Формула как разложить на множители квадратное уравнение: Разложение квадратного трёхчлена на множители

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax² + bx + c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(x − x₁)(x − x₂)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x² − 8x + 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x² − 8x + 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Итак, x₁ = 6, x₂ = 2. Теперь воспользуемся формулой ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). В левой части вместо выражения ax² + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x² − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x₁ = 6, x₂ = 2

x² − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x² − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x² − 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x² − 6x − 2x + 12 = x² − 8x + 12

---

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x² − 14x + 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x² − 14x + 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Итак, x₁ = 4, x₂ = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x² − 14x + 24 к выражению a(x − x₁)(x − x₂), где вместо переменных a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения. В данном случае a = 2

2x² − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x² − 14x + 24

2(x − 4)(x − 3) = 2(x² − 4x −3x + 12) = 2(x² − 7x + 12) = 2x² − 14x + 24

---

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

x² + bx + c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен x² + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x₁ + x₂ = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x² + bx + c

Раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x₂

Далее замечаем, что выражение (x − x₁) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Мы пришли к тому, что выражение x² + bx + c стало равно (x − x₁)(x − x₂)

x² + bx + c = (x − x₁)(x − x₂)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax² + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax² + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax² + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax₁ − ax₂ и ax₁x₂, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax₂

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Мы пришли к тому, что выражение ax² + bx + c стало равно a(x − x₁)(x − x₂)

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x₁)(x − x₂) вместо переменных x₁ и x₂.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x₁ и x₂. Например, квадратный трёхчлен x² + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x₁ и x₂. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)² поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

---

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² − 2x − 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x² − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂), где вместо a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

---

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3 − 11x + 6x²

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x² − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

---

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² + 7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

---

Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x² − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x₁

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби 

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

---

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Показать решение

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Опубликовано Автор

Разложение квадратного уравнения на множители – формула

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 178.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 178.

Квадратное уравнение – это основа большей части задач и примеров школьного курса математики. Разложение квадратного уравнения на множители – процесс необходимый для решения дробно рациональных уравнений.

Формула квадратного уравнения

Давайте разберемся. Квадратное уравнение раскладывать на множители приходится крайне редко. 2-21x-70}\over{7x+14}}= (х-5)$$

Что мы узнали?

Мы разделили понятия квадратного уравнения и квадратного трехчлена, разобрались с понятием формулы разложения на множители квадратного уравнения и привели пример использования этой формулы.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Герман Залуцкий

  5/5

Оценка статьи

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 178.

---

А какая ваша оценка?

Квадратное уравнение на множители — примеры, квадратичное уравнение на множители

Квадратное уравнение на множители представляет собой метод выражения многочлена как произведения его линейных множителей. Это процесс, который позволяет нам упрощать квадратные выражения, находить их корни и решать уравнения. Квадратичный многочлен имеет форму ax

2 + bx + c, где a, b, c — действительные числа. Факторирование квадратичных уравнений — это метод, который помогает нам найти нули квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0,

В этом мини-уроке давайте узнаем об увлекательной концепции факторизации квадратичных уравнений, формуле факторизации квадратных уравнений и некоторых решенных примерах для лучшего понимания.

1.	Что такое Факторинг Квадратичные?
2.	Методы факторизации квадратичных уравнений
3.	Тождества для факторинга квадратичных уравнений
4.	Формула факторизации квадратичных чисел
5.	Часто задаваемые вопросы по факторинговым квадратикам

Что такое факторинг Квадратичные?

Квадратичная факторизация — это метод выражения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 в виде произведения его линейных множителей как (x — k)(x — h), где h, k — корни квадратное уравнение ax ² + bx + c = 0. Этот метод также называют методом факторизации квадратных уравнений. Факторизация квадратных уравнений может быть выполнена с использованием различных методов, таких как расщепление среднего члена, использование квадратной формулы, заполнение квадратов и т. д.

