Синус в геометрии: Синус, косинус и тангенс угла — урок. Геометрия, 9 класс.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника / Подобные треугольники / Справочник по геометрии 7-9 класс

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по геометрии 7-9 класс
4. Подобные треугольники
5. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С:

Катет ВС этого треугольника является противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. Синус угла, который равен , обозначается символом , читается: «синус альфа».

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Косинус

угла, который равен , обозначается символом , читается: «косинус альфа».

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Тангенс угла, который равен , обозначается символом , читается: «тангенс альфа».

На рисунке

                             (1)

                            (2)

                               (3)

Из формул (1) и (2) получаем:

Сравнивая с формулой (3), находим:

                              (4)

Получили, что тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Дано:

АВС, А₁В₁С₁, С = С₁ = 90⁰, А = А₁.

Доказать: sin A = sin A₁, cos A = cos A₁, tg A = tg A₁.

Доказательство:

АВС А₁В₁С₁ по первому признаку подобия треугольников (т.к. С = С₁ = 90⁰, А = А₁). Из подобия треугольников следует пропорциональность сходственных сторон, поэтому мы можем записать:

Из этих равенств следует, что т.е. sin A = sin A₁. Аналогично , т.е. cos A = cos A₁, и , т.е. tg A = tg A₁, что и требовалось доказать.

Мы получили, что синус, косинус и тангенс острого угла зависит только от величины этого угла.

Докажем основное тригонометрическое тождество:

Из формул (1) и (2) получаем

По теореме Пифагора , поэтому .

Советуем посмотреть:

Пропорциональные отрезки

Определение подобных треугольников

Отношение площадей подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Средняя линия треугольника

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Практические приложения подобия треугольников

О подобии произвольных фигур

Значение синуса, косинуса и тангенса для углов 30, 45 и 60

Подобные треугольники

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 591, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 639, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 647, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 676, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1024, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1033, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 12, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1276, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1307, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1310, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

---

Синус.

Что это такое?

25.10.2016 Категория: Образование и наука Подкатегория: Математика Популярность

Тригонометрия является разделом математики, изучающим тригонометрические функции, а также их использование на практике. К таким функциям относятся синус, косинус, тангенс и котангенс.

Синус – это тригонометрическая функция, отношение величины противолежащего катета к величине гипотенузы.

Синус в тригонометрии.

Как уже сказано выше, синус имеет непосредственное отношение к тригонометрии и тригонометрическим функциям. Его функция определяется тем, чтобы

• помогать высчитать угол, при условии известности величин сторон треугольника;
• помогать высчитать величины стороны треугольника, при условии известности угла.

Необходимо помнить, что величина синуса будет всегда одинакова для любых размеров треугольника, поскольку синус – это не измерение, а соотношение.

Следовательно, для того чтобы не высчитывать эту постоянную величину при каждом решении той или иной задачи, были созданы специальные тригонометрические таблицы. В них величины синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов уже просчитаны и закреплены. Обычно эти таблицы приводятся на форзаце учебников по алгебре и геометрии. Также их можно найти в Интернете.

Синус в геометрии.

Геометрия требует наглядности, поэтому, чтобы понять на практике, что такое синус угла, нужно нарисовать треугольник с прямым углом.

Допустим, что стороны, образующие прямой угол, названы а, в, противоположный им угол – х.

Обычно в заданиях указана длина сторон. Допустим, а=3, в=4. В таком случае соотношение сторон будет выглядеть как ¾. При этом если удлинить стороны треугольника, прилегающие к острому углу х, то увеличатся и стороны а и в, и гипотенуза – третья сторона прямоугольного треугольника, лежащая не под прямым углом к основанию.

Теперь стороны треугольника можно назвать иначе, допустим: m, n, k.

При этом видоизменении сработал закон тригонометрии: длины сторон треугольника изменились, а их отношение – нет.

