Уравнение цепной линии: Цепная линия / Этюды // Математические этюды

Математика провисающих проводов и цепей в играх / Хабр

Во многих современных играх присутствуют провода, кабели и цепи. В этой статье мы рассмотрим математические модели, от которых зависит их форма, также называемая catenary («цепная линия»).

Введение в цепные линии

Из множества изученных и описанных математических объектов один очень дорог многим разработчикам игр. И только некоторые из них знают его истинное название: цепная линия.

Цепная линия — это фигура, к которой естественным образом сводится подвешенная за края верёвка или цепь. Неслучайно само название catenary происходит от латинского catenaria, что и означает «цепь».

В современных играх появляется всё больше заброшенных предприятий и разрушенных окружений. И во многих из них встречается довольно много свисающих проводов. Например, их можно увидеть в комнате GLaDOS из «Portal» или в «Half-Life: Alyx».

Так как цепные линии окружают нас повсюду, неудивительно, что мы с детства привыкли к их форме. А ещё это означает, что мы очень легко замечаем, когда что-то свисает неправильно. Подобно сложности движения кожи или физики ткани, неправильное свисание цепных линий само по себе создаёт эффект «зловещей долины».

Тем не менее, в очень многих играх цепные линии реализуют неправильно! Однако причина этого неудивительна. Хоть их так легко создавать в реальной жизни, их математическое описание — настоящий кошмар. За исключением нескольких особых случаев, «простых» уравнений для генерации цепной линии не существует; по крайней мере, не в том виде, который нужен для украшения уровня.

Один из стандартных способов создания физически обоснованных цепных линий без затрат — использование твёрдых тел (rigid bodies) и шарниров (hinge joints) при создании цепей и верёвок. Это имеет и дополнительное преимущество — они реагируют на действия игрока, однако ценой затратных вычислений. Большинство свисающих проводов и кабелей является частью фона, и использовать физику для их создания было бы слишком затратно. Следовательно, очень важно иметь возможность создавать статические цепные линии без вычислений в реальном времени.

Кроме того, отрисовка цепных линий имеет ещё одно преимущество. Допустим, что нам нужно создать для игры настоящий, управляемый физикой свисающий провод. Как располагать сегменты провода при его создании в игре? Многие разработчики бы просто разместили их вдоль линии, позволив физическому движку самому выбрать равновесное состояние. Отрисовка цепных линий позволяет инициализировать физически верные провода и кабели уже в их состоянии равновесия, без необходимости ждать, пока они сами остановятся в нужном положении.

Стоит заметить, что в Unity нет встроенных инструментов для кабелей и цепей, а в Unreal Engine существует Cable Component, решающий как раз эту задачу при помощи техники Verlet Integration (которая станет темой моих будущих статей). А на случай, если вам нравятся шейдеры, Росс Бёрдсэлл недавно создал гениальное решение для симуляции спиральных шнуров в Unreal Engine 4.

Формальное определение

Если мы хотим получить физически корректные цепные линии, то, наверно, лучше начать с начала. Простейшая цепная линия задаётся однозначно определённым уравнением с использованием — гиперболического косинуса:

Уравнение цепной линии имеет параметр , меняющий общую «ширину» кривой. Однако все кривые цепных линий похожи, потому что все они являются версиями друг друга с разным масштабом. Ниже показано изменение кривой как функции от (в оригинале статьи анимация интерактивна):

Что такое гиперболический косинус?

Многие из вас знакомы с более «традиционной» функцией косинуса. Синус и косинус задаются на окружности, а их гиперболические аналоги — на гиперболе (см. анимацию ниже).

Их естественной областью использования является изучение гиперболической геометрии. Также они часто оказываются решением множества дифференциальных уравнений. На самом деле, и играют важную роль в решении следующего дифференциального уравнения:

а именно:

Также они сильно связаны с :

Покажите, как выводится уравнение!

Вывод уравнения цепной линии — сложная задача, требующая довольно продвинутого математического анализа. Если вам любопытно, на Math34 есть очень подробная статья Equation of Catenary, пошагово демонстрирующая его вывод.

