Угол в геометрии: Луч и угол — урок. Геометрия, 7 класс.

Углы в геометрии — введение | 7 класс

Содержание

Если вам приходилось часто ездить по междугородним маршрутам, вполне вероятно, что вы встречали по пути вот это — знак крутого уклона. Водителю он сообщает: «Осторожно! Дорога далее идет под углом». Углы — интересный объект нашего быта. Углы в геометрии — объект не менее интересный, поскольку они одновременно наследуют ряд свойств уже привычных нам фигур: точек и лучей.

Впереди вас ждет раздел, всецело посвященный изучению данной геометрической фигуры и ее особенностей.  

Луч и угол

Согните свою руку так, будто бы бравируете перед кем-то мускулами. Если рассмотреть полученную в результате фигуру «Мистер Мускул» геометрически, она будет состоять из точки перегиба (локтевого сустава) и двух линий (прямых предплечья и плеча).

Остановимся на прямых и точках. Начертим на плоскости два луча $AB$ и $AB_1$ так, что $AB\cap{AB_1}=A$. Фигура, получившаяся на чертеже ниже, будет называться углом. Видим, что луч и угол взаимосвязаны: углы в геометрии состоят из лучей и точки, общей для этих лучей.

Дадим определение:

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной начальной точки.

Рассматривать углы в геометрии можно как составную или как в некотором роде «единую» фигуру. Определение, приведенное выше, задает составное понимание фигуры в связке «луч и угол»: луч, еще один луч, точка. Также данную фигуру можно рассмотреть в совокупности. В этом случае лучи будут называться боковыми сторонами, а начальная точка — вершиной угла.

Луч и угол

Сторона и вершина

Угол представляет для нас больший интерес в качестве совокупной фигуры. Изучать его мы будем именно из позиции «вкупе». Однако не забывайте, что любой угол всегда раскладывается на лучи и точку.

{"questions":[{"content":"[[speech-1]]
Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя [[fill_choice-5]], выходящими из [[fill_choice-16]]. ","widgets":{"speech-1":{"type":"speech","text":"Повторим определение. Дополните указанное ниже определение луча наиболее подходящими словами."},"fill_choice-5":{"type":"fill_choice","options":["лучами","прямыми","отрезками"],"answer":0},"fill_choice-16":{"type":"fill_choice","options":["одной начальной точки","двух отличных друг от друга точек"],"answer":0}}}]}

Обозначение углаУильям Отред, английский математик XVI–XVII вв. Придумал логарифмическую линейку, знак деления («$/$»), знак умножения («$\times$»). Также «облагородил» обозначение угла: спасибо мистеру Отреду, что угол мы обозначаем символом «$\angle$», а не знаком неравенства.

Существует несколько вариантов того, как в математической нотации дается обозначение угла. Все варианты объединяет использование символа «$\textcolor{coral}{\angle}$», — этому символу, кстати, больше четырехсот лет. Примечательно, что первая его версия от 1634 года напоминала знак неравенства «$<$». Символ указывается перед буквенным обозначением и показывает, что далее речь пойдет о фигуре «угол».

❗ Почему знаки обозначения фигур важны и нужны

Забегая немного вперед, покажем одну из особенностей обозначения угла способом «три точки». Делается это следующим образом: «$\angle{ABC}$». Тремя точками в том числе обозначается треугольник: «$\bigtriangleup{ABC}$».

Если не указывать перед буквами знак фигуры, создается неоднозначность. Вот почему знаки обозначения фигур крайне важны, когда речь идет про углы в геометрии. Не забывайте обозначать фигуры.

Обозначение угла через вершину


Обозначить углы в геометрии можно с помощью всего лишь одной буквы — той, что определяет точку вершины. Рассмотрим чертеж, где точка $A$ является вершиной. Данный угол обозначается как $\angle{A}.$

А вы про какой угол?

Это наиболее экономный способ записи, однако он не всегда удобен из-за возможной неоднозначности. Например, ситуация на чертеже: точка $A$ здесь является общей для трех лучей. И что, «$\angle{A}$» — это про тот, что слева, или тот, что справа?

Выбирать обозначение угла важно так, чтобы по ходу решения задачи или доказательства всем было ясно, где располагается указываемый вами угол.

Обозначение угла строчными греческими буквами


Дабы избежать неопределенности, на чертеж иногда наносят отдельную букву. Исторически сложилось, что букву эту выбирают из греческого алфавита строчного регистра.

На представленном чертеже примером такого обозначения будет «$\angle{\alpha}$».

