Формулы треугольников по геометрии: Формулы треугольника, с примерами

Элементы треугольника — формулы вычисления основных параметров » Kupuk.net

Самой часто используемой фигурой в математике можно назвать треугольник. Вычисление элементов этого многоугольника применяется при нахождении параметров более сложных объектов не только на плоскости, но и в объёме. Вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Он обладает замечательными свойствами, имеет особенные линии и точки.

Общие сведения

Произвольное множество точек называют геометрической фигурой. На плоскости они соединены замкнутыми линиями, образующими контур тела. В трёхмерном пространстве многоугольник, состоящий из трёх отрезков, не принадлежащих одной прямой, носит имя треугольник. Его линии называют сторонами или боковыми гранями, а место их пересечения — вершинами.

Треугольник — замкнутое геометрическое тело, состоящее из трёх сторон и такого же количества углов. Боковые грани принято обозначать маленькими латинскими буквами. Углы на рисунке показывают маленькой дугой, а в записи — символом ∠ с указанием соответствующей вершины. Точки же пересечения линий подписывают большими буквами.

Например, если имеется треугольник ABC, у него есть углы A, B, C и стороны a, b, c. Боковые грани могут обозначать и как отрезки, тогда в их имени учитываются ограничивающие точки. Например, AB, BC, CA. Строгого требования в виде обозначений нет, но существуют негласные правила, которых всё же рекомендуется придерживаться.

Хотя определение треугольника и его элементов одинаковое, выделяют 3 класса фигур:

• остроугольный — любой из углов тела не превышает 90 градусов;
• тупоугольный — форма одного из разворотов тупоугольная;
• прямоугольный — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

Кроме этого, многоугольник классифицируют по числу равных сторон. Разносторонним он считается в том случае, если все они разной длины, равнобедренным — треугольник, имеющий 2 равные стороны, а равносторонним — у которого все стороны равны. Последний в литературе может ещё называться правильным.

На основании классификационных групп треугольники можно сравнивать между собой. Они считаются подобными, если 2 угла одного соответственно равны двум углам другого, или когда 2 стороны одного пропорциональны двум сторонам другого, а углы, заключённые между этими сторонами, равны. Эти правила называют признаками подобия. Они особенно популярны среди физиков. Их часто используют при вычислении элементов прямоугольников, квадратов, трапеций.

Элементы треугольника

Кроме сторон и вершин, фигура имеет различные точки и линии, называемые замечательными. Такое имя они получили из-за своих свойств. Но перед тем как их перечислить, нелишним будет привести основные величины, характеризующие фигуру, способы их нахождения и теоремы.

Периметр многоугольника можно определить, сложив все стороны: P = a + b + c. Площадь треугольника находится как половина произведения двух граней, умноженных на синус угла между ними: S = (a * b * sinC) / 2. Сумма углов равна 180 градусов, при этом напротив равных сторон лежат одинаковые углы.

К замечательным линиям относят:

Медиану — линию, проходящую через вершину к середине противолежащей стороны. Всего в треугольнике можно провести 3 таких отрезка. Точка их пересечения является центром массы. Если считать от вершины, в ней она делится в отношении 2 к 1. Каждая медиана разделяет фигуру на 2 объекта с одинаковой площадью.

Биссектрису — отрезок, построенный к стороне из угла и делящий его на 2 равные части. Она делит грань на 2 замкнутые линии, пропорциональные прилежащим сторонам. Точка, в которой пересекаются биссектрисы, является началом диаметра вписанной в треугольник окружности.

Высоту — перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону. Все они пересекаются в одной точке.

Срединную линию — проходит всегда параллельно одной из граней и соединяет середины двух оставшихся сторон. 3 таких линии разделят многоугольник на 4 равных треугольника.

При измерениях используют и «особенные» точки фигуры. Если в треугольник вписать окружность, её центр совпадёт с местом скрещивания перпендикуляров. А если поместить в круг, середина будет совпадать с пересечением биссектрис. Для других замечательных линий точки их соприкосновения также имеют свои названия: ортоцентр (высот) и центроид (медиан). Первая может принадлежать как внутренней площади фигуры, так и внешней (тупоугольный треугольник).

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают. При этом их центр является серединой как вписанной окружности, так и описанного круга. А угол, из которого построен один из таких отрезков, будет разделён на 2 одинаковых разворота равных 30 градусам.

Основные формулы

Найти любой элемент треугольника можно по специальным формулам. Чаще всего приходится искать стороны фигуры. Зная их, можно найти практически любые параметры, просто подставив в выражения значения размеров граней.

Найти длину отрезка, формирующего контур фигуры, можно, зная длины двух сторон и угла или значения двух углов и одной стороны. Для первого случая формула имеет вид a = b * sin (a) / sin (b) = b * sin (a) / sin (a + c), а второго: a = √(b2 + c2 — 2bc * cos (a)). Если имеется тупой угол, косинус будет отрицательный. Это необходимо учитывать при расчётах.

Это общие формулы, подходящие для любого типа треугольника. Но в то же время для прямоугольного существует своё правило, связывающее все 3 грани в одну формулу: c = √(b2 + a2). Называется оно теоремой Пифагора. В равнобедренном вычислить сторону можно, зная любую другую и угол. Для основания используют равенство b = 2a * cos (a), а для равных граней: a = b / 2 * cos (a).

Из множества других существующих формул для определения различных элементов фигуры, можно указать на те, что чаще всего используются при решении примеров:

Высота: h = (2 / a) * √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)) или h = b * sin© = c * sin (b). Отрезок можно найти, зная площадь и сторону h = 2 * S / a или радиус описанной окружности: h = (b * c) / 2 * R.

Биссектриса: L = √(a * b * (a + b + c) * (a + b — c)) / (a + b). Формулу можно упростить, используя периметр: L = 2 * √ (a * b * P) * (P — c)) / (a + b), где P = p /2 (полупериметр).

