Полезные факты для решения задач по геометрии
Анна Малкова
Полезные факты для решения задач ЕГЭ по геометрии (ЕГЭ по математике, Часть 2, профильный уровень).
Как научиться решать задачи ЕГЭ по геометрии (задача 16, Профильный уровень)?
Школьные учебники геометрии (Л. С. Атанасян, А. Г. Мерзляк…) неплохие. Даже лучше, чем по алгебре. Однако в них нет задач из вариантов ЕГЭ. Непонятно, как по ним готовиться к ЕГЭ, на что обращать внимание. Да и нет времени в 11-м классе заново читать учебник и решать все задачи подряд.
В освоении планиметрии важен правильный подход. Многие начинают с реальных задач ЕГЭ, а когда не получается, чувствуют разочарование. Не стоит так делать.
Первый этап: выучите теорию. Определения, теоремы, признаки. Основные формулы. Например, для площади треугольника нам нужны 5 формул. Помните их? Все они применяются в решении задач. Теоремы синусов и косинусов. Свойства высот, медиан и биссектрис. И многое другое.
В этом вам поможет Полный справочник Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Именно то, что нужно для решения задач ЕГЭ. Ничего лишнего. А цветные картинки запоминаются сами собой.
И конечно, практика! Решаем задачи ЕГЭ. Сначала – Часть 1, задачи 3 и 6. Не меньше 50 задач первой части ЕГЭ по теме «Планиметрия» надо решить, чтобы выучить и уметь применять теоремы и формулы планиметрии.
Изучить планиметрию и потренироваться в решении задач можно на нашем Онлайн-курсе.
Задачи, решения, видеоразбор.
Отлично, освоили задачи по планиметрии 1 части Профильного ЕГЭ по математике. Пора переходить ко второй! К задаче 16. Но не будем спешить. Пункт (а) задачи 16 Профильного ЕГЭ по математике – доказательство. А вы знаете, что пункт (а) нужен не только для того, чтобы вы получили один из трех баллов за эту задачу? Что во многих задачах ЕГЭ №16 пункт (а) содержит идеи для решения пункта (б). Намеки на то, как решить задачу полностью. Надо научиться доказывать всевозможные утверждения планиметрии.
Мы публикуем для вас новый и ценный материал — доказательство полезных фактов. Это и повторение всего курса (7-9 класс), и «заготовки» для многих задач ЕГЭ.
Приведем список из 32 полезных фактов. Докажите их самостоятельно и проверьте решения по ссылкам.
Для большинства этих полезных фактов приведены примеры решения задач и первой, и второй части Профильного ЕГЭ по математике.
Углы, треугольники, четырехугольники
1. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
2. Свойство медианы прямоугольного треугольника.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма.
4. Площадь выпуклого четырехугольника
5. Свойства трапеции: отрезок, соединяющий середины диагоналей
6. Свойства равнобедренной трапеции
7. Замечательное свойство трапеции.
8. Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
9. Свойства биссектрис треугольника.
10. Свойства медиан треугольника
11. Свойство высот треугольника.
Окружности
12. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.
13. Теорема о пересекающихся хордах.
14. Теорема о серединном перпендикуляре к хорде.
15. Равные хорды удалены от центра окружности на равные расстояния.
16. Дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны.
17. Угол между касательной и хордой.
18. Теорема о секущей и касательной.
19. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме противоположных дуг, высекаемых хордами.
20. Угол между двумя секущими (с вершиной вне окружности) равен полуразности дуг, высекаемых секущими на окружности.
21. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой с, равен .
22. Прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним.
23. Если расстояние между центрами окружностей радиусами R и r равно а и , то отрезки общих внешних и общих внутренних касательных, заключенные между точками касания, равны соответственно и
24.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180 градусов.
25. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
26. Если окружность вписана в равнобедренную трапецию, то боковая сторона трапеции равна ее средней линии.
27. Если М – точка касания со стороной АС окружности, вписанной в треугольник АВС, то АМ = р – ВС, где р – полупериметр треугольника АВС.
28. Если окружность касается стороны ВС треугольника АВС и продолжений сторон АВ и АС, то расстояние от вершины А до точки касания окружности с прямой АВ равно полупериметру треугольника АВС.
29. Если окружность, вписанная в треугольник АВС, касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках K, L, M, а угол ВАС равен , то угол KLM .
30. Если прямые, проходящие через точку А, касаются окружности S в точках В и С, то центр вписанной окружности треугольника АВС лежит на окружности S.
31. Если площадь треугольника равна S, то площадь треугольника, составленного из его медиан, равна .
32. Свойство биссектрисы треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону в отношении длин прилежащих сторон.
