Рубрика: Геометрии

Какая линия ограничивает фигуру круг. Рэмп «геометрическая фигура круг

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

• Окружность — линия, ограничивающая круг.
• Дуга — часть окружности.
• Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
• Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
• Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

• Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
• Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
• Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7.

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем . Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Урок математики в 1 классе с ГУО на тему: «Геометрическая фигура: круг»

Цель: Познакомить с геометрической фигурой – кругом. Учить отличать круг от других геометрических фигур и правильно его называть. Закрепить названия цветов. Воспитывать уважительное отношение друг к другу.

I Организационный момент.

1. Кто ходит в гости по утрам,

Тот поступает мудро!

Тарам-парам, тарам-парам,

На то оно и утро!

Дети, какое сейчас время суток? (утро)

Следом за утром приходит … (день)

Часто из гостей возвращаются, когда наступает….(вечер) (С помощью картинок)

2. Посмотрите внимательно на картинки, что на них общее? Чем они все похожи? (на всех картинках нарисовано солнце)

II. Сообщение темы.

Солнце круглое. Сегодня на уроке мы познакомимся с геометрической фигурой – кругом. Поучимся отличать его от других фигур, будем находить предметы круглой формы.

III. Знакомство с фигурой.

1.К нам на урок пришёл гость – Винни-Пух. Он прилетел на воздушных шарах. (Детям раздаются воздушные шары) Шар круглый. (Предложить обвести шар ладонью, пальцем.)

2. Посмотрите на Винни-Пуха, какие части тела у него круглые?

3. Вини-Пух очень любит покушать, и поэтому принёс с собой набор посуды (плоскостные изображения посуды круглой и квадратной формы). Но Вини-Пух любит есть только из посуды круглой формы. Помогите выбрать посуду круглой формы.

4. Пока Вини-Пух добирался до нас, у него разбилось несколько тарелок. Помогите, склейте их! (Дети собирают разрезную картинку)

Какой формы тарелка?

5. Посмотрите вокруг, найдите круглые предметы в нашем классе.

IV. Физ. минутка (хороводная игра)

Ровным кругом друг за другом

Мы идём за шагом шаг.

Дружно вместе все на месте

Делаем вот так!

(Водящий выбирается по очереди)

V. Закрепление изученного

1. У Вини-Пуха много друзей. Он принёс их портреты. (Изображения из геометрических фигур. Рассматриваем, обговариваем, кто это).

Скажите, что у них круглое?

2. Детям раздаются наборы геом.фигур. Найдите круг. (Тактильное обследование, прокатить круг по столу). Обговорить цвет и размер фигур.

Почему круг катится? (потому что нет углов)

Почему колёса круглые? (потому что нет углов, они могут катиться)

3. Выкладывание по образцу изображения из набора геом. фигур. (Друг Винни)

VI. Работа в тетради.

1. Пальчиковая гимнастика.
2. Объяснение задания.
3. Работа в тетради.

VII. Итог: С какой фигурой познакомились? Чем занимались на уроке?

Сегодня мы будем делать цыплёнка. Каким цветом цыпленок? Правильно, жёлтый. Из всех кругов выбери только желтые круги. Потом отложи отдельно голубые круги и зеленые.

Сначала просто выкладываем цыплёнка на бумаге без клея, чтобы у малыша было понимание того, что мы делаем, это также поможет избежать ошибок при работе с клеем.

Большой жёлтый круг будет туловищем цыпленка. Куда мы его положим? (предлагаем ребенку самому выбрать место на листе бумаги).

Кружок поменьше будет головой. Где у нашего цыплёнка будет голова? (ребёнок пусть снова сам выберет место, в какую сторону будет смотреть цыплёнок: вверх на небо и солнце или вниз на травку, может он будет клевать зернышки. Помогайте малышу фантазировать, предлагайте варианты. Маленьким можно подсказать, посоветовать, но не настаивайте, пусть он сам сделает выбор)

Где маленький чёрный кружок? Это будет глаз. Маленький треугольник — клюв, два одинаковых треугольника — лапки. Разложи фигуры на свои места.

Чего не хватает нашему цыпленку? Правильно, крыльев! У нас есть ещё 2 жёлтых круга, один мы отложим — это будет солнце, а из второго сделаем крылья. Как ты думаешь, как из одного круга сделать два крыла? (с этим справятся дети от трёх лет. Пусть ребёнок подержит круг в руках, повертит, приложит к бумаге, возможно, у него появится ответ).

Мы разрежем круг напополам. Для этого давай найдем центр круга. Где центр (середина) у круга? (можно дать ребенку карандаш и предложить самому найти и отметить центр с тыльной (не цветной!) стороны листа. Даже если точка не в центре, а где-то рядом, ничего страшного, похвалите кроху! Если ребёнок мал, сделайте все сами, объясняя каждое действие).

Через центр теперь проведем прямую линию, которая разделит круг напополам. По этой линии мы разрежем наш круг на две части. Получилось два крыла (обязательно разрезайте через точку (центр), указанную ребёнком, во-первых, ребёнок будет чувствовать, что его мнение важно для вас и вы прислушиваетесь к нему, а во-вторых — аппликация будет более художественной)

В ходе занятия для детей постарше можно объяснить, что такое полукруг (или вспомнить эту фигуру)

Посмотри, какие фигуры у нас получились. Это фигура называется полукруг. Пол круга — полукруг (повторяем несколько раз и предлагаем повторить название)
Где будут крылышки у нашего цыплёнка?

Цыплёнка выложили на бумаге, теперь можно приклеить его.

Цыплёнок готов.

Давай возьмём большие зелёные круги (или 1 круг) — это будет наша травка. Как ты думаешь, как из круга сделать травку? Правильно, снова разрезать напополам (повторяем шаги, как с крылышками: даём ребёнку отметить центр, разрезаем и приклеиваем снизу). Чтобы травка была натуральнее, можно сделать небольшие надрезы по округлой стороне.

На небо приклеиваем солнышко.

Облака можно сделать разными способами:

1. Наклеить кружки внахлёст, формируя облако. Разный размер кружков сделает форму облака более натуральной.
2. Разрезать круги напополам и также наклеивать внахлёст.

У нас получилось по-другому: Поля захотела сложить круги напополам и приклеить только одну половину круга. Таким образом мы уже делали другие поделки и этот вариант ей понравился.

Когда бумага окончательно высохнет, можно дорисовать солнечные лучи и цветы на травке карандашом. Можно сделать это пластилином. Пусть малыш выбирает сам.

Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас — атомы и молекулы — имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Молекулы воды — основы всего живого — тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо — птицы вьют его также в этой форме.

Данная фигура в древних помыслах культур

Круг — это символ единства. Он присутствует в разных культурах во многих мельчайших деталях. Мы даже не придаем столько значения этой форме, как это делали наши предки.

Издавна круг — это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. В дохристианскую эпоху он был древним знаком колеса солнца. Все точки в эквивалентны, линия круга не имеет ни начала, ни конца.

А центр круга был источником бесконечного вращения пространства и времени для масонов. Круг — конец всех фигур, недаром в нем была заключена тайна творения, по мнению масонов. Форма циферблата часов, имеющая тоже такую форму, обозначает собой непременное возвращение в точку отправления.

Эта фигура имеет глубокий магический и мистический состав, которым его наделили многие поколения людей из разных культур. Но что собой представляет круг как фигура в геометрии?

Что такое окружность

Часто понятие круга путают с понятием окружности. Это немудрено, ведь они между собой очень тесно взаимосвязаны. Даже названия их схожи, что вызывает много путаницы в незрелых умах школьников. Чтобы разобраться, «кто есть кто», рассмотрим эти вопросы подробнее.

По определению, окружностью является такая кривая, которая замкнута, и каждая точка которой находится равноудалённо от точки, именуемой центром окружности.

Что необходимо знать и чем уметь пользоваться, чтобы построить окружность

Чтобы построить окружность, достаточно выбрать произвольную точку, которую можно обозначить как О (именно так в большинстве источников именуются центр окружности, не будем отходить от традиционных обозначений). Следующим этапом идет использование циркуля — инструмента для черчения, который состоит из двух частей с закрепленными на каждой из них либо иглой, либо пишущим элементом.

Эти две части соединены между собой шарниром, что позволяет выбирать произвольный радиус в определенных границах, связанных с длиной этих самых частей. С помощью данного прибора в произвольную точку О устанавливается остриё циркуля, а карандашом уже очерчивается кривая, которая из итоге получается окружностью.

Какими величинами характеризуется окружность

Если соединить при помощи линейки центр окружности и любую произвольную точку на кривой, полученной в результате работы циркулем, мы получим Все такие отрезки, именуемые радиусами, будут равны. Если же соединить при помощи линейки прямой линией две точки на окружности и центр, мы получим ее диаметр.

Для окружности также характерно вычисление ее длины. Чтобы ее найти, необходимо знать либо диаметр, либо радиус окружности и воспользоваться формулой, представленной на рисунке ниже.

В этой формуле С — длина окружности, r — радиус окружности, d — диаметр, а число Пи — константа со значением 3,14.

Кстати, константа Пи была вычислена как раз из окружности.

Оказалось, что независимо от того, каков диаметр круга, соотношение длины окружности и диаметра одинаковое, равное примерно 3,14.

В чем же главное отличие круга от окружности

По сути, окружность — это линия. Она не является фигурой, она является кривой замкнутой линией, не имеющей ни конца, ни начала. А то пространство, что расположено внутри нее — это пустота. Простейшим примером окружности выступает обруч или, по-иному, хула-хуп, который дети используют на занятии физической культуры или же взрослые, для того чтобы создать себе стройную талию.

Теперь мы подошли к понятию того, что такое круг. Это в первую очередь фигура, то есть некое множество точек, ограниченных линией. В случае круга этой линией выступает окружность, рассмотренная выше. Выходит, что круг — это окружность, в середине которой не пустота, а множество точек пространства. Если натянуть на хула-хуп ткань, то мы уже не сможем его крутить, ведь он будет уже не окружностью — его пустота замещена тканью, куском пространства.

Перейдем непосредственно к понятию круга

Круг — геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной окружностью. Для него также характерны такие понятия, как радиус и диаметр, рассмотренные выше при определении окружности. И вычисляются они точно таким же образом. Радиус круга и радиус окружности являются идентичными по размеру. Соответственно, длина диаметра тоже аналогична в обоих случаях.

Так как круг является частью плоскости, то для него характерно наличие площади. Вычислить ее можно снова-таки при помощи радиуса и числа Пи. Формула выглядит следующими образом (см. рисунок ниже).

В данной формуле S — площадь, r — радиус круга. Число Пи — снова та же константа, равная 3,14.

Формула круга, для вычисления которой возможно также использовать диаметр, изменяется и принимает вид, представленный на следующем рисунке.

Одна четвертая появляется из того, что радиус — это 1/2 диаметра. Если радиус в квадрате, выходит, что соотношение преобразуется до вида:

r*r = 1/2*d*1/2*d;

Круг — это фигура, в которой можно выделить отдельные части, например сектор. Выглядит он как часть круга, которая ограничена отрезком дуги и его двумя радиусами, проведенными из центра.

Формула, которая позволяет вычислить площадь данного сектора, представлена на нижеследующем рисунке.

Использование фигуры в задачах с многоугольниками

Также круг — геометрическая фигура, которая часто используется в комплекте с другими фигурами. Например, такими как треугольник, трапеция, квадрат или ромб. Нередко встречаются задачи, где нужно найти площадь вписанного круга или, наоборот, описанного вокруг определенной фигуры.

Вписанный круг является таким, который соприкасается со всеми сторонами многоугольника. С каждой стороной любого многоугольника у окружности должна быть точка соприкосновения.

Для определенного вида многоугольника определение радиуса вписанной окружности вычисляется по отдельным правилам, которые доступно объясняются в курсе геометрии.

Можно привести для примера несколько из них. Формула круга, вписанного в многоугольники, может вычисляться следующим образом (ниже на фото приведено несколько примеров).

Несколько простых примеров из жизни, для того чтобы закрепить понимание разницы между кругом и окружностью

Перед нами Если он открыт, то железная каемка люка — это окружность. Если он закрыт, то крышка выступает в роли круга.

Окружностью также можно назвать любое кольцо — золотое, серебряное или бижутерию. Кольцо, которое держит на себе связку ключей, — тоже окружность.

А вот круглый магнит на холодильнике, тарелка или блинчики, испеченные бабушкой, -это круг.

Горлышко бутылки или банки при виде сверху — это окружность, а вот крышка, которая закроет это горлышко, при том же виде сверху является кругом.

Таких примеров можно привести множество, и для усвоения такого материала их нужно приводить, чтобы дети лучше улавливали связь теории с практикой.

Тема урока

Геометрические фигуры

Что такое геометрическая фигура

Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.

Термин «фигура» в какой-то степени формально применяется к множеству точек, но как правило фигурой принято называть такие множества, которые расположенные на плоскости и ограничиваются конечным числом линий.

Точка и прямая — это основные геометрические фигуры, расположенные на плоскости.

К самым простым геометрическим фигурам на плоскости принадлежат — отрезок, луч и ломаная линия.

Что такое геометрия

Геометрия – это такая математическая наука, которая занимается изучением свойств геометрических фигур. Если дословно перевести на русский язык термин «геометрия», то он обозначает «землемерие», так как в стародавние времена основной задачей геометрии, как науки, стало измерение расстояний и площадей на поверхности земли.

Практическое применение геометрии бесценно во все времена и независимо от профессии. Без знаний геометрии не может обойтись ни рабочий, ни инженер, ни архитектор и даже художник.

В геометрии есть такой раздел, который занимается изучением различных фигур на плоскости и называется планиметрия.

Вам уже известно, что фигурой называют произвольное множество точек, находящиеся на плоскости.

К геометрическим фигурам принадлежат: точка, прямая, отрезок, луч, треугольник, квадрат, круг и другие фигуры, которые изучает планиметрия.

Точка

Из выше изученного материала вам уже известно, что точка относится к главным геометрическим фигурам. И хотя это самая малая геометрическая фигура, но она необходима для построения других фигур на плоскости, чертеже или изображении и является основой для всех остальных построений. Ведь построение более сложноватых геометрических фигур складывается из множества точек, характерных для данной фигуры.

В геометрии точки обозначают прописными буквами латинского алфавита, например, такими, как: А, В, С, D ….

А теперь подведем итог, и так, с математической точки зрения, точка является таким абстрактным объектом в пространстве, который не имеет объема, площади, длины и других характеристик, но остается одним из фундаментальных понятий в математике. Точка – это такой нульмерный объект, которые не имеет определения. По определению Евклида, точкой называют то, что невозможно определить.

Прямая

Как и точка, прямая относится к фигурам на плоскости, которая не имеет определения, так как состоит из бесконечного множества точек, находящихся на одной линии, которая не имеет ни начала ни конца. Можно утверждать, что прямая линия бесконечна и не имеет предела.

Если же прямая начинается и заканчивается точкой, то она уже не является прямой и называется отрезком.

Но иногда прямая, с одной стороны имеет точку, а с другой нет. В таком случае прямая превращается в луч.

Если же взять прямую и на ее средине поставить точку, то она разобьет прямую на два противоположно направленных луча. Данные лучи являются дополнительными.

Если же перед вами несколько отрезков, соединенных между собой так, что конец первого отрезка становиться началом второго, а конец второго отрезка — началом третьего и т. д., и эти отрезки находятся не на одной прямой и при соединении имеют общую точку, то такая цепочка является ломаной линией.

Задание

Какая ломаная линия называется незамкнутой?
Как обозначается прямая?
Как называется ломаная линия, у которой четыре замкнутых звена?
Какое название имеет ломаная линия с тремя замкнутыми звеньями?

Когда конец последнего отрезка ломаной совпадает с началом 1-го отрезка, то такую ломаную линию называют замкнутой. Примером замкнутой ломаной является любой многоугольник.

Плоскость

Как точка и прямая, так и плоскость является первичным понятием, не имеет определения и у нее нельзя увидеть ни начала, ни конца. Поэтому, при рассмотрении плоскости, мы рассматриваем только ту ее часть, которая ограничивается замкнутой ломаной линией. Таким образом, плоскостью можно считать любую гладкую поверхность. Этой поверхностью может быть лист бумаги или стола.

Угол

Фигура, которая имеет два луча и вершину, называется углом. Место соединения лучей, является вершиной этого угла, а его сторонами считаются лучи, которые этот угол образуют.

Задание:

1. Как в тексте обозначают угол?
2. Какими единицами можно измерить угол?
3. Какие бывают углы?

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.

Прямоугольник, квадрат и ромб являются частными случаями параллелограмма.

Параллелограмм, имеющий прямые углы равные 90 градусам, является прямоугольником.

Квадрат — это тот же параллелограмм, у него и углы и стороны равны.

Что до определения ромба, то это такая геометрическая фигура, все стороны которого равны.

Кроме того, следует знать, что любой квадрат является ромбом, но не каждый ромб может быть квадратом.

Трапеция

При рассмотрении такой геометрической фигуры, как трапеция, можно сказать, что в частности она, как и четырехугольник имеет одну пару параллельных противолежащих сторон и является криволинейной.

Окружность и круг

Окружность — геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.

Треугольник

Также к простым геометрическим фигурам принадлежит и уже изучаемый вами треугольник. Это один из видов многоугольников, у которого часть плоскости ограничена тремя точками и тремя отрезками, которые соединяют эти точки попарно. Любой треугольник имеет три вершины и три стороны.

Задание: Какой треугольник называют вырожденным?

Многоугольник

К многоугольникам относятся геометрические фигуры разных форм, у которых замкнутая ломаная линия.

В многоугольнике все точки, которые соединяют отрезки, являются его вершинами. А отрезки, из которых состоит многоугольник, являются его сторонами.

А известно ли вам, что возникновение геометрии уходит в глубину веков и связано с развитием различных ремесел, культуры, искусства и наблюдением за окружающим миром. Да и название геометрических фигур является тому подтверждением, так как их термины, возникли не просто так, а благодаря своей схожести и подобию.

Ведь термин «трапеция» в переводе с древнегреческого языка от слова «трапезион» обозначает столик, трапеза и другие производные слова.

«Конус» произошел от греческого слова «конос», что в переводе звучит, как сосновая шишка.

«Линия» имеет латинские корни и происходит от слова «линум», в переводе это звучит, как льняная нить.

А знаете ли вы, что если взять геометрические фигуры с одинаковым периметром, то среди них обладателем самой большой площади оказался круг.

Окружность и круг в школьном учебнике и в окружающем мире

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Чудинов В.Е. 1

1Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №24

Паршева В.В. 1

1Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №24

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Окружность и круг – это геометрические фигуры, которые с древних времен до настоящего времени нашли широкое применение в жизни людей. Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и велосипеда, и монеты, и диск Луны. На первый взгляд, кажется, что круг — очень обычная и простая фигура, но это далеко не так. На самом деле окружность и круг таят в себе множество загадок и тайн, имеют увлекательную историю их изучения. Математики стали активно заниматься изучением этих геометрических фигур очень давно.

Окружность и круг – это понятия, которые изучаются в школьном курсе математики с начальных классов, но тем не менее нас заинтересовали некоторые вопросы, связанные с этими понятиями. Мы обнаружили , что в учебниках разных авторов одно и то же понятие окружности определяются по разному, нам неизвестна история появления понятий окружность и круг, интересно было узнать как велико применение окружности и круга.

Гипотеза: выполнив работу, мы уточним понятие окружности, установим разные способы построения окружности, способы нахождения центра и измерения диаметра окружности.

Объект исследования: окружность.

Предмет исследования: обобщение сведений об окружности.

Задачи исследования:

1). Изучить историю возникновения понятия окружности и циркуля.

2). Проанализировать и обобщить информацию об окружности.

3).Проверить экспериментальным путем способы: построения окружности, нахождения центра и диаметра окружности.

4). Проанализировать информацию о применении окружности в окружающей жизни.

Методы исследования:

— анализ учебников по геометрии и справочной литературы;

— компьютерное моделирование в ИГС GEOGEBRA

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Окружность и круг в школьном учебнике и в окружающем мире

1. 1. Истории возникновения окружности.

Круг и окружность – одни из самых древнейших фигур в геометрии. Первобытным людям очень важна была форма предметов, которые их окружали. Свои названия круг и окружность получили только в Древней Греции, хотя были известны задолго до Античности. Философы древнего мира придавали окружности большое значение. Древние греки видели в ней венец совершенства. Античные ученые рассматривали прямые и окружности как единственный пример «совершенных» фигур, потому что в геометрии считались допустимыми только построения с помощью циркуля и линейки, а движение планет моделировалось как наложение вращений по окружностям. Теории окружностей посвящена III книга «Начал» Евклида. Изучением и применением окружностей занимался Архимед. Архимед в III веке до н.э. обосновал в свое небольшой работе «Измерение круг» следующее положение: отношение любой окружности к ее диаметру меньше 3 целых 1/7 и больше 3 целых 10/71. Он доказал, что площадь круга площади любого описанного около него правильного многоугольника, но больше площади вписанного; что при неограниченном удвоении числа сторон разность площадей этих многоугольников равна нулю; при неограниченном удвоении его сторон. Для вычисления площади круга остается найти значение, к которому стремится значение площади правильного многоугольника. Пифагор считал круг воплощением нескончаемого Времени и Пространства, символом всего сущего, Вселенной. “Из всех фигур прекраснейшая – круг”, – считал Пифагор.

Окружность, наряду с прямой, является самой распространённой фигурой практически во всех областях человеческой деятельности. Еще с самых давних времен люди пользовались для перевозки тяжестей круглыми бревнами. История исследования и применения окружности уходит в глубокую древность; особенную важность придало этой теме изобретение колеса. Окружность уникальна тем, что каждая ее точка равноудалена от центра. Именно благодаря этому свойству стало возможным изобретение колеса, потому что все точки обода колеса должны быть на одинаковом расстоянии от оси. Достоверно известно, что тележное колесо существовало в Месопотамии еще в 3500-3000 гг. до н. э.

Вывод. Изучив информацию из различных источников мы сделали вывод, что окружность и круг люди в своей жизни используют с незапамятных времен.

1.2. Истории возникновения циркуля.

Латинское слово «circulus» означает «окружность, круг». В русский язык слово «циркуль», вероятно, пришло через польский или немецкий языки – от слов «cyrkul» или «Zirkel».

Ци́ркуль (от лат. circulus — круг, окружность) — инструмент для черчения окружностей и дуг, также может быть использован для измерения расстояний, в частности, на картах. Может быть использован в геометрии, черчении, для других целей в жизни человека.