Буква	Как обозначается	Как читается
$\alpha$	$\angle{\alpha}$	«угол альфа»
$\beta$	$\angle{\beta}$	«угол бета»
$\gamma$	$\angle{\gamma}$	«угол гамма»
$\delta$	$\angle{\delta}$	«угол дельта»
$\theta$	$\angle{\theta}$	«угол тета»
$\phi$	$\angle{\phi}$	«угол фи»

Литеры греческого алфавита, используемые в геометрии для обозначения углов.

{"questions":[{"content":"Упражнение для запоминания названий букв греческого алфавита. Не подсматривайте в таблицу выше и попытайтесь распределить буквы согласно их названию на русском самостоятельно. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$\\alpha$","$\\beta$","$\\gamma$","$\\delta$","$\\phi$","$\\theta$"],"items":["альфа","бета","гамма","дельта","фи","тета"]}}}]}

Обозначение угла с помощью направляющих точек

Вспомним, что луч можно обозначать не только с помощью начальной, но и направляющей точки. Рассмотрим лучи, пересекающиеся в точке $A$: $AB\cap{AC}=A$. Направляющими точками лучей являются точки $B$ и $C$.

Обозначаться данный угол будет как $\angle{CAB}$. Порядок наоборот также допустим: $\angle{BAC}$.

При способе обозначения «три точки» точка, указанная посередине, всегда является вершиной угла, а боковые буквы в записи являются точками, лежащими на сторонах угла.

Обозначение угла прямыми

Последний способ, наименее распространенный, — использовать прямые для обозначения угла. Луч является частью прямой, и если на чертеже имеется дополнительное буквенное указание прямых, их можно записать в порядке против часовой стрелки через скобки. Например, $\angle{(ab)}$.

Как и с точками, вариант «наоборот» допустим — $\angle{ba}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]] Проверим вас задачкой посложнее. Дана пирамида. Ее основанием является треугольник — фигура, состоящая из трех углов. Как будет обозначаться угол основания, вершина которого выделена красным цветом? [[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"http://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/TFM.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\angle{TFM}$","$\\angle{FTM}$","$\\angle{TMF}$"],"answer":[0]}}}]}

Дополнительно об обозначении углов

Скрыть содержимое

Порядок решает

Угол из примера в разделе «Обозначение угла с помощью направляющих точек».

И порядок этот — от точки слева к точке справа. Еще одна данность, как и буквы греческого алфавита: углы в геометрии принято отсчитывать против часовой стрелки. Поэтому угол обозначен в первую очередь как «$\angle{CAB}$», не «$\angle{BAC}$».

Вариант по направлению часовой стрелки («$\angle{BAC}$») допустим.

То, что принято, вовсе не обязательно. Просто правило хорошего тона, которое, если того требует удобство, можно нарушить.

Углы в геометрии: определение направления против часовой стрелки

Если вам сложно представлять поворот стрелки при обозначении углов, можно воспользоваться простым методом пальцев. Алгоритм прост:

👉 приложите указательный палец левой руки к крайней точке угла с левой стороны;
👈 приложите указательный палец правой руки к крайней точке угла с правой стороны;
✌️ точка вершины угла должна располагаться посередине;
✍️ запишите буквенное обозначение точек слева направо — от пальца левой руки к пальцу правой руки.

Пример

Значения не имеет, как при этом расположен угол на плоскости. Рассмотрим, к примеру, положение угла «домиком». Соответствующий угол будет обозначаться как $\angle{MPK}$.

Еще пример

Углы в геометрии:

внешняя сторона угла

Угол образует на плоскости две области — внутреннюю область и внешнюю. Определяя углы в геометрии, мы, как правило, оцениваем фигуру, полученную во внутренней области. Однако стороны угла можно рассматривать как для внутренней области, так и для внешней. С учетом, что существует так называемая внешняя сторона угла, лучи соответственно образуют два угла: внутренний и наружный.

Области угла

Внешняя сторона угла

Параллельное по тексту обозначение и внутреннего, и наружного углов часто сопряжено с проблемой неоднозначности. Решить ее можно двумя способами — простым и не очень простым. Если вы ознакомились с содержанием скрытого блока о методе пальцев, предлагаем также ознакомиться с не очень простой альтернативой ниже.

• Простой. Наносить на чертеж буквенное обозначение углов ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$). Скажем, если внутренний угол обозначить как «$\angle{\theta}$», соответствующий наружный удобно обозначить как «$\angle{\theta_1}$».

Альтернативный способ

Скрыть содержимое

• Не очень простой. Использовать обозначение «три точки» или с помощью прямых, однако при этом держать строгий порядок: против часовой — для внутренних, по часовой — для соответствующих наружных.