Тот факт, что при изменении длины сторон треугольника во сколько угодно раз и при сохранении величины угла х, соотношение между его сторонами всё равно останется неизменным, заметили ещё древние ученые. В нашем случае длина сторон могла измениться так: а/в = ¾, при удлинении стороны а до 6 см, а в – до 8 см получаем: m/n = 6/8 = 3/4.

Соотношения сторон в прямоугольном треугольнике в связи с этим получили названия:

• синус угла х – это отношение противолежащего катета к гипотенузе: sinx = а/с;
• косинус угла х – это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosx = в/с;
• тангенс угла х – это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgx = а/в;
• котангенс угла х – это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgx = в/а.

Похожие статьи

Что такое синус, косинус и тангенс?

Знаете ли вы, что сказали друг другу два угла, живущие внутри одного и того же прямоугольного треугольника? Первый ракурс звучит так: «Эй, Тельма (или это Тета?), я не хочу отклоняться от темы, но какой у тебя синус?» На что второй угол отвечает: «Фил (или это Фи?), я не знаю, почему ты вообще спрашиваешь, мой синус, очевидно, совпадает с твоим косинусом!»

Ладно, возможно, это не самая лучшая шутка в мире, но как только вы понимаете синусы и косинусы, это довольно забавно. Конечно, это означает, что если вы не не знаешь разницы между синусом и косинусом, ты в настоящее время остаешься в метафорическом холоде.

Очевидно, мы не можем этого допустить — и не позволим! Потому что сегодня мы узнаем все о синусе, косинусе и тангенсе.

Резюме: тригонометрия и треугольники

Когда мы говорили об открытом в новом окне мире тригонометрии, мы узнали, что та часть математики, которая называется тригонометрия, имеет дело с треугольниками. И, в частности, это та часть математики, которая занимается выяснением отношений между тремя сторонами и тремя углами, составляющими каждый треугольник.

Особый интерес для нас представляет особый тип треугольников, известный как прямоугольные треугольники. У каждого прямоугольного треугольника есть один угол в 90 градусов (например, угол квадрата или прямоугольника) и два угла, каждый из которых находится в диапазоне от большего, чем 0 градусов, до меньшего, чем 90 градусов (при этом, как мы поговорим в будущем, сумма всех трех углов равна 180 градусов).

Для нашего обсуждения синуса, косинуса и тангенса (которые, не волнуйтесь, не так сложны, как кажутся), важно, чтобы у нас был способ обозначать стороны прямоугольных треугольников.

Как мы узнали в последний раз opens in a new window, самая длинная сторона треугольника называется его «гипотенуза». Сторона, противоположная углу, на который мы смотрим, известна как «противоположная» сторона (логически). А сторона, примыкающая к углу, на который мы смотрим (та, которая не является гипотенузой), известна как «прилегающая» сторона.

Синус, косинус и тангенс

Теперь, когда все эти предварительные сведения счастливо плещутся в нашем растущем бассейне математических знаний, мы, наконец, готовы разобраться со значением синуса, косинуса и тангенса. Вот ключевая идея:

Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Отношения сторон прямоугольного треугольника полностью определяются его углами.

Другими словами, значение, которое вы получаете, когда делите длины любых двух сторон прямоугольного треугольника — скажем, длину стороны, противолежащей одному из его углов, деленную на его гипотенузу, — полностью высечено в камне, как только углы высечены в камне.

Почему? Что ж, если углы фиксированы, увеличение или уменьшение треугольника не влияет на относительную длину его сторон. Но изменение углов треугольника, даже незначительное, имеет значение! Если вам нужно какое-то убеждение, попробуйте нарисовать несколько треугольников самостоятельно, и вы убедитесь, что это действительно так.

Тот факт, что у треугольника три стороны, означает, что существуют также три возможных отношения длин сторон треугольника. И, как вы уже могли догадаться, эти три отношения есть не что иное, как знаменитые тригонометрические функции синуса, косинуса и тангенса.

Что такое SOH-CAH-TOA?

