Исследование методов решения геометрических задач на отношения длин
Исследование методов решения геометрических задач на отношения длин
Забелина Галина Михайловна, учитель математики, МБОУ Первомайская СОШ
Решая геометрические задачи, думаем, все, однажды задавались вопросом, нельзя ли одну и ту же задачу решить разными способами. Для решения геометрических задач на отношения длин есть метод, позволяющий быстрее и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. В его основе лежит понятие центра масс или барицентра.
Основоположником этого метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в до н. э., он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Ее способ доказательства отличается от варианта, который рассматривается в школьном курсе геометрии, и мы тоже докажем эту теорему, используя барицентрический метод.
Кроме того, интересна возможность применения этого метода к решению задач на отношение длин.
Среди олимпиадных заданий часто встречаются задачи на отношение длин. Такие задания есть в заданиях повышенной сложности ОГЭ и ЕГЭ по математике. Как показывает практика, большинство учащихся не умеет решать данные задачи. Решить такие задачи методами школьной математики довольно сложно. Но за решение данных задач ставят высокий балл на экзаменах.
На примере одной задачи предлагаю различные способы её.
Задача 1 (1-ый способ): На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что AM : MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2. В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?
Дано: ΔАВС, М АВ, N ВС, К АС, АМ:МВ=2:3, АК:КС=2:1, BN:NС=1:2.
Найти: AP:PN.
Решение:
1) Продлим прямую МК до пересечения с прямой ВС, МК не параллельна ВС, так как . Обозначим S – точка пересечения МК и ВС.
2) Рассмотрим ΔАВС с секущей MS. Точки М, К и S лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая:
3) Выразим NS через SB:
4) Рассмотрим ΔВАN с секущей MS. Точки М, Р и S лежат на одной прямой, значит, по теореме Менелая:
Ответ: АP:РN=6:7.
Задача 1 (2-ой способ): На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N и K так, что AM :MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2.
В каком отношении прямая MK делит отрезок AN?
Дано: ΔАВС, М АВ, N ВС, К АС, АМ:МВ=2:3, АК:КС=2:1, BN:NС=1:2.
Найти: AP:PN.
Решение
Пусть P — точка пересечения прямой MK с отрезком AN. Обозначим = x и . Тогда
SABN = . S =S, = . S =S,
= . . = . x . . S =x . S,
= . . = . x . . S = x .
S,
= . . S = . . S =S.
Поскольку = + , то
x . S + x . S =S.
Отсюда находим, что x = . Следовательно, = .
Ответ: AP:PN=6:7
Каждый из нас в детстве качался на качелях, и мы замечали, что если наш товарищ тяжелее, то он качели перевешивал. Если же товарищ передвинется ближе к центру, то качели уравновесятся. Но возникает вопрос: насколько ближе нужно передвинуться, чтобы качели уравновесились? На этот вопрос нам поможет ответить метод нахождения центра масс, который называют барицентром.
Родоначальником метода был великий древнегреческий мыслитель Архимед.
Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс.
В частности, этим способом Архимед доказал теорему о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1. В его основе лежит понятие центра масс, который называют барицентр.
Эту идею мы применим для решения данной задачи.
Здесь имеет место физическая теорема (правило рычага):
Центром масс данной системы двух точек будет такая точка О данного отрезка, что произведение АО * m1 = BO * m2 или .
Задача 1. (3-ий способ). На сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC взяты соответственно точки М, N и К так, что AM : MB = 2:3, АК : КС = 2:1, BN : NC = 1:2. В каком отношении прямая МК делит отрезок AN?
Решение:
Нагрузим точки A, B, C, массами таким образом, чтобы центр масс системы AB находился в точке M, а системы BC в точке N, а системы AC в точке K.
Загрузим точки А и В такие массы, чтобы их центром оказалась точка М; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 2 (т. е. рассмотреть материальную точку 2В), а в точку А – массу 3 (материальная точка 3А).
Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их центром оказалась точка N; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в C массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1C), а в B – массу 2 (материальная точка 2В).
Далее, имея уже материальную точку 1С, подберём для точки А другую такую массу х, чтобы точка К оказалась центром масс двух м. т. 1С и хА. По правилу рычага имеем 1 |КC| = х |АК|, откуда . Следовательно, в точку А помещаем массу 0,5 (материальная точка 0,5А).
Так как P центр масс материальных точек 3,5А и 3N, то 3·|PN|=3.5·|AP|, следовательно .
Ответ: АP : РN = 6 : 7.
Подведем итог:
В процессе проведенного исследования методов решения геометрических задач на отношение длин найден оригинальный способ с использованием свойств центра масс, который позволяет существенно упростить решение задач.
Изученный барицентрический метод позволяет расширить знания по геометрии за рамки школьного курса.
