MicroExcel.ru Математика Геометрия Что такое круг: определение, свойства, формулы
В данной публикации мы рассмотрим определение и свойства одной из основных геометрических фигур – круга. Также приведем формулы, с помощью которых можно найти его радиус, диаметр, периметр и площадь (полную и сектора).
Определение круга
Свойства круга
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Формулы
Определение круга
Круг – это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью (т.е. лежащих внутри окружности). На рисунке ниже всё, что закрашено бирюзовым цветом, является кругом.
Сектор круга – область внутри круга, которая образована двумя радиусами и дугой между ними.
Сегмент круга – область, образованная в результате деления круга хордой, которая в свою очередь является частью секущей (прямой), пересекающей круг.
AB – секущая;
CD – хорда (отрезок, соединяющий две любые точки окружности).
Свойства круга
Свойство 1
Центр круга совпадает с центром ограничивающей его окружности. Чаще всего, обозначается буквой O.
Свойство 2
Радиус круга (R) является, в т.ч., радиусом граничной окружности. Это отрезок, соединяющий центр круга с любой точкой, лежащей на его границе, т.е. на окружности.
Хорда, проходящая через центр круга называется его диаметром (d).
Свойство 3
Периметр круга равняется длине ограничивающей его окружности.
Свойство 4
Круг по сравнению с другими фигурами имеет наибольшую площадь при заданном периметре.
Формулы
1. Периметр круга (L):
2. Радиус круга (R):
3. Диаметр круга (d):
4. Площадь круга (S):
5. Площадь сектора (S):
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Окружность и круг — геометрия и искусство
Окружность и круг
Взаимное расположение окружностей
круг и окружность в искусстве
Эллипс
Плоские фигуры > Окружность
Окружность – это плоская замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от некоторой точки (точки О), которая называется центром окружности. (Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.)
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.Точка О также называется центром круга.
Расстояние от точки окружности до её центра, а также отрезок, соединяющий центр окружности с её точкой, называется радиусом окружности/круга. Посмотрите, как используется круг и окружность в нашей жизни, искусстве, дизайне.
Углы могут встречаться во все более возрастающем количестве, приобретать, соответственно, все больший разворот – пока не исчезнут окончательно и плоскость не станет кругом. Это очень простой и одновременно очень сложный случай, о котором мне хотелось бы поговорить подробно. Здесь необходимо отметить, что как простота, так и сложность обусловлены отсутствием углов. Круг прост, поскольку давление его границ, в сравнении с прямоугольными формами, нивелировано – различия здесь не так велики. Он сложен, поскольку верх неощутимо перетекает в левое и правое, а левое и правое – в низ.
В. Кандинский
В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности сделало возможным возникновение колеса, поскольку ось и втулка колеса должны все время быть в соприкосновении.
В школе изучается много полезных свойств окружности. Одной из самых красивых теорем является следующая: проведем через заданную точку прямую, пересекающую заданную окружность, тогда произведение расстояний от этой точки до точек пересечения окружности с прямой не зависит от того, как именно была проведена прямая. Этой теореме около двух тысяч лет.
На рис. 2 изображены две окружности и цепочка окружностей, каждая из которых касается этих двух окружностей и двух соседей по цепочке. Швейцарский геометр Якоб Штейнер около 150 лет назад доказал следующее утверждение: если при некотором выборе третьей окружности цепочка замкнется, то она замкнется и при любом другом выборе третьей окружности. Отсюда следует, что если однажды цепочка не замкнулась, то она не замкнется при любом выборе третьей окружности. Художнику, рисовавшему изображенную цепочку, пришлось бы немало потрудиться, чтобы она получилась, или обратиться к математику для расчета расположения двух первых окружностей, при котором цепочка замыкается.
Вначале мы упомянули о колесе, но еще до колеса люди использовали круглые бревна — катки для перевозки тяжестей.
А можно ли использовать катки не круглой, а какой-нибудь другой формы? Немецкий инженер Франц Рело обнаружил, что таким же свойством обладают катки, форма которых изображена на рис. 3. Эта фигура получается, если провести дуги окружностей с центрами в вершинах равностороннего треугольника, соединяющие две другие вершины. Если провести к этой фигуре две параллельные касательные, то расстояние между ними будет равно длине стороны исходного равностороннего треугольника, так что такие катки ничем не хуже круглых. В дальнейшем были придуманы и другие фигуры, способные выполнять роль катков.
Энц. «Я познаю мир. Математика», 2006
У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника : основания его высот D1 D2 и D3, основания его медиан D4, D5 и D6 середины D7, D8 и D9 отрезков прямых от точки пересечения его высот Н до его вершин.
Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это -точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида. Одна из этих окружностей вписанная, остальные три — вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.
Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой Н- его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.
Энц. справочник юного математика, 1989
Главная | Геометрия и искусство | Плоские фигуры | Пространственные фигуры | Движения и преобразования | Орнаменты и стили | Доклад | Разное | Галерея | Главная Карта Сайта
Круги – объяснение и примеры
Одной из важных фигур в геометрии является круг. На экзамене по геометрии большинство вопросов будет состоять из прямоугольников, треугольников и кругов.
Все мы уже видели круги. У них идеально круглая форма, что делает их идеальными для хула-хупов! В этой статье объясняется, что такое круг, его свойства и составные части.
Что такое круг в геометрии?
Слово ‘ круг «происходит от греческого слова, означающего « обруч » или « кольцо «. В геометрии круг определяется как замкнутая двумерная фигура, в которой множество всех точек на плоскости равноудалено от данная точка называется « центр ».
Никогда не путайте круг с многоугольником. Круг не является многоугольником, потому что он состоит из кривых.
История круга древняя. Раньше люди верили, что луна, солнце и другие планеты имеют круглую форму, потому что не существовало представления о трехмерных формах — математики изучают круги, что помогло им развить исчисление и астрономию.
В 1700 г. до н.э. Райнд Папирус предложил метод нахождения площади круга. В то время значение числа пи не было точным. В 300 г. до н.э. Евклид в своей книге изложил свойства кругов. Наконец, в 1880 году нашей эры немецкий математик Линдеманн решил проблему со значением числа пи и доказал, что число пи является трансцендентным (не корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами).
Круги вокруг нас! Некоторые из реальных примеров кругов:
Колесо велосипеда
Монета
Обеденная тарелка
Настенные часы
Колеса обозрения
Таким образом, круг является важной формой в области геометрии. Посмотрим на стороны и свойства окружности.
Части круга
Центр: Центр — это середина круга. На приведенной выше диаграмме центр окружности указывает « O» .
Радиус : Это отрезок от центра круга, соединяющий любую точку на самом круге. Радиус окружности обозначается либо буквой « r ” (строчные буквы) или “ R ” (верхние буквы).
Линия ОТ – это радиус описанной выше окружности.
Диаметр : Диаметр круга — это отрезок, проходящий через центр круга и имеющий обе конечные точки круга. Математически диаметр в два раза больше радиуса окружности. Диаметр окружности обозначается « D » или «»
Линия PQ — это диаметр окружности.
Хорда : Хорда представляет собой отрезок с обеими концами на окружности. Линия RS является хордой окружности выше. Диаметр окружности — самая длинная хорда.
Секанс : Секанс представляет собой удлиненную хорду окружности.
Строка 2 ( l 2 ) является секущей круга выше.
Дуга : Дуга представляет собой кривую вдоль внешней линии окружности
Касательная : Тангенс окружности — это прямая линия, которая снаружи касается окружности, внешней линии окружности. Линия 2 ( l 2 ) является касательной окружности.
Сегмент : Сегмент представляет собой область, ограниченную дугой и хордой.
Сектор : Сектор представляет собой область по дуге и двум радиусам. Регион OTP — это сектор круга, как показано выше.
Окружность : Окружность круга – это общее расстояние вокруг внешней линии круга
Площадь круга : Область, ограниченная внешней линией круга
Кольцо : Кольцо представляет собой кольцо -образный объект, образованный между двумя концентрическими (окружностями с общим центром) окружностями. Например, заштрихованная область в круге ниже называется кольцом.
Свойства круга
Существует несколько фактов о кругах. Эти факты о кругах известны как свойства круга. Давайте рассмотрим их.
Окружности с равными радиусами или диаметрами конгруэнтны.
Самая длинная хорда окружности называется диаметром.
Диаметр круга в два раза больше радиуса самого круга.
Диаметр делит круг на две равные половины.
Внешняя линия круга равноудалена от центра.
Независимо от меры радиуса или диаметра, все окружности подобны.
Радиус представляет собой серединный перпендикуляр к хорде.
Две или более хорды равны по длине, если все они равноудалены от центра окружности.
Угол между радиусом и касательной всегда равен 90 градусов (прямой угол).
Две касательные равны, если они имеют общую точку начала.
Угол, образуемый в центре круга его окружностью, равен четырем прямым углам.
Длина окружности двух или более разных кругов пропорциональна их соответствующим радиусам.
Дуги одной и той же окружности пропорциональны соответствующим углам.
Радиусы равных окружностей или одной и той же окружности равны.
Равные круги имеют площадь и длину окружности.
Расстояние между самой длинной хордой и центром окружности равно нулю.
Перпендикулярное расстояние от центра окружности до хорды увеличивается по мере уменьшения длины хорды, и наоборот.
Окружность может описывать многоугольники, такие как треугольник, трапеция, прямоугольник и т. д.
Точно так же окружность может быть вписана внутрь многоугольника, такого как прямоугольник, воздушный змей, квадрат, трапеция и т. д.
Касательные, проведенные на обоих концах диаметра, всегда параллельны друг другу.
Два радиуса, соединяющие концы хорды с центром окружности, образуют равнобедренный треугольник.
Равные дуги образуют равные углы в центре окружности.
Пример 1
Какой из следующих предметов имеет круглую форму?
Пицца
Футбол
Апельсин
Все это.
Решение
Все упомянутые формы имеют круглую форму.
Следовательно, правильный выбор D.
Пример 2
Круглая чаша имеет диаметр 9 дюймов. Каков радиус чаши?
Решение
Мы знаем, что радиус круга равен половине диаметра.
Следовательно,
Радиус = 9/2 = 4,5 дюйма
Пример 3
Какая из следующих частей окружности также может быть хордой окружности?
Радиус
Диаметр
Дуга
Сектор
Решение
Хорда — это отрезок, оба конца которого лежат на окружности. Диаметр окружности — самая длинная хорда.
Решение геометрических задач с кругами
Key Terms
o Circle
o Radius
o Diameter
o Arc
o Subtend
o Sector
o Chord
o Secant
o Tangent
o Circumference
Цели
o Знать, как дать основное определение окружности
o Определите различные части кругов
o Расчет области и окружности круга или его части
Введение в круги
A Circle — просто показанная на всех очках, которые являются точками, которые являются точками равноудалены от заданной центральной точки. Таким образом, мы можем определить круг (без определенного местоположения), указав расстояние от центра; в качестве альтернативы мы можем определить круг (с определенным местоположением), указав расстояние от центра и его местоположение. Расстояние от центра точек, лежащих на окружности, называется радиус (множественное число радиусы ) круга. Окружность с радиусом r и центральной точкой C показана ниже.
Обратите внимание, что независимо от того, какая точка на окружности выбрана, она всегда находится на расстоянии r от центральной точки C. Каждый из отрезков, проведенных от C до окружности, называется радиусом. (другими словами, ни один сегмент не определяется как радиуса , поскольку все такие сегменты равны по длине). Сама окружность не показывает никаких углов или сторон, которые мы можем использовать, чтобы определить, сколько градусов составляет фигура (как мы сделали с многоугольниками), но мы можем видеть, что любые два радиуса действительно образуют угол α , как показано ниже.
Используя наше измерение градусов, этот угол α может (однозначно) принимать любое значение от 0° до 360°. Мы также можем определять углы как с положительными, так и с отрицательными числами, в зависимости от направления измерения от определенного радиуса — положительный угол традиционно измеряется в направлении против часовой стрелки, а отрицательный угол традиционно измеряется в направлении по часовой стрелке, как показано ниже. .
Мы также можем идентифицировать другие части круга. Для любой точки P 1 на окружности самая удаленная точка P 2 , которая также находится на окружности, находится на противоположной стороне, и эти точки находятся на расстоянии двух радиусов друг от друга. Отрезок, соединяющий их, проходит через центр и называется диаметром окружности.
Любые два радиуса окружности (составляющие угол α ), такие как показанные ниже, образуют дугу и сектор. Дуга — это часть окружности, противоположная углу α (или , на который опирается ) и между конечными точками радиусов. Сектор — это область, ограниченная дугой и радиусами. Дуга A на приведенной ниже схеме показана жирной линией, а сектор S показан заштрихованной областью.
Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс по геометрии?
Любой отрезок, соединяющий две точки на окружности, называется хордой . Обратите внимание, что диаметр — это хорда (самая длинная возможная хорда окружности!). Хорда D показана ниже жирной линией.
Другими специальными фигурами, относящимися к окружностям, являются секущие и тангенсы. Секанс — это просто линия, пересекающая две точки окружности (хорда — это отрезок секанса). Касательная — это прямая, пересекающая окружность ровно в одной точке. секанс E и касательная T показаны на диаграмме ниже жирными линиями.
Практическая задача : Определите каждую часть (от A до E) круга ниже.
Решение : Каждую часть круга или другую линию можно определить по ее отношению ко всему кругу. Каждая из этих фигур обсуждалась и определялась выше. Заштрихованная область А является сектором. Прямая (или отрезок) B является касательной (обратите внимание, что она пересекает окружность только в одной точке). C — диаметр, D — хорда, E — радиус.
Основные характеристики кругов
Теперь, когда мы идентифицировали некоторые компоненты кругов, мы можем теперь начать получать некоторые из их характеристик, используя инструменты, которые мы разработали до сих пор. Для вывода некоторых свойств окружностей требуется тригонометрия (например, длина хорды, опирающейся на угол α ), но другие мы можем вывести или просто сформулировать основные формулы, которые можно использовать для решения задач. Начнем с длины окружности и площади круга. окружность круга — это просто длина границы (то есть периметра) круга. Мы просто сформулируем формулу для длины окружности C через радиус ( r ) или диаметр ( d ):
Обратите внимание, что с формулой для длины окружности мы вводим число π . Поскольку π (большинство математиков считают) является иррациональным числом, мы не можем точно записать его в десятичной форме и не можем точно записать в виде дроби. Однако мы можем записать десятичную оценку π , что достаточно для наших целей.
π ≈ 3,1416
Многие калькуляторы имеют встроенный ключ для числа π (хотя калькулятор по-прежнему просто использует приближение 3 π
). Для многих расчетов приблизительное значение π , равное 3,14, дает достаточную точность. Оказывается, π также фигурирует в формуле площади круга. Запишем площадь A через радиус р .
A = πr 2
Заметим еще раз, что на самом деле мы не вывели эти формулы; мы просто констатируем их как фундаментальные факты, на которых мы будем основывать остальную часть нашего исследования характеристик кругов.
Практическая задача : Найдите площадь и длину окружности круга диаметром 4 дюйма.
Решение : Одно из первых правил решения подобных задач, связанных с окружностями, состоит в том, чтобы тщательно отмечать, имеем ли мы дело с радиусом или с диаметром. В этой задаче окружность описывается с помощью диаметра, который равен 4 дюймам. Таким образом, радиус составляет 2 дюйма. Давайте теперь вычислим площадь A и длину окружности C , используя приведенные выше формулы.
Так совпало, что площадь и окружность имеют одинаковые числовые значения (но разные единицы измерения!). Обычно это не так, конечно.
Давайте посмотрим на характеристики других частей круга. Например, теперь, когда мы знаем, как вычислить длину окружности, мы можем также вычислить длину дуги (которая является просто частью окружности). Угол α определяется двумя радиусами, стягивающими дугу. Давайте рассмотрим несколько примеров, из которых мы можем определить закономерность. Дуга K в каждом случае показана жирной кривой. Длина окружности равна C .
Выражения в каждом примере могут быть получены путем проверки. Мы знаем, что если угол α равен 90° (четверть полных 360° окружности), то стягиваемая дуга составляет четверть окружности. Те же рассуждения применимы к определению длины дуги K и для двух других случаев. Таким образом, мы можем видеть, что длина дуги связана с окружностью, как угол α связан с 360°. Но это просто отношение, которое мы можем записать следующим образом.
. Поперечное умножение мы получаем формулу выше для длины дуги K С точки зрения окружности C и угла подношения α . Мы можем использовать тот же тип рассуждений, чтобы определить площадь сектора С . Снова обратите внимание на приведенные ниже примеры, где S — заштрихованная область, а круг имеет площадь A .
Таким образом, площадь сектора S связана с площадью A соотношением α 3 3. Мы снова можем вывести формулу.
Практическая задача : Центральный угол γ в окружности радиусом 10 единиц образует сектор площадью 2,62 квадратных единиц. Найдите меру γ .
Решение : Начнем с рисования схемы задачи. Эта диаграмма не обязательно должна быть в масштабе — мы можем просто использовать ее, чтобы легче идентифицировать части круга, обсуждаемые в задаче.
Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Формулы сокращенного умножения
К оглавлению…
Квадрат суммы:
Квадрат разности:
Разность квадратов:
Разность кубов:
Сумма кубов:
Куб суммы:
Куб разности:
Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:
Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители
К оглавлению…
Пусть квадратное уравнение имеет вид:
Тогда дискриминант находят по формуле:
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:
Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:
Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:
Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:
Парабола
График параболы задается квадратичной функцией:
При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:
Игрек вершины параболы:
Свойства степеней и корней
К оглавлению…
Основные свойства степеней:
Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.
Основные свойства математических корней:
Для арифметических корней:
Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:
Для корня четной степени имеется следующее свойство:
Формулы с логарифмами
К оглавлению…
Определение логарифма:
Определение логарифма можно записать и другим способом:
Свойства логарифмов:
Логарифм произведения:
Логарифм дроби:
Вынесение степени за знак логарифма:
Другие полезные свойства логарифмов:
Арифметическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена арифметической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:
Формула суммы арифметической прогрессии:
Свойство арифметической прогрессии:
Геометрическая прогрессия
К оглавлению…
Формулы n-го члена геометрической прогрессии:
Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:
Формула суммы геометрической прогрессии:
Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Свойство геометрической прогрессии:
Тригонометрия
К оглавлению…
Пусть имеется прямоугольный треугольник:
Тогда, определение синуса:
Определение косинуса:
Определение тангенса:
Определение котангенса:
Основное тригонометрическое тождество:
Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:
Формулы двойного угла
Синус двойного угла:
Косинус двойного угла:
Тангенс двойного угла:
Котангенс двойного угла:
Тригонометрические формулы сложения
Синус суммы:
Синус разности:
Косинус суммы:
Косинус разности:
Тангенс суммы:
Тангенс разности:
Котангенс суммы:
Котангенс разности:
Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение
Сумма синусов:
Разность синусов:
Сумма косинусов:
Разность косинусов:
Сумма тангенсов:
Разность тангенсов:
Сумма котангенсов:
Разность котангенсов:
Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму
Произведение синусов:
Произведение синуса и косинуса:
Произведение косинусов:
Формулы понижения степени
Формула понижения степени для синуса:
Формула понижения степени для косинуса:
Формула понижения степени для тангенса:
Формула понижения степени для котангенса:
Формулы половинного угла
Формула половинного угла для тангенса:
Формула половинного угла для котангенса:
Тригонометрические формулы приведения
Формулы приведения задаются в виде таблицы:
Тригонометрическая окружность
По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:
Тригонометрические уравнения
К оглавлению…
Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:
Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:
Для тангенса:
Для котангенса:
Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:
Геометрия на плоскости (планиметрия)
К оглавлению…
Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы:
Свойство биссектрисы:
Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника:
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Сумма углов n-угольника:
Центральный угол правильного n-угольника:
Площадь правильного n-угольника:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Геометрия в пространстве (стереометрия)
К оглавлению…
Главная диагональ куба:
Объем куба:
Объём прямоугольного параллелепипеда:
Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):
Объём призмы:
Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):
Объём кругового цилиндра:
Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:
Объём пирамиды:
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):
Объем кругового конуса:
Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:
Длина образующей прямого кругового конуса:
Объём шара:
Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):
Координаты
К оглавлению…
Длина отрезка на координатной оси:
Длина отрезка на координатной плоскости:
Длина отрезка в трёхмерной системе координат:
Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):
Таблица умножения
К оглавлению…
Таблица квадратов двухзначных чисел
К оглавлению…
Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:
К оглавлению…
Все формулы по математике — Формулы под рукой
Не решается задачка? Наш сайт поможет тебе в учебе, подготовке к сложным экзаменам, контрольным, олимпиадам, сессиям, ЕГЭ.
ФОРМУЛЫ ПО АЛГЕБРЕ
ФОРМУЛЫ ПО ГЕОМЕТРИИ
ФОРМУЛЫ ПО ТРИГОНОМЕТРИИ
Обладатель премии Эйнштейна, известнейший британский исследователь в области теоретический физики Стивен Хокинг однажды рассказал, что получил должность профессора математики в Оксфордском университете, не имея специального образования. На тот момент за его плечами были лишь изрядно подзабытые школьные знания по математике. Царицу наук постигал «на ходу», читая студенческий учебник с опережением программы на две недели. Впоследствии студенты Хокинга вспоминали его занятия как исключительно познавательные и захватывающие!
Такие примеры вдохновляют, вселяют уверенность, что и каждый из нас может с таким же успехом освежить «хорошо забытое». А там и новый вектор развития появится.
Чтобы вспомнить (или освоить!) школьный материал было легче, предлагаем листать не страницы учебников и справочной литературы, а воспользоваться нашим сайтом, где удобная навигация и система поиска позволят быстро отыскать нужную формулу по предметам:
арифметика;
алгебра;
геометрия;
физика;
химия.
От теории к практике
Бывает, что и материал знаком, да и формулы, теоремы и аксиомы по нужной теме — вот они, а задачка не поддается. Педагогический «диагноз»: нет опыта. Приобретается этот опыт при помощи решения типовых уравнений и задач. Предлагаем наиболее удачные и интуитивно понятные методики, которые уже помогли не одному ученику овладеть инструментарием точных наук!
Быстрее, выше, сильнее!
Возможно, сейчас ты и считаешь, что выучить все школьные формулы невозможно. Но на самом деле формул, необходимых для решения задач школьного уровня по математике, не более двухсот, а по физике — и того меньше! А это значит, что, заглядывая в наши справочники и освоив принципы решения типовых задач, можно постепенно запомнить все базовые формулы!
Какими бы сложными ни казались тебе задания твоих преподавателей сейчас, через какое-то время школьные, да и институтские стены могут показаться тебе тесными.
На нашем сайте собраны как часто используемые, так и гораздо более сложные формулы. Если захочешь знать больше, чем написано в школьном учебнике, начни с аксиомы — слов Марка Твена, который «никогда не позволял, чтобы школьные занятия мешали образованию!».
Основные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Знание формул по математике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по математике, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении математических задач. На этой странице сайта представлены основные формулы по школьной математике.
Изучать основные формулы по школьной математике онлайн:
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
Теория, пособие для подготовки к ЕГЭ по математике
Факт 1. \(\bullet\) Множество натуральных чисел \(\mathbb{N}\) – это числа \(1,
\ 2, \ 3, \ 4 \ \) и т.д. \(\bullet\) Множество целых чисел \(\mathbb{Z}\) состоит из натуральных чисел, противоположных им (\(-1, \ -2, \ -3 \) и т.д.) и нуля \(0\). \(\bullet\) Рациональные числа \(\mathbb{Q}\) – числа вида \(\dfrac ab\), где \(a\in \mathbb{Z}\), \(b\in \mathbb{N}\).
Таким образом, существует включение: \(\mathbb{N}\) содержится в \(\mathbb{Z}\), а \(\mathbb{Z}\) содержится в \(\mathbb{Q}\).
Факт 2. \(\bullet\) Сокращение дробей – деление числителя и знаменателя на одно и то же число, отличное от нуля. Пример:
\(\begin{aligned} &\dfrac{98}6=\dfrac{49\cdot
2\llap{/}}{3\cdot
2\llap{/}}=\dfrac{49}3\\[2ex]
&\dfrac{4\cdot 14}{7\cdot 5}=\dfrac{4\cdot 2\cdot
7\llap{/}}{7\llap{/}\cdot
5}=\dfrac 85\\[2ex]
&\dfrac{4\cdot 7}{5\cdot 6}=\dfrac {2\llap{/}\cdot 2\cdot 7}{5\cdot
3\cdot
2\llap{/}}=\dfrac{14}{15}\end{aligned}\)
\(\bullet\) Если \(\dfrac ab\) – несократимая дробь, то ее можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда знаменатель \(b\) делится только на числа \(2\) и \(5\). Пример: дробь \(\dfrac2{65}\) нельзя представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(65=5\cdot 13\), то есть \(\dfrac2{65}=0,0307…\) дробь \(\dfrac3{160}\) можно представить в виде конечной десятичной дроби, так как \(160=2^5\cdot 5\), то есть \(\dfrac3{160}=0,01875\).
Факт 3. \(\bullet\) Формулы сокращенного умножения: \(\blacktriangleright\) Квадрат суммы и квадрат разности: \[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\] \[(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
Заметим, что применение данных формул справа налево часто помогает упростить вычисления: \(13^3+3\cdot 13^2\cdot 7+3\cdot 13\cdot 49+7^3=(13+7)^3=20^3=8000\)
\(\blacktriangleright\) Сумма кубов и разность кубов: \[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\] \[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]
Заметим, что не существует формулы суммы квадратов \(a^2+b^2\). Заметим, что применение данных формул слева направо часто помогает упростить вычисления:
Факт 4. \(\bullet\) Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых и удвоенных попарных произведений: \[\begin{aligned}
&(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\\[2ex]
&(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\\[2ex]
&{\small{\text{и т.д.}}}\end{aligned}\]
ТОП-50 Важнейших формул по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Знание формул по математике является основой для успешной подготовки и сдачи различных экзаменов, в том числе и ЦТ или ЕГЭ по математике. Формулы по математике, которые надежно хранятся в памяти ученика — это основной инструмент, которым он должен оперировать при решении математических задач. На этой странице сайта представлены 50 важнейших формул по математике.
Изучать ТОП-50 Важнейших формул по математике онлайн:
Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?
Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:
Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.
Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.
Нашли ошибку?
Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.
ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ | Социальная сеть работников образования
Образование — то, что остается после того, как забыто все, чему учили в школе.
Игорь Хмелинский, новосибирский учёный, ныне работающий в Португалии, доказывает, что без прямого запоминания текстов и формул развитие абстрактной памяти у детей затруднительно. Приведу выдержки из его статьи «Уроки образовательных реформ в Европе и странах бывшего СССР»
Заучивание наизусть и долговременная память
Незнание таблицы умножения имеет и более серьезные последствия, чем неспособность обнаружить ошибки в расчетах на калькуляторе. Наша долговременная память работает по принципу ассоциативной базы данных, то есть, одни элементы информации при запоминании оказываются связанными с другими на основе ассоциаций, установленных в момент знакомства с ними. Поэтому, чтобы в голове образовалась база знаний в какой-либо предметной области, например, в арифметике, нужно для начала выучить хоть что-то наизусть. Далее, вновь поступающая информация попадет из кратковременной памяти в долговременную, если в течение короткого промежутка времени (несколько дней) мы столкнемся с нею многократно, и, желательно, в разных обстоятельствах (что способствует созданию полезных ассоциаций). Однако при отсутствии в постоянной памяти знаний из арифметики, вновь поступающие элементы информации связываются с элементами, которые к арифметике никакого отношения не имеют – например, личностью преподавателя, погодой на улице и т.п. Очевидно, такое запоминание никакой реальной пользы учащемуся не принесет – поскольку ассоциации уводят из данной предметной области, то никаких знаний, относящихся к арифметике, учащийся вспомнить не сможет, кроме смутных идей о том, что он вроде бы что-то когда-то об этом должен был слышать. Для таких учащихся роль недостающих ассоциаций обычно выполняют разного рода подсказки – списать у коллеги, воспользоваться наводящими вопросами в самой контрольной, формулами из списка формул, которым пользоваться разрешено, и т.п. В реальной жизни, без подсказок, такой человек оказывается совершенно беспомощным и неспособным применить имеющиеся у него в голове знания.
Формирование математического аппарата, при котором формулы не заучиваются, происходит медленнее, нежели в противном случае. Почему? Во-первых, новые свойства, теоремы, взаимосвязи между математическими объектами почти всегда используют какие-то особенности ранее изученных формул и понятий. Концентрировать внимание ученика на новом материале будет сложнее, если эти особенности не смогут извлекаться из памяти за короткий промежуток времени. Во-вторых, незнание формул наизусть препятствует поиску решения содержательных задач с большим количеством мелких операций, в которых требуется не только провести определенные преобразования, но и выявить последовательность этих ходов, анализируя применение нескольких формул на два-три шага вперед.
Практика показывает, что интеллектуальное и математическое развитие ребенка, формирование его базы знаний и навыков, происходит значительно быстрее, если большая часть используемой информации (свойства и формулы) находиться в голове. И чем прочнее и дольше она там удерживается, тем лучше.
НАДО ЛИ ВАС ДАЛЬШЕ УБЕЖДАТЬ В ТОМ, ЧТО ФОРМУЛЫ НАДО ЗНАТЬ НАИЗУСТЬ?
Формулы к ЕГЭ по математике
Полный сборник красиво оформленных школьных формул по алгебре и геометрии.
В пособии содержатся все разделы школьной математики, все формулы и даны подробные описания к каждому из них.
Смотреть в PDF: Скачайте pdf файл.
Можете записаться на занятия к репетитору математики, если что-то не понятно.
По разделам:
Степени и корни:
Сокращенное умножение:
Квадратный трехчлен: квадратное уравнение, формулы Виета, разложение на множители:
Геометрия как быстро выучить что такое треугольник высота медиана биссектриса?
Высота значит точно то же, что и в обычном мире 🙂 То есть расстояние от вершины (она может быть любой) до той линии, на которой треугольник «стоит».
Медиана соединяет вершину с центром стороны напротив.
Биссектриса делит угол пополам, выходя из вершины «внутрь».
Высоты — из вершин к плоскости, на которой треугольник может «стоять». Тоесть под прямым углом сверху-вниз.
Медиана — делит сторону напротив угла пополам
Биссектриса — делит пополам сам угол
Медиана (геометрия) — это… Что такое Медиана (геометрия)?
Медиана (геометрия)
Треугольник и его медианы.
Медиана треугольника ― отрезок внутри треугольника, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, а также прямая, содержащая этот отрезок.
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.
Из векторов, образующих медианы, можно составить треугольник.
Формула медианы через стороны:
, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,
поэтому сумма квадратов медиан произвольного треугольника всегда в 4/3 раза меньше суммы квадратов его сторон.
Формула стороны через медианы:
, где ma,mb,mc медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c — стороны треугольника.
Медиана — это обезьяна, лазает по сторонам, делит их напополам.
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation.
2010.
Медиальный
Медиана (муниципалитет)
Смотреть что такое «Медиана (геометрия)» в других словарях:
Медиана треугольника — У этого термина существуют и другие значения, см. Медиана. Треугольник и его медианы. Медиана треугольника (лат. … Википедия
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Клейн, Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля 1849(1849 04 25 … Википедия
Клейн Ф. — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Клейн Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Феликс Клейн — Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Эрлангенская программа — Феликс Клейн Эрлангенская программа выступление 23 летнего немецкого математика Феликса Клейна в Эрлангенском университете (октябр … Википедия
Математическая статистика — Математическая статистика наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. Во многих своих разделах математическая статистика опирается на … Википедия
Прямоугольный треугольник — Прямоугольный треугольник это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов). Соотношения между сторонами и … Википедия
Теорема Аполлония — Зелёное + Голубое = Красное В планиметрии теорема Аполлония является формулой, выражающей длину медианы треугольника через … Википедия
Меридианы — урок. География, 5 класс.
Меридианы (от латинского слова meridianus — «полуденный») — воображаемые полуокружности, проходящие (соединяющие) через Северный и Южный полюсы.
Слово «меридиан» происходит от латинского слова «полуденный», поскольку направление всех меридианов совпадает с направлением тени от предметов в полдень.
Меридиан может быть проведён через любую точку земной поверхности. Меридианы — линии направления север–юг. Все точки, лежащие на одном меридиане, имеют одинаковую географическую долготу.
Меридианы имеют одинаковую длину — более \(20 000\) км.
Гринвичский (нулевой, или начальный) меридиан — меридиан, от которого ведётся отсчёт географической долготы.
Для того чтобы вести отсчёт меридианам, учёные договорились, что нулевым (начальным) меридианом станет меридиан, проходящий через пригород Лондона Гринвич. Гринвич знаменит своей обсерваторией, одной из старейших в мире.
Гринвичская королевская обсерватория
Этот меридиан имеет \(3\) названия: нулевой, начальный и Гринвичский.
На глобусе нулевой меридиан, как и экватор, выделен жирной линией. Начальный меридиан и меридиан \(180°\) делят Землю на Западное и Восточное полушария.
К западу от начального меридиана до меридиана \(180°\) расположено Западное полушарие.
К востоку от нулевого меридиана до меридиана \(180°\) расположено Восточное полушарие.
Источники:
https://ru.wikipedia.org
http://lifeglobe.net
http://lanoonan.soulshineseries.com
Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия
Определение. Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).
Рис.1
Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.
На рисунке 1 медианой является отрезок BD.
Утверждение 1. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника).
Доказательство. Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),
Рис.2
и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)
Поскольку отрезок BD является медианой, то
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Доказательство. Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE, и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).
Рис.3
Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).
Рис.4
Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).
Рис.5
Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC. Следовательно,
Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC. Следовательно,
откуда вытекает, что стороны ED и FG четырёхугольника FEDG равны и параллельны. Следовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммомСледовательно, четырехугольник FEDG является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополаму параллелограмма диагонали в точке пересечения делятся пополам (рис.6).
Рис.6
Таким образом,
| FO | = | OD | , | GO | = | OE | .
Следовательно,
| AF | = | FO | = | OD | , | CG | = | GO | = | OE | .
Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.
Доказательство завершено.
Следствие. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O, которая делит эту медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины A (рис.7).
Рис.7
Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.
Определение. Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.
Доказательство. Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC, равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
Рис.9
Тогда
В силу утверждения 1,
что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Длина медианы треугольника (рис. 10) вычисляется по формуле:
Рис.10
Доказательство. Воспользуемся теоремой косинусов, примененной к треугольникам DBC и ABD:
Складывая эти равенства, получим:
что и требовалось доказать.
Следствие. Длины медиан и длины сторон треугольника связаны формулой
Доказательство. В силу утверждения 4 справедливы равенства:
Складывая эти равенства, получим:
что и требовалось доказать.
Утверждение 5. В параллелограммепараллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон.
Доказательство. Рассмотрим рисунок 11.
Рис.11
Поскольку AO – медиана треугольника ABD, а DO – медиана треугольника ADC, то, в силу утверждения 4, справедливы равенства:
Следовательно,
d12 = 2a2 + 2b2 – d22,
d22 = 2a2 + 2b2 – d12.
Складывая эти равенства, получим
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы (рис. 12).
Рис.12
Доказательство. Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B (рис. 13).
Рис.13
Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам. В силу признака параллелограммапризнака параллелограммапризнака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольникпрямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:
что и требовалось доказать.
Следствие. Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной около треугольника окружности (рис. 14).
Рис.14
Утверждение 7. Рассмотрим в пространстве или на плоскости декартову систему координат с началом в точке O и произвольный треугольник ABC. Если обозначить буквой M точку пересечения медиан этого треугольника (рис.15), то будет справедливо равенство
Рис.15
Доказательство. По свойствам векторов
Далее получаем
что и требовалось доказать.
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Медиана треугольника abc: определение, основание, свойства, задачи
В данной статье мы рассмотрим определение медианы треугольника, перечислим ее свойства, а также разберем примеры решения задач для закрепления теоретического материала.
Определение медианы треугольника
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой стороны, расположенной напротив данной вершины.
BF – медиана, проведенная к стороне AC.
AF = FC
Основание медианы – точка пересечения медианы со стороной треугольника, другими словами, середина этой стороны (точка F).
Свойства медианы
Свойство 1 (основное)
Т.к. в треугольнике три вершины и три стороны, то и медиан, соответственно, тоже три. Все они пересекаются в одной точке (O), которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.
В точке пересечения медиан каждая из них делится в отношении 2:1, считая от вершины. Т.е.:
AO = 2OE
BO = 2OF
CO = 2OD
Свойство 2
Медиана делит треугольник на 2 равновеликих (равных по площади) треугольника.
S1 = S2
Свойство 3
Три медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
S1 = S2 = S3 = S4 = S5 = S6
Свойство 4
Наименьшая медиана соответствует большей стороне треугольника, и наоборот.
AC – самая длинная сторона, следовательно, медиана BF – самая короткая.
AB – самая короткая сторона, следовательно, медиана CD – самая длинная.
Свойство 5
Допустим, известны все стороны треугольника (примем их за a, b и c).
Длину медианы ma, проведенную к стороне a, можно найти по формуле:
Примеры задач
Задание 1 Площадь одной из фигур, образованной в результате пересечения трех медиан в треугольнике, равняется 5 см2. Найдите площадь треугольника.
Решение Согласно свойству 3, рассмотренному выше, в результате пересечения трех медиан образуются 6 треугольников, равных по площади. Следовательно: S△ = 5 см2 ⋅ 6 = 30 см2.
Задание 2 Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Найдите медиану, проведенную к стороне с длиной 6 см.
Решение Воспользуемся формулой, приведенной в свойстве 5:
Медиана (в геометрии) — это… Что такое Медиана (в геометрии)?
Медиана (в геометрии)
Медиана (от латинского mediana — средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести» треугольника, так как именно в этой точке находится центр тяжести однородной треугольной пластинки (а также центр тяжести системы трёх равных масс, помещенных в вершинах треугольника). Точка пересечения М. делит каждую из них в отношении 2 : 1 (считая от вершины к основанию).
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
1969—1978.
