Что такое в математике log: Логарифмы, log, ln, lg

{-5}=\)\(\frac{1}{32}\)

Содержание

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:


Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание - подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».


Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм - нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм:  а) \(\log_{4}{16}\)     б) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)     в) \(\log_{\sqrt{5}}{1}\)     г) \(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}\)      д) \(\log_{3}{\sqrt{3}}\)

а) В какую степень надо возвести \(4\), чтобы получить \(16\)? Очевидно во вторую. Поэтому: 

\(\log_{4}{16}=2\)

б) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\frac{1}{3}\)? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

\(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=-1\)

в) В какую степень надо возвести \(\sqrt{5}\), чтобы получить \(1\)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

\(\log_{\sqrt{5}}{1}=0\)

г) В какую степень надо возвести \(\sqrt{7}\), чтобы получить \(\sqrt{7}\)? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

\(\log_{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}=1\)

д) В какую степень надо возвести \(3\), чтобы получить \(\sqrt{3}\)? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень - это степень \(\frac{1}{2}\).

\(\log_{3}{\sqrt{3}}=\)\(\frac{1}{2}\)

Пример: Вычислить логарифм \(\log_{4\sqrt{2}}{8}\)

Решение:

\(\log_{4\sqrt{2}}{8}=x\)

                              

Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс.{b}=c\)       \(\Leftrightarrow\)       \(\log_{a}{c}=b\)

\(\log_{4}{10}=5x-4\)

 

Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева

\(5x-4=\log_{4}{10}\)

 

Перед нами линейное уравнение. Перенесем \(4\) вправо.

И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу. 

\(5x=\log_{4}{10}+4\)

 

Поделим уравнение на 5

\(x=\)\(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)


Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: \(\frac{\log_{4}{10}+4}{5}\)

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы \((a>0, a\neq1)\). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание - число Эйлера \(e\) (равное примерно \(2,7182818…\)), и записывается такой логарифм как \(\ln{a}\).

То есть, \(\ln{a}\) это то же самое, что и \(\log_{e}{a}\), где \(a\) - некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается \(\lg{a}\).

То есть, \(\lg{a}\) это то же самое, что и \(\log_{10}{a}\), где \(a\) - некоторое число.{2}=25\)

     

Ответ готов.

Ответ: \(25\)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что \(\log_{2}{4}\) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать \(\log_{2}{4}\). 

Но \(\log_{3}{9}\) тоже равен \(2\), значит, также можно записать \(2=\log_{3}{9}\)  . Аналогично и с \(\log_{5}{25}\), и с \(\log_{9}{81}\), и т.д. То есть, получается  

\(2=\log_{2}{4}=\log_{3}{9}=\log_{4}{16}=\log_{5}{25}=\log_{6}{36}=\log_{7}{49}...\)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как \(\log_{2}{8}\), или как \(\log_{3}{27}\), или как \(\log_{4}{64}\)… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

\(3=\log_{2}{8}=\log_{3}{27}=\log_{4}{64}=\log_{5}{125}=\log_{6}{216}=\log_{7}{343}...\)

И с четверкой:

\(4=\log_{2}{16}=\log_{3}{81}=\log_{4}{256}=\log_{5}{625}=\log_{6}{1296}=\log_{7}{2401}...\)

И с минус единицей:

\(-1=\) \(\log_{2}\)\(\frac{1}{2}\)\(=\) \(\log_{3}\)\(\frac{1}{3}\)\(=\) \(\log_{4}\)\(\frac{1}{4}\)\(=\) \(\log_{5}\)\(\frac{1}{5}\)\(=\) \(\log_{6}\)\(\frac{1}{6}\)\(=\) \(\log_{7}\)\(\frac{1}{7}\)\(...\)

И с одной третьей:

\(\frac{1}{3}\)\(=\log_{2}{\sqrt[3]{2}}=\log_{3}{\sqrt[3]{3}}=\log_{4}{\sqrt[3]{4}}=\log_{5}{\sqrt[3]{5}}=\log_{6}{\sqrt[3]{6}}=\log_{7}{\sqrt[3]{7}}...\)

И так далее.

Любое число \(a\) может быть представлено как логарифм с основанием \(b\):       \(a=\log_{b}{b^{a}}\)

Пример: Найдите значение выражения \(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)

Решение:

\(\frac{\log_{2}{14}}{1+\log_{2}{7}}\)\(=\)

          

Превращаем единицу в логарифм с основанием \(2\): \(1=\log_{2}{2}\)

\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{2}+\log_{2}{7}}\)\(=\)

 

Теперь пользуемся свойством логарифмов:
\(\log_{a}{b}+\log_{a}{c}=\log_{a}{(bc)}\)

\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{(2\cdot7)}}\)\(=\)\(\frac{\log_{2}{14}}{\log_{2}{14}}\)\(=\)

 

В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.

\(=1\)

 

Ответ готов.

Ответ: \(1\)

Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Логарифмы в математике, основные понятия и определения

Определение и основные понятия логарифмов

Например. , поскольку .

В 8 веке индийский математик Вирасена (792-853), исследуя степенные зависимости, опубликовал фактически таблицу логарифмов (целочисленных показателей) для оснований 2, 3, 4. Дальнейшее развитие теория логарифмов получила в средневековой Европе, где была выдвинута идея замены трудоемкого умножения на простое сложение. Впервые эта идея увидела свет в книге «Arithmetica integra» (1544) немецкого математика Михаэля Штифеля (1487-1567). В 1614 году шотландский математик Джон Непер (1560-1617) опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором ввел термин «логарифм», а также описал его свойства. Общепринятого обозначения логарифма не было до конца 19 века, хотя специальные обозначения для натурального и десятичного логарифмов появились значительно ранее.

Натуральный логарифм — логарифм по основанию :

   

Десятичный логарифм — логарифм по основанию 10:

   

Свойства логарифмов

Следующие свойства приведены для произвольных величин , при которых логарифм существует.

  1. Основное логарифмическое тождество:

       

    Например. .

  2. Если основание логарифма и подлогарифмическая функция равны, то логарифм равен единице:

       

    Например. .

  3. Логарифм по любому основанию от единицы равен нулю:

       

    Например. .

  4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей:

       

    Например. .

  5. Логарифм частного равен разности логарифмов от делимого и делителя соответственно:

       

    Например. .

  6. .

    Например. .

  7. .

    Например. .

  8. .

    Например. .

  9. .

    Например. .

  10. Переход к новому основанию:

       

    Например. .

  11. .

    Например. .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Логарифмы / math5school.ru

Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

 

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа b по основанию а (a > 0, a ≠ 1) называется такой показатель степени c, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Записывают: с = logb, что означает c= b

Из определения логарифма следует справедливость равенства: 

logb = b, (а > 0, b > 0,≠ 1),

называемого основным логарифмическим тождеством.

В записи logчисло аоснование логарифма, bлогарифмируемое число.

Из определения логарифмов вытекают следующие важные равенства:

loga 1 = 0,

loga а = 1.

Первое следует из того, что a 0 = 1, а второе – из того, что a 1 = а. Вообще имеет место равенство

loga r = r.

