Фигура вращения: Тела вращения /qualihelpy

Тела вращения — Развертки — Mnogogranniki.ru

Тела вращения — Развертки — Mnogogranniki.ru

Вы здесь:
• Главная
• Развертки тел вращения

Что будет, если плоскую геометрическую фигуру, например прямоугольник, начать быстро вращать относительно одной из его сторон? 

Одним лишь вращением мы можем создать новое геометрическое тело в пространстве.

 

Боковые поверхности цилиндра образуются за счет сторон вращающегося прямоугольника.

 

Официальное определение для таких геометрических тел, звучит следующим образом:

 

И здесь важно то, что плоская геометрическая фигура может быть совершенно произвольной формы.

Например, кривая, которая при вращении будет образовывать вазу или лампочку. Такие инструменты создания тел вращения очень популярны у тех, кто работает в программах 3D-проектирования.

 

 

Но с математической точки зрения, для нас, прежде всего, интересны следующие геометрические тела вращения:

 

Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон.

Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов.

Усечённый конус — часть конуса, расположенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию.

Образуется при вращении прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям трапеции.

Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза.

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Эллипсоид — поверхность в трёхмерном пространстве, полученная деформацией сферы вдоль трёх взаимно перпендикулярных осей.

 

Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его.

В обычном понимании тор — это «бублик».

 

Параболоид — это поверхность, которая образуется в результате вращения вокруг оси кривой образованной графиком параболы. Отсюда и название параб-о-лоид.

 

Гиперболоид — это поверхность, которая образуется в результате вращения вокруг оси кривой образованной графиком гиперболы. Соответственно название гиперб-о-лоид.

 

 

Как сделать цилиндр из бумаги?

Как сделать конус из бумаги?

Как сделать параболоид из бумаги?

Как сделать гиперболоид из бумаги?

Как сделать тор из бумаги?

 

Для сопоставимости размеров получающихся моделей тел вращения мы постарались собрать их на одной поверхности вместе с призмами из выпуска «Волшебные грани № 16».

 

Получился целый математический город из бумаги, умещающийся на столе!

Популярное

Двойственные пары многогранников. Часть 2

Что общего между октаэдром и кубом?

Звезда Кеплера

Монумент «Звезда Кеплера» (норв. Keplerstjernen), высотой 45 метров, расположен недалеко от города Осло (Норвегия) в окрестностях аэропорта…

Многогранники для Хэллоуина

Если ты не любишь математику, опасайся хэллоуина! Злые силы придут за тобой в хэллоуин! Создай двух стражей, которые будут оберегать тебя от злых сил! Ну, или,…

Что надёжнее? Визуальная оценка или точный расчет?

Это небольшая «шуточная» задача поможет Вам на некоторое время занять ваших детей! Какой пластиковый тетраэдр* нужно расплавить, чтобы из…

Почему бумага может быть такой прочной?

Почему бумага? Иногда приходится слышать вопрос: «Почему вы выбрали для сборки многогранников такой материал как бумага (или точнее дизайнерский картон)? Это же…

Симфония металла

Обработка металла это очень сложный технологический процесс. Но существуют мастера, кто умеет вытачивать многогранники из металла внутри другого. ..

Выбрать один продукт

В настоящее время покупатель столкнулся с настолько широким ассортиментом товаров, что сил на то чтобы сделать рациональный выбор уже не хватает. И реклама иногда только усиливает…

Подготовка школьников к ЕГЭ (Справочник по математике — Стереометрия

Поиск по сайту:

Справочник по математике

Геометрия (Стереометрия)

Фигуры (тела) вращения

      Наиболее распространенные фигуры (тела) вращения представлены в следующей таблице.

Рисунок вращаемой фигуры и оси вращения	Описание вращаемой фигуры и оси вращения	Название фигуры, полученной в результате вращения	Рисунок фигуры, полученной в результате вращения
	Прямоугольник вращается вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон	Цилиндр
	Прямоугольный треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через один из его катетов	Конус
	Прямоугольная трапеция вращается вокруг прямой, проходящей через боковую сторону трапеции, перпендикулярную к ее основаниям	Усеченный конус
	Полуокружность вращается вокруг прямой, проходящей через диаметр, соединяющий концы полуокружности	Сфера
	Полукруг вращается вокруг прямой, проходящий через ограничивающий полукруг диаметр	Шар
	Дуга окружности вращается вокруг прямой, проходящей через диаметр этой окружности	Сферический пояс
	Вращается часть полукруга, ограниченная дугой окружности, диаметром и двумя перпендикулярами, опущенными из концов дуги на диаметр. Ось вращения – прямая, проходящая через диаметр	Шаровой слой
	Круговой сектор вращается вокруг прямой, проходящей через один из радиусов, ограничивающих сектор	Шаровой сектор

