Круг. Круг — геометрическая фигура
Форма круга является интересной с точки зрения оккультизма, магии и древних значений, придаваемых ей людьми. Все мельчайшие составляющие вокруг нас – атомы и молекулы – имеют круглую форму. Солнце круглое, Луна круглая, наша планета тоже круглая. Молекулы воды – основы всего живого – тоже имеют круглую форму. Даже природа создает свою жизнь в кругах. Например, можно вспомнить про птичье гнездо – птицы вьют его также в этой форме.
Данная фигура в древних помыслах культур
Круг – это символ единства. Он присутствует в разных культурах во многих мельчайших деталях. Мы даже не придаем столько значения этой форме, как это делали наши предки.
Издавна круг – это знак бесконечной линии, который символизирует время и вечность. В дохристианскую эпоху он был древним знаком колеса солнца. Все точки в этой фигуре эквивалентны, линия круга не имеет ни начала, ни конца.
А центр круга был источником бесконечного вращения пространства и времени для масонов.
Круг – конец всех фигур, недаром в нем была заключена тайна творения, по мнению масонов. Форма циферблата часов, имеющая тоже такую форму, обозначает собой непременное возвращение в точку отправления.
Эта фигура имеет глубокий магический и мистический состав, которым его наделили многие поколения людей из разных культур. Но что собой представляет круг как фигура в геометрии?
Что такое окружность
Часто понятие круга путают с понятием окружности. Это немудрено, ведь они между собой очень тесно взаимосвязаны. Даже названия их схожи, что вызывает много путаницы в незрелых умах школьников. Чтобы разобраться, «кто есть кто», рассмотрим эти вопросы подробнее.
По определению, окружностью является такая кривая, которая замкнута, и каждая точка которой находится равноудалённо от точки, именуемой центром окружности.
Что необходимо знать и чем уметь пользоваться, чтобы построить окружность
Чтобы построить окружность, достаточно выбрать произвольную точку, которую можно обозначить как О (именно так в большинстве источников именуются центр окружности, не будем отходить от традиционных обозначений).
Следующим этапом идет использование циркуля – инструмента для черчения, который состоит из двух частей с закрепленными на каждой из них либо иглой, либо пишущим элементом.
Эти две части соединены между собой шарниром, что позволяет выбирать произвольный радиус в определенных границах, связанных с длиной этих самых частей. С помощью данного прибора в произвольную точку О устанавливается остриё циркуля, а карандашом уже очерчивается кривая, которая из итоге получается окружностью.
Какими величинами характеризуется окружность
Если соединить при помощи линейки центр окружности и любую произвольную точку на кривой, полученной в результате работы циркулем, мы получим радиус окружности. Все такие отрезки, именуемые радиусами, будут равны. Если же соединить при помощи линейки прямой линией две точки на окружности и центр, мы получим ее диаметр.
Для окружности также характерно вычисление ее длины. Чтобы ее найти, необходимо знать либо диаметр, либо радиус окружности и воспользоваться формулой, представленной на рисунке ниже.
В этой формуле С – длина окружности, r – радиус окружности, d – диаметр, а число Пи – константа со значением 3,14.
Кстати, константа Пи была вычислена как раз из окружности.
Оказалось, что независимо от того, каков диаметр круга, соотношение длины окружности и диаметра одинаковое, равное примерно 3,14.
В чем же главное отличие круга от окружности
По сути, окружность – это линия. Она не является фигурой, она является кривой замкнутой линией, не имеющей ни конца, ни начала. А то пространство, что расположено внутри нее – это пустота. Простейшим примером окружности выступает обруч или, по-иному, хула-хуп, который дети используют на занятии физической культуры или же взрослые, для того чтобы создать себе стройную талию.
Теперь мы подошли к понятию того, что такое круг. Это в первую очередь фигура, то есть некое множество точек, ограниченных линией. В случае круга этой линией выступает окружность, рассмотренная выше. Выходит, что круг – это окружность, в середине которой не пустота, а множество точек пространства.
Если натянуть на хула-хуп ткань, то мы уже не сможем его крутить, ведь он будет уже не окружностью – его пустота замещена тканью, куском пространства.
Перейдем непосредственно к понятию круга
Круг – геометрическая фигура, которая является частью плоскости, ограниченной окружностью. Для него также характерны такие понятия, как радиус и диаметр, рассмотренные выше при определении окружности. И вычисляются они точно таким же образом. Радиус круга и радиус окружности являются идентичными по размеру. Соответственно, длина диаметра тоже аналогична в обоих случаях.
