Z 3 1 i: Solve complex equation $z^3=1-i$ — Mathematics Stack Exchange

Пошаговое решение:

Шаг  1 :

Попытка факторизовать как разность кубов:

 1. 1      Факторинг: z ³ -1 

Теория: Разница двух совершенные кубы,  a ³  — b ³ можно разложить на
              (a-b) • (a ²  +ab +b ² )

Проверка :  1  является кубом   1 
Проверка :  z ³ является кубом   z ¹

Факторизация:
             (z — 1)  •  (z ² + z + 1)

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена 914  его коэффициент равен 1 .

Шаг 1. Умножьте коэффициент первого члена на константу среднего члена, который равен   1 .

Наблюдение : Невозможно найти два таких фактора !!
Заключение: Трехчлен нельзя разложить на множители

Уравнение в конце шага 1 :

 (z - 1) • (z  2  + z + 1) = 0
 

Шаг 2 :

Теория – корни произведения:

 2.1    Произведение нескольких членов равно нулю.

 Если произведение двух или более слагаемых равно нулю, то хотя бы одно из слагаемых должно быть равно нулю.

 Теперь мы будем решать каждый термин = 0 отдельно

 Другими словами, мы собираемся решить столько уравнений, сколько членов в произведении

 Любое решение термина = 0 также решает произведение = 0.

Решение уравнения с одной переменной:

 2.2      Решите  :    z-1 = 0 

 Добавьте  1 к обеим частям уравнения : 
                        z = 1

Парабола, Нахождение вершины :

 2.3      Найти вершину   y = z ² +z+ 1

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной . Наша парабола раскрывается и, соответственно, имеет низшую точку (абсолютный минимум). Мы знаем это еще до того, как начертили «у», потому что коэффициент первого члена, 1 , положителен (больше нуля).

 Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух точек пересечения x (корней или решений) параболы. То есть, если парабола действительно имеет два действительных решения.

Параболы могут моделировать многие реальные жизненные ситуации, такие как высота над землей объекта, брошенного вверх через некоторый период времени. Вершина параболы может предоставить нам такую ​​информацию, как максимальная высота, на которую может подняться объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

 Для любой параболы, Az ² +Bz+C, z -координата вершины определяется как -B/(2A) . В нашем случае координата z равна -0,5000  

. Подставляя в формулу параболы -0,5000 для z, мы можем вычислить координату y:
  y = 1,0 * -0,50 * -0,50 + 1,0 * -0,50 + 1,0
или   у = 0,750

Парабола, графическая вершина и точки пересечения X:

Корневой график для : y = z ² +z+1
Ось симметрии (штриховая)  {z}={-0,50} 
Вершина в  {z, y} = {-0,50, 0,75} 
Функция не имеет действительных корней

Решить квадратное уравнение, заполнив квадрат

 2.4     Решение   z ² +z+1 = 0, заполнив квадрат .

 Вычтите 1 из обеих частей уравнения:
   z ² +z = -1

Теперь немного хитрости: возьмите коэффициент z, равный 1, разделите на два, получив 1/2, и, наконец, возведите в квадрат это дает 1/4

Добавьте 1/4 к обеим частям уравнения:
 В правой части мы имеем:
   -1  +   1/4    или, (-1/1)+(1/4) 
  Общий знаменатель двух дробей равен 4   Сложение  (-4/4)+(1/4)  дает -3/4 
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам, мы окончательно получаем :
   z ² +z+(1/4) = -3/4

Добавление 1/4 завершает левую часть в полный квадрат:
   z ² +z+ (1/4)  =
   (z+(1/2)) • (z+(1/2))  =
  (z+(1/2)) ²
Вещи, равные одной и той же вещи, также равны друг друга. С
   z ² +z+(1/4) = -3/4 и
   z ² +z+(1/4) = (z+(1/2)) ²
, то по закону транзитивности
   (z+(1/2)) ² = -3/4

Мы будем называть это уравнение уравнением #2.4.1  

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
   (z+(1/2)) ²   равен
   (z+(1/2)) ^2/2  =
  (z+(1/2)) ¹  =
   z+(1/2)

Теперь, применяя принцип квадратного корня к уравнению. #2.4.1  получаем:
   z+(1/2) = √ -3/4

Вычтем 1/2 с обеих сторон, чтобы получить:
   z = -1/2 + √ -3/4
В математике, i называется мнимой единицей. Это удовлетворяет   i ²   =-1. И  i  , и   -i   являются квадратными корнями из   -1 

Так как квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное,
   z ² + z + 1 = 0
   имеет два решения:
  z = -1/ 2 + √ 3/4 • i
   или
  z = -1/2 — √ 3/4 •  i 

Обратите внимание, что √ 3/4 можно записать как
  √ 3 / √ 4   что равно √ 3 /2

Sol ve Квадратное уравнение с использованием квадратичной формулы

 2.