 

Свойства логарифмов

Для положительных действительных чисел a (a ≠ 1), b, c справедливы следующие соотношения:

log(b · c) = logb + logc

log(b ⁄ c) = logb – logc

logp = p · logb

logq b = 1/q · logb

logq b p = p/q · logb

logpr ps = logs

logb = logb ⁄ loga  (c ≠ 1)

logb = 1 ⁄ loga  (b ≠ 1)

logb · logc = logc

logb =logc

Замечание 1. Если а > 0, a ≠ 1, числа b и c отличны от 0 и имеют одинаковые знаки, то

log(b · c) = log|b| + log|c|

log(b ⁄ c) = loga |b| – log|c| .

Замечание 2. Если p и q – чётные числа, а > 0, a ≠ 1 и b ≠ 0, то

logp = p · loga

|b|

logpr ps = logr |s|

logq b p = p/q · log|b| .

Для любых положительных, отличных от 1 чисел a и b верно:

logb > 0  тогда и только тогда, когда  a > 1  и  b > 1  или  0 < a < 1  и  0 < b < 1;

logb < 0  тогда и только тогда, когда  a > 0  и  0 < b < 1  или  0 < a < 1  и  b > 1.

 

Десятичный логарифм

Десятичным логарифмом называется логарифм, основание которого равно 10.

Обозначаются символом lg:

log10 = lg b.

Десятичные логарифмы до изобретения в 70-х годах прошлого века компактных электронных калькуляторов широко применялись для вычислений. Как и любые другие логарифмы, они позволяли многократно упростить и облегчить трудоёмкие расчёты, заменяя умножение на сложение, а деление на вычитание; аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс для чисел от 1 до 1000, с восемью (позже – с четырнадцатью) знаками. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми.

В зарубежной литературе, а также на клавиатуре калькуляторов встречаются и другие обозначения десятичного логарифма: log, Log, Log10, причём следует иметь в виду, что первые два варианта могут относиться и к натуральному логарифму.

 

Таблица десятичных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Десятки Единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9
0 0 0,30103 0,47712 0,60206 0,69897 0,77815 0,84510 0,90309 0,95424
1 1 1,04139 1,07918 1,11394 1,14613 1,17609 1,20412 1,23045 1,25527 1,27875
2 1,30103 1,32222 1,34242 1,36173 1,38021 1,39794 1,41497 1,43136 1,44716
1,46240
3 1,47712 1,49136 1,50515 1,51851 1,53148 1,54407 1,55630 1,56820 1,57978 1,59106
4 1,60206 1,61278 1,62325 1,63347 1,64345 1,65321 1,66276 1,67210 1,68124 1,69020
5 1,69897 1,70757 1,71600 1,72428 1,73239 1,74036 1,74819 1,75587
1,76343
1,77085
6 1,77815 1,78533 1,79239 1,79934 1,80618 1,81291 1,81954 1,82607 1,83251 1,83885
7 1,84510 1,85126 1,85733 1,86332 1,86923 1,87506 1,88081 1,88649 1,89209 1,89763
8 1,90309 1,90849 1,91381 1,91908 1,92428 1,92942 1,93450 1,93952 1,94448 1,94939
9 1,95424 1,95904 1,96379 1,96848 1,97313 1,97772 1,98227 1,98677 1,99123 1,99564

 

Натуральный логарифм

Натуральным логарифмом называется логарифм, основание которого равно  числу е, математической константе, являющейся иррациональным числом, к которому стремится последовательность

а= (1 + 1/n)n при n → +∞.

Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Значение числа е с первыми пятнадцатью цифрами после запятой следующее: 

е = 2,718281828459045... .

Натуральный логарифм обозначаются символом ln:

log= ln b.

Натуральные логарифмы являются самыми удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций.

 

Таблица натуральных логарифмов целых чисел от 0 до 99

Десятки Единицы
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0,69315 1,09861 1,38629 1,60944 1,79176 1,94591 2,07944 2,19722
1 2,30259 2,39790 2,48491 2,56495 2,63906 2,70805 2,77259 2,83321 2,89037 2,94444
2 2,99573 3,04452 3,09104 3,13549 3,17805 3,21888 3,25810 3,29584 3,33220 3,36730
3 3,40120 3,43399 3,46574 3,49651 3,52636 3,55535 3,58352 3,61092 3,63759 3,66356
4 3,68888 3,71357 3,73767 3,76120 3,78419 3,80666 3,82864 3,85015 3,87120 3,89182
5 3,91202 3,93183 3,95124 3,97029 3,98898 4,00733 4,02535 4,04305 4,06044 4,07754
6 4,09434 4,11087 4,12713 4,14313 4,15888 4,17439 4,18965 4,20469 4,21951 4,23411
7 4,24850 4,26268 4,27667 4,29046 4,30407 4,31749 4,33073 4,34381 4,35671 4,36945
8 4,38203 4,39445 4,40672 4,41884 4,43082 4,44265 4,45435 4,46591 4,47734 4,48864
9 4,49981 4,51086 4,52179 4,5326 4,54329 4,55388 4,56435 4,57471 4,58497 4,59512

 

Формулы перехода от десятичного к натуральному логарифму и наоборот

Так как lg е = 1 / ln 10 ≈ 0,4343, то lg b ≈ 0,4343 · ln b;

так как ln 10 = 1 / lg e ≈ 2,3026, то ln b ≈ 2,3026 · lg b.{\prime}=\frac{1}{x \ln 10}$

8  $\int \lg x \mathrm{d} x=x \lg x-\frac{x}{\ln 10}+C$

9  $\lim _{x \rightarrow 0+} \lg x=-\infty$

Читать дальше: логарифмическая функция.

Слишком сложно?

Десятичный логарифм не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Логарифм

Логарифм является числом, применение которого значительно упрощает довольно много сложных операций, которые существуют в арифметике. Если использовать в вычислениях логарифмы вместо чисел, то вполне возможно заменить, например, умножение более просто операцией, такой, как сложение. Также можно использовать вычитание вместо деления, умножение – вместо возведения в степень, а также деление – вместо извлечения корня.

Что же такое логарифм с математической точки зрения? Логарифм – это показатель степени, в которую необходимо возвести другое число, которое называется основанием логарифма, для того, чтобы получить данное число.l=n. Число n также называют антилогарифмом числа l по основанию а.

Основанием логарифма может служить любое положительное число, кроме единицы. Однако отметим тот факт, что, если а и n – рациональные числа, то l будет являться рациональным числом в очень редких случаях. Но ведь всегда можно определить иррациональное число l, а потом максимально точно приблизить его рациональными числами. Делается это с помощью специальных таблиц логарифмов (если рассматривать пример, что мы указали выше, то в этом случае, это будет четырехзначная таблица десятичных логарифмов).

Принцип, который лежит в основе абсолютно любой системы логарифмов, был известен еще в стародавние времена (например, вавилонская математика). Свойства логарифмов также изучал Архимед, который использовал степени числа 10, чтобы найти верхний передел числа песчинок, которые необходимы, чтобы заполнить Вселенную.

Например: Log[2,64]-6

Логарифмы

Определение логарифма
Логарифмом числа b по основанию a называется показатель
степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b.
log 
a
b = c ;     ac
 
= b

Свойства логарифма
Логарифм произведения
log 
c
(ab) = log 
c
a + log 
c
b
Логарифм частного
log 
c
(a
b
) = log 
c
a - log 
c
b
Логарифм степени
Логарифм корня
log 
c
n
 
a = 1
n
log 
c
a
Переход к новому основанию
Формулы, следущие из свойств логарифмов
log 
a
b =   1  
log 
b
a
log 
n
b = log 
m
b = log 
c
b
log 
n
clog 
m
c
log 
n
b * log 
m
c = log 
m
b * log 
n
c
 
a
log 
n
b 
=
 
b
log 
n
a
  

Что такое логарифм? Зачем нужны логарифмы?

