Простая задача по математике: Простые задачи по математике для 1-2 класса

Содержание

Простая математическая задача, которую мы все еще не в состоянии решить / Хабр

Сергей Жестков — преподаватель МФТИ и по совместительству эксперт OTUS, приглашает всех желающих на бесплатный демо-урок продвинутого курса «Математика для Data Science», по теме: «Отображения, их матрица и диагонализация».

А мы традиционно делимся с вами переводом интересного материала.

Несмотря на недавние сподвижки с небезызвестной гипотезой Коллатца, мы до сих пор не можем понять, может ли число выйти из бесконечного цикла.

Эта статья идет вместе с предупреждением: не пытайтесь решить эту математическую задачу.

Вы будете испытывать соблазн попробовать сделать это. Эта проблема достаточно просто сформулирована, понятна и слишком заманчива. Просто выберите число, любое число: если число четное, разделите его пополам; если оно нечетные, умножьте его на 3 и прибавьте 1. Возьмите получившееся новое число и повторяйте этот процесс снова и снова. Если вы будете продолжать выполнять эти итерации достаточное количество раз, в конечном итоге вы застрянете в бесконечном цикле. По крайней мере, мы так думаем.

Возьмем, к примеру, 10: 10 — четное, поэтому мы делим его пополам и получаем 5. Поскольку 5 — нечетное число, мы умножаем его на 3 и прибавляем 1. Теперь у нас есть 16, которое является четным, поэтому мы делим его на 2 и получаем 8, а затем делим пополам 8 и получаем 4, затем снова делим его пополам и получаем 2, и еще раз, получив наконец 1. Поскольку 1 нечетно, мы утраиваем его и прибавляем 1. Мы снова вернулись к 4, а мы уже знаем, куда это нас приведет: 4 превратится в 2, которое превратится в 1, которое превратится в 4, и так далее. Мы застряли в бесконечном цикле.

Или давайте попробуем 11: это нечетное число, поэтому мы утроим его и прибавим 1. Теперь мы получили 34, что является четным числом, поэтому мы делим его пополам и получаем 17, утраиваем и прибавляем 1, чтобы получить 52, уменьшаем вдвое, чтобы получить 26, и снова, чтобы получить 13, устраиваем его и добавляем 1, чтобы получить 40, уменьшите его вдвое, чтобы получить 20, затем 10, затем 5, утраиваем и добавляем 1, чтобы получить 16, делим пополам, чтобы получить 8, затем 4, 2 и 1. И мы снова застряли в бесконечном цикле.

Печально известная гипотеза Коллатца гласит, что если вы начнете с любого положительного целого числа, вы всегда окажетесь в этом бесконечном цикле. И вы, вероятно, проигнорируете мое предупреждение о попытке решить эту проблему: она кажется слишком простой и слишком складной, чтобы сопротивляться пониманию. На самом деле, было бы трудно найти математика, который бы не пытался найти подход к этой проблеме.

И я не смог проигнорировать ее, когда впервые узнал о ней в школе. Мы с друзьями целыми днями обменивались захватывающими идеями, которые в итоге никак не приближали нас к ответу. Но гипотеза Коллатца печально известна не просто так: даже если каждое число, которое когда-либо было опробовано, в конечном итоге попадает в этот цикл, мы все еще не можем быть уверены, что это утверждение справедливо всегда. Несмотря на все внимание, это до сих пор всего лишь предположение.

Тем не менее некоторый прогресс все же был достигнут. Один из величайших математиков в мире проигнорировал все предупреждения и взялся за дело, в итоге достигнув крупнейшего за последние десятилетия успеха в решении этой проблемы. Давайте посмотрим, что делает эту простую проблему такой сложной.

Чтобы понять гипотезу Коллатца, мы начнем со следующей функции:

(even — четные, odd — нечетные)

Вы можете вспомнить «кусочные» функции из школы: функция выше принимает на вход n и применяет к нему одну из двух формул, в зависимости от того, является n четным или нечетным. Эта функция f применяет формулы процедуры, описанной выше: например, f (10) = 10/2 = 5, поскольку 10 четное, и f (5) = 3 × 5 + 1 = 16, поскольку 5 нечетное. Благодаря формуле для нечетных переменных гипотеза Коллатца также известна как гипотеза 3n + 1.

