Меридиана это в геометрии: «Что такое мередиана?» – Яндекс.Кью

Урок геометрии в 7-м классе по теме: «Медиана, биссектриса, высота»

Цели урока.

1. Введение новых понятий высоты, медианы и биссектрисы треугольника.
2. Развитие логического мышления учащихся.
3. Формирование устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии.
4. Воспитание отношений взаимопомощи и сотрудничества между учащимися в процессе познавательной деятельности.

Ход урока и примерная дозировка по времени.

1. Организационный момент.
2. Сообщение темы, постановка цели и задач урока.
   Воспроизведение опорных знаний.
   5 минут.
3. Объяснение нового материала и его закрепление в задачах.
   33 минуты.
4. Контроль усвоения учащимися нового материала.
   5 минут.
5. Подведение итогов урока.
   2 минуты.

Оборудование и наглядность урока.

1. Рисунок 1.
2. Модели треугольников, изготовленные из плотного цветного картона, с закреплёнными в вершинах цветными тесёмками (для каждого ученика и учителя).
3. Чертёж прямоугольного треугольника с изображением 3-х его высот, которые пересекаются в вершине прямого угла.
4. Магнитофон, кассета с записью песни “Когда я стану кошкой” (Музыка Фадеева М., слова Секачёвой И.) для проведения физминутки.
5. Весёлые рисунки геометрических зверят: биссектриса – крыса, медиана – обезьяна, высота похожа на кота.
6. У каждого ученика тетрадь с печатной основой “Геометрия – 7. Проверочные работы с элементами тестирования”. Альхова З.Н. Издательство “Лицей”, 2000 г.
7. Портреты Архимеда и Л. Эйлера.
8. На каждой парте 3 треугольника из цветного картона с изображением на них высот, медиан, биссектрис (аппликация).
9. Физическая карта Америки.

I. Сообщение темы урока и постановка задач урока.

Какую геометрическую фигуру изобразила Коптилова Рита на своём весёлом рисунке? (Треугольник). Рис. 1.

А что называется треугольником? (Треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и соединённых попарно отрезками).

Сколько у него элементов? (6) Назовите элементы треугольника. (Три стороны и три угла).

Кто из вас не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? (Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида).

А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного.

Зовётся он треугольник,
И с ним хлопот не оберётся школьник!

Тема сегодняшнего урока: “Медиана, биссектриса и высота треугольника”.

Преодолеть хлопоты – трудности, связанные с новыми понятиями – медиана, биссектриса и высота треугольника – нам сегодня помогут три мои ассистентки: Емельянова Катя, Грязнова Маша и Гамаюнова Оля (одноклассницы, подготовленные учителем заранее).

II. Объяснение нового материала.

1. Медиана.

Начертите треугольник АВС и найдите середину стороны ВС – точку М.

Что называется серединой отрезка? (Серединой отрезка называется точка отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка).

Запись на доске: АМ=МС. Рис. 2.

Соедините точку М с вершиной В. Отрезок ВМ называется медианой треугольника.

Определение. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Сколько вершин у треугольника? (3).

Сколько у него сторон? (3).

Сколько медиан можно провести в треугольнике?(3).

“Проведите” три медианы на моделях треугольников. (Ассистентки контролируют правильность выполнения задания, помогают в случае необходимости).

Какое свойство медиан вы заметили?

В любом треугольнике все медианы пересекаются в одной точке.

Эта точка называется центром тяжести треугольника. [1].

№ 114 (стр. 37) [4] — у доски.

Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Рис. 3.

Дано:

АВС, А₁В₁С_1,
АС=А₁С₁,
АМ=МС,
А₁М₁=М₁С₁.

Доказать:

ВМ=В₁М_1.

Доказательство:

2. Высота.

Запись на доске: ВН АС, Н АС. Рис. 4.

С помощью чертёжного угольника из вершины В треугольника АВС проведём перпендикуляр ВН к прямой АС. Он называется высотой треугольника.

Определение. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Сколько высот имеет треугольник? (3).

“Постройте” все три высоты на модели вашего треугольника.

(Ассистенты проверяют).Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы? (Да).

У некоторых из вас модели прямоугольных треугольников. Где пересеклись их высоты? (В вершине прямого угла).

Учащимся показывается ответ на рисунке (плакат на доске). Рис. 5.

№ 103 (стр. 36) [4] – у доски.

Начертите треугольник АВС, у которого угол В – тупой. С помощью чертёжного угольника проведите его высоты.

Решение.

ВН₁ АС, АН₂ ВС, СН₃ АВ. Рис. 6.

Вывод. Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Эта точка называется ортоцентром. [1]

Физминутка.

(Её проводит Емельянова Катя в образе кошки под запись песни “Когда я стану кошкой”).

Для физминутки Катя не зря выбрала образ кошки. Он поможет нам в запоминании нового понятия – высота.

Катя (первая ассистентка).

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом. [2] Рис. 7.

(Стихи иллюстрируются весёлым рисунком).

Конечно, геометрия – наука серьёзная, и учить её надо серьёзно и вдумчиво. Но и забавные стихи и весёлые “геометрические” зверята помогают учению.

Ольга (вторая ассистентка).

Медиана-обезьяна,
У которой зоркий глаз,
Прыгнет точно в середину
Стороны против вершины,
Где находится сейчас. [2] Рис. 8.

Маша (третья ассистентка).

Биссектриса – это крыса,
Которая бегает по углам
И делит угол пополам. Рис. 9.

(Строки сопровождаются показом рисунков).

3. Биссектриса.

Вспомните определение биссектрисы угла.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Запись на доске: АВК = СВК

К АС. Рис. 10.

Постройте биссектрису ВК угла В с помощью транспортира. Она пересечёт отрезок АС в точке К. Отрезок ВК называется биссектрисой угла В треугольника АВС.

Определение. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с точкой противоположной стороны треугольника.

Покажите все три биссектрисы на вашей модели треугольника. (Контроль со стороны учителя и ассистенток).

Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Тест – 6, В – 1 (стр. 22). [3]

№ 5 (с комментированием). Рис. 11.

Дано:

АВK,
АС – биссектриса угла А.

Доказать:

АВС= АКС.

Доказательство:

III. Закрепление.

1.

Тест – 6, В –1 (стр. 21) [3] – с комментированием.

№ 1, 2.

1. Заполните пропуски в формулировках элементов треугольника и свойств геометрических фигур.

а) Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.
б) Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом единственный.

2. Верны ли следующие утверждения? (В случае “нет” напишите верный ответ).

а) В любом треугольнике можно провести три медианы. (Да).
б) Точка пересечения высот любого треугольника лежит внутри треугольника. (Не всегда).
в) Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. (Да).

2.   Работа в парах.

На каждой парте лежат три треугольника, разносторонние, разных цветов. На одном из них изображены три медианы, на другом – высоты, на третьем – биссектрисы.

1. Покажите треугольник с изображением высот. ( Фиолетовые и красные).
2. Поднимите треугольник, на котором изображены медианы. (Синие, жёлтые и оранжевые).
3. Покажите треугольник с изображением биссектрис. (Зелёные, чёрные).

(Учащиеся поднимают треугольники).

Центр тяжести треугольника, его ортоцентр и точка пересечения биссектрис треугольника называются (особыми) замечательными точками треугольника.

Замечательные точки есть у треугольника.
Точка первая – она
Чувством гордости полна:
Медианы в ней пересекаются,
Центром тяжести та точка называется.
Ортоцентр – вторая точка,
Архимед её открыл,
Все высоты в ней встречаются,
Удивив учёный мир.
Третья точка – тоже важная
Биссектрисы всех углов,
Бросив вызов свой отважный,
В ней “сошлись”, не тратя слов.
Эйлер точки все заметил,
Свойства новые открыл, —
Так на радость школьникам
Возникла новая ветвь математики —
Геометрия треугольника.

Тригонометрию вы будете изучать в старших классах.

С какими новыми геометрическими понятиями вы сегодня познакомились? (Медиана, биссектриса, высота).

IV. Домашнее задание.

Стр. 33- 34, № 101, 102, 106.

V. Выставление оценок и их комментирование.

Литература.

1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7 – 8 классы. М., Просвещение, 1985 г.
2. Народное образование. № 9 – 10, 1993 г. “Ребятам о зверятах”. Елизарова С.
3. Проверочные работы с элементами тестирования по геометрии. 7 класс. Альхова З.Н., Саратов, Лицей, 2000 г.
4. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Геометрия 7 – 9. М., Просвещение, 2003 г.

Меридіан в геометрія — 67tyriolor6.ru

Скачать меридіан в геометрія PDF

Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации проектно-конструкторского процесса и воспроизведения сложных поверхностей.  Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы. Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора. Медиана (геометрия) — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Любой треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Иногда медианой называют также прямую, содержащую этот отрезок.  Меридиан (география) — Половина окружности большого круга, плоскость которого проходит через ось вращения земли.

Т. е. линия, которая проходит от северного полюса к южному. Мистическая геометрия меридиана Петербурга и египетских пирамид (Познавательное ТВ, Артём Войтенков). НАУКА Познавательное ТВ. lượt xem 10 N năm trước. Артём Войтенков: Удивительные совпадения обнаруживаются на меридиане Санкт-Петербурга и египетских пирамид. Неевклидова геометрия — Дневник разработчика #1 | [Озвучка CodeParade]. Хамибин. lượt xem 43 N năm trước. Медиана (от лат.

mediana — средняя) — отрезок, соединяющий одну из вершин треугольника с серединой противоположной стороны; три возможные медианы треугольника пересекаются в одной точке, которую называют центром тяжести треугольника (так как именно в этой точке находится центр тяжести однородной треугольной пластины, а также центр тяжести системы из трёх равных масс, помещенных в вершины треугольника). Репетиторы по Геометрии в Меридиане. Учиться будете легко с репетитором на 5-Легко! Без посредников. Отзывы, цены  Чтобы выбрать лучшего репетитора Геометрии в Меридиане без посредников, воспользуйтесь фильтром слева.