История циркуля началась еще несколько тысячелетий назад. Легенды и мифы Древней Греции повествуют нам о том, что этот прибор был изобретен Талосом – племянником Дедала. Талос изобрел устройство, позволяющее рисовать абсолютно идеальный круг, соединив два одинаковых по длине стержня.   В ходе раскопок древнего кургана во Франции археологами был найден циркуль, возраст которого составляет около двух тысяч лет. Чуть меньше возраст бронзовых циркулей, найденных во время археологических раскопок древнегреческого города Помпеи. Их возраст насчитывает около 1900 лет. В древней Руси для вычерчивания окружности тоже применялся циркуль. С его помощью наши предки создавали геометрические узоры. В древности на Руси циркуль называли «кружало». Стальные циркули (конец VIII века — середина XI в.) археологи нашли при раскопках в Новгороде и в Ленском районе Архангельской области в урочище около д. Тохта на берегу реки Яренга (1928г. А.С. Сидоров).

2.1.Сравнение понятий окружности в различных источниках.

В учебной литературе приведены следующие понятия окружности.

Анатасян Л.С. окружностью называет геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки [1].

А.Г.Мерзляк окружностью считает геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки [7].

Глейзер Г.Д. окружностью называет геометрическую фигуру, состоящую из всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки этой же плоскости [ 3].

Приведем пример: электрическая лампочка на столбе освещает круг, ограниченный окружностью, все точки которой удалены от лампочки на одно и то же расстояние. По первому определению центром окружности может быть лампочка и радиусом – отрезок, соединяющий лампочку и любую точку окружности. С другой стороны: центром может быть основание столба и радиусом – отрезок, соединяющий основание столба и любую точку окружности. Следовательно, окружность имеет два центра и два радиуса, чего не может быть.

Первое определение неточное. Видимо авторы предполагают, что ученик помнит, что все фигуры в планиметрии, которая изучается в 7 классе, принадлежат одной плоскости.

Мы провели несколько экспериментов.

1. На поверхности шара провели замкнутую линию. Все ее точки равноудалены от одной точки — центра сферы, но линия не является окружностью, т. к, точки линии и центр сферы не лежат в одной плоскости.

2 . Построили сферу, цилиндр, конус и сечения их плоскостями в ИГС GeoGebra .

Сечения сферы – это круги, они ограничены окружностями. Таким образом, на сфере можно изобразить окружность – это линия пересечения поверхности шара (сферы) с плоскостью, которая пересекает шар.

Е сли построить секущую плоскость цилиндра перпендикулярно его оси, то в сечении получаются равные круги, на боковой поверхности – равные окружности, центры которых находятся на оси цилиндра.

Е сли построить секущую плоскость конуса перпендикулярно его оси, то в сечении получаются круги, на боковой поверхности – окружности разных радиусов, центры которых находятся на оси конуса.

Итак, можно сделать вывод, что все точки окружности и ее центр должны находиться в одной плоскости, в противном случае эта линия не будет окружностью.

2 .2. Точки, отрезки, связанные с понятием окружность.

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности.

О трезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса. Радиусы одной окружности равны между собой, следовательно, и диаметры одной окружности равны между собой. Две окружности равны, если равны их радиусы (диаметры).Центр окружности является серединой любого диаметра.

Взаимное расположение точек:

— Все точки окружности удалены от центра на одно и то же расстояние; например АС=r.

— Все точки, расположенные внутри окружности, удалены от центра меньше, чем на радиус; например, ОD<r.

— Все точки, расположенные вне окружности, удалены от центра больше, чем на радиус; например, ОH>r.

Возник проблемный вопрос: сколько точек надо выбрать, чтобы построить единственную окружность, проходящую через эту точку?

П остроив в ИГС GeoGebra окружности, мы пришли к следующим выводам:

-Через одну точку можно провести множество окружностей: центр и радиус выбираются произвольно.

— Через две точки можно провести множество окружностей, их центры лежат на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющего выбранные точки, радиус определяется точкой на серединном перпендикуляре и одной из выбранных точек.

— Окружность однозначно определяется тремя точками.

Также, при построении окружности в ИГС GeoGebra, мы подтвердили следующие свойства окружности:

— Когда точка движется по плоскости — расстояние между этой точкой и некоторой неподвижной точкой остается постоянным, она описывает окружность.

— Окружность не имеет конца. Мы можем двигать сколько угодно острие карандаша по окружности и все же конца окружности не найдем.

— Окружность может скользить сама по себе. Если начертим на бумаге вокруг монеты окружность, то края монеты и окружность на бумаге будут представлять собой одну и ту же окружность. Можем медленно вращать монету таким образом, чтобы края ее все время совпадали с окружностью, начерченной на бумаге. Другие кривые (эллипс, парабола, гипербола) не могут скользить вдоль самих себя.

Выводы. 1. Окружность определяется тремя точками плоскости.

2. Окружность обладает очень важным, замечательным свойством: все точки окружности удалены от центра на одно и то же расстояние, поэтому при вращении вокруг центра окружность будет скользить по самой себе (т. е. копия окружности скользит по самой окружности).

2.3. Способы изображения окружности.

В древности, для того, чтобы очертить круг, брали колышек и веревку. К веревке прикрепляли уголек , кусочек мела, заостренную палочку и  чертили окружность. Позже веревку заменили тонкой веточкой или дощечкой. Это позволило очертить окружности только заданного радиуса, Наконец, и эта проблема была решена – к одной дощечке прикрепили другую и скрепили их между собой. Таким образом, был изобретен циркуль.

Все мы использовали циркуль в школе на уроках геометрии и черчения для рисования окружностей и дуг. Как правило, циркуль изготавливают из металла. Он представляет собой две одинаковые по длине «ножки», на конце одной их них находится игла, а другой – грифель. Есть также циркули с одной ножкой с иглой на конце, а в качестве второй выступает карандаш. Однако циркуль применяется не только для рисования окружностей, но и для измерения расстояний, например на картах. В таком случае используют циркуль с иглами на концах, без грифеля. В измерительном циркуле на концах обеих ножек находятся иглы.

Алгоритм построения окружности с помощью циркуля.

1) Отметили в тетради точку и назвали ее буквой О (это будет центр окружности).

2) Взяли циркуль и линейку, отмерили нужное расстояние (например, 4см) между «ножками» циркуля.

3) Поставили иголку циркуля в точку О, одной рукой придерживая лист, а другой чертили окружность «ножкой» циркуля, касаясь бумаги грифелем, провели замкнутую линию.

4) Все время контролировали сохранение нужного радиуса, удерживали циркуль за головку. Наклон делали в сторону движения.

Правила работы с циркулем. Циркуль – это чертежный инструмент. На одном конце у него находится игла, на другом грифель или карандаш. С ним надо обращаться осторожно, чтобы не уколоться и не поломать грифель карандаша.

Изображая окружность, мы придерживались правил работы с циркулем: циркуль готов к работе, когда иголка циркуля и грифель находятся на одном уровне. Взять нужный размер и затянуть винт. При проведении окружности нужно циркуль держать за головку.

НЕЛЬЗЯ:

— при работе с циркулем оставлять циркуль в раскрытом виде;

— подносить циркуль иглой к лицу;

— передавать циркуль соседу «иглой вперед»;

— держать циркуль вверх концами;

Окончив, работу циркуль надо положить в футляр.

Чтобы построить окружность на местности (например, при разметке ф утбольного поля, площадки для игры в баскетбол, для разметки круглой клумбы, круглого бассейна) применяют веревку, на одном конце которой закреплен стержень, а на другом мел или острый предмет, которыми чертят окружность.

2.4. Способы нахождения центра окружности.

Начертив окружность с помощью циркуля, мы легко определим её центр по точке иглы в центе. Но бывают случаи, когда есть окружность, но не обозначен центр. Для того, чтобы найти центр окружности, мы провели несколько экспериментов.

Первый эксперимент: «Как найти центр круга (окружности), если круг вырезан из бумаги?»

Наша окружность была начерчена на листе бумаги. Мы обвели её по периметру, положив на лист бумаги, затем вырезали по начерченной линии круг. Затем согнули его вчетверо и нашли центр. Он находился точно на линии пересечения сгибов.

Второй эксперимент: «Как найти центр окружности с помощью прямоугольного треугольника». Мы действовали по следующему алгоритму.

1.Приложили прямоугольный треугольник вершиной к любой точке окружности во внутренней части окружности так, чтобы вершина прямого угла была на окружности, а катеты пересекали окружность в двух точках.

2. Провели прямую через эти две точки (линию по гипотенузе треугольника).

3. Изменили положение треугольника, вершина должна быть на окружности, а катеты пересекать окружность. Через точки пересечения катетов с окружностью провели прямую (треугольник повернули на некоторый угол и операции 1 и 2 повторили).

4.Получили точку пересечения полученных отрезков. Она и является центром окружности.

Таким образом, оказалось, что какой-бы прямой угол с помощью прямоугольного треугольника не вписать в окружность – гипотенуза полученного треугольника является диаметром окружности.

Т ретий эксперимент: «Нахождение центра окружности (круга) с помощью угольника – центроискателя».

2.5. Способы нахождения диаметра окружности.

Диа́метр — отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности, а также длина этого отрезка. Диаметр равен двум радиусам. Обобщённо диаметром фигуры называется максимальное расстояние между точками этой фигуры, или точная верхняя грань всевозможных расстояний, если максимальное не существует.

К ак же измерить диаметр круга? Мы провели эксперимент по измерению диаметра круга с помощью линейки и двух чертежных треугольников.

На производстве диаметр можно вычислить несколькими способами.

1 . С помощью специального инструмента – штангенциркулем. Штангенци́ркуль — это универсальный измерительный прибор, предназначенный для высокоточных измерений наружных и внутренних линейных размеров, а также глубин отверстий. Штангенциркуль — один из самых распространённых приборов измерения, благодаря простой конструкции, удобству в обращении и быстроте в работе.

2. С помощью мерной вилки (например измерить диаметр ствола)

3 . С помощью центроискателя.

4. С помощью рулетки измерить длину окружности (обхват ствола) и вычислить по формуле: L=2πr; 2r=d; L=πd.d=L/π.

5. В тетради в клеточку окружность можно нарисовать по числовым заклинаниям (Приложение 1)

3. Применение окружности в разных сферах жизни.

Круг и окружность в жизни человека имеют очень важную роль, и в жизни без круглых предметов обойтись невозможно. Рассмотрим поподробнее применение свойств окружности.

1. Применение свойства окружности в технике и быту: колеса телег, вагонов, автомобилей делаются круглые, точки их окружности равноудалены от центра, поэтому, когда колеса катятся, высота оси не меняется и телега, вагон, повозка движутся плавно.

2. Применение кругов и окружностей в промышленности:

— В промышленности, для того чтобы сделать какую- либо деталь круглой формы, обрабатывают ее на станке. Обрабатываемая деталь укрепляется специальным механизмом, который вращается вместе с осью станка. Нож станка приближается по мере надобности к обрабатываемой детали при помощи другого механизма. Когда деталь вращается, нож срезает выступающие части. Все точки детали, через которые прошел нож, находятся от центра на расстоянии, равном расстоянию от центра до верхушки ножа. Части детали, находящиеся ближе к центру, остаются незатронутыми ножом. После некоторого числа оборотов, во время которых деталь продолжает обрабатываться, нож пройдет через всю наружную часть детали. Край детали становится окружностью, потому что все точки ее находятся на одинаковом расстоянии от центра, равном расстоянию от центра до верхушки ножа.

— Шкивы машин также круглые. Если бы шкивы не были совершенно круглыми, приводной ремень не был бы все время одинаково натянут и благодаря этому мог бы порваться.

— Точильный камень – пример применения круга для заточки ножей и топоров.

— Круглая пила употребляется для пилки дров, а также в столярных мастерских.

3. Применение окружности и круга в повседневной жизни: круг и окружность используется не только в средствах передвижения (в автомобилях, велосипедах, самокатах мотоциклах, в роликовых коньках), но и в различных станках, спортивных сооружениях, и в спортивных залах, и на детских площадках и в парке аттракционов. Форму круга имеют монеты, часы, дорожные знаки, диск луны, солнечный круг, праздничный пирог, пуговицы, клумба, спортивные кольца, арена цирка, стол, диск для компьютера.

Проанализировав варианты применения окружности, мы поняли, что знания о круге и окружности позволяют человеку решать многие практические задачи в повседневной жизни: разбить клумбу или фонтан, сделать круглую крышу, окно или крышку, сшить головной убор, связать салфетку, сделать елочную игрушку, сделать выкройку платья или юбки, нарисовать узор и т. п.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель и задачи исследования выполнены. Наша гипотеза подтвердилась: мы уточним понятие окружности, установим разные способы построения окружности, способы нахождения центра и измерения диаметра окружности.

Изучив материалы школьных учебников и, проделав собственные измерительные исследования с окружностью, мы пришли к следующим выводам:

— с незапамятных времен люди используют в своей жизни круг и окружность;

— все точки окружности и ее центр должны находиться в одной плоскости, в противном случае эта линия не будет окружностью;

— все точки окружности удалены от центра на одно и то же расстояние, поэтому при вращении вокруг центра окружность будет скользить по самой себе;

— чтобы построить окружность надо воспользоваться циркулем;

— центр окружности можно найти разными способами.

— мы поняли, что знания о круге и окружности позволяют человеку решать многие практические задачи в повседневной жизни.

Окружность – это единственная кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра. Это свойство окружности дает ответ на вопросы, почему для ее вычерчивания используют циркуль, и почему колеса делают круглыми, а не квадратными или треугольными. Круг в жизни человека имеет очень важную роль, и без использования круглых предметов обойтись невозможно.

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

1. Атанасян Л. С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия, 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений //М., «Просвещение», 2005- 384с.;

2. Барыбин К.С. Геометрия для 6-8 классов средней школы //М.,»Просвещение», 1966-318с.;

3. Глейзер Г.Д., Геометрия. Учебное пособие для 6-9 классов сменной школы. Под редакцией Скопец З.А.//М., «Просвещение», 1978-120с.;

4. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы //М.,»Просвещение», 1989-287с.;

5. Ершова А. П. Голобородько В.В. Крижановский А.Ф. Тетрадь-конспект по геометрии по учебнику Л.С. Атанасяна и др. для 7класса //М., «Илекса»,2003-96с.;

6. Карпушина Н.М., Развивающие задачи по геометрии, 7 класс //М., «Школьная пресса», 2004-76с.;

7. Мерзляк А.Г. Геометрия. 7 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. – М.: Вентана-Граф, 2019. – 192с.

8. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин.- М.: Педагогика, 1989. – 352с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Как начертить окружность по точкам

Идёт урок геометрии. Нужно начертить в тетради окружность, а циркуля с собой нет. Что делать? Есть простой и эффективный способ нарисовать такую окружность. Вам понадобится лишь тетрадь в клетку и следующее числовое заклинание: “три — один, один — один, один — три”.

Второе числовое заклинание : «Один – пять – один- — два – четыре – четыре — два – один — пять — один»

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Буклеты

Просмотров работы: 590

Диаметр — базовая геометрия

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 Следующая →

Справка по основам геометрии » Плоская геометрия » Круги » Диаметр

Укажите диаметр круга, длина окружности которого равна .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сообщить об ошибке

Периметр круга равен 36 π. Каков диаметр круга?

Возможные ответы:

36

18

72

6

3

Правильный ответ:

36

Пояснение:

Периметр круга = 2 πr = πd

Следовательно, d = 36

Сообщить об ошибке

Две окружности имеют только одну общую точку. Обе окружности имеют радиусы . Если точка находится на первом круге, а точка на втором круге, какова максимально возможная длина линии?

Возможные ответы:

20

24

6

12

18

Правильный ответ:

24

Объяснение:

Первый шаг — нарисовать две окружности, соприкасающиеся в одной точке. Чтобы максимизировать длину , точка и точка должны быть на противоположных концах, как показано на диаграмме. Если радиус круга , то диаметр будет . Следовательно, длина будет .

Сообщить об ошибке

Как называется сегмент, выделенный зеленым цветом?

Возможные ответы:

Диагональ

Радиус

Диаметр

Луч

Хорда

Правильный ответ:

Диаметр

Объяснение:

Диаметр — это максимальное расстояние между двумя точками по периметру окружности. Диаметр проходит через центр окружности.

Сообщить об ошибке

Площадь круга . Каков его диаметр?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Сначала найдите радиус:

Обратите внимание, что , где радиус, а диаметр.

Следовательно, .

Сообщить об ошибке

Круг имеет площадь . Каков диаметр круга?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Площадь круга определяется уравнением , где  – площадь, а  – радиус. Используйте заданную площадь в этом уравнении и решите, чтобы найти радиус круга.

Чтобы найти диаметр круга, умножьте его радиус на .

Сообщить об ошибке

Круг имеет радиус 7 дюймов. Каков диаметр круга?

Возможные ответы:

дюйма

дюйма

дюйма

дюйма

дюйма

Правильный ответ:

дюйма

Объяснение:

Диаметр круга можно записать как , где                         .  .

Следовательно, диаметр круга равен 14 дюймам.

Сообщить об ошибке

Две стороны прямоугольного треугольника имеют соответственно 3 и 4 длины. Чему равна площадь окружности, описанной около треугольника?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы окружность содержала все 3 вершины, гипотенуза должна быть равна диаметру окружности. Гипотенуза и, следовательно, диаметр равны 5, так как это должен быть прямоугольный треугольник 3-4-5.

Уравнение площади круга: A = πr ² .

Сообщить об ошибке

Если площадь круга , каков его диаметр?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Прежде чем мы сможем найти диаметр этого круга, нам нужно найти его радиус. Нам нужно использовать формулу площади окружности:

Учитывая, что площадь равна , мы можем найти радиус

отмените пи и извлеките из него корень, чтобы найти ‘r’.

Теперь, когда радиус найден, мы можем найти диаметр, умножив его на 2.

Сообщить об ошибке

Найдите диаметр круга, площадь которого равна .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Вспомните, как найти площадь круга:

Затем введите информацию, указанную в вопросе.

Отсюда видно, что мы можем найти радиус.

Теперь вспомним связь между радиусом и диаметром.

Подставьте значение радиуса, чтобы найти диаметр.

Сообщить об ошибке

← Назад 1 2 3 4 5 6 7 8 Далее →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по базовой геометрии

9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Полное руководство по кругам

Свойства кругов

Все знают, что такое круг. Мы видим их каждый день по всему миру. Чего мы можем не видеть, так это того, насколько важны круги и как различные свойства круга делают его полезным во многих отношениях. Чтобы понять, как эту уникальную форму можно использовать для решения проблем и понимания окружающего мира, важно понимать свойства круга.

Окружность определяется как фигура с одинаковым расстоянием до всех точек от ее центра. Углов нет, поэтому форма круглая. Чтобы отличить круги друг от друга, их можно назвать по точке в центре.

Круги бывают любого размера, и их можно дополнительно различать, определяя площадь и сечения.

Площадь круга

Радиус, диаметр и длина окружности определяют площадь круга. Окружность — это площадь внешней стороны круга, и ее можно найти, только сначала найдя диаметр и радиус круга. Радиус определяется путем измерения от центра центра к внешней стороне, а диаметр определяется путем измерения расстояния поперек середины или с помощью уравнения 9. 0007 R x 2 = D

Окружность найти немного сложнее. Во-первых, важно понимать число Пи. Для основных математических задач число Пи равно 3,14. Однако полное значение числа Пи еще предстоит определить, поскольку считается, что это бесконечное число. Чтобы найти длину окружности, уравнение 2 π x R = C

Должно быть ясно, что радиус окружности является наиболее важным измерением. Нахождение этого измерения позволяет определить любое другое геометрическое свойство окружности с помощью правильного уравнения. Это доказывается далее, когда мы пытаемся найти площадь круга. Площадь находится с помощью уравнения π x R ² .

Сечения круга

Поскольку круги представляют собой группу точек, находящихся на равном расстоянии от центральной точки, можно определять углы и линии внутри круга. Эти линии называются трансверсалями. Чтобы было ясно, трансверсали определяются как линия, которая пересекает две или более линий и может существовать внутри круга или использоваться для нахождения круга.

Среднее пропорциональное / Построения циркулем и линейкой / Треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Треугольники
5. Построения циркулем и линейкой
6. Среднее пропорциональное

Среднее пропорциональное положительных чисел и — это такое число , которое равно квадратному корню из произведения этих чисел, т.е. .

Среднее пропорциональное носит такое название, потому что число является средним членом пропорции .

Средним пропорциональным (или средним геометрическим) двух отрезков и , называется такой отрезок , что: .

Чтобы построить среднее пропорциональное двух отрезков используют циркуль и линейку.

Ход построения:

Пусть нам даны два отрезка и , строим их.

Затем строим с помощью линейки прямую , отмечаем на ней точку А и строим отрезок АЕ, равный отрезку . Для этого строим с помощью циркуля окружность радиуса с центром А (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом). Затем, аналогично строим отрезок ЕВ, равный отрезку .

Далее найдем середину отрезка АВ. Для этого строим две окружности с центрами А и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая пересечет отрезок АВ в его середине О.

Теперь строим окружность с центром О радиуса ОА.

Затем построим перпендикуляр к прямой так, чтобы он проходил через точку Е, которая делит отрезок АВ в отношении .  Для этого строим окружность произвольного радиуса с центром Е (полностью окружность строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым цветом), данная окружность пересечет прямую в двух точках М и В (точку В мы берем как точку пересечения данной окружности и данной прямой для того, чтобы не добавлять на рисунке лишние элементы, но важно помнить, что точки пересечения окружности с центром Е и прямой  могут быть и другие, все зависит от того, каким мы возьмем радиус окружности с центром Е). Далее строим две окружности с центрами М и В так, чтобы они пересекались в двух точках (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Через точки пересечения данных окружностей проводим прямую, которая будет перпендикулярна к прямой и пересечет окружность с центром О в точке К.

Длина отрезка ЕК и есть искомый отрезок , равный среднему пропорциональному отрезков и , т.е. или .

Советуем посмотреть:

Построение угла, равного данному

Построение биссектрисы угла

Построение перпендикулярных прямых

Построение середины отрезка

Треугольник

Равенство треугольников

Первый признак равенства треугольников

Перпендикуляр к прямой

Медианы треугольника

Биссектрисы треугольника

Высоты треугольника

Равнобедренный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Второй признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Окружность

Построения циркулем и линейкой

Треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 1270, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Урок 22.

На этом уроке мы познакомимся со средним пропорциональным (средним геометрическим) и изучим пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. В ходе решения задач научимся находить те или иные элементы прямоугольного треугольника.

Конспект урока «Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике»

Начнём с повторения уже известных нам сведений о прямоугольном треугольнике.

Прямоугольным называется треугольник, у которого один из углов прямой.

