Дифференцирование это в математике: ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ | это… Что такое ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ?

Дифференцирование функции y=f(kx+m) 10 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

 

 

Тема: Производная

 

Урок: Дифференцирование функции y=f(kx+m)

 

1. Постановка задачи. Правило нахождения производной функции y=f(kx+m)

 

 

Дифференцирование функции  

 

Физический смысл производной – это мгновенная скорость роста функции при данном значении аргумента. Мы изучили таблицу производных от функций, которые зависели от аргумента. Например, , , где  и  – функции, зависящие только от аргумента . Теперь вместо аргумента  ставится аргумент . Например, найти производную  или . Трудность заключается в том, что мы имеем дело со сложной функцией: функция зависит не от , а от функции от . В данном случае функция от  — это линейная функция.

Без доказательства в учебнике принимается следующее правило:

.

Напомним, что  

Всю таблицу производных и правила дифференцирования, которые мы знаем, усложняем наличием аргумента .

Научимся находить такие производные. Например,

.

Рассмотрим всю таблицу производных, но аргументом будет линейная функция от .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. .

Запишем конкретный пример:

 .

 

2. Производная тангенса

 

 

Пополним таблицу производных. Выведем производную , пользуясь соответствующими правилами. Знаем, что . Напомним, что

 

Тогда:

Итак, получили, что .

Теперь вместо  можем поставить линейную функцию от , а именно

 .

Получили еще одну формулу.

Примеры.

1) .

2) .

Итак, пользуясь правилом, которое мы изучаем, вывели дополнительную формулу для производной тангенса. Сделаем то же самое относительно котангенса.

 

3. Производная котангенса

 

 

 

 

Итак, вывели еще одну формулу . Таким образом, вывели производную котангенса также как и вывели производную тангенса от простого аргумента. Тогда,

.

Пример.

Вычислить производную . Для начала запишем отдельно производную аргумента , а теперь запишем производную

 

4. Итог урока

 

 

На уроке изучены производные от функций, аргументом которых есть линейные функции. Для того чтобы найти производную , нужно взять производную от самой функции и умножить на коэффициент , то есть . Таблицу производных, дополнили  производными тангенса и котангенса.

 

 

Список рекомендованной литературы

1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.

2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.

3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики). -М.: Просвещение, 1996.

4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.

5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.

6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.

7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.

8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.

9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.

10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

 

Дополнительные веб-ресурсы

1. Интернет-портал Mathematics.ru (Источник). 

2. Портал Естественных Наук (Источник). 

3. Интернет-портал Exponenta.ru (Источник).

 

Сделай дома

№ 42.1; 42.2 (Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник  для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. – М.: Мнемозина, 2007)

 

Урок по теме «Правила дифференцирования»

• Гаврилова Тамара Юрьевна, учитель математики и информатики

Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»

---

Презентация к уроку

Загрузить презентацию (2 МБ)

---

“Весь наш предшествующий опыт приводит к убеждению, что природа является
осуществлением того, что математически проще всего представить”.
А. Эйнштейн (1879-1955)

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

образовательные:

• обобщить, систематизировать материал темы по нахождению производной;
• закрепить правила дифференцирования;
• раскрыть для учащихся политехническое, прикладное значение темы;

развивающие:

• осуществить контроль усвоения знаний и умений;
• развить и совершенствовать умения применять знания в измененной ситуации;
• развить культуру речи и умение делать выводы и обобщать;

воспитательные:

• развить познавательный процесс;
• воспитать у учащихся аккуратность при оформлении, целеустремленность.

Оборудование:

• бланк самоконтроля <Приложение 6>;
• компьютер для демонстрации слайдов;
• таблица производных; дифференцированные задания в виде мультимедиа презентации.

Ход урока

Учитель: Здравствуйте. Садитесь. И, конечно же, улыбнитесь.

Просто так, без особой причины. Улыбаясь, мы делаем мир гармоничнее и светлее. Вы постоянно задаёте вопрос: “А зачем нам это надо? Где мы встречаемся с производной и используем её?”. Нужно отметить, что производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процессов: неравномерное механическое движение, переменный ток, химические реакции и радиоактивный распад вещества, развитие экономики и т.д. А чтобы научиться использовать производную функции в различных областях, необходимо элементарно научиться её находить. Поэтому сегодня мы будем продолжать учиться находить производные элементарных функций, используя правила и формулы дифференцирования.