Цилиндр

Вращаемая фигура и ось вращения: ПрямоугольникПрямоугольник вращается вокруг прямой, проходящей через одну из его сторон Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

Конус

Вращаемая фигура и ось вращения: Прямоугольный треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через один из его катетов Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

Усеченный конус

Вращаемая фигура и ось вращения: Прямоугольная трапеция вращается вокруг прямой, проходящей через боковую сторону трапеции, перпендикулярную к ее основаниям Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

Сфера

Вращаемая фигура и ось вращения: Полуокружность вращается вокруг прямой, проходящей через диаметр, диаметр, соединяющий концы полуокружности Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

Шар

Вращаемая фигура и ось вращения: Полукруг вращается вокруг прямой, проходящий через ограничивающий полукруг диаметр диаметр Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

Сферический пояс

Вращаемая фигура и ось вращения: Дуга окружности вращается вокруг прямой, проходящей через диаметр диаметр этой окружности Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

Шаровой слой

Вращаемая фигура и ось вращения: Вращается часть полукруга, ограниченная дугой окружности, диаметром и двумя перпендикулярами, опущенными из концов дуги на диаметр. Ось вращения – прямая, проходящая через диаметр диаметр Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

Шаровой сектор

Вращаемая фигура и ось вращения: Круговой сектор Круговой сектор вращается вокруг прямой, проходящей через один из радиусов, радиусов, ограничивающих сектор Рисунок фигуры, полученной в результате вращения:

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

До ЕГЭ по математике осталось
дней	часов	минут	секунд

НАШИ ПАРТНЕРЫ «НПО Астек» «Fastvideo» Бюро переводов «Медтран» Независимый бизнес-консультант Е. Самаров

Вращение

В геометрии вращение — это тип преобразования, при котором форма или геометрическая фигура поворачивается вокруг фиксированной точки. Его также можно назвать поворотом. Вращение — это тип жесткого преобразования, означающего, что размер и форма фигуры не меняются; фигуры конгруэнтны до и после преобразования. Ниже приведены два примера.

На рисунке выше ветер вращает лопасти ветряной мельницы. Справа параллелограмм вращается вокруг красной точки.

Термин «прообраз» используется для описания геометрической фигуры до ее преобразования, а термин «образ» используется для описания ее после ее преобразования. Для 2D-фигур вращение поворачивает каждую точку прообраза вокруг фиксированной точки, называемой центром вращения, на заданную угловую меру. Два треугольника вращаются вокруг точки R на рисунке ниже. Для трехмерных фигур поворот поворачивает каждую точку фигуры вокруг линии или оси.

Вращательная симметрия

Геометрическая фигура или фигура обладает вращательной симметрией относительно фиксированной точки, если ее можно повернуть обратно на себя на угол поворота 180° или меньше.

Ниже приведены несколько геометрических фигур, обладающих вращательной симметрией. Порядок вращательной симметрии — это количество раз, которое фигуру можно повернуть на 360° так, чтобы она выглядела точно так же, как исходная фигура.

Параллелограмм

Каждый поворот на 180° по диагоналям параллелограмма приводит к одинаковой форме. Он имеет вращательную симметрию порядка 2.

Квадрат

Каждый поворот квадрата на 90° приводит к одинаковой форме. Он имеет вращательную симметрию порядка 4.

Правильный шестигранник

Каждый поворот шестиугольника на 60° приводит к одинаковой форме. Он имеет вращательную симметрию порядка 6,9.0003

Вращения в координатной геометрии

В координатной плоскости при вращении геометрических фигур вокруг точки изменяются координаты точек. Хотя геометрическую фигуру можно вращать вокруг любой точки под любым углом, мы будем обсуждать только вращение геометрической фигуры вокруг начала координат под обычными углами.

Поворот на 90°

Поворот на 90° против часовой стрелки вокруг начала координат изменяет положение точки (x, y) таким образом, что она становится (-y, x). Вращение 90° по часовой стрелке изменяет точку таким образом, что (x, y) становится (y, -x).

Вращение против часовой стрелки 90°

Треугольник ABC повернут на 90° против часовой стрелки, чтобы приземлиться на DEF. Вершины A (1, 4), B (4, 6) и C (5, 2) перемещаются в D (-4, 1), E (-6, 4) и F (-2, 5).

Вращение по часовой стрелке 90°

Треугольник ABC поворачивается на 90° по часовой стрелке и приземляется на треугольник DEF. Вершины A (1, 4), B (4, 6) и C (5, 2) перемещаются в D (4, -1), E (6, -4), F (2, -5).

