График функции как решить: Построение графика функции онлайн

Функции и графики. Производная и первообразная

Понятие функции – одно из основных в математике. Более того – именно с функций и графиков начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции – это все-таки арифметика. Математика – наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Функции и графики – универсальный язык, понятный физику и биохимику, астроному, инженеру и экономисту.

Знаете ли вы, что определение функции можно дать четырьмя способами, дополняющими друг друга? И все их надо знать. Подробно – здесь:

Что такое функция?

Что такое нули функции? Точки максимума и минимума функции? Промежутки возрастания и убывания? Какие функции называются монотонными и как это увидеть на графике? Об этом – в следующей статье:

Чтение графика функции

Материалы для старшеклассников и студентов:

Четные и нечетные функции

Периодические функции

Обратная функция

Существует всего 5 типов элементарных функций. Это степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Их графики и свойства надо знать наизусть. Любая функция, которую вы можете встретить в задачах ЕГЭ, относится к одному из пяти типов – или является их комбинацией.

Подробно о функциях:

Элементарные функции и их графики

Линейная функция

Квадратичная функция

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Как строить графики функций? Читайте наши материалы:

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Поведение функции в бесконечности и асимптоты

Производная функции – мощный математический инструмент. С помощью производной можно находить точки максимума и минимума функций и промежутки их возрастания и убывания. Можно более точно строить графики. Главное, что нужно запомнить:

производная – это скорость изменения функции.

Производная функции

Таблица производных

Первообразная функции

Задачи ЕГЭ на производную и ее применение – это задание 7 и задание 11.

Тема «Функции и графики» особенно полезна тем, кто сдает ЕГЭ на высокие баллы. Без них не решить задачи с параметрами. Зато, нарисовав график функции, вы можете сразу увидеть решение. Останется только записать его.

И если вы продолжите изучение математике в вузе — первая же лекция из курса математического анализа будет посвящена элементарным функциям и их графикам.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Функции и графики. Производная и первообразная» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 08.04.2023

Помогите построить графики функций, определить проходит ли график функции через определенные точки и решить систему уравнений графически.

Популярное

Сообщества

1. определить проходит ли график функции у=х2+10 через след точки:

А(2:14), В(-2:14),С(5:-35), D(-5:35)

2.построить график функции-2х-3

3.построить график функции х2+2

4. построить график функции-1/х-5

5. решить систему уравнений графически у=-(х+1) и у=х-1

Математика

Анна И.

5 февраля 2020  ·

15,4 K

ОтветитьУточнить

Nota Bene Journal

-4

Популяризуем социально-экономические науки, развиваем критическое мышление и навыки. 2+2. В данном случае графиком функции является парабола, начальная точка которого сдвинута по оси ординат(у) на 2 вверх. То есть, при х=0, у = 2. В остальном, построение параболы не изменится. Вы можете подставить несколько точек для проверки или для более детального построения. Например, при x = 1 или (-1), y = 3. При х= 2 или (-2), у = 6 и т.д.

Расскажу об экономике, учёбе за рубежом, опыте работы в Академии и Индустрии.

Перейти на vk.com/nb_journal

1 эксперт согласен

Комментировать ответ…Комментировать…

Инструменты Е14

3

Директор магазина «Инструменты Е14»  · 6 февр 2020

Здравствуйте.
Для решения задач такого рода Вам всего лишь нужно подставлять разные значения Х и У (В случае с задачей 1 нужно подставлять уже известные Х и У)
Например, точка А имеет координаты Х=2, а У=14, подставляем в формулу у=2х+10 значения (14=2*2+10; 14=14; Если обе части функции совпали, график проходит через точку, имеющую координаты Х=2, У=14)

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

1 ответ скрыт(Почему?)

Графики рациональных функций

Горячая математика

Рациональные функции имеют вид у «=» ф Икс , где ф Икс это рациональное выражение .

Некоторые из примеров рациональных функций:

у «=» 1 Икс , у «=» Икс Икс 2 − 1 , у «=» 3 Икс 4 + 2 Икс + 5

Графики рациональных функций нарисовать сложно. Чтобы начертить график рациональной функции, вы можете начать с нахождения асимптоты и перехватывает.