Медиана: М = √(2 * a2 + 2b2 — c2) / 2. Линию можно определить, зная только 2 стороны и лежащий между ними угол: М = √(a2 + b2 — 2 * a * b * cos (с)) / 2. В прямоугольном треугольнике она равняется радиусу описанного круга или половине гипотенузы: М = R = c / 2.

Существуют и упрощённые выражения. Формула Герона позволяет высчитать площадь, используя полупериметр и длины сторон: S = √(P * (P — a) * (P — b) * (P — c)). Также величину можно определить, зная высоту и длину основания: S = (a * H) / 2.

Для нахождения элементов треугольника в 7 классе ученикам дают ещё 2 фундаментальные теоремы: косинусов и синусов. Первая сообщает, что квадрат грани фигуры равен удвоенному произведению двух сторон и косинуса угла между ними, вычтенному из сумы квадратов: a2 = b2 + c2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, стороны пропорциональны синусам противолежащих углов: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sin©.

Решение примеров

Формул для вычисления элементов треугольников можно насчитать несколько десятков. Запомнить их довольно сложно, поэтому нужно выучить основные определения и выражения, а сделать это лучше всего, решая практические примеры. Вот некоторые из них:

В треугольнике проведено 2 высоты. Одна равняется 63 см, а другая 56 см. Найти истинный отрезок, если основание AC = 84 см, а размер медианы BK совпадает с длиной стороны BC. Так как точка K делит отрезок AC пополам, AK = KC = AC / 2 = 84 /2 = 42 см. В треугольнике BKC 2 стороны равны друг другу, согласно условию, значит, он равнобедренный. Следовательно, высота является одновременно и медианой. KH = HC = MC /2 = 42 / 2 = 21 см. Искомый отрезок будет равен: h = AK + KC = 42 + 21 = 63 см. Следовательно, правильный первый вариант.

Пусть дан треугольник ABC. Найти возможный отрезок BN, на который биссектриса поделит сторону BC, если AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Для решения понадобится вспомнить свойство биссектрисы. Из него следует, что BN / NC = AB / AC = 6 / 8. Если искомый отрезок принять за икс, будет верным равенство KC = 7 — x. Значит: x / (7 — x) = 6 / 8. Отсюда можно выразить неизвестное: x = 42 / 14 = 3 см. Теперь останется подставить найденное число и найти искомое значение: KC = 7 — 3 = 4 см.

Завод начал выпускать новую серию объёмных фигур. Определить, какой тип многоугольника лежит в их основании, если её стороны равны 3, 2 и √3. Чтобы найти ответ, нужно проанализировать исходные данные. Так как сумма двух меньших сторон больше третей боковой грани, в основании лежит треугольник. 3 в квадрате не равно 22 + (√3)2. Следовательно, геометрическое тело непрямоугольное. По теореме косинусов можно записать: a2 = b2 + c2 — 2 * b * c * cos (a). Исходя из того, что cos (a) = -1/ √ 3, то есть он отрицательный, можно утверждать, что разворот угла тупой. Значит, треугольник у основания тупоугольный.

Проверить правильность вычислений можно, воспользовавшись онлайн-калькуляторами. Это сервисы, предоставляющие услуги по расчёту различных математических величин. Воспользоваться ими сможет любой, даже тот, кто не знает ни одной формулы и теоремы. Всё, что требуется от пользователя — правильно ввести исходные данные в специальную форму и нажать кнопку «Рассчитать». Через несколько секунд ответ, а в некоторых случаях и решение, появится на экране.

Формулы площади треугольника

Формулы для вычисления площади треугольника.

Диктант:

Вариант 1

Вариант 2

• Сформулировать теорему синусов;
• Решить треугольник по двум сторонам и углу, между ними;
• Решить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам;
• Решить треугольник по трем сторонам.

• Сформулировать теорему косинусов;
• Записать формулу косинуса угла;
• Решить треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из них;
• Решить треугольник по стороне и прилежащим к ней углам.

Задачи урока:

• Узнать формулы вычисления площади треугольника;
• Понять применение формул для вычисления площадей;
• Научиться применять формулы.

Повторяем:

Вычислить площадь треугольника:

B

1

8

A

C

H

6

12

72

Повторяем:

Вычислить площадь треугольника:

2

A

8

B

C

16

64

Изучение нового:

Вычислить площадь треугольника:

A

3

8

4

Найдите половину произведения AC на CB и на sinC.

30°

B

C

H

9

18

Изучение нового:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Теорема 1:

B

γ

a

γ

h

γ

γ

C

A

b

Изучение нового:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Теорема 1:

B

γ

h

a

(180°-γ)

γ

A

b

C

В каком случае целесообразно

применить данную формулу?

Изучение нового:

Теорема 2: (формула Герона)

Площадь треугольника можно

вычислить по формуле ,

где a,b,c

— стороны треугольника, p – его

полупериметр.

B

с

a

В каком случае целесообразно

применить данную формулу?

A

C

b

Изучение нового:

Теорема 3:

Площадь треугольника можно вычислить по

формуле ,

где a,b,c — стороны треугольника, R – радиус описанной окружности.

B

с

a

O

A

C

b

Изучение нового:

Теорема 4:

Площадь треугольника равна

произведению его полупериметра на

радиус вписанной окружности.

B

a

с

O

A

C

b

Изучение нового:

Теорема 4:

Площадь многоугольника равна

произведению его полупериметра на

радиус вписанной окружности.

C

O

B

A

Изучение нового:

Площадь какого треугольника не рассмотрели?

γ

B

a

a

C

A

a

Опорная схема (кластер):

Составить опорную схему по теме

«Площадь треугольника»

Что известно?

Две стороны

и угол между

ними

Что известно?

Формула

Опорная схема (кластер):

Катеты прямоугольного треугольника

Три стороны во

вписанном в окружность

треугольнике

Три стороны и

радиус вписанной

окружности

Треугольник

равносторонний

Две стороны

и угол между

ними

Три стороны

Закрепляем:

№№ 132, 134, 135, 137.