Синус одного из углов прямоугольного треугольника (часто сокращенно «sin») — это отношение длины стороны треугольника, противоположной углу, к длине гипотенузы треугольника. Косинус (часто сокращенно «cos») — это отношение длины стороны, примыкающей к углу, к длине гипотенузы. А тангенс (часто сокращенно «тан») — это отношение длины стороны, противоположной углу, к длине стороны, примыкающей.

Поскольку это слишком сложно для запоминания, добрые люди на протяжении веков придумали удобную мнемонику, которая поможет вам (и бесчисленным поколениям детей в школе) разобраться. Все, что вам нужно помнить, это SOH-CAH-TOA. Другими словами:

• SOH → sin = «противоположное» / «гипотенуза»
.
• CAH → cos = «прилегающий» / «гипотенуза»
• TOA → tan = «противоположный» / «соседний»

Тригонометрия в реальном мире

Вам может быть интересно, как тригонометрия применима в реальной жизни. Как вы будете использовать синус, косинус и тангенс вне классной комнаты и почему это актуально?

Есть несколько карьерных путей, которые приводят к постоянному использованию этих уравнений. Например, предположим, что вы звукорежиссер, работающий над созданием нового альбома популярного исполнителя. Вы знаете, что звук распространяется волнами, и инженеры могут манипулировать этими волнами (измеряемыми и применяя тригонометрию) для создания различных звуков, генерируемых компьютером.

Что делать, если вы архитектор, открывающий в новом окне, и вам нужно знать высоту существующего здания в районе, который вам назначен? Вы можете использовать расстояние от здания и угол возвышения, чтобы определить высоту. Вы даже можете использовать триггер, чтобы определить, под каким углом солнце будет светить в здание или комнату.

Строители также используют синус, косинус и тангенс таким же образом. Им необходимо измерить размеры участков, углы крыши, высоту стен и ширину пола и многое другое.

Криминалисты используют тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.

А как насчет места преступления? Следователи могут использовать тригонометрию для определения углов траектории пули, причины аварии или направления упавшего предмета.

 использует синус, косинус и тангенс. Его физики и астронавты часто используют роботизированные руки для выполнения заданий в космосе и используют тригонометрию, чтобы определить, куда и как двигать руку для выполнения своей задачи.

Думаете об изучении морской биологии? В этой карьере синус, косинус и тангенс иногда используются для определения размеров крупных морских существ на расстоянии, а также для расчета уровней освещенности на определенных глубинах, чтобы увидеть, как они влияют на фотосинтез.

Есть десятки профессий, которые используют тригонометрию в своих повседневных задачах. Таким образом, вы можете перестать говорить что-то вроде: «Я никогда не буду использовать тригонометрию в настоящий мир ».

Что дальше?

Хотя все эти разговоры об углах и сторонах прямоугольных треугольников и их соответствии друг другу посредством красоты и великолепия тригонометрии действительно прекрасны, они могут заставить вас немного задуматься о том, «Почему?» «Что?» и когда?» всего этого. Под этим я подразумеваю:

• Почему именно это полезно в реальном мире?
• Для чего нужны кнопки sin, cos и tan на моем калькуляторе? (И как они работают?)
• Когда мне действительно может понадобиться вычислить синус или косинус?

Очевидно, это очень важные (и очень разумные) вопросы. И это также очень важные вопросы, на которые нужно ответить. Именно за эту задачу мы и начнем браться в следующий раз.

Синус

Синус, записываемый как sin⁡(θ), является одной из шести основных тригонометрических функций.

Определения синусов

Обычно тригонометрические функции обсуждаются двумя способами: в терминах прямоугольных треугольников и в терминах единичной окружности. Чаще всего вводится определение тригонометрических функций в виде прямоугольного треугольника, за которым следуют их определения в терминах единичной окружности.

Определение прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника с острым углом θ значение синуса этого угла определяется как отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы.

Стороны прямоугольного треугольника обозначаются следующим образом:

• Смежный: сторона, следующая за θ, которая не является гипотенузой
• Напротив: сторона, противоположная θ.
• Гипотенуза: самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.