§ Отношение чисел. Как найти отношение чисел
Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
Скрыть меню
На главную страницу
Войти при помощи
Темы уроков
Начальная школа
- Геометрия: начальная школа
- Действия в столбик
- Деление с остатком
- Законы арифметики
- Периметр
- Порядок действий
- Разряды и классы.
Разрядные слагаемые - Счет в пределах 10 и 20
Разрядные слагаемыеМатематика 5 класс
- Взаимно обратные числа и дроби
- Десятичные дроби
- Натуральные числа
- Нахождение НОД и НОК
- Обыкновенные дроби
- Округление чисел
- Перевод обыкновенной дроби в десятичную
- Площадь
- Проценты
- Свойства сложения, вычитания, умножения и деления
- Среднее арифметическое
- Упрощение выражений
- Уравнения 5 класс
- Числовые и буквенные выражения
Математика 6 класс
- Масштаб
- Модуль числа
- Окружность. Площадь круга
- Отношение чисел
- Отрицательные и положительные числа
- Периодическая дробь
- Признаки делимости
- Пропорции
- Рациональные числа
- Система координат
- Целые числа
Алгебра 7 класс
- Алгебраические дроби
- Как применять формулы сокращённого умножения
- Многочлены
- Одночлены
- Системы уравнений
- Степени
- Уравнения
- Формулы сокращённого умножения
- Функция в математике
Геометрия 7 класс
- Точка, прямая и отрезок
- Что такое аксиома и теорема
Алгебра 8 класс
- Квадратичная функция. Парабола
- Квадратные неравенства
- Квадратные уравнения
- Квадратный корень
- Неравенства
- Системы неравенств
- Стандартный вид числа
- Теорема Виета
ПараболаАлгебра 9 класс
- Возрастание и убывание функции
- Нули функции
- Область определения функции
- Отрицательная степень
- Среднее
геометрическое
Алгебра 10 класс
- Иррациональные числа
Алгебра 11 класс
- Факториал
Надо учиться в школе, но ещё больше надо учиться по выходе из школы. Д.И. Писарев
на главную
Введите тему
Русский язык Поддержать сайт
Прежде чем обсуждать пропорции необходимо разобраться, что такое отношение двух чисел.
Если вам знакомо понятие отношение чисел, можете смело переходить к теме пропорции.
Запомните!
Отношение двух чисел — это их частное.
- Отношение 75 к 25 можно записать в виде:
- Отношение 3 к 6 можно записать в виде:
Отношение двух чисел показывает:
- во сколько раз одно число больше другого;
- какую часть одно число составляет от другого.
Покажем на примере, где используется понятие отношение двух чисел.
В городе Липецк проводятся соревнования на велосипедах. В прошлом году участников было 15. В этом году — 75. Во сколько раз увеличилось количество участников в этом году по сравнению с предыдущим годом?
Прежде чем решать задачу, подчёркиваем важные данные. Запишем отношение количества участников в этом году к количеству участников в предыдущем.
Запомните!
При записи отношения двух чисел в знаменатель дроби (вниз) записывается
то число, с которым сравнивают.
Обычно это число идёт после слов «по сравнению с …» или предлога «к …».
Запомните!
Если умножить или разделить оба члена отношения на одно и то же число, неравное нулю, то получится отношение, равное данному.
При внимательном изучении правила выше, можно подметить, что правило записанное выше, есть нечто иное как основное свойство дроби, по которому мы их легко сокращаем.
Отношение 16 к 10:
открытых учебников | Siyavula
Загрузите наши открытые учебники в различных форматах, чтобы использовать их так, как вам удобно. Нажмите на обложку каждой книги, чтобы увидеть доступные для загрузки файлы на английском и африкаанс. Лучше, чем просто бесплатные, эти книги также имеют открытую лицензию! См. различные открытые лицензии для каждой загрузки и пояснения к лицензиям в нижней части страницы.
Математика
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- 7A PDF (CC-BY-ND)
- 7B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- 7A PDF (CC-BY-ND)
- 7B PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- 8A PDF (CC-BY-ND)
- 8B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- 8A PDF (CC-BY-ND)
- 8B PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- 9A PDF (CC-BY-ND)
- 9B PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- 9A PDF (CC-BY-ND)
- 9B PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
Наука
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY-ND)
- ePUB (CC-BY)
Пособия для учителей
Английский
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 7А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 7Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 7А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 7Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 8А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 8Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 8А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 8Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 9А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 9Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 9А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 9Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 4А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 4Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 4А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 4Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 5А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 5Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 5А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 5Б
- PDF (CC-BY-ND)
- Читать онлайн
Учебники
Пособия для учителей
Английский
Класс 6А
- PDF (CC-BY-ND)
Класс 6Б
- PDF (CC-BY-ND)
Африкаанс
Граад 6А
- PDF (CC-BY-ND)
Граад 6Б
- PDF (CC-BY-ND)
Лицензирование наших книг
Эти книги не только бесплатны, но и имеют открытую лицензию! Один и тот же контент, но разные версии (фирменные или нет) имеют разные лицензии, как объяснено:
CC-BY-ND (фирменные версии)
Вам разрешается и поощряется свободное копирование этих версий.