Этапы построения графика рациональных функций:

1. Найдите асимптоты рациональной функции, если они есть.
2. Нарисуйте асимптоты в виде пунктирных линий.
3. Найди Икс -перехват (песок у -перехват рациональной функции, если таковая имеется.
4. Найдите значения у для нескольких различных значений Икс .
5. Нанесите точки и нарисуйте плавную кривую, чтобы соединить точки. Следите за тем, чтобы график не пересекал вертикальные асимптоты.

Пример:

График рациональной функции

у «=» 4 Икс + 1 2 Икс + 1

Вертикальная асимптота рациональной функции равна Икс -значение, где знаменатель функции равен нулю. Приравнять знаменатель к нулю и найти значение Икс .

2 Икс + 1 «=» 0 Икс «=» − 1 2

Вертикальная асимптота рациональной функции равна Икс «=» − 0,5 .

Эта функция имеет Икс -перехват в − 1 4 , 0 и у -перехват в 0 , 1 . Найдите больше точек на функции и постройте график функции.

Иногда заданную рациональную функцию необходимо упростить, прежде чем строить ее график. В этом случае, если есть какие-либо исключенные значения (где функция не определена), отличные от асимптот, то для построения графика функции требуется дополнительный шаг.

Чтобы представить неопределенную функцию, убедитесь, что функция не является непрерывной гладкой кривой при исключенном значении. Это исключенное значение обычно называют дырой в рациональной функции.

Например, рациональная функция у «=» 4 Икс 2 + Икс 2 Икс 2 + Икс имеет отверстие в Икс «=» 0 .

Обратите внимание, что графики рациональных функций удовлетворяют тест вертикальной линии .

Графические линейные функции | Колледж Алгебра |

Графики линейных функций

В линейных функциях мы видели, что график линейной функции представляет собой прямую линию. Мы также смогли увидеть точки функции, а также начальное значение на графике. Таким образом, построив график двух функций, мы сможем легче сравнить их характеристики.

Существует три основных метода построения графиков линейных функций. Первый заключается в построении точек, а затем проведении линии через точки. Во-вторых, с использованием точки пересечения и наклона

y-. И третий — с помощью преобразований функции тождества

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

.

График функции путем построения точек

Чтобы найти точки функции, мы можем выбрать входные значения, оценить функцию при этих входных значениях и вычислить выходные значения. Входные значения и соответствующие выходные значения образуют пары координат. Затем мы наносим пары координат на сетку. В общем, мы должны оценивать функцию как минимум на двух входах, чтобы найти как минимум две точки на графике. Например, учитывая функцию,

f(x)=2xf\left(x\right)=2xf(x)=2x

, мы могли бы использовать входные значения 1 и 2. Вычисление функции для входного значения 1 дает выходное значение 2, который представлен точкой (1, 2). Оценка функции для входного значения 2 дает выходное значение 4, которое представлено точкой (2, 4). Часто рекомендуется выбирать три точки, потому что, если все три точки не лежат на одной линии, мы знаем, что допустили ошибку.

Как: Для заданной линейной функции построить график по точкам.

1. Выберите не менее двух входных значений.
2. Оценить функцию для каждого входного значения.
3. Используйте полученные выходные значения для идентификации пар координат.
4. Нанесите пары координат на сетку.
5. Проведите линию через точки.

Пример 1. График по точкам

График

f(x)=−23x+5f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5f(x)=−32​ x+5

по точкам.

Раствор

Начните с выбора входных значений. Эта функция включает в себя дробь со знаменателем 3, поэтому давайте выберем кратные 3 в качестве входных значений. Мы выберем 0, 3 и 6.

Вычислите функцию для каждого входного значения и используйте выходное значение для идентификации пар координат.

{х=0f(0)=-23(0)+5=5⇒(0,5)х=3f(3)=-23(3)+5=3⇒(3,3)х=6f (6)=−23(6)+5=1⇒(6,1)\begin{cases}x=0& & f\left(0\right)=-\frac{2}{3}\left(0 \right)+5=5\Стрелка вправо \left(0,5\right)\\ x=3& & f\left(3\right)=-\frac{2}{3}\left(3\right)+ 5=3\Стрелка вправо\влево(3,3\вправо)\\ x=6& & f\влево(6\вправо)=-\frac{2}{3}\влево(6\вправо)+5=1\ Стрелка вправо\влево(6,1\вправо)\конец{случаи}⎩

⎨

⎧​x=0x=3x=6​f(0)=−32​(0)+5=5⇒(0,5)f(3)=−32​(3)+5 =3⇒(3,3)f(6)=−32​(6)+5=1⇒(6,1)​

Постройте пары координат и проведите линию через точки.

