Как обозначается смежный угол в геометрии: Смежные и вертикальные углы | Геометрия

Определение смежных углов. Вертикальные и смежные углы

Что такое смежный угол

Угол – это геометрическая фигура (рис.1), образованная двумя лучами OA и OB (стороны угла), исходящими из одной точки O (вершина угла).

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла.

Смежные углы — (Agles adjacets) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через.

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.

рис. 2

На рисунке 2 углы a1b и a2b смежные. У них общая сторона b, а стороны a1, a2 — дополнительные полупрямые.

рис. 3

На рисунке 3 изображена прямая AB, точка C расположена между точками A и B. Точка D — точка не лежащая на прямой AB. Получается, что углы BCD и ACD смежные. У них общая сторона CD, а стороны CA и CB дополнительные полупрямые прямой AB, так как точки A, B разделены начальной точкой C.

Теорема о смежных углах

Теорема: сумма смежных углов равна 180°

Доказательство:
Углы a1b и a2b смежные (см. рис. 2) Луч b проходит между сторонами a1, и a2 развернутого угла. Следовательно, сумма углов a1b и a2b равна развернутому углу, то есть 180°. Теорема доказана.

Угол, равный 90° называется прямым. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом также прямой угол. Угол, меньший 90° называется острым, а угол больше 90° — тупым. Так как сумма смежных углов равна 180°, значит угол, смежный с острым углом — тупой угол. А угол смежный с тупым углом — острый угол.

Смежные углы — два угла с общей вершиной, одна из сторон которых — общая, а оставшиеся стороны лежат на одной прямой (не совпадая).

Сумма смежных углов равна 180°.

Определение 1. Углом называется часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Определение 1.1. Углом называют фигуру, состоящую из точки — вершины угла — и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.
Например, угол ВОС на рис1 Рассмотрим сначала две пересекающиеся прямые. При пересечении прямые образуют углы. Есть частные случаи:

Определение 2. Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой, то угол называется развернутым.

Определение 3. Прямой угол — это угол величиной в 90 градусов.

Определение 4. Угол, меньший 90 градусов, называется острым углом.

Определение 5. Угол, больший 90 градусов и меньший 180 градусов, называется тупым углом.
пересекающиеся прямые.

Определение 6. Два угла, одна сторона которых общая, а другие стороны лежат на одной прямой, называются смежными.

Определение 7. Углы, стороны которых продолжают друг друга, называются вертикальными углами.
На рисунке 1:
смежные: 1 и 2; 2 и 3; 3 и 4; 4 и 1
вертикальные: 1 и 3; 2 и 4
Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180 градусов.
Для доказательства рассмотрим на рис. 4 смежные углы АОВ и ВОС. Их суммой является развернутый угол АОС. Поэтому сумма данных смежных углов равна 180 градусов.

рис. 4

Связь математики с музыкой

«Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства.»

Г. Нейгауз
Казалось бы, искусство — весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика — самая абстрактная из наук, а музыка — наиболее отвлеченный вид искусства.
Консонанс определяет приятное для слуха звучание струны
В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых — Пифагора и Архита. Вот эти законы:
1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал.
2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l .
w = a: l ,
где а — коэффициент, характеризующий физические свойства струны.

Так же предложу вашему внимаю забавную пародию про спор двух математиков =)

Геометрия вокруг нас

Геометрия в нашей жизни имеет немаловажное значение. Ввиду того, что когда оглядеться вокруг, то не сложно будет заметить, что нас окружают различные геометрические фигуры. Мы с ними сталкиваемся повсюду: на улице, в классе, дома, в парке, в спортивном зале, в школьной столовой, в принципе везде, где бы мы с вами не находились. Но темой сегодняшнего урока являются смежные угли. Поэтому давайте оглянемся вокруг и попытаемся в этом окружении найти углы. Если вы внимательно посмотрите в окно, то можете увидеть, что некоторые ветки дерева образуют смежные углы, а в перегородках на воротах можно заметить множество вертикальных углов. Приведите свои примеры смежных углов, которые вы наблюдаете в окружающей обстановке.

Задание 1.

1. Вот на столе на книжной подставке стоит книга. Какой угол она образует?