Факторизация квадратичных чисел Значение

Факторная теорема связывает линейные множители и нули любого многочлена. Каждое квадратное уравнение имеет два корня, например \(\alpha\) и \(\beta\). Это нули квадратного уравнения. Рассмотрим квадратное уравнение f(x) = 0, где f(x) — многочлен степени 2. Предположим, что x = \(\alpha\) — один из корней этого уравнения. Это означает, что x = \(\alpha\) является нулем квадратного выражения f(x). Таким образом,

(x — \(\alpha\)) должно быть фактором f(x).

Аналогично, если x = \(\beta\) является вторым корнем f(x) = 0, то x = \(\beta\) является нулем f(x). Таким образом, (x — \(\beta\)) должно быть фактором f(x). Следовательно, факторизация квадратичных уравнений — это метод выражения квадратных уравнений в виде произведения их линейных множителей, то есть f (x) = (x — \ (\ alpha \)) (x — \ (\ beta \)). Рассмотрим несколько примеров факторизации квадратичных уравнений:

Примеры факторизации квадратичных чисел

1. Рассмотрим квадратное уравнение x ² + 5x + 6 = 0

-3 и -2 являются корнями уравнения. Подставьте корни в данное уравнение и проверьте, равно ли значение 0.

Коэффициент 1: (x + 3)

LHS = x ² + 5x + 6 = (-3) ² + 5 × -3 + 6 = 9 -15 + 6 = 0 = RHS

Коэффициент 2: (x + 2)

LHS = x ² + 5x + 6 = (-2) ² + 5 × -2 + 6 = 4 -10 + 6 = 0 = RHS

Таким образом, уравнение имеет 2 множителя (x + 3) и (x + 2)

2. Рассмотрим x ² — 9 = 0

3 и -3 два корня уравнения. Подставьте корни в данное уравнение и проверьте, равно ли значение 0.

3 ² — 9 = 9 — 9 = 0

(-3) ² — 9 = 9 — 9 = 0

Таким образом, уравнение имеет 2 множителя (x+3) и (x-3)

Методы факторизации квадратичных уравнений

Факторизация квадратного уравнения дает нам корни квадратного уравнения. Существуют различные методы, которые можно использовать для факторизации квадратных уравнений. Разложение квадратичных чисел на множители осуществляется четырьмя способами:

• Факторизация НОД
• Разделение среднего члена
• Использование алгебраических тождеств (заполнение квадратов)
• Использование квадратичной формулы

Разложение квадратичных чисел на множители путем исключения НОД

Разложение на множители квадратичных чисел можно выполнить, найдя общий числовой множитель и алгебраические множители, общие для членов квадратного уравнения, а затем вычтя их. Давайте решим пример, чтобы понять факторинг квадратных уравнений, убрав НОД.

Рассмотрим это квадратное уравнение: 3x ² + 6x = 0

• Численный множитель равен 3 (коэффициент x ² ) в обоих выражениях.
• Общий алгебраический делитель равен x в обоих терминах.
• Общие делители 3 и x. Поэтому мы их выносим.
• Таким образом, 3x
  2 + 6x = 0 факторизуется как 3x(x + 2) = 0

Разделение среднего члена для факторизации квадратичных уравнений

• Сумма корней квадратного уравнения по оси ² + bx + c = 0 определяется выражением \(\alpha + \beta\) = -b/a
• Произведение корней квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равно \(\alpha\beta\) = c/a

Мы разделяем средний член b квадратного уравнения на ax ² + bx + c = 0, когда пытаемся факторизовать квадратные уравнения. Определим пары факторов произведения a и c, сумма которых равна b.

