Какие бывают углы в геометрии 7 класс: углы, какие они бывают, таблица нахождения углов

Основные определения и теоремы по геометрии. 7 класс — Студопедия

Поделись  

1. Геометрия – наука, занимающаяся изучением геометрических фигур (в переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие»).
2. В планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.
3. Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называются концами отрезка.
4. Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а точка — вершиной угла.
5. Угол называется развёрнутым, если обе его стороны лежат на одной прямой. ( Развёрнутый угол равен 180°).
6. Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.
7. Середина отрезка  — это точка отрезка, делящая его пополам, т.е. на два равных отрезка.
8. Биссектриса угла — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.
9. Угол называется прямым, если он равен 90°.
10. Угол называется острым, если он меньше 90° (т.е. меньше прямого угла).
11. Угол называется тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. (т.е. больше прямого, но меньше развёрнутого).
12. Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными. Сумма смежных углов равна 180°.
13. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Вертикальные углы равны.
14. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.
15. Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех отрезков, соединяющих эти точки.
    Точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника.
16. Если два треугольника равны, то элементы (т.е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
17. Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. Сами рассуждения называются доказательством теоремы.
18. (Т. Первый признак равенства треугольников) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
19. (Т. о перпендикуляре к прямой) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.
20. Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
21. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.
22. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
23. (Свойства медианы, биссектрисы и высоты треугольника) В любом треугольнике медианы пересекаются в одной точке; биссектрисы пересекаются в одной точке; высоты или их продолжения также пересекаются в одной точке.
24. Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона —
    основанием равнобедренного треугольника.
25. Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
26. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
27. (Т. о свойстве равнобедренного треугольника) В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
28. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
29. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
30. (Т. Второй признак равенства треугольников) Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
31. (Т. Третий признак равенства треугольников) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
32. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности.
33. Радиус окружности – отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой.
34. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой.
35. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
36. Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.
37. Две прямые на плоскости называются
    параллельными, если они не пересекаются.
38. При пересечении двух прямых секущей образуется восемь углов: накрест лежащие, односторонние и соответственные.
39. (Т. Признак параллельности двух прямых по накрест лежащим углам) Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
40. (Т. Признак параллельности двух прямых по соответственным углам) Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
41. (Т. Признак параллельности двух прямых по односторонним углам) Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
42. Аксиомы – это утверждения о свойствах геометрических фигур, которые принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются теоремы и строится вся геометрия.
43. (Аксиома) Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
44. (Аксиома параллельных прямых) Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
45. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
46. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
47. Во всякой теореме две части: условие (то, что дано) и заключение (то, что требуется доказать).
48. Теоремой, обратной данной,называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы.
49. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.
50. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.
51. (Т. Свойство параллельных прямых) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.
52. (Т. о сумме углов треугольника) Сумма углов треугольника равна 180°.
53. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.
54. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
55. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.
56. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.
57. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным.
58. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол — катетами.
59. (Т. о соотношениях между сторонами и углами треугольника) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно, против большего угла лежит большая сторона.
60. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
61. (Признак равнобедр. треугольника) Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
62. (Т. Неравенство треугольника) Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
63. (Свойство прямоугольного треугольника) Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
64. (Свойство прямоугольного треугольника) Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
65. (Свойство прямоугольного треугольника
    ) Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
66. (Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
67. (Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу) Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему острому углу другого, то такие треугольники равны.
68. (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу) Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
69. (Т. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету ) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
70. Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, проведённого из этой точки к прямой.
71. (Т. Свойство параллельных прямых) Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.
72. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.



Аксиомы геометрии / Параллельные прямые / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Параллельные прямые
5. Аксиомы геометрии

Аксиома — исходное положение о свойствах геометрических фигур, которое принимается без доказательства и на основе которого далее доказываются теоремы и вообще строится вся геометрия. Все аксиомы являются наглядно очевидными и не вызывают сомнений.

Геометрия, в которой сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путем логических рассуждений доказываются другие утверждения, называется евклидовой геометрией.