Например, $\angle{ABC}$ и $\angle{CBA}$. Или $\angle{(ab)}$ и $\angle{(ba)}$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]<i>Подведем итоги практически. На чертеже даны два луча, образующие внутренний и наружный углы. Распределите данные ниже обозначения в строгой нотации (<b>против часовой стрелки</b>) согласно предложенным углам.</i>[[grouper-22]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"http://obrazavr. ru/wp-content/uploads/2022/08/test.svg"},"grouper-22":{"type":"grouper","labels":["Внутренний угол","Наружный угол"],"items":[["$\\angle{\\alpha}$","$\\angle{CAB}$","$\\angle{(ab)}$","$\\angle{A}$"],["$\\angle{\\phi}$","$\\angle{BAC}$","$\\angle{(ba)}$"]]}}}]}

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Выберите из предложенных вариантов ниже обозначения, подходящие указанному на чертеже углу. [[choice-8]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"http://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/test1-1.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\angle{\\alpha}$","$\\angle{CAB}$","$\\angle{ab}$","$\\angle{A}$","$\\angle{C_1{AB}}$"],"answer":[0,1,2]}}}]}

Виды углов в геометрии: какой называется развернутым, сколько градусов в прямом и неразвернутом

С понятием угол учащиеся знакомятся еще в начальной школе. Но как геометрическую фигуру, имеющую определенные свойства, начинают изучать его с 7-го класса в геометрии. Кажется, довольно простая фигура, что о ней можно сказать. Но, приобретая новые знания, школьники всё больше понимают, что можно узнать о ней довольно интересные факты….

Содержание

Когда изучаются

Школьный курс геометрии разделён на два раздела: планиметрию и стереометрию. В каждом из них немалое внимание уделяется углам:

• В планиметрии дается их основное понятие, происходит знакомство с их видами по величине. Более подробно изучаются свойства каждого вида треугольников. Появляются новые определения для учащихся – это геометрические фигуры, образованные при пересечении двух прямых между собой и пересечении нескольких прямых секущей.
• В стереометрии изучаются пространственные углы – двугранные и трехгранные.

Внимание! В данной статье рассматриваются все виды и свойства углов именно в планиметрии.

Определение и измерение

Приступая к изучению, первоначально определяют, что такое угол в планиметрии.

Если на плоскости взять определённую точку и провести от нее два произвольных луча, то получим геометрическую фигуру – угол, состоящую из следующих элементов:

• вершина – та точка, из которой и проводились лучи, обозначается заглавной буквой латинского алфавита,
• стороны – полупрямые, проведенные из вершины.

Все элементы, образующие рассматриваемую нами фигуру, разбивают плоскость на две части:

• внутренняя в планиметрии не превышает 180 градусов,
• внешняя.

Принцип измерения углов в планиметрии объясняют на интуитивной основе. Для начала знакомят учащихся с понятием развернутый угол.

Важно! Угол называется развернутым, если полупрямые, выходящие из его вершины, образуют прямую линию. Неразвернутый угол это все остальные случаи.

Если его разделить на 180 равных частей, то принято считать меру одной части равной 10. В таком случае говорят, что измерение производится в градусах, а градусная мера такой фигуры составляет 180 градусов.

Основные виды

Виды углов подразделяются по таким критериям, как градусная мера, характер их образования и представленные ниже категории.

По величине

Учитывая величину, углы разделяют на:

• развернутый,
• прямой,
• тупой,
• острый.

Какой угол называется развернутым, было представлено выше. Определимся с понятием прямого.

Его можно получить при делении развернутого на две равные части. В этом случае легко ответить на вопрос: прямой угол, сколько градусов составляет?

180 градусов развернутого делим на 2 и получаем, что прямой угол равен 90 градусам. Это замечательная фигура, так как многие факты в геометрии связаны именно с ней.

Имеет она и свои особенности в обозначении. Чтобы на рисунке показать прямой угол, его обозначают не дугой, а квадратиком.

Это интересно! Легкие правила округления чисел после запятой

Углы, которые получаются при делении произвольным лучом прямого, называют острыми. По логике вещей следует, что острый угол меньше прямого, но его мера отлична от 0 градусов. То есть, он имеет величину от 0 до 90 градусов.

Тупой угол больше прямого, но меньше развернутого. Его градусная мера варьируется в интервале от 90 до 180 градусов.

Данный элемент можно разбить на разные виды рассматриваемых фигур, исключая развёрнутый.

Вне зависимости от того, как разбивается неразвернутый угол, всегда пользуются базовой аксиомой планиметрии основное свойство измерения.

При разделении угла одним лучом или несколькими, градусная мера данной фигуры равна сумме мер углов, на которые она разбита.

На уровне 7-го класса виды углов по их величине на этом заканчиваются. Но для повышения эрудиции можно добавить, что существуют и другие разновидности, которые обладают градусной мерой больше 180 градусов.Их называют выпуклыми.

Фигуры при пересечении прямых

Следующие типы углов, с которыми знакомятся учащиеся – элементы, образованные при пересечении двух прямых. Фигуры, которые размещаются друг напротив друга, называют вертикальными. Их отличительное свойство – они равны.

