Как решать слау: Решение систем линейных уравнений — как решать СЛАУ методами Гаусса, Крамера, подстановки и почленного сложения

Постановка задачи

АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И КОММУНИКАЦИЙ

Кафедра

Автоматизированные системы обработки информации и управления

Курсовая робота на тему:

Астрахань – 2015

информационная часть:

СОДЕРЖАНИЕ содержание собирать в конце из заголовков

Введение

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнениемпервой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) является одной из основных задач линейной алгебры. Эта задача имеет важное прикладное значение при решении научных и технических проблем. Кроме того, является вспомогательной при реализации многих алгоритмов вычислительной математики, математической физики, обработки результатов экспериментальных исследований. Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных (в особенности – нелинейных) задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма.

Данная работа раскрыла вопрос решения систем уравнений, а также определила, как на практике использовать знания из курса «Алгебра и геометрия» для решения задач различного типа.

Множество прикладных и чисто математических задач приводят к необходимости решения систем линейных алгебраических уравнений. Без преувеличения можно утверждать, что это одна из важнейших задач вычислительной математики. Значимость задачи породила целый ряд методов ее решения. Среди этих методов есть универсальные и специализированные. Методы отличаются друг от друга эффективностью, требованиями к объемам машинной памяти, закономерностями накопления ошибок в ходе расчетов.

Использование объектно ориентированного программирования Объектно-ориентированные программы — это не просто процедурные программы, переведенные на новый синтаксис. Они должны строится на новой философии разработки. Для них требуется новая стратегия программирования, которую часто бывает трудно освоить . Основная идея ООП: программа состоит из группы объектов, часто связанных между собой. В С++ объекты описываются при помощи нового типа данных class. Класс включает в себя набор переменных (данных) и операций (методов или функций-членов), которые действуют на эти переменные.

Полученными объектами можно управлять при помощи сообщений. В ООП объекты включают в себя не только данные (данные-члены), но и методы (функции-члены) воздействия на эти данные. Эти две части в сочетании образуют функциональную единицу программы. Другими словами, объекты содержат данные и методы работы с этими данными. Ниже приведены три основных преимущества объектно-ориентированных программ по сравнению с эквивалентными программами, разработанными сверху вниз. Сопровождение программы. Программы проще читать и понимать, ООП позволяет управлять сложностью программы, оставляя видимыми программисту только существенные детали. Модификация программы (добавление или исключение возможностей). Вы можете часто делать дополнения или исключения в программе, например при работе с базой данных, просто добавляя и исключая объекты. Новые объекты могут наследовать все свойства базовых объектов, необходимо только добавить или убрать отличающиеся свойства. Повторное использование. Можно сохранить грамотно разработанный объект в наборе полезных программ и затем вставить его в новую программу с небольшими изменениями или без изменений. ООП полностью принадлежит к миру С++, поскольку в С нет основного ядра- абстрактного типа данных class Поэтому переписать процедурно-ориентированную программу как объектно-ориентированную гораздо сложнее, чем просто подставить вместо одного ключевого слова другое. ООП представляет собой технику программирования, которая позволяет рассматривать основные идеи как множество объектов. Используя объекты, можно представить задачи, которые необходимо выполнить, их взаимодействие и любые заданные условия, которые должны быть соблюдены. Структура данных часто образует основы объектов; таким образом в С или С++ тип struct может образовывать элементарный объект.

Связь с объектом можно организовать при помощи сообщений. Использование сообщений похоже на вызов функций в процедурно-ориентированной программе. Когда объект получает сообщение, вступают в действие методы, содержащиеся в объекте. Методы (их иногда называют фунциями-членами) аналогичны функциям процедурно-ориентированного программирования. Тем не менее метод является частью объекта, а не чем-то отдельным, как было бы в процедурном аналоге.

С++ -язык предметно-ориентированного программирования. Язык С++ поддерживает процедурную и объектно-ориентированную парадигмы программирования.

Объектно-ориентированное программирование — это новый способ подхода к программированию. Такое программирование, взяв лучшие черты структурного программирования, дополняет его новыми идеями, которые переводят в новое качество подход к созданию программ.

Метод Гаусса при решении системы уравнений можно разделить на два этапа: прямой и обратный ход. Процесс последовательного исключения неизвестных называется прямым ходом метода Гаусса. После завершения прямого хода появляется возможность вычислить неизвестную переменную, находящуюся в последнем уравнении. С ее помощью из предпоследнего уравнения находим следующую неизвестную переменную и так далее. Процесс последовательного нахождения неизвестных переменных при движении от последнего уравнения к первому называется обратным ходом метода Гаусса.

Пусть дана система:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i-м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему

Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида

Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все , не равны нулю.

Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.