I. Проверка домашнего задания.

1. Заслушать сообщения учащихся по примерам применения производных.

2. Рассмотреть примеры применения производной в физике, химии, технике и других отраслях, предложенные учащимися.

(Примерами применения производной также могут служить задачи на нахождение: удельной теплоемкости вещества данного тела, линейной плотности и кинетической энергии тела и т.д.) <Презентация. Слайд 5.>

II. Актуализация знаний.

Учитель: Дать определение производной функции.

1. Какая операция называется дифференцированием? (Дифференцирование – это операция нахождения производной).
2. Каков физический смысл производной перемещения? (Скорость)
3. Каков геометрический смысл производной перемещения? (Тангенс угла наклона касательной).
4. Можно ли найти производную скорости? Как она называется? (Ускорение)
5. Каков физический смысл следующих высказываний: производная движения равна нулю в точке t₀; при переходе через точку t
   0 производная меняет знак?  (Тело останавливается; меняется направление движения на противоположное)
6. Какие правила дифференцирования используются при вычислении производной? (к доске приглашаются желающие учащиеся).

а) производная суммы;

б) производная произведения;

в) производная, содержащая постоянный множитель;

г) производная частного;

д) производная сложной функции.

III. Выполнение проверочной работы

(первый вариант выполняет нечетные номера, вторые – четные номера проверочной работы) < Презентация. Слайд 8,9> <Приложение 1>

IV. Решение задач ЕГЭ по дифференцированию.

Тело движется по прямой так, что расстояние S (в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t

2 + t +2 (t- время движения в секундах). Через сколько секунд, после начала движения, мгновенная скорость тела будет равна 5 м/с?

На рисунке изображён график функции  и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции  в точке.

< Презентация. Слайд 10> <Приложение 2>

V. Физкультминутка (гимнастика для глаз). < Презентация. Слайд 11>

VI. Выполнение дифференцированных заданий.

Каждый учащийся определяет для себя уровень теста (уровень А и В).

Задание: укажите пары “функция-график производной этой функции”.

Уровень А, В: < Презентация. Слайд 12> <Приложение 3>

Предлагается проверка ответов учащимся с помощью слайдов. < Презентация. Слайд 13>

VII. Работа в парах (найти производные функции).

< Презентация. Слайд 14,15.> <Приложение 4>

Дополнительные задания:

1. Точка движется прямолинейно согласно закону S(t) = t² – 6t + 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Найдите скорость движения точки.

2. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = t³ – 3t². Выберите, какой из формул v(t) = t² – 2t; v(t) = Зt² – 6t; v(t) = 3t² – 3t задается скорость движения этой точки в момент времени t.

3. Прямолинейное движение точки происходит по закону S(t) = 2t² – 4t – 1 (путь измеряется в сантиметрах, время – в секундах). Определите, в какой момент времени скорость движений точки будет составлять 4 см/с.

4. Найдите кинетическую энергию тела массой 1 кг, движущегося прямолинейно по закону S(t) = t

2 + t (время измеряется в секундах, путь в метрах).

5. Найдите ускорение материальной точки, движущейся прямолинейно, если скорость изменяется согласно закону v(t) = 6t² + 1 (м/с).

VIII. Подведение итога урока. Рефлексия.

Самоанализ работы на уроке (что вызывало затруднения, что было интересно и т.д.). < Презентация. Слайд 16> <Приложение 5>

Учащиеся сдают бланки на проверку учителю.

Домашнее задание:

1. решить любые 2 задачи из дополнительных заданий,
2. по желанию выполнить дополнительный тест <Приложение7>,
3. Подготовить сообщения о Лейбнице и последователях Ньютона и Лейбница.

22.11.2015

Дифференциация — Формула, Исчисление | Дифференциация Значение

Процесс нахождения производных функции в математическом анализе называется дифференцированием. Производная – это скорость изменения функции по отношению к другой величине. Законы дифференциального исчисления были заложены сэром Исааком Ньютоном. Принципы пределов и производных используются во многих научных дисциплинах. Дифференциация и интегрирование образуют основные понятия исчисления.