*При составлении списка полезных фактов использованы учебные пособия Р. К. Гордина.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Полезные факты для решения задач по геометрии» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 08.05.2023
«Классические» схемы для решения задач по геометрии
Анна Малкова
Многие старшеклассники считают, что геометрия сложнее алгебры.
«В алгебре все просто, — говорят они. – Есть способы решения уравнений. Есть типы задач – на движение, на работу, на проценты – и для каждой свои приемы решения. А задачи геометрии друг на друга не похожи».
Так ли это? Может быть, и в планиметрии есть схемы, на которых строится множество задач?
Да, есть. Я называю их «классические схемы планиметрии». Учимся узнавать их и использовать в задачах! И возможно, что на ЕГЭ вам встретится задача, «ключиком» к которой будет одна из этих схем. Конечно, на ЕГЭ эти утверждения надо доказывать.
Вот 5 полезных схем для решения задач по планиметрии.
Схема 1. В треугольнике АВС проведены высоты АМ и СК.
H – точка пересечения высот треугольника (ортоцентр), Н=АМ∩СК
1. Треугольники МВК и △АВС, подобны, причем коэффициент подобия
, если , и , если
- Четырехугольник АКМС можно вписать в окружность. Эта вспомогательная окружность поможет решить множество задач.
- Четырехугольник ВКМН также можно вписать в окружность.
- Радиусы окружностей, описанных вокруг треугольников АВС, АНС, ВНС и АВН, равны.
- , где R – радиус описанной окружности .
Схема 2. Пусть луч МА пересекает окружность в точках А и В, а луч МD – в точках С и D, причем МА > МВ, МD > МС. Тогда треугольники ВМС и DМА подобны.
Схема 3. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, угол В равен углу М, причем точки В и М лежат по одну сторону от прямой АС. Тогда точки А, В, С, М лежат на одной окружности.
Схема 4. У треугольников АВС и АМС сторона АС – общая, углы В и М – прямые. Тогда точки А, В, С, М лежат на окружности, радиус которой равен половине АС.
Схема 5. Лемма о трезубце (трилистнике)
И несколько лайфхаков для сдающих ЕГЭ.
1) Любая задача из варианта ЕГЭ решается без сложных формул. И если вы не помните теорему Чевы, теорему Менелая и другую экзотику – вам это и не понадобится.
2) Когда вы отлично знаете все теоремы, формулы, свойства геометрических фигур – у вас в голове выстраивается цепочка ассоциаций. Например, в условии задачи дан радиус вписанной окружности. В каких формулах он встречается? – Правильно, в теореме синусов и в одной из формул для площади треугольника.
3) Есть такие теоремы, которые вроде и входят в школьную программу – а попробуй их найди в учебнике. Например, теорема о секущей и касательной или свойство биссектрисы треугольника. А вы их знаете?
4) Как научиться решать задачи по геометрии? Если у вас маловато опыта – не стоит начинать с реальных задач ЕГЭ. Сначала – задачи на доказательство. Тем более что в реальной задаче 16 из варианта ЕГЭ первый пункт – доказательство.
5) Если вы вдруг не можете решить пункт (а), но решили пункт (б), вы получите за него один балл. А это лучше, чем ничего. Но вообще пункт (а), как правило, бывает простым.
Иногда вопрос в пункте (а) очень простой. И это не только для того, чтобы вы получили «утешительный» балл. Помните, что пункт (а) часто содержит подсказку, идею для решения пункта (б).
6) Среди стратегий подготовки к ЕГЭ есть эффективные. А есть откровенно проигрышные.
Пример плохой стратегии – когда старшеклассник принимает решение заниматься только алгеброй и считает планиметрию и тем более стереометрию слишком сложными для себя. И вот на ЕГЭ попадается сложное неравенство или «экономическая» задача. И всё, баллов не хватает! Тех самых баллов за планиметрию и стереометрию, которые можно было взять, не хватает для поступления!
Чтобы такого не случилось – занимаемся планиметрией как можно больше.
7) Стоит учесть, что задачи вариантов ЕГЭ по планиметрии и стереометрии бывают намного проще, чем по алгебре.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице ««Классические» схемы для решения задач по геометрии» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена: 07.05.2023
мгновенных математических задач для бесплатного скачивания! Точные пошаговые ответы с объяснением, чтобы помочь с домашним заданием.
Решение математических задач с помощью калькулятора ИИ и репетиторов
Мы можем решить:
АлгебраГеометрияКоординатная геометрияИсчислениеВероятность и статистикаЛогика и другиеШаги решения . Банк предлагает простые проценты по ставке 11,5% в качестве процентной ставки на 4 года. Сколько должен будет заплатить Альберт по истечении четырех лет?