Домашнее задание:

№№ 133, 136, формулы .

Планиметрия (Геометрия на плоскости) — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

• Основные теоретические сведения
  • Треугольник
  • Трапеция
  • Параллелограмм
  • Квадрат
  • Ромб и прямоугольник
  • Произвольные фигуры
  • Многоугольники
  • Окружность

 

Треугольник

К оглавлению…

При решении задач по геометрии помимо всех геометрических формул и свойств, которые будут приведены ниже, нужно очень хорошо помнить основные формулы по тригонометрии. Укажем для начала несколько основных свойств различных типов углов:

• Смежные углы в сумме равны 180 градусов.
• Вертикальные углы равны между собой.

Теперь перейдем к свойствам треугольника. Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Запомните также, что сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы (медиана — линия проведенная через некоторую вершину и середину противоположной стороны в треугольнике):

Свойства медиан:

• Все три медианы пересекаются в одной точке.
• Медианы  делят  треугольник  на  шесть  треугольников  одинаковой  площади.
• В точке пересечения медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершин.

Свойство биссектрисы (биссектриса — линия, которая делит некоторый угол на два равных угла, т.е. пополам):

Важно знать: Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис (все три биссектрисы пересекаются в этой одной точке).

 Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника (высота в треугольнике — линия проходящая через некоторую вершину треугольника перпендикулярно противоположной стороне):

Все три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. Положение точки пересечения определяется типом треугольника:

• Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот находится внутри треугольника.
• В прямоугольном треугольнике высоты пересекаются в вершине прямого угла.
• Если треугольник тупоугольный, то точка пересечения высот находится за пределами треугольника.

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Центр окружности описанной около треугольника лежит на пересечении посерединных перпендикуляров. Все три посерединных перпендикуляра пересекаются в одной этой точке.

Посерединный перпендикуляр — линия проведенная через середину стороны треугольника перпендикулярно ей.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого. В подобных треугольниках соответствующие линии (высоты, медианы, биссектрисы и т.

п.) пропорциональны. Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов. Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников. Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Отношение длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Признаки подобия треугольников:

• По двум углам. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники подобны.
• По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
• По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.

 

Трапеция

К оглавлению. ..

Трапеция — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Некоторые свойства трапеций:

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям.
• Отрезок,  соединяющий  середины  диагоналей  трапеции,  равен  полуразности  оснований.
• В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон находятся на одной прямой.
• Диагонали трапеции разбивают её на четыре треугольника. Треугольники, сторонами которых являются основания — подобны, а треугольники, сторонами которых являются боковые стороны — равновелики.
• Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90 градусов, то отрезок соединяющий середины оснований равен полуразности оснований.
• У равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.
• У равнобедренной трапеции диагонали равны.
• В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований.

 

Параллелограмм

К оглавлению…

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Некоторые свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны параллелограмма равны.
• Противоположные углы параллелограмма равны.
• Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусов.
• Сумма всех углов параллелограмма равна 360 градусов.
• Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его сторон.

 

Квадрат

К оглавлению…

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы равны по 90 градусов. Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Свойства квадрата – это все свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника одновременно.

 

Ромб и прямоугольник

К оглавлению…

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Свойства ромба:

• Ромб является параллелограммом. Его противолежащие стороны попарно параллельны.
• Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам). Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Свойства прямоугольника:

• Диагонали прямоугольника равны.
• Прямоугольник является параллелограммом — его противоположные стороны параллельны.
• Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
• Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его не противоположных сторон (по теореме Пифагора).
• Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

 

Произвольные фигуры

К оглавлению…

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Обобщённая теорема Фалеса: Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

 

Многоугольники

К оглавлению…

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, обладающий тем свойством, что все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Сумма внутренних углов плоского выпуклого n-угольника равна:

Число диагоналей всякого многоугольника равно (где: n – число сторон):

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны. Внутренний угол правильного многоугольника равен:

Центральный угол правильного n-угольника равен:

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n, длиной стороны a, радиусом описанной окружности R, полупериметром p и радиусом вписанной окружности r, может быть рассчитана по следующим формулам:

 

Окружность

К оглавлению. ..

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Геометрические формулы для площади треугольника для экзамена CAT — онлайн-подготовка Bodhee Prep-CAT

Онлайн-подготовка Bodhee Prep-CAT

| Лучшая онлайн-подготовка к CAT

Телеграмма YouTube

Существует множество формул для вычисления площади треугольника. Некоторые формулы используются очень часто, а некоторые используются специально для определенных типов вопросов. Учащийся должен не только помнить эти формулы, но и знать, где их применять.

В этой статье будут рассмотрены все формулы нахождения площади треугольника. И по мере необходимости мы будем понимать применение этой формулы с помощью вопросов, которые появились на CAT и других конкурсных экзаменах.

Формулу площади треугольников можно разделить на следующие категории:

• Общие сведения: Эти формулы применимы для всех типов треугольников.
• Особые: эти формулы применяются только к определенному типу треугольников.

Общие формулы для вычисления площади треугольника

Давайте выучим все общие формулы для нахождения площади треугольника.

1. Площадь треугольника, если известно основание треугольника и соответствующая высота:

Это наиболее часто используемая формула.

Площадь треугольника = \(\frac{1}{2} \умножить на основание \умножить на высоту\)

Вопрос: Евклид задумал треугольник, самая длинная сторона которого имеет длину 20, а другая его сторона имеет длину 10. Его площадь равна 80. Какова точная длина его третьей стороны?  [CAT 2001]

1. \(\sqrt {260} \)
2. \(\ квадрат {250} \)
3. \(\ квадрат {240} \)
4. \(\ квадрат {270} \)

Решение:

Пусть перпендикуляр на наибольшей стороне от других вершин равен h.