Медиальный
Медиана (в теории вероятностей)
Смотреть что такое «Медиана (в геометрии)» в других словарях:
Медиана — I Медиана (от латинского mediana средняя) в геометрии, отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны. Три М. треугольника пересекаются в одной точке, которую иногда называют «центром тяжести»… … Большая советская энциклопедия
Медиана — ж. 1. Прямая линия, проведенная от вершины треугольника к середине противоположной стороны (в геометрии). 2. Величина, находящаяся в середине ряда величин, расположенных в возрастающем или убывающем порядке (в статистике). Толковый словарь… … Современный толковый словарь русского языка Ефремовой
Треугольник — У этого термина существуют и другие значения, см. Треугольник (значения). Треугольник (в евклидовом пространстве) это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три не лежащие на одной прямой точки. Три точки,… … Википедия
Клейн, Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля 1849(1849 04 25 … Википедия
Клейн Ф. — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Клейн Феликс — Феликс Клейн Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Феликс Клейн — Дата рождения: 25 апреля, 1849 Место рождения: Дюссельдорф, Германия Дата смерти: 22 июня, 1925 Место смерти: Гёттинген Гражданство … Википедия
Эрлангенская программа — Феликс Клейн Эрлангенская программа выступление 23 летнего немецкого математика Феликса Клейна в Эрлангенском университете (октябр … Википедия
Грамотность новобранцев — (призывников) степень владения навыками чтения и письма на родном языке, оцениваемая применительно к призывникам (рекрутам) в процессе их анкетирования в связи с призывом на военную службу по рекрутской (воинской) повинности. Уровень… … Википедия
Среднее геометрическое — Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально: Среднее геометрическое двух чисел также называется… … Википедия
Все формулы медианы треугольника
Медиана — отрезок |AO|, который выходит из вершины A и делит противолежащею сторону c пополам.
Медиана делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника AOC и ABO.
M — медиана, отрезок |AO|
c — сторона на которую ложится медиана
a, b — стороны треугольника
γ — угол CAB
Формула длины медианы через три стороны, (M):
Формула длины медианы через две стороны и угол между ними, (M):
Подробности
Автор: Administrator
10 лучших наставников по геометрии около меридиана, ID
Он проявил ко мне много терпения, и я это очень ценю. Он даже помог мне запомнить все формулы geometry , которые действительно помогли мне на экзамене Geometry Common Core Regents. Он очень добр, поддерживает, вдохновляет и предан своим ученикам. Он научил меня множеству навыков для geometry , и это действительно помогло! Он помог мне пройти мой путь по сдаче экзамена на Риджентс, за что я очень благодарен.Филипп — потрясающий наставник! 🙂
Дайан К.
9 уроков геометрии
Он не преуспел в своем первом семестре Класс геометрии . Нам был нужен репетитор по математике, который мог бы помочь моему сыну в классе GA Recovery Geometry , чтобы сохранить его статус участия в баскетболе.Даниэль был тем человеком! В его профиле говорится: «Мне нравится преподавать алгебру и геометрии , помогая студентам приобретать навыки обучения и решения проблем». Мой сын может подтвердить это, и он очень доволен стилем преподавания Даниэля и очень быстро усвоил концепции и навыки Geometry .
Хизер Х.
2 урока геометрии
В первом семестре она получила четверку по экзамену Geometry , но что-то произошло во втором семестре, и мы увидели в Интернете, что она просто проваливала класс с 59%. Она отстала и просто не могла наверстать упущенное, и на любом уроке математики такая ситуация не исправит сама себя, поскольку каждая концепция основывается на следующей. К этому моменту ни мой муж, ни я не могли ей помочь, так как она попадала в проблемы, о которых мы просто не могли вспомнить (прошло много времени с класса Geometry !).
,
Где центральный меридиан?
Автор: GIS Geography · Последнее обновление: 30 июля 2020 г.
Что такое центральный меридиан?
Центральный меридиан — это центральная линия долготы для проекционных систем.
Спроецированные системы координат часто используют его как точку отсчета для начала координат x.
Например, проекционные системы государственной плоскости и UTM используют центральный меридиан.
Вот несколько примеров центрального меридиана в системах координат.
Линии долготы проходят с севера на юг
Линии широты проходят с востока на запад и параллельны друг другу. В то время как линии долготы проходят с севера на юг и в конечном итоге сходятся на полюсах.
Например, нулевой меридиан — это линия долготы под углом 0 °. Все на этой линии имеет координату долготы 0 °.
Но нулевой меридиан (гринвичский меридиан) зависит от долготы 0 °. Точно так же, как экватор разделяет север и юг, гринвичский меридиан разделяет восток и запад.
Проекционные системы используют линии долготы как нулевой меридиан. Точно так же, как главный меридиан разделяется на восток и запад, центральные меридианы делают то же самое.
Система
UTM использует центральный меридиан
Если вы переместитесь на 3 ° к востоку от нулевого меридиана, это будет центральный меридиан для зоны 31 UTM. Мы присваиваем всем X-координатам (восточным направлениям) на центральном меридиане значение 500 000 м.
Этот центральный меридиан — произвольное значение, удобное для избежания отрицательных координат восточного направления.Все значения восточного и западного направления от центрального меридиана будут положительными.
Каждая зона UTM имеет ширину 6 °. Таким образом, для зоны 31 UTM он находится в диапазоне от 0 ° до 6 ° восточной долготы. Тогда зона 32 UTM находится от 6 ° до 12 ° в.д. с центральным меридианом 9 ° в.д.
Поперечная проекция Меркатора берет цилиндр и кладет его на бок (поворачивает на 90 °). Затем цилиндр пересекает эллипсоид по двум маленьким окружностям, параллельным центральному меридиану.
Государственная плоская система координат использует центральный меридиан
В зависимости от размера и формы штата в системе координат штата (SPCS) используется 1 из 3 систем проецирования:
Поперечный Меркатор
Конформно-коническая форма Ламберта
Hotine Oblique
Для зон, протяженных в направлении север-юг, используется поперечная проекция Меркатора.Как и в системе UTM, у нее есть центральный меридиан и два маленьких круга.
Если зона протяженная с востока на запад, SPCS использует проекцию конической формы Ламберта. Эта проекция использует секущий конус и имеет две стандартные параллели.
Когда зоны длинные в диагональном направлении, в проекции Hotine Oblique используется цилиндр, расположенный под углом к центральной линии.
Где центральный меридиан?
Центральный меридиан зависит от того, какую проекционную систему вы используете.
Например, каждая зона UTM использует центральный меридиан в качестве начала координат X (восточного направления).
Всему в центральном меридиане присвоено значение 500 000 м.
Это означает, что система UTM имеет 60 центральных меридианов для всех зон UTM.
UTM зон (Центральный меридиан)
Зона UTM
Центральный меридиан
Протяженность зоны UTM
1
177 ° з.д.
180 ° W-174 ° W
2
171 ° з.д.
174 ° з.д.-168 ° з.д.
3
165 ° з.д.
168 ° з.д.-162 ° з.д.
4
159 ° з.д.
162 ° з.д.-156 ° з.д.
5
153 ° з.д.
156 ° Вт-150 ° Вт
6
147 ° з.д.
150 ° W-144 ° W
7
141 ° з.д.
144 ° з.д.-138 ° з.д.
8
135 ° з.д.
138 ° W-132 ° W
9
129 ° з.д.
132 ° з.д.-126 ° з.д.
10
123 ° з.д.
126 ° W-120 ° W
11
117 ° з.д.
120 ° W-114 ° W
12
111 ° з.д.
114 ° з.д.-108 ° з.д.
13
105 ° з.д.
108 ° з.д.-102 ° з.д.
14
99 ° з.д.
102 ° з.д.-96 ° з.д.
15
93 ° з.д.
96 ° W-90 ° W
16
87 ° з.д.
90 ° W-84 ° W
17
81 ° з.д.
84 ° з.д.-78 ° з.д.
18
75 ° з.д.
78 ° з.д.-72 ° з.д.
19
69 ° з.д.
72 ° W-66 ° W
20
63 ° з.д.
66 ° W-60 ° W
21
57 ° з.д.
60 ° W-54 ° W
22
51 ° з.д.
54 ° W-48 ° W
23
45 ° з.д.
48 ° W-42 ° W
24
39 ° з.д.
42 ° з.д.-36 ° з.д.
25
33 ° з.д.
36 ° з.д.-30 ° з.д.
26
27 ° з.д.
30 ° W-24 ° W
27
21 ° з.д.
24 ° W-18 ° W
28
15 ° з.д.
18 ° W-12 ° W
29
9 ° з.д.
12 ° W-6 ° W
30
3 ° з.д.
6 ° з.д.-0 °
31
3 ° в. Д.
0 ° -6 ° в.д.
32
9 ° в.д.
6 ° в.д.-12 ° в.д.
33
15 ° в.д.
12 ° в.д.-18 ° в.д.
34
21 ° в.д.
18 ° в.д.-24 ° в.д.
35
27 ° в.д.
24 ° в.д.-30 ° в.д.
36
33 ° в.д.
30 ° в.д.-36 ° в.д.
37
39 ° в.д.
36 ° в.д.-42 ° в.д.
38
45 ° в.д.
42 ° в.д.-48 ° в.д.
39
51 ° в.д.
48 ° в.д.-54 ° в.д.
40
57 ° в.д.
54 ° в.д.-60 ° в.д.
41
63 ° в.д.
60 ° в.д.-66 ° в.д.
42
69 ° в.д.
66 ° в.д.-72 ° в.д.
43
75 ° в.д.
72 ° в.д.-78 ° в.д.
44
81 ° в.д.
78 ° в.д.-84 ° в.д.
45
87 ° в.д.
84 ° в.д.-90 ° в.д.
46
93 ° в.д.
90 ° в.д.-96 ° в.д.
47
99 ° в.д.
96 ° в.д.-102 ° в.д.
48
105 ° в.д.
102 ° в.д.-108 ° в.д.
49
111 ° в.д.
108 ° в.д.-114 ° в.д.
50
117 ° в.д.
114 ° в.д.-120 ° в.д.
51
123 ° в.д.
120 ° в.д.-126 ° в.д.
52
129 ° в.д.
126 ° в.д.-132 ° в.д.
53
135 ° в.д.
132 ° в.д.-138 ° в.д.
54
141 ° в.д.
138 ° в.д.-144 ° в.д.
55
147 ° в.д.
144 ° в.д.-150 ° в.д.
56
153 ° в.д.
150 ° в.д.-156 ° в.д.
57
159 ° в.д.
156 ° в.д.-162 ° в.д.
58
165 ° в.д.
162 ° в.д.-168 ° в.д.
59
171 ° в.д.
168 ° в.д.-174 ° в.д.
60
177 ° в.д.
174 ° в.д.-180 ° в.д.
,
Медиана треугольника — математическое определение слова
Медиана треугольника — определение слова в математике — открытый справочник по математике Медиана треугольника — это
отрезок
присоединение к
вершина
до середины противоположной стороны. Следовательно, у треугольника три медианы. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину
чтобы изменить форму треугольника. Обратите внимание, что все три медианы встречаются в одной точке.
Медиана треугольника — это
отрезок
от вершины треугольника к
середина стороны, противоположной этой вершине.Поскольку есть три вершины, конечно, возможны три медианы. Один из увлекательных
В них есть то, что независимо от формы треугольника, все три всегда пересекаются
единственная точка. Эта точка называется центроидом треугольника.
Недвижимость
Медианы треугольника обладают некоторыми удивительными свойствами:
Тот факт, что три медианы всегда встречаются в одной точке, интересен сам по себе
Каждая медиана делит треугольник на два меньших треугольника , имеющих одинаковую площадь
Центроид
(точка, где они встречаются) — это центр тяжести треугольника
Три медианы делят треугольник на 6 меньших треугольников одинаковой площади,
даже если они могут иметь разную форму.
Отрегулируйте треугольник выше, перетащив любую вершину. Убедите себя, что три медианы (серые линии) всегда пересекаются в одной точке.
Вы также можете визуально оценить, что приведенные выше факты о местности соответствуют действительности.
Попробуй
Сделайте из картона любой треугольник шириной около 12–24 дюймов. Сделайте его как можно скругленным и неправильным.
Нарисуйте медиану
на картонном треугольнике. Подойдет любой.
В точке, где медиана пересекается со стороной треугольника, сделайте небольшое отверстие рядом с краем.Обвяжите его веревкой.
Когда вы держите треугольник за веревку, средняя линия должна быть вертикальной — точно на одной линии с веревкой (см. Рисунок ниже).
Почему?
Другие темы треугольника
Общие
Периметр / Площадь
Типы треугольников
Центры треугольника
Конгруэнтность и сходство
Решение треугольников
Треугольник викторины и упражнения
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г. Все права защищены.
,Метод короткого прохода
меридианов | Демистификация Astro Navigation
Методы прохождения меридианов.
Короткий метод. В случае неподвижных или очень медленно движущихся судов допустимо использовать метод укороченного прохождения меридиана, который включает в себя расчет времени прохождения меридиана в текущей позиции DR.
Длинный метод. Для судов с хорошим ходом следует использовать длинный метод. Длинный метод включает в себя вычисление времени прохождения меридиана в текущем положении за час или около того до полудня, а затем построение нового положения DR для этого времени.Таким образом, время прохождения меридиана в новой позиции DR может быть рассчитано заранее.
Примечание. Поскольку в расчетах местоположения по меридианам используются часовой угол по Гринвичу и долгота, базовой линией для которых является гринвичский меридиан, в этих расчетах было бы целесообразно использовать среднее время по Гринвичу, а не универсальное время. Поскольку термины GMT и UT обычно считаются синонимами, потери точности не возникает.
Ссылки: Понимание прохождения меридиана, какова точка прохождения меридиана? Применение уравнения времени, метода длинного прохождения меридиана, местного часового угла и часового угла по Гринвичу, преобразование GMT в GHA, поясное время коррекции высоты,
Прохождение меридиана — короткий метод.
Как мы узнали из «Понимания прохождения меридианов», прохождение меридиана (mer. Pas.) Происходит, когда небесное тело пересекает меридиан долготы наблюдателя и в этот момент достигает своей наибольшей высоты над горизонтом наблюдателя.Мы также узнали, что если мы измеряем высоту Солнца при прохождении местного меридиана и используем результат вместе со склонением Солнца, мы можем вычислить нашу широту.
Короткий метод используется для неподвижных или очень медленно движущихся судов и включает в себя расчет времени прохождения меридиана в текущей позиции DR.
Правила расчета широты при прохождении меридиана. Следующие правила были полностью объяснены в разделе «Что такое меридианный проход», но их необходимо повторить здесь:
Широта и склонение совпадают, но широта больше склонения: LAT = DEC + (90 o — ALT)
Широта и склонение совпадают, но склонение больше широты: LAT = DEC — (90 o — ALT)
Широта и склонение напротив названий: LAT = (90 o — ALT) — DEC
Краткое описание метода. Краткий метод включает в себя расчет времени прохождения местного меридиана в текущем географическом положении судна незадолго до полудня, а затем измерение высоты Солнца по мере приближения этого времени.
Схема шестиэтапной проформы для краткого метода прохождения меридиана . Эта простая в использовании шестиэтапная проформа может использоваться для расчета положения судна по методу сокращения меридианного прохода.
Предварительное планирование. По мере приближения полудня вычислите географическое положение вашего судна (DR или EP) и отметьте поясное время в этом месте.
Шаг 1. Используя дневную страницу морского альманаха, найдите время прохождения меридиана (мер. Пас.) Для сегодняшней даты (по Гринвичу).
Шаг 2. Преобразуйте время мер. па. от GMT до поясного времени. (Помните, что поясное время не будет соответствовать видимому времени Солнца, поэтому, несмотря на то, что мерп. Время приходится на видимый полдень, поясное время, вероятно, будет на несколько минут по обе стороны от него).
Шаг 3. На ежедневной странице морского альманаха найдите склонение Солнца во время Мера.Па · с. (Обратите внимание, что при корректировке склонения с учетом приращения «d» необходимо следить за тем, чтобы проверять дневную страницу, чтобы увидеть, увеличивается или уменьшается склонение).
Шаг 4 . Измерьте высоту нижней конечности Солнца в точке мер. па. и вычислите скорректированную высоту меридиана.
Шаг 5. Вычислите широту судна по высоте меридиана и склонению Солнца, используя правила для Mer. Па · с. как объяснялось ранее.
Шаг 6. Вычислите долготу судна, переведя разницу во времени между Mer. Па · с. и GMT.
Пример. Этот пример демонстрирует применение вышеупомянутого метода вычисления широты методом короткого прохождения меридиана.
Задача. Используйте метод короткого прохода по меридиану, чтобы вычислить положение судна в сценарии ниже, следуя шестиэтапной проформе выше.
Сценарий: Дата: 22 июня
Поясное время: 1140 (+4)
Зона: +4
Mer.Па .: 12 02
DR Позиция: 32 0 30’N. 61 0 55’W.
Скорость незначительна (рыболовные суда тянут сети).
Высота секстанта в Мер. Пас .: 80 o 55’.8
Ошибка индекса (I.E.): -0′.2
Ht. глаза: 2,5м.
Время наблюдения за палубой (DWT) на высоте меридиана: 16 ч 08 м 25,1 с
Конспект урока по геометрии 9 класс»Синус ,косинус ,тангенс угла»
II.
Изучение нового материала.
1. Понятие
единичной полуокружности (рис. 290).(слайд 4)
Введем
прямоугольную систему координат Оху и построим полуокружность радиуса 1 с центром
в начале координат, расположенную в первом и втором квадрантах. Данная
полуокружность называется единичной (см. рис. 290 в учебнике). (слайд )
Запись
в тетрадях:
Полуокружность
называется единичной, если ее центр находится в начале координат, а радиус
равен 1.
2.
Понятие синуса и косинуса для углов 0° ≤ a ≤ 180° (слайд 5):
Из точки О проведем луч h
, пересекающий единичную полуокружность в точке М (х;у). обозначит буквой a
угол между лучом h и положительной
полуосью абсцисс.
Если луч h совпадает с
положительной полуосью абсцисс, то будем считать, что a
= 0 °.
Если
угол a острый, то из
прямоугольного треугольника DOM
имеем,
sin
a = , a cos a
= .
Но
OM
= 1, MD
это ордината, OD — абсцисса, поэтому sin a
ордината у точки М, cos a
это абсцисса х точки М.
Запись
на доске и в тетрадях:
Если
угол a острый, то из прямоугольного треугольника DOM имеем,
sin a = , a cos a = .
Но OM = 1, MD = y, OD = x,
поэтому sina = y, cosa = x.
(1)
Если
угол a прямой, тупой или
развернутый, это углы AOC,
AON
и AOB
на рисунке 290 учебника, или a = 0 °,
то синус и косинус угла a также определим
по формулам (1).
Таким
образом, для любого угла a из промежутка 0°
≤ a ≤ 180°
синусом угла a называется ордината у
точки М, косинусом угла a — абсцисса х
точки М.
Так
как координаты (х; у) точек единичной полуокружности заключены в промежутках 0
≤ у ≤ 1, — 1 ≤ х ≤ 1, то для любого a
из промежутка 0° ≤ a
≤ 180° справедливы неравенства:
0
≤ sin a ≤ 1, — 1≤ cos a
≤ 1
Запись
в тетрадях:
Т.к.
0 ≤ у ≤ 1, — 1 ≤ х ≤ 1, то для любого a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180°
0 ≤ sin a ≤ 1, —
1≤ cos a ≤ 1.
3.Нахождение
значений синуса и косинуса для углов 0°, 90° и 180°.(слайд
6)
А
теперь найдем значения синуса и косинуса для углов 0°,
90° и 180°.
Для этого рассмотрим лучи OA,
OC
и OB,
соответствующие этим углам (см. рис.290). Так как точки А, С и B
имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Sin
0°
= 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, cos 0°
= 1, cos 90° = 0, cos 180° = — 1. (2)
Запись
в тетрадях:
Sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0, cos 0° = 1, cos 90° = 0, cos 180° = — 1
4.
Определение тангенса угла a
(a 90°) (слайд 7,8):
tg
a = при
a 90°;
tg 0° = 0; tg 180° = 0.
Так
как из прямоугольного треугольника DOM
тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему
tg
= , то тангенс будет равен
отношению синуса угла a к косинусу угла a
tg
= . Существует еще функция,
обратная тангенсу — котангенс, и он равен отношению косинуса угла a
к синусу ctg = .
Запись
на доске и в тетрадях:
Т.к.
tga = , то tga = , ctga = .
Так
как tga
= , то при a
= 90° тангенс угла a
не определен, так как cos
90° = 0 знаменатель обращается в нуль.
Котангенс угла ctg a= не определен при a
= 0 °, a
= 180 ° , так как знаменатель sin
0°
= 0, sin
180°
= 0 обращается в нуль. Используя формулы (2), находим:
tg
0 °
= 0, tg
180 °
= 0.
ctg
90°
= 0.
Запишите
это в тетради. (слайд 7)
Запись
в тетрадях:
Т.к. tga = , то при a = 90°
тангенс угла a не определен.
tg 0 ° = 0, tg 180 ° = 0,
т. к. ctga = , то при a = 0 °, a = 180 °
котангенс угла a
не определен
На
рисунке 290 учебника изображены система координат Оху и полуокружность АСВ с
центром О. Эта полуокружность является дугой окружности, уравнение которой
имеет вид х2 + у2 = 1. Подставив сюда выражения для х и у
из формул sin = x, cos = y,
получим равенство
sin2 a
+ cos2 a
= 1, (4)
Которое
выполняется для любого угла a из промежутка 0°
≤ a ≤ 180°.
Равенство (4) называется основным тригонометрическим тождеством. В VIII
классе оно было доказано для острых углов. Запишите в тетради информацию со
слайда. (слайд 9)
Запись
в тетрадях:
Основное
тригонометрическое тождество.
Для
любого угла a из промежутка 0° ≤ a ≤ 180° верно
sin2 a + cos2a = 1 — основное
тригонометрическое тождество.
Найдем значения синуса, косинуса и тангенса углов АОМ1,
АОМ2. Так как синус — это ордината точки, косинус — это абсцисса
точки, а косинус, это отношению синуса к косинусу, находим их значение.
Находим синус, косинус и тангенс угла АОМ1.
Т.к.
sin a
= y, cos a = x, tg =
sinÐАОМ1=
1, cosÐАОМ1 = 0.
sinÐАОМ2 = , cosÐАОМ2 = , tg ÐАОМ2 = .
1013
(б) .
Дано:
cosa
=.
Найти:
sin a.
Решение
sin2 a
+ cos2a = 1; sin2a
= 1 – cos2a; sina =.
sina
=.
Ответ:
.
№ 1014 (а) .
№ 1015 (а, в).
Дано: а) cos a
= 1;
в) sin a
= и 0°
< a
< 90°.
Найти: tg a.
Решение:
a)
tg
= ,
sin2 a
+ cos2 a = 1;
sin2 a
= 1 — cos2 a;
sin2 a
= 1 — = 1 — = 0; sin a
= 0.
tg
= = = 1.
в) sin2 a
+ cos2 a = 1;
cos2 a
= 1 — sin2 a;
cos2 a
= 1 — = 1 — = ;
т.к.
0° < a < 90°
, cos a
> 0, cos a = .
tg a =
= 1.
5. Подведение итогов урока. Рефлексия.
Итак, сегодня на уроке мы изучили синус, косинус и
тангенс угла. Теперь ответьте на следующие вопросы: (слайд10)
Что называется синусом угла?
Что называется косинусом угла?
Что такое тангенс угла?
Что такое котангенс угла?
Какое основное тригонометрическое тождество вы знаете?
определение sin, cos, tg острого угла прямоугольного
треугольника;
основное тригонометрическое тождество;
формулы приведения;
(во время повторения 1 ученик выходит к
доске и выбирает инструменты урока, 2 ученик по
рисункам записывает равенства к заданию)
б) Записать по рисунку равенства для нахождения
неизвестных элементов.
(Презентация. Слайд 2)
3. Разминка. Решение задач по
готовым чертежам.
1) В треугольнике АВС угол С равен 90о,
АВ = 20, АС = 10.
Найдите sin А. (Слайд 4)
2) В треугольнике АВС угол С равен 90о, cos
В = , АВ = 13.
Найдите АС. (Слайд 5)
3) В треугольнике АВС угол С равен 90о,
АВ = 5, АС = 4. Найдите tg А. (Слайд 6)
4. Основная часть: разбор заданий из
материалов ЕГЭ (задачи В4)
1) В треугольнике АВС угол С равен 90о,
sin А = , АС = 4, СН –
высота. Найдите ВН. (Слайд 8)
2) В треугольнике АВС угол С равен 90о, АВ =
5, АС = 4. Найдите синус внешнего угла
треугольника при вершине А. (Слайд 9)
3) В треугольнике АВС угол С равен 90о,
tg А = . Найдите
sin А. (слайд 10)
5. Проверочная работа по вариантам
(Приложение 1)
Проверочная работа для более подготовленных
учащихся (Приложение 2)
6. Домашнее задание (Приложение
3)
Дополнительные задачи (Приложение
4)
тригонометрия — лучший способ обозначения некоторых тригонометрических функций («tg» vs «tan», «ctg» vs «cot»)
спросил
Изменено
2 года, 6 месяцев назад
Просмотрено
8к раз
$\begingroup$
Как лучше всего обозначать тангенс и другие тригонометрические функции: tg или tan , ctg или cot . Какие обозначения обычно используются и стандартизируются?
тригонометрия
обозначения
$\endgroup$
2
$\begingroup$
В текущих учебниках США обычно используются и стандартизированы $\tan$ и $\cot$. Также: $\sin, \cos, \sec, \csc$. В других странах и в 19го века, вы найдете другие.
$\endgroup$
$\begingroup$
Стандарт
ISO 80000-2 Величины и единицы. Часть 2. Математические знаки и символы
используется в естественных науках и технике
совершенно ясно: правильные символы $\tan x$ (п.2-13.4) и $\cot x$ (п.2-13.5).
Цитируя стандарт: «$\text{tg } x$, $\text{ctg } x$ не следует использовать».
$\endgroup$
6
$\begingroup$
Некоторые люди знакомы с tg , а некоторые люди знакомы с tan . Итак, для широкого использования просто определите нотацию. Я думаю, это решит вашу проблему.
$\endgroup$
0
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
Карта TG
С картой TG уже введенные геометрические элементы (треугольники, сегменты и
остальное) можно перемещать, вращать, отражать и/или масштабировать. Также возможно дублирование
структуры.
На вкладке «Конструкция» в группе «Изменить»
нажмите на значок «Перевести геометрию» (TG).
Количество копий, например, если установлено 3 выбранных элемента
будут повернуты, переведены, отражены и масштабированы 3 раза, так что будет
Всего 4 конструкции. Если установлено значение 0, существующие элементы поворачиваются, перемещаются,
зеркально отмасштабированы, а количество элементов остается прежним.
Использовать выбор метки
Если эта опция не отмечена, то карта TG применяется ко всем ранее
определенная геометрия. Если эта опция отмечена, выборочная обработка меток включена.
возможный.
Копировать структуры, начиная с метки
Вместе с окончанием на этикетке можно использовать карту TG только для выбранной части
структуры. Карта ТГ применяется только к тем элементам, метка которых лежит в пределах
диапазон, установленный здесь (см. также карты LA и CB, а также общее обсуждение этикетки
диапазоны). Если второе поле оставить пустым, будут отображаться только структуры с установленной в поле меткой.
считается первое поле.
Примечание. Определенные типы элементов на указанных этикетках
можно исключить из выбора ниже в карточке.
Приращение метки для новых структур
Каждой вновь созданной структуре будет присвоена метка,
увеличивается на это значение по сравнению с исходной структурой. Исключением является
метка 0, которая сохраняется.
Включить
Эта группа может использоваться для указания типов элементов (при условии, что они удовлетворяют
критерий метки) поворачиваются/переводятся.
Вращение вокруг оси X
Угол поворота
топор
вокруг оси X в градусах.
Вращение вокруг оси Y
Угол поворота
да
вокруг оси Y в градусах.
Вращение вокруг оси Z
Угол поворота
аз
вокруг оси Z в градусах.
Перемещение по оси X
Перевод
△х
в направлении X в метрах (масштабируется картой SF).
Перемещение по оси Y
Перевод
△г
в направлении Y в метрах (масштабируется картой SF).
Перемещение по оси Z
Перевод
△z
в направлении Z в метрах (масштабировано картой SF).
Зеркало о плоскости в точке X равной
Геометрия зеркально отражается вокруг плоскости в точке X, равной заданной константе. Если нет
указано значение, зеркальное отображение вокруг плоскости не выполняется.
Зеркало о плоскости при Y равном
Геометрия зеркально отражается вокруг плоскости в точке Y, равной заданной константе. Если нет
указано значение, зеркальное отображение вокруг плоскости не выполняется.
Зеркало о плоскости при Z равном
Геометрия зеркально отражается вокруг плоскости по оси Z, равной постоянной
указано. Если значение не указано, зеркальное отображение вокруг плоскости не выполняется.
Масштабный коэффициент
Коэффициент масштабирования
γ
, с помощью которого необходимо масштабировать структуры. (Если оставить пустым,
по умолчанию 1):
Для сегментов провода масштабируется радиус провода, а также координаты
начальная и конечная точки.
Коэффициент масштабирования
γ
применяется после того, как переводы/повороты были
проводим, например, новые координаты после перевода/поворота будут
масштабируется. Это означает, что эффективным переводом является значение, указанное в TG.
карты, умноженной на коэффициент масштабирования. (Если это нежелательно, то два разных
Можно использовать карты TG — первая применяет только масштабирование, а вторая выполняет
только перевод).
Когда карта SY (симметрия) используется до карты TG, карта TG сбрасывает симметрию, если
новые структуры делают недействительной симметрию. Случаи, когда симметрия не сбрасывается, это когда,
например, самолет
г=0
является плоскостью симметрии, а карта TG указывает вращение вокруг
ось Z для симметричного выбора элементов. В этом случае
симметрия сохраняется.
Трансляция, вращение, зеркальное отображение и масштабирование выполняются как одно преобразование.
порядок поворота, перевода, масштабирования, а затем зеркального отображения.
Если делается более одной копии, последующие точки генерируются из предыдущей точки с использованием
такое же отношение.
С картой TG одновременное вращение вокруг нескольких осей, а также перемещение в
возможно несколько направлений. Точка
(х, у, г)
, например, угловая точка треугольника преобразуется в
новая точка
Умножение на матрицу вращения
М
эффективно поворачивает точку сначала на угол
аз
вокруг оси Z, затем на угол
αy
вокруг оси Y и, наконец, под углом
ах
вокруг оси X. Важно отметить
что второе вращение вокруг оси Y представляет глобальную
Ось Y. Это также эквивалентно вращению
ах
вокруг оси X, затем вращая
αy
вокруг нового
ты
ось и, наконец, вращение
аз
вокруг нового
г»
ось.
Углы преобразования, используемые Feko в этом порядке,
обычно называемые углами Кардана, в отличие от широко используемых углов Эйлера. Если
вращение должно производиться в другом порядке (например, сначала вокруг оси X, затем вокруг оси Y и, наконец, вокруг
ось Z), то можно просто использовать несколько последовательных карт TG. Но
так как такой же алгоритм вращения используется и на других Feko
карты (например, AC или AR), если нельзя использовать несколько карт, здесь должен быть указан короткий сегмент кода PREFEKO, который иллюстрирует, как
углы могут быть преобразованы: 92))
#cb2=#cb1*#cc1/#cc2
#ca2=#ca1*#cc2/#cc1
#sa2=#cc2*(#sa1*#cc1-#ca1*#sb1*#sc1)/(#cb1*#cc1)
#sb2=#sa1*#sc1+#ca1*#sb1*#cc1
#sc2=#cc2*(#ca1*#sc1-#sa1*#sb1*#cc1)/(#cb1*#cc1)
** Наконец вычислить углы, которые должны быть использованы в Feko в карточке TG
** для порядка вращения сначала вокруг z, затем вокруг y, а затем вокруг x
#a2=град(atan2(#sa2,#ca2))
#b2=градус(атан2(#sb2,#cb2))
#c2=градус(атан2(#sc2,#cc2))
Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров » Kupuk.net
Самой часто используемой фигурой в математике можно назвать треугольник. Вычисление элементов этого многоугольника применяется при нахождении параметров более сложных объектов не только на плоскости, но и в объёме. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Он обладает замечательными свойствами, имеет особенные линии и точки.
Общие сведения
Произвольное множество точек называют геометрической фигурой. На плоскости они соединены замкнутыми линиями, образующими контур тела. В трёхмерном пространстве многоугольник, состоящий из трёх отрезков, не принадлежащих одной прямой, носит имя треугольник. Его линии называют сторонами или боковыми гранями, а место их пересечения — вершинами.
Треугольник — замкнутое геометрическое тело, состоящее из трёх сторон и такого же количества углов. Боковые грани принято обозначать маленькими латинскими буквами. Углы на рисунке показывают маленькой дугой, а в записи — символом ∠ с указанием соответствующей вершины. Точки же пересечения линий подписывают большими буквами.
Например, если имеется треугольник ABC, у него есть углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут обозначать и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA. Строгого требования в виде обозначений нет, но существуют негласные правила, которых всё же рекомендуется придерживаться.
Хотя определение треугольника и его элементов одинаковое, выделяют 3 класса фигур:
остроугольный — любой из углов тела не превышает 90 градусов;
тупоугольный — форма одного из разворотов тупоугольная;
прямоугольный — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.
Кроме этого, многоугольник классифицируют по числу равных сторон. Разносторонним он считается в том случае, если все они разной длины, равнобедренным — треугольник, имеющий 2 равные стороны, а равносторонним — у которого все стороны равны. Последний в литературе может ещё называться правильным.
На основании классификационных групп треугольники можно сравнивать между собой. Они считаются подобными, если 2 угла одного соответственно равны двум углам другого, или когда 2 стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Эти правила называют признаками подобия. Они особенно популярны среди физиков. Их часто используют при вычислении элементов прямоугольников, квадратов, трапеций.
Элементы треугольника
Кроме сторон и вершин, фигура имеет различные точки и линии, называемые замечательными. Такое имя они получили из-за своих свойств. Но перед тем как их перечислить, нелишним будет привести основные величины, характеризующие фигуру, способы их нахождения и теоремы.
Периметр многоугольника можно определить, сложив все стороны: P = a + b + c. Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.
К замечательным линиям относят:
Медиану — линию, проходящую через вершину к середине противолежащей стороны. Всего в треугольнике можно провести 3 таких отрезка. Точка их пересечения является центром массы. Если считать от вершины, в ней она делится в отношении 2 к 1. Каждая медиана разделяет фигуру на 2 объекта с одинаковой площадью.
Биссектрису — отрезок, построенный к стороне из угла и делящий его на 2 равные части. Она делит грань на 2 замкнутые линии, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка, в которой пересекаются биссектрисы, является началом диаметра вписанной в треугольник окружности.
Высоту — перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Все они пересекаются в одной точке.
Срединную линию — проходит всегда параллельно одной из граней и соединяет середины двух оставшихся сторон. 3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.
При измерениях используют и «особенные» точки фигуры. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом скрещивания перпендикуляров. А если поместить в круг, середина будет совпадать с пересечением биссектрис. Для других замечательных линий точки их соприкосновения также имеют свои названия: ортоцентр (высот) и центроид (медиан). Первая может принадлежать как внутренней площади фигуры, так и внешней (тупоугольный треугольник).
В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. При этом их центр является серединой как вписанной окружности, так и описанного круга. А угол, из которого построен один из таких отрезков, будет разделён на 2 одинаковых разворота равных 30 градусам.
Основные формулы
Найти любой элемент треугольника можно по специальным формулам. Чаще всего приходится искать стороны фигуры. Зная их, можно найти практически любые параметры, просто подставив в выражения значения размеров граней.
Найти длину отрезка, формирующего контур фигуры, можно, зная длины двух сторон и угла или значения двух углов и одной стороны. Для первого случая формула имеет вид a = b * sin (a) / sin (b) = b * sin (a) / sin (a + c), а второго: a = √(b2 + c2 — 2bc * cos (a)). Если имеется тупой угол, косинус будет отрицательный. Это необходимо учитывать при расчётах.
Это общие формулы, подходящие для любого типа треугольника. Но в то же время для прямоугольного существует своё правило, связывающее все 3 грани в одну формулу: c = √(b2 + a2). Называется оно теоремой Пифагора. В равнобедренном вычислить сторону можно, зная любую другую и угол. Для основания используют равенство b = 2a * cos (a), а для равных граней: a = b / 2 * cos (a).
Из множества других существующих формул для определения различных элементов фигуры, можно указать на те, что чаще всего используются при решении примеров:
Биссектриса: L = √(a * b * (a + b + c) * (a + b — c)) / (a + b). Формулу можно упростить, используя периметр: L = 2 * √ (a * b * P) * (P — c)) / (a + b), где P = p /2 (полупериметр).
Медиана: М = √(2 * a2 + 2b2 — c2) / 2. Линию можно определить, зная только 2 стороны и лежащий между ними угол: М = √(a2 + b2 — 2 * a * b * cos (с)) / 2. В прямоугольном треугольнике она равняется радиусу описанного круга или половине гипотенузы: М = R = c / 2.
Существуют и упрощённые выражения. Формула Герона позволяет высчитать площадь, используя полупериметр и длины сторон: S = √(P * (P — a) * (P — b) * (P — c)). Также величину можно определить, зная высоту и длину основания: S = (a * H) / 2.
Формул для вычисления элементов треугольников можно насчитать несколько десятков. Запомнить их довольно сложно, поэтому нужно выучить основные определения и выражения, а сделать это лучше всего, решая практические примеры. Вот некоторые из них:
В треугольнике проведено 2 высоты. Одна равняется 63 см, а другая 56 см. Найти истинный отрезок, если основание AC = 84 см, а размер медианы BK совпадает с длиной стороны BC. Так как точка K делит отрезок AC пополам, AK = KC = AC / 2 = 84 /2 = 42 см. В треугольнике BKC 2 стороны равны друг другу, согласно условию, значит, он равнобедренный. Следовательно, высота является одновременно и медианой. KH = HC = MC /2 = 42 / 2 = 21 см. Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.
Пусть дан треугольник ABC. Найти возможный отрезок BN, на который биссектриса поделит сторону BC, если AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Для решения понадобится вспомнить свойство биссектрисы. Из него следует, что BN / NC = AB / AC = 6 / 8. Если искомый отрезок принять за икс, будет верным равенство KC = 7 — x. Значит: x / (7 — x) = 6 / 8. Отсюда можно выразить неизвестное: x = 42 / 14 = 3 см. Теперь останется подставить найденное число и найти искомое значение: KC = 7 — 3 = 4 см.
Завод начал выпускать новую серию объёмных фигур. Определить, какой тип многоугольника лежит в их основании, если её стороны равны 3, 2 и √3. Чтобы найти ответ, нужно проанализировать исходные данные. Так как сумма двух меньших сторон больше третей боковой грани, в основании лежит треугольник. 3 в квадрате не равно 22 + (√3)2. Следовательно, геометрическое тело непрямоугольное. По теореме косинусов можно записать: a2 = b2 + c2 — 2 * b * c * cos (a). Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.
