Подобные треугольники. Признаки подобия | Геометрия
- Первый признак подобия треугольников
- Второй признак подобия треугольников
- Третий признак подобия треугольников
Подобные треугольники — это треугольники, у которых все три угла равны, а все стороны одного треугольника в одно и то же число раз длиннее (или короче) сторон другого треугольника, то есть треугольники подобны если их углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.
Сходственные стороны — это стороны двух треугольников, лежащие против равных углов.
Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1, у которых ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, ∠C = ∠C1:
Стороны AB и A1B1, BC и B1C1, CA и C1A1
Следовательно, отношения сходственных сторон равны:| AB | = | BC | = | AC | = k, |
| A1B1 | B1C1 | A1C1 |
k — это коэффициент подобия ( число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников). Если k = 1, то треугольники равны, то есть равенство треугольников – это частный случай подобия.
Подобие треугольников обозначается знаком ~
: ABC ~ A1B1C1.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Если обозначить площади двух подобных треугольников буквами
S и S1, то:| S | = k2. |
| S1 |
Первый признак подобия треугольников
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то треугольники подобны.
Если ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1,
то ABC ~ A1B1C1.
Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то треугольники подобны.
| Если | AB | = | AC | , ∠A = ∠A1, |
| A1B1 | A1C1 | |||
то ABC ~ A1B1C1. | ||||
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
| Если | AB | = | BC | = | AC | , |
| A1B1 | B1C1 | A1C1 | ||||
то ABC ~ A1B1C1. | ||||||
Таблица знаков в геометрии и их значения: пересечение, подобие
Sign in
Password recovery
Восстановите свой пароль
Ваш адрес электронной почты
MicroExcel.ru Математика Знаки и символы в геометрии
Ниже представлена таблица с основными математическими символами и знаками, которые используются в геометрии с 7 класса и старше.
00″ data-percent-format=»10.00%» data-date-format=»DD.MM.YYYY» data-time-format=»HH:mm» data-features=»["after_table_loaded_script"]» data-search-value=»» data-lightbox-img=»» data-head-rows-count=»1″ data-pagination-length=»50,100,All» data-auto-index=»off» data-searching-settings=»{"columnSearchPosition":"bottom","minChars":"0"}» data-lang=»default» data-override=»{"emptyTable":"","info":"","infoEmpty":"","infoFiltered":"","lengthMenu":"","search":"","zeroRecords":"","exportLabel":"","file":"default"}» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>| Знак | Название | Значение/описание | Пример |
| ∠ | угол | фигура, состоящая из двух лучей и вершины | |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ostr-ugol.png" />»> | острый угол | угол от 0 до 90 градусов | ∠AOB = 60° |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/pryamoy-ugol.png" />»> | прямой угол | угол, равный 90 граусам | ∠AOB = 90° |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="40" height="40" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/tupoy-ugol.png" />»> | тупой угол | ∠AOB = 120° | |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="80" height="240" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="80" height="240" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/razvernuty-ugol-1.png" />»> | развернутый угол | угол, равный 180 градусам | ∠AOB = 180° |
| ° (или deg) | единица измерения угла, равна 1/360 окружности | 45° | |
| ′ | минута | единица измерения угла, 1° = 60′ | α = 70°59′ |
| ″ | секунда | единица измерения угла, 1′ = 60″ | α = 70°59′59″ |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-exc.png" />»> | линия | бесконечная прямая без начала и конца | |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/line-segment-exc.png" />»> | отрезок | участок на прямой между точками A и B | |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="35" height="35" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="35" height="35" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/ray-exc.png" />»> | луч | бесконечная прямая, имеющая начало в точке A, но не имеющая конца | |
 ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" />» data-order=»<img src="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" class="stbSkipLazy aligncenter size-full" width="30" height="30" data-full="https://microexcel.ru/wp-content/uploads/2020/01/arc-exc.png" />»> | дуга | дуга, образованная между точками A и B | |
| ⊥ | перпендикулярность | линии (прямые), расположенные под углом 90° по отношению друг к другу | AC ⊥ BC |
| || | параллельность | непересекающиеся прямые (линии) | AB || CD |
| ∩ | пересечение | множество одинаковых элементов, принадлежащих как множеству A, так и B | A ∩ B |
| ∈ / ∉ | принадлежность/ непринадлежность | элемент является/не является элементом заданного множества | a ∈ S |
| ≅ | конгуэнтность | эквивалентность геометрических форм и размеров | ∆ABC ≅ ∆XYZ |
| ~ | подобие | та же форма, но разные размеры | ∆ABC ~ ∆XYZ |
| Δ | треугольник | фигура треугольника | ΔABC ≅ ΔBCD |
| |x-y| | дистанция | дистанция между точками X и Y | | x-y | = 5 |
| π | константа «Пи» | отношение длины окружности к диаметру круга, π = C/d |  141592654…</nobr>» data-order=»<nobr>π = 3.141592654…</nobr>»>π = 3.141592654… |
| рад (rad) или c | радиан | единица измерения угла | 360° = 2π c |
microexcel.