Следовательно, \(\frac{1}{2} \times 20 \times h = 80\) т. е. h = 8

Перпендикуляр имеет два треугольника с двух сторон. Слева от него есть гипотенуза 10. Если две стороны равны 10 и 8, третья сторона должна быть равна 6. 9{2}}}=\sqrt{260}\)

Следовательно, правильным ответом является вариант (a)

2. Когда известны все три стороны треугольника

Площадь треугольника = \(\sqrt {(s – a)(s – b)(s – c)} \) , где \(s = \frac{{a + b + c}}{ 2}\) — полупериметр треугольника. Это также известно как формула Герона.

Примечание: Эта формула требует очень больших вычислений. Мы намеренно стараемся избегать использования этой формулы, если у нас не остается других вариантов.

3. Когда окружность вписана в треугольник

Это очень важный случай для любого конкурсного экзамена. На экзаменах появилось много вопросов, которые можно решить, применяя эту прямую формулу. Также стоит пройтись по выводу этой формулы, так как метод вывода иногда используется для решения некоторых вопросов геометрии.

Площадь треугольника=s×r, где s — полупериметр треугольника, а r — радиус вписанной окружности.

Вопрос: Найдите внутренний радиус треугольника со сторонами 13, 14 и 15 см.

Решение:

Полупериметр (s) = (13+14+15)/2 = 21.

Площадь треугольника по формуле Герона = \(\sqrt {21 \times 8 \times 7 \ умножить на 6}  = 84\)

Кроме того, площадь = rxs = 84

Или, rx21=84, следовательно, радиус внутри = 4.

Примечание:   Вписанная окружность называется вписанной радиус называется внутренним радиусом.

4. Когда треугольник вписан в круг

Площадь треугольника = \(\frac{{abc}}{{4R}}\), где R — радиус окружности

Примечание:   Окружность называется описанной окружностью , а радиус R называется радиусом описанной окружности

5. Когда известны две стороны и включающий угол

Площадь треугольника = \(\frac{1}{2}ab\sin \theta \), где a и b — стороны, а \(\theta \) — углы между ними.

Вопрос:  Внутренняя биссектриса угла A в треугольнике ABC пересекает сторону BC в точке D. AB = 4, AC = 3 и A = 60 ⁰ . Тогда какова длина биссектрисы AD? [CAT 2002]

1. \(12\кв.м 3/7\)
2. \(12\кв.{13} /7\)
3. \(4\кв {13} /7\)
4. \(4\кв.3/7\)

Решение:

В треугольнике со сторонами a и b и углом между ними площадь равна

Площадь = ab(sinC)/2

(1)+(2)=(3)

т. е. \(AD = \left( {\ frac {3} {2} + \ frac {4 {2}} \right) = 12 \times \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow AD = \frac{{12\sqrt 3 }}{7}\)

Следовательно, вариант (а)

Существует много других общих формул для расчета площади. Однако эти формулы требуют от высших понятий тригонометрии. Мы можем смело игнорировать их на экзамене CAT.

Конкретная формула площади треугольника 92}}}{4}} \)

Где b — мера равных сторон равнобедренного треугольника, а a — основание равнобедренного треугольника.

---

Дополнительная литература:
Основные понятия треугольников
Формулы площади треугольников
Пифагорейские тройки: концепции и приемы

---

[PDF] Вопросник CAT 2021 (слот 1, 2 и 3) с решениями

подготовка кузова 10 декабря 2021 г.

Вопросник CAT 2021 PDF-файл доступен на этой странице. На странице есть PDF-файлы с вопросами CAT 2021 по всем трем слотам. Там

Подробнее »

Все о серии пробных испытаний CAT

Бриджеш Пандей 22 июля 2021 г.

Содержание пробных тестов CAT Идеальное количество серий пробных тестов CAT Сколько нужно написать макетов CAT Что правильно

Подробнее »

Истории успеха CAT нашей партии 2021 и 2020 гг.

Бриджеш Панди 5 января 2021 г.

Истории, которыми мы делимся здесь, — это истории некоторых студентов, которых мы курировали с самого начала их подготовки. Наставляя их,

Подробнее »

[PDF] Вопросник CAT 2020 (слот 1, 2 и 3) с решением

подготовка кузова 13 декабря 2020 г.

Вопросник CAT 2020 преподнес ряд сюрпризов. Изменился не только шаблон экзамена, но и уровень сложности почти

Подробнее »

Анализ CAT 2020: слоты (1, 2 и 3) – отсечки

подготовка кузова 30 ноября 2020 г.

Большая часть CAT 2020 оказалась такой, как и ожидалось, как с точки зрения схемы, так и сложности. После объявления об изменении шаблона,

Подробнее »

Онлайн-курс CAT для подготовки к CAT 2022

подготовка кузова 6 ноября 2020 г.

Если вы новичок в подготовке к CAT и ищете полноценный онлайн-коучинг CAT, то это страница, на которой вы должны полностью

Подробнее »

Онлайн-курсы CAT

Самое надежное место для подготовки к CAT и другим вступительным экзаменам MBA в Индии.

• +91 95189-40261
• [электронная почта защищена]

Онлайн-курсы CAT

• Комплексный онлайн-курс CAT
• Онлайн-курс CAT 2023 VARC
• Онлайн-курс CAT 2023 QUANT
• Онлайн-курс CAT 2023 DILR

Бесплатные ресурсы

• Вопросы CAT [PDF]
• Более 1000 практических вопросов CAT RC
• 800+ практических вопросов по количественному анализу
• 200+ тренировочных наборов DILR

Адрес

Бодхипреп

1261/3, Лакшми Садан,

Опп. Бензиновый насос Sai,

JM Road, Pune

Pin: 411004

YouTube Телеграмма

© 2022 Все права защищены​

Площадь треугольника | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание

• Основная формула
• Использование правила синусов
• Формула Герона
• Формула шнурка
• Вычисление площади
• Решение проблем — базовое
• Решение проблем — средний уровень

Это наиболее распространенная формула и, вероятно, первая, которую вы видели.