        Логарифмы — традиционная головная боль для многих учеников старших классов. Особенно — уравнения и неравенства с логарифмами. Не любят старшеклассники логарифмы почему-то. И поэтому боятся. И совершенно зря.) Ибо сам по себе логарифм — это очень и очень простое понятие. Не верите? Убедитесь сами! В сегодняшнем уроке.

        Итак, поехали знакомиться.)

        Для начала решим в уме вот такое очень простенькое уравнение:

        2х = 4

        Это простейшее показательное уравнение. Оно так называется из-за того, что неизвестное икс находится в показателе степени. Даже если вы не в курсе, как решаются показательные уравнения, просто в уме подберите икс так, чтобы равенство выполнилось. Ну же?! Ну, конечно же, х = 2. Два в квадрате — это четыре.)

        А теперь я изменю в нём всего одно число. Вот такое уравнение теперь решим:

        2х = 5

        И снова пробуем подобрать икс…

        Что, никак не подбирается? Два в квадрате — это четыре. Два в кубе — это уже восемь. А у нас — пятёрка. Мимо проскочили… Что делать? Только не говорите мне, что нету такого икса! Не поверю.)

        Согласитесь, что это как-то несправедливо: с четвёркой уравнение решается в уме, а с пятёркой — уже не решается никак. Математика не приемлет такой дискриминации! Для неё все числа — равноправные партнёры.)

        На данном этапе мы можем лишь грубо прикинуть, что икс — какое-то дробное число между двойкой (22 = 4) и тройкой (23 = 8). Можем даже немного повозиться с калькулятором и приближённо подобрать, найти это число. Но такая возня каждый раз… Согласен, как-то грустно…

        Математика решает данную проблему очень просто и элегантно — введением понятия логарифма.

        Итак, что же такое логарифм? Вернёмся к нашему загадочному уравнению:

        2х = 5

        Осмысливаем задачу: нам надо найти некое число х, в которое надо возвести 2, чтобы получить 5. Понятна эта фраза? Если нет, перечитайте ещё раз. И ещё… Пока не осознаете. Ибо это очень важно!

        Вот и назовём это загадочное число х логарифмом пятёрки по основанию два! В математической форме эти слова выглядят так:

        x = log25

        А произносится эта запись вот так: "Икс равен логарифму пяти по основанию два."

        Число внизу (двойка) называется основанием логарифма. Пишется снизу так же, как и в показательном выражении 2х. Запомнить очень легко.)

        Ну, вот, собственно, и всё! Мы решили ужасное на вид показательное уравнение!

        2х = 5

        x = log25

        И всё! Это правильный и совершенно полноценный ответ!

        Может быть, вас смущает, что вместо конкретного числа я пишу какие-то непонятные буковки и значки?

        Ну что ж, ладно, уговорили… Специально для вас:

        x = log25 = 2,321928095…

        Имейте в виду, что число это никогда не кончается. Да-да! Иррациональное оно…

        Вот вам и ответ на вопрос, для чего нужны логарифмы. Логарифмы нам нужны, в первую очередь, для решения показательных уравнений! Таких, которые без логарифмов и не решаются вовсе…

        Например, решая показательное уравнение

        3x = 9,

        про логарифмы можно не вспоминать. Сразу ясно, что х = 2.

 

        А вот, решая уравнение, скажем, такое

        3х = 7,

        вы приближённо получите вот такой лохматый ответ:

        х ≈ 1,77124375

        Зато через логарифм даётся абсолютно точный ответ:

        х = log37.

 

        И все дела.) Вот поэтому и пишут логарифмы вместо некрасивых иррациональных чисел. Кому нужен числовой ответ — посчитает на калькуляторе или хотя бы в Excel.) А раньше, когда калькуляторов и компьютеров не было и в помине, существовали специальные таблицы логарифмов. Объёмные и увесистые. Так же, как и таблицы Брадиса для синусов и косинусов. И даже инструмент такой был — логарифмическая линейка. Которая позволяла с хорошей точностью вычислять массу полезных вещей. И не только логарифмы.)

        Ну вот. Теперь, незаметно для себя, мы научились решать все показательные уравнения такого зверского типа.

        Например:

        2х = 13

        Никаких проблем:

        x = log213

 

        5х = 26

        Тоже элементарно!

        x = log526

 

        11x = 0,123

        И тут не вопрос:

        x = log110,123

 

        Это всё верные ответы! Ну как? Заманчиво, правда?

 

        А теперь вдумаемся в смысл самой операции нахождения логарифма.

        Как мы знаем, на каждое действие математики стараются найти противодействие (т.е. обратное действие). Для сложения это вычитание, для умножения это деление. А какое обратное действие есть для возведения в степень?

        Давайте посмотрим. Какие у нас основные действующие фигуры при возведении в степень? Вот они:

        an = b

        a - основание,

        n - показатель,

        b - собственно сама степень.

        А теперь подумаем: если нам известна степень (b) и известен показатель этой самой степени (n), а найти надо основание (a), то что мы обычно делаем? Правильно! Извлекаем корень n-й степени! Вот так:

        

       А теперь посмотрим на другую ситуацию: нам снова известна степень (b), но на этот раз вместо показателя n нам известно основание (a), а найти как раз надо этот самый показатель (n). Что делать будем?

        Вот тут-то на помощь и приходят логарифмы! Прямо так и пишут:

        

        "Эн" (n) — это число, в которое надо возвести "a", чтобы получить "b". Вот и всё. Вот и весь смысл логарифма. Операция нахождения логарифма — это всего лишь поиск показателя степени по известным степени и основанию.

        Таким образом, для возведения в степень в математике существует два разных по природе обратных действия. Это извлечение корня и нахождение логарифма. А вот, скажем для умножения обратное действие только одно — деление. Оно и понятно: любой из неизвестных множителей — что первый, что второй — ищется с помощью одной операции - деления.)

 

Простейшие примеры с логарифмами.

        А теперь новость не очень хорошая. Если логарифм считается ровно, то его надо считать, да.

        Скажем, если где-то в уравнении вы получили

        x = log39,

        то такой ответ никто не оценит. Надо логарифм посчитать и записать:

        х = 2

        А как мы поняли, что log39=2? Переводим равенство с математического языка на русский: логарифм девяти по основанию три — это число, в которое надо возвести три, чтобы получить девять. И в какое же число надо возвести тройку, чтобы получить девятку? Ну, конечно! В квадрат надо возвести. То есть, в двойку.)

        А чему равен, скажем, log5125? А в какой степени пятёрка даёт нам 125? В третьей, разумеется (т.е. в кубе)!

        Стало быть, log5125 = 3.

 

        Идём дальше.

        log77 = ?

        В какую степень надо возвести 7, чтобы получить 7? В первую!

        Вот вам и ответ: log77 = 1

 

        А вот такой пример как вам?

        log31 = ?

