выше.

Фактическое положение вектора в 2D-плоскости не имеет значения, поскольку вектор представляет собой перемещение а не объект с фиксированным положением. Так, например, три вектора, помеченные 𝑃𝑄 ниже все рассматриваются как эквивалентные.

Если два вектора эквивалентны, они должны быть параллельны и иметь одинаковые величины и направления. Наоборот, если два вектора параллельны и имеют одинаковые величины и направления, они должны быть эквивалентны.

Для любого вектора 𝑃𝑄=⃑𝑎 вектор с той же величиной но противоположное направление, которое, следовательно, имеет стрелку, указывающую в противоположном направлении, есть 𝑄𝑃=-𝑃𝑄=-⃑𝑎.

В общем, для любого ненулевого скаляра 𝑘 вектор 𝑘⃑𝑎 является вектором с |𝑘| раз превышает величину ⃑𝑎. Если 𝑘>0, вектор 𝑘⃑𝑎 имеет то же направление, что и ⃑𝑎; если 𝑘0, вектор 𝑘⃑𝑎 имеет направление, противоположное ⃑𝑎. Ниже показано несколько примеров для случаев 𝑘=−1, 2 и −12.

Два вектора классифицируются как параллельные, если они имеют одинаковое или противоположное направление. Следовательно, все указанные выше векторы параллельны. Параллельные векторы всегда можно записать как ненулевые скаляры, кратные друг другу.

Далее рассмотрим, как совмещать векторы.

Закон: Закон треугольника для сложения векторов

Мы складываем два вектора вместе, помещая голову первого вектора в хвост второго вектора, как показано на левой диаграмме ниже.

Результирующий вектор определяется как одиночный вектор, эффект которого такой же, как комбинированный эффект двух (или более) векторов. Результирующая двух векторов начинается с хвоста первого вектора и заканчивается на вершине второго, образуя третью сторону треугольника. Он представляет собой сумму двух векторов.

В этом случае, как показано на правой диаграмме, результирующий вектор идет от хвоста вектора ⃑𝑎 к вершине вектора ⃑𝑏, образуя треугольник. Он представляет собой сумму ⃑𝑎+⃑𝑏.

Эта конструкция демонстрирует закон треугольника для сложения векторов, который гласит, что когда два вектора представлены по величине и направлению как две стороны треугольника, взятые по порядку, третья сторона треугольника, направленная в противоположные стороны, представляет величину и направление их суммы.

Используя этот метод, мы можем складывать столько векторов, сколько захотим, многократно применяя закон треугольника. На приведенной ниже диаграмме показано, как мы можем расширить описанный выше процесс, чтобы сложить вместе три вектора.

Давайте теперь попробуем пример со сложением векторов.

Пример 1. Графическое представление сложения векторов

𝐴𝐵𝐶𝐷 — параллелограмм с 𝐴𝐷=⃑𝑞.

Найти 𝐴𝐶.

Ответ

Напомним, что параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, причем противоположные стороны имеют одинаковую длину. Кроме того, вспомните, что вектор — это математический объект, который имеет как величину, так и направление и не определяется своим местоположением.

В параллелограмме 𝐴𝐵𝐶𝐷 вектор ⃑𝑝 представлен в виде направленного отрезка 𝐴𝐵. Поскольку сторона 𝐴𝐵 параллелограмма противоположна стороне 𝐷𝐶, эти стороны должны быть параллельны и равны по длине. Следовательно, соответствующие векторы должны быть параллельны и равны по величине.

Аналогично, вектор ⃑𝑞 представляется в виде направленного отрезка 𝐴𝐷. Поскольку сторона 𝐴𝐷 параллелограмма противоположна стороне 𝐵𝐶, эти стороны должны быть параллельны и равны по длине. Опять же, соответствующие векторы должны быть параллельны и равны по величине.

Напомним, что если два вектора параллельны и равны по величине, они должны быть эквивалентны. Следовательно, из приведенных выше замечаний следует, что 𝐴𝐵=𝐷𝐶=⃑𝑝 а также 𝐴𝐷=𝐵𝐶=⃑𝑞. Это означает, что мы можем заполнить еще два вектора на диаграмме, как показано ниже.

Теперь вспомним закон треугольника для сложения векторов, который гласит, что когда два вектора представлены по величине и направление как две стороны треугольника, взятые по порядку, третья сторона треугольника, направленная противоположно, представляет величину и направление их суммы.

Чтобы найти 𝐴𝐶, обратите внимание, что это результирующий вектор 𝐴𝐵 и 𝐵𝐶 в △𝐴𝐵𝐶. Поэтому, применяя закон треугольника, имеем 𝐴𝐶=𝐴𝐵+𝐵𝐶=⃑𝑝+⃑𝑞. Эквивалентно, в △𝐴𝐷𝐶 вектор 𝐴𝐶 является результирующий вектор 𝐴𝐷 и 𝐷𝐶. На этот раз, применяя закон треугольника, мы имеем 𝐴𝐶=𝐴𝐷+𝐷𝐶=⃑𝑞+⃑𝑝=⃑𝑝+⃑𝑞. Как и ожидалось, это дает тот же результат.

Отвечая на поставленный выше вопрос, мы фактически показали, как доказать закон параллелограмма сложения векторов . Этот закон гласит, что если два вектора представлены двумя смежными сторонами параллелограмма, направленные от общей вершины, с величинами, пропорциональными соответствующим длинам сторон, то их результирующий вектор изображается диагональю, проходящей через общую вершину и направленной от нее.

Далее мы исследуем, как вычитать векторы. Как мы продемонстрируем, оказывается, что мы все еще можем применить треугольник закон сложения векторов в этом контексте. Например, предположим, что у нас есть векторы ⃑𝑎 и ⃑𝑏, как показано ниже, и мы хотим получить ⃑𝑎−⃑𝑏.

Во-первых, мы меняем направление ⃑𝑏 на противоположное, чтобы получить −⃑𝑏. Затем, поместив начало вектора ⃑𝑎 в хвост вектора −⃑𝑏, теперь мы можем рассматривать это как дополнение. Применяя закон треугольника для сложения векторов, мы получаем результирующий вектор ⃑𝑎+−⃑𝑏=⃑𝑎−⃑𝑏.

Обратите внимание, что особый случай этого правила возникает при вычитании ⃑𝑎 от ⃑𝑎. Позиционирование головы первого вектора ⃑𝑎 в конце второго вектор −⃑𝑎 означает, что мы меняем направление и возвращаемся туда, откуда начали, когда достигаем конца вектора ⃑𝑎. Следовательно, в этом случае результирующий вектор равен ⃑𝑎+−⃑𝑎=⃑𝑎−⃑𝑎=⃑0, нулевой вектор. Другой способ думать об этой операции состоит в том, что если ⃑𝑎=𝑃𝑄, то −⃑𝑎=𝑄𝑃; Итак, мы идем от 𝑃 к 𝑄, а затем обратно от 𝑄 к 𝑃, возвращаясь туда, откуда мы начали, с нулевым водоизмещением.

Давайте теперь попробуем пример с вычитанием векторов.

Пример 2. Графическое представление векторного вычитания

На приведенной ниже диаграмме 𝑉𝑊=⃑𝑎, 𝑌𝑉=⃑𝑐, и 𝑌𝑍=⃑𝑑.

Запишите следующие векторы через ⃑𝑎, ⃑𝑏, ⃑𝑐, и ⃑𝑑:

1.  
2.  𝑊𝑋
3.  40086
4.  40086

Ответ

Напомним, что вектор является математическим объектом, обладающим как величиной, так и направлением.

I. Начнем с поиска 𝑍𝑌. Обратите внимание, что на диаграмме изображен вектор 𝑌𝑍=⃑𝑑, который идет от 𝑌 к 𝑍. Следовательно, чтобы перейти от 𝑍 к 𝑌, мы просто меняем направление этого вектора, чтобы получить его отрицательное значение, поэтому 𝑍𝑌=−⃑𝑑.

II. Далее мы должны найти 𝑊𝑋. Во-первых, вспомним закон треугольника для сложения векторов, который гласит, что когда два вектора представлены по величине и направлению как две стороны треугольника, взятые по порядку, третья сторона треугольника, направленная в противоположные стороны, представляет собой величину и направление их сумма.

Обратите внимание, что в △𝑊𝑉𝑋 вектор 𝑊𝑋 будет результатом 𝑊𝑉 и 𝑉𝑋. Нам дан вектор 𝑉𝑊=⃑𝑎, который идет от 𝑉 до 𝑊. Перейти от 𝑊 на 𝑉, мы меняем направление этого вектора, чтобы получить его отрицательное значение, поэтому 𝑊𝑉=−⃑𝑎. Более того, мы также сказал, что 𝑉𝑋=⃑𝑏. Следовательно, мы можем применить закон треугольника, чтобы получить 𝑊𝑋=𝑊𝑉+𝑉𝑋=−⃑𝑎+⃑𝑏=⃑𝑏−⃑𝑎.

III. Чтобы найти 𝑍𝑉, обратите внимание, что в △𝑍𝑌𝑉 вектор 𝑍𝑉 будет результатом 𝑍𝑌 и 𝑌𝑉. У нас есть 𝑍𝑌=−⃑𝑑 из части I, и вопрос говорит нам, что 𝑌𝑉=⃑𝑐. Применяя закон треугольника, имеем 𝑍𝑉=𝑍𝑌+𝑌𝑉=−⃑𝑑+⃑𝑐=⃑𝑐−⃑𝑑.

IV. Наконец, мы должны найти 𝑍𝑊. На этот раз обратите внимание, что если бы мы образовали треугольник 𝑍𝑉𝑊, как показано ниже, то вектор 𝑍𝑊 будет результатом 𝑍𝑉 и 𝑉𝑊.

Мы уже знаем, что 𝑉𝑊=⃑𝑎, и в части III мы обнаружили, что 𝑍𝑉=⃑𝑐−⃑𝑑. Поэтому, применяя закон треугольника, имеем 𝑍𝑊=𝑍𝑉+𝑉𝑊=⃑𝑐−⃑𝑑+⃑𝑎=⃑𝑎+⃑𝑐−⃑𝑑.

В нашем следующем примере мы исследуем параллельные векторы.

Пример 3. Поиск неизвестного в векторе по заданному параллельному вектору

Предположим, что ⃑𝑚 и ⃑𝑛 — пара непараллельных векторов и что векторы 4⃑𝑚+𝜆⃑𝑛 и 14⃑𝑚+3⃑𝑛 параллельны. Определите значение 𝜆.

Ответ

Напомним, что параллельные векторы всегда можно записать как ненулевые скалярные числа, кратные друг другу. Следовательно, в этом случае мы можем написать 14⃑𝑚+3⃑𝑛=𝑘4⃑𝑚+𝜆⃑𝑛 для некоторого ненулевого скаляра 𝑘. Раскрывая скобки в правой части, получаем уравнение 14⃑𝑚+3⃑𝑛=4𝑘⃑𝑚+𝜆𝑘⃑𝑛. Начнем с определения значения 𝑘. Для этого мы приравниваем коэффициенты при ⃑𝑚 по обе стороны приведенного выше уравнения, что дает 14=4𝑘.

Разделив обе части на 4 и упростив полученную дробь, получим 𝑘=144=72.

Чтобы найти значение 𝜆, приравняем коэффициенты ⃑𝑛 по обе стороны нашего исходного уравнения, что дает 3=𝜆𝑘. Поскольку 𝑘=72, мы можем подставить это значение, чтобы получить 3=72𝜆. Умножив обе части на 2, а затем разделив на 7, получаем, что 𝜆=67.

Способность складывать или вычитать векторы путем многократного применения закона треугольника для сложения векторов чрезвычайно полезна. В частности, это позволяет нам записывать отдельные векторы в терминах других, которые помечены на той же векторной диаграмме. Если попросить найти вектор 𝐴𝐵, пока мы можем найти направленный путь из точки 𝐴 в точку 𝐵 (для чего может потребоваться изменить направление некоторых векторов вдоль пути, взяв их отрицательные значения), тогда 𝐴𝐵 будет результирующей суммой всех векторов вдоль этого направленного пути.

Например, предположим, что нас попросили найти вектор 𝑃𝑆 на диаграмме ниже.

На данный момент нет направленного пути из 𝑃 в 𝑆 потому что некоторые стрелки идут не в ту сторону. Однако, если мы поменяем направления векторов ⃑𝑏 и ⃑𝑐, заменив их их отрицаниями, мы создайте направленный путь от 𝑃 к 𝑆, как показано на следующей диаграмме.

Таким образом, мы получаем результирующий вектор 𝑃𝑆=𝑃𝑄+𝑄𝑅+𝑅𝑆=⃑𝑎+−⃑𝑏+−⃑𝑐=⃑𝑎−⃑𝑏−⃑𝑐. Обратите внимание, что в этом расчете скрыты два применения закона треугольника для сложения векторов:

1. В △𝑃𝑄𝑅 имеем 𝑃𝑅=𝑃𝑄+𝑄𝑅=⃑𝑎+−⃑𝑏=⃑𝑎−⃑𝑏.
2. В △𝑃𝑅𝑆, имеем 𝑃𝑆=𝑃𝑅+𝑅𝑆.
   Как 𝑃𝑅=⃑𝑎−⃑𝑏 и 𝑅𝑆=−⃑𝑐, это становится 𝑃𝑆=⃑𝑎−⃑𝑏+−⃑𝑐=⃑𝑎−⃑𝑏−⃑𝑐 как заявлено.

Приведенное выше обсуждение свойств направленных путей поможет нам решить следующую задачу.

Пример 4. Нахождение суммы трех векторов в треугольнике

В треугольнике 𝐴𝐵𝐶, 𝐴𝐵=⃑𝑝, 𝐵𝐶=⃑𝑞, и 𝐶𝐴=⃑𝑟. Какой из следующих векторов равно ⃑𝑝+⃑𝑞+⃑𝑟?

1.  40086
2.  𝐵𝐴
3. ⃑0
4. 
5. 2 40086

Ответ

Мы начинаем с рисования эскиза треулеущего, описанного в вопросе.

Нам нужно найти вектор, равный ⃑𝑝+⃑𝑞+⃑𝑟.

Поскольку 𝐴𝐵=⃑𝑝, 𝐵𝐶=⃑𝑞 и 𝐶𝐴=⃑𝑟, тогда ⃑𝑝+⃑𝑞+⃑𝑟=𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐶𝐴. Ссылаясь на приведенный выше эскиз и отслеживая этот направленный путь, мы видим, что мы начинаем с вершины 𝐴 и движемся к 𝐵, затем в 𝐶 и, наконец, обратно в 𝐴, прибыв туда, откуда мы начали. Поскольку мы начинаем и заканчиваем в 𝐴, результирующая вектор просто 𝐴𝐴, поэтому ⃑𝑝+⃑𝑞+⃑𝑟=𝐴𝐴. Однако очевидно, что любой вектор из точки в саму себя является просто нулевым вектором ⃑0, потому что общий эффект таков, что мы остаемся на том же месте. Так как 𝐴𝐴=⃑𝑝+⃑𝑞+⃑𝑟 и 𝐴𝐴=⃑0, два правых выражения должны быть равны, что дает нам ⃑𝑝+⃑𝑞+⃑𝑟=⃑0.

Просмотрев доступные варианты, мы видим, что правильный ответ — ⃑0.

Используя наш метод определения вектора из одной точки в другую путем нахождения направленного пути, мы также можем ответить на вопросы, связанные с серединами сторон или точками, которые находятся на полпути вдоль стороны. Ниже приведен пример такого типа.

Пример 5.

𝑃 является серединой 𝑋𝑌 и 𝑄 делит 𝑋𝑍 в соотношении 4∶1.

Напишите следующие векторы с точки зрения ⃑𝑎 и ⃑𝑏:

1.  𝑌𝑍
2. 𝑋𝑃
3.  40086
4. 𝑃𝑄

Ответ

I. сложение векторов, в котором говорится, что когда два вектора представлены по величине и направлению как две стороны треугольника, взятого по порядку третья сторона треугольника, направленная в противоположные стороны, представляет величину и направление их суммы.

Заметим, что в △𝑌𝑋𝑍 вектор 𝑌𝑍 будет результатом 𝑌𝑋 и 𝑋𝑍.

Учитывая 𝑌𝑋, нам дан вектор 𝑋𝑌=⃑𝑎, который выходит из 𝑋 к 𝑌. Чтобы перейти от 𝑌 к 𝑋, мы меняем направление этого вектора, чтобы получить его отрицательное значение, поэтому 𝑌𝑋=−⃑𝑎. Более того, нам говорят, что 𝑋𝑍=⃑𝑏.

Следовательно, мы можем применить закон треугольника, чтобы получить 𝑌𝑍=𝑌𝑋+𝑋𝑍=−⃑𝑎+⃑𝑏=⃑𝑏−⃑𝑎.

II. Далее прорабатываем 𝑋𝑃. Нам говорят, что 𝑃 является серединой отрезка 𝑋𝑌, поэтому 𝑋𝑃=12𝑋𝑌, и, следовательно, 𝑋𝑃=12𝑋𝑌.

Поскольку 𝑋𝑌=⃑𝑎, это означает, что 𝑋𝑃=12𝑋𝑌=12⃑𝑎.

III. Чтобы вычислить 𝑋𝑄, в вопросе говорят, что 𝑄 делит 𝑋𝑍 в соотношении 4∶1. Это означает, что точка 𝑄 будет составлять четыре пятых пути вдоль отрезок 𝑋𝑍, поэтому 𝑋𝑄=45𝑋𝑍 и, следовательно, 𝑋𝑄=45𝑋𝑍.

Поскольку 𝑋𝑍=⃑𝑏, заключаем, что 𝑋𝑄=45𝑋𝑍=45⃑𝑏.

IV. Наконец, чтобы вычислить 𝑃𝑄, вспомните, что на векторной диаграмме, если мы можем найти направленный путь из 𝑃 в 𝑄, то вектор 𝑃𝑄 будет результирующей суммой всех векторов вдоль этого направленного пути. Мы можем легко найти подходящий направленный путь из 𝑃 к 𝑄 как показано на диаграмме ниже.

Это означает, что у нас есть 𝑃𝑄=𝑃𝑋+𝑋𝑄. Во второй части мы выяснили, что 𝑋𝑃=12⃑𝑎. Таким образом, найти 𝑃𝑋, мы изменим направление этого вектора, чтобы получить его отрицательное значение, поэтому 𝑃𝑋=−12⃑𝑎. Кроме того, из части III имеем 𝑋𝑄=45⃑𝑏.

Заменив 𝑃𝑋 и 𝑋𝑄 в приведенном выше уравнении, мы получим 𝑃𝑄=−12⃑𝑎+45⃑𝑏=45⃑𝑏−12⃑𝑎.

Давайте закончим повторением некоторых ключевых моментов этого объяснения.

Ключевые точки

• Векторы — это математические объекты, имеющие как величину (размер), так и направление; это в отличие от скаляров, которые имеют только величину. Геометрически мы можем представить вектор как направленный отрезок, где длина отрезка обозначает величину, а ориентация стрелки указывает направление.
• Закон треугольника для сложения векторов гласит, что когда два вектора представлены по величине и направлению как две стороны треугольника, взятые по порядку, третья сторона треугольника, направленная противоположно, представляет величину и направление их суммы.
• Если мы обратим направление вектора ⃑𝑎, то получим его отрицательное значение −⃑𝑎. Вычитание вектора равносильно добавлению его отрицательного значения.
• Если дана векторная диаграмма, мы можем найти направленный путь из точки 𝐴 в точку 𝐵 (для чего может потребоваться изменить направление некоторых векторов вдоль пути, взяв их отрицательные значения), мы можем заключить, что вектор 𝐴𝐵 будет результирующей суммой всех векторов вдоль этого направленного пути.
• Вышеупомянутый метод также позволяет нам запишите векторы, заданные как середины или соотношения отрезков прямых с точки зрения других векторов.

Геометрическая алгебра в трех измерениях

Геометрическая алгебра — это математическая система, расширяющая традиционную скалярной алгебры в многомерные конструкции, такие как векторы и направленные плоские сегменты, используя операцию, известную как Clifford product . Определены понятия из традиционной векторной алгебры, такие как векторное произведение. таким образом, который расширяется до более высоких измерений, обеспечивая понимание геометрические отношения, которые делают неудобными соглашения, такие как правило правой руки для завитков и перекрестных произведений не нужно. Он также обеспечивает конкретная интерпретация ранее абстрактных идей, таких как воображаемая единица в комплексном анализе.

Геометрическая алгебра особенно хорошо подходит для релятивистских теории поля в четырехмерном пространстве-времени (как описано в моей книге, Релятивистская теория поля для микроволновых инженеров ) и ее сторонники утверждают, что он может обобщать и улучшать другие математические формализмов, объединяющих практически все физические теории и их связанных математических методов на одном очень гибком языке.

Хотя я согласен с этим стремлением в целом, я считаю, что его сторонники ошибка слишком быстрого перехода к узкоспециализированным дисциплинам, таким как квантовая физика и общая теория относительности. Хотя хорошо знать, что каждый из этих важных предметов можно охватить набором инструментов геометрической алгебры, истинное принятие в качестве стандартного языка математической физики должно начаться с гораздо более базовый уровень. Предпочтительнее, на мой взгляд, его следует представить студентов, как только они будут готовы выйти за рамки чисто скалярных математике и начинают говорить о многомерных объектах, таких как векторы.

Ниже приводится попытка обобщить правила геометрической алгебры в этого контекста, используя трехмерное пространство в качестве базовой линии.

Базисные векторы

Геометрическая алгебра не имеет координат в том смысле, что фундаментальные выражения могут быть записана в общем виде, не зависящем от конкретной координаты используемая система. Тем не менее, полезно иметь ссылку на стандарт на векторной основе, так что смысл различных операций можно исследовать в знакомые термины, когда это необходимо. 92 = 1 \] Следует понимать, что основные операции, выполняемые над такими векторы выходят за пределы любого конкретного координатного представления. Например, скалярное произведение векторов \(a\) и \(b\) имеет следующий вид в декартовой системе координаты, \[ a\cdot b = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z \] и имеет разные формы в цилиндрических и сферических координатах, но геометрическая интерпретация скалярного произведения во всех трех случаях одинакова, показано графически ниже,

Клин Продукт

Как правило, на этом этапе традиционного векторного анализа мы вводим векторное произведение, дающее третий вектор, который перпендикулярен другому два. Но у этого подхода есть несколько недостатков.

Во-первых, в то время как значение скалярного произведения однозначно для векторов иметь любое количество измерений (например, два измерения, три измерения, четыре размеры и т. д.), перекрестное произведение может быть определено только в трехмерном пространство. В общем случае нельзя определить третий вектор, перпендикулярный двум другие в двухмерном пространстве, а в четырехмерном пространстве есть бесконечное число векторов, удовлетворяющих этому условию.

Второй проблемой перекрестных произведений является их зависимость от так называемого правило правой руки , неудобное соглашение, необходимое для определения ориентации результирующего вектора относительно двух других. Эта конвенция в конечном счете связано с ручностью системы координат и необходимо потому что векторы перекрестного произведения известны как осевых векторов вместо более типичных полярных векторов .

Хотя нам не нужно вдаваться в подробности того, что подразумевается под этими терминами, я хотел бы утверждают, как и большинство сторонников геометрической алгебры, что они возникают потому, что результат внешнего произведения двух векторов на самом деле не должен быть вектором в все, а скорее направленный плоский сегмент, совпадающий с двумя входными векторами. (Учитывайте тот факт, что единицы, связанные с произведением двух длин вектора должны быть площадью, а не другой длиной.) Это результат, возвращаемый клин изделия ,

Объект \(P\) известен как бивектор и представляет собой направленный плоского отрезка так же, как векторы \(a\) и \(b\) представляют направленные сегменты линии. Традиционное перекрестное произведение было бы вектором, нормальным к этому поверхности и задается правилом правой руки. Ориентация в этом случае не требуется. ссылаются на правило правой руки и вместо этого задаются направлением \(a\) стремясь к \(b\).

Площадь плоского участка, определяемого бивектором \(P\), определяется его величина, которая представляет собой площадь параллелограмма с ребрами \(a\) и \(b\), \[ \text{область}=|P|=|a||b|\sin\theta \] Важно отметить, что бивектор не кодирует форму плоского участка, а только его положение в пространстве (плоскость, содержащая как \(a\), так и \(b\)), его ориентация (в направлении \(a\) к \(b\)) и его площадь. Таким образом, пока площадь эквивалентна площади параллелограмма, описанного выше, эта форма сам по себе не подразумевается бивектором.

Скаляры называются объектами класса 0 , а векторы относятся к классу 1, а бивекторы относятся к 2-му классу. Предмет 3-го уровня можно получить, взяв клин произведение снова с третьим вектором, \(c\), \[ V = P\клин c = a\клин b\клин c \] Тривектор , \(V\), представляет собой ориентированное твердое тело, заметаемое \(a\), \(b\) и \(c\), и имеет объем, равный объему параллелепипеда, имеющего эти три вектора как его ребра,

Обратите внимание, что если какие-либо из \(a\), \(b\) и \(c\) коллинеарны, то объем и связанный с ним тривектор равны нулю. По расширению невозможно определить объект класса 4 в трехмерном пространстве, потому что никакие четыре вектора может быть линейно независимым.

Наконец, из-за ориентации, унаследованной от последовательности вектора операндов, произведение клина антикоммутативно, \[ а\клин b = -b\клин а \] Это контрастирует с точечным произведением, которое является коммутативным, \[ а\cточка б = б\cточка а \] Мы также можем отметить, что произведение клина ассоциативно, т.е. \[ a\клин (b\клин c) = (a\клин b)\клин c = a\клин b\клин c \] в то время как скалярный продукт не является.

Продукт Клиффорда

Теперь мы готовы определить произведение Клиффорда, также называемое геометрическим произведением . продукт , ключевая операция в геометрической алгебре. Написано просто как сопоставление \(ab\), это сумма точечных и клиновых произведений его операнды, \[ ab = a\cdot b+a\клин b \] Но что это представляет? Скалярное произведение \((a\cdot b)\) является скаляром и произведение клина \((a\клин b)\) является бивектором. 2 = 1 \] \[ \mathbf{x}\mathbf{y} = \mathbf{x}\wedge\mathbf{y} = -\mathbf{y}\wedge\mathbf{x} = -\mathbf{y}\mathbf{x} \] 93\лангле\mathcal{M}\rangle_k \] Нулевая (скалярная) часть \(\mathcal{M}\) иногда сокращается \(\langle\mathcal{M}\rangle\), без нижнего индекса.

Геометрическое произведение, определенное выше только для векторов, может быть обобщено до лопатки следующим образом. Для \(k\)-лезвия \(K\) и \(l\)-лезвия \(L\) \[ KL = \langle KL\rangle_{k+l}+\langle KL\rangle_{k+l-2}+\cdots+\langle KL\rangle_{|k-l|} \] Другими словами, произведение представляет собой многовектор, состоящий из лопастей, имеющих градации в диапазоне между суммой и разностью оценок своих операндов, пропуская на 2. Мы сохраняем обозначение точки и клина для самого низкого и самого высокого порядка термины в этом суммировании, \[ K\cdot L = \langle KL\rangle_{|k-l|}\quad k\ge1,l\ge1 \] \[ K\клин L = \langle KL\rangle_{k+l}\quad k\ge0,l\ge0 \] Обратите внимание, что мы исключили для скалярного произведения случай, когда один из операнды — это скаляр (уровень 0). В таких случаях результирующее суммирование имеет только один термин, одно лезвие, и это лезвие имеет тот же класс, что и другое операнд. Определение здесь как точечного, так и клиновидного произведений привело бы к двойному учету этого срок. 92 = \mathbf{xyzxyz} = -\mathbf{xyzzyx} = -1 \]

Единица Псевдоскаляр

Хотя можно идентифицировать до трех взаимно независимых единичных бивекторов плоскости, (\(\mathbf{xy}\), \(\mathbf{yz}\) и \(\mathbf{zx}\)), существует только один самостоятельный блок трехобъемный, или тривектор, в трехмерном пространство (все остальные тривекторы просто являются его скалярными кратными). Мы даем этот единичный тривектор специальный символ \(i\), \[ я = \mathbf{xyz} \] Обычно его называют блоком 9.2=-1\), но поскольку он коммутирует со всеми другими скалярами, векторами, бивекторы и тривекторы, как и любой другой скаляр. Бивекторные плоскости тоже возводят в минус единицу, как мы только что показали, однако они не коммутируют в геометрические произведения с другими элементами так же, как скаляры и псевдоскаляры делают.

Подалгебра, включающая геометрические произведения только скаляров и псевдоскаляры (то есть исключая векторы и бивекторы) точно повторяет комплексный анализ. Это всего лишь один простой пример того, как геометрическая алгебра и содержит, и заменяет другие знакомые формы математического анализа.

Алгебраическая область

Таким образом, полная алгебраическая область геометрической алгебры состоит из скаляры, векторы, бивекторы и тривекторы, \[ \lbrace 1\rbrace, \lbrace\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\rbrace, \lbrace\mathbf{xy},\mathbf{yz},\mathbf{zx}\rbrace, \lbrace\mathbf{xyz}\rbrace \] показано графически ниже,

Все количества могут быть выражены как скалярные кратные этому набору и всем операции, выполняемые над этими величинами, дают результаты в пределах этого множества.

Можно показать, что бивекторы задаются произведениями векторов и псевдоскаляр. Например, \[ \mathbf{xy} = \mathbf{xyzz} = я\mathbf{z} \] Сходным образом, \[ \mathbf{yz} = я\mathbf{х} \] \[ \mathbf{zx} = я\mathbf{y} \] Следовательно, алгебраическая область также может быть записана \[ \lbrace 1\rbrace, \lbrace\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\rbrace, \lbrace i\mathbf{x},i\mathbf{y},i\mathbf{z} \rbrace, \lbrace i\rbrace \] Бивекторы \(i\mathbf{x}\), \(i\mathbf{y}\) и \(i\mathbf{z}\) равны иногда называют псевдовекторов в знак признания этой формы. {-1} \] При этом остаточный вектор после проектирования, тот вектор, который соединяет \(\text{proj}_ba\) обратно в \(a\), называется 92} \] Это показано ниже,

Напомним, что декартовы бивекторные плоскости являются двойственными векторам, которые служат их нормалями к поверхности, т.е. \(\mathbf{xy}=i\mathbf{z}\). Этот общий тренд сохраняется для всех бивекторов и нормалей к поверхности, а не только для тех, с карецевскими осями. Следовательно, проекция вектора на плоскость также является отклонением от нормали к поверхности этой плоскости, которая оказывается ее двойной. Общий вывод состоит в том, что операции проектирования и отбраковки двойственны друг другу, \[ а_\отмена{К} = а_{iК} \] 9{-1} \] Опять же, исходная плоскость \(K\) является суммой ее проекции и отклонения из заданного вектора

Примеры применения

В качестве примера того, насколько простым может быть геометрический анализ с использованием этого набора инструментов, теперь мы получим некоторые известные результаты. Рассмотрим треугольник ниже образованные произвольными векторами \(a\), \(b\) и \(c\), стянутыми углы \(A\), \(B\) и \(C\).

Векторы \(a\) и \(b\) расположены головой к хвосту и соединяется с \(c\), так что мы можем написать \[ а + б = с \] Теперь возьмем клиновое произведение обеих сторон с \(с\), \[ а \ клин с + б \ клин с = \ отмена {с \ клин с} = 0 \] где мы указали, что клиновое произведение \(с\) само на себя равно нулю. Следовательно, \[ а\клин с = с\клин б \] \[ |a||c|\sin B = |c||b|\sin A \] \[ \ гидроразрыва {\ греха А} {| а |} = \ гидроразрыва {\ греха В} {| б |} \] то есть закон синусов. Мы могли бы прийти к этому результату даже больше быстро, заметив, что \(a\клин c\) и \(c\клин b\) заметают одно и то же бивектор (или, по крайней мере, такой же полубивектор, так как треугольник является половиной соответствующий параллелограмм в каждом случае), что позволяет нам сразу написать \(а\клин с = с\клин b\). 92 \] это закон косинусов.

В качестве последнего примера рассмотрим неправильный многоугольник, показанный ниже. Оно имеет \(N\) вершин, помеченных от \(p_1\) до \(p_N\) (плюс последняя вершина \(p_{N+1}\), совпадающий с первым), и мы выбрали произвольное точка где-то в центре, обозначенная \(c\).

Для расчета площади разделим внутреннюю часть на треугольники, образованные соседними вершинами и точкой \(c\). Каждый треугольник можно считать половиной бивекторного параллелограмма, образованного прямыми, исходящими из точки \(c\) к соседним вершинам, как показано. 9N\влево(x_ky_{k+1}-x_{k+1}y_k\вправо) \] За исключением префактора бивектора, \(\mathbf{xy}\), некоторые могут распознать это как так называемая формула шнурка или формула землемера для площадь неправильного многоугольника при заданных координатах его вершин.

Дополнительное чтение

Хотя эта статья посвящена геометрической алгебре в обычном евклидовом пространства, одни и те же общие принципы применимы к неевклидовой геометрии и к также более высокие измерения. Одно из самых интересных применений этого понятие относится к электромагнетизму в рамках специальной теории относительности. Для этого мы построить геометрическую алгебру на основе четырехмерного пространства-времени, где базисные векторы имеют следующую нормализацию, или 92 = \pm1 \] Эта конструкция известна как алгебра пространства-времени . Чтобы получить больше информации, читатель отсылается к моей книге «Релятивистская теория поля». для инженеров-микроволновиков :

Теперь доступно на BookBaby и Amazon.com.

Личности

Некоторые полезные тождества приведены ниже, чтобы помочь читателю в изучении понятия геометрической алгебры далее.

В следующих тождествах:

• \(\пси\) является скаляром
9кК\клин а \]

След:

\[ \langle\mathcal{MN}\rangle = \langle\mathcal{NM}\rangle \]

Двойственность:

\[ я \ лангле \ mathcal {M} \ rangle_k = \ лангле я \ mathcal {M} \ rangle_ {3-k} \] \[ а_\отмена{К} = а_{iК} \] \[ K_\cancel{a} = K_{ia}\quad k=1,2 \] \[ я (\ mathcal {M} \ cdot а) = (я \ mathcal {M}) \ клин а \] \[ я (\ mathcal {M} \ клин а) = (я \ mathcal {M}) \ cdot а \]

Проекция и отклонение:

\[ (\mathcal{M}+\mathcal{N})_K = \mathcal{M}_K + \mathcal{N}_K \] \[ (\mathcal{M}+\mathcal{N})_\cancel{K} = \mathcal{M}_\cancel{K} + \mathcal{N}_\cancel{K} \] \[ \mathcal{M} = \mathcal{M}_a + \mathcal{M}_\cancel{a} \] \[ а = а_К + а_\отменить{К} \] \[ a_b\cdot\mathcal{M}_b = a_b\cdot\mathcal{M} \] \[ a_b\cdot\mathcal{M}_\cancel{b} = 0 \] \[ a_\cancel{b}\cdot\mathcal{M}_b = (a\cdot\mathcal{M})_b \] \[ a_\cancel{b}\cdot\mathcal{M}_\cancel{b} = a\cdot\mathcal{M}_\cancel{b} \] \[ a_b\клин\mathcal{M}_b = 0 \] \[ a_b\клин\mathcal{M}_\cancel{b} = a_b\клин\mathcal{M} \] \[ a_\cancel{b}\wedge\mathcal{M}_b = a\wedge\mathcal{M}_b \] \[ a_\cancel{b}\wedge\mathcal{M}_\cancel{b} = (a\wedge\mathcal{M})_\cancel{b} \] \[ a_b\mathcal{M}_b = a_b\cdot\mathcal{M} \] \[ a_b\mathcal{M}_\cancel{b} = a_b\wedge\mathcal{M} \] \[ a_b\mathcal{M} = a_b\cdot\mathcal{M}_b + a_b\wedge\mathcal{M}_\cancel{b} \] \[ a_{KL} = a_K + a_L\quad\text{if}\quad KL= K\клин L \] \[ \left(\mathcal{M}_K\right)_L = \left(\mathcal{M}_L\right)_K\quad\text{if}\quad KL=K\wedge L \] 9кКа\право) \] \[ K\cdot L = \langle KL\rangle_{|k-l|}\quad k,l\ge1 \] \[ K\клин L = \langle KL\rangle_{k+l}\quad (k+l)\le4 \] \[ a\cdot(bc) = a\cdot(b\клин c) = (a\cdot b)c — (a\cdot c)b \] \[ a\клин (bc) = a(b\cdot c) + a\клин b\клин c \] \[ a(b\клин c) = (a\cdot b)c — (a\cdot c)b + a\клин b\клин c \] \[ abc = (a\cdot b)c — (a\cdot c)b + (b\cdot c)a + a\клин b\клин c \] \[ a\cdot(b\cdot K) = -b\cdot(a\cdot K) = (K\cdot a)\cdot b \] \[ а\cdot(bK) = (a\cdot b)K — b(a\cdot K) \] \[ a\cdot(b\cdot K) = (a\cdot b)K — b\wedge(a\cdot K) \] \[ а\клин(b\cdot K) = (a\cdot b)K — b\cdot(a\клин K) \] \[ а\cdot(K\клин L) = (a\cdot K)\клин L+(-1)^kK\клин (a\cdot L) \] \[ (a\клин b)\cdot(c\клин d) = (a\cdot d)(b\cdot c) — (a\cdot c)(b\cdot d) \] \[ a\cdot(b\клин c\клин d) = (a\cdot b)(c\клин d) — (a\cdot c)(b\клин d) + (a\cdot d)(b\клин c ) \]

Вырожденные формы:

\[ \left(\mathcal{M}_K\right)_\cancel{K} = \left(\mathcal{M}_\cancel{K}\right)_K = 0 \] \[ (\mathcal{M}\cdot а)\cdot а = 0 \] \[ \mathcal{M}\клин a\клин a = 0 \] \[ (\mathcal{M}\cdot a)\клин a = (\mathcal{M}\cdot a)a = (\mathcal{M}a)\клин a \] \[ (\mathcal{M}\клин а)\cdot а = (\mathcal{M}\клин а)а = (\mathcal{M}а)\cdot а \] \[ K_i = K_\cancel{1} = K\quad k\ge 1 \] \[ K_\cancel{i} = K_1 = 0\quad k\ge 1 \]

The SpaceR3

Если три взаимно перпендикулярные копии реальной прямой пересекаются в начале своих координат, то любая точка в получившемся пространстве задается упорядоченной тройной действительных чисел ( х ₁ , х ₂ , х ₃ ). Множество всех упорядоченных троек действительных чисел называется 3-пространственное и обозначается как R ³ («R три»). См. рис.