Для треугольника с основанием bbb и высотой hhh площадь AAA равна

.

А=12б×ч. □ A = \frac{1}{2} b \times h.\ _\square A=21​b×h. □​

Заметьте, что это ровно половина площади прямоугольника с тем же основанием и высотой. Доказательство этого довольно тривиально, поэтому особых объяснений не требуется. Логическое объяснение этого состоит в том, что вы можете сделать два треугольника, отбросив высоту, при которой обе половины повернуты на 180 градусов относительно середины их гипотенузы, образуя два прямоугольника. Таким образом, ясно, что треугольники составляют половину площади соответствующих им прямоугольников, общая площадь которых равна bh.bh.bh.

Чему равна площадь треугольника, изображенного ниже?

Поскольку основание треугольника равно 5, а высота равна 8, площадь равна 12⋅5⋅8=20 \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 = 20 21​⋅5⋅8=20. □ _\квадрат □​

Всегда помните, что основание и высота перпендикулярны. Вот еще несколько примеров.

Чему равна площадь треугольника на рисунке ниже?

---

На рисунке показано, что основание равно b=5b=5b=5, а высота h=3.h=3.h=3. Следовательно, площадь равна

12⋅5⋅3=152. □\frac{1}{2}\cdot5\cdot3=\frac{15}{2}. \ _\квадрат21​⋅5⋅3=215​. □​

На рисунке ниже две линии l1l_1l1​ и l2l_2l2​ параллельны. Если площадь △ABC\треугольника ABC△ABC равна 6, каково расстояние между l1l_1l1​ и l2?l_2?l2​?

---

На рисунке показано, что основание (\big((что равно AB‾)\overline{AB}\big)AB) равно b=4.b=4.b=4. Поскольку прямые l1l_1l1​ и l2l_2l2​ параллельны, расстояние между ними равно высоте треугольника h.h.h. Следовательно, мы имеем 12⋅4⋅h=6  ⟹  h=3.\frac{1}{2}\cdot4\cdot h=6 \ подразумевает h=3,21​⋅4⋅h=6⟹h=3. Обратите внимание, что даже если мы выберем другую точку на l1l_1l1 для C, C, C, площадь все равно останется прежней. □_\квадрат□​

Итак, вы думали, что площадь треугольника равна просто bh3\frac{bh}{2}2bh​. Что ж, оказывается, есть гораздо больше способов получить площадь треугольника, чем этот.

Рассмотрим следующий треугольник с углами A, BA, BA, B и CCC и соответствующими противоположными сторонами a, ba, ba, b и ccc: Тогда площадь треугольника ABCABCABC равна

.

(площадь)=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12acsin⁡B=abc4R,(\text{площадь}) =\frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2} bc\ sin A = \frac{1}{2} ac\sin B = \frac{abc}{4R},(Area)=21​absinC=21​bcsinA=21​acsinB=4Rabc​,

, где RRR — радиус описанной окружности треугольника ABC.ABC.ABC. □_\квадрат□​

Мы докажем, что площадь равна 12bcsin⁡A\frac{1}{2} bc \sin A21​bcsinA. Аналогично доказываются остальные равенства.

Проведя высоту hhh треугольника от вершины ССС до противоположной стороны, мы знаем, что площадь треугольника равна

(Площадь)=12кан. (\text{Площадь}) = \frac{1}{2} ч.(Площадь)=21​кан.

Теперь sin⁡A=(противоположное)(гипотенуза)=hb\sin A = \frac{(\text{противоположное})}{(\text{гипотенуза})} = \frac{h}{b}sinA= (гипотенуза)(наоборот)​=bh​, откуда следует, что h=bsin⁡A.h = b\sin A.h=bsinA. Следовательно,

(площадь)=12ch=12cbsin⁡A.(\text{площадь}) = \frac{1}{2} ch = \frac{1}{2} c b \sin A.(площадь)=21​ch= 21cbsinA.

Нарисовав высоту hhh из двух других вершин, мы можем аналогичным образом показать

(Площадь)=12absin⁡C=12acsin⁡B.(\text{Площадь}) =\frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2} ac\sin B.(Площадь) =21​absinC=21​acsinB.

Чтобы получить последнее равенство, вспомним, что расширенное правило синусов дает нам asin⁡A=2R \dfrac{a}{\sin A } = 2R sinAa​=2R, и, следовательно, мы получаем

(Площадь)=12cbsin⁡A=abc4R. □ (\text{Площадь}) = \frac{1}{2} cb \sin A = \frac{abc} {4R}.\ _\square (Area)=21​cbsinA=4Rabc​. □​

Для треугольника ABCABCABC предположим, что нам даны длины двух сторон a=6,b=5:a= 6, b= 5:a=6,b=5:

Если площадь △ABC\треугольника ABC△ABC равна 10,10,10, какова величина sin⁡C?\sin C?sinC?

---

По приведенной выше формуле площадь треугольника равна

(Площадь)=12absin⁡C10=12⋅6⋅5sin⁡C2030=sin⁡Csin⁡C=23. □\begin{выровнено} (\text{Площадь}) &= \frac{1}{2} ab\sin C \\ 10 &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \sin C\\ \frac{20}{30} &= \sin C\\ \sin C&=\frac{2}{3}. \ _\площадь \end{выровнено}(Площадь)103020​sinC​=21​absinC=21​⋅6⋅5sinC=sinC=32​. □​​ 92=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c),16A2=(a+b+c)(-a+b+c)(a- б+в)(а+б-в),

, где ААА — площадь. □_\квадрат□​

Треугольник XYZXYZXYZ имеет целые длины сторон, вписан в окружность радиусом 25,25,25 и имеет длины сторон x=14x=14x=14 и y=30y=30y=30. Чему равна площадь треугольника?

---

Мы знаем, что радиус описанной окружности треугольника эквивалентен R=xyz4TR=\frac{xyz}{4T}R=4Txyz​, где TTT — площадь. Мы фактически доказали это выше, так как это перестановка abc4R\frac{abc}{4R}4Rabc​.