На рисунке 1 показан график функции

f(x)=−23x+5f\left(x\right)=-\frac{2}{3}x+5f(x)=−32​x+5

.

Рисунок 1

Попробуйте 1

График

f(x)=−34x+6f\left(x\right)=-\frac{3}{4}x+6f(x)=− 43​x+6

по точкам. Решение

График линейной функции с использованием точки пересечения

y- и наклона

Другой способ построения графика линейных функций заключается в использовании конкретных характеристик функции, а не точек на графике. Первой характеристикой является точка пересечения y-, которая является точкой, в которой входное значение равно нулю. Чтобы найти точку пересечения y- , мы можем установить x = 0 в уравнении.

Другой характеристикой линейной функции является ее наклон м , что является мерой его крутизны. Напомним, что наклон — это скорость изменения функции. Наклон функции равен отношению изменения выходов к изменению входов. Другой способ представить уклон — это разделить вертикальную разницу, или подъем, на горизонтальную разницу, или пробег. Мы столкнулись как с точкой пересечения y-, так и с наклоном в линейных функциях.

Рассмотрим следующую функцию.

f(x)=12x+1f\left(x\right)=\frac{1}{2}x+1f(x)=21​x+1

Наклон равен

12\frac{1}{2}21​

. Поскольку наклон положительный, мы знаем, что график будет наклонен вверх слева направо. Точка пересечения y- представляет собой точку на графике, когда x = 0. График пересекает ось y в точке (0, 1). Теперь мы знаем наклон и точку пересечения и . Мы можем начать построение графика, нанеся точку (0, 1). Мы знаем, что уклон представляет собой подъем над пробегом,

m=riserunm=\frac{\text{rise}}{\text{run}}m=runrise​

. В нашем примере у нас есть

m=12m=\frac{1}{2}m=21​

, что означает, что подъем равен 1, а пробег равен 2. Таким образом, начиная с нашего y -intercept ( 0, 1), мы можем подняться на 1, а затем пробежать 2, или пробежать 2, а затем подняться на 1. Мы повторяем, пока у нас не будет несколько точек, а затем мы проводим линию через точки, как показано на рисунке 2.

Рисунок 2

A Общее примечание: Графическая интерпретация линейной функции

В уравнении

f(x)=mx+bf\left(x\right)=mx+bf(x)=mx+b

• b  является y -пересечением графика и указывает точку (0, b ), при котором график пересекает ось y .
• м  является наклоном линии и указывает вертикальное смещение (подъем) и горизонтальное смещение (пробег) между каждой последовательной парой точек. Напомним формулу наклона:

м = изменение на выходе (рост) изменение на входе (прогон) = ΔyΔx = y2−y1x2−x1m=\frac{\text{изменение на выходе (рост)}}{\text{изменение на входе (прогон)} }=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1} }m=изменение на входе (выполнение)изменение на выходе (рост)=ΔxΔy​=x2​−x1​y2​−y1​​

Вопросы и ответы

Все ли линейные функции имеют и -пересечения?

Да. Все линейные функции пересекают ось y и, следовательно, имеют точки пересечения с осью y. (Примечание: Вертикальная линия, параллельная оси Y, не имеет точки пересечения с Y, но это не функция. )

Как: Имея уравнение для линейной функции, постройте график функции, используя точки пересечения

и и наклон.

1. Оцените функцию при нулевом входном значении, чтобы найти г- перехват.
2. Определите наклон как скорость изменения входного значения.
3. Нанесите точку, представленную точкой пересечения y-.
4. Используйте

   risrun\frac{\text{rise}}{\text{run}}runrise​

   , чтобы определить как минимум еще две точки на линии.
5. Нарисуйте линию, проходящую через точки.

Пример 2: построение графика с использованием точки пересечения

y- и наклона х)=−32​x+5

с использованием точки пересечения y- и наклона.

Решение

Оцените функцию при x = 0, чтобы найти точку пересечения y-. Выходное значение, когда x = 0, равно 5, поэтому график пересекает ось y в точке (0, 5).