Пример: f(x) = x ² + 8x + 12

Разделите средний член 8x таким образом, чтобы множители произведения 1 и 12 в сумме составляли 8. Пары множителей 12: (1, 12), (2, 6), ( 3, 4). Теперь мы можем видеть, что пара множителей (2, 6) удовлетворяет нашей цели, поскольку сумма 6 и 2 равна 8, а произведение равно 12. Следовательно, мы разделим средний член и запишем квадратное уравнение как:

x ² + 8x + 12 = 0

⇒ x ² + 6x + 2x + 12 = 0

Теперь разбейте термины на пары следующим образом:

(x ² + 6x) + (2x + 12) = 0

⇒ x(x + 6) + 2(x + 6) = 0

Вычитая общий множитель (x + 6), мы имеем

(x + 2) (x + 6) = 0

Таким образом, (x + 2) и (x + 6) являются множителями x ² + 8x + 12 = 0

Тождества для факторинга квадратичных уравнений

Процесс факторизации квадратичных чисел можно выполнить, заполнив квадраты, которые требуют использования алгебраических тождеств. Основные алгебраические тождества, которые используются для заполнения квадратов:

• (а + б) ² = а ² + 2аб + б ²
• (а — б) ² = а ² — 2аб + б ²

Шаги для факторизации квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 с использованием метода квадратов:

• Шаг 1: Разделите обе части квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 на а. Теперь полученное уравнение равно x ² + (b/a) x + c/a = 0
• Шаг 2: Вычесть c/a из обеих частей квадратного уравнения x ² + (b/a) x + c/a = 0. Полученное уравнение равно x ² + (b/a) x = -к/а
• Шаг 3: Добавьте квадрат (b/2a) к обеим частям квадратного уравнения x ² + (b/a) x = -c/a. Полученное уравнение: x ² + (b/a) x + (b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²
• Шаг 4: Теперь левая сторона квадратного уравнения x ² + (b/a) x + (b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ² можно записать в виде полного квадрата и при необходимости упростить RHS. Полученное уравнение: (x + b/2a) ² = -c/a + (b/2a) ²
• Шаг 5: Корни данного квадратного уравнения могут быть получены и, следовательно, мы можем составить множители уравнения.

Другим алгебраическим тождеством, которое используется для факторизации квадратичных уравнений, является a ² — b ² = (а + б)(а — б). Давайте посмотрим на пример, чтобы понять.

Пример 1: f(x) = 9x ² — 4 (разность 2 полных квадратов)

9x ² — 4 = (3x) ² — 7 002 9 9

4 2 Заметим, что это имеет вид a

² — b ² = (a + b)(a — b)

Следовательно, мы факторизуем уравнение 9x ² — 4 = 0 как (3x+2) (3x- 2)

9x ² — 4 = (3x+2) (3x-2)

Пример 2: f(x) = 4x ² + 12x + 9

4x ² + 12x + 9 = (2x) ² + 2(2x)(3) + (3) ²
Заметим, что это имеет вид (a+b) ² = a ² + 2ab + b ²
(2x) ² + 2(2x)(3) + (3) ² = (2x + 3) ²
Следовательно, мы имеем (2x + 3), (2x + 3) как линейные множители f(x) = 4x ² + 12x + 9

Формула факторизации квадратичных чисел 92-4\times 1 \times 4}}{2\times 1}\\\\&= \dfrac{-5\pm \sqrt{25 -16}}{2}\\\\&= \dfrac{ -5\pm \sqrt{9}}{2}\\\\&= \dfrac{-5\pm 3}{2}\\&= \dfrac{-5+3}{2}\text{ и } \dfrac{-5-3}{2}\\\\&=\dfrac{-2}{2}\text{ и }\dfrac{-8}{2}\\\\x &=(- 1)\text{ and} (-4)\end{align}\]

Таким образом, множители равны (x + 1) и (x + 4).

Связанные темы по факторингу Квадратичные уравнения

• Факторная теорема
• Факторы
• Методы факторинга

Важные примечания по факторингу квадратичных чисел

• Линейные коэффициенты имеют форму ax + b, и их нельзя разложить на множители.
• Квадратичный многочлен — это многочлен второй степени.
• Сумма корней квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 определяется выражением \(\alpha + \beta\) = -b/a
• Произведение корней квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 равно \(\alpha\beta\) = c/a

Часто задаваемые вопросы по факторинговым квадратикам

Что такое факторизация квадратичных чисел в алгебре?