Так как круг является частью плоскости, то для него характерно наличие площади. Вычислить ее можно снова-таки при помощи радиуса и числа Пи. Формула выглядит следующими образом (см. рисунок ниже).
В данной формуле S – площадь, r – радиус круга. Число Пи – снова та же константа, равная 3,14.
Формула круга, для вычисления которой возможно также использовать диаметр, изменяется и принимает вид, представленный на следующем рисунке.
Одна четвертая появляется из того, что радиус – это 1/2 диаметра. Если радиус в квадрате, выходит, что соотношение преобразуется до вида:
r*r = 1/2*d*1/2*d;
r*r = 1/ d*d.
Круг – это фигура, в которой можно выделить отдельные части, например сектор. Выглядит он как часть круга, которая ограничена отрезком дуги и его двумя радиусами, проведенными из центра.
Формула, которая позволяет вычислить площадь данного сектора, представлена на нижеследующем рисунке.
Использование фигуры в задачах с многоугольниками
Также круг – геометрическая фигура, которая часто используется в комплекте с другими фигурами. Например, такими как треугольник, трапеция, квадрат или ромб. Нередко встречаются задачи, где нужно найти площадь вписанного круга или, наоборот, описанного вокруг определенной фигуры.
Вписанный круг является таким, который соприкасается со всеми сторонами многоугольника. С каждой стороной любого многоугольника у окружности должна быть точка соприкосновения.
Для определенного вида многоугольника определение радиуса вписанной окружности вычисляется по отдельным правилам, которые доступно объясняются в курсе геометрии.
Можно привести для примера несколько из них. Формула круга, вписанного в многоугольники, может вычисляться следующим образом (ниже на фото приведено несколько примеров).
Несколько простых примеров из жизни, для того чтобы закрепить понимание разницы между кругом и окружностью
Перед нами канализационный люк. Если он открыт, то железная каемка люка – это окружность. Если он закрыт, то крышка выступает в роли круга.
Окружностью также можно назвать любое кольцо – золотое, серебряное или бижутерию. Кольцо, которое держит на себе связку ключей, – тоже окружность.
А вот круглый магнит на холодильнике, тарелка или блинчики, испеченные бабушкой, –это круг.
Горлышко бутылки или банки при виде сверху – это окружность, а вот крышка, которая закроет это горлышко, при том же виде сверху является кругом.
Таких примеров можно привести множество, и для усвоения такого материала их нужно приводить, чтобы дети лучше улавливали связь теории с практикой.
Окружность и круг
Окружность и круг являются геометрическими фигурами, которые связаны между собой. Окружность является граничной, ломаной линией (кривой) круга. Рассмотрим определение окружности несколько подробней. Окружность является замкнутой кривой с равноудаленными от центра точками. Стоит отметить, что центр окружности также является точкой. Для того, чтобы построить окружность, необходимо выбрать вышеупомянутую точку, которая будет служить центром, а затем провести циркулем замкнутую линию.
Если же мы соединим центр окружности с произвольной точкой, которая лежит на окружности, то получим отрезок, который называется радиусом. Причем, если мы меняем точки на окружности и проводим с центра несколько линий до разных точек окружности, не трудно догадаться, что отрезки (радиусы) будут одинаковыми. Если же мы соединяем две точки окружности одной линией, но при этом проводим данную линию через центр окружности, то мы получаем отрезок, который называется диаметром.
Сделав нехитрые подсчеты и, даже просто взглянув на окружность, можно практически сразу сказать, что диаметр окружности равен двум радиусам.
Теперь поговорим о таком определении, как круг и выясним, чем же он отличается от окружности. Круг – это часть плоскости, которая лежит внутри окружности. Центр, диаметр и радиус окружности одновременно являются центром, диаметром и радиусом круга. Однако не забываем про то, что круг, в отличии от окружности, является частью плоскости, а значит имеет свою площадь. Как же измеряется данный параметр для круга? Все очень просто: площадь круга равна произведению радиуса, возведенному в квадрат и числу Пи. Также следует знать и то, что можно искать площадь не всего круга, а определенного сектора, который может образоваться в результате проведения из центра в две разные точки, которые лежат на окружности круга, прямых.