Эльза вкладывает 1000 фунтов стерлингов на счет, на который каждый год выплачиваются 2% простых процентов. Сколько процентов она заработает через 5 лет?
Привет, я Гаут Бот.
Позвольте мне помочь вам с этой проблемой.
Это задача простого интереса. Мы будем использовать I = P * i * t. Теперь, каковы значения P, i и t?
P = 1000, i = 2%, t = 5
Отличная работа! Теперь вставьте числа в выражение. Какой интерес в итоге?
I = 100
Поздравляем!
Решение ИИ
Решайте математические задачи, используя наши передовые алгоритмы и передовые технологии ИИ.
Сделайте снимок и решите мгновенно, получите ответ за 3 секунды.
Подробные и подробные объяснения шаг за шагом.
Охватывает все типы задач, включая текстовые задачи и геометрию.
Репетитор ИИ готов ответить на ваш вопрос, умный и полезный.
Живой репетитор
Тысячи реальных репетиторов доступны круглосуточно и без выходных. Получите решение за считанные минуты. Начиная с
0,5 доллара США за услугу вопросов и ответов.Обучение в режиме реального времени и совместная работа
Индивидуальные занятия с экспертом
Подберите идеального репетитора для выбранного вами предмета
9004 6
Качественно, эффективно и приватно
Знакомьтесь Наши репетиторы
Кристиана Э.
- Преподавание от 10 лет
- Самый популярный репетитор
- Точность 99%
Эмили М.
- Решено более 3000 вопросов
- Преподавание более 10 лет
- Эксперт по геометрии
Лукас К.
- Инженер-механик
- Доктор прикладной математики 9004 9
- Репетитор с самым высоким рейтингом
Анна Л.
- Айви Выпускник лиги
- Эксперт по алгебре
- Репетитор на полную ставку
Кристиана Э.
- Преподавание от 10 лет
- Самый популярный репетитор
- Точность 99%
Эмили М.
- Решила 3000+ вопросов
- Преподавание от 10 лет
- Эксперт по геометрии
Лукас К.
- Инженер-механик 9 0049
- Доктор прикладной математики
- Репетитор с самым высоким рейтингом
Анна Л.
- Выпускник Лиги Плюща
- Эксперт по алгебре
- Репетитор
Кристиана Э.
- Преподавание от 10 лет
- Самое лучшее популярный репетитор
- Точность 99%
Эмили М.
- Решено более 3000 вопросов
- Преподавание более 10 лет
- Эксперт по геометрии
Лукас К.
- Инженер-механик
- Доктор прикладной математики
- Верх репетитор с рейтингом
Анна Л.
- Выпускница Лиги Плюща
- Эксперт по алгебре
- Репетитор, работающий полный рабочий день
Программа Gauthmath помогла миллионам студентов.
Мы здесь для вас!
6 лучших приложений для решения математических задач
Выполнение домашнего задания по математике может быть непростой задачей, но с нужными инструментами под рукой это не обязательно. Мы составили список исключительных приложений для решения математических задач, которые могут превращать сложные уравнения в понятные шаги, делая домашнюю работу по математике менее сложной задачей.
Эти приложения для решения математических задач охватывают широкий спектр математических тем, от основополагающих принципов алгебры и тригонометрии до сложных вычислений и статистики. Они предлагают исчерпывающие инструкции, которые помогут учащимся ориентироваться в математических задачах, обеспечивая глубокое и эффективное понимание предмета.
Способы использования учащимися приложений для решения математических задач
Приложения для решения математических задач могут быть ценными инструментами для учащихся при эффективном использовании. Вот несколько способов, которыми они могут использовать эти приложения для улучшения своего учебного процесса:
1. Практика и закрепление: Учащиеся могут использовать эти приложения, чтобы практиковаться в решении математических задач и укреплять свое понимание концепций. Вводя задачи и проверяя их решения, учащиеся могут обрести уверенность в своих математических способностях.
2.
Пошаговое руководство: Многие приложения предлагают пошаговые решения, которые могут быть полезны учащимся, у которых возникли проблемы с определенной концепцией. Эта функция может помочь им понять процесс, связанный с решением проблемы, и определить, где они могли допустить ошибку.
3. Изучение новых понятий: Приложения для решения математических задач часто охватывают широкий круг тем и могут познакомить учащихся с новыми понятиями. Исследуя различные типы задач, учащиеся могут расширить свои математические знания.
4. Тайм-менеджмент: Решение задач с помощью приложения может сэкономить время, особенно при повторяющихся вычислениях или при проверке домашней работы. Студенты могут использовать это дополнительное время для изучения других предметов или решения более сложных математических задач.