Элементы, которые прилегают к одной и той же прямой, называют смежными. Теорема, отображающая их свойство, говорит о том, что смежные углы в сумме дают 180 градусов.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Элементы в треугольнике

Если рассматривать фигуру как элемент в треугольнике, то углы подразделяют на внутренний и внешний. Треугольник ограничен тремя отрезками и состоит из трёх вершин. Углы, расположенные внутри треугольника при каждой вершине, называют внутренними.

Если взять любой внутренний элемент при любой вершине и продлить любую сторону, то угол, который образовался и является смежным с внутренним, называется внешним. Эта пара элементов имеет следующее свойство: их сумма равна 180 градусам.

Пересечение двух прямых секущей

Пересечение прямых

При пересечении двух прямых секущей также образуются углы, которые принято распределять по парам. Каждая пара элементов имеет свое название. Выглядит это следующим образом:

• внутренние накрест лежащие:∟4 и ∟6, ∟3 и ∟5,
• внутренние односторонние: ∟4 и ∟5, ∟3 и ∟6,
• соответствующие: ∟1 и ∟5, ∟2 и ∟6, ∟4 и ∟8, ∟3 и ∟7.

В том случае, когда секущая пересекает две параллельные прямые, все эти пары углов имеют определённые свойства:

1. Внутренние накрест лежащие и соответственные фигуры между собой равны.
2. Внутренние односторонние элементы в сумме дают 180 градусов.

Изучаем углы в геометрии, их свойства

Виды углов в математике

Вывод

В этой статье представлены все основные виды углов, которые встречаются в планиметрии и изучаются в седьмом классе. Во всех последующих курсах свойства, касающихся всех рассмотренных элементов, являются основой для дальнейшего изучения геометрии. К примеру, изучая параллелограмм, необходимо будет вспомнить все свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. При изучении особенностей треугольников, необходимо вспомнить, что такое смежные углы. Перейдя в стереометрию, все объёмные фигуры будут изучаться и строиться, опираясь на планиметрические фигуры.

Это интересно! Изучение точного предмета: натуральные числа — это какие числа, примеры и свойства

Дополнительные углы — определение, различие, примеры

В геометрии дополнительные углы определяются как два угла, сумма которых составляет 90 градусов . Другими словами, два угла, сумма которых составляет 90 градусов, называются дополнительными углами. Например, 60° и 30°. Давайте узнаем больше об этом в этой статье.

1.	Что такое дополнительные углы?
2.	Смежные дополнительные углы
3.	Как найти дополнение к углу?
4.	Свойства дополнительных углов
5.	Дополнительные углы и дополнительные углы
6.	Теорема о дополнительном угле
7.	Часто задаваемые вопросы о дополнительных углах

Что такое дополнительные углы?

Дополнение и дополнение двух углов определяется суммой их измерений. Если сумма двух углов равна измерению прямого угла, то говорят, что пара углов представляет собой

дополнительных угла .

Дополнительные углы Определение

Два угла называются дополнительными, если их сумма составляет 90 градусов. Другими словами, когда дополнительные углы сложены вместе, они образуют прямой угол (90 градусов). Угол 1 и угол 2 дополняют друг друга, если сумма обоих углов равна 90 градусам (т. е. угол 1 + угол 2 = 90°), и, таким образом, угол 1 и угол 2 называются дополнительными друг друга.

На приведенном ниже рисунке 60° + 30° = 90°. Следовательно, из «Определения дополнительных углов» эти два угла являются дополнительными. Каждый угол среди дополнительных углов называется «дополнением» другого угла. Здесь

• 60° — это дополнение к 30°.
• 30° является дополнением к 60°.

Смежные дополнительные углы

Если сумма двух углов равна измерению прямого угла, то пара углов называется дополнительным углом. В геометрии есть два типа дополнительных углов, как указано ниже:

• Смежные дополнительные углы
• Несмежные дополнительные углы

Смежные дополнительные углы : Два дополнительных угла с общей вершиной и общим плечом называются смежными дополнительными углами. На приведенном ниже рисунке ∠COB и ∠AOB являются смежными углами, поскольку они имеют общую вершину «O» и общее плечо «OB». В сумме они также составляют 90 градусов, то есть ∠COB + ∠AOB = 70° + 20° = 90°. Таким образом, эти два угла являются соседними дополнительными углами.

Несмежные дополнительные углы : Два дополнительных угла, которые НЕ являются смежными, называются несмежными дополнительными углами. На приведенном ниже рисунке ∠ABC и ∠PQR являются несмежными углами, поскольку они не имеют ни общей вершины, ни общего плеча. Кроме того, они в сумме дают 90 градусов, то есть ∠ABC + ∠PQR = 50° + 40° = 90°. Таким образом, эти два угла являются несмежными дополнительными углами. Если сложить несмежные дополнительные углы, то получится прямой угол.

