Рубрика: Геометрии

mathtype

Equation Editor Tips & Tricks Советы и Уловки Редактора Equation
files/mathtypeg.GIF»> Placing an arc over more than one character		Размещение дуги над более чем одним символом
One limitation of Equation Editor that many people run into is that its arc embellishment (or accent) will only cover a single character.		Многие сталкиваются с одним из ограничений Редактора Equation: знак «дуга» располагается только над одним единственным символом.
This makes it hard to describe arcs for grade-school geometry.		Поэтому  сложно описывать дуги в геометрии для средней школы.
For example:		Например:
With a little resizing and nudging, though, you can get a reasonable approximation.		При небольшом изменении размеров и «подталкивании»  Вы всё же можете получить разумное приближение.
Here are the steps:		Вот предлагаемые шаги:
Insert the «small-over-large» template (it’s on the 3rd template palette from the left).	1	Введите шаблон «маленький-над-большим»   (он находится на 3-ей палитре шаблонов  слева).
Type the material to go under the arc into the lower slot. In this case, «ABC».	2	Напечатайте материал, который собираетесь расположить под дугой, в нижнем слоте. В нашем случае — «АВС».
Click into the smaller slot to place the insertion point there.	3	Щелкните по меньшему слоту, чтобы курсор разместился именно там.
Use the Other command on the Style menu to select the MT Extra font.	4	Используйте команду  Иной из меню Стиль, чтобы выбрать шрифт  MT Extra.
Type a «)». This will insert the arc.	5	Напечатайте «)». Дуга будет вставлена.
Select the arc.	6	Выделите дугу.
Use the Other command on the Size menu to increase the size of the arc until it covers the characters. You may not be able to cover them completely before the arc starts to look ugly but do the best you can. If the characters under the arc are 12 points, you may need to make the arc around 40 points in size.	7	Используйте команду Другой меню Размер, чтобы увеличить размер дуги, пока она не охватит все буквы. Возможно, Вам не захочется полностью охватить все буквы (дуга станет уродливой). Остановитесь на подходящем варианте. Если буквы под дугой — из 12 точек, то дугу пришлось бы делать длиною в 40 точек.
Use nudging to adjust the arc’s placement over the characters. Type the arrow keys while holding the Ctrl key down (on the Macintosh use the Command key) to move the arc in the desired direction.	8	Используйте подталкивание, чтобы отрегулировать размещение дуги над буквами. Нажимайте клавиши со стрелками при нажатой клавише Ctrl (на Макинтоше используйте клавишу Команда), чтобы переместить дугу в желательном направлении.
Here’s the final result:		Вот —  результат:
This tip is unnecessary if you own MathType as it includes templates for placing arcs over many characters.		Этот совет не нужен, если Вы имеете MathType, поскольку он содержит шаблоны для размещения дуг над многими символами сразу.
Click here to find out more about MathType.		Щёлкните здесь, чтобы узнать больше о MathType.
Copyright © 2000-2002 by Design Science, Inc. All rights reserved.

Понятие кривизны в геометрии

Рассмотрим два понятия кривизны, которые используются в геометрии и необходимы для описания нашего пространства-времени в Общей теории относительности:

• Внешняя кривизна,  для кривой или поверхности S, которая находится в некотором пространстве E большей размерности — это мера того, насколько S отличается от прямой линии в E.
• Внутренняя кривизна определяет насколько геометрические свойства фигуры внутри заданного пространства отличаются от «плоской геометрии»( которая содержит афинную геометрию), в независимости от любого другого пространства, содержащего рассматриваемую фигуру.

Внешняя кривизна

Предел(для малых дуг S, содержащих P), от (Угла отклонения (в радианах) / Длина дуги).

Для подпространства S пространства E, внешняя кривизна S в E является мерой того, насколько кривая «прямая внутри S» изогнута внутри E. Когда S имеет размерность > 1, это искривление, как правило, не едиственное, а это многомерный объект, поскольку это дает направление, перпендикулярное (касательной подпространстве) S в (квадратичной) функции выбранного направления кривой внутри S (точнее, если n = dim S и m = dim E, то внешняя кривизна имеет n(n+1)(m−n)/2 координат). Но эту кривизну можно рассматривать как одну величину, если она состоит из одинаковых значений во всех направлениях.

Гауссова (внутренняя) кривизна

Гауссова кривизна  — это внутренняя кривизна для частичного случая поверхности(2-мерного пространства), когда она является скалярным полем.

Гауссову кривизну можно понимать как «плотность углов» описанную далее.

Для любой поверхности(2-мерного пространства, только приблизительно эвклидового в малых масштаба), сумма углов в радианах любого треугольника, может отличаться от π. Например, на Земле, треугольник состоящий из экватора и двух меридианов имеет два прямых угла, а третий угол( с вершиной в полюсе) может иметь любое значение.
Более того, параллельный перенос вдоль любой замкнутой кривой индуцирует поворот на угол α, который в случае треугольника совпадает с разницей углов:

α = (∑ angles) − π.

В случае (2-мерной) сферы радиуса r в 3-мерном эвклидовом пространстве, этот угол α пропорционален площади A области окруженной кривой, согласно формуле

 α = r^-2A

Сферы являются особенным случаем кривых поверхностей, поскольку имеют постоянную Гауссову кривизну. В более общем случае, Гауссова кривизна поверхности является( неконстантным) полем и угол поворота α индуцированный параллельным переносом вдоль замкнутой кривой, есть интегралом этого поля по поверхности которую замыкает кривая.

Риманова кривизна

Есть разные способы описания этого поля. Стандартный, «математический» способ, основывается на свойствах оператора ковариантной производной, который описывает изменения любого векторного поля по соседству с каждой точкой.

В общем случае, метафорическое описание поля как чего-то измеряемого в каждой точке; изменения поля любого типа объектов(векторов или чего-то еще) описывается линейным оператором действующим из пространства «векторов скорости» измеряемых прибором в данной точке со значением( в векторном пространстве где поле принимает значения) скорости изменения измеряемых значений поля.

Ковариантная производная векторного поля в каждой точке есть «наиболее точная» картина изменения поля вокруг этой точки, в том смысле, что она соответствует частичным производным этого поля, если выбрать систему координат, которая «наименее искажена» возле этой точки.

Свойства ковариантной производной отличаются от подобных свойств частичных производных в любой фиксированной системе координат. Потому, что (если кривизна ненулевая) координатная система не может быть «наименее искаженной» во всей окрестности точки, таким образом в окрестности не возможно выбрать фиксированную систему координат, в которой ковариантная производная прямо задается частичными производными. Другими словами, изменения измеряемые частичными производными те которые получаются из афинной структуры пространства заданного в выбранной системе координат, однако афинная структура соответствует плоской геометрии, с отсутствием кривизны, что не является объектом нашего изучения.

Теперь мы дадим интуитивное описание кривизны с помощью расширения на высшие размерности выше указанной идеи о параллельном переносе вдоль кривой.

Теперь в качестве петель можем взять маленькие параллелограммы. Результатом параллельного переноса на любой петле может быть получена из этих малых параллелограммов взяв поверхностьограниченную этой петлей и разделив эту поверхность на большое количество малых параллелограммов( или треугольников, которые являются половиной параллелограмма): общий поворот при параллельном переносе вокруг петли получается суммированием( интегрированием ) всех малых поворотов полученными параллельным переносом вдоль каждого параллелограмма.

Операция, которая каждой паре (малых) векторов сопоставляет (малый) поворот полученный при параллельном переносе вдоль малого параллелограмма, чье направление задано этими векторами, является билинейной, антисимметричной функцией этих векторов.  

Малые повороты( значения этой функции) могут быть определены как билинейные антисимметричные формы, описанные антисимметричными матрицами.

Чтобы описать Риманову кривизну через координаты, возьмем приблизительную «Декартову систему координат» малой окрестности( в случае космологии, это значит «малая» по сравнению с размерами вселенной, но большая по сравнению с галактикой ;-). По сути мы будет использовать эти названия координат как метки попарно ортогональных осей в этой окрестности. Тогда каждая пара осей определяет малый параллелограмм в этой окрестности.

Пространство билинейных антисимметричных форм n-мерного пространства имеет размерность n(n-1)/2, что соответствует количеству пар осей координат.
При n=4, как в пространстве-времени с координатами (x,y,z,t), имеем 6 пар : (x,y), (x,z), (y,z), (x,t), (y,t), (z,t).

Собрав вместе выше изложенное имеем, что кривизна может быть описана как тензор с 4 индексами, полученным из двух антисимметричных пар. В координатах, каждая компонента Римановой кривизны должна быть помечена двумя парами координат:

• одна пара координат помечает направление малой поверхности (параллелограмм), вокруг которой был сделан параллельный перенос,
  
• другая пара помечает компоненту малого поворота, полученного при этом переносе.
  

Таким образом Риманова кривизна вокруг каждой точки 4-мерного пространства, в приблизительной декартовой системе координат вокруг этой точки, описывается симметричной матрицей 6×6, где каждая строчка и каждый столбик соответствуют паре координат.

Особым случаем кривых геометрических пространств есть пространство с постоянной кривизной, которое эквивалентно определяется как

• Обобщение сферической геометрии на любую размерность и любой знак кривизны
  
• Если предположить, что любая внешне плоская малая поверхность внутри нее имеет ту же Гауссову кривизну.
  
• Если многообразие является Римановым (т.е. чистое пространство, а не пространства-времени: каждое касательное пространство является евклидовым): матрица Римановой кривизны в локальной приблизительной декартовой системе координат каждой малой области, есть единичной матрицей умноженной на коэфициент.

Теперь можно перейти к объяснению расширения Вселенной в Общей теории относительности.

Почему размерность 20, а не 21?

Пространство симметричных матриц размера 6×6 имеет размерность 6×7/2=21.

Но тензор Римановой кривизны не может принимать в данной ситуации любое значение, так как он имеет одно соотношение, которое сокращает размерность с 21 до 20.
Это отношение называется «полной антисимметричной» частью этого тензора, и определяется как сума компонент обозначенных ((x,y),(z,t)), ((y,z),(x,t)) и ((z,x),(y,t)).

Причину этого, вместе с симметрией при смене обеих пар, можно объяснить способом того, как считается кривизна исходя из метрической структуры пространства.

Метрическая структура это поле, которое в каждой точке задает локальную геометрическую структуру( локально эвклидовую или структуру Минковского, в добавок к простой локальной афинной структуре, которая задана гладкостью пространства). Значения этого поля в каждой точке есть симметричной билинейной формой с касательными векторами в этой точке( интуитивно, векторы скорости для  частиц которые проходят), которые определяют локальное произведение между ними.

В заданной системе координат (или что эквивалентно, в карте рассматриваемого пространства в плоском пространстве — можно сделать соответствие в первом приближение вокруг точки, таким образом первые производные в метрике в этой точке… по причине достаточно технической чтобы объяснять), кривизна вычисляется из вторых производных метрики.
Симметрия метрики, вместе с симметрией вторых производных в системе координат, естественно изменяет результат таких выражений, которые просто «невозможно произвести любую асимметричность» по причине симметричных вхождений. Детали этого аргумента требуют понимания тензорного исчисления.

Back : Set theory and foundations of mathematics

Что такое дуга в математике? Определение, угол, длина, окружность, примеры

В математике дуга определяется как часть границы окружности или кривой. Его также можно назвать открытой кривой.

Граница круга — это периметр или расстояние вокруг круга, также известное как длина окружности. Итак, дуга — это расстояние между любыми двумя точками, проведенными по его окружности.

Поясним это на примере:

На этом рисунке расстояние между точками A и B представляет собой дугу, проведенную по окружности окружности. Вы можете назвать это дугой AB. Дуга обозначается символом «⌢». Итак, дугу AB можно записать в виде $\widehat{AB}$. Вы также можете записать его как $\widehat{BA}$. Порядок точек не имеет значения.

Как сделать дугу

Чтобы сделать дугу, вам понадобится либо хорда, либо центральный угол.

Хорда — это отрезок, соединяющий любые две точки окружности.

Центральный угол — это угол между любыми двумя радиусами окружности. Например, центральный угол на диаграмме между радиусами QA и QB, как показано ниже, равен 60°.

Вы, должно быть, заметили, что дуга делит окружность на две части.

У одного расстояние между двумя конечными точками меньше (малая дуга), а у другого расстояние больше (большая дуга).

Если не указано иное, дуга всегда будет считаться второстепенной дугой. Чтобы указать большую дугу, вы можете взять третью точку на дуге окружности и использовать три буквы в имени.

На приведенной выше диаграмме $\widehat{AB}$ — это малая дуга, а $\widehat{ADB}$ — большая дуга.

Дуга полукруга

Полуокружность — это дуга, концы которой совпадают с диаметром окружности.

Как найти длину дуги?

Вы можете рассчитать длину дуги, используя приведенную ниже формулу.

Длина дуги окружности = $\frac{y}{360}$  ✕ $2 π r$

Где r = радиус окружности

y = угол (в градусах), образуемый дугой в центре круга

360 = угол одного полного оборота.

Значение $π$ (пи) = 3,14

Решенные примеры

Пример 1: Вычислить длину дуги, образующей угол 60 градусов в центре круга радиусом 5 см.

Решение : Мы знаем, что формула длины дуги $\frac{y}{360} ✕ $2 π r$

например, мы получаем

Длина дуги = $\frac{60}{360}$ ✕ 2 ✕ 3,14 ✕ 5 = 5,23 см

Пример 2. Вычислите длину дуги, образующей угол 40 градусов в центре окружности с радиус 6 см.

Решение: Мы знаем, что формула длины дуги $\frac{y}{360}$ ✕ $2 π r$ 

В этом примере 

y = 40 и r = 6

Подставляя эти значения в Например, мы получаем

Длина дуги = $\frac{40}{360}$ ✕ 2 ✕ 3,14 ✕ 6 = 4,186 см

Пример 3: Определите большую дугу в этом круге.

Мы знаем, что большая дуга — это большое расстояние между двумя конечными точками. Итак, здесь $\widehat{ADC}$ — это большая дуга, а $\widehat{ABC}$ — меньшая дуга.

Практические задачи

1

Вычислите длину дуги, образующей угол 120 градусов в центре круга радиусом 10 см.

20,93 см

10,93 см

14,56 см

30,46 см

Правильный ответ: 20,93 см
Длина дуги = $\frac{y}{360}$ ✕ $2 π r$
Подставляя y = 120 и r = 10 см, получаем
Длина дуги = $\frac{40} {360}$ ✕ 2 ✕ 3,14 ✕ 10 = 20,93 см

2

Определите малую дугу на рисунке ниже.

$\widehat{AB}$

$\widehat{BD}$

$\widehat{DA}$

$\widehat{ADB}$

Правильный ответ: $\widehat{AB}$
$\widehat{AB}$ — малая дуга на этой диаграмме.

3

На окружности проведена дуга, покрывающая четверть окружности. Какова будет величина центрального угла в этом случае?

90°

60°

45°

30°

Правильный ответ: 90°
Для дуги, охватывающей четверть окружности, радиусы, проведенные из ее концов, будут перпендикулярны друг другу.

4

Какой из этих центральных углов образует наибольшую дугу?

81°

76°

45°

99°

Правильный ответ: 99°
Центральный угол образован соединением концов дуги с центром окружности. Следовательно, чем больше центральный угол, тем больше будет длина образуемой дуги.

Часто задаваемые вопросы

Что такое дуга полукруга?

Полуокружность — это дуга, концы которой лежат на диаметре окружности.

Здесь и $\widehat{AB}$, и $\widehat{ACB}$ являются полуокружностями.

Что такое центральный угол дуги?

Центральный угол — это угол, на который опирается дуга в центре.

Может ли дуга быть прямой линией?

Нет. Дуга всегда является открытой кривой.

Arc — определение математического слова

Открытый справочник по математике

Дом Контакт О Тематический указатель

Определение: Часть окружности круга

Попробуйте это Перетащите одну из оранжевых точек, определяющих конечные точки синей дуги. Дуга соответственно изменится.

Дуга – это часть окружности окружности. На рисунке выше дуга — это синяя часть круга. Строго говоря, дуга может быть частью какой-либо другой изогнутой формы, например эллипса, но почти всегда она относится к кругу. Чтобы избежать всех возможных ошибок, ее иногда называют дугой окружности.

Прямая линия, проведенная между конечными точками дуги, будет хорда окружности.

Если длина дуги составляет ровно половину окружности, она называется полуокружной дугой. См. определение полукруга.

Именование и идентификация

Дуги называются по их конечным точкам. Синяя дуга выше будет называться «дугой AB». или «дуга ВА», т.е. порядок конечных точек не имеет значения. В сокращении это можно записать как буквы AB с изогнутой линией над ними
Пример: который читается как «дуга AB».

Обратите внимание, что это имя может быть неоднозначным. Например, это может означать большая дуга АВ, где вы идете длинный путь вокруг нижней части круга. Если не указано иное, это всегда означает малая дуга — самая короткая из двух.

Если вы хотите указать большую дугу, добавьте дополнительную точку и используйте три буквы в названии. Например, на диаграмме выше главная дуга обозначена как это длинная дуга от А до В, огибающая дно через К.

Есть две меры дуги

1. Длина дуги
2. Угол дуги

Длина дуги

Длина дуги — это расстояние вдоль изогнутой линии, образующей дугу. Он будет измеряться в единицах измерения расстояния, например, в метрах. Чтобы указать эту меру, дуге предшествует строчная буква L (для «длины»). Для аксклена будет читаться как «длина дуги АВ 6 дюймов».    Дополнительную информацию см. на странице «Длина дуги».

Измеритель угла

Атрибуты

Длина дуги	Длина изогнутой линии дуги. Дополнительную информацию см. на странице «Длина дуги».
Радиус		Радиус окружности, частью которой является дуга. См. Радиус дуги способы расчета радиуса дуги, когда известны другие свойства дуги.
Центральный угол		Угол, образуемый дугой с центром окружности, частью которой она является. Этот угол всегда вдвое больше окружного угла (см. ниже). См. определение центрального угла для получения дополнительной информации.
Вписанный угол		Угол, образуемый дугой с любой точкой на окружность круга, частью которого он является. Этот угол всегда равен половине центрального угла (см. выше). Подробнее см. Вписанный угол дуги.

Другие темы кружка

Общий

• Определение круга
• Радиус окружности
• Диаметр круга
• Длина окружности
• Части круга (схема)
• Определение полукруга
• Касательная
• Секанс
• Аккорд
• Теорема о пересекающихся хордах
• Теорема о пересекающихся секущих длинах
• Теорема о пересекающихся секущих углах
• Площадь круга
• Концентрические окружности
• Кольцо
• Площадь кольца
• Сектор круга
• Площадь сектора круга
• Сегмент круга
• Площадь сегмента окружности (данный центральный угол)
• Площадь сегмента круга (данная высота сегмента)

Уравнения окружности

• Основное уравнение окружности (центр в начале координат)
• Общее уравнение окружности (центр в любом месте)
• Параметрическое уравнение окружности

Уголки по окружности

• Угол вписанный
• Центральный уголок
• Теорема о центральном угле

Дуги

• Дуга
• Длина дуги
• Измеритель угла дуги
• Смежные дуги
• Большая/малая дуги
• Перехваченная дуга
• Сектор круга
• Радиус дуги или сегмента при заданной высоте/ширине
• Стрелец — высота дуги или сегмента

(C) 2011 Copyright Math Open Reference.

Урок геометрии в 7 классе по теме «Медиана, биссектриса, высота треугольника»

Урок геометрии в 7 классе

Тема: Медиана, биссектриса, высота треугольника.

Автор: Григорян Жанна Виктори,

 учитель математики высшей квалификационной категории

2016г.

Тема: Медиана, биссектриса, высота треугольника.

Тип урока: «Исследовательская работа»

Цели урока:

— дидактическая:

сформировать понятия «медиана треугольника», «биссектриса треугольника», «высота треугольника»;

— психологическая:

обучать умению математически грамотно проводить рассуждения; развивать творческое мышление учащихся;

— воспитательная:

активизировать умственную деятельность учащихся.

Оборудование:

1.      Интерактивная доска

2.      Компьютеры у учащихся

3.      Линейка, транспортир, угольник.

4.      Карточки для работы готовыми чертежами.

5.      Бланк практической работы.

План урока.

             I.      Мотивация. Постановка учебной задачи.

         II.      Решение учебной части.

Задание 1.

Установить понятие «высота треугольника».

Задание 2.

Установить понятие «биссектриса треугольника».

Задание 3.

Установить понятие «медиана треугольника».

Задание 4.

Сформулировать свойства высот, биссектрис, медиан треугольника.

III.      Обобщение урока. Домашнее задание.

Содержание урока.

       I.            Ориентировочно-мотивационный этап. 10 минут.

1)        Выравнивание знаний.

Что такое треугольник?

Из каких элементов он состоит?

Первый признак равенства треугольников?

Что такое отрезок?

Что такое середина отрезка?

Что такое биссектриса угла?

2)     Постановка цели урока.

Кроме названных вами элементов треугольника в этой фигуре есть  еще линии, которые очень важны для дальнейшего изучения геометрии. Важны до такой степени, что их даже называют Замечательные линии треугольника. Какая у нас сегодня цель на уроке? (Формулировка учащимися цели урока)

3)     Задание на формулировку темы урока

Распределить треугольники на три группы.

Почему так распределили. В первой группе в треугольнике проведен отрезок, который называется медианой треугольника, во второй группе – биссектриса треугольника. И в третьей группы – высота треугольника. 

Историческая справка.

Эти слова пришли к нам из латинского языка. Например, слово «биссектриса» означает «бис» — дважды и «сектио» — рассечение, т.е.«рассекающая надвое». Слово «перпендикуляр» означает «пендула» — маятник, отвес. Таким образом, перпендикуляром называли когда-то просто вертикальное направление. Оно образует прямой угол с земной поверхностью.

Сегодня мы сформулируем определения: «высота треугольника», «медиана треугольника», «биссектриса треугольника» и совместно составим алгоритмы их построения.

               II.            Операционально-исполнительский этап.

Попробуйте дать определение медианы, глядя на рисунок. Давайте дадим определение медианы треугольника,  биссектрисы треугольника, высоты треугольника.

Запоминалки:

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам.

Медиана – обезьяна, она идет по сторонам и делит стороны пополам.

Выстота похожа на кота, который выгнет спину и под прямым углом соединит вершину со стороной хвостом.

Задание 1.

Построить отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Сформулировать определение медианы треугольника. Составить алгоритм ее построения.

Самооценка.

Алгоритм построения медианы треугольника.

1.            Построить ∆АВС.

2.            Построить середину стороны АС и обозначить буквой М.

3.            Соединить вершину треугольника В с построенной точкой М.

4.            Считать отрезок BМ медианой треугольника.

Медиана может быть обозначена буквой m.

Поочередно вывешиваются алгоритмы построения медианы, биссектрисы, высоты треугольника.

Задание 2.

Построить отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Сформулировать определение биссектрисы треугольника. Составить алгоритм ее построения.

Самооценка.

Алгоритм построения биссектрисы треугольника.

1.            Построить ∆АВС.

2.            Провести биссектрису угла треугольника при вершине В.

3.            Обозначить точку пересечения биссектрисы угла с противолежащей стороной буквой D.

4.            Считать отрезок BD биссектрисой треугольника.

Биссектриса может быть обозначена буквой b.

Задание 3.

Провести перпендикуляр из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Сформулировать определение высоты треугольника. Составить алгоритм ее построения.

Самооценка.

Алгоритм построения высоты треугольника.

1.            Построить ∆АВС.

2.            Опустить перпендикуляр из вершины В к прямой, содержащей противоположную сторону АС.

3.            Основание перпендикуляра обозначить точкой К.

4.            Считать отрезок ВК высотой треугольника.

Высота может быть обозначена буквой h.

Задание 4. Компьютерная лаборатория

Учащиеся выполняют практическую работу в среде «Живая математика» (задание1, задание 2).