2. А вот ученик работает за ноутбуком. Какой угол вы видите здесь?
3. Какой угол образует фото рамка на подставке?
4. Как вы думаете, возможно ли, чтобы два смежных угла были равными?

Задание 2.

Перед вами изображена геометрическая фигура. Что это за фигура, назовите ее? А теперь назовите все смежные углы, которые вы можете увидеть на этой геометрической фигуре.

Задание 3.

Перед вами изображение рисунка и картины. Рассмотрите их внимательно и скажите, какие виды улов вы видите на картине, а какие углы на рисунке.

Решение задач

1) Даны два угла, относящиеся друг к другу как 1: 2, а смежные с ними — как 7: 5. Нужно найти эти углы.
2) Известно, что один из смежных углов больше другого в 4 раза. Чему равны смежные углы?
3) Необходимо найти смежные углы, при условии, что один из них на 10 градусов больше от второго.

Математический диктант на повторение ранее выученного материала

1) Выполните рисунок: прямые a I b пересекаются в точке А. Отметьте меньший из образованных углов цифрой 1, а остальные углы – последовательно цифрами 2,3,4; дополняющие лучи прямой а — через а1 и а2, а прямой b — через b1 i b2.
2) Пользуясь выполненным рисунком, впишите нужные значения и объяснения в места пропусков в тексте:
а) угол 1 и угол …. смежные, поскольку…
б) угол 1 и угол …. вертикальные, поскольку…
в) если угол 1 = 60°, то угол 2 = …, потому что…
г) если угол 1 = 60°, то угол 3 = …, потому что…

Решите задачи:

1. Может ли сумма 3-х углов, образованных при пересечении 2-х прямых, равняться 100°? 370°?
2. На рисунке найдите все пары смежных углов. А теперь вертикальных углов. Назовите эти углы.

3. Нужно найти угол, когда он втрое больше, чем смежный с ним.
4. Две прямые пересеклись между собой. В результате этого пересечения образовались четыре угла. Определите величину любого из них, при условии что:

а) сумма 2-х углов из четырех 84°;
б) разность 2-х углов из них равна 45°;
в) один угол в 4 раза меньше чем второй;
г) сумма трех из данных углов равна 290°.

Итог урока

1. назовите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых?
2. Назовите все возможные пары углов, находящихся на рисунке, и определите их вид.

Домашнее задание:

1. Найдите отношение градусных мер смежных углов, когда один из них на 54° больше второго.
2. Найдите углы, которые образуются при пересечении 2-х прямых, при условии, что один из углов равняется сумме 2-х других углов, смежных с ним.

3. Необходимо найти смежные углы, когда биссектриса одного из них образует со стороной второго угол, который больше чем второй угол на 60°.
4. Разница 2-х смежных углов равна трети от суммы этих двух углов. Определите величины 2-х смежных углов.
5. Разница и сумма 2-х смежных углов относятся как 1: 5 соответственно. Найдите смежные углы.
6. Разница двух смежных составляет 25% от их суммы. Как относятся величины 2-х смежных углов? Определите величины 2-х смежных углов.

Вопросы:

1. Что такое угол?
2. Какие бывают типы углов?
3. Какая особенность смежных углов?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Как найти смежный угол?

Математика — древнейшая точная наука, которую в обязательном порядке изучают в школах, колледжах, институтах и университетах. Однако, базовые знания всегда закладываются еще в школе. Порой, ребенку задают достаточно сложные задания, а родители не в силах помочь, потому что просто забыли некоторые вещи из математики.

Например, как найти смежный угол по величине основного угла и т.п. Задача проста, но может вызвать затруднения при решении из-за незнания того, какие углы называются смежными и как их найти.

Рассмотрим подробнее определение и свойства смежных углов, а также как их вычислить по данным в задаче.

Определение и свойства смежных углов

Два луча, исходящие из одной точки образуют фигуру под названием «плоский угол». При этом эта точка именуется вершиной угла, а лучи являются его сторонами. Если продолжить один из лучей дальше начальной точки по прямой, то образуется еще один угол, который и называется смежным. У каждого угла в этом случае есть два смежных угла, так как стороны угла равнозначны. То есть всегда присутствует еще смежный угол в 180 градусов.

