Определение функции в математике: Понятие функции | Алгебра

«Как правильно понять определение функции в математике?» — Яндекс Кью

Математика и математики

Популярное

Сообщества

В википедии говориться: «Фу́нкция в математике — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго множества.»
Т.е. элементу первого множества Х ОДНОЗНАЧНО определяется определенный элемент множества У. Тогда возникает тупик, если рассмотреть функцию квадратного арифметического корня то там возникает ДВУЗНАЧНОСТЬ, т.е. если функция нам дана в вида y=sqrt(x), то при х, допустим равно 4, из множества У ему ДВУЗНАЧНО определяется -2 или 2 (т.к. если их возвести в квадрат мы получим 4)
Как быть с такой логической цепочкой?

МатематикаНаукаФункции

Temirlan Tashen

Математика и математики

m. Никто же не говорит, что функция обязана быть отображением множества на себя само.
В определеннии ОДНОЗНАЧНОСТЬ указывает не на то, что у вас число получающихся в ответе чисел — единица. ОДНОЗНАЧНОСТЬ — это про то, что Вася и Петя берут это правило и у Васи, и у Пети получается одно и то же.

Таким образом, например, статистическое испытание никакой функцией не является, а вот корни из одного и того же числа у Васи и Пети должны быть абсолютно одинаковыми.

6 экспертов согласны

Борис Державец

подтверждает

8 февраля 2022

Одно замечание F: => YxY и F:=> УхУхУх ….хУ (n times)

x — знак декартова произведения.

Комментировать ответ…Комментировать…

Достоверно

Надежда Шихова

Математика

8,6 K

Редактор, автор и переводчик книг по математике  · 5 февр 2022  ·

problemaday

Функция квадратного арифметического корня y=sqrt(x) принимает только неотрицательные значения. 2 только на неотрицательных числах. Читать далее

2 эксперта согласны

Alexandr Zagarinskiy

подтверждает

16 февраля 2022

Понятие «арифметический квадратный корня» как неотрицательное значение квадратного корня как раз и введено для… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Борис Державец

Математика

3,0 K

Openstack DevOps and IBM/Informix Certified DBA . Phd in Math (Duality of spaces of…  · 8 февр 2022

Многозначные функции в ТФКП это обычная вещь. Не надо воспринимать стандартное определение теории множеств как догму. См. Ссылка на документ Примеры Без МТФКП нет ни квантовой механики ни квантовой теории поля. Смотри, например, https://yandex.ru/q/article/spin_elektrona_v_teorii_diraka_3731e30d/ Читать далее

1 эксперт согласен

Andrei Novikov

8 февраля 2022

Даже в ТФКП многозначные функции многозначны только потому что являются отображениями C->C^n (или C^Z). В действите… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Maxim Vyalkov

Математика

1,5 K

Интересующие темы: история математики, история христианства, библеистика.   · 9 февр 2022

Для функции квадратного арифметического корня, разумеется, никакой двузначности нет и быть не может: √4̅ = 2, причём, строго. Двузначность появляется в случае алгебраического корня, а использующие нотацию радикала для алгебраических корней находятся в состоянии тяжкого греха и не могут получать Святого Причастия. Иными словами, если мы имеем квадратное уравнение x²… Читать далее

1 эксперт согласен

Комментировать ответ…Комментировать…

Владимир Марченко

Математика

380

Православный христианин. Преподаватель математики.  · 25 февр 2022

Любое математическое определение — результат договорённости, которая продиктована теми задачами, которые планируется решать. То определение, которое привели Вы, возникло в математике на определённом этапе её развития. О том, что можно функцию понимать и иначе, Вам уже написали. Но давайте исходить из того определения, что привели Вы. Вы пишете: > «…Тогда возникает… Читать далее

Комментировать ответ…Комментировать…

Марк Сафронов

Программирование

1,5 K

Веб-разработчик, геймер, специалист по этике  · 6 февр 2022

Вы перестаньте считать себя умнее вашего учителя математики. Высокомерие — главный тормоз прогресса. Именно по той причине, которую вы указали, функция извлечения квадратного АРИФМЕТИЧЕСКОГО корня определена только на положительных x. На отрицательных x она не определена. В смысле, вы не можете сделать `x = -2, sqrt(x)`, (почти) по тем же причинам, по которым вы не… Читать далее

Temirlan Tashen

7 февраля 2022

А если вместе функций АРИФМЕТИЧЕСКОГО корня взять функция корня второй степени, тогда там должно возникнуть. .. Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Alexey Kutuzov

808

Решаю проблемы.  · 8 февр 2022

Эти 2 решения принадлежат разным функциям. Корни, как и логарифмы, являются многолистными функциями. Тема раскрывается в букварях по ТФКП.

Примеры есть и более любопытные, но всё равно разные определения функции подразумевают однозначность.

Комментировать ответ…Комментировать…

Riman

8

Занимаюсь разработкой ПО. Люблю путешествия, море, экзотические растения.   · 16 февр 2022

Область определения функции ни о чем не говорит? График вообще представляете?