        И в какую же степень надо возвести тройку, чтобы получить единицу? Неужели не догадались? А вы вспомните свойства степеней.) Да! В нулевую! Вот и пишем:

        log31 = 0                       

 

        Уловили принцип? Тогда тренируемся:

        log216 = …

        log464 = …

        log1313 = …

        log3243 = …

        log151 = …

        Ответы (в беспорядке): 1; 3; 5; 0; 4.

 

        Что? Забыли, в какой степени 3 даёт 243? Что ж, ничего не поделаешь: степени популярных чисел надо узнавать. В лицо! Ну, и таблица умножения — надёжный спутник и помощник. И не только в логарифмах.)

        Ну вот, совсем простенькие примеры порешали, а теперь шагаем на ступеньку выше. Вспоминаем отрицательные и дробные показатели.)

        Решаем вот такой пример:

        log40,25 = ?

        Мда… И в какую же степень надо возвести четвёрку, чтобы получить 0,25? Так с ходу и не скажешь. Если работать только с натуральными показателями. Но степени в математике, как известно, бывают не только натуральными. Самое время подключить наши знания об отрицательных показателях и вспомнить, что

        0,25 = 1/4 = 4-1

        Стало быть, можно смело записать:

        log40,25 = log44-1 = -1.

        И всё.)

 

        Ещё пример:

        log42 = ?

        В какую такую степень надо возвести четвёрку, чтобы получить двойку? Для ответа на этот вопрос придётся подключать наши знания о корнях. И вспомнить, что двойка — это корень квадратный из четырёх:

       

       А корень квадратный математика позволяет представить в виде степени! С показателем 1/2. Так и пишем:

Поэтому наш логарифм будет равен:

        Ну что, поздравляю! Вот мы с вами и познакомились с логарифмами. На самом примитивном начальном уровне.) И вы сами лично убедились, что они вовсе не так страшны, как, возможно, вам казалось раньше. Но у логарифмов, как и у любых других математических понятий, есть свои свойства и свои особые фишки. О том и о другом (о свойствах и о фишках) — в следующем уроке.

        А теперь решаем самостоятельно.

        Вычислить:

        

        Ответы (в беспорядке): 4,4; 0; 1; 6; 4; 2.

что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Что такое логарифм

Свойства логарифма

Логарифмические уравнения

Логарифмические неравенства


Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.
Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма). 

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров. 

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81. 

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182..., мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета...  Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь  разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма). 

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

lg — это логарифм по основанию 10. 10 нужно 3 раза умножить само на себя, чтобы получить 1000.

А теперь посложнее, перейдем по определнию к показательному уравнению :

Следующий пример поможет нам узнать первую формулу логарифмов: 

Преобразуем выражение по определению логарифма и получим показательное уравнение. Единица — это же любое значение в нулевой степени?

Тогда можно сделать вывод, что при любом основании и аргументе логарифма, равном 1, все эти логарифмы будут равны нулю.

Нетрудно тогда понять, что есть еще одно следствие:

В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 2? Напряжем все свои извилины и получим — один!

Дальше будут формулы, которые я позволю себе не выводить, чтобы не испугать неискушенных в математике читателей.

Хотя мой вам совет: отследить, откуда эта формула появилась. У логарифмов самое главное помнить, что логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

Основное логарифмическое тождество:

В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Значит, логарифм в показателе степени равен двум.

Это единственная формула, где логарифм в показатели степени. Видишь логарифм в степени? Тебе поможет только эта формула.

Еще примерчик, двойка перед логарифмом никак не влияет, формула все так же работает: 

А вот квадрат в логарифме тоже быть может, только лучше сначала разложить:

Дальше с этим ничего сделать не сможем.

Дальнейшие формулы тоже уникальны, это тебе не косинус двойного угла.

Видим сложение логарифмов, выпускаем эту формулы:

А вот примерчик, чтобы порадовать тебя этой формулой, только наоборот:

Видим разность логарифмов, выпускаем эту формулы:

А теперь сразу сумма и разность. По отдельности логарифмы не найти, но вместе они и мы сила:

Теперь посмотрим на степени у аргмента логарифма:

Пример:

А в основании тоже можно? Нужно!

Минус два — это степень у основания:

А все вместе можно? Конечно, логарифмы — это такая свобода: 

А здесь нужно будет соединить две формулы: 1) вынесение степени из основания и 2) разность логарифмов

С основными формулами разобрались, теперь для решения более сложных уравнений/выражений.

Формула перехода к новому основанию: 

Обрати внимание, чем она отличается от разности логарифмов (4). Тут мы делим один логарифм на другой, а там деление происходит под логарифмом.

Тут все просто, разве что стоит вспомнить, что квадратный корень — это степень одна вторая.

Тут первым действием воспользуемся изучаемой формулой, а дальше каждый логарифм в виде числа, потихонечку−полегонечку.

Последняя формула, меняем местами аргумент и основание логарифма:

Используется тоже нечасто, но если ее не знаешь, то никак не выкрутишься через другие формулы.

Простенький примерчик:

Закрепим обе формулы. Используем формулу (9), после (8), а так же не забудь порадовать десятичные дроби — переведи их в обыкновенные, а они порадуют тебя. Теперь посмотрим еще на пару примеров:  

Логарифм в логарифме, что может быть прекраснее? Только решенный логарифм в логарифме.

Начинаем с внутреннего:

И постепенно раскрываем каждый последующий:

После того, как с формулами разобрались, (а их всего 9! Согласись, несложно выучить?), перейдем к уравнениям.

Все логарифмические уравнения решаем по одному из двух алгоритмов.

Первый появляется из определения логарифма:

Только не забываем про ОДЗ:

Второй вариант, когда логарифм с одним основанием равен логарифму с точно таким же основнанием: 

Не забываем про ОДЗ, тогда получится: 

Подставив в ОДЗ x = 15, видим, что все выполняется!

Обязательно только логарифм (без всяких множителей и т.п.) с одним основанием должен быть равен другому логарифму с таким же основанием:

Здесь перед логарифмами стоят разные множители, поэтому прежде всего нужно их внести в логарифм (6 формула), а после убрать логарифмы:

Если стоят одинаковые множители, их можно сократить сразу или сократить на общий множитель:

Бывает, что с одной стороны уравнения есть сумма логарифмов (4) или обычное число, сокращать их сразу нельзя! Только после того, как приведем и левую, и правую часть к одному логарифму:

Что же касается неравенств, убирать логарифмы можно так же, как и в уравнениях, только здесь нужно внимательно смотреть на значение оснований. Если основание логарифма лежит в диапазоне 0 < a < 1 (также как в показательных неравенствах), то после зачеркивания логарифмов знак меняется на противоположный:

Если же основание а > 1, то убираем логарифмы без смены знака и дорешиваем обычное неравенство:

Вывод:

  1. Л О Г — это не три страшные буквы, а обратное действие возведению в степень. 
  2.  Хоть формул и целых девять, но они никак не пересекаются. Решая пример и ориентируясь в формулах, ты будешь однозначно выбирать необходимую формулу. 
  3. Видишь логарифм — ищи ОДЗ и решай его в первую очередь!
  4. Решение уравнений происходит по одному из двух вариантов и больше никак.
  5. В неравенствах главное — помнить об основании логарифма, когда зачеркиваем логарифмы.
Будь в курсе новых статеек, видео и легкого математического юмора.
у = х

Функция JavaScript Math.log () эквивалентна ln (x) по математике.