На основании полученных результатов делают вывод:

·        Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри треугольника.

·      Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри треугольника.

Учащиеся на листах с готовыми чертежами остроугольного, прямоугольного, тупоугольного треугольников, пользуясь алгоритмом, проводят высоты в каждом треугольнике.

Возникает проблемная ситуация: В тупоугольном треугольнике высоты не пересекаются внутри треугольника. Обращаются к программе «Живая математика». Провот эксперимент.

На основании полученных результатов делают вывод:

·        Высоты в остроугольном треугольнике пересеклись в точке, находящейся внутри треугольника.

·        Высоты в прямоугольном  треугольнике пересеклись в вершине прямого угла.

·        Высоты в тупоугольном треугольнике пересеклись в точке, расположенной вне треугольника.

Озвучивание выводов

·        Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри треугольника. Эта точка называется центром тяжести треугольника. 

·      Биссектрисы любого треугольника пересекаются в одной точке, расположенной внутри треугольника.  Эта точка называется центром вписанной окружности.

·        Высоты любого треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром треугольника. 

·     Высоты в остроугольном треугольнике пересеклись в точке, находящейся внутри треугольника.

·     Высоты в прямоугольном  треугольнике пересеклись в вершине прямого угла.

·     Высоты в тупоугольном треугольнике пересеклись в точке, расположенной вне треугольника.

Историческая справка.

В «Началах» Евклида указывается, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности, но не говорится о том, что высоты пересекаются водной точке (ортоцентре). «Ортос» — греческое слово (прямой, правильный).

Об этом знали Архимед, Прокл. Архимед доказал, что точка пересечения медиан треугольника является центром тяжести (барицентр). На эти точки было обращено внимание, начиная с XVIII века они были названы «замечательными» или «особенными» точками треугольника. Исследование свойств треугольника, связанных с этими точками и другими, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики «геометрии треугольника», родоначальником которой был Леонард Эйлер. В 1765 году Эйлер доказал, что в любом треугольнике ортоцентр, барицентр, центр описанной окружности лежат на одной прямой, названной «прямой Эйлера».

Задание 5.

Составить графическую модель усвоенного материала.

III. Рефлексивно – оценочный этап.

1) Какие цели были поставлены на уроке?

2) Что узнали на уроке?

3) Какие выводы сделали на уроке?

4) Закрыть записи. Проговорить вслух и про себя понятия медианы, биссектрисы, высоты треугольника. Проговорить алгоритмы построения этих элементов треугольника.

5) А сейчас каждый из вас подойдет к доске и покажет свое настроение после урока.

I.       Домашнее задание.

1)  По учебнику: п. 17, №103, №104;

      2)   На творческое применение знаний:

·        «Головоломка со спичками».

        Шесть спичек образуют два равных треугольника. Нужно эти спички расположить так, чтобы они образовали четыре таких же треугольника.

·        Подготовить реферат на тему «Замечательные линии и точки треугольника».

Элементы треугольника. Высоты, медианы, биссектрисы

Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Вот как это выглядит в случае остроугольного треугольника.

Попробуйте провести три высоты в тупоугольном треугольнике. Получилось? Да, редкий выпускник справляется с этим заданием. Действительно, мы не можем опустить перпендикуляр из точки А на отрезок ВС, зато можем опустить его на прямую ВС — то есть на продолжение стороны ВС.

В этом случае в одной точке пересекаются не сами высоты, а их продолжения.

А как выглядят три высоты в прямоугольном треугольнике? В какой точке они пересекаются?

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны.

Три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины.

Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.

У биссектрисы угла есть замечательное свойство — точки, принадлежащие ей, равноудалены от сторон угла. Поэтому три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от всех сторон треугольника. Эта точка является центром окружности, вписанной в треугольник.

Еще одно свойство биссектрисы пригодится тем, кто собирается решать задачу С4. Биссектриса треугольника делит противоположную сторону в отношении длин прилежащих сторон.

Разберем несколько задач, в которых речь идет о высотах, медианах и биссектрисах треугольника. Все задачи взяты из Банка заданий ФИПИ.

1. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Пусть биссектрисы треугольника АВС ( в котором угол С равен 90°) пересекаются в точке М.

Рассмотрим треугольник АВМ.

∠ МАВ = ∠ ВАС,

∠ АВМ = ∠ АВС, тогда ∠ АМВ = 180° — ∠ МАВ — ∠ АВМ = 180° — (∠ АВС + ∠ ВАС).

Острый угол между биссектрисами на рисунке обозначен φ.

Угол φ смежный с углом АМВ, следовательно, φ = (∠ АВС + ∠ ВАС).

Поскольку треугольник АВС — прямоугольный, то ∠ АВС + ∠ ВАС = 90°.

Тогда φ = (∠ АВС + ∠ ВАС) = 90° : 2 = 45°.

Ответ: 45.

2. Острые углы прямоугольного треугольника равны 29º и 61º. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Пусть СН — высота, проведенная из вершины прямого угла С, СК — биссектриса угла С.

Тогда ∠ АСН = ∠ АВС = 61°, ∠ АСК = 90° : 2 = 45°.

Угол между высотой и биссектрисой — это угол КСН.

∠ КСН = ∠ АСН — ∠ АСК = 61° — 45° = 16°

Ответ: 16.

3. Два угла треугольника равны 58º и 72º. Найдите тупой угол, который образуют высоты треугольника, выходящие из вершин этих углов. Ответ дайте в градусах.

Из треугольника АВН (угол Н — прямой) найдем угол ВАН. Он равен 18°.

Из треугольника АВК (угол К — прямой) найдем угол АВК. Он равен 32°.

В треугольнике АОВ известны два угла. Найдем третий, то есть угол АОВ, который и является тупым углом между высотами треугольника АВС:

∠ АОВ = 180° — 18° — 32° = 130°.

Ответ: 130.

4. В треугольнике ABC угол C равен 58º, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

Пусть в треугольнике АВС угол ВАС равен А, угол АВС равен В.

Рассмотрим треугольник АОВ.

∠ ОАВ = ∠ А

∠ АВО = ∠ В, тогда ∠ АОВ = 180° — (∠ А + ∠ В). Из треугольника АВС получим, что ∠ А + ∠ В = 180° — 58° = 122°.

Тогда ∠ АОВ = 180° — (∠ А + ∠ В) = 180° — 61° = 119°.

Ответ: 119°.

5. В треугольнике ABC угол A равен 60º, угол B равен 82º. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Найдем угол АСВ. Он равен 38°.

Тогда ∠ АСF = ∠ ACB = 19°.

Из треугольника АСF найдем угол AFC. Он равен 101°.

Рассмотрим треугольник АОF.

∠ AFО = 101°, ∠ FAO = ∠ ВАС = 30°. Значит, ∠ AOF = 49°.

Ответ: 49.

6. В треугольнике АВС СD — медиана, угол ACB равен 90º, угол B равен 58º. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Как решать эту задачу? У медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, есть особое свойство. Мы докажем его в теме «Прямоугольник и его свойства».

Подсказка: Сделайте чертеж, найдите на нем равнобедренные треугольники и докажите, что они равнобедренные.

Правильный ответ: 22.

Разница между длиной и высотой (со сравнительной таблицей)

Представьте твердый объект, такой как куб, прямоугольный параллелепипед, пирамида и т. д., которые имеют три измерения: длину, ширину и высоту. Длина относится к экстенту объекта, т. е. определяет длину объекта. С другой стороны, высота подразумевает высоту объекта; это говорит о том, насколько высока сущность?

Есть много студентов-математиков, которые сомневаются в длине и высоте объекта, для них эти два измерения — одно и то же. Но, это не так, у них только общие характеристики, есть тонкие различия между длиной и высотой.

Прочтите статью, чтобы понять концепцию двух измерений.

Содержание: длина и высота

1. Сравнительная таблица
2. Определение
3. Ключевые отличия
4. Сходства
5. Заключение

Сравнительная таблица

Основание для сравнения	Длина	Высота
Значение	Длина описывается как измерение объекта от одной точки до другой.	Рост относится к измерению человека или объекта сверху вниз.
Определяет	Какой длины объект?	На какой высоте находится объект?
Расстояние	Горизонтальное	Вертикальное
Размер	Максимальный размер объекта.	Размер, который был бы вверху в обычной ориентации.

Определение длины

Размер объекта, который является самым длинным, называется его длиной. Это горизонтальная протяженность, которая измеряется вдоль плоскости X на графике и измеряет расстояние между двумя концами. Единицами измерения длины являются метр, сантиметр, километр, дюйм, фут, миля и т. д.

Длина относится к размеру объекта, независимо от размеров. Он устанавливает степень, в которой что-то длинно или далеко от одной точки до другой.

Определение высоты

Высота в математике определяется как мера расстояния от низа до верха, т. е. от эталонного уровня до определенной точки.

Высота обозначается как высота, когда мы говорим о том, насколько трехмерный объект, такой как горы, деревья или здания, высок или высок относительно уровня моря. Он измеряет расстояние по вертикали от самой низкой до самой высокой точки. Рост человека показывает, насколько он высок.

Ключевые различия между длиной и высотой

Пункты, приведенные ниже, являются существенными, поскольку речь идет о разнице между длиной и высотой:

1. Длина в основном является измерением объекта от начала до конца. Напротив, высота — это измерение расстояния объекта от основания до вершины.
2. Длина определяет, насколько что-то длинное, тогда как высота является показателем того, насколько кто-то или что-то высокое.
3. В то время как длина измеряется по оси X, по сути, это горизонтальная сторона чего-либо, высота выровнена по оси Y, которая представляет собой вертикальную сторону чего-либо.
4. Длина — это не что иное, как самая длинная грань объекта. И наоборот, высота — это та сторона объекта, которая была бы вверху при нормальной ориентации.

Аналоги

• Длина и высота являются линейными измерениями.
• Они измеряются в единицах расстояния.
• Выражается в футах, дюймах, метрах, ярдах и т. д.

Заключение

Таким образом, из приведенного выше обсуждения становится ясно, что это два разных понятия геометрии, которые часто понимаются вместе, но это не делает их одним целым. Положение объекта играет решающую роль в определении того, какое измерение является высотой, а какое — длиной, потому что измерения меняются с изменением положения, по сути, высота объекта становится его длиной, а длина превращается как его высота.

Разница между длиной и высотой

Чтобы понять, что такое длина и высота, давайте рассмотрим несколько примеров трехмерных геометрических объектов, таких как куб, квадрат, прямоугольный параллелепипед, пирамида и т. д. Эти объекты измеряются с точки зрения трех измерений, а именно длины. , ширина и высота. Длина — это мера протяженности объекта или параметр, определяющий длину объекта. Принимая во внимание, что параметр «высота» относится к высоте объекта и измеряет высоту объекта. Среди студентов и фасилитаторов распространена тенденция делать правильный выбор между длиной и высотой. Существует общее неверное представление о том, что длина и высота — это одно и то же. Однако, хотя длина и высота имеют много общего, математически они по определению являются двумя разными параметрами. Разница между длиной и шириной тоже есть. Эта статья поможет вам проанализировать сходства и различия между длиной и высотой.

В чем разница между длиной и высотой?

Длина и высота — это величины в математике, которые до сих пор считаются одними и теми же многими изучающими и даже экспертами в этой области. Несмотря на ряд сходств между этими двумя, между длиной и высотой есть тонкая разница. В таблице ниже описано сравнение длины и высоты.

Сравнение длины и высоты

Определение длины

Наибольшее измерение объекта называется его длиной. Это горизонтальное расширение объекта, которое обычно измеряется по оси X графика декартовых координат. Это дает расстояние между двумя концами. Длину можно измерять в метрах (сантиметрах, миллиметрах, километрах), дюймах, футах, милях и т. д.  

Независимо от размеров, длина относится к размеру объекта. Он представляет собой степень расширения между любыми двумя точками на горизонтальной плоскости.

Определение высоты

Высота также является мерой расстояния. Однако это не то же самое, что измеряется в случае длины. Высота – это мера вертикального расстояния до объекта. то есть мера объекта сверху вниз. Высота объекта обычно называется высотой. В случае трехмерных объектов, таких как деревья, здания и горы, измерение их высоты является одним из ключевых факторов, придающих им большее значение. Его также можно определить как измерение вертикального расстояния объекта от его нижней точки до самой высокой точки. Рост также является одной из величин, измеряемых для определения физической подготовки человека. Высота имеет те же единицы измерения, что и длина. Измеряется в метрах, дюймах, футах и ​​милях.

Разница между длиной и высотой

• Длина — это измерение расстояния объекта от одного конца до другого. Высота – это мера расстояния между основанием и вершиной объекта.

• Высота определяет степень высоты объекта, а длина является индикатором длины объекта.

• Длина измеряется по горизонтали и обозначается по оси X в декартовой плоскости, тогда как высота измеряется по вертикали и обозначается по оси Y в декартовой плоскости.

• Длина — это самая длинная грань объекта, тогда как высота — это сторона объекта в нормальной ориентации, но направленная вверх.

Сходство длины и высоты

• И длина, и высота имеют одни и те же единицы измерения.

• Длина и высота измеряются в единицах измерения расстояния.

• Единицы измерения длины и роста: футы, дюймы, ярды, метры.

Забавные факты

• Длина слова происходит от слова lengthe в среднеанглийском языке, что буквально означает свойство быть длинным или вытянутым в определенном направлении.

• Длина также считается свойством времени, потому что определенное количество времени имеет тенденцию иметь длину.

• Метрическая система измерения длины впервые была принята во Франции.

• Международная система единиц предписала «метр» в качестве стандартной единицы, принятой во всем мире для измерения длины и высоты или любого вида расстояния.

• Рост человека равен размаху рук, вытянутых в стороны.

• Высота над уровнем моря называется высотой.

• Разница между длиной и шириной заключается в том, что длина — это самая длинная сторона объекта, а ширина — более короткая сторона. Например, в прямоугольнике со сторонами 4 см и 9 см ширина равна 4 см, а длина равна 9 см.

Веданту стремится сделать будущее своих учеников ярким и полным возможностей. Предоставляя бесплатный доступ к огромному количеству учебных материалов, Vedantu позволяет учащимся просматривать различные предметы и помогает лучше понять сложные темы. Он разбивает сложные понятия на гораздо более простое и увлекательное содержание, так что учащемуся становится легко понять его, а также не терять концентрацию во время учебы. Будь то решение сомнений, постановка вопросов или пересмотр содержания, Веданту гарантирует, что академические потребности студента будут удовлетворены, предоставляя им доступ к множеству услуг, таких как виртуальное обучение в присутствии опытного преподавательского состава, решение сомнений с помощью экспертов.

В градусах

Вы не задавались вопросом, почему в градусах измеряют настолько не связанные между собой вещи — углы и температуру? Скажем больше, градусами меряют плотность жидкости и качество молока и (да, мы не забыли) долю спирта. Gradus — латинское слово, означающее шаг, ступень или степень. Иными словами, у градуса, в отличие от метрических единиц измерения, нет конкретной величины, и он не соответствует никакому эталону, привязанному к тем или иным физическим параметрам. При этом размер градуса можно всякий раз устанавливать по-разному, и ничего не изменится. Кому и зачем могла понадобиться такая единица измерения? Давайте разбираться.

Углы

Со школы все мы знаем, что в окружности содержится ровно 360 градусов. Но почему именно 360? Ответить на этот вопрос можно по-разному.

По одной версии, древние астрономы, скорее всего персы и каппадокийцы, заметили, что солнце оказывается в одной и той же точке небосвода лишь один раз в 365 дней. Они объяснили это тем, что солнце совершает полный оборот вокруг земли за год и возвращается в исходную точку.

Возможно, они округлили число 365, а может, и просто пропустили пять дней, но в итоге заключили: солнце сдвигается на одну трехсот шестидесятую долю окружности в день.

Другая теория объясняет 360-градусный полный угол совсем другими причинами. Шумеры и вавилоняне пользовались (не самой удобной) шестидесятеричной системой счисления. Большие числа они считали шестидесятками (например, число 1020 это 17 шестидесятков).

Вписав в окружность правильный шестиугольник, вавилоняне заметили, что в круг отлично помещаются шесть равносторонних треугольников. Каждому треугольнику они приписывали по шестидесятку. В итоге, шесть треугольников по шестидесятку дали известные 360 градусов.

Шестидесятизначная система объясняет и деление градуса на 60 минут (‘) и 3600 секунд (“). Знак, которым мы сегодня обозначаем градусы (°), впервые был использован в математике в 1569 году, по аналогии с верхним штриховым индексом для минут и секунд.

Независимо от истории, полный угол в 360 градусов — лучший вариант из возможных, ведь 360 — сверхсоставное число (натуральное число, с бoльшим числом делителей, чем все предыдущие). Оно делится на все числа от 1 до 10 за исключением семи, а еще и на: 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 и 180. На такое количество частей вы можете разделить окружность простым вычислением в уме.

Геометрические градусы прошли проверку временем и оказались самой удобной единицей измерения углов. Но есть и другие.

Так, если у вас есть инженерный калькулятор, то, переключаясь между градусами (DEG) и радианами (RAD), вы, возможно, попадали в режим GRAD — это исчисление в градах (или гонах). Один град — это одна сотая часть прямого угла, а значит, полный угол равен 400 град.

Такая единица измерения появилась во времена Французской революции вместе с метрической системой и быстро всех запутала. Кроме проблем с названием, — в некоторых странах grad обозначали привычные градусы, — возникли трудности и с вычислением.

Например, как известно, углы равностороннего треугольника равны друг другу и составляют 60 градусов. Переведем это в грады — 66 целых и шесть в периоде, ужасно неудобно.

В отличие от метрической системы, без которой трудно представить нашу жизнь, вычисления в градах оказались не самыми простыми, сейчас их практически нигде не используют.

Но свой след в истории они оставили — именно благодаря градам стоградусная температурная шкала получила название шкалы Цельсия.

Температура

Как ни странно, температурные шкалы появились гораздо раньше термометров. Создателем первой шкалы можно считать Галена — древнеримского медика, хирурга и философа.

Гален утверждал, что существует некая нейтральная температура — он определил ее как температуру смеси одинакового количества кипящей воды и льда. От нейтральной температуры он отсчитал по четыре шага (ступени) в сторону тепла и холода.

Шведский теолог и физик Иоганн Хаслер на основании работ Галена построил таблицу температуры, опубликованную на страницах труда «De Logistica Medica problematis novem» в 1578 году. Он отложил те же четыре шага тепла и холода по разные стороны от нейтральной температуры, а также заметил, что шкалу можно заменить на последовательность чисел от единицы до девяти.

В таблице значения температуры называются просто «номерами», но в тексте Хаслер использует слово «градус». Нейтральная температура в его системе будет соответствовать числу пять.

Первое устройство, похожее на современный термометр, создал Галилео Галилей приблизительно в 1597 году. Вслед за этим ученые почти 200 лет искали универсальную, удобную и точную шкалу температур.

Например, в 1701 году Исаак Ньютон в опубликованной анонимно работе (в ней он уже использует слово gradus для обозначения единиц тепла) предлагат 18 реперных точек, часть из которых формирует геометрическую, а другая — арифметическую прогрессии. В градусах Ньютона точка замерзания воды равна 0 градусов, а температура человеческого тела — 12 градусов.

В том же году известный астроном Оле Ремер (первым измеривший скорость света) предложил свой вариант. Нулем своей шкалы он выбрал температуру соленой воды со льдом, а вот температуру кипения воды — снова это магическое число — он обозначил как 60 градусов. Эту шкалу позаимствовал знакомый Ремера, Габриэль Фаренгейт.

Фаренгейт избавился от неудобных дробей, возникавших при измерении температуры человеческого тела (22,5 градуса) и замерзания пресной воды (7,5 градуса), заменив их на 24 и 8 градусов соответственно. Вода стала кипеть при 64 градусах Фаренгейта.

Некоторое время он производил термометры с такой шкалой, но потом, в 1724 году, умножил ее на 4. По одной версии, Фаренгейт просто хотел сделать шкалу точнее, поэтому увеличил количество рисок на градуснике, по другой — он сделал это, чтобы увеличение температуры на один Фаренгейт приводило к увеличению объема ртути ровно на одну десятитысячную.

Так появилась знаменитая шкала Фаренгейта, которой люди пользуются и сегодня. Некоторое время она была лучшей из возможных, но затем ей смену пришел более совершенный вариант. Хотя жители США навряд ли согласились бы с нами.

Жозеф Николя Делиль пошел несколько другим путем. Он выбрал всего одну реперную точку, температуру кипения воды, и обозначил ее за ноль. Градуировать шкалу он решил по расширению ртути в термометре — понижение температуры, приводящее к уменьшению объема ртути на одну стотысячную, Делиль обозначил за один градус.

Температура замерзания воды в таком случае — 2400 градусов, шкала оказалась излишне мелкой, поэтому в 1738 году Иосия Вейтбрехт изменил ее. Он задал температуру замерзания воды в 150 градусов.

Такие термометры стали удобными и получили широкое распространение. Ими примерно сто лет пользовались в России, Ломоносов использовал термометр Делиля (правда, перевернув шкалу) в своих опытах.

Только в этот момент на сцене появляется Андерс Цельсий. В 1741 году он наносит на термометр Делиля свою шкалу — 0 градусов в точке кипения и 100 градусов в точке замерзания воды. Перевернули шкалу (скорее всего, это сделал Карл Линней) через год после смерти Цельсия (он умер в 1744 году от туберкулеза).

Кстати, к 1745 году уже существовал термометр с нулем в точке замерзания и сотней градусов в точке кипения воды. Он называется термометром Лиона, его изобретатель — французский физик Жан-Пьер Кристен.

Заслуга Цельсия в другом — он провел эксперименты, продемонстрировавшие, что температура плавления льда практически не зависит от давления. Более того, он с высокой точностью определил, как температура кипения воды изменяется в зависимости от атмосферного давления.

Цельсий предложил калибровать ноль своей температурной шкалы (в тот момент, точку кипения воды) по атмосферному давлению, определить которое можно по среднему уровню моря.

Эта калибровка наконец сделала термометры по-настоящему универсальными. Вероятно, именно поэтому прогноз погоды, который вы смотрели сегодня утром, был в градусах Цельсия.

Но стоградусную температурную шкалу назвали в честь Цельсия только в 1948 году. До этого она так и называлась — стоградусной температурной (centigrade temperature scale). Но во французском (где использовали грады) термин centigrade уже был занят в геометрии.

Чтобы избежать путаницы, Международное бюро мер и весов переименовало шкалу в честь Андерса Цельсия. Так градусы температуры стали градусами Цельсия.

Шкала Цельсия оказалась идеальной для применения в быту, но физики остались ею недовольны.

Привязка реперных точек к свойствам воды очень удобна для экспериментов, ведь воду можно найти практически где угодно. А вот для теоретических вычислений, например, связи энергии молекул с температурой, требовалось найти абсолютную шкалу.

Ее создал Уильям Томсон в 1848 году — нулевая точка его шкалы соответствует абсолютному нулю, а цена деления равна градусу Цельсия. Новую шкалу назвали в честь Томсона (ставшего лордом Кельвином), а градус Цельсия в ней превратился в Кельвин. Но почему Кельвин — это не градус?

Дело в том, что шкала Кельвина — это шкала абсолютной температуры. Все шкалы, о которых шла речь выше — произвольные, ведь для их градуировки были выбраны произвольные точки.

Шкалу Кельвина отсчитывают от абсолютного нуля — минимального предела температуры во Вселенной, она тесно связана с энергией молекул через постоянную Больцмана. Чтобы подчернуть, что речь идет об абсолютной температуре, Кельвин не называют градусом.

Цвет

Получается, температура в Кельвинах нужна только физикам? Нет, вы наверняка пользовались Кельвинами в бытовом отделе супермаркета, просто не подозревали об этом.

Выбирая оттенок света лампочки, мы обращаем внимание на цветовую температуру (например, 2800К), она измеряется в Кельвинах.