Рисунок 1


Операции сложения и скалярного умножения, определенные на R ² , переносятся на R ³ : 

Векторы в R ³ называются 3-векторами (поскольку есть 3 компонента), а геометрические описания сложения и скалярного умножения, данные для 2-векторов, также переносятся на 3-векторы.

Пример 1 : Если x = (3, 0, 4) и y = (2, 1, −1), то

 

Стандартные базисные векторы в R ³ . Поскольку для любого вектора x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) в R ³ 0 , 3

стандартные базисные векторы в R ³ равны

Любой вектор x в R ³ поэтому может быть записан как

 

См. рис.




Рисунок 2


Пример 2 : Какой вектор нужно добавить к a = (1, 3, 1), чтобы получить b = (3, 1, 5)?

Пусть c — искомый вектор; тогда a + c = b . Следовательно,

 

Обратите внимание, что c является вектором ab ; см. рисунок .




Рисунок 3


Перекрестное произведение . До сих пор вы видели, как можно сложить (или вычесть) два вектора и как вектор умножается на скаляр. Можно ли как-то «перемножить» два вектора? Один из способов определить произведение двух векторов, который делается только с векторами в R ³ — это их перекрестное произведение . Let x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) and y =( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) — два вектора в R ³ . Перекрестное произведение (или векторное произведение ) x и y определяется следующим образом:

Перекрестное произведение двух векторов является вектором, и, возможно, наиболее важной характеристикой этого векторного произведения является то, что оно перпендикулярно обоим множителям . (Это будет продемонстрировано, когда будет введено скалярное произведение.) То есть вектор x x y будет перпендикулярен как x , так и y ; см. рисунок . [Здесь есть неясность: плоскость на рис. , содержащая векторы x и y , имеет два перпендикулярных направления: «вверх» и «вниз». Какой из них выбирает векторное произведение? Ответ дается правилом правой руки : Поместите запястье правой руки в общую начальную точку x и y , с вашими пальцами, указывающими вдоль x ; когда вы сгибаете пальцы в направлении y , ваш большой палец будет указывать в направлении x x y . Это показывает, что векторное произведение антикоммутативно: y x х = — ( х х у ).]




Рисунок 4


Длина вектора x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) в R _{4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444447.} . . . . . 3 . , задается уравнением

результат, который следует из теоремы Пифагора (см. обсуждение перед рис. ниже). В то время как направление векторного произведения x и y определяется ортогональностью и правилом правой руки, величина (то есть длина) x x y равна площади параллелограмма, натянутого на вектора х и у .

Так как площадь параллелограмма на рисунке равна

выполняется следующее уравнение: 

, где θ — угол между x и y .




Рисунок 5


Пример 3 : Пусть x = (2, 3, 0) и y = (−1, 1, 4) будут векторами положения в R ³ . Вычислите площадь треугольника, вершины которого являются началом и концами x и y , и определите угол между векторами x и y .

Поскольку площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, натянутого на х и у ,

Теперь, поскольку ‖ x x y ‖ = ‖ x ‖·‖ y ‖ sin θ, угол между x и y

Следовательно, θ = sin ⁻¹ √233/234.

Вектор в математике | Определение, умножение и примеры (видео)

Векторы в математике — это величины с двумя атрибутами: величина и направление . Здесь вы можете узнать о векторах, о том, как складывать и вычитать векторы, как умножать векторы на скалярные величины и как векторы указывают путь в реальной жизни.

Содержание

1. Определение вектора
2. Векторный символ
3. Сложение и вычитание векторов
4. Векторы смещения
5. Умножение векторов на скаляр
   • Величина вектора
   • Скаляр против векторов
6. Примеры векторов

Определение вектора

Вектор — это величина в математике, которая имеет величину (расстояние, скорость или размер) и .0446 направление (как на стрелке компаса, например запад, вверх, юго-восток, вниз или север через северо-запад).

Переплывая бухту на лодке, вы можете думать, что плывете прямо на юг со скоростью 3 узла, но если приливы отступают, вы можете двигаться со скоростью 5 узлов на юго-восток.

Вектор или несколько векторов, работающих вместе, будут учитывать расстояние, которое вы гребете, вашу скорость и фактическое направление.

Символ вектора

Для представления векторов математики, физики и инженеры используют лучи, обозначая их строчными или прописными буквами, например:

Советы по маркировке векторов:

• Все векторы называются хвост (начальная точка) до конца стрелки, поэтому у нас есть вектор AB, а не вектор BA
• Если вы маркируете свои векторы, решение использовать прописные или строчные буквы остается за вами; если вам даны векторы, обратите внимание на направление вектора (смотрите на стрелки)
• Векторы могут быть параллельны и указывать в одном и том же или противоположном направлении (посмотрите на стрелки) 9

  Сложение и вычитание векторов

  Простая математика векторов не слишком сложна.

  Чтобы добавить векторы, мы соединяем хвост одного вектора с головой другого, используя стрелку. Прямой луч, соединяющий два вектора, является результирующей r, как показано на этом рисунке:

  Мы добавляем вектор CD к вектору EF и получаем результирующую r.

  Вот загадка: эта цифра дает те же результаты, что и предыдущая цифра?

  Здесь мы добавляем вектор EF к вектору CD и еще получить результирующий r. Векторы подчиняются тем же правилам арифметики, что и целые числа (в данном случае свойство коммутативности).

  В реальном мире два путешествия вдоль векторов могут показать совершенно разные пейзажи. В математике, поскольку два вектора не изменили своего направления или величины, результаты идентичны: CD + EF = EF + CD = r.

  Вычитание вектора состоит всего из двух шагов:

  1. отрицание вектора, который вы хотите вычесть
  2. , затем сложите два вектора вместе

  Вот векторы SA и IL, показывающие маршрут, по которому, как мы думали, мы идем на парусной лодке:

  Мы не осознавали, что течение было сильным; мы заблудились в тумане; солнце ослепляло. По какой-то причине вместо того, чтобы следовать вектору IL, мы пошли в направлении , противоположном . Поэтому вместо добавления вектора IL нам нужно его вычесть. Мы делаем это, инвертируя вектор IL и добавляя его к вектору SA:

  SA + (-IL) = r

  Умножение векторов на скаляр

  Умножение вектора на скаляр (действительное число) называется скалярным умножением .

  Векторы имеют две части (величину и направление), но мы не можем умножить направление. Это не имеет смысла: два «юга» не обращены к югу больше, чем один «юг». Но мы можем умножить величину вектора:

  • Умножение вектора на положительный целочисленный скаляр > 1 дает больший вектор
  • Умножение вектора на отрицательный целочисленный скаляр <-1 дает больший вектор в противоположном направлении
  • Умножение векторов на 1 возвращает тот же вектор (0 смещения)
  • Умножение вектора на положительный дробный скаляр < 1 дает меньший вектор
  • Умножение вектора на отрицательный дробный скаляр > -1 дает меньший вектор в направлении , противоположном

  Два вектора также можно умножать друг на друга с помощью векторного произведения или скалярного произведения.

  Умножение двух векторов методом перекрестного произведения дает новый вектор, а скалярное произведение дает число, иногда называемое скалярным произведением.

  Величина вектора

  Величина вектора отображается в виде абсолютного значения: a или двумя линиями, чтобы не спутать его с абсолютным значением: ∥a∥.

  Если вы знаете значения оси x и оси y вектора (как если бы он был на карте или в декартовой системе координат), вы можете легко вычислить его величину, применив теорему Пифагора к изменению положения от хвоста к наконечнику :

  Итак, здесь, с хвостом в (1, 4) и стрелкой в ​​(7, 8), у нас есть изменение значения x на 6 и изменение значения y на 4, поэтому:

  ∥u∥ = 62 + 42

  ∥u∥ = 36 + 16

  ∥u∥ = 52

  ∥u∥ = 7,2111 единиц

  Величина вектора1 равна 7,1 единицам.

  Единица измерения определяется тем, что вы измеряете; дюймы, километры, мили в час (миль/ч) и т. д. Итак, если бы мы просто измерили расстояние в милях, то длина вектора составила бы 7,2111 мили.

  Скаляр против векторов

  Для ясности, скалярные величины являются только величинами: масса, температура, скорость, объем, расстояние, энергия, работа и так далее. Думайте о них как о чистых числах.

  Слушайте или читайте внимательно : Слушайте или читайте две величины, такие как скорость и направление? Тогда вы имеете дело с вектором. Не читаешь и не слышишь две величины? Вероятно, вы имеете дело со скаляром.

  Векторы смещения

  Летающие супергерои редко выбирают кратчайший путь от Daily Bugle или Daily Planet до места катастрофы. Они налетают, петляют, прыгают и перекатываются, прежде чем, наконец, прибывают в самый последний момент.

  Если бы мы использовали векторы для определения курса летающего супергероя, нам могло бы понадобиться пять или шесть векторов, чтобы учесть все эти обходные пути. Вектор смещения пересекает от начала до конца прямую линию:

  Смещение в этом смысле исходит из физики, означая изменение положения по сравнению с начальным положением.

  Вы суете правую руку; вы убираете правую руку: нулевое смещение. Ты ча-ча три шага влево и два шага вправо: Вектор смещения на один шаг влево.

  На этом рисунке мы видим, что вектор смещения также является результирующим.

  Вычисление смещения по-прежнему вектор n + вектор v = r, потому что векторы a и y отрицают друг друга!

  Вы можете подумать, что мы потратили много усилий, чтобы преодолеть такое небольшое расстояние, но что, если бы мы находились на корабле ВМФ и должны были бы перемещаться вокруг пристани или охраняемого заповедника? Тогда мы можем увидеть, что это действительно был кратчайший маршрут

  Примеры векторов

  Все эти измерения являются примерами векторов, поскольку все они включают расстояние или размер силы и направление:

  • Скорость
  • Сила
  • Ускорение
  • Импульс
  • Рабочий объем

  Коммерческие авиалайнеры, истребители, лодки, автомобили, велосипедисты, бегуны, падающие объекты, ракеты, воздушные шары, бумажные самолетики и подводные лодки — все это примеры движущихся объектов, использующих векторы в повседневной жизни.

  Пилоты и штурманы должны использовать векторы, чтобы добраться до места назначения. Ученые-ракетчики и аэрокосмические инженеры используют векторы для управления ракетами.

  Существует одно исключение для векторов, имеющих длину и направление, и это нулевой вектор. Нулевой вектор не имеет длины, поэтому он не указывает ни в каком конкретном направлении. Это означает, что нулевой вектор имеет неопределенное направление.

  Основные задачи с векторами

  1. Что произойдет, если мы умножим вектор на 4?

  Надеемся, вы сказали, что он будет указывать в том же направлении, но будет в четыре раза длиннее!

  2. Является ли «25 узлов к югу от юго-запада» скаляром или вектором?

  Это вектор, поскольку он дает величину и направление.

  3. Что произойдет с вектором, если его умножить на -12?

  Мы надеемся, вы сказали, что он будет вдвое короче и пойдет в противоположном направлении!

  4. Два вектора параллельны, но направлены в противоположные стороны. Один из них — вектор z. Какой другой вектор?

  Надеемся, вы помните об инвертировании векторов, назвав его -z.

  Следующий урок:

  Поперечные линии (углы и определение)

  5.2 Сложение и вычитание векторов: аналитические методы — физика

  Раздел Цели обучения

  К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

  • Определять компоненты векторов
  • Описать аналитический метод сложения и вычитания векторов
  • Использовать аналитический метод сложения и вычитания векторов для решения задач

  Поддержка учителей

  Поддержка учителей

  Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

  • (3) Научные процессы. Учащийся использует критическое мышление, научные рассуждения и решение проблем для принятия обоснованных решений в классе и за его пределами. Ожидается, что студент:
    • (F) символически выражать и интерпретировать отношения в соответствии с общепринятыми теориями, делать прогнозы и решать задачи математически, включая задачи, требующие пропорционального рассуждения и графического сложения векторов
  • (4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы, управляющие движением в двух измерениях, в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
    • (E) разработка и интерпретация диаграмм силы свободного тела;
    • (F) определяют и описывают движение относительно разных систем отсчета.

  Кроме того, руководство по физике для средней школы рассматривает содержание этого раздела лабораторной работы под названием «Движение в двух измерениях», а также следующие стандарты:

  • (3) Научные процессы. Учащийся использует критическое мышление, научные рассуждения и решение проблем для принятия обоснованных решений в классе и за его пределами. Ожидается, что студент:
    • (F) выражать и интерпретировать отношения символически в соответствии с принятыми теориями, чтобы делать прогнозы и решать проблемы математически, включая проблемы, требующие пропорционального рассуждения и графического сложения векторов.

  Основные термины раздела

  аналитический метод

  компонент (двумерного вектора)

  Компоненты векторов

  Для аналитического метода сложения и вычитания векторов мы используем простую геометрию и тригонометрию вместо использования линейки и транспортира, как мы использовали для графических методов. Однако графический метод все же пригодится для визуализации задачи путем рисования векторов методом «голова к хвосту». Аналитический метод более точен, чем графический метод, который ограничен точностью чертежа. Чтобы освежить в памяти определения синуса, косинуса и тангенса угла, см. рис. 5.17.

  Рисунок 5.17 Для прямоугольного треугольника синус, косинус и тангенс θ определяются с точки зрения прилежащей стороны, противолежащей стороны или гипотенузы. На этом рисунке х — это прилежащая сторона, х — противолежащая сторона, а х — гипотенуза.

  Поддержка учителей

  Поддержка учителей

  [BL][OL] Повторить тригонометрические понятия синуса, косинуса, тангенса и теоремы Пифагора.

  Поскольку по определению cosθ=x/hcosθ=x/h, мы можем найти длину x , если мы знаем h и θθ, используя x=hcosθx=hcosθ . Точно так же мы можем найти длину y , используя y=hsinθy=hsinθ . Эти тригонометрические отношения полезны для сложения векторов.

  Когда вектор действует более чем в одном измерении, полезно разбить его на компоненты x и y. Для двумерного вектора компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x, либо в направлении y. Каждый двумерный вектор может быть выражен как сумма его компонентов x и y.

  Например, имея такой вектор, как AA на рис. 5.18, мы можем захотеть найти, какие два перпендикулярных вектора, AxAx и AyAy, складываются для его получения. В этом примере AxAx и AyAy образуют прямоугольный треугольник, а это означает, что угол между ними составляет 90 градусов. Это обычная ситуация в физике, и с точки зрения тригонометрии это наименее сложная ситуация.

  Рисунок 5.18 Вектор AA с хвостом в начале координат x — y показан вместе с его x — и y — компоненты, AxAx и Ay.Ay. Эти векторы образуют прямоугольный треугольник.

  AxAx и AyAy определяются как компоненты AA вдоль осей x и y . Три вектора AA, AxAx и AyAy образуют прямоугольный треугольник.

  Ax + Ay = AAx + Ay = A

  Если вектор AA известен, то известны его модуль AA (его длина) и его угол θθ (его направление). Чтобы найти AxAx и AyAy, его компоненты x и y , мы используем следующие соотношения для прямоугольного треугольника:0003

  Ax=AcosθAx=Acosθ

  и

  Ay=Asinθ,Ay=Asinθ,

  , где AxAx — величина A в направлении x , AyAy — величина A в направлении y , а θθ — угол равнодействующая относительно оси x , как показано на рисунке 5.19.

  Рисунок 5.19 Величины компонент вектора AxAx и AyAy можно связать с результирующим вектором AA и углом θθ тригонометрическими тождествами. Здесь мы видим, что Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=Asinθ.Ay=Asinθ.

  Поддержка учителей

  Поддержка учителей

  [BL][OL][AL] Выведите формулу для получения величины и направления вектора.

  Предупреждение о заблуждении

  Учащиеся могут запутаться между отношением Ax + Ay = AAx + Ay = A, которое показывает сложение векторов, и A=Ax2+Ay2A=Ax2+Ay2, которое показывает сложение величин векторов.

  Предположим, например, что AA — это вектор, представляющий общее перемещение человека, идущего по городу, как показано на рис. 5.20.

  Рисунок 5.20 Мы можем использовать соотношения Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=AsinθAy=Asinθ для определения величины векторов горизонтальной и вертикальной составляющих в этом примере.

  Тогда A = 10,3 блока и θ=29,1∘θ=29,1∘, так что

  Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874)=9,0 блока. Ax=Acosθ=(10,3 блока)(cos29,1∘)=(10,3 блока)(0,874)= 9,0 блоков.

  5,6

  Эта величина указывает на то, что ходок прошел 9блоков на восток, другими словами, смещение на восток на 9 блоков. Аналогично,

  Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)=5,0 блока,Ay=Asinθ=(10,3 блока)(sin29,1∘)=(10,3 блока)(0,846)= 5,0 блоков,

  5,7

  , указывающее, что ходок переместился на 5 блоков к северу — смещение на 5 блоков к северу.

  Аналитический метод сложения и вычитания векторов

  Вычисление результирующего вектора (или сложения векторов) является обратным разбиением результирующего на его компоненты. Если известны перпендикулярные компоненты AxAx и AyAy вектора AA, то AA можно найти аналитически. как нам это сделать? Поскольку по определению

  tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax),tanθ=y/x (или в этом случае tanθ=Ay/Ax),

  мы находим θθ, чтобы найти направление равнодействующей.

  θ=tan−1(Ay/Ax)θ=tan−1(Ay/Ax)

  Поскольку это прямоугольный треугольник, для нахождения гипотенузы применима теорема Пифагора (x ² + y ² = h ² ). В этом случае он становится
  

  A2=Ax2+Ay2.A2=Ax2+Ay2.

  Решение для А дает

  А=Ах2+Ау2.А=Ах2+Ау2.

  Таким образом, чтобы найти величину AA и направление θθ вектора по его перпендикулярным компонентам AxAx и AyAy, как показано на рис. 5.21, мы используем следующие соотношения:

  A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/ Ax)A=Ax2+Ay2θ=tan−1(Ay/Ax)

  Рисунок 5.21 Величина и направление результирующего вектора AA могут быть определены после определения горизонтальных составляющих AxAx и AyAy.

  Поддержка учителей

  Поддержка учителей

  [BL][OL][AL] Продемонстрируйте задачу, связанную с перемещением, физически пройдясь в заданном направлении. Покажите, как это можно изобразить на графике. Объясните, что даже при аналитическом решении задач; представление его на графике облегчило бы визуализацию проблемы.

  Иногда добавляемые векторы не идеально перпендикулярны друг другу. Примером этого является приведенный ниже случай, когда векторы AA и BB складываются для получения результирующих R,R, как показано на рис. 5.22.

  Рисунок 5.22 Векторы AA и BB — это два этапа ходьбы, а RR — равнодействующее или полное перемещение. Вы можете использовать аналитические методы для определения величины и направления RR.

  Если AA и BB представляют собой два этапа ходьбы (два перемещения), то RR представляет собой общее перемещение. Человек, совершающий прогулку, оказывается на вершине RR. Есть много способов добраться до одной и той же точки. Человек мог идти прямо сначала в направлении x , а затем в г -направление. Эти пути являются x — и y -компонентами результирующего, RxRx и Ry. Ry. Если мы знаем RxRx и RyRy, мы можем найти RR и θθ, используя уравнения R=Rx2+Ry2R=Rx2+Ry2 и θ=tan–1(Ry/Rx)θ=tan–1(Ry/Rx) .

  1. Нарисуйте компоненты x и y каждого вектора (включая результирующий) пунктирной линией. Используйте уравнения Ax=AcosθAx=Acosθ и Ay=AsinθAy=Asinθ, чтобы найти компоненты. На рис. 5.23 это компоненты AxAx, AyAy, BxBx и By.By. Вектор AA образует угол θAθA с x -ось, а вектор BB образует угол θBθB с собственной осью x (которая немного выше оси x , используемой вектором A ).

     Рисунок 5.23 Чтобы сложить векторы AA и B,B, сначала определите горизонтальную и вертикальную составляющие каждого вектора. Это точечные векторы Ax,Ax,AyAyByBy, показанные на изображении.

  2. Найдите компонент результирующего размера x путем сложения компонентов векторов размером x .

     Rx=Ax+BxRx=Ax+Bx

     и найдите компонент y результирующей (как показано на рис. 5.24) путем сложения компонентов y векторов.

     Ry=Ay+By.Ry=Ay+By.

     Рисунок 5.24 Векторы AxAx и BxBx складываются, чтобы получить величину результирующего вектора в горизонтальном направлении, Rx.Rx. Точно так же векторы AyAy и ByBy складываются, чтобы получить величину результирующего вектора в вертикальном направлении, Ry.Ry.

     Теперь, когда мы знаем компоненты R,R, мы можем найти его величину и направление.

  3. Чтобы получить величину равнодействующей R, используйте теорему Пифагора.

     R=Rx2+Ry2R=Rx2+Ry2

  4. Чтобы получить направление результирующего

     θ=tan-1(Ry/Rx).θ=tan-1(Ry/Rx).

  Смотреть физику

  Пример классификации векторов и величин

  В этом видео сравниваются три вектора по величине, положению и направлению.

  Три вектора, \overrightarrow{\text{u}}, \overrightarrow{\text{v}} и \overrightarrow{\text{w}}, имеют одинаковую величину 5\,\text{единиц}. Вектор \overrightarrow{\text{v}} указывает на северо-восток. Вектор \overrightarrow{\text{w}} указывает на юго-запад точно напротив вектора \overrightarrow{\text{u}}. Вектор \overrightarrow{\text{u}} указывает на северо-запад. Если сложить векторы \overrightarrow{\text{u}}, \overrightarrow{\text{v}} и \overrightarrow{\text{w}}, какой будет величина результирующего вектора? Почему?

  1. 0\,\текст{единицы}. Все они будут компенсировать друг друга.

  2. 5\,\текст{единиц}. Два из них будут компенсировать друг друга.

  3. 10\,\текст{единиц}. Два из них будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую.

  4. 15 шт. Все они будут складываться вместе, чтобы дать равнодействующую.

  Советы для успеха

  В видео векторы были представлены стрелкой над ними, а не жирным шрифтом. Это обычное обозначение на уроках математики.

  Использование аналитического метода сложения и вычитания векторов для решения задач

  На рис. 5.25 для добавления векторов используется аналитический метод.

  Рабочий пример

  Ускоряющийся поезд метро

  Добавьте вектор AA к вектору BB, показанному на рис. 5.25, используя шаги, описанные выше. 9Ось 1104 x проходит в направлении восток-запад, а ось y — в направлении север-юг. Сначала человек проходит 53,0 м53,0 м в направлении 20,0°20,0° к северу от востока, представленном вектором А.А. Затем человек проходит 34,0 м34,0 м в направлении 63,0°63,0° к северу от востока, представленном вектором B.B.

  Рисунок 5,25 Вы можете использовать аналитические модели для добавления векторов.

  Стратегия

  Компоненты АА и ВВ вдоль х — и y -оси представляют ходьбу строго на восток и строго на север, чтобы добраться до одной и той же конечной точки. Мы найдем эти компоненты, а затем добавим их в направлениях x и y, чтобы найти результат.

  Решение

  Сначала найдем компоненты AA и BB по осям x — и y . Из задачи мы знаем, что A=53,0 м, A=53,0 м, θA=20,0∘, θA=20,0∘, BB = 34,0 м34,0 м и θB=63,0∘θB=63,0∘. Мы находим x -компоненты, используя Ax=AcosθAx=Acosθ, что дает

  Ax=AcosθA=(53,0 м)(cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 мAx=AcosθA=(53,0 м)(cos20,0∘)=(53,0 м)(0,940)=49,8 м

  и

  Bx=BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м)(0,454)=15,4 м. Bx=BcosθB=(34,0 м)(cos63,0∘)=(34,0 м )(0,454)=15,4 м.

  Аналогичным образом, y -компоненты находятся с использованием Ay=AsinθAAy=AsinθA

  Ay=AsinθA=(53,0 m)(sin20,0∘)=(53,0 m)(0,342)=18,1 мAy=Asinθ0A=(53,0002) m)(sin20,0∘)=(53,0 м)(0,342)=18,1 м

  и

  By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м)(0,891)=30,3 м. By=BsinθB=(34,0 м)(sin63,0∘)=(34,0 м)(0,891)=30,3 м.

  x — и y -компоненты равнодействующей равны

  Rx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=65,2 mRx=Ax+Bx=49,8 м+15,4 м=65,2 м

  Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м.Ry=Ay+By=18,1 м+30,3 м=48,4 м.

  Теперь мы можем найти величину равнодействующей по теореме Пифагора

  R=Rx2+Ry2=(65,2)2+(48,4)2 mR=Rx2+Ry2=(65,2)2+(48,4)2 m

  5,8

  так что

  R=6601 м=81,2 м.R=6601 м=81,2 м.

  Наконец, находим направление равнодействующей

  θ=tan−1(Ry/Rx)=+tan−1(48,4/65,2). θ=tan−1(Ry/Rx)=+tan−1( 48,4/65,2).

  Это

  θ=tan−1(0,742)=36,6∘.θ=tan−1(0,742)=36,6∘.

  Обсуждение

  В этом примере показано сложение векторов с использованием аналитического метода. Вычитание вектора с использованием аналитического метода очень похоже. Это просто добавление отрицательного вектора. То есть A−B≡A+(−B)A−B≡A+(−B) . Компоненты – BB являются минусами компонентов BB. Следовательно, x — и y -компоненты результата A−B=RA−B=R равны

  Rx=Ax+-BxRx=Ax+-Bx

  и

  Ry=Ay+-ByRy=Ay+-By

  3

  3 а остальная часть метода, описанного выше, идентична методу сложения.

  Практические задачи

  5.

  Какова величина вектора, у которого x -компонента равна 4 см, а y -компонента равна 3 см?

  1. 1 см
  2. 5 см
  3. 7 см
  4. 25 см

  6.

  Какова величина вектора, составляющего угол 30° с горизонтом и чья x -компонента равна 3 единицам?

  1. 2,61 шт.
  2. 3,00 шт.
  3. 3,46 шт.
  4. 6,00 шт.

  Проверьте свое понимание

  7.

  Между аналитическим и графическим методами сложения векторов, что точнее? Почему?

  1. Аналитический метод менее точен, чем графический, поскольку первый включает геометрию и тригонометрию.
  2. Аналитический метод является более точным, чем графический метод, поскольку последний включает в себя некоторые обширные вычисления.
  3. Аналитический метод менее точен, чем графический, потому что первый включает рисование всех фигур в правильном масштабе.
  4. Аналитический метод более точен, чем графический, поскольку последний ограничен точностью чертежа.

  8.

  Что является компонентом двумерного вектора?

  1. Компонент — это часть вектора, которая указывает либо в направлении x , либо в направлении y .
  2. Компонент — это часть вектора, которая имеет половину величины исходного вектора.
  3. Компонент — это часть вектора, указывающая в направлении, противоположном исходному вектору.
  4. Компонент — это часть вектора, указывающая в том же направлении, что и исходный вектор, но с удвоенной величиной.
  9{-1}\frac{A_y}{A_x}

10.

Как мы можем определить величину вектора, если мы знаем величины его компонент?

1. |A→|=Ax+Ay|A→|=Ax+Ay
2. |A→|=Ax2+Ay2|A→|=Ax2+Ay2
3. |A→|=Ax2+Ay2|A→|=Ax2+Ay2
4. |A→|=(Ax2+Ay2)2|A→|=(Ax2+Ay2)2

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте Проверьте свое понимание вопросов, чтобы оценить, достигают ли учащиеся целей обучения в этом разделе. Если учащиеся испытывают затруднения при выполнении определенной задачи, форма Check Your Understanding поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

CS307: Введение в компьютерную графику

При автоматической настройке задействовано значительное количество 3D-геометрии. камера. (Еще больше задействовано использование мыши для перетаскивания камеры к другой точке зрения, но мы пока отложим это.) Нам также нужно чтобы понять некоторую геометрию векторов, чтобы сделать вычисления для материала и освещение.

Итак, сейчас мы атакуем его. Это чтение объясняет соответствующую математику. Наиболее важной частью нижеследующего является понимание скалярного произведения. Скалярный продукт используется несколькими способами в модель освещения, поэтому чем вам с ней удобнее, тем лучше. Мы не будем использовать кросс-произведения в материале и освещении, но позже в семестр, и здесь он вполне подходит, но если вы заблудитесь в понимая перекрестный продукт, не волнуйтесь.

Векторная математика

Интуитивно и геометрически вектор представляет собой стрелку . Это имеет длину и направление . В системе координат мы может представить вектор как тройку чисел $(\Delta x, \Delta y, \Дельта г)$.

Конечно, тройка чисел также используется для представляют точек . Есть ли разница? Да. Точка имеет местоположение , но не длину и вектор имеет длину , но не местоположение. Вы можете получить одно от другого, хотя. Если у нас есть две точки, A и B, мы можем найти вектор из A в B с помощью вычитания: \[ \vecIII{\Delta x}{\Delta y}{\Delta z} = \vec{v} = В — А = \vecIII{b_x}{b_y}{b_z} — \vecIII{a_x}{a_y}{a_z} = \vecIII{b_x-a_x}{b_y-a_y}{b_z-a_z} \]

Векторы и точки в однородных координатах

Интересно, мы можем отличить векторы от точек в однородных координатах , о которых мы узнали в контекст аффинных преобразований. Очки имеют $w=1$, и (как вы можете см. из вычитания выше) векторы имеют $w=0$: \[ \vecIV{\Delta x}{\Delta y}{\Delta z}{0} = \vec{v} = В — А = \vecIV{b_x}{b_y}{b_z}{1} — \vecIV{a_x}{a_y}{a_z}{1} \]

Скалярное произведение

Обозначение $v\cdot w$ означает произведение точек или скалярное произведение или (иногда) внутреннее произведение двух векторов, $v$ и $w$. В абстрактной математике мы можем говорить о выборе внутреннего произведение в векторном пространстве, и этот внутренний продукт должен удовлетворять определенным характеристики:
• $v\cdot w\in\Re$. То есть скалярное произведение двух векторов — это просто действительное число, скаляр (не вектор).
• $\forall\ v, v\cdot v=0 \mathrm{~iff~} v=\vec{0}$. то есть точка произведение вектора на самого себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор является нулевой вектор. В 3D нулевой вектор равен (0,0,0).
• (коммутативность) $v \cdot w = w \cdot v$. {n} v_i w_i \]

  На самом деле, поскольку мы используем только 3 измерения, $x$, $y$ и $z$: \[ v \cdot w = v_x w_x + v_y w_y + v_z w_z \]

  Вы можете легко проверить, что это определение скалярного произведения удовлетворяет требуемые свойства.

  Обратите внимание, что вычисление одного элемента матричного умножения — это то же самое, что и скалярное произведение: результирующий элемент является скалярным произведением строка из первой матрицы со столбцом из второй матрицы.

  Пример

  Предположим, у нас есть следующие два вектора: \[ \begin{выравнивание*} v &=& (1,2,3) \\ ш &=& (6,5,4) \\ \end{выравнивание*} \]

  Скалярное произведение этих векторов равно: \[ v \cdot w = 1\ast6+2\ast5+3\ast4 = 6+10+12 = 28 \]

  Обратите внимание, что скалярное произведение двух векторов является скаляром : действительное число, а не вектор.

  Длина

  Учитывая скалярное произведение, мы можем определить длину вектора: \[ |v| = \sqrt{v\cdot v} \]

  Это всего лишь наш старый друг, замаскированная теорема Пифагора! Почему? Поскольку скалярное произведение вектора на самого себя в конечном итоге приводит к квадрату каждого элемент и суммировать их. 2} = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7 \]

  Если мы нормализуем $v$, что мы получим? Пусть $w=v/|v|$, получаем \[w = (2,3,6)/7 = (2/7,3/7,6/7) \ приблизительно (0,28,0,43,0,86) \]

  Легко проверить, что $|w|=1$. Вектор $w$ точно такой же направление как $v$, но это одна единица длины.

  Углы между векторами

  Угол между двумя векторами $v$ и $w$ можно найти с помощью следующая формула: \[ \cos(\theta) = \frac{v\cdot w}{|v||w|} \]

  , который мы также можем представить как: \[ \cos(\theta) = \frac{v}{|v|} \cdot \frac{w}{|w|} \]

  Другими словами, это просто скалярное произведение двух единичных векторов. То есть, если оба из двух векторов $v$ и $w$ нормализованы (длина одна единица), формула косинуса угла между ними принимает вид следующее, что удивительно просто: \[ \cos(\theta) = v\cdot w \]

  Это хорошая новость, потому что скалярное произведение вычисляется очень быстро: в 3D, это всего лишь 3 умножения и 2 сложения. Получается, что косинус угол часто требуется в компьютерной графике, поэтому возможность вычислить его так просто чрезвычайно ценно. На самом деле бывают случаи, когда хвост виляет собакой: используется косинус угла, потому что он такой быстрый вычислить. Он часто используется в расчетах освещения. 92} = \sqrt{81+36+4} = \sqrt{121} = 11 \]

  Следовательно, косинус угла между $v$ и $w$ равен: \[ \cos(\theta) = \frac{v\cdot w}{7\ast 11} = \frac{2\ast9+3\ast6+6\ast2}{77} = \frac{18+18+12}{77} = \ гидроразрыва {48} {77} \ приблизительно 0,62 \]

  Если по какой-то причине нам нужен фактический угол, мы можем вычислить дугу косинус, но нам это почти никогда не понадобится. (Этот угол составляет около 51 градусов.)

  Пример 2

  Предположим, у нас есть векторы $x=(1,0,0)$ и $y=(0,1,0)$. То есть эти являются единичными векторами, которые указывают в направлении осей X и Y. Это легко видеть, что скалярное произведение между ними равно нулю.

  Что это значит? Если косинус угла равен нулю, то угол — прямой угол (девяносто градусов). То есть эти два вектора перпендикулярно . (Мы не удивлены, что они перпендикулярны, но приятно видеть, что расчет это подтверждает.) В линейном В алгебре термин ортогональный используется для векторов, которые перпендикуляр. На гиковском языке мы говорим, что две вещи «ортогональны». если одно не влияет на другое. Это имеет смысл, потому что мы можем перевести объект на кратное вектору $x$, не затрагивая его Y координаты, и переведем ее на кратные вектору $y$ без влияет на его координату X.

  Пример 3

  Что мы можем сказать об угле $\theta$ между векторами: \[ \begin{выравнивание*} v &=& (2,3,6)\\ и &=& (-6,10,-3)\\ \end{выравнивание*} \]

  Косинус угла находится по формуле: \[ \cos(\theta) = \frac{(2,3,6)\cdot(-6,10,-3)}{|v||u|} = \frac{-12+30-18}{|v||u|} = \frac{0}{|v||u|} = 0 \]

  Итак, эти векторы перпендикулярны (ортогональны).

  Применение закона косинусов

  В этом разделе доказывается, что скалярное произведение нормализованных векторов равно угол между ними. Можете пропустить, если вам не интересно. два вектора, v и w, и их разность, v-w, которая стрелка между конечными точками 9п v_i w_i}{|v| |ш|} \]

  , но этот числитель — просто скалярное произведение $v$ и $w$, поэтому \[ \cos(\theta) = \frac{v\cdot w}{|v| |ш|} \]

  Перекрестное произведение

  Как мы знаем, скалярное произведение двух векторов дает скаляр . Перекрестное произведение дает вектор : тот, который перпендикулярен оба из них. В 3D перекрестное произведение равно: \[ \begin{выравнивание*} \vec{n} &=& \vec{v}\times\vec{w} \\ &=& \vecIII{v_x}{v_y}{v_z}\times\vecIII{w_x}{w_y}{w_z} \\ &=& \vecIII{v_yw_z-v_zw_y}{v_zw_x-v_xw_z}{v_xw_y-v_yw_x} \end{выравнивание*} \]

  Обратите внимание, что порядок имеет значение: $v \times w = — w \times v$. Заметьте также, что при вычислении $n_x$ вы используете только члены из компонентов Y и Z, и аналогично для $n_y$ и $n_z$. Есть хороший графический способ запомнить способ вычислить это. Глядя на следующие цифры, умножьте термины, соединенные линиями, и вычесть одну строку из другой. Для Х и Z, вы вычитаете большую диагональ (с наклоном вправо) из малой диагонали, а для Y вы вычитаете их в обратном порядке (или просто отрицать результат). Как вычислить перекрестный продукт

  Направление векторного произведения

  В каком направлении указывает вектор? Для этого нам понадобится правило правой руки : направьте пальцы правой руки в направлении первого вектора, проведите их ко второму, и ваш большой палец указывает в направлении поперечного произведения. В качестве альтернативы укажите большой палец в направлении первого вектора, указательный в направлении направлении второго, а средний палец в направлении перекрестный продукт.

  Интересно, что $z=x\times y$, $x = y \times z$ и $y = z \times x$. Что — нормированный вектор, параллельный оси $z$, (0,0,1) — крест произведение векторов для оси $x$ (1,0,0) и оси $y$ (0,1,0).

  Длина поперечного произведения

  Длина перекрестного произведения, деленная на длины двух vectors дает синус угла между двумя векторами: \[ \sin(\theta) = \frac{|v\times w|}{|v| |ш|} \]

  Пример перекрестного продукта

  Найдите векторное произведение следующих двух векторов: \[ \begin{выравнивание*} v &=& (2,3,6)\\ ш &=& (9,6,2)\\ \end{выравнивание*} \]

  Напишем векторы вертикально, чтобы найти результат.