К сожалению, по Вашему запросу репетиторы не найдены. Попробуйте расширить параметры поиска стоимость или место проведения занятий или воспользуйтесь услугами опытных онлайн репетиторов.

Данный тест будет полезным учителю для осуществления быстрого контроля на уроке, а также ребятам, которые желают проверить свои знания по данной теме.

Инструкция к тесту. Выполнив необходимые расчеты по условию задания, нажмите на кнопку с предполагаемым правильным ответом. Высоты, медианы и биссектрисы треугольника постоянно встречаются нам в задачах по геометрии. Мы начнем с таблицы, в которой показано, что такое высоты, медианы и биссектрисы, и какими свойствами они обладают. Затем — подробные объяснения и решение задач.

Напомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону. Три высоты треугольника всегда пересекаются в одной точке. Работа по теме: Начертательная геометрия. ВУЗ: ТюмГНГУ. Страница 5.  Главный меридиан — это меридиан в плоскости, проходящей через ее ось и параллельной какой -либо плоскости проекций. i. ‘ Горло. Главный меридиан. Параллель. l. Экватор. Меридиан. Рис. К поверхностям вращения относятся.

EPUB, rtf, rtf, doc

Похожее:

6. Гдз укр-мова 8 клас заболотний
7. Раковський презентація
8. Презентація з податкової системи
9. Усні обчислення 4 клас презентація
10. Історія україни 8 клас гісем відповіді

Глава 7 Геометрия Земли. Когда прямые искривляются [Неевклидовы геометрии]

Глава 7

Геометрия Земли

Рассмотрим две классические задачи, связанные с геометрией Земли. Они были сформулированы известным математиком и педагогом Дьёрдем Пойа (1887–1985). Первая — рассказ-шутка, но с математическим содержанием. Она известна как задача о полярном медведе.

«Смелый охотник, выйдя из лагеря, прошел 1 км на юг. Затем он прошел 1 км на восток. И в этот момент он увидел медведя, достал пистолет и выстрелил. Довольный своей добычей, охотник пошел на север и ровно через 1 км возвратился в лагерь. Какого цвета был медведь?»

Охотник двигался по дугам меридианов, когда шел на юг и на север. Идя на восток, он двигался по дуге параллели.

Если охотник возвращается в исходную точку по другому меридиану, а не по тому, по которому вышел из лагеря, то его лагерь должен быть на Северном полюсе. Другое решение предполагает, что двигаясь на восток по параллели, охотник опишет одну, две или три полных окружности вокруг полюса. В любом случае медведь, находящийся в одном километре от Северного полюса, может быть только белым.

Другая задача Пойа не так хорошо известна, но не менее занимательна. Это задача о земле Роберта.

«Роберт хочет купить участок земли, совершенно плоский и ограниченный четырьмя строго прямыми линиями. Две из этих линий должны проходить с севера на юг, а две другие — с востока на запад. Длина каждой должна быть ровно 1000 метров. Может ли Роберт найти такой участок земли в Мексике?»

Рассуждения в этой задачи аналогичны предыдущим. Участок земли, который хочет купить Роберт, ограничен двумя меридианами и двумя параллелями. Представьте себе два фиксированных меридиана и параллель между ними. При движении от экватора дуга параллели будет уменьшаться. Таким образом, описанный в задаче участок можно найти только на экваторе. Взглянув на карту Земли, мы сразу поймем, что Роберт не сможет найти такой участок в Мексике, так как эта страна расположена в северном полушарии.

Параллели и меридианы

И во времена Пифагора, и в эпоху GPS (Глобальная система позиционирования) для определения точки на поверхности Земли (или на любой сфере) используется система позиционирования на основе понятий долготы и широты.

Большие круги, проходящие через полюса, называются меридианами, а линии, перпендикулярные им, — параллелями. Как уже говорилось, Земля напоминает апельсин, в котором края долек являются меридианами, а точки, где они пересекаются, — Северным и Южным полюсами. Единственный большой круг, одновременно являющийся параллелью, называется экватором, который делит Землю на два равных полушария. Нулевой меридиан проходит через город Гринвич в Англии.

Широтой называется расстояние до Северного или Южного полюса, в зависимости от полушария, в котором мы находимся. Широта измеряется в градусах от экватора. Долгота — это расстояние на восток или запад, то есть направо или налево от нулевого, или Гринвичского, меридиана. Долгота также измеряется в градусах.

Все точки на одной параллели находятся на одной и той же широте.

Из всей этой информации вытекает следующий вопрос: если целью системы позиционирования является определение положения точек на поверхности Земли, то почему широта и долгота измеряются в градусах, а не в километрах?

Для начала заметим, что поверхность, на которой производятся расчеты, является сферой. Чтобы отметить точку на ней, нам нужны только две координаты, потому что, хотя сфера искривляется, она не имеет третьего измерения и является двумерной поверхностью.

Это требует дополнительного разъяснения. Представьте себе круг, разделенный на 360°. Если через центр провести две перпендикулярные линии, то получатся четыре области (квадранта) в 90°, называемые круговыми секторами. Проводя через центр еще линии, можно получить сектора меньшего размера. Их дуги характеризуются размером угла. Это значит, что угловые измерения могут быть применены к любой точке окружности.

* * *

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ ЗЕМЛИ

Земля может быть разделена на бесчисленные дольки, величина каждой из которых выражается в градусах. Некоторые из этих областей используются в навигации и метеорологии и поэтому имеют специальные названия. Наиболее известными являются полярные круги, тропики и экватор.

* * *

Теперь представьте себе не круг, а сферу, такую как Земля. Если ее разделить на две части от одного полюса к другому, то можно использовать угловые измерения так же, как и в круге, и, следовательно, можно определять положение точки по угловым значениям широты и долготы.

Углы измеряются на восток (направо) и на запад (налево) от нулевого меридиана до диаметрально противоположного ему антимеридиана. Таким образом, долгота имеет значения от 0° до 180°, то есть до половины от 360°, или, другими словами, 90° + 90°. Экватор и Гринвичский меридиан можно рассматривать в качестве осей координат.

Что касается широты, она измеряется от 0° до 90° с указанием Северного или Южного полушария.

* * *

ДВА КОНЦА ЗЕМЛИ

Нью-Йорк и Сидней не являются антиподами, то есть на поверхности планеты они не находятся в диаметрально противоположных точках, но, конечно, они очень далеки друг от друга. Тем не менее по их координатам широты и долготы это неочевидно.

* * *

Сфера Земли с меридианами и параллелями. Эти линии используются для определения точного положения точки на поверхности.

Три точки с разными координатами широты и долготы на двух проекциях Земли. На плоской проекции (вверху) мы получаем обычный треугольник, в то время как на сферической проекции (внизу) мы получаем сферический треугольник.

От Марра Mundi до Google™ Планета Земля

Традиционный глобус Земли, используемый сегодня во многих школьных классах, представляет собой сферу с сеткой координатных линий, представляющих меридианы и параллели планеты. Очень часто в классах также имеется карта мира с линиями, напоминающими декартовы координаты.

Вертикальные линии показывают долготу. Слева от начала координат — западная долгота, справа — восточная долгота.

Горизонтальные линии указывают широту; вверх от начала координат — северная широта, вниз — южная. На предыдущей странице изображен один и тот же регион мира на двух типах карт. На первом рисунке меридианы и параллели — прямые линии, а на втором они искривлены.

Как найти кратчайшее расстояние между Барселоной и Токио?

На карте мира мы видим, что Барселона находится в точке с координатами 2° восточной долготы и 41° северной широты, а Токио — около 140° восточной долготы и 36° северной широты. Рассмотрим сферический треугольник с вершинами А (Барселона), В (Токио) и D (Северный полюс).

Обозначим буквой d геодезическую линию, соединяющую Барселону и Токио. Длина d и будет минимальным расстоянием между двумя городами. Для вычисления этой длины мы используем теорему косинусов для сферических треугольников:

cos d = cos a · cos b + sin a · sin b · cos D.

Чтобы найти d, мы должны знать величины сторон а и b и угла D. Чтобы вычислить длину стороны сферического треугольника, возьмем экватор за горизонтальную ось и вычтем из 90° широту каждой точки. Для нахождения угла D мы поступаем аналогично, на этот раз беря в качестве оси координат Гринвичский меридиан:

а = 90°- 41° = 49°

Ь = 90–36° = 34°

D = 140°- 2° = 138°.

Подставляя эти значения в теорему косинусов и используя калькулятор, получим:

cos (d) = cos(49°)·cos(54°) + sin(49°)·sin(54°)·cos(138°) =

= 0,656059029·0,5877852523 + 0,7547095802·0,809016944·(-0,7431448255) =

= -0,06812225162.

Используя клавишу cos^-1, мы найдем расстояние d: 93,90614266°.

Однако, было бы более полезно определить это расстояние в километрах. Учитывая, что радиус Земли составляет 6350 км, длина окружности большого круга на поверхности земного шара может быть вычислена по формуле:

2·?·R = 2·?·6350 = 39 898,23 км.

Таким образом, длина 39898,23 км соответствует полному кругу в 360°. Остается узнать, скольким километрам соответствует угол в 93,90614266°.

Обозначим это значение за х и посчитаем следующую пропорцию:

Выражая отсюда х, получим х = 10407,46911 км.

Первая страница приложения Google™ Планета Земля позволяет «перенестись» в любую точку планеты и рассчитать расстояние между двумя точками на поверхности Земли.

Таким образом, расстояние между Токио и Барселоной составляет около 10407 км. Пожалуй, самое удивительное, что этот результат может быть получен лишь с помощью координат на карте мира.

Современные технологии позволяют рассчитывать расстояния с гораздо большей точностью. Такие программы, как Google™ Планета Земля, позволяют сделать эти расчеты очень быстро и точно. Например, Google™ Планета Земля показывает, что расстояние от Барселоны до Токио равно 10442,62 км.

Расчеты, сделанные вручную, как, например, приведенные выше, не слишком отличаются от результатов специализированного программного обеспечения. Результат программы Google™ Планета Земля отличается от нашего лишь на 35 км. Однако эти компьютерные программы позволяют вычислять расстояния между конкретными точками, например, между конкретными зданиями на той или иной улице.