Квадратичная факторизация — это метод выражения многочлена как произведения его линейных множителей. Это процесс, который позволяет нам упрощать квадратные выражения, находить их корни и решать уравнения.

Как решать квадратные уравнения, разлагая квадратные уравнения на множители?

Факторизация квадратного уравнения дает нам корни квадратного уравнения. Существуют различные методы, которые можно использовать для факторизации квадратных уравнений. Разложение квадратичных чисел на множители осуществляется четырьмя способами:

• Факторизация НОД
• Разделение среднего члена
• Использование алгебраических тождеств (заполнение квадратов)
• Использование квадратичной формулы

Определив коэффициенты, мы можем получить корни квадратного уравнения и, следовательно, решение.

Какие методы используются для факторизации квадратных уравнений?

Методы факторизации квадратных уравнений: разделение среднего члена, использование алгебраических тождеств, использование квадратной формулы и вынесение НОД на множители.

Что такое метод факторизации квадратных уравнений?

Разделение среднего члена и использование квадратной формулы являются наиболее эффективными методами факторизации квадратных уравнений.

Является ли факторинг квадратичных уравнений таким же, как и их решение?

Когда мы факторизуем квадратное уравнение, мы получаем линейные множители, которые делят квадратный полином нацело. Следующим шагом является нахождение нулей уравнения путем приравнивания множителей к нулю.

Как кратчайшим образом разложить на множители любое квадратное уравнение?

Использование формулы квадратного уравнения является кратчайшим способом разложения квадратного уравнения на множители.

Какие есть хитрости для факторинга квадратичных уравнений?

Найдите сумму корней и произведение корней или, определив любое известное алгебраическое тождество, мы можем факторизовать квадратные уравнения.

Что такое факторизованная форма квадратного уравнения?

(x — \(\alpha\)) (x — \(\beta\)) — факторизованная форма квадратного уравнения, где \(\alpha\) и \(\beta\) — корни квадратного уравнения уравнение.

Как решить квадратное уравнение?

Существуют различные методы факторизации квадратных уравнений и решения квадратных уравнений. Факторинг квадратичных чисел осуществляется четырьмя способами:

• Факторизация НОД
• Разделение среднего члена
• Использование алгебраических тождеств (заполнение квадратов)
• Использование квадратичной формулы

Как легко разложить квадратные уравнения на множители?

Мы разделяем средний член b квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0, когда пытаемся факторизовать квадратные уравнения. Определим пары факторов произведения a и c, сумма которых равна b. Убрав общие множители, мы можем легко факторизовать квадратные уравнения.

Факторизация квадратичных вычислений — математика GCSE

Введение

Видео факторизации квадратичных чисел

Что такое квадратное выражение?

Факторизация квадратичных рабочих листов

Распространенные заблуждения

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Теперь доступны еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE

Узнать больше

Введение

Факторизация квадратичных видео

Что такое квадратное выражение?

Факторизация квадратичных рабочих листов

Распространенные заблуждения

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь мы узнаем о факторизации квадратичных чисел; мы изучим, что такое квадратные выражения, и шаги, необходимые для разложения в двойные скобки.

Существуют также листы факторизации квадратичных вычислений, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные рекомендации о том, что делать дальше, если вы все еще застряли. 9{2}\color{#00BC89}{+3}x\color{#7C4DFF}{-2}\]

Квадратные выражения такого рода факторизуются с помощью двойных скобок. Существуют различные методы, которые мы можем использовать в зависимости от того, больше ли коэффициент при x ² 1.

Что такое факторизация квадратичных чисел?