Параметры

Возвращаемое значение

Натуральный логарифм (основание e ) заданного числа. Если число отрицательное, возвращается NaN .

Если значение x равно 0, возвращаемое значение всегда -Бесконечность .

Если значение x отрицательное, возвращаемое значение всегда NaN .

Поскольку log () является статическим методом Math , вы всегда используете его как Math.log () , а не как метод объекта Math , который вы создано ( Math не является конструктором).

Если вам нужен натуральный логарифм 2 или 10, используйте константы Math.LN2 или Math.LN10 . Если вам нужен логарифм с основанием 2 или 10, используйте Math.log2 () или Math.log10 () . Если вам нужен логарифм для другие базы, используйте Math.log (x) / Math.log (otherBase), как в примере ниже; ты можешь хотите предварительно вычислить 1 / Math.log (otherBase).

Использование Math.log ()

  Math.log (-1);
Math.log (0);
Math.log (1);
Math.log (10);
  

Использование Math.log () с другим основанием

Следующая функция возвращает логарифм y с основанием x (например, logxy \ log_x y):

  function getBaseLog (x, y) {
  вернуть Math.log (y) / Math.log (x);
}
  

Если вы запустите getBaseLog (10, 1000) , он вернет 2.9999999999999996 из-за округления с плавающей запятой, что очень близко к фактическому ответу 3.

Таблицы BCD загружаются только в браузере

Что такое логарифм?

MATH ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ

РАЗДЕЛ 4. ЧТО ТАКОЕ ЛОГАРИФМ?


Логарифм - это степень, до которой должно быть возведено число, чтобы получить другое число (см. раздел 3 этого обзора математики для получения дополнительной информации. о экспонентах).Например, десятичный логарифм 100 равен 2, потому что десять в степени двойки равно 100:

журнал 100 = 2

потому что

10 2 = 100

Это является примером десятичного логарифма. Мы называем это десятичным логарифмом потому что десять это число это возведено в степень.Базовая единица - это поднимаемое число к власти. Есть логарифмы с использованием разных основных единиц. Если вы хотели, вы могли бы использовать два в качестве базового блока. Например, логарифм восьми по основанию два равен трем, потому что два возведены в степень трех равна восьми:

журнал 2 8 = 3

потому что

2 3 = 8

В Как правило, вы пишете журнал, за которым следует базовый номер в качестве индекса.Наиболее распространенные логарифмы: логарифмы по основанию 10 и натуральные логарифмы; у них есть специальные обозначения. Записывается журнал с основанием десять

журнал

и десятичное логарифмическое уравнение обычно записывается в виде:

журнал а = г

Записывается натуральный логарифм.

пер.

и натуральное логарифмическое уравнение обычно записывается в виде:

ln a = r

Итак, когда вы видите журнал сам по себе, это означает десятичный журнал.Когда вы видите ln, это означает натуральный логарифм (мы определим натуральные логарифмы ниже). В этом Конечно, будут использоваться только десятичные и натуральные логарифмы.

в логарифмах, страница 2


Для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.

Авторские права © 2004 г. регентами Миннесотского университета, равные возможности работодатель и педагог.

Что такое логарифм на Земле?

Что такое логарифм на Земле?
Понимание математики от Питер Альфельд, Кафедра математики, Университет Юты

Что такое логарифм на Земле?


Интересно, что после того, как я это руководство какое-то время это оказался вопрос, который мне задали чаще всего, обычно в терминах, включающих такие фразы, как «Греческий для меня», «бьет меня» или, как указано выше, "что на земле"...

Чтобы понять, что такое логарифм, вам сначала нужно понять, что за мощность является. Если вы этого не сделаете, сначала перейдите по этой ссылке!

Хорошо, вы знаете, что такое сила. Так что это имеет смысл для вас написать что-то вроде

 b  x  = y. (*) 

В предыдущем уравнении x должно выглядеть как надстрочный индекс b .Если это не так, у вас есть слабый браузер.

После этих предварительных мероприятий мы можем теперь перейти к сути причина. Уравнение (*) является ключом к все. Число b - это основание , число x экспонента , а выражение что равно y - это степень . Если мы подумаем о x как независимая переменная и y как зависимая переменная, тогда (*) определяет экспоненциальная функция .

В уравнении (*) мы можем теперь представить, что два из переменные даны, и решаем для третьего. Если даны основание и показатель степени, мы вычисляем степень , если даны показатель степени и степень, мы вычисляем корень (или корень ), и, если мощность и базы даны, вычисляем логарифм .

Другими словами, Логарифм числа y по основанию b - показатель степени, к которому мы должны поднять b , чтобы получить y.

Мы можем записать это определение как

 x = бревно  b  y b  x  = y 

и мы говорим, что x - это логарифм y с базой b тогда и только тогда, когда b к мощности x равно y .

Проиллюстрируем это определение несколькими примерами.Если у вас проблемы с любой из этих способностей, вернитесь к моему страница на полномочия.

  •  10  2  = 100 журнал  10  100 = 2 
  •  10 -2  = 0,01 лог  10  0,01 = -2 
  •  10  0  = 1 журнал  10  1 = 0 
  •  2  3  = 8 журнал  2  8 = 3 
  •  3  2  = 9 лог  3  9 = 2 
  •  25  1/2  = 5 лог  25  5 = 1/2 
  •  8  -2/3  = 1/4 журнала  8  1/4 = -2/3 
  •  2  1/2  = 1.4142135623 ... журнал  2  1.414 .. = 1/2 

Специальные базы

Логарифмы по основанию b = 10 называются десятичных логарифмов и логарифмов по база е = 2,71828 ... называются натуральными логарифмами.

Больше информации

Вы должны найти обширную информацию о логарифмах в любом учебник по алгебре колледжа.Чтобы проверить ваше понимание и направьте ваше дальнейшее изучение, чтобы найти ответы следующие вопросы:

Калькулятор логарифмов

Нажмите на этот апплет

Однако ваш браузер не поддерживает Ява. Если бы это было так, вы бы не увидели это сообщение! Получите Java совместимый браузер, такой как Netscape, достаточно продвинутой версии.

для вызова калькулятора логарифма , который позволит вам выберите два числа из числа (*) и вычислите в третьих. Его довольно просто использовать, но вот документация.


Мелкий шрифт, ваши комментарии, дополнительные ссылки, Питер Альфельд, PA1UM

[27 июня 1997 г.]

Общий и натуральный логарифмы - объяснения и примеры

Логарифм числа - это степень или экспонента, на которую должно быть увеличено другое значение, чтобы получить эквивалентное значение данного числа.

Понятие логарифмов было введено в начале 17 века Джоном Напье - шотландским математиком. Позже ученые, навигаторы и инженеры приняли концепцию выполнения вычислений с использованием логарифмических таблиц.

Логарифм числа выражается в виде;

log b N = x, где b - основание и может быть любым числом, кроме 1 и нуля; x и N - показатель степени и аргумент соответственно.

Например, , логарифм от 32 до основания 2 равен 5 и может быть представлен как;

log 2 32 = 5

Узнав о логарифмах, мы можем заметить, что основанием логарифмической функции может быть любое число, кроме 1 и нуля.Однако два других специальных типа логарифмов часто используются в математике. Это десятичный и натуральный логарифм.

Что такое десятичный логарифм?