Пример:

Найдите sin⁡(θ) для прямоугольного треугольника ниже.

Мы также можем использовать функцию синуса при решении реальных задач, связанных с прямоугольными треугольниками.

Пример:

Пандус для инвалидных колясок должен иметь угол наклона 10° и высоту 3 фута. Какова длина пандуса?

Определение единичной окружности

Тригонометрические функции также могут быть определены как значения координат на единичной окружности. Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат. Определение тригонометрических функций прямоугольным треугольником допускает углы от 0° до 9°.0° (0 и в радианах). Определение единичного круга позволяет нам расширить область применения тригонометрических функций на все действительные числа. См. рисунок ниже.

Имея точку (x, y) на окружности единичного круга, мы можем сформировать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. В таком треугольнике гипотенуза — это радиус единичной окружности, или 1. θ — это угол, образованный между начальной стороной угла вдоль оси x и конечной стороной угла, образованного вращением луча по часовой стрелке или против часовой стрелки. Конечная сторона угла является гипотенузой прямоугольного треугольника и является радиусом единичной окружности. Поэтому его длина всегда равна 1. Таким образом, мы можем использовать определение синуса прямоугольного треугольника, чтобы определить, что

означает, что значение y любой точки на окружности единичного круга равно sin⁡(θ).

В отличие от определений тригонометрических функций, основанных на прямоугольных треугольниках, это определение работает для любого угла, а не только для острого угла прямоугольного треугольника, если он находится в области определения sin⁡(θ). Область определения синуса равна (-∞,∞), а ее диапазон равен [-1,1].

значения синуса

Существует множество методов, которые можно использовать для определения значения синуса, например, обращение к таблице косинусов, использование калькулятора и аппроксимация с использованием ряда Тейлора для синуса. В большинстве практических случаев нет необходимости вычислять значение синуса вручную, и будет предоставлена ​​таблица, калькулятор или какой-либо другой справочник.

Калькулятор синуса

Ниже приведен калькулятор для нахождения значения синуса угла или угла по значению синуса. Если вы ищете калькулятор sin ^-1 , обратитесь к странице arcsin.

грех		деградировать	=

Обычно используемые углы

Хотя мы можем найти значение синуса для любого угла, есть некоторые углы, которые чаще используются в тригонометрии. Ниже приведены 16 часто используемых углов как в радианах, так и в градусах, а также координаты соответствующих им точек на единичной окружности.

Рисунок выше служит ориентиром для быстрого определения синусов (значение y) и косинусов (значение x) углов, которые обычно используются в тригонометрии. Как видно из рисунка, синус имеет значение 0 при 0° и значение 1 при 90°. Косинус следует противоположной схеме; это потому, что синус и косинус являются кофункциями (описаны позже). Другими часто используемыми углами являются 30° (), 45° (), 60° () и их соответствующие кратные. Значения косинуса и синуса этих углов стоит запомнить в контексте тригонометрии, так как они очень часто используются.

Один из методов, который может помочь в запоминании этих значений, состоит в том, чтобы выразить все значения sin(θ) в виде дробей, содержащих квадратный корень. Начиная с 0° и продвигаясь через 90°, sin(0°) = 0 = . Последующие значения sin(30°), sin(45°), sin(60°) и sin(90°) следуют шаблону, так что, используя значение sin(0°) в качестве эталона, найти значения синуса для последующих углов, мы просто увеличиваем число под знаком радикала в числителе на 1, как показано ниже.

Значения синуса от 0° до -90° следуют той же схеме, за исключением того, что значения являются отрицательными, а не положительными, поскольку синус отрицателен в квадранте IV. Этот шаблон периодически повторяется для соответствующих угловых измерений, и мы можем определить значения sin(θ) на основе положения θ в единичной окружности, принимая во внимание знак синуса: синус положительный в квадрантах I и II и отрицательный в квадрантах III и IV. Аналогичный метод запоминания можно использовать и для косинуса. При необходимости обратитесь к странице косинуса.