Вы можете копировать, распечатывать и распространять их столько раз, сколько захотите. Вы можете загрузить их на свой мобильный телефон, iPad, ПК или флешку. Вы можете записать их на компакт-диск, отправить по электронной почте или загрузить на свой веб-сайт. Единственное ограничение заключается в том, что вы не можете каким-либо образом адаптировать или изменять эти версии учебников, их содержание или обложки, поскольку они содержат соответствующие бренды Siyavula, логотипы спонсоров и одобрены Департаментом базового образования. Для получения дополнительной информации посетите сайт Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported.
Узнайте больше о спонсорстве и партнерстве с другими, которые сделали возможным выпуск каждого из открытых учебников.
CC-BY (версии без торговой марки)
Эти версии одного и того же контента без торговой марки доступны для вас, чтобы вы могли делиться ими, адаптировать, преобразовывать, изменять или развивать их любым способом, при этом единственным требованием является предоставление соответствующей ссылки на Siyavula.
Для получения дополнительной информации посетите Creative Commons Attribution 3.0 Unported.
Овладение искусством решения геометрии
M Большинство наших десятиклассников считают геометрию крепким орешком. Они сталкиваются с трудностями при доказательстве определенных результатов в данной геометрической фигуре. И не потому, что не знают основных правил и формул. Иногда для решения проблемы вам может понадобиться использовать несколько взаимосвязей, и такие вопросы немного сбивают с толку и поэтому сложны. Эксперты TCYonline.com представляют читателям rediff.com несколько полезных советов и ловушек в геометрии. Давайте посмотрим, как мы можем освоить некоторые приемы, чтобы действовать быстро и точно. Овладейте искусством «разметки» Например, на рисунке ниже ABC — это треугольник, в котором AB = AC.
Here it is given that ABCD is a parallelogram and Биссектриса внутреннего угла ко всем четырем углам нарисована, пересекая P, Q, R и S, образуя еще один четырехугольник. Магистр искусства «Анализ»
Всегда есть два способа решения: 2. Данная информация + некоторая дополнительная информация + некоторые логические рассуждения = решение Например, возьмем тот же пример (пример рисунка выше) объяснить. Вот шаги для анализа: 1. Спланируйте в обратном порядке: Нам нужно доказать, что PQRS является прямоугольником, что возможно, если мы докажем, что все углы, т.е. P, Q, R, S равны 90 градусам или, по крайней мере, противоположны углы т. 2. Напомним фактическую информацию: Здесь дополнительная информация есть не что иное, как ФАКТЫ о параллелограммах и прямоугольниках, приведенные только выше. 3. Используйте маркировку: Как описано выше. 4. Представьте ответ: Решение должно быть представлено в стандартном формате и должным образом объяснено с упоминанием использованных теорем. 1 и 2 в маркировке — это всего лишь способ найти решение. При написании ответа предпочтительнее использовать полные названия углов. Овладейте искусством «конструирования» Например, рассмотрим следующую ситуацию:
Теперь понятно, что для нахождения площади параллели не нужна площадь параллели.
Чтобы решить задачу по геометрии, вы должны пройти все вышеперечисленные шаги. Готовый материал поможет решить многие вопросы по геометрии. Если у вас есть такой материал, он мелькнет у вас в голове, когда вы будете анализировать вопрос. Эта вспышка чаще всего приведет вас к отношениям, которые помогут вам решить проблему. Давайте попробуем создать несколько воспоминаний из понятий, включенных в нашу программу. Самые распространенные ошибки Например, посмотрите на следующий рисунок:
3 02~ Упрощение сложных задач: В большинстве случаев на рисунке дано много треугольников, и мы часто путаемся в том, на что ссылаться, а чего избегать. For instance, look at the following figure:
~ Понимание. Соответствует CORFOLSE. Помните, все три варианта отличаются, и все это будет ошибкой в экзамене. Вот простой способ сделать это: Напишите соответствующие детали, которые равны (в случае углов) и / или пропорциональных (в случае с боковыми сторонами) 9000 эти некоторые из многих жизненно важных входных данных, которые могут помочь вам освоить методы решения задач из геометрии. | |||||||||||||||||||||||||||||
В большинстве случаев трудность заключается в том, чтобы понять вопрос, а затем найти правильную стратегию для доказательства требуемого результата.
Нам нужно доказать, что PQRS — прямоугольник.
е. (P, R) или (Q, S) равны 90 градусов.
Это означает, что имеющейся информации недостаточно. Нам нужна дополнительная информация, т.е. высота. Теперь вы пойдете на строительство, как показано ниже.