Сторону, лежащую против прямого угла, называют гипотенузой, а две другие — катетами.

Вы уже знакомы с очень важной теоремой, теоремой Пифагора. Она гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

А также вам известны признаки равенства прямоугольных треугольников. Они могут быть равны: по двум катетам, по катету и прилежащему к нему углу, по гипотенузе и острому углу, по катету и гипотенузе.

Сегодня поговорим о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. И начнём с задачи.

Задача. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство.

1.

2.

3.

Так мы доказали, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых, в свою очередь, подобен данному треугольнику.

Определение. Отрезок  называется средним пропорциональным

(или средним геометрическим) для отрезков  и , если .

 Опираясь на данное определение и задачу, решённую нами, докажем следующие утверждения:

высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

В предыдущей задаче нами уже было доказано, что треугольники

катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Докажем второе утверждение.

Для этого воспользуемся подобием треугольников ABC и ACD. Запишем отношение соответствующих сторон.

Отсюда получаем, что АЦ равно корню квадратному из произведения АБ и АД.

Выполним задание.

Задача. Найдите элементы прямоугольного треугольника по известным данным.

 а)

б)

в)

г)

Решение.

а)

б)

в)

г)

Задача. По данным рисунка нужно найти площадь .

Решение.

а)  

1.

2.

3.

б)

1.

2.

3.

4.

Ответ: а) , б) .

Задача.  — ромб,  равно 12, . Найдите площадь ромба.

 Решение.

1.

2. Пусть  

3.

4.

Ответ: .

Подведём итоги урока.

Сегодня вы познакомились с определением среднего геометрического и узнали, как это понятие связано с прямоугольным треугольником.

А именно:

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

Предыдущий урок 21 Средняя линия треугольника

Следующий урок 23 Практические приложения подобия треугольников

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Геометрия 8 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

Среднее пропорциональное — объяснение, пример, формула и часто задаваемые вопросы

Термин «средняя пропорция» также упоминается как среднее геометрическое. Термин «среднее» при использовании отдельно или в контексте со средним, медианой или модой относится к среднему арифметическому или нахождению среднего. Среднее геометрическое или среднее пропорциональное не похоже на среднее арифметическое. В математике средние арифметические имеют дело со сложением, тогда как средние геометрические имеют дело с умножением. Давайте разберемся, что такое средняя пропорция с точки зрения соотношения и пропорции.

В математике Средняя пропорция между двумя членами отношения рассчитывается путем извлечения квадратного корня из произведения двух величин в отношении. Например, в пропорции p:q::r:s мы можем вычислить среднюю пропорцию для отношения p:q, вычислив квадратный корень из произведения величин p и q. Математически средняя пропорция выражается следующим образом:

Средняя пропорция — \[\sqrt{pq}\]

Определить среднюю пропорцию

Средняя пропорция или среднее геометрическое двух положительных чисел p и q есть положительное число x , например что \[\frac{p}{x} = \frac{x}{q}\]. При решении переменной x = \[\sqrt{pq}\] 92= ​​\sqrt{100}\]

x = 10

Следовательно, средняя пропорция между 4 и 25 равна 10.

Средняя пропорция прямых углов

Среднее геометрическое или среднее пропорциональное прямоугольному треугольнику появляется с две популярные теоремы. Давайте разберемся в теореме о средней пропорциональности с точки зрения прямоугольных треугольников.

Теорема 1: Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, создает два треугольника, которые подобны исходному треугольнику и друг другу.

Пример:

Согласно теореме, в правом ABC на высоте CD могут быть установлены следующие соотношения.

△ADC 〜 △CDB

△ACB 〜 △ADC и

△ACB 〜 △CDB

Поскольку треугольники подобны, мы можем установить пропорциональную связь между ними. Две ценные теоремы можно найти, используя 3 пропорции, приведенные ниже:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD}, \frac{AB}{CB} = \frac{CB} {DB}, \frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}\]

Правило высоты

Высота до гипотенузы прямоугольного треугольника равна средней, пропорциональной между левой и правой частями гипотенузы прямоугольного треугольника.

Математически правило высоты гласит:

\[\frac{\text{Одна часть гипотенузы (слева)}}{Высота} = \frac{Высота}{\text{Другая часть гипотенузы (справа)}} \]

Соответственно,

\[\frac{AD}{CD} = \frac{CD}{DB}\]

Правило катетов

Катеты прямоугольного треугольника являются средней долей гипотенузы и часть ноги непосредственно под гипотенузой.

Математически правило катетов гласит:

\[\frac{\text{Гипотенуза прямоугольного треугольника}}{\text{Контакты прямоугольного треугольника}} = \frac{\text{Контакты прямоугольного треугольника}}{Часть} \]

Соответственно,

\[\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{AD} или \frac{AB}{CB} = \frac{CB}{DB}\]

Среднее Формула пропорции

Средняя пропорциональная Примеры с решениями

1. Найдите среднюю пропорциональную между 4 и 9.

Решение:

Пусть средняя пропорция между 4 и 92= ​​\sqrt{144} \]

k = 12

Следовательно, среднее соотношение между 9 и 16 равно 12.

3. Найдите значение x (длина AB)?

Решение:

Сначала найдем длину стороны гипотенузы BC.

BC = BD + DC = 16

Теперь, используя правило сторон:

\[\frac{\text{(Гипотенуза прямоугольного треугольника)}}{\text{(Каташки прямоугольного треугольника)}} =  \ frac{\text{(Контуры прямоугольного треугольника)}}{\text{(Часть)}}\]

Подставляя значение в приведенную выше формулу правила катетов, мы получаем 92 = \sqrt{49}\]

x = 7

Важность средней пропорциональности

Средняя пропорция — одна из самых важных тем математики. Он включает в себя различные теоремы, чтобы найти связь между двумя или более числами. Среднее пропорциональное значение важно для вас по следующим причинам. Основы важности пропорции среднего пригодятся в последующих темах, которые вы будете изучать на уроках математики. С помощью Mean Proportional вы можете изучить различные методы нахождения высоты, гипотенузы и основания прямоугольного треугольника. Примеры дадут вам представление о том, как решать различные типы вопросов на основе концепции средней пропорции.

Используя формулы средней пропорции, вы также можете узнать, является ли набор заданных чисел прямо пропорциональным или обратно пропорциональным. Среднее пропорциональное предоставляет вам множество примеров, которые помогут вам ясно понять концепции.

The Mean Proportional станет полезным учебным материалом во время повторения и подготовки к экзаменам. Это даст вам краткий обзор различных концепций, которые относятся к средней пропорции. Вы можете использовать Mean Proportional, чтобы пересмотреть всю тему и решить вопросы, связанные с ней. После того, как вы тщательно изучите Среднее пропорциональное, решение практических вопросов станет намного проще.

Решение вопросов, связанных со средним пропорциональным

Решение вопросов, связанных со средним пропорциональным, будет довольно простым, если вы знаете все формулы и теоремы из этой главы. Вы можете пройти Mean Proportional на сайте Vedantu абсолютно бесплатно. Как только вы выучите все формулы и их применение, вы будете готовы решать вопросы, основанные на средней пропорции. Используйте следующие советы и приемы при решении таких вопросов, чтобы стать более эффективным: 

• Прежде чем вы начнете задавать вопросы, убедитесь, что у вас есть четкое представление обо всех темах, относящихся к средней пропорции.

• Внимательно прочитайте вопросы, чтобы понять, какие формулы или теоремы будут использоваться в них для получения правильных ответов.

• Обратитесь к примерам средней пропорции, чтобы понять правильную последовательность шагов, которую необходимо выполнить для решения конкретной проблемы.

• Убедитесь, что вы знаете вывод формулы или теоремы, поскольку они пригодятся при решении сложных вопросов, основанных на средней пропорции.

• Не используйте ярлыки для решения вопроса. Поскольку на вашем экзамене по математике есть пошаговая оценка, вы должны правильно решить вопрос, упомянув каждый шаг.

• Обращайтесь к среднему пропорциональному всякий раз, когда вы застряли на вопросе.

• Тщательно изучите все формулы, чтобы не забыть их при ответах на вопросы, связанные со средним пропорциональным.

• Помимо производных и формул, вы также должны знать определения каждого понятия, чтобы понять его значение.

Факты, чтобы запомнить

Средние пропорциональные и правила высоты и ног

… и высота и LEG Правила

Средняя доля

Средние пропорциональные из A и Arm20504204 Arm204504205 и 5 и и 5 4 10205 и 4 и . это значение x здесь:

a x   =   x b

это?

, но когда мы переходим, умножим (умножьте обе стороны на B , а также на x ) мы получаем:

Теперь мы можем найти x:

x = √(ab)

Пример: Чему равно среднее пропорциональное между 2 и 18?

Нас спрашивают «Каково здесь значение x?»

2 x   =   x 18

«2 равно x, как x равно 18» (36) = 6

, и это то, что мы заканчиваем:

2 6 = 6 18

. В основном говорится, что 6 — «Множество

020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202020202 2 умножить на 3 будет 6 , 6 умножить на 3 равно 18 )

(Это также среднее геометрическое двух чисел.)

Еще один пример, чтобы вы поняли, что такое Пример: 63 . среднее пропорциональное 5 и 500?

x = √ (5 × 500)

x = √ (2500) = 50

, так что это похоже на это:

Правые угловые треуговые прямоугольные треугольники.

Во-первых, интересная вещь:

• Возьмем прямоугольный треугольник , стоящий на гипотенузе (длинная сторона)
• Поставить линию высоты
• Он делит треугольник на два других треугольника, да?

Эти два новых треугольника похожи друг на друга и на исходный треугольник!

Это потому, что все они имеют одинаковые три угла.

Попробуйте сами: вырежьте из листа бумаги прямоугольный треугольник, затем разрежьте его по высоте и посмотрите, действительно ли кусочки похожи.

Мы можем использовать эти знания для решения некоторых проблем.

На самом деле мы получаем два правила:

Правило высоты

Высота есть среднее пропорциональное между левой и правой частями гиптонуса, например:

Пример: Найдите высоту

Используйте правило высоты:

слева высота   =   высота справа

Что для нас:

4.9 H = H 10

и решайте для H:

H ² = 4,9 × 10 = 49903

H ² = 4,9 × 10 = 49903

H ^{. треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и частью гипотенузы непосредственно под катетом :}

Пример: Сколько будет

Сначала Найдите гипотенузу: BC = BD + DC = 9 + 7 = 16

Теперь Используйте правило ноги:

Гипотеновая

16 x = x 9

и решить для x:

x ² = 16 × 9 = 144

x = захваты.

Основные определения и теоремы по геометрии. 7 класс — Студопедия

Поделись  

1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
2. В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
5. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
6. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
7. Середина отрезка — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
8. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
9. Угол называется прямым, если он равен 90°.
10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
15. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки. Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
16. Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
18. (Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
19. (Т. о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
20. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
21. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
22. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
23. (Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
24. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.
25. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
26. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
27. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
28. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
29. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
30. (Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
31. (Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
32. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
33. Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
34. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
35. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
36. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
37. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.
38. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
39. (Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
40. (Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
41. (Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
42. Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
43. (Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
44. (Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
45. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
46. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
47. Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).
48. Теоремой, обратной данной,называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
49. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
50. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
51. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
52. (Т. о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°.
53. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
54. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
55. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
56. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
57. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
58. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами.
59. (Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
60. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
61. (Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
62. (Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
63. (Свойство прямоугольного треугольника) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
64. (Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
65. (Свойство прямоугольного треугольника) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
66. (Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
67. (Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.
68. (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
69. (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
70. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.
71. (Т. Свойство параллельных прямых) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
72. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.



Аксиомы геометрии / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Аксиомы геометрии

Аксиома — исходное положение о свойствах геометрических фигур, которое принимается без доказательства и на основе которого далее доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия. Все аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

Геометрия, в которой сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, называется евклидовой геометрией.

ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян

Не получается решить задачи по геометрии? Не знаете, как доказать теорему? Проверьтесь, используя ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян (номера можно посмотреть по ссылкам ниже). Пособие бесплатно и предназначено родителям (спишите, только если не получается сделать слишком долго). Серия ответы и решения, серия домашняя работа:

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 60, 61, 62, 63, 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 145, 146, 147, 148, 149, 150, 151, 152, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 163, 164, 165, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 174, 175, 176, 177, 179, 180, 181, 182, 183, 184, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222, 223, 224, 225, 226, 227, 228, 229, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237, 239, 240, 241, 242, 243, 244, 245, 246, 247, 248, 249, 250, 251, 252, 253, 254, 255, 256, 257, 258, 260, 261, 262, 263, 264, 265, 266, 267, 268, 269, 270, 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283, 285, 286, 287, 288, 289, 290, 291, 292, 293, 294, 295, 296, 297, 298, 299, 300, 301, 302, 303, 304, 305, 400, 401, 402, 403, 404, 405, 407, 408, 409, 410, 411, 412, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 420, 421, 422, 423, 424, 425, 426, 427, 428, 429, 430, 431, 432, 433, 434, 435, 436, 437, 438, 439, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446, 447, 448, 449, 450, 451, 452, 453, 454, 455, 456, 457, 458, 459, 460, 461, 462, 463, 464, 465, 466, 467, 468, 469, 470, 471, 472, 473, 474, 476, 477, 490, 491, 492, 493, 494, 495, 496, 497, 498, 499, 500, 501, 502, 503, 504, 506, 507, 508, 509, 510, 511, 512, 513, 514, 515, 516, 517, 521, 522, 523, 524, 525, 526, 527, 528, 529, 530, 531, 532, 533, 534, 535, 536, 537, 538, 540, 541, 542, 543, 544, 545, 546, 547, 548, 549, 550, 551, 552, 553, 554, 555, 557, 558, 559, 560, 561, 562, 563, 564, 565, 566, 567, 568, 569, 570, 571, 572, 573, 574, 575, 576, 577, 578, 579, 580, 581, 582, 583, 584, 585, 586, 587, 588, 589, 590, 591, 592, 593, 594, 595, 596, 597, 598, 599, 600, 601, 602, 603, 605, 606, 607, 608, 609, 610, 611, 612, 613, 614, 615, 616, 617, 618, 620, 622, 623, 624, 625, 626, 627, 628, 629, 630, 631, 632, 633, 634, 635, 636, 637, 638, 639, 640, 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648, 649, 650, 651, 652, 653, 654, 655, 656, 657, 658, 659, 660, 661, 662, 663, 664, 665, 666, 667, 668, 669, 670, 671, 672, 673, 674, 675, 676, 677, 678, 679, 680, 681, 682, 683, 684, 685, 686, 687, 688, 689, 690, 691, 692, 693, 694, 695, 696, 697, 698, 699, 700, 701, 702, 703, 704, 705, 706, 707, 708, 709, 710, 711, 712, 713, 714, 715, 716, 717, 718, 719, 720, 721, 722, 723, 724.

https://uchim.org/gdz/po-geometrii-10-11-klass-atanasyan — uchim.org

Смотрите также: ГДЗ по геометрии 7-9 класс Атанасян.

Всё для учебы » ГДЗ бесплатно » ГДЗ по геометрии 10-11 класс Атанасян — онлайн решебник

ГДЗ Геометрия Атанасян 9 класс Топ

Подробные решения по геометрии за 9 класс авторы Атанасян

Геометрия вполне заслуженно считается одной из самых трудных дисциплин школьной программы. Многие преподаватели и наставники согласны с этим мнением. Не каждый ребенок способен с самого начала понять суть теоретических знаний. Найти правильный ответ и разобраться со сложными заданиями поможет гдз по геометрии за 9 класс Атанасян, ведь в сборнике имеются развернутые решения всех упражнений пособия для восьмиклассников. Все ответы оформлены детально, с последовательным объяснением, всеми нужными формулами. Благодаря решебнику школьник имеет возможность не только сверить, насколько правильно решена задача по геометрии, но и без помощи взрослых освоить программу наперед.

Для кого предназначены онлайн сборники с готовыми ответами?

Использование решебника по геометрии для 9 класса автора Атанасяна помогает следующим категориям людей:

• родители, которым часто приходится помогать детям в изучении предмета. Но они давно закончили школу и не помнят школьный курс дисциплины. Сборник выполнен в полном соответствии с учебником и поможет проконтролировать правильность выполнения упражнений, пояснить ребенку решение сложной задачи. К тому же, можно быстро проверить уровень знаний по пройденным темам;
• школьники, которые участвуют в олимпиадах и научных конференциях по математике. Если ребенок обучается в школе по другому учебнику, этот дополнительный источник поможет расширить кругозор, получить преимущество перед другими участниками;
• девятиклассники, которые, наоборот, больше интересуются другими дисциплинами. Но оценка по математике для них тоже имеет значение. С помощью платформы можно быстро выполнить задание и достичь желаемого результата;
• дети, которым сложно дается изучение школьной программы. Благодаря использованию решебника они поймут, как правильно решать задачи, оформлять ответы и проверять свою работу перед тем, как сдать ее на проверку педагогу. Это поможет минимизировать риск получения плохой оценки и поможет увеличить уровень подготовки по предмету;
• родители девятиклассников, которые проверяют уровень подготовки ребенка к ОГЭ и ЕГЭ. Курс геометрии девятого класса довольной сложный, на проверку может уйти много времени. С решебником можно выполнить работу намного быстрее и не переживать за уровень знаний школьника.

Аргументы в пользу быстрых ответов к учебнику

Многие родители и учителя уже оценили преимущества использования сборника ответов по геометрии к учебнику за 9 класс автор Атанасян. Прежде всего они выделяют такие плюсы:

• он доступен для использования в любой день и время;
• удобная навигация и поиск;
• все решения написаны понятно и легко воспринимаются;
• отказавшись от помощи репетиторов и платных курсов, можно изрядно сэкономить семейный бюджет.

Комфортный в использовании сборник еуроки ГДЗ уже оценили многие пользователи. С каждым годом количество людей, которые начинают его применять, становится все больше и больше. Многие педагоги советуют использовать онлайн-пособие, как эффективный источник информации, во время подготовки к контрольным, проверочным, итоговым экзаменам, ОГЭ и ЕГЭ.

Геометрия

• Фундаментальные идеи
  • Углы и пары углов
  • Специальные углы
  • Линии: Пересекающиеся, Перпендикулярные, Параллельные
  • Параллельные и перпендикулярные плоскости
  • Точки, линии и плоскости
  • Постулаты и теоремы
  • Середины сегментов и лучи
• Параллельные линии
  • Последствия постулата параллельности
  • Проверка параллельных линий
  • Пары углов, созданные с помощью поперечной
  • Постулат о параллельном
• Треугольники
  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Классификация треугольников по сторонам или углам
  • Специальные имена для сторон и углов
  • Медианы высот и биссектрисы углов
  • Конгруэнтные треугольники
  • Определение треугольника
  • Особенности равнобедренных треугольников
  • Неравенства треугольников: стороны и углы
  • Теорема о неравенстве треугольника
• Полигоны
  • Сумма углов многоугольников
  • Специальные четырехугольники
  • Доказательство того, что фигуры являются параллелограммами
  • Свойства специальных параллелограммов
  • Свойства трапеций
  • Классификация полигонов
  • Теорема о средней точке
• Периметр и площадь
  • Параллелограммы
  • Треугольники
  • Трапеции
  • Правильные многоугольники
  • Круги
  • Формулы: Периметр, Окружность, Площадь
  • Квадраты и прямоугольники
• Сходство
  • Свойства пропорций
  • Подобные полигоны
  • Подобные треугольники
  • Пропорциональные части треугольников
  • Пропорциональные части подобных треугольников
  • Соотношение и пропорция
  • Подобные треугольники: периметры и площади
• Прямые углы
  • Высота до гипотенузы
  • Теорема Пифагора и ее обращение
  • Расширение теоремы Пифагора
  • Особые прямоугольные треугольники
  • Среднее геометрическое
• Круги
  • Центральные углы и дуги
  • Дуги и вписанные углы
  • Другие углы
  • Дуги и аккорды
  • Отрезки хорд Секущие Касательные
  • Длина дуги и сектора
  • Части кругов
  • Резюме отношений
• Геометрические тела
  • Правые круглые цилиндры
  • Пирамиды
  • Правильные пирамиды
  • Правильные круглые конусы
  • Сферы
  • призмы
  • Правильные призмы
• Координатная геометрия
  • Формула расстояния
  • Формула средней точки
  • Наклон линии
  • Склоны: параллельные и перпендикулярные линии
  • Уравнения линий
  • Точки и координаты
  • Сводка формул координатной геометрии

Алгебра I: 500+ БЕСПЛАТНЫХ практических вопросов

Более 500 практических вопросов, которые помогут вам освежить знания. Алгебра И. Практика сейчас!

Я не умею складывать, вычитать, умножать и делить отрицательные числа.

ПРОЧИТАЙТЕ ОТВЕТ

Вернуться к началу

Адам Беде

был добавлен в ваш

список для чтения!

OkUndo
   Управление моим списком чтения×

Adam Bede

был добавлен в ваш список чтения

!

Хорошо    Управление списком чтения×

Удаление #книги# из вашего списка для чтения также удалит все закладки страниц, связанных с этим заголовком.

Вы уверены, что хотите удалить #bookConfirmation# и любые соответствующие закладки?

Удалить

Отменить

×

Поисков объектов с пространственным отношением к пересечению—ArcMap

Доступно с лицензией Data Reviewer.

Объекты внутри карты могут пересекаться, например, когда дорога пересекает железную дорогу, или река пересекает дорогу. Проверка пересечения геометрии ищет объекты, находящиеся в пределах заданного допуска пересечения двух других объектов. Например, поиск точек зданий в пределах определенного расстояния от пересечения дорог. Объекты, найденные в пределах допуска, создаются в виде результата с точечным типом геометрии. И наоборот, можно искать объекты, чья точка пересечения выходит за пределы заданного допуска объекта.

Проверка может быть проведена для целого класса пространственных объектов, подтипа, или набора объектов, выбранного с помощью SQL-запроса.

После того как определен критерий проверки, можно настроить примечания и рейтинг степени серьезности. Примечания позволяют уточнять описание для объекта, который был записан в таблицу Reviewer, и копировать их в поле Примечания таблицы Reviewer. Рейтинг степени серьезности позволяет вам отметить степень важности для результатов Reviewer с терминами вашего процесса обеспечения/контроля качества. Чем меньше значение показателя, тем выше приоритет результата проверки.

1. Запустите ArcMap.
2. В главном меню щелкните Настройка > Панели инструментов > Data Reviewer.
3. Щелкните стрелку ниспадающего списка Выбрать проверку данных (Select Data Check) на панели инструментов обозревателя Data Reviewer, щелкните знак плюс (+) рядом с Проверки объекта на объект (Feature on Feature Checks), затем нажмите Проверка пересечения на геометрии (Intersection on Geometry Check).