Подставив заданные значения, мы получим

25=(14)(30)z4T  ⟹  100T=420z.25=\dfrac{(14)(30)z}{4T}\ подразумевает 100T=420z.25=4T(14)(30)z​⟹100T =420з.

Полупериметр равен 14+30+z2\frac{14+30+z}{2}214+30+z​, поэтому по формуле Герона TTT становится равным

T=(22+z2)(8+z2)(-8+z2)(22-z2)=(484-z24)(z24-64)=14-z4+2192z2-495616. 4+2192-495616}=420z.25−z4+2192z2−495616​=420z.

Некоторое избиение дает z=40,z=40,z=40, и подставляя наши значения в уравнение, мы получаем

(площадь)=abc4R=(14)(30)(40)4(25)=168. □(\text{Площадь})=\dfrac{abc}{4R}=\dfrac{(14)(30)(40)}{4(25)}=168. \ _\квадрат (Площадь)=4Rabc​=4(25)(14)(30)(40)​=168. □​

Доказательство этого немного сложно, поэтому я постараюсь сделать его максимально простым.

Начните с произвольного треугольника ABCABCABC с основанием ccc. Отбросьте высоту от угла CCC до стороны ccc и назовите ее hhh. Пусть два отрезка стороны ccc равны mmm и nnn, так что существуют два прямоугольных треугольника ANHANHANH и BHMBHMBHM со сторонами aaa и bbb, являющимися их соответствующими гипотенузами. Таким образом, площадь этого треугольника равна 12ch\frac{1}{2}ch31​ch. 92}\\\\ \Rightarrow h&=\dfrac{\sqrt{(ba+c)(b+ac)(a+c-b)(a+c+b)}}{2c}. \end{выровнено}h3⇒h​=a2−(2ca2+c2−b2​)2=(a−2ca2+c2−b2​)(a+2ca2+c2−b2​)=(2c2ac−a2−c2+ b2​)(2c2ac+a2+c2−b2​)=4c2(b2−(a−c)2)((a+c)2−b2)​=4c2(b−a+c)(b+a− c)(a+c−b)(a+c+b)​=2c(b−a+c)(b+a−c)(a+c−b)(a+c+b)​​.

Подставив это в наше первое уравнение (Площадь)=12ch(\text{Area})=\frac{1}{2}ch(Area)=21​ch, мы получим

12c((b-a+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)2c)=(b-a+c)(b+a-c)(a +c−b)(a+c+b)4.\begin{выровнено} &\ frac {1} {2} c \ left ( \ dfrac {\ sqrt {(ba + c) (b + a-c) (a + c-b) (a + c + b)}} {2c} \ right )\\\\ &=\dfrac{\sqrt{(ba+c)(b+a-c)(a+c-b)(a+c+b)}}{4}. \end{выровнено}​21​c(2c(b−a+c)(b+a−c)(a+c−b)(a+c+b)​​)=4(b−a+c )(b+a−c)(a+c−b)(a+c+b)​​.​

Подставляя s=a+b+c2s=\frac{a+b+c}{2}s=2a+b+c​, получаем

2(s)⋅2(s−a)⋅2(s−b)⋅2(s−c)4=4(s)⋅(s−a)⋅(s−b)⋅(s−c) 4=s(s−a)(s−b)(s−c). □\begin{выровнено} \ dfrac {\ sqrt {2 (s) \ cdot 2 (sa) \ cdot 2 (sb) \ cdot 2 (sc)}} {4} &=\dfrac{4\sqrt{(s)\cdot (sa)\cdot (sb)\cdot (sc)}}{4}\\ &=\sqrt{s(s-a) (s-b) (s-c)}. \ _\площадь \end{выровнено}42(s)⋅2(s−a)⋅2(s−b)⋅2(s−c)​=44(s)⋅(s−a)⋅(s−b) ⋅(s−c)​=s(s−a)(s−b)(s−c)​. □​​

Площадь треугольника по координатам его вершин равна абсолютной величине 9.0003

12det⁡∣x1y11x2y21x3y31∣. \frac 12 \det \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} .21​det∣∣∣∣∣ ∣​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​111​∣∣∣∣∣∣​.

(Знак положительный, если точки даны по часовой стрелке, и отрицательный, если они даны против часовой стрелки.)

После расширения получаем 12∣x1y2−x3y2+x3y1−x1y3+x2y3−x2y1∣.\frac{1}{2}|x_1y_2-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3+x_2y_3-x_2y_1|.21​∣x1​y2​ −x3​y2​+x3​y1​−x1​y3​+x2​y3​−x2​y1​∣. 92}.21​⎝⎛​det∣∣∣∣∣∣​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​111​∣∣∣∣∣∣​⎠⎞​2+⎝⎛​det∣∣ ∣∣∣∣​x1​x2​x3​z1​z2​z3​​111​∣∣∣∣∣∣​⎠⎞​2+⎝⎛​det∣∣∣∣∣∣​z1​z2​z3​ ​y1​y2​y3​111​∣∣∣∣∣∣​⎠⎞​2​.

Или это просто абсолютное значение

12det⁡∣x1y1z1x2y2z2x3y3z3∣. □\frac 12 \det \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} .\ _\square21​det∣∣∣∣∣∣​x1 ​x2​x3​​y1​y2​y3​z1​z2​z3​​∣∣∣∣∣∣​. □​

Координаты вершин треугольника заданы как A=(1,7),B=(4,5),C=(10,12)A=(1,7), B=(4,5) , С=(10,12) А=(1,7),В=(4,5),С=(10,12). Найдите площадь треугольника ABCABCABC.