Проверить правильность вычислений можно, воспользовавшись онлайн-калькуляторами. Это сервисы, предоставляющие услуги по расчёту различных математических величин. Воспользоваться ими сможет любой, даже тот, кто не знает ни одной формулы и теоремы. Всё, что требуется от пользователя — правильно ввести исходные данные в специальную форму и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд ответ, а в некоторых случаях и решение, появится на экране.
Формулы площади треугольника
Формулы для вычисления площади треугольника.
Диктант:
Вариант 1
Вариант 2
Сформулировать теорему синусов;
Решить треугольник по двум сторонам и углу, между ними;
Решить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам;
Решить треугольник по трем сторонам.
Сформулировать теорему косинусов;
Записать формулу косинуса угла;
Решить треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них;
Решить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.
Задачи урока:
Узнать формулы вычисления площади треугольника;
Понять применение формул для вычисления площадей;
Научиться применять формулы.
Повторяем:
Вычислить площадь треугольника:
B
1
8
A
C
H
6
12
72
Повторяем:
Вычислить площадь треугольника:
2
A
8
B
C
16
64
Изучение нового:
Вычислить площадь треугольника:
A
3
8
4
Найдите половину произведения AC на CB и на sinC.
30°
B
C
H
9
18
Изучение нового:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Теорема 1:
B
γ
a
γ
h
γ
γ
C
A
b
Изучение нового:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Теорема 1:
B
γ
h
a
(180°-γ)
γ
A
b
C
В каком случае целесообразно
применить данную формулу?
Изучение нового:
Теорема 2: (формула Герона)
Площадь треугольника можно
вычислить по формуле ,
гдеa,b,c— стороны треугольника, p – его
полупериметр.
B
с
a
В каком случае целесообразно
применить данную формулу?
A
C
b
Изучение нового:
Теорема 3:
Площадь треугольника можно вычислить по
формуле ,
гдеa,b,c— стороны треугольника, R – радиус описанной окружности.
B
с
a
O
A
C
b
Изучение нового:
Теорема 4:
Площадь треугольника равна
произведению его полупериметра на
радиус вписанной окружности.
B
a
с
O
A
C
b
Изучение нового:
Теорема 4:
Площадь многоугольника равна
произведению его полупериметра на
радиус вписанной окружности.
C
O
B
A
Изучение нового:
Площадь какого треугольника не рассмотрели?
γ
B
a
a
C
A
a
Опорная схема (кластер):
Составить опорную схему по теме
«Площадь треугольника»
Что известно?
Две стороны
и угол между
ними
Что известно?
Формула
Опорная схема (кластер):
Катеты прямоугольного треугольника
Три стороны во
вписанном в окружность
треугольнике
Три стороны и
радиус вписанной
окружности
Треугольник
равносторонний
Две стороны
и угол между
ними
Три стороны
Закрепляем:
№№132, 134, 135, 137.
Домашнее задание:
№№133, 136,формулы.
Планиметрия (Геометрия на плоскости) — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи
Оглавление:
Основные теоретические сведения
Треугольник
Трапеция
Параллелограмм
Квадрат
Ромб и прямоугольник
Произвольные фигуры
Многоугольники
Окружность
Треугольник
К оглавлению…
При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:
Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
Вертикальные углы равны между собой.
Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:
Тогда, сумма углов треугольника:
Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:
Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:
Формула Герона для площади треугольника:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности:
Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):
Свойства медиан:
Все три медианы пересекаются в одной точке.
Медианы делят треугольник на шесть треугольников одинаковой площади.
В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.
Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):
Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке). Формулы биссектрисы:
Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):
Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:
Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.
Формула высоты:
Еще одно полезное свойство высот треугольника:
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке. Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:
Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:
Площадь правильного треугольника:
Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):
Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:
Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:
Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):
Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:
Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т. п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:
По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
Трапеция
К оглавлению. ..
Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:
Площадь трапеции:
Некоторые свойства трапеций:
Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.
В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
У равнобедренной трапеции диагонали равны.
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.
Параллелограмм
К оглавлению…
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:
Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:
Некоторые свойства параллелограмма:
Противоположные стороны параллелограмма равны.
Противоположные углы параллелограмма равны.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.
Квадрат
К оглавлению…
Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:
Площадь квадрата через длину его диагонали:
Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.
Ромб и прямоугольник
К оглавлению…
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):
Свойства ромба:
Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
Свойства прямоугольника:
Диагонали прямоугольника равны.
Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.
Произвольные фигуры
К оглавлению…
Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:
Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):
Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.
Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:
Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:
Многоугольники
К оглавлению…
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна:
Число диагоналей всякого многоугольника равно (где: n – число сторон):
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Внутренний угол правильного многоугольника равен:
Центральный угол правильного n-угольника равен:
Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, длиной стороны a, радиусом описанной окружности R, полупериметром p и радиусом вписанной окружности r, может быть рассчитана по следующим формулам:
Окружность
К оглавлению. ..
Свойство касательных:
Свойство хорды:
Теорема о пропорциональных отрезках хорд:
Теорема о касательной и секущей:
Теорема о двух секущих:
Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):
Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):
Свойство центральных углов и хорд:
Свойство центральных углов и секущих:
Длина окружности:
Длина дуги окружности:
Площадь круга:
Площадь сектора:
Площадь кольца:
Площадь кругового сегмента:
Геометрические формулы для площади треугольника для экзамена CAT — онлайн-подготовка Bodhee Prep-CAT
Онлайн-подготовка Bodhee Prep-CAT
| Лучшая онлайн-подготовка к CAT
Телеграмма YouTube
Существует множество формул для вычисления площади треугольника. Некоторые формулы используются очень часто, а некоторые используются специально для определенных типов вопросов. Учащийся должен не только помнить эти формулы, но и знать, где их применять.
В этой статье будут рассмотрены все формулы нахождения площади треугольника. И по мере необходимости мы будем понимать применение этой формулы с помощью вопросов, которые появились на CAT и других конкурсных экзаменах.
Формулу площади треугольников можно разделить на следующие категории:
Общие сведения: Эти формулы применимы для всех типов треугольников.
Особые: эти формулы применяются только к определенному типу треугольников.
Общие формулы для вычисления площади треугольника
Давайте выучим все общие формулы для нахождения площади треугольника.
Площадь треугольника, если известно основание треугольника и соответствующая высота:
Это наиболее часто используемая формула.
Площадь треугольника = \(\frac{1}{2} \умножить на основание \умножить на высоту\)
Вопрос: Евклид задумал треугольник, самая длинная сторона которого имеет длину 20, а другая его сторона имеет длину 10. Его площадь равна 80. Какова точная длина его третьей стороны? [CAT 2001]
\(\sqrt {260} \)
\(\ квадрат {250} \)
\(\ квадрат {240} \)
\(\ квадрат {270} \)
Решение:
Пусть перпендикуляр на наибольшей стороне от других вершин равен h.
Следовательно, \(\frac{1}{2} \times 20 \times h = 80\) т. е. h = 8
Перпендикуляр имеет два треугольника с двух сторон. Слева от него есть гипотенуза 10. Если две стороны равны 10 и 8, третья сторона должна быть равна 6. 9{2}}}=\sqrt{260}\)
Следовательно, правильным ответом является вариант (a)
Когда известны все три стороны треугольника
Площадь треугольника = \(\sqrt {(s – a)(s – b)(s – c)} \) , где \(s = \frac{{a + b + c}}{ 2}\) — полупериметр треугольника. Это также известно как формула Герона.
Примечание: Эта формула требует очень больших вычислений. Мы намеренно стараемся избегать использования этой формулы, если у нас не остается других вариантов.
Когда окружность вписана в треугольник
Это очень важный случай для любого конкурсного экзамена. На экзаменах появилось много вопросов, которые можно решить, применяя эту прямую формулу. Также стоит пройтись по выводу этой формулы, так как метод вывода иногда используется для решения некоторых вопросов геометрии.
Площадь треугольника=s×r, где s — полупериметр треугольника, а r — радиус вписанной окружности.
Вопрос: Найдите внутренний радиус треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см.
Решение:
Полупериметр (s) = (13+14+15)/2 = 21.
Площадь треугольника по формуле Герона = \(\sqrt {21 \times 8 \times 7 \ умножить на 6} = 84\)
Кроме того, площадь = rxs = 84
Или, rx21=84, следовательно, радиус внутри = 4.
Примечание: Вписанная окружность называется вписанной радиус называется внутренним радиусом.
Когда треугольник вписан в круг
Площадь треугольника = \(\frac{{abc}}{{4R}}\), где R — радиус окружности
Примечание: Окружность называется описанной окружностью , а радиус R называется радиусом описанной окружности
Когда известны две стороны и включающий угол
Площадь треугольника = \(\frac{1}{2}ab\sin \theta \), где a и b — стороны, а \(\theta \) — углы между ними.
Вопрос: Внутренняя биссектриса угла A в треугольнике ABC пересекает сторону BC в точке D. AB = 4, AC = 3 и A = 60 0 . Тогда какова длина биссектрисы AD? [CAT 2002]
\(12\кв.м 3/7\)
\(12\кв.{13} /7\)
\(4\кв {13} /7\)
\(4\кв.3/7\)
Решение:
В треугольнике со сторонами a и b и углом между ними площадь равна
Существует много других общих формул для расчета площади. Однако эти формулы требуют от высших понятий тригонометрии. Мы можем смело игнорировать их на экзамене CAT.
Конкретная формула площади треугольника 92}}}{4}} \)
Где b — мера равных сторон равнобедренного треугольника, а a — основание равнобедренного треугольника.
Дополнительная литература: Основные понятия треугольников Формулы площади треугольников Пифагорейские тройки: концепции и приемы
[PDF] Вопросник CAT 2021 (слот 1, 2 и 3) с решениями
подготовка кузова 10 декабря 2021 г.
Вопросник CAT 2021 PDF-файл доступен на этой странице. На странице есть PDF-файлы с вопросами CAT 2021 по всем трем слотам. Там
Подробнее »
Все о серии пробных испытаний CAT
Бриджеш Пандей 22 июля 2021 г.
Содержание пробных тестов CAT Идеальное количество серий пробных тестов CAT Сколько нужно написать макетов CAT Что правильно
Подробнее »
Истории успеха CAT нашей партии 2021 и 2020 гг.
Бриджеш Панди 5 января 2021 г.
Истории, которыми мы делимся здесь, — это истории некоторых студентов, которых мы курировали с самого начала их подготовки. Наставляя их,
Подробнее »
[PDF] Вопросник CAT 2020 (слот 1, 2 и 3) с решением
подготовка кузова 13 декабря 2020 г.
Вопросник CAT 2020 преподнес ряд сюрпризов. Изменился не только шаблон экзамена, но и уровень сложности почти
Подробнее »
Анализ CAT 2020: слоты (1, 2 и 3) – отсечки
подготовка кузова 30 ноября 2020 г.
Большая часть CAT 2020 оказалась такой, как и ожидалось, как с точки зрения схемы, так и сложности. После объявления об изменении шаблона,
Подробнее »
Онлайн-курс CAT для подготовки к CAT 2022
подготовка кузова 6 ноября 2020 г.
Если вы новичок в подготовке к CAT и ищете полноценный онлайн-коучинг CAT, то это страница, на которой вы должны полностью
Подробнее »
Онлайн-курсы CAT
Самое надежное место для подготовки к CAT и другим вступительным экзаменам MBA в Индии.
+91 95189-40261
[электронная почта защищена]
Онлайн-курсы CAT
Комплексный онлайн-курс CAT
Онлайн-курс CAT 2023 VARC
Онлайн-курс CAT 2023 QUANT
Онлайн-курс CAT 2023 DILR
Бесплатные ресурсы
Вопросы CAT [PDF]
Более 1000 практических вопросов CAT RC
800+ практических вопросов по количественному анализу
Площадь треугольника | Brilliant Math & Science Wiki
Содержание
Основная формула
Использование правила синусов
Формула Герона
Формула шнурка
Вычисление площади
Решение проблем — базовое
Решение проблем — средний уровень
Это наиболее распространенная формула и, вероятно, первая, которую вы видели.
Для треугольника с основанием bbb и высотой hhh площадь AAA равна
.
А=12б×ч. □ A = \frac{1}{2} b \times h.\ _\square A=21b×h. □
Заметьте, что это ровно половина площади прямоугольника с тем же основанием и высотой. Доказательство этого довольно тривиально, поэтому особых объяснений не требуется. Логическое объяснение этого состоит в том, что вы можете сделать два треугольника, отбросив высоту, при которой обе половины повернуты на 180 градусов относительно середины их гипотенузы, образуя два прямоугольника. Таким образом, ясно, что треугольники составляют половину площади соответствующих им прямоугольников, общая площадь которых равна bh.bh.bh.
Чему равна площадь треугольника, изображенного ниже?
Поскольку основание треугольника равно 5, а высота равна 8, площадь равна 12⋅5⋅8=20 \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20 21⋅5⋅8=20. □ _\квадрат □
Всегда помните, что основание и высота перпендикулярны. Вот еще несколько примеров.
Чему равна площадь треугольника на рисунке ниже?
На рисунке показано, что основание равно b=5b=5b=5, а высота h=3.h=3.h=3. Следовательно, площадь равна
На рисунке ниже две линии l1l_1l1 и l2l_2l2 параллельны. Если площадь △ABC\треугольника ABC△ABC равна 6, каково расстояние между l1l_1l1 и l2?l_2?l2?
На рисунке показано, что основание (\big((что равно AB‾)\overline{AB}\big)AB) равно b=4.b=4.b=4. Поскольку прямые l1l_1l1 и l2l_2l2 параллельны, расстояние между ними равно высоте треугольника h.h.h. Следовательно, мы имеем 12⋅4⋅h=6 ⟹ h=3.\frac{1}{2}\cdot4\cdot h=6 \ подразумевает h=3,21⋅4⋅h=6⟹h=3. Обратите внимание, что даже если мы выберем другую точку на l1l_1l1 для C, C, C, площадь все равно останется прежней. □_\квадрат□
Итак, вы думали, что площадь треугольника равна просто bh3\frac{bh}{2}2bh. Что ж, оказывается, есть гораздо больше способов получить площадь треугольника, чем этот.
Рассмотрим следующий треугольник с углами A, BA, BA, B и CCC и соответствующими противоположными сторонами a, ba, ba, b и ccc:
Тогда площадь треугольника ABCABCABC равна
.
(площадь)=12absinC=12bcsinA=12acsinB=abc4R,(\text{площадь}) =\frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2} bc\ sin A = \frac{1}{2} ac\sin B = \frac{abc}{4R},(Area)=21absinC=21bcsinA=21acsinB=4Rabc,
, где RRR — радиус описанной окружности треугольника ABC.ABC.ABC. □_\квадрат□
Мы докажем, что площадь равна 12bcsinA\frac{1}{2} bc \sin A21bcsinA. Аналогично доказываются остальные равенства.
Проведя высоту hhh треугольника от вершины ССС до противоположной стороны, мы знаем, что площадь треугольника равна
Теперь sinA=(противоположное)(гипотенуза)=hb\sin A = \frac{(\text{противоположное})}{(\text{гипотенуза})} = \frac{h}{b}sinA= (гипотенуза)(наоборот)=bh, откуда следует, что h=bsinA.h = b\sin A.h=bsinA. Следовательно,
(площадь)=12ch=12cbsinA.(\text{площадь}) = \frac{1}{2} ch = \frac{1}{2} c b \sin A.(площадь)=21ch= 21cbsinA.
Нарисовав высоту hhh из двух других вершин, мы можем аналогичным образом показать
(Площадь)=12absinC=12acsinB.(\text{Площадь}) =\frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2} ac\sin B.(Площадь) =21absinC=21acsinB.
Чтобы получить последнее равенство, вспомним, что расширенное правило синусов дает нам asinA=2R \dfrac{a}{\sin A } = 2R sinAa=2R, и, следовательно, мы получаем
Треугольник XYZXYZXYZ имеет целые длины сторон, вписан в окружность радиусом 25,25,25 и имеет длины сторон x=14x=14x=14 и y=30y=30y=30. Чему равна площадь треугольника?
Мы знаем, что радиус описанной окружности треугольника эквивалентен R=xyz4TR=\frac{xyz}{4T}R=4Txyz, где TTT — площадь. Мы фактически доказали это выше, так как это перестановка abc4R\frac{abc}{4R}4Rabc.
Доказательство этого немного сложно, поэтому я постараюсь сделать его максимально простым.
Начните с произвольного треугольника ABCABCABC с основанием ccc. Отбросьте высоту от угла CCC до стороны ccc и назовите ее hhh. Пусть два отрезка стороны ccc равны mmm и nnn, так что существуют два прямоугольных треугольника ANHANHANH и BHMBHMBHM со сторонами aaa и bbb, являющимися их соответствующими гипотенузами. Таким образом, площадь этого треугольника равна 12ch\frac{1}{2}ch31ch. 92}\\\\
\Rightarrow h&=\dfrac{\sqrt{(ba+c)(b+ac)(a+c-b)(a+c+b)}}{2c}.
\end{выровнено}h3⇒h=a2−(2ca2+c2−b2)2=(a−2ca2+c2−b2)(a+2ca2+c2−b2)=(2c2ac−a2−c2+ b2)(2c2ac+a2+c2−b2)=4c2(b2−(a−c)2)((a+c)2−b2)=4c2(b−a+c)(b+a− c)(a+c−b)(a+c+b)=2c(b−a+c)(b+a−c)(a+c−b)(a+c+b).
Подставив это в наше первое уравнение (Площадь)=12ch(\text{Area})=\frac{1}{2}ch(Area)=21ch, мы получим
12c((b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)2c)=(b-a+c)(b+a-c)(a +c−b)(a+c+b)4.\begin{выровнено}
&\ frac {1} {2} c \ left ( \ dfrac {\ sqrt {(ba + c) (b + a-c) (a + c-b) (a + c + b)}} {2c} \ right )\\\\
&=\dfrac{\sqrt{(ba+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)}}{4}.
\end{выровнено}21c(2c(b−a+c)(b+a−c)(a+c−b)(a+c+b))=4(b−a+c )(b+a−c)(a+c−b)(a+c+b).
(Знак положительный, если точки даны по часовой стрелке, и отрицательный, если они даны против часовой стрелки.)
После расширения получаем 12∣x1y2−x3y2+x3y1−x1y3+x2y3−x2y1∣.\frac{1}{2}|x_1y_2-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3+x_2y_3-x_2y_1|.21∣x1y2 −x3y2+x3y1−x1y3+x2y3−x2y1∣. 92}.21⎝⎛det∣∣∣∣∣∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣⎠⎞2+⎝⎛det∣∣ ∣∣∣∣x1x2x3z1z2z3111∣∣∣∣∣∣⎠⎞2+⎝⎛det∣∣∣∣∣∣z1z2z3 y1y2y3111∣∣∣∣∣∣⎠⎞2.
92-1y=x2−1 и расширяя, получаем 12∣(x−2)(5x+13)∣.\frac{1}{2}\big|(x-2)(5x+13)\big| .21∣∣(x−2)(5x+13)∣∣.
Используя −b2a\frac{-b}{2a}2a−b, максимум приходится на x=−310x=-\frac{3}{10}x=−103.
Однако, поскольку это уравнение с абсолютным значением и оба корня находятся между −3-3−3 и 333, мы должны проверить, какое значение x=−3,3,−310x={-3,3,-\ frac{3}{10}}x=−3,3,−103 максимизирует функцию. Таким образом, после небольшого затыкания и пыхтения, мы обнаруживаем, что x=310x=\frac{3}{10}x=103 дает наибольшее значение площади треугольника ABC,ABC,ABC, равное 52940. \фрак{529}{40}.40529. □_\квадрат□
Для этого есть несколько элегантных доказательств, в которых используются векторные перекрестные произведения, определители и исчисление. Однако, поскольку это вики по геометрии, я опубликую простейшее геометрическое доказательство. К сожалению, хотя это и самое простое, но и самое уродливое.
Если длина стороны каждого квадрата равна 1, какова площадь синей трапеции?
Примечание. У трапеции есть как минимум пара параллельных сторон. В Великобритании он также известен как трапеция.
Синий регион
Желтая область
Они равны
Квадрат и «сюрикен» (метательная звезда) нарисованы на сетке 4×44\x 44×4, состоящей из 25 равноудаленных точек, как показано выше.
Какая цветная область имеет большую площадь?
Найдите площадь изображенного треугольника.
Как показано, квадрат разделен на 4 цветных треугольника, и число в каждом треугольнике указывает площадь этого треугольника.
Какова площадь синего треугольника?
Теперь, когда вы изучили все возможные формулы, давайте рассмотрим несколько примеров.
Если длины двух сторон треугольника равны 10 и 11, какова максимально возможная площадь этого треугольника?
Поскольку формула площади треугольника 12absinC\frac12 ab \sin C 21absinC с 0 Значит, площадь равна 12⋅10⋅11⋅1=55. □ \frac 12 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 1 = 55. \ _\square21⋅10⋅11⋅1=55. □
Обратите внимание, что площадь максимизируется, когда треугольник является прямоугольным.
Треугольник А
Треугольник Б
Их площади равны
Невозможно определить
Какой из следующих треугольников имеет большую площадь:
треугольник A со сторонами 13,13,10 13, 13, 10 13,13,10 или
треугольник B со сторонами 13,13,24 ? 13, 13, 24\, ?13,13,24?
120
100
240
160
220
92?см2?
На диаграмме относительные длины некоторых сегментов линии следующие:
Если площадь △ABC\треугольника ABC△ABC равна 24,24,24, какова площадь △DEF?\ треугольник DEF?△DEF?
Радиус окружности равен 202020 и ∠AOB=310π.\угол AOB=\frac{3}{10} \pi.∠AOB=103π.
Если CCC — точка на BO‾\overline{BO}BO такая, что AC‾\overline{AC}AC — биссектриса ∠BAO,\угла BAO,∠BAO, какова длина BC‾?\overline {БК}?БК?
Округлите ответ до 3 знаков после запятой.
На рисунке ΔABC≅ΔEDF \Delta ABC \cong \Delta EDF ΔABC≅ΔEDF с AC‾=EF‾=8\overline{AC} = \overline{EF} = 8AC=EF=8.
Если ΔDEF \Delta DEFΔDEF расположен так, что DDD лежит вдоль AB‾\overline{AB}AB и площадь многоугольника ADECADECADEC равна 28,28,28, какова длина FC‾?\overline{FC }?ФК? 92 A} = \frac{\sqrt{135}{16} sinA=1−cos2A=16135. Обратите внимание, что мы берем только положительный квадратный корень, потому что синус любого угла треугольника неотрицательный.
Обратите внимание, что мы также можем получить площадь этого треугольника, используя формулу Герона: (Площадь)=s(s−a)(s−b)(s−c).(\text{Площадь}) = \sqrt{s( s-a)(s-b)(s-c)}.(Площадь)=s(s-a)(s-b)(s-c).
9{\circ}угол 60∘.
Если сумма площадей 333 самых маленьких треугольников равна ab,a\sqrt{b},ab, где aaa и bbb — целые числа, а bbb не содержит квадратов, введите ответ в виде a+ba+ba+b .
Это часть набора «Десятка Тревора».
Полезная гениальная вики: площадь треугольника
Изображение предоставлено: Wikimedia Congruent Triangles by Ilmari Karonen
В геометрии формула Герона утверждает, что площадь треугольника, стороны которого имеют длины aaa, bbb и ccc, равна 92}. \end{align}A====41(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)412(a2b2+b2c2 +c2a2)−(a4+b4+c4)41(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)414a2b2−(a2+b2−c2)2.
Два другие формулы площади имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражаются через другие переменные.
Во-первых, обозначив медианы сторон aaa, bbb и ccc соответственно как u,vu, vu,v и www, а их полусумму как
12bh,\frac {1}{2} b h,21bh, где bbb — основание, а hhh — высота;
12absinC,\frac {1}{2} a b \sin C,21absinC, где CCC — угол, со сторонами bbb и c;c;c;
abc4R,\frac {abc}{4R},4Rabc, где RRR — радиус описанной окружности;
rs,rs,rs, где rrr — внутренний радиус, sss — полупериметр;
Теорема Пика для площади многоугольника решетки.
Цитировать как: Площадь треугольника. Brilliant.org .
Извлекаются из
https://brilliant.org/wiki/triangles-calculation-area/
Треугольник Геометрия Формулы Стокол-ФТОС Und Bilder
Creative
Редакция
13737187737373737373733737187373373333333333333333333333.10189861877373737373718737337371873718733333333333333333333333333333333333 неайл. Am beliebtesten
Alle Zeiträume24 Stunden48 Stunden72 Stunden7 Tage30 Tage12 MonateAngepasster Zeitraum
triangle geometry formulas Stock-Fotografie und Bilder. Oder starten Sie eine neuesuche, um noch mehr Stock-Photografie und Bilder zu entdecken. пирамидальные структуры — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bildermathematikstunde Probleme Auf Greenboard — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bildergeometriestunde nahtlose muster — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboletrigonometry mathematik class gekritzel — формулы геометрии треугольника stock -grafiken, -clipart, -cartoons und -symboletop view maths студенческие заметки — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bilderzeichnung bleistift skizzen wissenschaftlicher konzepte — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolemathematik уравнения nahtlose — формулы геометрии треугольника Stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleleere buch mit mathematischen symbolen — формулы геометрии треугольника — формулы геометрии треугольника fiken, -clipart, -cartoons und -symbolesustainable city math — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и бильдертеорема Пифагора — формулы геометрии треугольника стоковые графики, -клипарт, -мультфильмы и -символооптическая иллюзия — формулы геометрии треугольника стоковые изображения, -клипарт, -cartoons und -symbolelehrerin frau unterrichte aus der ferne von zu hause mathe-klasse — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и изображения зрелого учителя-мужчины перед доской — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и рисунки kiddo erklärt, mathematik sachen — геометрия треугольника формулы стоковой графики, клипарта, мультфильмов и символов науки и технологии, набор иконок в стиле плоского дизайна. wissenschaftliche symbole und formeln und workelemente sammlung vektor illustration set, weißer hintergrund. — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleganz einfache gleichung der circle — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole «Дизайн трибуны спикера», 1919. Верхний вид заметок по физике — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильдерматы Ученические заметки — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильярдные заметки по математике сверху — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильдернахтлосе математика хинтегрунд — формулы геометрии треугольника стоковые графики, -clipart, -cartoons und -symboleinfografik icons 1 — monoline serie — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolevon punkt zu punkt-muster — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleclose план розового георгина, вена, австрия — формулы геометрии треугольника konzept der mathematik, chemie symbole sammlung für schule, universität und ausbildung. плоская линия векторных символов для информационных, веб- и мобильных приложений festgelegt. — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleabstrakte big data visualisierung digitaler netzwerkverbindungskonzepthintergrund — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolepythorean теорема — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -мультфильмы и -symbolebildung mit computer — формулы геометрии треугольника стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символическая иллюстрация, математика и геометрия: перспектива — формулы геометрии треугольника фондовая графика, -клипарт, -мультфильмы и -symbowissenschaft und bildung antikes papier — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolemetall sierpinski dreieck fraktal — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons и -symbolepythorean теорема — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolelehrer zeichnet während des unterrichts ein dreieck — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bilderwiss enchaft & technologie themen flash design stil icon-set.
Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.
Геометрические объемные тела
Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:
Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
Любая из осей координат — это результат векторного произведения двух других.
Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:
Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань — это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней — это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.
Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:
Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
Наличие у каждой объемной фигуры площади поверхности.
Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.
Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.
Фигура куб: описание
Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и прямоугольной призмой, у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.
Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.
Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a3 и S = 6*a2, соответственно.
Фигура пирамида
Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.
Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.
Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h». Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a2*h/3 и S = 2*a*√(h2+a2/4) + a2, соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.
Фигура тетраэдр: описание
Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.
Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a3*√2/12 и S = √3*a2, где a — длина стороны равностороннего треугольника.
Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH4, в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.
Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.
Фигура призма
Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.
Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна теорема Эйлера. Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a2*h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).
Фигура шар
Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.
Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. Площадь поверхности сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = pi*r2, а объем шара можно вычислить по формуле: V = pi*r3/3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).
Геометрические фигуры — виды с названиями и основные свойства » Kupuk.net
Скопление точек и линий на плоскости образует геометрические фигуры. Их названия зависят от свойств и особенностей. Фигура ограничена линиями и это условие влияет на многообразие форм. Каждый предмет индивидуален, имеет свои предназначения и задачи. Существуют простые и сложные фигуры, различающиеся личными параметрами.
Общая характеристика
Предметы в геометрическом изображении состоят из отдельных частей: точек, линий, лучей, отрезков и вершин. Отдельно взятый предмет имеет свое предназначение.
Основные понятия о составляющих
Когда все точки фигуры принадлежат одной плоскости, она является плоской. К ней относятся отрезок, прямоугольник. Существуют геометрические объекты, не являющиеся разновидностью плоскости, — куб, шар, пирамида, призма.
Минимальным объектом геометрии является точка. Определение того, какой она должна быть известно из школьного математического курса. Учебник характеризует ее как объект, не имеющий измерительных особенностей. Точка (Т) не содержит стандартных свойств: высоты, длины, радиуса, важным является только ее расположение. Обозначается числом или большой заглавной буквой. Например, точка называется D, E, F или 1, 2, 3. Несколько точек бывают отмечены разными цветами или буквами для удобного различия.
Линия состоит из множества точек. Измеряется длина этого составляющего объекта и обозначается маленькими буквами (abc).
Виды линий:
Замкнутая. Когда в одной точке расположена начальная и конечная часть направления. Из незамкнутой линии получают обратный вариант.
Разомкнутая. Начало и окончание не соединяются.
Прямая. Обозначается буквой а или b.
Ломаная. Заключается в соединенных отрезках не под углом 180 градусов. Линия обозначается перечислением всех вершин.
Кривая.Отличная от прямой линии.
Задания из школьной программы кажутся школьникам скучными, неинтересным, но эти азы являются основой составления фигур простых и более сложных.
Существуют подвиды прямой линии: пересекающиеся, содержащие общую точку и когда две прямые линии соединяются в одной точке.
Луч в математике представляет часть прямой, имеющей начальную точку, но не имеющую конец. Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.
Отрезок представляет составную часть прямой, ограниченной двумя точками — она имеет начало и конец, поэтому измеряется. Длина отрезка представляет расстояние между его первой и последней точками. Через одну Т проводится бесконечное число линий, а через две — кривые и только одна прямая.
Стандартные объекты
К основным фигурам геометрии на плоскости относятся прямоугольник, треугольник, квадрат, многоугольник и круг. Прямоугольник выглядит как фигура, состоящая из четырех сторон и четырех прямых углов (ПУ). Противоположные стороны равны между собой. В математике прямоугольник обозначается четырьмя латинским заглавными буквами. Все ПУ расположены под 90 градусов. Прямоугольник с равными, одинаковыми сторонами называется квадратом.
Фигура, имеющая 3 стороны и столько же углов (вершин), называется треугольником. Существует классификация этой фигуры по типу У.
Виды треугольника в зависимости от угла (У):
Прямой. Один У будет прямым, два — менее 90 градусов.
Острый. Градусная мера больше 0, но меньше 90 гр.
Тупой. Один У тупой, два других будут острыми.
Геометрическая фигура с углами разной формы называется многоугольником. Его вершины представлены точками, соединяющими отрезками.
Радиус круга — промежуток от середины окружности до любой ее точки. Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности, проходящий через ее середину.
Параллелепипед — это призма, у которой основанием является параллелограмм. Когда все ребра параллелепипеда равны, получается куб.
Многогранная фигура, у которой одна грань является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.
Семиугольник (гептагон) — это многоугольник с 7 углами. Многоугольник представляет замкнутую ломанную линию.
Основные фигуры перечислены, но геометрия включает еще сложные объекты, использующиеся в различных областях жизни.
Сложные модели
В сложной геометрии выделяют фигуры с пространственным, плоским и объемным наполнением. Существует понятие геометрического тела, 3D-моделирование и проекция.
Определение тела и пространства
Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница ГТ является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра ГТ. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.
Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты (шар).
Шар представляет множество точек, расположенных от данной точки на небольшом пространстве. Точка является центром шара, а расстояние ограничено радиусом.
В сферу геометрии входят плоские (двухмерные) и объемные пространственные фигуры (трехмерные).
Плоские фигуры представляют точка, круг, полукруг, окружность, овал, прямоугольник, квадрат, луч, ромб, трапеция.
Существуют двухмерные фигуры (2D), представленные углом, многоугольником, четырехугольником, окружностью, кругом, эллипсом и овалом. Объекты 3D выделены двугранным или многогранным углом. Среди них известны призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр икосаэдр, бипирамида, геоид, эллипсоид, сфера шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.
Объемные фигуры:
Шар.
Конус.
Параллелепипед.
Цилиндр.
Сфера.
Конус образуется из треугольника с прямыми углами, при вращении его вокруг одного из катетов. Тороид возникает из замкнутой плоскости (окружности), вращающейся вокруг прямой и не пересекающей ее. Многогранник называется полиэдр, представляет замкнутую поверхность, состоящую из многоугольников.
Виды многогранников:
Тетраэдер (четырехгранник). Это правильный треугольник.
Куб (гексаэдр). Грани являются квадратом.
Октаэдр. Имеется шесть вершин и восемь граней.
Икосаэдр. Равносторонние треугольники являются гранями. Имеется 12 граней и 12 вершин.
Додекаэдр. Правильные шестиугольники, имеется 12 граней, 20 вершин.
В школьной программе имеются специальные разделы геометрии, позволяющие распределить знания и не путать их в будущем. Это касается плоских, объемных фигур — одни изучает стереометрия, другие планиметрия.
Познавательные игрушки детям
Геометрия является наукой, которой можно знакомить детей с раннего возраста. Лучше распечатать картинки, геометрические фигуры для детей, затем нарисовать их вместе на чистом листе. Малышу первого года подобное занятие будет не очень интересным и понятным, а у дошкольника вызовет интерес, особенно если объекты изучения будут разноцветными или в необычном исполнении.
Основной материал для обучения детей:
Яркие карточки с основными фигурами, формами. Шаблоны будут наглядным пособием перед школой.
Раскраски, прописи, рабочая тетрадь. На каждой странице тетради представлены простейшие графические упражнения и задания. Выполняя их, малыш познакомится с геометрией и узнает названия фигур.
Специальная детская литература.
Увлекательные, забавные, задорные стихи «Веселая геометрия для малышей» помогут детям быстро познакомиться и усвоить много важной информации о фигурах и размерах предметов. Веселые стишки помогут юному читателю соотнести малопонятные геометрические знания с обыденными предметами обихода. Например, в женской юбке представлена трапеция, в блюдце— круг, а в трубе цилиндр.
Учить детей начинают с плоских фигурок, сделанных из цветной бумаги или фетра. Не нужно ограничивать ребенка в фантазии, ведь он различает фигуры по цветам и форме — треугольник, овал, круг, ромб, квадрат. Увлекательным будет занятие с использованием сортеров, пирамидок из различных геометрических объектов.
Ближе к дошкольному возрасту переходят на объемные фигуры, кубики, конусы, кольца и цилиндры. В школьном возрасте знания накопятся, и дети будут осознанно различать равнобедренный, равносторонний треугольник, три понятия: луч, отрезок, окружность.
Раздел математики геометрия изучает пространственные отношения и формы. Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.
Геометрию можно обнаружить везде — в любых окружающих предметах. Это современные здания, архитектурные строения, формы, космическая станция, интерьер квартиры, подводные лодки.
Математические знания являются профессионально важными для современных специальностей: дизайнеров и конструкторов, рабочих и ученых. Без знания основ геометрии невозможно построить здание или отремонтировать квартиру.
шар, куб, пирамида, призма, тетраэдр. Удивительные фигуры в геометрии Что значит плоские геометрические фигуры
Геометрические фигуры представляют собой комплекс точек, линий, тел или поверхностей. Эти элементы могут располагаться как на плоскости, так и в пространстве, формируя конечное количество прямых.
Термин «фигура» подразумевает под собой несколько множеств точек. Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.
Основными геометрическими фигурами считаются точка и прямая. Они располагаются на плоскости. Кроме них, среди простых фигур выделяют луч, ломаную линию и отрезок.
Точка
Это одна из главных фигур геометрии. Она очень маленькая, но ее всегда используют для построения различных форм на плоскости. Точка — это основная фигура для абсолютно всех построений, даже самой высокой сложности. В геометрии ее принято обозначать буквой латинской алфавита, к примеру, A, B, K, L.
С точки зрения математики точка — это абстрактный пространственный объект, не обладающий такими характеристиками, как площадь, объем, но при этом остающийся фундаментальным понятием в геометрии. Этот нульмерный объект просто не имеет определения.
Прямая
Это фигура полностью размещается в одной плоскости. У прямой нет конкретного математического определения, так как она состоит из огромного количества точек, располагающихся на одной бесконечной линии, у которой нет предела и границ.
Существует еще и отрезок. Это тоже прямая, но она начинается и заканчивается с точки, а значит, имеет геометрические ограничения.
Также линия может превратиться в направленный луч. Такое происходит, когда прямая начинается с точки, но четкого окончания не имеет. Если же поставить точку посредине линии, то она разобьется на два луча (дополнительных), причем противоположно направленных друг к другу.
Несколько отрезков, которые последовательно соединяются друг с другом концами в общей точке и располагаются не на одной прямой, принято называть ломаной линией.
Угол
Геометрические фигуры, названия которых мы рассмотрели выше, считают ключевыми элементами, использующимися при построении более сложных моделей.
Угол — это конструкция, состоящая из вершины и двух лучей, которые выходят из нее. То есть стороны этой фигуры соединяются в одной точке.
Плоскость
Рассмотрим еще одно первичное понятие. Плоскость — это фигура, у которой нет ни конца, ни начала, равно как и прямой, и точки. Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.
Любую гладкую ограниченную поверхность можно считать плоскостью. Это может быть гладильная доска, лист бумаги или даже дверь.
Четырехугольники
Параллелограмм — это геометрическая фигура, противоположные стороны которой параллельны друг другу попарно. Среди частных видов этой конструкции выделяют ромб, прямоугольник и квадрат.
Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны соприкасаются под прямым углом.
Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами и углами.
Ромб — это фигура, у которой все грани равны. При этом углы могут быть совершенно разными, но попарно. Каждый квадрат считается ромбом. Но в противоположном направлении это правило действует не всегда. Далеко не каждый ромб является квадратом.
Трапеция
Геометрические фигуры бывают совершенно разными и причудливыми. Каждая из них имеет своеобразную форму и свойства.
Трапеция — это фигура, которая чем-то схожа с четырехугольником. Она имеет две параллельные противоположные стороны и при этом считается криволинейной.