Метод Гаусса в математическом варианте

1. ищем сначала ненулевой элемент в первом столбце. Если все элементы первого столбца нулевые, то переходим ко второму столбцу, и так далее. Если нашли ненулевой элемент в k-й строке, то при помощи элементарного преобразования первого рода меняем местами первую и k-ю строки, добиваясь того, чтобы первый элемент первой строки был отличен от нуля;

2. используя элементарные преобразования второго рода, обнуляем все элементы первого столбца, начиная со второго элемента. Для этого от строки с номером k вычитаем первую строку, умноженную на коэффициент a_k1/a₁₁ .

3. переходим ко второму столбцу (или j-му, если все элементы первого столбца были нулевыми), и в дальнейшем рассматриваем только часть матрицы, начиная со второй строки и ниже. Снова повторяем пункты 1) и 2) до тех пор, пока не приведем матрицу к ступенчатому виду.

Программистский вариант метода Гаусса

1. индексы строк и столбцов матрицы начинаются с нуля, а не с единицы;

2. недостаточно найти просто ненулевой элемент в столбце. В программировании все действия с вещественными числами производятся приближенно, поэтому можно считать, что точного равенства вещественных чисел вообще не бывает. Некоторые компиляторы даже выдают предупреждения на каждую операцию проверки равенства вещественных чисел. Поэтому вместо проверки на равенство нулю числа a

   ij следует сравнивать его абсолютную величину _ij‌ с очень маленьким числом ε (например, ε = 0. 00000001). Если _ij‌ =< ε, то следует считать элемент a_ij нулевым;

3. при обнулении элементов j-го столбца, начиная со строки i + 1, мы к k-й строке, где k > i, прибавляем i-ю строку, умноженную на коэффициент

r = -a_kj/a_ij .

Такая схема работает нормально только тогда, когда коэффициент r по абсолютной величине не превосходит единицы. В противном случае, ошибки округления умножаются на большой коэффициент и, таким образом, экспоненциально растут. Математики называют это явление неустойчивостью вычислительной схемы. Если вычислительная схема неустойчива, то полученные с ее помощью результаты не имеют никакого отношения к исходной задаче. В нашем случае схема устойчива, когда коэффициент r = -a

kj/a_ij не превосходит по модулю единицы. Для этого должно выполняться неравенство Отсюда следует, что при поиске разрешающего элемента в j-м столбце необходимо найти не первый попавшийся ненулевой элемент, а максимальный по абсолютной величине. Если он по модулю не превосходит ε, то считаем, что все элементы столбца нулевые; иначе меняем местами строки, ставя его на вершину столбца, и затем обнуляем столбец элементарными преобразованиями второго рода.

Основная идея метода Гаусса- привести матрицу систему к диагональному виду, то есть все элементы главной диагонали –нули. Для приведения матрицы к такому виду, мы выбираем самую верхнюю строку матрицы, и вычитаем её из всех остальных строк, умножив её для каждой строки на некий коэффициент, так, что самый левый столбец ниже главной диагонали заполнен нулями. Вычитаемая с коэффициентом строка называется текущей строкой. Выбирая текущую строку вначале верхнюю, а потом всё ниже и ниже, мы добьёмся, что все элементы ниже главной диагонали будет равны нулю. Эту часть метода- обработка строк по текущей строке и предстоит распараллеливать.

Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных. Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a₁₁ ≠ 0, затем: 1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т. д. Получим:

,

где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij – a_i1d_1j

i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

,

откуда получаем:x₃ = 2;x₂ = 5;x₁= 1.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ метод Гаусса | Презентация к уроку:

Слайд 1

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ метод Гаусса

Слайд 2

Цели и задачи: Цель: Научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Задачи: Изучить решение СЛАУ методом Гаусса Рассмотреть возможные варианты решений системы

Слайд 3

Содержание Правило Крамера Метод Гаусса Матричный способ решения СЛАУ

Слайд 4

Введение Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Слайд 5

Метод Гаусса Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу!

Слайд 6

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в последовательном исключении во втором уравнении первой неизвестной, в третьем уравнении первой и второй неизвестных и т. д. Пока не получится система треугольного или трапецеидального вида. Метод удобнее применять на расширенной матрице

Слайд 7

Пример Решить методом Гаусса систему уравнений : Запишем расширенную матрицу системы:

Слайд 8

Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица . Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Слайд 9

Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2 . Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2 :

Слайд 10

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3 .

Слайд 11

Не нужно считать всё сразу и одновременно . Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО :

Слайд 12

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

Слайд 13

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2 : В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений:

Слайд 14

Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: z=4 Смотрим на второе уравнение: y-z=1 . Y-4=1 Y=5 Значение «зет» уже известно, таким образом: X+2*5-4=9 X=3 Ответ: (3;5;4)

Слайд 15

Выводы: Метод Гаусса универсальный, позволяет решать любую СЛАУ. Слау может иметь единственное решение, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида а* х=в . Слау может иметь бесконечно много решений, если, если матрица преобразуется в трапецеидальный вид. Слау не имеет решения, если расширенная матрица преобразуется в треугольную, причем имеет уравнение вида 0* х=а

анаграмм SLOUGH — слово

Решайте анаграммы, расшифровывайте слова, исследуйте и многое другое. Идеально подходит для словесных игр, включая Words With Friends, Scrabble, Quiddler и кроссворды.