Соответственные углы равны. Соответственные углы при параллельных прямых.

• Альфашкола
• Статьи
• Соответственные углы

В геометрии пары углов могут относиться друг к другу различными способами. В этом статье мы научимся определять  соответственные углы.

 
Соответствующие пары углов на приведенном выше рисунке: \( b <—> f; c <—> g ; a <—> e.\)

Секущая — это прямая линия, пересекающая две или более прямых линий. Соответственные углы — это углы, которые находятся в одном и том же относительном положении на пересечении поперечной и по крайней мере двух линий.

Если две линии параллельны, то соответственные углы равны.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Ирина Евгеньевна Русакова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Пермский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор по математике для 5-11 классов и информатике для 1-11 классов. Готовлю к ОГЭ, ЕГЭ. Окончила Пермский государственный университет в 2009 году. Педагогический стаж 10 лет. Квалификационная категория Первая. Педагогическое кредо: Скажи мне, и я забуду, покажи мне, и я, может быть запомню, вовлеки меня, и я пойму. Алгоритмика для начальных классов: могу научить детей начальной школы правильно составлять алгоритмы. Составлять алгоритмы для простых исполнителей, рисовать картинки определенные с помощью алгоритма исполнителю и др.

Виктория Анатольевна Луковская

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Таганрогский педагогический институт им. А.П. Чехова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 4-11 классов. Математика дисциплинирует и воспитывает ум, это основа для всех наук. Очень люблю работать с детьми! Уроки проходят в комфортной обстановке, к каждому ученику подхожу индивидуально, объясняю доступно и понятно. На занятиях применяю игровые приемы, схемы, графики и презентации, для того, чтобы учащимся было интересно.

Жанна Александровна Бояркина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Благовещенский государственный педагогический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Всегда готова поделиться знаниями! Считаю, что учить наизусть скучные правила необязательно. Главное — понимать что и как, тогда ученик и без скучных заучиваний сможет свободно сформулировать любое правило, а полученные знания будут прочными и навсегда. Готовлю к ОГЭ и ЕГЭ, мои ученики показывают хорошие и отличные результаты на экзаменах. На уроках придерживаюсь трех единств: наглядно, понятно, просто.

Похожие статьи

• Жизни математиков (часть 1)
• Формула площади эллипса
• РУДН: Физика (факультет)
• 3 причины изучать математику, даже если вы убежденный «гуманитарий»
• Уравнения смешанного типа
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на исследование функций (вариант 4)
• Зелень в рационе ребенка: когда и какую можно давать
• Как использовать материнский капитал на образование: полная инструкция для родителей

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Основы планиметрии.

• Что общего у солнечного луча и геометрического?
• Можно ли кого-то наказать углом? 
• Одинаковы ли прямые?

В жизни мы часто встречаемся с такими выражениями  как “точка на карте”, “идти по прямой” или “угол комнаты”. Но знали ли вы, что в этих фразах упоминаются термины из геометрии?

Для начала давайте разберемся именно с геометрическими терминами.

Что такое точка, прямая, луч, отрезок и угол?

Точка – это математический объект, точного определения для которого не существует.

Прямая – это бесконечная линия.

Луч – это прямая, ограниченная точкой с одной стороны. У луча есть начало, но нет конца.

Отрезок – это прямая, ограниченная точками с обеих сторон. Отрезок состоит из бесконечного множества точек, лежащих на линии между концами отрезка.

Чем отличается луч от отрезка?

Луч ограничен только с одной стороны, а отрезок ограничен с двух.

Угол – это фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки.

Давайте детально рассмотрим углы

Элементы угла

Виды углов и их градусная мера

Существует четыре вида углов.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы – это два угла, у которых одна общая сторона, а две другие лежат на одной прямой. Такие углы в сумме дают 180⁰.

Вертикальные углы – это углы, вершиной которых является одна и та же точка, стороны одного такого угла являются продолжениями сторон другого такого угла. Вертикальные углы всегда равны.

Теперь давайте перейдём к прямым и их расположению на плоскости.

Пересекающиеся и параллельные прямые

Пересекающиеся прямые – это прямые, у которых есть одна общая точка.

Перпендикулярные прямые – это прямые, пересекающиеся под прямым углом. Такие прямые образуют четыре прямых угла при пересечении.

А что такое параллельные прямые?

Параллельные прямые – это прямые, не имеющие ни одной общей точки.

Параллельные и перпендикулярные прямые можно встретить не только в планиметрии, но и в повседневной жизни, например, рельсы и шпалы.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы параллельных прямых:

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую параллельную прямую.

2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна третьей прямой, то все эти прямые параллельны друг другу.

Чтобы доказать, что прямые являются параллельными, используются признаки параллельности прямых.

Прежде чем перейти к признакам параллельности прямых, рассмотрим углы при пересечении двух прямых секущей.

Секущая – это прямая, пересекающая несколько других прямых.

При таком расположении прямых можно выделить три вида углов:

• накрест лежащие углы,
• односторонние углы,
• соответственные углы.

Рассмотрим данные углы на примере

Накрест лежащие: 4 и 6, 3 и 5.
Односторонние: 4 и 5, 3 и 6.
Соответственные: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

А теперь вернёмся к признакам

Признаки параллельности прямых:

Теорема 1:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 2:

Если при пересечении двух прямых секущей, соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Теорема 3:

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180⁰,то прямые параллельны.

Также существуют свойства параллельности прямых. Что мы назовем свойствами параллельности прямых? 

Удивительно, но это те же самые признаки, только ставшие перевертышами. Свойства действуют в обратную сторону. Посмотрим, какие свойства параллельных прямых бывают:

1. Если прямые параллельны, то при пересечении этих прямых секущей накрест лежащие углы равны.
2. Если прямые параллельны, то при пересечении этих прямых секущей соответственные углы равны.
3. Если прямые параллельны, то при пересечении этих прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800.

• Основными геометрическими элементами являются точка, прямая, луч, отрезок, угол.
• Углы бывают смежные и вертикальные.
• Прямые бывают пересекающиеся и параллельные. К пересекающимся прямым относятся и перпендикулярные прямые.
• Углы при пересечении двух прямых секущей: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
• Для определения параллельных прямых существует три признака. Также существуют и свойства параллельных прямых, которыми являются обратные признакам утверждения.

Аксиома – это утверждение, не требующее доказательства.

Задание 1.
Какими углами являются углы 1 и 2?

1. Вертикальными
2. Накрест лежащими
3. Смежными 
4. Односторонними

Задание 2.
Какими углами являются углы 4 и 8?

1. Вертикальными
2. Соответственными
3. Смежными 
4. Односторонними

Задание 3.
Угол 4 равен 60⁰. Чему равен угол 5?

1. 120⁰
2. 60⁰
3. 30⁰
4. 20⁰

Задание 4.
Угол 4 равен 60⁰. Чему равен угол 7?

1. 120⁰
2. 60⁰
3. 30⁰
4. 20⁰

Задание 5.
Угол 5 равен 50⁰. Чему равен угол 8?

1. 150⁰
2. 65⁰
3. 130⁰
4. 50⁰

Ответы: 1. – 3; 2. – 2; 3. – 2; 4. – 1; 5. – 4

урок геометрии по теме «Соответственные углы»

org/Person»>Герман Евгения Николаевна, учитель математики
Киренского района Иркутской области

Цели урока: Триединая дидактическая цель: Цель обучения:формирование понятия «соответственные углы»; организация работы обучающихся по отработке действий по формированию понятия: распознавания, выведение следствий из факта принадлежности объекта объему данного понятия. Цель развития: формирование у обучающихся мыслительных операций: сравнения и аналогии, развитие устной и письменной речи обучающихся, развитие алгоритмического мышления, формирование и развитие умственных действий распознавания и выведения следствия. Цель воспитания: воспитание потребностей в приобретении и углублении знаний, обеспечение учебного сотрудничества с учителем. Методы обучения:репродуктивный, объяснительно-иллюстративный. Приемы обучения: использование заданий наводящих вопросов, побуждающих к актуализации знаний, объяснение, демонстрация, показ.

Посмотреть публикацию
Скачать свидетельство о публикации(справка о публикации находится на 2 листе в файле со свидетельством)

Скачать справку о публикации

Ваши документы готовы. Если у вас не получается скачать их, открыть или вы допустили ошибку, просьба написать нам на электронную почту [email protected] (обязательно укажите номер публикации в письме)

ПЛАН ПО ФОРМИРОВАНИЮ ПОНЯТИЯ

Тема урока: Соответственные углы.

Класс: 7

Тип урока: урок формирования понятий – соответственные углы.

Цели урока:

Триединая дидактическая цель:

Цель обучения:формирование понятия «соответственные углы»; организация работы обучающихся по отработке действий по формированию понятия: распознавания, выведение следствий из факта принадлежности объекта объему данного понятия.

Цель развития: формирование у обучающихся мыслительных операций: сравнения и аналогии, развитие устной и письменной речи обучающихся, развитие алгоритмического мышления, формирование и развитие умственных действий распознавания и выведения следствия.

Цель воспитания: воспитание потребностей в приобретении и углублении знаний, обеспечение учебного сотрудничества с учителем.

Методы обучения: репродуктивный, объяснительно-иллюстративный.

Приемы обучения: использование заданий наводящих вопросов, побуждающих к актуализации знаний, объяснение, демонстрация, показ.

1. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП

Цель: актуализация понятий: плоскость, полуплоскость, угол, виды углов, параллельные прямые.

Актуализация умений: определять расположение точек относительно прямой

Метод обучения: репродуктивный.

Прием обучения: фронтальный опрос с использованием тренировочных карточек.

У: Рисуем в тетрадях область, ограниченную плавной линией. Какую фигуру мы договорились обозначать подобным образом?

О: плоскость

У: Какие еще предметы напоминают нам плоскость? Чем характеризуется плоскость?

О: Поверхность парты, тетрадный лист. Плоскость распространяется во все стороны неограниченно.

У: Обозначим нашу плоскость греческой буквой α. При помощи линейки проводим прямую, разделяющую нашу плоскость на две части и дадим этой прямой имя а. Прямая а делить плоскость на две полуплоскости. Давайте раскрасим наши полуплоскости в разные цвета и дадим им имена: β и γ, а также поставим точки с именами как на доске. Что мы можем сказать про эти точки?

О: А принадлежит а, В принадлежит а;

Е принадлежит γ, F принадлежит γ;

С принадлежит β, D принадлежит β.

У: А теперь самостоятельно определим соотношение полуплоскостей, прямой и точек по отношению друг к другу, выполнив задание на карточке.

У: Проверяем выполнение карточки, озвучивая ответ с места. Какая геометрическая фигура называется углом?

О: Углом называется фигура на плоскости, состоящая из точки – вершины и двух лучей – сторон, выходящих из этой вершины.

У: Какие виды углов вам известны?

О: Углы, отличающиеся по градусной мере (тупой, острый, прямой и развернутый – углы «одиночки») и вертикальные и смежные- «парные углы»

У: Определите виды углов, представленные на рисунке:

Во время выполнения задания, учитель проверяет правильность выполнения карточки.

У: Какие прямые называются параллельными?

О: две прямые называются параллельными, если они не пересекаются.

2. МОТИВАЦИОННЫЙ ЭТАП

Цель: побуждение интереса к изучению понятия соответственные углы.

Прием мотивации: показ практической значимости правильного определения параллельности.

Прием обучения: создание ситуации, свидетельствующей о недостатке знаний.

Оборудование: презентация.

НА слайде представлены фотографии разрушенного дома, автомобильной аварии.

У: Вот к таким последствиям может привести несоблюдение принципа параллельности при возведении и сооружении объектов жизнеобеспечения. Так при постройке дома, если элементы (каркас) здания располагаются не параллельно, это влияет на прочность здания.

Дорожная размета в виде полос, разграничивающих встречные потоки и область проезжей части, проведенных не параллельно друг к другу приводит к аварии. Кроме того, электропровода, натянутые не параллельно друг к другу, могут сомкнуться, что приведет к замыканию, а, следовательно, и к прекращению подачи электроэнергии и в худшем случае, к пожару.

Возникает вопрос, как определить, что некоторые прямые, являются параллельными? Геометрия дает ответ на данный вопрос при помощи работы с углами, градусную меру которых вычислить на практике значительно проще.

.

ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ ЭТАП

Цель: ввести определение и организовать работу обучающихся по усвоению понятия «соответственные углы».

Метод обучение: объяснительно-иллюстративный.

Приемы обучения: демонстрация, показ, объяснение.

А) Введение определения

Цель: ввести определение понятия «соответственные углы»

Способ: конкретно-индуктивный.

У: Изобразим плоскость. Разделим нашу плоскость прямой, а на две полуплоскости и дадим им имена β и γ. Отметим на этой прямой две точки А и В. В плоскости β также отметим две точки, назовем их C и D. Через точку А на прямой и точку C на полуплоскости проведем одну прямую, и через две оставшиеся точки проведем вторую прямую. Прямая а называется секущей прямых в и с.

Чем отличается секущая, от двух других прямых.

О: имеет две общих точки с этими двумя прямыми.

Отметим дугами углы 1 и 2 . Что мы можем сказать об этих углах относительно того, как они расположены по отношению к секущей а ?

О: расположены с одной стороны от секущей а в одной полуплоскости ,,.

У: что мы можем сказать о расположении этих углов относительно двух прямых, отличных от секущей?

О: они расположены по одну сторону от этих прямых.

У: Что является сторонами этих углов?

О: стороной угла 1 является секущая и прямая AD стороной угла 2 является эта же секущая и прямая ВС.

У: Итак, давайте подведем итог, о том, что

два угла,

образованные при пересечении двух прямых секущей, то есть расположенные между секущей и каждой из этих прямых;

расположенные в одной полуплоскости от общей секущей;

расположенные с одной стороны от двух прямых – называются соответственными.

А теперь дадим определение соответственным углам.

О: Соответственные углы – это два угла, образованные при пересечении двух прямых секущей, расположенные по одну сторону от прямых и в одной полуплоскости от общей секущей.

Б) Формирование ведущего действия – распознавание понятия соответственные углы

Цель: формировать действие распознавания соответственных углов.

Способ управления деятельностью: прямой.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Представление в материализованном виде

У: Проверим, какие из углов являются соответственными.

Этап громкой и внутренней речи:

У: выполните задание на карточке

Определите, являются выделенные углы 1 и 2 соответственными?

У: проверяем задание зачитывая по очереди ответ.

В) Формирование действия выведения следствий из факта принадлежности объекта объему данного понятия

Цель: показ применения изученного понятия на практике.

Способ управления деятельностью: прямой.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Ориентировочная основа

У: Давайте представим, какие выводы мы можем сделать, если нам будет известно, что углы соответственные?

О: одна пара сторон принадлежит секущей, а вторая пара сторон лежат в одной полуплоскости от некоторой прямой, являющейся секущей.

У: Посмотрим, ответы на какие вопросы мы можем получить, если выполним следующее упражнение. (текст упражнения на слайде)

Этап громкой и внутренней речи

У: самостоятельно выполните следующее упражнение (задание на карточках)

4. ЭТАП ПЕРВОНАЧАЛЬНОГО ПРИМЕНЕНИЯ ПОНЯТИЯ

Цель: показ применения изученного понятия на практике.

У: Решите упражнения.

5. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ УРОКА

У: Ответьте на следующие вопросы:

Мы все углы, которые на сегодняшний день изучили условно разделили на две большие группы, это углы «одиночки » и «парные» углы. К каким углам можно отнести соответственные углы?

О: к «парным» углам

У: А чем они отличаются от вертикальных и смежных углов.

О: образуются при пересечении двух прямых секущей.

У: Сколько всего пар соответственных углов можно выделить при одной секущей, пересекающей две прямые?

О: 4 пары.

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

У: Выучить определения понятия соответственные углы, выполнить задание на карточке (перечислить соответственные углы).

Задание: Перечислите пары соответственных углов при секущих e, d, c, b, дав им «имена», состоящие из трех букв. Дайте «имя» точкам ?

Внутренние односторонние углы — теория, правило и свойства » Kupuk.net

Чтобы дать верное определение внутренним односторонним углам, нужно отличать их от вертикальных, смежных, соответственных и накрест лежащих. Их объединяет то, что они могут быть образованы двумя параллельными прямыми и пересекающей их линией. Утверждение о том, что сумма внутренних односторонних углов составляет 180 градусов, позволяет доказать теорему о параллельности прямых.

Углы по определению

Прямая, которая пересекает другие линии, идущие параллельно друг другу, образует не только внутренние, но и внешние углы. Один из них дополняет другой до 180 градусов. Это свойство можно доказать как для смежных, так и односторонних внутренних, каждый из которых имеет соответственный внешний.

Углы, расположенные на одной стороне от секущей, пересекающей 2 линии, идущие параллельно, называются накрест лежащими. Они отличаются от односторонних, образуя с ними смежные. В сумме они составляют 180 градусов.

Отрезок между линиями, проведенными параллельно между собой, можно обозначить AB. Если представить, что AB=0, то параллельные будут совпадать, а соответственные углы и односторонние станут смежными. Их сумма должна быть 180 градусов.

Доказательство теоремы

Прямые являются параллельными, если сумма односторонних внутренних углов равна 180. Нужно доказать теорему по исходным данным. Секущая АВ является линией пересечения параллельных а и b.

Для доказательства теоремы можно допустить, что линии не являются параллельными, значит они пересекают друг друга в определенной точке С. Секущая АВ образует с а и b треугольник АВС, поскольку точка С лежит в одной из двух плоскостей относительно АВ. На линии а расположена сторона треугольника АС, а на b — ВС.

Если в противоположной полуплоскости отложить точку С1, то она образует с АВ другой треугольник АВС1. При этом по построению углы ВАС и АВС1 равны. Сумма САВ и СВА составляет 180, что указано в условии задачи. Следовательно, сторона АС1 принадлежит а, аналогично, ВС1 — линии b.

Точка пересечения С линий а и b принадлежит этим прямым. Вместе с тем точка С1 не может лежать на каждой из них, поскольку она находится в полуплоскости, где линии по построению не пересекаются.

Если в сумме односторонние углы составляют 180, то треугольника АВС1 не существует, значит а || b.

Следствие из свойства прямых

На прямую а может быть опущен единственный перпендикуляр из любой точки А, которая не принадлежит данной линии. Доказательство утверждения состоит из следующих шагов:

Поскольку из точки А нельзя проводить перпендикуляр АС3 и править треугольник АС2С3, дополняя его другим перпендикулярным отрезком, то согласно свойству параллельных прямых АС2||АС3.

Итак, отрезок АВ является единственным перпендикуляром, проходящим через точку А.

Построение параллелограмма

Если односторонние углы не прямые, то один из них является острым, а другой — тупым, то есть меньшим или большим по величине. Если через каждый из них провести биссектрисы, то они должны пересечь противоположные стороны в определенных точках. Для этого достаточно отложить отрезки на параллельных линиях, равные AB, используя циркуль.

Секущая и отрезки, принадлежащие проведенным биссектрисам, образуют 2 треугольника вместе с параллельными. Напротив большего угла будет находиться биссектриса, отсекающая наибольший отрезок. Это подтверждает теорема о соотношении между углами и сторонами разностороннего треугольника.

Соединив точки пересечения биссектрис с параллельными прямыми, можно построить четырехугольник ABCD. Чтобы доказать, что полученная фигура является параллелограммом, достаточно учесть следующее:

По построению AB=BD=AD.

Отложив от A и B равноудаленные точки C и D, можно получить линию CD, которая параллельна AB. Тогда CD — отрезок, перпендикулярный параллельным прямым BC и AD. Поскольку все отрезки полученной фигуры ABCD пересекаются перпендикулярно, то она является прямоугольником по построению.

Доказательство теоремы позволяет определять, какой является величина второго из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей. Решение задач по геометрии позволяет найти их градусную меру и в зависимости от разности между ними.

Признаки параллельности прямых. Секущая | Геометрия

Содержание

Как мы выяснили на прошлом уроке, прямая, пересекающая данную прямую, пересечет также прямую, параллельную данной. Это следствие из аксиомы параллельности открывает нам возможность сформулировать конкретные признаки параллельности прямых, по которым можно доказательно заключать о параллельности тех или иных прямых. Вы все правильно поняли: от аксиом мы наконец переходим к теоремам.

Что такое секущая

Даны прямые $a$ и $b$, параллельные друг другу, и прямая $c$, которая пересекает данные прямые в двух точках.

Подобная прямая, пересекающая две прочие прямые, в геометрии называется секущей. Секущая может проводиться как по отношению к параллельным прямым, так и к непараллельным.

Секущая — прямая пересекающая две прямые, лежащие в одной плоскости, в двух разных точках.

Обращаем внимание на углы при секущей: секущая при пересечении с параллельными прямыми образует восемь углов, которые на чертеже обозначены заглавными латинскими буквами: A, B, C и так далее. Некоторые пары углов при секущей настолько важны, что за ними даже закреплены отдельные названия:

• односторонние углы — $\angle{A}$ и $\angle{H}$, $\angle{B}$ и $\angle{G}$;
• накрест лежащие углы — $\angle{A}$ и $\angle{G}$, $\angle{B}$ и $\angle{H}$;
• соответственные углы — $\angle{A}$ и $\angle{E}$, $\angle{B}$ и $\angle{F}$, $\angle{D}$ и $\angle{H}$,
  $\angle{C}$ и $\angle{G}$;

Внутренние и внешние углы при секущей

Внутренние углы при секущей — это углы, которые находятся в общих для прямых полуплоскостях. Однако секущая также образует и внешние углы — те, что располагаются в не пересекающихся полуплоскостях прямых. Посмотрите на чертежи: для наглядности «зоны» внутренних и внешних углов выделены цветом.

К внутренней «зоне» относятся углы $\angle{A}$, $\angle{B}$, $\angle{H}$ и $\angle{G}$.

К внешней «зоне» относятся углы $\angle{D}$, $\angle{C}$, $\angle{E}$ и $\angle{F}$.

Примечательно, что соответственные углы — это пары, состоящие из одного внутреннего и одного внешнего угла. А при должном внимании вы могли догадаться, что накрест лежащие и односторонние углы были выше нами указаны только для внутренней «зоны». Аналогичные пары вообще-то имеются и во внешней «зоне».

{"questions":[{"content":"Закрепим. Расположите пары углов согласно их названию. Теперь мы будем учитывать как внутреннюю область, так и внешнюю. [[image-2]] [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Внутренние накрест лежащие углы","Внешние накрест лежащие углы","Внутренние односторонние углы","Внешние односторонние углы","Соответственные углы"],"items":[["$\\angle{A}$ и $\\angle{G}$","$\\angle{B}$ и $\\angle{H}$"],["$\\angle{D}$ и $\\angle{F}$","$\\angle{C}$ и $\\angle{E}$"],["$\\angle{A}$ и $\\angle{H}$","$\\angle{B}$ и $\\angle{G}$"],["$\\angle{D}$ и $\\angle{E}$","$\\angle{C}$ и $\\angle{F}$"],["$\\angle{A}$ и $\\angle{E}$","$\\angle{B}$ и $\\angle{F}$","$\\angle{D}$ и $\\angle{H}$","$\\angle{C}$ и $\\angle{G}$"]]},"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr. ru/wp-content/uploads/2022/03/angles-ABCD.svg"}}}]}

Признаки параллельности прямых: накрест лежащие углы

Очевидно, что проведение секущей — это специальный геометрический метод для определения параллельности прямых. По тому, являются ли те или иные пары углов, образованные секущими, равными, можно заключать о параллельности или непараллельности прямых. Одна из таких пар — накрест лежащие углы.

Признак параллельности прямых по накрест лежащим углам. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Доказательство. Проведем прямые $a,$ $b$ и секущую $c$, пересекающую прямые в точках $A$ и $B$ соответственно. По условию прямые образуют с секущей пару равных накрест лежащих углов$\angle{1}$ и $\angle{2}$. Воспользуемся методом от противного и предположим, что прямые не параллельны. Тогда они будут пересекаться в некоторой точке $C$. \circ$. Мы пришли к противоречию.

Следовательно прямые параллельны. Теорема доказана.

Внешние

накрест лежащие углы!

Заметьте, что при доказательстве мы опирались на равенство внутренних накрест лежащих углов, хотя, если взять признак параллельности прямых, тексте теоремы указана общая формулировка — «накрест лежащие углы», без обозначения их расположения относительно полуплоскостей прямых.

Ответ прост: если доказать признаки параллельности прямых, опираясь на равенство внутренних накрест лежащих углов, внешнее расположение — не более чем условность.

Возьмем для примера $\angle{B}$ и $\angle{H}$. Для $\angle{B}$: внешний $\angle{D}$ — с ним вертикальный; внешний $\angle{C}$ — смежный. Аналогично для $\angle{H}$: $\angle{F}$ и $\angle{E}$ соответственно.

Вертикальные углы равны, поэтому получаем равенство $\angle{D}$ и $\angle{F}.$ У равных углов смежные с ними углы также будут равны, отсюда $\angle{C}=\angle{E}$. Поэтому теорема обычно доказывается по внутренним накрест углам, ведь равенство таких же внешних — прямое следствие.

Признаки параллельности прямых: задача

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в общей середине $O$. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ при этом параллельны.

Дано:

$AB, CD$
$AO=OB$
$CO=OD$

Найти:

$AC\parallel{BD}$

Решение
Рассмотрим треугольники $\bigtriangleup{AOC}$ и $\bigtriangleup{BDO}$. Они равны по первому признаку: по условию $AO=OB$ и $CO=OD$, углы $\angle{COA}$ и $\angle{BOD}$ равны как вертикальные. Следовательно $\angle{ACD}=\angle{BDC}$. Данные углы являются внутренними накрест лежащими. Тогда $AC\parallel{BD}$ согласно признаку параллельности по накрест лежащим углам.

Признак параллельности прямых: соответственные углы

Признак параллельности прямых по соответственным углам. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны.

Доказательство. Пусть прямые $a$ и $b$ при пересечении секущей $c$ образуют пару равных соответственных углов — $\angle{A}=\angle{B}$. Угол $\angle{D}$ является вертикальным по отношению к $\angle{A}$. Следовательно $\angle{A}=\angle{D}=\angle{B}$. Поскольку $\angle{D}$ и $\angle{B}$ — накрест лежащие углы, прямые $a$ и $b$ являются параллельными. Теорема доказана.  

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Можно ли говорить о том, что прямые $a$ и $b$ параллельны, если известно, что углы $\\angle{A}$ и $\\angle{B}$ равны? [[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/03/test-angles.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Да","Нет"],"explanations":["Естественно! 😊
Углы $\\angle{A}$ и $\\angle{B}$ являются соответственными. Их равенство определяет параллельность $a$ и $b$, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны. \circ$. Они являются односторонними при секущей $AB$ для отрезков $AC$ и $BD$. Следовательно $AC\parallel{BD}$.
«Признак» или «теорема»?
Все доказанные признаки параллельности прямых так или иначе в научном понимании является теоремами. При этом, тем не менее, в формулировках слово «теорема» не фигурировало: мы все время пользовались обозначением «признак».
Причина здесь — амбивалентность, создаваемая словосочетанием «теорема параллельности».  Есть аксиома параллельности, а есть, значит, еще и теорема? Тогда аксиома совсем не аксиома, если ей можно противопоставить теорему параллельности. Замена «теорема» на «признак» разрешает данную двойственность.  
Есть, конечно, еще одна причина… Но это разговор для целого отдельного урока. Этот урок, к слову, следующий. Загляните.
{"questions":[{"content":"Время подвести итог. Выберите из предложенных вариантов три доказанных нами признака параллельности прямых. \\circ$, то такие прямые параллельны.","Если при пересечении двух прямых секущей накрест односторонние углы равны, то такие прямые параллельны."],"answer":[0,1,2]}}}]}
Углы с соответственными сторонами
☰
Обычно рассматривают углы либо с соответственными параллельными сторонами, либо с соответственно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим сначала первый случай.
Пусть даны два угла ABC и DEF. Их стороны соответственно параллельны: AB || DE и BC || EF. Такие два угла будут либо равны, либо их сумма будет равняться 180°. На рисунке ниже в первом случае ∠ABC = ∠DEF, а во втором ∠ABC + ∠DEF = 180°.
Доказательство, что это действительно так, сводится к следующему.
Рассмотрим, углы с соответственно параллельными сторонами, расположенные как на первом рисунке. При этом продлим прямые AB и EF до пересечения. Обозначим точку пересечения буквой G. Кроме того для наглядности последующего доказательства на рисунке продлена сторона BC.
Так как прямые BC и EF параллельны, то если прямая AB пересекает одну из них, то она обязательно пересечет и другую. То есть прямая AB является секущей для двух параллельных прямых. Как известно, в таком случае накрест лежащие углы при секущей равны, односторонние составляют в сумме 180°, соответственные равны.
То есть, какую бы пару углов мы не взяли при вершинах B и G (один угол от одной, другой от второй), мы всегда получим либо равные углы, либо дающие в сумме 180°.
Однако прямые AB и DE тоже параллельны. Для них уже прямая EF — это секущая. Значит, любые пары углов из вершин G и E будут в сумме составлять либо 180°, либо равняться друг другу. Отсюда следует, что и пары углов из вершин B и E будут подчиняться данному правилу.
Например, рассмотрим углы ∠ABC и ∠DEF. Угол ABC равен углу BGE, так как эти углы соответственные при параллельных прямых BC и EF. В свою очередь угол BGE равен углу DEF, так как эти углы соответственны при параллельных AB и DE. Таким образом доказано, ∠ABC и ∠DEF.
Теперь рассмотрим углы ∠ABC и ∠DEG. Угол ABC равен углу BGE. Но ∠BGE и ∠DEG — это односторонние углы при параллельных прямых (AB || DE), пересеченных секущей (EF). Как известно, такие углы в сумме составляют 180°. Если мы посмотрим на второй случай на первом рисунке, то поймем, что он соответствует паре углов ABC и DEG на втором рисунке.
Таким образом, два разных угла, у которых стороны соответственно параллельны, либо равны друг другу, либо составляют в сумме 180°. Теорема доказана.
Следует отметить особый случай — когда углы развернутые. В таком случае они будут очевидно равны друг другу.
Теперь рассмотрим углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Этот случай выглядит сложнее, так как взаимное расположение углов разнообразнее. На рисунке ниже три примера того, как могут располагаться углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Однако в любом случае одна сторона первого угла (или ее продолжение) перпендикулярна одной стороне второго угла, а вторая сторона первого угла перпендикулярна второй стороне второго угла.
Рассмотрим один из случаев. При этом проведем в одном угле биссектрису и через произвольную ее точку проведем перпендикуляры к сторонам ее угла.
Здесь даны углы ABC и DEF с соответственно перпендикулярными сторонами: AB ⊥ DE и BC ⊥ EF. На биссектрисе угла ABC взята точка G, через которую проведены перпендикуляры к этому же углу: GH ⊥ AB и GI ⊥ BC.
Рассмотрим треугольники BGH и BGI. Они прямоугольные, так как в них углы H и I прямые. В них углы при вершине B равны, так как BG — биссектриса угла ABC. Также у рассматриваемых треугольников сторона BG общая и является гипотенузой для каждого из них. Как известно, прямоугольные треугольники равны друг другу, если равны их гипотенузы и один из острых углов. Таким образом, ∆BGH = ∆BGI.
Так как ∆BGH = ∆BGI, то ∠BGH = ∠BGI. Поэтому угол HGI можно представить не как сумму этих двух углов, а как один из них умноженный на 2: ∠HGI = ∠BGH * 2.
Угол ABC можно представить как сумму двух углов: ∠ABC = ∠GBH + ∠GBI. Поскольку слагаемые углы равны друг другу (т. к. образуются биссектрисой), то угол ABC можно представить как произведение одного из них и числа 2: ∠ABC = ∠GBH * 2.
Углы BGH и GBH — это острые углы прямоугольного треугольника, а значит в сумме составляют 90°. Посмотрим на равенства, которые получаются:
∠BGH + ∠GBH = 90°
∠HGI = ∠BGH * 2
∠ABC = ∠GBH * 2
Сложим два последних:
∠HGI + ∠ABC = ∠BGH * 2 + ∠GBH * 2
Вынесем общий множитель за скобку:
∠HGI + ∠ABC = 2(∠BGH + ∠GBH)
Так как сумма углов в скобках равна 90°, то получается, что углы HGI и ABC в сумме составляют 180°:
∠ABC + ∠HGI = 2 * 90° = 180°
Итак, мы доказали, что сумма углов HGI и ABC составляет 180°. А теперь снова посмотрим на рисунок и вернем свой взор на угол, с которым у угла ABC соответственно перпендикулярные стороны. Это угол DEF.
Прямые GI и EF параллельны друг другу, так как обе они перпендикулярны одной и той же прямой BC. А как известно, прямые, которые перпендикулярны одной и той же прямой, параллельны друг другу. По этой же самой причине DE || GH.
Как ранее уже было доказано, углы с соответственно параллельными сторонами либо в сумме составляют 180°, либо равны друг другу. Значит, либо ∠DEF = ∠HGI, либо ∠DEF + ∠HGI = 180°.
Однако ∠ABC + ∠HGI = 180°. Отсюда делается вывод, что и в случае с соответственно перпендикулярными сторонами углы или равны, или составляют в сумме 180°.
Хотя в данном случае мы ограничились доказательством только суммы. Но если мысленно продлить сторону EF в обратном направлении, то увидим угол, который равен углу ABC, и при этом его стороны также перпендикулярны углу ABC. Доказать равенство таких углов можно, рассматривая углы с соответственно параллельными сторонами: ∠DEF и ∠HGI.
 Соответствующие углы – определение, теорема, примеры
 Соответствующие углы – это углы, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Открытие и закрытие коробки для завтрака, сборка кубика Рубика и бесконечные параллельные железнодорожные пути — вот несколько повседневных примеров соответствующих углов. Они формируются в соответствующих углах или соответствующих углах с поперечной.
 1.
 Что такое соответствующие углы?
 2.
 Как найти соответствующие углы?
 3.
 Теорема о соответствующих углах
 4.
 Часто задаваемые вопросы о соответствующих углах
 Что такое соответствующие углы?
 Соответствующее определение углов говорит нам, что когда две параллельные прямые пересекаются третьей, известно, что углы, которые занимают одно и то же относительное положение при каждом пересечении, являются соответствующими углами друг к другу.
 Согласно геометрии и определению соответствующих углов мы можем сказать, что:
 Прямые 1 и 2 параллельны. Таким образом имеем две параллельные линии
 Линия 3 пересекает прямые 1 и 2. Таким образом, мы пересекли параллельные прямые
 Из диаграммы видно, что углы 1 и 2 занимают одинаковое взаимное положение - верхние правые боковые углы в области пересечения.
 Следовательно, наше соответствующее определение углов кажется оправданным  .  Следовательно, мы можем сказать, что углы 1 и 2 являются соответствующими углами.
 Теперь, когда мы поняли определение соответствующих углов, мы можем выяснить, являются ли любые два заданных угла соответствующими или нет на любой данной диаграмме. Само слово «соответствие» предполагает, что углы могут быть как неравными, так и эквивалентными (конгруэнтными). Удивительно, но соответствующие углы, образованные секущей, пересекающей две параллельные прямые, являются углами, которые конгруэнтны. При пересечении секущей двух непараллельных прямых соответствующие углы не равны.
 Как найти соответствующие углы?
 Мы знаем, что каждая точка пересечения имеет 4 угла. Теперь каждый из четырех углов в первой области пересечения будет иметь еще один с таким же относительным положением во второй области пересечения.
 Теперь мы разделим каждый из этих четырех углов на разные категории. Посмотрите   в таблице ниже, чтобы лучше понять различные типы соответствующих углов.
  Наименование углов 
  Местоположение 
 Углы 1 и 5
 Верхний правый угол
 Углы 2 и 6
 Верхний левый угол
 Углы 3 и 7
 Нижний правый угол
 Уголки 4 и 8
 Нижний левый угол
 Теорема о соответствующих углах
 Согласно теореме о соответствующих углах утверждение « Если прямая пересекает две параллельные прямые, то соответствующие углы в двух областях пересечения равны»  верно в любом случае.
 Теорема, обратная для соответствующих углов
 Теорема, обратная для соответствующих углов, будет выглядеть так:  «Если соответствующие углы в двух областях пересечения конгруэнтны, то две прямые называются параллельными  .
 Что если секущая пересекает две параллельные прямые и пара соответственных углов тоже равны? Тогда две прямые, пересекаемые секущей, называются параллельными. Это обратная теорема о соответствующем угле.
  Важные замечания о соответствующих углах 
 Когда две параллельные прямые пересекаются третьей, углы, которые занимают одно и то же относительное положение при каждом пересечении, называются соответствующими углами друг к другу.
 Соответствующие углы равны друг другу.
 Если соответствующие углы в двух областях пересечения равны, то говорят, что две прямые параллельны.
  Задающий вопрос о соответствующих углах 
 Следующая информация была дана относительно углов A, B, C и D:
 A и B являются соответствующими углами
 В и С дополнительные уголки
 C и D - внутренние углы
 Найдите угол (кроме B), который будет равен углу A.
  