5. Подготовка к экзаменам: Приложения для решения математических задач могут быть полезными инструментами для подготовки к экзаменам, предлагая практические задачи и пояснения, чтобы помочь учащимся лучше понять материал.
Это может привести к лучшей успеваемости на экзаменах.
6. Совместное обучение: Учащиеся могут использовать эти приложения для совместной работы над проблемами, обсуждения решений и обучения друг у друга. Это может способствовать более глубокому пониманию материала и развитию навыков решения проблем.
7. Доступность: Для учащихся с ограниченными возможностями обучения или трудностями в математике эти приложения могут предоставить дополнительную поддержку и другой подход к обучению. Такие функции, как преобразование текста в речь или наглядные пособия, могут сделать математику более доступной для всех учащихся.
Помните, хотя приложения для решения математических задач могут быть полезными, они не должны заменять учителя или репетитора. Для учащихся важно использовать эти приложения ответственно и в сочетании с традиционными методами обучения, чтобы развить всестороннее понимание математики.
Для веб-сайтов, предлагающих помощь в выполнении домашних заданий по математике, ознакомьтесь с лучшими инструментами для решения домашних заданий по математике для учащихся.
Лучшие приложения для решения математических задач
1. Mathway Mathway
Mathway — это приложение для решения задач, которое включает расширенные математические калькуляторы для алгебры, построения графиков и исчисления. Просто введите свою математическую задачу или наведите камеру своего устройства и сфотографируйте ее, и приложение мгновенно сгенерирует пошаговые решения.
Mathway также включает функцию преобразования голоса в текст, которая позволяет вам произнести свою математическую задачу и преобразовать ее в текст.
Существует также раздел, где учащиеся могут получить доступ к примерам решенных математических задач. Студенты могут просто ввести математическую задачу или использовать категории под окном поиска, чтобы просмотреть эти примеры. Они также могут использовать колонку «Популярные проблемы» справа для быстрого доступа к примерам.
Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.
2. Microsoft Math Solver
Microsoft Math Solver предлагает бесплатные пошаговые инструкции, которые помогут вам с домашним заданием по математике. Он охватывает различные темы от арифметики до продвинутой алгебры и исчисления. Это работает просто: вы можете ввести свою математическую задачу, отсканировать математическую фотографию или написать ее от руки, Microsoft Math Solve мгновенно распознает ее и предоставит вам пошаговое объяснение для ее решения, включая интерактивные графики, аналогичные математические задачи со всего Интернета и онлайн видео уроки.
Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: бесплатно.
3. Cymath
Cymath — это приложение для решения математических задач для учащихся разных классов и уровней подготовки. Учащиеся могут либо напечатать свои математические задачи, либо сфотографировать их и позволить приложению решать их шаг за шагом.
Математические темы включают: алгебру (например, решение уравнений, разложение на множители, логарифмы, экспоненты, комплексные числа, квадратные уравнения, тригонометрию и т.
д.), исчисление (например, правило частных, цепное правило, u-подстановку, интегрирование по частям, интегрирование частичной дробью, тригонометрической подстановкой и т. д.), а также построение графиков (например, построение графиков, точки пересечения, асимптоты, домены, диапазоны и т. д.) и т. д.
Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.
4. Gaumath
Gaumath — это приложение для решения математических задач, которое помогает находить решения сложных математических уравнений. Охватываемые темы по математике включают математические задачи, функции, геометрию, тригонометрию, исчисление, статистику, матрицу и логику.
Помимо пошаговых объяснений, Gaumath также предлагает онлайн-репетиторов по математике 24/7. Просто сфотографируйте свою математическую задачу с помощью приложения для решения домашних заданий по математике и мгновенно получите доступ к пошаговым решениям.
Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.
5. Photomath
Photomath — еще одно мощное приложение для решения математических задач. Он предлагает пошаговые объяснения математических задач, охватывающих различные темы, от геометрии до текстовых задач. Эти пояснения проиллюстрированы интерактивными графиками и несколькими методами решения.
Это приложение для решения математических задач также включает расширенный научный калькулятор, облегчающий сложные математические расчеты. Основные математические темы: числа и количество, функции, алгебра, тригонометрия и углы, последовательности, исчисление и другие.
Совместимость: iPad/iPhone, Android; Цена: Бесплатно, предлагает покупки в приложении.
6. MathPapa
MathPapa поможет вам шаг за шагом решать задачи по алгебре. В частности, это может помочь вам найти решения линейных уравнений и квадратных уравнений, линейных и квадратных неравенств, графических уравнений, коэффициентов квадратных выражений, систем двух уравнений, пошагового порядка операций и многого другого.