Такой свет будет испускать абсолютно черное тело, нагретое до указанной температуры. Так цвет измеряют температурой, а не в длинной волны, ведь излучение нагретого тела, как и лампочки, не монохроматично (состоит из множества частот).

Алкоголь

Из бытового отдела переместимся в отдел алкоголя и снова увидим там градусы. А точнее — объемные проценты, называемые градусами.

В России крепость алкогольных напитков в градусах Гесса стали измерять с 1847 года, когда академик Герман Гесс выпустил книгу «Учет спиртов».

В этой книге Гесс приводил спиртовые таблицы и инструкции по использованию спиртомера. А сам спиртомер Гесса показывал «не содержание алкоголя, а число ведер воды, имеющей температуру 12,44 Р[еомюра], которое надобно добавить к 100 ведрам испытываемого спирта, чтобы получить полугар, то есть такую смесь, которая содержит 38% алкоголя». Например, к 100 ведрам водки нужно добавить примерно пять ведер воды для получения полугара.

Официально перестали оценивать крепость в градусах Гесса уже в 1863 году, когда на их место пришли объемные проценты — отношение объема этилового спирта к общему объему напитка. А слово «градус» осталось.

Кстати, английское degree (градус) не имеет никакого отношения к алкоголю, а вот во Франции скажут, что в коньяке 40 градусов Гей-Люссака.

Плотность, кислотность молока

До середины XX века в химии и фармакологии широко использовались градусы Боме, предложенные Антуаном Боме в 1768 году для измерения плотности жидкости.

В физике и химии градусы Боме были вытеснены нынешней единицей СИ — килограммом на метр в кубе, но их продолжают использовать в пивоварении, переработке сахарной свеклы и других областях.

Кислотность молока также измеряют в градусах — в градусах Тернера. Это число миллилитров децинормального (0,1 н.) раствора гидроксида натрия, необходимое для нейтрализации 100 миллилитров молока. Молоко высшего сорта должно обладать градусом Тернера в пределах от 16 до 18.

Олег Макаров

Градусная мера угла равна сумме. Определение

Градусная мера угла – это положительное число, показывающее сколько раз градус и его части укладываются в угле.

У слова «угол» есть разные толкования. В геометрии углом называют часть плоскости, ограниченную двумя лучами, которые выходят из одной точки, так называемой вершины. Когда рассматриваются прямые, острые и развёрнутые углы, имеются ввиду именно геометрические углы.

Как и любые геометрические фигуры, углы можно сравнивать. В области геометрии описать, что один угол большего или меньшего размера по сравнению с другим, сегодня несложно.

За единицу измерения углов взят градус – 1/180 часть развернутого угла.

У каждого угла есть градусная мера, больше нуля. Развёрнутый угол соответствует 180 градусам. Градусная мера угла ровна сумме всех градусных мер углов, на которые можно разбить исходный угол лучами.

От любого луча к заданной плоскости можно отложить угол с градусной мерой не более 180 градусов. Мера плоского угла, являющаяся частью полуплоскости – это градусная мера угла, имеющая аналогичные стороны. Меру плоскости угла, в составе которого находится полуплоскость, обозначают числом 360 – ?, где? является градусной мерой дополнительного плоского угла.

Прямой угол всегда равен 90 градусам, тупой – менее 180 градусам, но более 90, острый – не превышает 90 градусов.

Кроме градусной меры угла существует радианная. В планиметрии длину дуги окружности обозначают как L, радиус – r, а соответствующему центральному углу досталось обозначение – ?. . Соотношение этих параметров выглядит так: ? = L/r.

Градусная мера угла. Радианная мера угла. Перевод градусов в радианы и обратно.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…»)

В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом «Пи», которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да…

Стандартные задания по тригонометрии с числом «Пи» решаются неплохо. Зрительная память выручает. А вот любое отклонение от шаблона — валит наповал! Чтобы не свалиться — понимать надо. Что мы с успехом сейчас и сделаем. В смысле — всё поймём!

Итак, в чём считаются углы? В школьном курсе тригонометрии используются две меры: градусная мера угла и радианная мера угла . Разберём эти меры. Без этого в тригонометрии — никуда.

Градусная мера угла.

К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили… Да и в жизни частенько встречаемся с фразой «повернул на 180 градусов», например. Градус, короче, штука простая…

Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то…

Градусы придумали в Древнем Вавилоне. Давненько это было… Веков 40 назад… И придумали просто. Взяли и разбили окружность на 360 равных частей. 1 градус — это 1/360 часть окружности. И всё. Могли разбить на 100 частей. Или на 1000. Но разбили на 360. Кстати, почему именно на 360? Чем 360 лучше 100? 100, вроде, как-то ровнее… Попробуйте ответить на этот вопрос. Или слабо против Древнего Вавилона?

Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак… Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно. .. Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя… В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926… раз.

Это и есть число «Пи». Вот уж лохматое, так лохматое. После запятой — бесконечное число цифр без всякого порядка… Такие числа называются иррациональными. Это, кстати, и означает, что из равных кусочков окружности диаметр ровно не сложить. Никогда.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в «Пи» раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

Где L — длина окружности, а d — её диаметр.

В геометрии пригодится.

Для общего образования добавлю, что число «Пи» сидит не только в геометрии… В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

Но вернёмся к градусам. Вы сообразили, почему в Древнем Вавилоне круг разбили на 360 равных частей? А не на 100, к примеру? Нет? Ну ладно. Выскажу версию. У древних вавилонян не спросишь… Для строительства, или, скажем, астрономии, круг удобно делить на равные части. А теперь прикиньте, на какие числа делится нацело 100, и на какие — 360? И в каком варианте этих делителей нацело — больше? Людям такое деление очень удобно. Но…

Как выяснилось много позже Древнего Вавилона, не всем нравятся градусы. Высшей математике они не нравятся… Высшая математика — дама серьёзная, по законам природы устроена. И эта дама заявляет: «Вы сегодня на 360 частей круг разбили, завтра на 100 разобьёте, послезавтра на 245… И что мне делать? Нет уж…» Пришлось послушаться. Природу не обманешь…

Пришлось ввести меру угла, не зависящую от человеческих придумок. Знакомьтесь — радиан!

Радианная мера угла.

Что такое радиан? В основе определения радиана — всё равно окружность. Угол в 1 радиан, это угол, который вырезает из окружности дугу, длина которой (L ) равна длине радиуса (R ). Смотрим картинки.

Маленький такой угол, почти и нет его… Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан . L = R

Чувствуете разницу?

Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

Да! Этот хвостик — 0,1415926…. Здравствуй, число «Пи», мы тебя ещё не забыли!

Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926… радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926… неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

А вот в Интернете число

писать неудобно. .. Поэтому я в тексте пишу его по имени — «Пи». Не запутаетесь, поди?…

Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

Или точное равенство:

Определим, сколько градусов в одном радиане. Как? Легко! Если в 3,14 радианах 180° градусов, то в 1 радиане в 3,14 раз меньше! То есть, мы делим первое уравнение (формула — это тоже уравнение!) на 3,14:

Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

Но главное умение этой темы — перевод градусов в радианы и обратно.

Если угол задан в радианах с числом «Пи», всё очень просто. Мы знаем, что «Пи» радиан = 180°. Вот и подставляем вместо «Пи» радиан — 180°. Получаем угол в градусах. Сокращаем, что сокращается, и ответ готов. Например, нам нужно выяснить, сколько градусов в угле «Пи»/2 радиан ? Вот и пишем:

Или, более экзотическое выражение:

Легко, верно?

Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

Смотрим на формулу и соображаем, что если 180° = «Пи» радиан, то 1° в 180 раз меньше. Или, другими словами, делим уравнение (формула — это тоже уравнение!) на 180. Представлять «Пи» как 3,14 никакой нужды нет, его всё равно всегда буквой пишут. Получаем, что один градус равен:

Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

Или, аналогично:

Как видите, в неспешной беседе с лирическими отступлениями выяснилось, что радианы — это очень просто. Да и перевод без проблем… И «Пи» — вполне терпимая штука… Так откуда путаница!?

Вскрою тайну. Дело в том, что в тригонометрических функциях значок градусов — пишется. Всегда. Например, sin35°. Это синус 35 градусов . А значок радианов (рад ) — не пишется! Он подразумевается. То ли лень математиков обуяла, то ли ещё что… Но решили не писать. Если внутри синуса — котангенса нет никаких значков, то угол — в радианах ! Например, cos3 — это косинус трёх радианов .

Это и приводит к непоняткам… Человек видит «Пи» и считает, что это 180°. Всегда и везде. Это, кстати, срабатывает. До поры до времени, пока примеры — стандартные. Но «Пи» — это число! Число 3,14, а никакие не градусы! Это «Пи» радиан = 180°!

Ещё раз: «Пи» — это число! 3,14. Иррациональное, но число. Такое же, как 5 или 8. Можно, к примеру, сделать примерно «Пи» шагов. Три шага и ещё маленько. Или купить «Пи» килограммов конфет. Если продавец образованный попадётся…

«Пи» — это число! Что, достал я вас этой фразой? Вы уже всё давно поняли? Ну ладно. Проверим. Скажите-ка, какое число больше?

Или, что меньше?

Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать…

Если вы тоже в ступор впали, вспоминаем заклинание: «Пи» — это число! 3,14. В самом первом синусе четко указано, что угол — в градусах ! Стало быть, заменять «Пи» на 180° — нельзя! «Пи» градусов — это примерно 3,14°. Следовательно, можно записать:

Во втором синусе обозначений никаких нет. Значит, там — радианы ! Вот здесь замена «Пи» на 180° вполне прокатит. Переводим радианы в градусы, как написано выше, получаем:

Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05° .

Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

Потренируемся в обращении с мерами угла.

Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

Да! Это оси системы координат! Если смотреть по тригонометрическому кругу, то подвижная сторона угла при этих значениях точно попадает на оси . Эти значения нужно знать железно. И угол 0 градусов (0 радиан) я отметил не зря. А то некоторые этот угол никак на круге найти не могут… И, соответственно, в тригонометрических функциях нуля путаются… Другое дело, что положение подвижной стороны в нуле градусов совпадает с положением в 360°, так совпадения на круге — сплошь и рядом.

Во второй строчке — тоже углы специальные… Это 30°, 45° и 60°. И что в них такого специального? Особо — ничего. Единственное отличие этих углов от всех остальных — именно про эти углы вы должны знать всё . И где они располагаются, и какие у этих углов тригонометрические функции. Скажем, значение sin100° вы знать не обязаны. А sin45° — уж будьте любезны! Это обязательные знания, без которых в тригонометрии делать нечего… Но об этом подробнее — в следующем уроке.

А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Получилось? Тогда можно считать, что перевод градусов в радианы и обратно — уже не ваша проблема.) Но перевод углов — это первый шаг к постижению тригонометрии. Там же ещё с синусами-косинусами работать надо. Да и с тангенсами, котангенсами тоже…

Второй мощный шаг — это умение определять положение любого угла на тригонометрическом круге. И в градусах, и в радианах. Про это самое умение я буду вам во всей тригонометрии занудно намекать, да…) Если вы всё знаете (или думаете, что всё знаете) про тригонометрический круг, и отсчёт углов на тригонометрическом круге, можете провериться. Решите эти несложные задания:

1. В какую четверть попадают углы:

45°, 175°, 355°, 91°, 355° ?

Легко? Продолжаем:

2. В какую четверть попадают углы:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Тоже без проблем? Ну, смотрите…)

3. Сможете разместить по четвертям углы:

Смогли? Ну вы даёте..)

4. На какие оси попадёт уголок:

и уголок:

Тоже легко? Хм…)

5. В какую четверть попадают углы:

И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю…)

6. Определить, в какую четверть попадают углы:

1, 2, 3 и 20 радианов.

Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

Если же вы абсолютно уверены в своих ответах и вас не интересуют простые и безотказные способы работы с радианами — можете не посещать 555. Не настаиваю.)

Хорошее понимание — достаточно веская причина, чтобы двигаться дальше!)

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Как найти градусную меру угла?

Для многих в школе геометрия — это настоящее испытание. Одной из базовых геометрических фигур является угол. Под этим понятием подразумевают два луча, которые берут начало в одной точке. Для измерения значения (величины) угла используют градусы или радианы. Как найти градусную меру угла, вы узнаете из нашей статьи.

Виды углов

Допустим, у нас есть угол. Если мы его разложим в прямую, тогда его величина будет равняться 180 градусам. Такой угол называют развернутым, а одним градусом считают 1/180 его часть.

Кроме развернутого угла различают еще острые (меньше 90 градусов), тупые (больше 90 градусов) и прямые (равные 90 градусам) углы. Эти термины используют для характеристики величины градусной меры угла.

Измерение угла

Величину угла измеряют с помощью транспортира. Это специальный прибор, на котором полукруг уже разбит на 180 частей. Приложите транспортир к углу так, чтобы одна из сторон угла совпадала с нижней частью транспортира. Второй луч должен пересекать дугу транспортира. Если этого не происходит, уберите транспортир и с помощью линейки удлините луч. Если угол «открывается» вправо от вершины, считывают его значение по верхней шкале, если влево — по нижней.

В системе СИ принято измерять величину угла в радианах, а не в градусах. В развернутом угле помещается всего 3,14 радиана, поэтому эта величина неудобна и на практике почти не применяется. Именно поэтому необходимо знать, как перевести радианы в градусы. Для этого существует формула:

• Градусы = радианы/π х 180

Например, величина угла равняется 1,6 радиана. Переводим в градусы: 1,6/3,14 * 180 = 92

Свойства углов

Теперь вы знаете, как измерять и пересчитывать градусные меры углов. Но для решения задач необходимо еще знать свойства углов. На сегодняшний день сформулированы следующие аксиомы:

• Любой угол можно выразить в градусной мере, большей нуля. Величина развернутого угла — 360.
• Если угол состоит из нескольких углов, то его градусная мера равняется сумме всех углов.
• В заданную полуплоскость от любого луча можно построить угол заданной величины, меньший 180 градусов, причем только один.
• Величины равных углов одинаковы.
• Чтобы сложить два угла, надо сложить их величины.

Понимание этих правил и умение измерять углы — ключ к успешному изучению геометрии.

Углом называется фигура, которая состоит из точки — вершины угла и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла (рис. 14). Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми, то угол называется развернутым.

Угол обозначается либо указанием его вершины, либо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменяют

символом Угол на рисунке 14 можно обозначить тремя способами:

Говорят, что луч с проходит между сторонами угла если он исходит из его вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла.

На рисунке 15 луч с проходит между сторонами угла так как он пересекает отрезок

В случае развернутого угла любой луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон, проходит между сторонами угла.

Углы измеряются в градусах. Если взять развернутый угол и разделить его на 180 равных углов то градусная мера каждого из этих углов называется градусом.

Основные свойства измерения углов выражены в следующей аксиоме:

Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла то угол равен сумме углов

Градусная мера угла находится при помощи транспортира.

Угол, равный 90°, называется прямым углом. Угол, меньший 90°, называется острым углом. Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Сформулируем основное свойство откладывания углов.

От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.

Рассмотрим полупрямую а. Продлим ее за начальную точку А. Полученная прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. На рисунке 16 показано, как с помощью транспортира отложить от полупрямой а в верхнюю полуплоскость угол с данной градусной мерой 60°.

Т. 1. 2. Если от данной полупрямой отложить в одну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отличная от данной полупрямой, проходит между сторонами большего угла.

Пусть — углы, отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и пусть угол меньше угла . В теореме 1. 2 утверждается, что луч проходит между сторонами угла (рис. 17).

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из его вершины, проходит между сторонами и делит угол пополам. На рисунке 18 луч — биссектриса угла

В геометрии существует понятие плоского угла. Плоским углом называется часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла. Существуют два плоских угла с данными сторонами. Они называются дополнительными. На рисунке 19 заштрихован один из плоских углов со сторонами а и

Углы измеряют в разных единицах измерениях. Это могут быть градусы, радианы. Чаще всего углы измеряют в градусах. (Не следует путать этот градус с мерой измерения температуры, где также используется слово «градус).

1 градус — это угол, который равен 1/180 части развернутого угла. Другими словами, если взять развернутый угол и поделить его на 180 равных между собой частей-углов, то каждый такой маленький угол будет равен 1 градусу. Размер всех других углов определяется тем, сколько таких маленьких углов можно внутри измеряемого угла уложить.

Обозначается градус знаком °. Это не ноль и не буква О. Это такой специальный, введенный для обозначения градуса, символ.

Таким образом, развернутый угол равен 180°, прямой угол равен 90°, острые углы имеют размер меньший, чем 90°, а тупые — больший, чем 90°.

В метрической системой для измерения расстояния используется метр. Однако используются и более крупные и мелкие единицы. Например, сантиметр, миллиметр, километр, дециметр. По аналогии с этим в градусной мере углов также выделяют минуты и секунды.

Одна градусная минута равна 1/60 градуса. Обозначается она одним знаком «.

Одна градусная секунда равна 1/60 минуты или 1/3600 градуса. Обозначается секунда двумя знаками «, то есть «».

В школьной геометрии градусные минуты и секунды используются редко, однако надо уметь понимать, например, такую запись: 35°21″45″». Это значит, что угол равен 35 градусов + 21 минута + 45 секунд.

С другой стороны, если угол нельзя измерить точно лишь в целых градусах, то не обязательно вводить минуты и секунды. Достаточно использовать дробные значения градуса. Например, 96,5°.

Понятно, что минуты и секунды можно перевести в градусы, выразив их в долях градуса. Например, 30″ равно (30/60)° или 0,5°. А 0,3° равно (0,3 * 60)» или 18″. Таким образом, использование минут и секунд — это лишь вопрос удобства.

Примечание: Градусы и радианы используются для измерения углов. Радиан равен величине, на которую должен быть открыт угол, чтобы захватить дугу окружности круга, длина которой равна радиусу круга.

Недавно обновленные страницы

Рассчитайте изменение энтропии, связанное с преобразованием химии класса 11 JEE_Main

Закон, сформулированный доктором Нернстом, является первым законом термодинамики 11 класса химии JEE_Main

Для реакции при rm0rm0rmC и нормальном давлении А класс 11 химии JEE_Main

Двигатель, работающий между rm15rm0rm0rmC и rm2rm5rm0rmC класс 11 химии JEE_Main

Для реакции rm2Clg в rmCrmlrm2rmg признаки перехода 11 класса JEE_Main

3 жидкая вода класс 11 химия JEE_Main

Рассчитать изменение энтропии, связанное с конверсией 11 класс химия JEE_Main

Закон, сформулированный доктором Нернстом, является первым законом термодинамики 11 класс химии JEE_Main

Для реакции при rm0rm0rmC и нормальном давлении А класс 11 химии JEE_Main

Двигатель, работающий между rm15rm0rm0rmC и rm2rm5rm0rmC класс 11 химии JEE_Main

Для реакции rm2Clg в rmCrmlrm2rmg знаки перехода 11 класса 9 JEE_Main жидкой воды, класс 11, химия JEE_Main

Тенденции сомнений

Студенты также читают

Степень — определение, символ и преобразование степени в радиан

градусов в Radian

Radian меру

Преобразование рупий в Paise

Степень полиномиального

угол 180 градусов

45 -градусный угол

и степень дифференциальных уравнений

.

Геометрия 9 класс. Решение задач. Подготовка к ЕГЭ

Похожие презентации:

Решение геометрических задач при подготовке к ЕГЭ

Решение геометрических задач при подготовке к ГИА

Задачи по геометрии в ГИА. К урокам геометрии в 9 классе

Подготовка к ЕГЭ по геометрии

Задачи по геометрии. (9 класс)

Модуль геометрия. ОГЭ в 9 классе

Зачеты по геометрии 9 класс

Вводное повторение. Геометрия 9 класс

Вводное повторение, геометрия, 9 класс

Подготовка к ОГЭ по геометрии

— Проверить владение понятиями треугольник,
четырёхугольник, многоугольник, центральный и
вписанный угол, окружность, знание их свойств;
—
рассмотреть задачи на вычисление величин углов и
длин отрезков, на вычисление площадей фигур, на
определение характеристик геометрических фигур,
нарисованных на квадратной решётке;
— продолжить формирование коммуникативных умений,
работая в сменных группах.
—
продолжить формирование грамотной математической
речи.

4. 1 задание. «Разминка» Установите, какие утверждения верны , какие- неверны. Верно- 1, неверно — 0

5. 2 задание. Фигуры на квадратной решётке.

6. 3. Работа в группах

7. Работа в группах

8. Работа в группах

9. Работа в группах

10. Работа в группах

English     Русский Правила

Геометрические построения с помощью циркуля и линейки

• Поддержка
• FAQ

> 120 задач возрастающей сложности

> 11 обучающих уровней

> 10 инструментов для построения

> Автоматическая проверка решения

> Динамическое изменение чертежа

> Подсказки и режим исследования

Euclidea — это геометрические построения циркулем и линейкой в игровой форме. Здесь вам не надо беспокоиться про аккуратность чертежа, Euclidea сделает это за вас. Попробуйте решить задачи за минимальное количество ходов, чтобы собрать все звезды.

Начните изучение геометрии с самых основ. Каждый шаг – это отдельная задача, требующая размышления и подготовки. Опираясь на уже решенные задачи, вы продвигаетесь вперед и постепенно становитесь настоящим Гуру Геометрии.

Геометрия в движении

В отличие от чертежа на бумаге, в Euclidea построение можно двигать. Это дает возможность наглядно изучить связи между элементами чертежа и проверить правильность решения задачи.

Серединный
перпендикуляр

Перпендикуляр

Биссектриса

Параллельная
прямая

Открывайте новые инструменты

В Euclidea базовыми инструментами являются линейка и циркуль. С их помощью вы можете провести прямую через две точки и построить окружность с заданным центром. В процессе игры вы научитесь строить биссектрису, перпендикуляр и другие объекты, которые будут автоматически добавлены к доступным инструментам. Использование новых инструментов сэкономит время и позволит не загромождать чертеж лишними линиями.

В Euclidea базовыми инструментами являются линейка и циркуль. С их помощью вы можете провести прямую через две точки и построить окружность с заданным центром. В процессе игры вы научитесь строить биссектрису, перпендикуляр и другие объекты, которые будут автоматически добавлены к доступным инструментам. Использование новых инструментов сэкономит время и позволит не загромождать чертеж лишними линиями.

Серединный
перпендикуляр

Перпендикуляр

Биссектриса

Параллельная
прямая

Геометрические построения с помощью циркуля и линейки

Пифагория: Геометрия на клетчатом поле

Меньше теорем, больше динамики. Отлично развивает геометрическую интуицию и воображение. Для всех возрастов.

Пифагория: Геометрия на клетчатом поле

Меньше теорем, больше динамики. Отлично развивает геометрическую интуицию и воображение. Для всех возрастов.

Пифагория 60°: Геометрия на треугольной сетке

Продолжение классической Пифагории. Треугольники требуют еще больше выдумки, чем квадраты.

Пифагория 60°: Геометрия на треугольной сетке

Продолжение классической Пифагории. Треугольники требуют еще больше выдумки, чем квадраты.

Tchisla: Динамичная головоломка с числами

Tchisla — захватывающая головоломка с числами. Исследуйте волшебный мир чисел и тренируйте способности устного счёта.

Tchisla: Динамичная головоломка с числами

Tchisla — захватывающая головоломка с числами. Исследуйте волшебный мир чисел и тренируйте способности устного счёта.

XSection: Сечения многогранников

Обучение построению сечений + много задач для тренировки.

XSection: Сечения многогранников

Обучение построению сечений + много задач для тренировки.

QuickRoute: Поиск кратчайшего пути

Реализация задачи коммивояжера по поиску кратчайшего пути (TSP). Для терпеливых и упорных.

QuickRoute: Поиск кратчайшего пути

Реализация задачи коммивояжера по поиску кратчайшего пути (TSP). Для терпеливых и упорных.