Вывод уравнения начинается с допущения о том, что для каждого небольшого сегмента цепи гравитационные силы находятся в идеальном балансе с силой натяжения от соседних сегментов. Это приводит к созданию системы уравнений, при решении которой мы получаем (1):

Этот вывод также даёт нам некое понимание того, что же на самом деле означает параметр :

где:

• : плотность материала цепи;
• : ускорение силы тяжести;
• : площадь поперечного сечения цепи;
• : горизонтальная компонента силы натяжения, которой подвержен каждый сегмент цепи. Считается константой, потому что цепная линия рассматривается как фигура, которую принимает цепь, когда вес равномерно распределён вдоль кривой.

Как используют цепные линии?

Кроме использования для воссоздания висящих цепей, цепные линии особенно полезны во множестве других областей применения. Их форма образуется благодаря тщательному балансу между внутренним натяжением цепи и силой гравитации. Такое равновесие означает, что вес самой цепи равномерно распределён вдоль всей длины. Благодаря этому перевёрнутые цепные линии становятся идеальной формой для свободно стоящих арок постоянной толщины.

Доктор Том Кроуфорд рассказывал об этом в недавнем видео Numberphile, объясняя, как внутренняя структура купола собора Святого Павла в Лондоне поддерживается перевёрнутой трёхмерной цепной линией.

Цепные линии обладают и ещё одним любопытным свойством. Они являются формой, позволяющей квадратам перемещаться без колебаний их центров (см. анимацию ниже).

Параметризация цепной линии

Если мы хотим научиться рисовать физически точные цепные линии, то (1) может быть не лучшим способом для этого. Причина проста: кроме изменения у нас практически нет никакого контроля над тем, где и как их можно разместить.

Более «настраиваемым» уравнением является (2), позволяющее перемещать кривую горизонтально и вертикально при помощи двух дополнительных параметров и :

Однако в идеале нам бы подошло уравнение цепной линии, проходящей через две точки закрепления и :

Параметр позволяет перемещать вершину цепной линии; когда , вершина находится на оси Y. Мы можем сдвигать цепную линию так, чтобы вершина находилась ровно между и :

На самом деле, это идеально, если и , и находятся на одном уровне (т. е. когда ). Но если это не так, то получившаяся цепная линия будет физически неверной. Кроме того, это почти не позволяет нам управлять степенью провисания цепной линии. Поэтому нам нужно подойти к задаче по-другому: нам нужен более «художественный» способ управления линией.

Решение задачи цепной линии

В этом разделе мы покажем уравнения физически правильной цепной линии, представляющей верёвку, закреплённую в двух точках пространства, и , с заданной длиной . Математический вывод уравнения довольно запутан, поэтому чтобы не мучить вас, я просто покажу результат решения.

Для начала зададим два вспомогательных параметра, и , указывающих горизонтальное и вертикальное расстояние между двумя точками.

При выводе уравнения мы предполагаем, что ; если это не так, то можно просто поменять местами две точки. Также нам нужно задать условие, что больше расстояния между двумя точками. Это кажется справедливым, ведь длина цепной линии должна быть не меньше расстояния между точек закрепления.

Мы получаем следующие значения для и :

где — гиперболический котангенс:

На показанной ниже анимации (в оригинале статьи она интерактивна) перемещается вторая точка закрепления () и меняется длина цепи (), при этом изменяется форма линии.

Находим

a

В предыдущем разделе нам не удалось представить уравнение первого параметра цепной линии: . Так получилось, потому что в этом случае нет лаконичного решения, способного вычислить его точное значение. На самом деле, при любых попытках вывода мы придём к следующему трансцендентному уравнению:

Иными словами, мы не можем преобразовать это уравнение в более простой вид так, чтобы не находилась и в правой части уравнения. Иногда трансцендентные уравнения можно переписать в таком виде, но часто это требует бесконечного количества операций (например, использования рядов или интеграла).

Когда такое происходит, то это значит, что нам нужен другой способ вычисления значения . Если не получается решить задачу аналитически, то приходится использовать численные решения. То есть нам нужно использовать алгоритм для поиска приблизительного решения. Об этом мы поговорим в следующей статье.

Сообщество Экспонента

• Публикация
• 21.11.2022

Электропривод и силовая электроника

Какие опыты будут показаны? • Испытание устройств РЗиА в режиме жесткого реального времени с помощью КПМ РИТМ• Проверка протоколов цифровой подстанции (МЭК61850, С37.118, PRP, PTPv2) на киберустойчивость• Эксперименты с трансформатором и его циф…

Встретимся на форуме «ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СЕТИ» (МФЭС) 22-25 ноября в Москве

Что будет представлено?