К основным свойствам смежных углов относят

• Смежные углы имеют общую вершину и одну сторону;
• Сумма смежных углов равна всегда 180 градусам или числу Пи, если вычисление ведется в радианах;
• Синусы смежных углов всегда равны;
• Косинусы и тангенсы смежных углов равны, но имеют противоположные знаки.

Как найти смежные углы

Обычно даются три вариации задач на нахождение величины смежных углов

• Дана величина основного угла;
• Дано соотношение основного и смежного угла;
• Дана величина вертикального угла.

Каждый вариант задачи имеет свое решение. Рассмотрим их.

Дана величина основного угла

Если в задаче указана величина основного угла, то найти смежный угол очень просто. Для этого достаточно из 180 градусов вычесть величину основного угла, и вы получите величину смежного угла. Данное решение исходит из свойства смежного угла — сумма смежных углов равна всегда 180 градусам.

Если же величина основного угла дана в радианах и в задаче требуется найти смежный угол в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину основного угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Дано соотношение основного и смежного угла

В задаче может быть дано соотношение основного и смежного угла вместо градусов и радиан величины основного угла. В этом случае решение будет выглядеть, как уравнение пропорции:

1. Обозначаем долю пропорции основного угла, как переменную «Y».
2. Долю относящуюся к смежному углу обозначаем, как переменную «Х».
3. Количество градусов, которые приходятся на каждую пропорцию, обозначим, например, «a».
4. Общая формула будет выглядеть так — a*X+a*Y=180 или a*(X+Y)=180.
5. Находим общий множитель уравнения «a» по формуле a=180/(X+Y).
6. Затем полученное значение общего множителя «а» умножаем на долю угла, который необходимо определить.

Таким образом мы можем найти величину смежного угла в градусах. Однако, если необходимо найти величину в радианах, то нужно просто перевести градусы в радианы. Для этого умножаем угол в градусах на число Пи и делим все на 180 градусов. Полученное значение будет в радианах.

Дана величина вертикального угла

Если в задаче не дана величина основного угла, но дана величина вертикального угла, то вычислить смежный угол можно по такой же формуле, что и в первом пункте, где дана величина основного угла.

Вертикальный угол — это угол, который исходит из той же точки, что и основной, но при этом он направлен в строго противоположном направлении. Тем самым получается зеркальное отражение. Это значит, что вертикальный угол по величине равен основному. В свою очередь, смежный угол вертикального угла равен смежному углу основного угла. Благодаря этому можно вычислить смежный угол основного угла. Для этого просто вычитаем из 180 градусов величину вертикального и получаем значение смежного угла основного угла в градусах.

Если же величина дана в радианах, то необходимо вычесть из числа Пи величину вертикального угла, так как величина полного развернутого угла в 180 градусов равна числу Пи.

Также вы можете прочесть наши полезные статьи и .

Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой (на рис. углы 1 и 2 смежные). Рис. к ст. Смежные углы … Большая советская энциклопедия

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ — углы, имеющие общую вершину и одну общую сторону, а две др. их стороны лежат на одной прямой … Большая политехническая энциклопедия

См. Угол … Большой Энциклопедический словарь

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, два угла, сумма которых равна 180°. Каждый из этих углов дополняет другой до развернутого угла … Научно-технический энциклопедический словарь

См. Угол. * * * СМЕЖНЫЕ УГЛЫ СМЕЖНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь

— (Angles adjacents) такие, которые имеют общую вершину и общую сторону. Преимущественно под этим именем подразумеваются такие С. углы, которых остальные две стороны лежат по противоположным направлениям одной прямой, проведенной через вершину … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

См. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

Две прямые пересекаются, создавая пару вертикальных углов. Одна пара состоит из углов A и B, другая из C и D. В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух … Википедия

Пара комплементарных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Комплементарные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два комплементарных угла являются соседними (т.е. имеют общую вершину и разделяются только… … Википедия

Пара дополнительных углов, дополняющих друг друга до 90 градусов Дополнительные углы это пара углов, которые дополняют друг друга до 90 градусов. Если два дополнительных угла являются с … Википедия

Книги

• О доказательстве в геометрии , Фетисов А.И.. Эта книга будет изготовлена в соответствии с Вашим заказом по технологии Print-on-Demand. Однажды, в самом начале учебного года, мне пришлось услышать разговор двух девочек. Старшая из них…
• Комплексная тетрадь для контроля знаний. Геометрия. 7 класс. ФГОС , Бабенко Светлана Павловна, Маркова Ирина Сергеевна. В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по геометрии для проведения текущего, тематического и итогового контроля качества знаний учащихся 7 класса. Содержание пособия…

Г Л А В А I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.