Такие сложные расчеты невозможно сделать с помощью обычной бумажной карты мира. На самом деле использование компьютеров породило новую область геометрии под названием вычислительная геометрия.

Наш рассказ о геометрии поверхности Земли мы закончим классическим описанием сферы из диалога Платона «Тимей, или О природе»:

«По такой причине Бог построил во всем его разнообразии единое целое, совершенное и непричастное дряхлению и недугам. Что касается формы целого, то ему подобают такие очертания, которые содержат в себе все другие. Именно поэтому Он округлил Землю до состояния сферы, поверхностъ которой повсюду равно отстоит от центра. Эти очертания из всех очертаний наиболее совершенные и подобные самим себе, потому что подобное он нашел в мириады раз более прекрасным, чем неподобное».

Искривлённые миры — Математическая составляющая

Искривлённые миры Поделиться    

Искандер Асанович Тайманов

В далёкой древности было замечено, что поверхность Земли не является плоской. Об этом говорило, например, такое наблюдение: когда на горизонте появляется корабль, то сначала видны верхушки мачт, и только потом появляется весь парусник. Предположение, что форма Земли — шарообразная, возникло незадолго до Пифагора. Экспериментальное подтверждение гипотезы принадлежит, видимо, Аристотелю, приводившему следующий довод. Во время лунного затмения меняющаяся граница тени Земли в каждый момент времени является дугой окружности, а только у шара граница тени при всех проекциях круговая.

Но планета — только часть трёхмерного пространства, «живущего» в четырёхмерном пространстве‐времени. И в XX веке физики пришли к выводу, что фундаментальный вопрос о природе тяготения можно объяснить если связать его с кривизной пространства.

Чтобы читатель смог подойти к понятию кривизны в многомерном пространстве, рассмотрим с разных точек зрения «привычную» кривизну поверхности. На страницах книги это понятие встречалось в сюжетах «Ломтик пиццы» и «Футбольный мяч». Во многих случаях, в том числе и в утверждении о невозможности создания плоской карты Земли без искажений («Картографические проекции»), основную роль играет теорема Гаусса о кривизне.

Начнём разговор с прямого, полученного Эйлером в середине XVIII века ещё до появления теоремы Гаусса, объяснения того, что даже небольшой участок сферы не картографируется без искажений на плоскую область, т. е. его нельзя отобразить на плоскость так, чтобы сохранялись длины всех линий (а следовательно, и площади областей). Для этого достаточно проследить за «судьбой» окружности небольшого радиуса (её длиной, кругом, который она ограничивает, и его площадью).

На плоскости кратчайший путь, соединяющий пару различных точек, — отрезок прямой. Точки, которые отстоят от заданной на расстояние $r$, образуют окружность радиуса $r$ с центром в данной точке. Чтобы узнать, как выглядят на сфере кратчайшие пути и множества точек, равноудалённых от данной, проведём геометрический эксперимент.

На плоскости окружность радиуса $r$ можно нарисовать с помощью натянутой нити длины $r$, один конец которой закреплён. На глобусе, закрепив один конец достаточно короткой нити в полюсе и натянув её вдоль поверхности, получим отрезок меридиана. Длина этого отрезка — кратчайшее расстояние между точками, в которых оказались концы нити. Всевозможные положения незакреплённого конца натянутой нити составляют одну из параллелей на глобусе, это и есть множество точек, равноудалённых от полюса на расстояние, равное длине нити.

Параллель состоит из точек, удалённых на расстояние $r$ от данной, поэтому должна перейти в окружность радиуса $r$ на плоскости (такая окружность определяется распрямлением нити). Но длины должны сохраняться не только вдоль меридианов, в частности, длина параллели должна равняться длине её образа — окружности радиуса $r$, а это, очевидно, не так.

Уточним это экспериментальное доказательство с помощью аналитических формул. Из них мы увидим, как искажение длины «окружности» на сфере связано с понятием кривизны.

Расстояние между двумя точками на поверхности определяется как наименьшая из длин кривых, соединяющих эти точки и лежащих на этой поверхности. Это определение аналогично определению расстояния между точками на плоскости. На плоскости кратчайшей кривой является отрезок, соединяющий точки. На сфере кратчайшая кривая между двумя точками — это меньшая дуга большой окружности, которая получается в пересечении сферы с плоскостью, проходящей через эти точки и центр сферы.

Большие окружности на сфере и прямые линии на плоскости являются примерами геодезических. Так называются линии, у которых все достаточно короткие отрезки являются кратчайшими путями, соединящими их концы. Например, на сфере единичного радиуса большие окружности являются геодезическими, но кратчайшими путями между их концами являются дуги длины, не большей, чем $π$. Заметим, что две противоположные точки на сфере связаны бесконечным числом кратчайших линий — отрезков меридианов.

Множество точек на сфере, равноудалённых от данной точки $P$ на расстояние $r$, естественно назвать окружностью (с центром в точке $P$ и радиуса $r$). В геометрии окружающего трёхмерного пространства — это параллель $Z_r$, которая получается при пересечении сферы с плоскостью, т. е. обычная окружность. Отметим, что если $R$ — радиус сферы, то с ростом $r$ от 0 до $π R/2$ (до «экватора») «физические» размеры параллели $Z_r$ увеличиваются, а с дальнейшим увеличением $r$ начинают уменьшаться и при $r=π R$ окружность превращается в точку. Употребление слова «параллель» не на глобусе, а на сфере оправдано «равноправием» её точек. При вращении сферы вокруг её центра сферические расстояния между точками не меняются, а в выделенную точку «полюс» таким преобразованием можно перевести любую точку.

Вернёмся к основной задаче и ответим на вопрос, почему нельзя без искажений картографировать поверхность глобуса на плоскую область.

Например, если бы небольшую круглую шапочку, окружающую полюс на глобусе, можно было «точно» картографировать на плоскость, то образом граничной параллели $Z_r$ была бы обычная окружность радиуса $r$ на плоскости. При этом точность картографирования должна была бы обеспечить совпадение длин путей и, как следствие, площадей областей.2}$, а также плоскости — в этом случае кривизна в каждой точке равна нулю.

Ещё одну трактовку кривизны даёт сравнение треугольников на плоскости и в сферическом мире. Например, отличие сферы (как и любой другой «кривой поверхности») от плоскости проявится, если сравнить на этих поверхностях результаты параллельного переноса вектора вдоль замкнутого пути.

Параллельный перенос вектора из одной точки в другую вдоль геодезической реализуется семейством векторов, приложенных ко всем точкам отрезка геодезической так, что их длины и угол между векторами и геодезической сохраняются. (В начальной точке вектор семейства совпадает с данным вектором.)

Для плоскости это определение совпадает с обычным «школьным» определением параллельного переноса. При переносе вектора вдоль сторон треугольника он перейдёт сам в себя. Но в искривлённом пространстве, например на сфере, это уже не так.

Сферическим треугольником называется фигура, ограниченная дугами трёх больших окружностей (стороны треугольника — отрезки геодезических, кратчайшие пути, соединяющие вершины). Рассмотрим треугольник, ограниченный двумя меридианами, выходящими из полюса под углом $α$, и вырезаемым ими отрезком экватора. Вектор (ненулевой), выходящий из полюса вдоль стороны треугольника, после параллельного переноса вдоль меридиана в вершину на экваторе окажется перпендикулярен плоскости экватора. При переносе вдоль экватора в следующую вершину перпендикулярность вектора экваториальной плоскости сохранится, а после параллельного переноса вдоль меридиана в полюс получим вектор, направленный вдоль этого меридиана. Полученный вектор отличается от исходного (они образуют угол $α$), в этом несовпадении проявляется кривизна сферы.

В рассмотренном треугольнике сумма углов равна $\frac{π}{2}+\frac{π}{2}+α=π+α$, т. е. больше, чем $π$ (это в радианной мере, а в градусной получается, что сумма углов больше $180°$). В частности, эта конструкция при $α=\frac{π}{2}$ даёт пример треугольника на сфере с тремя прямыми углами.

Отталкиваясь от того, что площадь поверхности сферы радиуса $R$ равна $4π R^2$, можно найти площадь рассмотренного треугольника: $S(α)=α R^2$.2}$. С помощью этих соотношений для суммы углов этого треугольника получается формула $π+α=π+K\>S(α)$, т. е. гауссова кривизна и здесь выступает как мера отличия поверхности от плоскости. Это частный случай формулы Гаусса—Бонне, позволяющей даже на поверхности с кривизной, меняющейся от точки к точке, связать отклонение суммы углов треугольника от $π$ с гауссовой кривизной.

В евклидовой геометрии через точку, лежащую вне заданной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. В этом состоит аксиома о параллельных прямых (она ещё известна как «пятый постулат» Евклида). Отрицать аксиому Евклида можно двумя способами: либо утверждать, что через точку не проходит ни одна параллельная прямая, либо — что проходит несколько параллельных прямых.

Первый вариант реализуется в сферической геометрии: аналоги прямых — большие окружности (геодезические). Любая пара таких линий пересекается в двух точках, т. е. параллельных «прямых» нет. Но надо отметить, что в сферической геометрии нарушается ещё более важный принцип — единственность прямой, проходящей через две точки. На сфере через диаметрально противоположные точки проходит бесконечно много «прямых» — больших окружностей.

Другая форма отказа от постулата о параллельных прямых стала основой геометрии, теоретически построенной Николаем Ивановичем Лобачевским. (Первые примеры пространств, в которых геометрия Лобачевского реализуется, были найдены только через сорок лет после первых работ Лобачевского о «воображаемой геометрии».)

Лобачевский вывел все аналитические формулы новой теории, оснастил её вычислительными инструментами. Оказалось, что если понимать под треугольниками фигуры, составленные из трёх отрезков геодезических, то возникают нетривиальные соотношения между длинами сторон и углами треугольников, которых нет в евклидовой геометрии. В частности, сумма углов треугольника всегда меньше, чем $π$ (в сферической геометрии — больше, чем $π$).