У десятичного логарифма фиксированная база 10. Общий логарифм числа N выражается как;

log 10 N или log N. Десятичный логарифм также известен как десятичный логарифм и десятичный логарифм.

Если log N = x, то мы можем представить эту логарифмическую форму в экспоненциальной форме, т.е.е., 10 x = N.

Десятичные логарифмы имеют широкое применение в науке и технике. Эти логарифмы также называются бриггсовскими логарифмами, потому что в 18, -м, годах, их ввел британский математик Генри Бриггс. Например, кислотность и щелочность вещества выражаются экспоненциально.

Шкала Рихтера для измерения землетрясений и децибел для звука обычно выражается в логарифмической форме. Это настолько распространено, что вы можете предположить, что это журнал x или общий журнал, если вы не найдете записанной базы.

Основные свойства десятичных логарифмов такие же, как свойства всех логарифмов.

К ним относятся правило произведения, правило частного, правило степени и правило нулевой экспоненты.

Произведение двух десятичных логарифмов равно сумме отдельных десятичных логарифмов.

⟹ журнал (m n) = журнал m + журнал n.

Правило деления десятичных логарифмов гласит, что частное двух десятичных логарифмических значений равно разности каждого десятичного логарифма.

⟹ log (m / n) = log m - log n

Десятичный логарифм числа с показателем степени равен произведению показателя степени и его десятичного логарифма.

⟹ log (m n ) = n log m

⟹ log 1 = 0

Что такое натуральный логарифм?

Натуральный логарифм числа N - это степень или показатель степени, до которого нужно возвести "e", чтобы оно стало равным N. Константа "e" - это постоянная Напье, которая приблизительно равна 2,718281828.

ln N = x, что совпадает с N = e x .

Натуральный логарифм в основном используется в чистой математике, такой как исчисление.

Основные свойства натуральных логарифмов такие же, как и свойства всех логарифмов.

⟹ ln (ab) = ln (a) + ln (b)

⟹ ln (a / b) = ln (a) - ln (b)

⟹ ln (1 / a) = −ln (a )

⟹ ln (a b ) = b ln (a)

Другие свойства натурального журнала:

  • e ln (x) = x
  • ln (e x ) = x
  • ln (e) = 1
  • ln (∞) = ∞
  • ln (1) = 0

В научных и графических калькуляторах есть ключи для десятичных и натуральных логарифмов.Ключ для натурального логарифма обозначается « e», или «ln», а ключ для десятичного логарифма - «log».

А теперь давайте проверим наше понимание урока, попробовав несколько задач на натуральный и десятичный логарифмы.

Пример 1

Решить относительно x if, 6 x + 2 = 21

Решение

Выразить обе стороны в виде десятичного логарифма

log 6 9012 x 902 + 2 = log 21

Применяя правило логарифмов степени, получаем;
( x + 2) log 6 = log 21

Разделите обе стороны на log 6.

x + 2 = log 21 / log 6

x + 2 = 0, 5440

x = 0,5440 - 2

x = -1,4559

Пример 2

Решить для x in e 2 x = 9

Решение

ln e 3 x = ln 9
3 x ln e = ln 9
3 x = ln 9

изолировать x, разделив обе стороны на 3.

x = 1 / 3ln 9

x = 0. 732

Пример 3

Решить относительно x в логарифме 0.0001 = x

Решение

Перепишите общий журнал. в экспоненциальной форме.

10 x = 0,0001

Но 0,0001 = 1/10000 = 10 -4

Следовательно,

x = -4

Практические вопросы

1. Найдите x в каждом из следующих случаев:

а. ln x = 2,7

б. ln (x + 1) = 1,86

с. x = e 8 ÷ e 7,6

d. 27 = e x

e.12 = e -2x

2. Решите 2 log 5 + log 8 - log 2

3. Запишите журнал 100000 в экспоненциальной форме.

4. Найдите значение x, если log x = 1/5.

5. Решите относительно y, если e y = (e 2y ) (e ln 2x ).

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

логарифмов

логарифмов

Логарифм - показатель степени. Логарифм - это показатель степени, который указывает, в какой степени для получения заданного числа необходимо поднять базу.

г = b x экспоненциальная форма

х = журнал b y логарифмический форма

x - логарифм y по основанию b

log b y - степень, в которую мы должны возвести b, чтобы получить y

.

Мы выражаем x через y

Примеры

x = журнал b y

x = журнал 2 8 Это означает логарифм 8 по основанию 2.Это экспонента, до которой нужно возвести 2, чтобы получить 8. Мы знаем, что 2 (2) (2) = 8. Следовательно, x = 3.

x = журнал 6 36 Это означает логарифм 36 по основанию 6. Это показатель степени, до которого нужно возвести 6, чтобы получить 36. Мы знаем, что 6 (6) = 36. Следовательно, x = 2.

x = журнал 10 10,000 Это означает логарифм 10000 с основанием 10.Это - показатель степени, до которого нужно поднять 10, чтобы получить 10 000. Мы знаем что 10 (10) (10) (10) = 10,000. Следовательно, x = 4.

журнал b b = 1 Логарифм любого числа по одному основанию равен 1.

x = журнал 11 11 Это означает логарифм 11 по основанию 11. Это показатель степени. на которое нужно поднять 11, чтобы получить 11.Мы знаем, что 1 (1) = 11. Следовательно, x = 1.

журнал b 1 = 0

Логарифм 1 всегда равен 0.

Любое число может служить базой b.

Обычный (Бриггсиан) логарифмы Основание 10.

Логарифмы к базе 10 широко используются. Таким образом, обычно опускают нижний индекс.Если база не указана, значит, база равна 10.

журнал 10 y = журнал y

Натуральный (Наперианские) логарифмы Основание - e.

Помнить e - иррациональное число, где e = 2,71828 ... Символ "ln" относится к натуральным логарифмам.
журнал e x = ln x ln x - показатель степени, до которого необходимо возвести e, чтобы получить x.


Почему мы хотим использовать логарифмы? Для упрощения расчетов во многих случаях.


Правила логарифмов

Правило продукта

Правило частного

Power rule Это правило полезно, потому что оно позволяет нам решать уравнения где переменная - показатель степени.


Экспоненциальные и логарифмические функции являются обратными функциями

Рассмотрим следующие таблицы и связанные с ними графики:

x

f (x) = e x

x

f (x) = ln x

0

1

1

0

1

2.7

2,7

1

2

7,39

7,39

2

3

20

20

3

[индекс]


Алгебра - логарифмические функции

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с "узкой" шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 6-2: Логарифмические функции

В этом разделе нам нужно перейти к функциям логарифмирования.Это может быть непростой момент для построения графика. Будет несколько других обозначений, к которым вы не привыкли, и некоторые свойства могут быть не такими интуитивно понятными. Однако не расстраивайтесь. Как только вы разберетесь с ними, вы обнаружите, что они на самом деле не так уж и плохи, и обычно требуется немного поработать с ними, чтобы разобраться в них.

Вот определение логарифмической функции.

Если \ (b \) - любое число такое, что \ (b> 0 \) и \ (b \ ne 1 \) и \ (x> 0 \), то

\ [y = {\ log _b} x \ hspace {0.y} = x \) называется экспоненциальной формой .