Давайте изучим методы дифференцирования, чтобы найти производные алгебраических функций, тригонометрических функций и экспоненциальных функций.

1.	Что такое дифференциация?
2.	Определение деривативов
3.	Формула дифференциации
4.	Правила дифференциации
5.	Различие специальных функций
6.	Дифференциация высшего порядка
7.	Частичная дифференциация
8.	Часто задаваемые вопросы о формуле дифференциации

Что такое дифференциация?

Дифференциация означает скорость изменения одной величины по отношению к другой. Скорость рассчитывается как скорость изменения расстояния во времени. Эта скорость в каждый момент времени не совпадает с рассчитанной средней. Скорость — это то же самое, что и наклон, который представляет собой не что иное, как мгновенную скорость изменения расстояния за определенный период времени.

Отношение небольшого изменения одной величины к небольшому изменению другой, зависящее от первой величины, называется дифференцированием. Одно из важных понятий исчисления в основном сосредоточено на дифференцировании функции.

Дифференцированием определяются максимальное или минимальное значение функции, скорость и ускорение движущихся объектов, касательная кривой. Если y = f(x) является дифференцируемым, то дифференцирование представляется как f'(x) или dy/dx.

Определение деривативов

Геометрический смысл производной y = f(x) есть наклон касательной к кривой y = f(x) в точке ( x, f(x)). Первый принцип дифференцирования заключается в вычислении производной функции с использованием пределов. Пусть функция кривой есть y = f(x). Возьмем точку P с координатами (x, f(x)) на кривой. Возьмем другую точку Q с координатами (x+h, f(x+h)) на кривой. Теперь PQ является секансом кривой. Наклон кривой в точке — это наклон касательной в этой точке. Мы знаем, что наклон секущей равен \(\dfrac{y_2 -y_1}{x_2- x_1}\).

Таким образом, в данном случае \(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x} = \dfrac{f(x+h)-f (x)}{h}\)

Мы хотим, чтобы h было как можно меньше, чтобы получить наклон касательной.

Имеем у = f(x). Существует постепенное изменение x, обозначаемое как Δx. Тогда существует инкрементальное изменение y, обозначаемое как Δy.

Тогда y + Δy = f(x + Δx)

f(x) + Δy = f(x + Δx)

Δy = f(x + Δx) — f(x)

Деление на Δx на оба стороны,

\(\dfrac{dy}{dx}= \dfrac{f(x + Δx) — f(x)}{Δx}\)

Поскольку изменение настолько мало, применяя ограничения, мы получаем

\(\dfrac{dy}{dx}= \mathop {\lim }\limits_{𝛿x \to 0}\dfrac{𝛿y}{𝛿x} \\\\ =\mathop {\lim }\limits_{𝛿x \to 0}\dfrac{f(x + 𝛿x) — f(x)}{𝛿x}\)

, где d/dx — дифференциальный коэффициент , и он известен как символ Лейбница.

\(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\), если предел существует, f'(x) равно первая производная f(x). Эта производная от f(x) в точке a определяет изменение f(x) по отношению к x. Этот процесс вычисления производной функции называется дифференцированием.

Таким образом, определение производной выглядит следующим образом: если f — функция с действительным знаком действительной переменной, определенной на открытом интервале I, и если y = f(x) — дифференцируемая функция от x, то dy/dx = f ‘(x) = \ (\ mathop {\ lim} \ limit_ {Δx \ to 0} \ dfrac {f (x + Δx) -f (x)} {Δx} \).

Формула дифференциации

Производные функций находятся с помощью формулы производной, полученной в предыдущем разделе. Производные элементарных функций запоминаются как формулы дифференцирования. 9{n-1}\),

, где y = x + Δx и y → x при Δx → 0.

Точно так же мы можем вывести производные других алгебраических, экспоненциальных и тригонометрических функций, используя фундаментальные принципы дифференцирования.

Дифференцирование элементарных функций

• Производная постоянной функции равна 0. Если y = k, где k — константа, то y’ = 0
• Производная степенной функции: Если y = x ⁿ , n > 0. Тогда y’ = n x ^п-1
• Производная логарифмических функций: если y = ln x, то y’ = 1/x, а если y = log\(_a\) x, то y’ = 1/[(log a) x]
• Производная экспоненциальной функции: Если y = a ^x , y = a ^x log a

Дифференцирование тригонометрических функций

Здесь представлены производные тригонометрических функций.