Французский математик Лежандр, пытаясь вывести постулат о параллельных из других аксиом Евклида, доказал, что если существует хотя бы один треугольник с суммой углов, равной $π$, то постулат о параллельных выполняется.

Аналоги рассмотренных на сфере функций $\skew4\tilde \ell (r)$ и $\tilde S(r)$ в геометрии Лобачевского выглядят точно так же, как в сферической геометрии, только вместо тригонометрических функций появляются гиперболические (геометрию Лобачевского часто называют гиперболической). Вид приближённых формул для $\skew4\tilde \ell (r)$ и $\tilde S(r)$ тоже сохраняется, надо только учесть, что гауссова кривизна в этой геометрии отрицательная: $K<0$.

Правильное обобщение кривизны на многомерные пространства основано на понятии параллельного переноса. Мы уже продемонстрировали, что на круглой (обычной) сфере такой перенос вектора вдоль замкнутого пути, вообще говоря, не переводит его в себя, а различие двух векторов связано с кривизной сферы.

В современной физике одно из основных положений состоит в том, что сила тяготения (притяжения), физическое взаимодействие, по сути есть геометрическая характеристика нашего пространства — его кривизна.

Единицы измерения направлений для редактирования—ArcGIS Pro

Инструменты редактирования, задающие направление, позволяют вводить значения направления в полярных направлениях, азимутах или румбах с квадрантами. Направление по умолчанию зависит от локальных настроек, а единицы измерения углов устанавливаются в градусах. Эти параметры можно изменить и сохранить для каждого проекта.

В следующих разделах описываются настройки единиц измерения направления и углов, доступные в диалоговом окне проекта Опции.

Инструкции по изменению единиц измерения направления и углов см. Настройка единиц измерения для редактирования.

При включении коррекции пересчета полевых измерений в грид к направлениям применяется угол сдвига, а расстояния умножаются на коэффициент расстояния. Это происходит в режиме реального времени при создании геометрии с помощью инструментов построения и ввода значений направления и расстояния.

Более подробно см. в разделе Включение и выключение коррекции пересчета полевых измерений в грид.

Полярный

Полярные углы измеряются против часовой стрелки от положительной оси x, начиная с нуля. Угловые значения возрастают в направлении против часовой стрелки и уменьшаются по часовой стрелке.

Это установка по умолчанию.

Северный азимут

При использовании северного азимута, угол направления измеряется от линии меридиана по часовой стрелке, начиная с направления на север.

Южный азимут

При использовании южного азимута, угол направления измеряется от линии меридиана по часовой стрелке, начиная с направления на юг.

Румб (с квадрантами)

В системе румбов компасная шкала делится на четыре равных сегмента по 90 градусов. Направление линии измеряется как угол от опорного меридиана: либо северного или южного, либо к востоку или западу.

Румбы записываются в виде: меридиан, угол и направление. Например, значение N 25 W определяет угол 25 градусов к западу, измеренный от направления на север. Значений S 18 E определяет угол 18 градусов к востоку, измеренный от направления на юг.

Допустимыми входными данными являются следующие форматы:

• [N или S] dd.dddd [E или W], где dd.dddd указывается в десятичных градусах.
• [N или S] dd-mm-ss [E или W], где dd-mm-ss указывается в градусах, минутах и секундах через тире.

  Для этого формата необходимо, чтобы для угловые единицы были заданы как градусы/минуты/секунды.

• dd.dddd-[1 или 2 или 3 или 4], где dd.dddd указано в десятичных градусах, после тире (-) следует один из числовых кодов:
  • 1 = Северо-восточный — СВ
  • 2 = Юго-восточный — ЮВ
  • 3 = Юго-западный — ЮЗ
  • 4 = Северо-западный — СЗ

Градусы

Градусы — это стандартная единица для угловых измерений, где один градус представляет собой 1/360 дуги окружности и доли градуса представляются десятичными значениями.

Это установка по умолчанию.

Градусы, минуты и секунды (DMS)

Градусы/минуты/секунды также используют градусы, но доли градуса выражаются минутами и секундами, где одна минута равна 1/60 градуса, а одна секунда равна 1/60 минуты.мм’сс.сс»

Радианы

Радианы — это единица измерения плоских углов в СИ. В полной окружности два Пи или примерно 6.28318 радиан. Один радиан равен примерно 57.296 градусам. Длина дуги окружности с углом в один радиан равна радиусу дуги.

Грады

Грады — это единицы измерения углов, в которых прямой угол разделяется на 100 частей. Один град равен 1/400 дуги окружности.

Гоны

Гоны — это то же самое, что и грады. Один гон равен 1/400 окружности. Термин гон используется в основном в немецком, шведском и других северо-европейских языках, в которых слово град означает градус.

---

Отзыв по этому разделу?

Начертательная геометрия

12.7.1. Способ цилиндров

Способ цилиндров состоит в том, что данную поверхность вращения разбивают с помощью меридианов на сравнительно узкие, равные между собой доли, затем каждую такую долю заменяют описанной цилиндрической поверхностью, которая касается данной поверхности в точках среднего меридиана доли (рис. 159). Границами цилиндрической поверхности будут плоскости меридианов, ограничивающих рассматриваемую долю.

Рассмотрим применение этого способа для построения развертки поверхности сферы.

Разбить сферу при помощи меридианов на шесть равных частей (рис. 160). Каждая из образовавшихся частей проецируется на П₁ в виде сектора I₁–4₁–II₁. Рассмотрим построение условной развертки одной части сферы, средним меридианом которой является главный меридиан l. Прежде всего, эту часть сферы заменяют цилиндрической поверхностью Ф(Ф₁,Ф₂), описанной около нее.

Oбразующие цилиндрической поверхности, ось которой q(q₁,q₂)⊥ П₂, являются фронтально-проецирующими прямыми. Горизонтальной проекцией этого цилиндрического элемента является треугольник ∆A₁B₁O₁, а фронтальной проекцией – контур сферы. На рис 159 показано наглядное изображение цилиндра, заменяющего часть сферы.

Рис. 159. Способ цилиндров

Для построения развертки этой цилиндрической поверхности (лепестка) фронтальную проекцию l₂ главного меридиана нужно разделить на шесть равных частей точками 1, 2, 3, 4… и провести через точки деления горизонтальные проекции образующих цилиндрической поверхности. Затем меридиан нужно «выпрямить», то есть дуги 1-2, 2-3, 3-4 заменить хордами 1₂-2₂, 2₂-3₂, 3₂-4₂. Для этого на плоскости П₁ через точки 1, 2, 3, 4 провести дуги в пределах одной доли и заменить длину каждой дуги соответствующей касательной A₁B₁, C₁D₁, E₁F₁.

Для построения развертки одной из шести долей в произвольном месте провести вертикальную ось симметрии и отложить на ней отрезки 1₂-2₂, 2₂-3₂, 3₂-4₂ с плоскости П₂, то есть длину очерковой образующей, замененную хордами:

Через точки 1₀, 2₀, 3₀, 4₀ провести горизонтальные линии и отложить на них следующие отрезки:

Соединив полученные точки плавной кривой линией, получают развертку одной доли данной сферы, равной 1/6 ее части. Развертки остальных долей являются повторением первой. Обычно сферу, как и любую другую поверхность вращения, разбивают на двенадцать и более частей для получения более точной развертки.

Рис. 160. Построение развертки сферы способом цилиндров

Чтобы нанести на развертке точку L (см. рис. 160), принадлежащую сфере, нужно предварительно повернуть ее до совмещения с главным меридианом l, получив L'(L’₁, L’₂). Затем измерить на П₂ расстояние от повернутого положения точки L (L’₂) до ближайшего деления меридиана (в данном случае это расстояние L’₂3₂), а на П₁ измерить расстояние от точки L до проекции среднего меридиана доли, на которой находится точка L.

При помощи этих двух расстояний строится на развертке нужной доли точка L₀, соответствующая данной точке L (равенство соответствующих отрезков обозначено специальными значками).

Рассмотрим построение развертки способом цилиндров на примере поверхности тора (1/4 кольца) (рис. 161):

Рис. 161. Построение развертки кольца способом цилиндров

1. Поверхность кольца разделить фронтально-проецирующими плоскостями β(β₂),δ(δ₂)… на равные части. В итоге вся поверхность кольца разбивается на двенадцать равных частей, из которых на рис 161 показаны только три.

Каждая из частей заменяется поверхностью прямого кругового цилиндра, диаметр которого равен диаметру сечения кольца.

2. Построить окружность – натуральную величину нормального сечения и разделить ее на шесть равных частей точками 0,1, 2, 3, 4, 5, 6. Перенести эти точки на плоскость (торец) тора и провести через них дуги окружности в пределах одной доли (части). Заменить длины дуг длинами их касательных: AB(A₂B₂), CD(C₂D₂), EF(E₂F₂), GH(G₂H₂), KL(K₂L₂), MN(M₂N₂) и PQ(P₂Q₂). Таким образом, ширина развертки приравнивается к сумме длин касательных.

3. На произвольной вертикальной (или горизонтальной) линии отложить длины хорд 0₁-1₁=0₀1₀, 1₁-2₁=1₀2₀, 2₁-3₁=2₀3₀, 3₁-4₁=3₀4₀, 4₁-5₁=4₀5₀, 5₁-6₁=5₀6₀, то есть ширина развертки приравнивается к сумме длин касательных.

4. Через эти точки деления 0₀, 1₀, 2₀, 3₀, 4₀, 5₀, 6₀ провести перпендикуляры, на которых отложить следующие отрезки:

5. Соединить полученные точки, для построения развертки одной доли кольца.

Нанесение на развертке поверхности кольца произвольных точек производится точно так же, как и в случае нанесения точек на развертке сферы.

На рис 161 показано построение на развертке точки S, принадлежащей поверхности кольца (равенство соответствующих отрезков обозначено специальными значками).