§11. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ.

1. Смежные углы.

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (черт. 72): / А ВС и / СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие АВи ВD составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.
Например, / АDF и / FDВ — углы смежные (черт. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (черт. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 2d.

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 3 / 5 d , то второй угол будет равен:

2d — 3 / 5 d = l 2 / 5 d .

2. Вертикальные углы.

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На чертеже 75 углы EOF и АОС- вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть / 1 = 7 / 8 d (черт. 76). Смежный с ним / 2 будет равен 2d — 7 / 8 d , т. е. 1 1 / 8 d .

Таким же образом можно вычислить, чему равны / 3 и / 4.
/ 3 = 2d — 1 1 / 8 d = 7 / 8 d ; / 4 = 2d — 7 / 8 d = 1 1 / 8 d (черт. 77).

Мы видим, что / 1 = / 3 и / 2 = / 4.

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём рассуждения, путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (черт. 78):

/ a + / c = 2d ;
/ b + / c = 2d ;

(так как сумма смежных углов равна 2d ).

/ a + / c = / b + / c

(так как и левая часть этого равенства равна 2d , и правая его часть тоже равна 2d ).

В это равенство входит один и тот же угол с .

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: / a = / b , т. е. вертикальные углы равны между собой.

При рассмотрении вопроса о вертикальных углах мы сначала объяснили, какие углы называются вертикальными, т. е. дали определение вертикальных углов.

Затем мы высказали суждение (утверждение) о равенстве вертикальных углов и в справедливости этого суждения убедились путём доказательства. Такие суждения, справедливость которых надо доказывать, называются теоремами . Таким образом, в данном параграфе мы дали определение вертикальных углов, а также высказали и доказали теорему об их свойстве.

В дальнейшем при изучении геометрии нам постоянно придётся встречаться с определениями и доказательствами теорем.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 / 1, / 2, / 3 и / 4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d .

На чертеже 80 / 1, / 2, / 3, / 4 и / 5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d .

Упражнения.

1. Один из смежных углов равен 0,72 d. Вычислить угол, составленный биссектрисами этих смежных углов.

2. Доказать, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.

3. Доказать, что если два угла равны, то равны и их смежные углы.

4. Сколько пар смежных углов на чертеже 81?

5. Может ли пара смежных углов состоять из двух острых углов? из двух тупых углов? из прямого и тупого угла? из прямого и острого угла?

6. Если один из смежных углов прямой, то что можно сказать о величине смежного с ним угла?

7. Если при пересечении двух прямых линий один угол прямой, то что можно сказать о величине остальных трёх углов?

Геометрия — это весьма многогранная наука. Она развивает логику, воображение и интеллект. Конечно, из-за своей сложности и огромного количества теорем и аксиом, она не всегда нравится школьникам. Кроме этого, существует необходимость постоянно доказывать свои выводы, используя общепринятые стандарты и правила.

Смежные и вертикальные углы — это неотъемлемая составляющая геометрии. Наверняка многие школьники просто обожают их по той причине, что их свойства понятны и просты в доказательстве.

Образование углов

Любой угол образуется путем пересечения двух прямых или проведения двух лучей из одной точки. Они могут называться либо одной буквой, либо тремя, которые последовательно обозначают точки построения угла.

Углы измеряются в градусах и могут (в зависимости от их значения) по-разному называться. Так, существует прямой угол, острый, тупой и развернутый. Каждому из названий соответствует определенная градусная мера или ее промежуток.

Острым называется угол, мера которого не превышает 90 градусов.

Тупым является угол, превышающий 90 градусов.

Угол называется прямым в том случае, когда его градусная мера равна 90.

В том случае, когда он образован одной сплошной прямой, и его градусная мера равна 180, его называют развернутым.