• Если y = sin x, y’ = cos x
• Если y = cos x, y’ = -sin x
92 -1)}}\)

Правила дифференциации

Если f дифференцируема в точке x = \(x_0\), то f непрерывна в \(x_0\). Функция дифференцируема на отрезке [a,b], если она дифференцируема в каждой точке [a,b]. Сумма, разность, произведение и композиция дифференцируемых функций, где бы они ни были определены, дифференцируемы, а частное двух дифференцируемых функций дифференцируемо, где бы оно ни было определено. Правила дифференцирования перечислены ниже:

• Правило суммы: Если y = u(x) ± v(x), то dy/dx = du/dx ± dv/dx.
• Правило продукта: Если y = u(x) × v(x), то dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx
• Частное правило: Если y = u(x) ÷ v(x), то dy/dx = (v.du/dx- u.dv/dx)/ v ²
• Цепное правило : пусть y = f(u) является функцией u, и если u=g(x), так что y = f(g(x), то d/dx(f(g(x))= f'(г(х))г'(х)
• Постоянное правило: y = k f(x), k ≠ 0, тогда d/dx(k(f(x)) = k d/dx f(x).

Различие специальных функций

Если x= f(t), y = g(t), где t параметр, то применяем дифференцирование параметрических функций.

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{d .g(t)}{ dt}}{\dfrac{d.f(t)}{dt}} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}\)

Если y = f(x) и z = g(x ). тогда дифференцирование y по z дается как:

\(\dfrac{dy}{dz} = \dfrac{\dfrac{dy}{dx}}{\dfrac{dz}{dx}} = \dfrac{f'(x)}{g'(x )}\)

Неявное дифференцирование

Пусть f(x,y) функция в виде x и y. Если мы не можем найти y напрямую, мы используем неявное дифференцирование. Предположим, что f(x,y) = 0 (которая известна как неявная функция), затем продифференцируйте эту функцию по x и соберите с одной стороны члены, содержащие dy/dx, а затем найдите dy/dx.

Например, найдем dy/dx, если x ² +у ² =1.

Продифференцируем обе части уравнения.

д/дх. х ² + д/дх. y ² = d/dx. 3}\).n ^{-я производная} от f(x) равна f ⁿ (x) используется в степенном ряду. Например, скорость изменения смещения есть скорость. Вторая производная смещения называется ускорением, а третья производная называется рывком.

Рассмотрим функцию y = f (x) = x ⁵ — 3x ⁴ + x

F ¹ (x) = 5x ⁴ — 12x ³ + 1

F ² (х) = 20 х ³ — 36 х ²

f ³ (x) = 60x ² — 72 x

f ⁴ (x) = 120x -72

Частное дифференцирование

Коэффициент частного дифференциала f(x,y) по отношению к f(x,y) — обыкновенный дифференциальный коэффициент f (x, y), когда y рассматривается как константа. Записывается как 𝛿y/ 𝛿x. Например, если z = f(x,y) = x ⁴ + y ⁴ +3xy ² +x ² y +x + 2y, тогда мы считаем y константой, чтобы найти 𝛿f/ 𝛿x и считайте x константой, чтобы найти 𝛿f/ 𝛿y. Таким образом, мы находим частные производные функции.

𝛿f/𝛿x = 4x ³ + 3y ² + 2xy +1

𝛿f/𝛿y = 4y ³ + 6xy + x ² + 2

Если f (x, y) — функция. двух переменных, таких что существуют 𝛿f/ 𝛿x и  𝛿f/ 𝛿y. Тогда мы имеем частные производные следующим образом.