ГЕОДЕЗИЯ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ 🏛Древняя Греция – колыбель геометрии и там берет свои корни геометрическое нивелирование. Именно там и появился прародитель первого нивелира – хоробат (6 метровый! разрезанный вдоль ствола бамбука или желоб с водой). ✅В это же время Герон Александрийский подвел итог всему, что было достигнуто в геодезии ранее, он описал правила земельной съемки и дал описание диоптры – прибора для измерения горизонтальных и вертикальных углов (вот и появился первый «теодолит»). 🌐Чем еще отличился тот период? 🗺Его знания в области астрономии, геодезии и географии помогли создать карту Земли, которой пользовались до конца I в. н. Э. 🌐Тогда же впервые мир узнал такие простые и ясные нам сейчас понятия широты и долготы, а все это благодаря трудам Гиппарха, он первый определял местоположение пунктов земной поверхности из астрономических наблюдений. 🏝Однако, Землю древние греки представляли себе все еще плоским кругом, покрытым водой. В центре этого круга возвышался островок Земли. Исправить такое неверное представление о Земле удалось Мартину Тирскому, он принял землю за шар и первым нанес на карту полную градусную сеть.🌍 ✅ИТОГОМ того периода для геодезии стало заложение основных принципов съемочных работ, которые актуальны до сих пор. #историягеодезии #древняягреция #геодезиявтренде #геодезическиеприборы #геодезия #геодезическиеработы #картография #инженернаягеодезия #нивелирование #диоптра #герон #эратосфен #минск #cartography #geodesia #gismapping #mapdesign #mapping… — Топографо-геодезическое республиканское унитарное предприятие «Белгеодезия»

ГЕОДЕЗИЯ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ

🏛Древняя Греция – колыбель геометрии и там берет свои корни геометрическое нивелирование. Именно там и появился прародитель первого нивелира – хоробат (6 метровый! разрезанный вдоль ствола бамбука или желоб с водой).

✅В это же время Герон Александрийский подвел итог всему, что было достигнуто в геодезии ранее, он описал правила земельной съемки и дал описание диоптры – прибора для измерения горизонтальных и вертикальных углов (вот и появился первый «теодолит»).

🌐Чем еще отличился тот период? — Эратосфен Киренский измерил часть меридиана и вычислил окружность Земли, близкую к действительности, и это в 240 г. до н. э. представляете?
🗺Его знания в области астрономии, геодезии и географии помогли создать карту Земли, которой пользовались до конца I в. н. Э.

🌐Тогда же впервые мир узнал такие простые и ясные нам сейчас понятия широты и долготы, а все это благодаря трудам Гиппарха, он первый определял местоположение пунктов земной поверхности из астрономических наблюдений.

🏝Однако, Землю древние греки представляли себе все еще плоским кругом, покрытым водой. В центре этого круга возвышался островок Земли. Исправить такое неверное представление о Земле удалось Мартину Тирскому, он принял землю за шар и первым нанес на карту полную градусную сеть.🌍

✅ИТОГОМ того периода для геодезии стало заложение основных принципов съемочных работ, которые актуальны до сих пор.

#историягеодезии #древняягреция #геодезиявтренде #геодезическиеприборы #геодезия #геодезическиеработы #картография #инженернаягеодезия #нивелирование #диоптра #герон #эратосфен #минск #cartography #geodesia #gismapping #mapdesign #mapping #arcgis #kbpanorama #credo

определение меридиана по The Free Dictionary

«Прошлым летом я ездил, как вы знаете, проходить семестр в жаркую погоду в городке Меридиан. Родственник, в доме которого я намеревался остановиться, был болен, поэтому я стал искать другое жилье. В этот момент солнце прошло через меридиан. Через несколько секунд Барбикен быстро записал результат своих наблюдений и сказал: «Какая польза от Северных полюсов и экваторов Меркатора, тропиков, зон и линий меридиана?» Итак, Беллман плакал, и команда отвечала «Это просто условные знаки! Они наполняют мою душу Красотой (которая есть Надежда), И находятся далеко на Небесах — звезды, перед которыми я преклоняю колени В печальных, безмолвных часах моей ночи; Хотя даже в дневном свете меридиана я все еще вижу их — две сладко мерцающие Венеры, не погашенные солнцем! Природа, у которой много тепла, великие и неистовые желания и возмущения, не созрела для действий, пока они не минуют меридиан. их лет; как это было с Юлием Цезарем и Септимием Севером.«Да, — продолжил он с презрительной улыбкой, — взрыв первого меридиана обязательно вызовет вопль проклятия». Эти знаменитые часы всегда регулировались по гринвичскому меридиану, который теперь находился примерно на семьдесят семь градусов к западу. , медленнее было по крайней мере на четыре часа. И так же, как выводы астрономов были бы тщетными и неопределенными, если бы они не основывались на наблюдениях видимого неба по отношению к одному меридиану и одному горизонту, так и мои выводы были бы напрасными и неопределенный, если не основанный на той концепции права, которая была и будет всегда одинакова для всех людей, которая была открыта мне как христианину и которой всегда можно доверять в моей душе.Я не могу не пообещать себе с такого рассвета, что меридиан этой юности будет равен меридиану старшего или младшего Брута ». Далеко на юге солнце неуклонно поднималось к меридиану, но между ним и замерзшим Юконом вмешалась выпуклость земли. «Я нахожусь за границей ночью, моя хорошая девочка, потому что Земля в своих суточных оборотах оставляет свет солнца, но половину времени на любом заданном меридиане, и потому что то, что я должен сделать, не может быть выполнено через двенадцать или пятнадцать часов подряд.20 июля тропик Козерога был рассечен на 105 градусов долготы, и 27 числа того же месяца мы пересекли экватор на 110-м меридиане. После этого фрегат взял более решительное западное направление и прочесал центральные воды Тихого океана.

vik dhillon: phy105 — сферическая геометрия

vik dhillon: phy105 — сферическая геометрия — положение на поверхности земли


---

Чтобы увидеть, как некоторые из сферической геометрии, описанной выше, могут найти хорошее применение, давайте рассмотрим повседневный пример — измерение положения и расстояния на поверхности Земли.Вращение Земли вокруг своей оси представляет очевидную средства определения системы координат для поверхности Земли. Две точки, где ось вращения встречается с поверхностью Земли. известны как северный полюс и южный полюс и большой круг перпендикулярно оси вращения и лежа На полпути между полюсами называется экватором . Великие круги которые проходят через два полюса, известны как меридианов и маленькие кружочки, которые лежат параллельно экватору, известны как параллелей .Рисунок 5 и Рисунок 6 иллюстрирует приведенные выше определения.

рисунок 5:

северный полюс , южный полюс , экватор и параллельно




Любая точка на поверхности Земли может быть определена двумя координатами: широта и долгота , как показано на рисунке 7.

Долгота точки измеряется на востоке или западе вдоль экватора и его значение — угловое расстояние между местным меридианом, проходящим через точку, и гринвичским меридианом (который проходит через Королевскую Гринвичскую обсерваторию в Лондоне).Поскольку Земля вращается, долготу можно выразить во времени единиц, а также угловых единиц. Земля вращается на 360 ° примерно за 24 часа. часы. Следовательно, Земля вращается на 15 ° долготы за 1 час, на 1 ° долгота за 4 минуты, 1´ долготы за 4 секунды и 1´´ долготы за 1/15 секунды.

Широта точки — это угловое расстояние к северу или югу от экватора, измеряется по меридиану, проходящему через точку. Родственный термин — это cоширота , которая определяется как угловое расстояние между точка и ближайший полюс, измеренный по меридиану, проходящему через точка.Другими словами, сотая широта = 90 ° — широта.

рисунок 7:

широта и долгота



Расстояние на поверхности Земли обычно измеряется в морских милях , где одна морская миля определяется как расстояние, проходящее под углом в один угловая минута в центре Земли. Скорость в одну морскую милю в час составляет известен как один узел и представляет собой единицу, в которой скорость лодки или самолет обычно измеряется.

Обратите внимание: поскольку Земля не является настоящей сферой (на самом деле это геоид ) фактическое измерение положения и расстояния на Поверхность Земли сложнее, чем указано выше — см. Страницы 47-50. Роя и Кларка — но приведенное выше описание достаточно точное для наших целей.

---

© Вик Диллон, 30 сентября 2009 г.

большой круг | Национальное географическое общество

Большой круг — это наибольший круг, который можно нарисовать вокруг сферы.На всех сферах есть большие круги. Если вы разрежете сферу по одному из больших кругов, вы разрежете ее ровно пополам. Большой круг имеет ту же окружность или внешнюю границу и ту же центральную точку, что и его сфера. Геометрия сфер полезна для картографии Земли и других планет. Земля не является идеальной сферой, но сохраняет общую форму. Все меридианы на Земле — большие круги. Меридианы, включая нулевой меридиан, — это линии с севера на юг, которые мы используем, чтобы точно описать, где мы находимся на Земле.Все эти линии долготы пересекаются на полюсах, аккуратно разрезая Землю пополам. Экватор — еще один большой круг Земли. Если бы вы врезались в Землю прямо на ее экваторе, у вас были бы две равные половины: северное и южное полушария. Экватор — единственная линия восток-запад, которая представляет собой большой круг. Все остальные параллели (линии широты) сужаются по мере приближения к полюсам. Большие круги можно найти на сферах размером с планеты и маленьких, как апельсин. Если разрезать апельсин ровно пополам, линия, которую вы разрежете, будет большим кругом апельсина.И пока вы не съедите одну или обе половинки, у вас будут два одинаковых полушария одного апельсина. Большие круги также полезны при планировании маршрутов. Кратчайший путь между двумя точками на поверхности сферы — это всегда отрезок большого круга. Построение больших кругов очень удобно для пилотов самолетов, пытающихся пролететь кратчайшее расстояние между двумя точками. Например, если вы летели из Атланты, штат Джорджия, в Афины, Греция, вы могли бы пролететь примерно по траектории одного из больших кругов Земли, который был бы кратчайшим расстоянием между этими двумя точками.Однако при планировании маршрутов пилоты должны учитывать другие факторы, такие как воздушные потоки и погоду. Большие круги — это просто общие пути, по которым нужно идти.