Гипотеза Коллатца касается «орбит» этой функции f. Орбита — это то, что вы получите, если начнете с какого-либо числа и многократно примените функцию, принимая каждый результат и возвращая его в функцию в качестве новой переменной. Мы называем это «итерированием» функции. Мы уже начали вычислять орбиту 10 для f, поэтому давайте найдем следующие несколько членов:

f (10) = 10/2 = 5

f (5) = 3 × 5 + 1 = 16

f (16) = 16/2 = 8

f (8) = 8/2 = 4

Удобно представлять орбиту в виде последовательности со стрелками. Вот орбита 10 для f:

10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → 2 → 1 → …

В конце мы видим, что застряли в бесконечном цикле 1 → 4 → 2 → 1 →….

Аналогично, орбита 11 для f может быть представлена как

11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1 → 4 → ….

Мы снова попадаем в тот же цикл. Попробуйте еще несколько примеров, и вы увидите, что орбита всегда стабилизируется в этом цикле 4 → 2 → 1 →…. Начальные значения 9 и 19 забавны, а если у вас есть несколько свободных минут, попробуйте 27. Если ваша арифметика будет верна, вы окажетесь в цикле после 111 шагов.

Гипотеза Коллатца утверждает, что орбита каждого числа для f в конечном итоге достигает 1. И хотя никто не доказал эту гипотезу, она была проверена для каждого числа меньше 26⁸. Так что, если вы ищете контрпример, вы можете начать с 300 квинтиллионов. (Вы были предупреждены!)

Легко проверить, что гипотеза Коллатца верна для любого конкретного числа: просто вычисляйте орбиту, пока не дойдете до 1. Но чтобы понять, почему так трудно доказать ее для каждого числа, давайте исследуем немного более простую функцию ℊ.

Функция ℊ похожа на f, но для нечетных чисел она просто добавляет 1 вместо того, чтобы сначала утроить их. Так ℊ и f разные функции, числа имеют разные орбиты. Например, вот орбиты 10 и 11 для ℊ:

10 → 5 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1 → 2 → 1 → 2 → …

11 → 12 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1 → 2 → 1→ 2 → …

Обратите внимание, что орбита числа 11 достигает 1 быстрее для ℊ, чем для f. Орбита 27 также достигает 1 намного быстрее для ℊ.

27 → 28 → 14 → 7 → 8 → 4 → 2 → 1 → 2 → …

В этих примерах орбиты ℊ тоже выглядят стабилизирующимися, так же как орбиты f, но в немного более простой цикл:

→ 2 → 1 → 2 → 1 → ….

Мы можем предположить, что орбиты ℊ всегда стремятся к 1. Я назову это гипотезой «Ноллатца», но мы также можем называть ее гипотезой n + 1. Мы могли бы поэкспериментировать с ней, проверив больше орбит, но знание того, что что-то верно для множества чисел — даже 26⁸ из них — не является доказательством того, что это верно для всех чисел. К счастью, гипотеза Ноллатца может быть доказана. Вот каким образом.

Во-первых, мы знаем, что половина положительного целого числа всегда меньше самого целого числа. Итак, если n четное и положительное, то ℊ(n) = n/ 2 < n. Другими словами, когда орбита достигает четного числа, следующее число всегда будет меньше.

Теперь, если n нечетное, то ℊ(n) = n + 1, что больше n. Но так п нечетно, п + 1 четно, и поэтому мы знаем куда орбита приведет нас дальше: ℊ поделит п + 1 пополам. Для нечетного n орбита будет выглядеть так:

Обратите внимание, что

. Поскольку

— это очень мало,

вероятно, тоже меньше n. И в самом деле, несложно доказать, что покуда n> 1, то всегда выполняется

Это говорит нам о том, что когда орбита ℊ достигает нечетное число большее 1, мы всегда будем получать меньшее число двумя шагами позже. Теперь мы можем обрисовать в общих чертах доказательство гипотезы Ноллатца: где угодно на нашей орбите, будь то четное или нечетное число, мы будем иметь тенденцию к снижению. Единственное исключение — когда мы достигаем 1 в конце этого спуска. Но как только мы достигаем 1, мы попадаем в бесконечный цикл, как мы и предполагали.