Факторизация, или факторизация квадратных уравнений, является противоположностью раскрывающихся скобок и используется для решения квадратных уравнений.

Например, в виде x ² + bx + c требуются две скобки (x + d) (x + e).

Как разложить на множители квадратные числа:

1. Выпишите пары множителей последнего числа (c).
2. Найдите пару множителей, которые  +  , чтобы получить среднее число (b), и умножьте их, чтобы получить последнее число (c).
3. Напишите две скобки и в начале каждой поставьте переменную.
4. Запишите один множитель в первой скобке, а другой множитель во второй скобке. Порядок не важен, важны знаки факторов.

Что такое факторизация квадратичных чисел?

Если вы ищете обзор всех различных способов факторизации выражений, возможно, вам будет полезно начать с нашего основного урока факторизации или подробно изучить другие уроки в этом разделе.

• Факторинг
• Факторизация одинарных скобок
• Разность двух квадратов

Квадратные выражения или квадратные уравнения?

Квадратное уравнение — это квадратное выражение, равное чему-либо. Мы можем решать квадратные уравнения, используя факторизацию (или факторизацию), квадратную формулу или дополняя квадрат.

Пошаговое руководство: Квадратные уравнения

Рабочие листы по факторизации квадратичных уравнений

Загрузите два бесплатных рабочих листа по факторизирующим квадратным уравнениям, чтобы помочь своим учащимся подготовиться к экзаменам GCSE. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Икс

Рабочие листы по квадратичной факторизации

Загрузите два бесплатных рабочих листа по квадратичной факторизации, которые помогут вашим учащимся подготовиться к экзаменам GCSE. Включает рассуждения и прикладные вопросы.

СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО

Разложение на множители квадратного выражения вида x

² + bx + c

Чтобы разложить на множители квадратное выражение вида x ² + bx + c, нам понадобится двойных скобок . Факторизация в двойные скобки — это процесс, обратный раскрытию двойных скобок.

В этом случае коэффициент (число впереди) члена x ² равен 1 (a=1). Они известны как монические квадратичные.

Как разложить на множители квадратичные числа: x

² + bx + c (двойные скобки)

Чтобы разложить на множители квадратное алгебраическое выражение вида x ² + bx + c в двойных скобках:

1. Выпишите пары множителей последнего числа (c ).
2. Найдите пару множителей, которые + дают среднее число (b) и ✕ дают последнее число (c).
3. Напишите две скобки и в начале каждой поставьте переменную.
4. Запишите один множитель в первой скобке, а другой множитель во второй скобке. Порядок не важен, важны знаки факторов. 92 \color{#00BC89}{+ 6x}\color{#7C4DFF} {+ 5}\]

   Коэффициенты 5:
   1, 5

   1 + 5= 6✔

   1 ✕ 5= 5✔

   (Хорошо бы быстро проверить правильность чисел)

   Помните: чтобы умножить два значения, чтобы получить положительный ответ, знаки должны быть одинаковыми

   3Запишите две скобки и поместите переменную в конце начало каждого из них (x в данном случае).

   \[(x\qquad)(x\qquad)\]

   4Запишите один множитель в первой скобке, а другой множитель — во второй скобке. Порядок не важен, важны знаки факторов. 92 – 2x – 24\]

   Выписать пары множителей последнего числа (24) по порядку

   x ² – 2x – 24

   Множители числа 24:

   1, 24
   2, 193 9 , 8
   4, 6

   Нам нужна пара множителей, которые + дают среднее число (-2) и ✕ дают последнее число (-24). 1, 24 24 ✔

   (рекомендуется быстро проверить правильность номеров)

   Помните: чтобы умножить два значения вместе и получить отрицательный ответ, знаки должны быть разными.

   Напишите две скобки и поставьте переменную в начале каждой (в данном случае x).

   (x       )(x       )

   Запишите один множитель в первой скобке, а другой множитель — во второй скобке. Порядок не важен, важны знаки факторов.