На стенде команда электроэнергетики представит отечественный программно-аппаратный комплекс реального времени на базе КПМ РИТМ.

• Электропривод
• цифровая обработка сигналов
• РИТМ

21. 11.2022

• вопрос
• 20.11.2022

Другое, Изображения и видео

Translator         Подскажите как вычислить полигон ConvexHull, описывающий область на изображении используя функцию regionprops в Matlab

Translator         Подскажите как вычислить полигон ConvexHull, описывающий область на изображении используя функцию regionprops в Matlab

• MATLAB для студентов

20.11.2022

• Публикация
• 17.11.2022

Встраиваемые системы, ПЛИС и СнК

На вебинаре вы узнаете, как сократить временные и финансовые издержки при испытании встраиваемых систем управления с помощью технологии моделирования в реальном времени. В ходе вебинара будут затронуты следующие вопросы: Что такое тестирование в реальном врем…

Приглашаем вас на вебинар «Российские комплексы РИТМ для полунатурного моделирования и прототипирования встраиваемых систем», который пройдёт 29 ноября 2022 г. в 10:00 по московскому времени.

• MATLAB
• встраиваемые системы
• Simulink
• ПЛИС
• МОП
• Модельно ориентированное проектирование

17.11.2022

• Публикация
• 17.11.2022

Системы управления, Электропривод и силовая электроника

  Интересно узнать еще больше об этом кейсе? Подробнее – тут.

Рассказываем, как инновационный центр «КАМАЗ» с помощью наших инженеров освоил современный рабочий процесс на базе модельно-ориентированного проектирования, который позволил небольшой команде разработчиков создать систему управления электрооборудования электробуса верхнего уровня в кратчайшие сроки.

 

• MATLAB
• системы управления
• САУ
• МОП
• Модельно ориентированное проектирование

17.11.2022

• вопрос
• 15. 11.2022

Системы связи, Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов, Радиолокация, Робототехника и беспилотники

Создать с стандартными параметрами и хорошим его рисунком, спектром, автокореляцией! Спасибо за внимание!

Создать с стандартными параметрами и хорошим его рисунком, спектром, автокореляцией! Спасибо за внимание!

1 Ответ

• вопрос
• 05.11.2022

Другое

В системе Win10 установлен MinGW64. Matlab не видит компиляторы из папки C:\mingw64 Добавил в путь матлаба и в переменные среды Windows директорию C:\mingw64\bin\, где лежит gfortran.exe, но не помога…

В системе Win10 установлен MinGW64. Matlab не видит компиляторы из папки C:\mingw64 Добавил в путь матлаба и в переменные среды Windows директорию C:\mingw64\bin\, где лежит gfortran.exe, но не помога…

2 Ответа

• вопрос
• 05.11.2022

Другое

Добрый день! Сегодня произошло неожиданное событие. При загрузке Матлаб он мне сообщил, что лицензия отсутствует. Я поискал ее в каталоге Матлаб, и обнаружил следующее: license_DESKTOP-NITFQJQ_4101619…

Добрый день! Сегодня произошло неожиданное событие. При загрузке Матлаб он мне сообщил, что лицензия отсутствует. Я поискал ее в каталоге Матлаб, и обнаружил следующее: license_DESKTOP-NITFQJQ_4101619…

• Публикация
• 30.10.2022

Системы связи

Мероприятие призвано собрать на одной площадке всех специалистов данной тематики для обмена знаний, опыта и технологий, чтобы вооруживший последними технологиями дать быстрый старт в развитии отечественного оборудования систем связи 5G. Подробная программа 09:…

Приглашаем разработчиков систем связи на семинар для всестороннего обсуждения вопросов построения отечественного оборудования систем связи 5G.

Пройдет офлайн в Москве 17 ноября в 10:00.

• MATLAB
• Simulink
• САУ
• ЦОС
• ПЛИС
• МОП
• 5G
• Модельно ориентированное проектирование

30. 10.2022

• Публикация
• 26.10.2022

Встраиваемые системы

Эта статья написана совместно с нашими партнерами — компанией «РИТМ». Компания занимается разработкой полунатурных стендов и комплексов полунатурного моделирования «РИТМ», которые используются нашими заказчиками. Клиенты в некотор…

Уже много лет мы занимаемся продвижением модельно-ориентированного проектирования в России. Поэтому наш опыт сконцентрирован вокруг инструментов модельно-ориентированного проектирования — то есть различных сред моделирования и симуляции — и применения их в инженерных разработках.