Круг
Эта геометрическая фигура подразумевает расположение на одной плоскости точек, равноудаленных от ее центра. При этом заданный ненулевой отрезок принято называть радиусом.
Треугольник
Это простая геометрическая фигура, которая очень часто встречается и изучается.
Треугольник считается подвидом многоугольника, расположенным на одной плоскости и ограниченным тремя гранями и тремя точками соприкосновения. Эти элементы попарно соединены между собой.
Многоугольник
Вершинами многоугольников называют точки, соединяющие отрезки. А последние, в свою очередь, принято считать сторонами.
Объемные геометрические фигуры
призма;
сфера;
конус;
цилиндр;
пирамида;
Эти тела имеют нечто общее. Все они ограничиваются замкнутой поверхностью, внутри которой находится множество точек.
Объемные тела изучают не только в геометрии, но и в кристаллографии.
Любопытные факты
Наверняка вам будет интересно ознакомиться с информацией, предоставленной ниже.
Геометрия сформировалась как наука еще в давние века. Это явление принято связывать с развитием искусства и разнообразных ремесел. А названия геометрических фигур свидетельствуют об использовании принципов определения подобия и схожести.
В переводе с древнегреческого термин «трапеция» обозначает столик для трапезы.
Если вы возьмете различные фигуры, периметр которых будет одинаковым, то наибольшая площадь гарантированно будет у круга.
В переводе с греческого языка термин «конус» обозначает сосновую шишку.
Существует известная картина Каземира Малевича, которая начиная с прошлого века притягивает к себе взгляды многих живописцев. Работа «Черный квадрат» всегда была мистической и загадочной. Геометрическая фигура на белом полотне восхищает и поражает одновременно.
Существует большое количество геометрических фигур. Все они отличаются параметрами, а порой даже удивляют формами.
Здесь вы с ребенком можете изучить геометрические фигуры и их названия с помощью веселых заданий в картинках. Но обучение будет проходить наиболее эффективно в том случае, если к распечатанному заданию вы добавите еще и различные образцы геометрических фигур. Для этой цели могут подойти такие предметы, как мячики, пирамидки, кубики, надутые воздушные шары (круглые и овальные), кружки для чая (стандартные, в форме цилиндра), апельсины, книги, клубки ниток, квадратные печенья и многое другое — все, что подскажет вам фантазия.
Все перечисленные предметы помогут ребенку понять, что значит объемная геометрическая фигура. Плоские фигуры можно подготовить, вырезав из бумаги нужные геометрические формы, предварительно раскрасив их в разные цвета.
Чем больше различных материалов вы подготовите для занятия, тем интереснее будет ребенку изучать новые для него понятия.
Также вам может понравиться наш онлайн тренажер по математике для 1 класса «Геометрические фигуры»:
Онлайн-тренажер по математике «Геометрические фигуры 1 класс» поможет первоклассникам потренироваться в умении различать основные геометрические фигуры: квадрат, круг, овал, прямоугольник и треугольник.
Геометрические фигуры и их названия — Проводим занятие с ребенком:
Чтобы легко и непринужденно ребенок смог запомнить геометрические фигуры и их названия, скачайте сначала картинку с заданием во вложениях внизу страницы, распечатайте на цветном принтере и положите на стол вместе с цветными карандашами. Также к этому времени у вас уже должны быть заготовлены различные предметы, которые мы перечисляли ранее.
1 этап. Сначала пусть ребенок выполнит задания на распечатанном листе — проговорит вслух названия фигур и раскрасит все картинки.
2 этап. Необходимо наглядно показать ребенку отличия объемных фигур от плоских. Для этого разложите все предметы-образцы (как объемные, так и вырезанные из бумаги) и отойдите с ребенком от стола на такое расстояние, с которого хорошо видны все объемные фигуры, но потерялись из виду все плоские образцы. Обратите внимание малыша на этот факт. Пусть он поэкспериментирует, подходя к столу то ближе, то дальше, рассказывая вам о своих наблюдениях.
3 этап. Дальше занятие нужно превратить в своеобразную игру. Попросите ребенка, чтобы он внимательно посмотрел вокруг себя и нашел предметы, которые имеют форму каких-либо геометрических фигур. Например, телевизор — прямоугольник, часы — круг и т.д. На каждой найденной фигуре — громко хлопайте в ладоши, чтобы добавить энтузиазма в игру.
4 этап. Проведите исследовательскую и наблюдательную работу с теми материалами-образцами, которые вы заготовили к занятию. Например, положите на стол книгу и плоский прямоугольник из бумаги. Предложите ребенку пощупать их, посмотреть на них с разных сторон и рассказать вам свои наблюдения. Таким же образом можно исследовать апельсин и бумажный круг, детскую пирамидку и бумажный треугольник, кубик и бумажный квадрат, воздушный шар овальной формы и овал, вырезанный из бумаги. Список предметов вы можете дополнить сами.
5 этап. Положите в непрозрачный пакет различные объемные образцы и попросите ребенка достать на ощупь квадратный предмет, затем круглый, затем прямоугольный и так далее.
6 этап. Разложите перед ребенком на столе несколько различных предметов из тех, которые участвуют в занятии. Затем пусть ребенок отвернется на несколько секунд, а вы спрячьте один из предметов. Повернувшись к столу ребенок должен назвать спрятанный предмет и его геометрическую форму.
Скачать геометрические фигуры и их названия — Бланк задания — вы можете во вложениях внизу страницы.
Названия геометрических фигур — Карточки для распечатки
Изучая с малышом геометрические фигуры, вы можете использовать во время занятий карточки для распечатки от Лисёнка Бибуши. Скачайте вложения, распечатайте на цветном принтере бланк с карточками, вырежьте каждую карточку по контуру – и приступайте к обучению. Карточки можно заламинировать, либо наклеить на более плотную бумагу, чтобы сохранить внешний вид картинок, ведь использоваться они будут неоднократно.
Первые шесть карточек дадут вам возможность изучить с ребенком такие фигуры: овал, круг, квадрат, ромб, прямоугольник и треугольник, под каждой фигурой в карточках можно прочесть ее название.
После того, как ребенок запомнил название определенной фигуры, попросите его выполнить следующее: обвести по контуру все имеющиеся на карточке образцы изучаемой фигуры, а затем раскрасить их в цвет основной фигуры, расположенной в верхнем левом углу.
Скачать названия геометрических фигур — Карточки для распечатки — вы можете во вложениях внизу страницы
С помощью следующих шести карточек ребенок сможет познакомиться с такими геометрическими фигурами: параллелограмм, трапеция, пятиугольник, шестиугольник, звезда и сердце. Как и в предыдущем материале под каждой фигурой можно найти ее название.
Чтобы разнообразить занятия с малышом, совмещайте обучение с рисованием – такой метод не даст ребенку переутомиться, и малыш с удовольствием будет продолжать учебу. Следите за тем, чтобы обводя фигуры по черточкам, ребенок не спешил и выполнял задание аккуратно, ведь подобные упражнения не только развивают мелкую моторику, они могут повлиять в дальнейшем на почерк малыша.
Скачать карточки для распечатки с изображением плоских геометрических фигур вы можете во вложениях
В процессе, того, как вы будете изучать с ребенком объемные геометрические фигуры и их названия, используя новые шесть карточек от Бибуши с изображениями куба, цилиндра, конуса, пирамиды, шара и полусферы, приобретите изучаемые фигуры в магазине, либо воспользуйтесь предметами, находящимися в доме, имеющими подобную форму.
Покажите малышу на примерах, как в жизни выглядят объемные фигуры, ребенок должен потрогать и поиграть с ними. Прежде всего, это необходимо для того, чтобы задействовать наглядно – действенное мышление малыша, с помощью которого ребенку проще познавать окружающий мир.
Скачать — Объемные геометрические фигуры и их названия — вы можете во вложениях внизу страницы
Также вам будут полезны и другие материалы по изучению геометрических фигур:
Веселые и красочные задания для детей «Рисунки из геометрических фигур» являются очень удобным обучающим материалом для детей дошкольного и младшего школьного возраста по изучению и запоминанию основных геометрических форм:
Задания ознакомят ребенка с основными фигурами геометрии — кругом, овалом, квадратом, прямоугольником и треугольником. Только здесь не занудное зазубривание названий фигур, а своеобразная игра-раскраска.
Как правило, геометрию начинают изучать, рисуя плоские геометрические фигуры. Восприятие правильной геометрической формы невозможно без выведения ее своими руками на листе бумаги.
Это занятие изрядно позабавит ваших юных математиков. Ведь теперь им придется находить знакомые формы геометрических фигур среди множества картинок.
Наложение фигур друг на друга — это занятие по геометрии для дошкольников и младших школьников. Смысл упражнения состоит в решении примеров на сложение. Только это необычные примеры. Вместо цифр здесь нужно складывать геометрические фигуры.
Это задание составлено в виде игры, в которой ребенку предстоит менять свойства геометрических фигур: форму, цвет или размер.
Здесь вы можете скачать задания в картинках, в которых представлен счет геометрических фигур для занятий по математике.
В этом задании ребенок познакомится с таким понятием, как чертежи геометрических тел. По сути, это занятие представляет собой мини-урок по начертательной геометрии
Здесь мы подготовили для вас объемные геометрические фигуры из бумаги, которые нужно вырезать и склеить. Куб, пирамиды, ромб, конус, цилиндр, шестигранник, распечатать их на картоне (или цветной бумаге, а затем наклеить на картон), а затем дать ребенку для запоминания.
Здесь мы выложили для вас счет до 5 — картинки с математическими заданиями для малышей, благодаря которым ваши дети потренируют не только свои навыки счета, но и умение читать, писать, различать геометрические фигуры, рисовать и раскрашивать.
И еще можете поиграть в математические игры онлайн от лисенка Бибуши:
В этой развивающей онлайн игре ребенку предстоит определить, что является лишним среди 4 картинок. При этом необходимо руководствоваться признаками геометрических форм.
Геометрические объемные фигуры — это твердые тела, которые занимают ненулевой объем в евклидовом (трехмерном) пространстве. Эти фигуры изучает раздел математики, который носит название «пространственная геометрия». Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.
Геометрические объемные тела
Поскольку эти тела имеют конечную размерность в трех пространственных направлениях, то для их описания в геометрии используют систему из трех координатных осей. Эти оси обладают следующими свойствами:
Они ортогональны друг другу, то есть перпендикулярны.
Эти оси нормализированы, то есть базисные вектора каждой оси имеют одинаковую длину.
Любая из осей координат — это результат векторного произведения двух других.
Говоря о геометрических объемных фигурах и их названиях, следует отметить, что все они принадлежат к одному из 2-х больших классов:
Класс полиэдров. Эти фигуры, исходя из названия класса, имеют прямые ребра и плоские грани. Грань — это плоскость, которая ограничивает фигуру. Место соединения двух граней называется ребром, а точка соединения трех граней — это вершина. К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
Класс круглых тел или тел вращения. Эти фигуры имеют хотя бы одну поверхность, образующую их, изогнутой формы. Например, шар, конус, цилиндр, тор.
Что касается свойств объемных фигур, то следует выделить два самых важных из них:
Наличие определенного объема, который фигура занимает в пространстве.
Наличие у каждой объемной фигуры площади поверхности.
Оба свойства для каждой фигуры описываются конкретными математическими формулами.
Рассмотрим ниже самые простые геометрические объемные фигуры и их названия: куб, пирамиду, призму, тетраэдр и шар.
Фигура куб: описание
Под геометрической фигурой куб понимают объемное тело, которое образовано 6-тью квадратными плоскостями или поверхностями. Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.
Поскольку куб является многогранником или полиэдром, то для него можно применить теорему Эйлера, чтобы определить число его ребер. Зная, что число сторон равно 6, а вершин у куба 8, число ребер равно: Р = С + В — 2 = 6 + 8 — 2 = 12.
Если обозначить буквой «a» длину стороны куба, тогда формулы для его объема и площади поверхности будут иметь вид: V = a 3 и S = 6*a 2 , соответственно.
Фигура пирамида
Пирамида — это полиэдр, который состоит из простого многогранника (основание пирамиды) и треугольников, которые соединяются с основанием и имеют одну общую вершину (вершина пирамиды). Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.
Геометрические характеристики пирамиды зависят от того, какой многоугольник лежит в ее основании, а также от того, является ли пирамида прямой или косой. Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.
Одной из простых пирамид является четырехугольная прямая пирамида, в основании которой лежит квадрат со стороной «a», высота этой пирамиды «h». Для этой фигуры пирамиды объем и площадь поверхности будут равны: V = a 2 *h/3 и S = 2*a*√(h 2 +a 2 /4) + a 2 , соответственно. Применяя теорему Эйлера для нее, с учетом того, что число граней равно 5, и число вершин равно 5, получаем количество ребер: Р = 5 + 5 — 2 = 8.
Фигура тетраэдр: описание
Под геометрической фигурой тетраэдр понимают объемное тело, образованное 4-мя гранями. Исходя из свойств пространства, такие грани могут представлять только треугольники. Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.
Если все 4-ре треугольника, образующие грани тетраэдра, являются равносторонними и равными между собой, то такой тетраэдр называется правильным. Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a — длина стороны равностороннего треугольника.
Интересно отметить, что в природе некоторые молекулы имеют форму правильного тетраэдра. Например, молекула метана CH 4 , в которой атомы водорода расположены в вершинах тетраэдра, и соединены с атомом углерода ковалентными химическими связями. Атом углерода находится в геометрическом центре тетраэдра.
Простая в изготовлении форма фигуры тетраэдр используется также в инженерии. Например, тетраэдрическую форму используют при изготовлении якорей для кораблей. Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.
Фигура призма
Эту геометрическую фигуру можно получить, если взять два многогранника, расположить их параллельно друг другу в разных плоскостях пространства, и соединить их вершины соответствующим образом между собой. В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.
Призма — это полиэдр, поэтому для нее верна Например, если в основании призмы лежит шестиугольник, тогда, количество сторон у призмы равно 8, а количество вершин — 12. Число ребер будет равно: Р = 8 + 12 — 2 = 18. Для прямой призмы высотой h, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной a, объем равен: V = a 2 *h*√3/4, площадь поверхности равна: S = 3*a*(a*√3 + 2*h).
Говоря о простых геометрических объемных фигурах и их названиях, следует упомянуть шар. Под объемным телом под названием шар понимают тело, которое ограничено сферой. В свою очередь, сфера — это совокупность точек пространства, равноудаленных от одной точки, которая называется центром сферы.
Поскольку шар относится к классу круглых тел, то для него не существует понятия о сторонах, ребрах и вершинах. сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r 2 , а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r 3 /3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).
Фигура – это произвольное множество точек на плоскости. Точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, круг, квадрат и так далее – всё это примеры геометрических фигур.
Точка – основное понятие геометрии, это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса.
Линия – это множество точек, последовательно расположенных друг за другом. У линии измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет.
Прямая линия – это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.
Луч – это часть прямой линии, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону.
Отрезок – это часть прямой линии, ограниченная двумя точками. Отрезок имеет начало и конец, поэтому можно измерить его длину.
Кривая линия – это плавно изгибающаяся линия, которая определяется расположением составляющих её точек.
Ломаная линия – это фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных своими концами.
Вершины ломаной – это
точка, с которой начинается ломанная,
точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную,
точка, которой заканчивается ломанная.
Звенья ломаной – это отрезки, из которых состоит ломаная. Количество звеньев ломаной всегда на 1 меньше, чем количество вершин ломаной.
Незамкнутая линия – это линия, концы которой не соединены вместе.
Замкнутая линия – это линия, концы которой соединены вместе.
Многоугольник – это замкнутая ломанная линия. Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника.
20 Примеры объема геометрических тел
El объем геометрического тела является результатом вычисления произведения его трех измерений: высота х длина х ширина .
Пример:
Рис. 1 объем = высота x ширина x длина
Типы геометрических тел
Существует бесконечных типа геометрических тел , плюс те, что изучаются в базовом образовании, это 40 призм и круглые корпуса ; из каждого из них существует семейства целых различных геометрических тел и бесконечных комбинаций из них или их частей.
Примеры:
Рис. 2 конус и полусфера
Рис. 3 полусфера, цилиндр и конус точки поверхности находятся на постоянном расстоянии от точки, называемой центром.
Детали: Радиус — это расстояние от центра до любой точки на поверхности, определяющей сферу. Обозначается буквой r = радиус.
Диаметр: это расстояние, которое соединяет любые две точки на поверхности, определяющей сферу и проходящей через ее центр. Обозначается буквой d = диаметр.
Пример:
Рис. 4 сфера
Цилиндр: Это геометрическое тело, состоящее из двух оснований, образованных двумя окружностями и осью, совпадающей с его высотой.
Детали: Радиус — это расстояние от центра до любой точки на окружности окружности, определяющей основание цилиндра. Обозначается буквой r = радиус.
Высота: это расстояние, которое соединяет центры основания цилиндра и является той же мерой оси, которая определяет цилиндр. Обозначается буквой h = высота.
Пример:
Рис. 5 цилиндр
Конус: Это геометрическое тело, образованное всеми линиями, которые начинаются от окружности (основания) и достигают точки, называемой вершиной, расположенной на оси, перпендикулярной основанию, и которая начинается от центра указанного основания.
Детали:
Радио: – это расстояние от центра до любой точки на окружности, определяющей основание конуса. Обозначается буквой r = радиус.
Высота: — расстояние от центра основания конуса до вершины. Обозначается буквой h = высота.
Вершина: Это точка, расположенная на оси конуса, от которой начинаются все линии, соединяющие его с точками окружности основания.
Пример:
Рис. 6 конус
Объем призмы
Изучим расчет объема двух видов призм, прямые призмы и косые призмы.
Примеры:
Рис. 7 правая призма
Рис. 8 косая призма
основание правильная фигура o неправильная или если исследуемая призма вогнутая o выпуклая . Для его представления мы будем использовать в качестве отправной точки количество сторон основания.
Треугольная призма
Ее объем будет произведением площади основания (площади треугольника) на высоту.
Рис. 9 Объем прямоугольной треугольной призмы
Рис. 10 Объем косой треугольной призмы
Выпуклая неправильная четырехугольная призма или шестигранник
(площадь основания произведения объема будет четырехугольник) по высоте.
Рис. 11 объем выпуклый шестигранник
Когда шестигранник состоит из четырех квадратов, он называется правильной четырехугольной призмой или просто кубом, который является одним из пяти платоновых тел.
Выпуклая правильная пятиугольная призма
Ее объем будет произведением площади основания (площади правильного пятиугольника) на высоту.
Рис. 22 Объем правой вогнутой нерегулярной четырехугольной призмы
Рис. 23 Объем косой вогнутой нерегулярной призму
«Электронные деньги: знают будущее
20 20000
« Электронные деньги: знают будущее 9000
2002 20 Примеры целей компании: все подробности здесь »
Объемный анализ — документация PyVista 0.36.1
Расчет массовых характеристик, таких как объем или площадь наборов данных
импортировать numpy как np
из примеров импорта pyvista
Вычисление массовых свойств, таких как объем или площадь наборов данных в PyVista
довольно легко использовать pyvista. DataSetFilters.compute_cell_sizes() filter и свойство pyvista.DataSet.volume для всех сеток PyVista.
Давайте начнем с простой сетки с сеткой:
# Загрузить простой пример сетки
набор данных = examples.load_uniform()
dataset.set_active_scalars("Пространственные данные ячейки")
Затем мы можем вычислить объем каждой ячейки в массиве, используя .compute_cell_sizes фильтр, который добавит массивы к данным ячейки
mesh core объем и площадь по умолчанию.
# Вычисление объемов и площадей
размер = набор данных.compute_cell_sizes()
# Захватить объемы для всех ячеек в сетке
cell_volumes = размер.cell_data["Объем"]
Мы также можем вычислить общий объем меша, используя .volume свойство:
# Вычислить общий объем меша
объем = набор данных.объем
Отлично! Но что, если у нас есть набор данных, который мы порогуем двумя
объемные тела, оставшиеся в одном наборе данных? Возьмем, к примеру:
Затем мы могли бы назначить классификационный массив для двух тел, вычислить
размеры ячеек, затем извлеките объемы каждого тела. Обратите внимание, что есть
более простая реализация этого ниже в разделе Разделение томов.
# Создать классифицирующий массив для идентификации каждого тела
кольцо = набор данных.get_data_range()
cval = ((rng[1] - rng[0]) * 0,20) + rng[0]
classifier = threshed.cell_data["Пространственные данные ячеек"] > cval
# Вычислить объемы ячеек
размеры = threshed.compute_cell_sizes()
объемы = размеры.cell_data["Объем"]
# Разделите объемы на основе классификатора и получите объемы!
idx = np.argwhere (классификатор)
hvol = np.sum (объемы [idx])
idx = np.argwhere (~ классификатор)
lvol = np.sum (объемы [idx])
print(f"Объем низкого качества: {lvol}")
print(f"Высококачественный объем: {hvol}")
print(f"Исходный том: {dataset. volume}")
Вышел:
Низкокачественный объем: 518.0
Объем высокого класса: 35,0
Исходный объем: 729.0
Или, что еще лучше, вы можете просто извлечь самый большой том из вашего
набор данных с пороговым значением путем передачи по величине = True в соединение filter или с помощью фильтра extract_largest (оба эквивалентны).
# Захватить самый большой из подключенных томов
самый большой = threshed.connectivity (самый большой = True)
# или: самый большой = threshed.extract_largest()
# Получить объем как числовое значение
большой_объем = самый большой.объем
# Показать это!
самый большой.plot(show_grid=True, cpos=[-2, 5, 3])
Разделение томов
Что, если бы вместо этого мы захотели разделить все различные соединенные тела /
объемы в наборе данных, подобном приведенному выше? Мы могли бы использовать pyvista.DataSetFilters.split_bodies() фильтр для извлечения всех
различные подключенные объемы в наборе данных на блоки в
Набор данных pyvista. MultiBlock . Например, давайте разделим пороговое значение
объем в приведенном выше примере:
# Загрузить простой пример сетки
набор данных = examples.load_uniform()
dataset.set_active_scalars("Пространственные данные ячейки")
обмолот = набор данных.threshold_percent ([0,15, 0,50], инвертировать = True)
тела = обмолот.split_bodies()
для i тело в перечислении (тела):
print(f"Объем тела {i}: {body.volume:.3f}")
Вот реалистичный обучающий набор речных русел в недрах.
Это установит порог каналов из набора данных, а затем разделит каждый
значительно большие тела и вычислить объемы для каждого!
Загрузить данные и установить порог каналов:
данных = examples.load_channels()
каналы = data.threshold([0,9, 1.1])
Теперь извлеките все различные тела и вычислите их объемы:
тел =channels. split_bodies()
# Теперь удаляем все тела с маленьким объемом
для ключа в body.keys():
b = тела [ключ]
объем = b.объем
если объем < 1000,0:
дель тела [ключ]
Продолжать
# Теперь добавим массив томов ко всем блокам
b.cell_data["ОБЩИЙ ОБЪЕМ"] = np.full(b.n_cells, vol)
Распечатайте объемы для каждого тела:
для i, тело в перечислении (тела):
print(f"Объем тела {i:02d}: {body.volume:.3f}")
Общее время работы сценария: ( 0 минут 5,924 секунды)
Загрузить исходный код Python: calculate-volume.py
Загрузить блокнот Jupyter: calculate-volume.ipynb
Галерея, созданная Sphinx-Gallery
Что такое цилиндры? Как вычислить их площадь и объем
Вы знаете, что такое цилиндр? В дополнение к объяснению того, что такое цилиндры, в этом посте мы рассмотрим, как они складываются, части, из которых состоит цилиндр, и как рассчитать его площадь и объем. Мы также покажем вам некоторые действия с использованием цилиндров, которые дети выполняют во время занятий Smartick.
Что такое цилиндр?
Цилиндр представляет собой геометрическое тело , образованное прямоугольником, вращающимся вокруг одной стороны . В математике это также определяется как цилиндрическая поверхность, которая образуется, когда параллельная линия вращается вокруг другой параллельной линии, которую мы называем осью.
Для уточнения этого понятия следует иметь в виду, что речь идет о сплошном цилиндре, то есть о геометрическом теле. Мы называем поверхность цилиндра полым цилиндром . Вот пример:
Расчеты, которые мы собираемся сделать в этом посте, относятся к сплошным цилиндрам .
Типы цилиндров
Существует два типа цилиндров :
Прямоугольный цилиндр
Когда ось цилиндра перпендикулярна основанию.
Наклонный цилиндр
Если ось не перпендикулярна основанию.
Свеча представляет собой пример прямоугольного цилиндра, а стопка монет — пример наклонного цилиндра. Как рисовать развертку поверхности цилиндра?
Развертка геометрического тела заключается в том, чтобы увидеть на плоскости всю его поверхность, в данном случае поверхность сплошного цилиндра. Но будь осторожен! Вам нужно убедиться, что у него есть основания, потому что, например, если вы «развернете» рулон туалетной бумаги, у вас будет только прямоугольник.
Развертка цилиндра состоит из прямоугольника , являющегося боковой частью цилиндра, и двух кругов , являющихся основаниями. Если хотите, вы можете прочитать этот пост о геометрических фигурах, чтобы запомнить основные характеристики прямоугольников и кругов.
Какими характеристиками обладают цилиндры?
Когда мы создаем цилиндр, вращая прямоугольник:
Ось — это сторона прямоугольника, которая остается неподвижной при повороте.
Основания представляют собой две окружности, перпендикулярные оси. Это крышки, которые закрывают цилиндр.
Высота - это расстояние между основаниями.
Радиус (r) - это длина от оси до крайней точки цилиндра и соответствует радиусу основания.
Как вычислить площадь цилиндра?
Вам предстоит рассмотреть развертку цилиндра и вычислить площади его частей, прямоугольника и два основания .
Площадь прямоуголь площадь = 2 × π × r × h + 2 × π × r 2
Площадь = 2 × π × r × (h + r)
Пример площади цилиндра 904 904 904
Вычислите площадь цилиндра радиусом 3 см и высотой 6 мм.
Во-первых, мы должны убедиться, что радиус и высота используют один и тот же тип измерений, поэтому нам нужно преобразовать измерение высоты в миллиметрах в сантиметры. Если вы хотите, вы можете просмотреть этот пост об измерениях длины, чтобы освежить свою память.
60 мм = 6 см
Теперь вычислим площадь прямоугольника , эквивалентную боковой поверхности цилиндра. Как мы указали в формуле ранее, мы просто подставляем значения цилиндра:
Площадь прямоугольника = 2 × π × r × h
2 × 3,14 × 3 × 6 = 113,04 см² основание, но умноженное на 2. Воспользуемся формулой, которая была дана нам ранее, и подставим значения:
Площадь оснований = 2 × π × r 2
2 × 3,14 × 9 = 56,52 см²
И, наконец, к прибавляем части цилиндра, боковую площадь, то есть площадь прямоугольника, и площадь оснований:
Площадь цилиндра = 2 × π × r × h + 2 × π × r 2
113.04 + 56,52 = 169,56 cm²
. Как вы вычисляете, громкость. ?
Объем равен произведению площади основания на высоту, помните, что мы обозначаем высоту буквой «h».
Объем = π × r 2 × h
Пример объема цилиндра
Рассчитайте объем цилиндра радиусом 5 см и высотой 60 мм.
Как указано выше, мы должны указать радиус и высоту в одной и той же единице измерения. Нам нужно перевести высоту из миллиметров в сантиметры:
60 мм = 6 см
Чтобы рассчитать площадь основания, умножаем π на квадрат радиуса:
Площадь основания = π × г 2
3,14 × 25 = 78,50 см²
И чтобы найти объем цилиндра, мы должны умножить площадь основания на 6 см, что является высотой:
78,50 × 6 = 471 см³
Чтобы вычислить этот объем, мы умножили площадь (квадратные единицы) на высоту (линейные единицы), поэтому в результате мы имеем кубические единицы. Помните, что единицей измерения объема в Международной системе единиц является кубических метра (м³), хотя мы использовали см³, который является его дольным числом.
То, что мы вычислили, применимо, является ли цилиндр прямым или наклонным цилиндром . Подумайте об этом, если это похоже на башню из монет, которую мы представили как наклонную башню, если бы мы сделали ее прямой, она имела бы тот же объем.
Примеры упражнений на определение геометрических фигур в Smartick
Чтобы продолжить, мы рассмотрим различные типы упражнений, которые есть в Smartick, чтобы научиться определять цилиндр.
Идентификация геометрических фигур
Идентификация геометрических фигур на изображении
Появляется геометрическая фигура, и ребенок должен определить и выбрать ее название из предложенных вариантов.
Сравнение цилиндра с реальными предметами
Ребенок должен определить, какой реальный предмет из представленных напоминает цилиндр.
Это уравнение, напомним, выполняется в специальной системе координат, которая называется канонической. Числа $a, \, b$ называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Точки $(\pm a, \, 0)$ называются вершинами гиперболы.
Выпишем элементарные свойства гиперболы.
1. Из уравнения следует, что $|x| \geq a$.
2. Так как переменные $x,y$ входят в уравнение гиперболы только в квадратах, то из того, что $(x,y)$ лежат на гиперболе следует, что точки $(\pm x, \, \pm y)$ также лежат на гиперболе при любом выборе знаков. Это означает, что гипербола симметрична при отражении относительной осей координат и имеет центр симметрии, точку $O$.
3. Гипербола состоит из двух ветвей, содержит точки, сколь угодно далекие от начала координат. 2}=a+\varepsilon x.
\]
Вычисление $r_2$ по этой схеме приводит к результату (имеется отличие только в одном знаке!) $r_2=\varepsilon x -a$, из свойств гиперболы следует, что в правой части — положительное число. Вычитая, получаем (23). ч.т.д.
Имеется еще одно описание эллипса. Введем т.н. директрисы гиперболы — прямые $x=\pm a/\varepsilon$, см. рис. 6. В данном случае $\varepsilon >1$, так что директрисы лежат между вершинами гиперболы.
 
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния от этой точки до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы было равно эксцентриситету гиперболы,
\begin{equation}
r_2/d_2=\varepsilon. (24)
\label{hyp3}
\end{equation}
 
Доказательство.
1. Достаточность. Пусть $r_2=\varepsilon d_2$. Из рисунка следует, что $d_2=a/ \varepsilon -x$, так что
\[
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=a-\varepsilon x. 2=1,
\]
делящуюся в этой точке пополам.
 
3.5 Эллипс
3.7 Парабола
 
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решение
Определение гиперболы. Гиперболой называется множество
всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек,
называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:
,
где a и b — длины
полуосей, действительной и мнимой.
На чертеже ниже фокусы обозначены как и
.
На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.
При a = b гипербола называется равносторонней.
Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.
Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы
и получаем:
.
Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox)
называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на
рисунке чёрным.
Точки и
, где
,
называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены
зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).
Число
называется эксцентриситетом гиперболы.
Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях
относительно оси ординат.
Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.
Решение.
Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4,
Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из
координат фокусов равно 5.
То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется
вычислить квадрат мнимой полуоси b.
Подставляем и вычисляем:
Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:
.
Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы,
если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .
Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24. А эксцентриситет — это пропорция и
так как a = 24, то коэффициент пропорциональности
отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26.
Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и
вычисляем:
.
Результат — каноническое уравнение гиперболы:
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Кривые второго порядка
Если —
произвольная точка левой ветви гиперболы () и
—
расстояния до этой точки от фокусов , то
формулы для расстояний — следующие:
.
Если —
произвольная точка правой ветви гиперболы () и
—
расстояния до этой точки от фокусов , то
формулы для расстояний — следующие:
.
На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.
Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов
есть величина постоянная, равная 2a.
Прямые, определяемые уравнениями
,
называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного
цвета).
Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы
,
где —
расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, —
расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и —
расстояния этой точки до директрис и
.
Пример 4. Дана гипербола
.
Составить уравнение её директрис.
Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется
найти эксцентриситет гиперболы, т. е. .
Вычисляем:
.
Получаем уравнение директрис гиперболы:
Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы
эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.
Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к
которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями
.
На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.
Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:
, где .
В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется
равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её
уравнение запишется в виде y = k/x,
то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.
Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы
и координаты
точки , лежащей
на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.
Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно,
нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения .
Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки Mx и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того,
умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.
.
Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение
гиперболы. Получаем:
Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим
образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после
отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.
Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично
относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:
1) b = 4,
а один из фокусов в точке (5; 0)
посмотреть правильное решение и ответ,
2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8
посмотреть правильное решение и ответ,
3) один из фокусов в точке (-10; 0),
уравнения асимптот гиперболы
посмотреть правильное решение и ответ.
Назад
Листать
Вперёд>>>
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Кривые второго порядка
Поделиться с друзьями
Другие материалы по теме Кривые второго порядка
Эллипс
Парабола
Аналитическая геометрия
§ 4.3. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых от двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, постоянна.
Для вывода простейшего уравнения
гиперболы расположим оси координат по отношению к ее фокусам
и
так же, как мы это делали в предыдущем параграфе для эллипса. Сохраним для
гиперболы те же обозначения: 2а для постоянной величины, упоминаемой
в определении гиперболы, 2с для расстояния между фокусами
и . Координаты фокусов те же, что и для эллипса в предыдущем параграфе:
и .
Возьмем произвольную точку ,
лежащую на гиперболе. По определению гиперболы для точек кривой, лежащих в
I и IV
четвертях имеем:
(3.18),
а для
точек, лежащих во II и III четвертях:
(3.18`).
Заметим, что для гиперболы в отличие
от эллипса
(2а есть разность двух сторон треугольника ,
а 2с – его третья сторона). Выражая через координаты точек ,
и
длины отрезков
и
оба равенства (3.18) и (3.18′)
можно записать в виде:
(3.19).
Производя над этим уравнением те же преобразования, что и
над уравнением (3.6) в случае эллипса (см. § 4.2), мы в конечном счете придем
к тому же самому уравнению (3.10):
,
в котором, однако, теперь . (Рекомендуется читателю произвести это преобразование самостоятельно.)
Деля левую и правую части уравнения
(3.10) на
и учитывая, что теперь ,
запишем результат в виде:
(3.20).
Наконец, полагая ,
получим окончательно простейшее (каноническое) уравнение гиперболы:
(3.21).
Можно доказать, что равенство (3.21) равносильно объединенному равенству (3.19).
Для построению гиперболы по ее
уравнению (3.21) заметим прежде всего, что первый член левой части этого уравнения
не меньше его правой части, т. е. единицы (поскольку из
вычитается неотрицательная величина ):
.
Отсюда .
Таким образом, в вертикальной полосе между параллельными оси Oy прямыми
и
точек кривой нет.
Отмечаем далее, что, так же как и для эллипса, оси координат служат осями симметрии гиперболы, так как в уравнении (3. 21) x и y входят лишь в четных степенях. Поэтому достаточно построить часть гиперболы, лежащую в I четверти.
Решим уравнение гиперболы (3.21)
относительно y: ,
выберем в правой части знак плюс, поскольку в I
четверти :
,
(3.22).
При ;
при возрастании x возрастает и y:
ветвь гиперболы, подымаясь от оси Ox,
уходит на плоскости все дальше и дальше, или, как говорят в геометрии, уходит
«в бесконечность». Но при этом, как нетрудно показать, ветвь кривой все ближе
и ближе подходит к прямой .
В самом деле, разность между ординатами точек этой прямой и гиперболы (обозначим
ее через ),
соответствующих одному и тому же значению абсциссы х, имеем следующее
выражение:
(3.23)
Из последнего выражения видно,
что когда х неограниченно возрастает, то ,
оставаясь положительным, стремится к нулю, что и подтверждает высказанную
нами мысль: ветвь гиперболы, лежащая в I
четверти неограниченно приближается (и притом снизу, так как )
к прямой ,
когда абсцисса х точки гиперболы неограниченно возрастает. Такие прямые,
к которым неограниченно приближаются уходящие в бесконечность ветви кривых,
называются асимптотами этих кривых.
Таким образом, прямая
является асимптотой гиперболы. В силу симметрии гиперболы у нее есть и вторая
асимптота: .
Наличие асимптот и соображения симметрии позволяют нам построить всю гиперболу
(рис. 5): кривая состоит из двух не смыкающихся ветвей, лежащих в углах между
прямыми
и
и неограниченно приближаются к этим прямым.
В отношении гиперболы используется следующая терминология.
Отрезок
называют вещественной, а
– мнимой осью гиперболы; их длины равны соответственно 2а и 2b (а – вещественная полуось, b – мнимая полуось). Точки гиперболы
и ,
лежащие на вещественной оси, – вершины гиперболы. Точка О – центр гиперболы. Изображенный на рис. 3.5 пунктиром прямоугольник
с центром в точке О и сторонами ,
и ,
параллельными осями симметрии гиперболы, называют осевым прямоугольником гипербол; его построение облегчает построение гиперболы; сама гипербола касается
вертикальных сторон этого прямоугольника в их серединах, являющихся вершинами
гиперболы.
Для построения фокусов гиперболы
и
полезно знать, что основное соотношение между величинами ,
и
у гиперболы можно записать в виде:
(3.24).
Поэтому расстояние от центра гиперболы
до ее фокуса
равно половине длинны диагонали осевого прямоугольника :
в прямоугольном треугольнике
катеты ,
,
а следовательно, его гипотенуза .
Форма гиперболы зависит от угла
наклона асимптоты к вещественной оси, т. е. от величины отношения :
чем эта величина меньше, тем меньше угол между асимптотами, в котором заключена
гипербола, и тем более сжата сама гипербола; чем больше величина ,
тем круче располагаются ветви гиперболы.
Но, так же как и для эллипса,
в качестве характеристики формы гиперболы в аналитической геометрии пользуются
не величиной отношения ,
а величиной ,
называемой эксцентриситетом гиперболы и обозначают той же буквой ,
как и для эллипса:
(3.25).
Так как у гиперболы ,
то эксцентриситет гиперболы .
Из прямоугольного треугольника
, в котором острый угол наклона асимптоты к вещественной оси обозначен через
,
находим:
и, следовательно:
(3.26),
т. е. эксцентриситет гиперболы
равен секансу угла наклона асимптоты к вещественной оси.
Важным частным случаем гиперболы
является равносторонняя (равноосная) гипербола – такая гипербола, у
которой равны длины вещественной и мнимой полуосей: .
Уравнение этой гиперболы имеет вид:
(3. 27).
У равносторонней гиперболы, как
нетрудно показать, угол между асимптотами прямой,
и .
Для гиперболы, у которых оси совпадают и равны, но вещественная
ось одной служит мнимой осью другой и наоборот, называются сопряженными;
асимптоты таких гипербол также совпадают (поскольку совпадают их осевые прямоугольники),
но гиперболы располагаются в смежных углах между асимптотами.