Длина окружности | ||||||||||||||||||||||
| C = 2πr = πd | ||||||||||||||||||||||
Длина дуги, равной n° | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Площадь круга | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Свойства хорд, секущих и касательной | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Сегмент и сектор | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Площадь кругового кольца | ||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||
Circles — PSAT Math
Все математические ресурсы PSAT
10 диагностических тестов 421 практический тест Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Следующая →
PSAT Math Help » Геометрия » Плоская геометрия » Круги
Рисунок выполнен не в масштабе.
На рисунке выше окружность C имеет радиус 18 и угол ACB равен 100°. Чему равен периметр заштрихованной красным области?
Possible Answers:
36 + 20 π
18 + 36 π
36 + 36 π
36 + 10 π
18 + 10 π
Правильный ответ:
36 + 10 π
Объяснение:
Периметр любой области — это общее расстояние вокруг ее границ.
Длины AC и BC будут равны длине радиуса, который равен 18. Таким образом, периметр AC и BC вместе равен 36.
Наконец, мы нужно найти длину дуги AB и добавить ее к 36, чтобы получить весь периметр области.
Угол ACB является центральным углом и пересекает дугу AB . Длина AB будет равна определенной части окружности. Эта часть будет равна отношению меры угла ACB к мере всех градусов в окружности. В любом круге 360 градусов. Отношение угла ACB к 360 градусам будет 100/360 = 5/18. Таким образом, длина дуги АВ будет равна 5/18 длины окружности, что равно 2 πr , по формуле длины окружности.
длина дуги AB = (5/18)(2 πr ) = (5/18)(2 π (18)) = 10 π .
Таким образом, длина дуги AB равна 10 π .
Таким образом, общая длина периметра равна 36 + 10 π .
Ответ: 36 + 10 π .
Сообщить об ошибке
В круге выше угол A в радианах равен
Какова длина дуги A?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Округа круга =
Длина дуги
Сообщить о ошибке
Если область круга, то такая длина дуги, показанная в диаграмме. ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Нам известна площадь круга, но нам нужно найти длину окружности, чтобы найти длину дуги.
Уравнение площади круга:
Поскольку мы знаем, что площадь равна 36, мы можем использовать это уравнение, чтобы найти радиус круга.
Разделите обе стороны на
Извлеките квадратный корень из обеих сторон и убедитесь, что радиус равен 6.
Теперь мы можем найти длину окружности по формуле
Теперь, когда мы знаем длину окружности, мы можем составить пропорцию. Длина дуги 120 градусов будет только частью общей окружности круга. Положив градусную меру на 360 и установив ее равной x по окружности, мы можем точно определить длину дуги.
Умножая обе части на , вы получаете решение:
Сообщить об ошибке
Круглая пицца из 8 ломтиков помещена в квадратную коробку, размеры которой на четыре дюйма больше диаметра пиццы. Если коробка покрывает площадь поверхности 256 в 2 , какова площадь поверхности одного куска пиццы?
Possible Answers:
4.
5π in 2
18π in 2
36π in 2
9π in 2
144π in 2
Правильный ответ:
4,5π в 2
Пояснение:
Первое, что нужно сделать, это рассчитать размеры коробки для пиццы. На основании наших данных мы знаем, что 256 = s
Теперь мы знаем, что диаметр пиццы на четыре дюйма меньше, чем на 16 дюймов. То есть это 12 дюймов. Будь осторожен! Площадь круга выражается в виде радиуса, который составляет половину диаметра или 6 дюймов. Следовательно, площадь пиццы равна π * 6 2 = 36π в 2 . Если пицца состоит из 8 ломтиков, один ломтик равен 1/8 всей пиццы или (36π)/8 = 4,5π в 2 .
Сообщить об ошибке
Если B представляет собой окружность с линией AC = 12 и линией BC = 16, то какую площадь образует DBE?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Линия AB — это радиус окружности B, который можно найти с помощью теоремы Пифагора:
Так как AB является радиусом B, мы можем найти площадь круга B через:
Угол DBE является прямым углом и, следовательно, окружности следующим образом:
Сообщить об ошибке
Радиус круга выше равен и .
Чему равна площадь заштрихованного участка круга?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Площадь круга = πr 2 = π4 2 = 16π
Общее количество градусов в круге = 360
Следовательно, срез 45 градусов = 45/360 доля круга = 1/8
/ Заштрихованная площадь = 1/8 8 * Общая площадь = 1/8 * 16π = 2πСообщить об ошибке
является квадратом.
Дуга от до представляет собой полуокружность с центром в середине .
Все единицы измерения указаны в футах.
На схеме показан земельный участок.
Стоимость летнего обслуживания составляет 2,50 доллара США за квадратный фут.