географическая система координат

Географический система координат — это трехмерная система отсчета, которая определяет местонахождение точки на поверхности Земли. Единица измерения обычно десятичная. градусов. У точки есть два значения координат: широта и долгота. Широта и долгота измеряют углы.

Широта определяется как угол, образованный пересечением прямой, перпендикулярной к поверхности Земли в точке и плоскости экватора. Точки к северу от экватора имеют положительные значения широты, а точки на юг имеют отрицательные значения. Значения широты колеблются от -90 до +90 градусов. Линии широты также называют параллелями, потому что определенное значение широты образует окружность, параллельную экватору.

Меридиан или линия долготы образована плоскостью, проходящей через точка и Северный и Южный полюса.Значение долготы определяется углом между этой плоскостью и базовой плоскостью. Базовая плоскость известен как нулевой меридиан. Наиболее распространенные проходы нулевого меридиана через Гринвич, Великобритания. Другие примеры нулевых меридианов в использовать проезд через Париж и Богот. Значения долготы варьируются от -180 до +180 градусов.

Несмотря на то, что географические координаты являются угловыми единицами, ArcSDE сохраняет и обрабатывает их, как если бы они были плоскими. В этом случае значения долготы считаются Координата x, а значения широты — координата y.

Географическая система координат состоит из следующих компонентов:

• Угловые единицы: единица измерения в сферической системе отсчета.
• Сфероид: эталонный сфероид для преобразования координат.
• Datum: Определяет отношение эталонного сфероида к поверхности Земли.
• Главный меридиан: начало долготы сферической системы отсчета.

Следующий пример представляет собой строку, представляющую географическую систему координат на основе WGS. Дата 1984 г.

GEOGCS [«GCS_WGS_1984», DATUM [«D_WGS_1984», SPHEROID [«WGS_1984», 6378137, 298.257223563]], PRIMEM [«Гринвич», 0], UNIT [«Градус», 0,0174532925199433]]

Система координат слоя хранится в таблице LAYERS в виде текстовой строки. это может быть до 1024 символов.

См. Также

Дизайн теста по математике

— Новый меридиан

Суммативные экзамены по математике доступны в 3–8 классах и в старших классах.Учащиеся решают многоступенчатые математические задачи, которые требуют рассуждений и обращаются к реальным ситуациям. Это требует от учащихся математических рассуждений, понимания величин и их взаимосвязей для решения реальных задач и демонстрации своего понимания. Многие предыдущие оценки были сосредоточены в основном только на механической процедуре.

Существуют документы со спецификациями тестов, включая схемы оценок высокого уровня и таблицы доказательств, чтобы помочь преподавателям и широкой общественности лучше понять структуру итоговых оценок штата.Экзамены включают как полную, так и краткую формы New Meridian.

Дескрипторы уровня успеваемости описывают, что типичный учащийся на каждом уровне должен уметь продемонстрировать на основе его / ее владения стандартами уровня своего класса.

Схема высокого уровня по математике определяет общее количество задач и / или элементов для любой данной оценки / курса, типы элементов и значения баллов для каждого из них.

Структура блока оценивания по математике определяет структуру экзаменов по математике, включая количество блоков, время и назначение калькулятора для каждого блока.

Документ о структуре утверждений определяет основное утверждение оценок по математике, а также четыре дополнительных утверждения, в которых будут измеряться достижения учащихся.

Таблицы заявлений о доказательствах и Заявления о доказательствах описывают знания и навыки, которые элемент оценки или задача извлекает у учащихся. Они согласованы непосредственно с Общими основными государственными стандартами и подчеркивают их достижения, особенно в отношении согласованного характера стандартов.

Доказательства включают информацию о «Разъяснениях, пределах и акцентах», связанных «Математических методах» и «Обозначения калькулятора.”

Свидетельские документы

Дескрипторы успеваемости по математике — 3–11 классы

Результаты представлены в соответствии с пятью уровнями успеваемости, которые определяют знания, навыки и практические навыки, которые студенты могут продемонстрировать:

• Уровень 1. Еще не оправдал ожиданий
• Уровень 2: Частично оправдал ожидания
• Уровень 3: Соответствие ожиданиям
• Уровень 4: оправдал ожидания
• Уровень 5: Превышение ожиданий

Дескрипторы уровня успеваемости (PLD) указывают, что типичный учащийся на каждом уровне должен уметь продемонстрировать на основе его / ее владения стандартами уровня своего класса.По математике уровни успеваемости для каждого класса записываются для каждого из четырех оценочных утверждений:

• Основное содержание
• Дополнительный и вспомогательный контент
• Рассуждения
• Моделирование

Уровни производительности в каждой области требований различаются по ряду факторов, согласующихся с включением в Common Core стандартов как для математического содержания, так и для математических практик, а также для Cognitive Complexity Framework for Mathematics.

Дескрипторы уровня успеваемости по шкале оценок

Репетитор по математике, Справка по алгебре, Геометрия, Тригонометрия, Исчисление, Справка по ACT, Меридиан, Бойсе ID

Наши специально обученные инструкторы по математике научат вашего ребенка понимать математику в индивидуальной обстановке; наш уникальный подход позволяет нам действительно хорошо объяснять концепции и протягивать руку помощи каждому ученику. Наши репетиторы создают заботливую и вдохновляющую среду, которая помогает детям развиваться и учиться! Читайте ниже, чтобы узнать больше о нашей талантливой команде:

Аманда Патрино, директор центра

Аманда с отличием окончила Государственный университет Бойсе.Она получила степень бакалавра начального образования с подтверждением по математике в средней школе и средним сертификатом испанского языка. Аманда очень любит учиться и увлечена работой со студентами. Ее опыт преподавания зажег ее стремление помочь студентам развить математические знания и повысить их академическую уверенность. В свободное время Аманда любит заниматься активным отдыхом на свежем воздухе, например, кемпингом, рыбалкой и каякингом.

Интересный факт: Я стал соучредителем стипендии в Государственном университете Бойсе.

Образование: Бакалавр искусств в области начального образования со специализацией в математике в средней школе и средним сертификатом испанского языка.

Почему я люблю Mathnasium: Я люблю Mathnasium, потому что я могу видеть этот момент «ага!» У студентов. Мы делимся этими моментами со студентами, показывая им, насколько увлекательной может быть математика! Нет ничего лучше, чем наблюдать, как растет их любовь к математике.

Райан Картер, помощник директора центра

Райан — уроженец штата Айдахо, окончил среднюю школу Fruitland по классу прощального слова с 4.0 ГПД. В настоящее время он является старшим преподавателем в Государственном университете Бойсе по специальности математика со средним образованием. Он станет третьим подряд поколением учителей математики в своей семье. До Матнасиума Райан полтора года работал учителем на уровне старших и средних школ, а затем решил служить нашей стране, записавшись в армию Соединенных Штатов. Он проработал 3 с половиной года в качестве специалиста по коммуникациям компании, занимаясь поиском и устранением неисправностей в оборудовании связи военных транспортных средств и обучаясь решению проблем как индивидуально, так и в составе команды.В свободное время Райан любит проводить время с женой, смотреть фильмы и играть в видеоигры

Интересный факт: Я видел каждый фильм и сериал «Звездный путь», включая мультсериал, по несколько раз.

Образование: Выпускник среднего математического образования Государственного университета Бойсе.

Почему я люблю Mathnasium: Я люблю Mathnasium, потому что я вижу, как ученики, которые всю жизнь боролись с математикой, становятся в ней уверены.Эта программа действительно работает!

Университет

Дэн Хинц, региональный директор, частный владелец

Дэн всегда стремился помочь людям раскрыть свой потенциал и был призван преподавать математику. После школы он получил степень младшего научного сотрудника в области электронных технологий, прежде чем решил служить в армии. Он служил в командировке ВВС Германии в качестве механика истребителя F-16 и влюбился в миссию и людей.Он решил сделать карьеру военно-воздушных сил и получил степень бакалавра математики в Университете Центрального Вашингтона, посещая ROTC. Он имеет несколько степеней магистра наук, связанных с его карьерой в ВВС. Дэн проработал 22 года в ВВС, руководя тысячами мужчин и женщин и управляя широким спектром программ материально-технического обеспечения, включая требования к флоту Air Force One президента США и многие типы боевых самолетов. Он ушел на пенсию, чтобы проводить больше времени с женой и шестью детьми и мечтать всю жизнь преподавать математику.Старшеклассники назвали его Учителем года, и он получил 100% высшие оценки как частный репетитор. Тем временем он искал, почему математика казалась такой простой для людей в других странах, но была такой сложной задачей для многих американцев. Он нашел ответ в Mathnasium и сразу же присоединился к тому, чтобы помочь всем ученикам обрести истинное чувство числа и пожизненную уверенность в математике. Он обучал, обучал и тренировал тысячи молодых людей всю свою сознательную жизнь. Дэн и его команда стремятся помочь ученикам развить свои математические навыки и дать им уверенность в том, что они могут быть или делать в жизни все, что они хотят!

Почему я люблю Mathnasium: Это все, на что может надеяться ученик, чтобы укрепить уверенность ученика…изменить жизнь !!

Джулианна Баззард, помощник директора центра

Джулианна — уроженка Айдахо, выпускница средней школы в Миддлтоне, выпускающая курсы математики по программе «Исчисление III» и получившая средний балл 4.0. Она всегда страстно увлекалась математикой и любит помогать другим развивать математические навыки и уверенность в себе. Из-за своей любви к помощи другим, Джулианна в течение двух лет была президентом своего школьного клуба «Подростки меняют мир», а также была активным членом Национального общества чести.Джулианна сейчас учится в Государственном университете Бойсе, где получает степень в области механической и биомедицинской инженерии. Джулианна любит проводить время со своей семьей и двумя хаски, рисовать и делать что-то на открытом воздухе.

Интересный факт: Мой дедушка приехал в Америку пастухом.

Образование: На младших курсах государственного университета Бойсе, получил степень бакалавра наук в области машиностроения.