---

У нас есть

(Площадь) = 12∣17145110121∣=12[(1⋅5+4⋅12+10⋅7)−(4⋅7+5⋅10+12⋅1)]=1612. □\begin{align} (\text{Area}) &=& \frac12 \begin{vmatrix}1 & 7 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 10 & 12 & 1 \end{vmatrix} \\ &=& \frac12 \big[ (1\cdot5 + 4\cdot12 + 10\cdot7) -(4\cdot7+5\cdot10+12\cdot1) \big] \\ &=& 16\tfrac12.\ _\ квадрат \end{aligned} (Площадь)​===​21​∣∣∣∣∣∣​1410​7512​111​∣∣∣∣∣∣​21​[(1⋅5+4⋅12+10⋅ 7)−(4⋅7+5⋅10+12⋅1)]1621​. □​​

92-1y=x2−1 и расширяя, получаем 12∣(x−2)(5x+13)∣.\frac{1}{2}\big|(x-2)(5x+13)\big| .21​∣∣​(x−2)(5x+13)∣∣​.

Используя −b2a\frac{-b}{2a}2a−b​, максимум приходится на x=−310x=-\frac{3}{10}x=−103​.

Однако, поскольку это уравнение с абсолютным значением и оба корня находятся между −3-3−3 и 333, мы должны проверить, какое значение x=−3,3,−310x={-3,3,-\ frac{3}{10}}x=−3,3,−103​ максимизирует функцию. Таким образом, после небольшого затыкания и пыхтения, мы обнаруживаем, что x=310x=\frac{3}{10}x=103​ дает наибольшее значение площади треугольника ABC,ABC,ABC, равное 52940. \фрак{529}{40}.40529​. □_\квадрат□​

Для этого есть несколько элегантных доказательств, в которых используются векторные перекрестные произведения, определители и исчисление. Однако, поскольку это вики по геометрии, я опубликую простейшее геометрическое доказательство. К сожалению, хотя это и самое простое, но и самое уродливое.

Для простоты обозначим x1=a, x2=b, x3=c, y1=d, y2=e, y3=fx_1=a, ~ x_2=b,~ x_3=c,~ y_1=d, ~ y_2= e, ~ y_3=fx1​=a, x2​=b, x3​=c, y1​=d, y2​=e, y3​=f.

92}=|x|.x2​=∣x∣. Таким образом, извлекая квадратный корень из обеих частей, мы получаем

.

∣T∣=12∣(a−c)(e−d)−(a−b)(f−d)∣. □|T|=\frac{1}{2}\big|(a-c)(e-d)-(a-b)(f-d)\big|. \ _\square∣T∣=21​∣∣​(a−c)(e−d)−(a−b)(f−d)∣∣​. □​

24 27 30 36

Если длина стороны каждого квадрата равна 1, какова площадь синей трапеции?

Примечание. У трапеции есть как минимум пара параллельных сторон. В Великобритании он также известен как трапеция.

Синий регион Желтая область Они равны

Квадрат и «сюрикен» (метательная звезда) нарисованы на сетке 4×44\x 44×4, состоящей из 25 равноудаленных точек, как показано выше.

Какая цветная область имеет большую площадь?

Найдите площадь изображенного треугольника.

Как показано, квадрат разделен на 4 цветных треугольника, и число в каждом треугольнике указывает площадь этого треугольника.

Какова площадь синего треугольника?

Теперь, когда вы изучили все возможные формулы, давайте рассмотрим несколько примеров.

Если длины двух сторон треугольника равны 10 и 11, какова максимально возможная площадь этого треугольника?

---

Поскольку формула площади треугольника 12absin⁡C\frac12 ab \sin C 21​absinC с 0 Значит, площадь равна 12⋅10⋅11⋅1=55. □ \frac 12 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 1 = 55. \ _\square21​⋅10⋅11⋅1=55. □​

Обратите внимание, что площадь максимизируется, когда треугольник является прямоугольным.

Треугольник А Треугольник Б Их площади равны Невозможно определить

Какой из следующих треугольников имеет большую площадь:

• треугольник A со сторонами 13,13,10 13, 13, 10 13,13,10 или
• треугольник B со сторонами 13,13,24 ? 13, 13, 24\, ?13,13,24?

120 100 240 160 220

92?см2?

На диаграмме относительные длины некоторых сегментов линии следующие:

CE=AE,DB=2AD,CF=3BF. \begin{array}{c}&CE=AE, &DB=2AD, &CF=3BF. \end{array}​CE=AE,​DB=2AD,​CF=3BF.​

Если площадь △ABC\треугольника ABC△ABC равна 24,24,24, какова площадь △DEF?\ треугольник DEF?△DEF?

Радиус окружности равен 202020 и ∠AOB=310π.\угол AOB=\frac{3}{10} \pi.∠AOB=103​π.

Если CCC — точка на BO‾\overline{BO}BO такая, что AC‾\overline{AC}AC — биссектриса ∠BAO,\угла BAO,∠BAO, какова длина BC‾?\overline {БК}?БК?

Округлите ответ до 3 знаков после запятой.

На рисунке ΔABC≅ΔEDF \Delta ABC \cong \Delta EDF ΔABC≅ΔEDF с AC‾=EF‾=8\overline{AC} = \overline{EF} = 8AC=EF=8.

Если ΔDEF \Delta DEFΔDEF расположен так, что DDD лежит вдоль AB‾\overline{AB}AB и площадь многоугольника ADECADECADEC равна 28,28,28, какова длина FC‾?\overline{FC }?ФК? 92 A} = \frac{\sqrt{135}{16} sinA=1−cos2A​=16135​​. Обратите внимание, что мы берем только положительный квадратный корень, потому что синус любого угла треугольника неотрицательный.

Следовательно, площадь равна

(площадь)=12bcsin⁡A=12⋅7⋅8⋅13516=74135≈20,333. □ (\text{Площадь}) = \frac12 bc \sin A = \frac12 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{135}}{16} =\frac74 \sqrt{135} \приблизительно 20,333. \ _\square(Area)=21​bcsinA=21​⋅7⋅8⋅16135​=47​135​≈20,333. □​

Обратите внимание, что мы также можем получить площадь этого треугольника, используя формулу Герона: (Площадь)=s(s−a)(s−b)(s−c).(\text{Площадь}) = \sqrt{s( s-a)(s-b)(s-c)}.(Площадь)=s(s-a)(s-b)(s-c)​. 9{\circ}угол 60∘.