Углы, имеющие общую сторону, вторая сторона которых продолжает друг друга, называются смежными. Они могут быть как острыми, так и тупыми. Пересечение линией образует смежные углы. Свойства их следующие:

1. Сумма таких углов будет равна 180 градусам (существует теорема, доказывающая это). Поэтому можно легко вычислить один из них, если известен другой.
2. Из первого пункта следует, что смежные углы не могут быть образованы двумя тупыми или двумя острыми углами.

Благодаря этим свойствам, можно всегда вычислить градусную меру угла, имея значение другого угла или, по крайней мере, отношение между ними.

Вертикальные углы

Углы, стороны которых являются продолжением друг друга, называются вертикальными. В качестве такой пары могут выступать любые их разновидности. Вертикальные углы всегда равны между собой.

Они образуются при пересечении прямых. Совместно с ними всегда присутствуют и смежные углы. Угол может быть одновременно смежным для одного и вертикальным для другого.

При пересечении произвольной линией также рассматривают еще несколько видов углов. Такая линия называется секущей, она и образует соответственные, односторонние и накрест лежащие углы. Они равны между собой. Их можно рассматривать в свете свойств, которые имеют вертикальные и смежные углы.

Таким образом, тема углов представляется довольно простой и понятной. Все их свойства легко запомнить и доказать. Решение задач не представляется сложным до тех пор, пока углам соответствует числовое значение. Уже дальше, когда начнется изучение sin и cos, придется запоминать множество сложных формул, их выводов и следствий. А до того времени можно просто наслаждаться легкими задачками, в которых необходимо найти смежные углы.

Смежные углы | Методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему:

Тема: Смежные углы

Учитель: Хорошун И.Г. учитель математики МОУ СОШ с. Песчаноозерка

Класс: 7

Цели:

ввести понятие смежных углов, формировать умения строить угол смежный с данным, сформулировать свойство смежных углов, учить видеть смежные углы на чертежах; повторить понятие угла, его единицы измерения, понятие развернутого угла; развивать интерес к математике; воспитывать аккуратность при выполнении построений, чувство самоконтроля при выполнении теста.

Ресурсы: учебник «Геометрия 7 – 9» А.В. Погорелов, презентация, карточки для рефлексии.

Ход урока

1.Организационный момент. Мотивация.

(слайд 1)

— Ребята, мы начали изучать с вами очень интересный раздел математики – геометрию. Изучение данного раздела очень важно для освоение всего курса математики, так как экзаменационные задания в 9 классе содержат  модуль «геометрию». Чтобы набрать нужное количество баллов нужно обязательно решить минимум два задания из этого модуля.

Весь процесс изучения математики можно представить в виде лестницы (слайд 2). Наша задача добраться до самой верхней ступеньки лестницы и тогда мы получим знания достаточные для успешной сдачи экзамена по математике.

— Ребята, сейчас мы с вами шагнули на первую ступеньку изучения этой удивительной науки.

— Как вы считаете можно ли добраться до вершины лестницы минуя ступеньки? (Да, ведь я могу перешагнуть сразу две ступеньки. Почему бы и нет?)

— А можно ли получить прочные знания перепрыгивая через ступеньки – пропуская изучения тем или даже разделов? (Нет)

— Итак, значит сегодня мы с вами шагнем на следующую ступеньку по нашей лестнице знаний. Но прежде,  чем сделать шаг, давайте проверим, а какой багаж знаний у нас уже есть?

2. Актуализация знаний.

(слайд 3)

1) устный опрос:

— Какая фигура называется углом? (Углом называется фигура, которая состоит из точки – вершины угла – и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки, — сторон угла.)  

— Как обозначается угол?  (Указание вершин, указанием сторон, указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла)

— Какой угол называется развернутым? (Если стороны угла являются дополнительными полупрямыми одной прямой)

— В каких единицах измеряются углы, с помощь какого инструмента? (В градусах, с помощью транспортира)

2) задание на соответствие: (слайд 4)

— Молодцы. С заданиями справились – багаж знаний замечательный.

— Значит можем смело шагнуть на следующую ступеньку нашей лестницы, т.е. стать на один шаг ближе к цели.

(слайд 5)

3. Изучение нового материала

(слайд 6)

— Открываем тетради и записываем число, тему урока. Попробуйте сформулировать цели нашего урока.