 Примеры соответствующих углов
  Пример 1:  Вы когда-нибудь замечали высокое здание? В большинстве высотных зданий каждый из его этажей спроектирован точно так же, особенно стены дома на каждом этаже. Сравните соответствующие углы в таком случае.
  Решение: 
 Давайте рассмотрим нижние плитки пола 1 как линию 1, а плитку пола 2 как линию 2. Теперь мы знаем, что линия 3 пересекает линии 1 и 2. На этом рисунке вы можете заметить геометрию соответствующих углов. .
 Видите ли вы сходство между углами 1 и 2? Вы можете видеть, что углы 1 и 2 являются соответствующими углами. Мало того, что все этажи всегда строятся параллельно друг другу, можно сказать, что линии 1 и 2 параллельны.
 Следовательно, ∠1 соответствует ∠2
  Пример 2:  Вы когда-нибудь замечали параллельные линии на железнодорожных путях? Есть несколько пересечений различных меньших линий с двумя основными параллельными линиями пути. Сравните углы, образованные пересечением.
  Решение: 
 Видите ли вы какое-либо сходство между понятиями равных углов и углов 1 и 2 на приведенной ниже диаграмме? Вспомните определение, которое мы использовали для соответствующих углов, чтобы соответствовать нашим углам, показанным здесь.
 Как видите, если мы считаем, что линии пути параллельны, то углы 1 и 2 можно считать соответствующими углами. Это соответствует соответствующим углам в математическом определении. Таким образом, если угол 1 равен 90 градусов, то угол 2 также будет равен 90 градусам.
 Следовательно, ∠1 с соответствует ∠2 и угол 1 = угол 2 = 90 градусов.
  Пример 3:  Вам когда-нибудь попадались две параллельные улицы? Обычно между двумя улицами есть соединительная дорога, которая также пересекает ее. Теперь попробуйте связать углы, образуемые улицей в каждой точке пересечения, с двумя параллельными дорогами.
  Решение: 
 Примените наше определение соответствующих углов к углам, показанным здесь. Вы увидите, что по нашему определению эти углы совпадают!
 Мало того, что все улицы всегда построены параллельно друг другу, мы также можем сказать, что углы, находящиеся на одних и тех же относительных позициях на улицах, всегда будут соответствующими углами.
 Следовательно, углы, образованные параллельными улицами, являются соответствующими углами.
 перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
 Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.
 Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
 Записаться на бесплатный пробный урок
 Практические вопросы по соответствующим углам
  
 перейти к слайдуперейти к слайду
 Часто задаваемые вопросы о соответствующих углах
 Что такое соответствующие углы в геометрии?
 Соответствующие углы в геометрии определяются как углы, которые образуются при соответствующих углах с секущей. При пересечении двух параллельных прямых секущая образует пару соответствующих углов.
 ☛ Чтобы узнать больше о соответствующих углах, проверьте сейчас:
 Типы углов
 Пары углов
 Какие бывают два типа соответствующих углов?
 В соответствии с определением соответствующих углов мы можем разделить соответствующие углы на два типа, перечисленных ниже:
 Соответственные углы - поперечными и параллельными прямыми: Соответственные углы равны.
 Соответствующие углы - поперечными непараллельными прямыми: Образуемые соответствующие углы не равны.
 ☛ Ознакомьтесь с таблицами соответствующих углов, чтобы попрактиковаться.
 Сумма соответствующих углов равна 180?
 Да, сумма соответствующих углов может составлять 180. В некоторых случаях, когда оба угла равны 90 градусов, сумма будет равна 180 градусам. Эти углы называются дополнительными соответственными углами.
 ☛ Проверьте дополнительные углы сейчас для получения дополнительной информации.
 Что такое альтернативные и соответствующие углы?
 Альтернативные углы — это углы, которые находятся в относительно противоположных положениях друг к другу; в то время как соответствующие углы - это углы, которые находятся в относительно одинаковых положениях друг к другу.
 Могут ли соответствующие углы быть смежными внутренними углами?
 Никакие соответствующие углы не могут рассматриваться как последовательные внутренние углы, потому что последовательные внутренние углы — это углы, лежащие по одну сторону от поперечной, но находящиеся внутри двух параллельных прямых.
 Могут ли соответствующие углы быть прямыми?
 Если секущей перпендикулярна к данным параллельным прямым, то соответствующие углы секущей, пересекающей параллельные прямые, прямые, все углы прямые.
 ☛ Проверьте Дополнительные углы сейчас для лучшего понимания.
 Как выглядят соответствующие углы?
 При пересечении двух параллельных прямых секущей образующиеся таким образом углы, занимающие одно и то же относительное положение при каждом пересечении, являются соответствующими углами. Когда две параллельные прямые пересекаются секущей, то углы в одних и тех же углах каждой прямой называются соответствующими углами, и секущая будет выглядеть как прямая.
 Что вы понимаете под постулатом о соответствующих углах?
 Согласно постулату о соответствующих углах, соответствующие углы равны, если секущая пересекает две параллельные прямые.
 Что такое постулат обращения соответствующих углов?
 Мы только что прочитали, что постулат о соответствующих углах утверждает, что соответствующие углы конгруэнтны, если секущая пересекает две параллельные прямые. В то время как постулаты обращения соответствующих углов говорят, что если соответствующие углы в двух областях пересечения конгруэнтны, то две линии называются параллельными.
 Сумма соответствующих углов равна 90 градусам?
 Если соответствующие углы равны, то в некоторых случаях, когда оба угла по 45 градусов, сумма будет 90 градусов. Эти углы известны как дополнительные соответствующие углы.
 ☛ Проверьте дополнительные углы, чтобы узнать больше.
 Соответствие углов – объяснение и примеры
 Прежде чем перейти к теме соответствующих углов, давайте сначала напомним себе об углах, параллельных и непараллельных прямых и поперечных прямых.
 В геометрии угол состоит из трех частей: вершины и двух сторон или сторон. Вершина угла находится там, где встречаются две стороны или линии угла, а стороны угла — это просто стороны угла.
 Параллельные линии — это две или более линий на двумерной плоскости, которые никогда не встречаются и не пересекаются. С другой стороны, непараллельные прямые — это две или более пересекающихся прямых. Поперечная линия – это линия, пересекающая или проходящая через две другие прямые. Поперечная линия может проходить через две параллельные или непараллельные прямые.
 Что такое соответствующий угол?
  Углы, образованные при пересечении поперечной линией двух прямых, называются соответственными углами  . Соответствующие углы расположены в одном и том же взаимном положении, на пересечении поперечной и двух или более прямых.
 Правило соответствующих углов или соответствующих углов постулирует, что соответствующие углы равны, если секущей пересекаются две параллельные прямые.
 Соответственные углы равны, если поперечная прямая пересекает не менее двух параллельных прямых.
 На приведенной ниже диаграмме показаны соответствующие углы, образованные при пересечении поперечной линией двух параллельных прямых:
 На приведенной выше диаграмме пара соответствующих углов:
 <  a  и <  e 
 <  b  и <  g 
 <  d  и <  f 
 <  c  и <  h 
 5 0003
 На рисунке выше две параллельные линии.
 Нам нужно это доказать. Углы прямые образуется при пересечении поперечной линией хотя бы двух непараллельных прямых, которые не равны между собой и фактически не имеют между собой никакого отношения.
  Иллюстрация: 
  
 Соответствующий внутренний угол
 Пара соответствующих углов состоит из одного внутреннего и другого внешнего угла. Внутренние углы — это углы, расположенные в углах пересечений.
 Соответствующий внешний угол
 Углы, образованные вне пересекающихся параллельных прямых. Внешний угол и внутренний угол составляют пару соответствующих углов.
  Иллюстрация: 
 Внутренние уголки включают; b, c, e и f, а внешние углы включают; а, г, г и з.
  Следовательно, пары соответствующих углов включают: 
 < a и < e.
 < b и < g
 < d и < f
 < c и < h
  О соответствующих углах можно сделать следующие выводы: 
 Пара соответствующих углов лежит по одну сторону от поперечный.
 Соответствующая пара углов состоит из одного внешнего угла и другого внутреннего угла.
 Не все соответствующие углы равны. Соответственные углы равны, если секущая пересекает две параллельные прямые. Если секущая пересекает непараллельные прямые, то образующиеся соответствующие углы не равны и никак не связаны.
 Соответствующие углы образуют дополнительные углы, если секущая перпендикулярно пересекает две параллельные прямые.
 Внешние углы по одну сторону от секущей являются дополнительными, если прямые параллельны. Точно так же внутренние углы являются дополнительными, если две прямые параллельны.
 Как найти соответствующие углы?
 Один из способов решения соответствующих углов - нарисовать букву F на данной диаграмме. Расположите букву лицом в любом направлении и соотнесите углы соответственно.
   Пример 1  
 Учитывая ∠d = 30°, найдите недостающие углы на диаграмме ниже.
  Решение 
 Указано, что тий  D  = 30 °
 тий  D  = ♂  B  (вертикально противоположные углы)
 Следовательно, ♂  B  = 300003
. Тий  G  = 30 ° (соответствующие углы) 
 Теперь, тий  D  = ♂  F  (Соответствующие углы)
 Следовательно, тий  F  = 30 ° 
 R  B  + ° ATER + ° ATER + ° ATER + ° ATER + ° B9032 + ° ATER + ° B9032 + ° ATER + ° B9032 + ° C9032 + ° C9032 + ° C9032 + ° C9032 + ° C9032 + ° C + ° C + ° ATER + ° ATERSTIONS ATRIC дополнительные углы)
 ∠  a  + 30° = 180°
 тий  a  = 150 °
 тий  A =  тий  E  = (Соответствующие углы)
 Следовательно, тий  =  150 °
 ↑  D = 222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222 годы. (соответствующие углы)
   Пример 2  
 Два соответствующих угла фигуры равны 9x + 10 и 55. Найдите значение x.
  Решение 
 Два соответствующих угла всегда равны.
 Следовательно,
 9x + 10 = 55
 9x = 55 - 10
 9x = 45
 x = 5
   Пример 3  
 Два соответствующих углы показателя рисунка 7Y - 12 и 5Y + 6. Найдите модуль соответствующего угла.
  Решение 
 Сначала нам нужно определить значение y.
 Два соответствующих угла всегда равны.
 Следовательно,
 7у – 12 = 5у + 6
 7у – 5у = ​​12 + 6
 2y = 18
 y = 9
 Величина соответствующего угла,
 5y + 6 = 5 (9) + 6 = 51
 Применение соответствующих углов игнорировать. Соблюдайте их, если у вас когда-нибудь будет шанс.
 Обычно окна имеют горизонтальные и вертикальные решетки, образующие несколько квадратов. Каждая вершина квадрата образует соответствующие углы.
 Мост стоит на столбах. Все столбы соединены таким образом, что соответствующие углы равны.
 Железнодорожные пути спроектированы так, что все соответствующие углы на пути равны.
 
  
 Поперечные
 Горячая математика
 В геометрии а  поперечный  это линия, пересекающая две или более других (часто 
 параллельно 
 ) линии.
 На рисунке ниже линия 
 н 
 представляет собой поперечные линии разреза 
 л 
 а также 
 м 
 .
 При пересечении двух или более прямых секущей углы, занимающие одно и то же относительное положение, называются 
 соответствующие углы 
 .
 На рисунке пары соответствующих углов:
 ∠ 
 1 
 а также 
 ∠ 
 5 
 ∠ 
 2 
 а также 
 ∠ 
 6 
 ∠ 
 3 
 а также 
 ∠ 
 7 
 ∠ 
 4 
 а также 
 ∠ 
 8
 Если прямые параллельны, то соответствующие углы равны 
 конгруэнтный 
 .
 Когда две прямые пересекаются секущей, пары углов по одну сторону от этой и внутри двух прямых называются углами. 
 последовательные внутренние углы 
 .
 На приведенном выше рисунке последовательные внутренние углы равны:
 ∠ 
 3 
 а также 
 ∠ 
 6 
 ∠ 
 4 
 а также 
 ∠ 
 5
 Если две параллельные прямые пересечь секущей, то образуются пары последовательных внутренних углов. дополнительный 
 .
 Когда две прямые пересекаются секущей, пары углов по обе стороны от этой и внутри двух прямых называются углами. 
 альтернативные внутренние углы 
 .
 На приведенном выше рисунке альтернативные внутренние углы:
 ∠ 
 3 
 а также 
 ∠ 
 5 
 ∠ 
 4 
 а также 
 ∠ 
 6
 Если две параллельные прямые пересечь секущей, то образованные параллельные внутренние углы равны 
 конгруэнтный 
 .
 Когда две прямые пересекаются секущей, пары углов по обе стороны от этой секущей и вне двух прямых называются углами. 
 альтернативные внешние углы 
 .
 На приведенном выше рисунке альтернативные внешние углы:
 ∠ 
 2 
 а также 
 ∠ 
 8 
 ∠ 
 1 
 а также 
 ∠ 
 7
 Если две параллельные прямые пересечь секущей, то образующиеся накрест внешние углы равны 
 конгруэнтный 
 .
  Пример 1: 
 На приведенной выше схеме линии 
 Дж 
 а также 
 к 
 разрезаются поперек 
 л 
 . Углы 
 ∠ 
 с 
 а также 
 ∠ 
 е 
 находятся…
 А. Соответствующие углы
 B. Последовательные внутренние углы
 C. Альтернативные внутренние углы
 D. Альтернативные внешние углы
 Углы 
 ∠ 
 с 
 а также 
 ∠ 
 е 
 лежат по обе стороны от поперечной 
 л 
 и внутри двух строк 
 Дж 
 а также 
 к 
 .
 Следовательно, они являются альтернативными внутренними углами.
 Правильный выбор 
 С 
 .
  Пример 2: 
 На приведенном выше рисунке, если линии 
 А 
 Б 
 ↔ 
 а также 
 С 
 Д 
 ↔ 
 параллельны и 
 м 
 ∠ 
 А 
 Икс 
 Ф 
 знак равно 
 140 
 ° 
 тогда в чем мера 
 ∠ 
 С 
 Д 
 Е 
 ?
 Углы 
 ∠ 
 А 
 Икс 
 Ф 
 а также 
 ∠ 
 С 
 Д 
 Е 
 лежат по одну сторону от поперечной 
 Е 
 Ф 
 ↔ 
 и внутри двух строк 
 А 
 Б 
 ↔ 
 а также 
 С 
 Д 
 ↔ 
 . Значит, это последовательные внутренние углы.
 Поскольку линии 
 А 
 Б 
 ↔ 
 а также 
 С 
 Д 
 ↔ 
 параллельны, т. 
 теорема о последовательных внутренних углах 
 , 
 ∠ 
 А 
 Икс 
 Ф 
 а также 
 ∠ 
 С 
 Д 
 Е 
 являются дополнительными.
 То есть, 
 м 
 ∠ 
 А 
 Икс 
 Ф 
 + 
 м 
 ∠ 
 С 
 Д 
 Е 
 знак равно 
 180 
 ° 
 .
 Но, 
 м 
 ∠ 
 А 
 Икс 
 Ф 
 знак равно 
 140 
 ° 
 .
 Подставить и решить.
 140 
 ° 
 + 
 м 
 ∠ 
 С 
 Д 
 Е 
 знак равно 
 180 
 ° 
 140 
 ° 
 + 
 м 
 ∠ 
 С 
 Д 
 Е 
 − 
 140 
 ° 
 знак равно 
 180 
 ° 
 − 
 140 
 ° 
 м 
 ∠ 
 С 
 Д 
 Е 
 знак равно 
 40 
 °
 Соответствующие углы – определение и теорема с примерами
 Определение
 Соответствующие углы – это пары углов, которые занимают одно и то же относительное положение на каждом пересечении, когда секущая пересекает две параллельные прямые.
 Соответствующие углы
 На приведенном выше рисунке показаны две параллельные прямые AB и CD, пересекаемые поперечной GH. Пары соответствующих углов на данном рисунке:
 ∠1 и ∠5
 ∠3 и ∠6
 ∠4 и ∠7
 ∠2 и ∠8
 Соответствующие углы равны, если секущая пересекает хотя бы две параллельные прямые.
 На данном рисунке AB∥CD,
 Таким образом,
 ∠1 = ∠5, ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠7, ∠2 = ∠8
 Соответствующие углы, образованные при пересечении секущей хотя бы две непараллельные прямые не равны и также не имеют отношения друг к другу.
 Свойства
 Расположены на одной стороне поперечной
 Состоит из одного внутреннего и одного внешнего угла
 Они равны, если секущая пересекает две параллельные прямые
 Они не связаны, если секущая пересекает две непараллельные прямые
 Они являются дополнительными, если секущая перпендикулярно пересекает две параллельные прямые.
 Внешние углы по одну сторону от секущей являются дополнительными, если две прямые параллельны. То же самое и с внутренними углами.
 Типы соответствующих углов
 Два типа соответственных углов:
  1) Соответствующий внутренний угол : Находится на внутренней стороне пересечения параллельных прямых и поперечных. 
  2) Соответствующий внешний угол : Находится на внешней стороне пересечения между параллельными линиями и поперечными.
 Теорема о соответствующих углах
 Теорема о соответствующих углах
 Докажите теорему о соответствующих углах
 Чтобы доказать:
 ∠1 = ∠5, ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠7, ∠2 = ∠8
 Доказательство:
 Дано, PQ и RS — две параллельные прямые, пересекаемые поперечной IJ. 
 Теперь, если PQ∥ RS 
 Тогда по теореме о соответствующих углах мы можем написать : Таким образом, единственный способ доказать конгруэнтность соответствующих углов - это параллельность данных прямых. Таким образом, теорема о соответствующих углах верна без доказательства.
 Теорема обращения соответствующих углов
 Теорема обращения соответствующих углов
 Докажите теорему обращения соответствующих углов
 Чтобы доказать:
 PQ∥ RS
 Доказательство два: прямые, пересекаемые секущей IJ, и ∠1 = ∠5, ∠3 = ∠6, ∠4 = ∠7, ∠2 = ∠8 — пары соответствующих углов 
. Тогда по теореме, обращенной к внутренним углам, 
 PQ∥ RS 
  Следовательно доказано  
  Вспомните  : Таким образом, единственный способ доказать параллельность данных прямых — это просто конгруэнтность соответствующих углов. Таким образом, теорема, обратная о соответствующих углах, принимается как истинная без доказательства.
 Как найти соответствующие углы
 Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять концепцию.
    Найдите недостающие углы на данном рисунке. Учитывая, что ∠3 = 45° 
 Решение:
 Дано, ∠3 = 45° 
 ∠3 = ∠4 (вертикально противоположные углы) 
 Следовательно, ∠4 = 45° 
 Теперь 
 ∠4 =∠7 = 45° (соответствующие углы) 
 ∠3 =∠6 (соответствующие углы) 
 Следовательно, ∠6 = 45° 
 Теперь, 
 ∠1 + ∠4 = 180° (дополнительные углы) 
  ∠1 + 45° = 180° 
 ∠1 = 180° – 45° 
 ∠1 = 135° 
 Аналогично, 
 ∠1 = ∠2 (вертикально противоположные углы) 
 Следовательно, ∠2 = 135° 
 Опять же, 
 ∠1 = ∠5 (соответствующие углы) 
 Следовательно, ∠5 = 135° 
 Аналогично, 
 ∠2 = ∠8 (соответствующие углы) 
 Следовательно, ∠8 = 135°
    Два соответствующих угла измеряют (2x +10)° и 70°. Найдите значение х. 
 Решение:
 Согласно теореме о соответствующих углах, два соответствующих угла равны. 
 Таким образом, 
 (2x +10)° = 70° 
 2x = 70° – 10° 
 x = 60°/2 
 x = 30°
    Два соответствующих угла данной фигуры равны 6y- 14 и 4y + 6. Найдите модуль соответствующего угла. 
 Решение:
 Согласно теореме о соответствующих углах, два соответствующих угла равны. 
 Таким образом, 
 6y-14 = 4y + 6 
 6y – 4y = 6 + 14 
 2y = 20 
 y = 10 
 Таким образом, величина равна 
 6y-14 = 6 x 10 – 14 = 46°
 Примеры в реальной жизни
 Окна имеют горизонтальные и вертикальные решетки, образующие несколько квадратов. Каждая вершина образует соответствующие углы
 Мост, стоящий на опоре, в которой опоры соединены друг с другом так, что соответствующие углы равны
 Конструкция железнодорожного пути, в которой соответствующие углы сохранены равными
 Углы, образованные кубиком Рубика
 Часто задаваемые вопросы
   Q1. Соответствующие углы дополнительные  
  Ans  . Соответственные углы являются дополнительными только в том случае, если секущая перпендикулярно пересекает две параллельные прямые.
 Соответствующие углы - Математика GCSE
 Здесь мы узнаем о  соответствующих углах , в том числе, как распознать совпадение углов и применить это для решения проблем.
 Существуют также рабочие листы с углами в параллельных линиях, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.
 Что такое соответствующие углы?
  Соответствующие углы  — это углы, лежащие по одну сторону от поперечной линии и равные  по величине . Они либо оба тупые, либо оба острые.
  Соответствующие углы равны
 Что такое соответствующие углы?
 Как считать с соответствующими углами
 Для расчета с соответствующими углами:
  Выделите углы, которые вы уже знаете. 
  Используйте соответствующие углы, чтобы найти недостающий угол. 
  Используйте базовый факт угла для расчета недостающего угла  .
 Как считать с соответствующими углами
 Таблица соответствующих углов
 Получите бесплатную таблицу соответствующих углов, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
 СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
 Икс
 Таблица соответствующих углов
 Получите бесплатную таблицу соответствующих углов, содержащую более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы.
 СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО
 Примеры соответственных углов
 Пример 1: соответствующие углы
 Рассчитайте величину недостающего угла θ. Обосновать ответ.
  Выделите углы, которые вы уже знаете. 
 2    Используйте соответствующие углы, чтобы найти недостающий угол. 
 Здесь мы можем обозначить соответствующий угол на диаграмме как 75°.
 3  Используйте базовый факт угла для расчета недостающего угла. 9{\ круг}
\end{aligned}\]
 Пример 2: соответствующие углы 
 Вычислить размер недостающего угла θ. Обосновать ответ.
  Выделите углы, которые вы уже знаете. 
   Используйте соответствующие углы, чтобы найти недостающий угол.  
 Мы можем идентифицировать два новых угла 63  °  и 56  ° , используя соответствующие углы.
  Используйте базовый факт угла для расчета недостающего угла. 9{\ круг}
\end{aligned}\]
 Пример 3: соответствующие углы с алгеброй
 Вычислите размер недостающего угла θ. Обосновать ответ.
  Выделите углы, которые вы уже знаете. 
 Здесь нам нужно найти значение x, чтобы найти значение θ.
    Используйте соответствующие углы, чтобы найти недостающий угол.   
 Взаимное расположение двух углов 4x -14 и 3x+7 делает их соответствующими углами. Это позволяет нам найти значение x, поскольку два угла равны: 9{\ круг}
\end{aligned}\]
 Поскольку x = 21  °  , у нас есть два угла 4x – 14 = 3x + 7 = 70  °  .
  Используйте базовый факт угла для расчета недостающего угла. 
 Здесь мы можем объединить тот факт, что у нас есть равнобедренный треугольник и сумма углов на прямой 180  °  .
 Поскольку треугольник равнобедренный с основанием на одной параллельной линии, углы по обе стороны от верхней вершины треугольника симметричны (это также можно рассчитать с помощью правила альтернативного угла). 9{\ круг}
\end{aligned}\]
 Распространенные заблуждения
  Перепутывание фактов об углах 
 Существует множество фактов об углах, и альтернативные углы легко перепутать с соответствующими углами. Чтобы этого не произошло, представьте, что соответствующие углы находятся под буквой F.
  Использование транспортира для измерения угла 
 Большинство диаграмм не в масштабе, поэтому использование транспортира не даст правильного ответа.
 Соответствие углов — это часть нашей серии уроков, посвященных пересмотру углов на параллельных линиях. Возможно, вам будет полезно начать с урока по основным углам в параллельных линиях, чтобы получить общее представление о том, чего ожидать, или использовать пошаговые руководства ниже для получения дополнительной информации по отдельным темам. Другие уроки в этой серии включают:
 Углы в параллельных прямых
 Переменные углы
 Внутренние углы
 Практика соответствующих углов 9{\ круг}
  (1) 
 3. Вычислите значение x .
  (3 балла) 
 Показать ответ
 противоположные углы равны
  (1) 
 2x+4x-3.
  (1) 
  
 \begin{выровнено}
2x+9&=4x-3\\
9&=2х-3\\
12&=2x\\
6&=х
\end{выровнено}
  (1) 
 Учебный контрольный список
 Теперь вы научились:
 Применять свойства углов в точке, углов в точке на прямой, вертикально противоположных углов
 Понимать и использовать соотношение между параллельными линиями и альтернативными и соответствующими углами
 Все еще застряли?
 Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.
 Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.
 3.4: Соответствующие углы - K12 LibreTexts
 Последнее обновление
 Сохранить как PDF
 Идентификатор страницы
 2190
 Определите соответствующие углы как соответствующие углы.
  Соответствующие углы  — это два угла, которые находятся в «одном месте» относительно секущей, но на разных линиях. Представьте, что четыре угла, образованные линией \(l\), сдвигаются вниз к линии \(m\). Совпадающие углы соответствуют друг другу.
 Рисунок \(\PageIndex{1}\)
  Соответствие углов Постулат:  Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответствующие углы равны.
 Рисунок \(\PageIndex{2}\)
 Если \(l \параллельно m\), то \(\угол 1\конг \угол 2\).
  Обратное обращение соответствующих углов Постулат:  Если соответствующие углы равны при пересечении двух прямых секущей, то прямые параллельны.
 Если
 Рисунок \(\PageIndex{3}\)
, затем \(l \parallel m\).
 Что, если бы вам представили два угла, находящихся в одном и том же месте относительно секущей, но на разных прямых? Как бы вы описали эти углы и что вы могли бы сказать об их величине?
 Пример \(\PageIndex{1}\) 9{\circ}\).
 Пример \(\PageIndex{3}\)
 Найдите значение y:
 Рисунок \(\PageIndex{5}\)
  Решение 
 Горизонтальные линии отмечены параллельными, а угол отмечен \(2y\ ) соответствует углу, отмеченному 80, поэтому эти два угла равны. Это означает, что \(2y=80\) и, следовательно, \(y=40\).
 Пример \(\PageIndex{4}\)
 Если a||b, какие пары углов конгруэнтны в соответствии с постулатом о соответствующих углах?
 Рисунок \(\PageIndex{6}\) 9{\circ}\), то что мы знаем о прямых \(l\) и \(m\)?
 Рисунок \(\PageIndex{7}\)
  Решение 
 \(\угол 8\) и \(\угол 4\) - соответствующие углы. Поскольку \(m\угол 8=m\угол 4\), мы можем заключить, что l||m.
 Обзор
 Определите, является ли пара углов \(\угол 4\) и \(\угол 2\) конгруэнтной, дополнительной или ни одной:
 Рисунок \(\PageIndex{8}\)
 Приведите два примера соответствующих углов на схеме:
 Рисунок \(\PageIndex{9{\circ}\).
 Обзор (ответы)
 Чтобы просмотреть ответы на обзор, откройте этот PDF-файл и найдите раздел 3.3.
 Ресурсы
  
 Словарь
 Срок
 Определение
  Соответствующие углы 
 Соответствующие углы - это два угла, которые находятся в одном и том же положении относительно секущей, но на разных прямых.
 Дополнительный ресурс
 Интерактивный элемент
 Видео: Соответствующие принципы углов - базовые
 Действия: соответствующие углы. Вопросы для обсуждения
 Исследование. Углы
 Эта страница под названием 3.

Условия формирования у детей дошкольного возраста геометрических представлений в различных видах деятельности

%PDF-1.5 % 1 0 obj > /Metadata 4 0 R >> endobj 5 0 obj /Title >> endobj 2 0 obj > endobj 3 0 obj > endobj 4 0 obj > stream

Перова О. В.1.52017-11-30T00:50:01+05:002017-11-30T00:50:01+05:00 endstream endobj 6 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] /XObject > >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents [123 0 R 124 0 R 125 0 R] /Group > /Tabs /S /StructParents 0 /Annots [126 0 R] >> endobj 7 0 obj > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 127 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 1 >> endobj 8 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 128 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 2 >> endobj 9 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 129 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 3 >> endobj 10 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 130 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 4 >> endobj 11 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 131 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 5 >> endobj 12 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 134 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 6 >> endobj 13 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 135 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 7 >> endobj 14 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 137 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 8 >> endobj 15 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 138 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 9 >> endobj 16 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 139 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 10 >> endobj 17 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 140 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 11 >> endobj 18 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 141 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 12 >> endobj 19 0 obj > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 142 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 13 >> endobj 20 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 143 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 14 >> endobj 21 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 144 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 15 >> endobj 22 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 145 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 16 >> endobj 23 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 146 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 17 >> endobj 24 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 147 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 18 >> endobj 25 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 149 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 19 >> endobj 26 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 150 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 20 >> endobj 27 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 151 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 21 >> endobj 28 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 152 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 22 >> endobj 29 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 153 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 23 >> endobj 30 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 154 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 24 >> endobj 31 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 155 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 25 >> endobj 32 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 156 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 26 >> endobj 33 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 157 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 27 >> endobj 34 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 158 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 28 >> endobj 35 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 159 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 29 >> endobj 36 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 161 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 30 >> endobj 37 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 162 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 31 >> endobj 38 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 163 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 32 >> endobj 39 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 164 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 33 >> endobj 40 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 165 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 34 >> endobj 41 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 166 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 35 >> endobj 42 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 168 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 36 >> endobj 43 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 169 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 37 >> endobj 44 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 170 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 38 >> endobj 45 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 171 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 39 >> endobj 46 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 173 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 40 >> endobj 47 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 175 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 41 >> endobj 48 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 176 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 42 >> endobj 49 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 177 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 43 >> endobj 50 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 178 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 44 >> endobj 51 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 179 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 45 >> endobj 52 0 obj > /ExtGState > /XObject > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 181 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 46 >> endobj 53 0 obj > /ExtGState > /Pattern > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 184 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 47 >> endobj 54 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 185 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 48 >> endobj 55 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 186 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 49 >> endobj 56 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 187 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 50 >> endobj 57 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 188 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 51 >> endobj 58 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 189 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 52 >> endobj 59 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 190 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 53 >> endobj 60 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 191 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 54 >> endobj 61 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 192 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 55 >> endobj 62 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 193 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 56 >> endobj 63 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 194 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 57 >> endobj 64 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 195 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 58 >> endobj 65 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 196 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 59 >> endobj 66 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 197 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 60 >> endobj 67 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 198 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 61 >> endobj 68 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 199 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 62 >> endobj 69 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 200 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 63 >> endobj 70 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 201 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 64 >> endobj 71 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 202 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 65 >> endobj 72 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 203 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 66 >> endobj 73 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 204 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 67 >> endobj 74 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 205 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 68 >> endobj 75 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 206 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 69 >> endobj 76 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 207 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 70 >> endobj 77 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 208 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 71 >> endobj 78 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /Annots [209 0 R 210 0 R 211 0 R 212 0 R 213 0 R 214 0 R] /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 215 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 72 >> endobj 79 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /Annots [216 0 R 217 0 R 218 0 R] /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 219 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 79 >> endobj 80 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /Annots [220 0 R] /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 221 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 83 >> endobj 81 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 222 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 85 >> endobj 82 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 223 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 86 >> endobj 83 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 224 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 87 >> endobj 84 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 225 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 88 >> endobj 85 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 226 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 89 >> endobj 86 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 227 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 90 >> endobj 87 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 228 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 91 >> endobj 88 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 230 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 92 >> endobj 89 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 232 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 93 >> endobj 90 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 233 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 94 >> endobj 91 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 234 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 95 >> endobj 92 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 235 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 96 >> endobj 93 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 236 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 97 >> endobj 94 0 obj > /ExtGState > /XObject > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 240 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 98 >> endobj 95 0 obj > /ExtGState > /XObject > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 242 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 99 >> endobj 96 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 243 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 100 >> endobj 97 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 244 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 101 >> endobj 98 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 245 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 102 >> endobj 99 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 246 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 103 >> endobj 100 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 247 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 104 >> endobj 101 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 248 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 105 >> endobj 102 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. 5 842.25] /Contents 249 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 106 >> endobj 103 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 250 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 107 >> endobj 104 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 251 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 108 >> endobj 105 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 252 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 109 >> endobj 106 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 253 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 110 >> endobj 107 0 obj > /ExtGState > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595.5 842.25] /Contents 254 0 R /Group > /Tabs /S /StructParents 111 >> endobj 108 0 obj > /ExtGState > /XObject > /ProcSet [/PDF /Text /ImageB /ImageC /ImageI] >> /MediaBox [0 0 595. Wb37c Aώ

Геометрия. Движение — презентация онлайн

Компьютерная презентация к уроку геометрии по теме «Движение», 9 класс.

Учитель: Юрко Олеся Александровна, Учитель математики МОУ СОШ №12 г.Балашова СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение.

Движение.

Виды движения.

Поворот.

Параллельный перенос.

Великие о симметрии.

Осевая симметрия.

Центральная симметрия.

Скользящая симметрия.

Зеркальная симметрия.

Симметрия в растениях.

Симметрия в животном мире.

Загадочные снежинки.

Симметрия в архитектуре.

Симметрия в литературе.

Заключение.

Литература.

Симметрия – это идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

Г.

Вейль ВВЕДЕНИЕ Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.

Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, также подчиняются принципам симметрии.

Движение.

Виды движения.

Движение плоскости – это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния.

Виды движения:1.

Симметрия: ─ осевая, ─ центральная, ─ скользящая.

─ зеркальная.2.

Параллельный перенос:3.

Поворот.

ПОВОРОТ Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же уголα вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости.

ТочкаО называется центром вращения, а уголα — углом вращения.

ПОВОРОТ ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРНОС Преобразование, при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние, называется параллельным переносом.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВЕЛИКИЕ О СИММЕТРИИ… Термин «симметрия» придумал скульптор Пифагор Регийский.

Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что она прекрасна.

Первую научную школу в истории человечества создал Пифагор Самосский.

«Симметрия – это некая «средняя мера», — считал Аристотель .

Римский врач Гален (2 в.

н.

э.) под симметрией понимал покой души и уравновешенность.

ВЕЛИКИЕ О СИММЕТРИИ… Леонардо да Винчи считал, что главную роль в картине играют пропорциональность и гармония, под которыми он понимал симметрию.

Альбрехт Дюрер (1471-1528 г.г.) утверждал, что каждый художник должен знать способы построения правильных симметричных фигур.

Термин «симметрия» (σνμμετρυα, греч.) — соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуется в симметричную ей относительно некоторой оси l точку А1, при этом отрезок АА1 l , называется осевой симметрией.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А1, симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или просто центральной симметрией.

СКОЛЬЗЯЩАЯ СИММЕТРИЯ Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру (тело) в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости, а данная плоскость – плоскостью симметрии этой фигуры.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ СИММЕТРИЯ В РАСТЕНИЯХ Внимательное наблюдение показывает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляет симметрия.

Ярко выраженной симметрией обладают листья, ветви, цветы, плоды.

Зеркальная симметрия характерна для листьев, но встречается и у цветов.

Для цветов характерна поворотная симметрия.

СИММЕТРИЯ В РАСТЕНИЯХ СИММЕТРИЯ В ЖИВОТНОМ МИРЕ Симметрия встречается и в животном мире.

Однако в отличие от мира растений симметрия в животном мире наблюдается не так часто.

Рассмотрим, например, бабочку.

ЗАГАДОЧНЫЕ СНЕЖИНКИ Он сыплет с неба мелкой крупой, летает вокруг фонарей огромными пушистыми хлопьями, стоит столбом в лунном свете ледяными иглами.

Казалось бы, какая ерунда! Всего-то замёрзшая вода.

Но сколько вопросов возникает у человека, глядящего на снежинки.

ЗАГАДОЧНЫЕ СНЕЖИНКИ Снежинка – это группа кристалликов, образованная более чем из двухсот ледяных частичек.

Симметрия – это свойство кристаллов совмещаться друг с другом в различных положениях путём поворотов, параллельных переносов, отражений.

СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ Нагляднее всего видна симметрия в архитектуре.

Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие.

В сознании древнегреческих архитекторов симметрия стала олицетворением закономерности, целесообразности, красоты.

СИММЕТРИЯ В АРХИТЕКТУРЕ СИММЕТРИЯ В ЛИТЕРАТУРЕ В литературных произведениях существует симметрия образов, положений, мышления.

В греческой трагедии — виновный становится жертвой такого же преступления.

В «Евгении Онегине» А.

С.

Пушкина мы наблюдаем симметрию положений : «Онегин, отвергнувший когда-то любовь Татьяны, сам через несколько лет вынужден испытывать горечь отвергнутой любви».

СИММЕТРИЯ В ЛИТЕРАТУРЕ Буквы русского языка тоже можно рассмотреть с точки зрения симметрии.

Вертикальная ось симметрии : А;

Д;

Л;

М;

П;

Т;

Ф;

Ш.

Горизонтальная ось симметрии : В;

Е;

З;

К;

С;

Э;

Ю.

И вертикальные, и горизонтальные оси симметрии : Ж;

Н;

О;

Х.

Ни вертикальные, ни горизонтальные оси : Б;

Г;

И;

Й;

Р;

У;

Ц;

Ч;

Щ;

Я.

СИММЕТРИЯ В ЛИТЕРАТУРЕ В русском языке есть «симметричные слова – палиндромы, которые можно читать одинаково в двух направлениях: Шалаш, казак, радар, Алла, Анна, кок, поп.

Могут быть палиндромическими и предложения.

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечём судия.

Г.Р.

Державин.

СИММЕТРИЯ В ОРНАМЕНТАХ Принцип симметрия используется в построении орнамента.

Орнамент (от лат.

Ornamentum – украшение) – узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Природа в различных своих творениях, казалось бы, очень далеких друг от друга, может использовать одни и те же принципы.

И человек в своих творениях: живописи, скульптуре, архитектуре… Основополагающими принципами красоты при этом являются пропорции и симметрия.

ЛИТЕРАТУРА Глейзер Г.Д.

Геометрия.

– 12-ое изд.- М., «Просвещение» ,1992.

Компанеец А.С.

Симметрия в микро- и макро мире.- М., Наука, 1978.

с.

276.

Наливкин Д.В.

Элементы симметрии органического мира.

– Изв.

Биол.

Науч – исслед.

ин-та при Пермском ун-те, т.

3, 1952, вып.

8, с.

291-297.

Опарин А.И.

Возникновение жизни на Земле.- М., 1987, 458 с.

Руденко В.

Н.

Геометрия 7-9 классы — М.: Просвещение, 1994.

Скопец З.А.

Геометрические миниатюры.- М., «Просвещение» , 1990.

Тарасов Л.