Введите сюда слова или буквы

Анаграммы и слова с использованием букв слова «slough»

Слова из 6 букв, которые можно составить из SLOUGH

ghoulsloughsslough

Слова из 5 букв, которые можно составить из SLOUGH

ghoulholusloughsough

Слова из 4 букв, которые можно составить из SLOUGH0009

Hugogoshgulsgushhogsholshugslogslugslushshogshulslogslugsoulsughughs

3 Letter Words You can Make With SLOUGH

GusLosLougulhoghugloglugohssolsouugh

2 Letter Words You can Make With SLOUGH

GULUgoholoohossouhus

Direct Anagrams and Compound Word Anagrams of slough

• slough
• упырей
• смех
• ГУ отв.
• ЛУ черт возьми
• ЛУ свиней
• ЛУ шог
• Лос объятия
• Потеря
• будь пышным
• иди шул
• черт возьми LU
• гул охс
• гуль хо
• гуль ой
• фонтанировать вот
• хо гулс
• проушины
• хо слизняк
• свиней LU
• отверстие ГУ
• обнять Лос
• обнять соль
• объятия
• вот фонтан
• Ло обнимает
• ло юг
• ло
• лог э
• наконечник ohs
• проушины хо
• проушины о
• пышная иди
• ой гул
• проушины
• о слизняк
• ох гул
• проушина
• шог LU
• сходить
• угар
• слизень хо
• слизняк о
• соль объятия
• соль ух
• сугх ло
• тьфу Лос
• тьфу соль
• тьма
• журналы
• ух

Из блога

Как решить криптограмму за 8 шагов

Опубликовано 1 неделю назад6 мин чтения

Испытываете ли вы чувство удовлетворения каждый раз, когда решаете головоломную головоломку? Если вы это сделаете, то вам обязательно понравятся криптограммы и вызовы, которые они приносят. ..

Читать далее →

Как решить анаграмму за 6 шагов

Опубликовано 2 недели назад4 минуты чтения

Если вы такой человек, который может мгновенно решить анаграмму в течение первых нескольких секунд после ее просмотра, когда все буквы волшебным образом закручиваются и плавают на месте, как будто вы Шерлок Холмс, тогда, пожалуйста, знайте, что мы все вам завидуем…

Читать далее →

Лучшие приложения для тренировки мозга 2021 года

Опубликовано 3 недели назад7 мин чтения

Никогда потребность в тренировке мозга не была такой большой, как сегодня. Большинство из нас провели 2020 год дома во время изоляции, подростки смотрели в свои экраны, и многие из нас, как следствие, страдали от тумана в голове. Итак, что может быть лучше для улучшения здоровья нашего мозга, чем попробовать некоторые методы тренировки мозга…

Читать далее →

сообщить об этом объявлении

Скоро.

..

Раз в неделю мы будем присылать на ваш почтовый ящик бесплатную головоломку.

Ваш адрес электронной почты

Топь – определение, значение и синонимы

топь; шелушение;

Когда вы отвалите, избавитесь от грубого. Для шелушения является снятие внешнего слоя, как спиливание сухой кожи с ног. Вы также можете избавиться от эмоций, таких как хеби-джиби, которые вы получаете, думая об омертвевшей коже на ногах людей. Фу.

Slough рифмуется со словом «грубый». Не похоже, что это даст вам прекрасный результат, но когда вы сбрасываете старую кожу, появляется новая кожа. Змеи сбрасывают или сбрасывают кожу по мере роста и избавления от неприглядных клеток, и люди делают то же самое, хотя, к счастью, мы не сбрасываем одну большую кожу, как это делают змеи. Может быть, лучше сбросить этот мысленный образ с более приятным.

Определения оползня

1. глагол

   сбросить волосы, кожу, рога или перья

   синонимы: линять, линять, линять, сбрасывать

2. существительное

   любое внешнее покрытие, которое можно сбросить или сбросить (например, сброшенная кожа змеи)

3. существительное

   некротическая ткань; омертвевшая или гангренозная часть или масса

   синонимы: гангрена, сфацелюс

4. существительное

   яма, заполненная грязью

5. существительное

   стоячее болото (особенно в составе протоки)

ОТКАЗ ОТ ОТВЕТСТВЕННОСТИ: Эти примеры предложений появляются в различных источниках новостей и книгах, чтобы отразить использование слова «неглубокий» .