Нетрудно видеть, что если уравнением одной из сопряженных гипербол является уравнение (3.21):
,
то уравнение второй будет иметь вид:
,
или (3.28),
поскольку меняются ролями оси Ox и Oy и полуоси гипербол а и b.
Отметим, что расстояние с от центра до фокусов у обеих сопряженных гипербол одно и то же, определяемое
формулой (3.24), но эксцентриситеты различные: ,
;
(если только обе гиперболы не являются равносторонними).
Гипербола — уравнение, свойства, примеры
В математике гипербола — это важное коническое сечение, образованное пересечением двойного конуса плоской поверхностью, но не обязательно в центре. Гипербола симметрична вдоль сопряженной оси и имеет много общего с эллипсом. Такие понятия, как фокус, директриса, широкая прямая кишка, эксцентриситет, применимы к гиперболе. Несколько распространенных примеров гиперболы включают путь, по которому следует кончик тени солнечных часов, траектория рассеяния субатомных частиц и т. д.
Здесь мы будем стремиться понять определение, формулу гиперболы, вывод формулы и стандартные формы гиперболы, используя решенные примеры.
1.
Что такое гипербола?
2.
Части гиперболы
3.
Стандартная форма уравнения гиперболы
4.
Вывод уравнения гиперболы
5.
Формула гиперболы
6.
График гиперболы
7.
Свойства гиперболы
8.
Часто задаваемые вопросы о Hyperbola
Что такое гипербола?
Гипербола, тип гладкой кривой, лежащей на плоскости, состоит из двух частей, называемых связными компонентами или ответвлениями, которые являются зеркальным отображением друг друга и напоминают две бесконечные дуги. Гипербола — это множество точек, разность расстояний которых от двух фокусов является постоянной величиной. Эта разница берется из расстояния от дальнего фокуса, а затем из расстояния от ближнего фокуса. Для точки Р(х, у) гиперболы и двух фокусов F, F’ геометрическое место гиперболы равно PF — PF’ = 2a.
Гипербола Определение
Гипербола в аналитической геометрии — это коническое сечение, которое образуется при пересечении плоскостью двойного прямого кругового конуса под таким углом, что обе половины конуса пересекаются. Это пересечение плоскости и конуса дает две отдельные неограниченные кривые, которые являются зеркальным отображением друг друга, называемые гиперболой.
Части гиперболы
Давайте проверим несколько важных терминов, относящихся к различным параметрам гиперболы.
Фокусы гиперболы: Гипербола имеет два фокуса и их координаты F(c, o) и F'(-c, 0).
Центр гиперболы: Середина линии, соединяющей два фокуса, называется центром гиперболы.
Большая ось: Длина большой оси гиперболы составляет 2a единиц.
Малая ось: Длина малой оси гиперболы составляет 2b единиц.
Вершины: Точки, в которых гипербола пересекает ось, называются вершинами. Вершины гиперболы равны (а, 0), (-а, 0).
Широкая прямая кишка гиперболы: Широкая прямая кишка представляет собой линию, проведенную перпендикулярно поперечной оси гиперболы и проходящую через фокусы гиперболы. Длина широкой прямой кишки гиперболы 2b 2 /а.
Поперечная ось: Линия, проходящая через два фокуса и центр гиперболы, называется поперечной осью гиперболы.
Сопряженная ось: Прямая, проходящая через центр гиперболы и перпендикулярная поперечной оси, называется сопряженной осью гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы: (e > 1) Эксцентриситет представляет собой отношение расстояния фокуса от центра гиперболы и расстояния вершины от центра гиперболы. Расстояние до фокуса составляет c единиц, а расстояние до вершины равно a единиц, следовательно, эксцентриситет равен e = c/a.
Уравнение гиперболы
Приведенное ниже уравнение представляет собой общее уравнение гиперболы. Здесь ось x является поперечной осью гиперболы, а ось y является сопряженной осью гиперболы. 92} = 1\) и имеет поперечную ось как ось у, а ее сопряженная ось — ось х. На изображении ниже показаны две стандартные формы уравнений гиперболы.
Вывод уравнения гиперболы
Согласно определению гиперболы, рассмотрим точку P на гиперболе, и разница ее расстояний от двух фокусов F, F’ равна 2а.
PF’ — PF = 2a
Пусть координаты точки P равны (x, y), а фокусы равны F(c, o) и F'(-c, 0) 92} =1\)
Гипербола — это незамкнутая кривая, имеющая две ветви, которые выглядят как зеркальные отражения друг друга. Для любой точки любой из ветвей абсолютная разность между точкой и фокусами постоянна и равна 2а, где а — расстояние ветви от центра. Формула гиперболы помогает нам найти различные параметры и связанные части гиперболы, такие как уравнение гиперболы, большую и малую оси, эксцентриситет, асимптоты, вершину, фокусы и полуширотную прямую кишку. 92} \),y\(_0\))
Semi-latus rectum(p) формулы гиперболы: p = b 2 / a
, где
x\(_0\), y\(_0\) — центральные точки.
а = большая полуось.
b = малая полуось.
Пример: Уравнение гиперболы задается как (x — 5) 2 /4 2 — (y — 2) 2 / 2 2 = 1. Используйте формулы гиперболы, чтобы найти длина большой оси и малой оси.
Решение:
Используя формулу гиперболы для длины большой и малой оси
Длина большой оси = 2a и длина малой оси = 2b
Длина большой оси = 2 × 4 = 8, и Длина малой оси = 2 × 2 = 4
Ответ: Длина большой оси 8 единиц, а длина малой оси 4 единицы.
График гиперболы
Все гиперболы имеют общие черты, состоящие из двух кривых, каждая из которых имеет вершину и фокус. Поперечная ось гиперболы — это ось, проходящая через обе вершины и фокусы, а сопряженная ось гиперболы перпендикулярна ей. Мы можем наблюдать графики стандартных форм уравнения гиперболы на рисунке ниже. Если уравнение данной гиперболы имеет нестандартную форму, то нам необходимо дополнить квадрат, чтобы привести его к стандартной форме. 92} = 1\)
Координаты центра: (h, k).
Координаты вершин: (h+a,k) и (h — a,k)
Ко-вершины соответствуют b, «длине малой полуоси», и координатам ко-вершин: (h,k+b) и (h,k-b).
Фокусы имеют координаты (h+c,k) и (h-c,k). Значение c задается как c 2 = a 2 + b 2 .
Наклоны асимптот: y = ±(b/a)x.
Свойства гиперболы
Следующие важные свойства, связанные с различными концепциями, помогают лучше понять гиперболу.
Асимптоты: Пара прямых, проведенных параллельно гиперболе и предположительно касающихся гиперболы на бесконечности. Уравнения асимптот гиперболы имеют вид y = bx/a и y = -bx/a соответственно.
Прямоугольная гипербола: Гипербола, имеющая поперечную ось и сопряженную ось одинаковой длины, называется прямоугольной гиперболой. Здесь мы имеем 2a = 2b или a = b. Следовательно, уравнение прямоугольной гиперболы равно x 2 — y 2 = a 2
Параметрические координаты: Точки на гиперболе могут быть представлены параметрическими координатами (x, y) = (asecθ, btanθ). Эти параметрические координаты, представляющие точки на гиперболе, удовлетворяют уравнению гиперболы.
Вспомогательная окружность: Окружность, нарисованная с конечными точками поперечной оси гиперболы в качестве ее диаметра, называется вспомогательной окружностью. Уравнение вспомогательной окружности гиперболы x 2 + у 2 = а 2 .
Направление окружности: Геометрическое место точки пересечения перпендикулярных касательных к гиперболе называется направляющей окружностью. Уравнение окружности директора гиперболы: x 2 + y 2 = a 2 — b 2 .
Связанные статьи о гиперболе:
Следующие темы помогут лучше понять гиперболу и связанные с ней концепции.
Координатная геометрия
Коники в реальной жизни
Декартовы координаты
Парабола
Примеры гиперболы
Пример 1: Уравнение гиперболы записывается как [(x — 5) 2 /4 2 ] — [(y — 2) 2 / 6 2 ] = 1. Найдите асимптота этой гиперболы.
Решение:
Используя одну из формул гиперболы (для нахождения асимптот): y = y\(_0\) — (b/a)x + (b/a)x\(_0\) и y = y\(_0\) + (b/a)x — (b/a)x \(_0\)
у = 2 — (6/4)х + (6/4)5 и у = 2 + (6/4)х — (6/4)5
Ответ: Асимптоты: y = 2 — (3/2)x + (3/2)5 и y = 2 + 3/2)x — (3/2)5.
Пример 2: Уравнение гиперболы задается как [(x — 5) 2 /6 2 ] — [(y — 2) 2 / 4 2 ] = 1. Используйте формулы гиперболы, чтобы найти длину большой оси и малой оси.
Решение:
Используя формулу гиперболы для длины большой и малой оси
Длина большой оси = 2a и длина малой оси = 2b
Длина большой оси = 2 × 6 = 12, и Длина малой оси = 2 × 4 = 8
Ответ: Длина большой оси 12 единиц, а длина малой оси 8 единиц.
Пример 3: Уравнение гиперболы записывается как (x — 3) 2 /5 2 — (у — 2) 2 / 4 2 = 1. Найдите асимптоту этой гиперболы.
Решение:
Используя одну из формул гиперболы (для нахождения асимптот): y = y\(_0\) — (b/a)x + (b/a)x\(_0\) и y = y\(_0\) — (b/a)x + (b/a)x \(_0\)
y = 2 — (4/5)x + (4/5)5 и y = 2 + (4/5)x — (4/5)5
Ответ: Асимптоты у = 2 — (4/5)х + 4, и у = 2 + (4/5)х — 4.
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Разложите сложные концепции с помощью простых визуальных эффектов.
Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.
Записаться на бесплатный пробный урок
Практические вопросы по гиперболе
перейти к слайдуперейти к слайду
Часто задаваемые вопросы по Hyperbola
Что такое гипербола в коническом сечении?
А гипербола 92} = 1\). Здесь «а» — большая полуось, а «b» — малая полуось. Существуют две стандартные формы уравнений гиперболы. 2} = 1\). 92} = 1\), для гиперболы, имеющей поперечную ось в качестве оси у, а сопряженной ей осью является ось х.
Что такое эксцентриситет гиперболы?
Эксцентриситет гиперболы больше 1. (e > 1). Эксцентриситет — это отношение расстояния фокуса от центра эллипса и расстояния вершины от центра эллипса. Расстояние до фокуса составляет c единиц, а расстояние до вершины равно a единиц, следовательно, эксцентриситет равен e = c/a. Также здесь у нас есть c 92} = 1\) имела ось абсцисс в качестве своей поперечной оси.
Уравнения гиперболы | Колледж Алгебра
Результаты обучения
Вывести уравнение для гиперболы с центром в начале координат
Напишите уравнение для гиперболы с центром в начале координат
Решить прикладную задачу с гиперболами
В аналитической геометрии гипербола представляет собой коническое сечение, образованное пересечением прямого кругового конуса с плоскостью под углом, при котором обе половины конуса пересекаются. Это пересечение дает две отдельные неограниченные кривые, которые являются зеркальным отображением друг друга.
Гипербола
Как и эллипс, гипербола также может быть определена как набор точек на координатной плоскости. Гипербола — это множество всех точек [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс] на плоскости, таких, что разность расстояний между [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс ], а фокусы — положительная постоянная.
Обратите внимание, что определение гиперболы очень похоже на определение эллипса. Отличие состоит в том, что гипербола определяется в терминах разности двух расстояний, тогда как эллипс определяется в терминах суммы двух расстояний.
Как и эллипс, каждая гипербола имеет две оси симметрии . Поперечная ось представляет собой отрезок, который проходит через центр гиперболы и имеет вершины в качестве своих концов. Фокусы лежат на линии, содержащей поперечную ось. Сопряженная ось перпендикулярна поперечной оси и имеет ковершины в качестве своих конечных точек. центр гиперболы является серединой поперечной и сопряженной осей, где они пересекаются. Каждая гипербола также имеет две асимптоты , которые проходят через ее центр. При удалении гиперболы от центра ее ветви приближаются к этим асимптотам. Центральный прямоугольник гиперболы имеет центр в начале координат со сторонами, которые проходят через каждую вершину и ковершину; это полезный инструмент для построения графиков гиперболы и ее асимптот. Чтобы начертить асимптоты гиперболы, просто нарисуйте и продлите диагонали центрального прямоугольника.
Ключевые особенности гиперболы
В этом разделе мы ограничим наше обсуждение гиперболами, расположенными вертикально или горизонтально в координатной плоскости; оси будут лежать или быть параллельными осям x и y . Мы рассмотрим два случая: те, которые сосредоточены в начале координат, и те, которые сосредоточены в точке, отличной от начала координат.
Стандартная форма уравнения гиперболы с центром в начале координат
Пусть [латекс]\влево(-c,0\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(с,0\вправо)[/латекс ] быть фокусов гиперболы с центром в начале координат. Гипербола — это множество всех точек [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс], таких что разность расстояний от [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс] до очаги постоянны.
Если [латекс]\влево(а,0\вправо)[/латекс] является вершиной гиперболы, расстояние от [латекс]\влево(-c,0\вправо)[/латекс] до [латекс] \left(a,0\right)[/latex] равно [latex]a-\left(-c\right)=a+c[/latex]. Расстояние от [латекс]\слева(с,0\справа)[/латекс] до [латекс]\слева(а,0\справа)[/латекс] равно [латекс]с-а[/латекс]. Разность расстояний от фокусов до вершины равна
Если [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] является точкой на гиперболе мы можем определить следующие переменные:
[латекс]\begin{align}&{d}_{2}=\text{расстояние от }\left(-c,0\right)\text{ до }\left(x,y\right)\\ &{d}_{1}=\text{расстояние от }\left(c,0\right)\text{ до }\left(x,y\ right)\end{align}[/latex]
По определению гиперболы [latex]\lvert{d}_{2}-{d}_{1}\rvert[/latex] постоянна для любой точки [латекс]\влево(х,у\вправо)[/латекс] на гиперболе. {2}[/latex] всегда находится под переменной с положительным коэффициентом. Итак, если вы установите другую переменную равной нулю, вы можете легко найти точки пересечения. В случае, когда центр гиперболы находится в начале координат, точки пересечения совпадают с вершинами. 9{2}}{25}=1[/латекс].
Показать решение
Запись уравнений гиперболы в стандартной форме
Как и в случае с эллипсами, запись уравнения гиперболы в стандартной форме позволяет вычислить ключевые характеристики: ее центр, вершины, ко-вершины, фокусы, асимптоты, длины и положения поперечной и сопряженной осей. И наоборот, уравнение гиперболы можно найти, учитывая ее ключевые особенности. Начнем с нахождения стандартных уравнений для гипербол с центром в начале координат. Затем мы обратим наше внимание на поиск стандартных уравнений для гипербол с центром в какой-либо точке, отличной от начала координат. 9{2}[/латекс]. Это соотношение используется для записи уравнения гиперболы при заданных координатах ее фокусов и вершин.
Как сделать: Имея вершины и фокусы гиперболы с центром в точке [латекс]\влево(0,\текст{0}\вправо)[/латекс], запишите ее уравнение в стандартной форме.
Определите, лежит ли поперечная ось на оси x или y .
Если заданные координаты вершин и фокусов имеют вид [latex]\left(\pm a,0\right)[/latex] и [latex]\left(\pm c,0\right)[/latex ] соответственно, то поперечной осью является 9{2}[/latex] в стандартную форму уравнения, определенного на шаге 1.
Пример. Нахождение уравнения гиперболы с центром в точке (0,0) при заданных фокусах и вершинах
Какова стандартная форма уравнения гиперболы с вершинами right)[/latex] и фокусы [latex]\left(\pm 2\sqrt{10},0\right)?[/latex]
Показать решение
Попробуйте
Уравнение стандартной формы гиперболы, имеющей вершины [латекс]\влево(0,\pm 2\справа)[/латекс] и фокусы [латекс]\влево(0,\pm 2\ sqrt{5}\справа)?[/latex]
Показать решение
Гиперболы, не центрированные в начале координат
Как и графики для других уравнений, график гиперболы можно трансформировать. Если перевести гиперболу [latex]h[/latex] единиц по горизонтали и [latex]k[/latex] единиц по вертикали, центр гиперболы будет [latex]\left(h,k\right)[/ латекс]. Этот перевод приводит к стандартной форме уравнения, которое мы видели ранее, с заменой [latex]x[/latex] на [latex]\left(x-h\right)[/latex] и [latex]y[/latex] на [латекс]\влево(у-к\вправо)[/латекс]. 9{2}[/латекс]
Асимптоты гиперболы совпадают с диагоналями центрального прямоугольника. Длина прямоугольника равна [латекс]2а[/латекс], а ширина — [латекс]2b[/латекс]. Наклоны диагоналей равны [латекс]\pm \frac{b}{a}[/латекс], и каждая диагональ проходит через центр [латекс]\влево(ч,к\вправо)[/латекс]. Используя формулу точек-наклонов , легко показать, что уравнения асимптот таковы: [latex]y=\pm \frac{b}{a}\left(x-h\right)+k[/latex]. 9{2}[/латекс]
Используя приведенные выше рассуждения, уравнения асимптот таковы: [латекс]y=\pm \frac{a}{b}\left(x-h\right)+k[/latex]. {2}[/латекс]. Мы можем использовать это соотношение вместе с формулами средней точки и расстояния, чтобы найти стандартное уравнение гиперболы, когда заданы вершины и фокусы. 9{2}[/latex] в стандартную форму уравнения, определенного на шаге 1.
Пример: нахождение уравнения гиперболы с центром в точке (
h , k ) с учетом ее фокусов и вершин ,-2\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(6,-2\вправо)[/латекс] и фокусы в [латекс]\влево(-2,-2\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(8,-2\вправо)?[/латекс]
Показать решение
Попробуйте
Уравнение стандартной формы гиперболы с вершинами [латекс]\влево(1,-2\вправо)[/латекс] и [латекс]\влево(1,\текст{8}\вправо) )[/latex] и фокусы [латекс]\левый(1,-10\правый)[/латекс] и [латекс]\левый(1,16\правый)?[/латекс]
Показать решение
Решение прикладных задач, связанных с гиперболами
Как мы обсуждали в начале этого раздела, гиперболы находят практическое применение во многих областях, таких как астрономия, физика, инженерия и архитектура. Эффективность конструкции гиперболических градирен особенно интересна. Градирни используются для передачи отработанного тепла в атмосферу и часто рекламируются за их способность эффективно генерировать энергию. Из-за своей гиперболической формы эти конструкции способны противостоять сильным ветрам, при этом требуя меньше материала, чем любые другие формы их размера и прочности. Например, 500-футовая башня может быть сделана из железобетонной оболочки шириной всего 6 или 8 дюймов!
Градирни на электростанции Drax в Северном Йоркшире, Великобритания (фото: Les Haines, Flickr)
Первые гиперболические градирни были спроектированы в 1914 году и имели высоту 35 метров. Сегодня самые высокие градирни находятся во Франции, их высота составляет 170 метров. В Примере 6 мы будем использовать проектную схему градирни, чтобы найти гиперболическое уравнение, моделирующее ее стороны.
Пример: решение прикладных задач, связанных с гиперболой
Схема градирни показана ниже. Башня стоит 179.6 метров в высоту. Диаметр вершины 72 метра. Ближайшие стороны башни находятся на расстоянии 60 метров друг от друга.
Проект градирни с естественной тягой
Найдите уравнение гиперболы, моделирующей стороны градирни. Предположим, что центр гиперболы , обозначенный на рисунке пересечением пунктирных перпендикулярных линий, является началом координатной плоскости. Округлите окончательные значения до четырех знаков после запятой.
Показать решение
Попробуйте
Ниже показан проект градирни. Найдите уравнение гиперболы, моделирующей стороны градирни. Предположим, что центр гиперболы, обозначенный на рисунке пересечением пунктирных перпендикулярных линий, является началом координатной плоскости.
Показать решение
Поддержите!
У вас есть идеи по улучшению этого контента? Мы будем признательны за ваш вклад.
Улучшить эту страницуПодробнее
Коники: Гиперболы: Введение
Вернуться к
Указатель уроков | Делайте уроки
в заказе | Подходит для печати
страница
Коники:
Гиперболы: Введение (стр. 1 из 3)
Разделы: Введение, Нахождение
информацию из уравнения, Нахождение
уравнение из информации
Гиперболы, по крайней мере, не часто всплывают
не то, чтобы я замечал на других уроках математики, но если вы освещаете
conics, вам нужно знать их основы. Гипербола выглядит примерно так
две зеркальные параболы с двумя «половинками»
называются «ветвями». Как эллипс,
гипербола имеет два фокуса и две вершины; в отличие от эллипса, фокусы
в гиперболе дальше от центра гиперболы, чем ее вершины:
Гипербола центрируется в точке ( ч , k ), который является « центр »
гиперболы. Точка на каждой ветке, ближайшая к центру, такова, что
ветка « вершина «.
Вершины находятся на некотором фиксированном расстоянии от до от центра. Линия, идущая из одной вершины через центр и
оканчивающаяся в другой вершине, называется «поперечной» осью. очаги »
гиперболы находятся «внутри» каждой ветви, и каждый фокус
находится на некотором фиксированном расстоянии c от центра. (Это означает, что а < c для гипербол.)
Значения a и c будет
варьируются от одной гиперболы к другой, но они будут фиксированными значениями для
любая заданная гипербола.
Для любой точки эллипса сумма расстояний от этой точки до каждого из фокусов есть некоторая фиксированная величина;
для любой точки гиперболы это разность расстояний
из двух фиксированных фокусов. Глядя на график выше и позволяя
«точка» должна быть одной из вершин, это фиксированное расстояние должно
быть (расстояние до дальнего фокуса) меньше (расстояние до ближнего
фокус) или ( + )
( в в ) = 2 в . Это свойство фиксированной разницы можно использовать для определения местоположений:
два маяка размещаются в известных и фиксированных положениях, разница в
время, в которое их сигналы принимаются, скажем, кораблем в море, может
Сообщите экипажу, где они.
Как и в случае с эллипсами, существует связь
между и , б ,
и c ,
и, как и в случае с эллипсами, вычисления долгие и мучительные. Так что доверяй
мне, что для гипербол (где < c ), соотношение в 2 а 2 = б 2 или, что означает
то же самое, c 2 = б 2 + а 2 .
(Да, для доказательства этой связи используется теорема Пифагора. Да,
это те же самые буквы, которые используются в теореме Пифагора. Нет,
это не то же самое, что теорема Пифагора. Да, это очень
сбивает с толку. Просто запомните его и двигайтесь дальше.)
Когда поперечная ось горизонтальна
(другими словами, когда центр, фокусы и вершины совпадают
рядом, параллельно x -ось),
затем идет a 2 с частью x
уравнения гиперболы и часть 90 926 y 90 929
вычитается.
Когда поперечная ось вертикальна
(другими словами, когда центр, фокусы и вершины выстраиваются выше
и ниже друг друга, параллельно оси и ),
затем идет a 2 с и часть
уравнения гиперболы и часть x
вычитается.
В «конической» форме гипербола
уравнение всегда «=1».
Значение b дает «высоту» «фундаментальной коробки» для
гипербола ( отмечено
серым цветом на первой картинке выше),
и 2 б — длина «сопряженной» оси. Эта информация не
помочь вам построить гиперболы, хотя. Авторские права
Элизабет Стапель 2010-2011 Все права защищены
По причинам, которые вы узнаете из анализа,
график гиперболы становится довольно плоским и прямым, когда он удаляется
от его центра. Если «уменьшить масштаб» графика, он будет выглядеть
очень похоже на «X», с небольшим изгибом около
середина. Эти «почти прямые» части очень близки к тому, что
называются «асимптотами»
гипербола. Для гиперболы с центром в ( ч , k ) и имеющие фиксированные значения a и б ,
асимптоты задаются следующими уравнениями:
гиперболы
графики
асимптот’
уравнения
Обратите внимание, что единственная разница в асимптоте
уравнения выше находится в наклонах прямых: Если a 2 это знаменатель для x часть уравнения гиперболы, тогда a все еще находится в знаменателе наклона уравнений асимптот;
если а 2 идет с и часть уравнения гиперболы, то и входит в числитель наклона в уравнениях асимптот.
Гиперболы могут быть довольно «прямыми».
или еще довольно «гибкий»:
гипербола
с эксцентриситетом около 1,05
гипербола
с эксцентриситетом около 7,6
Мера величины кривизны
это «эксцентриситет» e ,
где e = c / a .
Так как фокусы находятся дальше от центра гиперболы, чем
вершин (таким образом, c > и для гипербол), затем и > 1.
Формулы вычисления объема всех геометрических фигур » Kupuk.net
Объём — это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого определения в отношении тел трёхмерного евклидова пространства. Первые точные определения были даны Пеано (1887) и Жорданом (1892). Впоследствии понятие было обобщено Лебегом на более широкий класс множеств.
Для определения объёма существует несколько существенно различных подходов, которые дополняют друг друга и согласованы по конечному результату на «хороших множествах». Обычно под понятием объёма понимается мера Жордана, но иногда мера Лебега. Для римановых многообразий понятие объёма вводится аналогично понятию площади поверхности.
Объем куба
Объем куба равен кубу длины его грани.
Формула объема куба:
V = a 3
где:
V — объем куба, a — длина грани куба.
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы:
где:
V- объем призмы, So — площадь основания призмы, h — высота призмы.
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Формула объема параллелепипеда:
где:
V- объем параллелепипеда, So — площадь основания, h — длина высоты.
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS).
Формула объема пирамиды:
где:
V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, h — длина высоты пирамиды.
Объем усеченной пирамиды
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1(abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
Формула объема усеченной пирамиды:
Где:
S1 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды, S2 — площадь нижнего основания усеченной пирамиды, h — высота усеченной пирамиды.
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Формула объема цилиндра: V= π R2 h V= Sоh
Где:
V — объем цилиндра, So — площадь основания цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, π = 3.141592
Объем правильной треугольной пирамиды
Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS).
Формула объема правильной треугольной пирамиды:
Где:
V — объем пирамиды; h — высота пирамиды; a — сторона основания пирамиды.
Объем конуса
Объем круглого конуса равен трети произведения площади основания S на высоту H.
Формула объема конуса:
Где:
V — объем конуса; R — радиус основания; H — высота конуса; I — длина образующей; S — площадь боковой поверхности конуса.
Объем усеченного конуса
Объем усеченного конуса равен разности объемов двух полных конусов.
Формула объема усеченного конуса:
Где:
V — объем усеченного конуса; H — высота усеченного конуса; R и R2 — радиусы нижнего и верхнего оснований.
Объем тетраэдра
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В нее нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
Формула тетраэдра:
Где:
V — объем тетраэдра; a — ребро тетраэдра.
Объем шара
Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе перемноженного на число пи.
Формула объема шара:
Где:
V — объем шара; R — радиус шара; S — площадь сферы.
Объем шарового сегмента и сектора
Шаровый сегмент — это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.
Формула объема шарового сегмента:
Где:
R — радиус шара H — высота сегмента π ≈ 3,14
Формула объема шарового сектора:
Где:
h — высота сегмента R — радиус шара π ≈ 3,14
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:
Где:
V — объем прямоугольного параллелепипеда, a — длина, b — ширина, h — высота.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Анастасия Сергеевна Роствинская
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Нижегородский Государственный Технический университет имени Р. Е. Алексеева
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по химии для 7-9 классов. Подготовка к ОГЭ. Я занимаюсь репетиторством уже 3 года, являюсь именным стипендиатом от крупной компании Теплоэнерго, так же победитель конкурса Профстажировки 2.0 2019 и 2021 года, уже со второго курса написала 2 статьи по химическим технологиям, университет закончила с аттестатом отличия. Мои ученики с достоинством сдали ОГЭ и уже закончили школу. Так же я оказывала помощь студентам младших курсов.
Ирина Владимировна Никитина
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор 1-6 классов.
Я люблю математику за то, что математика- царица точных наук. Она не
только интересна и «красива», она еще и полезна, как для других наук, так и в
быту. Стараюсь прививать и поддерживать интерес детей к предмету.
Виктория Анатольевна Шилова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Северо-Казахстанский государственный университет имени Козыбаева
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Репетитор по русскому языку 5-11 классов, подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Также репетитор по истории и обществознанию 5-11 классы, готовлю к ВПР/ОГЭ/ЕГЭ. Скорочтение для 5-11 классов.
Я преподаю по авторской методике. Она включает в себя разные подходы и методы преподавания. Все мои ученики сдают выпускные экзамены .Всегда настраиваю на позитивное мышление, мотивирую на успех. Индивидуальный подход к каждому ученику.
Похожие статьи
Приведение к общему знаменателю
Как легко разделить на 0,1; 0,01; 0,001
Как построить график гиперболы?
ЕГЭ по математике, базовый уровень. Текстовые задачи (вариант 6)
ЕГЭ по математике, базовый уровень. Планиметрия. Равнобедренный треугольник (вариант 1)
ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на движение по прямой (вариант 3)
Задачи на исследование функций
Что делать, если ребенок выбрал «не ту» профессию?
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Объем геометрических тел
Объёмы геометрических тел.
Урок геометрии в 11 классе.
Аннотация.
Представленный урок является первым уроком-лекцией по теме «Объёмы». Компьютерные технологии позволяют сделать этот урок красочным и ярким по форме , продуктивным и наполненным по содержанию. Во время урока продемонстрированы модели геометрических фигур: призмы, наклонной призмы, пирамиды, цилиндра, конуса. Модели выполнены с элементами анимации. Рядом с каждой фигурой сначала появляются известные формулы площади, а затем в другом , более ярком цвете появляется формула объёма. Для пояснения некоторых свойств объёмов. Фигуры накладываются друг на друга. В ходе урока проводится дифференцированная проверочная работа с использованием тестов. При решении ряда задач также используются готовые рисунки ,что позволяет экономить время урока. Все рисунки из меловых на доске превращаются в яркие и действительно стереометрические.
Представленный урок является первым уроком-лекцией по теме «Объёмы». Компьютерные технологии позволяют сделать этот урок красочным и ярким по форме , продуктивным и наполненным по содержанию. Во время урока продемонстрированы модели геометрических фигур: призмы, наклонной призмы, пирамиды, цилиндра, конуса. Модели выполнены с элементами анимации. Рядом с каждой фигурой сначала появляются известные формулы площади, а затем в другом , более ярком цвете появляется формула объёма. Для пояснения некоторых свойств объёмов. Фигуры накладываются друг на друга. В ходе урока проводится дифференцированная проверочная работа с использованием тестов. При решении ряда задач также используются готовые рисунки ,что позволяет экономить время урока. Все рисунки из меловых на доске превращаются в яркие и действительно стереометрические.
План урока
1.Повторение ранее изученного.
2.Объяснение нового материала:
а) понятие объёма;б) свойства объёма;в) объём куба;г) объём прямоугольного параллелепипеда.
а) понятие объёма;
б) свойства объёма;
в) объём куба;
г) объём прямоугольного параллелепипеда.
3.Закрепление.
а) контрольные вопросы.б) устная работа;в) решение задач по готовым чертежам.
а) контрольные вопросы.
б) устная работа;
в) решение задач по готовым чертежам.
4.Объём прямой призмы.
5.Решение задач.
6.Домашнее задание : теория п. 63, 64. №647, 649.
О с н о в н а я ц е л ь у р о к а .
Ввести понятие объёма тела.
Ввести формулы объёма куба, прямоугольного параллелепипеда и прямой призмы.
Сформировать навык решения задач на нахождение объёма куба, прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы.
S = S осн.+ S бок
Повторим формулы площади поверхностей геометрических тел.
S=2Sосн+Sбок
S=2Sосн.+Sбок.
S = S осн.+ S бок
Объёмы геометрических тел.
За единицу объёма принимают объём куба со стороной, равной единице измерения отрезков.
Равные тела имеют равные объёмы.
Если тело состоит из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов его частей.
Понятие объёма тела вводится по аналогии с понятием площади плоской фигуры. Заполним вторую половину таблицы.
S -это положительная величина,
численное значение которой обладает следующими свойствами.
V- это положительная величина, численное значение которой обладает следующими свойствами.
1.Равные фигуры имеют равные площади.
1.Равные тела имеют равные объёмы.
2. Если фигура,составлена
Из нескольких фигур,то её площадь равна сумме площадей этих фигур.
2.Если тело состоит из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
3. В качестве единицы измерения площади обычно берут квадрат со стороной равной единицы измерения отрезка.
3.В качестве единицы измерения объёма обычно берут куб со стороной,равной единице измерения отрезков.
Объём куба с ребромa
равен кубу его ребра.V= a3
Куб-частный случай прямоугольного параллелепипеда.Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда?Объём прямоугольного параллелепипеда равенпроизведению трёх его измерений.V=abc.Или объёмпрямоугольного параллелепипеда равен произведениюплощади основания на высоту.V=Sосн *H
Контрольные вопросы.
1.Что называется объёмом тела?
2.Что значит измерить объём тела?
3.Что значит:»Объём комнаты 60 м3?»
4.Что значит :»Объём бочки для воды 200м3?»
5.Как получить 1/8; 1/125; 1/1000единичного куба?
6.Чему равен объём куба с ребром а?
Устная работа ( по готовым чертежам.)
Найти объём прямоугольного параллелепипеда.
6
5
3
3
4
5
6
10
45 0
45 0
8
2
Решение задач .
1 .Площадь полной поверхности куба равна 6 м 2 . Найти его объём.
2. Объём куба равен 8 м 3 . Найти площадь полной поверхности.
3 .Если каждое ребро куба увеличить на 2 см , то его объём увеличится на 98 см 3 . Чему равно ребро куба?
4 .Три куба, сделанные из свинца, имеют рёбра 3, 4 и 5 см. Они переплавлены в один куб. Найти его ребро.
Объём призмы и цилиндра.
Объём призмы равен произведению
площади основания на высоту.
Объём цилиндра равен произведению
площади основания на высоту.
Решение задач.
F
Дано: ABCDFS -прямая призма, AB = BC =5см AC =6см, AD=10c м ________________________________ Найти: V -объём призмы.
D
S
Решение. V = S осн * H S осн = 1 /2 AB * BK , где BK -высота ∆ ABC .
Из ∆ ABK- прямоугольного, BK =4(см)
S осн.=1 /2 *6 * 4 =12 ( см 2 ) V=12 *10 = 120 ( см 3 ) Ответ V=120 см 3 .
B
A
C
К
Самостоятельная работа.
Вариант-1.
1.Объём прямоугольного параллелепипеда равен 96 см3, боковое ребро 8 см.Чему равна площадь основания?
Вариант-2.
1.Объём прямоугольного параллелепипеда равен 100 см3, площадь основания 23 см2. Найти высоту параллелепипеда.
Л и т е р а т у р а .
1.Учебник «Геометрия 10-11 класс « автор Л.С. Атанасян.
2.Геометрия 11 класс.(Поурочные планы.) автор Г. И. Ковалёва.
3.Дидактические материалы по геометрии 10-11 класс.
4. Разрезные карточки по стереометрии 10-11 класс.
9.10: Решение геометрических задач — объем и площадь поверхности (часть 2)
Последнее обновление
Сохранить как PDF
Идентификатор страницы
7134
OpenStax
OpenStax
Найдите объем и площадь поверхности сфер
Сфера имеет форму баскетбольного мяча, похожую на трехмерный круг. Как и в случае с кругом, размер сферы определяется ее радиусом, то есть расстоянием от центра сферы до любой точки на ее поверхности. Ниже приведены формулы объема и площади поверхности шара.
Показать, откуда берутся эти формулы, как мы это делали для прямоугольного тела, выходит за рамки этого курса. Мы аппроксимируем \(\pi\) с помощью 3,14.
Определение: объем и площадь поверхности сферы
Для сферы радиусом r:
Пример \(\PageIndex{5}\):
Радиус сферы составляет 6 дюймов. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Решение
Шаг 1 одинаков для (а) и (б), поэтому мы покажем его только один раз.
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
9{3} \\ В &\ок 904,32\; кубический\; дюймы \end{split}$$
Шаг 6. Проверить .
Дважды проверьте свою математику на калькуляторе.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Объем составляет приблизительно 904,32 кубических дюйма.
(b)
Шаг 2. Определите , что вы ищете.
9{2} \\ S &\ок 452,16\; кв.\; дюймы \end{split}$$
Шаг 6. Проверить .
Дважды проверьте свою математику на калькуляторе.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Площадь поверхности составляет примерно 452,16 квадратных дюймов.
Упражнение \(\PageIndex{9}\):
Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности сферы радиусом 3 сантиметра.
Ответить на
113,04 куб. см
Ответ б
113,04 кв. см
Упражнение \(\PageIndex{10}\):
Найдите (a) объем и (b) площадь поверхности каждой сферы радиусом 1 фут
Ответьте на
4,19 куб.
футов
Ответ б
12,56 кв. футов
Пример \(\PageIndex{6}\):
Земной шар имеет форму сферы с радиусом 14 сантиметров. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б). Округлите ответ до сотых.
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
(a)
Шаг 2. Определите , что вы ищете. 9{3} \end{split}$$
Шаг 5. Решить .
$$V \ приблизительно 11 488,21 \tag{9.6.14}$$
Шаг 6. Проверить .
Мы оставляем вам возможность проверить свои расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Объем составляет приблизительно 11 488,21 кубических дюйма.
(б)
9{2} \end{split}$$
Шаг 5. Решить .
$$S \ приблизительно 2461,76 \tag{9.6.15}$$
Шаг 6. Проверить .
Мы оставляем вам возможность проверить свои расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Площадь поверхности составляет примерно 2461,76 квадратных дюймов.
Упражнение \(\PageIndex{11}\):
Пляжный мяч имеет форму сферы с радиусом 9 дюймов. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Ответить на
3052,08 куб. в
Ответ б
1017,36 кв. дюйма
Упражнение \(\PageIndex{12}\):
Римская статуя изображает Атласа, держащего земной шар радиусом 1,5 фута. Найдите объем (а) и площадь поверхности (б) земного шара.
Ответить на
14,13 куб.
футов
Ответ б
28,26 кв. футов
Найдите объем и площадь поверхности цилиндра
Если вы когда-нибудь видели банку газировки, то знаете, как выглядит цилиндр. Цилиндр представляет собой объемную фигуру с двумя параллельными кругами одинакового размера вверху и внизу. Верх и низ цилиндра называются основаниями. Высота h цилиндра — это расстояние между двумя основаниями. Для всех цилиндров, с которыми мы будем здесь работать, стороны и высота h будут перпендикулярны основаниям.