• MATLAB
• Simulink
• САУ
• ЦОС
• ПЛИС
• МОП
• fpga
• экспонента
• Модельно ориентированное проектирование

26.10.2022

• Публикация
• 26.10.2022

Электропривод и силовая электроника

Основа всех трех сценариев – цифровое моделирование в режиме жесткого реального времени. Наша команда инженеров показала, что КПМ РИТМ способен решать ряд сложных задач, которые стоят перед российской энергетикой. Мы благодарны всем гостям и всегда рады…

13 октября в нашем офисе прошел семинар. Всего за 5 часов мы обсудили, как использовать КПМ РИТМ для:

• Тестирования микропроцессорных реле;
• Построения систем мониторинга переходных режимов;
• Исследования кибер-инцидентов в электроэнергетике.

• экспонента
• микропроцессор
• электроэнергетика
• РИТМ
• энергетика

26.10.2022

Результаты поиска

Нет результатов поиска, попробуйте задать другие параметры.

Уравнение контактной сети

Контактная сеть представляет собой плоскую кривую, форма которой соответствует висящей однородной гибкой цепи, опирающейся на концы и провисающей под действием силы тяжести.

Контактная сеть подобна параболе (рис. 1).

Рисунок 1.

Так считалось долгое время. В начале \(17\) века Галилей сомневался, что висящая цепь на самом деле является параболой. Однако строгое доказательство было получено только полвека спустя после того, как Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц разработали основу дифференциального и интегрального исчисления.

Решение задачи о контактной сети было опубликовано в \(1691\) Христианом Гюйгенсом, Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли.

Ниже мы выводим уравнение контактной сети и некоторые его варианты.

Предположим, что тяжелая однородная цепь подвешена в точках \(A, B,\), которые могут находиться на разной высоте (рис. \(2\)).

Рис. 2.

Рассмотрим равновесие малого элемента цепи длиной \(\Delta s.\) Силы, действующие на отрезок цепи, представляют собой распределенную силу тяжести

\[\Delta P = \rho gA\Delta s,\]

где \(\rho\) — плотность материала цепи, \(g\) — ускорение свободного падения, \(A\) — площадь поперечного сечения нити, а силы натяжения \(T\left ( x \right)\) и \(T\left( {x + \Delta x} \right),\) соответственно в точках \(x\) и \({x + \Delta x}. \)

Условия равновесия элемента длины \(\Delta s\) для проекций на оси \(Ox\) и \(Oy\) записываются в виде

\[- T\left( x \right)\cos \alpha \left( x \right) + T\left( {x + \Delta x} \right)\cos \alpha \left( {x + \Delta х} \справа) = 0,\]

\[- T\left( x \right)\sin\alpha \left( x \right) + T\left( {x + \Delta x} \right)\sin\alpha \left( {x + \Delta х} \справа) — \Дельта Р = 0.\]

Из первого уравнения следует, что горизонтальная составляющая силы натяжения \(T\left( x \right)\) всегда постоянна:

\[T\left( x \right)\cos \alpha \left( x \right) = {T_0} = \text{const}.\]

Используя дифференциалы во втором уравнении, мы можем переписать его как

\[d\left( {T\left( x \right)\sin\alpha \left( x \right)} \right) = dP\left( x \right).\]

Поскольку \(T\left( x \right) = \frac{{{T_0}}}{{\cos\alpha \left( x \right)}},\) мы имеем

\[d\left( {{T_0}\tan\alpha \left( x \right)} \right) = dP\left( x \right),\;\; \Rightarrow {T_0}d\left({\tan\alpha\left(x\right)} \right) = dP\left(x\right). \]

Учтите, что \(\tan \alpha \left( x \right) = \frac{{dy}}{{dx}} = y’,\), поэтому уравнение равновесия можно записать в дифференциальной форме как 92}} } \right) = \frac{x}{a} + {C_1}.\]

Здесь мы обозначили \(\frac{{\rho gA}}{{{T_0}}}\) как \(\frac{1}{a}.\)

Касательная к контактной сети в самой нижней точке параллельна оси \(x\). Следовательно,

\[z\влево( {x = 0} \вправо) = y’\влево( {x = 0} \вправо) = 0.\]