К аксиомам относятся следующие утверждения:

Аксиомы о взаимном расположении точек и прямой

1. Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки.
2. Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
3. Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
4. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
5. Каждая точка О прямой разделяет ее на две части (два луча) так, что любые две точки одного и того же луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О.
6. Каждая прямая разделяет плоскость на две части (две полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же полуплоскости лежат по одну сторону от прямой , а любые две точки разных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой .

Аксиомы о наложении и равенстве фигур

7. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то совмещаются и сами отрезки.
8. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному и притом только один.
9. От любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
10. Любой угол hk можно совместить наложением с равным ему углом h₁k₁двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом h₁, а луч k — с лучом k₁; 2) так, что луч h совместится с лучом k₁, а луч k — с лучом h₁.
11. Любая фигура равна самой себе.
12. Если фигура Ф равна фигуре Ф₁, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф.
13. Если фигура Ф₁ равна фигуре Ф₂, а фигура Ф₂ равна фигуре Ф₃, то фигура Ф₁ равна фигуре Ф₃.

Аксиомы об измерении отрезков

14. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом.
15. При выбранной единице измерения отрезков  для любого положительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Аксиома параллельности

16. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Параллельные прямые

Признаки параллельности двух прямых

Практические способы построения параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых

Теорема о накрест лежащих углах

Теорема о соответственных углах

Теорема об односторонних углах

Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами

Параллельные прямые

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 7, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 9, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Урок 1 | Геометрия | 7 класс Математика

Цель

---

Находить и определять значения углов в дополнительных и дополнительных отношениях.

Общие базовые стандарты

---

Основные стандарты

Основные стандарты, рассмотренные в этом уроке

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

• 7.GB.5 — Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многошаговой задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла в фигуре.

Основополагающие стандарты

Основные стандарты, рассмотренные в этом уроке

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

• 4.MD.C.5

• 4.MD.C.7

Критерии успеха

Основные понятия, которые учащиеся должны продемонстрировать или понять для достижения цели урокаДополнительные углы 0048 — это углы, сумма мер которых равна 90°, а дополнительных углов — это углы, сумма мер которых равна 180°.

Определите пары дополнительных и дополнительных углов на диаграммах углов.

Найдите значения углов, используя дополнительные и дополнительные угловые соотношения и уравнения.

Советы учителям

Рекомендации учителям по проведению этого урока

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

Учащиеся изучали углы в четвертом классе, где они узнавали углы как фигуры, образованные двумя лучами, имеющими общую конечную точку. Они поняли, что меры углов аддитивны, и решили задачи на сложение и вычитание, чтобы найти недостающие углы. На этом уроке учащиеся формально определяют дополнительных и дополнительных углов , и они начинают развивать свое понимание угловых отношений и того, как они могут представить эти отношения с помощью уравнений.

Fishtank Plus

Разблокируйте функции, чтобы оптимизировать время подготовки, планировать увлекательные уроки и следить за успеваемостью учащихся.

Проблемы с якорем

Задачи, предназначенные для изучения ключевых моментов урока, и наводящие вопросы, помогающие ученикам понять

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

Проблема 1

Используйте схему ниже, чтобы ответить на вопросы.

1. Назовите острый угол.
2. Назовите тупой угол.
3. Назовите прямой угол.
4. Назовите два смежных угла.
5. Назовите два несмежных угла.

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной задачи.

Проблема 2

Ниже показаны две угловые диаграммы. Используйте информацию о каждой диаграмме, чтобы найти меру описываемого угла.

а. Точки $$Q$$, $$R$$ и $$T$$ лежат на прямой, как показано ниже. Найдите меру $$\angle SRT$$.

б. Угол $${ABC}$$ – прямой. Найдите значение $$x$$.

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной проблемы.

Проблема 3

На приведенной ниже диаграмме точка $$P$$ лежит на прямой $${QT}$$.

1. Напишите и решите уравнение, чтобы найти меру $$x$$.
2. Чему равен $$\угол RPT$$?

Наводящие вопросы

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы получить доступ к наводящим вопросам для этой основной задачи.

Набор проблем

Набор предлагаемых ресурсов или типов задач, которые учителя могут превратить в набор задач

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

Ключи ответов .