ru
ЧАЩЕ ВСЕГО ЗАПРАШИВАЮТ
Таблица знаков зодиака
Нахождение площади трапеции: формула и примеры
Нахождение длины окружности: формула и задачи
Римские цифры: таблицы
Таблица синусов
Тригонометрическая функция: Тангенс угла (tg)
Нахождение площади ромба: формула и примеры
Нахождение объема цилиндра: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Синус угла (sin)
Геометрическая фигура: треугольник
Нахождение объема шара: формула и задачи
Тригонометрическая функция: Косинус угла (cos)
Нахождение объема конуса: формула и задачи
Таблица сложения чисел
Нахождение площади квадрата: формула и примеры
Что такое тетраэдр: определение, виды, формулы площади и объема
Нахождение объема пирамиды: формула и задачи
Признаки подобия треугольников
Нахождение периметра прямоугольника: формула и задачи
Формула Герона для треугольника
Что такое средняя линия треугольника
Нахождение площади треугольника: формула и примеры
Нахождение площади поверхности конуса: формула и задачи
Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы
Разность кубов: формула и примеры
Степени натуральных чисел
Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры
Тригонометрические значения углов: sin, cos, tg, ctg
Нахождение периметра квадрата: формула и задачи
Теорема Фалеса: формулировка и пример решения задачи
Сумма кубов: формула и примеры
Нахождение объема куба: формула и задачи
Куб разности: формула и примеры
Нахождение площади шарового сегмента
Что такое окружность: определение, свойства, формулы
Похожие фигурки
Горячая математика Говорят, что две фигуры похожий если они одинаковой формы.
Говоря более математическим языком, две фигуры подобны, если их соответствующие углы равны
конгруэнтный
, а отношения длин их соответствующих сторон равны.
Это обычное отношение называется масштаб .
Символ ∼ используется для обозначения сходства.
Пример 1:
На рисунке ниже пятиугольник А Б С Д Е ∼ пятиугольник В Вт Икс Д Z .
(Обратите внимание, что порядок, в котором вы пишете вершины, имеет значение; например, пятиугольник А Б С Д Е является нет похоже на пятиугольник В Z Д Икс Вт .)
Пример 2:
Два цилиндра похожи. Найдите масштабный коэффициент и
радиус
второго цилиндра.
Высота цилиндра справа 1 3 высота цилиндра слева. Итак, масштабный коэффициент 1 3 .
Чтобы получить радиус меньшего цилиндра, разделите 1,8 к 3 .
1,8 ÷ 3 «=» 0,6
Значит, радиус меньшего цилиндра 0,6 см.
Заметим, что двумерная фигура подобна другой, если вторая может быть получена из первой последовательностью вращения , размышления , переводы , и расширения .
Пример 3:
На рисунке выше шестиугольник
А
1
Б
1
С
1
Д
1
Е
1
Ф
1
переворачивается горизонтально, чтобы получить
А
2
Б
2
С
2
Д
2
Е
2
Ф
2
.
Затем шестиугольник А 2 Б 2 С 2 Д 2 Е 2 Ф 2 переводится как получить А 3 Б 3 С 3 Д 3 Е 3 Ф 3 .
Шестиугольник А 3 Б 3 С 3 Д 3 Е 3 Ф 3 расширяется на масштабный коэффициент 1 2 получить А 4 Б 4 С 4 Д 4 Е 4 Ф .
Обратите внимание, что
А
1
Б
1
С
1
Д
1
Е
1
Ф
1
∼
А
2
Б
2
С
2
Д
2
Е
2
Ф
2
∼
А
3
Б
3
С
3
Д
3
Е
3
Ф
3
∼
А
4
Б
4
С
4
Д
4
Е
4
Ф
4
.
То есть все четыре шестиугольника подобны. (На самом деле, первые три конгруэнтны.)
Пример 4:
Рассмотрим пятиугольник п Вопрос р С Т на координатной плоскости.
Ротация на 180 ° о происхождении отводит пятиугольник к п ‘ Вопрос ‘ р ‘ С ‘ Т ‘ .
Теперь расширение относительно начала координат с помощью масштабного коэффициента
2
берет пятиугольник
п
‘
Вопрос
‘
р
‘
С
‘
Т
‘
к
п
‘
‘
Вопрос
‘
‘
р
‘
‘
С
‘
‘
Т
‘
‘
.
Обратите внимание, что п Вопрос р С Т ∼ п ‘ Вопрос ‘ р ‘ С ‘ Т ‘ ∼ п ‘ ‘ Вопрос ‘ ‘ р ‘ ‘ С ‘ ‘ Т ‘ ‘ . То есть все три пятиугольника подобны. (И первые два совпадают.)
Символы в геометрии
Символы экономят время и место при написании. Вот наиболее распространенные геометрические символы:
.| Символ | Значение | Пример | Словами |
|---|---|---|---|
| △ | Треугольник | △ABC имеет 3 равные стороны | Треугольник ABC имеет три равные стороны |
| ∠ | Угол | ∠ABC равно 45° | Угол, образованный треугольником ABC, равен 45 градусам. |
| ⊥ | Перпендикуляр | АВ⊥CD | Линия AB перпендикулярна линии CD |
| ∥ | Параллельный | EF∥GH | Линия EF параллельна линии GH |
| ° | градусов | 360° | 360 градусов (полный оборот!) |
| ∟ | Прямоугольный (90°) | ∟ равно 90° | Прямой угол равен 90 градусов |
| Линейный сегмент «AB» | АБ | Отрезок между А и В | |
| Линия «АВ» | Бесконечная линия, включающая A и B | ||
| Рэй «АБ» | Линия, которая начинается в A, проходит через B и продолжается | ||
| ≅ | Конгруэнтные (одинаковая форма и размер) | △ABC ≅ △DEF | Треугольник ABC равен треугольнику DEF |
| ~ | Аналогичные (такой же формы, разного размера) | △DEF∼△MNO | Треугольник DEF подобен треугольнику MNO |
| ∴ | Поэтому | а=б б=а | a равно b, поэтому b равно a |
Пример: В △ABC, ∠BAC равно ∟
Действительно говорится: «В треугольнике ABC угол BAC прямой»
Именование углов
Для углов центральная буква находится там, где находится угол.