Корни в математике примеры решения: Квадратный корень — все что нужно для сдачи ОГЭ и ЕГЭ

2-4ac\),

где D – дискриминант, а a, b, c – коэффициенты квадратного уравнения.

 

Чем конкретно нам может помочь дискриминант?

1. Если D < 0 – то квадратное уравнение не имеет решений;
2. Если D = 0 – то уравнение будет иметь только один корень;
3. Если D > 0 – то уравнение имеет два решения.

То есть благодаря дискриминанту мы будем знать о результате и количестве решений квадратного уравнения.

Итак, мы посчитали, чему равен наш дискриминант, потом определили количество решений уравнения, что дальше? А дальше определяем корни квадратного уравнения по формулам.

1. В первом случае, когда D < 0, считать ничего не нужно, т.к. уравнение не имеет решений. Это значит, что корней квадратного уравнения на множестве действительных чисел нет.
2. Во втором варианте, когда D = 0, решение будет одно и единственный корень квадратного уравнения будет равен: \(x=\frac{-b}{2a}\)
3. Третий случай, при D > 0, наиболее сложный из всех трех возможных: в ответе должно получиться два корня квадратного уравнения.

\(x_1=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\)– первый корень квадратного уравнения;

\(x_1=\frac{-b-\sqrt D}{2a}\)– второй корень квадратного уравнения.

 

Как найти дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант квадратного уравнения — это выражение, равное b2 − 4ac. Дискриминант в переводе с латинского означает «отличающий» или «различающий» и обозначается буквой D.

 

Дискриминант — отличный помощник, чтобы понять, сколько в уравнении корней.

 

Как решать квадратные уравнения через дискриминант 

 

Алгоритм решения квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0:

 

Определим, чему равны коэффициенты a, b, c.

Вычислим значение дискриминанта по формуле D = b2 − 4ac.

• Если дискриминант D < 0, то корней нет.
• Если D = 0, то есть один корень, равный −b/2a.
• Если D > 0, то у уравнения две корня, равные.

Примеры решения квадратных уравнений с помощью дискриминанта

Пример 1. Решить уравнение: 3×2 — 4x + 2 = 0.

Как решаем:

Определим коэффициенты: a = 3, b = -4, c = 2.

Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-4)2 — 4 * 3 * 2 = 16 — 24 = -8.
Ответ: D < 0, корней нет.

 

Пример 2. Решить уравнение: x2 — 6x + 9 = 0.

Как решаем:

Определим коэффициенты: a = 1, b = -6, c = 9.

Найдем дискриминант: D = b2 — 4ac = (-6)2 — 4 * 1 * 9 = 36 — 36 = 0.

D = 0, значит уравнение имеет один корень:

 

Ответ: корень уравнения 3. 
 

Решение квадратных уравнений на самом деле не настолько сложное, как кажется на первый взгляд. Всего-то нужно запомнить несколько формул и алгоритм действий. Главное — не бояться вида квадратных уравнений, мы уверены: все у тебя получится! Запишись на бесплатный пробный урок тут и разберись с тем, что тебе непонятно.

 

Часто задаваемые вопросы:

✅ Что такое квадратное уравнение?

2 — 4ac\). Если D > 0, то уравнение имеет два корня, если D = 0, то уравнение имеет один корень, если D < 0, то уравнение не имеет корней в области действительных чисел.

Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе «Альфа». Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Действия с корнями с примерами решения

Содержание:

1. Квадратный корень из числа и его свойства
2. Арифметический корень степени и его свойства
3. Действии с корнями четной степени
4. Доказательство
5. Примеры с решением

Квадратный корень из числа и его свойства

Арифметическим значением квадратного корня из неотрицательного числа называется неотрицательное число, квадрат которого равен Пишут: Из определения следует, что

Свойства:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Высшая математика: лекции, формулы, теоремы, примеры задач с решением

Упростить выражение:

Упростить выражение:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Поверхность второго порядка

Действия со степенями

Формулы сокращенного умножения

Дифференциал функции

Имеем:

Упростить: .