Целевая задача

Задача, которая представляет собой пик мышления урока — мастерство покажет, была ли достигнута цель

A628D5C3-5B97-4E03-B1EC-5AD5C66D8950

---

На диаграмме ниже точка $$A$$ лежит на линии $${ BD}$$  и $$\угол CAE$$ — прямой угол.

 

а. Опишите связь между $$\angle DAE$$ и $$\angle EAB$$.

б. Назовите два дополнительных угла.

в. Если мера угла $$DAC$$ равна 74°, то какова мера угла $$DAE$$?

Ответ учащегося

Создайте бесплатную учетную запись или войдите, чтобы просмотреть ответ учащегося

Дополнительная практика

---

Следующие ресурсы включают проблемы и действия, связанные с целью урок, который можно использовать для создания собственного набора задач.

• Включите задачи, в которых учащиеся упражняются в выявлении и определении углов в дополнительных и дополнительных угловых соотношениях.
• Включите задачи, в которых учащиеся пишут простые уравнения для представления отношения между отсутствующим углом и его дополнительной или дополнительной парой.
• Open Up Resources 7 класс, раздел 7, практические задачи — Урок 2
• EngageNY Mathematics Grade 7 Mathematics > Модуль 6 > Тема A > Урок 1 — Упражнения и набор задач; обратите внимание, что эти задачи включают словесные выражения для описания угловых отношений, например, измерение большего угла в три раза больше измерения дополнительного меньшего угла.
пиктограмма/стрелка/вправо/большой

Урок 2

7-1 Формы и рисунки – понятия и пояснения

Многоугольник

Фигура, образованная отрезками прямых таким образом, что каждый из отрезков пересекает ровно два других отрезка, а все точки пересечения отрезков являются конечными точками отрезков.

Пример

• Треугольник 3 стороны и 3 угла
• Четырехугольник: 4 стороны и 4 угла
• Пятиугольник: 5 сторон и 5 углов
• Шестигранник: 6 сторон и 6 углов
• Семиугольник: 7 сторон и 7 углов
• Октагон: 8 сторон и 8 углов
• Nonagon: 9 сторон и 9 углов
• Десятиугольник: 10 сторон и 10 углов
• Додекагон: 12 сторон и 12 углов

Правильный многоугольник

Многоугольники с равными длинами сторон и равными внутренними углами.

Неправильный многоугольник

Многоугольник, у которого либо две стороны разной длины, либо два угла разной величины.

Линия (или зеркало) Симметрия

Пример

Если многоугольник согнуть по линии симметрии, две половины фигуры точно совпадут.

Вращательная (или поворотная) симметрия

Многоугольник с поворотной симметрией может быть повернут вокруг своей центральной точки меньше, чем на полный оборот, и при этом выглядеть одинаково при определенных углах поворота.

Углы

Углы – фигуры, образованные двумя лучами или отрезками, имеющими общую вершину. вершина угла — это точка, в которой встречаются или пересекаются два луча. Углы измеряются в градусах.

Угловые меры

Работа проводится по соотношению углов с прямыми углами, для развития у учащихся навыков оценивания. Используются комбинации и перегородки 90°. 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 180 °, 270 ° и 360 ° используются в качестве эталонных значений для оценки размера угла.

Потребность в большей точности требует методов измерения углов. Учащиеся используют угловую линейку или транспортир для измерения углов.

Углы и параллельные прямые

Учащиеся изучают углы, образующиеся при пересечении двух параллельных прямых прямой. Прямая, которая пересекает (пересекает) параллельные прямые, называется секущей . Углы 1 и 5, углы 2 и 6, углы 3 и 7, углы 4 и 8 называются соответствующими углами. Углы 4 и 5 и углы 3 и 6 называются параллельными внутренними углами. Параллельные прямые, пересеченные секущей, дают равные соответствующие углы и равные чередующиеся внутренние углы .

Параллельные прямые и секущие помогают объяснить некоторые особенности параллелограммов, например, равенство противоположных углов или то, что сумма мер двух соседних углов равна 180°.

Многоугольники, которые замостили плоскость

Чтобы правильные многоугольники замостили плоскость, угловая мера внутреннего угла должна быть кратна 360°.

No related posts.