— Итак мы должны узнать какие углы называются смежными. Для этого выполним практическую работу.

1.Построим прямую АК и на этой прямой отметим точку С, лежащую между А и К.

2. Проведем луч СВ.

— Сколько углов  получилось? Назовите их. (три, углы АСК, АСВ, КСВ)

— Углы АСВ и ВСК – называются смежными. Попробуйте сформулировать определение.

— Проверьте свое предположение — найдите определение в учебнике, прочитайте, запишите в тетрадь. (слайд 7)

Проверим, сможете ли вы используя определение смежных углов найти их на чертежах.

 

— Молодцы! Определение усвоено хорошо.

— Переходим к реализации следующей цели нашего урока – учимся строить смежные углы.

— Постройте угол АОВ равный 55°. Начертите угол смежный с данным углом.

— Сколько таких углов можно построить?  (Только один )

— Почему?  (Для построения смежных углов нужно луч, являющийся одной из сторон этого угла дополнить до прямой) (слайд 9)

(слайд 10)

— Сколько  углов изображено  на  рисунке ?  Какие  это  углы ?

• ( 3  угла,  ∠ АОВ и ∠ ВОС —  смежные,  а   ∠ АОС – развернутый. ) 
• Существует  ли  какая  либо взаимосвязь между этими  углами?

(Да, ∠ АОВ  +∠ ВОС = ∠ АОС) 

• — Как  по –другому можно  записать  данное  равенство ? Почему ?

(∠ АОВ  +∠ ВОС = 180  О , т.к.  ∠ АОС  —  развернутый  и  его  градусная  мера  равна 180  О ) 

Сформулируем свойство смежных углов словами. (слайд 11)

4.Закрепление изученного материала

Выполнение заданий по учебнику с. 26.

№ 1 (используя свойство смежных углов, с комментированием для 30°, остальные самостоятельно)

№ 2 – устно

№ 3 – у доски

Решение:

Углы АВС и DСВ – смежные по условию.

Обозначим угол АВС через х, тогда угол DСВ = 2х. По свойству смежных углов:

х + 2х = 180°.

х = 60° — угол АВС.

Угол DСВ равен 2х, значит 120°. Или угол  DСВ = 180° — 60°.

Ответ: 60° и 120°.

5. Итог урока.

Тест (слайд 12) с самопроверкой.

1. Если один из смежных углов острый, то другой тоже острый.

А)  да-острый;

Б) нет — тупой;  

 В) нет- прямой.

2. Сумма смежных углов равна 180˚.

А) да — 180˚;  

 Б) нет — 90˚,  

В) нет — 360˚.

3)Если каждый из двух углов прямой, то они смежные.

     А) нет — тупые;  

     Б) нет – развёрнутые;  

         В) да – смежные.

Проверяем (слайд 13)

Вставьте пропущенные слова (слайд 14)

Два угла называются смежными, если у них одна сторона _______, а две другие являются дополнительными __________.

 Угол, равный 90˚, называется ___________.

 Сумма смежных углов равна _____________.

 Если на часах 6 часов, то часовая и минутная стрелка образуют ____________________ угол.

Угол смежный с тупым углом, есть ____________ угол.  

6. Домашнее задание

(слайд 15)

п. 14 (определение и свойство), № 4

Приготовить мини – презентацию  ( фотоотчет, доклад, сообщение ) на тему « Углы вокруг нас»

7. Рефлексия

Из данных предложений выберите то, которое характеризует ваши знания по окончании урока (на карточках).

1. Мне понятно какие углы называются смежными.

2. У меня остались вопросы. Мне многое осталось не понятным.

3. Я смогу объяснить какие углы называются смежными своим друзьям или родителям и использовать их свойство.

(слайд 16) Урок окончен.

геометрия — Смежны ли углы?

спросил 7 лет, 8 месяцев назад

Изменено 7 лет, 8 месяцев назад

Просмотрено 243 раза

$\begingroup$

$\angle 1 $ и $\angle 2$ смежные . Таким образом, $\angle AOD$ и $\angle BOD$ также смежны. ? Я сбит с толку.

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Предположим, что точки $C$ нет на диаграмме , тогда в этом случае $\угол AOD$ и $\угол BOD$ смежны ?.