Зная значения косинуса и синуса для углов в первом квадранте, мы можем определить их значения для соответствующих углов в остальных квадрантах координатной плоскости с помощью опорных углов.

Опорные углы

Опорный угол — это острый угол (<90°), который может использоваться для представления угла любой величины. Любой угол в координатной плоскости имеет опорный угол в диапазоне от 0° до 90°. Это всегда наименьший угол (относительно оси абсцисс), который можно составить из конечной стороны угла. На рисунке ниже показан угол θ и его опорный угол θ'.

Поскольку θ’ является опорным углом θ, значения sin⁡(θ) и sin⁡(θ’) совпадают. Например, 30° — это базовый угол 210°, и если мы обратимся к единичному кругу, то увидим, что значения синусов обоих имеют величину 1/2, хотя и имеют разные знаки. Поскольку у всех углов есть опорный угол, нам действительно нужно знать только значения sin⁡(θ) (а также значения других тригонометрических функций) в квадранте I. Все другие соответствующие углы будут иметь значения одинаковой величины, и мы просто нужно обратить внимание на их знаки в зависимости от квадранта, в котором лежит конечная сторона угла. Ниже приведена таблица, показывающая знаки косинуса, синуса и тангенса в каждом квадранте.

+5 900. гонометрические функции в любом из других квадрантов применяя соответствующий знак к их значению для эталонного угла. Следующие шаги могут быть использованы для нахождения исходного угла заданного угла θ:

1. Вычтите 360° или 2π из угла столько раз, сколько необходимо (угол должен быть в пределах от 0° до 360° или от 0 до 2π). Если результирующий угол находится в диапазоне от 0° до 90°, это опорный угол.
2. Определить, в каком квадранте лежит конечная сторона угла (начальная сторона угла проходит по положительной оси x)
3. В зависимости от того, в каком квадранте находится конечная сторона угла, используйте уравнения в таблице ниже, чтобы найти опорный угол. В квадранте I θ’=θ.

	Синус	Косинус	Тангенс
Квадрант I	+	61
Квадрант II	+	—	—
Квадрант III	—	—	+
Квадрант IV	—	+	—

Квадрант II	Квадрант III	Квадрант IV
θ’= 180° — θ	θ’= θ — 180°	θ’= 360° — θ

Пример:

Найдите sin⁡(120°).

1. θ уже находится в диапазоне от 0° до 360°
2. 120° лежит в квадранте II
3. 180° — 120° = 60°, поэтому опорный угол равен 60°

sin⁡(60°)=. 120° находится в квадранте II, а синус положителен в квадранте II, поэтому:

Пример:

Найдите sin⁡(690°).

1. 690° — 360° = 330°
2. 330° лежит в квадранте IV
3. 360° — 330° = 30°, поэтому опорный угол равен 30°

sin⁡(30°)=. 330° находится в квадранте IV, где синус отрицательный, поэтому:

Свойства функции синуса

Ниже приведены некоторые свойства функции синуса, которые могут быть полезны при работе с тригонометрическими функциями.

Синус — это кофункция косинуса

Кофункция — это функция, в которой f(A) = g(B), учитывая, что A и B — дополнительные углы. В контексте косинуса и синуса:

sin⁡(θ) = cos⁡(90° — θ)

cos⁡(θ) = sin⁡(90° — θ)

Пример:

sin⁡(60 °) = cos⁡(90° — 60°) = cos⁡(30°)

Ссылаясь на единичный круг, показанный выше, мы можем подставить значения для cos⁡(30°) и sin⁡(60°) и увидеть, что :

Синус — нечетная функция

Нечетная функция — это функция, в которой -f(x)=f(-x). Он имеет симметрию относительно начала координат. Таким образом,

-sin(θ) = sin⁡(-θ)

Пример:

-sin⁡(60°) = sin⁡(-60°)

-sin⁡(60°) = sin⁡(300°)

Ссылаясь на единичный круг, мы можем видеть, что sin⁡(60°)=, поэтому -sin⁡(60°)=, и sin⁡(-60°) эквивалентно sin⁡(-60° + 360°) = sin⁡(300°), что равно . Это только один пример, но это свойство верно для всех углов.