   Откроется диалоговое окно Свойства проверки пересечения к геометрии (Intersection on Geometry Check Properties).

4. При необходимости введите уникальное имя для проверки в текстовом поле Название проверки.

   Примечание:

   В заголовке можно использовать описание условий, которые находятся с помощью данной проверки. Это может быть полезным, когда есть несколько экземпляров одной проверки для оценки одних и тех же классов пространственных объектов или таблиц, с разными оценочными параметрами.

5. Щелкните стрелку раскрывающегося списка Класс пространственных объектов/Подтип (Feature Class/Subtype) в области Класс пространственных объектов 1 (Feature Class 1) и выберите класс пространственных объектов и подтип, для которых будет запущена проверка.

   Объекты из этого класса пространственных объектов сравниваются с пересечениями между объектами из второго и третьего классов пространственных объектов.

6. Чтобы запустить проверку для целого класса пространственных объектов и сохранить это в настройках, отметьте опцию Всегда запускать для всей базы данных.
7. Чтобы запустить проверку для отдельных объектов в классе пространственных объектов, нажмите SQL для создания SQL-запроса.
8. Повторите шаги 5-7 в областях Класс пространственных объектов 2 (Feature Class 2) и Класс пространственных объектов 3 (Feature Class 3).
9. Если нужно найти объекты, которые не пересекают Класс пространственных объектов 1 (Feature Class 1), поставьте флажок для Не искать объекты, не имеющие пересечений (Not – find features that do not intersect) в области Опция класса пространственных объектов 1 ( Feature Class 1 Option).
10. Укажите значение допуска в текстовом поле Допуск (Tolerance).
11. Щелкните на стрелке ниспадающего списка Единицы измерения (Units) и выберите единицы измерения, которые будут использоваться для допуска.
12. При необходимости введите описание для результатов проверки в текстовом поле Примечания в области примечаний Reviewer.
13. При необходимости щелкните стрелку ниспадающего списка Важность и выберите значение, указывающее на приоритет результатов проверки в области Примечания Reviewer.

    Важность указывает на серьезность результата проверки. Диапазон этих значений от 1 до 5, где 1 обозначает высший приоритет, а 5 — низший.

14. Нажмите ОК.
15. Щелкните кнопку Запустить проверку данных на панели инструментов Data Reviewer.

    Откроется диалоговое окно Объекты для проверки.

16. Выберите опцию в области Объекты для проверки.
    • Выбранный набор – проверка выполняется на объектах, выбранных в данный момент на карте.
    • Текущий экстент – проверка выполняется для текущего экстента карты, управляемого масштабом карты.
    • Определяющий запрос – проверка выполняется на объектах, отображаемых в соответствии с определяющими запросами, которые были созданы для класса пространственных объектов.
    • Вся база данных – проверка выполняется по всем объектам класса пространственных объектов.
17. Чтобы выполнить проверку только на объектах, которые были отредактированы в версионной рабочей области, отметьте Только измененные объекты.

    Примечание:

    Параметр Только измененные объекты доступен только для версионной базы данных.

18. Щелкните ОК.

    Проверка выполняется на экстенте, указанном в диалоговом окне Объекты для оценки.

    После окончания проверки появляется диалоговое окно результатов Reviewer.

19. Вы можете сделать это одним из следующих способов:
    • Если вы хотите просмотреть результаты в окне Просмотр объектов, выберите опцию Просмотр результатов.
    • Если вы начали сеанс Reviewer и хотите записать результаты в таблицу Reviewer, выберите опцию Записать в таблицу Reviewer.
20. Нажмите ОК.

А.В. Погорелов. Геометрия. 7 класс. §2. Контрольные вопросы, ответы — Решебник

Вопрос 1. Какие углы называются смежными?
Ответ. Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке 31 углы (a₁b) и (a₂b) смежные. У них сторона b общая, а стороны a₁ и a₂ являются дополнительными полупрямыми.

Вопрос 2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
Ответ.  Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Доказательство. Пусть угол (a₁b) и угол (a₂b) — данные смежные углы (см. рис.31). Луч b проходит между сторонами a₁ и a₂ развёрнутого угла. Поэтому сумма углов (a₁b) и (a₂b) равна развёрнутому углу, т. е. 180°. Что и требовалось доказать.

Вопрос 3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.
Ответ.

Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.
Допустим, углы (a₁b) и (c₁d) равны. Нам нужно доказать, что углы (a₂b) и (c₂d) тоже равны.
Сумма смежных углов равна 180°. Из этого следует, что a₁b + a₂b = 180° и c₁d + c₂d = 180°. Отсюда, a₂b = 180° — a₁b и c₂d = 180° — c₁d. Так как углы (a₁b) и (c₁d) равны, то мы получаем, что a₂b = 180° — a₁b = c₂d. По свойству транзитивности знака равенства следует, что a₂b = c₂d. Что и требовалось доказать.

Вопрос 4. Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
Ответ. Угол, равный 90°, называется прямым углом.
Угол, меньший 90°, называется острым углом.
Угол, больший 90° и меньший 180°, называется тупым.

Вопрос 5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.
Ответ. Из теоремы о сумме смежных углов следует, что угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол: x + 90° = 180°,  x= 180° — 90°, x = 90°.

Вопрос 6. Какие углы называются вертикальными?
Ответ. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого.

Вопрос 7. Докажите, что вертикальные углы равны.
Ответ. Теорема 2.2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (a₁b₁) и (a₂b₂)- данные вертикальные углы (рис. 34). Угол (a₁b₂) является смежным с углом (a₁b₁) и с углом (a₂b₂). Отсюда по теореме о сумме смежных углов заключаем, что каждый из углов (a₁b₁) и (a₂b₂) дополняет угол (a₁b₂) до 180°, т.е. углы (a₁b₁) и (a₂b₂) равны. Что и требовалось доказать.

Вопрос 8. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ответ. Предположим, что прямые AB и CD пересекают друг друга в точке O. Предположим, что угол AOD равен 90°. Так как сумма смежных углов равна 180°, то получаем, что AOC = 180°-AOD = 180°- 90°=90°. Угол COB вертикален углу AOD, поэтому они равны. То есть угол COB = 90°. Угол COA вертикален углу BOD, поэтому они равны. То есть угол BOD = 90°. Таким образом, все углы равны 90°, то есть они все – прямые. Что и требовалось доказать.

Вопрос 9. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой знак используется для обозначения  перпендикулярности прямых?
Ответ. Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Перпендикулярность прямых обозначается знаком \(\perp\). Запись \(a\perp b\) читается: «Прямая a перпендикулярна прямой b».

Вопрос 10. Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Ответ. Теорема 2.3. Через каждую прямую можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть a — данная прямая и A — данная точка на ней. Обозначим через a₁ одну из полупрямых прямой a с начальной точкой A (рис. 38). Отложим от полупрямой a₁ угол (a₁b₁), равный 90°. Тогда прямая, содержащая луч b₁, будет перпендикулярна прямой a.

Допустим, что существует другая прямая, тоже проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a. Обозначим через c₁ полупрямую этой прямой, лежащую в одной полуплоскости с лучом b₁.
Углы (a₁b₁) и (a₁c₁), равные каждый 90°, отложены в одну полуплоскость от полупрямой a₁. Но от полупрямой a₁ в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Поэтому не быть другой прямой, проходящей через точку A и перпендикулярной прямой a. Теорема доказана.

Вопрос 11. Что такое перпендикуляр к прямой?
Ответ. Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Этот конец отрезка называется основанием перпендикуляра.

Вопрос 12. Объясните, в чём состоит доказательство от противного.
Ответ. Способ доказательства, который мы применили в теореме 2.3, называется доказательством от противного. Этот способ доказательства состоит в том, что мы cначала делаем предположение, противоположное тому, что утверждается теоремой. Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и доказанные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ранее теореме. На этом основании заключаем, что наше предположение было неверным, а значит, верно утверждение теоремы.

Вопрос 13. Что называется биссектрисой угла?
Ответ. Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

Как найти пересечение диаграммы Венна

Все математические ресурсы SAT

16 диагностических тестов 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

SAT Math Help » Анализ данных » Диаграммы Венна » Перекресток » Как найти пересечение диаграммы Венна

100 учеников учатся в 10-м классе. 30 — пловцы, 40 — бегуны и 20 — пловцы и бегуны. Какова вероятность того, что студент является пловцом ИЛИ бегуном?

Возможные ответы:

1/2

1/5

1/3

1/4

2/3

Правильный ответ:

1/2

. Объяснение:

Формула для пересечения составляет P ( A или B ) = P ( A ) + P ( B ) — P ( A и B ) — P ( A и B ) — P ( A и B ). ).

Теперь 30 учеников из 100 плавают, значит P (плавать) = 30/100 = 3/10.

40 студентов выбегают из 100, поэтому P (пробег) = 40/100 = 4/10. Обратите внимание, что мы сохраняем 10 в качестве общего знаменателя, хотя мы могли бы еще упростить это. Сохранение одинаковых дробей облегчит впоследствии сложение и вычитание.

Наконец, 20 учеников плавают И бегают, поэтому P (плавать И бегать) = 20/100 = 2/10. (Опять же, мы сохраняем это значение равным 2/10 вместо 1/5, чтобы нам было легче комбинировать три дроби.)

P (плавание ИЛИ бег) = P (плавание) + P (бег) –  P (плавание и бег)

                                                                                                                                10 = 1/2.

Сообщить об ошибке

 и .

Найти .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Пересечение двух множеств содержит все элементы, присутствующие в обоих множествах, поэтому это правильный ответ.

Сообщить об ошибке

У нас есть два спортивных клуба для 100 учеников. 70 студентов присоединились к баскетбольному клубу, 40 студентов присоединились к плавательному клубу, а 10 студентов не присоединились ни к одному из них. Сколько студентов присоединились и к плавательному, и к баскетбольному клубам?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Идея состоит в том, чтобы нарисовать диаграмму Венна и найти пересечение. У нас есть один кружок из 70 человек, а другой из 40. Когда мы сложим два кружка плюс 10 учеников, которые не присоединились ни к одному, мы должны получить 100 учеников. Однако при добавлении двух окружностей мы добавляем пересечения дважды, поэтому нам нужно вычесть пересечение один раз.

Получаем , что означает, что пересечение равно 20.

Сообщить об ошибке

Первокурсники средней школы могут сдавать биологию, химию или оба предмета. Если первокурсники берут биологию, первокурсники берут химию, а всего первокурсников. Сколько первокурсников сдают и биологию, и химию?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если  студентов обучают естественным наукам, а есть только  студенты, то мы должны найти, сколько совпадений по предметам, которые они изучают.

Для этого мы можем вычесть  из .

Следовательно,  из этих «зачислений» должно быть двойное число.

Эти студенты изучают и химию, и биологию.

Сообщить об ошибке

Пятьдесят 6 ^-й -х первоклассников спросили, какие у них любимые школьные предметы. Трое учеников любят математику, естествознание и английский язык. Пятерым ученикам нравились математика и естественные науки. Семь учеников любили математику и английский язык. Восемь человек любили науку и английский язык. Двадцать студентов любили науку. Двадцати восьми студентам понравился английский язык. Четырнадцати ученикам нравилась математика. Скольким ученикам не понравился ни один из этих уроков?

Возможные ответы:

Ни один из ответов не является правильным

7

10

5

3

Правильный ответ:

5

Объяснение:

Нарисуйте диаграмму Венна с тремя подмножествами: математика, естественные науки и английский язык. Начните в центре со студентами, которым нравятся все три предмета. Затем посмотрите на учащихся, которым понравились два предмета. Обязательно вычтите те, которые уже подсчитаны в середине. Затем посмотрите на учеников, которым нравится только один предмет. Обязательно вычтите уже учтенных учащихся. Как только все подмножества заполнены, посмотрите на тех учеников, которым не нравится ни один из этих предметов. Чтобы найти учащихся, которым не нравится ни один из этих предметов, добавьте всех учащихся, которым нравится хотя бы один предмет, из общего числа опрошенных учащихся, равного 50. 

M = математика

S = наука

E = английский

M∩S∩E = 3        

M∩S = 5 (но 3 уже учтены), поэтому 2 для M и S ТОЛЬКО

M ∩ 900 E = 7 (но 3 уже учтены), поэтому 4 для M и E ТОЛЬКО

S∩E = 8 (но 3 уже учтены), поэтому 5 для S и E ТОЛЬКО

M = 14 (но 3 + 2 + 4 уже учтены) поэтому 5 для M ТОЛЬКО

S = 20 (но 3 + 2 + 5 уже учтены) поэтому 10 для S ТОЛЬКО

E = 28 (но 3 + 4 + 5 уже учтены ) поэтому 16 для E ТОЛЬКО

Следовательно, уже учтенных учеников 3 + 2 +4 + 5 + 5 + 10 + 16 = 45 учеников

Итак, тех учеников, которым не нравится ни один из этих предметов, 50 – 45 = 5 учеников

Сообщить об ошибке

Набор A содержит положительные четные числа меньше 14. Набор B содержит положительные числа, кратные трем, меньше 20. Каково пересечение двух наборов?

Возможные ответы:

A∩B = {  }

A∩B = {4, 6, 8}

A∩B = {6}

A∩B = {6, 12, 18}

A∩B = {6, 12}

Правильный ответ:

A∩B = {6, 12}

Объяснение:

A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}

Пересечение множества означает, что элементы находятся в обоих наборы: A ∩ B = {6, 12}

Сообщить об ошибке

Ученикам местной средней школы предоставляется возможность пройти один урок физкультуры, один урок музыки или по одному каждому из них. Из 100 студентов 60 говорят, что в настоящее время посещают уроки физкультуры, а 70 говорят, что посещают уроки музыки. Сколько студентов берут оба?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Эту задачу можно решить двумя способами: с помощью формулы или с помощью разума.

Используя формулу, пересечение диаграммы Венна, по которым учащиеся выбирают классы, равно:

Применяя разум, становится ясно, что 60 + 70 больше, чем 100 на 30. Предполагается, что это дополнительные 30 студентов приходятся на студентов, которые были учтены дважды, потому что они посещали оба класса.

Сообщить об ошибке

В одном колледже некоторые члены бейсбольной команды являются старшекурсниками, и все выпускники посещают занятия по статистике. Какое утверждение должно быть верным?

Возможные ответы:

По крайней мере, некоторые бейсбольные команды ведут статистику.

Ни один из них не может быть определен.

Статистический класс необходим для бейсбольной команды.

Все члены бейсбольной команды получают статистику.

Ни один член бейсбольной команды не ведет статистику.

Правильный ответ:

По крайней мере, некоторые бейсбольные команды ведут статистику.

Объяснение:

В заявлении говорится, что все пожилые люди ведут статистику, поэтому, если вы пожилой, вы попадаете в статистику автоматически. В нем также говорится, что некоторые члены бейсбольной команды являются пожилыми людьми, что означает, что по крайней мере некоторые товарищи по команде должны быть в статистике.

Сообщить об ошибке

Пусть Set A =  и Set B =.

Найти .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

 представляет собой пересечение двух наборов. Другими словами, нам нужны все элементы, которые присутствуют в обоих наборах. В обоих наборах присутствуют элементы 2, 4, 6 и 10.

Следовательно,

Сообщить об ошибке

В старшей школе учится 75 младших школьников. 15 студентов обучаются по физике и 40 студентов по химии. 30 студентов не обучаются ни по физике, ни по химии. Сколько студентов зачислено на физику и химию?

Возможные ответы:

5

30

15

10

25

Правильный ответ:

10

Объяснение:

Во-первых, вычтите учеников, которые не учатся ни в одном классе; 75 – 30 = 45 студентов.

Таким образом, 45 студентов обучаются по химии, физике или по обоим направлениям. Мы знаем, что из этих 45 студентов 40 изучают химию, так что остается 5 студентов, обучающихся только по физике; всего 15 студентов по физике, это означает, что 10 должны быть и по химии. Итак, 10 студентов изучают и физику, и химию.

Отчет о ошибке

← Предыдущий 1 2 Следующие →

Уведомление об авторских правах

Все SAT по математике

16 Диагностические тесты. 660 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Функция Intersection() Python — GeeksforGeeks

Метод Python set Intersection() возвращает новый набор с элементом, общим для всех наборов

Пересечение двух заданных множеств является наибольшим множеством, которое содержит все элементы, являющиеся общими для обоих множеств. Пересечение двух заданных множеств A и B — это множество, состоящее из всех элементов, общих как для A, так и для B.

Синтаксис метода Python Set traffic():

Синтаксис: set1. пересечение(set2, set3, set4….) 
Параметры:

• можно передать любое количество наборов  

Возврат: Возвращает набор, который имеет пересечение всех наборов (набор1, набор2, набор3…) с набором1. Он возвращает копию set1, только если параметр не передан.

Python Set intersection() Method Example:

Python3

s1 = { 1 , 2 , 3 } с2 = { 2 , 3 } print (s1.intersection(s2))

Output:

 {2, 3} 

Example 1: Working of set intersection()

Python3

set1 = { 2 , 4 , 5 , 6 } set2 = { 4 , 6 , 7 , 8 } set3 = { 4 , 6 , 8 } . 0409 set1.intersection(set2))   print ( "set1 intersection set2 intersection set3 :" ,        set1.intersection(set2, set3))

Вывод:  

 набор1 пересечение набор2 : {4, 6}
set1 пересечение set2 пересечение set3 : {4, 6} 

Пример 2: оператор пересечения множества Python (&)

Мы также можем получить пересечения, используя оператор ‘&’.

Python3

9 309 комплект0409 = { 1 , 0 , 12 }

 

print (set1 & set2)

print (set1 & set3)

 

печать (набор1 и набор2 и набор3)

set1 = { 2 , 4 , 5 , 6 } set2 = { 4 , 6 , 7 , 8 9

Вывод:

9045 { 6}5 набор() set()

Пример 3: Python устанавливает пересечение напротив

symmetric_difference() — это противоположность метода Python Set crosse().