Как найти дополнение к углу?

Мы знаем, что сумма двух дополнительных углов равна 90 градусов, и каждый из них называется «дополнением» другого. Таким образом, дополнение угла находится вычитанием его из 90 градусов. Дополнение x° равно 90-x° . Найдем дополнение к углу 57°. Дополнение 57° получается вычитанием его из 90°, т. е. 90° — 57° = 33°. Таким образом, дополнение угла 57° равно 33°.

Свойства дополнительных углов

Теперь мы уже узнали о типах дополнительных углов. Давайте посмотрим на некоторые важные свойства дополнительных углов. Свойства дополнительных углов приведены ниже:

• Два угла называются дополнительными, если их сумма составляет 90 градусов.
• Они могут быть как смежными, так и несмежными.
• Три или более углов не могут быть дополнительными, даже если их сумма равна 90 градусам.
• Если два угла дополняют друг друга, каждый угол называется «дополнением» или «дополняющим углом» другого угла.
• Два острых угла прямоугольного треугольника дополняют друг друга.

Дополнительные углы и дополнительные углы

Дополнительный и добавочный углы — это те углы, которые в сумме составляют 90 градусов и 180 градусов соответственно. Они могут быть как смежными, так и несмежными. Когда дополнительные углы можно рассматривать как две части прямого угла, дополнительные углы являются двумя частями прямого угла или угла в 180 градусов. Различия между дополнительными углами и дополнительными углами приведены в таблице ниже:

Дополнительные углы	Дополнительные углы
Пара углов называется смежной, если их сумма равна 180 градусам.	Пара углов называется дополнительной, если их сумма равна 90 градусов.
Дополнение угла x° равно (180 — x)°.	Дополнение угла x° равно (90 — x)°.
Их можно соединить вместе, образуя прямой угол.	Их можно соединить вместе, образуя прямой угол.

Вот небольшой трюк, который поможет вам понять взаимодополняющие углы и дополнительные углы.

• «S» означает «дополнительный», а «S» — «прямой». Следовательно, вы можете помнить, что два «дополнительных» угла, сложенные вместе, образуют «прямой» угол.
• «C» означает «дополнительный», а «C» — «угловой». Следовательно, вы можете помнить, что два «Дополнительных» угла, сложенные вместе, образуют «Угловой (правый)» угол.

Теорема о дополнительных углах

Если сумма двух углов равна 90 градусов, то говорят, что они дополнительные. Каждый из дополнительных углов острый и положительный. Давайте изучим теорему о дополнительных углах с ее доказательством. Теорема о дополнительных углах гласит: « Если два угла дополняют один и тот же угол, то они конгруэнтны друг другу ».

Доказательство дополнительных углов Теорема:

Мы знаем, что дополнительные углы существуют парами и в сумме дают 90 градусов. Рассмотрим следующий рисунок и докажем теорему о дополнительном угле.

• Предположим, что ∠POQ является дополнительным к ∠AOP и ∠QOR.
• Теперь, согласно определению дополнительных углов, ∠POQ + ∠AOP = 90° и ∠POQ + ∠QOR = 90°.
• Из приведенных выше двух уравнений мы можем сказать, что «∠POQ + ∠AOP = ∠POQ + ∠QOR».
• Теперь вычтите ‘∠POQ’ с обеих сторон, ∠AOP = ∠QOR.
• Таким образом, теорема доказана.

☛ Статьи по теме

Ознакомьтесь со следующими важными статьями, чтобы узнать больше о дополнительных углах в математике.

• Дополнительный калькулятор углов
• Дополнительные и Дополнительные углы Рабочие листы
• Типы углов

Часто задаваемые вопросы о дополнительных углах

Что означают дополнительные углы?

В геометрии два угла называются дополнительными, если их сумма равна 90 градусов. Если ∠1 и ∠2 дополнительные углы, то ∠1 + ∠2 = 90°.

Что дают в сумме дополнительные углы?

Два дополнительных угла всегда дают в сумме 90 градусов. Если ∠A и ∠B являются дополнительными углами, это означает, что:

• ∠A + ∠B = 90°.
• ∠A является дополнением к ∠B.
• ∠B является дополнением к ∠A.

Как найти дополнительные углы?

Если сумма двух углов равна 90 градусов, то говорят, что они дополнительные. Таким образом, дополнение угла получается вычитанием его из 90. Например, дополнение 40° равно 90° ^{— 40° = 50°.}

Чему равна сумма двух дополнительных углов?

Сумма двух дополнительных углов всегда равна 90 градусов. Следовательно, если X и Y дополняют друг друга, это означает, что ∠X + ∠Y = 90 °.