В.

Этот удивительный симметричный мир.

– М.: Просвещение, 1982.

Рисование фигур с помощью инструментов группы «Фигура» в Photoshop

Руководство пользователя Отмена

Поиск

Последнее обновление Jun 21, 2022 03:26:37 PM GMT

1. Руководство пользователя Photoshop
2. Введение в Photoshop
   1. Мечтайте об этом. Сделайте это.
   2. Новые возможности Photoshop
   3. Редактирование первой фотографии
   4. Создание документов
   5. Photoshop | Часто задаваемые вопросы
   6. Системные требования Photoshop
   7. Перенос наборов настроек, операций и настроек
   8. Знакомство с Photoshop
3. Photoshop и другие продукты и услуги Adobe
   1. Работа с графическим объектом Illustrator в Photoshop
   2. Работа с файлами Photoshop в InDesign
      
   3. Материалы Substance 3D для Photoshop
   4. Photoshop и Adobe Stock
   5. Работа со встроенным расширением Capture в Photoshop
   6. Библиотеки Creative Cloud Libraries
   7. Библиотеки Creative Cloud в Photoshop
   8. Работа в Photoshop с использованием Touch Bar
   9. Сетка и направляющие
   10. Создание операций
   11. Отмена и история операций
4. Photoshop на iPad
   1. Photoshop на iPad | Общие вопросы
   2. Знакомство с рабочей средой
   3. Системные требования | Photoshop на iPad
   4. Создание, открытие и экспорт документов
   5. Добавление фотографий
   6. Работа со слоями
   7. Рисование и раскрашивание кистями
   8. Выделение участков и добавление масок
   9. Ретуширование композиций
   10. Работа с корректирующими слоями
   11. Настройка тональности композиции с помощью слоя «Кривые»
   12. Применение операций трансформирования
   13. Обрезка и поворот композиций
   14. Поворот, панорамирование, масштабирование и восстановление холста
   15. Работа с текстовыми слоями
   16. Работа с Photoshop и Lightroom
   17. Получение отсутствующих шрифтов в Photoshop на iPad
   18. Японский текст в Photoshop на iPad
   19. Управление параметрами приложения
   20. Сенсорные ярлыки и жесты
   21. Комбинации клавиш
   22. Изменение размера изображения
   23. Прямая трансляция творческого процесса в Photoshop на iPad
   24. Исправление недостатков с помощью восстанавливающей кисти
   25. Создание кистей в Capture и их использование в Photoshop
   26. Работа с файлами Camera Raw
   27. Создание и использование смарт-объектов
   28. Коррекция экспозиции изображений с помощью инструментов «Осветлитель» и «Затемнитель»
5. Бета-версия веб-приложения Photoshop
   1. Часто задаваемые вопросы | Бета-версия веб-приложения Photoshop 
   2. Общие сведения о рабочей среде
   3. Системные требования | Бета-версия веб-приложения Photoshop
   4. Комбинации клавиш | Бета-версия веб-приложения Photoshop
   5. Поддерживаемые форматы файлов | Бета-вервия веб-приложения Photoshop
   6. Открытие облачных документов и работа с ними
   7. Совместная работа с заинтересованными сторонами
   8. Ограниченные возможности редактирования облачных документов
6. Облачные документы
   1. Облачные документы Photoshop | Часто задаваемые вопросы
   2. Облачные документы Photoshop | Вопросы о рабочем процессе
   3. Работа с облачными документами и управление ими в Photoshop
   4. Обновление облачного хранилища для Photoshop
   5. Не удается создать или сохранить облачный документ
   6. Устранение ошибок с облачными документами Photoshop
   7. Сбор журналов синхронизации облачных документов
   8. Общий доступ к облачным документам и их редактирование
   9. Общий доступ к файлам и комментирование в приложении
7. Рабочая среда
   1. Основные сведения о рабочей среде
   2. Более быстрое обучение благодаря панели «Новые возможности» в Photoshop
   3. Создание документов
   4. Работа в Photoshop с использованием Touch Bar
   5. Галерея инструментов
   6. Установки производительности
   7. Использование инструментов
   8. Сенсорные жесты
   9. Возможности работы с сенсорными жестами и настраиваемые рабочие среды
   10. Обзорные версии технологии
   11. Метаданные и комментарии
   12. Комбинации клавиш по умолчанию
   13. Возможности работы с сенсорными жестами и настраиваемые рабочие среды
   14. Помещение изображений Photoshop в другие приложения
   15. Установки
   16. Комбинации клавиш по умолчанию
   17. Линейки
   18. Отображение или скрытие непечатных вспомогательных элементов
   19. Указание колонок для изображения
   20. Отмена и история операций
   21. Панели и меню
   22. Помещение файлов
   23. Позиционирование элементов с привязкой
   24. Позиционирование с помощью инструмента «Линейка»
   25. Наборы настроек
   26. Настройка комбинаций клавиш
   27. Сетка и направляющие
8. Разработка содержимого для Интернета, экрана и приложений
   1. Photoshop для дизайна
   2. Монтажные области
   3. Просмотр на устройстве
   4. Копирование CSS из слоев
   5. Разделение веб-страниц на фрагменты
   6. Параметры HTML для фрагментов
   7. Изменение компоновки фрагментов
   8. Работа с веб-графикой
   9. Создание веб-фотогалерей
9. Основные сведения об изображениях и работе с цветом
   1. Изменение размера изображений
   2. Работа с растровыми и векторными изображениями
   3. Размер и разрешение изображения
   4. Импорт изображений из камер и сканеров
   5. Создание, открытие и импорт изображений
   6. Просмотр изображений
   7. Ошибка «Недопустимый маркер JPEG» | Открытие изображений
   8. Просмотр нескольких изображений
   9. Настройка палитр цветов и образцов цвета
   10. HDR-изображения
   11. Подбор цветов на изображении
   12. Преобразование между цветовыми режимами
   13. Цветовые режимы
   14. Стирание фрагментов изображения
   15. Режимы наложения
   16. Выбор цветов
   17. Внесение изменений в таблицы индексированных цветов
   18. Информация об изображениях
   19. Фильтры искажения недоступны
   20. Сведения о цвете
   21. Цветные и монохромные коррекции с помощью каналов
   22. Выбор цветов на панелях «Цвет» и «Образцы»
   23. Образец
   24. Цветовой режим (или режим изображения)
   25. Цветовой оттенок
   26. Добавление изменения цветового режима в операцию
   27. Добавление образцов из CSS- и SVG-файлов HTML
   28. Битовая глубина и установки
10. Слои
    1. Основные сведения о слоях
    2. Обратимое редактирование
    3. Создание слоев и групп и управление ими
    4. Выделение, группировка и связывание слоев
    5. Помещение изображений в кадры
    6. Непрозрачность и наложение слоев
    7. Слои-маски
    8. Применение смарт-фильтров
    9. Композиции слоев
    10. Перемещение, упорядочение и блокировка слоев
    11. Маскирование слоев при помощи векторных масок
    12. Управление слоями и группами
    13. Эффекты и стили слоев
    14. Редактирование слоев-масок
    15. Извлечение ресурсов
    16. Отображение слоев с помощью обтравочных масок
    17. Формирование графических ресурсов из слоев
    18. Работа со смарт-объектами
    19. Режимы наложения
    20. Объединение нескольких фрагментов в одно изображение
    21. Объединение изображений с помощью функции «Автоналожение слоев»
    22. Выравнивание и распределение слоев
    23. Копирование CSS из слоев
    24. Загрузка выделенных областей на основе границ слоя или слоя-маски
    25. Просвечивание для отображения содержимого других слоев
    26. Слой
    27. Сведение
    28. Совмещенные изображения
    29. Фон
11. Выделения
    1. Рабочая среда «Выделение и маска»
    2. Быстрое выделение областей
    3. Начало работы с выделениями
    4. Выделение при помощи группы инструментов «Область»
    5. Выделение при помощи инструментов группы «Лассо»
    6. Выбор цветового диапазона в изображении
    7. Настройка выделения пикселей
    8. Преобразование между контурами и границами выделенной области
    9. Основы работы с каналами
    10. Перемещение, копирование и удаление выделенных пикселей
    11. Создание временной быстрой маски
    12. Сохранение выделенных областей и масок альфа-каналов
    13. Выбор областей фокусировки в изображении
    14. Дублирование, разделение и объединение каналов
    15. Вычисление каналов
    16. Выделение
    17. Ограничительная рамка
12. Коррекции изображений
    1. Деформация перспективы
    2. Уменьшение размытия в результате движения камеры
    3. Примеры использования инструмента «Восстанавливающая кисть»
    4. Экспорт таблиц поиска цвета
    5. Корректировка резкости и размытия изображения
    6. Общие сведения о цветокоррекции
    7. Применение настройки «Яркость/Контрастность»
    8. Коррекция деталей в тенях и на светлых участках
    9. Корректировка «Уровни»
    10. Коррекция тона и насыщенности
    11. Коррекция сочности
    12. Настройка насыщенности цвета в областях изображения
    13. Быстрая коррекция тона
    14. Применение специальных цветовых эффектов к изображениям
    15. Улучшение изображения при помощи корректировки цветового баланса
    16. HDR-изображения
    17. Просмотр гистограмм и значений пикселей
    18. Подбор цветов на изображении
    19. Кадрирование и выпрямление фотографий
    20. Преобразование цветного изображения в черно-белое
    21. Корректирующие слои и слои-заливки
    22. Корректировка «Кривые»
    23. Режимы наложения
    24. Целевая подготовка изображений для печатной машины
    25. Коррекция цвета и тона с помощью пипеток «Уровни» и «Кривые»
    26. Коррекция экспозиции и тонирования HDR
    27. Фильтр
    28. Размытие
    29. Осветление или затемнение областей изображения
    30. Избирательная корректировка цвета
    31. Замена цветов объекта
13. Adobe Camera Raw
    1. Системные требования Camera Raw
    2. Новые возможности Camera Raw
    3. Введение в Camera Raw
    4. Создание панорам
    5. Поддерживаемые объективы
    6. Виньетирование, зернистость и удаление дымки в Camera Raw
    7. Комбинации клавиш по умолчанию
    8. Автоматическая коррекция перспективы в Camera Raw
    9. Обратимое редактирование в Camera Raw
    10. Инструмент «Радиальный фильтр» в Camera Raw
    11. Управление настройками Camera Raw
    12. Обработка, сохранение и открытие изображений в Camera Raw
    13. Совершенствование изображений с улучшенным инструментом «Удаление точек» в Camera Raw
    14. Поворот, обрезка и изменение изображений
    15. Корректировка цветопередачи в Camera Raw
    16. Краткий обзор функций | Adobe Camera Raw | Выпуски за 2018 г.
    17. Обзор новых возможностей
    18. Версии обработки в Camera Raw
    19. Внесение локальных корректировок в Camera Raw
14. Исправление и восстановление изображений
    1. Удаление объектов с фотографий с помощью функции «Заливка с учетом содержимого»
    2. Заплатка и перемещение с учетом содержимого
    3. Ретуширование и исправление фотографий
    4. Коррекция искажений изображения и шума
    5. Основные этапы устранения неполадок для решения большинства проблем
15. Преобразование изображений
    1. Трансформирование объектов
    2. Настройка кадрирования, поворотов и холста
    3. Кадрирование и выпрямление фотографий
    4. Создание и редактирование панорамных изображений
    5. Деформация изображений, фигур и контуров
    6. Перспектива
    7. Использование фильтра «Пластика»
    8. Масштаб с учетом содержимого
    9. Трансформирование изображений, фигур и контуров
    10. Деформация
    11. Трансформирование
    12. Панорама
16. Рисование и живопись
    1. Рисование симметричных орнаментов
    2. Варианты рисования прямоугольника и изменения обводки
    3. Сведения о рисовании
    4. Рисование и редактирование фигур
    5. Инструменты рисования красками
    6. Создание и изменение кистей
    7. Режимы наложения
    8. Добавление цвета в контуры
    9. Редактирование контуров
    10. Рисование с помощью микс-кисти
    11. Наборы настроек кистей
    12. Градиенты
    13. Градиентная интерполяция
    14. Заливка и обводка выделенных областей, слоев и контуров
    15. Рисование с помощью группы инструментов «Перо»
    16. Создание узоров
    17. Создание узора с помощью фильтра «Конструктор узоров»
    18. Управление контурами
    19. Управление библиотеками узоров и наборами настроек
    20. Рисование при помощи графического планшета
    21. Создание текстурированных кистей
    22. Добавление динамических элементов к кистям
    23. Градиент
    24. Рисование стилизованных обводок с помощью архивной художественной кисти
    25. Рисование с помощью узора
    26. Синхронизация наборов настроек на нескольких устройствах
17. Текст
    1. Добавление и редактирование текста
       
    2. Универсальный текстовый редактор
    3. Работа со шрифтами OpenType SVG
    4. Форматирование символов
    5. Форматирование абзацев
    6. Создание эффектов текста
    7. Редактирование текста
    8. Интерлиньяж и межбуквенные интервалы
    9. Шрифт для арабского языка и иврита
    10. Шрифты
    11. Поиск и устранение неполадок, связанных со шрифтами
    12. Азиатский текст
    13. Создание текста
    14. Ошибка Text Engine при использовании инструмента «Текст» в Photoshop | Windows 8
18. Видео и анимация
    1. Видеомонтаж в Photoshop
    2. Редактирование слоев видео и анимации
    3. Общие сведения о видео и анимации
    4. Предварительный просмотр видео и анимации
    5. Рисование кадров в видеослоях
    6. Импорт видеофайлов и последовательностей изображений
    7. Создание анимации кадров
    8. 3D-анимация Creative Cloud (предварительная версия)
    9. Создание анимаций по временной шкале
    10. Создание изображений для видео
19. Фильтры и эффекты
    1. Использование фильтра «Пластика»
    2. Использование эффектов группы «Галерея размытия»
    3. Основные сведения о фильтрах
    4. Справочник по эффектам фильтров
    5. Добавление эффектов освещения
    6. Использование фильтра «Адаптивный широкий угол»
    7. Фильтр «Масляная краска»
    8. Эффекты и стили слоев
    9. Применение определенных фильтров
    10. Растушевка областей изображения
20. Сохранение и экспорт
    1. Сохранение файлов в Photoshop
       
    2. Экспорт файлов в Photoshop
    3. Поддерживаемые форматы файлов
       
    4. Сохранение файлов в других графических форматах
    5. Перемещение проектов между Photoshop и Illustrator
    6. Сохранение и экспорт видео и анимации
    7. Сохранение файлов PDF
    8. Защита авторских прав Digimarc
21. Печать
    1. Печать 3D-объектов
    2. Печать через Photoshop
    3. Печать и управление цветом
    4. Контрольные листы и PDF-презентации
    5. Печать фотографий в новом макете раскладки изображений
    6. Печать плашечных цветов
    7. Дуплексы
    8. Печать изображений на печатной машине
    9. Улучшение цветной печати в Photoshop
    10. Устранение неполадок при печати | Photoshop
22. Автоматизация
    1. Создание операций
    2. Создание изображений, управляемых данными
    3. Сценарии
    4. Обработка пакета файлов
    5. Воспроизведение операций и управление ими
    6. Добавление условных операций
    7. Сведения об операциях и панели «Операции»
    8. Запись инструментов в операциях
    9. Добавление изменения цветового режима в операцию
    10. Набор средств разработки пользовательского интерфейса Photoshop для внешних модулей и сценариев
23. Управление цветом
    1. Основные сведения об управлении цветом
    2. Обеспечение точной цветопередачи
    3. Настройки цвета
    4. Работа с цветовыми профилями
    5. Управление цветом документов для просмотра в Интернете
    6. Управление цветом при печати документов
    7. Управление цветом импортированных изображений
    8. Выполнение цветопробы
24. Подлинность контента
    1. Подробнее об учетных данных для содержимого
    2. Идентичность и происхождение токенов NFT
    3. Подключение учетных записей для творческой атрибуции
25. 3D-объекты и технические изображения
    1. 3D в Photoshop | Распространенные вопросы об упраздненных 3D-функциях
    2. 3D-анимация Creative Cloud (предварительная версия)
    3. Печать 3D-объектов
    4. 3D-рисование
    5. Усовершенствование панели «3D» | Photoshop
    6. Основные понятия и инструменты для работы с 3D-графикой
    7. Рендеринг и сохранение 3D-объектов
    8. Создание 3D-объектов и анимаций
    9. Стеки изображений
    10. Процесс работы с 3D-графикой
    11. Измерения
    12. Файлы формата DICOM
    13. Photoshop и MATLAB
    14. Подсчет объектов на изображении
    15. Объединение и преобразование 3D-объектов
    16. Редактирование 3D-текстур
    17. Коррекция экспозиции и тонирования HDR
    18. Настройки панели «3D»

Научитесь создавать фигуры на холсте и использовать функцию «Свойства интерактивной формы» для взаимодействия с фигурами.

В Photoshop предусмотрена удобная функция рисования и редактирования векторных фигур. Также можно преобразовать векторную фигуру в растровую или пиксельную. Прочитайте полную статью, чтобы узнать больше.

• Создание фигур
• Рисование произвольной фигуры
• Доступ к устаревшим пользовательским фигурам

• Заливка и обводка фигур
• Рисование звезды с помощью инструмента «Многоугольник»

Выполните эти быстрые действия для создания фигур в Photoshop:

1. Выберите инструмент «Фигура»

   На панели инструментов, нажмите и удерживайте значок группы инструментов Фигура (), чтобы вызвать различные варианты инструмента «Фигура» — Прямоугольник, Эллипс, Треугольник, Многоугольник, Линия и Произвольная фигура. Выберите инструмент для рисования нужной фигуры.
   

2. Настройка параметров инструментов группы «Фигура»

   На панели параметров инструментов группы «Фигура» можно задать следующие настройки:

   • Режим: задайте режим для инструмента «Фигура» — Фигура, Контур и Пиксели.
     
   • Заливка: выберите цвет заливки фигуры.
   • Обводка: выберите цвет, ширину и тип обводки фигуры.
   • Ш и В: вручную задайте ширину и высоту фигуры.
   • Операции с контуром: используйте операции с контуром для настройки взаимодействия фигур друг с другом.
     
   • Выравнивание контура: используйте этот параметр для выравнивания и распределения компонентов фигуры.
   • Упорядочение контура: используйте этот параметр для настройки порядка расположения создаваемых фигур.
   • Дополнительные параметры фигур и контуров: щелкните значок шестеренки () для доступа к дополнительным параметрам фигур и контуров, чтобы задать такие атрибуты, как ширина и цвет отображаемого на экране контура, и параметры соблюдения пропорций при рисовании фигур.

3. Рисование фигуры

   Чтобы нарисовать фигуру, выберите нужный инструмент группы «Фигура», затем щелкните кнопку мыши и перетащите указатель мыши на холсте. При этом автоматически создается новый слой-фигура на панели «Слои».

   • Удерживайте клавишу Shift во время рисования, чтобы сделать фигуры пропорциональными.
     
   • Выбрав слой-фигуру, используйте инструмент Перемещение, чтобы перемещать фигуру и менять ее расположение на холсте.
   • Чтобы легко масштабировать, трансформировать или поворачивать фигуру, выберите Редактирование > Свободное трансформирование или нажмите клавиши Control+T (Win) / Command+T (Mac).

4. Редактирование свойств фигуры

   Можно легко редактировать свойства фигуры прямо с помощью элементов управления на холсте или с помощью раздела Свойства фигуры на панели Свойства. Элементы управления на холсте позволяют взаимодействовать с фигурами на более интуитивном уровне.

   Можно использовать элементы управления трансформированием и скруглением на холсте для коррекции внешнего вида фигуры. Модификаторы клавиатуры будут управлять трансформированием на холсте так же, как при использовании инструмента Трансформирование в Photoshop. Можно изменять радиус всех углов прямоугольника одновременно: удерживайте клавишу Alt (Win) или Option (Mac) во время перетаскивания для изменения радиуса одного угла. У треугольников изменяются все углы, даже если перетащить только один из них. С легкостью поворачивайте фигуру с помощью маркера поворота на холсте, который появляется при наведении курсора мыши на фигуру.

   Щелкните значок сброса () на панели «Свойства», чтобы сбросить сразу все изменения.

   Нарисуйте фигуру и используйте элементы управления на холсте, чтобы легко редактировать ее свойства.

   Нарисовав фигуру, можно щелкнуть любую точку холста, чтобы вызвать всплывающее диалоговое окно Создание фигуры и изменить параметры фигуры.
   

Выполните эти быстрые действия для заливки и обводки фигур: 

1. На панели Слои выберите слой-фигуру, который необходимо залить или обвести.

2. Для выбора типа заливки или обводки фигуры выполните одно из следующих действий.

   • Выберите любой инструмент группы «Фигура» (нажмите «U») из панели инструментов. На панели параметров инструментов выберите Заливка или Обводка.
   • На панели Свойства щелкните нужный тип заливки или обводки.  

3. Во всплывающем меню выберите вариант заливки или обводки: Чистый цвет, Градиент или Узор.
   

   Чистый цвет: заполняет или обводит слой-фигуру текущим основным цветом. Для выбора другого цвета используйте палитру цветов или стили цвета.

   Градиент: для отображения диалогового окна «Редактор градиентов» выберите стиль градиента или щелкните градиент. Настройте дополнительные параметры градиента.

   • Значение параметра «Угол» определяет угол, под которым будет накладываться градиент.
     
   • Параметр «Инверсия» изменяет ориентацию цветов градиента.
     
   • Форма градиента определяется стилем.
   • Параметр «Масштаб» изменяет размер градиента.
   • Параметр «Выровнять по слою» использует ограничительную рамку слоя для расчета заполнения градиентом. Можно перетащить ее в окне изображения, чтобы переместить центр градиента.

   Узор: выберите узор в раскрывающемся меню и задайте дополнительные параметры.

   • Значение параметра «Угол» определяет угол, под которым будет накладываться узор. В средстве выбора угла можно указать определенный угол или вручную ввести нужную величину.
   • Параметр «Масштаб» задает размер узора. Введите значение в текстовое поле или с помощью ползунка.

Улучшение в выпуске Photoshop на компьютере за февраль 2021 года (22.2).

Рисовать произвольные фигуры можно, выбрав фигуры в раскрывающейся панели «Произвольная фигура». Можно также сохранить фигуру или контур и использовать их в дальнейшем как произвольную фигуру.

1. Выберите инструмент Произвольная фигура в группе инструментов «Фигура» на панели инструментов.

2. Чтобы просмотреть все произвольные фигуры, предусмотренные в Photoshop, щелкните значок шестеренки справа от палитры «Произвольная фигура» на панели параметров группы инструментов «Фигура». Появится список доступных фигур. Выберите любую произвольную фигуру на свое усмотрение.

3. Если вы не нашли нужную фигуру, щелкните значок шестеренки на палитре «Произвольная фигура» и выберите Импорт фигур для импорта нужной фигуры из сохраненных файлов. Также можно создать и сохранить произвольную фигуру в своей библиотеке.

4. Можно легко редактировать свойства инструмента «Произвольная фигура» прямо в разделе Свойства фигуры на панели Свойства. Кроме того, можно использовать элементы управления преобразованием на холсте для преобразования произвольной фигуры без изменения ее свойств. 
   

5. Щелкните и перетащите в любом месте холста, чтобы нарисовать произвольную фигуру.

Улучшенная панель свойств для инструмента «Произвольная фигура»

Кроме того, набор параметров инструмента «Произвольная фигура» можно настроить прямо на панели Окна > Фигура. При выборе произвольной фигуры на панели Окна > Фигура этот набор также обновится на палитре Инструмент «Произвольная фигура» > Произвольная фигура.  

Доступ к свойствам можно получить только для произвольных фигур, нарисованных с помощью инструмента «Произвольная фигура». Для контура, преобразованного в фигуру, такой возможности нет. 

1. Выберите контур на панели Контуры — векторную маску для слоя-фигуры, рабочий контур или сохраненный контур.

2. Выберите меню Редактирование > Определить произвольную фигуру и введите имя для новой произвольной фигуры в диалоговом окне Имя фигуры. Новая фигура появится на всплывающей панели Фигура на панели параметров.

3. Для сохранения новой произвольной фигуры в новой библиотеке выберите пункт Сохранить произвольные фигуры в меню раскрывающейся панели.

   Дополнительные сведения см. в разделе Работа со средством «Управление наборами».

Одна из основных фигур, которые мы учимся рисовать в детстве — пятиконечная звезда.

Выполните эти три простых действия, чтобы нарисовать звезду с помощью инструмента «Многоугольник».

1. На панели инструментов щелкните и удерживайте значок группы инструментов «Фигура», чтобы вызвать различные варианты инструмента «Фигура». Выберите инструмент Многоугольник.

2. Перетащите инструмент на холст, чтобы нарисовать многоугольник.
   

3. Щелкните в любом месте холста, чтобы вызвать диалоговое окно Создание многоугольника и задайте следующие атрибуты.

   • Ширина и высота: вручную задайте ширину и высоту фигуры.
   • Симметричный: установите флажок для сохранения симметрии в многоугольнике.
   • Количество сторон: вручную введите желаемое количество сторон многоугольника. Например, задайте количество сторон до 5, если требуется нарисовать пятиконечную звезду.
   • Радиус скругления: вручную задайте радиус, чтобы получить скругленные углы у многоугольника.
   • Пропорции звезды: настройте процент пропорции, чтобы получить звезду идеальной формы.
   • Сглаживание внутренних углов звезды: установите флажок, чтобы скруглить внутренние углы звезды.
   • От центра: установите флажок, чтобы выровнять звезду от центра.
   Создание звезды с помощью инструмента «Многоугольник»

Если вы использовали устаревшие пользовательские фигуры из старых версий Photoshop и хотите добавить их в текущую версию, выполните следующие действия.

1. В главном окне выберите Окно > Фигуры
   

2. В правом верхнем углу панели «Фигуры» нажмите значок меню () и выберите Фигуры прежней версии и др.
   

Больше по теме

• Сообщество Photoshop | Рисовать фигуры в Photoshop стало еще проще
• Сообщество Photoshop | Краткие советы: как найти и использовать устаревшие фигуры в текущей версии Photoshop
• Работа с инструментом «Линия»
• Сведения о рисовании
• Рисование с помощью инструмента «Перо»
• Добавление векторных фигур в дизайны | Учебное пособие

 

Вход в учетную запись

Войти

Управление учетной записью

Учебный проект Геометрия вокруг нас

Проектно-исследовательская деятельность «Геометрия в природе»

В настоящее время большое внимание в образовательном процессе общеобразовательных учреждений и учреждений дополнительного образования детей уделяется гармоничному развитию личности обучающегося. Одна из составляющих этого процесса развития – приобщение детей к познанию, исследованию изучаемых явлений. Для этого в образовательных учреждениях создаются благоприятные условия, способствующие реализации творческих идей обучающихся и их педагогов.Предлагаю вашему вниманию проект ученицы 7 класса.

Просмотр содержимого документа
«Проектно-исследовательская деятельность «Геометрия в природе»»

Геометрия в природе

Руководитель:

Волкова Е.А.

Цель проекта : исследовать и выделить основные геометрические фигуры в природе, поиск их в природных объектах

Задачи проекта:

— выделить основные геометрические фигуры;

-провести исследования природных объектов с целью определения их геометрических форм.

Объект проблемного наблюдения: геометрические фигуры в природе

Гипотеза: Основные геометрические формы, окружающие человека, берут своё начало в природе.

Природа говорит языком математики : буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры. Галилей

Математика всегда сопровождала человека в жизни. Математика настолько практична, что немногое из окружающего нас может без нее функционировать.

Геометрические фигуры в природе

Кристаллы горного хрусталя напоминают отточенный карандаш. Кристалл соли имеет форму куба.

А снежинки – это одна из самых красивых геометрических фигур.

Обычная горошина, капельки росы – имеют форму шара.

Фигура, близкая к кругу, получится, если разрезать пополам апельсин, арбуз.

Дугу можно увидеть после дождя на небе — радугу.

Некоторые деревья, одуванчики, отдельные виды кактусов имеют сферическую форму.

В природе многие ягоды имеют форму шара, например, смородина, крыжовник, черника.

Алоэ Polyphylla — приковывает к себе взгляд своими правильными линиями, геометрическими формами, симметричным рисунком и другими внешними признаками.

Крассула «Храм Будды»,

Ураган закручивается по спирали

Спирально плетёт свою паутину паук

Другими интересными фигурами, которые мы можем повсеместно увидеть в природе, являются фракталы. Фракталы — это фигуры, составленные из частей, каждая из которых подобна целой фигуре.

Молния, трещины на камне имеют фрактальную форму

Геометрические фигуры у животных

Многие птицы — воробьи, крапивники, лирохвосты — строят свои гнёзда в форме полушара.

рыба колюшка строит свое гнездо в форме шара

Но самые искусные геометры — пчёлы. Они строят соты из шестиугольников.

Целью данной работы являлось исследование и выделение основных геометрических фигур, поиск их в природных объектах.

Для достижения поставленной цели, были выделены основные геометрические фигуры, проведены наблюдения природных объектов с целью определения их геометрической формы, проведены исследования на установление связи между геометрическими фигурами и природными объектами.

В ходе проекта была выдвинута гипотеза о том, что основные геометрические формы, окружающие человека, берут своё начало в природе.

Источник

Учебный проект «Геометрия вокруг нас»

Одной из главных целей школьного образования становится формирование у учащихся умения учиться, то есть развитие способности самостоятельно ставить учебные цели, проектировать пути их реализации, контролировать и оценивать свои достижения.

Воспитать такого ученика может учитель, владеющий современными образовательными технологиями, инновационными формами и методами обучения.

Одним из путей повышения мотивации и эффективности учебной деятельности в основной школе является включение обучающегося в учебно-исследовательскую и проектную деятельность.

Применение метода проектов в обучении геометрии помогает формированию и развитию устойчивого интереса к предмету, развитию активности учащихся, способствующей формированию навыков самообразования, творчества, инициативы. Деятельность учащихся в рамках проекта опирается на предыдущий жизненный опыт учащихся, доступные для них формы деятельности. Сейчас актуально развитие способности переноса знаний и навыков, полученных в одной области, в любую другую сферу человеческой деятельности.

Метод проектов – мощное дидактическое средство для обучения проектированию – умению находить решения различных проблем, которые возникают в жизни человека, занимающего активную жизненную позицию.

Метод проектов универсален, поэтому я применяю его и на уроках математики, и во внеурочной деятельности по предмету.

Учащиеся отмечают, что работа над проектом способствует проявлению самостоятельности, независимости, творчества. Их привлекает активная, равноправная позиция в учебном процессе.

Геометрический материал является составляющей содержания курса математики, начиная с 5 класса основной школы. Способ его изложения опирается на предыдущий жизненный и геометрический опыт учащихся, доступные для детей формы деятельности, и особую роль при этом играет принцип наглядности. Считаю целесообразным привлекать учащихся к исследовательской работе, в частности, проектной деятельности.

Настоящая работа – результат моего педагогического опыта, практической реализации метода учебного проекта.

Учебный проект “Геометрические кружева”

1. Введение.
2. Методический паспорт проекта.
3. Работа над проектом.

1. Введение.

Идея этого проекта пришла ко мне во время изучения с семиклассниками темы “Деление окружности на равные части”. Они обратили внимание, что в природе, окружающих нас предметах, зданиях много элементов, в основе которых лежит принцип деления окружности на равные части. Мои ученики привели примеры фрагментов ворот, ограды парка, окон в городах Ликино-Дулево и Орехово-Зуево, показали рисунки и фотографии в учебнике истории, попытались воспроизвести эти узоры. Так как геометрические построения сами по себе интересны учащимся, я решила реализовать эту тему для создания орнаментов и узоров в учебном проекте “Геометрические кружева”.

В ходе проекта учащиеся получили новые знания по геометрии, истории математики, познакомились с традициями в архитектуре. Практические навыки пригодятся им на уроках геометрии и технической графики. Проект дал возможность каждому ученику применить свои знания и умения, раскрыть свои способности и возможности.

Общим итогом стали композиции, созданные учащимися на основе приближенных способов построения правильных многоугольников; памятка-чертеж “Деление окружности на равные части”, подборка задач на построение (Приложение 1).

Источник

Презентация по теме: «Геометрия в природе и искусстве. Золотое сечение»

презентация к уроку (алгебра, 7 класс) на тему

«Золотым сечением» называется деление целого на две неравные части, при котором большая часть так относится к целому, как меньшая к большей. В геометрии «золотым сечением» называют также деление отрезка в среднем и крайнем отношении. АС:АВ=СВ:АС Точка С производит «золотое сечение» отрезка.

Части «золотого сечения» составляют приблизительно 62% и 38% С золотой пропорцией тесно связан ряд чисел Фибоначчи 1,1,2,3,5,8. 13,21,34,55,89 и т.д.. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел.

Замечательный пример «золотого сечения» — правильный пятиугольник -выпуклый и звёздчатый. Звёздчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали её в качестве талисмана. Она считалась символом здоровья. Пифагор

Пентаграмму никто не изобретал, её скопировали с натуры Мефистофель сначала послал черного пуделя отгрызть кончик двери с частью пентаграммы Морские звёзды

Вездесущий филлотаксис Гёте считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сущности жизни. Носители информации –молекулы ДНК скручены в спираль.

Закономерность расположения листьев, чешуек, семян называют филлотаксисом. В корзинках подсолнечника расположены по двум спиралям. Чешуйки на поверхности шишки расположены по двум спиралям Условная спираль соединяет места расположения листьев на побеге. В формулах листорасположения встречаются числа Фибоначчи

Ритмы сердца Работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объёмов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу – по правилу золотой пропорции

Загадки египетских пирамид Отношения сторон в треугольнике пирамиды равно Ф. Отношение поверхности граней к площади основания также равно золотой пропорции.

«Золотое сечение» в скульптуре Основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношения частей человеческого тела связывались с формулой «золотого сечения». Поликлет. «Доридоф». Фидий.» Аполлон Бельведерский».

«Золотое сечение» в архитектуре Золотая пропорция использовалась при создании Парфенона и Пантеона в Древней Греции

Известный русский архитектор М.Казаков в своём творчестве широко использовал «золотое сечение». «Золотое сечение» можно обнаружить в архитектуре здания сената в Кремле. Архитектурный шедевр Москвы – Дом Пашкова архитектора В.Баженова. В.Баженов говорил: «Архитектура – главнейшие имеет три предмета: красоту, спокойность и прочность здания…К достижению сего служит руководством знание пропорции…»

«Золотое сечение»в живописи Портрет Моны Лизы (Джаконды) Леонардо да Винчи долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звёздчатого пятиугольника.

Алгебра музыки Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л.Сабанеевым. Им было изучено 2000 произведений различных композиторов.

Моцарт 91% Гайдн 97% Бетховен 97% Шуберт 91% Шопен 92% Аренский 95% Скрябин 90%

Музыка стихов Совпадение кульминационных моментов в произведениях А.С. Пушкина с золотой пропорцией удивительно близкое, в пределах 1-3 строк. Чувство гармонии у него было развито необыкновенно, что объективно подтверждает гениальность великого поэта и писателя.

Принцип «золотого сечения» — высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация «Золотое сечение в природе»: история золотого сечения, золотое сечение в живой и неживой природе, золотое сечение тела человека, филлотаксис, числа Фибоначчи в природе. Применяется на урок.

Материалы к внеклассному мероприятию по математике в 6-7 классах «Геометрия в природе и искусстве. Золотое сечение»»

Материалы к внеклассному мероприятию по математике в 6-7 классах «Геометрия в природе и искусстве. Золотое сечение».

Презентация на тему: «Геометрия вокруг нас»

Презентация подготовлена учениками 7 класса для знакомства учащихся начальной школы с началными геометрическими сведениями.Задача этой презентации — мотивировать необходимость изучать геометрию.

Презентация к уроку (Золотое сечение и гармония форм природы и искусства) (8класс).

Конспект урока (Золотое сечение и гармония форм природы и искусства) (8 класс).

Интегрированный урок «Золотое сечение в природе и искусстве»

Интегрировааный урок «Золотое сечение в природе и искусстве» можно провести в рамках декады предметов естественно-математического цикла. Урок с использованием игровых методик, выполнением пр.

Презентация к занятию «Человек и природа в искусстве»

Источник



Стенгазета «Веселая геометрия»

Наши дети в рамках проекта «Геометрия повсюду» полюбили занимательную науку геометрию. Геометрические головоломки любимое занятие вечерами и в любую свободную минутку!

Решили мы свои любимые головоломки в стенгазету поместить. Раскрасили буквы в названии, затем поместили юных геометриков, которых сами раскрасили и вырезали с заданиями.

Газета получилась яркой и занимательной!

Поместили ее на мольберт! Каждую минутку, дети пытаются посчитать фигуры, отгадать сколько квадратов спряталось в прямоугольнике и отгадать – сколько треугольников? Каждая головоломка вырезана детьми, приклеена клеем карандашом! Дети аккуратно работали над стенгазетой! Посмотрите, какие милые у нас Геометрики — веселые, умные и симпатичные!

Возникают споры, развивается внимание. Оцените наши старания!

«Веселая ярмарка — Свистунья». Сценарий музыкального развлечения для детей старшего возраста «Веселая ярмарка — Свистунья». Разработка сценария: воспитатель Шурыгина Наталья.

Фотоотчет «Веселая масленица» Праздник масленица- веселый, яркий,весенний праздник. Она имеет свои традиции и обряды проведения. Этот праздник означает проводы Зимы и.

Фотоотчет «Веселая весна» Дорогие девочки! От всего сердца хочу поздравить вас с наступающим праздником-8 марта. Пожелать вам здоровья,счастья,семейного благополучия.

Конспект НОД по математике «Страна геометрия» Тема: «Страна Геометрия». Программное содержание: дать начальное представление об объемных геометрических телах «пирамида», «шар», «цилиндр»;.

Педагогический проект по ФЭМП для детей средней группы «Страна Геометрия» Проект направлен на решение вопросов развития интереса к игре и к математике в соответствии с новыми требованиями (ФГОС). Помимо интересных.