Python3

set1 = { 2 , 4 , 5 , 6 } set2 = { 4 , 6 , 7 , 8 } set3 = { 1 , 0 , 12 }   print (set1.symmetric_difference(set2)) Печать (set1.symmetric_difference (set3)) Print (set2. Треугольник в геометрии это: Треугольник (в геометрии) | это… Что такое Треугольник (в геометрии)? alexxlab / 14.04.202317.03.2023 / Геометрии ТРЕУГОЛЬНИК – ПРОСТЕЙШИЙ И НЕИСЧЕРПАЕМЫЙ Авторы Руководители Файлы работы Наградные документы Годовикова Д.И. 1 1МБОУ «Коношская СШ» Пономарева Е.В. 1 1МБОУ «Коношская СШ» Автор работы награжден дипломом победителя III степени Диплом школьникаСвидетельство руководителя Текст работы размещён без изображений и формул. Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF Введение Ум заключается не только в знании, но и в умении приложить знание на делеАристотель Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и вселенная” Иван Федорович Шарыгин Начиная с седьмого класса, в расписании уроков появляется новый предмет — геометрия. Геометрия, наверное, самая древняя наука. Геометрами называли себя математики древности. Некоторые теоремы геометрии являются древнейшими памятниками мировой культуры, возможно старше самой Библии[2]. Геометрия – необычайно важный и интересный предмет, и каждый человек может найти в ней уголок по душе. Геометрия – это не совсем математика. В традиционном понимании, математика — это вычисления, действия с числами. А геометрия – это предмет для тех, кому нравится что-то представлять, рассматривать картинки, наблюдать, выполнять чертежи, замечать, и делать выводы. Замечательный русский ученый-геометр Иван Федорович Шарыгин сказал: ”Высшее проявление духа – это разум. Высшее проявление разума – это геометрия. Клетка геометрии – треугольник. Он так же неисчерпаем, как и вселенная”[4]. Исследование свойств треугольника послужило началом для создания новой ветви элементарной математики — «геометрии треугольника» или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которой стал Леонард Эйлер [3]. Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, поэтому эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни и до сих пор используется человеком. В самом начале седьмого класса изучаются три признака равенства треугольника. После рассмотрения третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам) сделан вывод о том, что треугольник – жесткая фигура, и его практическое применение достаточно широко. Актуальность работы в том, что свойство жесткости треугольника — это геометрические понятия, знания которых имеют огромное значение для решения практических задач и в наше время. Данное исследование, которое выходит за рамки нашей школьной программы, поможет нам определить значимость данной простейшей фигуры и её свойства жесткости для человечества. Цель исследования – установить, что треугольник являясь жесткой фигурой, нашел широкое практическое применение в жизни человека. Задачи: Изучить литературу о треугольнике; Изучить свойство треугольника – жесткость и исследовать применение свойства жесткости на практике; Проанализировать применение треугольника в жизни человека; Углубить имеющиеся знания по геометрии; Обобщить собранную информацию и познакомить с ней своих одноклассников. Гипотеза: мы предполагаем, что сможем найти подтверждающие доказательства о том, что обладая таким свойством как жесткость, треугольник является простейшим и неисчерпаемым. Объект исследования: свойство жесткости треугольника. Практическая значимость: обобщённый материал данного исследования можно применять как на уроках математики, так и во внеурочное время для развития интереса к математике. Данный материал способствует формированию представления о прикладных возможностях математики. Методы исследования: анкетирование, сбор информации, анализ, наблюдение, изучение литературы. Теория. Понятие жесткости треугольника. Из учебника геометрии Л.С. Атанасяна за 7 класс из параграфа 14 [1]: Отметим какие-нибудь три точки, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками. Получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Отмеченные точки называются вершинами, а отрезки – сторонами треугольника. Из параграфа 20: Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Из третьего признака равенства треугольников следует, что треугольник — жёсткая фигура. Что такое жесткая фигура? Почему треугольник — жесткая фигура? Жесткая фигура — это фигура, не подверженная деформации. И действительно: если вырезать из картона 4 полоски и соединить их между собой булавками или декоративными кнопками в четырехугольник, а затем попробовать изменить форму четырехугольника (просто взявшись руками за две противоположные стороны и покачать вверх-вниз). Получаем, что можно изменять градусную меру углов четырехугольника, не меняя длины его сторон. Можно менять величины углов у пятиугольников, шестиугольников и многоугольников с большим количеством сторон. С треугольником так поступить не удастся. Из 3-х полосок сложим треугольник и соединим кнопками или булавками и попробуем изменить форму треугольника. Стороны треугольника определяют его углы однозначно. Треугольник не подвержен деформации. В нём нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, если бы это удалось, то мы получили бы новый треугольник, не равный исходному. Но это невозможно, так как новый треугольник должен быть равен исходному по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому треугольник — жесткая фигура. Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой. Это свойство треугольника используется, в частности, при создании железных ажурных конструкций. Мосты, башни, подъемные краны, каркасы зданий, опоры для высоковольтных линий электропередач изготавливают таким образом, чтобы они содержали как можно больше треугольных элементов. Вывод: Треугольник — фигура жёсткая. Если заданы три его стороны, то форма треугольника уже не может измениться. Жёсткостью треугольника пользуются в строительстве, при конструировании механизмов, различных приспособлений. Практика. Применение свойства жесткости треугольника на практике. В школьной программе свойство жесткости треугольника подробно не рассматривается и более детальное практическое изучение не предусмотрено. После рассмотрения третьего признака равенства треугольников, заинтересовавшись данной проблемой, я провела анкетирование обучающихся своего класса. В анкетировании приняли участие 22 ученика, им были предложены вопросы: Что, по – вашему означает слово жесткость? Ответы: что-то крепкое, неизменяемое; крепкое тело, состоящее из чего- либо; это фигуры, которые не могут сломаться. Что, по-вашему, означает жесткость фигуры? Ответы: означает устойчивое состояние фигуры; означает твердость фигуры; означает что фигура, не изменяет свою форму; означает неподвижность. Какая из известных Вам фигур самая жесткая? Ответы: Треугольник – 12; точка — 2; ромб – 5; нет жестких фигур – 3. Почему у велосипеда треугольная рама? Ответы: Не знаю; так правильнее делать; велосипед становиться легче. Знаете ли вы, где применяется свойство жесткости треугольника? Ответ: в геометрии, в физике, в строительстве (опоры, подставки). Что в жизни вы встречали в форме треугольника? Ответ: крыши домов; подставка для подтягивания; музыкальные инструменты; сыр; украшения; линейка; дорожный знак; окна и т.п. Согласны ли Вы с утверждением, что треугольник – простейший и неисчерпаемый? Ответы: Да – 12; Нет — 10. После проведенного опроса я сделала вывод, что одноклассники совсем не знают самого свойства жесткости треугольника и применения его на практике. Тогда я решила более подробно исследовать данный вопрос и ознакомить ребят с результатами. Свою работу начала с изучения информации в сети Интернет[5], где довольно широко освещается этот вопрос. Свойство жесткости треугольника широко используется на практике. 1. Символ Франции, знаменитая Эйфелева башня — самая узнаваемая архитектурная достопримечательность Парижа. Огромная железная башня не особо страдает от ветра. Даже самый сильный ветер, случившийся в Париже (примерно 180 км/ч), отклонил верхушку башни лишь на 12 см. Это объясняется тем, что вся конструкция башни сплетена из треугольников, обладающих жёсткостью1. 2. Линии электропередачи. Ажурная конструкция, составленная из треугольников, обладает повышенной устойчивостью. Треугольники делают конструкции надежными2. 3. Геодезический купол (геокупол, геодом) — сферическое архитектурное сооружение, собранное из стержней, образующих геодезическую структуру, благодаря которой сооружение в целом обладает хорошими несущими качествами. Геодезический купол является несущей сетчатой оболочкой, составленной из треугольников. 4. Во время Великой Отечественной войны для сохранения стекол во время бомбежки их заклеивали бумажными полосками, чтобы получился треугольник. 5. При строительстве любых мостов в их конструкциях также присутствуют треугольники. Дальше я решила проанализировать – встречается ли свойство жесткости треугольника в моей повседневной жизни, в моем поселке. Для этого я провела наблюдение, рассматривала всевозможные конструкции и пыталась найти треугольник и его применение. 1. Спортивный зал МБОУ «Коношская СШ»: а) шведская стенка б) крепеж баскетбольного кольца     2. Железнодорожная станция3.   3. Велосипед. 4. Так, чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку. Телеграфные столбы с подпоркой называют анкерными4.Коноша. Ул. Травница, 34 5. Антенные мачты. Широкое применение нашли в свете развития сотовой связи и цифрового телерадиовещания. На территории Коноши установлены мачты сотовой связи известных провайдеров МТС, Мегафон, Билайн, Ростелеком5. 6. Делая садовую калитку, обязательно прибивают планку, чтобы получить треугольник. Это придаёт ей прочность, иначе калитку перекосит. 7. При строительстве домов на помощь человеку вновь приходит треугольник, так как стропила зданий имеют вид треугольников. Это придаёт им крепость и устойчивость. Именно для усиления даже временных конструкций используют укосы6. При установке или пристройке балконов используются кронштейны в форме треугольников7. 8. Широкое применение свойство жесткости треугольника находит и при работе по сборке мебели. Усиление углов стола     Крепления для полок   9. Жесткость треугольников применяется при строительстве подъемных кранов, которых очень часто сейчас можно увидеть на строительных площадках Коноши. 10. Стремянки — это специальные, как правило, переносные лестницы, раскладывающиеся для выполнения определённой задачи. Лестница, в разложенном виде образующая равнобедренный треугольник: по его сторонам находятся одна или две лестницы (одностороннее или двустороннее восхождение), между ними для жёсткости конструкции ближе к вершине раскладывается площадка, предназначенная для опоры ног или устанавливаются растяжки. Надёжность такой лестницы определяется углом её раскрытия: чем шире раскрытие, тем она устойчивее, а, следовательно, и надёжнее. 11. Свойство жесткости треугольника приносит радость детям. Что может быть интереснее, чем качаться на качелях. Приводить примеры использования свойства жесткости треугольника можно очень долго. Человечество активно применяет свойство в своей повседневной жизни8. Вывод: свойство жесткости треугольника нашло широкое применение в жизни человека. Наиболее часто данное свойство встречается при установке столбов и строительстве домов и металлических конструкций. Заключение Форму треугольника невозможно изменить, если заданы все три стороны треугольника. В треугольнике нельзя изменить ни один из углов. В противном случае, идет противоречие с третьим признаком равенства треугольника — равенство по трем сторонам. В результате исследования можно сделать вывод, что треугольник — геометрическая фигура, которая обладает свойством жёсткости, широко используемым человеком в своей деятельности. Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Вокруг нас очень много предметов, имеющих форму треугольника (эстетическое направление), поэтому треугольник применяется в архитектуре, в быту, при строении чертежа, в мореплаванье, в моде и т.п. Слова, сказанные великим французским архитектором Ле Корбюзье, в начале ХХ века, справедливы и в наше время: «Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Стоит поразмыслить о прошлом, вспомнить то, что было ранее, и мы будем ошеломлены, видя, что окружающий нас мир – это мир геометрии, чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Всё вокруг – геометрия. Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора». Список литературы [1] Атанасян Л.С. Геометрия, 7 -9. М, Просвещение, 2009. [2 ]Глейзер Г. И. История математики в школе. М, Просвещение, 1993. [3]Панов В. Ф. Математика древняя и юная/ Под ред. В. С. Зарубина. – 2-е изд., испр. – М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. – 648с. [4] Шарыгин И.Ф. Первые шаги в геометрии. Изд-тво КЛАССИКС СТИЛЬ, 2003 — 80 с. [5 ]Интернет – ресурсы. http://www.treugolniki.ru/treugolnik-zhestkaya-figura/ https://yandex.ru/images/ http://fizmat.by http://matznanie.ru http://www.home-edu.ru/user/f/00000568/zpt/lesson1.htm https://ru. wikipedia.org Приложение рис.1. Эйфелева башня. рис.2. Линии электропередачи. рис.3. На железнодорожной станции Коноша. рис.4. Установка столбов в вертикальном положении. рис.5. Мачты сотовой связи. рис. 6. Восстановление воинского обелиска в центре Коноши. рис.7. Пристройка балкона на 1 этаже в г. Архангельск. рис.8. 1 Приложение, рис.1. 2 Приложение, рис.2. 3 Приложение, рис.3. 4 Приложение, рис.4. 5 Приложение, рис.5. 6 Приложение, рис.6. 7 Приложение, рис. 7. 8 Приложение, рис.8. Просмотров работы: 3426 Проектная работа по геометрии «Треугольник в жизни человека» Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №199» Проектная работа по геометрии Авторы проекта: Учащиеся 9 «Б» класса: Цалман Никита Адамович Семен Руководитель проекта: Копылова Вера Егоровна Новосибирск 2020 Содержание Введение Глава 1. История треугольника Глава 2. Треугольники в жизни человека Глава 3. Треугольники в строительстве Заключение Введение Геометрия начинается с треугольника. Вот уже два тысячелетия треугольник является служит одним из символов геометрии, но на самом деле он гораздо большее: треугольник – это атом геометрии. Он постоянно встречается нам не только на уроках, но и в жизни: в нашей одежде, в рисунке улиц, хитросплетении переулков и архитектуре домов — везде. Задумывались ли вы хотя бы один раз когда-либо  о значении треугольника в жизни человека? Что скрывается в столь казалось бы незамысловатом предмете? И почему треугольник так часто встречается в повседневной жизни? Эти и другие похожие вопросы и породили у нас желание заняться этим проектом. Мы захотели попытаться разобраться в основах теории треугольника. Цель работы: расширить представления о треугольниках и их значимости. Задачи: •  Изучение исторических сведений о треугольниках; •  Изучение сведений о нахождении треугольников в окружающем мире; •  Исследование свойств треугольника и применения их в практической жизни Проблема: показать связь геометрической фигуры с окружающими нас предметами. Актуальность данной темы определяется важностью умения видеть математику в мире, в котором мы живем, необходимостью добывать знания о треугольниках, а также применением полученных знаний в повседневной жизни. Продукт проекта: звездчатый октаэдр – макет Глава 1. История треугольника Треугольник – геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и соединенных отрезками. Одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. Крупнейший древнегреческий историк Геродот (V век до нашей эры) оставил описание того, как египтяне после каждого разлива Нила заново размечали плодородные участки его берегов, с которых ушла вода. По Геродоту, с этого и началась геометрия – «землемерие» (от греческого «гео» –»земля» и «метрео» – «измеряю»). Древние землемеры выполняли геометрические построения, измеряли длины и площади; астрологи рассчитывали расположение небесных светил –все это требовало весьма обширных познаний о свойствах плоских и пространственных фигур, и в первую очередь о треугольнике. Треугольник по праву считается простейшей из фигур: любая плоская, то есть простирающаяся в двух измерениях, фигура должна содержать хотя бы три точки, не лежащие на одной прямой. Если соединить эти точки попарно прямолинейными отрезками, то построенная фигура и будет треугольником. Так же называют и заключенную внутри образовавшегося контура часть плоскости. Таким образом, любой плоскостной многоугольник может быть разбит на треугольники. Треугольник всегда имел широкое применение в практической жизни. Так, в строительном искусстве испокон веков используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой, поскольку его углы невозможно изменить, не изменив длины его сторон. Это свойство треугольника используется во многих конструкциях (мосты, башенные краны, опоры линий электропередач). Стропила зданий имеют вид треугольников. Это придаёт им крепость и устойчивость. При устройстве садовой калитки обязательно прибивают планку (доску), иногда две планки, чтобы получились треугольники. Это придаёт крепость калитке, иначе её скоро перекосит. Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и в других древних документах. В Древней Греции учение о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до н.э. Фалесом, и в школе Пифагора. Уже Фалес доказал, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Учение о треугольниках было, затем полностью изложено в первой книге “Начал” Евклида. Понятие о треугольнике исторически развивалось так: сначала рассматривались лишь равносторонние, затем равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. Равнобедренный треугольник обладает рядом геометрических свойств, которые привлекли к себе внимание еще в древности.На практике часто применялось свойство медианы равнобедренного треугольника, являющейся одновременно и высотой и биссектрисой. То, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, было известно еще древним вавилонянам 4 000 лет назад. А землемеры и поныне прибегают к прямоугольному треугольнику для определения расстояний. Глава 2. Треугольник в жизни человека Человека окружает множество предметов треугольной формы. Например, предметы мебели, подошва утюга, элементы орнаментов, элементы одежды (концы мужского галстука, косынки, треуголки, пилотки, колпаки и т.п.), линии электропередач. И даже для выпечки пирожков нередко используют данную форму. Мы даже не задумываемся о том, что иногда безопасность человека на дороге зависит от знаков дорожного движения, имеющих треугольную форму – это некоторые знаки приоритета и предупреждающие знаки, регулирующие дорожное движение. Первоначальное положение шаров в бильярде, кеглей в боулинге задается треугольной формой.               Существует немало музыкальных инструменты, в основе которых заложена форма треугольника. Наша флора и фауна переполнена треугольными формами: форма деревьев, форма крыльев насекомых, подвижная голова богомолов, уши у куницы и соболя, клювы птиц, листья некоторых растений, например, кислица, крапива. Форма некоторых растений подобна треугольнику, например, кипарис, ель. Цветы и соцветия многих цветковых растений также напоминают треугольник. Причина популярности треугольника: это простота, красота, и значимость. Таким образом, мир треугольника разнообразен. Они широко используются человеком и украшают его жизнь. Глава 3. Значение треугольников в строительстве Жесткая фигура – это фигура не подверженная деформации. Из всех многоугольников только треугольник является жесткой фигурой. Это свойство треугольника используется, в частности, при создании железных ажурных конструкций. Жёсткость — это способность конструктивных элементов сопротивляться деформации при внешнем воздействии. Если возьмём три металлические или деревянные планки, закрепим их концы булавками или гвоздиками так, чтобы получить треугольник.  – треугольник – будет жесткой. В полученной конструкции нельзя сдвинуть или раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя изменить ни один угол. Действительно, по третьему признаку равенства треугольников невозможно изменить величины его углов, не изменив длины сторон. Таким образом, треугольник не подвержен деформации при сохранении в целостности его составных элементов (сторон). Дощечки, собранные в форме квадрата, могут сместиться после приложения силы, т. к. меняются внутренние углы. Таким образом, четырехугольник (квадрат) не является жесткой фигурой, то есть подвержен деформации. Мосты, башни, подъемные краны, каркасы зданий, вышки сотовой связи, опоры для высоковольтных линий электропередач изготовляют таким образом, чтобы они содержали как можно больше треугольных элементов. Устойчивы они потому, что через три точки всегда проходит плоскость. Эйфелева башня самая узнаваемая архитектурная достопримечательность. Колебания башни во время бурь не превышает 15 см. Вся конструкция башни сплетена из треугольников, обладающих свойством жесткой фигуры. При строительстве крыши небольших домов и многоэтажных зданий зачастую используют стропила. Можно сказать, что стропильная система это каркас скатной крыши, её основа (скелет). Стропила выполняют несущую функцию в системе крыши. Вес от крыши через стропильную систему передаётся на несущие стены строения. В зависимости от вида и типа строения крыши, в состав стропильной системы могут входить стропила, мауэрлаты, подстропильные горизонтальные балки (ригеля), прогоны, лежни и стойки на них, а так же подкосы и прочие элементы. Элементы треугольника можно наблюдать в чертежах при строительстве самых древних домов и замков. Неизменный атрибут треугольника в крышах домов, на фасадах зданий, оконных проемов и дверей. Некоторые жилища имеют форму треугольника: вигвам, палатка,  юрта.          При строительстве мостов, установке ЛЭП и вышек сотовой и телевизионной связи используется не только форма, но и свойства треугольников. Заключение Геометрия играет большую роль в жизни каждого человека. С ней мы встречаемся не только на уроках, она находится вокруг нас. Геометрия несет красоту в нашу жизнь, она же участвует во многих сферах человеческой жизни и вносит свой вклад в ряд наук. Треугольники окружают нас повсюду: детские игрушки, архитектурные сооружения, дорожные знаки, музыкальные инструменты. В повседневной жизни мы перестали их замечать, а ведь это очень интересно, знать историю привычных для всех предметов, тем более, если она так увлекательна. С одной стороны, треугольники имеют тысячелетнюю историю, с другой – это современный раздел математики. Теория треугольника имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для других наук. В ходе нашего исследования мы пришли к выводу, что треугольник действительно является интересной и важной фигурой. Мир треугольников разнообразен. Человека окружает множество предметов быта, одежды, музыкальные инструменты, имеющие треугольную форму. Треугольник используется человеком с древних времен и до наших дней. Это единственная фигура, которая обладает свойством жёсткости, котороенашло широкое применение в жизни человека. Оно встречается наиболее часто в строительстве Список литературы 1.                 https://mybiblioteka.su/tom2/8-62542.html-История возникновения треугольника 2.                 https://school-science.ru/2/7/29646-Тайны и загадки треугольника 3.                 http://alltriangles.blogspot.com/- Изучение треугольников 4.                 https://doklad-i-referat.ru/- Треугольник (история треугольника) 5.                 https://ru.wikipedia.org/wiki/- Треугольник 6.                 https://mybiblioteka.su/tom2/8-62547.html — Применение треугольника в жизни человека. 7.                 http://www.treugolniki.ru/treugolnik — Треугольник — жесткая фигура 8.                 https://mnogogranniki.ru/ — Самая прочная конструкция 9.                 Е. Е.Семенов. Изучаем геометрию. Москва  «Просвещение» 1987г. Приложение 1. Наиболее известные здания, использующие треугольные формы в своей архитектуре Сиднейский оперный театр – визитная карточка Австралии  Астана – пирамида, Дворец мира и согласия   «Парижский Треугольник», вход в Лувр (Париж) Арктический собор         ТЦ «Бутон»                                 Павильон «Шар» Биотехнопарк «Кольцово» GRE Геометрия | Треугольники — GeeksforGeeks Треугольник — одна из основных двумерных фигур в геометрии. Он состоит из трех углов, трех сторон и трех вершин, например, На основе измерения сторон и углов существуют различные типы треугольников, перечисленных ниже:   1. Равносторонний треугольник:   равны, все углы также равны 60°, например, 2. Равнобедренный треугольник:   Два ребра равны, следовательно, два угла также равны или стороны, противоположные равным сторонам, равны, например,  3. Разносторонний треугольник:   Все ребра различны, следовательно, все углы также различны, например, 4. Треугольник с прямым углом: Один угол составляет 90 °, а сторона, противоположная 90 °, является гипотенузой, например, 5. Треусный треугольник: Один угол равен, например, 5. 