Площадь радиуса круга r: Формулы, как найти площадь круга

Заштрихованная область будет окружать незаштрихованный меньший круг. Вам нужна область для заштрихованной области. Это будет разница.

Площадь большего круга, .
Площадь меньшего круга, .
Заштрихованная область должна быть большей областью за вычетом области маленького круга, оставляя только круглую заштрихованную область шириной w.

—— что должно быть достаточно ясно.
— коммутативное свойство для умножения.

Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ сайте!

Привет, 92. 2$. 92$ это вполне убедительно . Позвольте мне объяснить, что я нахожу неубедительным в двух популярных визуальных доказательствах.

Доказательство параллелограмма

Доказательство, которое я вижу чаще всего, — это доказательство параллелограмма, разрезающее круг радиально на все более мелкие клинья и соединяющее их вместе, чтобы аппроксимировать параллелограмм:

Оно оставляет вопрос о сходимости открытым; сходятся ли эти аппроксимации параллелограммов к прямоугольнику с длинами сторон $r$ и $\pi r$ по мере того, как мы берем все меньшие клинья? Оказывается, они делают и аргумент можно сделать строгим, но для критически настроенного неспециалиста это не должно быть ясно из рисунка.

Доказательство треугольника

Другим доказательством, которое я видел довольно часто, является доказательство треугольника, разрезающее круг на все более тонкие концентрические кольца и разворачивающее их для аппроксимации прямоугольного треугольника:

Опять же, это оставляет вопрос о сходимости; сходятся ли эти аппроксимации прямоугольных треугольников к прямоугольному треугольнику высоты $r$ и основания $2\pi r$? Опять получается, что делают и аргумент

Другие доказательства либо требуют методов, выходящих за рамки самой базовой программы средней школы, таких как исчисление для доказательства лука, либо требуют вычислений, таких как доказательство Архимеда или его варианты.

Я предполагаю, что неспециалист знаком с тем фактом, что длина окружности радиуса $r$ равна $2\pi r$.

TL;DR

• геометрия
• круги
• площадь
• альтернатива доказательство

$\endgroup$

7

$\begingroup$

Это доказательство основано на вычислениях, но оно очень элементарно. В качестве справки см. Кейт Болл — Элементарное введение в современную выпуклую геометрию 9n$ площадь поверхности единичного евклидова шара всего в $n$ раз больше его объема.

$(\delta)$ также следует из этого наглядного рассуждения, где внешний «многоугольник» получается суммированием (в смысле множества) маленького диска с внутренним многоугольником:

Наглядно понятно, что получается если мы позволим числу сторон увеличиться до $+\infty$, сохранив радиусы описанной окружности внутреннего и внешнего многоугольника.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Я не умею рисовать на сайте, поэтому надеюсь, что мое объяснение понятно, но, возможно, вам придется нарисовать свое. Впишите в окружность правильный $n$-угольник. При этом выписать правильный $n$-угольник. Это так, что стороны треугольников вписанного $n$-угольника (которые являются радиусами, как на вашем первом рисунке) продолжаются до сторон вписанного $n$-угольника. Высота $h$ треугольника вписанного $n$-угольника равна $r\cos \frac{2\pi}{n}$. Таким образом, площадь треугольника вписанного $n$-угольника равна $$\frac{1}{2}br\cos\frac{2\pi}{n},$$, где $b$ — основание. Складывая их вместе, мы получаем, что площадь вписанного $n$-угольника равна $$\frac{1}{2}C_i r\cos\frac{2\pi}{n}$$, где $C_i$ – длина окружности вписанный $n$-угольник.

Для вписанного $n$-угольника высота треугольника равна $r$, поэтому площадь вписанного $n$-угольника равна $$\frac{1}{2}C_e r$$, где $C_e$ – длина окружности вписанного $n$-угольника. Таким образом, мы имеем

$$\frac{1}{2}C_i r\cos\frac{2\pi}{n}\leq A\leq \frac{1}{2}C_e r$$

Что такое связь между $C_i$ и $C_e$ ? Из подобных треугольников следует, что

$$\frac{C_e}{C_i}=\frac{r}{h}=\frac{1}{\cos\frac{2\pi}{n}}$$

Таким образом, у нас есть

2.$$

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Луковичное доказательство можно провести без исчисления, если предположить следующее: площадь круглого кольца больше ширины $\times$ внутренней окружности и меньше ширины $\times$ внешней окружности. 2$. 92}$ в первом квадранте и области $G$, ограниченной графом и $x = 0$ и $y = 0$. Без математических вычислений очевидным способом (ну, с помощью компьютера) они могут аппроксимировать площадь $G$, а затем умножить на $4$, чтобы получить площадь единичного круга = $\pi$.

Объясняем, что этот метод грубой силы, безусловно, кажется убедительным, что речь идет об одном и том же числе $\pi$ как в формуле длины окружности, так и в формуле площади круга, но это не доказательство. Не исследуя доказательство или исчисление Архимеда, им придется принять некоторое количество «маханий руками» в любом предполагаемом доказательстве. Но это короткое видео кажется доступным, 92$

Если неспециалисту нужно увидеть декартовский метод грубой силы, он может проверить электронную таблицу Google Calculate $\pi$. Внизу таблицы ($\text{row} = 1027$) они обнаружат, что

$\quad 3,139603642 \lt \pi \lt 3,143509892$

со средним значением «сжатия» = 3,141556767$.

Если неспециалисты с нами до сих пор, они могут настолько заинтересоваться, что начнут изучать исчисление в свободное время.