Euclidea: Sketches — Интерактивный геометрический редактор

Создавайте чертежи, исследуйте построения. Отличное дополнение к головоломкам Euclidea.

Euclidea: Sketches — Интерактивный геометрический редактор

Создавайте чертежи, исследуйте построения. Отличное дополнение к головоломкам Euclidea.

Как решить проблемы с геометрией с участием прямоугольников и треугольников

Ключевые члены

O Точка

O Линия

O СЕГМИГЕР

O BRAY

O Угол

O Прямоугольник

O Perimeter

o Угол

O Прямоугольник

O Perimeter

o Угол

o прямоугольный Площадь

o Квадрат

o Треугольник

Цели

o Познакомиться с некоторыми основными геометрическими фигурами

o Вычислить площадь прямоугольника

o Вывести формулу площади треугольника

Геометрия изучает точки, линии, формы, углы и отношения между ними. Мы рассмотрим некоторые простые формы, такие как треугольники и прямоугольники, и обсудим, как вычислить некоторые их свойства.

Элементы геометрии

Прежде чем рассматривать некоторые более сложные фигуры, мы должны иметь представление о некоторых терминах, которые используются при изучении геометрии. Несколько основных геометрических понятий включают точки, линии и углы. А точка — это, по сути, местоположение — оно часто изображается с помощью маленькой точки, и оно представляет собой местоположение в пространстве и не имеет ни длины, ни ширины, ни глубины. Несколько точек показаны ниже.

Линия в геометрии имеет почти те же характеристики, что и в реальной жизни (и в алгебре). Геометрическая линия прямая и бесконечно простирается в противоположных направлениях. Если две прямые пересекаются в одной точке, то говорят, что их 9.0003 пересекаются. Пример строки показан ниже; обратите внимание, что на концах линии есть стрелки, указывающие на то, что линия продолжается бесконечно.

Конечная часть прямой называется отрезком . Отрезки линий имеют длины, которые являются конечными (ограниченными) числами, в отличие от линий, длина которых бесконечна (неограничена). Отрезок линии показан ниже; концы отрезка показаны точками.

А луч — это часть линии только с одной конечной точкой, как показано ниже. Его длина по-прежнему бесконечна, но у него есть один опознаваемый конец.

При пересечении двух прямых, отрезков, лучей или некоторых их комбинаций они образуют угол . Пример угла показан ниже.

Углы можно измерять в градусах (°) в диапазоне от 0° до 360°. Некоторые примеры угловых измерений показаны ниже.

Используя эти основные геометрические термины и фигуры, мы можем теперь перейти к изучению некоторых более сложных фигур.

Прямоугольники

Прямоугольник представляет собой особый вид замкнутой геометрической фигуры с четырьмя сторонами; пример прямоугольника показан ниже.

Прямоугольники можно описать двумя измерениями: длиной (которую мы можем назвать l ) и ширину (которую мы можем назвать w ). Противоположные стороны прямоугольника равны по длине, а все «внутренние» углы равны 90°; таким образом, мы можем нарисовать прямоугольник, как показано ниже.

Одной из характеристик прямоугольников, которую мы можем легко вычислить, является его периметр, который представляет собой сумму длин всех сторон. Периметр P следующий:

P = l + w + l + w

Мы можем упростить это выражение, превратив сложение одинаковых членов в произведение: = 2 l + 2 w

Например, рассмотрим прямоугольник ниже.

Поскольку противоположные стороны равны по длине, у прямоугольника есть две стороны длиной 6 единиц и две стороны длиной 3 единицы. Таким образом, периметр будет следующим:

Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс Pre-Algebra?

Периметр 18 единиц. (Обратите внимание, что «единицей» могут быть дюймы, футы, метры или любой другой тип измерения длины. Если единица измерения указана, используйте ее; в противном случае достаточно общего термина «единицы».)

Практическая задача : Вычислите периметр прямоугольника ниже. Все измерения указаны в футах.

Решение : Напомним, что противоположные стороны прямоугольника равны по длине. Таким образом, этот прямоугольник имеет две стороны длиной 10 футов и две стороны длиной 2 фута. Тогда периметр P будет следующим:

В качестве альтернативы мы могли бы просто использовать формулу, полученную выше.

Практическая задача : Некоторый прямоугольник имеет периметр 50 метров и длину 14 метров. Какова его ширина?

Решение : Мы можем решить эту задачу, внимательно изучив представленную информацию и применяя то, что мы знаем о решении уравнений. Мы знаем, прежде всего, что периметр P прямоугольника подчиняется следующей формуле, где l — длина, а w это ширина.

Постановка задачи говорит нам, каков периметр ( P ), а также какова длина ( l ). Давайте введем эти значения в приведенное выше уравнение, а затем максимально упростим результат.

Чтобы найти ширину прямоугольника, нам нужно найти только w , используя тот же подход, который мы использовали при решении линейных уравнений.

. Давайте проверим этот результат, чтобы убедиться, что он работает. Из условия задачи мы знаем, что длина прямоугольника равна 14 метрам.

 

 

Таким образом, ответ подтверждается.

 

 

Мы также можем вычислить площадь прямоугольника, которая является мерой того, сколько места он занимает. Рассмотрим прямоугольник шириной 4 единицы и длиной 2 единицы.

 

 

Разделим каждую сторону на сегменты длиной 1, как показано ниже.

 

 

Теперь, используя эти деления, мы нарисуем сетку, которая разделит прямоугольник.

 

 

Обратите внимание, что сетка разделена на более мелкие области, каждая сторона которых имеет длину 1 единицу.

 

Каждая из этих меньших областей представляет собой квадрата (прямоугольник, длина и ширина которого равны) со сторонами длины 1. Определим одну из этих областей как 1 квадратную единицу — квадрат, размеры которого (длина и ширина) равны 1 единице. Теперь обратите внимание, что прямоугольник имеет в общей сложности 8 квадратных единиц, которые разделены на два ряда по четыре или четыре ряда по два (в зависимости от того, как вы смотрите на диаграмму). Но вычислить количество объектов (в данном случае квадратных единиц) в строках и столбцах можно путем умножения: обратите внимание, что количество квадратных единиц в прямоугольнике — это просто произведение длины и ширины. Таким образом, площадь A прямоугольника длиной l и шириной w является произведением l и w:

 

 

Эта формула применима к любому прямоугольнику, независимо от длины его сторон. (То есть длины могут быть целыми положительными, дробными, десятичными, рациональными или иррациональными числами.)

 

Например, предположим, что у нас есть прямоугольник длиной 5 дюймов и шириной 3 дюйма, как показано ниже.

 

Наша цель состоит в том, чтобы вычислить, сколько квадратов со стороной в 1 дюйм может поместиться в этот прямоугольник. Результатом будет общая площадь прямоугольника. Располагая квадраты краем к краю, мы можем разместить пять из них поперек прямоугольника и три по прямоугольнику.

 

 

Из диаграммы видно, что в прямоугольник можно поместить 15 квадратов размером в один квадратный дюйм, т. е. прямоугольник имеет площадь 15 квадратных дюймов. Конечно, на это указывает и формула:

 

 

 

Практическая задача : Вычислите площадь прямоугольника шириной 32 дюйма и длиной 3,2 дюйма.

 

Решение : Формула площади прямоугольника применяется независимо от используемых чисел (конечно, если они положительные). Таким образом, давайте просто воспользуемся формулой для площади A:

 

 

 

Треугольники

 

Мы также можем рассмотреть некоторые характеристики другой распространенной геометрической фигуры: треугольника. Треугольник — замкнутая геометрическая фигура с тремя сторонами; примеры треугольников показаны ниже.

 

 

Периметр треугольника вычисляется почти так же, как периметр прямоугольника: просто сложите длины сторон треугольника (в этом случае у фигуры только три стороны, и эти стороны могут быть разной длины). Однако рассчитать площадь несколько сложнее. Для прямоугольников мы смогли увидеть площадь просто как ряды и столбцы квадратов. Из-за формы треугольника мы не можем аккуратно вписать в него квадраты.

 

 

Мы должны использовать несколько иной подход к нахождению площади треугольника. Давайте рассмотрим общий треугольник, показанный ниже; этот треугольник не имеет особых свойств.

Теперь определим два характерных размера этого (или любого) треугольника: длину основания (обозначим b ) и высоту (обозначим h ). Основание — это просто длина стороны «на земле» или внизу фигуры. Тогда высота является максимальным расстоянием, на которое треугольник достигает «над землей».

 

 

Площадь треугольника равна A. Если бы у нас было два таких треугольника совершенно одинаковой формы, общая площадь двух треугольников была бы тогда 2 A. Воспользуемся этим фактом. попытаться построить более знакомую фигуру.

 

 

Сначала разрежем один из треугольников по высоте.

 

 

Обратите внимание, что оба разделенных треугольника имеют высоту h (как мы определили для исходного треугольника) и что их основания равны x и y, , где x + y равно b. Мы не знаем, что такое x и y , но поскольку мы разрезаем треугольник, мы знаем, что эти два основания должны в сумме давать основание исходного треугольника. Теперь давайте попробуем переставить части так, чтобы получился прямоугольник!

 

Давайте теперь рассмотрим характеристики этой новой фигуры (помните, что ее площадь 2 A, , где A — площадь исходного треугольника).

 

 

Фигура представляет собой прямоугольник — обратите внимание, что противоположные стороны равны по длине (помните, что x + y = b ). Но мы знаем, как вычислить площадь прямоугольника: это просто произведение длины и ширины (в данном случае b и h ). Однако эта общая площадь равна , удвоенной по площади исходного треугольника. Таким образом, произведение b и h равно 2 A.

Изучая линейные уравнения, мы узнали, как решать линейные уравнения для конкретной переменной. В этом случае мы можем выделить A , умножив обе части выражения на .

Таким образом, мы получили формулу площади треугольника. Этот вывод, хотя и не показан в полной математической строгости, дает правильную формулу площади для всех треугольников, а не только для показанного выше. Процесс расчета высоты h треугольника может быть несколько сложным, но если вы знаете основание и высоту, вы теперь можете вычислить площадь треугольника.

 

 

Практическая задача : Вычислите площадь приведенного ниже треугольника.

Решение : Если мы повернем треугольник так, чтобы 10-футовая сторона оказалась внизу, мы увидим, что отрезок пунктирной линии представляет собой высоту треугольника.

 

 

Затем мы можем вычислить площадь треугольника, используя формулу, которую мы вывели на уроке.

 

 

Геометрические задачи от IMO: стартовая страница

Начальная страница

Добро пожаловать

Здесь вы можете :

• найти задачи по геометрии с математических олимпиад  
• прочитайте их решения, опубликуйте свое решение   (artofproblemsolving)
• найти в одном pdf все задачи (не только по геометрии), обычно с их решениями (если онлайн), во вкладке каждого соревнования или собранные здесь сборники олимпиадных задач с решениями  
• узнать, кто (из Греции и Кипра) предложил задачу для ИМО и Балканского МО (приложение)
• узнать, какие онлайн (бесплатные) журналы по геометрии издаются в настоящее время 
90 646 прочитано о рекомендациях по классической геометрии и новых доказательствах известных геометрических теорем (в основном греками)
• скачать в формате PDF сборники и заметки по геометрии, книги по геометрии и статьи по геометрии из

1.  Канада IMO Training
• Crux Mathematicorum
• Жан-Луи Айм
• Международный турнир по летним конференциям. 0647
•  Турнир городов Конференции
• найти задачи по евклидовой геометрии (со ссылками на аопс или без них) из журналов:
1. В мире математики (У свити математики) (украинский) [полностью]
2. KöMaL                                 (венгерский)
3. Математический Экскалибур                                                           [полностью]
4. Математические размышления     (MR)
5. Quantum Magazine            (английское издание)                           [полностью]
• скачать сборники задач в формате PDF с
1. Математические размышления (MR)
• Румынский математический журнал (RMM)

До сих пор здесь собираются проблемы:

обозначения

: [x p / y h] = x Проблемы в часах

[Все] = все проблемы геометрии олимпиады, от начала

Многонациональные соревнования
1. Арабская олимпиада по математике 2018-
2. Азиатско-Тихоокеанская олимпиада по математике (APMO) 1989-   [5 часов / 4 часа]                 
3. Австрийско-польское математическое соревнование 1978–2006 гг. [продолжение MEMO]    
4. Балканская математическая олимпиада 1984-   (также на греческом языке) [4 ч / 4½ ч ]        (шорт-лист)      
5. Математическое командное соревнование «Балтийский путь» 1990-                                       (шорт-лист)                            
6. Математическая олимпиада стран Бенилюкса (BxMO) 2009 г.-   [4 п / 4 ½ ч]                                                  
7. Кавказская математическая олимпиада 2015-  [4ч / 4ч / 2д]                                             
8. Математическая Олимпиада Центральной Америки и Карибского бассейна. (OMCC) 1999- [как в ИМО] (краткий список)
9. Cono Sur Math Olympiad / Southern Cone (OMCS) 1989-                    (шорт-лист)                     
10. Чешско-польско-словацкий матч 1995 — [как в ИМО] [начало как чешско-словацкий матч]
11. Чешско-польско-словацкий матч юниоров 2012 г. – [как в ИМО] 
12. Европейская математическая олимпиада девушек (EGMO) 2012-  [как в ИМО]                                                      
13. European Mathematical Cup (EMC) 2012-   [4 р / 4 ч]   
14. Final Mathematical Cup 2019-
15. Франкоязычная математическая олимпиада (OFM) 2020-
16. Формула единства / Третье тысячелетие 2013-
17. Математическая олимпиада стран Персидского залива (ГМО), 2012 г.  – [4 стр.]
18. Двойное математическое соревнование между Венгрией и Израилем, 1990–2009 (-04) [как в ИМО]
19. Ибероамериканская математическая олимпиада (OIM) 1985-   [как в ИМО]          (короткий список)       
20. Международная математическая олимпиада (IMO) 1959- (1959-92 также на греческом языке)
21. Шорт-лист Международной математической олимпиады (IMO SHL ISL) 1993–2018 (и 1968–1992 годы)  
22. Иранская олимпиада по геометрии (IGO) 2014-  [5 с / 4 ½ ч]                        
23. Istmo Centroamericano 2017-19                                
24. Юниорская Балканская математическая олимпиада с шорт-листом (JBMO) 1997- [4 п/ 4 ½ ч]-16 также на греческом языке)
25. Португалоязычная математическая олимпиада (OM CPLP) 2011-                                             
26. Mathematical Ashes (Великобритания против Австралии) 2008 – [3 ч / 4,5 ч]                                      
27. Майская Олимпиада (Майо) 1995-
28. Средиземноморское математическое соревнование (MMC) 1998-  [4 п / 4½ часа] 
29. Metropoliss International Olympiad (IOM) 2016-                                                             0647
30. Средняя европейская математическая олимпиада (MEMO) 2007- [как индивидуальное: 4 P / 5 H, как команда 6: 8 P / 5 H]
31. Nordic Mathematical Contest (NMC) 1987- [4 p / 4h]      
32. Панамериканская математическая олимпиада девочек (PAGMO)                                       
33. Панафриканская олимпиада по математике (PAMO) 2000- 
34. Математическая олимпиада в Риоплатенсе, уровни 1-3 (OMR) 1990-
35. Румынский магистр математики (RMM) 2008-  [как в ИМО]                                    
36. Шарыгинская олимпиада по геометрии  EN & RU 2005-                                                     
37. Математический конкурс «Шелковый путь» (SRMC) 2002-                                                                                               
38. Международный турнир по математике городов (ToT) 2001-10     (до 2001 г. )      
39. Туймаадская международная олимпиада 1994-                                                                                                                                                                                                                                                  0647
40. Конкурс ЮНЕСКО 1995-96
41. Жаутыковская международная олимпиада (ИЖО) 2005-                                                               [как в ИМО, не более 7 всего, не более 3 по математике, не более 64 ВСЕХ] по физике [0

[IMO = 2 дня, 3 проблемы за 4 с половиной часов каждый день]

Команды (команда приложения)

1. Baltic Way Matematic Team Contest
2. Dürer Math Competition (Венгрия)
3. Международный математический турнир буксиров   (ToT)  (старшие)       
4. Международные конкурсы по математике (IMC) = EMIC+IWYMIC — Международный конкурс начальной математики (EMIC) — Международная мировая молодежная математическая конкурс (IWYMIC)
5. Математический Набой                                      
6. Средиземноморский молодежный математический чемпионат (MYMC)  
7. Национальная интернет-математическая олимпиада               (NIMO) (ежемесячно) (лето-зима)
8. Открытая онлайн-математика по математике                                                (ОМО)   
9. Устная Московская городская командная математическая олимпиада 
10. Фиолетовая комета! Знакомство с математикой
11. Всемирное командное соревнование по математике                           (WMTC)                                                           

Великобритания, США Канада Соревнования  (приложение Великобритания США Канада)   

1. Соревнования по математике в средней школе в средней школе Альберты (AHSMC)
2. Американские регионы Математическая лига (ARML)
3. Ассоциация Ассоциация Математическая конкуренция Квебека (AMQ Consours)
4. Математический турнир A-Star
5. Математическая олимпиада Bay Area                                       (BAMO)
6. Ежемесячный конкурс математических кружков Беркли
7. Математический турнир Беркли
8. Британская математическая олимпиада                                                                                               
9. Калифорнийский технологический институт по математике имени Харви Мадда                                 (CHMMC)
10. Квалификационная олимпиада Канады по математике       (CMOQR)
11. Канадская математическая олимпиада                                                                 (CMO)                 
12. Canadian Open Math Challenge                                                    (COMC)
13. Конкурс по информатике и математике Карнеги-Меллона (CMIMC)
14. Герцог Математика Знакомство      
15. ELMO & ELMO Shortlist (математическая олимпиада на MOP)                   
16. Соревнования Эксетерского математического клуба [Великобритания]
17. Математический турнир Гарвардского Массачусетского технологического института                                                (HMMT)  
18. Приглашение на математический турнир Гарварда и Массачусетского технологического института (HMIC)
19. Ежемесячный конкурс математического турнира Гарварда и Массачусетского технологического института (HMMT)
20. ΙInternational Mathematical Talent Search                                  (IMTS)
21. Математическая олимпиада Кеттерингского университета для старшеклассников
22. Конкурс Мандельброта
23. Math Majors of America Tournament for High Schools         (MMATHS)
24. Приз по математике за задачи для девочек и олимпиаду
25. MOP Домашнее задание                                                       (MOSP)
26. Национальная интернет-олимпиада по математике                       (NIMO) (ежемесячно) (лето-зима)
27. Online Math Open                                                    (OMO)
28. Соревнование по математике Пи                                                            0647
29. Математический конкурс Принстонского университета               (PUMaC)
30. Фиолетовая комета! Знакомство с математикой
31. Математический турнир Университета Райса
32. Соревнование по математике с отличием в Сан-Диего
33. Соревнование по силе в Сан-Диего
34. Ежемесячный конкурс математического кружка Сан-Хосе
35. Scottish Mathematical Challenge                                         (SMC)
36. Конкурс полных решений Toronto Math Circles (Канада)
37. UK Junior / Intermediate / Senior Mathematical Challenge (UK JMC IMC SMC)
38. Юношеская математическая олимпиада Великобритании                                      (UK JMO)  
39. Математическая олимпиада для девочек в Великобритании                                            (UK MOG)
40. Университет Алабамы в Бирмингеме, UAB Math Talent Search
41. Юниорская математическая олимпиада Соединенных Штатов Америки    (USAJMO)
42. Математическая олимпиада Соединенных Штатов Америки               (USAMO)
43. Ассоциация математических соревнований США                                       (USMCA)
44. USA Mathematical Talent Search                                        (USAMTS)
45. Отборочный тест команды США                                                             
46. USA Team Selection Test для отборочной команды                (USA TSTST)
47. Эрзац-математическая олимпиада США                                               (USEMO)
48. Математическая олимпиада штата Юта
49. Математическая коалиция штата Вермонт Поиск талантов
50. Wisconsin Mathematics, Engineer and Science Talent Search
Неофициальные соревнования

 

1. Конкурс по созданию задач AoPS                                   (APMC)    
2. Cyberspace Mathematic Competition (CMC)
3. Deux MO (AOPS)
4. EMMO 2016                                                            (Индия)
5. Геолимпиада 2015                                                                      (упс)
6. Онлайн-олимпиада по функциональным уравнениям                        (FEOO) 
7. IMOC                                                                        (Тайвань)
8. InfinityDots MO                                                           (Таиланд)
9. Международная олимпиада математического мастерства           (IMEO)
10. Международная олимпийская месть (IMOR)
11. Grupo Mate OIM (Peru)
12. Kvanta Mo (Украина)
13. Математическая олимпиада Сервер раскодов (MOD)
14. Mathlinks Contests                                                                             (упс)
15. Мексика OMMock 
16. Metrix MO                                                                                  (aops) 906 7
17. MOP Домашнее задание                                                       (MOSP)
18. Национальные ежемесячные конкурсы MO в Интернете                        (NIMO)
(NIMO)0647
19. Oliforum Contest                                                        (Италия)
20. Olympic Revenge                                                    (Бразилия)
21. Omaforos Contests                (OFO, FOFO, COFFEE) (Аргентина)
22. Фиолетовая комета! Math Meet                                                (США)
23. QEDMO                                                                      
24. Карантин MO                                                  (мексиканский, глобальный)
25. Настоящий шорт-лист IMO                 (Международная олимпиада монстров)
26. US ERSATZ MATH OLYMPIAD (USEMO)
27. VMEO (Вьетнам) (VMF)
Соревнования экс-СССР/России

 (приложение экс-СССР) 

1. Олимпиада учителей геометрии Адыгеи                            (Россия)
2. АЭСЦ МГУ Интернет МО                                                         (Россия) 
3. Всероссийская математическая олимпиада  
4. Всесибирская открытая олимпиада школьников                          (Россия)
5. Всесоюзная математическая олимпиада                (АГУ) 
6. Алматинская городская олимпиада                                                       (Казахстан)
7. Армения Математическая олимпиада       
8. Белорусская математическая олимпиада                                        
9. Беларусь ТСТ
10. Кавказская математическая олимпиада    

11. Турнир Чемпионов         (Турнір чемпіонів)     (Украина)

12. г. Кишинёв МО                                                              (Молдова)         
13. Эстония Открытый MO
14. Эстония Национальный MO
15. Эстония TST
16. Олимпиада Эйлера                                                 (Россия)
17. МО Эйлера Учителей                                             (Россия)  
18. Европейский математический турнир
19. Формула единства / третьего тысячелетия (Россия)
20. Высокие стандарты Олимпиада (В. А. А. А.А.
21. Харьковская городская олимпиада                                         (Украина)
22. Харьковский лицей № 27                                         (Украина)
23. Турнир Kharkiv Masters (Украина)
24. Kukin MO — OMSU (Россия)
25. Курчатов Олимпиада (Россия)
26. Кванта Мо (Украина)
27. Киевская городская олимпиада                                           (Украина)
1. KYIV Математический фестиваль (Украина)
2. KYIV TST (для Украина Мо)
3. LATVIA TST
4. Leagu
5. Ленинградская математическая олимпиада                          (LMO)
6. Литва: Великое княжество
7. Литва TST
8. Ломоносовский турнир                                        (Россия)
9. Турнир по математическому многоборью                    (Россия)
10. Матол Онлайн-олимпиада                                                                               
11. Международная олимпиада Metropolises (IOM)
12. Минский городской интернет MO (Belarus)
13. Mipt Metropolitan MO (Россия)
14. Москва Сити МО                                                 (ММО)
15. Московская городская геометрия олимпиада (Россия)
.

Ось Oz В Математике 9 Букв

Решение этого кроссворда состоит из 9 букв длиной и начинается с буквы А

Ниже вы найдете правильный ответ на Ось OZ в математике 9 букв, если вам нужна дополнительная помощь в завершении кроссворда, продолжайте навигацию и воспользуйтесь нашей функцией поиска.