   (x – 6)(x + 4)

   Теперь мы полностью факторизовали квадратное выражение.

   Мы можем проверить ответ, перемножив скобки! 9{2}+x-20\]

   Факторы числа 20:
   1, 20
   2, 10
   4, 5

   последнее число (-20).

   x ² + x -20

   Коэффициенты 20:
   1, 20
   2, 10
   4, 5

   -4 + 5 = 1 ✔

   -4 ✕ 5 = -20 ✔

   ( Это хорошая идея, чтобы быстро проверить, что у нас есть правильные числа)

   Помните: чтобы ✕ два значения вместе дать отрицательный ответ, знаки должны быть разными

   Запишите две скобки и поставьте переменную в начале каждой (в данном случае x)

   (x       )(x       )

   Запишите один множитель в первой скобке, а другой множитель — во второй скобке. Порядок не важен, важны знаки факторов.

   (x – 4)(x + 5)

   Мы можем проверить ответ, перемножив скобки!

   (x – 4)(x + 5) = x ² + x – 20

   Пример 4: с коэффициентом -x и константой +

   92 – 8x + 15\]

   Выпишите пары множителей последнего числа (15) по порядку.

   Делители 15:

   1, 15

   3, 5

   Нам нужна пара множителей, которые + дают среднее число (-8) и ✕ дают последнее число (15).

   x ² – 8x + 15

   Коэффициенты 15:
   1, 15
   3, 5

   -3 + -5 = -8 ✔
   -3 ✕ -5 = 15 ✔ 9000 хорошая идея чтобы быстро проверить правильность номеров.

   Помните: чтобы ✕ два значения вместе давали положительный ответ, знаки должны быть одинаковыми

   Запишите две скобки и поставьте переменную в начале каждой (в данном случае x)

   (x       )(x       )

   Запишите один множитель в первой скобке, а другой множитель — во второй скобке.

   \[(x – 3)(x – 5)\]

   Теперь мы полностью факторизовали квадратное выражение.

   Мы можем проверить ответ, перемножив скобки!

   (x – 3)(x – 5) = x ² – 8x + 15

   Практика факторизации квадратичных вопросов: x 9{2}-10x+24=(x-4)(x-6) .

   Факторизация квадратичных вопросов GCSE: x

   ² + bx + c (двойные скобки)

   1. Факторизация: x ² + 3x – 10

   Показать ответ

   (x – 7 2)(x + 2)

   (2 балла)

   2. Факторизация: y ² – 10y + 16

   Показать ответ

   (y – 2)(y – 8)

   (2 балла)

   3. Факторизация: x 40 0003 – 12x + 27

   Показать ответ

   (x – 3)(x – 9)

   (2 балла)

   Факторизация квадратного выражения в виде ax

   ² + bx + c

   Чтобы разложить на множители квадратное выражение в виде ax ² + bx + c нам нужно двойных скобок . Разложение на двойные скобки — это процесс, обратный раскрытию двойных скобок.

   В этом случае коэффициент (число впереди) члена x ² больше 1 (a > 1). Они известны как немонические квадратичные уравнения.

   Как разложить на множители квадратичные числа: топор

   ² + bx + c (двойные скобки)

   Чтобы разложить квадратное алгебраическое выражение в форме ax ² + bx + c в двойные скобки:

   1. Перемножьте конечные числа (a и c), затем запишите факторные пары этого нового числа по порядку.
   2. Нам нужна пара множителей: +, чтобы получить среднее число (b), и ✕, чтобы получить это новое число.
   3. Перепишите исходное выражение, на этот раз разделив средний член на два множителя, которые мы нашли на шаге 2. Порядок этих множителей не имеет значения, важны знаки.
   4. Разделите уравнение пополам и полностью разложите каждую половину на множители. Выражения в скобках должны быть одинаковыми!
   5. Разложите все выражение на множители, вынеся содержимое скобки вперед и записав два других члена в другой скобке.