Арифметический корень степени и его свойства

Арифметическим значением корня степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, степень которого равна а. Пишут:

• Свойства: Для любых натуральных больших 1, и любых неотрицательных верны равенства:

Упростить выражения:

Проверить справедливость равенства:

это квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Значит, единственное возможное действительное значение для чем и доказано требуемое равенство.

Упростить выражение и вычислить его числовое значение при

Действии с корнями четной степени

Теорема. Пусть — четное число. Тогда:

1) при любых неотрицательных значениях верно равенство (1)

2) при любых неотрицательных значениях и положительных значениях верно равенство (2)

3) при любых значениях и неотрицательных значениях верно равенство (3)

Доказательство

Легко убедиться, что выражения, входящие в равенство (I) — (3), имеют смысл. Эти равенства, очевидно, верны при а равенства (1) и (3) и при Поэтому доказательства проводятся при

Докажем утверждение 3). При любых значениях числа неотрицательные (объясните почему). Возведя левую и правую части равенства (3) в степень, получим

Это верное числовое равенство, поскольку — четное число, и поэтому

Согласно следствию из п. 1.1 верно и равенство

Утверждения 1), 2) доказываются аналогично. Докажите равенс-1ва (I) и (2) самостоятельно.

Утверждение 1) теоремы можно сформулировать и так: Пусть — четное число. Корень степени из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней степени из этих чисел. Таким образом, для любых неотрицательных чисел а,, а,2…..ак верно равенство (4)

В частности, полагая в этом тождестве получим (5) Утверждение 2) теоремы можно сформулировать и так: Пусть — четное число. Корень степени из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления корня степени из числителя на корень степени из знаменателя.

Доказывается эта теорема аналогично доказательству равенства (3). Преобразование выражения (в утверждении 3) теоремы) называется вынесением множителя из-под знака корня четной степени. Преобразование выражения называется внесением множителя под знак корня четной степени.

Примеры с решением

Пример 1:

Преобразовать в произведение корней выражение

Решение:

Можно было бы, например, записать и так: Или так:

Пример 2:

Внести множитель под знак корня:

Решение:

Пример 3:

Упростить выражение:

Решение:

Пример 4:

Освободиться от иррациональности в знаменателе:

Решение:

Пример 5:

Решить уравнение:

Решение:

а) Уравнение не имеет решений, так как арифметический корень четной степени не может быть отрицательным числом. б) По определению арифметического корня четвертой степени получим, что уравнение равносильно уравнению Ответ: а) решений нет;

Решение задач с корнями — SAT Mathematics

Все ресурсы SAT Mathematics

137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 Следующая →

SAT Mathematics Help » Экспоненты и корни » Решение задач с корнями

Упростить

При каком значении это уравнение верно?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти , мы должны сначала возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от радикала. Мы получаем

. Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну.

Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить

Вариант ответа  и  неверен.

Вариант ответа неверен, так как он не был извлечен из квадратного корня.

Сообщить об ошибке

Упростить

При каком значении  это уравнение верно?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Чтобы найти , мы должны сначала возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от радикала. Мы получаем . Мы вычитаем обе части, чтобы получить одну.

Мы делим на , чтобы остаться в одиночестве.

Извлекаем корень из обеих сторон, чтобы получить  Поскольку   не указан в качестве варианта ответа, мы упрощаем. Наибольший квадратный корень, на который можно умножить , равен . Мы убираем радикал, чтобы получить .