ответ на кроссворд и сканворд

Четверг, 13 Февраля 2020 Г.

АППЛИКАТА

предыдущий следующий

другие решения

АППЛИКАТА

ты знаешь ответ ?

ответ:

связанные кроссворды

1. Аппликата
1. Мат. координата точки по оси z в системе декарт. координат
2. Одна из декартовых координат точки в трехмерном пространстве
2. Аппликата
1. Одна из координат 9 букв
2. Математическая координата точки по оси z в системе декарт. координат 9 букв
3. Одна из декартовых координат точки в трехмерном пространстве 9 букв
4. Третья декартова координата точки 9 букв

похожие кроссворды

1. В математике: независимая переменная величина 8 букв
2. В математике: утверждение 7 букв
3. В математике: утверждение, требующее доказательства 7 букв
4. В математике: двучлен 5 букв
5. В математике: луч исходящий из вершины угла и делящий его пополам 11 букв
6. В математике: знак, обозначающий извлечение корня из числа 7 букв
7. В математике: действительное число 7 букв
8. В математике: отрезок перпендикуляра 6 букв
9. В математике: состоящая из двух ветвей незамкнутая кривая 9 букв
10. Определенная последовательность операций или вычислений (в математике) 8 букв
11. Правило определения расстояния между любыми двумя точками (в математике) 7 букв
12. Единица измерения угла или дуги, равная 1/3600 градуса (в математике) 7 букв
13. Знаковая запись в математике, химии 7 букв
14. Действительное число — в математике: любое целое 14 букв
15. В математике: отрезок прямой линии 9 букв
16. В математике: отрезок прямой линии 7 букв
17. В математике: линейная функция 12 букв

Математическая Координата Точки По Оси Z В Системе Декарт.

Решение этого кроссворда состоит из 9 букв длиной и начинается с буквы А

Ниже вы найдете правильный ответ на Математическая координата точки по оси Z в системе декарт. координат 9 букв, если вам нужна дополнительная помощь в завершении кроссворда, продолжайте навигацию и воспользуйтесь нашей функцией поиска.

ответ на кроссворд и сканворд

Воскресенье, 21 Апреля 2019 Г.

АППЛИКАТА

предыдущий следующий

ты знаешь ответ ?

ответ:

связанные кроссворды

1. Аппликата
1. Мат. координата точки по оси z в системе декарт. координат
2. Одна из декартовых координат точки в трехмерном пространстве
2. Аппликата
1. Одна из координат 9 букв
2. Одна из декартовых координат точки в трехмерном пространстве 9 букв
3. Третья декартова координата точки 9 букв
4. Одна из осей в декартовой системе координат 9 букв

похожие кроссворды

1. Математическая координата точки
2. Мат. координата точки по оси z в системе декарт. координат
3. Координата точки на плоскости 8 букв
4. Горизонтальная декартова координата точки 8 букв
5. Вертикальная декартова координата точки 8 букв
6. Третья декартова координата точки 9 букв
7. Координата точки на оси игрек
8. Координата точки 8 букв
9. координата точки по оси z в системе декарт
10. Координата точки на оси x в системе декартовых координат
11. Часть рычага от точки опоры до точки приложения силы 5 букв
12. Термометр со шкалой в 80 градусов от точки таяния льда до точки кипения воды
13. Астрономическая угловая координата
14. Географическая координата

X%2c Y или Z%2c в геометрии — ответы на кроссворды

Кроссворд «For 2c ___» из 5 букв в последний раз видели 01 января 1971 . Мы думаем, что наиболее вероятным ответом на эту подсказку будет PLAIN . Ниже приведены все возможные ответы на эту подсказку, упорядоченные по рангу. Вы можете легко улучшить поиск, указав количество букв в ответе.

Ранг	Слово	Подсказка
92%	ОБЫЧНЫЙ	«Для 2с ___»
74%	ОСЬ	x, y или z в геометрии
64%	ГЕН	X, Y или Z
64%	СТРОЧНЫЕ БУКВЫ	х, у или г
64%	ПИСЬМО	Х, Y или Z.
56%	COS	Sin : ось Y :: ___ : ось X
56%	ОСи	x и y в геометрии
53%	АЛГЕБРА	Тема «X + Y = Z»
51%	АТО	От — Я
51%	ОБЛАСТИ	Числа геометрии
51%	ЧИ	Икс
51%	ОБЛАСТЬ	Пятерка по геометрии?
51%	ЗЕТА	Z, в именах женского общества
51%	ЖЕ РАЗНИЦА	х — у = х — у
51%	АКСИОМ	Если X=Y и Y=Z, то X=Z, например
48%	ЕВКЛИД	Отец геометрии
48%	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО	Задание на уроке геометрии
48%	УСЛОВИЯ	х и у в «х + у»
48%	НАБОР	{х, у, г}, например
48%	ДЕЛИТЕЛЬ	В х ÷ у, у

Уточните результаты поиска, указав количество букв. Если какие-то буквы уже известны, вы можете предоставить их в виде шаблона: «CA????».

Последние улики

• Держать ловушку над рекой Йоркшир Кроссворд
• Один рядом с Кэрол, которого не поймали за шалостью в школе Фото Кроссворд Подсказка
• Распространение клеветы на евро вопреки желанию правительства? Кроссворд
• Ведущий мужчина с подсказкой кроссворда папы Бода
• Ларсон, получившая награду за лучшую женскую роль в кроссворде 2015 года «Комната»
• Лучше всего понравилось, Кроссворд в текстах
• Проекция из модно позднего кроссворда
• Тот, кому могут понадобиться учетные данные Кроссворд
• — Разгадка кроссворда Ратона
• — Разгадка кроссворда Ратона
• Хоровое произведение, не заканчивающееся тишиной, предполагает последующее обсуждение Кроссворд
• Слово с соломинкой или выход из кроссворда
• Исправления, или, проанализировав другим способом, какие числа 17, 28, 44 и 58 имеют разгадку кроссворда
• Семья изначально томится в тюрьме Кроссворд
• Письмо в Твиттере: Рад, что Том может сделать это на пенсии Кроссворд
• Одинокий любезный лектор, ключ к кроссворду крупного человека
• Звуки, издаваемые домашними животными в конюшне один раз? Кроссворд
• Разгадка кроссворда с ароматным аксессуаром
• Положительная часть ситуации Кроссворд Clive
• Некоторые предложения крана, вкратце, кроссворд
• Сельская местность, отдаленная дельта, захваченная военным кроссвордом
• With 22 Down, идиома, означающая «Easy Peasy» Кроссворд
• Проявляет интерес, может быть, разгадка кроссворда
• Быть принятым в программу Кроссворд
• Давний кроссворд Think Pad Maker
• Источник благотворного размышления — наверняка поднимает настроение в церкви Кроссворд
• Действует как родитель-вертолет.
• Кроссворд Real Blankety Blank
• Линия, обрамленная писателем из Уэссекса? Едва ли! Кроссворд
• Благоприятные обстоятельства? Или шуточный намек на кроссворд с заштрихованными буквами
• Актриса Томпсон из кроссворда «Извините за беспокойство»
• Больше вверх и вниз, как ключ к кроссворду отношений
• Джон, написавший кроссворд «Дело о пеликанах»
• Короткая встреча? Кроссворд
• Французский завтрак, который звучит как ответ на кроссворд «Удар живота»
• Немного об этом, немного о том Кроссворд
• Сеть больших пекарен/кафе Кроссворд
• Французский любимый кроссворд
• Что такое совместное использование, согласно кроссворду с рифмованным выражением
• Мама Олень Эст? Кроссворд
• Что-то, что вам нужно сделать, чтобы решить кроссворды Подсказка кроссворда
• «У Р А К Т!», Э. Г. Кроссворд
• Некоторые доктора философии. Студенческий кроссворд
• Сеть быстрого питания с ковбойской шляпой в логотипе кроссворда
• Осыпались, как с подарками Кроссворд
• Левая база? Кроссворд
• Немного проповеднической прозы Кроссворд
• Причудливый ответ согласия Кроссворд
• Млекопитающее с перепончатыми ногами и разгадкой кроссворда с плоским клювом
• Сокращает неопределенность в ставках на кроссворд

Мы нашли 1 решения для X%2c Y или Z%2c в геометрии .Лучшие решения определяются по популярности, рейтингу и частоте поиска. Наиболее вероятный ответ на подсказку: PLAIN .

С crossword-solver.io вы найдете 1 решения. Мы используем исторические головоломки, чтобы найти наилучшие ответы на ваш вопрос. Мы добавляем много новых подсказок на ежедневной основе.

С помощью нашей поисковой системы для решения кроссвордов у вас есть доступ к более чем 7 миллионам подсказок. Вы можете сузить возможные ответы, указав количество букв, которые он содержит. Мы нашли более 15 ответов для X%2c Y или Z%2c в геометрии.

Актуальные подсказки

• Бренд классической газировки Crossword Clue
• Европейский регион со свободным передвижением через границы Кроссворд
• Счета. Кроссворд
• Бренд суповой смеси Crossword Clue
• Сладкий рулет Кроссворд
• Кроссворд певца «Bouncin»
• Х.С. класс с кандзи Кроссворд Clive
• Дарлингс Кроссворд
• Кроссворд из ели или сосны
• Главная ветвь дерева Кроссворд
• Посягательство или вторжение Кроссворд
• Кулинарная инициатива, популяризированная Рэйчел Рэй Кроссворд
• Предмет, найденный Прекрасным Принцем после того, как часы пробили полночь? Кроссворд
• Грузовик, замеченный во время отключения электроэнергии, возможно, разгадка кроссворда
• Купольное здание Кроссворд
• Вариант отеля, исключающий ночной кроссворд
• Мерил в кроссворде «Из Африки»
• Обувная компания из Орегона Crossword Clue
• Разгадка кроссворда с тонкими облаками
• Остатки винного пресса Кроссворд
• Посланник Кроссворд
• Остатки кроссворда
• Последняя греческая буква Кроссворд
• Продолжение «Гроздий гнева» Стейнбека? Кроссворд
• Художественная литература для старшеклассников Кроссворд
• Четкая и правильная разгадка кроссворда
• Комикс «SNL» Майкл Кроссворд Подсказка
• Сумчатый кроссворд глубинки
• Орг. первоначально основанный для защиты экипажных лошадей Кроссворд
• Аксессуар для кимоно Кроссворд
• Слаггер Пит Кроссворд Подсказка
• Актер Франко из кроссворда «Иллюзия обмана»
• Одно написание кроссворда Азии в Вегасе
• Программа городского транспорта для велосипедистов Кроссворд
• Точка унив. учитель в другом направлении? Кроссворд
• Кроссворд бренда Nabisco
• Городские собрания Кроссворд
• Переносчик сонной болезни Кроссворд
• Каждые 26 недель (… первые 3) Кроссворд
• С большой интенсивностью Кроссворд
• В основном зеленый контейнер для газировки Кроссворд
• Сладкие булочки Кроссворд
• Блин с начинкой из рикотты часто подают на разгадку кроссворда Шавуота.
• Игра в шарики Кроссворд
• Сюжетный кроссворд
• Подсказка для кроссворда
• Ткань для штор Кроссворд
• Мистическое сияние Кроссворд
• Помощь альпинисту Кроссворд
• Президенты Тайлер и Тейлор, на двоих Кроссворд

Вечнозеленые подсказки

• сын-__-пушка Кроссворд
• Кроссворд с оттенками цвета
• неформально-хорошо Кроссворд
• разгадка кроссворда
• пошатнувшийся кроссворд
• Кроссворд
• Кроссворд с французским глаголом
• живой испанский танец. Кроссворд
• Работа над глушителем Кроссворд
• Кроссворд, родственник казуара
• усмотрение Кроссворд
• понимает кроссворд
• ___-империи-(сериал-видеоигры) Кроссворд
• Кроссворд
• Кроссворд между работами
• Кроссворд
• Верди-опера Кроссворд
• и, как этот кроссворд
• театрально-декорационная игра-кроссворд
• раскапывает кроссворд
• Кроссворд
• покоряет кроссворд
• нервный кроссворд
• Родословная Кроссворд
• Подсказка для кроссворда
• smidgen Кроссворд
• мебель-дерево кроссворд ключ
• Кроссворд на спине в лодке
• Французский друг Кроссворд Clive
• davis-cup-org Кроссворд
• Гималайский пик Кроссворд
• серьезно. Кроссворд
• Кроссворд с оранжевым покрытием
• малоквартирный. Кроссворд
• Алито-верховный-суд-предшественник Кроссворд Подсказка
• Разгадка кроссворда «делай или становись ржавым»
• полезный кроссворд
• бейсбольный кроссворд
• Афины-регион Кроссворд
• Кроссворд
• geezer кроссворд ключ
• Кроссворд
• Разгадка кроссворда «рубить топором»
• исправлено. Кроссворд
• камерно-музыкальный ансамбль Кроссворд
• Техас-регион Кроссворд
• сюжетная непоследовательность Кроссворд
• Кроссворд
• foxx-of-‘soul’ Кроссворд
• перехват. Кроссворд

Математические термины — 9 букв

Подходит для кроссвордов, кодовых слов, судоку и других головоломок, игр и мелочей

Вы искали математические термины с 9 буквами и шаблоном = ?????????

Количество найденных слов = 55

Если вам нужна дополнительная информация о любом из результатов, используйте ссылки мгновенного поиска.

Определение смежных углов. Вертикальные и смежные углы

Что такое смежный угол

Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы — (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

рис. 2

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

рис. 3

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема: сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:
Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая). Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 1.1. Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 3. Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5. Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7. Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

рис. 4

Связь математики с музыкой

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»
Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

Задание 1.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?
2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Задание 2.

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

Задание 3.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

Решение задач

Математический диктант на повторение ранее выученного материала

Решите задачи:

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

Домашнее задание:

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.
3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Вопросы:

1. Что такое угол?
2. Какие бывают типы углов?
3. Какая особенность смежных углов?

Как найти смежный угол?

Математика — древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики. Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.

Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.

Определение и свойства смежных углов

Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.

К основным свойствам смежных углов относят

• Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
• Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
• Синусы смежных углов всегда равны;
• Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.

Как найти смежные углы

Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов

• Дана величина основного угла;
• Дано соотношение основного и смежного угла;
• Дана величина вертикального угла.

Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.

Дана величина основного угла

Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла — сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.

Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Дано соотношение основного и смежного угла

В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:

1. Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
2. Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
3. Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
4. Общая формула будет выглядеть так — a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
5. Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
6. Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.

Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.

Дана величина вертикального угла

Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.

Вертикальный угол — это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.

Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .

Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия

См. Угол … Большой Энциклопедический словарь

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь

См. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь

— (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

См. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия

Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия

Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия

Книги

• О доказательстве в геометрии , Фетисов А.И.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них…
• Комплексная тетрадь для контроля знаний. Геометрия. 7 класс. ФГОС , Бабенко Светлана Павловна, Маркова Ирина Сергеевна. В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по геометрии для проведения текущего, тематического и итогового контроля качества знаний учащихся 7 класса. Содержание пособия…

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Смежные углы | Методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему:

Тема: Смежные углы

Учитель: Хорошун И.Г. учитель математики МОУ СОШ с. Песчаноозерка

Класс: 7

Цели:

ввести понятие смежных углов, формировать умения строить угол смежный с данным, сформулировать свойство смежных углов, учить видеть смежные углы на чертежах; повторить понятие угла, его единицы измерения, понятие развернутого угла; развивать интерес к математике; воспитывать аккуратность при выполнении построений, чувство самоконтроля при выполнении теста.

Ресурсы: учебник «Геометрия 7 – 9» А.В. Погорелов, презентация, карточки для рефлексии.

Ход урока

1.Организационный момент. Мотивация.

(слайд 1)

— Ребята, мы начали изучать с вами очень интересный раздел математики – геометрию. Изучение данного раздела очень важно для освоение всего курса математики, так как экзаменационные задания в 9 классе содержат  модуль «геометрию». Чтобы набрать нужное количество баллов нужно обязательно решить минимум два задания из этого модуля.

Весь процесс изучения математики можно представить в виде лестницы (слайд 2). Наша задача добраться до самой верхней ступеньки лестницы и тогда мы получим знания достаточные для успешной сдачи экзамена по математике.

— Ребята, сейчас мы с вами шагнули на первую ступеньку изучения этой удивительной науки.

— Как вы считаете можно ли добраться до вершины лестницы минуя ступеньки? (Да, ведь я могу перешагнуть сразу две ступеньки. Почему бы и нет?)

— А можно ли получить прочные знания перепрыгивая через ступеньки – пропуская изучения тем или даже разделов? (Нет)

— Итак, значит сегодня мы с вами шагнем на следующую ступеньку по нашей лестнице знаний. Но прежде,  чем сделать шаг, давайте проверим, а какой багаж знаний у нас уже есть?

2. Актуализация знаний.

(слайд 3)

1) устный опрос:

— Какая фигура называется углом? (Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.)  

— Как обозначается угол?  (Указание вершин, указанием сторон, указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла)

— Какой угол называется развернутым? (Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой)

— В каких единицах измеряются углы, с помощь какого инструмента? (В градусах, с помощью транспортира)

2) задание на соответствие: (слайд 4)

— Молодцы. С заданиями справились – багаж знаний замечательный.

— Значит можем смело шагнуть на следующую ступеньку нашей лестницы, т.е. стать на один шаг ближе к цели.

(слайд 5)

3. Изучение нового материала

(слайд 6)

— Открываем тетради и записываем число, тему урока. Попробуйте сформулировать цели нашего урока.

— Итак мы должны узнать какие углы называются смежными. Для этого выполним практическую работу.

1.Построим прямую АК и на этой прямой отметим точку С, лежащую между А и К.

2. Проведем луч СВ.

— Сколько углов  получилось? Назовите их. (три, углы АСК, АСВ, КСВ)

— Углы АСВ и ВСК – называются смежными. Попробуйте сформулировать определение.

— Проверьте свое предположение — найдите определение в учебнике, прочитайте, запишите в тетрадь. (слайд 7)

Проверим, сможете ли вы используя определение смежных углов найти их на чертежах.

— Молодцы! Определение усвоено хорошо.

— Переходим к реализации следующей цели нашего урока – учимся строить смежные углы.

— Постройте угол АОВ равный 55°. Начертите угол смежный с данным углом.

— Сколько таких углов можно построить?  (Только один )

— Почему?  (Для построения смежных углов нужно луч, являющийся одной из сторон этого угла дополнить до прямой) (слайд 9)

(слайд 10)

— Сколько  углов изображено  на  рисунке ?  Какие  это  углы ?

• ( 3  угла,  ∠ АОВ и ∠ ВОС —  смежные,  а   ∠ АОС – развернутый. ) 
• Существует  ли  какая  либо взаимосвязь между этими  углами?

(Да, ∠ АОВ  +∠ ВОС = ∠ АОС) 

• — Как  по –другому можно  записать  данное  равенство ? Почему ?

(∠ АОВ  +∠ ВОС = 180  О , т.к.  ∠ АОС  —  развернутый  и  его  градусная  мера  равна 180  О ) 

Сформулируем свойство смежных углов словами. (слайд 11)

4.Закрепление изученного материала

Выполнение заданий по учебнику с. 26.

№ 1 (используя свойство смежных углов, с комментированием для 30°, остальные самостоятельно)

№ 2 – устно

№ 3 – у доски

Решение:

Углы АВС и DСВ – смежные по условию.

Обозначим угол АВС через х, тогда угол DСВ = 2х. По свойству смежных углов:

х + 2х = 180°.

х = 60° — угол АВС.

Угол DСВ равен 2х, значит 120°. Или угол  DСВ = 180° — 60°.

Ответ: 60° и 120°.

5. Итог урока.

Тест (слайд 12) с самопроверкой.

1. Если один из смежных углов острый, то другой тоже острый.

А)  да-острый;

Б) нет — тупой;  

 В) нет- прямой.

2. Сумма смежных углов равна 180˚.

А) да — 180˚;  

 Б) нет — 90˚,  

В) нет — 360˚.

3)Если каждый из двух углов прямой, то они смежные.

     А) нет — тупые;  

     Б) нет – развёрнутые;  

         В) да – смежные.

Проверяем (слайд 13)

Вставьте пропущенные слова (слайд 14)

Два угла называются смежными, если у них одна сторона _______, а две другие являются дополнительными __________.

 Угол, равный 90˚, называется ___________.

 Сумма смежных углов равна _____________.

 Если на часах 6 часов, то часовая и минутная стрелка образуют ____________________ угол.

Угол смежный с тупым углом, есть ____________ угол.  

6. Домашнее задание

(слайд 15)

п. 14 (определение и свойство), № 4

Приготовить мини – презентацию  ( фотоотчет, доклад, сообщение ) на тему « Углы вокруг нас»

7. Рефлексия

Из данных предложений выберите то, которое характеризует ваши знания по окончании урока (на карточках).

1. Мне понятно какие углы называются смежными.

2. У меня остались вопросы. Мне многое осталось не понятным.

3. Я смогу объяснить какие углы называются смежными своим друзьям или родителям и использовать их свойство.

(слайд 16) Урок окончен.

геометрия — Смежны ли углы?

спросил 7 лет, 8 месяцев назад

Изменено 7 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 243 раза

$\begingroup$

$\angle 1 $ и $\angle 2$ смежные . Таким образом, $\angle AOD$ и $\angle BOD$ также смежны. ? Я сбит с толку.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Предположим, что точки $C$ нет на диаграмме , тогда в этом случае $\угол AOD$ и $\угол BOD$ смежны ?.

• геометрия
• мягкий вопрос

$\endgroup$

$\begingroup$

Определение. Два копланарных угла называются смежными , если они имеют общую вершину и общую сторону, но не имеют общих внутренних точек.

Хотя $\angle AOD$ и $\angle BOD$ имеют общую вершину (точку $0$) и общую сторону ($\overrightarrow{OD}$), они не смежны, так как $C$ является общей внутренней точкой из двух углов.

Примеры смежных углов на диаграмме включают $\угол AOB$ и $\угол BOC$, $\угол AOB$ и $\угол BOD$, $\угол AOC$ и $\угол COD$ и $\угол BOC$ и $\угол COD$.

Редактировать: На вашей новой диаграмме $\angle AOD$ и $\angle BOD$ не являются смежными, поскольку они имеют общие внутренние точки. Например, если $\overrightarrow{OC}$ — биссектриса угла $\angle BOD$, то точка $C$ лежит внутри обоих углов $\angle AOD$ и $\angle BOD$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Нет, это не так. Они разделяют «пространство», занимаемое углом $\angle AOC$. Углы $2$ смежны, если они имеют общую сторону и общую вершину. Углы $\angle AOB$ и $\angle COB$ смежные.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Пары углов, образованные параллельными прямыми, пересеченными секущей

Смежные углы : два угла с общей вершиной, общей стороной и не пересекающиеся.

Углы ∠1 и ∠2 смежные.

Дополнительные углы : два угла, сумма мер которых равна 90°.

Углы ∠1 и ∠2 дополняют друг друга.

Дополнительными являются и эти углы (их сумма равна 90°):

Дополнительные углы : два угла, сумма мер которых равна 180°.

Углы ∠1 и ∠2 являются дополнительными.

Когда на рисунке даны две параллельные линии, есть две основные области: внутренняя и внешняя.

Когда две параллельные прямые пересекаются третьей линией, третья линия называется поперечной . В приведенном ниже примере восемь углов образуются, когда параллельные прямые m и n пересекаются поперечной линией t.

Из этой фигуры образованы несколько специальных пар углов. Некоторые пары уже были рассмотрены:
Вертикальные пары:
∠1 и ∠4
∠2 и ∠3
∠5 и ∠8
∠6 и ∠7
Напомним, что все пары вертикальных углов равны.
Дополнительные пары:
∠1 и ∠2
∠2 и ∠4
∠3 и ∠4
∠1 и ∠3
∠5 и ∠6
∠6 и ∠8
∠7 и ∠8
∠5 и ∠7
Напомним, что дополнительные углы — это углы, градусная мера которых в сумме дает 180°. Все эти дополнительные пары являются линейными парами. Есть и другие дополнительные пары, описанные ниже в этом разделе. Есть еще три специальные пары углов. Эти пары являются конгруэнтными парами.