Может ли аналогичное доказательство сработать с гипотезой Коллатца? Вернемся к исходной функции.

Как и в случае с ℊ, подстановка в f четного числа уменьшает его. Как и в случае с ℊ, подстановка в f нечетного числа возвращает нам четное число, что означает, что мы знаем, что произойдет дальше: f сократит новое число вдвое. Вот как выглядит орбита f, когда n нечетное:

Но здесь наше доказательство начинает разваливаться. В отличие от примера выше, это число больше n:

, что всегда больше n. Ключом к доказательству гипотезы Ноллатца было то, что нечетное число через два шага должно стать меньше, но это неверно в случае Коллатца. Наше доказательство не работает.

Если у вас есть что-то общее со мной и моими школьными друзьями, вы, возможно, захотите попробовать доказать, что гипотеза Коллатца ложна: в конце концов, если орбита продолжает увеличиваться, то как она может опуститься до 1? Но это доказательство требует понимания того, что происходит дальше, а что происходит дальше, проливает свет на то, почему гипотеза Коллатца настолько скользкая: мы не можем быть уверены, четное ли

или нечетное.

Мы знаем, что 3n + 1 четное. Если 3n + 1 также делится на 4, то

тоже четное, и орбита будет уменьшаться. Но если 3n + 1 не делится на 4, то

нечетное, и орбита увеличивается. Как правило, мы не можем предсказать, что из этого окажется правдой, поэтому наше доказательство несостоятельно.

Но этот подход не совсем бесполезен. Поскольку половина всех положительных целых чисел четные, с вероятностью в 50%

четное, что делает следующий шаг по орбите равным

. Для n > 1 это уже меньше, чем n, поэтому в половине случаев нечетное число должно уменьшаться после двух шагов. Также существует 50%-ная вероятность, что

это четное число, что означает, что существует 25%-ная вероятность того, что нечетное число станет меньше более чем в два раза после трех шагов. И так далее. Конечный результат состоит в том, что в некотором среднестатистическом случае орбиты Коллатца уменьшаются, когда они сталкиваются с нечетным числом. А поскольку орбиты Коллатца всегда уменьшаются для четных чисел, это наталкивает на вывод, что все последовательности Коллатца в долгосрочной перспективе должны уменьшаться. Это доказательство на основе вероятностей широко известно, но еще никому не удалось довести его до полного доказательства гипотезы.

Однако несколько математиков доказали, что гипотеза Коллатца «почти всегда» верна. Это означает, что они доказали, что по сравнению с количеством чисел, которые, как они знают, приводят к 1, количество чисел, в которых они не уверены, ничтожно мало. В 1976 году эстонско-американский математик Рихо Террас доказал, что после многократного итерирования функции Коллатца почти все числа в конечном итоге оказываются ниже тех, с которых они начинались. Как мы видели выше, доказательство того, что числа на орбите постоянно уменьшаются, — это один из способов доказать, что они в конечном итоге доходят до 1.

А в 2019 году Теренс Тао, один из величайших математиков мира, улучшил этот результат. Если Террас доказал, что почти для всех чисел последовательность Коллатца для n в итоге приходит к числу меньшему, чем n, Тао доказал, что почти для всех чисел последовательность Коллатца для n заканчивается намного ниже: ниже

, ниже

(натуральный логарифм n), даже ниже каждого f(n), где f(x) — любая функция, уходящая в бесконечность, независимо от того, насколько медленно. То есть почти для каждого числа мы можем гарантировать, что его последовательность Коллатца будет настолько низкой, насколько мы захотим. В разговоре о проблеме, Тао сказал, что этот результат является «пределом того насколько близко можно подобраться к гипотезе Коллатца без фактического решения.»

Даже в этом случае гипотеза будет продолжать привлекать математиков и энтузиастов. Так что выберите число, любое число и вперед. Просто помните, вас предупреждали: не зацикливайтесь бесконечно.

Упражнения

1. Покажите, что существует бесконечно много чисел, чьи орбиты Коллатца проходят через 1.