Отчет о ошибке

Упростить:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить радикал, разбив его на две части, становится, затем упрощаем, чтобы получить

. Умножаем, чтобы получить, затем делим на, чтобы получить,

Сообщить об ошибке

Найти значение

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала упростить до и далее до

Затем мы можем умножить, чтобы получить

Чтобы найти, мы сначала сократим с обеих сторон, а затем разделим на и получим

Сообщить об ошибке

Найти значение 

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала вычесть из обеих сторон

 

Затем возвести в квадрат обе стороны

 

Прибавить  к обеим сторонам

 

Разделите обе стороны на 

Сообщить об ошибке

Найдите значение 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби

 

Затем прибавляем к обеим сторонам

Двигаемся влево поставить уравнение равным .

Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.

Теперь мы можем разложить

Следовательно, значение  равно

 не существует

 

 

Сообщить об ошибке

Найти значение

Возможный ответ s:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы сначала умножаем обе части на , чтобы избавиться от дроби

Затем прибавляем к обеим сторонам

. Перемещаемся в левую часть, чтобы приравнять уравнение. Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.

Теперь мы можем разложить

Следовательно, значение равно

, не существует

,

Сообщить об ошибке

9 0004 Найдите значение 

Возможные ответы:

Только

и

и

Только

Правильный ответ:

и

Объяснение:

Чтобы решить эту задачу, мы должны сначала вычесть квадрат с обеих сторон 

Двигаемся вправо, чтобы приравнять уравнение к . Таким образом, мы можем разложить уравнение на множители, как если бы оно было квадратным.

Теперь мы можем разложить

Сообщить об ошибке

Что из следующего эквивалентно  ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если вы попытаетесь упростить выражение, данное в вопросе, вам придется нелегко… оно и так упрощено! Однако, если вы посмотрите на четыре варианта ответа, вы поймете, что большинство из них содержат корни в знаменателе. Всякий раз, когда вы видите корень в знаменателе, вы должны попытаться рационализировать этот знаменатель. Это означает, что вы будете умножать выражение на единицу, чтобы избавиться от корня.

Обдумывайте каждый вариант ответа, пытаясь упростить каждый из них.

Для выбора выражение уже упрощено и не совпадает. На этом этапе ваше время лучше потратить на упрощение тех, кому это нужно, чтобы увидеть, соответствуют ли эти упрощенные формы.

Для выбора используйте стратегию «умножить на один» умножения на тот же числитель, что и в знаменателе, чтобы рационализировать корень. Если вы это сделаете, вы умножите на 

, что не совпадает с .

Для выбора ответа умножьте на .

А так как дробь можно упростить:

, что идеально совпадает. Следовательно, выбор ответа правильный.

ПРИМЕЧАНИЕ. Если вы хотите сократить алгебру, эта задача предлагает вам такую ​​возможность, используя варианты ответов вместе с оценкой. Вы можете оценить, что данное выражение, , находится между  и , потому что  находится между  (что есть ) и  (что есть ). Следовательно, вы знаете, что ищете правильную дробь, в которой числитель меньше знаменателя. Что ж, посмотрите на свои варианты ответов, и вы увидите, что под это описание подходит только один вариант ответа. Таким образом, даже не занимаясь математикой, вы можете полагаться на быструю оценку и знать, что вы правы.

Сообщить об ошибке

Если  и , что такое ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Ключ к решению этой задачи — избегать ошибок при нахождении с корневым уравнением. Есть несколько разных способов найти решение :

1. Используйте этот факт  и примените его к . Что означает, что . Разделите обе части на  и посмотрите, что , так что .

2. Осознайте, что  (обратное проектирование корня) и увидите, что , поэтому  должны равняться .

Как бы то ни было, вы должны затем применить это значение к выражению экспоненты во втором уравнении. Теперь у вас есть. И так как вы имеете дело с показателями степени, вам нужно будет выразить как , что означает, что теперь у вас есть: 

Здесь вы должны иметь дело с отрицательными показателями, правило для которых таково. Таким образом, дробь, которую вы получили, затем можно преобразовать в .

Теперь у вас есть:

Применяя другое правило возведения в степень, правило деления показателей степени одного и того же основания, вы можете преобразовать левую часть в:

Поскольку теперь у вас есть все с основанием , вы можете выразить  как раз . Это означает, что  это правильный вариант ответа.