В чем разница между дополнительными и дополнительными углами?

Дополнительными углами считаются углы, сумма которых равна 180 градусам, а сумма двух дополнительных углов равна 90 градусам. Два дополнительных угла образуют прямой угол, а два дополнительных угла образуют прямой угол.

Как найти значение x в дополнительных углах?

Если два угла по x заданы как дополнительные, мы просто устанавливаем их сумму равной 90 градусам и решаем полученное уравнение. Если один угол задан как х°, то измерение другого угла равно 90° — х°.

Что такое пара дополнительных углов?

Два угла образуют пару дополнительных углов, если их сумма равна 90°. Значит, пара дополнительных углов образует прямой угол.

Дополнительный и дополнительный углы — одно и то же?

Нет, дополнительные и дополнительные углы не одно и то же. Два угла образуют пару дополнительных углов, если их сумма равна 90°, а два угла образуют пару дополнительных углов, если их сумма равна 180°.

Могут ли два прямых угла быть дополнительными углами?

Прямой угол равен 90°. Сумма двух прямых углов будет 180°, что больше 90°. Таким образом, два прямых угла никогда не могут быть дополнительными углами.

Углы — Обзор геометрии (Видео)

Привет и добро пожаловать в это видео об углах

Давайте начнем с определения луча . Луч — это линия с единственной конечной точкой, бесконечно простирающаяся в одном направлении.

Если мы возьмем этот луч и добавим к нему другой луч с той же конечной точкой, мы создадим угол .

Мы также создали вершину , которая является точкой пересечения двух лучей.

Вы можете думать об этом как об углу. Обычно мы видим вершины всякий раз, когда линии встречаются или в многоугольников как треугольников и четырехугольников.

Иногда у нас много ракурсов, поэтому, чтобы отличить их друг от друга, у нас есть система для их именования. Вот снова наш простой угол, но с добавлением нескольких точек на лучи:

Теперь мы можем называть наш угол углом ABC (∠ABC). При именовании углов тремя буквами точка вершины должна находиться посередине. Здесь B — вершина, поэтому B находится между A и C. На самом деле мы можем назвать это ∠CBA, и это так же правильно.

Если точка, которая является вершиной, является только частью одного угла, тогда мы можем использовать более короткое имя. В этом случае мы могли бы также назвать этот угол B. Однако будьте осторожны, потому что иногда одна точка может быть вершиной нескольких углов, например:

В этом случае нам пришлось бы называть углы их длинными именами. , потому что точка B является вершиной ∠ABC, ∠DBC и ∠DBA! Если бы мы попросили кого-нибудь просто посмотреть на ∠B, они бы не поняли, что из этого мы имели в виду. Поэтому важно быть точным при работе с более чем одним углом.

Иногда углы будут обозначаться числами внутри дуги, например:

Теперь у нас есть дополнительное имя для этого угла. Теперь мы можем назвать его ∠1, или мы можем назвать его ∠ABC, или мы можем назвать его ∠B. Поскольку у большинства из нас три имени, будет справедливо, если у углов тоже будет куча. Но чаще всего нам нравится использовать буквы для обозначения наших углов, поскольку числа можно спутать с мерой угла. Иногда вы увидите строчные буквы вместо цифр или греческих символов, таких как \(\theta\) или \(\alpha\).

Говоря об измерениях, помните транспортир? Мы используем его для измерения углов. Если бы мы поместили один из них на наш надежный угол, мы бы обнаружили, что он измеряет 45 градусов:

Если бы мы записали это, мы бы написали это так:

\(m∠ABC = 45°\)

Мера угла важна при классификации углов, как мы скоро увидим.

Давайте посмотрим на вариант нашего двухлучевого угла, но на этот раз давайте сделаем так, чтобы они были равны перпендикулярны друг к другу, что означает, что угол между ними составляет 90 градусов:

Здесь мы создали прямой угол . Обратите внимание, что он имеет другой символ угла, чем наш первый угол. Вместо дуги у него квадрат. Всякий раз, когда мы видим угол с этим квадратом, мы знаем, что он точно равен 90 градусам. Чаще всего мы видим прямые углы в квадратах , прямоугольниках и прямоугольных треугольниках , но они могут появляться и в других местах.

Когда угол имеет меру меньше 90 градусов, это называется остроугольным треугольником . Наш первоначальный угол был бы частью остроугольного треугольника, так как его длина равна 45 градусам, что меньше 90:

, который выглядит так:

В этом случае угол ABC имеет размер 140 градусов, что больше 90. Тупые углы также должны быть меньше 180 градусов.

Это три основных типа углов, определяемых мерой, но есть еще два чудака, о которых нам нужно знать.