2. «Время остановки» числа n — это наименьшее количество шагов, которое требуется, чтобы орбита Коллатца числа n достигла 1. Например, Время остановки 10 равно 6, а время остановки 11 равно 14. Найдите два числа со временем остановки 5.

3. В недавнем разговоре о гипотезе Коллатца Терренс Тао упомянул следующую функцию Коллатца:

Тао указывает, что в дополнение к петле 1 → 2 → 1 → 2 → 1… появляются еще две петли. Вы можете их найти?

Ответы

Нажмите, чтобы раскрыть ответ 1:

Обратите внимание, что каждая степень двойки имеет простой орбитальный путь к 1. 4, имеет время остановки 5. Например, 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Могут ли быть и другие?

Нажмите, чтобы раскрыть ответ 3:

Другие петли:

5 → 14 → 7 → 20 → 10 → 5 → …

17 → 50 → 25 → 74 → 37 → 110 → 55 → 164 → 82 → 41 → 122 → 61 → 182 → 91 → 272 → 136 → 68 → 34 → 17 → …

Записаться на бесплатный демо-урок

Читать ещё:

Алгоритм MADDPG OpenAI

11 обманчиво простых математических задач, которые превратились в настоящее испытание для людей На самом деле, некоторые уравнения выглядят настолько простыми, что вы даже не думаете, что можете ошибаться в них. Именно это произошло с простой математической задачей, которую многие люди не могли уложить в голове.

AdMe.ru был заинтригован вирусностью этой математической задачи и нашел несколько других, вызвавших бурные споры в Интернете. Возьмите ручку и бумагу и попробуйте решить их самостоятельно. Обязательно коснитесь изображения, чтобы перепроверить наши ответы.

1. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

2. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

3. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

4. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

5.

Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

6. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

7. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

8. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

Это зависит от того, как вы складываете…

Нажмите, чтобы увидеть ответ …

Нажмите, чтобы увидеть ответ

9.

Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

10. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ

11. Какой правильный ответ?

Нажмите, чтобы увидеть ответ.

Нажмите, чтобы увидеть ответ. Какой из них был самым сложным для вас?

AdMe.ru/Викторины/11 обманчиво простых математических задач, которые превратились в настоящее испытание для людей

Простая причина, по которой вирусное математическое уравнение поставило Интернет в тупик

Были ли разные способы обучения порядку операций причиной путаницы? 1 кредит

Вот уже около десяти лет математики и преподаватели математики обсуждают конкретную дискуссию, уходящую корнями в школьную математику, которая не собирается стихать.

Дебаты, освещаемые Slate, Popular Mechanics , The New York Times и многие другие издания сосредоточены на уравнении, которое стало настолько «вирусным», что в конечном итоге его смешали с другими явлениями, которые «сломали» или «разделили» Интернет.

На случай, если вы еще не взвесились, сейчас самое время посмотреть, на каком вы месте. Пожалуйста, ответьте на следующие вопросы:

8÷2(2+2)=?

Если вы похожи на большинство, ваш ответ был 16, и вы ошеломлены, кто-то может найти другой ответ. Если, конечно, вы не похожи на большинство других, и ваш ответ был 1, и вы в равной степени сбиты с толку, видя это по-другому. Не бойтесь, в дальнейшем мы объясним окончательный ответ на этот вопрос и почему следует запретить способ написания уравнения.

Наш интерес был вызван тем, что мы провели исследование соглашений о следовании порядку операций — последовательности шагов, выполняемых при столкновении с математическим уравнением — и были немного сбиты с толку тем, о чем идет речь.

Очевидно, что ответ…

Два реальных ответа на одну математическую задачу? Ну, если есть что-то, что мы все помним из уроков математики: это не может быть правдой!

Многие темы возникли из множества статей, объясняющих, как и почему это «уравнение» сломало Интернет. Много обсуждался ввод выражения на калькуляторах, некоторые из которых запрограммированы на соблюдение определенного порядка операций.

Другие, немного уклоняясь, предполагают, что оба ответа верны (что смешно).