Рисунок \(\PageIndex{5}\) — Цилиндр имеет два круглых основания одинакового размера. Высота — это расстояние между основаниями.
Прямоугольные тела и цилиндры в чем-то похожи, потому что они оба имеют два основания и высоту. Формула объема прямоугольного тела V = Bh также может быть использована для нахождения объема цилиндра.
Для прямоугольного твердого тела площадь основания B равна площади прямоугольного основания, длина × ширина. Для цилиндра площадь основания B равна площади его круглого основания \(\pi\)r 2 . На рисунке \(\PageIndex{6}\) сравнивается использование формулы V = Bh для прямоугольных тел и цилиндров.
Рисунок \(\PageIndex{6}\) — Наблюдение сходства цилиндра с прямоугольным телом может облегчить понимание формулы объема цилиндра.
Чтобы понять формулу площади поверхности цилиндра, представьте себе банку с овощами. У него три поверхности: верхняя, нижняя и часть, образующая стенки банки. Если вы аккуратно отрежете этикетку сбоку от банки и развернете ее, то увидите, что это прямоугольник. См. рисунок \(\PageIndex{7}\).
Рисунок \(\PageIndex{7}\) — Разрезав и развернув этикетку банки с овощами, мы видим, что поверхность цилиндра представляет собой прямоугольник. Длина прямоугольника — это окружность основания цилиндра, а ширина — высота цилиндра.
Расстояние вокруг края банки равно окружности основания цилиндра, а также длине L прямоугольной этикетки. Высота цилиндра равна ширине W прямоугольной этикетки. Таким образом, площадь этикетки можно представить как 9{2} + 2 \pi rh \tag{9.6.16}\]
Определение: объем и площадь поверхности цилиндра
Для цилиндра с радиусом r и высотой h:
Пример \(\PageIndex{ 7}\):
Цилиндр имеет высоту 5 сантиметров и радиус 3 сантиметра. Найдите объем (а) и площадь поверхности (б).
Решение
Шаг 1. Прочтите задачу. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
(a)
Шаг 2. Определите , что вы ищете.
объем цилиндра
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления. {2} \cdot 5 \end{split}$$
Шаг 5. Решить .
$$V \ приблизительно 141,3 \tag{9.6.17}$$
Шаг 6. Проверить .
Мы оставляем вам возможность проверить свои расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Объем примерно 141,3 кубических дюйма.
(б)
Шаг 2. 9{2} + 2(3,14)(3)5 \end{split}$$
Шаг 5. Решить .
$$S \ приблизительно 150,72 \tag{9.6.18}$$
Шаг 6. Проверить .
Мы оставляем вам возможность проверить свои расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Площадь поверхности составляет приблизительно 150,72 квадратных дюйма.
Упражнение \(\PageIndex{13}\):
Найдите объем (а) и площадь поверхности (б) цилиндра радиусом 4 см и высотой 7 см.
Ответить на
351,68 куб. см
Ответ б
276,32 кв. футов
Упражнение \(\PageIndex{14}\):
Найдите (a) объем и (b) площадь поверхности цилиндра с данным радиусом 2 фута и высотой 8 футов.
Ответ на
100,48 куб. футов
Ответ б
125,6 кв. футов
Пример \(\PageIndex{8}\):
Найдите (а) объем и (б) площадь поверхности банки газировки. Радиус основания 4 сантиметра, а высота 13 сантиметров. Предположим, что банка имеет форму цилиндра.
Решение
Шаг 1. Прочтите задачу. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
(a)
Шаг 2. Определите , что вы ищете.
объем цилиндра
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.
Мы оставляем вам возможность проверить свои расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Площадь поверхности составляет приблизительно 427,04 квадратных сантиметра.
Упражнение \(\PageIndex{15}\):
Найдите (a) объем и (b) площадь поверхности банки с краской радиусом 8 сантиметров и высотой 19 сантиметров. Предположим, что банка имеет форму цилиндра.
Ответить на
3818,24 куб. см
Ответ б
1 356,48 кв. см
Упражнение \(\PageIndex{16}\):
Найдите (a) объем и (b) площадь поверхности цилиндрического барабана радиусом 2,7 фута и высотой 4 фута. Предположим, что барабан имеет форму цилиндра.
Ответить на
91,5624 куб.
футов
Ответ б
113,6052 кв. футов
Найдите объем рожков
Первое, что возникает у многих из нас, когда мы слышим слово «рожок», — это рожок мороженого. Есть много других применений рожков (но большинство из них не такие вкусные, как рожки для мороженого). В этом разделе мы увидим, как найти объем конуса.
В геометрии конус представляет собой объемную фигуру с одним круглым основанием и вершиной. Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной. Конусы, которые мы рассмотрим в этом разделе, всегда будут иметь высоту, перпендикулярную основанию. См. рисунок \(\PageIndex{8}\).
Рисунок \(\PageIndex{8}\) — Высота конуса — это расстояние между его основанием и вершиной.
Ранее в этом разделе мы видели, что объем цилиндра равен V = \(\pi\)r 2 ч. Мы можем думать о конусе как о части цилиндра. Рисунок \(\PageIndex{9}\) показывает конус, помещенный внутрь цилиндра той же высоты и с тем же основанием. Если мы сравним объем конуса и цилиндра, то увидим, что объем конуса меньше объема цилиндра.
Рисунок \(\PageIndex{9}\) — Объем конуса меньше объема цилиндра с тем же основанием и высотой.
На самом деле объем конуса составляет ровно одну треть объема цилиндра с таким же основанием и высотой. Объем конуса
9{2}} h \tag{9.6.22}\]
В этой книге мы найдем только объем конуса, а не площадь его поверхности.
Определение: Объем конуса
Для конуса с радиусом r и высотой h .
Пример \(\PageIndex{9}\):
Найдите объем конуса высотой 6 дюймов и радиусом основания 2 дюйма.
Решение
Шаг 1. Прочтите задачу. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Определите , что вы ищете. {2 } (6) \end{split}$$
Шаг 5. Решить .
$$V \ приблизительно 25,12 \tag{9.6.23}$$
Шаг 6. Проверить .
Мы оставляем вам возможность проверить свои расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Объем примерно 25,12 кубических дюймов.
Упражнение \(\PageIndex{17}\):
Найдите объем конуса высотой 7 дюймов и радиусом 3 дюйма
Ответить
65,94 куб. в.
Упражнение \(\PageIndex{18}\):
Найдите объем конуса высотой 9 см и радиусом 5 см
Ответ
235,5 куб. см
Пример \(\PageIndex{10}\):
В любимом гастропабе Марти подают картофель фри в бумажной обертке в форме конуса. Каков объем конической обертки высотой 8 дюймов и диаметром 5 дюймов? Округлите ответ до сотых.
Решение
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте рисунок и подпишите его с помощью данной информации.
Шаг 2. Определите , что вы ищете.
объем конуса
Шаг 3. Имя . Выберите переменную для ее представления.
пусть V = объем
9{2} (8) \end{split}$$
Шаг 5. Решить .
$$V \ приблизительно 52,33 \tag{9.6.24}$$
Шаг 6. Проверить .
Мы оставляем вам возможность проверить свои расчеты.
Шаг 7. Ответьте на вопрос.
Объем упаковки составляет приблизительно 52,33 кубических дюйма.
Упражнение \(\PageIndex{19}\):
Сколько кубических дюймов конфет поместится в конической пиньяте длиной 18 дюймов и шириной основания 12 дюймов? Округлите ответ до сотых.
Ответить
678,24 куб. в.
Упражнение \(\PageIndex{20}\):
Каков объем конусообразной праздничной шляпы высотой 10 дюймов и шириной у основания 7 дюймов? Округлите ответ до сотых.
Ответить
128,2 куб. в.
Сводка геометрических формул
В следующих таблицах приведены все формулы, описанные в этой главе.
ДОСТУП К ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ ОНЛАЙН-РЕСУРСАМ
Объем конуса
Практика делает совершенным
Найдите объем и площадь поверхности прямоугольных тел
В следующих упражнениях найдите (a) объем и (b) площадь поверхности прямоугольное тело с заданными размерами.
длина 2 метра, ширина 1,5 метра, высота 3 метра
длина 5 футов, ширина 8 футов, высота 2,5 фута
длина 3,5 ярда, ширина 2,1 ярда, высота 2,4 ярда
длина 8,8 см, ширина 6,5 см, высота 4,2 см
В следующих упражнениях решите.
Автофургон Прямоугольный автофургон имеет длину 16 футов, ширину 8 футов и высоту 8 футов. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Подарочная коробка Прямоугольная подарочная коробка имеет длину 26 дюймов, ширину 16 дюймов и высоту 4 дюйма. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Коробка Прямоугольная коробка имеет длину 21,3 см, ширину 24,2 см и высоту 6,5 см. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Транспортный контейнер Прямоугольный транспортный контейнер имеет длину 22,8 фута, ширину 8,5 фута и высоту 8,2 фута. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
В следующих упражнениях найдите (а) объем и (б) площадь поверхности куба с заданной длиной стороны.
5 сантиметров
6 дюймов
10,4 фута
12,5 м
В следующих упражнениях решите.
Научный центр Длина каждой стороны куба в Научном центре Дискавери в Санта-Ане составляет 64 фута. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Музей Музей в форме куба со стороной 45 метров. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Основание статуи Основание статуи представляет собой куб со стороной 2,8 метра. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Коробка для салфеток Коробка для салфеток представляет собой куб со стороной 4,5 дюйма в длину. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Найдите объем и площадь поверхности сфер
В следующих упражнениях найдите (а) объем и (б) площадь поверхности сферы с заданным радиусом. Ответы округлить до сотых.
3 сантиметра
9 дюймов
7,5 футов
2,1 ярда
В следующих упражнениях решите. Ответы округлить до сотых.
Мяч для упражнений Мяч для упражнений имеет радиус 15 дюймов. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Полет на воздушном шаре Воздушный шар в Большом парке представляет собой большую оранжевую сферу радиусом 36 футов. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Мяч для гольфа Мяч для гольфа имеет радиус 4,5 сантиметра. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Бейсбольный мяч Бейсбольный мяч имеет радиус 2,9 дюйма. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Найдите объем и площадь поверхности цилиндра
В следующих упражнениях найдите (а) объем и (б) площадь поверхности цилиндра с заданными радиусом и высотой. Ответы округлить до сотых.
радиус 3 фута, высота 9 футов
радиус 5 сантиметров, высота 15 сантиметров
радиус 1,5 метра, высота 4,2 метра
радиус 1,3 ярда, высота 2,8 ярда
В следующих упражнениях решите. Ответы округлить до сотых.
Банка из-под кофе Банка из-под кофе имеет радиус 5 см и высоту 13 см. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Закусочная упаковка Закусочная упаковка печенья имеет форму цилиндра радиусом 4 см и высотой 3 см. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Стойка для парикмахерской Цилиндрическая стойка для парикмахерской имеет диаметр 6 дюймов и высоту 24 дюйма. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Архитектура Цилиндрическая колонна имеет диаметр 8 футов и высоту 28 футов. Найдите его объем (а) и площадь поверхности (б).
Найдите объем конусов
В следующих упражнениях найдите объем конуса с заданными размерами. Ответы округлить до сотых.
высота 9 футов и радиус 2 фута
высота 8 дюймов и радиус 6 дюймов
высота 12,4 см и радиус 5 см
высота 15,2 метра и радиус 4 метра
В следующих упражнениях решите. Ответы округлить до сотых.
Типи Каков объем конусообразной палатки вигвама высотой 10 футов и шириной у основания 10 футов?
Чашка для попкорна Каков объем конусообразной чашки для попкорна, имеющей высоту 8 дюймов и ширину у основания 6 дюймов?
Бункер Каков объем конусообразного бункера высотой 50 футов и шириной у основания 70 футов?
Песчаная куча Каков объем конусообразной кучи песка высотой 12 м и шириной у основания 30 м?
Повседневная математика
Столб уличного фонаря Столб уличного фонаря имеет форму усеченного конуса, как показано на рисунке ниже. Это большой конус минус меньший верхний конус. Большой конус имеет высоту 30 футов и радиус основания 1 фут. Меньший конус имеет высоту 10 футов и радиус основания 0,5 фута. С точностью до десятых: а) найти объем большого конуса. б) найти объем маленького конуса. в) найдите объем столба, вычитая объем малого конуса из объема большого конуса.
Вафельные рожки для мороженого Обычный рожок для мороженого имеет высоту 4 дюйма и диаметр 2,5 дюйма. Вафельный рожок имеет высоту 7 дюймов и диаметр 3,25 дюйма. С точностью до сотой: а) найдите объем обычного рожка мороженого. б) найдите объем вафельного рожка. в) насколько больше мороженого помещается в вафельный рожок по сравнению с обычным рожком?
Письменные упражнения
Формулы для объема цилиндра и конуса аналогичны. Объясните, как вы можете запомнить, какая формула подходит к какой фигуре.
Что имеет больший объем, куб со стороной 8 футов или сфера диаметром 8 футов? Объясните свои рассуждения.
Самопроверка
(a) После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в выполнении целей этого раздела.
(b) Изучив этот контрольный список, что вы сделаете, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?
Авторы и авторство
Наверх
Была ли эта статья полезной?
Тип изделия
Раздел или Страница
Автор
ОпенСтакс
Версия лицензии
4,0
Показать страницу TOC
нет
Теги
На этой странице нет тегов.
Расчет объема и поверхности в трехмерной геометрии
Ключевые термины
o Полиэдрон
O лицо
O Edge
O Prism
o Правый Prism
o Prism
o Правый Prism
O
O0036
Цели
o распознавать многогранники и призмы и иметь возможность анализировать простые примеры этих рисунков
o Знайте, как использовать формы для объема и площади поверхности для сферов и цилиндров
Сначала рассмотрим объем и площадь поверхности некоторых простых трехмерных фигур, затем перейдем к составным фигурам в трех измерениях.
Объем и площадь поверхности
Мы рассмотрим два основных типа геометрических тел: многогранники и сферы. Многогранник по сути является n -гранной сплошной фигурой — это трехмерный аналог многоугольника. Некоторые примеры многогранников показаны ниже.
Многогранники определяются своими гранями , которые являются областями многоугольника, ребрами, которые являются отрезками линий, очерчивающими грани, и поэтому они определяются таким же образом, как и вершины, и определяются таким же образом, как и вершины предназначены для полигонов. Особый тип многогранника — это призма , представляющая собой многогранник с одинаковыми (и параллельными) вершиной и низом. Если стороны призмы встречаются с верхом и низом под прямым углом, то она называется прямой призмой . Два многогранника в левой части приведенного выше ряда примеров являются призмами — мы можем увидеть это более точно, используя пунктирные линии, чтобы показать части, которые находятся вне поля зрения.
Опять же, обратите внимание, что верхняя и нижняя грани (основания) идентичны; кроме того, это на самом деле прямые призмы (при условии, что углы, образованные между сторонами и основаниями, прямые, как они выглядят на диаграммах). Очевидно, том V 91 296 прямой призмы — это просто площадь 91 295 A 91 296 основания, умноженная на высоту 91 295 h 91 296 сторон, как показано ниже для куба (шестигранной призмы).
Но что, если призма не правильная? Применяется та же формула. Давайте посмотрим, почему это так, снова используя шестигранную призму. Мы будем смотреть на эту фигуру «с торца» так, чтобы ее глубина была перпендикулярна поверхности страницы (другими словами, два основания не видны). Из определения призмы мы знаем, что противоположные отрезки (ребра) конгруэнтны.
Обратите внимание, что пунктирная линия также является высотой призмы.
Из следующих свойств прямоугольников мы знаем:
Таким образом, по условию SSS мы знаем, что два треугольника конгруэнтны. Обозначим фигуру следующим образом, отметив, что основание b 91 296 фигуры равно 91 295 b 91 296 91 369 1 91 370 + 91 295 b 91 296 91 369 2 91 370 .
Хотите узнать больше? Почему бы не пройти онлайн-курс по геометрии?
Теперь мы можем вычислить площадь этой грани фигуры.
Но площадь оснований не меняется между правым и неправильным вариантами призмы. Другими словами, глубина в этом случае и в случае правильной призмы (при одинаковой ориентации) одинакова. Соответственно и объем одинаковый. Хотя мы продемонстрировали этот факт только для шестигранных призм, то же самое относится ко всем призмам: объем равен площади основания, умноженной на высоту.
Практическая задача : Вычислите объем призмы, показанной ниже.
Решение : Многогранник на диаграмме идентифицирован как призма. На основании прямых углов в основании (и, следовательно, обоих оснований) мы можем идентифицировать основания как прямоугольники с длиной 4 единицы и шириной 9 единиц. Таким образом, площадь основания призмы равна 36 квадратных единиц. Высота призмы показана на схеме как 4 единицы. Таким образом, мы можем вычислить объем В призмы следующим образом.
V = BH = (36 единиц 2 ) (4 единицы) = 144 единицы 3
3
3
3
3
. рассмотреть их в любой большей глубины. Формулы есть в книгах и в интернете, правда, для некоторых многогранников.
Еще один параметр, который мы можем рассчитать, — это площадь поверхности фигуры. Независимо от многогранника, площадь поверхности — это просто сумма площадей всех граней фигуры. Например, в случае куба (шестигранной призмы) площадь поверхности просто в шесть раз больше площади любой грани (все грани имеют одинаковую площадь, поскольку все ребра конгруэнтны). (Или, если каждое ребро имеет длину s , площадь поверхности 6 s 2 .)
Задача : Вычислить площадь поверхности фигуры Направо.
Решение : Посмотрите еще раз на призменную диаграмму в первой практической задаче. Мы можем найти площадь поверхности, вычислив площадь каждой грани. Мы уже знаем, что каждое основание имеет площадь 36 квадратных единиц. Остаются четыре неизвестные стороны. Задача говорит нам, что фигура наклонена только вправо (показана на диаграмме ниже дугой) — таким образом, единственные непрямые углы находятся на передней и задней гранях. Эти две грани являются параллелограммами. Левая и правая грани — прямоугольники.
Площадь левой и правой граней равна произведению 4 и 5 единиц, или 20 квадратных единиц. Передняя и задняя грани представляют собой параллелограммы с основанием в 9 единиц и высотой в 4 единицы, поэтому каждая имеет площадь 36 квадратных единиц. Давайте теперь найдем общую площадь поверхности, S .
Сферы — это еще один тип трехмерных фигур, объем и площадь поверхности которых можно вычислить относительно легко. Сфера является трехмерным аналогом окружности и определяется точкой центра O и радиусом r . Сфера — это множество всех точек, находящихся на расстоянии r от O . Пример сферы показан ниже.
Как и в случае с кругами, сложно вывести формулы геометрически, но формулы хорошо известны. Том V и площадь поверхности S приведены ниже для сферы радиусом r .
Подобной фигурой является (круглый) цилиндр, который имеет два конгруэнтных круглых основания и трубчатое тело, как показано ниже. Цилиндр определяется радиусом 91 295 r 91 296 его оснований и высотой 91 295 h 91 296 .
Аналогично призме объем V цилиндра есть произведение площади его основания на высоту.
V = πr 2 h
Площадь поверхности немного сложнее, но ее можно рассчитать, просто расширив наши текущие знания. Мы знаем, что длина окружности основания равна 2 πr ; таким образом, если мы просто умножим эту формулу на ч , мы получим площадь поверхности «бочки» цилиндра. Теперь нам нужно только добавить площадь оснований, которая в два раза больше площади любого круглого основания. Общая площадь S тогда следующее.
S = 2 πrh + πr 2 + πr 2 = 2( πrh + πr 2 )
Практическая задача : Цилиндр высотой 16 футов и радиусом 5 футов закрыт с каждого конца полусферой (половиной сферы), как показано ниже. Какова площадь поверхности и объем фигуры?
Решение : Мы уже знаем, как рассчитать площадь поверхности стороны цилиндра: 2 πrh . Мы также должны рассчитать площадь поверхности двух полусферических крышек. Обратите внимание, что «основание» полушарий представляет собой поперечное сечение полной сферы. Поскольку это поперечное сечение имеет радиус 5 футов, оба полушария имеют одинаковый радиус. Площадь поверхности обоих полушарий вместе равна тогда просто площади поверхности полной сферы радиусом 5 футов. Площадь этой поверхности равна 4 πr 2 . Теперь мы можем вычислить площадь поверхности фигуры.
Чтобы рассчитать объем, просто найдите объем цилиндра плюс объем сферы радиусом 5 футов.
Составные фигуры в трех измерениях
Работа с составными фигурами в трех измерениях требует почти тех же принципов, что и для работы с составными фигурами в двух измерениях. Например, вычисление объема прямоугольного твердого тела со сферическим пустым пространством просто включает вычитание объема сферы из общего объема внутри прямоугольной области. Кроме того, наш подход к разделению сложных фигур на более простые и легкие в управлении фигуры применим и к трехмерным фигурам. Следующая практическая задача иллюстрирует подход к трехмерной фигуре.
Практическая задача : Прямоугольная призма содержит две одинаковые сферические полости радиусом 2 единицы, как показано ниже. Вычислите объем фигуры.
Первый прямоугольный объем в пределах м. , : Основание 32 квадратных единицы, а высота 4 единицы. Таким образом, объем составляет 128 кубических единиц. Каждая сфера имеет радиус 2 единицы; таким образом, каждый имеет следующий объем В .
Сетки, объем и площадь поверхности призм — Криста Кинг Математика
Определение сетей, объема и площади поверхности для различных призм
В этом уроке мы рассмотрим введение в трехмерные геометрические фигуры, в частности сети, объем и площадь поверхности призм.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Призма
Призма – это фигура, имеющая два конгруэнтных основания любой формы и стороны, составленные из прямоугольников. Вот несколько примеров призм:
Основания призмы — это пары конгруэнтных фигур, а высота — это длина, соединяющая два основания. В прямоугольной призме в качестве оснований можно использовать любые две пары конгруэнтных прямоугольников, соединенных высотой.
Сеть
Сеть многогранника представляет собой его двумерную сплющенную версию. Мы делаем сеть, разрезая многогранник вдоль одного или нескольких ребер, пока мы не сможем разложить все это на плоскости.
Когда у нас есть сеть многогранника, мы должны быть в состоянии реконструировать ее, складывая части сети, используя многоугольники в сети в качестве граней и используя каждый сегмент линии в сети как границу между некоторой парой грани многогранника. Вот треугольная призма (слева) и ее сетка (справа).
Площадь поверхности прямоугольной призмы
Вы также можете представить каждую сторону прямоугольной призмы как прямоугольник с определенной площадью, а площадь поверхности призмы равна сумме площадей всех шести сторон.
Площадь каждой стороны прямоугольной призмы указана в таблице:
Формула площади поверхности прямоугольной призмы равна
???A=2lw+2wh+2lh???
Площадь поверхности призмы
Чтобы найти площадь поверхности призмы, может быть полезно начертить сеть, найти площадь каждой фигуры в сети, а затем сложить площади. Чтобы найти площадь поверхности этой треугольной призмы, найдите площади трех прямоугольников и двух треугольников в ее сети и сложите все площади вместе.
Объем прямоугольной призмы
Объем прямоугольной призмы равен произведению длины на ширину и на высоту.
???V=lwh???
Объем призмы
Объем любой призмы равен произведению площади основания на высоту.
???V=\text{(площадь основания)(высота)}???
Объем этой треугольной призмы равен площади одного из треугольников, умноженной на длину стороны, соединяющей два треугольных основания.
Расчет площади поверхности призмы
Пройти курс
Хотите узнать больше о геометрии? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Учить больше
Заголовок
Пример
Какая сеть не принадлежит прямоугольной призме?
Сеть С представляет собой сеть треугольной пирамиды. Все остальные сети являются примерами призм, потому что у них два конгруэнтных основания, а остальные грани — прямоугольники.
Что такое параллелограмм: определение, свойства, признаки
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Геометрия Что такое параллелограмм: определение, свойства, признаки
В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – параллелограмма.
Определение параллелограмма
Свойства параллелограмма
Свойство 1
Свойство 2
Свойство 3
Свойство 4
Свойство 5
Свойство 6
Свойство 7
Свойство 8
Свойство 9
Свойство 10: тождество параллелограмма
Признаки параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
AB || CD, BC || AD
Обычно параллелограмм записывается путем перечисления четырех его вершин, например, ABCD. А пары параллельных сторон, чаще всего, обозначаются маленькими латинскими буквами, в нашем случае – a и b.
Частные случаи параллелограмма: квадрат, ромб и прямоугольник.
Свойства параллелограмма
Свойство 1
Противолежащие (или противоположные) стороны параллелограмма равны.
AB = CD
BC = AD
Свойство 2
Противолежащие углы параллелограмма равны.
∠ABC = ∠ADC
∠BAD = ∠BCD
Свойство 3
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равняется 180°.
Для рисунка выше: α + β = 180°.
Свойство 4
Любая из двух диагоналей параллелограмма делит его на два равных треугольника.
△ABC = △ADC
Свойство 5
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
AE = EC
BE = ED
Свойство 6
Точка пересечения диагоналей параллелограмма (также называется центром симметрии) одновременно является точкой пересечения его средних линий.
Средняя линия четырехугольника – это отрезок, который соединяет середины его противоположных сторон.
В данном случае средние лини – это отрезки FM и EN.
Свойство 7
Угол между двумя высотами в параллелограмме равен его острому углу.
BL – высота, проведенная к стороне CD
BK – высота, проеденная к стороне AD
∠KBL = ∠BAK
Свойство 8
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (т.е. расположены под углом 90° друг к другу).
AP – биссектриса ∠BAD
BR – биссектриса ∠ABC
AP перпендикулярна BR
Свойство 9
Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны.
Углы ABC и ADC противолежащие. Их биссектрисы параллельны, т.е. BR || DP.
Четырехугольник ABCD без самопересечений является параллелограммом, если для него справедливо одно из утверждений ниже:
Две противоположные стороны одновременно равны и параллельны.
Все противолежащие углы попарно равны.
Все противоположные стороны попарно равны.
Все противоположные стороны попарно параллельны.
Обе диагонали в точке пересечения делятся пополам.
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Задачи на параллелограмм 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей
Повторение определения, свойств и признака параллелограмма
Сегодня мы основное внимание уделим задачам на параллелограмм. Для этого нам необходимо владеть определением параллелограмма, его свойствами и признаками. Повторим эти факты, обобщим и структурируем их.
Определение. Параллелограмм – четырехугольник, у которого каждые две противоположные стороны параллельны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Параллелограмм
Основные свойства параллелограмма:
Теорема. Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны (см. Рис. 2), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 2. Первый признак параллелограмма
Рис. 3. Второй признак параллелограмма
Теорема. Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике каждые две противоположные стороны равны (см. Рис. 3), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Теорема. Третий признак параллелограмма.Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Рис. 4. Третий признак параллелограмма
Задачи на параллелограммы
Теперь рассмотрим решение задач с использованием определения, свойств и признаков параллелограмма.
Пример 1. В параллелограмме проведены биссектрисы и , которые пересекаются в точке . Найти .
Решение. Изобразим Рис. 5.
Рис. 5
Обозначим для удобства: . Следовательно, поскольку и биссектрисы.
По теореме о сумме внутренних углов треугольника .
Вспомним свойство параллелограмма о сумме углов, прилежащих к одной стороне: . Тогда:
.
Ответ. .
Пример 2. Прямая , проведенная через середину стороны параллельно стороне треугольника пересекает третью его сторону в середине. Доказать, что – это середина .
Доказательство. Изобразим Рис. 6 с дополнительными построениями: проведем .
Рис. 6
Рассмотрим четырехугольник :
параллелограмм по определению. Тогда по свойству равенства противоположных сторон , но по условию еще известно, что , следовательно, .
Рассмотрим треугольники и :
по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилежащим углам).
Из равенства указанных треугольников следует равенство их соответствующих сторон, т.е., например, что . Это означает, что точка является серединой стороны . Что и требовалось доказать.
Доказано.
3. Теорема Фалеса
Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Доказательство. Изобразим Рис. 7.
Рис. 7. Теорема Фалеса
Рассмотрим . В нем точка – середина стороны , а прямая . Из предыдущего примера следует, что точка делит сторону на две равные части, т.е. . Равенство двух отрезков, ближайших к вершине угла доказано. Аналогично доказывается попарное равенство всех остальных отрезков на второй стороне угла, если проводить прямые параллельные первой стороне угла через начало первого отрезка в любой рассматриваемой паре.
Доказано.
4. Пример задачи на применение теоремы Фалеса
Рассмотрим пример на доказанную теорему.
Пример 3. Дан отрезок , разделить его на три равные части.
Решение. Изобразим указанный отрезок на Рис. 8 и сделаем дополнительные построения: отложим три равных отрезка любой длины вдоль одной прямой, не совпадающей с указанным в условии отрезком.
Рис. 8. Применение теоремы Фалеса
Соединим прямой точки и , а затем проведем прямые, параллельные прямой , через точки и : . Полученные при пересечении отрезка точки и будут делить отрезок на три равных части по теореме Фалеса. Необходимое построение выполнено и задача решена.
Ответ: построено.
Методы, которые мы рассмотрели сегодня на примерах, демонстрирующих свойства и признаки параллелограмма, помогут нам в дальнейшем при работе с параллелограммами в более сложных случаях. А на следующем уроке мы познакомимся с таким видом четырехугольников, как трапеция, и обсудим ее свойства.
Список литературы
Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Narod.ru (Источник).
Фестиваль педагогических наук «Открытый урок» (Источник).
Домашнее задание
№ 50 (г, д, е, ж, з, и), 51 (б, в, г, ж), 52 (б, в, е, ж). Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
В параллелограмме см, см, биссектрисы углов и пересекают сторону в точках и . Найдите длину отрезка .
Угол между высотами параллелограмма, проведенными из вершины тупого угла, равен . Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.
∗ Через середину диагонали параллелограмма проведена прямая, которая пересекает стороны и в точках и соответственно. Докажите, что четырехугольник параллелограмм.
Как сформулировать и доказать утверждения о свойствах параллелограмма, теоремы о признаках данной фигуры
Параллелограммом называют четырёхугольник (фигура, что состоит из четырёх точек и отрезков, последовательно их соединяющих), у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его свойства впервые детально изучали греческие математики Евклид и Пифагор. Конец эпохи Средневековья принёс людям полную теорию об этой фигуре.
…
Оглавление:
История возникновения термина
Доказательство признаков фигуры
Теорема признаков паралелограмма
Теорема о диагоналях
История возникновения термина
О некоторых видах четырёхугольников, квадратов, прямоугольников, равносторонних и прямоугольных трапеций знали ещё давно. Первые найденные работы принадлежат египетским и вавилонским математикам.
Интересно знать: что такое выпуклый четырехугольник, его особенности и признаки.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают что его придумал Евклид (приблизительно 300 годов до нашей эры). Ещё известно, что эта фигура и её свойства были знакомы ученикам школы Пифагора, раньше их называли пифагорейцами.
В «Началах» Евклида приведена следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны, а диагонали разделяют его по половине. Но в данной книге не было написано о свойствах точки их сечения. Ещё этот учёный не упоминает о прямоугольнике и ромбе.
Это интересно: в геометрии луч — это что такое, основное понятие.
Полную теорию сделали только в конце Средневековья, а в книгах она появилась в семнадцатом столетии. Теоремы и свойства параллелограмма основывались на аксиомах Евклида.
«Диагональ» — это слово греческого происхождения, «диа» означало «через», а «гониос» — «угол». Это можно понять как отрезок, что соединяет вершины углов.
Нужно сказать, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, который соединяет противоположные вершины четырёхугольника или прямоугольника, использовал другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои мысли основывали на вписании круга в прямоугольник. В Средние века для названия приведённых отрезков использовали оба термина. Только в семнадцатом столетии «диагональ» стала общепринятой.
Это интересно: разность векторов, определение разности.
Доказательство признаков фигуры
На следующем рисунке изображён параллелограмм ABCD, где AB параллельно CD и AD параллельно BC:
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180 градусам — это первая подсказка о том, как сформулировать и доказать утверждения о признаках параллелограмма.
На этом рисунке углы A и B фигуры ABCD есть внутренними односторонними углами для параллельных прямых AD и BC . Поэтому углы A + B равны 180 градусам. Аналогично это свойство можно привести для любой другой пары соседних (если вершины есть концами одной и той же стороны) углов.
Нужно знать! Что такое горизонталь и горизонтальное положение.
Теорема признаков паралелограмма
Теорема признаков параллелограмма гласит, что это выпуклый четырёхугольник. Исходя из предыдущего правила, угол А намного меньше 180 градусов, как и B, C, D, поэтому его называют опухлым четырёхугольником. Диагонали этой фигуры могут пересекаться.
У параллелограмма противоположные стороны и углы равны.
Диагональ АС разбивает фигуру на два треугольника ABC и ADC. АС — общая сторона двоих треугольников и САD эквивалентен АСВ также с САВ и АСD. Тогда ∆АВС = ∆СDA, по стороне и двумя прилегающими углами. Это значит, что АВ=СD, BC=AD и B=D, как соответствующие элементы в различных треугольниках. В результате угол BAC + CAD равен ВСА + DCA и BAD = BCD.
Теорема о диагоналях
Периметр (сумма длин всех сторон четырёхугольника, которую обозначают буквой Р) параллелограмма эквивалентен 2 (АВ +ВС) или АВ + ВС + СD + DA.
Теорема о диагоналях параллелограмма гласит, что точкой пересечения они делятся ровно пополовине.
По условию задачи O — это точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма. AB эквивалентно BC, как противоположные, не имеющие своей общей вершины. CAD равен ACB также BDA и DBC, АD и BC секущими AC и B. D. Следуя дальше ∆АОD = ∆ COB, по стороне и двух прилегающих углах. Тогда, А = ОС, ВО = ОD, как соответствующие стороны разных треугольников.
Высотой называется перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны фигуры к прямой, что имеет противоположную сторону.
На этом рисунке MN — это высота. Следуя за известным определением, из каждой вершины можно провести две высоты (BF и BT, которые приведены в соответствии к сторонам AD и CD).
Свойства параллелограмма с доказательствами 8 класса :
Две стороны равны и параллельны.
Противоположные стороны попарно равны.
Диагонали пересекаются и этой точкой делятся ровно пополам.
Противоположные углы попарно равны.
Теперь нужно вернуться к первому рисунку, чтобы до конца понять все признаки параллелограмма и доказательства любых признаков.
В нём AD = BC и AD || BC. Провели диагональ AC и получили ∆CAD и ∆ACB. CAD эквивалентен ВСА, как внутренние разносторонние углы при пересечениях прямых AD и BC секущей AC, ещё она является их общей стороной. Условия задачи говорят: AD=BC. Значит, что, ∆CAD=∆ACB, ACD = CAB. Из-за того, что они были созданы в таких условиях AB || CD, по признаку параллельных прямых.
Что такое параллелограмм? [Определение, свойства, примеры доказательств]
Руководство по пониманию свойств параллелограмма, доказательств и примеров вычислений
Что такое параллелограмм?
Содержание
Что такое параллелограмм?
Свойства параллелограммов и теоремы
При ДАННОМ параллелограмме Теоремы для сторон, углов и диагоналей
При попытке ДОКАЗАТЬ параллелограмм Теоремы для сторон, углов и диагоналей
Примеры доказательств параллелограмма
Как доказать параллелограмм
Определение: Параллелограмм – это четырехугольник с четырьмя сторонами, противоположные стороны которого равны и параллельны.
Как выглядит параллелограмм? Конкретные типы параллелограммов включают прямоугольники и квадраты. Эти формы часто встречаются и используются в окружающем нас мире.
Давайте посмотрим, из чего состоит параллелограмм и как доказать это математически.
Свойства параллелограммов и теоремы
Когда ДАН параллелограмм Теоремы для сторон, углов и диагоналей
Как доказать, что четырехугольник является параллелограммом.
Если вам дано доказательство, включающее диаграмму и представленное как параллелограмм, можно использовать одно или несколько свойств:
Если четырехугольник является параллелограммом, противоположных сторон параллельны. Когда противоположные стороны параллельны, мы знаем, что противоположные стороны имеют одинаковый наклон.
Если четырехугольник является параллелограммом, то противоположных сторон равны. Это означает, что противоположные стороны равны по длине. Это означает, что расстояние между вершинами равно.
Если четырехугольник является параллелограммом, то противоположных углов равны. Это можно использовать, чтобы найти меру недостающего угла.
Если четырехугольник является параллелограммом, то последовательных углов являются дополнительными. Это означает, что углы в сумме составляют 180 градусов. Это можно использовать для нахождения недостающих углов
Если четырехугольник является параллелограммом, то диагоналей делят друг друга пополам. Это свойство можно использовать совместно с теоремой о средней точке. Он также используется для нахождения длин диагоналей. Более сложное доказательство может использовать это свойство, чтобы найти или доказать треугольники, образованные диагоналями параллелограмма. Используя другие теоремы, можно доказать конгруэнтность треугольников.
При попытке ДОКАЗАТЬ параллелограмм Теоремы для сторон, углов и диагоналей
Диагонали параллелограмма равны?
Если вы пытаетесь доказать, что фигура является параллелограммом, можно использовать любую из следующих теорем.
Если обе пары противоположных сторон четырехугольника параллельны, то четырехугольник является параллелограммом.
Если обе пары противолежащих сторон четырехугольника равны, то четырехугольник является параллелограммом.
Если обе пары противоположных углов четырехугольника равны, четырехугольник является параллелограммом.
Если последовательные углов четырехугольника являются дополнительными, четырехугольник является параллелограммом.
Если диагоналей четырехугольника делят друг друга пополам, то четырехугольник является параллелограммом.
Пытаясь доказать, что фигура является параллелограммом, начните с изучения полученной информации. Некоторая информация может быть в данном разделе, например, параллельные линии или конгруэнтные меры. Информация может быть скрыта в других формах. Если треугольники вписаны в четырехугольник, вам, возможно, придется взглянуть на эти свойства, например, у равнобедренных треугольников есть пара конгруэнтных сторон. Часто свойства параллельных прямых, пересекаемых секущей, необходимы для нахождения параллельных сторон.
Общая идея всех типов доказательств состоит в том, чтобы посмотреть, какая информация вам предоставляется, что вам нужно доказать и какой информации не хватает, чтобы получить ее.
Примеры доказательств параллелограмма
Как доказать параллелограмм
Из этого примера доказательства мы знаем, что диаграмма является параллелограммом. Это дает нам все теоремы, упомянутые ранее. Поскольку нам нужно доказать, что два треугольника конгруэнтны, нам нужно посмотреть, что нам нужно для этого, конгруэнтные стороны и углы. Вот теоремы и то, как они помогают нам найти доказательство.