В долларах, какова общая стоимость содержания на лето?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы решить это, мы должны начать с нахождения площади диаграммы, которая равна площади квадрата за вычетом площади полукруга.
Площадь квадрата прямолинейна:
30 * 30 = 900 квадратных футов
Поскольку каждая сторона имеет длину 30 футов, AB + BC + CD = 30.
Мы можем заменить AB и CD на BC, так как все три длины одинаковы:
BC + BC + BC = 30
3BC = 30
BC = 10
Следовательно, диаметр полукруга равен 10 футам, поэтому радиус равен 5 футам.
Площадь полукруга равна половине площади круга с радиусом 5. Площадь полного круга равна 5 2 π = 25π, поэтому площадь полукруга составляет половину этой площади, или 12,5 π.
Общая площадь участка равна квадрату минус полукруг: 900 — 12,5π квадратных футов
Таким образом, стоимость содержания составляет 2,5 * (900 – 12,5π) = $(2250 – 31,25π).
Сообщить об ошибке
На рисунке PQ — это дуга окружности с центром O. Если площадь сектора равна, каков периметр сектора?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала выясняем, какая часть круга содержится в секторе OPQ: , поэтому общая площадь круга равна .
Используя формулу площади круга, мы можем видеть, что .
Мы можем использовать это, чтобы найти длину окружности круга , или .
Теперь OP и OQ равны r , а PQ равно длины окружности или .
Чтобы получить периметр, мы складываем OP + OQ + PQ, что дает нам .
Сообщить об ошибке
Какова площадь сектора выше, если радиус круга равен ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы найти площадь сектора, сначала найдите площадь всего круга.
Радиус круга равен 9, поэтому
можно уменьшить до .
Площадь сектора составляет только часть общей площади. Чтобы точно узнать, насколько велика площадь, составим пропорцию, в которой одна сторона равна углу, превышающему 360
Умножьте обе стороны на 81, и вы найдете x, что равно
Сообщить об ошибке
Две пиццы сделаны одного размера.
Разница лишь в том, что пицца 1 разрезается на куски под углом 30°, а пицца 2 — под углом 45°. Они продаются поштучно, первые по 1,95 доллара за ломтик, а вторые по 2,25 доллара за ломтик. Какова разница в общем доходе между Pizza 2 и Pizza 1?
Возможные ответы:
$5,40
$0
– $2,70
$2,70
– $5,40
Правильный ответ:
– $5,40
Объяснение:
Сначала посчитаем, сколько кусочков в пицце. Это делается путем деления 360° на соответствующие градусы ломтиков:
Пицца 1: 360/30 = 12 ломтиков
Пицца 2: 360/45 = 8 ломтиков
Теперь общее количество произведенной пиццы рассчитывается путем умножения количество ломтиков по соответствующей стоимости за ломтик:
Пицца 1: 12 * 1,95 = 23,40 долл. США
Пицца 2: 8 * 2,25 = 18,00 долл. США
Таким образом, разница между пиццей 2 и пиццей 1 представлена следующим образом: 18 – 23,40 = –5,40 долл.
США
Предыдущая 5
Сообщить об ошибке
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Далее →Уведомление об авторских правах
Все математические ресурсы PSAT
10 Диагностические тесты 421 практический тест Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Круги — Базовая геометрия
Все ресурсы по базовой геометрии
9 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 40 41 Следующая →
Справка по основам геометрии » Плоская геометрия » Круги
Радиус круга 4 см, какова его площадь?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Площадь круга находится по формуле: , где r — радиус.
.
Площадь круга .
Сообщить об ошибке
Радиус круга ниже составляет 18 единиц. Какова площадь круга?
Возможные ответы:
квадраты
квадраты
Невозможно определить
квадраты
квадраты
Правильный ответ:
квадраты
Объяснение:
Формула площади круга с радиусом:
Мы можем заполнить
Вы можете произвести арифметические действия, чтобы получить площадь около 1017,876 квадратных единиц, но это хорошо, а точнее оставить так, как показано.
Сообщить об ошибке
Укажите площадь круга диаметром 13,
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Половина диаметра 13 – это радиус .
Используйте формулу площади:
Сообщить об ошибке
Точка A является центром круга выше.
Фигура ABCD представляет собой квадрат.
Отрезки AB и AD являются радиусами окружности.
Радиус круга единиц.