Программа «Веселая логика» Цель-развитие интеллектуальных способностей дошкольников. Задачи:Развитие способности к планомерной интеллектуальной деятельности; Формирование.

Сценарий турнира по решению геометрических задач «Криминальная геометрия, или Дело принципа» Криминальная геометрия, или Дело принципа. (Использован материал из журнала «Квант» «Методическое пособие в одном акте» Д. В. ФОМИН) Ведущий:.

Веселая артикуляционная гимнастика В работе логопеда артикуляционная гимнастика имеет большое значение. Звуки речи образуются в результате сложного комплекса движений артикуляционных.

Веселая масленица! (фотоотчет) Масленица в нашем детском саду прошла очень весело и шумно! Дети прощались с Зимой и встречали Весну. Все ребята с нетерпением ждали этот.

Веселая зарядка (фотоотчет) Зарядка — архиважный и архинужный процесс формирования гармонично развитой личности, особенно это актуально для жителей крупного мегаполиса,.

Источник

Волшебная геометрия в природе

Приветствую Вас, дорогие читатели. Геометрия сопровождает человека с древних времен, достаточно вспомнить таких древних ученых геометров: Евклида, Пифагора, Рене Декарта и других. Но все — таки самым идеальным геометром является природа — и об ее геометрических фигурах пойдет в нашей статье пойдет речь. Об геометрических фигурах в природе я уже писал в другой своей статье, но в ней больше посвящено все треугольникам: Изучаем с ребёнком треугольники (периметр, виды треугольников) с помощью цветной бумаги .

Основной геометрической фигурой природы являются многоугольники, которые на самом деле присутствуют практически везде. Многоугольники в природе в первую очередь представлены в снежинках , которые имеют разнообразные геометрические фигуры (см. фото 2) .

Как мы с вами наблюдаем по фотографии 2 снежинки в природе действительно имеют различные геометрические фигуры, которые мы с вами изучаем. Но мы изучаем основные геометрические фигуры (квадрат, прямоугольник, треугольники и т.д.).

Еще одними природными геометрами являются растения и цветы (даже те, которые находятся у нас в домах). А в некоторых случаях мы можем разглядеть даже куб (смотрите фото 3).

Некоторые растения используют геометрию для того, чтобы продолжать свой род, но при этом красиво отцветают и радуют глаз (Смотрите фото 4).

Как мы с вами видим, наш одуванчик цветет в виде круга — который он использует для продолжения рода.

Однако существует растение, которое применяет геометрическую форму круга для того, чтобы осуществлять охоту — жирянка (см. фото 5).

Жирянка, представленная на фото 5, хищник, который использует сладковатую сахарную слизь для того, чтобы ловить насекомых. Лепестки жирянки расположены по кругу, формируя круглую коробочку для поимки насекомых.

Конечно, это не весь спектр геометрии, которую применяют именно растения. Сейчас мы с вами поговорим о животных, которые также применяют геометрию .

В мире насекомых основное предпочтение отдадим паукам — именно они умеют правильно плести свою паутину и использовать ее для поимки еды. (См. фото 6)

Паучья паутина создана таким образом, что жертва запутываясь в ней создают вибрации по которым паук и определяет в каком месте паутины запуталась его жертва. При этом используются математические принципы построения паутины и объясняют поведение паука.

Среди животных также в их окрасе наблюдается симметрия, например в окрасе тигров или морских звезд . Даже наши мяукающие любимцы и те обладают геометрической симметрией. (См. фото 7.)

Кроме животных и растений, геометрия присутствует даже в такой важной науке как геммология (науке, изучающей камни и минералы) — в ней также наблюдается геометрическая симметрия . Например, флюорит имеет кубическую (квадратную) форму кристаллов, которая представлена на фотографии 8.

Из всех увиденных нами фотографий можно сделать следующие выводы, что: геометрия является неотъемлемой частью нашего мира и ее геометрические фигуры присутствуют и в снежинках, и в растениях, и в животных и даже в кристаллах. Поэтому изучение геометрии — это важный этап в учебном процессе.

Источник

КОМПОЗИЦИЯ ИЗ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ НА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНАХ В МАРХИ • СПЛАЙН

На рис. 6.1 изображены простые геометрические тела, из которых должна состоять экзаменационная композиция. Кроме уже знакомых вам тел здесь представлены плашки и палочки. Плашки – дополнительные плоские квадратные, круглые и шестиугольные элементы, высота которых равна одной восьмой ребра куба. Палочки – линейные элементы композиции, длина которых равна ребру куба. Кроме того в композиции могут быть использованы тела одних пропорций, но разных размеров. Это так называемые композиции с масштабированием (поскольку на листе в таком случае присутствуют одинаковые тела, но как бы взятые в разном масштабе). Рассмотрите композиции, выполненные абитуриентами в последние годы (рис. 6.2-6.20).

Форма экзаменационной композиции, ее размер, размещение на листе, степень и характер взаимодействия геометрических тел уже давно сложились. Все эти позиции в той или иной степени отражены в экзаменационном задании. Конечно, следует сразу оговориться, что речь пойдет о том экзаменационном задании, которое существует на сегодняшний день – оно, возможно, будет изменено на тот момент, когда вы будете читать этот раздел пособия. Однако будем надеяться, что суть задания будет сохранена, и вы сможете воспользоваться нашими советами и рекомендациями.

Прежде всего, перечислим те критерии, по которым будут оценивать ваши композиции:

• соответствие выполненного рисунка заданию;

• композиционная идея в целом, гармоничность композиционного решения и сложность композиции;

• композиция листа;

• грамотное изображение отдельных элементов композиции, правильность перспективы и врезок;

• графика, тональное решение;

• завершенность работы.

Теперь остановимся подробнее на каждой из перечисленных позиций. Казалось бы, обязательность соответствия композиции экзаменационному заданию несомненна. Однако порой в процессе подготовки к экзамену в работах учеников случаются не только ошибки в пропорциях и относительных размерах геометрических тел, но и осознанное их изменение. Это, как правило, объясняют тем, что заданные условиями экзамена геометрические тела имеют некрасивые пропорции и соотношения – шестигранник, мол, слишком длинный, а шар маловат. Это верно, но вы уже знаете, что в экзаменационном задании пропорции и соотношения выражаются простыми пропорциями 1:1 или 1:1,5 – и это неслучайно -их просто изобразить и просто проверить. Изменять их нельзя. Это – задание, если вы изменили задание – вы сдаете какой-то другой экзамен. Для большей убедительности этого утверждения представьте, что на экзамене по математике вы умножаете не 2 на 2, как этого требует задание, а 3 на 3, потому что это гармоничнее, интереснее и выразительнее.

Если рассуждать об общем композиционном замысле, то экзамен в традиционно сложился таким образом, что от абитуриента не требуют составить композицию, отвечающую каким-то условиям, девизам (статика, динамика, погашенное движение, тяжесть, устойчивость и пр.), как это делается в некоторых других архитектурных вузах нашей страны. Хорошо это или плохо – это совершенно другой разговор. Важно то, что такая свобода многими абитуриентами воспринимается как узаконенный произвол, когда можно игнорировать все законы композиции, законы гармонии. Зачастую экзаменационные работы превращаются в навал предметов, которые хотя и взаимодействуют друг с другом, но не создают ничего, кроме некоего сложного хаоса. Из всех возможных путей составления композиции этот представляется наихудшим. Архитектурная композиция – вещь многообразная, точнее, может быть таковой, поскольку путей обретения гармонии множество. Но композиция – не хаос. Гармония может быть парадоксальной, но никогда она не возникает из хаоса. Хаос – энтропия, рассеяние, смешение всего. Гармония всегда закономерна, упорядочена, она противостоит энтропии, борется с ней, и цель человека разумного – победа гармонии над хаосом. Композиция там, где гармония.

В своей работе выберите сами близкую вам тему. Это может быть массивная устойчивость или легкое, устремленное в некую условную даль или ввысь движение. Движение может быть закольцовано или погашено, остановлено. Масса может быть плотной или разряженной. Композиция может строиться на метрических, равномерных закономерностях или же, наоборот – на простом или сложном ритме. В ней может присутствовать равномерное распространение массы или резкие, выделенные акценты. Перечисленные свойства могут комбинироваться (кроме тех, конечно, которые исключают друг друга в одной работе). Следует помнить, что ощущение сложности композиции возникает от восприятия сложной гармонии некоего нетривиального замысла, а не только от сложности врезок и уж точно не от нагромождения множества тел.

Композиция листа – очень важный критерий при оценке работы. Помните, что в конце экзамена вы сдаете в приемную комиссию не композицию из геометрических тел, а лист. Лист не просто носитель информации. В рисунке лист есть произведение искусства, ибо вне листа произведение не существует, как фильм не существует вне экрана. В Японии, когда детей начинают учить каллиграфии, обязательно говорят им, примерно, следующее: «Посмотрите, как прекрасен лист белой бумаги. Задача рисующего заключается в том, чтобы с каждой линией лист становился лучше, а не хуже». Из сказанного следует, что композиция листа столь же важна, как и композиция на листе. Лист надо плотно, но не переуплотнено. Силуэт композиции из геометрических тел должен быть живым и певучим как линия в рисунке, выражая общий замысел работы. Все свободные, незанятые телами поля должны быть уравновешены, красивы по пятну и по пропорциям. Вообще, понятия «композиция на листе» и «композиция самого листа» связаны так плотно, что совершенно невозможно определить, где заканчивается одно и начинается другое. Лист – это условное пространство, композиция тоже занимает пространство (иллюзорное). Эти два пространства не только должны находиться в одном месте, но и гармонично существовать, взаимно учитывая характер друг друга. Лист (имеется в виду формат А-3) имеет определенные границы – вертикали и горизонтали. Эти линии вместе с диагоналями задают основные направления, по которым развивается пространство листа. Кроме того это пространство имеет глубину, причем неоднородную: наибольшую – в центре, наименьшую – по краям, самые плоские участки листа – в его углах (стремление убрать эти плоские места привело к арочной и овальной формам изобразительных поверхностей). Композиция из геометрических тел должна учитывать эти особенности и некоторым образом подчиняться им. Так, композиция, учитывающая в своей структуре прежде всего края листа, имеет прямоугольные очертания. В такой композиции, когда лист заполнен почти до предела, лучше не размещать в углах листа геометрические тела, имеющие наибольшие объемные характеристики, например, шары. Такие прямоугольные композиции – корпусные, массивные, уравновешенные, но, как правило, не очень интересные – они часто вызывают ощущение, что автор старался не создать композицию, а просто равномерно заполнить лист. Лучше, когда в композиции на листе остается больше поля, которое взаимодействует с пространством между геометрическими телами внутри самой композиции. Так, например, композиция в форме овала, как правило, хорошо гармонирует с пространством листа, располагаясь в наиболее глубоком месте, оставляя незанятыми «плоские» углы. «Х»-образная композиция подчинена диагоналям листа. Эти направления могут быть равными по силе и, таким образом, уравновешивать друг друга, а в другом случае одна из диагоналей может доминировать. Возможны также Б и Л – образные композиции, которые строятся на особо сложном, как правило, непогашенном движении, или погашенном, но не до конца. Иногда встречаются интересные композиции в виде восьмерки, совсем редко – построенные в виде «бублика» (кольцеобразные). Возможны и другие принципы компоновки, но перечислять их все нет смысла, поскольку композиция листа рождается совместно с общим замыслом – он вам и должен подсказать наиболее интересное, грамотное, выигрышное решение. Запомните одно главное правило: не может быть хорошей экзаменационной работы, если сам лист некрасив, если он перекошен массами тел, неравномерно и бессмысленно перегружен в отдельных местах и пуст – в других.

Правильная перспектива – обязательное условие хорошей композиции. Вы, наверное, уже заметили, что когда ваша композиция состоит всего из нескольких геометрических тел, сохранить правильную перспективу на листе достаточно сложно. Даже если в основе работы практически идеально построенный куб, прибавление каждого нового тела ведет к постепенному нарастанию искажений. Отследить их и поправить достаточно сложно, особенно в первых композициях, когда опыт и практические навыки еще невелики. Именно поэтому для верного определения раскрытия всех граней и направления всех линий на листе используют различные способы упорядочения всех этих взаимосвязанных позиций, приведения их в единую систему. Одна из таких систем подробно описана в следующем задании. Это так называемая сетка – пространственная структура, определяющая раскрытие граней геометрических тел и направление линий в перспективе по всему листу. В процессе подготовки к экзамену «сетка» поможет вам собрать воедино все многообразие задач, связанных с процессом построения композиции, и разом, легко решить их. Безусловно, «сетка» – вещь полезная, но и в ней, конечно, есть свои плюсы и минусы. С одной стороны, изображая композиции на основе «сетки», вы, конечно, тратите некоторое (порой довольно значительное) время на подготовительный этап (рисунок самой «сетки»), тем самым уменьшая время работы над собственно композицией. С другой стороны, «сетка» может значительно сократить время на решение чисто технических задач, связанных с определением направлений горизонтальных прямых и раскрытием различных поверхностей. Конечно, определенный навык позволит вам свести к минимуму временные затраты на «сетку», но если в «сетке» будет допущена ошибка (что в стрессовых условиях экзамена вполне вероятно), то заметить эту ошибку вы сможете, только нарисовав первое геометрическое тело. Что делать в таком случае – исправлять сетку или отказаться от нее вовсе, чтобы наверстать упущенное время? Очевидно лишь то, что начинать работу над экзаменационной композицией с «сетки» следует, только если к экзамену вы научились делать «сетку» быстро и качественно, доведя этот процесс почти до автоматизма, и легко строите композицию на ее основе.

Еще один вопрос, который часто волнует абитуриента – вопрос о врезках: какие врезки стоит делать, насколько сложными они должны быть, и даже стоит ли их делать вообще? Начнем с того, что врезки в экзаменационной композиции можно и не делать – в экзаменационном задании использование врезок лишь рекомендовано и не является обязательным условием, однако следует понимать, что композиция без врезок значительно уступает в сложности и художественной выразительности. Не забывайте, что вашу композицию будут оценивать в ряду других, а следовательно, делая композицию без врезок, вы заведомо снижаете конкурентоспособность собственной (заботы. Конечно, год от года уровень экзаменационной композиции растет, и это диктует включение в композицию сложных врезок, которые делают экзаменационную работу выразительнее и интереснее. Однако их выполнение требует дополнительного времени, которое в условиях экзамена ограничено. В этой ситуации все зависит от вашего опыта – если вы усердно готовились к экзамену по композиции, скорее всего у вас уже есть свои любимые врезки, которые могут быть достаточно сложными, но, обрисованные много раз, они изображаются легко и, следовательно, быстро. Но не стоит увлекаться сложными врезками, переусложнить работу – помните, что даже композиция, выполненная с применением простых врезок, может быть достаточно сложной и выразительной. Важно также сказать о том, насколько геометрические тела должны врезаться друг в друга. Порой в композициях геометрические тела врезаны так незначительно, что создается ощущение, будто они не врезаны друг в друга, а лишь едва соприкасаются. Такие композиции, как правило, вызывают ощущение нестабильности, неустойчивости и незавершенности. У зрителя появляется непреодолимое желание сделать такую композицию плотнее, глубже врезать друг в друга геометрические тела. Анализируя такую работу, трудно говорить о ней как о композиции – группе гармонично соподчиненных объемов. В других композициях тела так глубоко врезаны друг в друга, что уже непонятно – какие же это тела? Такая композиция, как правило, похожа на сложную массу с торчащими из нее частями геометрических тел и не создает у зрителя ощущения гармонии. Тела в ней перестают существовать как самостоятельные объекты, превращаясь в геометрическую смесь. Если не рассматривать такие крайние случаи (когда геометрические тела почти не врезаются друг в друга или когда они превращаются в единую плотную массу), для создания композиции средней плотности следует придерживаться следующего правила: геометрическое тело должно врезаться в другое (или другие) геометрические тела не более чем наполовину, лучше – на одну треть. Кроме того, желательно, чтобы зритель всегда мог определить основные размеры геометрического тела по его видимой части. Иными словами, если в какое-либо тело врезается конус, на рисунке должна остаться видимой его вершина, значительная часть боковой поверхности и окружности основания. Если в какое-либо тело врезается цилиндр, то видимыми должны остаться части боковой поверхности цилиндра и окружностей его оснований. Особо следует сказать о врезках кубов и четырехгранников – в композиции эти геометрические тела составляют фон или, своего рода, каркас для расположения и врезки других, более сложных в построении геометрических тел. Поэтому допускаются врезки, когда видимые части кубов и четырехгранников составляют менее половины их объемов.

Сложность композиции, конечно же, связана не только с вопросом врезок, но и с вопросом количества геометрических тел. Как правило, условия экзаменационного задания особо оговаривают это количество – не менее 5 и не более 12. Как видите, даже этот диапазон достаточно широк для творчества. Определяя количество геометрических тел в композиции, помните, что чем меньше тел в композиции, тем крупнее они должны быть, тем сложнее их организовать по законам гармонии и красоты, так как каждая связка должна быть обрисована очень точно. Когда количество тел возрастает и уменьшаются их размеры, значительно упрощается задача создания красивых и гармоничных сочетаний геометрических тел вследствие больших возможностей по перемещению отдельных элементов относительно друг друга. Особую роль могут сыграть в композиции плашки. Композиция, в которую включены плашки, выглядит сложнее, интереснее и богаче по сравнению с композицией, где плашек нет. Плашки могут выполнять в композиции самые разнообразные функции. Так, при помощи плашек можно создавать различные объемы. Например, когда необходимо дополнить композицию каким-нибудь геометрическим телом, но все предлагаемые кубы, шестигранники, цилиндры и пр. либо слишком крупны и массивны для этого, либо слишком сложны и нарушают композиционный замысел, привлекая к себе излишнее внимание. В этом случае следует использовать плашки. Одинарная плашка является наименьшим объемом, участвующим в композиции – варьируя количество плашек и их взаимное расположение, можно создавать объемы, самые разные по массе, конфигурации, плотности и сложности.

Плашки могут организовать движение геометрических масс в композиции. Так, например, квадратные плашки останавливают движение, создают на листе ощущение стабильности и завершенности. Квадратные плашки, лежащие в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, активно подчеркивают пространственную структуру композиции, фиксируют ее в плоскости листа. Круглые плашки, особенно вертикальные – похожи на колеса создают ощущение движения, неустойчивости, а иногда просто растаскивают композицию в разные стороны.

Плашками можно усилить в композиции какую-либо плоскость. Например, если композиция почти фронтально, т. е. в ней практически не выражена глубина пространства, развернутую на зрителя поверхность хорошо поддержат дополнительные фронтальные плашки. Если есть необходимость усилить движение в глубину композиции, с этим хорошо справятся включенные в композицию парные плашки, перпендикулярные фронтальной плоскости.

При помощи плашек можно создать тему. Одинаковые плашки, повторенные в разных местах композиции, объединяют различные геометрические тела в единую гармоничную структуру. Тема плашек может быть самостоятельной или поддерживать тему, заданную большими геометрическими телами (например, шестиугольные плашки поддержат включенные в композицию шестигранные призмы). Плашки могут «спасти» не очень красивую врезку геометрических тел, добавив в нее дополнительные членения.

Плашки могут создать красивый, динамичный абрис композиции. Выразительность контура композиции является важным моментом в процессе восприятия композиции зрителем. Иногда на край композиции выходит длинное ребро призмы или образующая цилиндра. Плашки, врезанные в геометрическое тело, могут усложнить объем и разрушить монотонность абриса в данном месте композиции.

В хороших композициях плашки выполняют сразу несколько функций. Умело включенные в вашу работу, плашки способны сделать ее яркой и выразительной, что, безусловно, очень важно. Однако всегда следует помнить о второстепенной роли плашек по отношению к крупной геометрии. Не стоит создавать при помощи плашек слишком значительные объемы. Помните, что основная масса композиции должна набираться из больших геометрических тел (кубов, четырехгранных и шестигранных призм, пирамид, конусов и т. д.), а плашки выступают только как дополнительные элементы.

Создавая композицию, внимательно следите за красивым балансом крупных объемов и плашек. Плашек не должно быть очень много (тем более, что их количество входит в общее число геометрических тел), иначе такая композиция будет напоминать семейство опят на старом пне или изоляторы на линии высоковольтных передач.

Не включайте в композицию большое количество разных плашек, ограничьтесь одним, максимум, двумя видами. В противном случае плашки будут не объединять, а наоборот вносить в вашу композицию хаос.

В тот год, когда эта книга была почти завершена, на экзамене по рисунку композиции плашек не было вовсе. Таким образом, задание значительно усложнилось. Создать красивую и гармоничную композицию только из больших геометрических тел не так просто. Вместо плашек в экзаменационное задание были введены геометрические тела двух разных размеров. Наряду с уже известными вам телами (кубом, четырехгранной и шестигранной призмами, цилиндром, конусом и шаром), в композиции можно было использовать те же геометрические тела в полтора раза большего (или меньшего) размера. При этом пропорции тел сохраняются прежними (1:1,5).

Графика в композиции заслуживает отдельного разговора. В экзаменационном задании говорится о линейном рисунке и легком введении тона. О том, какая линия должна быть на вашем рисунке, уже говорилось и не раз: четкая, красивая, разнообразная, выразительная. Скажем только, что графически линией всегда следует выделять и подчеркивать объем каждого геометрического тела, усиливая на рисунке видимые и невидимые ребра, а также общий объем всей композиции, усиливая ее контур. Что касается тона, то в реальной ситуации насколько легким или, напротив, насыщенным будет тон вашей композиции, определяется, прежде всего, ее сложностью. Сильный или слабый тон – не цель, а лишь средство выявления объемных характеристик композиции. Если композиция проста, тогда, действительно, хватит и легкого тона, но для создания сложного объема тональная шкала должна быть шире, а максимальный тон – соответственно, сильнее. Не увлекайтесь сильным тоном, помните, что сильный тон потребует большего времени для его технического выполнения, хотя таким тоном проще смоделировать сложный объем. Слабый тон, напротив, требует меньше времени на техническую работу, но моделировать сложный объем таким тоном не просто. Как видите, и в этом случае следует искать «золотую середину». Вообще создание красивой графики на листе требует долгой, кропотливой, внимательной и настойчивой работы. Не все получается сразу, часто ученик делает линейную композицию, затем наносит тон и видит, что линия «ушла», затерлась. Тогда ученик «поднимает линию», вновь критически оценивает свою работу и понимает, что теперь тон слабоват, и его необходимо усилить…, затем опять линию и опять – тон. В конце концов, когда вполне довольный результатом ученик приносит свою работу на консультацию педагогу или сравнивает ее с работами других учеников – его удовлетворенность куда-то исчезает. Если вам знакома такая ситуация – не отчаивайтесь, она абсолютно нормальна. Постепенно с опытом придет понимание не только того, какую силу тона и линии необходимо создать на вашем листе, но вы также научитесь чувствовать материал, работать им, и уж конечно тогда из вашего рисунка уйдут эти изнуряющие стадии приближения к идеалу. И если этого пока не произошло, позвольте дать еще один совет: не бойтесь делать ошибки – с ними приходит опыт и приобретаются навыки.

Еще несколько слов необходимо сказать об эскизе экзаменационной композиции. В эскизе можно решить основные композиционные вопросы: найти общие пропорции будущего изображения, размеры отдельных его частей и их место на листе, определить положение линии горизонта, а также направления горизонтальных линий, уходящих в точки схода. Однако найденную в небольшом эскизе гармонию не всегда удается полностью сохранить при переносе замысла на полный лист – так стоит ли вообще делать эскиз композиции?

Ответ на этот вопрос зависит от задачи, которую ставит перед собой рисовальщик, и от его опыта. Упорной работой, желанием и трудолюбием приобретается опыт, следовательно, возрастает сложность задачи. В своих первых работах, когда необходимо просто создать на листе перспективное изображение объема из врезанных друг в друга геометрических тел, занять геометрией весь лист и, по возможности, не допустить серьезных ошибок, вы можете обойтись и без эскиза. Когда опыт позволит вам не только грамотно и стабильно изображать геометрические тела и сложные врезки, но и размышлять о сложной пространственной структуре, движении масс, общем композиционном замысле, эскиз станет необходимым. В эскизе уже на первом этапе работы вы можете сформулировать основную идею, отобрать то, что необходимо включить в композицию, отбросив все лишнее. Постепенно рисовальщик формирует свои собственные представления о том, как должна выглядеть композиция, выявляет и определяет любимые связки геометрических тел, наиболее выразительные и эффектные врезки и композиционные приемы. Тогда опыт позволяет обходиться и без стадии предварительного эскизирования. Рисовальщик, достигший такого уровня, получив исходное экзаменационное задание, строит композицию, опираясь на многократно отработанные блоки и элементы.

Некоторые абитуриенты «идут дальше» и всерьез рассуждают о том, чтобы заранее подготовить хорошую композицию, запомнить, заучить ее, а затем просто повторить на экзамене, или «еще дальше», чтобы не утруждать себя изучением геометрических тел, не отрабатывать технику рисунка, не упражняться в выполнении различных врезок, а потратить отведенное на подготовку к вступительным экзаменам время на тупое зазубривание одной эффектной композиции. Пожалуй, мысль эта не нуждается в подробном комментарии. Экзаменационная работа является, прежде всего, проверкой уровня ваших знаний и умений, их соответствия высоким требованиям, предъявляемым к студенту первого курса. И пытаясь таким образом обмануть приемную комиссию, абитуриент обманывает, прежде всего, самого себя. Кроме того, каждый год экзаменационное задание хоть и незначительно, но меняется. Вводятся новые элементы (например, буквы или геометрические тела другого масштаба), задаются определенный ракурс (сверху или снизу) и точка зрения, определяются обязательные геометрические тела или их связки. Как правило, эти изменения становятся известны только на экзамене. И если вы пришли на экзамен с готовой, окончательно сложившейся композицией, эти новые вводные в лучшем случае не позволят вам реализовать «домашнюю заготовку», а в худшем – выведут вас из рабочего состояния, заставляя судорожно перекраивать вашу композицию под новые условия.

Некоторые абитуриенты испытывают трудности в «придумывании» композиции. Жалуясь на то что, Идея не рождается, а Муза не прилетает, они боятся, что окажутся в подобной ситуации на экзамене и не смогут или не успеют справиться с заданием. Есть простое решение этой проблемы. Создавая новую композицию, воспользуйтесь как основой предыдущей работой. Наверняка, заканчивая ее, вы сокрушались, что не смогли «дотянуть» композицию, не подвинули то или иное геометрическое тело, не исправили слишком поздно замеченные ошибки во врезках, не довели до совершенства графику и т. д. Это обычная практика. Идея может быть зафиксирована в рисунке на определенный момент ее существования, но остановить ее невозможно, она живет и развивается дальше. Когда же рисунок закончен, часто оказывается, что он хуже, чем идея, лежащая в его основе. В таком случае браться за принципиально новую композицию преждевременно. Следует нарисовать новую работу на ту же тему. В ней вы сможете осуществить все, что не удалось сделать в предыдущей работе.

Для исправления композиционных недостатков удобно пользоваться калькой. Отрежьте лист кальки на несколько сантиметров больше чем размер вашего рисунка. Положите кальку на уже нарисованную композицию и перенесите на неё те геометрические тела и связки, место которых вы хотели бы сохранить. Другие тела перемещайте в соответствии с вашим замыслом, двигая кальку по композиции, или же меняйте их на другие. Если за один раз вам не удастся внести в композицию все задуманные изменения, возьмите следующий лист кальки. Так продолжайте до тех пор, пока вы не будете удовлетворены результатом. Окончательный вариант изобразите на листе бумаги, предварительно перенеся на него с кальки место и основные габариты всех геометрических тел. Такая последовательная работа очень похожа на процесс архитектурного проектирования, когда архитектор шаг за шагом улучшает, уточняет, совершенствует свой замысел, пока не достигнет идеала. Так и вы улучшайте и совершенствуйте свою композицию, не бросая ее, разрабатывая тему до конца, как золотую жилу пока она не иссякнет. Скорее всего, в этот момент у вас появится новая идея. Она появится сама, рожденная вашими усердием, прилежанием и опытом. Со временем новые идеи потекут потоком, одна интереснее другой. Вы едва будете успевать выбирать лучшие композиции, чтобы их нарисовать. Тогда и вступительный экзамен не застанет вас врасплох, у вас сразу найдется достойный ответ на экзаменационное задание – красивый и выразительный. Но помните, чтобы это было именно так, необходимо упорно и старательно готовиться.

Вы не просто должны рисовать композиции по представлению, но тщательно анализировать каждую свою работу. Внимательно отбирайте красивые врезки, интересные связки геометрических тел, различные варианты общей структуры композиции, определенную графику (линию и штрих), формируя, таким образом, своеобразный личный «арсенал». Такой «арсенал» на экзамене не только сокращает время на подготовительную и техническую работу, но и увеличивает время на решение творческих задач.

Геометрия в ландшафтном дизайне

Идея использовать геометрические формы как источник вдохновения и выразительного средства в изобразительном искусстве и дизайне не нова. Первыми в этом направлении стали продвигаться художники, основавшие направление «кубизм». Известен и «супрематизм» К. Малевича с его квадратами, кругами, прямыми и ломаными линиями.

В ландшафтном дизайне геометрические фигуры стали использовать в давние времена. В качестве примера можно привести регулярный сад (парк) Версаля, созданные искусными садовниками эпохи французской монархии. Ровные дорожки, квадратные цветники, шарообразные и конусовидные топиары очевидно доминируют в садовых композициях в это время.

Сегодня такие мотивы способны стать основополагающими в дизайне сада, могут выступать в роли небольших и эффектных акцентов.

Планировка

Какой бы ни была планировка сада, она так или иначе будет связана с геометрией. Сами очертания участка, который обычно имеет прямые углы, задают ритм всему проекту. Сегодня встречаются участки неправильной формы, наполнить их гармонией может именно грамотная геометрия. Достаточно расположить дом и хозпостройки под нужными углами к сторонам участка, добиться равновесия за счет продуманной посадки деревьев, кустарников, цветников и других садовых объектов.

Опишем пример грамотного планирования на основе комплекса прямоугольников, дуги и шаров. Сейчас популярны дома в виде буквы П, которые имеют два крыла. Такой подход позволяет построить дом большой площади, ограничив его одним этажом, и при этом сделать разные его части достаточно удаленными друг от друга, что очень целесообразно, если люди любят уединение. Внутренний дворик, выделенный в общей композиции особым покрытием (брусчатка, плиты, доски и т.п.), строят на основании полукруга между двумя крыльями здания, в его центре. Саму дугу или ее концы можно обыграть шарообразными топиарами или светильниками.

В планировке дизайнер ландшафтной компании «Гринтэк» отталкивается от композиционного центра – жилого дома. Трехскатная крыша дает возможность повторения пирамидальных, конусовидных и треугольных форм. Стоит разделить стандартный четырехугольный цветник диагональю из цветов контрастного цвета – он войдет в резонанс с постройками.

Четкая геометрия

Кто-то тяготеет к природным формам, желает создать сад в эко-стиле, а кому-то милее четкость и строгость линий, авангардные решения и футуризм. Регулярность подразумевает общее стремление к упорядоченности и организованности, что придется по вкусу педантичным натурам.

Возможны дизайнерские решения, где вся концепция построена на обыгрывании пространственных и плоскостных фигур. Средствами будет все: от планировки до конкретных элементов (дорожек, бордюров, ограждений, зеленых насаждений и т.п.). Абсолютно любой объект вашего сада возможно соотнести с тем или иным фактом геометрии. Как уже говорилось, дом задает настроение в этом длинном ряду множащихся форм. Следующим важным звеном являются кроны деревьев и кустарников. Они сами по себе, без всякой обработки, уже тяготеют к шару, параболоиду, конусу. Их можно подвергнуть фигурной стрижке, которая либо доведет естественные очертания до идеальных соответствий этим фигурам, либо создадут совершенно несвойственные изначально ребристые формы куба, пирамиды и т.п.

Значимы плоскости и их оформление:

• коротко стриженными газонами разных видов;
• цветниками, покрытыми посадками одной высоты;
• ограждениями из досок, металлических листов и других плоских материалов.

На плоскостях линиями бордюров и дорожек выводятся любые композиции.

Используя все перечисленные элементы в комплексе, создаются разнообразны и органичные образы. Можно выделить два подхода:

• Построение всего проекта на обыгрывании однотипных форм (шара, круга, овала или прямоугольников, квадратов, кубов, прямых). В этом случае разнообразия добиваются с помощью использования разных по размеру объектов. Эффектно будет смотреться композиция из топиаров-шаров, где самым большим будет дерево-крупномер, поменьше – несколько кустарников, а шарообразные карликовые породы на штаммах завершат эту группу.
• Сочетание противоположных по своему звучанию объектов, добиваясь контрастных решений. Примером может быть декорирование прямоугольного или квадратного газона шарообразными кустами самшита, расположенными в его углах.

В любом случае цель дизайнера компании «Гринтэк» – добиться читаемости ландшафтного рисунка, сделать визуальный ряд нарядным и ненавязчивым.

Единичные декоративные акценты

Если вам по вкусу шары или конусы, совсем не обязательно погружать ландшафтный дизайн сада в стихию геометрии. Вы можете использовать любимые фигуры или линейные изображения как небольшие аккуратные акценты. Этот способ декора отлично работает в проекте практически любого стиля. Можно оформить таким образом входную группу, беседку, перголу, скамью и т.п. Пара шарообразных или конусовидных деревьев выделят зону входа. Актуальны и растения в кадках. Традиционно используют самшит, тую, ель. Такое обрамление подчеркнет композиционную роль элемента, выделит его вектор.

Еще один вариант включения шаров в ландшафт – их пунктирное расположение по ходу дорожки. Особенно эффектно они будут выглядеть, если тропинка проходит по открытому участку газона. Такого же результата можно добиться с помощью светильников круглой формы общей системы освещения сада.

В ландшафтном дизайне многое строится на геометрических конструкциях. Геометрия линий и форм отлично работает во всем, начиная с общей планировки пространства и введения отдельных акцентов и заканчивая тем, что дизайнер в целом делает ставку на эффектность кубических, шарообразных, линейных и т. п. элементов.

Геометрия форм и планировка

Планировка участка обязательно опирается на геометрические построения. Еще на этапе проектирования ландшафтный дизайнер смотрит на форму участка, на то, как в нее вписан дом и остальные постройки и размещает садовые элементы в соответствии с общей концепцией участка. Обычно участок бывает квадратной или прямоугольной формы, а дом сегодня может иметь самые замысловатые очертания на плане. Традиционные квадрат и прямоугольник, конечно, встречаются, но вообще проектировщики не скупятся на разнообразие. Например, если дом выстроен буквой П, то пространство между двумя крыльями строения уместно будет обыграть полукругом внутреннего дворика, несколько выступающим за общие очертания дома. Такое сочетание прямоугольных форм и дуги будет смотреться очень органично, а для законченности его можно дополнить шарообразными элементами декора, расположенными по окружности: светильниками или мелкими кустарниками.

Еще один интересный вариант, который успешно используют современные архитекторы – это трехскатная крыша в форме пирамиды. Такую конструкцию будет уместно обыгрывать треугольными формами и конусовидными объемными элементами в дальнейшем озеленении участка. Например, цветник перед домом может быть выполнен как разделенный от угла к углу квадрат или четырехугольник. Таким образом, фактически правильная и симметричная фигура будет зрительно соотноситься с треугольником.

Следует отметить, что разнообразие геометрических форм начинает звучать в нужном ключе лишь если эти формы имеют четкие очертания. Для воплощения геометрии плана в реальность изобразительными средствами для ландшафтного дизайна и озеленения служат мощеные и песчаные дорожки сада, бордюры и ограждения, живые изгороди.

Использование геометрических форм как концептуальный принцип

Кто-то старается создать в своем саду эффект дикой и нетронутой природы, а кто-то тяготеет к авангарду, кубизму, четкости линий. Стремление к регулярности и геометричности форм, симметричности и строгости вписывается в так называемый формальный стиль. Общее ощущение порядка и организованности подойдет педантичным натурам.

Если вам особо интересны правильные геометрические формы, и вы хотели бы любоваться их четкими очертаниями постоянно, то весь ландшафтный дизайн участка можно построить на обыгрывании кубов, шаров, пирамид и конусов.

При благоустройстве и озеленении в работе с геометрическими формами надо знать, что абсолютно все элементы композиции соотносятся с какой-либо плоскостной, линейной или объемной фигурой. Кроны кустарников и деревьев сами по себе тяготеют к форме шара, конуса или параболоида, но, кроме того, их можно довести до точного соответствия с любой объемной формой с помощью фигурной стрижки.

Линии на вашем участке могут быть представлены бордюрами, оградами, дорожками. Газоны и цветники с низко растущими, однотипными цветами воспринимаются глазом как плоскости.

Из всех этих компонентов составляются гармоничные, насыщенные и неизменно радующие взгляд композиции. Причем для нужного эффекта ландшафтные дизайнеры компании «ПозитивПроект» рекомендуют совмещать в одном контексте разные формы, создавая эффект контрастности. Начинающим следует основывать свою работу на какой-то одной форме, сочетая между собой либо шары, круги, овалы и дуги, либо кубы, квадраты, прямоугольники и прямые линии, либо пирамиды, конусы и треугольники и т.п. Разнообразия в таком случае можно достигать за счет совмещения фигур разных размеров. Так, хорошо будет смотреться круглая ваза или фонтан в центре округлого газона или цветника.

Однако грамотный и опытный профессионал работает более тонко и способен достигать потрясающих эффектов, выстраивая композиции на контрасте, совмещая не только крупные и мелкие, высокие и низкие элементы, но и самые противоположно звучащие формы.

Как это реализовать на практике? Приведем несколько примеров. Если у вас имеется прямоугольный или квадратный газон, то расположите в углах шарики мелкого кустарника, например, самшита.

Ландшафтный дизайн должен органично сочетать в себе противоположности или дополнять друг другом однородные формы, ведь в итоге необходимо достичь легкости восприятия основного рисунка участка.