Мы можем определить константу \({C_1}\) отсюда:

\[\ln 1 = 0 + {C_1},\;\; \Стрелка вправо {C_1} = 0.\]

Таким образом, мы получаем следующее уравнение:

9{ — \frac{x}{a}}}}}{2} = \sinh \frac{x}{a},\;\; \стрелка вправо y’ = \sinh \frac{x}{a}.\]

Еще одно интегрирование дает окончательное красивое выражение для формы контактной сети:

\[y = a\cosh \frac{x}{a}.\]

Таким образом, контактная сеть описывается функцией гиперболического косинуса. Его форма однозначно определяется параметром \(a = \frac{{{T_0}}}{{\rho gA}}\), как показано на рисунке \(3. \)

Рисунок 3. Контактные сети

часто встречаются в природе и технике. Например, квадратный парус под напором ветра принимает форму контактной сети (эту задачу рассматривал Якоб Бернулли).

В архитектуре и строительстве часто используются арки в виде перевернутой контактной сети (например, арка ворот Сааринена в Сент-Луисе, показанная на рис. \(4\)).

Рис. 4.

Обладают высокой устойчивостью, так как силы внутреннего сжатия идеально компенсируются и не вызывают провисания.

Контактная сеть имеет еще одну интересную особенность. При вращении вокруг оси x контактная сеть образует поверхность, называемую катеноидом. Эта поверхность имеет минимальную площадь поверхности, т. е. любая часть катеноида будет меньше любой другой поверхности, ограниченной тем же контуром. В частности, мыльная пленка между двумя кругами, стремящимися минимизировать свободную энергию, принимает форму катеноида.

См. решенные проблемы на стр. 2.

Калькулятор кривой контактной сети

| Подвесная веревка

Создано Давиде Борчиа

Отзыв написан Анной Щепанек, доктором наук и Рийком де Ветом

Последнее обновление: 04 ноября 2022 г.

Содержание:

• Что такое контактная кривая?
• Уравнение контактной кривой
• Применение контактной кривой в архитектуре — и не только
• Математический курьез!
• Как использовать наш калькулятор кривой контактной сети?
• Часто задаваемые вопросы

Подвесные канаты имеют простое, но увлекательное математическое определение: найдите его с помощью нашего калькулятора кривых контактной сети!

Кривая контактной сети представляет собой график, сгенерированный функцией контактной сети . Он описывает идеальное поведение веревки, висящей в гравитационном поле под собственным весом. Катенарные кривые находят применение во многих областях, поэтому о них стоит узнать. Продолжайте читать, чтобы узнать:

• Что такое контактная кривая ;
• Уравнение кривой контактной сети ;
• Применение контактной кривой в архитектуре;
• Где найти кривую контактной сети в природе; и
• Как пользоваться нашим калькулятором кривой контактной сети .

Что такое контактная кривая?

Возьмите веревку и повесьте ее между двумя опорами так, чтобы она немного провисала. Это определение контактной кривой — наша работа сделана!

Мы шутим, но не совсем: именно так вы описываете контактную сеть. Однако есть еще что сказать! 😄

Слово цепочка происходит от латинского « catēna », цепь ⛓. Кривая описывает не только веревки, но и цепи. В прошлом многие математики пытались описать поведение висящей веревки. Сначала они сравнили контактную кривую с параболой, но вскоре перешли к более сложным функциям, когда поняли, что парабола не может точно передать контактную кривую.

🔎 Два известных ученых прошлого, Галилео Галилей и Роберт Гук (да, парень, который придумал константу пружины, которую мы встретили в калькуляторе закона Гука) попытали счастья с цепными цепями. Галилей заметил, что кривая, образуемая висящей веревкой, не является параболой; Гук считается первым, кто нашел математическое выражение для построения арок по контактной сети.

Уравнение кривой контактной сети

Кривая контактной сети подчиняется простой математической формуле: 9{-\frac{x}{a}})y=b⋅coshax​=2b​(eax​+e−ax​)

🔎 Взвешенные контактные сети встречаются не так часто! Тем не менее, вы можете найти один в Сент-Луисе, штат Миссури: Gateway Arch , которую часто принимают за параболу!

Применение контактной кривой в архитектуре — и не только

Контактная кривая настолько проста, что покорила сердце человечества с самого начала цивилизации. Его интересные свойства сделали его идеальным выбором для конкретной области: здесь мы представляем история любви между кривой контактной сети и архитектурой .