Самая доминирующая тема просто сосредоточена на реализации порядка операций в соответствии с различными аббревиатурами. Некоторые комментаторы заявили, что непонимание людей было связано с неправильной интерпретацией заученной аббревиатуры, которой учили в разных странах, чтобы запомнить порядок операций, таких как PEMDAS, иногда используемый в Соединенных Штатах: PEMDAS относится к применению круглых скобок, возведению в степень, умножению, делению, сложению и вычитанию.

У человека, который следует этому порядку, 8÷2(2+2) станет 8÷2(4) благодаря тому, что он начинает со скобок. Тогда 8÷2(4) становится 8÷8, потому что нет степеней, а «M» означает умножение, поэтому они умножают 2 на 4. Наконец, согласно «D» для деления, они получают 8÷8= 1.

Канадцев, напротив, можно научить запоминать BEDMAS, что означает применение скобок, возведения в степень, деления, умножения, сложения и вычитания. У кого-то, кто следует этому порядку, 8÷2(2+2) станет 8÷2(4) благодаря началу со скобок (так же, как скобки). Тогда 8÷2(4) становится 4(4), потому что (нет степеней), а «D» означает деление. Наконец, согласно «М» для умножения, 4(4)=16.

Если бы проблема была правильно представлена как 8 ÷ 2 × (2 + 2) = ?, не было бы горячих споров. Предоставлено: Иган Дж. Чернофф, предоставлен автором.

Не пропускать символ умножения

Для нас выражение 8÷2(2+2) синтаксически неверно.

Мы утверждаем, что ключом к спору является то, что символ умножения перед скобками опущен.

Такое упущение является соглашением в алгебре. Например, в алгебре мы пишем 2x или 3a, что означает 2 × x или 3 × a. Когда буквы используются для переменных или констант, знак умножения опускается. Рассмотрим знаменитое уравнение e=mc ^2,, что предполагает вычисление энергии как e=m×c ^2.

Таким образом, настоящая причина того, что 8÷2(2+2) сломала Интернет, связана с практикой опускания символа умножения, которая была неуместно перенесена в арифметику из алгебры.

Несоответствующий приоритет

Другими словами, если бы выражение было правильно «расшифровано», то есть представлено как «8 ÷ 2 × (2 + 2) = ?», не было бы никакой вирусности, никакой двойственности, ни сломанного интернета, ни жарких споров. Не весело!

В конечном счете, пропуск символа умножения приводит к неправильному приоритету умножения. Все комментаторы согласились с тем, что добавление терминов в скобки или круглые скобки было подходящим первым шагом. Но возникла путаница из-за близости 2 к (4) по отношению к 8 в 8÷2(4).

Мы хотим, чтобы было известно, что писать 2(4) для обозначения умножения неуместно, но мы видим, что это делается всегда и везде.

Красивый символ умножения

Есть очень хороший символ для умножения, так что давайте использовать его: 2 × 4. Если вы не фанат, есть и другие символы, например 2•4. Используйте любой из них по своему усмотрению, но не пропускайте.

Таким образом, к сведению, дебаты по поводу одного против 16 окончены! Ответ 16. Дело закрыто. Кроме того, в первую очередь не должно было быть никаких дебатов.

Предоставлено Разговор

Эта статья переиздана из The Conversation под лицензией Creative Commons. Прочитайте оригинальную статью.

Цитата : Простая причина, по которой вирусное математическое уравнение поставило Интернет в тупик (2022, 29 августа) получено 20 декабря 2022 г. с https://phys.org/news/2022-08-simple-viral-math-equation-stumped.

Простая задача по математике: Простые задачи по математике для 1-2 класса

Простая математическая задача, которую мы все еще не в состоянии решить / Хабр

Упражнения

Ответы

Читать ещё:

Последние новости по теме Математика

1. Какой правильный ответ?

2. Какой правильный ответ?

3. Какой правильный ответ?

4. Какой правильный ответ?

5.

6. Какой правильный ответ?

7. Какой правильный ответ?

8. Какой правильный ответ?

Это зависит от того, как вы складываете…

9.

10. Какой правильный ответ?

11. Какой правильный ответ?

Простая причина, по которой вирусное математическое уравнение поставило Интернет в тупик

Добавить комментарий Отменить ответ