Если сумма площадей 333 самых маленьких треугольников равна ab,a\sqrt{b},ab​, где aaa и bbb — целые числа, а bbb не содержит квадратов, введите ответ в виде a+ba+ba+b .

---

• Это часть набора «Десятка Тревора».
• Полезная гениальная вики: площадь треугольника
• Изображение предоставлено: Wikimedia Congruent Triangles by Ilmari Karonen

В геометрии формула Герона утверждает, что площадь треугольника, стороны которого имеют длины aaa, bbb и ccc, равна 92}. \end{align}A​====​41​(a+b+c)(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)​41​2(a2b2+b2c2 +c2a2)−(a4+b4+c4)​41​(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4)​41​4a2b2−(a2+b2−c2)2​.​

Два другие формулы площади имеют ту же структуру, что и формула Герона, но выражаются через другие переменные.

Во-первых, обозначив медианы сторон aaa, bbb и ccc соответственно как u,vu, vu,v и www, а их полусумму как

σ=u+v+w2,\sigma = \frac{u+ v+w}{2},σ=2u+v+w​,

имеем

A=43σ(σ−u)(σ−v)(σ−w).A = \frac{4}{ 3}\sqrt{\sigma(\sigma-u)(\sigma-v)(\sigma-w)}.A=34​σ(σ−u)(σ−v)(σ−w)​. 9{-1}\right)}.A−1=4H(H−p−1)(H−q−1)(H−r−1)​.

Другие формулы включают

• 12bh,\frac {1}{2} b h,21​bh, где bbb — основание, а hhh — высота;
• 12absin⁡C,\frac {1}{2} a b \sin C,21​absinC, где CCC — угол, со сторонами bbb и c;c;c;
• abc4R,\frac {abc}{4R},4Rabc​, где RRR — радиус описанной окружности;
• rs,rs,rs, где rrr — внутренний радиус, sss — полупериметр;
• Теорема Пика для площади многоугольника решетки.

Цитировать как: Площадь треугольника. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/triangles-calculation-area/

Треугольник Геометрия Формулы Стокол-ФТОС Und Bilder

• Creative
• Редакция

• 13737187737373737373733737187373373333333333333333333333.10189861877373737373718737337371873718733333333333333333333333333333333333 неайл. Am beliebtesten

Alle Zeiträume24 Stunden48 Stunden72 Stunden7 Tage30 Tage12 MonateAngepasster Zeitraum

• Lizenzfrei
• Lizenzpflichtig
• RF und RM

Lizenzfreie Kollektionen auswählen >Editorial-Kollektionen auswählen >

Bilder zum Einbetten

Durchstöbern Sie 238

triangle geometry formulas Stock-Fotografie und Bilder. Oder starten Sie eine neuesuche, um noch mehr Stock-Photografie und Bilder zu entdecken. пирамидальные структуры — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bildermathematikstunde Probleme Auf Greenboard — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bildergeometriestunde nahtlose muster — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboletrigonometry mathematik class gekritzel — формулы геометрии треугольника stock -grafiken, -clipart, -cartoons und -symboletop view maths студенческие заметки — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bilderzeichnung bleistift skizzen wissenschaftlicher konzepte — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolemathematik уравнения nahtlose — формулы геометрии треугольника Stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleleere buch mit mathematischen symbolen — формулы геометрии треугольника — формулы геометрии треугольника fiken, -clipart, -cartoons und -symbolesustainable city math — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и бильдертеорема Пифагора — формулы геометрии треугольника стоковые графики, -клипарт, -мультфильмы и -символооптическая иллюзия — формулы геометрии треугольника стоковые изображения, -клипарт, -cartoons und -symbolelehrerin frau unterrichte aus der ferne von zu hause mathe-klasse — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и изображения зрелого учителя-мужчины перед доской — формулы геометрии треугольника стоковые фотографии и рисунки kiddo erklärt, mathematik sachen — геометрия треугольника формулы стоковой графики, клипарта, мультфильмов и символов науки и технологии, набор иконок в стиле плоского дизайна. wissenschaftliche symbole und formeln und workelemente sammlung vektor illustration set, weißer hintergrund. — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleganz einfache gleichung der circle — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbole «Дизайн трибуны спикера», 1919. Верхний вид заметок по физике — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильдерматы Ученические заметки — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильярдные заметки по математике сверху — формулы геометрии треугольника стоковые фото и бильдернахтлосе математика хинтегрунд — формулы геометрии треугольника стоковые графики, -clipart, -cartoons und -symboleinfografik icons 1 — monoline serie — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolevon punkt zu punkt-muster — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleclose план розового георгина, вена, австрия — формулы геометрии треугольника konzept der mathematik, chemie symbole sammlung für schule, universität und ausbildung. плоская линия векторных символов для информационных, веб- и мобильных приложений festgelegt. — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symboleabstrakte big data visualisierung digitaler netzwerkverbindungskonzepthintergrund — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolepythorean теорема — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -мультфильмы и -symbolebildung mit computer — формулы геометрии треугольника стоковая графика, -клипарт, -мультфильмы и -символическая иллюстрация, математика и геометрия: перспектива — формулы геометрии треугольника фондовая графика, -клипарт, -мультфильмы и -symbowissenschaft und bildung antikes papier — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolemetall sierpinski dreieck fraktal — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons и -symbolepythorean теорема — формулы геометрии треугольника stock-grafiken, -clipart, -cartoons und -symbolelehrer zeichnet während des unterrichts ein dreieck — формулы геометрии треугольника stock-fotos und bilderwiss enchaft & technologie themen flash design stil icon-set.

No related posts.