   Объясните, как разложить на множители квадратичные числа: ax² + bx + c (двойные скобки)

   Примеры факторизации квадратичных чисел: ax

   ² + bx + c (двойные скобки) 92 + 5x + 3\]
   1. Перемножьте конечные числа (2 и 3), затем запишите пары множителей этого нового числа по порядку.

   2x ² + 5x + 3

   2 × 3 = 6

   Делители 6:
   1, 6
   2, 3

   2 Нам нужна пара множителей, которые + дают среднее число (5) и ✕ дать этот новый номер (6).

   2x ² + 5x + 3

   2 × 3 = 6

   Коэффициенты 6:
   1, 6
   2, 3

   + 5
   ✕ 6

   2 + 3 = 5 ✔
   2 x 3 = 6 ✔

   Помните: чтобы соединить два значения вместе, чтобы дать положительный ответ, знаки должны быть одинаковыми.

   3Вернитесь к исходному уравнению и на этот раз перепишите его, разделив средний член на два фактора, которые мы нашли на шаге 2 — порядок этих факторов не имеет значения, важны знаки.

    2x  2  + 5x + 3 

    2x  2  + 2x + 3x + 3 

   4Разделите уравнение посередине на две половины и разложите каждую половину на множители — выражения в скобках должны быть одинаковыми!

    2x  2  + 5x + 3 

    2x  2  + 2x + 3x + 3 

    2x  (x + 1)  + 3  (x + 1)  

   2x (x + 1) + 3 (x + 1)

   5Теперь разложите все выражение на множители, вынося все, что в скобках, вперед и записывая два других члена в другую скобку.

   (x + 1) ( 2x \; + \; 3 )

   Порядок скобок не имеет значения

   Теперь мы полностью разложили квадратное выражение на множители. 92 + 3x – 2\]

   Умножьте конечные числа (2 и -2), затем запишите пары множителей этого нового числа по порядку.

   2x ² + 3x – 2

   2 ✕ -2 = -4

   Делители 4:
   1, 4
   2, 2

   Нам нужна пара множителей, которые + дают среднее число (3 ) и ✕, чтобы получить этот новый номер (-4)

   2x ² + 3x – 2

   2 ✕ -2 = -4

   Коэффициенты 4:
   1, 4
   2, 2 9019 ⊕ ^{✕ -4}

   -1 + 4 = 3 ✔
   -1 ✕ 4 = -4 ✔

   Помните: чтобы соединить два значения вместе, чтобы получить отрицательный ответ, знаки должны быть разными

   Вернитесь к исходному уравнению и перепишите его следующим образом. время разбивает средний член на два фактора, которые мы нашли на шаге 2 — порядок этих факторов не имеет значения, важны знаки.

    2x  2  + 3x - 2 

    2x  2  - x + 4x - 2 

   Разделите уравнение посередине на две половины и полностью разложите каждую половину — выражения в скобках должны быть одинаковыми!

    2x  2  + 3x - 2
   2x  2  - x + 4x - 2
   x(2x + 1) + 2(2x - 1) 

   Теперь разложите все выражение на множители, вынеся все, что находится в скобках, на передний план и запишите два других члена в другой скобке.

   (2x – 1)(x + 2)

   Теперь мы полностью факторизовали квадратное выражение.

   Мы можем проверить ответ, перемножив скобки!

   (2x – 1)(x + 2) = 2x ² + 3x – 2

   Пример 3: с коэффициентом -x и -константой 92 – 2x – 8\]

   Умножьте конечные числа (3 и -8), затем запишите пары множителей этого нового числа по порядку.