6. Остроугольный треугольник:   Все углы острые, например, Важные свойства треугольника: Сумма углов треугольника больше 9 0 0 0 5 9 ° 0 0 5 9 ° разность двух других сторон и меньше суммы двух других сторон. Площадь треугольника = (1 / 2) * основание * высота. В прямоугольном треугольнике, гипотенуза 2 = основание 2 + перпендикуляр 2 . [ Теорема Pythagoras ] Площадь равенственного треугольника = (√3 / 4) Сторона 2 Конглина и сходство в треугольниках: 1. Конгрессионный триангл: 1. Конгрессионный триангл: 9001 3. и размер двух треугольников одинаков или два треугольника имеют одинаковые углы и одинаковые стороны, например, Треугольники ABC и XYZ конгруэнтны. или △ABC ≅△XYZ  Правила соответствия:  (i) Правило SSS (сторона – сторона – сторона):   Если все стороны треугольника равны всем сторонам другого треугольника. Тогда эти два треугольника конгруэнтны друг другу по правилу SSS, например, (ii) правило SAS (сторона – угол – сторона):   Если две стороны треугольника равны двум сторонам другого треугольник и угол между ними равен углу между равными сторонами в другом треугольнике, то эти два треугольника конгруэнтны друг другу по правилу SAS, например,   (iii) Правило ААА (угол – угол – угол): Если все углы треугольника равны всем углам другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны друг другу по правилу ААА, т. е. ,    (iv) Правило ASA (угол – сторона – угол):   Если два угла треугольника равны двум углам в другом треугольнике и сторона между ними равна стороне между равными углами в другого треугольника, то эти два треугольника конгруэнтны друг другу по правилу ASA, например,   (v) Правило AAS (угол – угол – сторона):   Если два угла и одна сторона треугольника равны двум углам и одной стороне в другом треугольнике, то эти треугольники равны друг другу другое по правилу AAS, например,   2. Подобные треугольники:   Два треугольника подобны, если их форма одинакова, но не обязательно, чтобы их размер был одинаковым. Чтобы доказать, что два треугольника подобны масштабный коэффициент подобия используется, этот коэффициент проверяет эквивалентность отношений соответствующих сторон и соответствующих углов, например, △ABC подобен △XYZ. Поскольку △ABC подобен △XYZ, мы можем записать масштабный коэффициент подобия как:  XY / AB = XZ / AC = YZ / BC. Чтобы получить AB/AC, просто перемножьте XY / AB = XZ / AC. АВ/АС=ХУ/ХZ. Свойства треугольника в геометрии Треугольники — одна из самых узнаваемых фигур в геометрии. Хотя некоторые могут подумать, что все треугольники одинаковы, на самом деле в этой простой форме есть довольно много разнообразия. В этом сообщении блога мы рассмотрим свойства треугольника, связанные с геометрией, и почему важно понимать эти свойства. Определение треугольника Треугольник — это двумерная фигура, состоящая из трех прямых линий, соединенных вместе. Важно отметить, что сумма любых двух сторон треугольника должна быть больше, чем третья сторона, чтобы он считался правильным треугольником. Кроме того, сумма всех углов внутри треугольника должна составлять 180, чтобы он считался действительным. Это свойство известно как теорема о сумме углов треугольника и применимо ко всем типам треугольников. Типы треугольников Существует несколько различных типов треугольников в зависимости от их сторон и углов. Равнобедренные треугольники имеют три равные стороны и три равных угла, каждый из которых равен 60. Равнобедренные треугольники имеют две равные стороны и два равных угла, причем третий угол отличается от других. Разносторонние треугольники имеют три неравные стороны и три неравных угла, причем никакие две стороны или углы не равны друг другу. Эти свойства можно применять ко всем типам треугольников независимо от их размера или ориентации. Использование треугольников в геометрии Треугольники являются неотъемлемой частью геометрии, поскольку они обеспечивают структуру и устойчивость при построении других форм, таких как квадраты и прямоугольники. Кроме того, понимание того, как стороны и углы связаны друг с другом внутри треугольника, помогает нам понять, как эти отношения применяются при создании других геометрических фигур, таких как круги или многоугольники. Эти знания также пригодятся при решении сложных задач, таких как вычисление площади или поиск недостающих измерений в геометрических фигурах. Заключение В заключение, треугольники являются важными компонентами при изучении геометрии, потому что они обеспечивают структуру и стабильность при построении других фигур, таких как квадраты и прямоугольники, что позволяет нам понять, как эти отношения применяются при создании других геометрических фигур, таких как круги или многоугольники. Кроме того, понимание того, как стороны и углы соотносятся друг с другом в треугольниках, помогает нам решать сложные задачи, такие как вычисление площади или поиск недостающих измерений в геометрических фигурах. Обладая этими знаниями, учащиеся будут хорошо подготовлены к пониманию того, почему знание свойств треугольника важно для дальнейшего изучения математики! Часто задаваемые вопросы Какими свойствами обладает треугольник в геометрии? Свойства треугольника в геометрии включают наличие трех прямых сторон, трех углов, сумма которых равна 180, и двух сторон, имеющих одинаковую длину. Типы углов в геометрии: Виды углов: острый, прямой, тупой, развёрнутый, выпуклый и полный alexxlab / 11.04.202326.03.2023 / Геометрии Открытый урок по геометрии на тему: «ВИДЫ УГЛОВ» (7 класс) Образовательная: формирование знаний о вертикальных углах, умения самостоятельно определять вертикальные углы в комбинациях геометрических фигур, умения применять знания при решении геометрических задач и способов деятельности; Развивающая: формирование умений анализировать, устанавливать причинно-следственные связи, развитие умения сравнивать и находить различий и сходства у смежных и вертикальных углов, развитие умение обобщать и синтезировать знания о смежных и вертикальных углах, развитие умения выдвигать гипотезы и предположения, развитие ассоциативного мышления, воображения; Воспитательная: воспитание личностных качеств, обеспечивающих успешность исполнительской деятельности, воспитание активности, увлеченности, целеустремленности, наблюдательности, интуиции, сообразительности, самостоятельности. Приемы и методы ведения урока: проблемная ситуация, диалоговое общение, объяснение, эвристическая беседа, презентация. Этап урок Деятельность учителя Деятельность учащихся Планируемый результат 1.Организационный этап Цель: вовлечение учащихся в учебный процесс Организует положительный настрой на урок. Добрый день. Начинаем наш урок. С каким настроением вы приступаете к работе? В стране “Геометрия” очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. Даю установку: “Развивать и тренировать свое геометрическое зрение”. И пусть это будет нашим девизом сегодня на уроке. (Стихотворение на доске) Кто ничего не замечает, Тот ничего не изучает. Кто ничего не изучает –  Тот вечно хнычет и скучает. Чтоб умел решать задачи, Не сидел на нуле, На пятерку, не иначе, Знай о каждом угле, Где развернутый, где острый  Где прямой и тупой, Различить легко и просто Если ты не слепой. Где развернутый, где острый, Где тупой и прямой, Разобраться очень просто Самому и самой. Воспринимают информацию, реагируют на вопросы учителя. Учащиеся дают ответ. Включение учащихся в учебную деятельность, формирование познавательных УУД 2.Актуализаци опорных знаний. Мотивация учебной деятельности учащихся Цель: активизация мотивационной деятельности Информирует о новых знаниях, мотивирует учебную деятельность: — В какой большой теме мы с вами сейчас работаем?  1) В нашей с вами речи часто встречается слово “угол” (“живой уголок”, “мягкий уголок”, “загнать в угол”, “искать пятый угол”). Где употребляют “пробили угловой”? Как понять: “встретились на углу”, “зайти за угол”. 2) А теперь от житейского представления перейдем к научному. — Что такое угол? — Показать три способа обозначения углов. —Что такое вершина и стороны угла? (Общая точка называется вершиной угла, а лучи сторонами) —Назовите единицу измерения углов? (За единицу измерения углов принимают градус) -С помощью какого инструмента измеряют углы?(Углы измеряют с помощью транспортира) — Какие углы вы знаете? (Показывают на доске) — Какие углы называются тупыми? (Угол, градусная мера которого больше 90, но меньше 1800 , называется тупым ) — Какие углы называются прямыми? (Угол называется прямым, если он равен 900 ) -Какие углы называются развернутыми? ( Угол называется развернутым, если он равен 1800) Воспринимают информацию, обнаруживают первичное понимание: — Углы Отвечают на вопросы учителя Развитие коммуникативных компетенций, коммуникативных УУД 3. Актуализация знаний Цель: подготовка к усвоению новых знаний Мозговой штурм 1. Экспресс-опрос. а) Какой предмет домашнего обихода дает представление о вертикальных углах (ножницы – показать). б) Какой угол образует клюв вороны, когда: “Ворона сыр во рту держала?”. А когда “Ворона каркнула во все воронье горло?”. (Показать зарисовки) в) В сказке об углах квадрату брат-круг отпилил ему все углы. Каким он стал после этого (изобразить это с помощью листа бумаги). г) Какой угол образуется между телом Ивашки и лопатой, когда Баба Яга сажает его в печь? (Если затрудняются – показать рисунок) д) Какой угол образуют стрелки часов в 9:00; 15:00; 6:00; 16:00? (Показать с помощью часов). е) Какой угол образует кочерга, которую отправлял бандеролью коту Матроскину пес Шарик? 2. Решить задачи на готовых чертежах.    Отвечают на вопросы учителя   Два ученика решают у доски, остальные — в тетрадях Развитие коммуникативных компетенций, коммуникативных УУД 4. Первичное усвоение новых знаний Цель: восприятие учащимися и первичное осознание нового учебного материала Организует первичное усвоение знаний учащимися Перед вами карточки с изображением углов. Ваша задача – выполнить следующие действия для карточки № 1 Какой вывод можно сделать? Как бы вы назвали эти углы в зависимости от их взаимного расположения? Для карточки №2: Как выглядят эти углы? Какое название можно дать им? Итак, как бы вы сформулировали тему нашего сегодняшнего урока? Правильно. «Смежные и вертикальные углы». Цель нашего урока: познакомиться с понятием смежных и вертикальных углов, их свойством и научиться решать задачи с применением этих свойств. Давайте найдем, где в учебнике рассказано о смежных и вертикальных углах и их свойствах, откройте стр. 20 учебника, п.14 — 15. Найдите определение смежных и вертикальных углов. Прочитайте. Найдите теоремы о смежных и вертикальных углах, прочитайте. Осмысливают, углубляют понимание нового материала Выполняют задания в тетрадях и делают вывод. — Смежные углы. Выполняют задание в тетрадях и делают вывод — Вертикальные углы   — «Смежные и вертикальные углы» Учащиеся записывают дату, тему урока в тетрадь Усвоение новых понятий «смежные углы», “вертикальные углы”, и новых способов деятельности, развитие регулятивной компетенции 5. Первичная проверка понимания Цель: становление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала; выявление пробелов и неверных представлений и их коррекция Организует проверку понимания на примере нестандартной ситуации Устная работа: Демонстрируют первичное понимание полученных знаний: Устно отвечают на вопросы Усвоение понятий смежных и вертикальных углов и их свойств, формирование критического мышления 6. Первичное закрепление Цель: выявление пробелов, неверных представлений и их коррекция Организует решением задач Тест А теперь рассмотрим следующие задачи: Закрепляют полученные знания: Отвечают на вопросы теста, затем проводят самопроверку. Учащиеся записывают условие задачи, делают чертёж, наносят обозначения. Учащиеся отвечают на вопросы. К доске выходит 1 ученик и решает задачу совместно с классом под руководством учителя. Учащиеся записывают решение в тетрадь.      Один из учащихся идет к доске для решения задачи. Применение свойств вертикальных углов при решении задач, формирование способности к обобщению, развитие умения работать с текстом 7.Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению Цель: обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания Закройте тетради, откройте дневники, запишите домашнее задание:   Учащиеся закрывают тетради. Открывают дневники, записывают д/з.             Осмысление приемов и способов деятельности 8.Рефлексия Цель: выявление уровня осознания содержания пройденного — Выполнили вы сегодня условия учебной деятельности? — Какую цель ставили перед собой на уроке? — Смогли ли ее достичь? — Выполнили ли основную задачу урока? — Что более всего понравилось на уроке? Подумайте, над чем тебе надо еще поработать дома и на следующем уроке. — Оцените свое настроение на сегодняшнем уроке — Спасибо вам большое! Вы хорошо поработали на уроке. Урок окончен. Ученики отвечают на вопросы фронтально. Оценивают свою деятельность с помощью карточки самооценки. Пишут в тетради. Учащиеся вывешивают карточки на доску Получение учащимися информации о реальных результатах. Оценка собственной деятельности, соотнесение цели и результатов деятельности Урок геометрии по теме «Угол. Виды углов. Построение углов. З. Г.- 5(II четв.) Урок № 1 Дата:________ Тема. Угол. Виды углов. Построение углов. Цель: уточнить и расширить понятие «угол», «виды углов». Задачи: повторить: понятие угла, обозначение угла, видами углов, их признаки; учить выполнять построение различных видов углов с помощью линейки и треугольника; формировать первичные геометрические навыки, навыки речевой культуры, мыслительных процессов; воспитывать аккуратность при построении. Оборудование: запись на доске, нелинованные листы, видео- ролик (динамическая пауза). Ход урока: Орг. момент — Контроль посещаемости. — Эмоциональный настрой учащихся. — Проверка готовности класса. — Что изучаем на уроке геометрия? — (геометрические фигуры , построение и их свойства) — Вспомните, чем занимались на внеурочной деятельности в прошлой четверти? — Рефлексия на начало урока — Мотивация урока Актуализация опорных знаний 1. Определение темы урока — Что означает слово «геометрия» в переводе с греческого? -Что изучает наука геометрия ? — (геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических  фигур). — На основе чего возникла наука геометрия? — (геометрия возникла на основе практической деятельности людей) — Для чего людям были необходимы геометрические знания? — (чтобы измерять землю, строить дома, путешествовать на кораблях). — Для чего нам необходимо знать геометрию? — Назовите чертежные инструменты. — Какие деления вы видите на линейке? — С какими линиями знакомились в прошлой четверти? — У каких линий мы не можем определить длину? — Какие линии можем измерить? — Сообщение темы урока. 2. Оформление тетрадей 3. Выявление цели и задач урока -Как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке? Цель: — Прочитайте еще раз тему урока и давайте определим цель сегодняшнего урока. — Сегодня мы будем учиться строить различные виды углов. — На уроке вам предстоит хорошо потрудиться, быть внимательными, активными и усердными. — Также на уроке мы будем учиться логически мыслить и рассуждать. — Работать будем как на листах в клетку, так и на нелинованном листе. Изучение нового материала — Сколько прямых можно провести через две точки?  — Сколько прямых можно провести через одну точку?  — Чем отличается отрезок от прямой? — Из каких линий состоит угол? Динамическая пауза (видео- ролик) Практическая работа ( на листе в клетку, на нелинованном листе) — Определение видов угла по часам (практическая работа) Итог — Что обозначает слово «геометрия»? — Сколько прямых можно провести через две точки?  — Сколько прямых можно провести через одну точку?   — Угол- это? — Какие виды углов вы знаете? — Как называется инструмент для построения отрезка, прямой? Рефлексия — Над какой темой работали — Что изучали сегодня на уроке? — Что на уроке было самым сложным, простым? — Что вам больше всего понравилось на уроке; что не понравилось? Что такое угол в геометрии и различные его виды? Содержание главы Что такое угол? Измерение угла Типы угла 1. Острый угол 2. Прямой угол 3 7. Нулевой угол Что такое конгруэнтные углы? Что такое смежные углы? 1. Дополнительные углы 2. Дополнительные углы Главная Список всех глав Содержание глав Что такое угол? Измерение угла Типы угла 1. Острый угол 2. Прямой угол 3 7. Нулевой угол Что такое конгруэнтные углы? Что такое смежные углы? 1. Дополнительные углы 2. Дополнительные углы Что такое угол? Фигура, образованная соединением двух разных лучи начиная с той же фиксированной начальной точки, называется углом. Пример угла \(\угол AOB\) На данном рисунке эта фигура состоит из двух лучей \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\). Общая точка окончания двух лучей называется вершиной угла. Значит, О — вершина угла АОВ. Лучи \(\overrightarrow{OA}\) и \(\overrightarrow{OB}\) называются сторонами или сторонами угла AOB. Угол обозначается символом \(\угол \). В названии угла используются только заглавные буквы английского алфавита. Название углов может быть записано тремя или одним алфавитом. Таким образом, мы можем записать указанный выше угол на рисунке как \(\угол AOB\) или \(\угол BOA\) или \(\угол O\). Из именования видно, что вершина всегда остается в центре при записи тремя алфавитами и только вершина при записи одним алфавитом. 90\) Примечание Острые и тупые углы известны как косых углов . Что такое конгруэнтные углы? Углы, имеющие одинаковую меру, называются равными углами. Пример равных углов Что такое смежные углы? Два угла называются смежными, если они имеют общую вершину, общее плечо и два других угла лежат по разные стороны от общего плеча. Пример смежных углов 9о\) Последнее обновление: 14-02-2023 Арифметика Алгебра Геометрия Знания Что нужно помнить Различные типы углов в геометрии Острый, прямой, тупой, прямой, отраженный и полный угол1 9008? Угол представляет собой меру поворота между двумя линиями или плоскостями. Он определяется как количество поворотов, необходимых для приведения одной линии или плоскости в соответствие с другой. Он показывает, как пересекаются две линии или лучи. Углы обычно измеряются в градусах или радианах и могут быть классифицированы как острые, прямые, тупые, прямые, рефлекторные, дополнительные и дополнительные в зависимости от их измерения. Углы являются фундаментальной математической концепцией и имеют различные приложения в таких областях, как геометрия, тригонометрия и физика. Важно понимать различные типы углов и их свойства в этих областях. Из каких частей состоит угол? Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, имеющими общую конечную точку, называемую вершиной. У угла есть три основные части: Вершина : Общая конечная точка двух лучей, образующих угол. Начальная сторона : Первый луч, образующий угол, также называемый начальным лучом. Конечная сторона : Второй луч, образующий угол, также называемый конечным лучом. Мерой угла является величина поворота между начальной стороной и конечной стороной. Мера обычно указывается в градусах или радианах. Два луча, образующие угол, могут быть названы по-разному, например: Одной буквой, например углом B, с вершиной в точке буквы. С точкой на каждом луче, такой как угол ABC, с точкой A на начальной стороне, точкой B в качестве вершины и точкой C на конечной стороне. Шесть видов уголков Острые углы : Острые углы определяются как углы, размер которых меньше 90 градусов. Считается самым маленьким видом уголка. Прямые углы : Прямой угол определяется как угол, который составляет ровно 90 градусов. Прямые углы обычно встречаются в строительстве, например, в углах зданий и мостов. Тупые углы : Тупые углы определяются как углы, размер которых больше 90 градусов, но меньше 180 градусов. Прямые углы : Прямой угол определяется как угол, равный точно 180 градусам. Они просто прямые. Углы отражения : Углы отражения определяются как углы, размеры которых больше 180 градусов, но меньше 360 градусов. Полный угол : Угол, равный точно 360 градусам. Также стоит отметить, что измерение углов является циклическим, а это означает, что после 360 градусов угол снова начнется с 0 градусов. 🔗ange Измерительные устройства — типы транспорта 🔗consustruction синусоидального бара. способ описания направления, в котором измеряется угол. Положительные углы — это углы, измеряемые против часовой стрелки от положительной оси x. Это стандартный способ измерения углов в математике и физике. Например, угол 45 градусов будет считаться положительным углом. Отрицательные углы, с другой стороны, это углы, которые измеряются по часовой стрелке от положительной оси x. Отрицательный угол в 45 градусов будет измеряться как 315 градусов по часовой стрелке. Положительный угол 450 градусов эквивалентен положительному углу 90 градусов. В некоторых случаях мы используем направление вращения для определения угла. Например, при измерении угла поворота колеса или шестерни положительный угол будет означать, что колесо или шестерня вращаются против часовой стрелки. Напротив, отрицательный угол будет означать, что он вращается по часовой стрелке. Таким образом, положительные углы измеряются против часовой стрелки от положительной оси x, а отрицательные углы измеряются по часовой стрелке от положительной оси x. Типы пар углов Пары углов относятся к двум или более углам, которые каким-либо образом связаны друг с другом. Существует несколько типов пар углов, в том числе: Дополнительные и дополнительные углы: Дополнительные углы — это два угла, сумма которых составляет 90 градусов, а сумма дополнительных углов составляет 180 градусов. Эти углы играют ключевую роль в тригонометрии и других разделах математики. Они используются в различных математических расчетах, а также в инженерных расчетах. Смежные углы : Два угла, которые имеют общую вершину и общую сторону, но не имеют других общих сторон. Эти углы считаются смежными. Линейная пара: Два угла, которые имеют общую вершину и общую сторону, а их необщие стороны являются противоположными лучами. Линейная пара углов всегда является дополнительной. Вертикальные углы : Два угла, которые противоположны друг другу при пересечении двух прямых. Они конгруэнтны друг другу. Внутренний угол и Внешний угол: Внутренний угол — это угол, расположенный внутри многоугольника, а внешний угол — это угол, расположенный вне многоугольника. Две последовательные стороны многоугольника образуют внутренний угол многоугольника, а его мера определяется количеством сторон многоугольника. Сумма мер внутренних углов многоугольника с n сторонами равна (n-2) x 180 градусов. Сколько минут в градусе в геометрии: Сколько минут в одном градусе? alexxlab / 07.04.202326.03.2023 / Геометрии Измерение углов. Транспортир | Математика | 5 класс На уроке мы вспомним, что такое единицы измерения, узнаем какими единицами можно измерять углы, познакомимся с такой единицей измерения, как градус, научимся измерять углы в градусах и чертить их с помощью транспортира. Также мы узнаем о других единицах измерения углов, которые применяются в различных ситуациях.  Введение Какие-то вещи можно измерить, какие-то нельзя. Например, нельзя измерить дружбу или любовь. А расстояние, вес, температуру вполне можно. Чтобы что-то измерять, нужно всем договориться о единицах измерения. Метр, дюйм, аршин – это и есть такие договоренности при измерении длины. Эталонный метр хранится во Франции, в Палате мер и весов. Килограмм, фунт, пуд – это договоренности для измерения массы. Эталонный килограмм тоже хранится в Палате мер и весов. Единицы измерения придуманы для конкретных величин. В секундах не измерить вес, а в аршинах – время. В геометрии такая же ситуация. Есть сантиметры, для измерения длин отрезков, но они не подходят для измерения углов. Для измерения углов есть свои единицы измерения. На этом уроке мы рассмотрим одну из них, а именно градусы.  