Первый прямой угол . Она выглядит как прямая линия и имеет меру 180 градусов.

Когда это нарисовано так, мы видим, что ∠ABC действительно существует и имеет меру 180 градусов. Это полезно знать, потому что это понадобится нам позже для понимания линейных пар.

Но прежде чем мы дойдем до этого, давайте посмотрим на другого чудака. Этот совсем не похож на угол:

Но на самом деле он называется полный угол . Представьте, что мы повернули точку А против часовой стрелки, а точка В осталась на месте, пока она снова не совместилась с точкой С. Сколько это градусов? Это весь круг, который, как мы знаем, составляет 360°.

Помните наш прямой угол? Что, если мы нарисуем это, но добавим еще один луч, выходящий из него, например:

Если мы знаем, что угол DBC равен 55 градусам, и мы знаем, что угол ABC является прямым углом и, следовательно, равен 180 градусам, мы действительно можем найти угол ABD ! Как? Взяв весь прямой угол (∠ABC), равный 180 градусам, и вычтя меньший угол (∠DBC), равный 55 градусам. \(180° – 55° = 125°\). Это называется линейной парой . Два угла (∠ABD и ∠DBC) образуют прямую ∠ABC. А поскольку два меньших угла в сумме дают 180 градусов, мы также можем сказать, что они равны 9.0003 дополнительные углы .

Нечто подобное происходит и с прямыми углами. Вот наш прямой угол, но с другим лучом посередине:

Угол DEF — прямой угол. Мы видим, что ∠DEG и ∠GEF вместе полностью заполняют ∠DEF, а это значит, что их сумма составляет 90 градусов. Итак, если мы знаем один из двух углов, мы можем найти другой, вычитая его меру из 90 градусов. Например, если ∠DEG равно 30°, то мы знаем, что ∠GEF равно 60°, потому что 90° – 30° = 60°. Углы, которые в сумме дают 90° называются дополнительными углами .

Вернемся к нашему тупому углу еще раз. Есть еще один тип ракурса, который скрывался у всех на виду, о котором нам нужно знать.

Мы видим, что угол ∠ABC тупой, а значит больше 90° и меньше 180°. Но как насчет другой стороны?

Это называется углом рефлекса .

Всегда больше 180° и меньше 360°. Каждый острый, прямой и тупой угол имеет рефлекторный угол.

Теперь давайте посмотрим, где мы увидим некоторые из этих углов в дикой природе или, по крайней мере, в задачах по геометрии.

Начнем с двух пересекающихся линий. В данном случае мы пронумеровали углы.

Всякий раз, когда мы видим подобную фигуру, если мы знаем один из углов, мы можем определить все остальные! Итак, если угол ∠1 равен 130°, мы можем вычислить угол ∠2, потому что эти два угла вместе образуют прямую и являются линейной парой и дополнительными. Таким образом, ∠2 должно быть равно 50°. То же самое работает для углов 1 и 3. И затем мы можем использовать то, что мы знаем о ∠2, чтобы соединить его с ∠4, чтобы найти этот угол. Когда все сказано и сделано, это выглядит так:

Обратите внимание, что противоположные углы имеют одинаковую величину. Эти углы называются вертикальными углами , и они всегда конгруэнтны , что в геометрии говорит о том, что они имеют одинаковую меру.

Теперь давайте посмотрим на три пересекающиеся линии:

Это называется секущей . Мы снова пронумеровали углы, и на двух линиях есть красные стрелки, указывающие на то, что они параллельны. Секущей не обязательно иметь параллельные линии, но когда они есть, это позволяет нам многое узнать о восьми углах, образованных пересекающимися линиями.

Но прежде чем мы дойдем до этого, давайте посмотрим на восемь углов. Мы видим, что они находятся в двух группах по четыре (углы 1-4 и 5-8). Угол 1 находится в верхнем левом положении в верхней группе углов. Если мы посмотрим на то же место в нижней группе углов, мы увидим, что ∠5 находится в верхнем левом месте для этой группы. Это означает, что ∠1 и ∠5 — соответствующие углы. Таким образом, ∠2 и ∠6 также являются соответствующими углами, потому что они находятся в правом верхнем углу для соответствующих групп. ∠3 и ∠7 также соответствуют, как и ∠4 и ∠8. В секущей, когда есть пара параллельных прямых, соответствующие углы равны. Когда прямые не параллельны, соответствующие углы не равны.

В случае с нашей диаграммой, которая имеет параллельные линии, если мы знаем, что ∠2 равно 55°, мы знаем, что ∠6 также равно 55°. И как только мы это узнаем, мы можем использовать то, что мы узнали о вертикальных углах и линейных парах, чтобы найти все остальные:

Это все, что нам нужно знать, чтобы найти наши углы, но есть еще кое-какой словарь, основанный на местоположении, который нам нужно знать. в курсе таких проблем. Внутренние углы — это углы между параллельными прямыми. В данном случае это ∠3, ∠4, ∠5 и ∠6. Внешние углы — это те, которые, как вы уже догадались, не лежат между параллельными прямыми. Итак, ∠1, ∠2, ∠7 и ∠8 — внешние углы.