Геометрия линий и форм в декоративных акцентах

По опыту дизайнеров компании «ПозитивПроект», геометрические акценты прекрасно работают на любом участке. Эти элементы могут присутствовать в разном количестве. Вариантов здесь множество. Так, чтобы акцентировать внимание на входе в дом или беседку можно расположить по обе стороны конусовидные деревья-солисты в горшках или кадках. Подходящими по форме будут туя или ель. Такой же прием можно использовать, подчеркивая композиционную значимость какой-либо малой архитектурной формы – скамьи, например. В районе входной группы вытянутым формам отдается приоритет в связи с тем, что они подчеркивают вертикальное положение двери, как бы повторяют ее вектор.

Небольшие самшитовые шары могут пунктиром располагаться вдоль дорожки, проходящей по открытому пространству газона. Так они дополнительно выделяют линию тропинки, что позволяет избежать ощущения пустоты на большой площади газонной травы.

Кстати, саму дорожку можно сделать не сплошной, а пунктиром: если квадратные плиты в траве положить на небольшом расстоянии друг от друга, то получится очень эффектный геометрический рисунок, напоминающий мозаику.

Осветительные приборы разных геометрических форм являются великолепным средством декора. Шарообразные светильники более современны, а светильники в форме параллелепипеда с крестообразным пересечением на каждой стороне создают атмосферу прошлых веков.

Компания “ПозитивПроект” предлагает

Для дошкольников и учеников 1-11 классов

16 предметов ОРГВЗНОС 25 Р.

Выбранный для просмотра документ Презентация.ppt

Описание презентации по отдельным слайдам:

Автор: Алмазова Марина Николаевна, обучающаяся 9 класса Т Руководитель: Гусева Ольга Николаевна, учитель математики

Памятник погибшим воинам

Проблема: Можно ли использовать геометрию в ландшафтном дизайне?

Цель: на примере озеленения памятника погибшим воинам показать связь геометрии с ландшафтным дизайном

ЗАДАЧИ: На основе литературных источников познакомиться с понятием «ландшафтный дизайн». Наглядно продемонстрировать использование геометрических фигур в ландшафтном дизайне. Привлечь жителей села к проблеме сохранения и благоустройства памятника, к его состоянию. Организовать практическую деятельность школьников.

Ландшафтный дизайн участка – особый вид деятельности, направленный на создание искусственной среды для жизнедеятельности человека путем активного использования природных компонентов.

Существуют 2 главных направления в садовом дизайне – регулярный и пейзажный

Парк в Петродворце

Этапы реализации проекта Подготовительный: мотивация, целеполагание проекта. Проектировочный: построение ориентировочной схемы деятельности. Практический: реализация проекта

Результаты 3 вопроса

Результаты 4 вопроса

Цветы в озеленении

Экономический расчет Наименование расходов Общая сумма Приобретение семян цветов для посадки в клумбах 300 Приобретение саженцев деревьев для посадки у памятника 500 Приобретение расходных материалов на изготовление листовок, афиш 100 Приобретение многолетних цветов (розы, папоротники и др.) 800

Выводы: Геометрия широко применяется в ландшафтном дизайне. Симметрия и геометрические фигуры придают ландшафту порядок, гармонию, закономерность, которые применяются в регулярном стиле. Благоустраиваемая территория пригодна для осуществления задуманного проекта; элементы дизайна, изображенные в эскизах, реально выполнимы.

Выбранный для просмотра документ геометрия в ландшафтном дизайне.doc

Филиал муниципального общеобразовательного учреждения

«Первомайская средняя общеобразовательная школа» в селе Старосеславино

Автор: Алмазова Марина Николаевна, обучающаяся 9 класса

Руководитель: Гусева Ольга Николаевна, учитель математики

Глава 1. Ландшафтный дизайн ……………………………………………..5

1.1. История развития ландшафтного дизайна ……………………..5

1.2. Современные представления о ландшафтном дизайне ……….7

1.3. Использование геометрии в ландшафтном дизайне ………….9

Глава 2. Этапы реализации проекта ………………………………………12

2.1. Подготовительный этап…………………………………………12

2.2. Проектировочный этап ………………………………………… 12

Глава 3. Результаты исследований…………………………………………15

3.1. Проведение социологического опроса жителей села…………15

3.2. Разработка идей, вариантов ……………………………………16

3.3. Экономический расчет …………………………………………19

В настоящее время можно с уверенностью сказать, что геометрическое образование является основным для многих профессий. Так в последние годы заметно проявился интерес ко всему, что связано с растениями и оформлением ими интерьеров. И это не мода на цветы, а желание сделать красивым то место, где живем, работаем, отдыхаем, воспитываем детей. Т акое место есть и у нас – это памятник воинам, погибшим в годы Великой Отечественной войны. Ни один житель села, а тем более – участники войны не могут пройти мимо этого святого места со спокойным сердцем. В ходе исследовательской деятельности мы выясним: действительно ли знание геометрии несет красоту в мир.

Именно поэтому нами была выдвинута проблема : можно ли использовать геометрию в ландшафтном дизайне?

Объектом исследования стала прилегающая к памятнику территория.

Предметом исследования являются геометрические фигуры и геометрические законы симметрии.

Цель нашего исследования заключается в том, чтобы на примере озеленения памятника погибшим воинам показать связь геометрии с ландшафтным дизайном.

Задачи, решаемые в данном проекте состоят в том, чтобы:

На основе литературных источников познакомиться с понятием «ландшафтный дизайн».

Наглядно продемонстрировать использование геометрических фигур в ландшафтном дизайне.

Привлечение жителей села к проблеме сохранения и благоустройства памятника, к его состоянию.

Организовать практическую деятельность школьников:

– Составление плана и эскиза благоустройства и озеленения памятника;

– Определение экологических условий озеленяемой территории памятника и элементов благоустройства;

– выращивание рассады цветочных культур для посадки в клумбы;

-организация экологических субботников с привлечением местных жителей.

5. Организовать массовую пропаганду среди населения благодаря:

– организации среди обучающихся школы конкурса детского рисунка – эскиза посадки растений у памятника;

– установке информационного щита, напоминающего жителям о бережном отношении к территории памятника (Приложение 1).

Таким образом, наш проект призван решить проблему эстетического оформления и озеленения территории памятника через геометрические законы симметрии, а также геометрические фигуры.

Глава 1 . ЛАНДШАФТНЫЙ ДИЗАЙН

1.1. История развития л андшафтного дизайна

Ландшафтный дизайн участка – особый вид деятельности, направленный на создание искусственной среды для жизнедеятельности человека путем активного использования природных компонентов (рельеф, вода, растительность и т. д.).

Ландшафтный дизайн участка – очень важный элемент благоустройства территории. Считается, что дизайн возник в начале прошлого века как «реакция на стихийное формирование визуальных и функциональных свойств предметной среды». И уже сегодня высокое искусство дизайна справедливо ассоциируется с красотой, комфортом и рациональностью, идет ли речь о полиграфическом дизайне, ландшафтном, флористическом и пр.

Что же такое стиль в ландшафтном дизайне ?

В ландшафтном дизайне – это определенная трактовка основных правил и приемов планировки, цветового решения малого сада, подбор растений и их сочетание. История развития человечества выдвинула два главных направления в садовом дизайне – регулярный и пейзажный. Каждая историческая эпоха вносила свои черты в эти направления. Не осталось в стороне и наше время. Пейзажный стиль пришел в Европу из Китая, где всегда абсолютизировалась красота природы. Здесь большое значение придавалось тому, чтобы здания органично вписывались в искусно обработанный природный ландшафт.

В Европе, точнее в Англии, первые пейзажные парки появились в XVIII в., обозначив появление нового отношения европейца к природе. Для пейзажного стиля характерны извилистые дорожки с низким плотным травяным покровом, либо покрытые песком, гравийным отсевом, дробленой щепой или кирпичной крошкой. Цветов в английском саду мало, и они высаживаются группами, чаще в миксбордерах. Растения используются с характерной фактурой листьев, естественной формой кроны, учитывается сочетание их формы и цвета, даже осенняя окраска листвы. Водоем имеет естественные, близкие к природным, очертания берегов. Модный нынче японский пейзажный сад невелик по площади, каждая его деталь – будь то мостик, фонарик или зонтик – несет сложный внутренний смысл. Для европейца японский сад излишне театрален, но очень привлекателен. Основной его принцип – ощущение спокойствия и отдыха, созерцания природы и миниатюризация.

Доминантой регулярного стиля всегда является здание, которому подчинен весь ландшафтный дизайн. В основу каждой садовой зоны заложены геометрические фигуры, законы симметрии и геометрии, что придает участку торжественность, парадность, которые скорее подавляют, чем располагают к отдыху. Характерным элементом регулярного стиля является партер, расположенный перед основным зданием и представляющий собой сочетание газона, цветников, воды, декоративных элементов, связанных между собой в сложном геометрическом рисунке. Обычно этот стиль применяют на небольших равнинных участках, где очень сложно создать уголки дикой природы, успокаивающе действующие на нервную систему. Для таких участков характерны прямые мощеные дорожки, кирпичные заборы, небольшие внутренние дворики, аккуратно подстриженные живые изгороди, посаженные по прямым линиям. Здесь редко можно встретить сооружения из натуральной необработанной древесины, природные валуны, альпийские горки, клумбы.

Регулярный стиль садового искусства находится в русле идей классицизма. Лейтмотив этого стиля – порядок. Четкость плана и строгость линий – это главное, что отличает парки регулярного стиля. Примером такого сада является роскошный парк в Петродворце с его знаменитыми фонтанами. Главный вход в парк располагается обычно в его нижней части, а центральная точка – в верхней, и входящего сразу подавляет величественность открывающейся перед ним картины. Впрочем, не менее величественно панорама парка выглядит и сверху.

В литературе мало уделяется внимания такому явлению, как русский пейзажный стиль. Некоторые исследователи даже утверждают, что такого стиля нет. Хотя русский сад XIX века имеет ярко выраженные индивидуальные черты. Это и большие пространства нетронутой, а лишь слегка прирученной природы, каскады копаных прудов, плодовые рощи, цветники, в которых сочетаются царственные лилии и полевые ромашки. Русский сад всегда удачно совмещал два направления – декоративное и утилитарное. Огороды в этих садах не в пример французским были красивы не изысканным оформлением, а богатым урожаем самых разнообразных овощей.

Казалось бы, еще недавно само понятие « ландшафтный дизайн » в нашей стране применялось исключительно к истории садово-паркового искусства. Сегодня ландшафтный дизайн шагнул из парковых комплексов в частные владения Уже есть примеры высококлассного оформления придомовой территории площадью менее сотки [1].

1.2. Современные представления о ландшафтном дизайне

Для современных стилей малого сада XX – X Х I вв. характерны усиление эстетической составляющей и расширение индивидуальности.

Высокую моду диктует, ежегодная выставка в Челси, которую организует Королевское садовое общество Великобритании с конца XIX века. В последние годы высокая мода делает акцент на экологизме ландшафтов. Все больше внимания уделяя не достижениям селекционеров, а дикоросам. Сегодня наивысшим достижением ландшафтного дизайнера может считаться сочетание геометрии форм цветников и таинственное волнение злаков, высокотехнологичных садовых изделий из стали и стекла с пришедшими в сады зарослями рогоза, бамбука. На пике моды нынче имитация старого заброшенного сада, воссоздание картины первозданной природы. Правда, создание атмосферы запущенности дело очень дорогое, а привнесение в сад наиболее эффектных дикоросов сопряжено с тем, что многие из них значатся в Красной книге.

Но может ли это остановить модников в области ландшафтного дизайна ? Конечно, нет. И европейские модные тенденции прорываются и в российские сады.

Что же сегодня популярно в российских садах? Постоянно растет интерес к традициям русской дворянской усадьбы. Тут вам и лирические березки, и романтический пруд, и лужайки с полевыми цветами, яблони, утопающие в цвету, заросли сирени и тонкий аромат чубушника (жасмина).

По-прежнему популярны восточные мотивы. Если японский стиль прослеживается лишь на небольшом участке, как правило, в приватной зоне сада, то элементы китайского сада порой пронизывают весь участок.

В нашей стране возвращается мода на солнечные часы. Вслед за Европой мы хотим иметь их в садах вовсе не для того, чтобы сверять время. Главное их достоинство – высокая декоративность.

Модным элементом сада является и зеленая скульптура. Это могут быть роскошные экземпляры стриженых вечнозеленых деревьев и кустарников, а могут быть выращенные на металлическом каркасе почвопокровные многолетники или плетистые растения.

В общем, модные тенденции вовсе не ставят дизайнера в жесткие рамки, а позволяют проявлять фантазию. Главное, чтобы владельцы участков доверяли выбранному дизайнеру, смелее шли на эксперименты и не ужасались экстравагантным предложениям специалистов. Сегодня это эксперимент, а завтра – модное течение [1,2,3].

Использование цветов в озеленении – это настоящее искусство. Оно существует с древних времен. Лучшим украшением каждого из них, как правило, становится цветник. Цветник из композиции различных цветочно-декоративных растений может включать газон, фонтан, беседку, скамейки, вазы и скульптуры.

1.3. Использование геометрии в ландшафтном дизайне

Происхождение термина « геометрия» , что буквально означает «землемерие», можно объяснить следующими словами, приписываемыми древнегреческому учёному Евдему Родосскому (4 в. до н. э.): « Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшего границы». Уже у древних греков геометрия означала математическую науку, в то время как для науки об измерении Земли был введён термин геодезия . Судя по сохранившимся отрывкам древнеегипетских сочинений, геометрия развилась не только из измерений Земли, но также из измерений объёмов и поверхностей при земляных и строительных работах и т.п.

Ландшафтный дизайн – понятие новое, в переводе с английского означает рисунок, чертеж, проект , но одновременно и сам процесс проектирования, а, кроме того, и его результат.

Геометрию также можно использовать в ландшафтном дизайне . Ведь для того, чтобы всё правильно сделать необходимо, знать, что каким будет по размеру и по форме. Так же нужно предполагать какой будет участок – симметричный или ассиметричный. В составлении плана тоже может помочь геометрия .

Для использования геометрии в ландшафтном дизайне необходимо знать несколько определений, используемых в архитектуре.

Перспектива. Перспективой называют зрительное изменение предметов по мере их удаления от наблюдателя. Законы перспективы были открыты мастерами Возрождения, разработавшими математически точную систему построения пространства. Леонардо да Винчи писал, что теория линейной перспективы разъясняет явления видимых форм, величины и цвета в зависимости от их положения в пространстве. Различают перспективу линейную и воздушную. Пространственные изменения цвета называют цветовой перспективой.

Линейная перспектива. И в природе, и на картине вы замечаете, как сходятся на горизонте уходящие от вас параллельные линии. При этом все вертикальные линии остаются вертикальными, уменьшаясь по величине,- чем дальше они от наблюдателя, тем меньше. Можно заметить и то, что невысокие растения на переднем плане могут казаться выше более высоких, расположенных вдали. Этот эффект носит название линейной перспективы.

Композиция. Под композицией (от лат. Compositio –связь, соединение) вообще понимается расположение различных форм в пространстве в сочетаниях, создающих гармоничное единство. При решении композиционных задач необходимо учитывать целый ряд свойств, которыми обладают пространственные формы. Сюда входят: геометрический вид формы, её величина, масса, фактура, положение в пространстве, цвет и освещенность.

Соотношение форм по геометрическому строению. Форму природных элементов можно обобщенно представить себе близкой к геометрической. Может быть линейная, плоскостная и объёмная форма в зависимости от соотношения её измерения. В линейной преобладает одно измерение над двумя другими, предельно малыми; в плоскостной – относительно равны два измерения при подчинённо малой величины третьего; в объёмной форме все измерения относительно близки по величине. Линейной формой, которая неизменно присутствует во многих элементах сада, можно считать дорожки, бордюры, ограждения сада.

Симметрия и асимметрия. Размещение отдельных элементов в саду и план сада в целом может быть симметричным и ассиметричным – по отношению к оси композиции, которой может быть линия взгляда либо дорога, а иногда ось садового домика.

Симметрия. В естественном ландшафте симметрия является редкостью. Поэтому там, где мы её наблюдаем, симметрия обыкновенно указывает на наличие порядка, наведенного человеком.

В Европе слово «симметрия» было синонимом слова «красивый» и означало приятную и изящную форму. Возможно, это объясняется тем, что симметрия подразумевает порядок и изящную форму. Так или иначе, но слово «симметрия» стало ассоциироваться с ясностью плана, с его равновесием, ритмом, единством и стабильностью.

Асимметрия. Асимметрия более утонченна, непреднамеренная и поэтому более интересна. Нас не ведут шаг за шагом вдоль жесткой композиции или сквозь неё. Напротив, нам предоставлена свобода самим исследовать и открывать в ландшафте то, что красиво, привлекательно или полезно, и, что особенно важно, асимметричная компоновка влечёт за собой меньше нарушений природы.

Что означает перевернутая буква T в математике? – Стратегии для родителей

Математика, кажется, время от времени бросает нам буквы, несмотря на то, что состоит в основном из цифр. Мы можем простить это в алгебре, но когда кажется, что эти буквы превращаются в странные символы, такие как перевернутая буква Т, многие из нас снова чувствуют себя потерянными.

Перевернутая буква T (или ⊥) относится к перпендикулярным линиям, которые представляют собой две линии, пересекающиеся под углом 90 градусов. Они должны быть прямыми линиями, а точка их пересечения также должна быть под прямым углом. Если линии волнистые или под любым другим углом, они не перпендикулярны. В геометрическом уравнении вы должны представлять перпендикулярные линии с помощью ⊥.

Этот перевернутый символ T относительно прост для понимания и применения, если вы знаете, что он представляет и как его использовать. Итак, чтобы стать знатоком геометрии, читайте дальше.

Что такое перпендикулярные линии?

Перпендикулярные линии пересекаются или пересекаются и соединяются под прямым углом (90 градусов). Таким образом, вы можете использовать перпендикулярные линии для многих математических уравнений и шаблонов, что служит существенной цели.

Мы видим вокруг себя перпендикулярные линии. Любой квадрат или прямоугольник имеет перпендикулярные углы. Вы можете измерить угол любой двери, и там тоже должны быть перпендикулярные линии.

Происхождение слова также говорит нам о его значении. Оно происходит от старофранцузского ( perpendiculer ), что означает формирование от прямого угла, которое они получили от латинского ( perpendiculum ), что означает «отвес» (источник).

«Отвес» означает прямую или вертикальную линию. Перпендикулярные линии требуют прямых линий, но они не обязательно должны быть вертикальными, поэтому смысл несколько изменился.

Теперь мы можем изучить, как вы можете использовать перпендикулярные линии в математике.

Что означает перпендикуляр в математике?

Как мы уже говорили выше, слово «перпендикуляр» означает то же самое в математике.

Перпендикулярные (или ортогональные) линии пересекаются друг с другом под прямым углом. Таким образом, эти линии должны быть прямыми и пересекаться под прямым углом (90 градусов). Существует несколько способов представления перпендикулярных линий (источник). Меньшая рамка представляет собой прямой угол на диаграмме.

Изображение Sona Digital Media

Линии R и S пересекаются друг с другом под прямым углом, состоящим из перпендикулярных линий. В геометрии вы бы написали это как R⊥S. Проще говоря, это означает, что там, где пересекаются R и S, возникает прямой угол.

Перпендикулярные линии могут пересекаться, идущие с любого направления.

Изображение Sona Digital Media

Несмотря на то, что линии пересекаются по диагонали, их угол по-прежнему прямой, и он по-прежнему будет R⊥S. В этих сценариях перпендикулярные линии создают крест. Тем не менее, края квадрата или прямоугольника также будут перпендикулярными линиями.

Изображение Sona Digital Media

В этом сценарии все углы являются перпендикулярными линиями, поскольку они встречаются под углом 90 градусов, и они будут A⊥B, B⊥C, C⊥D и D⊥A.

Другие фигуры также могут иметь перпендикулярные линии, но не на всех углах. Примером этого может быть треугольник, но он должен выглядеть как прямоугольник или квадрат, разрезанный пополам по диагонали.

Изображение от Sona Digital Media

Вы должны представить это как AB⊥BC. Есть много других примеров в формах, но главное, чтобы угол был прямым. Углы при А и С не перпендикулярны, так как они не равны 90 градусам. Мы обсудим это далее при рассмотрении теорем Пифагора.

Одним из важных моментов является то, что все перпендикулярные линии пересекаются (встречаются или пересекаются), но не все пересекающиеся прямые перпендикулярны.

Image by Kevin Mak via Unsplash

Что означает ⊥ в линейной алгебре?

Линейная алгебра ⊥ имеет аналогичное значение, но вы применяете ее по-другому. При использовании его в линейной алгебре математики называют его ортогональностью. Слово происходит от латинских слов «».орто , что означает вертикальный, и « гония », что означает угол. Следовательно, его значение очень похоже на перпендикуляр, но направленность другая.

Линейная алгебра

Прежде чем понять роль ⊥, нам нужно понять, что такое линейная алгебра. Несмотря на название, это не то же самое, что алгебра, которую вы изучали в школе.

Линейная алгебра — это изучение векторов и матриц, и многие знают ее как изучение данных. Линейные комбинации и декартовы плоскости создают информацию.

Линейная алгебра использует числа в столбцах, называемых векторами — они включают как величину, так и направление (источник). Матрицы используют числовые массивы, состоящие из набора чисел в квадратных скобках. Мы видим ⊥ в декартовых плоскостях.

Декартовы плоскости

Когда вы посмотрите на типы перпендикулярных линий в геометрии, вы увидите, что линии, пересекающиеся друг с другом, выглядят как декартова плоскость. Его двумерная форма представляет собой две пересекающиеся линии.

Декартова плоскость – это когда две числовые линии пересекаются перпендикулярно и образуют четыре квадранта. Горизонтальная линия — это ось x, а вертикальная линия — это ось y (источник).

Координаты указывают конкретное положение точки на числовой прямой или плоскости. Средняя точка плоскости равна 0, а ось x, идущая вправо, показывает положительные числа. Когда ось X движется влево, она показывает отрицательные числа.

Аналогично, ось Y, идущая вверх от нуля, показывает положительные числа, а линия оси Y, идущая вниз от нуля, указывает отрицательные числа. При связывании значений с декартовой плоскостью первое число указывает значение x, а второе число указывает значение y.

Изображение Sona Digital Media

Таким образом, [-3, -3] будет означать, что точка находится в нижнем левом квадранте, а [-3, 1] будет в верхнем левом квадранте.

Все точки на декартовой плоскости ортогональны или перпендикулярны из-за природы декартовых плоскостей, потому что все начинается с нулевой точки, которая является основанием прямого угла. Итак, вы можете выразить точку как 1, 1 ⊥ 0.

Теорема Пифагора

Любой уважающий себя студент-математик наверняка сталкивался с теорией Пифагора, но какое отношение она имеет к перевернутой букве T?

Когда мы ранее рассматривали перпендикулярные линии, одной из фигур, которые получились, был треугольник, у которого перпендикулярен только один угол. Теорема Пифагора устанавливает связь между длинами трех сторон.

Теория Пифагора показывает, что в треугольнике с перпендикулярным углом длина наибольшей стороны равна квадратному корню из суммы квадратов двух других сторон. Математически это можно выразить как ² + b ² = c ² .

Изображение Sona Digital Media

Из-за того, что сторона перпендикулярна, становится легче вычислить длину каждой стороны треугольника. Например, представьте, что вы знаете, что более короткие стороны треугольника имеют длину три и четыре дюйма соответственно.

Используя теорему Пифагора, вы должны заявить: 3 ² + 4 ² = 25, что делает самую длинную сторону = 5. Чтобы разбить это дальше, квадратный корень числа означает умножение самого себя. Итак, 3 х 3 = 9и 4 x 4 = 16. 9 + 16 равно 25, что является квадратным корнем из 5.

Что означает ⊥ в логике?

Несмотря на то, что ⊥ и 丄 выглядят как строчные и прописные версии одних и тех же символов, они имеют существенно разные значения и использование.

Меньший ⊥, который мы использовали, означает перпендикулярную линию. Больший 丄, который логики также называют символом вверх, встречается только в логике и указывает на то, что что-то всегда ложно (источник).

Примеры

Хотя значения истинности в математике и логике могут быть довольно сложными, давайте рассмотрим более простой пример. Представьте, что вы любите шоколад во всех его проявлениях. Таким образом, предложение «Я люблю шоколад» будет примером истинностного значения.

Напротив, если бы вы сказали «Я ненавижу шоколад», это было бы примером ложного значения, выраженного символом вверх: 丄.

Другим примером, более близким к математике, может быть очень простое уравнение: 1 + 1 = 2. Поскольку это верно и нет другого правильного ответа, это значение истинности. Напротив, 1 + 1 = 3 ложно, и никакое обсуждение не изменит этого, сделав его 丄.

Есть способы отличить истинные утверждения от ложных. Например, предложение «все женатые люди состоят в браке» совершенно точно благодаря характеру его формулировки. Если кто-то не женат, он не может называть себя женатым человеком.

Если в логике что-то верно, вы напишите это с большой буквы. Вы бы выразили эту мысль так: «Все женатые люди женаты = Т».

Однако мнение «все женатые люди счастливы» не может быть верным. Все женатые люди не могут быть счастливы, даже если вы счастливы в своем собственном браке. Вы бы представили это как «все женатые люди счастливы» = 丄.

Иногда логики заявляют, что символ 丄 означает «фальшь» и «абсурд». Оба являются латинскими терминами, которые означают, что что-то полностью ложно и не соответствует действительности.

Различные типы линий

Мы уже разобрали перпендикулярные линии, но другие линии обычно встречаются в геометрии.

Есть шутка о линиях в математике, представляющих разные истории любви. Параллельные линии никогда не должны пересекаться, касательные линии — это линии, которые когда-то были вместе, но никогда больше не сойдутся, а асимптоты сближаются, но никогда не сойдутся.

Параллельные линии — это две линии, идущие рядом друг с другом, но не соприкасающиеся и не пересекающиеся, какой бы длины они ни были.

Изображение Sona Digital Media

Далее у нас есть касательные линии. Касательные линии появляются на графиках с кривой. Они показывают, когда определенная точка касается кривой, но сразу после этого дуга отклоняется от линии, и они больше не встречаются.

Изображение Sona Digital Media

На приведенной выше диаграмме фиолетовая линия является касательной и касается кривой данных лишь на короткое время. Красная точка указывает на это.

Наконец, у нас есть асимптоты. В геометрии они появляются на декартовой плоскости и работают с кривой линии данных. Линия постоянно приближается к линии, но никогда не может коснуться линии.

Изображение Sona Digital Media

На приведенном выше рисунке линия асимптоты (выделена красным) следует за кривой данных, но не соприкасается с ней.

Это, конечно, не единственные линии в геометрии, а лишь несколько основных. В этом смысле перпендикулярные линии — это положительная история любви. Две линии, идущие с разных сторон, судьбой суждено встретиться всегда в «нужное» время.

Image by Dan-Cristian Paduret via Unsplash

Другие T-символы

Мы уже знаем о меньшем символе ⊥, обозначающем перпендикулярные линии, и о большем 丄 символе прихватки вверх. Однако это не единственные символы, которые используют Т-образную форму. Давайте посмотрим на несколько других.

В математике маленькая t указывает на измерение времени. Вы можете использовать его в ряде уравнений, чтобы показать, сколько секунд, минут или часов прошло или нужно учитывать.

Например, формула для времени: Время = Расстояние ÷ Скорость. В сокращении вы бы выразили это как t = d ÷ s. Допустим, в гипотетической ситуации нам нужно рассчитать, сколько времени потребуется, чтобы пройти 30 миль, если вы идете со скоростью 5 миль в час.

30 ÷ 5 = 6

T = 6 часов.

Как указывалось ранее, заглавная T говорит правду в логическом сценарии по сравнению с большим 丄, что означает ложь.

Наконец, ⫫ 9Символ 0006 (двойная закрепка) также присутствует в математике и логике. Он представляет собой независимую случайную величину. Случайная величина не влияет на расчет или эксперимент. Следовательно, вы бы не приняли это во внимание.

Например, если бы вы экспериментировали, чтобы найти лучший шоколадный торт в мире, количество яиц, которое вы использовали в каждом рецепте, было бы примером независимой случайной величины. Хотя яйца повлияют на вкус самого торта, они не повлияют на вкус других тортов.

Перевернутые символы в математике, логике и геометрии

В математике, логике и геометрии есть много символов, состоящих из букв, которые часто перевернуты. Такие символы позволяют математикам и логикам представлять сложные отношения в упрощенном формате.

Чтобы узнать больше о перевернутом символе «А», ознакомьтесь с разделом «Что означает перевернутый символ «А» в математике?» Эта статья была написана для Strategyforparents.com.

В качестве символов можно использовать не только буквы, но и цифры. Например, чтобы узнать больше об обратном числе 3, которое мы также называем «эпсилон», прочитайте «Что означает символ «обратное 3»?»

Заключительные мысли

Символ ⊥ является важной частью геометрии. При измерении фигур и вычислении площади перпендикулярные линии точно говорят нам, с чем мы имеем дело на фигуре. Хотя маловероятно, что вы встретите символ ⊥, если только вы не занимаетесь геометрией, всегда полезно знать, что вы ищете.

Математические символы (неофициальное справочное руководство LaTeX2e (май 2022 г.))

LaTeX предоставляет практически любые математические или технические символы, которые кто-нибудь использует. Например, если вы включаете $\pi$ в вашем исходнике, вы получите символ пи π. См. «Полный Список символов LaTeX» на https://ctan.org/pkg/comprehensive.

Вот список часто используемых символов. Он ни в коем случае не является исчерпывающим. Каждый символ описывается короткой фразой и его классом символа. который определяет интервал вокруг него, указан в скобках. Пока не иначе говоря, команды для этих символов могут использоваться только в математике режим. Чтобы переопределить команду, чтобы ее можно было использовать независимо от текущей режим см. \ensuremath .

\| ¶

∥ Параллельно (отношение). Синоним: \параллельно .

\ алеф ¶

ℵ Алеф, трансфинитный кардинал (обычный).

\альфа ¶

α Строчная греческая буква альфа (обычная).

\амальг ¶

⨿ Непересекающееся объединение (двоичное)

\ угол ¶

∠ Геометрический угол (обычный). Аналогично: меньше чем знак < и угловая скобка \langle .

\ приблизительно ¶

≈ Почти равно (отношение).

\ ¶

* Оператор звездочки, свертка, шестиконечная (двоичный). Синоним:  * , что часто является надстрочным индексом или нижний индекс, как у звезды Клини. Аналогично:  \star , т.е. пятиконечная и иногда используется как общая бинарная операция, и иногда зарезервированы для взаимной корреляции.

\асимп ¶

≍ Асимптотически эквивалентно (отношение).

\обратная косая черта ¶

\ Обратная косая черта (обычная). Аналогично: установите минус \setminus и \textbackslash для обратной косой черты вне математического режима.

\бета ¶

β Строчная греческая буква бета (обычная).

\bigcap ¶

⋂ Переменное или n-арное пересечение (оператор). Похожий: бинарное пересечение \заглушка .

\bigcirc ¶

⚪ Круг, больший (двоичный). Аналогично: функция состав \circ .

\bigcup ¶

⋃ Переменное, или n-арное, объединение (оператор). Аналогично: двоичный соединение \чашка .

\bigodot ¶

⨀ Оператор с переменным размером или n-значной точкой в ​​кружке (оператор).

\bigoplus ¶

⨁ Переменный размер или n-значный, обведен плюс оператор (оператор).

\bigotimes ¶

⨂ Переменный размер, или n-значный, обведенный кружком оператор времени (оператор).

\bigtriangledown ¶

▽ Переменный размер или n-значный открытый треугольник вершиной вниз (оператор).

\bigtriangleup ¶

△ Переменный размер или n-значный открытый треугольник, направленный вверх (оператор).

\bigqcup ¶

⨆ Переменное или n-арное квадратное объединение (оператор).

\biguplus ¶

⨄ Оператор объединения переменного размера или n-арного оператора с плюсом (оператор). (Обратите внимание, что имя имеет только одну букву.)

\bigvee ¶

⋁ Переменный размер, или n-значный, логическое-или (оператор).

\большой клин ¶

⋀ Переменного размера, или n-арное, логическое-и (оператор).

\bot ¶

⊥, закрепка вверх, низ, наименьший элемент частично упорядоченного множество, или противоречие (обычное). См. также  \top .

\бабочка ¶

⋈ Естественное соединение двух отношений (relation).

\Коробка ¶

□ Модальный оператор по необходимости; квадратная открытая коробка (обычный). Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить пакет amssymb .

\пуля ¶

• Пуля (бинарная). Аналогично: умножение точка \cdot .

\крышка ¶

∩ Пересечение двух множеств (бинарный). Аналогично: переменный размер оператор \bigcap .

\cdot ¶

⋅ Умножение (двоичное). Аналог: Пуля точка  \ маркер .

\чи ¶

χ Строчный греческий хи (обычный). 9{\mathsf{c}}$ или $\bar{S}$ .

\ соединение ¶

≅ конгруэнтны (отношение).

\coprod ¶

∐ Копроизведение (оператор).

\стакан ¶

∪ Объединение двух наборов (бинарный). Аналогично: переменный размер оператор \bigcup .

\ кинжал ¶

† Связь кинжала (бинарная).

\dashv ¶

⊣ Приборная панель с вертикальным перевернутым турникетом (связь). Похожий: турникет \vdash .

\ddagger ¶

‡ Отношение двойного кинжала (бинарное).

\Дельта ¶

Δ Греческая заглавная дельта, используемая для приращения (обычный).

\дельта ¶

δ Греческая строчная дельта (обычный).

\Алмаз ¶

◇ Крупный алмазный оператор (рядовой). Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить пакет amssymb .

\ алмаз ¶

⋄ Алмазный оператор (двоичный). Похожие: большие ромб \ ромб , круглая пуля \ пуля .

\алмазный костюм ¶

♢ Алмазная карточная масть (обычная).

\дел ¶

÷ Знак деления (двоичный).

\ doteq ¶

≐ Приближается к пределу (отношению). Подобные: геометрически равные до  \Doteq .

\вниз ¶

↓ Стрелка вниз, сходится (отношение). Похожий: \Downarrow двойная стрелка вниз.

\Вниз ¶

⇓ Двойная стрелка вниз (отношение). Похожий: \downarrow однострочная стрелка вниз.

\ell ¶

ℓ Строчная прописная буква l (обычная).

\пустой набор ¶

∅ Символ пустого набора (обычный). Вариант формы \varничего .

\эпсилон ¶

ϵ Строчный полулунный эпсилон (обычный). Похожий на Греческая текстовая буква. Более широко в математике используется сценарий small буква эпсилон \ varepsilon  ε. Связанный: установленное отношение принадлежности \in  ∈.

\экв ¶

≡ Эквивалентность (отношение).

\ эта ¶

η Строчная греческая буква (обычная).

\существует ¶

∃ Квантор существования (обычный).

плоский ¶

♭ Музыкальная квартира (обычная).

\ для всех ¶

∀ Универсальный квантификатор (обычный).

\хмуриться ¶

⌢ Изогнутая дуга вниз (обычная).

\Гамма ¶

Γ заглавная греческая буква (обычная).

\ гамма ¶

γ Строчная греческая буква (обычная).

\ge ¶

≥ Больше или равно (отношение). это синоним для \geq .

\geq ¶

≥ Больше или равно (отношение). это синоним для \ge .

\получает ¶

← Присваивается значение (отношение). Синоним:  \leftarrow .

\gg ¶

≫ Гораздо больше, чем (отношение). Аналогично: гораздо меньше чем \ll .

\hbar ¶

ℏ Постоянная Планка более двух пи (обычный).

\костюм ¶

♡ Карточная масть (обычная).

\hookleftarrow ¶

↩ Загнутая стрелка влево (отношение).

\hookrightarrow ¶

↪ Загнутая стрелка вправо (отношение).

\ тогда и только тогда, когда ¶

⟷ Если и только если (отношение). Это \Longleftrightarrow с \thickmuskip с обеих сторон.

\Im ¶

ℑ Мнимая часть (обычная). См.: реальная часть  \Re .

\имат ¶

Без точки i; используется, когда вы ставите ударение на i (см. Математические ударения).

\в ¶

∈ Элемент множества (отношение). Смотрите также: полумесяц в нижнем регистре epsilon  \epsilon ϵ и строчные буквы эпсилон \варэпсилон .

\ infty ¶

∞ Бесконечность (обычный).

\целое ¶

∫ Интеграл (оператор).

\йота ¶

ι Строчная греческая буква (обычная).

\Присоединить ¶

⨝ Сжатый символ галстука-бабочки (отношение). Недоступно в обычной версии ТеХ.

\jmath ¶

без точки j; используется, когда вы ставите ударение на j (см. Математические ударения).

\ каппа ¶

κ Строчная греческая буква (обычная).

\лямбда ¶

Λ заглавная греческая буква (обычная).

\лямбда ¶

λ Строчная греческая буква (обычная).

\ земля ¶

∧ Логическое и (двоичное). Синоним:  \клин . См. также логическое или  \ или .

\ угол ¶

⟨ Левый угол, или последовательность, скобка (отверстие). Похожий: меньше < . Соответствует  \rangle .

\lbrace ¶

{ Левая фигурная скобка (открытие). Синоним:  \{ . Соответствует \rbrace .

\lbrack ¶

[ Левая квадратная скобка (открывающаяся). Синоним:  [ . Соответствует \rbrack .

\lceil ¶

⌈ Левый потолочный кронштейн, как квадратный кронштейн, но с нижней сбрить (отверстие). Соответствует \rceil .

\ле ¶

≤ Меньше или равно (отношение). это синоним для \leq .

\ ведет к ¶

⇝ Волнистая стрелка вправо (отношение). Чтобы получить этот символ вне математического режима, вы можете поставить \newcommand*{\Leadsto}{\ensuremath{\leadsto}} в преамбулу, а затем используйте \ приводит к вместо этого.