Поворот на 180°

Поворот на 180° (по или против часовой стрелки) вокруг начала координат изменяет положение точки (x, y) таким образом, что она становится (-x, -y).

Треугольник ABC имеет вершины A (1, 4), B (4, 6) и C (5, 2). Он поворачивается на 180° против часовой стрелки, чтобы приземлиться на DEF, который имеет вершины D (-1, -4), E (-4, -6) и F (-5, -2). Поворот треугольника ABC на 180° по часовой стрелке также приводит к треугольнику DEF.

Правила вращения — Обзор геометрии (Видео)

TranscriptPractice

Привет и добро пожаловать в это видео о ротации! В этом видео мы рассмотрим вращение фигуры вокруг точки. Давайте узнаем о ротациях!

Вращения везде, куда ни глянь. Земля — наиболее распространенный пример, вращающийся вокруг оси. Колесо автомобиля или велосипеда вращается вокруг центрального болта. Эти два примера вращаются на 360°. Существуют и другие формы вращения, которые меньше, чем полное вращение на 360 °, например, персонаж или объект, вращающийся в видеоигре. Говоря более формально, вращение — это форма преобразования, при котором фигура поворачивается вокруг точки. Мы называем эту точку центр вращения . Фигура и ее вращение сохраняют ту же форму и размер, но смотрят в другом направлении. Фигуру можно вращать по часовой или против часовой стрелки. Еще один отличный пример вращения в реальной жизни — колесо обозрения, центральная ступица которого является центром вращения.

Мера, на которую фигура поворачивается вокруг центра вращения, называется углом поворота . Угол поворота обычно измеряется в градусах. Указываем градусную меру и направление вращения. Вот фигура повернута на 90° по часовой стрелке и против часовой стрелки относительно центральной точки.

Отличный математический инструмент, который мы используем для отображения поворотов, — это координатная сетка. Давайте начнем с вращения точки вокруг центра (0,0). Если вы возьмете координатную сетку и нанесете точку, а затем повернете бумагу на 90° или 180° по часовой стрелке или против часовой стрелки вокруг начала координат, вы сможете найти положение повернутой точки. Давайте посмотрим на реальный пример, здесь мы нанесли точку A в (5,6), затем повернули бумагу на 90° по часовой стрелке, чтобы создать точку A’, которая находится в (6,-5).

Вот та же точка A в (5,6), повернутая на 180° против часовой стрелки относительно начала координат, чтобы получить A’(-5,-6).

Давайте подробнее рассмотрим два вращения из нашего эксперимента. В нашем первом эксперименте, когда мы поворачивали точку A (5,6) на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, чтобы создать точку A’ (6,-5), значение y точки A стало значением x точки A’ и значение x точки A стало значением y точки A’, но с противоположным знаком.

В нашем втором эксперименте точка A (5,6) повернута на 180° против часовой стрелки вокруг начала координат, чтобы создать A’ (-5,-6), где значения x и y такие же, как у точки A, но с противоположные знаки.

К счастью для нас, эти эксперименты позволили математикам придумать правила для наиболее распространенных поворотов на координатной сетке, приняв начало координат (0,0) за центр вращения. Вот правила поворота :

• Вращение на 90° по часовой стрелке: (x,y) становится (y,-x)
• Вращение на 90° против часовой стрелки: (x,y) становится (-y,x)
• 180 ° вращение по и против часовой стрелки: (x, y) становится (-x,-y)
• вращение на 270° по часовой стрелке: (x,y) становится (-y,x)
• Вращение на 270° против часовой стрелки: (x,y) становится (y,-x)

Как видите, два наших эксперимента следуют этим правилам.

Примеры вращения

Теперь, когда мы знаем, как вращать точку, давайте рассмотрим вращение фигуры на координатной сетке. Чтобы повернуть треугольник ABC вокруг начала координат на 90° по часовой стрелке, мы должны следовать правилу (x,y) → (y,-x), где значение y исходной точки становится новым значением x, а значение x исходной точки исходная точка становится новым значением y с противоположным знаком. Давайте применим правило к вершинам, чтобы создать новый треугольник A’B’C’:

• A (-4, 7) становится A’ (7, 4)
• B (-6, 1) становится B’ (1, 6)
• C (-2, 1) становится C’ (1, 6) 2)

Давайте посмотрим на другую ротацию. Повернем треугольник ABC на 180° вокруг начала координат против часовой стрелки, хотя при вращении фигуры на 180° по часовой стрелке и против часовой стрелки используется то же правило, что (x,y) становится (-x,-y), где координаты вершин повернутый треугольник — это координаты исходного треугольника с противоположным знаком. Давайте применим правило к вершинам, чтобы создать новый треугольник A’B’C’:

• A (2,7) становится A’ (-2,-7)
• B (2,1) становится B’ (-2,-1)
• C (6,1) становится C’ (- 6,-1)

Вот четырехугольник ABCD. Чтобы повернуть четырехугольник ABCD на 90° против часовой стрелки вокруг начала координат, мы воспользуемся правилом (x,y) превращается в (-y,x). Давайте применим правила к вершинам, чтобы создать четырехугольник A’B’C’D’:

• A (-8,-2) становится A’ (2,-8)
• B (-7,-7) становится B’ (7,-7)
• C (-2,-6) становится C’ (6,-2)
• D (-3,-2) становится D’ (2,-3)

Теперь я хочу, чтобы вы сами попробовали несколько практических задач. Воздушный змей KLMN показан на координатной сетке. Воздушный змей был повернут вокруг исходной точки, чтобы создать воздушный змей K’L’M’N’. Можете ли вы определить, какое вращение воздушного змея KLMN создало воздушный змей K’L’M’N’?

Начнем с определения координат вершин воздушного змея KLMN и нашего повернутого воздушного змея:

• K (-8,3) становится K’ (8,-3)
• L (-5,5) становится L ‘(5,-5)
• М (-2,3) становится М’ (2,-3)
• N (-5,-3) становится N’ (5,3)

При более внимательном рассмотрении координат вершин видно, что координаты K’L’M’N’ совпадают с координатами вершин оригинальный воздушный змей, но с обратным знаком. Давайте посмотрим на правила, единственное правило, при котором значения x и y не меняются, но меняется их знак, — это поворот на 180°.

• Вращение на 90° по часовой стрелке: (x,y) становится (y,-x)
• Вращение на 90° против часовой стрелки: (x,y) становится (-y,x)
• Вращение на 180° по часовой и против часовой стрелки: (x ,y) становится (-x,-y)
• Вращение на 270° по часовой стрелке: (x,y) становится (-y,x)
• Вращение на 270° против часовой стрелки: (x,y) становится (y,-x)

Таким образом, воздушный змей KLMN был повернут на 180° вокруг происхождение для создания воздушного змея K’L’M’N’.

Давайте рассмотрим другую задачу. Пентагон QRSTU показан на координатной сетке. Поверните пятиугольник QRSTU на 90° против часовой стрелки, чтобы создать пятиугольник Q’R’S’T’U’.

Начнем с определения координат вершин нашего исходного пятиугольника. Правило для поворота на 90° против часовой стрелки: (x,y) становится (-y,x), давайте применим правило, чтобы найти вершины нашего нового пятиугольника.

(x,y) становится (-y,x)

• Q (-6,6) становится Q’ (-6,-6)
• R (-4,7) становится R’ (-7, -4)
• S (0,4) становится S’ (-4,0)
• T (-4,1) становится T’ (-1,-4)
• U (-6,2) становится U ‘ (-2,-6)

Теперь давайте нанесем точки на координатную сетку и пометим вершины.

Последнее практическое задание. Трапеция PQRS, где P (-3,-5), Q (3,-5), R (5,-2) и S (-5,-2) повернута на 90 ° по часовой стрелке вокруг начала координат для создания трапеции P ‘Вопросы’. Создайте обе трапеции на координатной сетке.

Мы начнем с решения, какое правило использовать для поворота на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат. Мы собираемся использовать (x,y) в (y,-x). Теперь применим правило к координатам вершин PQRS.

• P (-3,-5) становится P’ (-5,3)
• Q (3,-5) становится Q’ (-5,-3)
• R (5,-2) становится R ‘ (-2,-5)
• S (-5,-2) становится S’ (-2,5)

Теперь давайте нанесем точки и создадим трапеции на координатной сетке.

Надеюсь, этот обзор ротации был полезен! Спасибо за просмотр и удачной учебы!

Практические вопросы

Вопрос №1:

 
На координатной плоскости точка A \((3,-4)\) поворачивается на 180° против часовой стрелки вокруг начала координат, образуя повернутую точку \( А’\). Что из следующего является упорядоченной парой для \(A’\)?