Внутренние углы чередующиеся два угла внутри параллельных прямых и на противоположных (чередующихся) сторонах поперечной. Альтернативные внутренние углы несмежны и равны.

Чередующиеся наружные углы два наружных угла на параллельных прямых и на противоположных (чередующихся) сторонах поперечной. Альтернативные внешние углы несмежны и равны.

Соответствующие углы два угла, один внутренний и один внешний, которые находятся на одной стороне поперечной. Соответственные углы несмежны и равны.

Используйте следующую схему параллельных прямых, пересеченных секущей, чтобы ответить на примеры задач.

Пример:
Какова мера ∠8?
Угол, отмеченный мерой 53° и ∠8, является чередующимися внешними углами. Они находятся снаружи, на противоположных сторонах трансверсали. Поскольку они конгруэнтны, мера ∠8 = 53°.
Пример:
Какова мера ∠7?
∠8 и ∠7 — линейная пара; они дополнительные. Их размеры в сумме дают 180°. Следовательно, ∠7 = 180° – 53° = 127°.

1. Когда секущая пересекает параллельные прямые, все образующиеся острые углы равны, а все образующиеся тупые углы равны.

На рисунке выше ∠1, ∠4, ∠5 и ∠7 — острые углы. Все они конгруэнтны друг другу. ∠1 ≅ ∠4 — вертикальные углы.

Площади геометрических фигур. 8-й класс

• Потёмкина Наталья Борисовна, учитель

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 8

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (2 МБ)

Цели: закреплять навыки в решении задач по теме “Площади” и готовиться к ОГЭ.

Задачи:

Образовательные:

• обобщить знания и умения учащихся по теме “Площадь”.

Развивающие:

• формировать умения ясно и четко излагать свои мысли;
• формировать навыки публичного выступления и умения отстаивать самостоятельное суждение.

Воспитательные:

• создавать условия для реальной самооценки учащихся, реализации его как личности;
• воспитывать познавательный интерес к предмету;
• воспитывать эстетический вкус.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, раздаточный материал.

План урока:

1. Организационный. Постановка цели урока.
2. Повторение. Устная работа.
3. Решение задач.
4. Заключительная часть. Подведение итогов урока.
5. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный. Постановка цели урока

Мы заканчиваем изучение темы: “ Площади”. Сегодня на уроке мы вспомним, как вычисляются площади различных фигур. Решим задачи, опираясь на наши знания по этой теме.

II. Устная работа

По окончании устно работы таблица имеет такой вид.

Для проведения устной работы используется презентация

Приложение слайд 1

Задача 1. Используя слайды, учащиеся должны выбрать формулу для вычисления площади изображенной фигуры и обосновать свой ответ.

Пример.

Фигура ABCD – квадрат, т.к. на чертеже показано, что у данного четырёхугольника все стороны равны и все углы по 90°. Значит, для вычисления площади воспользуемся формулой под номером.

Слайд 1 включает в себя 4 задачи подобного типа, решение которых позволяет не только ещё раз вспомнить формулы, но и

Сейчас мы с вами будем решать задачи, которые в экзаменационных работах стоят в блоке “Геометрия” № 11. Предлагаю вам разделиться на группы. На экране будут появляться задачи, та группа, которая первая найдет решение, отвечает у доски, остальные помогают. За каждый правильный полный ответ группа получает 5 баллов. За не достаточные обоснования снимается 1 балл и передается той группе, которая сможет дополнить.

 Для решения задач используется презентация.

Приложение слайд 2 – 9

На каждом слайде есть кнопка “Подсказка” с указанием количества подсказок. Ей имеет смысл воспользоваться, если возникают затруднения с решением задач.

IV. Заключительный этап.

Подведение итогов

Домашняя работа

1. Задание 11 № 195. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

2. Задание 11 № 333013. Основания трапеции равны 1 и 11. Найдите бoльший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

3. Задание 11 № 323902. Основания равнобедренной трапеции равны 5 и 17, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Ресурсы Интернет.

1. http://100formul.ru
2. http://sdamgia.ru/

14.12.2015

Площадь фигуры | это… Что такое Площадь фигуры?

У этого термина существуют и другие значения, см. Площадь (значения).

Пло́щадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.

Об определении

Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.

Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости, такая что:

1. (положительность) площадь неотрицательна;
2. (нормировка) квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
3. конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
4. (аддитивность) площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.

Определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть

• Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:

Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .

Связанные определения

• Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.

Комментарии

На самом деле, есть довольно неестественный и неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. На множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, т. е. не равные функции, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых функционал площади определяется однозначно.

То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве, (смотри соответственно парадокс Банаха — Тарского и парадокс Хаусдорфа).

Площади некоторых фигур

Формулы для нахождения площадей различных фигур

Фигура	Формула	Комментарий
Правильный треугольник		— длина стороны треугольника.
Треугольник		Формула Герона. — полупериметр, , и — длины сторон треугольника.
Треугольник		и — две стороны треугольника, а — угол между ними.
Треугольник		и — сторона треугольника и высота, проведённая к этой стороне.
Квадрат		— длина стороны квадрата.
Прямоугольник		и — длины сторон прямоугольника.
Ромб		и — длины диагоналей ромба.
Параллелограмм		— длина одной из сторон параллелограмма, а — высота, проведённая к этой стороне.
Трапеция		и — длины параллельных сторон, а — расстояние между ними (высота).
Правильный шестиугольник		— длина стороны шестиугольника.
Правильный восьмиугольник		— длина стороны восьмиугольника.
Правильный многоугольник		— длина стороны многоугольника, а — количество сторон многоугольника.
		— апофема (или радиус вписанной в многоугольник окружности), а — периметр многоугольника.
Круг	или	— радиус окружности, а — её диаметр.
Сектор круга		и — соответственно радиус и угол сектора (в радианах).
Эллипс		и — большая и малая полуоси эллипса.
Поверхность Цилиндра		и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Боковая поверхность цилиндра		и — радиус и высота цилиндра соответственно.
Поверхность конуса		и — радиус и длина образующей соответственно.
Боковая поверхность конуса		и — радиус и длина образующей соответственно.
Поверхность сферы		и — радиус и диаметр соответственно.
Поверхность эллипсоида		См. статью.

• Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

• Площадь произвольного четырехугольника ABCD равна половине произведения диагоналей и синуса угла между ними:

  ,

где  — угол между диагоналями.

• Площадь ромба ABCD равна половине произведения диагоналей:

• Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне:

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

См. также

• Площадь
• Мера Бореля
• Мера Жордана
• Мера Лебега
• Ориентированная площадь
• Площадь поверхности
• Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
• Исчезновение клетки

Ссылки

• В.Болтянский, О понятиях площади и объёма. Квант, № 5, 1977
• Б. П. Гейдман, Площади многоугольников, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
• В. А. Рохлин, Площадь и объём, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.

геометрия — Среди всех фигур с одинаковой площадью круг имеет самый короткий периметр

Это верно и классически, и не так тривиально, как можно было бы подумать. Это также работает в более высоких измерениях.

Для реального спора — посмотрите, какую форму принимают капли воды! Или еще более убедительно: посмотрите на мыльные пузыри (спасибо fgp за этот пример).

Чтобы понять, почему это должно быть верно математически, попробуйте следующее рассуждение:

Пусть $F$ будет фигурой с кратчайшим периметром среди фигур с заданной площадью. Попробуйте разрезать фигуру $F$ линией $l$ так, чтобы обе части имели одинаковую площадь. Назовите эти части $F_1$ и $F_2$.

Поучительное наблюдение состоит в том, что теперь вы можете построить другую фигуру $F’$ той же площади, что и $F$. Это достигается заменой $F_2$ отражением $F_1$ относительно $l$; т. е. возьмем $F’ := F_1 \cup R_l(F_1)$, где $R_l$ — отражение относительно $l$. Конечно, можно взять и $F» := F_2 \cup R_l(F_2)$. Поскольку площади $\operatorname{Area}(F_1)$ и $\operatorname{Area}(F_2)$ равны (и имеют значение $\frac{1}{2} \operatorname{Area}(F)$) , новые фигуры имеют области $\operatorname{Area}(F’) = \operatorname{Area}(F») = \operatorname{Area}(F) $. Аналогично имеем $\operatorname{Периметр}(F’) = 2 \operatorname{Периметр}(F_1)$ (здесь не учитывается часть периметра, лежащая на $l$), $\operatorname{Периметр }(F») = 2 \operatorname{Периметр}(F_2)$ и, конечно же: $$\operatorname{Периметр}(F) = \operatorname{Периметр}(F_1) + \operatorname{Периметр}(F_2) = \frac{\operatorname{Периметр}(F’) + \operatorname{Периметр}(F’ ‘)}{2} $$ Если бы $F_1$ и $F_2$ имели разные периметры, то один из $F’$, $F»$ имел бы меньший периметр, чем $F$, и ту же площадь. Но мы предположили, что $F$ оптимальна, поэтому $\operatorname{Perimeter}(F_1) = 2 \operatorname{Perimeter}(F_2)$.

Давайте продвинем эту идею немного дальше. Обратите внимание, что $F’$ и $F»$ теперь снова оптимальны в том смысле, что они имеют ту же площадь, что и $F$. Это означает, что они должны быть выпуклыми (если фигура не выпуклая, то можно сделать «срез» на ее вогнутости, сделав периметр короче, а площадь больше; но от лишней площади легко избавиться, не увеличивая периметр , например, путем масштабирования). Это означает, среди прочего, что прямые, перпендикулярные $l$, проходящие через точки пересечения с $F$, касаются $F$ (поэтому, если $F$ имеет четко определенную касательную в этих точках, касательная перпендикулярна $ л$). Это еще не показывает, что $F$ должен быть кругом, но мы видим, что $F$ имеет много симметрии, которая, кажется, есть только у круга.

Немного поработав, мы почти подошли бы к решению. Заметим, что вместо работы с $F$ можно работать с $F’$, т.е. можно считать, что фигура симметрична относительно $l$. Но это эквивалентно простому рассмотрению $F_1$. Обозначим две точки пересечения $l$ с $F$ через $A,B$ и пусть $C$ — точка на границе $F_1$. Прямые $AB,BC,CA$ делят $F_1$ на три области: треугольник $ABC$ и две неправильные фигуры, касающиеся прямых $AC$ и $BC$. Теперь мы можем сделать две вещи. Идея от Разрубить узел означает преобразовать $ABC$, изменив длину $AB$. Поскольку $\operatorname{Area}(ABC) = \frac{1}{2} |AC| \cdot |CB| \cdot \sin \angle C$, можно считать, что $\angle C = \pi/2$. Другая возможность состоит в том, чтобы отразить площадь, прилегающую к $AC$, и сделать вывод, что касательная к $F$ в точке $C$ пересекает $AC$ под тем же углом, что и касательная в точке $A$ пересекает $AC$. Делая то же самое для $BC$, считая углы, снова приходим к выводу, что $\angle C = \pi/2$. Но $\angle C = \pi/2$ означает, что $C$ лежит на полуокружности, основанной на $F_1$. Итак, $F_1$ — это полукруг, и мы закончили!

Конечно, в предположении, что лучшая фигура существует, есть некоторый обман. Также в нескольких шагах я предположил наличие касательных. Это можно объяснить, но я не уверен, что это представляет интерес здесь.

Для подробного обсуждения это кажется уместным: разрубите узел (что я сильно использовал здесь, но большинство идей — математический фольклор).

Область простых фигур | Мир математики Пасси

Источник изображения: http://rackcdn.com

Периметр — это расстояние вокруг внешней стороны объекта, а площадь — это количество пространства внутри двумерного плоского объекта.

В этом посте мы рассмотрим площади геометрических фигур. Однако мы не рассматриваем составные области или круги, так как они будут рассмотрены в других статьях.

Области важны для геодезистов, градостроителей и советов.

Источник изображения: http://clcreport.files.wordpress.com

Авиационные инженеры определяют площади крыльев самолетов при исследовании аэродинамических свойств и конструкций.

Источник изображения: http://www.grc.nasa.gov

Площадь также очень важна для строителей при расчете стоимости материалов.

Источник изображения: http://www.ebricksolutions.com

Люди, работающие с осветительными и медиа-проекторами, должны понимать математику, связанную с дисперсией и интенсивностью света.

Источник изображения: http://www.sciencebuddies.org

Теперь, когда мы знаем, насколько важна площадь в нашей повседневной жизни, давайте рассмотрим математику вычисления площадей.

Вот отличное музыкальное видео, чтобы посмотреть все о Периметре и площади.

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=D5jTP-q9TgI]

Различные формы имеют разные формулы площади.

Площадь прямоугольника

Очень простой фигурой является «Прямоугольник».

Прямоугольник имеет площадь основания x высоту, что иногда называют длиной x шириной или длиной x высотой.

Источник изображения: http://www.k6-geometric-shapes.com

Мы можем доказать эту формулу, нарисовав целую кучу прямоугольников и подсчитав, сколько квадратов находится внутри них.

Источник изображения: http://www.geom.uiuc.edu

Однако не все формы так просты, как прямоугольник. Если мы сдвинем прямоугольник в сторону, мы получим параллелограмм.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна площади = основание x высота

Вот видео о площади параллелограмма.

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=dLZd1MD9kaw]

Как вам такой параллелограмм в реальной жизни!

Источник изображения: http://www. elec-intro.com

Площадь треугольника

Мы могли бы вычислить площадь треугольника, нарисовав его в масштабе на сетке и подсчитав квадраты.

Источник изображения: http://www.geom.uiuc.edu

Но гораздо проще измерить основание и высоту треугольника и использовать математическую формулу для вычисления площади.

Эту формулу очень легко вычислить, потому что треугольник — это половина параллелограмма.

Площадь любого параллелограмма равна площади = основание x высота.

Итак, площадь любого треугольника: Площадь = 1/2 x основание x высота.

Вот видео, объясняющее, как это работает.

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=2avSR3Izbss]

Вот пример того, как мы вычисляем площадь треугольника.

Источник изображения: http://www.loisterms.com

Обратите внимание, что в приведенном выше примере использовались этапы разработки «FISC».

Формула
Информационная диаграмма
Подстановка значений в формулу
Вычислите окончательный ответ и убедитесь, что в нем есть квадратные единицы. Например. кв см, кв дюйм, кв км и так далее.

Крайне важно всегда показывать эти шаги при расчете площади любой формы.

Площадь трапеции (или трапеции).

Эта фигура немного похожа на параллелограмм, за исключением того, что у нее только две параллельные стороны.
Австралийцы называют его «трапецией», а американцы — «трапецией».

Источник изображения: http://www.mathwarehouse.com

Вот небольшой видеоролик, который поможет запомнить, как вычислять площадь трапеции.

[youtube http://www.youtube.com/watch?v=qlxawNewXiY]

Площадь ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны. Мы можем вычислить его площадь, используя основание x высоту, но мы также можем вычислить ту же площадь, перемножив две внутренние диагонали вместе и разделив на 2.

Источник изображения: http://www.thefreemathtutor.com

Ответы на вопросы по ромбу:
Q1. 418 кв.см, 41600 кв.мм, 0,0006 кв.м.
Q2. 91 кв см
Q3. (1000×2) / 10 = 200 мм.
Q4. (120×2)/30=8м.

Площадь воздушного змея

Воздушный змей имеет форму, аналогичную ромбу, и его площадь получается путем перемножения его диагоналей.

Источник изображения: http://www.coolmath.com

Краткое изложение формул площади

Вот набор формул, которые используются в математике для нахождения площадей.

Источник изображения: http://www.math-videos-online.com

Источник изображения: http://www.grc.nasa.gov

Онлайн-мероприятия

Вот онлайн-обучение, посвященное периметру и площади

http://www.bgfl.org/bgfl/custom/resources_ftp/client_ftp/ks2/maths/perimeter_and_area/index.html

Вот задание по площадям прямоугольников, треугольников и параллелограммов.

(Для загрузки требуется некоторое время).

Нажмите на вопросительный знак, чтобы ввести свой ответ, затем нажмите «ОК», чтобы проверить свой ответ.

http://www.bbc.co.uk/schools/ks3bitesize/maths/measures/area/activity.shtml

Онлайн-игры с площадью и периметром

Сыграйте в эту забавную игру, в которой мы используем базовые навыки площади и периметра для проектирования вольеров зоопарка для экспонатов животных:

http://www.mrnussbaum.com/zoo/index.html

Сыграйте в эту интересную игру, чтобы найти взаимосвязь между периметром и площадью.

http://pbskids.org/cyberchase/games/perimeterarea/index.html

Получайте удовольствие от изучения областей неправильной формы в этой игре Tangrams.

http://pbskids.org/cyberchase/games/area/index.html

Сложная игра «Площадь и периметр»

Нужно попасть прямо по углам начальных символов, получить руку символ, а затем перетащите элементы по сетке, чтобы они соответствовали заданным правилам периметра и площади.

Обратите внимание, что конечные области элементов не могут перекрываться. Тем не менее, может возникнуть необходимость сделать некоторое перекрытие при создании фигур.

http://www.mathplayground.com/PartyDesigner/PartyDesigner.html

Проверь себя онлайн

Щелкните ссылку ниже, чтобы перейти к онлайн-уроку по площади треугольников, и прокрутите страницу вниз, чтобы выполнить онлайн-тест из пяти вопросов. .

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_triangle.html

Нажмите на ссылку ниже, чтобы перейти к онлайн-уроку по площади параллелограммов и онлайн-тесту из пяти вопросов.

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_parallelogram.html

Нажмите на ссылку ниже, чтобы перейти к онлайн-уроку по площади трапеций и онлайн-тесту из пяти вопросов.

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/area_trapezoid.html

Вот онлайн-викторина по площадям прямоугольников и параллелограммов, которая включает в себя нахождение неизвестных сторон, если площадь известна.

http://au.ixl.com/math/year-7/area-of-rectangles-and-parallelograms

Попробуйте эти смешанные практические вопросы по периметру и площади.

http://www.mathgoodies.com/lessons/vol1/practice_unit1.html

Вот последний набор смешанных задач.

http://www.bbc.co.uk/scotland/learning/bitesize/standard/maths_i/measure/quiz/area_general/

Надеюсь, это охватило все области!

Связанные элементы

Периметр
Окружность
Площадь круга
Интересные круги
Составные площади
Формулы измерения
Высокие здания и огромная плотина
Мой виртуальный дом

Если вам понравился этот пост, почему бы не получить бесплатную подписку на наш Веб-сайт.
После этого вы сможете получать уведомления о новых страницах прямо на свой адрес электронной почты.

Просто найдите область подписки на правой боковой панели, введите свой адрес электронной почты и нажмите кнопку «Подписаться».

Чтобы точно узнать, как работает бесплатная подписка, нажмите на следующую ссылку:

Как работает бесплатная подписка

Enjoy,
Passy

Эта запись была размещена в разделе Площадь, Площадь простых фигур, Измерение, Онлайн-уроки математики, Периметр.

Углы в геометрии — введение | 7 класс

Содержание

Если вам приходилось часто ездить по междугородним маршрутам, вполне вероятно, что вы встречали по пути вот это — знак крутого уклона. Водителю он сообщает: «Осторожно! Дорога далее идет под углом». Углы — интересный объект нашего быта. Углы в геометрии — объект не менее интересный, поскольку они одновременно наследуют ряд свойств уже привычных нам фигур: точек и лучей.

Впереди вас ждет раздел, всецело посвященный изучению данной геометрической фигуры и ее особенностей.  

Луч и угол

Согните свою руку так, будто бы бравируете перед кем-то мускулами. Если рассмотреть полученную в результате фигуру «Мистер Мускул» геометрически, она будет состоять из точки перегиба (локтевого сустава) и двух линий (прямых предплечья и плеча).

Остановимся на прямых и точках. Начертим на плоскости два луча $AB$ и $AB_1$ так, что $AB\cap{AB_1}=A$. Фигура, получившаяся на чертеже ниже, будет называться углом. Видим, что луч и угол взаимосвязаны: углы в геометрии состоят из лучей и точки, общей для этих лучей.

Дадим определение:

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной начальной точки.

Рассматривать углы в геометрии можно как составную или как в некотором роде «единую» фигуру. Определение, приведенное выше, задает составное понимание фигуры в связке «луч и угол»: луч, еще один луч, точка. Также данную фигуру можно рассмотреть в совокупности. В этом случае лучи будут называться боковыми сторонами, а начальная точка — вершиной угла.

Луч и угол

Сторона и вершина

Угол представляет для нас больший интерес в качестве совокупной фигуры. Изучать его мы будем именно из позиции «вкупе». Однако не забывайте, что любой угол всегда раскладывается на лучи и точку.

{"questions":[{"content":"[[speech-1]]
Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя [[fill_choice-5]], выходящими из [[fill_choice-16]]. ","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Повторим определение. Дополните указанное ниже определение луча наиболее подходящими словами."},"fill_choice-5":{"type":"fill_choice","options":["лучами","прямыми","отрезками"],"answer":0},"fill_choice-16":{"type":"fill_choice","options":["одной начальной точки","двух отличных друг от друга точек"],"answer":0}}}]}

Обозначение углаУильям Отред, английский математик XVI–XVII вв. Придумал логарифмическую линейку, знак деления («$/$»), знак умножения («$\times$»). Также «облагородил» обозначение угла: спасибо мистеру Отреду, что угол мы обозначаем символом «$\angle$», а не знаком неравенства.

Существует несколько вариантов того, как в математической нотации дается обозначение угла. Все варианты объединяет использование символа «$\textcolor{coral}{\angle}$», — этому символу, кстати, больше четырехсот лет. Примечательно, что первая его версия от 1634 года напоминала знак неравенства «$<$». Символ указывается перед буквенным обозначением и показывает, что далее речь пойдет о фигуре «угол».

❗ Почему знаки обозначения фигур важны и нужны

Забегая немного вперед, покажем одну из особенностей обозначения угла способом «три точки». Делается это следующим образом: «$\angle{ABC}$». Тремя точками в том числе обозначается треугольник: «$\bigtriangleup{ABC}$».

Если не указывать перед буквами знак фигуры, создается неоднозначность. Вот почему знаки обозначения фигур крайне важны, когда речь идет про углы в геометрии. Не забывайте обозначать фигуры.

Обозначение угла через вершину


Обозначить углы в геометрии можно с помощью всего лишь одной буквы — той, что определяет точку вершины. Рассмотрим чертеж, где точка $A$ является вершиной. Данный угол обозначается как $\angle{A}.$

А вы про какой угол?

Это наиболее экономный способ записи, однако он не всегда удобен из-за возможной неоднозначности. Например, ситуация на чертеже: точка $A$ здесь является общей для трех лучей. И что, «$\angle{A}$» — это про тот, что слева, или тот, что справа?

Выбирать обозначение угла важно так, чтобы по ходу решения задачи или доказательства всем было ясно, где располагается указываемый вами угол.

Обозначение угла строчными греческими буквами


Дабы избежать неопределенности, на чертеж иногда наносят отдельную букву. Исторически сложилось, что букву эту выбирают из греческого алфавита строчного регистра.

На представленном чертеже примером такого обозначения будет «$\angle{\alpha}$».

Буква	Как обозначается	Как читается
$\alpha$	$\angle{\alpha}$	«угол альфа»
$\beta$	$\angle{\beta}$	«угол бета»
$\gamma$	$\angle{\gamma}$	«угол гамма»
$\delta$	$\angle{\delta}$	«угол дельта»
$\theta$	$\angle{\theta}$	«угол тета»
$\phi$	$\angle{\phi}$	«угол фи»

Литеры греческого алфавита, используемые в геометрии для обозначения углов.