PS вопрос в рамках поля вещественных чисел как я понял. И на Википедию я бы вообще не ссылался как надежный достоверный источник.

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

1 ответ скрыт(Почему?)

О сообществе

Математика и математики

Сообщество практикующих математиков разного уровня. Оригинальные решения, нетворкинг и общение. Не отвечаем на школьные задачки!

Глава 39. Понятие функции. Основные свойства функций

Определение

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и тоже значение.

Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть постоянная величина, равная p.

Определение

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется Параметром.

Определение

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Например, при равномерном движении S = vt, где путь S и время t – переменные величины, а v – параметр.

Определение

Если каждому элементу множества ( ) ставится в соответствие вполне определенный элемент множества ( ), то говорят, что на множестве задана Функция .

При этом называется Независимой переменной (или аргументом), –зависимой переменной, А буква обозначает закон соответствия.

Множество Называется Областью определения (или Существования) функции, а множество – Областью значений функции. Если множество специально не оговорено, то под областью определения функции подразумевается область допустимых значений независимой переменной , т. е. множество таких значений , при которых функция

вообще имеет смысл.

Например, область определения функции есть полуинтервал , так как ; если же переменная обозначает, предположим, время, то при естественном дополнительном условии областью определения функции будет отрезок .

Способы задания функций

Задать функцию – значит Указать закон, по которому, согласно определению, каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие значение функции из области значений функций. Существует три основных способа задания функций: Табличный, аналитический и графический.

Табличный способ Состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента И соответствующие значения функции , например таблица логарифмов. Табличный способ имеет широкое применение в различных отраслях знаний и приложениях: ряды экспериментальных измерений, социологические опросы, таблицы бухгалтерской отчетности и банковской деятельности и т. п.

Аналитический способ состоит в задании связи между аргументом и функцией в виде формул. Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функция , рассматриваемая выше, задана аналитически. Не следует смешивать функцию с ее аналитическим выражением. Так, например, одна функция

Имеет два аналитических выражения, используемых при различных значениях аргумента.

Графический способ Состоит в том, что соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика. Этот способ обычно используется в экспериментальных измерениях и употреблением самопишущих приборов (осциллографы, сейсмографы и т. д.).

Основные свойства функции

1. Четность и нечетность.

Функция называется Четной, если для любых значений из области определения И

Нечетной, Если . В противном случае функция называется функцией Общего вида.

Например, функция является четной, а функция – нечетной. Функция является функцией общего вида, так как и И .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2. Монотонность.

Функция называется Возрастающей (Убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Пусть и . Тогда функция возрастает на промежутке X, если и убывает, если .

Функции возрастающие и убывающие называются Монотонными функциями.

Так, например, функция при убывает и при – возрастает.

3. Ограниченность.

Функция называется Ограниченной на промежутке

X, если существует такое положительное число M>0, что Для любого .

Например, функция ограничена на всей числовой оси, так как для любого .

4. Периодичность.

Функция Называется Периодической с периодом , если для любых X из области определения функции .

Например, функция имеет период , так как для любых .

< Предыдущая		Следующая >

Функция (математика) Факты для детей

Детская энциклопедия Факты

В математике функция представляет собой математический объект, который производит вывод при получении ввода (которым может быть число, вектор или что-либо, что может существовать). внутри набора вещей).

Итак, функция похожа на машину, которая принимает значения x и возвращает результат y . Набор всех значений, которые может иметь x , называется доменом , а набор, содержащий все значения, которые x 0009 y может иметь кодовый домен . Функция часто обозначается курсивом, например, , , .

Если это происходит, то мы говорим, что у есть функция х, и пишем . Здесь — это имя функции, и один пишет (функция от X до Y), чтобы представить три части функции: домен (x), кодовый домен (y) и процесс сопряжения (стрелка). .

Примером функции является . На вход подается натуральное число (0,1,2,3…) и получается натуральное число, равное +1 (1,2,3,4…). Идея функции была настроить, чтобы охватить все виды возможностей. Функция не обязательно должна быть уравнением. Основная идея заключается в том, что входы и выходы каким-то образом объединяются, даже если этот процесс может быть очень сложным.

Содержание

• Метафоры
  • Столы
  • Графики
• История
• Типы функций
• Связанные страницы

Метафоры

Таблицы

Входы и выходы можно поместить в таблицу, как на картинке; это легко, если данных не слишком много.

Графики

На рисунке видно, что и 2, и 3 были соединены с c; это не разрешено в другом направлении, так как 2 не может одновременно выводить c и d (каждый вход может иметь только один выход). Все (c и d на картинке) обычно называют изображение набор из , а набор изображений может быть всем кодоменом или одним из его подмножеств. Можно сказать, что множество образов подмножества A области есть f(A). Если входы и выходы имеют порядок, то их легко изобразить на графике: Таким образом, изображение приходит на изображение множества A.

История

В 1690-х годах Готфрид Лейбниц и Иоганн Бернулли использовали слово «функция» в буквах между ними, поэтому современное понятие началось в то же время, что и исчисление.