Согласно уравнению для функции, наклон линии равен

−23-\frac{2}{3}−32​

. Это говорит нам о том, что при каждом вертикальном уменьшении «подъема» на –2 единицы «пробег» увеличивается на 3 единицы в горизонтальном направлении. Теперь мы можем построить график функции, сначала построив y — точка пересечения на рисунке 3. От начального значения (0, 5) перемещаемся вниз на 2 единицы и вправо на 3 единицы. Мы можем продлить линию влево и вправо, повторяя, а затем провести линию через точки.

Рисунок 3

Попробуйте 2

Найдите на графике, который мы нарисовали в Примере 2, точку с отрицательным значением x .

Решение

График линейной функции с использованием преобразований

Другим вариантом построения графика является использование преобразований тождественной функции

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

. Функция может быть преобразована сдвигом вверх, вниз, влево или вправо. Функцию также можно преобразовать с помощью отражения, растяжения или сжатия.

Вертикальное растяжение или сжатие

В уравнении

f(x)=mxf\left(x\right)=mxf(x)=mx

м  действуют как вертикальное растяжение или сжатие функции тождества. Когда м  отрицательно, также имеется вертикальное отражение графика. Обратите внимание на рис. 4 , что умножение уравнения

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

на м растягивает график f в м единиц. если м > 1 и сжимает график f в м единиц, если 0 м м, тем круче наклон.

Рис. 4. Вертикальные растяжения, сжатия и отражения функции

f(x)=xf\влево(x\вправо)=xf(x)=x

.

Вертикальное смещение

В

f(x)=mx+bf\left(x\right)=mx+bf(x)=mx+b

, b действует как вертикальный сдвиг , перемещая график вверх и вниз не влияя на наклон линии. Обратите внимание, что на рисунке 5 добавление значения b к уравнению

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

сдвигает график f  всего на b  единиц вверх, если b положительный и | б | единицы вниз, если b отрицательное значение.

Рис. 5. На этом графике показаны вертикальные сдвиги функции

f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

.

Использование вертикального растяжения или сжатия вместе с вертикальным сдвигом — еще один способ взглянуть на определение различных типов линейных функций. Хотя это может быть не самый простой способ построения графика функции такого типа, все же важно практиковать каждый метод.

Как: Имея уравнение линейной функции, используйте преобразования для построения графика линейной функции в виде

f(x)=mx+bf\left(x\right)=mx+bf(x)=mx+b

.

1. График

   f(x)=xf\left(x\right)=xf(x)=x

   .
2. Растянуть или сжать график по вертикали с коэффициентом m .
3. Сдвиг графика вверх или вниз b  ед.

Пример 3. График с использованием преобразований

График

f(x)=12x−3f\left(x\right)=\frac{1}{2}x — 3f(x)=21​x−3

с помощью преобразований.

Решение

Уравнение для функции показывает, что

m=12m=\frac{1}{2}m=21​

, поэтому функция идентичности вертикально сжата на

12\frac{1}{2 }21​

. Уравнение для функции также показывает, что b = –3, поэтому функция идентичности смещена по вертикали на 3 единицы вниз. Во-первых, нарисуйте график функции идентичности и покажите вертикальное сжатие.

Рис. 6. Функция, y  = x , сжатое в

12\frac{1}{2}21​

. Затем покажите вертикальное смещение.

Рис. 7. Функция

y=12xy=\frac{1}{2}xy=21​x

, сдвинутая вниз на 3 единицы.

Попробуйте 3

График

f(x)=4+2xf\left(x\right)=4+2xf(x)=4+2x

, используя преобразования. Решение

Вопросы и ответы

Можно ли в примере 3 нарисовать график, поменяв порядок преобразований на обратный?

Нет. Порядок преобразований соответствует порядку операций. Когда функция оценивается на данном входе, соответствующий выход вычисляется в соответствии с порядком операций. Вот почему мы сначала выполнили сжатие. Например, следуя порядку: пусть вход будет 2.

{f(2)=12(2)−3=1−3=−2\begin{cases}f\text{(2)}=\ frac{\text{1}}{\text{2}}\text{(2)}-\text{3}\qquad \\ =\text{1}-\text{3}\qquad \\ =- \text{2}\qquad \end{case}⎩

⎨

⎧​f(2)=21​(2)−3=1−3=−2​

Лицензии и атрибуции

Лицензионный контент CC, совместно используемый ранее

• Precalculus.

  No related posts.