Почему я люблю Mathnasium: Для меня лучшая часть Mathnasium — это помощь студентам в моменты, когда они начинают понимать сложные математические концепции.Мне нравится наблюдать за всеми этими моментами и оглядываться назад на учеников и их родителей, чтобы увидеть, как много они действительно узнали и усвоили за короткий промежуток времени.

Йозеф Беземек, помощник директора центра

Ранее преподававший в Mathnasium в Трейси, штат Калифорния, Джозеф перешел в наш центр в конце 2018 года. Он начинающий учитель и получает ученую степень по математике и физике в штате Бойсе. Джозеф любит учиться и с удовольствием выясняет, как все работает, что делает его незаменимым инструктором для студентов, решающих сложные математические задачи, и для нашей команды, когда у нас возникают проблемы с нашими компьютерами, а иногда и с автомобилями!

Интересный факт: Я изучаю Вторую мировую ради развлечения.У меня есть своя личная библиотека книг и сотни моделей танков.

Образование: Старшеклассник в Государственном университете Бойсе, изучает среднее математическое образование и физику.

Почему я люблю Mathnasium: Мне нравится работать со студентами Mathnasium и делиться с ними своими математическими знаниями. Это место, где я могу увидеть, как они учатся и имеют более глубокое понимание математики!

Эрик Саммерс, ведущий инструктор

Эрик провел большую часть своей жизни в Айдахо, проведя лишь несколько из своих ранних лет в Калифорнии.Он окончил Академию дистанционного образования штата Айдахо по специальности «выступление» со степенью младшего специалиста CWI. После этого он поступил в Университет Айдахо, где преподавал математику и получил степень бакалавра в области среднего образования с упором на математику. Он любит математику и любит помогать другим учиться. В свободное время он будет проводить время, играя в диск-гольф, видеоигры или играя со своей дочерью.

Интересный факт: Я родился в Японии.

Образование: Бакалавр гуманитарных наук в области среднего образования по математике, Университет Айдахо.

Почему я люблю Mathnasium: Я люблю Mathnasium, потому что у меня есть возможность наладить отношения со студентами и показать им, насколько увлекательна математика. Я помогаю им разобраться и бросаю им вызов.

Джеффри Уоткинс, ведущий инструктор

Джеффри вырос в городе Игл и окончил среднюю школу эпохи Возрождения, став одним из лучших в своем классе. Джеффри в настоящее время получает степень бакалавра химии со специализацией в области STEM в Государственном университете Бойсе.Джеффри любит работать с детьми и помогать им учиться и вырастать уверенными в себе молодыми людьми. До того, как присоединиться к нашей команде, он работал в YMCA советником спортивного лагеря и тренером по волейболу на песке. Джеффри всю жизнь страстно увлекался математикой и естественными науками и надеется разделить и привить такую ​​же страсть к нашим ученикам, одновременно развлекая их. В свободное время Джеффри любит играть и тренировать спортивные состязания, и в настоящее время он является помощником тренера по волейболу первокурсника в средней школе Роки-Маунтин.

Тори Саймонс, инструктор

Тори окончила среднюю школу эпохи Возрождения. У нее есть свои научные сотрудники из Университета штата Айдахо. Она будет первокурсницей в Государственном университете Бойсе, изучать информатику. Она уже прошла ряд математических курсов, в том числе «Исчисление II». Тори принимала участие во многих клубах, таких как Национальное общество чести, выступления и дебаты, а также академические десятиборьи! Она также работает помощником в 3-м классе местной начальной школы. Ей нравится работать с детьми! В свободное время она играет в Animal Crossing, тренируется на флейте и складывает оригами.

Интересный факт: Я занял 3-е место в поэтическом слэме после того, как получил больше всего аплодисментов в хайку-офф.

Образование: Первокурсник Государственного университета Бойсе, изучает информатику.

Почему я люблю Mathnasium: Я люблю Mathnasium, потому что здесь царит веселая и дружелюбная атмосфера! Каждый день я развлекаюсь с детьми, преподаю математику.

Эрик Джонсон, инструктор

Эрик вырос в Калифорнии с двумя братьями и пятью сестрами.Он провел два года в командировке в Колорадо-Спрингс, затем посетил Калифорнийский политехнический государственный университет, изучая аэрокосмическую инженерию. В Cal Poly его старший проект занял второе место, и его пригласили выступить на Northrup Grumman. Эрик любит учить и помогать другим. Во время учебы в колледже он работал помощником учителя и руководителем группы, принимающей иностранных студентов и обучая их английскому языку. Он приехал жить в Меридиан, штат Айдахо, чтобы побыть с семьей и найти работу, обучая и помогая другим.

Интересный факт: Я из семьи из 8 детей.

Образование: Изучал аэрокосмическую инженерию в колледже.

Почему я люблю Mathnasium: Мне нравится, что Mathnasium организовывает математику таким образом, чтобы ее было легко понять. Он организует шаги и процесс математики, и благодаря этому я заметил удивительный рост у детей!

Сферическая геометрия: изучение мира с помощью математики

Сферическая геометрия: изучение мира с помощью математики

Сферический Геометрия:
Изучение мира с помощью математики




Птолемей : Изображение любезно предоставлено Альмагест эфемериды Калькулятор

Карен Франко
kffranco (at) interchange (dot) ubc (dot) ca
Student # 46347985
MATH 308, Section 102
Final Project

15 декабря 2002 г.



---


Содержание:

Я. Введение

II. Основы сферической геометрии

III. Большие круги

IV. Сферические треугольники
Повесть о двух городах: межконтинентальное применение решения Сферические треугольники

V. Вывод

Каталожные номера



---


I. Введение

Капитан Кук, математик? Малоизвестный факт, что капитан Джеймс Кук, первооткрыватель Австралии, Новой Зеландии, Папуа-Новой Гвинеи, Гавайев, Таити и др. острова в Тихом океане, получил образование как штурмана, так и математика.На самом деле математика и исследования имеют долгую историю, уходящую корнями в времена греческих и финикийских моряков.

В современном мире математика обычно рассматривается как «сидячая» наука — предмет, проблемы которого часто решаются, сидя в классе или office, а приложения часто связаны с теорией, финансами или бизнесом. Тем не мение, в дни исследований, когда было обнаружено, что мир действительно круглая, а не плоская, сферическая геометрия была неотъемлемой частью при отображении мир, в навигации по семи морям и в использовании положения звезд для наметить курсы с одного континента на другой.

Сферическая геометрия определяется как «исследование фигур на поверхность сферы »(MathWorld), и является трехмерной, сферической аналог евклидовой или планарной геометрии. На сфере две линии могут быть параллельны и все еще пересекаются друг с другом не один раз, а дважды , сумма углы треугольника больше 180, а кратчайшее расстояние между две точки на сфере находятся по периметру большого круга, который не обязательно прямая линия на плоской карте.Поскольку форма Земли примерно аппроксимированные сферой, эти свойства сферической геометрии помогли исследователям в построении карты земного шара и астрономов в построении курса планет и звезды. Сегодняшнее применение этих же свойств включает планирование полеты, круизы и спутниковые орбиты по всему миру.

II. Основы сферической геометрии

Сфера определяется как замкнутая поверхность в 3D, образованная набором точек, равных расстояние R от центра сферы, O .Радиус сферы это расстояние от центра сферы до поверхности сферы, поэтому на основе по приведенному выше определению радиус сферы = R .

Произвольная прямая (не лежащая в сфере) и сфера в трех размерное пространство может либо (а) вообще не пересекаться; (б) пересекаются в одном точка на сфере, когда линия касательная к сфере в точке точка пересечения; или (c) пересекаются ровно в двух точках, когда прямая проходит через сферу.В данном конкретном случае, если линия проходит через центр сферы и пересекает поверхность сферы в двух точках, точки пересечения образуют антиподов сферы. В Северный и Южный полюса (как магнитный, так и географический полюса) являются примерами антиподы на земном шаре.

Рисунок 1: Линия, проходящая через центр сферы; точки пересечения антиподов (PostScript файл)

III.Большие круги

Подобно линиям и сферам, произвольная прямая плоскость и сфера в трех размерное пространство не может иметь (а) пересечения; (б) одна точка пересечения, когда плоскость составляет касательной к сфере в этой точке; или (c) бесконечное количество точек пересечения, когда плоскость пересекает сфера и образует круг пересечения.

Рисунок 2: Примером меридианов долготы большие круги (анимированный PostScript)

Большие круги определяются как те круги пересечения, которые имеют общие тот же радиус R и тот же центр O , что и сфера, которую она пересекает.Как следует из их названия, большие круги — это самые большие круги пересечение можно получить, пропустив прямую плоскость через сферу. На земного шара линия или меридиан долготы образует половину большого круга, идущего от полюса к полюсу и с центром в центре Земли. Другой Пример большого круга на земном шаре — экватор, находящийся на нулевой широте.

Рисунок 3: Параллели широты являются примерами маленькие кружки (анимированный PostScript)

Представьте себе линию от Северного до Южного полюса, проходящую через центр Глобус.Круги пересечения, образованные земным шаром и плоскостью перпендикулярно этой воображаемой линии образуют линии земного шара или параллели широта. Каждый из этих кругов пересечения, за исключением Экватор, в которой плоскость находится в средней точке линии от полюса к полюсу, называются маленькие окружности именно потому, что их радиусы измеряют меньше радиуса Земли R .

Навигаторы часто использовали большие круги, чтобы найти наиболее эффективный маршрут к их пункты назначения.Оказывается, кратчайший путь между двумя точками на сфера проходит по траектории большого круга, то есть по дуге большого круга. Вы когда-нибудь задумывались, почему самолет летит из Ванкувера на Филиппины? следует по маршруту, пролегающему над Японией и Кореей, вместо того, чтобы лететь прямо линия над Тихим океаном? Или почему рейс из Нью-Йорка в Европу должен путешествовать по Приморью и почти достигать Гренландии вместо того, чтобы идти прямым путем над Атлантическим океаном? Точная причина логики взятия большого круговые пути для путешествий по миру объясняются и доказываются в следующих раздел.