Альтернативные углы — это углы, находящиеся по разные стороны от линии, пересекающей параллельные линии. А односторонние углы — это, конечно, углы, лежащие по одну сторону от этой линии.

В вопросах о двух группах углов это используется для объединения внутренних или внешних углов с чередующимися или одинаковыми боковыми углами. Вопрос всегда будет относиться к другой группе углов. Что-то вроде «каков альтернативный внутренний угол для ∠3?» Мы бы посмотрели на другую группу углов, затем на другую сторону пересекающейся линии, а затем нашли бы единственный угол, который является внутренним углом, который будет равен ∠6. Тот же боковой внутренний угол для ∠3 равен ∠5.

Очень многое нужно усвоить за небольшой промежуток времени. Ссылаясь на изображение выше, попробуйте ответить на следующие вопросы, чтобы увидеть, утонуло ли оно:

1. Каков внешний угол, альтернативный ∠8?

 

2. Чему равен внешний угол той же стороны к ∠7?

 

3. Чему равен угол, соответствующий ∠5?

 

Спасибо за просмотр и удачной рыбалки!

Часто задаваемые вопросы

Q

Что такое дополнительные углы?

A

Дополнительные углы — это два угла, сумма величин которых равна 90 градусам.

Q

Что такое дополнительный угол?

A

Дополнительный угол — это угол, который в сумме с другим углом составляет 180°.
пр. Какой угол примыкает к углу 107°?
180 – 107 = 73°

Q

Что такое вертикальные углы?

A

Вертикальные углы представляют собой пары углов, противоположных друг другу. Один вертикальный угол всегда равен другому вертикальному углу.
пр.


∠ABC и ∠DBE — вертикальные углы.

Q

Что такое соответствующие углы?

A

Соответствующие углы — это углы, которые находятся в одном и том же положении относительно поперечной и параллельной прямой, когда две прямые пересекаются секущей. Соответственные углы всегда имеют одну и ту же меру.
пр.


∠1 и ∠2 — соответствующие углы.

Q

Что такое острый угол?

A

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше 90 градусов.

Q

Как найти угол треугольника?

A

Найдите угол прямоугольного треугольника, используя формулы: ) и \(tan⁡θ=\frac {напротив} {смежный}\). Эти формулы можно запомнить, используя легочный SOH-CAH-TOA. Заполните заданные длины сторон и действуйте в обратном порядке, чтобы найти угол (ϴ). 9{-1}\frac{4}{5}\)
\(θ≈53,13°\)

Q

Что такое тупой угол?

A

Тупой угол — это любой угол, градусная мера которого больше 90°.
пр.


Практические вопросы

Вопрос №1:

 
Описание какого угла соответствует приведенному ниже углу?


Прямой угол

Острый угол

Полный угол

Тупой угол

Показать ответ

Ответ:

Тупой угол имеет размер больше 90 градусов, но меньше 180 градусов.

Скрыть ответ

Вопрос № 2:

 
Решите для x .


43 °

53 °

137 °

90 °

Покажите ответ

Ответ:

Сумма x и 37 ° будет

5, потому что эти две углы.

x можно рассчитать, вычитая 37 из 90. В любом случае \(x=53°\).

Скрыть ответ

Вопрос №3:

 
Какая пара углов будет считаться вертикальными углами ?


Угол 6 и угол 8

Угол 3 и угол 8

Угол 5 и угол 8

Угол 1 и угол 8

Показать ответ

Ответ:

Вертикальные углы также известны как противоположные угол. Противоположные углы, или вертикальные углы, на схеме включают: 1 и 4, 2 и 3, 5 и 8, а также 6 и 7.

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
Макс устанавливает разбрызгиватель так, чтобы он опрыскивал участок газона под углом 90°. Он планирует поворачивать разбрызгиватель каждые 15 минут, чтобы весь газон получал воду. Сколько раз нужно повернуть разбрызгиватель, чтобы полить весь газон?


Всего четыре раза

Всего пять раз

Всего два раза

Всего шесть раз

Показать ответ

Ответ:

Каждый раз, когда устанавливается дождеватель, он поливает четверть всего газона. Это означает, что разбрызгиватель необходимо повернуть четыре раза, чтобы достичь каждой секции. \(90°×4\text{sections}=360°\) (общий двор).

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Пешеходная дорожка пересекает железнодорожные пути, образуя поперечную линию.

No related posts.