Если четырехугольник является параллелограммом, то противоположных углов равны.
Если четырехугольник является параллелограммом, то противоположные сторон равны.
Теперь мы можем доказать конгруэнтность треугольников с помощью SAS. Обратите внимание, что есть и другие способы доказать, что углы равны, это один из примеров.
На этом примере доказательства нам нужно показать, что данный четырехугольник является параллелограммом. Для большинства доказательств не требуется доказывать, что это четырехугольник, поскольку он имеет четыре стороны.
Поскольку одно из данных показывает нам, что пара противоположных сторон параллельна, мы хотим начать с попытки доказать, что другая пара сторон параллельна. Вот теоремы и то, как они помогают нам найти доказательство.
Если две прямые пересекаются секущей и внутренние углы равны, то прямые параллельны. *Это должно быть известно из предыдущих знаний
Если обе пары противоположных сторон четырехугольника параллельны, то четырехугольник является параллелограммом.
Определение
в кембриджском словаре английского языка
Амбар в форме параллелограмма будет сделан из дерева и покрыт зеркальной пленкой по цене 5000 долларов.
От Huffington Post
Впоследствии они изготовили конструкцию, в которой центр масс системы был расположен соответствующим образом за счет добавления параллелограммных соединений.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Каждый параллелограмм предъявлялся в обоих направлениях движения в обоих типах апертур методом постоянных стимулов.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Существует параллелограмм механизм, ограничивающий вращение подвижной платформы.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Каждая подцепь содержит один пространственный параллелограмм четырех стержней, соединенных сферическими суставами.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Для этого исследования мы выбрали иллюзорный квадрат в сравнении с параллелограммом , прямой треугольник в сравнении с перевернутым треугольником и ромб в сравнении с параллелограммом.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Далее мы хотели бы поговорить о параллелограммах следующего вида.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Его внутреннюю часть можно замостить с помощью трансляций основных параллелограммов.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Даже в завершенном браке параллелограмм по-прежнему очевидны своенравные движения как вперед, так и назад; элементы продолжают появляться снова, требуя комбинации и выдачи.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Также было решено встроить шарнирные параллелограммы, передающие движение внутрь корпуса пальца, чтобы иметь компактную конструкцию.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Роль параллелограммов состоит в том, чтобы ограничивать ориентацию платформы параллельно рабочей поверхности.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Соединительное звено ck несет призматический скользящий шарнир, который освобождает параллелограмм от поперечных силовых составляющих.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Каждая из трех цепочек содержит по одному параллелограмму .
Из Кембриджского корпуса английского языка
Окончательное введение письменности, несомненно, оказало глубокое влияние на оба компонента языковых изменений 9.0175 параллелограмм сил.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Кроме того, с помощью параллелограмма можно улучшить угол наклона или способность вращения.
Из Кембриджского корпуса английского языка
Эти примеры взяты из корпусов и источников в Интернете. Любые мнения в примерах не отражают мнение редакторов Кембриджского словаря, издательства Кембриджского университета или его лицензиаров.
Параллелограмм – определение, типы и свойства
Параллелограмм – это четырехугольник, две стороны которого параллельны. Противоположные стороны и углы параллелограмма равны. Площадь параллелограмма зависит от его основания и высоты.
На приведенном выше рисунке вы можете видеть,
AB // CD, AD // BC
Кроме того, AB = CD и AD = BC
И, ∠A =∠C, ∠B =∠D
(изображение будет загружено в ближайшее время)
Свойства параллелограмма
Вот различные свойства параллелограмма
Противоположные стороны параллелограмма равны
Противоположные углы параллелограмма равны
2 3 3
Последовательные углы параллелограмма являются дополнительными
Диагонали параллелограмма всегда делят друг друга пополам
Каждая диагональ параллелограмма делит его пополам на два равных треугольника
Если какой-либо из углов параллелограмма прямой, то другие его углы также быть прямым углом.
Типы параллелограмма
Три различных типа параллелограмма:
Квадрат
Прямоугольник
Ромб
Трапеция
Трапеция представляет собой разновидность четырехугольника, две стороны которого параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные стороны трапеции называются катетами. Трапецию также называют трапецией. Иногда параллелограмм также рассматривается как трапеция, две стороны которой параллельны.
На приведенном выше рисунке стороны AB и CD параллельны друг другу, тогда как стороны BC и AD не параллельны. h — это расстояние между двумя параллельными сторонами, которые представляют собой высоту трапеции.
(изображение скоро будет загружено)
Свойства трапеции —
Вот различные свойства трапеции
Одна пара противоположных сторон параллельна в трапеции другое
Стороны трапеции, которые не параллельны, не равны, за исключением равнобедренной трапеции
Сумма внутренних сторон трапеции равна 360 градусам, т. е. +∠D = 360°
Сумма двух смежных углов равна 180°. Отсюда следует, что два смежных угла являются дополнительными.
Катеты или непараллельные стороны равнобедренной трапеции конгруэнтны.
Типы трапеций —
Трапеции бывают трех различных типов, а именно:
Равнобедренная трапеция. Ноги или непараллельные стороны равнобедренной трапеции равны по длине.
Разносторонняя трапеция — Все стороны и углы разносторонней трапеции имеют разную величину.
Прямая трапеция. Прямая трапеция состоит как минимум из двух прямых углов.
Воздушный змей Определение —
Воздушный змей — это четырехугольник с двумя парами смежных и равных (равной длины) сторон. Это означает, что воздушный змей
Многоугольник
Замкнутая форма
Плоская фигура
(изображение будет загружено в ближайшее время) 3 3
Вот некоторые важные свойства воздушного змея:
Воздушный змей симметричен с точки зрения углов.
Две диагонали воздушного змея пересекаются пополам под углом 90 градусов.
Главная диагональ воздушного змея делит другую диагональ пополам.
Меньшая диагональ воздушного змея делит его на два равнобедренных треугольника.
Углы воздушного змея равны, тогда как неравные стороны воздушного змея встречаются.
Воздушный змей можно рассматривать как пару конгруэнтных треугольников с общим основанием.
Решенные примеры —
Найдите периметр змея, чьи боковые стороны составляют 21 см и 15см
Решение:
Указано
A = 21CM
5757575. 9027. 902.
757575757575. 9027. a+b)]
Периметр воздушного змея 2(21+15)
Периметр воздушного змея = 72 см
Найдите площадь параллелограмма, основание которого равно 5 см, а высота 7 см.
Решение – Дано, основание = 5 см, высота = 7 см
Площадь = основание * высота
Площадь = 5 * 7
Площадь = 35 кв. см.
Найдите периметр трапеции, стороны которой равны 6 см, 7 см, 8 см и 9 см
Решение: Периметр трапеции = сумма всех ее сторон 30 см
Значит, периметр трапеции равен 30 см
Время викторины —
1. Какой из следующих четырехугольников является правильным четырехугольником?
Rectangle
Square
Rhombus
None of these
2. In an isosceles parallelogram, we have
Pair of parallel sides equal
Пара непараллельных сторон равна
Пара непараллельных сторон перпендикулярна
Ничего из этого.
3. What do we call parallel sides of the trapezium
Пригласительная работа — декабрь 2021: условия, ответы
6 класс
Диагностика математической грамотности — март 2022 (демоверсия, спецификация) Пригласительная работа — декабрь 2021: начинающий уровень (условия, ответы), продолжающий уровень (условия, ответы) Вступительная работа — 28 августа 2021 (резервный день): условия, критерии и ответы Вступительная работа — 20 мая 2021 (условия, критерии и ответы) Диагностика математической грамотности — апрель 2021 (условия) Пригласительная работа — 16 декабря 2020 (начинающий и углублённый уровни: задания и решения) Вступительная работа — 14 мая (условия, ответы и комментарии) Тренировочная работа — 18-20 апреля, 28 апреля (условия, ответы и комментарии) Пригласительная работа — декабрь 2019 Вступительная работа — август 2019 (резервный день): варианты 5 и 6 + ответы и критерии + бланк + дополнительный бланк Вступительная работа — май 2019 (резервный день) Вступительная работа — апрель 2019 + решения и критерии + бланки + инструкция Пригласительная работа — декабрь 2018 Вступительная работа — август 2018 (резервный день, «Интеллектуал») Вступительная работа — май 2018 (резервный день, «Интеллектуал»): вариант 3, вариант 4 Вступительная работа — апрель 2018 (версия с решениями) Вступительная работа — апрель 2018: вариант 1, вариант 2 Проект вступительной работы — весна 2018 Спецификация вступительной работы — весна 2018 Пригласительная работа — декабрь 2017: математика, опросник, логика
7 класс
Диагностическая работа по геометрии — январь 2022 (условия, решения, критерии) Диагностическая работа по алгебре и статистике — декабрь 2021 (условия с ответами, комментарии по проверке, видеоразбор) Итоговая диагностика за 7 класс (резервный день) — сентябрь 2021 (условия, решения, ответы и критерии) Итоговая работа по трем предметам — май 2021 (условия, критерии, ответы, ответы и решения подарочных задач) Диагностическая работа по статистике — март 2021 (условия и решения) Диагностическая работа по алгебре — март 2021 (условия, решения) Диагностическая работа по геометрии — февраль 2021 (условия, решения) Итоговая работа по алгебре (диагностика в начале 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Итоговая работа по статистике (диагностика в начале 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Итоговая работа по геометрии (диагностика в начале 8 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и комментарии) Вступительная работа — август 2020 (условия, ответы и комментарии) Тренировочные работы — май 2020: по геометрии, алгебре и статистике Диагностическая работа по геометрии — март 2020: варианты 1-2 Диагностическая работа по алгебре и статистике — январь 2020: варианты 1–4, критерии, ответы Диагностическая работа по геометрии — ноябрь 2019: варианты, критерии Итоговая работа — август 2019 (резервный день): варианты 5 и 6 + ответы + бланк + дополнительный бланк Итоговая работа — май 2019: вариант 1, вариант 2, ответы и критерии, бланк, дополнительный бланк, инструкции, резервный день: варианты 3 и 4, ответы и критерии Демоверсия итоговой работы по алгебре Диагностическая работа по алгебре — январь 2019 + анализ Диагностическая работа по геометрии — ноябрь 2018 + анализ Демоверсия диагностической и итоговой работы по геометрии
8 класс
Диагностическая работа по алгебре и теории вероятностей — март 2022 (условия) Диагностикая работа по геометрии — январь 2022 (условия, решения, критерии) Итоговая диагностика за 8 класс (резервный день) — сентябрь 2021 (условия, решения, ответы и критерии) Итоговая диагностика за 7 класс (резервный день) — сентябрь 2021 (условия, решения, ответы и критерии) Итоговая работа по трем предметам — май 2021 (условия, критерии, ответы) Диагностическая работа по статистике — март 2021 (условия и решения) Диагностическая работа по алгебре — март 2021 (условия, решения) Диагностическая работа по геометрии — февраль 2021 (условия, критерии и решения) Итоговая работа по алгебре (диагностика в начале 9 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Диагностика по алгебре в начале года (итоговая работа по курсу 7 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Итоговая работа по статистике (диагностика в начале 9 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Диагностика по статистике в начале года (итоговая работа по курсу 7 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Итоговая работа по геометрии (диагностика в начале 9 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и критерии) Диагностика по геометрии в начале года (итоговая работа по курсу 7 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и комментарии) Вступительная работа — август 2020 (условия, ответы и комментарии) Тренировочные работы — май 2020: по геометрии, алгебре и статистике Диагностическая работа по геометрии — март 2020: вариант 1, вариант 2 Диагностическая работа по алгебре и статистике — февраль 2020: варианты, критерии, ответы Диагностическая работа по геометрии — ноябрь 2019: варианты, критерии
9 класс
Итоговая диагностика по статистике (резервный день) — апрель 2022 (условия и решения) Итоговая диагностика по геометрии — апрель 2022 (условия, критерии, решения) Итоговая диагностика по алгебре — март 2022 (условия, подарочные задачи, решения, ответы, критерии) Итоговая диагностика за 8 класс (резервный день) — сентябрь 2021 (условия, решения, ответы и критерии) Итоговая диагностика по статистике (резервный день) — апрель 2021 (условия) Итоговая диагностика по геометрии — апрель 2021 (условия, решения и критерии, разбор) Итоговая диагностика по теории вероятности и статистике — апрель 2021 (условия, ответы, решения и критерии) Диагностика по алгебре — март 2021 (условия, решения, решение задачи 9. 3) Диагностика по алгебре в начале года (итоговая работа по курсу 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Диагностика по статистике в начале года (итоговая работа по курсу 8 класса) — октябрь 2020 (условия и решения) Диагностика по геометрии в начале года (итоговая работа по курсу 8 класса) — сентябрь 2020 (условия, ответы и критерии) Вступительная работа — август 2020 (условия, ответы и комментарии)
10 класс
Итоговая диагностика по геометрии — май 2022 (условия и решения) Итогвоая диагностика по алгебре и статистике — май 2022 (условия и решения) Диагностика по геометрии — декабрь 2021 (условия, решения и ответы, видеоразбор) Диагностика по алгебре — декабрь 2021 (условия, критерии, решения и ответы) Диагностика по статистике — декабрь 2021 (условия с ответами, комментарии по проверке)
Урок-обобщение по теме «Угол». Геометрия, 6-й класс
Миронова Наталья Владимировна
org/BreadcrumbList»> Разделы: Математика
Класс: 6
Пояснительная записка
Я работаю по экспериментальной программе
«Геометрия для младших школьников» (вводный курс
геометрии) в течение четырех лет, автором данного
курса является В.А. Панчищина. Эта программа
основана на активной деятельности детей,
направленной на зарождение, накопление,
осмысление и некоторую систематизацию
геометрической информации.
Тема «Углы» рассматривается во втором полугодии
5 класса и продолжаем знакомство с углами на
втором году обучения, а это 6 класс. В главе
«Начальные понятия геометрии» рассматриваются
углы их виды, построение и обозначение угла на
плоскости, сравнение углов с помощью модели,
нахождение градусной меры углов, построение угла
с помощью транспортира, свойства углов, решение
задач: на нахождение градусных мер углов,
изображенных на рисунке; определение величин
углов с помощью основных свойств градусных мер.
Каждый учитель решает для себя сам, как найти
оптимальный подход к обучению геометрии, при
этом постараться по максимуму развить
творческие способности, поддержать интерес
детей к предмету. Современное обучение
направлено на признание индивидуальности
ученика. Поэтому для меня главная задача урока –
это создать психологический комфорт умственной
деятельности. На уроке нужно дать возможность
каждому ученику высказать свое мнение, не
торопить, не перебивать; тон общения должен быть
доброжелательным.
Урок-обобщение по теме угол.
Геометрия 6 класс.
Цели:
Проверить уровень знаний учащихся и их
геометрические навыки по данной теме.
Развивать умение рассуждать и доказывать.
Развивать геометрическую интуицию, газомер.
Воспитывать познавательный интерес к предмету
и аккуратность.
Задача: Подготовить учащихся к
восприятию систематического курса геометрии 7-го
класса.
1) Проводим игру «Угадай-ка»: Дети выбирают
ведущего, по считалке, он загадывает слово и
говорит его соседу на ухо. Дети, задавая
наводящие вопросы, отгадывают его. Пример:
Ведущий загадал «тупой угол».
Дети. Градусная мера этого угла больше
0о но меньше 90о? Ведущий. Нет. Дети. Его стороны являются
дополнительными лучами? Ведущий. Нет. Дети. Его градусная мера больше 90о
но меньше 180о? Ведущий.Да. Дети.Это тупой угол.
По ходу игры на доске под рисунками подписываем
градусную меру углов и их названия.
(Можно провести это этап урока, используя мяч.
Тогда вопросы лучше задавать самому учителю,
кидая мяч ребенку который должен на него
ответить. В этом случае вопросы подбираются
таким образом, что на него нужно отвечать
однозначно. Пример: «Как называются углы, если у
них одна сторона общая, а другие стороны этих
углов являются дополнительными лучами?»).
2) Задания по рядам.
1 ряд. Начертить угол, который образуют стрелки
часов, когда часы показывают 4 часа.
2 ряд. Начертить угол, который образуют стрелки
часов, когда часы показывают 6 часов.
3 ряд. Начертить угол, который образуют стрелки
часов, когда часы показывают 2 часа.
3) Вспоминаем свойства смежных, вертикальных
углов и соответственных углов.
Работаем по рисунку 1 на доске:
1) Как называются углы АОВ и СОД?
2) Чему равна градусная мера угла ДОС?
3) Как называются углы АОВ и ВОД? Почему?
4) Чему равна градусная мера угла ВОД? Почему?
Работаем по рисунку 2 на доске:
1) Как называются углы 1 и 2?
2) Какое свойство этих углов вы знаете?
ІІ этап. Решение задач
Для решения задач лучше использовать рисунки
на листах ватмана, можно использовать задачи
которые придумали и нарисовали дети на
предыдущих уроках.
Пример: Определить величину угла АОВ.
ІІІ этап. Самостоятельная работа по
вариантам
І вариант
1. Найти все остальные углы:
угол 1, угол 2, угол 3.
2. Построить угол, градусная мера которого
0о< < 90о.
Как он называется?
ІІ вариант
1. Найти все остальные углы:
угол 1, угол 2, угол 3.
2. Построить угол, градусная мера которого
90о< < 180о.
Как он называется?
После выполнения работы дети обмениваются
листочками с соседом по парте и проверяют друг
друга. Карандашом ставят оценки и сдают их
учителю.
ІV этап. Детям предлагается
просмотреть презентацию (Приложение)
с помощью медиапроектора на тему «Углы».
Во время просмотра еще раз повторяются все виды
углов, проговариваются их свойства и
предлагается детям решить еще несколько задач на
нахождение градусных мер углов.
Выставляются оценки за решение задач у доски и за
самостоятельную работу. У ребят учитель
спрашивает, что им понравилось на уроке.
V этап. Домашнее задание
Придумать сказку « О стране углов».
Двадцать задачек (по безумной, восхитительной геометрии) / Хабр
Предупреждение врача. Остерегайтесь этих головоломок. Побочные эффекты могут включать потерянное послеобеденное время, скомканные волосы и восклицания «А-а-а-х, вот как это делается» настолько громкие, что могут треснуть оконные стёкла.
Несколько месяцев назад я наткнулся в твиттере на математические головоломки Катрионы Ширер. Они сразу меня увлекли: каждая головоломка такая осязаемая, ручной работы, словно просит её решить. И на каждую вы можете легко потратить час времени, а то и больше.
Катриона разрешила мне подвесить вас на эти задачки — и поделилась 20 своими любимыми головоломками. Она даже удовлетворила моё любопытство и восхищение, дав интервью (см. в конце статьи).
Наслаждайтесь. И не говорите, что врач не предупреждал.
1. Сад часов
Какая часть каждого круга закрашена? (12 точек на равном расстоянии; единственная точка внутри круга — его центр)
«К сожалению, из эти шести моя любимая — единственная, которую я не придумала сама, — говорит Катриона, — это тёмно-синяя».
2. Опрокинутый квадрат
(Как по мне, это классика).
3. Это ловушка
В прямоугольной трапеции зелёная область на 6 больше, чем жёлтая. Чему равен x?
«Это „вторая версия” данной головоломки: она лучше, чем первая, которую я придумала».
4. Три квадратных тарелки
Длины сторон трёх квадратов — последовательные целые числа. Какова общая площадь?
«Эта мне очень нравится: на её основе я нарисовала много красивых узоров».
5. Красивая стрижка
Площадь левого нижнего квадрата 5. Какова площадь синего треугольника?
«Наверное, моя любимая за всё время. Выглядит просто невозможным! Здесь метод решения называется «стрижка», shearing (к сожалению, не в мою честь)».
6. Все люди рождены равными
«Ещё одна переделка, которую я предпочитаю оригиналу».
7. Полукруг турдакен
«Головоломки с углами гораздо труднее составлять. Ученики сказали, что это довольно простая задачка, но мои родители испытали большие трудности. Кажется, эта головоломка требует больше „знаний”, но сам процесс решения проще».
8. Степенные хорды
Какова площадь круга?
«В школе я не изучала теорему о пересекающихся хордах, поэтому люблю везде её использовать!»
9.
Сказка о двух кругах
У этих правильных многоугольников одинаковый периметр. Найдите отношение площадей вписанных окружностей.
«Это следствие другой головоломки, но она мне нравится больше, чем оригинал!»
10. Doc Oct
У закрашенной области такое же значение, как у периметра правильного восьмиугольника. Каково значение?
«Думаю, это довольно чистая задачка, хотя выглядит как массовое разграбление головоломок Эда Сауталла».
11. Всё в квадрате
«Мне нравится то, что хотя вы здесь можете найти все стороны оранжевого треугольника (и я это сделала, когда решала), но на самом деле это не нужно — достаточно площади и гипотенузы».
12. Шип в улье
Два из правильных шестиугольников идентичны; у третьего площадь 10. Какова площадь красного треугольника?
«Довольно неплохо: мне нравится, что не нужно иметь дело с любой длиной стороны, которые почти наверняка ужасны».
13. Я видел равнобедренных
Все четыре треугольника равнобедренные.Найдите угол.
«Думаю, что формулировка этой задачки идеальна. Многие пропускают важную информацию и приходят к выводу, что есть бесконечное число решений!»
14. Зеленый против синего
На картинке больше зелёного цвета или синего (и на сколько)?
«Ещё одна из моих любимых».
15. Резцы по камню
Четыре равносторонних треугольника расположены вокруг квадрата с площадью 12. Какова закрашенная площадь?
«Тут самое лучшее — действительно хорошие решения по рассечению площади».
16. Едем, едем, уехалиугольник
Шесть одинаковых квадратов и меньший прямоугольник вписаны в этот правильный шестиугольник. Какую часть шестиугольника они занимают?
«Здесь ответ не такой красивый, но очень удивил меня. Думаю, из-за своей сложности эта задачка не получила такого распространения в твиттере, как другие!»
17. Только один факт
Какова площадь этого квадрата?
«Это одна из моих любимых, потому что сначала кажется, что информации недостаточно».
18. Стиральная машина
Какая часть большого квадрата закрашена?
«Здесь мне нравится сумбур квадратов, как они грохочут вокруг словно в стиралке. И ответ тоже удивительно красивый».
19. Летающие флаги
У квадратов одного цвета одинаковый размер. Какова площадь всех закрашенных областей?
«Это довольно просто, как только вы поймёте — но я поняла не сразу, поэтому простота ответа меня удивила».
20. Тигрогон
Какая часть фигуры закрашена? Шестиугольник правильный, с равномерно расположенными точками по периметру.
«Эту я редко публиковала. Но картинка напоминает мне Тигра Тони [с пачек быстрого завтрака Kellogg — прим. пер.]».
Закат над Квадратным городом
У левого квадрата площадь 4. Какова площадь правого квадрата?
«Мне нравится эта задачка, она напоминает закат над городом скверов.”
Если вы дочитали до этого места — возможно, через 6 месяцев после начала чтения — и ваш стол окружен скомканными бумагами и пустыми китайскими контейнерами для продуктов питания, то вам будет приятно почитать небольшое интервью с Катрионой.
Как вы пришли к разработке своих головоломок?
Я поехала в отпуск в Шотландское высокогорье, но забыла взять пальто, поэтому пришлось сидеть в домике в одиночестве, пока друзья гуляли на природе! Ничего не оставалось, кроме как машинально чертить линии на бумажке.
Не ожидала, что это превратится в хобби, но это немного затягивает, особенно когда люди присылают в ответ свои решения, которые мне нравятся. Почти всегда можно красиво сократить головоломку, что я пропустила.
Как проходит творческий процесс?
Всё начинается с рисования бессмысленных фигурок. В итоге получается целая страница перекрывающихся квадратов под разными углами или правильных (типа) пятиугольников с разными закрашенными частями, а потом я смотрю, есть ли там какая- то хорошая математика — отношения между длинами или площадями или углами.
Многие из ваших задачек нарисованы маркером на бумаге. Почему такой лоутек?
Я пробовала использовать Desmos и Geogebra, но не очень понравилось. По-моему, быстрее нарисовать вписанный круг вручную, после небольшого количества проб и ошибок, чем красиво строить его в геометрии программного обеспечения.
Кроме того, при использовании фломастера вы можете выдумывать вещи, потому что линии настолько толстые. Это хороший компромисс между тем, чтобы выглядеть «правильно», но также знать, что вы не можете просто вытащить линейку и измерить фигуру.
Одна из приятных вещей в геометрии — что она многое прощает. Я могу показать вам безнадёжный квадрат или круг, но этого достаточно, чтобы передать концепцию, потому что они так хорошо определены.
Некоторые из ваших головоломок дают самый минимум информации. Как вы находите эту границу, где диаграмма как раз определена?
Иногда этот минимум на самом деле подсказка, потому что он отправляет вас по одной дороге. Я предпочитаю давать чуть больше необходимого, поэтому есть несколько обманных маршрутов. Это также даёт большее разнообразие решений!
Было дело, я опубликовала пару невозможных головоломок: к счастью, кто-нибудь обычно указывает на это довольно быстро!
Я также публиковала задачки с массивным количеством излишней информации, потому что не видела хорошего решения, чтобы использовать только половину информации.
Советы для потенциальных создателей головоломок?
Отлично, тут мой синдром самозванца полностью проявится. Я определённо ещё новичок — я занимаюсь этим только с августа [статья опубликована в октябре 2018 года — прим. пер.]! С другой стороны, мне нравится создавать головоломки и читать решения даже больше, чем решать их самой.
Основной целью головоломки должно быть развлечение — вот что отличает её от стандартной математической задачи. Таким образом, вам нужно по крайней мере два из трёх:
Красивая постановка задачи. Предоставьте минимум информации, чтобы читателю стало интересно, как вообще можно решить такую задачу. Или несколько дразнящих кусочков информации, каждый из которых якобы предлагает способ решения. Правильные многоугольники и круги — фантастические штуки, потому что скрывают огромное количество информации.
Красивый метод. Трюк или кратчайший путь, или внезапное озарение, которое всё упрощает. Это может быть не самый очевидный метод. Я видела много задачек, которые решаются с помощью алгебры или иррациональных чисел, или ужасных выражений с pi, а в конце всё внезапно сокращается — и я понимаю, что есть более простой способ.
Красивый ответ. Мало удовольствия работать над головоломкой, чтобы в конце получить некрасивый ответ.
В принципе, начните рисовать — найдите головоломку, которую вам понравилось решать, и подумайте, как можно её расширить или изменить некоторые элементы. Если вдруг попадутся соотношения, которые вас удивляют, то с высокой вероятностью они удивят и других. Twitter — отличная платформа, так как люди могут публиковать в ответ собственные картинки.
Математика 6 класс | Геометрия
Учащиеся изучают измерения геометрических фигур в двух и трех измерениях, находят площадь, площадь поверхности и объем в математических и реальных задачах.
Раздел 7
6-й класс
Fishtank Plus для математики
Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.
Подробнее
Оценка
Следующие оценки сопровождают Раздел 7.
Предварительная часть
Предложите учащимся пройти Предварительную оценку и Предварительную самооценку учащихся перед началом занятия. Используйте Руководство по анализу предварительной оценки, чтобы определить пробелы в фундаментальном понимании и наметить план ускорения обучения на протяжении всего модуля.
Промежуточный этап
Предложите учащимся пройти промежуточный этап оценки.
Post-Unit
Используйте приведенные ниже ресурсы для оценки усвоения учащимися содержания модуля и плана действий для будущих модулей.
Постмодальная оценка
Ключ к ответам после модульной оценки
Руководство по анализу послемодульной оценки
92F25A3F-8529-4314-9899-6EE68694E3D0
Самооценка студентов после окончания обучения
Расширенный пакет оценивания
Используйте данные учащихся для управления планированием с помощью расширенного набора модульных оценок, помогающих оценить способности учащихся с базовыми навыками и понятиями, а также их прогресс в изучении содержания модуля.
Скачать образец
Подготовка блока
Интеллектуальная подготовка
Рекомендации по подготовке к изучению этого модуля
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950
Запуск модуля
Подготовьтесь к преподаванию этого модуля, погрузившись в стандарты, большие идеи и связи с предыдущим и будущим содержанием. Запуск модулей включает в себя серию коротких видеороликов, целевую литературу и возможности для планирования действий.
Обновление до Плюс
Интернализация стандартов с помощью итоговой оценки
Пройти итоговую оценку. Аннотировать для:
Стандарты, которым соответствует каждый вопрос
Стратегии и представления, используемые на ежедневных уроках
Связь с основными понятиями модуля
Уроки, на которые Оценка указывает
Интернализация траектории отряда
Прочтите и аннотируйте сводку отряда.
Обратите внимание на продвижение понятий по блоку, используя карту урока.
Выполнить все целевые задачи. Аннотируйте целевые задачи для:
Основные понятия
Связь с вопросами послемодульной оценки
Определите ключевые возможности для вовлечения учащихся в академический дискурс. Прочтите наш Инструмент для учителя на
Академический дискурс и ссылайтесь на него на протяжении всего модуля.
Интеллектуальная подготовка для конкретного подразделения
Прочтите прогресс для общепринятых базовых государственных стандартов по математике, геометрии, K-6 для стандартов, относящихся к этому разделу.
Основные понятия
Основные математические понятия, которые учащиеся поймут в этом модуле
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950
Площадь любого треугольника равна половине площади прямоугольника с тем же основанием и высотой: $${ A={1\over2}чч}$$.
Площадь многоугольников можно найти, разложив многоугольник на знакомые формы или построив вокруг многоугольника и вычитая лишнюю площадь.
Объем призмы с дробными длинами сторон равен количеству кубов в дробных единицах, необходимых для заполнения призмы, умноженному на объем одного куба в дробных единицах. Объем любой прямоугольной призмы можно найти, перемножив длину, ширину и высоту.
Трехмерная фигура может быть представлена двумерной сетью; Сети являются ценным инструментом для понимания и определения площади поверхности трехмерных фигур.
Запас слов
Terms and notation that students learn or use in the unit
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950
acute triangle
area
base
composition
decomposition
edge
face
height
сеть
тупоугольный треугольник
параллелограмм
многоугольник
многогранник
призма
пирамида
прямоугольный треугольник
площадь поверхности
трапеция
единица куб
вершина
объем
Чтобы увидеть весь словарный запас для модуля 7, просмотрите наш глоссарий лексики для 6-го класса.
Материалы
Материалы, иллюстрации и инструменты, которые потребуются преподавателям и учащимся для работы с данным разделом
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950
Дополнительно : Калькуляторы (1 на учащегося)
Дополнительно : Миллиметровая бумага (2-3 листа на учащегося)
Опционально : каталожные карточки (1 на учащегося)
Дополнительно : геоборды (1 на учащегося)
Шаблон: сети (1 на учащегося)
Трехмерные тела (Набор для учителя) — Мы предлагаем приобрести набор складных сеток для учителя для этого урока, чтобы моделировать ученикам.
Чтобы ознакомиться со всеми материалами, необходимыми для этого курса, ознакомьтесь с нашим Обзором материалов курса для 6-го класса.
Карта урока
Тема A: Площадь треугольников, четырехугольников и многоугольников
Найдите площадь параллелограмма.
6.Г.А.1
Найти площади прямоугольных треугольников.
6.Г.А.1
Найдите площадь остроугольного треугольника, используя высоту и основание.
6.Г.А.1
Найдите площадь любого треугольника, используя высоту и основание.
6.Г.А.1
Найдите площадь многоугольника, используя композицию и декомпозицию.
6.Г.А.1
Решайте реальные и математические задачи, связанные с площадью многоугольников.
6.Г.А.1
Тема B: Многоугольники в координатной плоскости
Нарисуйте многоугольники в координатной плоскости и найдите площадь и периметр (Часть 1).
6.Г.А.3
Нарисуйте многоугольники в координатной плоскости и найдите площадь и периметр (Часть 2).
6.Г.А.3
Решайте реальные задачи, связанные с расстоянием, площадью и периметром многоугольников на координатной плоскости и за ее пределами.
6.Г.А.1
6.Г.А.3
Тема C: Объем прямоугольных призм
Найдите объем прямоугольных призм с целой и дробной длинами ребер, используя кубы единиц и дробей.
6.Г.А.2
Определите формулы для нахождения объема прямоугольных призм и используйте формулы для нахождения объема.
6.Г.А.2
Применяйте концепции объема для решения реальных и математических задач, включая поиск недостающих измерений.
6.Г.А.2
Применяйте концепции объема для решения реальных и математических задач, включая определение объема фигур с помощью составных призм.
6.Г.А.2
Тема D: Сети и площадь поверхности
Опишите особенности и определите сети, соответствующие призмам и пирамидам.
6.Г.А.4
Создавайте сети и используйте их для определения площади поверхности трехмерных фигур.
6.Г.А.4
Найдите площадь поверхности трехмерных фигур с сетками и без них.
6.Г.А.4
Найдите площадь поверхности и объем в реальных задачах.
6.Г.А.2
6.Г.А.4
Общие базовые стандарты
Ключ
Основной кластер
Вспомогательный кластер
Дополнительный кластер
Основные стандарты
Стандарты содержания, рассматриваемые в этом модуле
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950
Геометрия
6. Г.А.1 — Найдите площадь прямоугольных треугольников, других треугольников, специальных четырехугольников и многоугольников, составив их на прямоугольники или разложив на треугольники и другие фигуры; применять эти методы в контексте решения реальных и математических задач.
6.Г.А.2 — Найдите объем прямоугольной призмы с дробными длинами ребер, упаковав ее единичными кубами соответствующих единичных дробных длин ребер, и покажите, что объем такой же, как если бы он был найден путем умножения длин ребер призмы. Примените формулы V = l w h и V = b h, чтобы найти объемы прямоугольных призм с дробными длинами ребер в контексте решения реальных и математических задач.
6.Г.А.3 — рисовать многоугольники в координатной плоскости с заданными координатами вершин; используйте координаты, чтобы найти длину стороны, соединяющей точки с той же первой координатой или той же второй координатой. Применяйте эти методы в контексте решения реальных и математических задач.
6.Г.А.4 — Представляйте трехмерные фигуры с помощью сетей, состоящих из прямоугольников и треугольников, и используйте сети, чтобы найти площадь поверхности этих фигур. Применяйте эти методы в контексте решения реальных и математических задач.
Основополагающие стандарты
Стандарты, описанные в предыдущих модулях или классах, которые являются важной основой для текущего модуля
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950
Выражения и уравнения
6.EE.A.1
6.EE.B.7
Измерения и данные
3.MD.C.7
3.MD.C.7.D
4. МД.А.3
5.MD.C.5
5.MD.C.5.B
5.MD.C.5.C
Числа и операции — дроби
5.NF.B.4
5.NF.B.6
Система счисления
6.НС.А.1
6.Н.С.6
Будущие стандарты
Стандарты будущих классов или разделов, которые связаны с содержанием данного раздела
A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950
Геометрия
7.Г.А.1
7.Г.А.2
7. Г.А.3
7.RUS4
7.RUS5
7.RUS6
8.G.C.9
Стандарты математической практики
CCSS.MATH.PRACTICE.MP1
— Разбираться в проблемах и настойчиво решать их.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP2
— Рассуждайте абстрактно и количественно.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP3
— Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP4
— Модель с математикой.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP5
— Стратегически используйте соответствующие инструменты.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP6
— Следите за точностью.
CCSS.MATH.PRACTICE.MP7
— Ищите и используйте структуру.
CCSS. MATH.PRACTICE.MP8
— Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.
значок/стрелка/вправо/крупная копия
Раздел 6
Уравнения и неравенства
значок/стрелка/вправо/большой
Раздел 8
Статистика
10 идей для подготовки к экзаменам по математике в 6-м классе
Сегодня в нашем мире обучения математике мы приходится сдавать кучу анализов в течение года. Иногда наши ученики устают от одних и тех же старых способов практики и повторения. Сегодня я хотел бы поделиться с вами некоторыми идеями по подготовке к тестам и обзору тех тестов, которые соответствуют всем стандартам уровня 6-го класса. Я считаю, что студенты действительно должны быть вовлечены, когда они повторяют, иначе они не запомнят и не унесут это с собой. Кроме того, мне нравится, когда подготовка к экзаменам является совместной работой студентов. Таким образом, многие из приведенных ниже заданий не просто повторяют математику, они также побуждают учащихся работать вместе и получать удовольствие.
Конечно, вам нужно найти то, что лучше всего работает с вашими учениками. Кроме того, вы должны выяснить, сколько времени у вас есть на просмотр. Я начинаю понемногу просматривать каждый день за несколько месяцев до нашего эталонного и государственного тестирования. Я не думаю, что разумно ожидать, что у студентов может быть пара дней повторения, и они вспомнят все за весь год.
Кроме того, для повторения это означает, что ученики действительно поняли его с первого раза. В противном случае вам придется переучиваться, а не просто пересматривать. Давайте рассмотрим некоторые идеи и действия, которые помогут упростить рецензирование перед большим тестом.
10 Идеи для математического тестирования 6 -го класса Prep
Ежедневный мониторинг прогресса
Обзор навыков
Циклический обзор MAZES
Отражение и отслеживание прогресса
Обзорные игры
7
87
8 7000487
8 7000 Скорее.
Компьютерные игры
Развитие мышления
Иллюстративная математика
Анализ ошибок
Давайте рассмотрим каждую из этих идей и копнем глубже. Некоторыми из них вы можете заниматься круглый год, а некоторые из них работают лучше всего, когда приближается испытание. Вам не нужно пытаться реализовать их все, но здесь есть много самородков, которые помогут учащимся-математикам стать лучше.
Ежедневный мониторинг успеваемости
Иногда учащимся требуется небольшой импульс. Вот почему я люблю в течение двух недель анализировать 12 конкретных тем. Каждый день студенты проходят тест из 12 вопросов, а затем мы просматриваем ответы. Студенты отслеживают, какие задачи они решают правильно, а какие нет. Каждый день одни и те же концепции проверяются в одном и том же порядке. Это дает учащимся возможность увидеть свои сильные и слабые стороны. Кроме того, глядя на диаграммы успеваемости учащихся, учителю легко увидеть тенденции среди учащихся. Это помогает определить, где классу нужны общие указатели и напоминания.
Учебные листы учащихся позволяют учащимся и учителям быстро определить, какие навыки требуют дополнительного внимания.
Для 6-го класса мы рассмотрим следующие темы:
График неравенства
Эквивалентные соотношения
PERCENT
Скорость
GCF
Dividing FRUCCATION
GCF
Дивизионные фракции
GCF
Dividing FRUCCATION
GCF
Dividing Fructies
GCF
GCF
GCF
объем прямоугольных призм
режим и диапазон
упрощение выражений
Вы заметите, что большинство этих тем являются строительными блоками для больших понятий математики 6-го класса. Моя любимая часть включения этого типа практики — наблюдать за тем, как студенты улучшают свои навыки в течение 2-недельного периода.