• геометрия
• мягкий вопрос

$\endgroup$

$\begingroup$

Определение. Два копланарных угла называются смежными , если они имеют общую вершину и общую сторону, но не имеют общих внутренних точек.

Хотя $\angle AOD$ и $\angle BOD$ имеют общую вершину (точку $0$) и общую сторону ($\overrightarrow{OD}$), они не смежны, так как $C$ является общей внутренней точкой из двух углов.

Примеры смежных углов на диаграмме включают $\угол AOB$ и $\угол BOC$, $\угол AOB$ и $\угол BOD$, $\угол AOC$ и $\угол COD$ и $\угол BOC$ и $\угол COD$.

Редактировать: На вашей новой диаграмме $\angle AOD$ и $\angle BOD$ не являются смежными, поскольку они имеют общие внутренние точки. Например, если $\overrightarrow{OC}$ — биссектриса угла $\angle BOD$, то точка $C$ лежит внутри обоих углов $\angle AOD$ и $\angle BOD$.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Нет, это не так. Они разделяют «пространство», занимаемое углом $\angle AOC$. Углы $2$ смежны, если они имеют общую сторону и общую вершину. Углы $\angle AOB$ и $\angle COB$ смежные.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Пары углов, образованные параллельными прямыми, пересеченными секущей

Смежные углы : два угла с общей вершиной, общей стороной и не пересекающиеся.

Углы ∠1 и ∠2 смежные.

Дополнительные углы : два угла, сумма мер которых равна 90°.

Углы ∠1 и ∠2 дополняют друг друга.

Дополнительными являются и эти углы (их сумма равна 90°):

Дополнительные углы : два угла, сумма мер которых равна 180°.

Углы ∠1 и ∠2 являются дополнительными.

Когда на рисунке даны две параллельные линии, есть две основные области: внутренняя и внешняя.

Когда две параллельные прямые пересекаются третьей линией, третья линия называется поперечной . В приведенном ниже примере восемь углов образуются, когда параллельные прямые m и n пересекаются поперечной линией t.

Из этой фигуры образованы несколько специальных пар углов. Некоторые пары уже были рассмотрены:
Вертикальные пары:
∠1 и ∠4
∠2 и ∠3
∠5 и ∠8
∠6 и ∠7
Напомним, что все пары вертикальных углов равны.
Дополнительные пары:
∠1 и ∠2
∠2 и ∠4
∠3 и ∠4
∠1 и ∠3
∠5 и ∠6
∠6 и ∠8
∠7 и ∠8
∠5 и ∠7
Напомним, что дополнительные углы — это углы, градусная мера которых в сумме дает 180°. Все эти дополнительные пары являются линейными парами. Есть и другие дополнительные пары, описанные ниже в этом разделе. Есть еще три специальные пары углов. Эти пары являются конгруэнтными парами.

Внутренние углы чередующиеся два угла внутри параллельных прямых и на противоположных (чередующихся) сторонах поперечной. Альтернативные внутренние углы несмежны и равны.

Чередующиеся наружные углы два наружных угла на параллельных прямых и на противоположных (чередующихся) сторонах поперечной. Альтернативные внешние углы несмежны и равны.

Соответствующие углы два угла, один внутренний и один внешний, которые находятся на одной стороне поперечной. Соответственные углы несмежны и равны.

Используйте следующую схему параллельных прямых, пересеченных секущей, чтобы ответить на примеры задач.

Пример:
Какова мера ∠8?
Угол, отмеченный мерой 53° и ∠8, является чередующимися внешними углами. Они находятся снаружи, на противоположных сторонах трансверсали. Поскольку они конгруэнтны, мера ∠8 = 53°.
Пример:
Какова мера ∠7?
∠8 и ∠7 — линейная пара; они дополнительные. Их размеры в сумме дают 180°. Следовательно, ∠7 = 180° – 53° = 127°.

1. Когда секущая пересекает параллельные прямые, все образующиеся острые углы равны, а все образующиеся тупые углы равны.

На рисунке выше ∠1, ∠4, ∠5 и ∠7 — острые углы. Все они конгруэнтны друг другу. ∠1 ≅ ∠4 — вертикальные углы.