{"questions":[{"content":"Упражнение для запоминания названий букв греческого алфавита. Не подсматривайте в таблицу выше и попытайтесь распределить буквы согласно их названию на русском самостоятельно. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\alpha$","$\\beta$","$\\gamma$","$\\delta$","$\\phi$","$\\theta$"],"items":["альфа","бета","гамма","дельта","фи","тета"]}}}]}

Обозначение угла с помощью направляющих точек

Вспомним, что луч можно обозначать не только с помощью начальной, но и направляющей точки. Рассмотрим лучи, пересекающиеся в точке $A$: $AB\cap{AC}=A$. Направляющими точками лучей являются точки $B$ и $C$.

Обозначаться данный угол будет как $\angle{CAB}$. Порядок наоборот также допустим: $\angle{BAC}$.

При способе обозначения «три точки» точка, указанная посередине, всегда является вершиной угла, а боковые буквы в записи являются точками, лежащими на сторонах угла.

Обозначение угла прямыми

Последний способ, наименее распространенный, — использовать прямые для обозначения угла. Луч является частью прямой, и если на чертеже имеется дополнительное буквенное указание прямых, их можно записать в порядке против часовой стрелки через скобки. Например, $\angle{(ab)}$.

Как и с точками, вариант «наоборот» допустим — $\angle{ba}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Проверим вас задачкой посложнее. Дана пирамида. Ее основанием является треугольник — фигура, состоящая из трех углов. Как будет обозначаться угол основания, вершина которого выделена красным цветом? [[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"http://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/TFM.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\angle{TFM}$","$\\angle{FTM}$","$\\angle{TMF}$"],"answer":[0]}}}]}

Дополнительно об обозначении углов

Скрыть содержимое

Порядок решает

Угол из примера в разделе «Обозначение угла с помощью направляющих точек».

И порядок этот — от точки слева к точке справа. Еще одна данность, как и буквы греческого алфавита: углы в геометрии принято отсчитывать против часовой стрелки. Поэтому угол обозначен в первую очередь как «$\angle{CAB}$», не «$\angle{BAC}$».

Вариант по направлению часовой стрелки («$\angle{BAC}$») допустим.

То, что принято, вовсе не обязательно. Просто правило хорошего тона, которое, если того требует удобство, можно нарушить.

Углы в геометрии: определение направления против часовой стрелки

Если вам сложно представлять поворот стрелки при обозначении углов, можно воспользоваться простым методом пальцев. Алгоритм прост:

👉 приложите указательный палец левой руки к крайней точке угла с левой стороны;
👈 приложите указательный палец правой руки к крайней точке угла с правой стороны;
✌️ точка вершины угла должна располагаться посередине;
✍️ запишите буквенное обозначение точек слева направо — от пальца левой руки к пальцу правой руки.

Пример

Значения не имеет, как при этом расположен угол на плоскости. Рассмотрим, к примеру, положение угла «домиком». Соответствующий угол будет обозначаться как $\angle{MPK}$.

Еще пример

Углы в геометрии:

внешняя сторона угла

Угол образует на плоскости две области — внутреннюю область и внешнюю. Определяя углы в геометрии, мы, как правило, оцениваем фигуру, полученную во внутренней области. Однако стороны угла можно рассматривать как для внутренней области, так и для внешней. С учетом, что существует так называемая внешняя сторона угла, лучи соответственно образуют два угла: внутренний и наружный.

Области угла

Внешняя сторона угла

Параллельное по тексту обозначение и внутреннего, и наружного углов часто сопряжено с проблемой неоднозначности. Решить ее можно двумя способами — простым и не очень простым. Если вы ознакомились с содержанием скрытого блока о методе пальцев, предлагаем также ознакомиться с не очень простой альтернативой ниже.

• Простой. Наносить на чертеж буквенное обозначение углов ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$). Скажем, если внутренний угол обозначить как «$\angle{\theta}$», соответствующий наружный удобно обозначить как «$\angle{\theta_1}$».

Альтернативный способ

Скрыть содержимое

• Не очень простой. Использовать обозначение «три точки» или с помощью прямых, однако при этом держать строгий порядок: против часовой — для внутренних, по часовой — для соответствующих наружных.

Например, $\angle{ABC}$ и $\angle{CBA}$. Или $\angle{(ab)}$ и $\angle{(ba)}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]<i>Подведем итоги практически. На чертеже даны два луча, образующие внутренний и наружный углы. Распределите данные ниже обозначения в строгой нотации (<b>против часовой стрелки</b>) согласно предложенным углам.</i>[[grouper-22]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"http://obrazavr. ru/wp-content/uploads/2022/08/test.svg"},"grouper-22":{"type":"grouper","labels":["Внутренний угол","Наружный угол"],"items":[["$\\angle{\\alpha}$","$\\angle{CAB}$","$\\angle{(ab)}$","$\\angle{A}$"],["$\\angle{\\phi}$","$\\angle{BAC}$","$\\angle{(ba)}$"]]}}}]}

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Выберите из предложенных вариантов ниже обозначения, подходящие указанному на чертеже углу. [[choice-8]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"http://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test1-1.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\angle{\\alpha}$","$\\angle{CAB}$","$\\angle{ab}$","$\\angle{A}$","$\\angle{C_1{AB}}$"],"answer":[0,1,2]}}}]}

Виды углов в геометрии: какой называется развернутым, сколько градусов в прямом и неразвернутом

С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура, что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты….

Содержание

Когда изучаются

Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам:

• В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
• В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.

Внимание! В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.

Определение и измерение

Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол в планиметрии.

Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:

• вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита,
• стороны – полупрямые, проведенные из вершины.

Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части:

• внутренняя в планиметрии не превышает 180 градусов,
• внешняя.

Принцип измерения углов в планиметрии объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.

Важно! Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.

Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.

Основные виды

Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.

По величине

Учитывая величину, углы разделяют на:

• развернутый,
• прямой,
• тупой,
• острый.

Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.

Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?

180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам. Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.

Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.

Это интересно! Легкие правила округления чисел после запятой

Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми. По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.

Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.

Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.

Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии основное свойство измерения.

При разделении угла одним лучом или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.

На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.

Фигуры при пересечении прямых

Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.

Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Элементы в треугольнике

Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними.

Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.

Пересечение двух прямых секущей

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых секущей также образуются углы, которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:

• внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5,
• внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6,
• соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.

В том случае, когда секущая пересекает две параллельные прямые, все эти пары углов имеют определённые свойства:

1. Внутренние накрест лежащие и соответственные фигуры между собой равны.
2. Внутренние односторонние элементы в сумме дают 180 градусов.

Изучаем углы в геометрии, их свойства

Виды углов в математике

Вывод

В этой статье представлены все основные виды углов, которые встречаются в планиметрии и изучаются в седьмом классе. Во всех последующих курсах свойства, касающихся всех рассмотренных элементов, являются основой для дальнейшего изучения геометрии. К примеру, изучая параллелограмм, необходимо будет вспомнить все свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. При изучении особенностей треугольников, необходимо вспомнить, что такое смежные углы. Перейдя в стереометрию, все объёмные фигуры будут изучаться и строиться, опираясь на планиметрические фигуры.

Это интересно! Изучение точного предмета: натуральные числа — это какие числа, примеры и свойства

Дополнительные углы — определение, различие, примеры

В геометрии дополнительные углы определяются как два угла, сумма которых составляет 90 градусов . Другими словами, два угла, сумма которых составляет 90 градусов, называются дополнительными углами. Например, 60° и 30°. Давайте узнаем больше об этом в этой статье.

1.	Что такое дополнительные углы?
2.	Смежные дополнительные углы
3.	Как найти дополнение к углу?
4.	Свойства дополнительных углов
5.	Дополнительные углы и дополнительные углы
6.	Теорема о дополнительном угле
7.	Часто задаваемые вопросы о дополнительных углах

Что такое дополнительные углы?

Дополнение и дополнение двух углов определяется суммой их измерений. Если сумма двух углов равна измерению прямого угла, то говорят, что пара углов представляет собой дополнительных угла .

Дополнительные углы Определение

Два угла называются дополнительными, если их сумма составляет 90 градусов. Другими словами, когда дополнительные углы сложены вместе, они образуют прямой угол (90 градусов). Угол 1 и угол 2 дополняют друг друга, если сумма обоих углов равна 90 градусам (т. е. угол 1 + угол 2 = 90°), и, таким образом, угол 1 и угол 2 называются дополнительными друг друга.

На приведенном ниже рисунке 60° + 30° = 90°. Следовательно, из «Определения дополнительных углов» эти два угла являются дополнительными. Каждый угол среди дополнительных углов называется «дополнением» другого угла. Здесь

• 60° — это дополнение к 30°.
• 30° является дополнением к 60°.

Смежные дополнительные углы

Если сумма двух углов равна измерению прямого угла, то пара углов называется дополнительным углом. В геометрии есть два типа дополнительных углов, как указано ниже:

• Смежные дополнительные углы
• Несмежные дополнительные углы

Смежные дополнительные углы : Два дополнительных угла с общей вершиной и общим плечом называются смежными дополнительными углами. На приведенном ниже рисунке ∠COB и ∠AOB являются смежными углами, поскольку они имеют общую вершину «O» и общее плечо «OB». В сумме они также составляют 90 градусов, то есть ∠COB + ∠AOB = 70° + 20° = 90°. Таким образом, эти два угла являются соседними дополнительными углами.

Несмежные дополнительные углы : Два дополнительных угла, которые НЕ являются смежными, называются несмежными дополнительными углами. На приведенном ниже рисунке ∠ABC и ∠PQR являются несмежными углами, поскольку они не имеют ни общей вершины, ни общего плеча. Кроме того, они в сумме дают 90 градусов, то есть ∠ABC + ∠PQR = 50° + 40° = 90°. Таким образом, эти два угла являются несмежными дополнительными углами. Если сложить несмежные дополнительные углы, то получится прямой угол.

Как найти дополнение к углу?

Мы знаем, что сумма двух дополнительных углов равна 90 градусов, и каждый из них называется «дополнением» другого. Таким образом, дополнение угла находится вычитанием его из 90 градусов. Дополнение x° равно 90-x° . Найдем дополнение к углу 57°. Дополнение 57° получается вычитанием его из 90°, т. е. 90° — 57° = 33°. Таким образом, дополнение угла 57° равно 33°.

Свойства дополнительных углов

Теперь мы уже узнали о типах дополнительных углов. Давайте посмотрим на некоторые важные свойства дополнительных углов. Свойства дополнительных углов приведены ниже:

• Два угла называются дополнительными, если их сумма составляет 90 градусов.
• Они могут быть как смежными, так и несмежными.
• Три или более углов не могут быть дополнительными, даже если их сумма равна 90 градусам.
• Если два угла дополняют друг друга, каждый угол называется «дополнением» или «дополняющим углом» другого угла.
• Два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга.

Дополнительные углы и дополнительные углы

Дополнительный и добавочный углы — это те углы, которые в сумме составляют 90 градусов и 180 градусов соответственно. Они могут быть как смежными, так и несмежными. Когда дополнительные углы можно рассматривать как две части прямого угла, дополнительные углы являются двумя частями прямого угла или угла в 180 градусов. Различия между дополнительными углами и дополнительными углами приведены в таблице ниже:

Дополнительные углы	Дополнительные углы
Пара углов называется смежной, если их сумма равна 180 градусам.	Пара углов называется дополнительной, если их сумма равна 90 градусов.
Дополнение угла x° равно (180 — x)°.	Дополнение угла x° равно (90 — x)°.
Их можно соединить вместе, образуя прямой угол.	Их можно соединить вместе, образуя прямой угол.

Вот небольшой трюк, который поможет вам понять взаимодополняющие углы и дополнительные углы.

• «S» означает «дополнительный», а «S» — «прямой». Следовательно, вы можете помнить, что два «дополнительных» угла, сложенные вместе, образуют «прямой» угол.
• «C» означает «дополнительный», а «C» — «угловой». Следовательно, вы можете помнить, что два «Дополнительных» угла, сложенные вместе, образуют «Угловой (правый)» угол.

Теорема о дополнительных углах

Если сумма двух углов равна 90 градусов, то говорят, что они дополнительные. Каждый из дополнительных углов острый и положительный. Давайте изучим теорему о дополнительных углах с ее доказательством. Теорема о дополнительных углах гласит: « Если два угла дополняют один и тот же угол, то они конгруэнтны друг другу ».

Доказательство дополнительных углов Теорема:

Мы знаем, что дополнительные углы существуют парами и в сумме дают 90 градусов. Рассмотрим следующий рисунок и докажем теорему о дополнительном угле.

• Предположим, что ∠POQ является дополнительным к ∠AOP и ∠QOR.
• Теперь, согласно определению дополнительных углов, ∠POQ + ∠AOP = 90° и ∠POQ + ∠QOR = 90°.
• Из приведенных выше двух уравнений мы можем сказать, что «∠POQ + ∠AOP = ∠POQ + ∠QOR».
• Теперь вычтите ‘∠POQ’ с обеих сторон, ∠AOP = ∠QOR.
• Таким образом, теорема доказана.

☛ Статьи по теме

Ознакомьтесь со следующими важными статьями, чтобы узнать больше о дополнительных углах в математике.

• Дополнительный калькулятор углов
• Дополнительные и Дополнительные углы Рабочие листы
• Типы углов

Часто задаваемые вопросы о дополнительных углах

Что означают дополнительные углы?

В геометрии два угла называются дополнительными, если их сумма равна 90 градусов. Если ∠1 и ∠2 дополнительные углы, то ∠1 + ∠2 = 90°.

Что дают в сумме дополнительные углы?

Два дополнительных угла всегда дают в сумме 90 градусов. Если ∠A и ∠B являются дополнительными углами, это означает, что:

• ∠A + ∠B = 90°.
• ∠A является дополнением к ∠B.
• ∠B является дополнением к ∠A.

Как найти дополнительные углы?

Если сумма двух углов равна 90 градусов, то говорят, что они дополнительные. Таким образом, дополнение угла получается вычитанием его из 90. Например, дополнение 40° равно 90° ^{— 40° = 50°.}

Чему равна сумма двух дополнительных углов?

Сумма двух дополнительных углов всегда равна 90 градусов. Следовательно, если X и Y дополняют друг друга, это означает, что ∠X + ∠Y = 90 °.

В чем разница между дополнительными и дополнительными углами?

Дополнительными углами считаются углы, сумма которых равна 180 градусам, а сумма двух дополнительных углов равна 90 градусам. Два дополнительных угла образуют прямой угол, а два дополнительных угла образуют прямой угол.

Как найти значение x в дополнительных углах?

Если два угла по x заданы как дополнительные, мы просто устанавливаем их сумму равной 90 градусам и решаем полученное уравнение. Если один угол задан как х°, то измерение другого угла равно 90° — х°.

Что такое пара дополнительных углов?

Два угла образуют пару дополнительных углов, если их сумма равна 90°. Значит, пара дополнительных углов образует прямой угол.

Дополнительный и дополнительный углы — одно и то же?

Нет, дополнительные и дополнительные углы не одно и то же. Два угла образуют пару дополнительных углов, если их сумма равна 90°, а два угла образуют пару дополнительных углов, если их сумма равна 180°.

Могут ли два прямых угла быть дополнительными углами?

Прямой угол равен 90°. Сумма двух прямых углов будет 180°, что больше 90°. Таким образом, два прямых угла никогда не могут быть дополнительными углами.

Углы — Обзор геометрии (Видео)

Привет и добро пожаловать в это видео об углах

Давайте начнем с определения луча . Луч — это линия с единственной конечной точкой, бесконечно простирающаяся в одном направлении.

Если мы возьмем этот луч и добавим к нему другой луч с той же конечной точкой, мы создадим угол .

Мы также создали вершину , которая является точкой пересечения двух лучей.

Вы можете думать об этом как об углу. Обычно мы видим вершины всякий раз, когда линии встречаются или в многоугольников как треугольников и четырехугольников.

Иногда у нас много ракурсов, поэтому, чтобы отличить их друг от друга, у нас есть система для их именования. Вот снова наш простой угол, но с добавлением нескольких точек на лучи:

Теперь мы можем называть наш угол углом ABC (∠ABC). При именовании углов тремя буквами точка вершины должна находиться посередине. Здесь B — вершина, поэтому B находится между A и C. На самом деле мы можем назвать это ∠CBA, и это так же правильно.

Если точка, которая является вершиной, является только частью одного угла, тогда мы можем использовать более короткое имя. В этом случае мы могли бы также назвать этот угол B. Однако будьте осторожны, потому что иногда одна точка может быть вершиной нескольких углов, например:

В этом случае нам пришлось бы называть углы их длинными именами. , потому что точка B является вершиной ∠ABC, ∠DBC и ∠DBA! Если бы мы попросили кого-нибудь просто посмотреть на ∠B, они бы не поняли, что из этого мы имели в виду. Поэтому важно быть точным при работе с более чем одним углом.

Иногда углы будут обозначаться числами внутри дуги, например:

Теперь у нас есть дополнительное имя для этого угла. Теперь мы можем назвать его ∠1, или мы можем назвать его ∠ABC, или мы можем назвать его ∠B. Поскольку у большинства из нас три имени, будет справедливо, если у углов тоже будет куча. Но чаще всего нам нравится использовать буквы для обозначения наших углов, поскольку числа можно спутать с мерой угла. Иногда вы увидите строчные буквы вместо цифр или греческих символов, таких как \(\theta\) или \(\alpha\).

Говоря об измерениях, помните транспортир? Мы используем его для измерения углов. Если бы мы поместили один из них на наш надежный угол, мы бы обнаружили, что он измеряет 45 градусов:

Если бы мы записали это, мы бы написали это так:

\(m∠ABC = 45°\)

Мера угла важна при классификации углов, как мы скоро увидим.

Давайте посмотрим на вариант нашего двухлучевого угла, но на этот раз давайте сделаем так, чтобы они были равны перпендикулярны друг к другу, что означает, что угол между ними составляет 90 градусов:

Здесь мы создали прямой угол . Обратите внимание, что он имеет другой символ угла, чем наш первый угол. Вместо дуги у него квадрат. Всякий раз, когда мы видим угол с этим квадратом, мы знаем, что он точно равен 90 градусам. Чаще всего мы видим прямые углы в квадратах , прямоугольниках и прямоугольных треугольниках , но они могут появляться и в других местах.

Когда угол имеет меру меньше 90 градусов, это называется остроугольным треугольником . Наш первоначальный угол был бы частью остроугольного треугольника, так как его длина равна 45 градусам, что меньше 90:

, который выглядит так:

В этом случае угол ABC имеет размер 140 градусов, что больше 90. Тупые углы также должны быть меньше 180 градусов.

Это три основных типа углов, определяемых мерой, но есть еще два чудака, о которых нам нужно знать.

Первый прямой угол . Она выглядит как прямая линия и имеет меру 180 градусов.

Когда это нарисовано так, мы видим, что ∠ABC действительно существует и имеет меру 180 градусов. Это полезно знать, потому что это понадобится нам позже для понимания линейных пар.

Но прежде чем мы дойдем до этого, давайте посмотрим на другого чудака. Этот совсем не похож на угол:

Но на самом деле он называется полный угол . Представьте, что мы повернули точку А против часовой стрелки, а точка В осталась на месте, пока она снова не совместилась с точкой С. Сколько это градусов? Это весь круг, который, как мы знаем, составляет 360°.

Помните наш прямой угол? Что, если мы нарисуем это, но добавим еще один луч, выходящий из него, например:

Если мы знаем, что угол DBC равен 55 градусам, и мы знаем, что угол ABC является прямым углом и, следовательно, равен 180 градусам, мы действительно можем найти угол ABD ! Как? Взяв весь прямой угол (∠ABC), равный 180 градусам, и вычтя меньший угол (∠DBC), равный 55 градусам. \(180° – 55° = 125°\). Это называется линейной парой . Два угла (∠ABD и ∠DBC) образуют прямую ∠ABC. А поскольку два меньших угла в сумме дают 180 градусов, мы также можем сказать, что они равны 9.0003 дополнительные углы .

Нечто подобное происходит и с прямыми углами. Вот наш прямой угол, но с другим лучом посередине:

Угол DEF — прямой угол. Мы видим, что ∠DEG и ∠GEF вместе полностью заполняют ∠DEF, а это значит, что их сумма составляет 90 градусов. Итак, если мы знаем один из двух углов, мы можем найти другой, вычитая его меру из 90 градусов. Например, если ∠DEG равно 30°, то мы знаем, что ∠GEF равно 60°, потому что 90° – 30° = 60°. Углы, которые в сумме дают 90° называются дополнительными углами .

Вернемся к нашему тупому углу еще раз. Есть еще один тип ракурса, который скрывался у всех на виду, о котором нам нужно знать.

Мы видим, что угол ∠ABC тупой, а значит больше 90° и меньше 180°. Но как насчет другой стороны?

Это называется углом рефлекса .

Всегда больше 180° и меньше 360°. Каждый острый, прямой и тупой угол имеет рефлекторный угол.

Теперь давайте посмотрим, где мы увидим некоторые из этих углов в дикой природе или, по крайней мере, в задачах по геометрии.

Начнем с двух пересекающихся линий. В данном случае мы пронумеровали углы.

Всякий раз, когда мы видим подобную фигуру, если мы знаем один из углов, мы можем определить все остальные! Итак, если угол ∠1 равен 130°, мы можем вычислить угол ∠2, потому что эти два угла вместе образуют прямую и являются линейной парой и дополнительными. Таким образом, ∠2 должно быть равно 50°. То же самое работает для углов 1 и 3. И затем мы можем использовать то, что мы знаем о ∠2, чтобы соединить его с ∠4, чтобы найти этот угол. Когда все сказано и сделано, это выглядит так:

Обратите внимание, что противоположные углы имеют одинаковую величину. Эти углы называются вертикальными углами , и они всегда конгруэнтны , что в геометрии говорит о том, что они имеют одинаковую меру.

Теперь давайте посмотрим на три пересекающиеся линии:

Это называется секущей . Мы снова пронумеровали углы, и на двух линиях есть красные стрелки, указывающие на то, что они параллельны. Секущей не обязательно иметь параллельные линии, но когда они есть, это позволяет нам многое узнать о восьми углах, образованных пересекающимися линиями.

Но прежде чем мы дойдем до этого, давайте посмотрим на восемь углов. Мы видим, что они находятся в двух группах по четыре (углы 1-4 и 5-8). Угол 1 находится в верхнем левом положении в верхней группе углов. Если мы посмотрим на то же место в нижней группе углов, мы увидим, что ∠5 находится в верхнем левом месте для этой группы. Это означает, что ∠1 и ∠5 — соответствующие углы. Таким образом, ∠2 и ∠6 также являются соответствующими углами, потому что они находятся в правом верхнем углу для соответствующих групп. ∠3 и ∠7 также соответствуют, как и ∠4 и ∠8. В секущей, когда есть пара параллельных прямых, соответствующие углы равны. Когда прямые не параллельны, соответствующие углы не равны.

В случае с нашей диаграммой, которая имеет параллельные линии, если мы знаем, что ∠2 равно 55°, мы знаем, что ∠6 также равно 55°. И как только мы это узнаем, мы можем использовать то, что мы узнали о вертикальных углах и линейных парах, чтобы найти все остальные:

Это все, что нам нужно знать, чтобы найти наши углы, но есть еще кое-какой словарь, основанный на местоположении, который нам нужно знать. в курсе таких проблем. Внутренние углы — это углы между параллельными прямыми. В данном случае это ∠3, ∠4, ∠5 и ∠6. Внешние углы — это те, которые, как вы уже догадались, не лежат между параллельными прямыми. Итак, ∠1, ∠2, ∠7 и ∠8 — внешние углы.

Альтернативные углы — это углы, находящиеся по разные стороны от линии, пересекающей параллельные линии. А односторонние углы — это, конечно, углы, лежащие по одну сторону от этой линии.