Действия по обзору навыков
Мне нравится сочетать описанный выше ежедневный обзор с действиями, укрепляющими отдельные понятия. Итак, каждый день мы выполняем задание, соответствующее одной из 12 тем из приведенного выше списка. Мы завершаем бумажную цепочку для деления дробей и сопоставляем и вставляем действия для среднего и диапазона. Есть одношаговая квест-комната с уравнениями и игра с QR-кодами для поиска объема. Занятия заставляют студентов говорить и играть, пока они готовятся к тесту. Это гораздо более увлекательно, чем давать им лист за листом.
Лабиринты с циклическим обзором
Если вы уже читали какие-либо из моих сообщений в блоге, то знаете, как я люблю использовать лабиринты на своих занятиях. Почти каждый учебный год в течение всего года начинается с лабиринта в моем классе. Лабиринты дают учащимся возможность попрактиковаться в безопасном режиме и могут стать отличным способом повторения перед тестом. Я обнаружил, что могу даже переработать некоторые из лабиринтов, которые использовал ранее в этом году, для подготовки к тестам. Лабиринты отлично подходят и в качестве домашнего задания.
Некоторые из моих любимых лабиринтов 6-го класса — это распределительное свойство, объединение одинаковых членов, решение одношаговых уравнений, умножение дробей, деление дробей и единица измерения. У меня есть три лабиринта для каждой из этих тем, так что мы используем их в течение нескольких недель домашних заданий или дополнительной практики.
Хотите, чтобы вам ежемесячно доставляли БЕСПЛАТНЫЙ математический лабиринт для средней школы? Присоединяйтесь к эксклюзивному клубу «Лабиринт месяца» и получите БЕСПЛАТНЫЕ лабиринты, которые вы больше нигде не найдете! Сразу после регистрации вы получите бесплатный лабиринт с целыми числами, а затем сможете похвастаться перед всеми своими друзьями и семьей, что вы являетесь частью самого крутого клуба учителей математики в средней школе!
Анализ и отслеживание прогресса
Иногда ученики изучают так много нового, но мы забываем привлекать их к отслеживанию собственного обучения. У нас есть диаграммы и электронные таблицы с числами и баллами, но ученики не понимают своего собственного прогресса. Я обнаружил, что когда я включаю студентов в процесс отслеживания данных, они больше верят в свои успехи на тесте.
Вы можете найти различные способы отслеживания успеваемости учащихся. Один из способов — просто выделить немного времени для студентов, чтобы они могли подумать о своем обучении и своих данных. Научите их, как читать данные и размышлять о своих усилиях и понимании.
Одна из тактик, которую мы недавно начали, заключается в том, чтобы учащиеся отмечали, насколько они уверены в себе, когда отвечают на вопрос теста или задания. Затем они могут подумать о том, была ли их уверенность обоснована или нет. Когда они записывают свою уверенность, это помогает им по-настоящему задуматься о том, что они делают во время теста, а после него это приводит к интересным разговорам.
Кроме того, короткие индивидуальные конференции со студентами для обсуждения того, что означают их данные, помогают им лучше понять, как у них дела. Обычно студенты не знают, что означают данные, и это дает им важную возможность сформулировать их для них. Когда я сообщаю учащимся их баллы за контрольный тест, они смотрят на меня и спрашивают: «Это хорошо?» Я стараюсь найти хорошее в их счете, даже если он не проходной. Может быть, они улучшились с прошлого раза или, может быть, они были близки к тому, чтобы перейти на следующий уровень. Используйте это время, чтобы дать учащимся уверенность в том, что они могут стать лучше.
Обзорные игры для всего класса
Иногда хочется, чтобы все практиковали одно и то же одновременно. Обзорные игры для всего класса дают вам возможность увидеть, в чем заключаются неправильные представления, и помочь учащимся разрешить их. Мы используем различные игры всего класса для проверки тестов, включая тест в конце года. Некоторые из моих любимых игр для всего класса — это бинго, нокаут, кахут, игра в мишени и 20 вопросов.
Персонализация карточек задач
В моем классе мы используем карточки с заданиями в течение всего года. У меня есть карточки с заданиями практически по каждой теме, которую я преподаю. В конце года, когда мы проводим обзор, я просматриваю карточки с заданиями, которые у меня есть, и беру карточки из разных наборов, чтобы составить индивидуальный набор карточек для повторения. Один из наборов, который я сделал несколько лет назад, я использую каждый год со своими восьмиклассниками.
Например, вы можете взять 4 карточки или одну распечатанную страницу из каждого набора карточек с заданиями. Вы можете выбрать две страницы из тем, которые требуют более глубокой практики. Затем просто скопируйте их все вместе и вуаля! вы сделали обзорный набор карточек с заданиями. Для математики 6-го класса этот набор может включать в себя объем, уравнения, неравенства и десятичные операции. После того, как вы напечатали нужную страницу, вы можете разрезать их на карточки и смешать их. Затем вы можете использовать одно из множества заданий для карточек с заданиями и развлечься.
Компьютерные игры
Вы можете найти множество игр, в которые студенты могут играть, чтобы получить индивидуальную практику с различными концепциями. Некоторые из моих общих сайтов — это Manga High, Prodigy и XP Math. Для практики в 6-м классе вот список некоторых игр, которые отлично подойдут вашим ученикам:
Сравнение чисел с самым глубоким океаном
Цветочная сила для упорядочивания десятичных дробей, дробей и процентов
Sigma Prime для простой факторизации
XP Список игр по математике для 6-го класса
Помните, что игры вовлекают детей, и они отлично работают в качестве продуктивного задания для тех, кто быстро заканчивает или выполняет домашнюю работу. Еще больше обзорных игр и идей для занятий, включая дополнительные технологические инструменты, можно найти в этом посте «18 математических обзорных игр».
Занятия по установке на рост
Когда дело доходит до тестирования, знакомство с установкой на рост может помочь учащимся приблизиться к своему потенциалу. Если вы не знакомы с установкой на рост, посмотрите это видео от MashUp Math здесь.
Я провожу много времени, работая с детьми над тем, чтобы они не пытались, даже если они не знают точно, что делать. Многие студенты не хотят пытаться выглядеть глупо, если сразу не получат сложную задачу. Вот тут-то и начинается явное обучение навыкам мышления роста.
Иллюстративная математика
Если вы ищете более глубокие проблемы для своих учеников, то я бы предложил Иллюстративную математику. У них есть множество задач на выбор, и они соответствуют определенным стандартам. Эти рабочие задания требуют, чтобы учащиеся применяли математическое понимание к новой ситуации. Они намного сложнее, чем традиционные вопросы с несколькими вариантами ответов.
Совет для профессионалов: помните, что когда вы впервые зададите учащимся такие вопросы, они будут с ними бороться. Как и во всем остальном, вы должны научить их навыкам не сдаваться легко и искать аспекты проблем, которые они действительно понимают, прежде чем приступать к решению.
Вот несколько моих любимых задач для 6-го класса из иллюстративной математики:
Мешок шариков
Бегемоты любят тыквы
Поездка на бревне
Анализ ошибок
Анализ ошибок помогает учащимся увидеть потенциальные ловушки в теме, и они не должны быть теми, кто делает ошибки. Я и моя команда часто используем этот метод с нашими студентами. Мы используем его для тестовых исправлений и для звонка. Мой любимый способ попрактиковаться в анализе ошибок — взять настоящую студенческую работу (конечно, без названий) и показать «хороший» и «плохой» примеры. Затем учащиеся используют рубрику, чтобы оценить, где математик ошибся или что он сделал правильно. Даже «правильные» ответы могут иметь плохой процесс, поэтому это помогает учащимся сосредоточиться на процессе, а не только на правильном/неправильном ответе.
Время года, когда мы используем его больше всего, это подготовка к экзаменам. Многие из наших студентов просто не знают некоторых стратегий сдачи тестов, необходимых им для достижения успеха.
Попробуйте одну вещь…
Что ж, я уверен, что вы уже применяете некоторые из этих стратегий в своем классе. Тем не менее, когда вы видите их всех вместе, это может стать немного ошеломляющим. Не пытайтесь делать все сразу. Просто берите небольшие цели и реализуйте их.
Я бы порекомендовал начать с добавления в класс совместных занятий, когда учащиеся готовятся к тесту. Кроме того, не забывайте разбрасывать стратегии и подготовку к тестам в течение года.
Хотите захватить эти ресурсы? Ознакомьтесь с ежедневным математическим обзором и заданиями по математическому обзору в готовом к работе наборе с низким уровнем подготовки ЗДЕСЬ.
6 -й класс по математике для классной комнаты
Skip к основному контенту
Кнопка профиля
Поиск сайта вход
Подпись в
Индивидуальная школа
Поиск сайта
(65) Результаты нашли 9003
.
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
Решение проблем: угадай и проверь
Научите студентов тому же методу, который используют математики! (Серьезно.)
«Угадай и чек»-это решение проблем…
Тема:
Математика
Добавить в фавориты
Создание новой папки
Отмена
Управление моими фаворитами
Игры и приложения
Math Entioctive Active 6-10)
Ученикам понравятся эти игры и занятия, основанные на дробях, алгебре, арифметике, геометрии и многом другом. Все…
субъекты:
Математика
Вероятность и статистика
Добавить в фавориты
Создание новой папки
Отмена
Управление моими фаворитами
Мероприятия
Флэш-карты
Ваши студенты будут наслаждаться этой интерактивной математической картой. ! Это предоставлено FunBrain, вашим источником для развлечения и…
Предметы:
Математика
Дивизия
Сложение
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным
ЗАДАНИЯ
Математическая игра «Умножение»
Scoots — это способ для студентов практиковать математические навыки на ходу! Карточки с вопросами разложены по комнате и на…
Предметы:
Умножение
Математика
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным
0002 РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ
Словесные задачи с использованием графиков: принятие решений на основе данных
Используя данные и три вида графиков (гистограммы, круговые и пиктограммы), учащиеся должны ответить на вопросы, относящиеся к…
Предметы:
Математика
Задачи Word
Графики и диаграммы
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
Мини-проект: ставка и цена за единицу (Rati Percentos)0003
Этот мини-проект для 5-7 классов по математике включает задания и упражнения, предназначенные для того, чтобы помочь учащимся понять единицы…
Предметы:
Математика
Отношения и пропорции
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
1 Отмена
43 Управление
43 Избранное
ЗАНЯТИЯ
Доска выбора мероприятий, посвященных Дню Пи
Отмечаемый 14 марта (3. 14), День числа Пи — волнующий день для любителей математики во всем мире. Эта доска выбора…
субъекты:
Математика
Геометрия
Языковое искусство и написание
Добавить в фавориты
Создание новой папки
Отмена
Управление моими фаворитами
Планы уроков
STANED SNAL-CATCERS 9003
. изучение геометрических фигур и цветов путем изготовления ловцов солнца из папиросной бумаги.
Предметы
Математика
Геометрия
Изобразительное искусство
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отменить
Управление моим избранным
ПЛАНЫ УРОКОВ
Теория чисел
В этой игре учащиеся будут применять различные математические концепции и навыки для решения задач3 900…
Предметы
Математика
Числа и чувство чисел
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным
РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ
Самооценка учащегося 2
Используйте этот оценочный лист со своими учащимися, чтобы помочь им описать выполненное задание и то, что они узнали. …
Предметы:
Математика
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ
Отмена
Управление моим избранным
ИГРЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
Funbrain to Go: Math Baseball
Попробуйте новую улучшенную загружаемую игру Math Baseball. Это самая популярная математическая игра из когда-либо придуманных и…
Субъекты:
Бейсбол
Sports
Физическое воспитание и фитнеса
Добавить в фавориты
Создание новой папки
Отмена
Управление моими избранными
. и интерпретируя данные диаграммы, учащиеся будут решать текстовые задачи, практикуя свои математические навыки. Это…
Предметы:
Словесные задачи
Математика
Графики и диаграммы
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным
РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ
Деятельность: Исследование групп крови с помощью
03 Учащиеся будут читать отрывок и использовать информацию…
Предметы:
Система кровообращения
Графики и диаграммы
Клеточная биология
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным
ЗАДАНИЯ
Головоломка Moxy’s Magic Square
Сложная математическая головоломка.
субъекты:
Математика
Добавить в фавориты
Создать новую папку
Отмена
Управление моими фаворитами
Редакторские коллекции
Baseball Math Printable Книга (4-8)
Browse A Printable Resourd Route Route Route Resource Ascipbe As The Pronater. наполнен реалистичными действиями, связанными с бейсболом, включая счет…
субъекты:
Физическое воспитание и фитнеса
Бейсбол
Health and Seange
Добавить в фавориты
Создание новой папки
Отмена
Управление моими фаворитами
Мероприятия
Что из названий?
Учащиеся придумывают новые названия цветов в коробке из 24 мелков. Они узнают, как сконструировать коробку с…
Предметы:
Математика
Изобретения
Социальные науки и история
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отменить
Управление моим избранным
РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ
Домашняя деятельность: Соотношение, Пропорции продуктовых единиц, и Процентные расчеты 9004 подача блюд, которые нравятся вашим ученикам.
Предметы:
Математика
Отношение и пропорция
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отменить
Управление моим избранным
ЗАНЯТИЯ
Испанские карточки: Числа (Los números)
Повторите испанские слова для чисел 1-12 с помощью этих распечатываемых карточек.
субъекты:
Иностранные языки
Языковое искусство и написание
Испанский язык
Добавить в фавориты
Создание новой папки
Отмена
Управление моими фаворитами
Рабочие листы
0002 Деятельность: Нелетающие птицы
Пингвины, эму и страусы являются примерами нелетающих птиц. Используйте данные в этой науке для печати, чтобы сделать два бар…
Субъекты:
Birds
Животные (Зоология)
Графики и диаграммы
Добавить в фавориты
Создайте новую папку
Cancel
Управление моими фаворитами
292929002. ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ
График популярности мэра Уоллопа
Потренируйтесь в графических навыках с помощью этого графика популярности.
Субъекты:
Графики и диаграммы
Вероятность и статистика
Математика
Добавить в фавориты
Создание новой папки
Отмена
Управление моими фаворитами
Игры и приложения
заправо
Ученики будут использовать логику и геометрию, чтобы решить эти математические головоломки.
Предметы:
Математика
Геометрия
Добавить в избранное
СОЗДАТЬ НОВУЮ ПАПКУ
Отмена
Управление моим избранным
РАБОЧИЕ ТАБЛИЦЫ
Общественный проект шестого класса: покупка продуктов
Попросите учащихся выполнить этот математический проект в продуктовых магазинах своего района.
Площадь круга (S):
Он сложен, поскольку верх неощутимо перетекает в левое и правое, а левое и правое – в низ. 
Отсюда следует, что если однажды цепочка не замкнулась, то она не замкнется при любом выборе третьей окружности. Художнику, рисовавшему изображенную цепочку, пришлось бы немало потрудиться, чтобы она получилась, или обратиться к математику для расчета расположения двух первых окружностей, при котором цепочка замыкается.
Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D10, D11, D12 и D13 называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.
В то время значение числа пи не было точным. В 300 г. до н.э. Евклид в своей книге изложил свойства кругов. Наконец, в 1880 году нашей эры немецкий математик Линдеманн решил проблему со значением числа пи и доказал, что число пи является трансцендентным (не корнем какого-либо многочлена с рациональными коэффициентами).
Линия 2 ( l 2 ) является касательной окружности.
Таким образом, мы можем определить круг (без определенного местоположения), указав расстояние от центра; в качестве альтернативы мы можем определить круг (с определенным местоположением), указав расстояние от центра и его местоположение. Расстояние от центра точек, лежащих на окружности, называется радиус (множественное число радиусы ) круга. Окружность с радиусом r и центральной точкой C показана ниже.
Дуга — это часть окружности, противоположная углу α (или , на который опирается ) и между конечными точками радиусов. Сектор — это область, ограниченная дугой и радиусами. Дуга A на приведенной ниже схеме показана жирной линией, а сектор S показан заштрихованной областью.
секанс E и касательная T показаны на диаграмме ниже жирными линиями.
Начнем с длины окружности и площади круга. окружность круга — это просто длина границы (то есть периметра) круга. Мы просто сформулируем формулу для длины окружности C через радиус ( r ) или диаметр ( d ):
Обычно это не так, конечно.
, где mc — медиана к стороне c; a, b, c — стороны треугольника,
, где ma,mb,mc медианы к соответствующим сторонам треугольника, a,b,c — стороны треугольника.
площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).
рис.290). Так как точки А, С и B
имеют координаты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
Существует еще функция,
обратная тангенсу — котангенс, и он равен отношению косинуса угла a
к синусу ctg = .
к. ctga = , то при a = 0 °, a = 180 °
котангенс угла a
не определен
Найдите sin А. (Слайд 4)
Также: $\sin, \cos, \sec, \csc$. В других странах и в 19го века, вы найдете другие.
Если эта опция отмечена, выборочная обработка меток включена.
возможный.
Случаи, когда симметрия не сбрасывается, это когда,
например, самолет
г=0
является плоскостью симметрии, а карта TG указывает вращение вокруг
ось Z для симметричного выбора элементов. В этом случае
симметрия сохраняется.
Важно отметить
что второе вращение вокруг оси Y представляет глобальную
Ось Y. Это также эквивалентно вращению
ах
вокруг оси X, затем вращая
αy
вокруг нового
ты
ось и, наконец, вращение
аз
вокруг нового
г»
ось.
Последний в литературе может ещё называться правильным.
Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.
3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.
Отрезок можно найти, зная площадь и сторону h = 2 * S / a или радиус описанной окружности: h = (b * c) / 2 * R.
Согласно же второй, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sin©.
Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.
Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:
Формулы биссектрисы:
Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.
п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:
..
Площадь прямоугольника через две смежные стороны:
..
Некоторые формулы используются очень часто, а некоторые используются специально для определенных типов вопросов. Учащийся должен не только помнить эти формулы, но и знать, где их применять.
Его площадь равна 80. Какова точная длина его третьей стороны? [CAT 2001] 
Мы намеренно стараемся избегать использования этой формулы, если у нас не остается других вариантов.
е. \(AD = \left( {\ frac {3} {2} + \ frac {4 {2}} \right) = 12 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Там
После объявления об изменении шаблона,
Бензиновый насос Sai,
Вот еще несколько примеров.
□_\квадрат□
(\text{Площадь}) = \frac{1}{2} ч.(Площадь)=21кан.
□\begin{выровнено}
(\text{Площадь}) &= \frac{1}{2} ab\sin C \\
10 &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \sin C\\
\frac{20}{30} &= \sin C\\
\sin C&=\frac{2}{3}. \ _\площадь
\end{выровнено}(Площадь)103020sinC=21absinC=21⋅6⋅5sinC=sinC=32. □
92=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c),16A2=(a+b+c)(-a+b+c)(a- б+в)(а+б-в),
4+2192-495616}=420z.25−z4+2192z2−495616=420z.
\frac 12 \det \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} .21det∣∣∣∣∣ ∣x1x2x3y1y2y3111∣∣∣∣∣∣.
\фрак{529}{40}.40529. □_\квадрат□
У трапеции есть как минимум пара параллельных сторон. В Великобритании он также известен как трапеция.
Значит, площадь равна 12⋅10⋅11⋅1=55. □ \frac 12 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 1 = 55. \ _\square21⋅10⋅11⋅1=55. □
\begin{array}{c}&CE=AE, &DB=2AD, &CF=3BF. \end{array}CE=AE,DB=2AD,CF=3BF.
\end{align}A====41(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)412(a2b2+b2c2 +c2a2)−(a4+b4+c4)41(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)414a2b2−(a2+b2−c2)2.
Oder starten Sie eine neuesuche, um noch mehr Stock-Photografie und Bilder zu entdecken. пирамидальные структуры — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bildermathematikstunde Probleme Auf Greenboard — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bildergeometriestunde nahtlose muster — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboletrigonometry mathematik class gekritzel — формулы геометрии треугольника stock -grafiken, -clipart, -cartoons und -symboletop view maths студенческие заметки — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bilderzeichnung bleistift skizzen wissenschaftlicher konzepte — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolemathematik уравнения nahtlose — формулы геометрии треугольника Stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleleere buch mit mathematischen symbolen — формулы геометрии треугольника — формулы геометрии треугольника fiken, -clipart, -cartoons und -symbolesustainable city math — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и бильдертеорема Пифагора — формулы геометрии треугольника стоковые графики, -клипарт, -мультфильмы и -символооптическая иллюзия — формулы геометрии треугольника стоковые изображения, -клипарт, -cartoons und -symbolelehrerin frau unterrichte aus der ferne von zu hause mathe-klasse — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и изображения зрелого учителя-мужчины перед доской — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и рисунки kiddo erklärt, mathematik sachen — геометрия треугольника формулы стоковой графики, клипарта, мультфильмов и символов науки и технологии, набор иконок в стиле плоского дизайна.
wissenschaftliche symbole und formeln und workelemente sammlung vektor illustration set, weißer hintergrund. — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleganz einfache gleichung der circle — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole «Дизайн трибуны спикера», 1919. Верхний вид заметок по физике — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильдерматы Ученические заметки — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильярдные заметки по математике сверху — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильдернахтлосе математика хинтегрунд — формулы геометрии треугольника стоковые графики, -clipart, -cartoons und -symboleinfografik icons 1 — monoline serie — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolevon punkt zu punkt-muster — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleclose план розового георгина, вена, австрия — формулы геометрии треугольника konzept der mathematik, chemie symbole sammlung für schule, universität und ausbildung.
плоская линия векторных символов для информационных, веб- и мобильных приложений festgelegt. — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleabstrakte big data visualisierung digitaler netzwerkverbindungskonzepthintergrund — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolepythorean теорема — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -мультфильмы и -symbolebildung mit computer — формулы геометрии треугольника стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символическая иллюстрация, математика и геометрия: перспектива — формулы геометрии треугольника фондовая графика, -клипарт, -мультфильмы и -symbowissenschaft und bildung antikes papier — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolemetall sierpinski dreieck fraktal — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons и -symbolepythorean теорема — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolelehrer zeichnet während des unterrichts ein dreieck — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bilderwiss enchaft & technologie themen flash design stil icon-set.
Треугольники называются боковыми гранями пирамиды.
Таким образом, тетраэдр является частным случаем пирамиды, у которой в основании лежит треугольник.
Отметим, что космический зонд НАСА, Mars Pathfinder, который совершил посадку на поверхность Марса 4 июля 1997 года, также имел форму тетраэдра.
Это продолжение в одну сторону. Если Т разделяет линию пополам — получается два луча. Лучевые линии совпадают, когда расположены на одной прямой, начинаются в точке или направляются в одну сторону.
Прямоугольник с равными, одинаковыми сторонами называется квадратом.
Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.
Это касается плоских, объемных фигур — одни изучает стереометрия, другие планиметрия.
Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.
Они должны располагаться на одной или нескольких плоскостях и одновременно ограничиваться конкретным числом оконченных линий.
Во время рассмотрения этого геометрического элемента во внимание берется лишь его часть, ограниченная контурами ломаной замкнутой линии.
Обратите внимание малыша на этот факт. Пусть он поэкспериментирует, подходя к столу то ближе, то дальше, рассказывая вам о своих наблюдениях.
Только здесь не занудное зазубривание названий фигур, а своеобразная игра-раскраска.
По сути, это занятие представляет собой мини-урок по начертательной геометрии
Знания о свойствах объемных фигур применяются в инженерии и в науках о природе. Рассмотрим в статье вопрос, геометрические объемные фигуры и их названия.
К полиэдрам относятся геометрическая фигура куб, тетраэдры, призмы, пирамиды. Для этих фигур справедлива теорема Эйлера, которая устанавливает связь между числом сторон (С), ребер (Р) и вершин (В) для каждого полиэдра. Математически эта теорема записывается так: С + В = Р + 2.
Также эту фигуру называют правильный гексаэдр, поскольку она имеет 6 сторон, или прямоугольный параллелепипед, так как он состоит из 3-х пар параллельных сторон, которые взаимно перпендикулярны друг другу. Называют куб и у которой основание является квадратом, а высота равна стороне основания.
Под прямой пирамидой понимают такую пирамиду, для которой перпендикулярная основанию прямая, проведенная через вершину пирамиды, пересекает основание в ее геометрическом центре.
Этот тетраэдр имеет 4 грани и 4 вершины, число ребер составляет 4 + 4 — 2 = 6. Применяя стандартные формулы из плоской геометрии для рассматриваемой фигуры, получаем: V = a 3 * √2/12 и S = √3*a 2 , где a — длина стороны равностороннего треугольника.
В итоге получится призма, два многогранника называются ее основаниями, а поверхности, соединяющие эти многогранники, будут иметь форму параллелограммов. Призма называется прямой, если ее боковые стороны (параллелограммы) являются прямоугольниками.
сферы, ограничивающей шар, находится по формуле: S = 4*pi*r 2 , а объем шара можно вычислить по формуле: V = 4*pi*r 3 /3, где pi — число пи (3,14), r — радиус сферы (шара).
Отрезок имеет начало и конец, поэтому можно измерить его длину.
Обозначается буквой r = радиус.
DataSetFilters.compute_cell_sizes() 
volume}")
MultiBlock 
split_bodies()
# Теперь удаляем все тела с маленьким объемом
для ключа в body.keys():
b = тела [ключ]
объем = b.объем
если объем < 1000,0:
дель тела [ключ]
Продолжать
# Теперь добавим массив томов ко всем блокам
b.cell_data["ОБЩИЙ ОБЪЕМ"] = np.full(b.n_cells, vol)
000
Объем кузова 20: 2270.000
В математике это также определяется как цилиндрическая поверхность, которая образуется, когда параллельная линия вращается вокруг другой параллельной линии, которую мы называем осью.
Но будь осторожен! Вам нужно убедиться, что у него есть основания, потому что, например, если вы «развернете» рулон туалетной бумаги, у вас будет только прямоугольник.
Воспользуемся формулой, которая была дана нам ранее, и подставим значения:
Помните, что единицей измерения объема в Международной системе единиц является кубических метра (м³), хотя мы использовали см³, который является его дольным числом.
2=1,
\]
делящуюся в этой точке пополам.
Следовательно, c = 26.
Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и
вычисляем:
Координаты фокусов те же, что и для эллипса в предыдущем параграфе:
и .
(Рекомендуется читателю произвести это преобразование самостоятельно.)
21) x и y входят лишь в четных степенях. Поэтому достаточно построить часть гиперболы, лежащую в I четверти.
Такие прямые,
к которым неограниченно приближаются уходящие в бесконечность ветви кривых,
называются асимптотами этих кривых.
3.5 пунктиром прямоугольник
с центром в точке О и сторонами ,
и ,
параллельными осями симметрии гиперболы, называют осевым прямоугольником гипербол; его построение облегчает построение гиперболы; сама гипербола касается
вертикальных сторон этого прямоугольника в их серединах, являющихся вершинами
гиперболы.
27).
Это пересечение плоскости и конуса дает две отдельные неограниченные кривые, которые являются зеркальным отображением друг друга, называемые гиперболой.
Длина широкой прямой кишки гиперболы 2b 2 /а.
92} = 1\)
Эти параметрические координаты, представляющие точки на гиперболе, удовлетворяют уравнению гиперболы.
Найдите асимптота этой гиперболы.
Найдите асимптоту этой гиперболы.
2} = 1\). 92} = 1\), для гиперболы, имеющей поперечную ось в качестве оси у, а сопряженной ей осью является ось х.
Это пересечение дает две отдельные неограниченные кривые, которые являются зеркальным отображением друг друга.
центр гиперболы является серединой поперечной и сопряженной осей, где они пересекаются. Каждая гипербола также имеет две асимптоты , которые проходят через ее центр. При удалении гиперболы от центра ее ветви приближаются к этим асимптотам. Центральный прямоугольник гиперболы имеет центр в начале координат со сторонами, которые проходят через каждую вершину и ковершину; это полезный инструмент для построения графиков гиперболы и ее асимптот. Чтобы начертить асимптоты гиперболы, просто нарисуйте и продлите диагонали центрального прямоугольника.
Гипербола — это множество всех точек [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс], таких что разность расстояний от [латекс]\слева(х,у\справа)[/латекс] до очаги постоянны.
{2}[/latex] всегда находится под переменной с положительным коэффициентом. Итак, если вы установите другую переменную равной нулю, вы можете легко найти точки пересечения. В случае, когда центр гиперболы находится в начале координат, точки пересечения совпадают с вершинами. 9{2}}{25}=1[/латекс].
Если перевести гиперболу [latex]h[/latex] единиц по горизонтали и [latex]k[/latex] единиц по вертикали, центр гиперболы будет [latex]\left(h,k\right)[/ латекс]. Этот перевод приводит к стандартной форме уравнения, которое мы видели ранее, с заменой [latex]x[/latex] на [latex]\left(x-h\right)[/latex] и [latex]y[/latex] на [латекс]\влево(у-к\вправо)[/латекс]. 9{2}[/латекс]
{2}[/латекс]. Мы можем использовать это соотношение вместе с формулами средней точки и расстояния, чтобы найти стандартное уравнение гиперболы, когда заданы вершины и фокусы. 9{2}[/latex] в стандартную форму уравнения, определенного на шаге 1.
Эффективность конструкции гиперболических градирен особенно интересна. Градирни используются для передачи отработанного тепла в атмосферу и часто рекламируются за их способность эффективно генерировать энергию. Из-за своей гиперболической формы эти конструкции способны противостоять сильным ветрам, при этом требуя меньше материала, чем любые другие формы их размера и прочности. Например, 500-футовая башня может быть сделана из железобетонной оболочки шириной всего 6 или 8 дюймов!
Башня стоит 179.6 метров в высоту. Диаметр вершины 72 метра. Ближайшие стороны башни находятся на расстоянии 60 метров друг от друга.
1 из 3) 
Линия, идущая из одной вершины через центр и
оканчивающаяся в другой вершине, называется «поперечной» осью. очаги »
гиперболы находятся «внутри» каждой ветви, и каждый фокус
находится на некотором фиксированном расстоянии c от центра. (Это означает, что а < c для гипербол.)
Значения a и c будет
варьируются от одной гиперболы к другой, но они будут фиксированными значениями для
любая заданная гипербола.
Это свойство фиксированной разницы можно использовать для определения местоположений:
два маяка размещаются в известных и фиксированных положениях, разница в
время, в которое их сигналы принимаются, скажем, кораблем в море, может
Сообщите экипажу, где они.
Да, это очень
сбивает с толку. Просто запомните его и двигайтесь дальше.) 
Эти «почти прямые» части очень близки к тому, что
называются «асимптотами»
гипербола. Для гиперболы с центром в ( ч , k ) и имеющие фиксированные значения a и б ,
асимптоты задаются следующими уравнениями:
3\)
Подготовка к ОГЭ. Я занимаюсь репетиторством уже 3 года, являюсь именным стипендиатом от крупной компании Теплоэнерго, так же победитель конкурса Профстажировки 2.0 2019 и 2021 года, уже со второго курса написала 2 статьи по химическим технологиям, университет закончила с аттестатом отличия. Мои ученики с достоинством сдали ОГЭ и уже закончили школу. Так же я оказывала помощь студентам младших курсов.
Я люблю математику за то, что математика- царица точных наук. Она не
только интересна и «красива», она еще и полезна, как для других наук, так и в
быту. Стараюсь прививать и поддерживать интерес детей к предмету.
Также репетитор по истории и обществознанию 5-11 классы, готовлю к ВПР/ОГЭ/ЕГЭ. Скорочтение для 5-11 классов.
Я преподаю по авторской методике. Она включает в себя разные подходы и методы преподавания. Все мои ученики сдают выпускные экзамены .Всегда настраиваю на позитивное мышление, мотивирую на успех. Индивидуальный подход к каждому ученику.
Компьютерные технологии позволяют сделать этот урок красочным и ярким по форме , продуктивным и наполненным по содержанию. Во время урока продемонстрированы модели геометрических фигур: призмы, наклонной призмы, пирамиды, цилиндра, конуса. Модели выполнены с элементами анимации. Рядом с каждой фигурой сначала появляются известные формулы площади, а затем в другом , более ярком цвете появляется формула объёма. Для пояснения некоторых свойств объёмов. Фигуры накладываются друг на друга. В ходе урока проводится дифференцированная проверочная работа с использованием тестов. При решении ряда задач также используются готовые рисунки ,что позволяет экономить время урока. Все рисунки из меловых на доске превращаются в яркие и действительно стереометрические.
Они переплавлены в один куб. Найти его ребро.
Найти высоту параллелепипеда.
Как и в случае с кругом, размер сферы определяется ее радиусом, то есть расстоянием от центра сферы до любой точки на ее поверхности. Ниже приведены формулы объема и площади поверхности шара.
Найдите объем (а) и площадь поверхности (б) земного шара.
{2} \cdot 5 \end{split}$$
Решить .
Рисунок \(\PageIndex{9}\) показывает конус, помещенный внутрь цилиндра той же высоты и с тем же основанием. Если мы сравним объем конуса и цилиндра, то увидим, что объем конуса меньше объема цилиндра.
{2 } (6) \end{split}$$
Ответы округлить до сотых.
Ответы округлить до сотых.
б) найти объем маленького конуса. в) найдите объем столба, вычитая объем малого конуса из объема большого конуса.
Многогранник по сути является n -гранной сплошной фигурой — это трехмерный аналог многоугольника. Некоторые примеры многогранников показаны ниже.
Соответственно и объем одинаковый. Хотя мы продемонстрировали этот факт только для шестигранных призм, то же самое относится ко всем призмам: объем равен площади основания, умноженной на высоту.
рассмотреть их в любой большей глубины. Формулы есть в книгах и в интернете, правда, для некоторых многогранников.
Задача говорит нам, что фигура наклонена только вправо (показана на диаграмме ниже дугой) — таким образом, единственные непрямые углы находятся на передней и задней гранях. Эти две грани являются параллелограммами. Левая и правая грани — прямоугольники.
Пример сферы показан ниже.
Теперь нам нужно только добавить площадь оснований, которая в два раза больше площади любого круглого основания. Общая площадь S тогда следующее.
Площадь поверхности обоих полушарий вместе равна тогда просто площади поверхности полной сферы радиусом 5 футов. Площадь этой поверхности равна 4 πr 2 . Теперь мы можем вычислить площадь поверхности фигуры.
Следующая практическая задача иллюстрирует подход к трехмерной фигуре.
Вот треугольная призма (слева) и ее сетка (справа).
Для этого нам необходимо владеть определением параллелограмма, его свойствами и признаками. Повторим эти факты, обобщим и структурируем их.
Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам (см. Рис. 4), то этот четырехугольник – параллелограмм. параллелограмм.
Аналогично доказывается попарное равенство всех остальных отрезков на второй стороне угла, если проводить прямые параллельные первой стороне угла через начало первого отрезка в любой рассматриваемой паре.
А на следующем уроке мы познакомимся с таким видом четырехугольников, как трапеция, и обсудим ее свойства.
Найдите периметр параллелограмма, если его высоты равны 4 см и 6 см.
Первые найденные работы принадлежат египетским и вавилонским математикам.
Это можно понять как отрезок, что соединяет вершины углов.
В результате угол BAC + CAD равен ВСА + DCA и BAD = BCD.
Это означает, что расстояние между вершинами равно.
Часто свойства параллельных прямых, пересекаемых секущей, необходимы для нахождения параллельных сторон.
е. +∠D = 360°
Это означает, что воздушный змей
Какой из следующих четырехугольников является правильным четырехугольником?
org/BreadcrumbList»> Разделы: Математика
Решение задач 
Карандашом ставят оценки и сдают их
учителю.
Сказка о двух кругах
Найдите угол.
По-моему, быстрее нарисовать вписанный круг вручную, после небольшого количества проб и ошибок, чем красиво строить его в геометрии программного обеспечения.
Я видела много задачек, которые решаются с помощью алгебры или иррациональных чисел, или ужасных выражений с pi, а в конце всё внезапно сокращается — и я понимаю, что есть более простой способ.
Г.А.1 — Найдите площадь прямоугольных треугольников, других треугольников, специальных четырехугольников и многоугольников, составив их на прямоугольники или разложив на треугольники и другие фигуры; применять эти методы в контексте решения реальных и математических задач. 
Применяйте эти методы в контексте решения реальных и математических задач. 
МД.А.3
Г.А.3
MATH.PRACTICE.MP8
— Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.
Это помогает определить, где классу нужны общие указатели и напоминания. 
Лабиринты отлично подходят и в качестве домашнего задания. 
У нас есть диаграммы и электронные таблицы с числами и баллами, но ученики не понимают своего собственного прогресса. Я обнаружил, что когда я включаю студентов в процесс отслеживания данных, они больше верят в свои успехи на тесте. 
Обычно студенты не знают, что означают данные, и это дает им важную возможность сформулировать их для них. Когда я сообщаю учащимся их баллы за контрольный тест, они смотрят на меня и спрашивают: «Это хорошо?» Я стараюсь найти хорошее в их счете, даже если он не проходной. Может быть, они улучшились с прошлого раза или, может быть, они были близки к тому, чтобы перейти на следующий уровень. Используйте это время, чтобы дать учащимся уверенность в том, что они могут стать лучше. 
У меня есть карточки с заданиями практически по каждой теме, которую я преподаю. В конце года, когда мы проводим обзор, я просматриваю карточки с заданиями, которые у меня есть, и беру карточки из разных наборов, чтобы составить индивидуальный набор карточек для повторения. Один из наборов, который я сделал несколько лет назад, я использую каждый год со своими восьмиклассниками. 
Некоторые из моих общих сайтов — это Manga High, Prodigy и XP Math. Для практики в 6-м классе вот список некоторых игр, которые отлично подойдут вашим ученикам:
Многие студенты не хотят пытаться выглядеть глупо, если сразу не получат сложную задачу. Вот тут-то и начинается явное обучение навыкам мышления роста. 
Я и моя команда часто используем этот метод с нашими студентами. Мы используем его для тестовых исправлений и для звонка. Мой любимый способ попрактиковаться в анализе ошибок — взять настоящую студенческую работу (конечно, без названий) и показать «хороший» и «плохой» примеры. Затем учащиеся используют рубрику, чтобы оценить, где математик ошибся или что он сделал правильно. Даже «правильные» ответы могут иметь плохой процесс, поэтому это помогает учащимся сосредоточиться на процессе, а не только на правильном/неправильном ответе.
Все…
14), День числа Пи — волнующий день для любителей математики во всем мире. Эта доска выбора…
…
ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