Сообщить об ошибке

← Предыдущая 1 2 Следующая →

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы по математике SAT

137 Практические тесты Вопрос дня Карточки Обучение по концепции

Использование квадратных корней в приложениях

Результаты обучения

• Решение прикладных проблем, связанных с использованием квадратных корней

Использование квадратных корней в приложениях

По мере прохождения курсов колледжа вы столкнетесь с несколькими приложениями квадратных корней. Опять же, если мы используем нашу стратегию для приложений, это даст нам план поиска ответа!

Используйте стратегию для приложений с квадратными корнями.

1. Определите, что вас просят найти.
2. Напишите фразу, которая дает информацию, чтобы найти ее.
3. Переведите фразу в выражение.
4. Упростите выражение.
5. Напишите полное предложение, отвечающее на вопрос.

Квадратные корни и площадь

Мы уже решали задачи с площадью. Если бы нам были известны длины сторон квадрата, мы могли бы найти его площадь, возведя в квадрат длину его сторон. Теперь мы можем найти длину стороны квадрата, если нам дана площадь, найдя квадратный корень из площади.
Если площадь квадрата составляет [латекс]A[/латекс] квадратных единиц, длина стороны составляет [латекс]\sqrt{A}[/латекс] единиц. См. таблицу ниже.

Площадь (кв. ед.)	Длина стороны (шт.)
[латекс]9[/латекс]	[латекс]\sqrt{9}=3[/латекс]
[латекс]144[/латекс]	[латекс]\sqrt{144}=12[/латекс]
[латекс]А[/латекс]	[латекс]\sqrt{A}[/латекс]

 

пример

Майк и Лишель хотят сделать квадратный внутренний дворик. У них достаточно бетона для площади [латекс]200[/латекс] квадратных футов. Какой длины может быть сторона их квадратного патио с точностью до десятой доли фута?

Решение
Мы знаем, что площадь квадрата составляет [латекс]200[/латекс] квадратных футов, и хотим найти длину стороны. Если площадь квадрата составляет [латекс]A[/латекс] квадратных единиц, длина стороны равна [латекс]\sqrt{А}[/латекс] единиц.

Что вас просят найти?	Длина каждой стороны квадратного патио
Напишите фразу.	Длина стороны
Преобразование в выражение.	[латекс]\sqrt{A}[/латекс]
Вычислить [латекс]\sqrt{A}[/латекс], когда [латекс]А=200[/латекс] .	[латекс]\sqrt{200}[/латекс]
Воспользуйтесь калькулятором.	[латекс]14.142135..[/латекс].
Округлить до одного десятичного знака.	[латекс]\текст{14,1 фута}[/латекс]
Напишите предложение.	Каждая сторона патио должна быть [латекс]14,1[/латекс] футов.

 

попробуйте

Квадратные корни и гравитация

Еще одно применение квадратных корней связано с гравитацией. На Земле, если объект падает с высоты [латекс]ч[/латекс] футов, время в секундах, которое потребуется, чтобы достичь земли, определяется выражением [латекс] {\ большой \ гидроразрыв {\ sqrt {h}}{4}}[/latex]. Например, если объект падает с высоты [латекс]64[/латекс] футов, мы можем найти время, необходимое для достижения земли, оценив [латекс]{\Large\frac{\sqrt{64}} {4}}[/латекс].

	[латекс] {\ Большой \ гидроразрыва {\ SQRT {64}} {4}} [/латекс]
Извлеките квадратный корень из [латекс]64[/латекс].	[латекс] {\ Большой \ гидроразрыва {8} {4}} [/латекс]
Упростите дробь.	[латекс]2[/латекс]

Потребуется [латекс]2[/латекс] секунды, чтобы объект, упавший с высоты [латекс]64[/латекс] футов, достиг земли.