В вопросах о двух группах углов это используется для объединения внутренних или внешних углов с чередующимися или одинаковыми боковыми углами. Вопрос всегда будет относиться к другой группе углов. Что-то вроде «каков альтернативный внутренний угол для ∠3?» Мы бы посмотрели на другую группу углов, затем на другую сторону пересекающейся линии, а затем нашли бы единственный угол, который является внутренним углом, который будет равен ∠6. Тот же боковой внутренний угол для ∠3 равен ∠5.

Очень многое нужно усвоить за небольшой промежуток времени. Ссылаясь на изображение выше, попробуйте ответить на следующие вопросы, чтобы увидеть, утонуло ли оно:

1. Каков внешний угол, альтернативный ∠8?

 

2. Чему равен внешний угол той же стороны к ∠7?

 

3. Чему равен угол, соответствующий ∠5?

 

Спасибо за просмотр и удачной рыбалки!

Часто задаваемые вопросы

Q

Что такое дополнительные углы?

A

Дополнительные углы — это два угла, сумма величин которых равна 90 градусам.

Q

Что такое дополнительный угол?

A

Дополнительный угол — это угол, который в сумме с другим углом составляет 180°.
пр. Какой угол примыкает к углу 107°?
180 – 107 = 73°

Q

Что такое вертикальные углы?

A

Вертикальные углы представляют собой пары углов, противоположных друг другу. Один вертикальный угол всегда равен другому вертикальному углу.
пр.


∠ABC и ∠DBE — вертикальные углы.

Q

Что такое соответствующие углы?

A

Соответствующие углы — это углы, которые находятся в одном и том же положении относительно поперечной и параллельной прямой, когда две прямые пересекаются секущей. Соответственные углы всегда имеют одну и ту же меру.
пр.


∠1 и ∠2 — соответствующие углы.

Q

Что такое острый угол?

A

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше 90 градусов.

Q

Как найти угол треугольника?

A

Найдите угол прямоугольного треугольника, используя формулы: ) и \(tan⁡θ=\frac {напротив} {смежный}\). Эти формулы можно запомнить, используя легочный SOH-CAH-TOA. Заполните заданные длины сторон и действуйте в обратном порядке, чтобы найти угол (ϴ). 9{-1}\frac{4}{5}\)
\(θ≈53,13°\)

Q

Что такое тупой угол?

A

Тупой угол — это любой угол, градусная мера которого больше 90°.
пр.


Практические вопросы

Вопрос №1:

 
Описание какого угла соответствует приведенному ниже углу?


Прямой угол

Острый угол

Полный угол

Тупой угол

Показать ответ

Ответ:

Тупой угол имеет размер больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

 
Решите для x .


43 °

53 °

137 °

90 °

Покажите ответ

Ответ:

Сумма x и 37 ° будет

5, потому что эти две углы.

x можно рассчитать, вычитая 37 из 90. В любом случае \(x=53°\).

Скрыть ответ

Вопрос №3:

 
Какая пара углов будет считаться вертикальными углами ?


Угол 6 и угол 8

Угол 3 и угол 8

Угол 5 и угол 8

Угол 1 и угол 8

Показать ответ

Ответ:

Вертикальные углы также известны как противоположные угол. Противоположные углы, или вертикальные углы, на схеме включают: 1 и 4, 2 и 3, 5 и 8, а также 6 и 7.

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
Макс устанавливает разбрызгиватель так, чтобы он опрыскивал участок газона под углом 90°. Он планирует поворачивать разбрызгиватель каждые 15 минут, чтобы весь газон получал воду. Сколько раз нужно повернуть разбрызгиватель, чтобы полить весь газон?


Всего четыре раза

Всего пять раз

Всего два раза

Всего шесть раз

Показать ответ

Ответ:

Каждый раз, когда устанавливается дождеватель, он поливает четверть всего газона. Это означает, что разбрызгиватель необходимо повернуть четыре раза, чтобы достичь каждой секции. \(90°×4\text{sections}=360°\) (общий двор).

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Пешеходная дорожка пересекает железнодорожные пути, образуя поперечную линию.

Формулы периметра.

Формулы периметра.

Периметром геометрической фигуры — называют длину границы геометрической фигуры.

• Формула периметра треугольника
• Формулы периметры квадрата
• Формула периметра прямоугольника
• Формула периметра параллелограмма
• Формула периметра ромба
• Формула периметра трапеции
• Формулы периметра круга, длины окружности

Формула периметра треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон

Геометрические рисунки для срисовки — 144 фото

Рисунки ручной для срисовки

Геометрические фигуры животных

Геометрические животные

Графические фигуры

Геометрический стиль рисования

Геометрический стиль рисования

Геометрические рисунки

Геометрические животные

Стилизованные геометрические фигуры

Геометрический стиль рисования

Геометрическая симметрия

Эскизы Минимализм

Геометрические рисунки

Необычные геометрические фигуры

Геометрическая лиса

Красивые геометрические фигуры карандашом

Геометрические животные

Интересные геометрические рисунки

Олень эскиз

Тату геометрические фигуры эскизы

Маленькие тату эскизы геометрические

Животный геометрические фигуры

Геометрический волк

Необычные геометрические фигуры

Геометрические эскизы

Красивые фигуры карандашом

Раскраска Кристалл

Лев в стиле лайнворк

Олень в геометрическом стиле

Геометрические тату эскизы

Сложный геометрический орнамент

Геометрические тату эскизы

Олень в геометрическом стиле

Геометрические тату эскизы

Геометрические тату эскизы

Животные геометрическими фигурами

Рисунки из геометрических фигур красивые

Геометрические тату эскизы

Керби Розанес геометрические звери

Геометрические рисунки

Геометрические рисунки

Геометрические животные

Геометрия эскизы

Геометрическая лиса

Геометрические звери

Геометрический Единорог

Геометрические животные

Геометрические рисунки

Геометрическая Мандала раскраска

Геометрический олень

Геометрические рисунки простые

Геометрические рисунки

Рисование треугольниками

Kerby Rosanes тату

Рисунки в тетрадке в клеточку

Геометрические рисунки тату

Геометрические животные простые

Фигуры Эшера и Пенроуза

Геометрическое рисование

Геометрические тату эскизы

Керби Розанес кит

Необычные геометрические фигуры

Бумажный Журавлик эскиз

Животные геометрическими фигурами

Геометрическая лиса

Геометрические фигуры животных

Фрактал из треугольников

Геометрический пейзаж карандашом

Узоры по клеточкам в тетради

Треугольник Пенроуза Эшер

Кристалл Минимализм

Геометрические тату эскизы Kerby Rosanes

Геометрический олень

Kerby Rosanes геометрические животные

Геометрический волк тату

Алмаз нарисовать

Геометрические животные карандашом

Геометрические фигуры по клеточкам сложные

Животные геометрическими фигурами

Тату геометрия эскизы

Геометрические узоры Эшера

Скетчи животных черной ручкой

Тату геометрические на животе

Олень Геометрика

Маленькие рисуночки акварелью

Узоры по клеточкам в тетради

Геометрическая Графика

Сканди Сова

Бриллиант рисунок

Тату эскизы лайнворк геометрия

Красивые геометрические фигуры

Геометрическая стилизация

Керби Розанес геометрические звери

Красивые геометрические рисунки

Несложные тату

Красивые геометрические фигуры

Геометрическая роза

Геометрический олень

Геометрический стиль рисования

Многогранники Эшера

Графические тату

Олень Графика

Стилизованные геометрические фигуры

Портрет Фрида геометричный

Линия сердца

Рисунки в геометрическом стиле

Необычный треугольник

Геометричный ананас

Цветы геометрия эскиз

Стилизованный бриллиант

Геометрическая лиса тату

Геометрическое лицо набросок

Тату эскизы треугольник

Дудлинг Мандала

Геометрические рисунки простые

Эскизы для скетчбука геометрии

Геометрические фигуры по клеточкам в тетради

Чёрная ручка для рисования

Идеи для рисования для начинающих

Геометрический Единорог

Красивые геометрические фигуры

Геометрические рисунки

Минималистичный орнамент

Kerby Rosanes геометрические животные тату

Мауриц Эшер правильные многогранники картина

Инсталляция эскиз 7 класс

Геометрические животные волк

Животные геометрия

Геометрическая симметрия

Животные в минималистическом стиле

Геометрические тату эскизы Kerby Rosanes

Животные из геометрических фигу

Волк геометрия

Геометрические животные

Волк набросок

Kerby Rosanes геометрические животные тату

Геометрические рисунки

Геометрические фигуры животных

Тату космос эскизы

Стилизованные перья

Кит гелевой ручкой в скетчбуке

Тату волк лайнворк

Геометрические животные

Рисунки ручкой Наброски

как их использовать? — INMYROOM

Советы

Объясняем, как с помощью геометрии скорректировать форму комнаты, и рассказываем, как используют графические принты дизайнеры

С помощью геометрических узоров можно визуально исправить недостатки комнаты и подчеркнуть достоинства, а еще — добавить стиля и акцентов. Вместе с экспертами Leroy Merlin рассказываем, как сделать это правильно. 

Дизайн: Enjoy Home

Как использовать геометрию в маленькой комнате?

С помощью геометрических узоров можно сделать комнату визуально больше. Достаточно знать несколько простых правил. 

• Выбирайте обои с вертикальной полоской — она зрительно вытянет потолок вверх. 
  
• Или с горизонтальной полоской, чтобы визуально сделать стену длиннее, а комнату — шире. 
  
• Угловатые линии и фигуры, например, ромбы, тоже помогут вытянуть потолок.
  
• Однако размер геометрических фигур на стенах не должен быть большим — желаемого эффекта не получится.

Дизайн: Маргарита Рассказова

Добавляем геометрию акцентно

Так вы разнообразите интерьер. Что можно сделать? 

Оклейте обоями с геометрическим принтом только одну стену.

Или оформите стену из деревянных или 3D-панелей.

Выложите плитку на фартуке в кухне необычным способом.

Или выбирайте плитку с геометрическим узором.

Поставьте диван или кресло с обивкой с геометрическим принтом.

И не забудьте про декор — подушки, пледы, шторы или ковры.

Дизайн: Мила Колпакова

С чем и как сочетать?

Беспроигрышный вариант — графичный паттерн с однотонным фоном. То есть, если вы выбрали обои с геометрическим рисунком, мебель должна быть без узоров. А если решили положить большой ковер с графичным паттерном, отделка стен и пола тоже должна быть однотонной. 

Не бойтесь миксовать несколько паттернов в аксессуарах. Например, положить три подушки с геометрическими узорами. А еще эффектно смотрится цветочный рисунок в комбинации с геометрией. 

Дизайн: To Taste Studio

Как дизайнеры используют геометрические принты: еще 9 идей

Дизайнеры Berphin Interior поклеили обои с геометрическим принтом на всю стену, а мебель и аксессуары подобрали однотонные.

Анна Багрова покрасила все стены белой краской, а графичности интерьеру придала с помощью акцентной стены — для нее она выбрала обои с фигурным принтом.

И еще одно решение от Quadrum Studio — небольшое изображение треугольников на обоях сразу делает интерьер интереснее.

В интерьере от Boho Studio использована ненавязчивая графика на декоративных подушках.

Разместить в гостиной кресло с такой геометрической обивкой — идея Арианы Ахмад.

Екатерина Ансимова подобрала для этой гостиной ковер с геометрическим рисунком в форме кубов.

Чтобы обратить внимание на светлую палитру с цветными деталями, специалисты Quadrum Studio добавили обои с графичным рисунком.

Броские стулья с графичным паттерном для обеденной зоны выбрали и дизайнеры бюро OM Design.

А в этом интерьере от Жени Ждановой стена в детской комнате оклеена обоями с ромбами.

И что купить для интерьера с геометрическими принтами?

Обои с геометрическим паттерном — то, что создаст основу оригинального интерьера. Используйте их для акцентной стены диванной зоны в гостиной или в изголовье кровати — в спальне. На их фоне будет отлично смотреться однотонная мебель.

Также геометрические рисунки можно добавить с помощью текстиля. Повесьте шторы с таким принтом, положите подушки на диван. Например, в Leroy Merlin есть коллекции отделки и декора с графическими узорами — выбрать будет несложно. 

Фото: Leroy Merlin

Вам понадобится:

Обои на флизелиновой основе «Линии», Leroy Merlin

Подушка «Охара», Leroy Merlin

Ламинат Artens «Дуб Бристоль», Leroy Merlin

Люстра «Улыбка», Leroy Merlin

Штора на ленте «Охара», Leroy Merlin

Подушка «Охара», Leroy Merlin

На обложке: дизайн-проект Екатерины Савкиной.

большой список — Программное обеспечение для рисования геометрических диаграмм

Python Matplotlib

https://matplotlib.org/

Хотя Matplotlib сосредоточен на построении графиков данных, он стал настолько функциональным, что с его помощью можно создавать хорошие 2D-иллюстрации. .

Написание на Python также является огромным плюсом по сравнению с предметно-ориентированными языками, такими как gnuplot.

Надо сказать, что, поскольку основное внимание уделяется не иллюстрациям, иногда вам нужно немного поискать решение в Google, но часто оно существует или, по крайней мере, разумное обходное решение. А когда это не так, часто нетрудно написать код самостоятельно и отправить патч.

Рассмотрим, например, эту простую образовательную демонстрацию графа, которую я сделал:

Исходный код

Также обратите внимание, что в этой демонстрации нет ничего обязательного: например, вы можете легко сорвать оси или заголовок.

Следует сказать, что Matplotlib не идеален для 3D, поскольку он не поддерживает серверную часть OpenGL. В результате 3D-интерфейс получается особенно неуклюжим и довольно неполным.

Но иногда можно обойтись, если ваши требования не слишком строгие. Например, вот моя попытка иллюстрации сферы Блоха, которую я сделал для этого другого ответа:

Исходный код.

В этом примере мы видим, что я не смог разместить маленькие кружки над графиком, как мне хотелось бы, показывая, что 3D не идеален. Но для него есть даже черновой пулл-реквест.

Одним из преимуществ Matplotlib является то, что он имеет собственный анализатор подмножества LaTeX и, таким образом, не требует полной установки LaTeX для математики, как указано на https://matplotlib.org/3.3.3/tutorials/text/mathtext.html:

.

Обратите внимание, что вам не нужно устанавливать TeX, так как Matplotlib поставляет свой собственный анализатор выражений TeX, механизм компоновки и шрифты. Механизм компоновки является довольно прямой адаптацией алгоритмов компоновки в TeX Дональда Кнута, поэтому качество довольно хорошее (matplotlib также предоставляет опцию usetex для тех, кто хочет вызывать TeX для генерации своего текста).0005

Протестировано на matplotlib==3.2.2.

3blue1brown’s Manim

https://github.com/ManimCommunity/manim/

Это основано на движке, который 3blue1brown использует для своих потрясающе выглядящих видео, которые включают сложные движущиеся графики и формулы.

Пусть пример видео говорит сам за себя: https://www.youtube.com/watch?v=r6sGWTCMz2k&t=1s

И есть демо-версия в дереве:

 git clone https://github. com/ManimCommunity/manim/
компакт-диск
Git-касса 1b12f076be49a677add97346eed6900e3cf18873
cd example_scene
manim basic.py
xdg-open ./media/videos/basic/480p15/OpeningManimExample.mp4
 

Демонстрации Inkscape

Inkscape ранее упоминался по адресу: Программное обеспечение для рисования геометрических диаграмм, но вот несколько демонстраций, которые показались уместными.

https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/141237/how-to-color-2-circles-intersection-in-other-color-in-draw-io показывает, как он поддерживает выполнение пересечения фигур (у вас есть потенциально копировать объекты для их объединения):

Интуиция за обычными подгруппами показывает более свободную блок-схему, которую я составил сам:

Inkscape в настоящее время не поддерживает ограничения, однако, к сожалению: https://gitlab. com/inkscape/inbox/- /issues/1465 например. «одинаковая ширина, параллельность и т. д.», но в целом вы можете получить достойные результаты, просто привязавшись к сетке в редакторе. Инструмент «Выровнять и распределить» также помогает, действуя как «однократные временные ограничения», но прямо сейчас нет возможности установить настоящие постоянные ограничения.

В LaTeX нет математической поддержки в чрезвычайно удобном готовом виде, но есть несколько возможных методов:

• https://tex.stackexchange.com/questions/61274/is-there -любой-способ-набрать-латексный-код-непосредственно-в-текстовые-поля-inkscape
• https://graphicdesign.stackexchange.com/questions/88027/where-to-find-latex-formula-in-inkscape

Экспорт SVG из FreeCAD

Обычно это немного перебор, но это действительно здорово.

FreeCAD, как программное обеспечение САПР, фактически поддерживает явные ограничения с помощью решателя ограничений.

Это немного похоже на то, что может делать программное обеспечение для рисования геометрических диаграмм, упомянутое kseg, за исключением того, что kseg кажется немного заброшенным, например. последний выпуск на SourceForge выпущен в 2011 году.

FreeCAD не ориентирован на создание красиво выглядящих SVG, но возможный рабочий процесс будет заключаться в экспорте идеальной геометрии в SVG, а затем импорте SVG в Inkscape, чтобы закончить больше визуальных деталей. Это может быть разумным обходным путем до того благословенного дня, когда Inkscape реализует ограничения.

Для экспорта в SVG необходимо создать эскиз. FreeCAD немного пугает, так как он делает гораздо больше, чем 2D-фигуры, так что просто посмотрите это видео: https://www.youtube.com/watch?v=sxnij3CkkdU

При этом я получаю идеально заданную фигуру, которую вы можете увидеть некоторые ограничения, отображаемые в графическом интерфейсе FreeCAD, например. равенство сторон этого треугольника:

Затем я экспортирую в SVG через:

• Выберите эскиз в правом меню
• Файл
• Экспорт
• Тип файлов: Flattned SVG

А затем после преобразования в PNG для загрузки сюда:

 inkscape -b 'FFF' -z -w 512 eye. svg -e eye.png
 

Я получаю:

TODO: почему все так запутано?

Проверено на FreeCAD 0.18.4, Ubuntu 20.04.

MathMod

https://github.com/parisolab/mathmod

Не большое сообщество по состоянию на 2020 год, но, похоже, он может создавать действительно хорошие трехмерные параметрические/изокривые графики с OpenGL и настраиваемым затенением. .

Вы можете использовать собственный язык сценариев для его автоматизации (позор, а не python), а в графическом интерфейсе есть виджеты для изменения параметров, включая анимацию во времени.

Я смог запустить его на Ubuntu 20.10, загрузив предварительно собранную версию 10.1 с официальной страницы загрузки на SourceForge (к сожалению). Затем просто разархивируйте и запустите с помощью:

 ./RunMathMod.sh
 

Вот скриншот версии 10.1:

‎GeoGebra Geometry в App Store

Описание

Создавайте окружности, углы, преобразования и многое другое с помощью нашего бесплатного инструмента геометрии

Легко стройте треугольники, перетаскивайте точки, рисуйте параллельные линии, пересекайте окружности, сохраняйте и делитесь своими результатами. Миллионы людей во всем мире используют GeoGebra для изучения математики и естественных наук. Присоединяйтесь к нам!

• Создание конструкций с точками, линиями, окружностями, многоугольниками и углами
• Изучение интерактивной геометрии путем перетаскивания точек
• Измерение длин и площадей
• Преобразование фигур путем их зеркального отображения, вращения и расширения
• Попробуйте сложные построения с помощью конических и геометрических линий
• Изучите этапы построения, чтобы лучше понять
• Ищите бесплатные учебные задания прямо из нашего приложения
• Сохраняйте и делитесь своими результатами с другими

Мы будем рады получить от вас известие: присылайте нам свои вопросы или отзывы через Twitter @geogebra или по адресу [email protected]

7 ноября 2022 г.

Версия 5.0.742

• Новая функция: автозаполнение, которое делает использование команд простым и понятным.

Рейтинги и обзоры

64 Оценки

Отлично; Пользовательский интерфейс мог бы быть более плавным

В целом приложение очень хорошее. Я не нашел ничего более полезного для геометрического построения, кроме Geogebra Classic. Однако палитра инструментов неуклюжая, особенно по сравнению с палитрой в Geogebra Classic. Требуется много прокрутки вверх и вниз, чтобы добраться до часто используемых инструментов, где классический пользовательский интерфейс делает их все легкодоступными.

(На снимке экрана в магазине приложений значки на палитре показаны компактными массивами. Они не такие, как в реальном приложении, и я не могу найти никаких настроек для создания такого расположения.)

Нет возможности сохранять файлы… после стольких лет!

Во-первых, Geogebra — потрясающая система, а движок Geometry — шедевр. Это гладко и полезно для всех видов целей, таких как понимание доказательств геометрии, определение конических сечений или просто игра. Но! Версия для iOS бесполезна ни для чего, кроме быстрых и грязных набросков, потому что *вы все еще не можете надежно сохранить свою работу даже спустя столько лет*. Конечно, если вы посмотрите в Интернете, после обширного поиска вы найдете разных людей, объясняющих обходные пути того, как вы предположительно можете сохранить свою работу, но вы найдете столько же людей, жалующихся на то, что это работает неправильно. У меня это не сработало: я использовал меню «Поделиться», экспортировал его в файлы и в итоге получил файл .ggb… но затем, когда я применил нелепый обходной путь, чтобы открыть его, файл был поврежден и не работал. даже отдаленно не содержит того, с чего я начал. На форумах поддержки я годами вижу, как люди жалуются на невозможность сохранения файлов. Это смешно. Я призываю разработчиков либо поддерживать iOS, либо нет… но не делать разочаровывающе незавершенное приложение.

Удивительно — и сохранять файлы было легко…

Во-первых — если вы интересуетесь и хотите не просто учиться, а действительно понимать геометрию, то это приложение для вас. Как любознательный человек, я учусь, экспериментируя и доказывая самому себе что-то… и это помогает, превращая рисунки в алгебру и наоборот.

Кажется, все жалуются на «сохранение» файлов. Есть кнопка экспорта — вы экспортируете файл и в листе общего доступа iOS — сохраните его в каком-нибудь облачном хранилище — я использую iCloud. Затем откройте из iCloud, коснувшись файла, а затем снова через общий лист, выбрав приложение. Кусок пирога.

Разработчик, Международный институт GeoGebra (IGI), указал, что политика конфиденциальности приложения может включать обработку данных, как описано ниже. Для получения дополнительной информации см. политику конфиденциальности разработчика.

Данные, не связанные с вами

Могут быть собраны следующие данные, но они не связаны с вашей личностью:

• Расположение
• Идентификаторы
• Данные об использовании
• Диагностика

Методы обеспечения конфиденциальности могут различаться, например, в зависимости от используемых вами функций или вашего возраста. Узнать больше

Информация

Продавец

Международный институт GeoGebra, «IGI»

Размер

116,5 МБ

Категория

Образование

Языки

Английский, африкаанс, албанский, амхарский, арабский, армянский, азербайджанский, бамбара, баскский, бенгальский, боснийский, бретонский, болгарский, бирманский, камбоджийский, каталанский, хорватский, чешский, датский, голландский, эсперанто, эстонский, фарерский, финский, французский , галисийский, грузинский, немецкий, греческий, иврит, хинди, венгерский, исландский, индонезийский, ирландский, итальянский, японский, каннада, казахский, корейский, латышский, литовский, македонский, малайский, малаялам, маратхи, монгольский, непальский, норвежский букмол, Норвежский нюнорск, персидский, польский, португальский, румынский, русский, сербский, упрощенный китайский, сингальский, словацкий, словенский, испанский, шведский, тагальский, таитянский, таджикский, тамильский, тайский, традиционный китайский, турецкий, уйгурский, украинский, урду, узбекский , вьетнамский, валлийский, коса, идиш

Возрастной рейтинг

4+

Авторское право

© Международный институт GeoGebra

Цена

Бесплатно

• Сайт разработчика
• Тех.