Форма дуги контактной сети облегчает разгрузку веса подвесной конструкции на боковые опоры. Кривые контактной сети появляются в подвесных мостах либо по совпадению (уложите канатный мост, и он примет эту форму), либо по замыслу.

🔎 Веревки мостов, где они служат опорой для дороги внизу, имеют не контактную форму, а параболическую. Но не волнуйтесь, они почти идентичны: на протяжении веков контактные сети прятались за притчами , их более известные «кузены»!

С древности зодчие применяли контактную кривую при проектировании арок и куполов. Можно найти множество примеров — от Так Касрама (тысячелетний имперский комплекс, все еще стоящий в Ираке) до Клохейна (крошечные каменные дома в Скеллинг-Майкл), купола Брунеллески и глинобитных хижин народа мусгун в Камеруне.

Так Касрам в Ираке является давним примером прочности контактных арок.

Но, очевидно, этим дело не ограничивается: кривые контактной сети находят множество других применений. Если вы едете на поезде (электрический — лучший способ добраться до работы), электрические линии , висящие над , представляют собой кривые контактной сети. И если говорить о линиях электропередач, то почти каждый ландшафт населен линиями электропередач, которые, как вы теперь знаете, представляют собой кривые контактной сети.

Веревка наполненных гелием воздушных шаров (арка из воздушных шаров) тоже висит в виде перевернутой кривой контактной сети!

Природа — лучший в мире инженер, и кривая контактной сети появляется во многих более или менее неожиданных местах. Посмотрите внимательно на паутина : веревки, прикрепленные к другим струнам, представляют собой контактные сети. Многие арки, встречающиеся в природе , также принимают цепную форму из-за эрозии.

Но открытие холодильника даст вам самый простой пример цепной связи в природе: яйца! Особая прочность яйца связана с его способностью рассеивать приложенные к нему силы благодаря его двойной цепной форме .

Математическое любопытство!

Катенарные кривые — единственные формы, на которых правильные многоугольники могут катиться плавно . Выберите точку на многоугольнике и проследите ее движение: вы получите кривую, называемую рулеткой : мы говорили о ней в нашем калькуляторе эвольвентных функций.

В частном случае многоугольников, катящихся по контактным сетям, мы называем эти кривые ундулоидами .

Генерация ундулоида квадрата (выделена красным). Повторяющаяся синяя кривая внизу — контактная сеть.

Как использовать наш калькулятор кривой контактной сети?

Наш калькулятор кривой контактной сети прост в использовании и по-прежнему предлагает множество функций.

Во-первых, вы должны выбрать тип контактной сети , которую вы хотите использовать в инструменте: взвешенную или нет. Мы показываем соответствующую формулу кривой контактной сети, не беспокойтесь!

Предлагаем Вам четыре режима работы :

• Значение;
• График;
• Стол; и
• График и таблица.

Выберите нужный. В последних трех вы можете изменить функциональную область и частоту дискретизации, изменив параметры, скрытые в расширенный режим .

🙋 Если вы используете калькулятор в режиме значение , помните, что вы можете ввести значение контактной функции, чтобы найти соответствующее значение xxx!

Часто задаваемые вопросы

Что такое контактная кривая?

Определение контактной кривой: «математическая кривая, представляющая форму каната, висящего между двумя опорами под действием исключительно собственного веса».

Узнайте больше с помощью калькулятора кривых контактной сети на omnicalculator.com

Как рассчитать кривую контактной сети?

Уравнение контактной кривой использует гиперболические функции. Зная параметр a , провис каната, находим контактную сеть по формуле y = a * ch(x/a) , где ch — гиперболический косинус.

Каково применение контактной кривой?

Архитектура и гражданское строительство являются наиболее распространенными приложениями контактных линий. Тот факт, что контактная сеть очень эффективно разгружает вес, который она несет на своих опорах, делает эти кривые идеальным выбором для подвески мостов или создания самой прочной формы арок!

В чем разница между контактной кривой и параболой?

В контактной кривой сила одинакова по длине веревки, а в параболе сила одинакова, если учитывать горизонтальную длину. Вот почему контактная сеть чаще встречается в самоподвешивающихся конструкциях, в то время как вы можете найти параболическую форму, когда кабель поддерживает что-то еще (вспомните мост Золотые Ворота).