Синус — периодическая функция

Периодическая функция — это функция f, в которой существует некоторое положительное значение p, такое что

f(x+p) = f(x)

для всех x в области значений f, p — наименьшее положительное число, для которого f является периодическим, и называется периодом f.

Тригонометрические функции обычно используются для моделирования периодических явлений из-за их периодичности; независимо от того, с какой точки мы начинаем на единичной окружности, если мы пройдем расстояние 2π (360 °) по единичной окружности от этой точки, мы вернемся в исходную точку. Если мы посмотрим на синусоидальную функцию, мы обнаружим, что она повторяется каждые 2π, поэтому 2π — это период синусоидальной функции. Мы можем записать это как:

sin⁡(θ+2π) = sin⁡(θ)

Для учета нескольких полных оборотов это также можно записать как

sin⁡(θ+2πn) = sin⁡(θ)

, где n равно целое число.

На рисунке ниже показан пример такой периодичности.

Синим цветом мы видим, что . . Если мы добавим 2π к , мы получим угол, показанный красным цветом, . Как видно из рисунка, несмотря на разную степень поворота в обоих углах, их конечные стороны совершенно одинаковы, а это означает, что . Мы могли бы добавить еще 2π и все равно увидели бы, что имеет то же синусоидальное значение, что и . Такова природа периодических функций. называются котерминальными углами; это углы с одинаковыми начальными и конечными сторонами, но с разными поворотами.

Примеры:

1.

2.

График функции синуса

График синуса является периодическим, что означает, что он повторяется бесконечно и имеет область значений -∞

Повторение этой части y=sin⁡(x) бесконечно слева и справа приведет к полному графику синуса. Ниже приведен график, показывающий четыре периода синусоидальной функции в интервале [-4π,4π].

На этом графике видно, что y=sin⁡(x) демонстрирует симметрию относительно начала координат; если график отражается относительно начала координат, он создает зеркальное отражение. Это подтверждает, что синус является нечетной функцией, поскольку -sin⁡(x)=sin⁡(-x).

Общее уравнение синуса

Общая форма функции синуса:

y = A·sin(B(x – C)) + D

, где A, B, C и D — константы. Чтобы построить график синусоидального уравнения в общем виде, нам нужно сначала понять, как каждая из констант влияет на исходный график y=sin⁡(x), как показано выше. Чтобы применить что-либо, написанное ниже, уравнение должно иметь форму, указанную выше; будьте осторожны со знаками.

A — амплитуда функции; высота от центра графика до максимума или минимума. В y=sin⁡(x) центром является ось x, а амплитуда равна 1, или A=1, поэтому самая высокая и самая низкая точки, которых достигает график, равны 1 и -1, диапазон sin⁡(x ).

По сравнению с y=sin⁡(x), показанной ниже фиолетовым, функция y=2 sin⁡(x) (красная) имеет амплитуду, вдвое превышающую амплитуду исходного графика синуса.

B — используется для определения периода функции; период функции — это расстояние от пика до пика (или любой точки на графике до следующей точки соответствия) и может быть найден как . В y=sin⁡(x) период равен 2π. Мы можем убедиться в этом, посмотрев на график синусоиды. Ссылаясь на рисунок выше, мы можем видеть, что форма синусоидального графика между [-2π, 0] эквивалентна форме из [0, 2π], что означает, что он повторяется в течение интервала 2π; т. е. имеет период 2π.

По сравнению с y=sin⁡(x), показанным ниже фиолетовым цветом и имеющим период 2π, y=sin⁡(2x) (красный) имеет период . Это означает, что график повторяется через каждые π, а не через каждые 2π.

C — фазовый сдвиг функции; фазовый сдвиг определяет, как функция сдвигается по горизонтали. Если C отрицательно, функция сдвигается влево.