В 1748 году Леонард Эйлер дал следующее определение функции:

«Функция переменной величины — это аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из переменной величины и чисел или постоянных величин».

и затем в 1755:

«Если одни величины настолько зависят от других величин, что при изменении последних изменяется первая, то первые величины называются функциями вторых. Это определение применяется довольно широко и включает в себя все способы, которыми одна величина могла бы определяться другими Поэтому, если х обозначает переменную величину, то все величины, которые каким-либо образом зависят от х или определяются им, называются функциями от х».

Обычно первое современное определение функции (сформулированное в 1837 г.) приписывают Петеру Дирихле. Часто использовался в школах до второй половины 20 века:

«y есть функция переменной x, определенная на интервале a < x < b, если каждому значению переменной x в этом интервале соответствует определенное значение переменной y. При этом неважно, каким образом эта корреспонденция установлена».

В 1939 году Бурбаки обобщил определение Дирихле и дал теоретико-множественную версию определения как соответствие между входами и выходами; это использовалось в школах примерно с 1960.

Наконец, в 1970 году Бурбаки дал современное определение тройки , с (т. е. и ). X называется доменом f, Y — его кодовым доменом , а F — его графом . Множество всех элементов вида f ( x ), где x охватывает элементы области X, называется -изображением f. Образ функции является подмножеством ее кодового домена, поэтому он может не совпадать с ним.

Типы функций

• Элементарные функции — Функции, которые обычно изучают в школе: дроби, квадратные корни, функции синуса, косинуса и тангенса и некоторые другие функции.
• Неэлементарные функции — Большинство из них не используют операции, которые мы не изучаем в школе (такие как + или — или степени). Многие интегралы, например, неэлементарны.
• Обратные функции — Функции, отменяющие другую функцию. Например: если F(x) является обратным к f(x)=y, то F(y)=x. Не все функции имеют обратные.
• Специальные функции : Функции с именами. К ним относятся тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс. Такие функции, как f(x)=3x (умножить на три x), не называются специальными функциями. Специальные функции могут быть элементарными, неэлементарными или обратными.

Связанные страницы

• Постоянная функция
• Непрерывная функция
• Состав функций
• Специальные функции
  • Гамма-функция
  • Матричная функция
• Линейная функция
• Люси Джоан Слейтер — британский математик, изучавшая математические функции
• MATLAB, Wolfram Mathematica — программное обеспечение для вычисления математических функций
• Отношение (математика)

Все содержимое статей энциклопедии Kiddle (включая изображения статей и факты) можно свободно использовать по лицензии Attribution-ShareAlike, если не указано иное. Процитируйте эту статью:

Функция (математика) Факты для детей. Энциклопедия Киддла.

Эволюция определения функции

Как вы определяете функцию? Вы сначала учите отношениям, а потом функции? Является ли знание об отношении необходимым условием для понимания функции?

Понятие функции «родилось в результате долгих поисков математической модели физических явлений, включающих переменные величины» (Сфард, 1991, стр. 14). В 1755 г. Эйлер (1707-1783) разработал эту концепцию функции как отношения зависимости. Он предлагал, чтобы «величина называлась функцией только в том случае, если она зависит от другой величины таким образом, что при изменении последней первая претерпевает изменение сама» (стр. 15). Семьдесят пять лет спустя Дирихле (1805-1859 гг.) ввел понятие функции как произвольного соответствия между действительными числами. Примерно сто лет спустя, в 1932 году, с появлением абстрактной алгебры, Бурбаки обобщили определение Дирихле. Таким образом, функция стала определяться как соответствие между двумя множествами (Kieran, 1992). Это формальное теоретико-множественное определение сильно отличается от исходного определения. Функция больше не ассоциируется только с числами, и понятие зависимости между двумя переменными величинами теперь только подразумевается (Markovits, Eylon, & Bruckheimer, 19).86). Определение Дирешле-Бурбаки позволяет рассматривать функцию как математический объект, что является слабостью раннего определения. Однако теоретико-множественное определение слишком абстрактно для первоначального ознакомления студентов и несовместимо с их опытом в реальном мире (Freudenthal, 1973; Leinhardt, Zaslavsky, & Stein, 1990; Sfard, 1992).

Учебники, которые часто определяют функцию как набор упорядоченных пар, обычно начинают обсуждение с отношения и вводят функцию как особый вид отношения. Но отношение более абстрактно, чем функция. Таким образом, предполагаемая педагогическая ценность необходимости изучать отношения, прежде чем человек поймет функцию, по мнению Торпа (1989), неправильно. Фройденталь (1973) также решительно заявил, что «чтобы ввести функцию, можно отбросить отношения» (стр. 392). Далее Торп сказал, что использование теоретико-множественного определения, определяющего функцию как набор упорядоченных пар, «определенно было одной из ошибок шестидесятых, и пора положить ей конец» (стр. 13). Аминь на это, но только до определенного уровня обучения.

Мои ссылки:

Фройденталь, Х.