Найдите площадь фигуры красного цвета.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Поскольку известно, что A — центр окружности, а ABCD — квадрат, угол BAD — прямой угол, который составляет ровно одну четвертую часть окружности (90 90 203 o 90 204 составляет одну четвертую от 360 90 203 o 90 204 ). . Это также можно увидеть через пропорцию.
Поскольку угол, содержащий красную область, составляет одну четвертую часть круга, нахождение площади всего круга, а затем одной четверти этого числа дает ответ. Используйте уравнение , чтобы найти площадь круга, где это площадь, а это радиус.
Сообщить об ошибке
Найдите площадь катка, образованного прямоугольником и полукругами с указанными размерами.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы найти площадь всего катка, найдите площадь прямоугольника в середине катка и прибавьте ее к площади круга, который будет образован двумя полукружьями по краям этого прямоугольника. .
Площадь прямоугольника находится путем умножения его ширины на длину.
Чтобы найти площадь круга, на который приходится два полукруга, используйте формулу , где – радиус круга.
Радиус круга равен половине его диаметра. Диаметр круга такой же, как ширина прямоугольника в случае с этим катком, и составляет половину от этого.
Добавление этой площади к площади прямоугольника дает площадь всего катка.
Сообщить об ошибке
Если у круга есть длина окружности, какова его площадь?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если длина окружности равна , то, поскольку мы знаем . Мы также знаем, что , поэтому
Сообщить об ошибке
Если уравнение окружности (x – 7) 2 + (y + 1) 2 = 81, какова площадь круга?
Возможные ответы:
2π
18π
6561π
49π
81π
Правильный Ответ:
819
923 Объяснение:
Уравнение уже представляет собой уравнение окружности, и правая часть уравнения обозначает r 2 → r 2 = 81 и r = 9
Площадь круга равна πr 2 , поэтому площадь этого круга равна 81π.
Сообщить об ошибке
Предположим, что π = 3,14
Мужчина хотел бы поставить круговой водоворот на своем заднем дворе. Он хотел бы, чтобы водоворот был шириной шесть футов. Его задний двор имеет длину 8 футов и ширину 7 футов. По государственному постановлению, чтобы поставить гидромассажную ванну на заднем дворе, площадь должна быть в 1,5 раза больше, чем бассейн. Может ли мужчина законно установить водоворот?
Возможные ответы:
Нет, потому что площадь заднего двора меньше площади водоворота.
Да, потому что площадь водоворота составляет 28,26 квадратных футов и в 1,5 раза меньше площади заднего двора.
Нет, потому что площадь заднего двора составляет 30 квадратных футов, и поэтому водоворот слишком велик, чтобы соответствовать требованиям закона.
Нет, потому что площадь водоворота 42,39 кв. фута и его площадь в 1,5 раза больше, чем площадь заднего двора.
Да, потому что площадь водоворота составляет 18,84 квадратных фута и в 1,5 раза его площадь будет меньше площади заднего двора.
Правильный ответ:
Да, потому что площадь водоворота составляет 28,26 кв. фута, и его площадь в 1,5 раза меньше площади заднего двора.
Объяснение:
Если вы ответили, что площадь водоворота составляет 18,84 фута и, следовательно, подходит, вы ошиблись, потому что 18,84 — это длина окружности водоворота, а не площадь.
Если вы ответили, что площадь водоворота составляет 56,52 фута, вы умножили площадь водоворота на 1,5 и предположили, что это правильная площадь, а не законный предел.
Если вы ответили, что площадь заднего двора меньше площади водоворота, значит, вы неправильно рассчитали площадь.
И если вы думали, что площадь заднего двора составляет 30 футов, вы нашли периметр заднего двора, а не площадь.
Правильный ответ состоит в том, что площадь водоворота составляет 28,26 фута, а при умножении на 1,5 = 42,39 это меньше площади заднего двора, которая составляет 56 квадратных футов.
Сообщить об ошибке
На плоскости есть две одинаковые окружности, которые перекрываются. Радиус обоих кругов равен 1. Область, в которой они перекрываются, имеет площадь № .
Какова общая площадь двух перекрывающихся кругов?
Возможные ответы:
1
2
0
π
2 π
Правильный ответ:
π 22224 π 2222222224 .
Объяснение: Общая площадь обоих кругов равна π + π = 2 π Поскольку область перекрывается, мы не можем сосчитать ее дважды, поэтому ее нужно вычесть. получаем 2 π – π = π Сообщить об ошибке Квадрат со стороной 4 дюйма вписан в окружность, как показано ниже.