\Стрелка влево ¶

⇐ Подразумевается двухстрочной стрелкой влево (отношение). Похожий: однострочная стрелка влево  \leftarrow .

\leftarrow ¶

← Однострочная стрелка влево (отношение). Синоним:  \получает . Аналогично: двойная линия слева стрелка  \стрелка влево .

\leftharpoondown ¶

↽ Гарпун однолинейный левый, шип под планкой (отношение).

\leftharpoonup ¶

↼ Однолинейный левый гарпун, зазубрина над перекладиной (отношение).

\Leftrightarrow ¶

⇔ Биимпликация; двухстрочная двунаправленная стрелка (отношение). Аналогично: однострочная двунаправленная стрелка \leftrightarrow .

\leftrightarrow ¶

↔ Однострочная двунаправленная стрелка (отношение). Похожий: двухлинейная двунаправленная стрелка \Стрелка влево .

\leq ¶

≤ Меньше или равно (отношение). это синоним для \le .

\ lэтаж ¶

⌊ Левый напольный кронштейн (отверстие). Совпадения:  \этаж .

\левый ¶

◁ Наконечник, то есть треугольник, указывающий влево (двоичный). Для обычного символа подгруппы вы должны загрузить amssymb и используйте \vartriangleleft (это отношение и так дает лучший интервал).

\ll ¶

≪ Гораздо меньше, чем (отношение). Аналогично: гораздо больше чем \gg .

\lне ¶

¬ Логическое отрицание (обычное). Синоним:  \neg .

\longleftarrow ¶

⟵ Длинная однострочная стрелка влево (отношение). Похожие: длинные двойная стрелка влево \Длинная левая стрела .

\longleftrightarrow ¶

⟷ Длинная однострочная двунаправленная стрелка (отношение). Похожие: длинные двухстрочная двунаправленная стрелка  \Longleftrightarrow .

\longmapsto ¶

⟼ Длинная однострочная стрелка влево, начинающаяся с вертикальной черты (связь). Аналогично: более короткая версия  \mapsto .

\longrightarrow ¶

⟶ Длинная однострочная стрелка вправо (отношение). Похожие: длинные двойная стрелка вправо  \длинная правая стрелка .

\или ¶

∨ Логическое или (двоичное). Синоним: \vee . См. также логические и \land .

\mapsto ¶

↦ Однострочная стрелка влево, начинающаяся с вертикальной черты (связь). Аналогично: более длинная версия  \longmaps to .

\mho ¶

℧ Проводимость, заглавная омега с полукругом (обычный).

\ середина ¶

∣ Однострочная вертикальная полоса (отношение). Типичное использование \mid для набора \{\, x \mid x\geq 5 \,\} .

Аналогично: \vert и | производят такие же однострочные символ вертикальной черты, но без интервала (они относятся к классу обычные), и вы не должны использовать их как отношения, а только как порядковые номера, т. е. символы сносок. Абсолютное значение см. в записи за 9 0225 \vert и норму см. в записи для  \vert .

\модели ¶

⊨ Предполагает или удовлетворяет; двойной турникет, короткая двойная черта (связь). Аналогично: длинное двойное тире \vDash .

\mp ¶

∓ Минус или плюс (отношение).

\mu ¶

μ Строчная греческая буква (обычная).

\набла ¶

∇ Дель Гамильтона, или дифференциальный оператор (обычный).

\ натуральный ¶

♮ Нотная натуральная запись (обычная).

\ne ¶

≠ Не равно (отношение). Синоним:  \neq .

¶

↗ Северо-восточная стрелка (отношение).

\neg ¶

¬ Логическое отрицание (обычное). Синоним:  \lnot . Иногда вместо этого используется отрицание:  \sim .

\neq ¶

≠ Не равно (отношение). Синоним:  \ne .

\ni ¶

∋ Эпсилон отраженного членства; имеет член (связь). Синоним:  \владеет . Аналогично: является членом из \в .

\ не ¶

    Длинный солид или косая черта, используемый для перечеркивания следующий оператор (отношение).

Доступно множество операторов с отрицанием, для которых не требуется \ не , особенно с пакетом amssymb . Например, \не типографически предпочтительнее \не\в .

\ не в ¶

∉ Не является элементом (отношения). Аналогично: не подмножество из  \nподмножество .

\nu ¶

ν Строчная греческая буква (обычная).

\nварроу ¶

↖ Стрелка северо-запад (отношение).

\одот ¶

⊙ Точка внутри круга (двоичная). Аналогично: переменный размер оператор \bigodot .

\ ¶

∮ Контурный интеграл, интеграл с окружностью посередине (оператор).

\Омега ¶

Ω заглавная греческая буква (обычная).

\омега ¶

ω Строчная греческая буква (обычная).

\оминус ¶

⊖ Знак минус или тире внутри круга (двоичный).

+ ¶

⊕ Знак плюс внутри круга (двоичный). Аналогично: переменный размер оператор \bigoplus .

\ослеш ¶

⊘ Солидус, или косая черта, внутри круга (бинарный).

\раз ¶

⊗ Знак времени или крестик внутри круга (двоичный). Похожий: оператор переменного размера \bigotimes .

\владеет ¶

∋ Эпсилон отраженного членства; имеет член (связь). Синоним:  \ni . Аналогично: является членом из \в .

\параллельно ¶

∥ Параллельно (отношение). Синоним:  \| .

\частичный ¶

∂ Частичный дифференциал (обычный).

\ перп ¶

⟂ Перпендикуляр (отношение). Аналогично:  \bot использует тот же глиф, но интервал другой, потому что он находится в классе обычный.

\Phi ¶

Φ Прописная греческая буква (обычная).

\фи ¶

ϕ Строчная греческая буква (обычная). Вариант формы \varphi φ.

\Pi ¶

Π заглавная греческая буква (обычная).

\pi ¶

π Строчная греческая буква (обычная). Вариант формы \варпи ϖ.

об/мин ¶

± Плюс или минус (двоичный).

\prec ¶

≺ предшествует (отношение). Аналогично: меньше < .

\preceq 9{\prime\prime\prime}$ , но использует гораздо меньше печатание. Вы можете использовать только \prime в математическом режиме. Использование права одинарная кавычка ' в текстовом режиме дает другой символ (апостроф).

\продукт ¶

∏ Продукт (оператор).

\propto ¶

∝ Пропорционально (отношению)

\пси ¶

Ψ заглавная греческая буква (обычная).

\psi ¶

ψ Строчная греческая буква (обычная).

\ угол ¶

⟩ Прямой угол, или последовательность, скобка (закрывающая). Аналогично: больше > . Совпадения: \langle .

\rbrace ¶

} Правая фигурная скобка (закрытие). Синоним:  \} . Соответствует \lbrace .

\rbrack ¶

] Правая квадратная скобка (закрытие). Синоним:  ] . Соответствует \lbrack .

\rceil ¶

⌉ Правый потолочный кронштейн (закрытие). Соответствует \lceil .

\Re ¶

ℜ Действительная часть, действительные числа, заглавная буква R (обычный). Связанный: двойная линия или полужирный шрифт, R  \mathbb{R} ; получить доступ это, загрузите пакет amsfonts .

\ ограничение ¶

↾, Ограничение функции (отношения). Синоним: \upharpoonright . Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить пакет amssymb .

\reemptyset ¶

⦰, Перевернутый символ пустого набора (обычный). Связанный: \varничего . Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить пакет stix .

\rэтаж ¶

⌋ Правый напольный кронштейн, правый квадратный кронштейн с верхним вырезом выключение (закрытие). Соответствует \lfloor .

\ правый ¶

◁ Наконечник, то есть треугольник, указывающий вправо (двоичный). Вместо обычного символа подгруппы вы должны загрузите amssymb и используйте \vartriangleright (который является отношение и, таким образом, дает лучший интервал).

\ро ¶

ρ Строчная греческая буква (обычная). Вариант формы \varrho ϱ.

\Стрелка вправо ¶

⇒ Подразумевает двойную стрелку, указывающую вправо. (связь). Аналогично: однострочная стрелка вправо \стрелка вправо .

\rightarrow ¶

→ Однострочная стрелка, указывающая вправо (отношение). Синоним: \to . Аналогично: правая двойная линия стрелка \стрелка вправо .

\rightharpoondown ¶

⇁ Направленный вправо гарпун с зубцом внизу линия (отношение).

\rightharpoonup ¶

⇀ Направленный вправо гарпун с зубцом над линия (отношение).

\правыйлевыйгарпуны ¶

⇌ Правый гарпун вверх над левым гарпуном вниз (связь).

\серроу ¶

↘ Стрелка указывает на юго-восток (отношение).

\setminus ¶

⧵ Установить разность, обратную солидус или обратную косую черту, как \ (двоичный). Аналогично: обратная косая черта \обратная косая черта а также \textbackslash вне математического режима.

\ острый ¶

♯ Музыкальный диез (обыкновенный).

\Сигма ¶

Σ заглавная греческая буква (обычная).

\сигма ¶

σ Строчная греческая буква (обычная). Вариант формы \varsigma ς.

\sim ¶

∼ Подобный, в отношении (отношении).

\simeq ¶

≃ Подобный или равный, в отношении (отношении).

\маленький ¶

∫ Знак интеграла, который не меняется в большую сторону в дисплей (оператор).

\смайл ¶

⌣ Изогнутая вверх дуга, улыбка (обычная).

\пиджак ¶

♠ Пиковая масть (обычная).

\sqcap ¶

⊓ Символ пересечения квадратов (двоичный). Похожий: пересечение крышка .

\sqcup ¶

⊔ Символ объединения квадратов (двоичный). Похожий: штуцер чашка . Связанный: переменный размер оператор \bigsqcup .

\sqsubset ¶

⊏, Квадратный символ подмножества (отношение). Похожий: подмножество \подмножество . Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить 9Пакет 0225 amsymb .

\sqsubseteq ¶

⊑ Квадратное подмножество или символ равенства (двоичный). Аналогично: подмножество или равно \subseteq .

\sqsupset ¶

⊐, Квадратный символ надмножества (отношение). Похожий: надмножество \ надмножество . Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить пакет amssymb .

\sqsupseteq ¶

⊒ Квадратный надмножество или символ равенства (двоичный). Аналогично: надмножество или равное \supseteq .

\звезда ¶

⋆ Пятиконечная звезда, иногда используется как двойная. операция, но иногда зарезервированная для взаимной корреляции (бинарная). Аналогично: синонимы звездочка * и \ast , которые являются шестиконечными и чаще появляются в виде надстрочного или нижнего индекса, как со звездой Клини.

\ подмножество ¶

⊂ Подмножество (иногда подразумевается) (отношение).

\подмножество ¶

⊆ Подмножество или равно (отношение).

\succ ¶

≻ Приходит после, достигает успеха (отношение). Аналогично: меньше чем > .

\ успех ¶

⪰ Выполняется или равно (отношение). Аналогично: меньше больше или равно  \leq .

\сумма ¶

∑ Суммирование (оператор). Аналог: греческая столица сигма \ сигма .

\ смещение ¶

⊃ Надмножество (отношение).

\supseteq ¶

⊇ Надмножество или равно (отношение).

\сурд ¶

√ Радикальный символ (обычный). Команда LaTeX \sqrt{...} набирает квадратный корень аргумента с чертой который распространяется на аргумент.

\ ворона ¶

↙ Стрелка, указывающая на юго-запад (отношение).

\ тау ¶

τ Строчная греческая буква (обычная).

\тета ¶

θ Строчная греческая буква (обычная). Вариант формы \vartheta ϑ.

х ¶

× Знак умножения в начальной школе (двоичный). Видеть также \cdot .

\к ¶

→ Однострочная стрелка, указывающая вправо (отношение). Синоним:  \rightarrow .

\верх ¶

⊤ Вершина, наибольший элемент частично упорядоченного множества (обычный). См. также  \bot .

\ треугольник ¶

△ Треугольник (обычный).

\треугольник влево ¶

◁ Незаполненный треугольник, направленный влево (двоичный). Похожие: \левый . Для обычного символа подгруппы вы следует загрузить amssymb и использовать \vartriangleleft (который является отношением и поэтому дает лучший интервал).

\правый треугольник ¶

▷ Незакрашенный треугольник, направленный вправо (двоичный). Вместо обычного символа подгруппы вы должны загрузить amssymb и используйте \vartriangleright (это отношение и, таким образом, дает лучший интервал).

= unlhd ¶

⊴ Указывающая влево незаполненная подчеркнутая стрелка, т.е. треугольник с чертой под (бинарный). Для нормальная загрузка символа подгруппы amssymb и используйте \vartrianglelefteq (что является отношением и поэтому дает лучший интервал).

\ без правого колеса ¶

⊵ Указывающая вправо незаполненная подчеркнутая стрелка, т.е. треугольник с чертой под (бинарный). Для нормальная загрузка символа подгруппы amssymb и использовать \vartrianglerighteq (что является отношением и поэтому дает лучший интервал).

\Вверх ¶

⇑ Двойная стрелка, указывающая вверх (связь). Аналогично: однострочный, направленный вверх стрелка \вверхстрелка .

\стрелка вверх ¶

↑ Однострочная стрелка вверх, расходится (связь). Аналогично: двойная линия вверх стрелка  \ВверхСтрелка .

\Стрелка вверх вниз ¶

⇕ Двойная стрелка, указывающая вверх и вниз (связь). Аналогично: однострочный, направленный вверх и вниз стрелка \updownстрелка .

\updownarrow ¶

↕ Однострочная стрелка вверх и вниз (связь). Аналогично: двойная линия, направленная вверх и вниз. стрелка  \вверхстрелка .

\upharpoonright ¶

↾, Гарпун вверх, с зубцом справа (связь). Синоним: \ограничение . Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить пакет amssymb .

+ ¶

⊎ Multiset union, символ объединения со знаком плюс в средний (бинарный). Аналогично: союз \чашка . Связанный: оператор переменного размера \biguplus .

\Ипсилон ¶

Υ заглавная греческая буква (обычная).

\ипсилон ¶

υ Строчная греческая буква (обычная).

\varepsilon ¶

ε Эпсилон строчной буквы (обычный). Это более широко используется в математике, чем невариантная форма лунного эпсилона \эпсилон  ε. Связанный: установить членство \в .

\ничего ¶

∅, символ пустого набора. Аналогично: \emptyset . Связанный: \reemptyset . Недоступно в простом TeX. В LaTeX вам нужно загрузить 9Пакет 0225 amsymb .

\varphi ¶

φ Вариант строчной греческой буквы (обычный). Невариантная форма: \phi  ϕ.

\varpi ¶

ϖ Вариант строчной греческой буквы (обычный). Невариантная форма: \pi  π.

\варро ¶

ϱ Вариант строчной греческой буквы (обычный). Невариантная форма \ро р.

\варсигма ¶

ς Вариант строчной греческой буквы (обычный). Невариантная форма \сигма σ.

\vartheta ¶

ϑ Вариант строчной греческой буквы (обычный). Невариантная форма \ тета  θ.

\vdash ¶

⊢ Доказуемый; турникет, вертикальный и штриховой (связь). Аналогично: турникет повернулся полукруг \dashv .

¶

∨ Логическое или; нисходящая v-образная форма (бинарная). Связанный: логический и \клин . Аналогично: переменный размер оператор \bigvee .

\Верт ¶

‖ Вертикальная двойная перекладина (обычная). См. Разделители, как использовать пакет mathtools для создания символы норм.

\верт ¶

| Однострочная вертикальная полоса (обычная). Для «таких что», как и в определении множества, используйте  \mid потому что это является отношением. См. Разделители, чтобы узнать, как использовать математические инструменты . пакет для создания символов абсолютного значения гибкого размера.

\ клин ¶

∧ Логическое и (двоичное). Синоним:  \land . Смотрите также логический или \vee . Аналогично: переменный размер оператор \bigwedge .

\wp ¶

℘ Weierstrass p (обычный).

Вт ¶

≀ Сплетение (бинарный).

\Xi ¶

Ξ заглавная греческая буква (обычная).

\xi ¶

ξ Строчная греческая буква (обычная).

\дзета ¶

ζ Строчная греческая буква (обычная).

Следующие символы чаще всего используются в обычном тексте, но LaTeX предоставляет версии для использования в математическом тексте.

Что такое геометрия? — Определение Факты и примеры

Что такое геометрия

Геометрия — это раздел математики, изучающий размеры, формы, положения, углы и размеры объектов.

2D-фигуры в геометрии

Плоские фигуры, такие как квадраты, круги и треугольники, являются частью плоской геометрии и называются 2D-фигурами. Эти формы имеют только 2 измерения: длину и ширину.

Примеры двумерных фигур в плоской геометрии показаны ниже.

2D-формы могут быть дополнительно классифицированы как открытые и закрытые формы. Открытые формы могут быть определены как формы или фигуры, чьи отрезки линий и/или кривые не пересекаются. Они не начинаются и не заканчиваются в одной и той же точке. Замкнутые фигуры — это геометрические фигуры, которые начинаются и заканчиваются в одной и той же точке.

Трехмерные фигуры в геометрии

В геометрии трехмерная фигура может быть определена как сплошная фигура, объект или форма, имеющая три измерения: длину, ширину и высоту. В отличие от двумерных фигур трехмерные фигуры имеют толщину или глубину.

Атрибутами трехмерной фигуры являются грани, ребра и вершины. Три измерения составляют края трехмерной геометрической формы.

Куб, прямоугольная призма, сфера, конус и цилиндр — основные трехмерные формы, которые мы видим вокруг себя.

Угол

В геометрии угол можно определить как фигуру, образованную двумя лучами, сходящимися в одной точке. Угол обозначается символом ∠. Углы измеряются в градусах (°) с помощью транспортира. Например, 45 градусов представляются как 45°.

Углы классифицируются в зависимости от их размеров как:

1. Острый угол меньше 90°.
2. Тупой угол составляет от 90° до 180°.
3. Прямой угол точно равен 90°.
4. Угол, равный точно 180°, является прямым углом.
5. Угол рефлекса составляет от 180° до 360°.
6. Полный угол равен 360°.

Вершина фигуры, где два ребра встречаются, образуя угол. Различные фигуры в геометрии имеют разные меры угла.

Например, :

• Треугольник — это трехсторонняя фигура, а сумма трех его внутренних углов равна 180˚
• Квадрат, прямоугольник или четырехугольник — это четырехсторонние фигуры, и сумма их четырех внутренних углов составляет 360˚
• Другие многоугольники, такие как пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник, имеют соответственно 5, 6, 7, 8 сторон и различные углы.

Примеры различных многоугольников с их углами и сторонами показаны ниже.

Мы изучаем различные аспекты форм, такие как измерение углов, длины сторон, площади, объема и т. д. в геометрии. Подобие и конгруэнтность — два важных аспекта геометрии.

Сходство : Сходство — это когда две формы одинаковы, но их размеры могут различаться.

Конгруэнтность : Конгруэнтность — это когда две фигуры совершенно одинаковы по форме и размеру.

Координатная плоскость:

• Координатная плоскость — это двумерная поверхность, образованная с помощью двух числовых линий, которые пересекают друг друга под прямым углом.
• Горизонтальная числовая линия — это ось x, а вертикальная числовая линия — ось y.
• Пересечение двух осей — это координата (0,0).
• Используя координатную плоскость, мы рисуем точки, линии и т. д. Соединяя различные точки на координатной плоскости, мы можем создавать формы.

Мы используем формулу и теорему для решения задач по геометрии.

Формула — это математическое уравнение для решения задачи геометрии, а теорема — это утверждение, которое доказывается с использованием ранее известных фактов.

Например, « Теорема Пифагора » доказала, что a2+b2=c2 для прямоугольного треугольника, где a и b — стороны прямоугольного треугольника, а c — гипотенуза.

Однако, a2+b2=c2 — это формула для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника.

Забавные факты

— Слово «геометрия» образовано от греческих слов «гео», означающих «земля», и «метрия», означающих «измерение».

Решенные примеры

1. Является ли данная фигура примером простой замкнутой кривой, которая также является многоугольником?

Решение:

Замкнутая фигура, которая не пересекает сама себя, является простой замкнутой кривой. Многоугольники — это замкнутые формы, образованные только прямыми линиями, такие как треугольники, прямоугольники, пятиугольники и т. д.

Данная фигура изогнута и состоит не только из прямых линий, это не многоугольник.

2. В треугольнике ABC с прямым углом в точке B, если ∠C=45°, какова мера ∠A?  

Решение: △ ABC — заданный прямоугольный треугольник с ∠B=90°.

Сумма углов треугольника = 180°

∠A+∠B+∠C=180°

∠A+∠C=180°-90°=90°

Но, ∠C=45° отсюда ∠A =90°-45°=45°

3. Определите плоские поверхности в данной призме.  

Решение:

Плоские поверхности призмы представлены ниже:

Прямоугольник AECB, прямоугольник DCEF, прямоугольник ABDF образуют прямоугольные грани призмы.

△ BCD и △ AEF образуют треугольные грани призмы.

Практические задачи

A

B

C

D

Правильный ответ: B
Замкнутая фигура, которая не пересекает сама себя, является простой замкнутой кривой. У него одинаковые начальная и конечная точки.

A

B

C

D

Правильный ответ: D
Данная фигура является трехмерной и называется кубом.

10 сторон и 10 углов

12 сторон и 10 углов

5 сторон и 5 углов

18 сторон и 5 углов

Правильный ответ: 10 сторон и 10 углов
Звездообразная фигура 0 состоит из 1 прямых линий . Таким образом, у него 10 сторон и 10 углов.

Часто задаваемые вопросы

Какая связь между математикой и геометрией?

Математика — это общий термин для различных дисциплин, в которых основное внимание уделяется логике и абстрактным понятиям. Геометрия — один из разделов математики, изучающий формы и размеры фигур и их свойства.

Каковы некоторые приложения геометрии?

Геометрия может применяться во многих областях, таких как архитектура, электроника, машиностроение и строительство. Его также можно использовать в таких областях, как наука, для разработки проектов или программ по исследованию космоса.

В чем основное различие между 2D и 3D формами?

Основное различие между 2D- и 3D-фигурами заключается в отсутствии глубины или высоты в 2D-фигурах. Это плоские фигуры. Трехмерные формы существуют в трех измерениях с длиной, шириной и высотой и не кажутся плоскими.

В чем разница между алгеброй и геометрией?

Алгебра — это раздел математики, в котором переменные в виде букв используются в качестве чисел или величин в уравнениях и формулах. Геометрия — это раздел математики, изучающий размеры, формы, положение, углы и размеры вещей.

геометрия | Определение, история, основы, отрасли и факты

математики греко-римского мира

Смотреть все СМИ

Ключевые люди:

Блез Паскаль Евклид Птолемей Пьер де Ферма Бернхард Риманн

Похожие темы:

топология Евклидова геометрия аналитическая геометрия дифференциальная геометрия проективная геометрия

Просмотреть весь связанный контент →

геометрия , раздел математики, изучающий форму отдельных объектов, пространственные отношения между различными объектами и свойства окружающего пространства. Это одна из старейших областей математики, возникшая в ответ на такие практические задачи, как геодезия, и ее название происходит от греческих слов, означающих «измерение Земли». В конце концов стало понятно, что геометрия не должна ограничиваться изучением плоских поверхностей (геометрия плоскостей) и жестких трехмерных объектов (геометрия тел), но что даже самые абстрактные мысли и образы могут быть представлены и развиты в геометрических терминах.

Эта статья начинается с краткого описания основных разделов геометрии, а затем переходит к обширному историческому анализу. Для получения информации о конкретных разделах геометрии см. Евклидова геометрия, аналитическая геометрия, проективная геометрия, дифференциальная геометрия, неевклидовы геометрии и топология.

Основные разделы геометрии

В некоторых древних культурах была разработана форма геометрии, приспособленная к отношениям между длинами, площадями и объемами физических объектов. Эта геометрия была систематизирована Евклидом в Элементы около 300 г. до н.э. на основе 10 аксиом или постулатов, из которых несколько сотен теорем были доказаны дедуктивной логикой. Элементов олицетворяли аксиоматико-дедуктивный метод на протяжении многих веков.

Аналитическая геометрия была инициирована французским математиком Рене Декартом (1596–1650), который ввел прямоугольные координаты для определения местоположения точек и для того, чтобы линии и кривые могли быть представлены алгебраическими уравнениями. Алгебраическая геометрия — это современное расширение предмета на многомерные и неевклидовы пространства.

Викторина по Британике

Дайте определение: математические термины

Вот ваша миссия, если вы решите ее принять: Дайте определение следующим математическим терминам до того, как истечет время.

Проективная геометрия была создана французским математиком Жираром Дезаргом (1591–1661) для изучения тех свойств геометрических фигур, которые не изменяются при проецировании их изображения или «тени» на другую поверхность.

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) в связи с практическими задачами съемки и геодезии положил начало дифференциальной геометрии. Используя дифференциальное исчисление, он охарактеризовал внутренние свойства кривых и поверхностей. Например, он показал, что внутренняя кривизна цилиндра такая же, как у плоскости, в чем можно убедиться, разрезав цилиндр вдоль его оси и сплющив, но не такая, как у сферы, которую нельзя сплющить без искажение.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Начиная с 19-го века, различные математики заменяли альтернативами постулат параллельности Евклида, который в его современной форме гласит: «данные линия и точка, не лежащие на прямой, можно провести ровно одну прямую через данная точка параллельна прямой». Они надеялись показать, что альтернативы логически невозможны. Вместо этого они обнаружили, что существуют непротиворечивые неевклидовы геометрии.

Топология

Топология, самый молодой и сложный раздел геометрии, фокусируется на свойствах геометрических объектов, которые остаются неизменными при непрерывной деформации — сжатии, растяжении и складывании, но не разрыве. Непрерывное развитие топологии началось с 1911 г., когда голландский математик Л.Э.Й. Брауэр (1881–1966) представил методы, обычно применимые к этой теме.

История геометрии

Самые ранние известные недвусмысленные примеры письменных источников — датируемые Египтом и Месопотамией около 3100 г. до н. контейнеры. Начиная примерно с VI века до н.0019 гео («Земля») и метрон («мера») для измерения Земли.

В дополнение к описанию некоторых достижений древних греков, в частности логического развития геометрии Евклидом в Элементах , в этой статье рассматриваются некоторые приложения геометрии в астрономии, картографии и живописи от классической Греции до средневекового ислама и Европы эпохи Возрождения. . Он завершается кратким обсуждением расширений неевклидовой и многомерной геометрии в современную эпоху.

Древняя геометрия: практическая и эмпирическая

Таблица знаков в геометрии и их значения: пересечение, подобие

Sign in

Password recovery

Восстановите свой пароль

Ваш адрес электронной почты

MicroExcel.ru Математика Знаки и символы в геометрии

Ниже представлена таблица с основными математическими символами и знаками, которые используются в геометрии с 7 класса и старше.

microexcel. ru

ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ

Таблица знаков зодиака

Нахождение площади трапеции: формула и примеры

Нахождение длины окружности: формула и задачи

Римские цифры: таблицы

Таблица синусов

Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)

Нахождение площади ромба: формула и примеры

Нахождение объема цилиндра: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)

Геометрическая фигура: треугольник

Нахождение объема шара: формула и задачи

Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)

Нахождение объема конуса: формула и задачи

Таблица сложения чисел

Нахождение площади квадрата: формула и примеры

Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема

Нахождение объема пирамиды: формула и задачи

Признаки подобия треугольников

Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи

Формула Герона для треугольника

Что такое средняя линия треугольника

Нахождение площади треугольника: формула и примеры

Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи

Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Разность кубов: формула и примеры

Степени натуральных чисел

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg

Нахождение периметра квадрата: формула и задачи

Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи

Сумма кубов: формула и примеры

Нахождение объема куба: формула и задачи

Куб разности: формула и примеры

Нахождение площади шарового сегмента

Что такое окружность: определение, свойства, формулы

Что означает знак дуги в геометрии – как обозначается дуга в геометрии

Что такое геометрия дуга

Дуга (геометрия) — это… Что такое Дуга (геометрия)?

Дуга — связное подмножество окружности.

Свойства

*Длина дуги L радиуса R с центральным углом alpha, измеренным в радианах, вычисляется по формуле: L=Ralpha

Wikimedia Foundation. 2010.

WASD Улица Воздвиженка

Смотреть что такое «Дуга (геометрия)» в других словарях:

Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… … Википедия

Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона

АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференциально геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной … Математическая энциклопедия

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 … Математическая энциклопедия

Сферическая геометрия — математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении… … Большая советская энциклопедия

Хорда (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда. 1 секущая, 2 хорда … Википедия

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математич. дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек рую окружность; если секущая… … Математическая энциклопедия

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — геодезиче ская, геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный … Математическая энциклопедия

Декарт Рене — (Descartes) (латинизир. Картезий; Cartesius) (1596 1650), французский философ, математик, физик и физиолог. С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввёл многие алгебраические… … Энциклопедический словарь

Жорданова кривая — Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия

Дуга окружности. Полуокружность определение. Длина дуги окружности. Угол и дуга окружности

Дуга окружности

Что такое дуга окружности?

Дугу окружности принято обозначать тремя точками: две точки – это концы дуги и одна произвольная промежуточная точка. Пример дуги:

На картинке представлены две дуги: ACB и ADB.

Полуокружность определение

Полуокружностью называют дугу окружности, если отрезок, соединяющий её концы, в нашем случае AB, есть диаметр окружности.

На картинке ACB – полуокружность:

Градусная мера дуги окружности

Рассмотрим три случая.

Первый случай

Градусной мерой дуги ACB является градусная мера центрального угла AOB:

Второй случай

Градусной мерой дуги BED является градусная мера центрального угла BOD (на рисунке выше), в данном случае это 180 0 , т. е. развернутый угол.

Третий случай

Градусной мерой большей дуги окружности ACB рассчитывается по формуле: 360 градусов минус величина угла AOB. Пример: пусть угол AOB = 90 0 , тогда градусная мера дуги ACB равна 360 0 — 90 0 = 270 0 .

А чему равна сумма градусных мер дуг ADB и ACB?

Градусная мера дуги ADB равна 90 0 по условию.

Сумма градусных мер дуг ADB и ACB равна 90 0 + 270 0 = 360 0 .

Это и понятно, ведь эти две дуги охватывают всю окружность, а окружности соответсвуют 360 0 .

Каким условным знаком обозначается дуга окружности?

0 нравится комментировать 10 лет Ответы Mail. Ru Образование ВУЗы, Колледжи Все вопросы

Авто, Мото Автострахование Выбор автомобиля, мотоцикла Оформление авто-мото сделок ГИБДД, Обучение, Права Сервис, Обслуживание, Тюнинг ПДД, Вождение Прочие Авто-темы Автоспорт Бизнес, Финансы Макроэкономика Производственные предприятия Собственный бизнес Страхование Банки и Кредиты Недвижимость, Ипотека Бухгалтерия, Аудит, Налоги Остальные сферы бизнеса Долги, Коллекторы Знакомства, Любовь, Отношения Любовь Знакомства Отношения Расставания Дружба Прочие взаимоотношения Компьютеры, Связь Интернет Железо Программное обеспечение Прочее компьютерное Мобильные устройства Офисная техника Мобильная связь Образование Детские сады Школы ВУЗы, Колледжи Дополнительное образование Образование за рубежом Прочее образование Философия, Непознанное Мистика, Эзотерика Психология Религия, Вера Прочее непознанное Философия Путешествия, Туризм Самостоятельный отдых Документы Отдых в России Отдых за рубежом Прочее туристическое Семья, Дом, Дети Строительство и Ремонт Беременность, Роды Воспитание детей Мебель, Интерьер Домашняя бухгалтерия Домоводство Загородная жизнь Свадьба, Венчание, Брак Организация быта Прочие дела домашние Спорт Футбол Хоккей Экстрим Другие виды спорта Занятия спортом События, результаты Спортсмены Зимние виды спорта Стиль, Мода, Звезды Мода Светская жизнь и Шоубизнес Прочие тенденции стиля жизни Стиль, Имидж Темы для взрослых Другое О проектах Mail. Ru Ответы Mail. ru Почта Mail. ru Прочие проекты Новости Mail. Ru Агент Mail. ru Мой Мир Mail. ru ICQ Облако Mail. ru Красота и Здоровье Коррекция веса Здоровый образ жизни Врачи, Клиники, Страхование Болезни, Лекарства Косметика, Парфюмерия Баня, Массаж, Фитнес Уход за волосами Маникюр, Педикюр Детское здоровье Салоны красоты и СПА Прочее о здоровье и красоте Животные, Растения Домашние животные Комнатные растения Сад-Огород Дикая природа Прочая живность Города и Страны Вокруг света Карты, Транспорт, GPS Климат, Погода, Часовые пояса Коды, Индексы, Адреса ПМЖ, Недвижимость Прочее о городах и странах Общество, Политика, СМИ Общество Политика Прочие социальные темы Средства массовой информации Еда, Кулинария Закуски и Салаты Первые блюда Вторые блюда Напитки Десерты, Сладости, Выпечка Консервирование Торжество, Праздник Готовим детям Готовим в … Покупка и выбор продуктов На скорую руку Прочее кулинарное Фотография, Видеосъемка Обработка и печать фото Обработка видеозаписей Выбор, покупка аппаратуры Уход за аппаратурой Техника, темы, жанры съемки Прочее фото-видео Товары и Услуги Идеи для подарков Техника для дома Прочие промтовары Сервис, уход и ремонт Прочие услуги Досуг, Развлечения Хобби Концерты, Выставки, Спектакли Охота и Рыбалка Клубы, Дискотеки Рестораны, Кафе, Бары Советы, Идеи Игры без компьютера Прочие развлечения Новый Год День Святого Валентина Восьмое марта Наука, Техника, Языки Гуманитарные науки Естественные науки Лингвистика Техника Работа, Карьера Написание резюме Подработка, временная работа Кадровые агентства Отдел кадров, HR Профессиональный рост Смена и поиск места работы Обстановка на работе Трудоустройство за рубежом Прочие карьерные вопросы Гороскопы, Магия, Гадания Гороскопы Гадания Сны Прочие предсказания Магия Юридическая консультация Административное право Гражданское право Конституционное право Семейное право Трудовое право Уголовное право Финансовое право Жилищное право Право социального обеспечения Военная служба Паспортный режим, регистрация Прочие юридические вопросы Юмор Золотой фонд Искусство и Культура Музыка Литература Кино, Театр Живопись, Графика Архитектура, Скульптура Прочие искусства Компьютерные и Видео игры Прочие Браузерные Клиентские Консольные Мобильные Программирование Другие языки и технологии Java JavaScript jQuery MySQL Perl PHP Python Веб-дизайн Верстка, CSS, HTML, SVG Системное администрирование Домашние задания Другие предметы Литература Математика Алгебра Геометрия Иностранные языки Химия Физика Биология История География Информатика Экономика Русский язык Обществознание Плесский колледж бизнеса и туризма Компания «Azimyt-K»

Mail. RuПочтаМой МирИгрыНовостиЗнакомстваПоискВсе проекты Вход в личный кабинет Помощь Обратная связь Полная версия Главная Все проекты

Дуга — связное подмножество окружности.

Свойства

*Длина дуги L радиуса R с центральным углом alpha, измеренным в радианах, вычисляется по формуле: L=Ralpha

Wikimedia Foundation. 2010.

WASD Улица Воздвиженка

Смотреть что такое «Дуга (геометрия)» в других словарях:

Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… … Википедия

Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона

АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференциально геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной … Математическая энциклопедия

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 … Математическая энциклопедия

Сферическая геометрия — математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении… … Большая советская энциклопедия

Хорда (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда. 1 секущая, 2 хорда … Википедия

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математич. дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек рую окружность; если секущая… … Математическая энциклопедия

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — геодезиче ская, геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный … Математическая энциклопедия

Декарт Рене — (Descartes) (латинизир. Картезий; Cartesius) (1596 1650), французский философ, математик, физик и физиолог. С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввёл многие алгебраические… … Энциклопедический словарь

Жорданова кривая — Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия

Полуокружностью называют дугу окружности, если отрезок, соединяющий её концы, в нашем случае AB, есть диаметр окружности.

Xn—-8sbanwvcjzh9e. xn--p1ai

14.02.2019 20:13:03

2019-02-14 20:13:03

Источники:

Https://xn—-8sbanwvcjzh9e. xn--p1ai/geometrii/chto-oznachaet-znak-dugi-v-geometrii-kak-oboznachaetsya-duga-v-geometrii. html

Окружность: радиус, хорда, диаметр и дуга | Геометрия » /> » /> .keyword { color: red; }

Что такое геометрия дуга

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется Центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Окружность делит плоскость на две области — Внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это Круг:

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — Циркуль:

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или R.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется Диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

D = 2R.

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Для обозначения дуг используется символ :

Для обозначения дуг используется символ :

Построение окружности циркулем.

Izamorfix. ru

18.02.2018 3:38:55

2018-02-18 03:38:55

Источники:

Https://izamorfix. ru/matematika/planimetriya/okruzhnost. html

Дуга (геометрия) | это. Что такое Дуга (геометрия)? » /> » /> .keyword { color: red; }

Что такое геометрия дуга

Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… … Википедия

Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф. А. Брокгауза и И. А. Ефрона

АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференциально геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной … Математическая энциклопедия

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 … Математическая энциклопедия

Сферическая геометрия — математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении… … Большая советская энциклопедия

Хорда (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда. 1 секущая, 2 хорда … Википедия

СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математич. дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек рую окружность; если секущая… … Математическая энциклопедия

ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ — геодезиче ская, геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный … Математическая энциклопедия

Декарт Рене — (Descartes) (латинизир. Картезий; Cartesius) (1596 1650), французский философ, математик, физик и физиолог. С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввёл многие алгебраические… … Энциклопедический словарь

Жорданова кривая — Кривая или линия геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана … Википедия

N мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 Математическая энциклопедия.

Dic. academic. ru

26.11.2018 14:36:08

2018-11-26 14:36:08

Источники:

Https://dic. academic. ru/dic. nsf/ruwiki/178028

Вставка математических знаков