𝛿f/𝛿x wrt x = 𝛿 ² f/𝛿x ² или \ (f_ {xx} \)

𝛿f/𝛿y wrt y = 𝛿 ² F/𝛿 9099 2 или \ (f_ r yy}\)

𝛿f/ 𝛿x относительно x = 𝛿 ²  f/ 𝛿x𝛿y    или \ (f_ {xy} \)

𝛿f/ 𝛿y wrt y = 𝛿 ² f/ 𝛿x𝛿y или \ (f_ {yx} \)

Важные примечания

• нахождение скорости изменения функции по отношению к другой величине. \(f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\), где Δx — приростное изменение Икс.
• Процесс нахождения производных функции, если предел существует, называется дифференцированием. Производная функции задается как dy/dx или y’ или f'(x).
• Из дифференцируемости следует непрерывность, но обратное неверно.

☛ Также проверьте:

• Формула ограничения
• Формула неявного дифференцирования
• Дифференциальные уравнения

Часто задаваемые вопросы о дифференциации

В чем смысл дифференциации?

Мгновенная скорость изменения функции по отношению к другой величине называется дифференциация . Например, скорость — это скорость изменения смещения в определенный момент времени. Если y = f(x) является дифференцируемой функцией x, то dy/dx = f'(x) = \(\mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx) -f(x)}{∆x}\).

Как вы выполняете дифференцирование в математике?

Дифференцирование осуществляется путем применения методов известных формул дифференцирования и правил дифференцирования при нахождении производной заданной функции.

Каковы основы дифференциации?

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием. Три основные производные дифференцируют алгебраические функции, тригонометрические функции и экспоненциальные функции.

Приведите пример дифференцирования в исчислении.

Скорость изменения смещения во времени – это скорость. Это пример дифференциации. Скорость есть первая производная от смещения. Ускорение есть вторая производная от смещения.

Что такое формулы дифференциации?

Формула дифференцирования используется для нахождения производной или скорости изменения функции. если y = f(x), то производная dy/dx = f'(x) = \(\mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx)-f(x )}{Δx}\).

Как использовать формулу дифференциации?

Производная функции находится путем применения ограничений к функции в соответствии с первым принципом дифференцирования. Производная f'(x) = \(\ mathop {\lim}\limits_{Δx \to 0} \dfrac{f(x+Δx)-f(x)}{Δx}\). Например, давайте вычислим производную sin x. f (х) = грех х.

F(x+Δx) = sin(x+Δx).

f(x + Δx) — f(x) = sin(x + Δx)- sinx = 2 sin(Δx/2) cos (x + Δx/2)

\(\dfrac{f(x+Δx) )-f(x)}{Δx}\\ = \dfrac{sin \dfrac{Δx}{2}}{\dfrac{Δx}{2}} cos (x + \dfrac{Δx}{2})\ \ ⇒ \ mathop {\ lim } \ limit_ {Δx \ to 0} \ dfrac {sin \ dfrac {Δx} {2}} {\ dfrac {Δx} {2}} cos (x + \ dfrac {Δx} {2 })\\= 1\times cos x\\= cos x \)[Поскольку cos x непрерывен и \(\ mathop {\lim }\limits_{Δx \to 0}cos(x+Δx) = cos x\ )]

Что такое правила дифференцирования в исчислении?

При дифференциации функций используются разные правила. Правилами дифференцирования являются степенное правило, цепное правило, частное правило и постоянное правило.

• Правило суммы: если y = u(x) ± v(x), то dy/dx = du/dx ± dv/dx.
• Правило произведения: если y = u(x) × v(x), то dy/dx = u.dv/dx + v.du/dx
• Частное правило: если y = u(x) ÷ v(x), то dy/dx = (v.du/dx- u.dv/dx)/ v ²
• Цепное правило: пусть y = f(u) является функцией u, и если u=g(x), так что y = f(g(x), то d/dx(f(g(x))= f’ (г(х))г'(х)
• Правило констант: y = k f(x), k ≠ 0, тогда d/dx(k(f(x)) = k d/dx f(x).

Каковы применения формул дифференцирования?

Мы используем формулы дифференцирования, чтобы найти максимальное или минимальное значение функции, скорости и ускорения движущихся объектов и касательной кривой. Чтобы узнать больше о применении дифференциации, нажмите здесь.

Что такое дифференциация постоянной?

Дифференцирование константы равно 0 согласно степенному правилу дифференцирования.

определение — Почему мы различаемся?