Обратите внимание, что требование \ (x> 0 \) на самом деле является результатом того факта, что мы также требуем \ (b> 0 \). Если подумать, это будет иметь смысл. Мы возводим положительное число в степень, и поэтому результат не может быть чем-то другим, кроме другого положительного числа. Очень важно помнить, что мы не можем логарифмировать ноль или отрицательное число.

Теперь давайте обратимся к используемым здесь обозначениям, поскольку это обычно самое большое препятствие, которое ученики должны преодолеть, прежде чем начать понимать логарифмы.Во-первых, «журнал» функции - это просто три буквы, которые используются для обозначения того факта, что мы имеем дело с логарифмом. Они не переменные и не означают умножения. Они просто говорят нам, что мы имеем дело с логарифмом.

Далее, \ (b \), стоящий в нижнем индексе в части «журнала», указывает нам, что такое основание, поскольку это важная часть информации. Кроме того, несмотря на то, как это может выглядеть, в приведенной выше форме логарифма нет возведения в степень.x} \) в этой форме, но это не так. Похоже, что это могло быть именно так.

Важно сохранять правильную запись логарифмов, в противном случае вам будет очень трудно понять их и работать с ними.

Теперь давайте кратко рассмотрим, как мы вычисляем логарифмы.

Пример 1 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
  1. \ ({\ log _4} 16 \)
  2. \ ({\ log _2} 16 \)
  3. \ ({\ log _6} 216 \)
  4. \ (\ displaystyle {\ log _5} \ frac {1} {{125}} \)
  5. \ ({\ log _ {\ frac {1} {3}}} 81 \)
  6. \ ({\ log _ {\ frac {3} {2}}} \ displaystyle \ frac {{27}} {8} \)
Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Теперь реальность такова, что непосредственное вычисление логарифмов может быть очень сложным процессом даже для тех, кто действительно их понимает.Обычно гораздо проще сначала преобразовать форму логарифма в экспоненциальную форму. В такой форме мы обычно можем получить ответ довольно быстро.


a \ ({\ log _4} 16 \) Показать решение

Хорошо, мы действительно спрашиваем вот о чем.

\ [{\ log _4} 16 =? \]

Как было предложено выше, давайте преобразуем это в экспоненциальную форму.

\ [{\ log _4} 16 =? \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow {\ mbox {}} \ hspace {0.4} \), и т. Д. , пока вы не получите 16. В этом случае нам нужен показатель степени 4. Следовательно, значение этого логарифма равно

. \ [{\ log _2} 16 = 4 \]

Прежде чем перейти к следующей части, обратите внимание, что их основа является очень важной частью обозначений. Изменение базы изменит ответ, поэтому нам всегда нужно отслеживать базу.


c \ ({\ log _6} 216 \) Показать решение

Мы сделаем это без каких-либо реальных объяснений, чтобы увидеть, насколько хорошо вы вычислили логарифмы.3}}} = \ frac {{27}} {8} \]

Надеюсь, теперь у вас есть представление о том, как вычислять логарифмы, и вы начинаете понимать систему обозначений. Однако есть еще несколько вычислений, которые мы хотим сделать, нам нужно ввести некоторые специальные логарифмы, которые появляются на очень регулярной основе. Это десятичный логарифм и натуральный логарифм . Вот определения и обозначения, которые мы будем использовать для этих двух логарифмов.

\ [\ begin {align *} & {\ mbox {десятичный логарифм:}} \ hspace {0.25 дюймов} \ log x = {\ log _ {10}} x \\ & {\ mbox {натуральный логарифм:}} \ hspace {0,25 дюйма} \ ln x = {\ log _ {\ bf {e}}} x \ конец {выравнивание *} \]

Итак, десятичный логарифм - это просто логарифм по основанию 10, за исключением того, что мы отбрасываем часть обозначения с основанием 10. Точно так же натуральный логарифм - это просто логарифм \ (\ bf {e} \) с другим обозначением, и где \ (\ bf {e} \) - это то же число, которое мы видели в предыдущем разделе, и определяется как \ ({\ bf {e}} = 2,718281828 \ ldots \).

Давайте взглянем на еще пару оценок.

Пример 2 Вычислите каждый из следующих логарифмов.
  1. \ (\ лог 1000 \)
  2. \ (\ log \ displaystyle \ frac {1} {{100}} \)
  3. \ (\ ln \ displaystyle \ frac {1} {{\ bf {e}}} \)
  4. \ (\ ln \ sqrt {\ bf {e}} \)
  5. \ ({\ log _ {34}} 34 \)
  6. \ ({\ log _8} 1 \)
Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Чтобы сделать первые четыре оценки, нам просто нужно запомнить, каковы их обозначения и какое основание подразумевается в этих обозначениях.0} = 1 \). Опять же, обратите внимание, что база, которую мы здесь используем, не изменит ответ.

Итак, при вычислении логарифмов все, что мы действительно спрашиваем, - это какой показатель степени мы положили на основание, чтобы получить число в логарифме.

Теперь, прежде чем мы перейдем к некоторым свойствам логарифмов, давайте сначала сделаем пару быстрых графиков.

Пример 3 Нарисуйте график десятичного и натурального логарифма на одной и той же системе координат.Показать решение

В этом примере есть две точки. Во-первых, он познакомит нас с графиками двух логарифмов, которые мы, скорее всего, увидим в других классах. Кроме того, это даст нам некоторую практику использования нашего калькулятора для вычисления этих логарифмов, потому что на самом деле именно так нам нужно будет проводить большинство этих вычислений.

Вот таблица значений двух логарифмов.

\ (х \) \ (\ журнал x \) \ (\ ln x \)
\ (\ frac {1} {2} \) -0.3010 -0,6931
1 0 0
2 0,3010 0,6931
3 0,4771 1.0986
4 0.r}} \ right) = r {\ log _b} x \)
  • Если \ ({\ log _b} x = {\ log _b} y \), то \ (x = y \).
  • Мы не будем ничего делать с последним свойством в этом разделе; это здесь только для полноты картины. Мы подробно рассмотрим это свойство в нескольких разделах.

    Первые два свойства, перечисленные здесь, могут поначалу немного сбивать с толку, поскольку с одной стороны у нас есть произведение или частное внутри логарифма, а с другой стороны - сумма или разность двух логарифмов.Нам просто нужно быть осторожными с этими свойствами и обязательно использовать их правильно.

    Также обратите внимание, что нет никаких правил, как разбить логарифм суммы или разности двух членов. Чтобы прояснить это, отметим следующее:

    \ [\ begin {align *} {\ log _b} \ left ({x + y} \ right) & \ ne {\ log _b} x + {\ log _b} y \\ {\ log _b} \ left ( {x - y} \ right) & \ ne {\ log _b} x - {\ log _b} y \ end {align *} \]

    Будьте осторожны с ними и не пытайтесь использовать их, поскольку они просто не соответствуют действительности. 5}} \ right) \]

    Теперь, когда мы это сделали, мы можем использовать свойство 7 для каждого из этих отдельных логарифмов, чтобы получить окончательный упрощенный ответ.{\ frac {1} {2}}} \]

    В этой форме мы видим, что у всего члена есть один показатель степени, поэтому мы позаботимся об этом в первую очередь.

    \ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ ln \ left ({xy} \ right) \]

    Теперь займемся продуктом.