   3x ² – 2x – 8

   3 ✕ -8 = -24

   Факторы 24:
   1, 24
   2, 12
   3, 8
   900 6 + дать среднее число (-2) и ✕ дать это новое число (-24)

   3x ² – 2x – 8

   3 ✕ -8 = -24

   Коэффициенты 24:
   1, 24
   2, 12
   3, 8
   4, 6

   ⊕ -2
   ✕ -24

   -6 + 4 = -2 ✔
   -6 ✕ 4 ​​= -24 ✔

   Помните: ✕ два значения вместе дают отрицательный ответ , знаки должны быть разными

   Вернитесь к исходному уравнению и перепишите его, на этот раз разделив средний член на два множителя, которые мы нашли на шаге 2 — порядок этих множителей не имеет значения, важны знаки.

    3x  2  - 2x - 8 

    3x  2  - 6x + 4x - 8 

   Разделите уравнение посередине на две половины и полностью разложите каждую половину – выражения в скобках должны быть одинаковыми!

    3x  2  - 2x - 8 

    3x  2  - 6x + 4x - 8 

    3x  (x - 2)  + 4  (x - 2)  

   Теперь фактор то, что находится в скобках, впереди и запись двух других терминов в другой скобке.

   (x – 2)(3x + 4)

   Теперь мы полностью факторизовали квадратное выражение.

   Мы можем проверить ответ, перемножив скобки!

   (х – 2)(3х + 4) = 3х 92 – 7x + 2 \]

   Умножьте конечные числа вместе (6 и 2), затем запишите пары множителей этого нового числа по порядку.

   6x ² – 7x + 2

   6 ✕ 2 = 12

   Факторы 12:
   1, 12
   2, 6
   3, 4

   Нам нужна пара множителей (-7) и ✕, чтобы получить этот новый номер (12)

   6x ² – 7x + 2

   6 ✕ 2 = 12

   Коэффициенты 12:
   1, 12
   2, 6

   3,31

   + -7
   ✕ -24

   -3 + -4 = -7 ✔
   -3 ✕ -4 = 12 ✔

   Помните: чтобы ✕ два значения вместе дать положительный ответ, знаки должны быть одинаковыми

   Вернитесь к исходному уравнению и на этот раз перепишите его, разделив средний член на два фактора, которые мы нашли на шаге 2 – порядок этих факторов не имеет значения, важны знаки.

    6x  2  - 7x + 2 

    6x  2  - 3x - 4x + 2 

   Разделите уравнение посередине на две половины и полностью разложите каждую половину – выражения в скобках должны быть одинаковыми!

    6x  2  - 7x + 2 

    6x  2  - 3x - 4x + 2 

    3x  (2x - 1)    - 2  (2x - 1)  

   Теперь Фактор. вынося все, что в скобках, вперед и записывая два других термина в другую скобку.

   (2x – 1)(3x – 2)

   Теперь мы полностью разложили квадратное выражение на множители.

   Мы можем проверить ответ, перемножив скобки!

   (2x – 1)(3x – 2) = 6x 9{2}-8x-x+4] или 2[2x(x-4)-(x-4)] так, чтобы полностью факторизованное выражение было 2(2x-1)(x-4) .

   Факторизация квадратичных вопросов GCSE: ax

   ² + bx + c (двойные скобки)

   1. Разложить на множители: 2x ² + 9x + 4

   Показать ответ

   (2x + 1)(x00 9) (2 балла)

   2. Факторизация: 2y ² – y – 3

   Показать ответ

   (2y – 3)(y + 1)

   (2 балла)

   3. Факторизация: 2x 04 03 00

   – х – 10

   Показать ответ

   (2x – 5)(x + 2)

   (2 балла)

   Распространенные заблуждения

   • Порядок скобок

     При умножении двух значений порядок не имеет значения. Это верно для скобок при факторизации квадратичных чисел

     , например. 2 ✕3 = 3 ✕2

     Здесь точно так же.

     (х – 6)(х + 4) означает (х – 6)(х + 4)

     Итак,

     (х – 6)(х + 4)=(х + 4)(х – 6)

   + ✕ + = + 9{2}+бх+к(Н)

Все еще зависает?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie для улучшения работы нашего веб-сайта.

No related posts.