Градусы Разделим полный угол на 360 равных частей. Для этого удобно использовать окружность. Поделим ее на 360 частей и соединим каждое полученное деление с центром. Получим 360 равных углов (см. Рис. 1). Рис. 1. Окружность, разделенная на 360 равных углов Один такой маленький угол назовем углом в 1° (см. Рис. 2). Рис. 2. 1 градус Не важно, какого размера будет окружность, которую мы делим. Поделим обе окружности на 360 частей, получим равные углы в 1°, хотя стороны одного угла визуально длиннее, чем у другого (см. Рис. 3). Рис. 3. Углы равны Стороны углов можно продолжать бесконечно, от этого размер угла не меняется (см. Рис. 4). Рис. 4. Более явный пример равенства углов  Полный, развернутый, прямой угол Величина любого угла – это сколько раз в него умещается угол в 1°. Вот мы видим угол 13° (см. Рис. 5). Рис. 5. Угол 13° Понятно, что полный угол состоит из 360 таких углов. То есть он равен 360° (см. Рис. 6). Рис. 6. Полный угол Развернутый угол – это половина полного угла. Он равен  (см. Рис. 7). Рис. 7. Развернутый угол Прямой угол является половиной развернутого и равен 90° (см. Рис. 8). Рис. 8. Прямой угол Эталон градуса нет нужды где-то хранить. Если нужно, то всегда можно полный угол разделить на 360 частей, или развернутый – на 180, или прямой – на 90.  Транспортир Линейка нужна для того, чтобы измерить имеющийся отрезок или начертить отрезок нужной длины. Чтобы измерить угол или начертить угол нужной величины, мы тоже используем линейку, только не прямую, а круглую. Она называется транспортиром (см. Рис. 9). Рис. 9. Транспортир Единицы измерения на ней – градусы. Шкала начинается с нуля и заканчивается 180°.То есть максимальный угол, который мы можем измерить или начертить, – это 180°, развернутый. Транспортиры могут быть разных размеров, но это не влияет на то, какого размера углы ими измеряют. Для более крупного транспортира у углов нужно чертить стороны длиннее.  Примеры 1. Измерим пару углов. Прямая часть транспортира совмещается с одной стороной угла, центр транспортира с вершиной угла. Смотрим, где оказалась вторая сторона угла, – 54° (см. Рис. 10, 11). Рис. 10. Измерение угла Проделаем то же самое со вторым углом, 137°. Рис. 11. Измерение угла Если сторона угла не достает до шкалы, то ее нужно сначала продлить. 2. Начертим углы 29°, 81° и 140°. Сначала чертим одну сторону угла по линейке (см. Рис. 12). Рис. 12. Построение одной стороны угла Отмечаем вершину. Совмещаем с транспортиром. Отмечаем точкой нужное значение угла – 29° (см. Рис. 13). Рис. 13. Использование транспортира для построения углов Убираем транспортир. Соединяем полученную точку с вершиной (см. Рис. 14). Рис. 14. Угол 29° Точно так же строим два других угла (см. Рис. 15). Рис. 15. Построение углов  Заключение Итак, мы с вами обсудили, что для измерения углов люди договорились использовать градусы. Градус – это  полного угла. Инструментом для измерения и построения углов является транспортир. Можно не использовать названия углов – полный, развернутый, прямой. Мы можем просто говорить – 360 градусов, 180 или 90 градусов.  Измерение величин «Чужими единицами» На самом деле бывает, когда мы одни величины измеряем единицами, казалось бы, для них не предназначенными, «чужими» единицами. Можно ли измерить расстояние в минутах? Да, мы часто используем этот способ. «От моего дома до школы 5 минут». Если быть точнее, то «5 минут пешком». Мы здесь используем известную всем величину – скорость пешехода. И величина «5 минут» на самом деле означает «расстояние, которое пешеход проходит за 5 минут». Скорость пешехода – 5 км/ч, 5 минут – это  часа, умножим одно на другое. Получаем примерно 400 метров. Не очень точно, зато удобно. Точно по такому же принципу устроена другая единица измерения расстояния – световой год. Световой год – расстояние, которое проходит свет за 1 год. С помощью этой единицы меряют расстояния между звездами. Очень распространенный пример использования «чужой» единицы измерения – это измерять вес в килограммах. На самом деле килограмм – единица измерения массы, а вес – это другая физическая величина. Если хотите подробнее узнать, в чем разница между массой и весом, и почему измерять вес в килограммах не верно, то наберите в поисковой системе «масса и вес» и получите множество пояснений по этому поводу. Атмосферное давление мы до сих пор измеряем в миллиметрах (миллиметрах ртутного столба). Хотя для угла есть свои «родные» единицы измерения – градусы, которые мы и проходим на этом уроке, все-таки его можно измерять и с помощью линейных величин, например сантиметров. Если нужно измерить угол , то можно достроить его до треугольника, так чтобы один угол был прямым, и разделить длину одной стороны на другую. Получим величину угла , которая называется тангенсом. Если увеличить треугольник, то ничего не изменится (см. Рис. 16).    Рис. 16. Тангенс Ведь во сколько раз увеличилась одна сторона, во столько и вторая. То есть величины часто можно измерять «чужими» единицами, но это чуть сложнее, там нужны некоторые дополнительные договоренности.  Другие единицы измерения углов Существуют и другие единицы измерения углов. 1.        Минуты и секунды. Как и метр можно делить на дециметры, сантиметры, миллиметры для более точных измерений, так и градусы делятся на более мелкие единицы измерения. Если угол в 1° разделить на 60 равных частей, то величина полученного угла называется минута, 1′. Если минуту поделить на 60 частей, то полученная величина называется секундой. Секунда – уже очень маленькая величина, но ее тоже можно делить дальше. Почему вообще стали делить на 360 частей полный угол, ведь это не очень удобно? В древнем Вавилоне была шестидесятеричная система (у нас десятеричная). Им было удобно делить на 60. 2.        Грады. Чтобы сделать измерение углов ближе к нашей десятичной системе счисления, были предложены грады. Для этого прямой угол делится на 100 частей. Полученная величина называется град. Полный угол составляет тогда 400 градов. Система не прижилась, и сейчас ее не используют. 3.        Радиан. Если взять два радиуса окружности так, чтобы кусочек окружности между ними тоже был равен радиусу, то угол между радиусами мы и примем за новую единицу измерения. Он называется 1 рад (радиан). Эта мера используется наравне с градусной. У нее есть свои преимущества и свои недостатки по сравнению с градусами (см. Рис. 17). Рис. 17. Радианы Например, теперь полный угол (вся окружность) состоит не из целого числа единичных углов. Полный угол состоит из 6 с лишним единичных углов. Не очень удобно, зато теперь длина дуги (части окружности) и угол хорошо связаны. Если взять окружность радиуса 1 см, то величина угла совпадает с длиной дуги. Угол 1 рад – дуга 1 см, угол 2 рад – длина дуги 2 см.   Список литературы Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 кл. – М.: Мнемозина, 2013. Ерина Т.М. Математика 5кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина, 2013. – М.: Мнемозина, 2013.   Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет Shkolo.ru (Источник). Cleverstudents. ru (Источник). Festival.1september.ru (Источник).   Домашнее задание Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 класс. – М.: Мнемозина, 2013. Стр. 144 № 522. Начертите углы: 23°, 167°, 84°. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по математике для 5 класса (5-е изд.) – 2010. Стр. 163 № 3. Сколько градусов в 60 минутах? – Обзоры Вики Ответ: Один градус делится на 60 угловых минут. и одна минута разделена на 60 угловых секунд. Использование градусов-минут-секунд также признано как обозначение DMS. В часах, чтобы полностью завершить 24 часа, часам требуется полные 360∘ вращение дважды. Аналогично, что такое минута в геометрии? При измерении углов минута 1/60 градуса (а секунда равна 1/60 минуты). Символ степени — маленький кружок: ° Какой угол 1 градус? Градус (полностью, градус дуги, градус дуги или градус дуги), обычно обозначаемый градусом (символ градуса), представляет собой измерение плоского угла, в котором один полный оборот составляет 360 градусов. … Поскольку полный оборот равен 2π радиан, один градус эквивалентен π180 радиан. Почему градус делится на 60 минут? Нам известно, что Земля делает один оборот вокруг своей оси за 24 часа. Таким образом, простыми рассуждениями мы можем сказать, что 360 градусов долготы составляют разница во времени 24 часа = (24 * 60) минут = 1440 минут. Во-вторых Сколько км в градусе? Приблизительные метрические эквиваленты градусов. На экваторе для долготы и для широты в любом месте действительны следующие приближения: 1 = 111 км (или 60 морских миль) Какие минуты? Протоколы, также известные как протоколы или, неофициально, заметки, мгновенная письменная запись встречи или слушания. Обычно они описывают события собрания, начиная со списка участников, изложения вопросов, рассмотренных участниками, и соответствующих ответов или решений по вопросам. тогда что такое минуты и секунды в градусах? Во-первых, осознайте, что: 60 минут = один градус. 60 секунд = одна минута. 3600 секунд = один градус. Сколько минут составляет угол окружности? Угловая минута (МОА) — единица измерения угла, равная 1/60.th 1 степени. В круге 360 градусов (вспомните циферблат компаса). Когда необходимы более точные измерения, каждую из этих степеней можно разделить на 60 минут угловых (также называемых угловыми минутами). Почему 360 градусов? Полный круг составляет 360 градусов, потому что вавилоняне использовали шестидесятеричную систему. Он также представляет количество дней в году, а также потому, что 360 очень сложен. Какие есть 4 типа степеней? Степени колледжа обычно делятся на четыре категории: младший, бакалавр, магистр и докторантура. Каждый уровень степени колледжа различается по продолжительности, требованиям и результатам. Почему градус делится на минуты? Их астрономия быстро потребовала дальнейшего усовершенствования., поэтому они разделили каждый градус на 60-минутные части: минуты. Вскоре им потребовалась еще большая точность, поэтому они разделили каждую минуту на минуту второго порядка: секунду. Мы до сих пор используем вавилонскую тригонометрию! Сколько градусов составляет 100 баллов? Градиент равен 1/400 оборота или окружности или 9/10°. Град, или гон, более точно определяется как π/200, или 1.570796 × 10. – 2 радиан. … Градианы. Градианы Степени 100 град 90° 200 град 180° 300 град 270° 400 град 360° Почему мы используем градусы минуты секунды? Градусы, минуты, секунды (DMS) Степени для DMS делятся на 60 минут, а затем каждая минута делится на 60 секунд. Это похоже на часы на наших часах и восходит к вавилонянам, которые работали по системе счисления с основанием 60! Как перевести километры в градусы? град = км2 град (км) преобразует расстояния из километров в градусы, измеренные по большому кругу на сфере с радиусом 6371 км, средним радиусом Земли. deg = km2deg( km , radius ) преобразует расстояния из километров в градусы, измеренные вдоль большого круга на сфере с указанным радиусом . Сколько градусов составляет экватор? Экватор – это линия 0 градусов широты. Каждая параллель измеряет один градус к северу или югу от экватора, с 90 градусами к северу от экватора и 90 градусами к югу от экватора. Какова длина 1 минуты широты? Один градус широты равен примерно 364,000 69 футов (XNUMX миль), одна минута равна 6,068 футов (1.15 миль), а одна секунда равна 101 футу. Какие бывают 4 типа минут? Это: действие, обсуждение и дословно. МИНУТЫ ДЕЙСТВИЙ. Самый популярный тип протоколов встреч — это протоколы действий. … ДОГОВОРНЫЕ МИНУТЫ. Это дословная запись всех дискуссий и решений. … ПРОТОКОЛ ОБСУЖДЕНИЯ. Как пишутся минуты? – Протоколы всегда пишутся в прошедшем времени и должен быть четким и кратким. – Не забывайте использовать активные или конкретные, а не пассивные или расплывчатые фразы. – Примеры используемых выражений: члены согласились, председатель попросил, члены решили, предложили и т. д. – Посмотрите на образец протокола ниже. Что такое протокол собрания? Минуты официальный письменный отчет о собраниях организации или группы. Они не являются протоколами этих судебных заседаний. В соответствии с недавно пересмотренными правилами Роберта (RONR) протокол должен содержать в основном запись о том, что было сделано на собрании, а не то, что было сказано членами. Почему она называется угловой минутой? Что такое МОА? MOA расшифровывается как «угловая минута». единица углового измерения. Когда точность ружья выражается в угловых минутах, человек может приблизительно знать, в какие группы размеров стреляет ружье в пределах своей эффективной дальности. Что такое секунда в углу? При измерении углов секунда 1/60 минуты, а минута составляет 1/60 градуса. Символ секунды — две деления: ” Символ минуты — один деление: ’ Символ градуса — маленький кружок: ° Сколько мельниц в градусе? Таблица перевода миля в градус тысяча Степень [°] 1 тысячу 0. 05625 ° 2 тысячу 0.1125 ° 3 тысячу 0.16875 ° 5 тысячу 0.28125 ° Добро пожаловать. | Департамент образования В вашем поиске использовано слишком много выражений И/ИЛИ. В этот поиск были включены только первые 7 терминов. К сожалению, страница, которую вы ищете, больше не существует, была перемещена или в настоящее время недоступна. Мы выполнили поиск по ключевым словам на основе страницы, которую вы пытаетесь открыть. Соответствующие параметры поиска были предоставлены ниже. Введите ключевые слова О поиске История штата Мэн и онлайн-ресурсы Мэн История и онлайн-ресурсы … Использование наборов первичных источников (совместно представлено Мэн DOE , Мэн Историческое общество, Мэн Государственный архив, … Мэн Государственные служащие Talking Civics & Gov ‘t с сенатором Ангусом Кингом Говоря гражданское право и … Государственные чиновники, обществоведение и гражданский дискурс … Государственные чиновники Talking Civics & Gov ‘t с сенатором Ангусом Кингом Говоря гражданское право и … NewsHour) Презентация PBS NewsHour Mid- Технический центр штата Мэн / Веб-страница Дэйва Бордмана … — Брюс М. Уиттиер MS/RSU #16) Компоненты урока Документ Вас также может заинтересовать … Гражданско-активные студенты и студенческий голос … Час новостей) Презентация PBS NewsHour Mid- Технический центр штата Мэн / Веб-страница Дэйва Бордмана … (Во главе с Брэнди Лерой — Bangor HS) Презентация Гипердок Презентационный сайт … с государственными служащими Мэн Talking Civics & Gov ‘t с сенатором Ангусом Кингом Говоря гражданское право и … Ежемесячные информационные бюллетени ESEA 2021 … для 22 финансового года был автоматизирован и будет производиться Департаментом образования штата Мэн с использованием сертифицированного NEO … для Джессики Карон, титул IA, по адресу Jessica.s.caron@ maine . правительство . Раздел V 23 ФГ. Право на участие 23 ФГ… информацию можно найти на https://www. мэн . gov / doe /learning/esea/contact . Также ваш отзыв … Учитель на пенсии … перечисление взносов работодателя Пожалуйста, ознакомьтесь с Законами о пенсионной системе штата Мэн : Заголовок 5 – … – https://www. мэн . gov / doe / сайты / maine . правительство . doe / файлы / встроенные — файлы /FY20_RFL_prelimED279_Presented27Feb2019.pdf … Ежемесячный информационный бюллетень ESEA … Часы во вторник, 24 августа Свяжитесь с Cheryl.Lang @ maine . gov или координатору региональной программы для получения ссылки. … здесь: https://www. мэн . gov / doe / сайты / maine . правительство . doe / файлы / встроенные — файлы /Grants4ME%20Access%20v4.pdf . За … Ежемесячный информационный бюллетень ESEA … 9 ноября, 9:00 Свяжитесь с Cheryl.Lang @ maine . gov или у вашего регионального координатора программы для ссылки.) … здесь: https://www. мэн . gov / doe / сайты / maine . правительство . doe / файлы / встроенные — файлы /Grants4ME%20Access%20v4.pdf . За … Ежемесячный информационный бюллетень ESEA … (Свяжитесь с вашим региональным координатором программы или Cheryl.Lang@ мэн . gov для ссылки.) Общие и специальные обновления… здесь: https://www. мэн . gov / doe / сайты / maine . правительство . doe / файлы / встроенные — файлы /Grants4ME%20Access%20v4.pdf . За … Годовая финансовая отчетность на конец года … Требования Загрузите следующие подает в NEO Financial до 23 августа 2019 г. … представления в статусе миграции считаются полученными по адресу Maine DOE . Годовая финансовая отчетность на конец года … Требования Загрузите следующие файлов в NEO Financial до 30 августа. Фактические … представления в статусе миграции считаются полученными по адресу Maine DOE . Сколько времени нужно, чтобы получить диплом по математике? Еще до поступления в колледж многие студенты уже стремятся выйти на работу. Если вам интересно, сколько времени вам понадобится, чтобы получить степень по математике, вы не одиноки. Один из факторов, который вам необходимо учитывать, — это уровень диплома, который вам понадобится для карьеры, которую вы хотите. Большинство математических специальностей проводят в школе не менее четырех лет, а возможно, и намного дольше, чтобы получить степень по математике. Степень бакалавра по математике Степень бакалавра иногда называют четырехлетней степенью, поскольку для получения традиционной степени бакалавра требуется 120 кредитов колледжа или четыре года очного обучения. Тем не менее, многим студентам требуется больше четырех лет, чтобы получить степень бакалавра, особенно если они учились неполный рабочий день, сменили специализацию или взяли дополнительное время, чтобы пройти второстепенную, вторую специализацию или программу стажировки или кооператива. Степень бакалавра наук или бакалавра искусств в области математики обычно включает несколько курсов высокого уровня по математике в колледже, таких как исчисление, линейная алгебра, абстрактная алгебра и дифференциальные уравнения. Среди вакансий, которые вы можете получить со степенью бакалавра математики, — математик или статистик в федеральном правительстве, актуарий и операционный аналитик, сообщает Бюро трудовой статистики США (BLS). Учителям математики также обычно требуется степень бакалавра, а также лицензия на преподавание. Избранные программы Даже математическая работа, не требующая ученой степени, может потребовать других форм подготовки, включая практический опыт или профессиональные сертификационные экзамены. Степень магистра математики Большинство возможностей для математиков и статистиков требуют степени магистра, сообщает BLS. Эти рабочие места включают роли математика и статистики в частном секторе в таких отраслях, как научные исследования и разработки, финансы и страхование, здравоохранение и социальная помощь и управление, научно-технические консультационные услуги. Для получения большинства степеней магистра математики требуется два года. Когда вы пойдете в аспирантуру по математике, вам нужно будет выбрать, хотите ли вы изучать теоретическую или прикладную математику. Профессиональная степень магистра может быть конечной степенью или высшим уровнем, который вы можете получить в этой области. В математике профессиональные ученые степени обычно предлагаются в области прикладной математики, в то время как традиционная степень магистра, основанная на исследованиях, может служить подготовкой к докторской программе по теоретической математике. Другие связанные с математикой курсы обучения на уровне выпускников включают статистику , актуарные науки , исследования операций и математику 2 образование 2 образование . Математика в докторантуре. Уровень Есть некоторые роли, которые подходят только математикам со степенью доктора философии. степень может достичь. Если вы хотите преподавать или заниматься математическими исследованиями в колледже или университете, докторская степень может быть вашим единственным вариантом. доктор философии выпускник может также решить работать на правительство или в частном секторе в таких областях, как бизнес. Получение докторской степени. в математике является значительным предприятием. Как правило, получение докторской степени занимает даже больше времени, чем получение степени бакалавра. Студенты могут потратить два-три года на занятия и, возможно, еще несколько лет на исследования, прежде чем они, наконец, получат свои степени. Среднее время, необходимое для получения докторской степени. По данным CBS News, студенту нужно получить высшее образование более чем через восемь лет, а многие студенты, поступающие в докторские программы, вообще никогда не заканчивают учебу. Только 57 процентов студентов, принятых в докторантуру. программа фактически завершает свою степень в течение 10 лет, сообщает CBS. Другие в конечном итоге бросают учебу, часто после того, как влезли в долги на десятки тысяч долларов и посвятили годы докторантуре. способов быстрее получить диплом по математике Как видите, студент, планирующий получить степень по математике, должен провести в колледже как минимум несколько лет, а возможно, и более десяти лет. Тем не менее, есть шаги, которые вы можете предпринять на раннем этапе, которые помогут вам быстрее закончить учебу и быстрее выйти на работу. Нетрадиционные студенты, у которых есть предыдущие кредиты в колледже или значительный опыт работы или жизни, могут искать программы на получение степени с щедрой политикой перевода кредитов или учебными планами, основанными на компетенциях. Программа, основанная на компетенциях, позволяет учащимся пропускать курсы, для которых они уже знают предмет, путем тестирования определенных модулей, что позволяет быстрее получить свои кредиты. Вы также можете начать посещать курсы Advanced Placement (AP) по математике и другим предметам, будучи учеником средней школы. В геометрии угол: Угол: вершина и стороны. Внутренняя и внешняя область alexxlab / 31.03.202328.01.2023 / Геометрии 7 класс. Геометрия. Начальные геометрические сведения. Прямая, отрезок, луч, угол. — Измерение углов. Комментарии преподавателя Из ма­те­ри­а­ла преды­ду­щих уро­ков мы знаем, что угол – это два луча, вы­хо­дя­щие из этой точки. На ри­сун­ке 1 изоб­ра­жен угол∠АОВ или , на­зван­ный в честь лучей, ко­то­рые из этой точки вы­хо­дят.                                                           Рис. 1. Угол  АОВ Любой нераз­вер­ну­тый угол имеет внеш­нюю и внут­рен­нюю об­ла­сти. К при­ме­ру, точка М при­над­ле­жит внут­рен­ней об­ла­сти ∠АОВ. На преды­ду­щих уро­ках мы вы­яс­ни­ли, что рав­ны­ми фи­гу­ра­ми на­зы­ва­ют­ся те, ко­то­рые можно сов­ме­стить на­ло­же­ни­ем. Мы уже умеем срав­ни­вать от­рез­ки. В дан­ный мо­мент мы будем учить­ся срав­ни­вать углы. Мы рас­смот­ре­ли, что в слу­чае, когда один угол яв­ля­ет­ся ча­стью дру­го­го угла,  дан­ные углы не равны. На ри­сун­ке 2 ука­за­но это со­от­но­ше­ние.                                                            Рис. 2. Из­ме­ре­ние углов Од­на­ко на­сколь­ко угол ∠СОА боль­ше угла ∠ВОС? В этом слу­чае нам необ­хо­ди­мо вве­сти эта­лон­ный угол и еди­ни­цы из­ме­ре­ния. Рас­смот­рим ри­су­нок 3.                               Рис. 3. Угол ∠АОВ – раз­вер­ну­тый В гео­мет­рии при­ня­ли раз­вер­ну­тый угол за 180о гра­ду­сов. Это зна­чит, если по­де­лить раз­вер­ну­тый угол на 180 ча­стей, то гра­дус­ная мера одной части будет равна 1о. Таким об­ра­зом, боль­ший угол имеет боль­шую гра­дус­ную меру. Также можно вы­ве­сти пра­ви­ло суммы гра­дус­ных мер. К при­ме­ру, нам необ­хо­ди­мо вы­чис­лить гра­дус­ную меру угла ∠АОВ, а меры углов ∠ВОС и ∠СОА нам из­вест­ны (см. рис. 2). В таком слу­чае, ∠АОВ = ∠ВОС + ∠СОА. Гра­дус­ную меру угла можно вы­чис­лить, к при­ме­ру, транс­пор­ти­ром. На ри­сун­ке 4 ука­за­ны углы, гра­дус­ные меры ко­то­рых равны 150о и  45о.           Рис. 4. Углы с ука­зан­ны­ми гра­дус­ны­ми ме­ра­ми Нема­ло­важ­но уяс­нить, что углы могут из­ме­рять­ся в ми­ну­тах и се­кун­дах. В одном гра­ду­се 60 минут: 1о = 60′. В одной ми­ну­те ше­сть­де­сят се­кунд 1′ = 60«. В за­ви­си­мо­сти от ве­ли­чи­ны гра­дус­ной меры, раз­ли­ча­ют ост­рые, тупые и пря­мые углы.     Рис. 5. Ост­рый, пря­мой и тупой углы Пря­мой ∠АОВ = 90о Ост­рый 0 < ∠АОВ < 90o Тупой 90o < ∠АОВ < 180o Если гра­дус­ная мера угла равна 90 гра­ду­сов, то дан­ный угол – пря­мой. В слу­чае, если мера угла мень­ше 900, угол ост­рый, а если боль­ше – тупой. Рас­смот­рим несколь­ко задач, чтобы за­кре­пить прой­ден­ный ма­те­ри­ал. При­мер 1: На ри­сун­ке изоб­ра­жен угол ∠АОВ, ко­то­рый де­лит­ся точ­кой Е на два угла. Най­ди­те гра­дус­ную меру дан­но­го угла, если ∠АОЕ = 44о, ∠ВОЕ = 77о. Рас­смот­ри­те слу­чай, когда ∠АОЕ = 12о37/, ∠ВОЕ = 108о25/ Ре­ше­ние: Вы­пол­ним по­яс­ни­тель­ный ри­су­нок к за­да­че:                                                              Рис. 6. Ри­су­нок к при­ме­ру 1 По пра­ви­лу суммы гра­дус­ных мер углов, ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА. Со­от­вет­ствен­но, под­ста­вим дан­ные в усло­вии зна­че­ния и вы­пол­ним под­счет. 1. ∠АОВ = ∠ВОЕ + ∠ЕОА = 44о + 77о = 121о. 2. ∠АОВ =∠ВОЕ + ∠ЕОА = 12о37/ + 108о25/ = 121о02/. Ответ: 121о, 121о02/. При­мер 2: На ри­сун­ке изоб­ра­жен угол ∠АОВ. Гра­дус­ная мера дан­но­го угла со­став­ля­ет 78о. Луч ОС делит дан­ный угол на 2 угла. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла ∠ВОС, если угол ∠СОА на 18о мень­ше угла ∠ВОС.                                                                         Рис. 7. Ри­су­нок к при­ме­ру 2 Ре­ше­ние: Пусть гра­дус­ная мера угла ∠ВОС равна хо, тогда мера угла ∠СОА равна (х-18)о. По­сколь­ку их сумма будет равна 78о (по усло­вию), со­ста­вим и решим урав­не­ние: Х + (х – 18) = 78 2х – 18 = 78 2х = 96 х = 48 Ответ: ∠ВОС = 48о. При­мер 3: Луч ОВ делит угол ∠АОС, гра­дус­ная мера ко­то­ро­го со­став­ля­ет 108о, на 2 части. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла ∠ВОА, если угол ∠ВОА в три раза боль­ше угла ∠ВОС.                                                                Рис. 8. Ри­су­нок к при­ме­ру 3 Ре­ше­ние: Ре­ша­ем эту за­да­чу по­доб­но преды­ду­щей. Пусть гра­дус­ная мера угла ∠ВОС равна хо, тогда мера угла ∠ВОА равна (3х)о. По­сколь­ку их сумма будет равна 108о (по усло­вию), со­ста­вим и решим урав­не­ние: Х + 3х = 108 4х = 108          х = 27 Со­от­вет­ствен­но, мера угла ∠ВОА равна (3х)о, то есть 81о. Ответ: 81о. При­мер 4: На ри­сун­ке изоб­ра­жен раз­вер­ну­тый угол ∠АОD. Углы ∠ВОА и ∠СОD равны. Ука­жи­те, есть ли на ри­сун­ке еще рав­ные углы? Ре­ше­ние: Вы­пол­ним ри­су­нок к за­да­че.                                                                           Рис. 9. Ри­су­нок к при­ме­ру 4 Рас­смот­рим углы ∠АОС и ∠ВОD. Они со­сто­ят из рав­ных между собой ча­стей ∠ВОА и ∠СОD, а также общей части ∠ВОС. Вы­пол­ним сле­ду­ю­щую за­пись: По­сколь­ку ∠ВОС – общий, а ∠АОС = ∠ВОD (по усло­вию), то ∠АОС = ∠ВОD. Ответ: ∠АОС = ∠ВОD. ИСТОЧНИК http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/izmerenie-uglov http://www.youtube.com/watch?v=rW2hWNeyco8 http://yuliaandreevna.ucoz.ru/izmerenie_otrezkov.jpg http://klassnoedelo.ru/upload/iblock/0ff/0ff02026289ce10a139e5c7a81544908.jpg http://5klass.net/datas/geometrija/Izmerenie-uglov-7-klass/0003-003-Izmerenie-uglov.jpg http://5klass.net/datas/geometrija/Izmerenie-uglov-7-klass/0010-010-Vidy-uglov.jpg http://u.5klass.net/zip/b16c483181631583c9663c9b68c8658d.zip http://www.flconf.org/education/wp-content/uploads/2011/04/5107103-1886×2550-1-1024×757.jpg http://cs1-26v4.vk-cdn.net/p15/f1c21f09bd9fad.mp3?extra=u96JCzuBb-XdruFah977CJD_izMWWpkY6XMumaQX91DaN6oYjpkhgbiIWHT_JgbeMV8sBTXjR7DNV22iBzUUOuBrsARIHPev Читать онлайн «Геометрия. 7-9 класс», Александра Ведова – ЛитРес, страница 2 Углы Углы бывают четырех видов: Углы на пересекающихся прямых Углы, которые находятся напротив друг друга, называются вертикальными. Они равные. Углы, которые находятся рядом и образуют прямую (или развернутый угол) называются смежными. В сумме они составляют 180 градусов. Углы на двух параллельных прямых и секущей Соответственные углы равны. Внутренние накрест лежащие углы также равны Внешние накрест лежащие углы также равны Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов Внешние односторонние углы в сумме составляют 180 градусов Градусная мера углов Углы измеряются в градусах « о», минутах « ’», и секундах « ”» До 9 класса достаточно знать о градусах. О минутах и секундах рассказывают в 10 классе на уроках Алгебры, в разделе «Тригонометрия». Измерить градусную меру угла можно транспортиром : Общие сведения о треугольниках Общие сведения, которые касаются всех треугольников: 1. Сумма углов в любом треугольнике равна ста восьмидесяти градусам 2.У любого треугольника есть средняя линия, длина которой равна половине основания. Средняя линия (K M) – это отрезок, который соединяет середины сторон, т.е. K – середина AB, M – середина BC. Значит AK=KB, CM=BM а (основание для средней линии – это сторона, параллельная ей), т.е. 3.Кратчайшее расстояние от точки до прямой – перпендикуляр. Это понимание нужно для решений некоторых задач, где рисуя перпендикуляр то получается либо высота, либо прямоугольный треугольник , либо 4.Площадь треугольника где a – основание (сторона, на которую опущена сторона), – это высота, опущенная на сторону а. где b – это основание, а – это высота, опущенная на основание. Т.е. площадь можно найти, используя половину произведения ЛЮБОЙ стороны и высоты, ОБЯЗАТЕЛЬНО опущенной именно на эту сторону. 5.Высота – это отрезок, концы которого соединяют вершину треугольника и противоположную сторону так, что сторона и отрезок образуют (прямой угол). 6.Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны. 7.Биссектриса – это отрезок, исходящий из вершины на противоположную сторону и делящий угол пополам. Виды и свойства треугольников. Что такое треугольник, думаю, знают все: еще с начальной школы знаем, что такая фигура имеет три угла, три стороны и три вершины. Разберемся теперь, какие треугольники бывают. В зависимости от углов: остроугольные (все углы острые, меньше 90°) тупоугольные (один из углов тупой, больше 90°) прямоугольные (один из углов прямой, 90°) В зависимости от сторон: произвольный (все стороны и углы разные) равнобедренный (две стороны равны) равносторонний (три стороны равны) В планиметрии рассматривают: прямоугольные, равнобедренные и равносторонние треугольники – они немного особенные и свойств у них много, которые надо знать. У остроугольного нет особенностей. У тупоугольного есть одна: три высоты будут пересекаться вне треугольника. Прямоугольный: Стороны, прилежащие к углу в 90°, называются катетами Сторона, лежащая напротив угла в 90°, называется гипотенузой Свойства: Два острых угла дают в сумме 90°. (Сумма углов в треугольнике составляет 180°, в прямоугольном – один угол прямой, т.е. 90°, 180°-90°=90°, таким образом на два острых угла приходится только 90°.) Катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы. Равнобедренный: Равные стороны называются боковыми, третья- основанием. Боковые стороны равны по определению. Свойства: Углы при основании равны. В р/б треугольнике отрезок, проведенный из вершины к основанию, являющийся высотой (является перпендикуляром, опущена под 90°), также будет и медианой (делит сторону пополам), и биссектрисой (делит угол пополам). Равносторонний: Является всегда равнобедренным. Все стороны в равностороннем треугольнике равны. Свойства: Все углы равны, по 60°. Все отрезки, проведенные из вершин к сторонам, являющиеся высотой, одновременно являются медианами и биссектрисами. Т.е. медиана, биссектриса и высота – это один и тот же отрезок. Что такое угол в геометрии 8 декабря 2020 г. от Veerendra Что такое угол в геометрии Угол Угол: Угол-это юнио общая начальная точка. Когда два луча имеют общую начальную точку, образуется угол. Общая начальная точка называется вершиной угла, а два луча, образующие угол, называются плечами или сторонами угла. Угол обозначается символом «∠». Углы, образованные лучами OA и OB, показаны на рисунке ниже и обозначены ∠BOA или ∠AOB Для удобства угол ∠BOA или ∠AOB также может обозначаться просто как ∠O. Однако это невозможно сделать, если имеется более одного угла с одной и той же вершиной O. В таких случаях мы можем обозначать углы такими символами, как ∠1, ∠2, ∠3 и т. д. Типы углов Обозначение угла Рассмотрим угол, как показано на рис. Используя символ ∠, мы можем читать или записывать угол тремя способами: (i) ∠1 (Присвоением номера) (ii) ∠B (По его вершине) (iii) ∠ABC или ∠CBA (По двум точкам на каждом луче/плече и вершине посередине) Именование угол по двум точкам на его плечах и вершине более полезен, особенно когда два или более углов имеют общую вершину. Образованы три угла, имеющие одну общую вершину B. Это: (i) ∠ABC или ∠CBA (ii) ∠ABD или ∠DBA (iii) ∠DBC или ∠CBD Внешний и внутренний угол Мы уже говорили, что любая фигура на плоскости делит плоскость на три части. Точно так же, когда мы рисуем угол на плоскости, он делит треугольник на три части. Внутренняя часть угла:  Внутренняя часть угла BAC представляет собой множество всех точек его плоскости, которые лежат по ту же сторону от AB, что и C, а также по ту же сторону от AC, что и B. Внешность угла:  Внешность угла BAC — это множество всех точек его плоскости, которые не лежат ни на угле, ни в его внутренней части. Конгруэнтные углы: Два угла называются конгруэнтными, если копия одного из них может быть наложена на другой, чтобы покрыть его полностью и точно. Если ∠BAC конгруэнтно ∠FEG, то мы пишем ∠BAC ≅ ∠FEG. Смежные углы Два угла на плоскости называются смежными, если они имеют (i) общую вершину, (ii) общее плечо и (iii) два других необщих плеча на противоположных сторонах общего рукава. На рисунке углы ∠AOB и ∠BOC смежные, так как имеют общую вершину O и общее плечо OB. Другие плечи OC и OA находятся по разные стороны от общего плеча OB. Теперь рассмотрим следующее: Линейная пара: Если сумма ∠AOB и ∠BOC равна 180°, то мы говорим, что эти два смежных угла образуют линейную пару. Величина угла Величина или величина угла зависит от раскрытия между его плечами. Это не зависит от длины рук. Два угла с разными отверстиями имеют разные величины. Градусная мера угла Возьмем луч OA. Вращайте его по часовой стрелке вокруг вершины O и дойдите до точки B. Таким образом, OA становится начальным положением, а OB — конечным положением. В этом случае формируется ∠AOB. Вращение может быть как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Полный оборот делится на 360 равных частей, каждая из которых равна одному градусу. Таким образом, один полный оборот составляет 360°. Углы измеряются в градусах, обозначаемых °. Этот символ вставляется справа вверху от цифры, обозначающей открытие угла. Пример: 30 градусов можно записать как 30°. В рубрике: Математика С тегами: Смежные углы, Угол, Градусная мера угла, Внешний и внутренний угол, Величина угла Классифицирующие углы в геометрии Master 7 столбов школы успеха Улучшение своих классов и снижение стресса Прилегающие углы Поделитесь общей стороной и общей вершиной . ABD и углы CBD являются смежными углами Вертикальные углы   – это углы, противоположные друг другу и имеющие общую вершину. Вертикальные углы равны. Последовательные углы , также называемые Внутренние углы одной стороны  , это внутренние углы, лежащие на одной стороне поперечной. Если пересекаемые прямые параллельны, а углы представляют собой линейную пару, то эти углы являются дополнительными. Альтернативные внутренние углы  находятся внутри пересекаемых линий и на противоположных сторонах поперечной. Эти углы равны. Альтернативные внешние углы  находятся вне пересекаемых линий и на противоположных сторонах поперечной. Эти углы равны. Common Core Standard  7.G.4   Математика 7-го класса Пары углов ​∠A или ∠ABC 5 90 называется вершиной. Луч — это линия, имеющая начальную точку, но не имеющая конечной точки. Углы могут быть названы этой вершиной. Символ угла ∠ используется для математического обозначения угла. Обычный метод именования углов — использование трех точек. Две точки для лучей и одна для вершины. Углы именования Связанные участки … Классификация углов/математическая планета 9018 Классифицирующие угловые игры 999 Классифицирующие углы 999 . ,Уравнения,Целые числа Предварительная алгебра/Дроби,Проценты Алгебра/Экспоненты,Уравнения,Радикалы Математические калькуляторы Геометрия/Фигуры Геометрия/SAT Геометрия/Плоскость Хорошие навыки обучения Геометрия/Основы В геометрии углы классифицируются в соответствии с мерой угла. Основные классификации углов: острый угол, тупой угол, прямой угол, рефлекторный и прямой угол. Типы углов GIF Вам также могут понравиться… ​Измерение углов транспортиром Прямые Поперечные углы Дополнительные углы – это два угла, сумма угловых величин которых составляет 90 градусов. Конгруэнтные углы – это два угла, имеющие одинаковую угловую меру. Дополнительные углы – это два угла, сумма которых составляет 180 градусов. A Рефлекторные углы больше 180 градусов Стенограмма Привет, добро пожаловать в Мумумат. Сегодня мы рассмотрим классификация углов . Первый угол, который мы собираемся рассмотреть, это угол 90 градусов , который образует L-образную форму, а символ представляет собой квадратную рамку в углу. Затем у нас есть прямой угол , который является прямым без фактического угла. Он думает об этом как о прямой линии. Тогда у вас есть угол, размер которого меньше 90 градусов, и это острый угол 90 250 90 251 . Тогда у вас есть угол , который больше 90, но меньше, чем прямой, и является тупо-острым. Итак, давайте обозначим их. Это первый номер 90 и это ваш опорный угол . Вы всегда должны быть знакомы с вашим углом 90 градусов , чтобы увидеть, есть ли у вас тот, который меньше. Значит, это острый угол. Этот больше, чем 90 градусов, и вы можете сделать набросок в L, если хотите, чтобы сравнить его. Тот больше, поэтому он тупой. А прямая это 180 градусов. Это два угла 90 градусов вместе взятые. Итак, это ваш прямой угол. Таким образом, вы всегда сравниваете с вашим углом 90 градусов или вашим прямым углом. Вот как классифицируются углы. Итак, давайте посмотрим на правила углов. Хорошо, острый угол — это угол, который меньше 90 градусов. Прямой угол равен 90 градусов. Ваш прямой угол является вашим исходным углом. Тогда у вас есть тупой угол, который больше 90 и прямой угол, равный 180 градусам. Что такое минуты и секунды в геометрии: Что такое градус,минута,секунда? — ответ на Uchi.ru alexxlab / 27.03.202327.02.2023 / Геометрии Градус (геометрия) | это… Что такое Градус (геометрия)? У этого термина существуют и другие значения, см. Градус. Градус, минута, секунда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности. Содержание 1 Градус 2 Минуты и секунды 3 Угловая секунда 3.1 Использование 3.2 Дольные единицы 4 Примечания 5 Литература 6 См. также Градус Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один оборот равен 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°. Деление окружности на 360° придумали аккадцы (вавилоняне). 1° = радиан ≈ 0,017453293 радиан 1° = оборота ≈ 0,002777 оборота 1° = градов ≈ 1,111111 градов Минуты и секунды По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат.  minutus — маленький, мелкий; обозначается знаком ′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается знаком ″). Корни такого деления лежат в Древнем Вавилоне, где использовалась шестидесятеричная система счисления. 1′ = ≈ 2,9088821·10−4 радиан. 1″ = ≈ 4,8481368·10−6 радиан. Угловая секунда Одна угловая секунда примерно соответствует углу, под которым виден футбольный мяч с расстояния около 45 километров. Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги[1]) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла[2]. Использование Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается с). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1c = 15″.[3] Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой[1][4], что является простой транслитерацией с англ. arcsecond. Дольные единицы По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению[2]. Однако, согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками[5], в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно). Связь различных угловых единиц измерения единица величина обозначение аббревиатура радиан (прибл.) градус 1/360 окружности ° deg 17,4532925 mrad минута 1/60 градуса ′ arcmin, amin, , MOA 290,8882087 µrad секунда 1/60 минуты ″ arcsec 4,8481368 µrad миллисекунда 1/1000 секунды   mas 4,8481368 nrad микросекунда 1 × 10−6 секунды   μas 4,8481368 prad Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд[6]. Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.[источник не указан 168 дней] В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP)[7][8]. Примечания ↑ 1 2 Англо-русско-английский астрономический словарь. Astronet. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ 1 2 Non-SI units accepted for use with the International System of Units  (англ.). SI brochure (8th ed.). Bureau International des Poids et Mesures. — Описание СИ на сайте Международного бюро мер и весов. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ Справочник. Некоторые внесистемные единицы. ASTROLAB. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ Glossary entry for English term «arcsecond»  (англ.). Справочник по услугам профессионального перевода, предоставляемым независимыми переводчиками и бюро перевода. ProZ.com. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин. Введён в действие с 1 сентября 2003 г. // Информационная система по оборудованию «Прибор. Инфо» : справочник. — 2003. ↑ Источник: статья Minute of arc в en-wiki. ↑ Гурьянов С. Почему звезды называются именно так?. проект «Астрогалактика» (29 октября 2005 года). Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 26 декабря 2007. ↑ Цветков А. С. Общие сведения о проекте Hipparcos // Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos. — СПб.: АИ СПбГУ. Литература Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Малые углы // Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X См. также Град, минута, секунда Оборот Радиан Градус (геометрия) | это… Что такое Градус (геометрия)? У этого термина существуют и другие значения, см. Градус. Градус, минута, секунда — общепринятые единицы измерения плоских углов. Также эти величины используются в картографии для определения координат произвольной точки земной поверхности. Содержание 1 Градус 2 Минуты и секунды 3 Угловая секунда 3.1 Использование 3.2 Дольные единицы 4 Примечания 5 Литература 6 См. также Градус Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один оборот равен 360°. В прямом угле, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°. Деление окружности на 360° придумали аккадцы (вавилоняне). 1° = радиан ≈ 0,017453293 радиан 1° = оборота ≈ 0,002777 оборота 1° = градов ≈ 1,111111 градов Минуты и секунды По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (от лат. minutus — маленький, мелкий; обозначается знаком ′), а минуту — на 60 секунд (от лат. secunda divisio — второе деление; обозначается знаком ″). Корни такого деления лежат в Древнем Вавилоне, где использовалась шестидесятеричная система счисления. 1′ = ≈ 2,9088821·10−4 радиан. 1″ = ≈ 4,8481368·10−6 радиан. Угловая секунда Одна угловая секунда примерно соответствует углу, под которым виден футбольный мяч с расстояния около 45 километров. Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги[1]) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла[2]. Использование Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается с). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1c = 15″.[3] Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой[1][4], что является простой транслитерацией с англ.  arcsecond. Дольные единицы По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению[2]. Однако, согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками[5], в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т. п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно). Связь различных угловых единиц измерения единица величина обозначение аббревиатура радиан (прибл. ) градус 1/360 окружности ° deg 17,4532925 mrad минута 1/60 градуса ′ arcmin, amin, , MOA 290,8882087 µrad секунда 1/60 минуты ″ arcsec 4,8481368 µrad миллисекунда 1/1000 секунды   mas 4,8481368 nrad микросекунда 1 × 10−6 секунды   μas 4,8481368 prad Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд[6]. Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой, астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.[источник не указан 168 дней] В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP)[7][8]. Примечания ↑ 1 2 Англо-русско-английский астрономический словарь. Astronet. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ 1 2 Non-SI units accepted for use with the International System of Units  (англ.). SI brochure (8th ed.). Bureau International des Poids et Mesures. — Описание СИ на сайте Международного бюро мер и весов. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ Справочник. Некоторые внесистемные единицы. ASTROLAB. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ Glossary entry for English term «arcsecond»  (англ.). Справочник по услугам профессионального перевода, предоставляемым независимыми переводчиками и бюро перевода. ProZ.com. Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 23 декабря 2007. ↑ ГОСТ 8.417-2002. Единицы величин. Введён в действие с 1 сентября 2003 г. // Информационная система по оборудованию «Прибор.Инфо» : справочник. — 2003. ↑ Источник: статья Minute of arc в en-wiki. ↑ Гурьянов С. Почему звезды называются именно так?. проект «Астрогалактика» (29 октября 2005 года). Архивировано из первоисточника 23 августа 2011. Проверено 26 декабря 2007. ↑ Цветков А. С. Общие сведения о проекте Hipparcos // Руководство по практической работе с каталогом Hipparcos. — СПб.: АИ СПбГУ. Литература Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Малые углы // Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X См. также Град, минута, секунда Оборот Радиан десятичных градусов в градусы, минуты и секунды — Grasshopper FordEarl 21 июня 2019 г., 14:25 1 Здравствуйте, сообщество GH, Я надеюсь, что сообщество сможет помочь и подсказать направление. Я хотел бы добиться этого без каких-либо других плагинов, используя стандартные математические функции GH, чтобы я мог видеть, что происходит. У меня есть круг, разделенный на 196 точек, и я хотел бы: A) пометить каждую точку эталоном от 0 до 195 (уже сделано) B) пометить каждую опорную точку (0-195) другим тегом, показывающим десятичную степень, измеренную от 0-1, 0-2, 0-3 и так далее до 0-195 по часовой стрелке — можно ли быстро сделать это вместо того, чтобы каждый раз изолировать две точки, как я пытался в определении? C) пометьте каждую контрольную точку (0-195) соответствующим градусом, минутой и секундой. гол.JPG1224×769 38,2 КБ До сих пор я измерил десятичный угол между точками 0 и 1, который составляет 1,836733 градуса. Вопрос 1: Можно ли разделить десятичное число «1,836733» на две части? Одна часть будет целым числом, в данном случае «1», а вторая часть будет дробным числом, в данном случае «0,836733». Отсюда я могу рассчитать «минуты», умножив дробное число (0,836733) на 60. В результате получится «50,203956» минут. Затем я снова разделил бы число на целое число и дробный остаток от «0,203956», чтобы найти секунды, умножив «0,2039». 56 на 60. Я хотел бы, чтобы вся эта информация выше (десятичные градусы, градусы, минуты и секунды) была привязана к соответствующей точке. заранее спасибо за любую помощь. градусов минут секунд.гх (12,6 КБ) jeremy5 (Джереми) 21 июня 2019 г., 15:37 2 Вот один из способов разделить число: image.png1112×238 31,2 КБ С уважением Джереми 1 Нравится (Джереми) 21 июня 2019 г., 15:50 3 Или другой: image. png1133×244 31,4 КБ 2 лайка HS_Kim 21 июня 2019 г., 16:21 4 Используя метод, предложенный Джереми, остальная часть (угол маркировки) не составит труда. Canvas%20at%2000%3B54%3B471466×681 133 КБ градусы минуты second_re.gh (21,8 КБ) 2 лайка Джозеф_Остер 21 июня 2019 г., 16:57 5 Поскольку это круг, зачем измерять Vec2Pt углов? Вы знаете, что каждый угол будет одинаковым (360/количество точек). Вот так: Преобразование этих дробных градусов в минуты и секунды — простая математика… Дополнение однозначных чисел начальным нулем и отображение тегов в радиальном порядке — дополнительная работа. Наверное, это можно упростить. DMS_2019Jun21a.gh (20,5 КБ) (устарело) DMS_2019Jun21a.png1366×625 104 КБ P.S. Лучше избегать запуска данных через текстовые панели. Подключите их, чтобы их можно было удалить, не влияя на результаты. П.П.С. Возьми два, это был беспорядок. Даже не посмотрел на вывод, который был явно неправильным. Дох! Итак, я взял пару битов из @HS_Kim (спасибо за Range и символы DMS в форматировании) и реализовал эти инструкции дословно, отсюда: https://www.rapidtables.com/convert/number/градусы-в-градусы-минуты-секунды.html Один градус (°) равен 60 минутам (’) и равен 3600 секундам («): 1° = 60’ = 3600 дюймов Целые градусы (d) равны целой части десятичных градусов (dd): д = целое число (дд) Минуты (m) равны целой части десятичных градусов (dd) минус целое число градусов (d), умноженное на 60: м = целое число ((дд — д) × 60) Секунды (s) равны десятичным градусам (dd) минус целое число градусов (d) минус минуты (m), деленное на 60, умноженное на 3600: с = (дд — д — м/60) × 3600 Результат намного лучше: DMS_2019JUN21B. « Предыдущая 1 2 3 4 5 … 9 Следующая »