\((4,-3)\)

\((-3,-4)\)

\((-3,4)\)

\((-4,3)\)

Показать ответ

Ответ:

Поворот точки с координатами \((x,y)\) на 180° вокруг начала координат против или по часовой стрелке дает точку с координатами \((-x ,-у)\). Подставляя координаты точки \(A\) в нашу формулу для нахождения повернутой точки, мы получаем:

\(A’\влево(-3,-\влево(-4\вправо)\вправо)=A'(-3,\ 4)\)

Скрыть ответ

Вопрос №2:

Координаты вершин треугольника ABC, которые можно изобразить на координатной плоскости, равны \(A(-8,-6)\), \(B(-2,-6)\) и \(C(- 5,-3)\). Треугольник поворачивается на 90° по часовой стрелке вокруг начала координат, образуя треугольник \(A’B’C’\). Какие из следующих вершин являются вершинами треугольника \(A’B’C’\)?

\(A’\влево(6,-8\вправо),B’\влево(6,-2\вправо), C’(3,-5)\)

\(A’\влево(-6,\8\вправо), B’\влево(-6,2\вправо), C'(-3,\ 5)\)

\(A’\влево (-8,\ 6\право), B’\лево(-6,\ 2\право), C'(5,\ -3)\)

\(A’\лево(8,\ 6\право) ), B’\left(2,\ 6\right), C'(-5,\ -3)\)

Показать ответ

Ответ:

Вращение точки с координатами \((x ,y)\) 90° вокруг начала координат по часовой стрелке дает точку с координатами \((y,-x)\). Подставляя координаты наших точек в нашу формулу для нахождения повернутых точек, мы получаем:

\(A’\влево(-6,-\влево(-8\вправо)\вправо)=A’\влево(-6,\8\вправо)\)
\(B’\влево(-6 ,-\влево(-2\вправо)\вправо)=B’\влево(-6,\ 2\вправо)\)
\(C’\влево(-3,-\влево(-5\вправо)\ right)=C'(-3,\ 5)\)

Таким образом, координаты вершин треугольника \(A’B’C’ равны A’\left(-6,\ 8\right)\), \(B’\влево(-6,\2\вправо)\) и \(C'(-3,\5)\).

Скрыть ответ

Вопрос №3:

 
График четырехугольника ABCD показан ниже.

Четырехугольник поворачивается на 270° против часовой стрелки вокруг начала координат, образуя четырехугольник \(A\простой B\простой C\простой D\простой\). Что из следующего является графиком четырехугольника \(A\простое число B\простое число C\простое число D\простое число\)?

Показать ответ

Ответ:

Вращение точки с координатами \((x,y)\) на 270° вокруг начала координат в направлении против часовой стрелки дает точку с координатами \((y,- Икс)\). Подставляя координаты вершин четырехугольника \(ABCD\) в нашу формулу для нахождения повернутых вершин четырехугольника \(A\простое число B\простое число C\простое число D\простое число\), мы получаем:

\(A\простое число\). \left(4,-8\right)\ B\prime\left(7,-8\right)\ C\prime\left(8,-2\right)\ D\prime\left(2,\-2 \справа)\)

График четырех повернутых точек показан на координатной плоскости ниже.

Соединив последовательно вершины из \(A\prime\) в \(D\prime\) отрезками из четырех прямых, получим график четырехугольника \(A\prime B\prime C\prime D\prime\) показано ниже.

Скрыть ответ

Вопрос № 4:

 
Часы наложены на координатную плоскость так, что их центр находится в начале координат, как показано ниже.

Часы показывают 12:10. Сколько будет времени, если минутную стрелку повернуть на 180° вокруг начала координат по часовой стрелке?

12:40

12:25

11:40

11:55

Показать ответ

Ответ:

Ответ:

900 \) 180° вокруг начала координат по часовой стрелке или против часовой стрелки дает точку с координатами \((-x,-y)\). Хотя конец минутной стрелки часов не лежит в точке \((7,4)\), там находится время, которое она представляет в минутах. Подставив координаты этой точки в нашу формулу для нахождения повернутой точки, мы получим \(\left(-7,-4\right)\).

Вращая минутную стрелку часов в направлении повернутой точки, мы можем узнать, который сейчас час.

Каждое числовое значение на часах соответствует 5 минутам для минутной стрелки и 1 часу для часовой стрелки. Поскольку повернутая точка лежит на цифре 8 часов, показание минутной стрелки равно 40 минутам. Поскольку вращение происходит по часовой стрелке, часовая стрелка также вращается по часовой стрелке, чтобы представить время позже 12:10, правильное время после вращения минутной стрелки — 12:40.

Скрыть ответ

Вопрос № 5:

 
Водяное колесо имеет диаметр 20 футов. Вода из поилки, расположенной над водяным колесом, выливается на лопасти водяного колеса, заставляя его вращаться по часовой стрелке. Вода в весле начинает вытекать из водяного колеса после того, как оно повернется на 90°.