    \ [\ ln \ sqrt {xy} = \ frac {1} {2} \ left ({\ ln x + \ ln y} \ right) \]

    Обратите внимание на круглые скобки в этом ответе. \ (\ Frac {1} {2} \) умножает исходный логарифм, поэтому ему также потребуется умножить весь «упрощенный» логарифм.2}} \ справа) \]

    Теперь мы подошли к сути этой проблемы. Второй логарифм настолько упрощен, насколько это возможно. Помните, что мы не можем разбить журнал суммы или разницы, и поэтому он не может быть разбит дальше. Кроме того, мы можем иметь дело с показателями, только если весь член возведен в степень. Тот факт, что обе части этого члена возведены в квадрат, не имеет значения. Это должен быть квадрат всего члена, как в первом логарифме.

    Итак, мы можем еще больше упростить первый логарифм, но второй логарифм упростить уже нельзя.2}} \ справа) \]

    Теперь нам нужно проработать несколько примеров, которые идут в обратном направлении. Следующий набор примеров, вероятно, более важен, чем предыдущий. Мы будем выполнять такую ​​логарифмическую работу в нескольких разделах.

    Пример 5 Запишите каждое из следующих значений в виде одного логарифма с коэффициентом 1.
    1. \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \)
    2. \ (3 \ логарифм х - 6 \ логарифм у \)
    3. \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) - 2 \ ln y - 8 \ ln x \)
    Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

    Инструкция, требующая коэффициента 1, означает, что когда мы переходим к окончательному логарифму, перед логарифмом не должно быть числа.

    Также обратите внимание, что в этих примерах будут использоваться свойства 5–7, только мы будем использовать их в обратном порядке. У нас будут выражения, которые выглядят как правая часть свойства, и мы будем использовать свойство для записи, чтобы оно выглядело как левая часть свойства.


    a \ (7 {\ log _ {12}} x + 2 {\ log _ {12}} y \) Показать решение

    Первый шаг здесь - избавиться от коэффициентов при логарифмах. Это будет использовать свойство 7 в обратном порядке.6}}}} \ справа) \]
    c \ (5 \ ln \ left ({x + y} \ right) - 2 \ ln y - 8 \ ln x \) Показать решение

    В этом случае у нас есть три термина, и ни одно из свойств не содержит трех терминов. Это не проблема. Давайте сначала позаботимся о коэффициентах, а заодно вычтем минус из двух последних членов. Причина этого станет очевидной на следующем шаге.

    \ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) - 2 \ ln y - 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} - \ left ({\ ln {y ^ 2} + \ ln {x ^ 8}} \ right) \]

    Теперь обратите внимание, что количество в скобках представляет собой сумму двух логарифмов и поэтому может быть объединено в один логарифм с произведением следующим образом:

    \ [5 \ ln \ left ({x + y} \ right) - 2 \ ln y - 8 \ ln x = \ ln {\ left ({x + y} \ right) ^ 5} - \ ln \ left ( {{y ^ 2} {x ^ 8}} \ right) \]

    Теперь у нас осталось два логарифма, и они представляют собой разность логарифмов, и поэтому мы можем записать это как единственный логарифм с частным.8}}}} \ справа) \]

    Последняя тема, которую нам нужно обсудить в этом разделе, - это изменение формулы основания .

    Большинство современных калькуляторов могут вычислять десятичные и натуральные логарифмы. Однако это все, так что же нам делать, если нам нужно вычислить еще один логарифм, что не может быть сделано легко, как мы это сделали в первом наборе примеров, которые мы рассмотрели?

    Для этого у нас есть изменение базовой формулы.Вот изменение базовой формулы.

    \ [{\ log _a} x = \ frac {{{{\ log} _b} x}} {{{{\ log} _b} a}} \]

    , где мы можем выбрать \ (b \) как угодно. Чтобы использовать это, чтобы помочь нам вычислить логарифмы, это обычно обычный или натуральный логарифм. Вот изменение базовой формулы с использованием как десятичного, так и натурального логарифма.

    \ [{\ log _a} x = \ frac {{\ log x}} {{\ log a}} \ hspace {0,25 дюйма} {\ log _a} x = \ frac {{\ ln x}} {{\ ln a}} \]

    Давайте посмотрим, как это работает на примере.?} = 7 \]

    , и это не то, на что кто-то может ответить сразу. Если бы 7 была 5, или 25, или 125, и т. Д. . мы могли бы это сделать, но это не так. Следовательно, мы должны использовать замену базовой формулы.

    Теперь мы можем использовать любой из них, и мы получим тот же ответ. Итак, давайте воспользуемся обоими и проверим это. Начнем с десятичного логарифма изменения основания.

    \ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ log 7}} {{\ log 5}} = \ frac {{0.845098040014}} {{0,698970004336}} = 1.205512 \]

    Теперь давайте попробуем натуральный логарифм изменения основной формулы.

    \ [{\ log _5} 7 = \ frac {{\ ln 7}} {{\ ln 5}} = \ frac {{1.945

    906}} {{1.609437

    }} = 1.205512 \]

    Итак, мы получили один и тот же ответ, несмотря на то, что дроби содержали разные ответы.

    Логарифмы: Введение в «Связь»

    Логарифмы: Введение в
    «Отношения»
    (стр. 1 из 3)

    Разделы: Введение в журналы, Упрощение выражений журнала, Общие и натурального бревна


    Логарифмы "противоположны" экспонент, так же, как вычитание противоположно сложению, а деление противоположно умножения.Регистрирует экспоненты "отмены". Технически говоря, бревна обратные экспонент.

    Практически у меня сочли полезным думать о журналах с точки зрения отношения:

    The Отношение
    y = b x


    .............. эквивалентно ...............
    (означает то же самое, что и)

    журнал b ( y ) = x

    Слева вверху является экспоненциальным выражением " y = b x ".Справа вверху: " журнал b ( y ). = x " - эквивалентный логарифмический оператор, который произносится как "log-base-b" из и равно x "; Значение нижнего индекса "b" "основание логарифма", так же как b является основанием экспоненциального выражения "b x ". И так же, как и база b в экспоненте всегда положительна и не равна 1, так и база b поскольку логарифм всегда положителен и не равен 1.Все, что находится внутри логарифма, называется «аргументом» журнал. Обратите внимание, что основание как в экспоненциальном уравнении, так и в журнале уравнение (вверху) - "b", но что x и и переключаться между двумя уравнениями.

    The Отношения анимированные

    Если ты помнишь это отношения (то, что было , аргумент журнала становится «равные» и что бы ни было , были «равными» становится показателем экспоненты и наоборот), то вам не следует слишком много проблем с логарифмами.

    (я ввел термин "The «Отношения». Вы не найдете это в своем тексте, и ваши учителя и наставники не поймут, о чем вы говорите, если вы говорите им об этом. «Отношения» совершенно нестандартны. терминология. Зачем я вообще его использую? Потому что это работает.)

    Кстати: Если вы заметили что я переключил переменные между двумя полями, отображающими "The Отношения », у тебя зоркий глаз.Я сделал это специально, чтобы Подчеркните, что дело не в самих переменных, а в том, как они движутся.

    • Конвертировать "6 3 = 216 "к эквивалентному логарифмическому выражение.

      Для преобразования, база (то есть 6) остается то же самое, но 3 и 216 перейти на другую сторону. Это дает мне:

    • Преобразовать журнал 4 (1024) = 5 "эквивалентной экспоненциальной выражение.

      Добавить комментарий

      Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

      © 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

      Карта сайта