Окружность и круг — что это, определение и ответ
Окружность – это множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки на плоскости.
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
Окружность – это замкнутая линия, а круг – это площадь, находящаяся внутри окружности:
Длина окружности равна:
\(l = 2\pi R = \text{dπ}\)
где \(R\) – это радиус, а \(D\) – диаметр окружности
ЭЛЕМЕНТЫ ОКРУЖНОСТИ:
Центр окружности – точка O.
Радиус окружности – отрезок R, соединяющий точку окружности с центром. Все радиусы одной окружности равны.
Хорда – это отрезок АВ, соединяющий любые две точки окружности.
Диаметр – это хорда d, проходящая через центр окружности. Диаметр равен двум радиусам.
ДУГА И СЕКТОР:
Дуга – это часть окружности, заключенная между точками на ней.
\circ}}\) показывает, какую часть от всей окружности занимает дуга
КАСАТЕЛЬНАЯ:
Касательная к окружности – это прямая, которая пересекается с окружностью в одной точке.
Свойства касательной:
1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания:
\(a\bot OA,\ A \in a,\ OA = R\)
2. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны до точек касания.
\(CA = CB,\ a,\ b\ –\ касательные\)
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАНЫЕ УГЛЫ:
С окружностью связано два вида углов – вписанные и центральные. Рассмотрим такую окружность:
На данном чертеже угол АОС является центральным, а угол АВС – вписанным.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются ее хордами.
Свойства вписанного угла:
1. Измеряется половиной дуги, на которую он опирается.
2. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр — прямой.
Центральный угол – угол, образованный двумя радиусами. Его вершина лежит на центре окружности.
Свойства центрального угла:
1. Измеряется дугой, на которую опирается;
2. Центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу.
КОМБИНАЦИИ ХОРД, КАСАТЕЛЬНЫХ И СЕКУЩИХ:
Секущая – это прямая, которая пересекает окружность в двух точках.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ХОРД
Хорды AB и CD пересекаются в точке M
1. Произведение длин отрезков пересекающихся хорд равны:
\(AM \bullet MB = CM \bullet MD\)
2. Угол между двумя пересекающихся хорд равен полусумме высекаемых ими дуг:
\(\angle AMD = \angle CMD = \frac{дуга\ AD + дуга\ \text{CB}\ }{2}\)
ХОРДА И КАСАТЕЛЬНАЯ
Прямая AB касается окружности в точке B, BC – хорда. {2}\)
2. Угол между секущей и касательной равен полуразности высекаемых ими дуг:
\(\angle DAC = \frac{дуга\ DC\ –\ дуга\ \text{CB}}{2}\)
УГОЛ МЕЖДУ СЕКУЩИМИ
AD и AE – секущие, выходящие из одной точки, пересекающие окружность в точках В и С соответственно.
Угол между секущими равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:
\(\angle BAC = \frac{дуга\ \text{DE}\ –\ дуга\ \text{BC}}{2}\)
Геометрия. Урок 5. Окружность — ЁП
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Определение окружности
- Отрезки в окружности
Радиус
Хорда
Диаметр
- Дуга в окружности
- Углы в окружности
Центральный
Вписанный
- Длина окружности, длина дуги
- Площадь круга и его частей
Площадь круга
Площадь сектора
Площадь сегмента
- Теорема синусов
- Примеры решений заданий из ОГЭ
Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.
Эта точка называется центром окружности.
Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.
Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.
Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности (d=2R).
OA – радиус, DE – хорда, BC – диаметр.
Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.
Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.
Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны (AC=BC).
Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.
Например, хорда AB стягивает две дуги: ∪AMB и ∪ALB.
Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.
Если AB=CD, то ∪AB=∪CD
В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.
Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.
∠AOB – центральный.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪AB=∠AOB=α
Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.
Градусная мара всей окружности равна 360°.
Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.
∠ACB – вписанный.
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ACB=∪AB2=α2∪AB=2⋅∠ACB=α
Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
∠MAN=∠MBN=∠MCN=∪MN2=α2
Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90°.
MN – диаметр.
∠MAN=∠MBN=∪MN2=180°2=90°
Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α.
Градусная мера дуги ∪AB равна градусной мере дуги ∪CD и равна α.
∪AB=∪CD=α
Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.
Длина окружности находится по формуле:
l=2πR
Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:
lα=πR180∘⋅α
Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.
Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.
Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.
Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.
Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.
Площадь круга находится по формуле: S=πR2
Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.
Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.
Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: Sα=πR2360°⋅α
Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.
Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.
Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.
S=πR2360°⋅α−12R2sinα
Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:
asin∠A=bsin∠B=csin∠C=2R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.
Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.
Окружность и площадь кругов | Математика средней школы | Геометрия и измерения
Популярные учебные пособия
по окружности и площади круговКак найти диаметр круга, если известен его радиус?
Когда вы знаете радиус круга, вы можете найти диаметр этого круга с помощью простой задачи на умножение! Следуйте этому руководству, чтобы узнать, как найти диаметр круга, когда вам известен радиус.
Как найти длину окружности, если известен диаметр?
Пытаетесь найти длину окружности? Диаметр знаете? Тогда вы можете использовать формулу длины окружности, чтобы получить ответ! Просто подставьте значение диаметра в формулу и решите.
Этот урок покажет вам, как!Как найти длину окружности, если известен радиус?