IV. Сферические треугольники

Когда дуги трех больших окружностей пересекаются на поверхности сферы, Линии ограничивают область, известную как сферический треугольник . Углы между большими кругами измеряются путем вычисления угла между плоскостями на которых лежат сами большие круги. Как это возможно? Сферический угол, образованный двумя пересекающимися дугами больших окружностей, равен углу между касательными линиями, образованными, когда плоскости большого круга касаются круга в их общей точке (антипод сферы, поскольку две большие окружности пересекаются друг с другом по линии, проходящей через центр сферы).

Вы когда-нибудь слышали о треугольнике, сумма углов которого больше 180? В На рисунке ниже два меридиана долготы разделены углом 90 и обе линии долготы падают перпендикулярно экватору (единственная большая круг широты). Каждый угол в этом сферическом треугольнике равен 90, а сумма всех трех в сумме дает 270.

Рисунок 4: В этом треугольнике сумма трех углов превышает 180 (и равна 270)

Сферы имеют положительную кривизну (поверхность изгибается наружу от центра), следовательно, сумма трех углов треугольника превышает 180.В самолете с при нулевой кривизне сумма углов треугольников равна точно 180.

Как и их углы, измеряются длины сторон сферического треугольника. в градусах или радианах. В частности, длина стороны сферического треугольник равен измерению его противоположного угла. В географии угол между двумя меридианами долготы равняется тому же количеству градусов, что и дуга отрезанные этими линиями долготы на любом круге широты.Итак, в приведенном выше На рисунке каждая из сторон имеет размер 90, поскольку каждый из их противоположных углов меры 90.

Возможно, наиболее полезное применение сферических треугольников и больших кругов расчет кратчайшего маршрута между двумя точками земного шара. Этот приложение часто упоминается как решение сферических треугольников и широко использует известный закон косинусов для треугольников на плоскости: c ² = a ² + b ² — 2ab cos C .Учитывая две стороны сферического треугольник и угол между этими сторонами, решение для сферической треугольник дает длину третьей стороны.


Рисунок 5: Решение сфера


• Сферический треугольник abc образован пересечениями больших окружностей с плоскостями пересекаются в точках OA, OBQ и OCP.
• Самолет PQA частично состоит из двух касательных: AQ касательная к c и AP касательная к b , и будем называть нашу касательную плоскость.
• Следовательно, OAQ и OAP являются прямыми углами, а PAQ равен углу A противоположной стороны a .

Рисунок 6: Сеть тетраэдр, используемый для решения сферического треугольника (анимированный PostScript)

• Извлечение окруженный плоскостями тетраэдр и положив его на плоскость в виде сетки, мы исследуем 4 составных треугольника:
  • Треугольники OAQ и OAP являются прямоугольными треугольниками, поэтому, используя теорему Пифагора:
    • PO ² = AO ² + PA ²
    • QO ² = AO ² + QA ²
  • Два других треугольники, QAP и QOP являются общими плоскими треугольниками, поэтому использование закона косинуса для плоских треугольников мы видим, что
    • PQ ² = PO ² + QO ² — 2 POQO cos a
    • PQ ² = PA ² + QA ² — 2 PAQA cos A
  • Вычитание двух уравнения выше друг от друга, получаем:
    • (PO ² — PA ² ) + (QO ² — QA ² ) — (2 POQO cos a — 2 PAQA cos A) = (PQ ² — PQ ² )
    • (PO ² — PA ² ) + (QO ² — QA ² ) — 2 POQO cos a + 2 PAQA cos A = 0
  • Замена AO2 на (PO2 — PA2) и (QO2 — QA2):
    • 2 АО ² + 2 PAQA cos A = 2 POQO cos a
  • Деление на оба сторон по 2 POQO:
    • cos a = (AO / PO) (AO / QO) + (PA / PO) (QA / QO) cos A
  • Но мы знаем, что (AO / PO) = cos POA, (AO / QO) = cos QOA, (PA / PO) = sin POA и (QA / QO) = sin QOA
    • cos a = cos POA cos QOA + sin POA sin QOA cos A
  • Наконец, подставив сторона, противоположная сферическому углу, b для угла POA и c для угла QOA:
    • cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A

Следовательно, формула для третья сторона, a , сферического треугольника с двумя сторонами, b и c , а их прилегающий угол A равен

cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A



Повесть о двух городах: межконтинентальное применение решения Сферические треугольники

Рисунок 7: Изображения любезно предоставлено Maps.com

Представьте, что вам нужно найти лучший маршрут из Нью-Йорка в Лондон. Нью-Йорк географически расположен вдоль большого круга 74 0 ‘западной долготы и примерно 40 42 ‘широты к северу от экватора, что составляет 90-40 42 ‘= 49 18’ к югу от Северного полюса. Лондон же расположен вдоль большого круга долготы 0 5 ‘з.д. примерно на 51 32’ к северу от экватора, что составляет 90 — 51 32 ‘= 38 28’ к югу от Северного полюса.Стороны b и c задаются длиной дуг от Северный полюс до Нью-Йорка и Лондона соответственно, поэтому b = 49 18 ‘и c = 38 28 ‘. Угол A определяется разностью меридианов долготы для два города: A = 74 0 ‘W — 0 5’ W = 73 55 ‘.

Применение раствора cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A , получаем следующий расчет:

cos a = cos 49 18 ‘ cos 38 28 ‘ + грех 49 18 ‘ sin 38 28 ‘ cos 73 55 ‘
cos a = (0.6521 0,7830) + (0,7581 0,6221 0,2770)
cos a = 0,6412
a = 50,1186 или 50 7 ‘


Это означает, что великий расстояние по кругу между Нью-Йорком и Лондоном составляет примерно 50 7 футов. В милях, учитывая, что один градус большого круга составляет примерно 69 миль (110,4 километров), это расстояние составляет примерно 50,1151 x 69 миль = 3458 миль (5533,0934 км).


В.Вывод

Геометрия происходит от греческих слов geometria и . geometrein , что означает «измерение земли». С другой стороны, география получил свое значение от греческих слов geographia и geographein что означает «описывать или писать о земле». Можно было бы ожидать слов так похожи по смыслу, чтобы быть похожими и по концепции. Однако два поля были отдельными и отличными друг от друга до времен Древней Греции, когда Птолемей (астроном, математик и географ) использовал геометрию в своих рассуждениях подробнее о Земле и ее форме:

«В географии надо созерцать размеры всей земли, а также ее форму и ее положение под небом, чтобы можно было правильно определить, какие особенности и пропорции той части, с которой имеешь дело… Это великое и изысканное достижение математики, чтобы показать все эти вещи человеческому разуму … «


Интересно, что это было также Птолемей, а не Христофор Колумб, открывший, что Земля сферической, а не плоской, и изложил свое обоснование в Альмагест 1300 лет до того, как Колумб совершил кругосветное плавание:


«Если бы земля была плоской с востока на запад звезды взойдут для жителей Запада так же быстро, как и для восточные, что неверно.Кроме того, если бы земля была плоской с севера на юг и наоборот, звезды, которые всегда были видны любому, продолжали быть таким, куда бы он ни пошел, что неверно. Но человеческому взору это кажется плоским потому что он такой обширный ».


Подобно геометрии и географии, миры сферической геометрии (используются в география) и плоская геометрия (обычно преподается на большинстве курсов геометрии). тесно связаны и в то же время очень разные.

Любой, кто закончил среднюю школу по геометрии (или в некоторой степени, элементарной геометрии) знает, что в евклидовой или планарной геометрии два параллельных линии никогда не пересекаются, сумма трех углов треугольника в сумме дает 180, и Самый короткий путь из одной точки в другую — прямая. в мир сферической геометрии, две параллельные линии на больших кругах пересекаются дважды сумма трех углов треугольника на поверхности сферы превышает 180 из-за положительной кривизны и кратчайший путь от одной точки до другой — это не прямая линия на карте, а линия, которая следует за малой дугой большой круг.Карты позволяют передавать сферический вид планарный вид, проецируя топологии и местоположения Земли на выровнять поверхность методами Молота, Меркатора или цилиндрической формы. Последовательный и стандартное представление, минимизирующее проективные искажения, еще предстоит учредил.

Открытие сферической геометрии не только изменило историю и лицо математики и геометрии Евклида, но также изменили взгляды людей и наметил мир.Используя эти новые знания, исследователи и астрономы использовали круговой путь звезд, чтобы перемещаться по земле, открывать новые земли и рассуждать о космосе.

---


Каталожные номера:

Borowski, E.J. и Борвейн, J.M. Справочник по математике Коллинза. 1989: Коллинз. Лондон и Глазго.

Casselman, Dr. W. Руководство по математической иллюстрации. [МАТЕМАТИКА 308 текст]

Хогбен, Ланселот. Математика на миллион. 1951: W.W. Нортон и Компания, Inc. Нью-Йорк.

Хогбен, Ланселот. Наука для гражданина. 1950: W.W. Нортон и Компания, Inc. Нью-Йорк.

Maps.com — учись и играй. Навыки карты: большие круги. [Maps.com веб-страница]

Музей моряков, ул. Музей моряков — Ньюпорт-Ньюс, Вирджиния. [фоновое изображение для Интернета страница, историческая справка]

Оссерман, Роберт. Поэзия Вселенной: математическое исследование Космос. 1995: Якорные книги, Doubleday. Нью-Йорк.

Полкинг, Джон К. Геометрия сферы 1. [базовый информация о сферах]

WhatIs? Com. Широта и долгота: определение WhatIs. [что широта и долгота?]

Wolfram Research, Inc. MathWorld: Мир математики Эрика Вайсштейна. [MathWorld Web страница]

УСТРАНЕНИЕ НЕИСПРАВНОСТЕЙ:

Для запуска любого из файлы PostScript, вам понадобится бесплатный интерпретатор PostScript, установленный на вашем компьютер: GhostView и GhostScript — самые популярные единицы.Щелкните по ссылкам, чтобы получить их.

Для latitude.ps и longitude.ps, убедитесь, что у вас есть ps3d.inc в том же каталоге, что и эти файлы (см. файл KarenFrancoProject.zip, если он отсутствует).

.

No related posts.