спросил 5 лет, 11 месяцев назад

Изменено 2 года, 7 месяцев назад

Просмотрено 21к раз

$\begingroup$

В настоящее время я учусь различать, но поскольку большинство совершенно новых вещей довольно абстрактны, я не могу понять причину 92\,dx.$

Ладно, думаю. Что тогда, интересно? Это мне ни о чем не говорит. Красивая математика, однако.

(Ответы на то, что такое использование производных, не дают мне достаточно математической интуиции, объясняющей, почему мы различаем.)

• определение
• дифференциал

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Это мне ни о чем не говорит.

Это это говорит вам что-то очень важное.

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x$ определяется как $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x + h) — f(x)}{(x+h) — x}$$ Теперь попробуйте проанализировать выражение. Что мы подразумеваем под $f(x + h) — f(x)$? Это не что иное, как изменение $y$. И что мы подразумеваем под $(x + h) — x$? Соответствующее изменение $x$ дает $h$.

На изображении $f(x+h)-f(x) = AC$ и $h = BC$. $$\dfrac{f(x + h) — f(x)}{h} = \dfrac{AC}{BC}$$ А $\dfrac{AC}{BC}$ — наклон секущей $AB$. Теперь, если $h$ становится все ближе и ближе к $0$, точка $A$ будет все ближе и ближе к точке $B$, учитывая, что функция дифференцируема (что также означает, что она непрерывна). В пределе, когда $h$ приближается к $0$, $A$ будет бесконечно близко к $B$.

Следовательно, выражение $$\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x + h) — f(x)}{h}$$ даст нам наклон касательной к графику в точке $B$. Об этом нам говорит производная. Он дает наклон функции в данной точке.

Почему мы различаемся?

Потому что производная дает скорость изменения $y$ относительно $x$. И эта информация широко используется в физике. Например, если вам дано смещение объекта как функция времени, и вы хотите узнать его скорость в определенный момент времени, вам нужно найти производную функции смещения по времени, чтобы получить скорость как функцию от времени (поскольку скорость — это скорость изменения смещения во времени).

$\endgroup$

$\begingroup$

Рассмотрим очень простую формулу, которая связывает скорость, положение и время: $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$. Обратите внимание, что скорость — это скорость изменения положения во времени. Однако данная формула работает только в том случае, если скорость постоянна, т. Е. Если наше положение последовательно изменяется на одну и ту же величину в каждую единицу времени. В противном случае, если мы используем эту формулу, когда скорость непостоянна (скажем, автомобиль едет по переполненному городу), то эта формула даст нам только средняя скорость .

Однако дифференцирование позволяет нам рассчитать скорости изменения даже в том случае, если эти скорости изменения не являются постоянными . Таким образом, вместо вычисления $v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ мы вместо этого вычисляем $v = \frac{dx}{dt}$, что даст нам мгновенную скорость в любой точке $x $. Вы можете думать о производной как о «причудливом делении» между двумя изменяющимися величинами.

$\endgroup$

$\begingroup$ 9{(n)}(\alpha) $$

Производная может использоваться для поиска информации о функции, такой как максимумы и минимумы. Все относительные максимумы и минимумы $f(x)$ будут лежать в точке, где $f'(x)=0 \text{ или не определено}$. Это так называемые критические точки. Кроме того, где $f»(x)=0 \text{ или не определено}$ и меняет знак, это означает изменение вогнутости $f$.

$\endgroup$

$\begingroup$

Производные (и вычисления) были созданы для решения физических задач. Производная показывает, как изменяется одна величина при изменении другой величины. Во многих случаях мы можем строить модели, связывая величины со скоростью их изменения, а затем используя инструменты дифференциальных уравнений для прогнозирования. Вот почему мы изучаем производные!

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Дифференцирование просто означает нахождение производной или наклона касательной в любой точке графика функции. Нахождение производных — это просто определение мгновенной мгновенной скорости изменения функции, и, поскольку она мгновенная, она рассчитывается при конкретном значении x, если функция определяется как $$y=f(x)$$

Легко узнать наклон линии между любыми 2 точками, если мы знаем координаты точек, но чтобы узнать наклон, когда известна только одна точка, в игру вступает производная. Если у вас есть кривая и вас просят выяснить скорость изменения или скорость изменения значения функции по отношению к переменной в одной конкретной точке, вы можете использовать первый принцип, который вы должны знать, или другой принцип.