Пытаетесь найти длину окружности? Знаешь радиус? Тогда вы можете использовать формулу длины окружности, чтобы получить ответ! Просто подставьте значение радиуса в формулу и решите. Этот урок покажет вам, как!
Как найти площадь круга, если известен радиус?
Если вы знаете радиус круга, вы можете использовать его, чтобы найти площадь этого круга. Просто подставьте это значение в формулу площади круга и решите. Посмотрите этот урок, чтобы увидеть, как это делается!
Как найти площадь круга, если известен диаметр?
Если у вас есть диаметр круга, вы можете использовать его, чтобы найти площадь этого круга. Просто подставьте это значение в формулу площади круга и решите. Посмотрите этот урок, чтобы увидеть, как это делается!
Что такое круг?
Круги — фундаментальная часть математики! В этом уроке вы познакомитесь с кругами и увидите различные части круга, такие как диаметр, радиус и хорда.
Посмотрите этот урок, чтобы узнать о кругах!Что такое Пи?
Некоторые числа настолько круты, что для них есть отдельный туториал. Возьмем иррациональное число пи. Это число — просто отношение, но люди работали годами, чтобы найти все больше и больше цифр числа пи. Посмотрите этот учебник, чтобы узнать о числе Пи!
Что такое Окружность?
Длина окружности — это расстояние вокруг этой окружности. Но по какой формуле найти длину окружности? В этом уроке вы узнаете формулы длины окружности. Взглянем!Какая формула площади круга?
Знаете ли вы, что можно вычислить формулу площади круга, превратив круг в параллелограмм? Это кажется немного странным, но это действительно работает! Посмотрите этот урок, чтобы увидеть, как это делается!
[БЕСПЛАТНО, ТЕСТ] RDConv: Расширение конвертера диаметра/радиуса геометрии! — Расширения
AyProductions
#1
Недавно я изучил геометрию и окружности, вычисление их радиуса и диаметра. Я подумал, а почему бы не сделать расширение для расчета от радиуса к диаметру и от диаметра к радиусу! Ну, я создал один. Его можно воспроизвести с помощью встроенных блоков, поставляемых с MIT App Inventor…
Я просто сделал это, чтобы облегчить задачу тем людям, которые не знают, как вычислить радиус и диаметр.
IDE: Niotron IDE
ВСЕ БЛОКИ ПОДДЕРЖИВАЮТ ТОЛЬКО МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БЛОКИ! (DOUBLE)
Загрузка:
RDConv.aix (5,1 КБ)
Демонстрация расширения в приложении:
/uploads/default/original/3X/5/5/5550b6d84bb1f1e1597ab1ee9621064mp2c36064mp2c36061
Скачать демонстрационное приложение AIA (ИСПОЛЬЗУЕТ РАСШИРЕНИЕ RDCONV):
radiusAndDiameter. aia (9,5 КБ)
Дальнейшие улучшения всегда приветствуются! Предлагайте любые идеи!
4 лайков
ТИМАИ2 незарегистрированный
#2
ТИМАИ2 перечислены
№15
Техно_Веданг
# 18
И вы без надобности увеличите размер своего приложения. …
preetvadaliya закрыто
# 21
СтивДж.Г. открыл
# 22
Стив Дж. Г.
# 23
Я только что удалил некоторые нетехнические комментарии, которые неуместны в этом сообществе.
Несмотря на то, что это «простое» расширение может быть воспроизведено блоками, здесь оно приветствуется. Начинающий разработчик научился делать расширение и решил им поделиться. Некоторые пользователи будут использовать его, другие будут использовать блоки. App Inventor — это в основном образовательный инструмент, и мы рады, что вы смогли создать расширение. Некоторые разработчики не знают, насколько это хорошо для вас.
Когда пользователи публикуют решения Block, которые были «решены ранее», они не получают критики, которую я удалил в этой простой ветке расширения. Приложение Inventor и сообщество — это возможность опробовать идеи. Когда вы публикуете, будьте готовы к критике; какая-то критика будет справедливой, а какая-то не очень.
Когда вы критикуете код разработчика, не будьте злыми. Это не место для спора. Каждый человек имеет право на свое мнение. Если у вас есть конструктивная критика, обязательно опубликуйте ее, но не ссорьтесь, как дети. Если вы не будете использовать усилия, не делайте этого.
Спасибо.
4 лайков
Gordon_Lu
# 24
АйПроизводство:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БЛОКИ
Можете ли вы дать уточнение, какие математические блоки? Поддерживают ли они long , int или double ?
1 Нравится
АйПродакшнс
# 25
Они поддерживают «двойной»
1 Нравится
Ааруш_Кумар
# 26
это как мы оцениваем? только с 1 вариантом? вам нужно добавить больше вариантов, таких как средний, плохой, потрясающий. Потому что с опцией пользователь должен выбрать только это или не выбирать вообще.
1 Нравится
АйПродукшнс
# 27
если не нравится то не голосуй
Aarush_Kumar
# 28
никогда этого не говорил, но я говорю, что рейтинг только с опцией — это даже не рейтинг? это? таким образом, вы будете знать только тех, кому нравится это расширение, но не знаете, кто не хочет его улучшать в будущем. Не принимайте это как ненависть, вы начинаете разработку расширения, и в начале люди упрощают и улучшают.