Прямая и ее части – что такое в математике, правило
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 189.
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 189.
В геометрии любой объект состоит из базовых элементов: точек, прямых и плоскостей. Любая фигура, не важно, плоская она или объемная, будет состоять из этих элементов. Определение точки понятно, но вот как понять, что такое прямая и как она может быть бесконечной – в 5 классе не так просто разобраться.
Определение прямой
Определение прямой начинается с определения линии. Что такое линия? Это множество точек, соединенных между собой. Линия может быть прямой, кривой, ломанной, непрерывной и даже разомкнутой. И именно из-за этого разнообразия линии очень трудно определить в пространстве. Непонятно, как пройдет та или иная кривая, когда выйдет за пределы листа. Поэтому был выделен отдельный вид линий – прямые.
Рис. 1. Виды прямых.Когда в разговоре вы слышите прямая – люди имеют в виду прямую линию, но последнее слово в словосочетании принято опускать.
Что такое прямая в математике? Прямые это бесконечные непрерывные линии, которые не имеют искривлений. Первое правило линий: через любые две точки можно провести линию. А вот через три точки уже не всегда. Чаще всего через три точки можно провести три прямых.
Если прямая проходит через три точки, то про эти точки говорят, что они лежат на одной прямой. Прямые, как правило, обозначают малой латинской буквой или по названию двух точек на прямой.
Почему двух, а не трех? Очень просто: через две точки может пройти только одна прямая. Тогда как через одну: бесконечное множество. А три точки не имеет смысла использовать: ни к чему усложнять обозначение.
Взаимное расположение прямых
Две прямые в пространстве могут располагаться по-разному. Самый простой и частый случай это пересечение. Если две прямые имеют одну общую точку, про такие прямые говорят, что они пересекаются.
Рис. 2. Взаимное расположение прямых.А как прямые назвать, если они не пересекаются? Тогда – параллельные, то есть прямые, которые не имеют общих точек.
А что будет, если у двух прямых две и больше общих точек? Тогда прямые совпадут.
При пересечении двух прямых образуется две пар вертикальных углов. Вертикальные углы в каждой паре равны между собой.
Если угол пересечения равен 90 градусов, то прямые перпендикулярны друг другу.
Рис. 3. Пересечение прямых.Точка на прямой
Точка на прямой это почти магия. Сама по себе прямая это множество точек, но стоит отметить одну из них и геометрическую фигуру можно назвать как прямой, так и двумя лучами с началом в одной точке. Если поставить две точки на прямой, то они будут отделять часть прямой, которую называют отрезком.
Любой отрезок является частью прямой.
Что мы узнали?
Мы дали определении линиям, выделили виды линий, а так же рассмотрели, какая из линий может называться прямой. Поговорили о том, как обозначаются прямые и как они могут располагаться в пространстве относительно друг друга. Выяснили, что точка на прямой может сделать из прямой отрезок или луч.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Сергей Петров
3/5
Дария Петроченко
4/5
Кристина Микляева
4/5
Оценка статьи
4.8
Средняя оценка: 4.8
Всего получено оценок: 189.
А какая ваша оценка?
определение и обозначение, свойства линии и аксиомы геометрии
Математика
12.11.21
8 мин.
Определение прямой в математике является важным элементом и используется для построения фигур, графиков функций и необходимых расчетов для прямо пропорциональных величин. Однако не все учащиеся понимают, какой смысл ее применения в различных дисциплинах. В интернете проблематично найти систематизированную информацию на эту тему. Для качественного обучения нужно рассмотреть основные понятия и аксиомы.
Оглавление:
- Общие сведения
- Основные аксиомы
- Линия и плоскость
- Прямо пропорциональная зависимость
Общие сведения
Точка — это базовая единица геометрии.
Она обозначается заглавными литерами латинского алфавита (S, T, A и т. д. ) и предназначена для построения прямых (линий), отрезков, лучей, углов и прочих фигур.
Прямая — геометрическое место точек, при соединении которых образуется линия без искажений, неограниченная в пространстве. Она бесконечна, поскольку не имеет начала и конца, и обозначается прописными буквами (s, t, a, b и т. д. ).
С ее помощью получаются следующие фигуры и элементы:
- Лучи.
- Отрезки.
- Треугольники.
- Четырехугольники.
- Многоугольники.
- Плоскости.
- Объемные фигуры: параллелепипед, куб и т. д.
Кроме того, она известна в дисциплинах с физико-математическим уклоном, как линейная зависимость величин. Луч — часть линии, исходящей из одной точки.
Алгоритм построения выглядит следующим образом:
- Отмечается любая точка (M).
- Из нее проводится прямая.
Из геометрического построения можно сделать вывод, что M — левая или правая граница, из которой исходит линия, устремляющаяся в бесконечность.
Если на луче отметить еще одну точку, получится отрезок (часть линии или луча, ограниченная с двух сторон). Его обозначение состоит из двух букв (АВ). В этом случае прямую можно обозначить также двумя литерами АВ (АБ). Следует отметить, что она также бывает и ломаной линией.
Математики используют понятие аксиомы или утверждения, не требующие доказательства. Они применяются для решения задач, черчения фигур, доказательства тождеств и теорем.
Основные аксиомы
Аксиомы — правила, которые являются фактами и не требуют доказательства.
Для прямой можно выделить следующие:
- Проводится только через 2 точки.
- Точки классифицируются на лежащие и не лежащие.
- На линии можно отметить произвольную точку.
- Если для точек, лежащих на прямой, выполняется тождество «SU=ST+TU», это значит, что точка «Т» лежит между S и U.
- Прямая может состоять из бесконечного количества отрезков и только двух лучей, направленных в разные стороны.
- Если 2 линии не пересекаются, они параллельны (||).
- Прямая, проходящая через другие || линии, называется секущей. Она образует две пары внутренних углов: односторонние (равны между собой) и накрест лежащие (сумма равна 180 градусам).
- Если при пересечении двух линий образуется прямой угол, это указывает на перпендикулярность первых.
- Прямая пересекает другую только в одной точке.
Эти 9 аксиом являются базовыми. На их основании и доказываются все теоремы. Однако существует еще и понятие плоскости, которая может быть образована двумя линейными отрезками или лучами.
Линия и плоскость
В геометрии можно встретить понятие плоскости.
К основным аксиомам для последней следует отнести:
- Через прямую и точку, которая не лежит на ней, можно построить плоскость.
- Если даны 2 || прямые, через них можно провести только одну плоскость.
- Два плоских пространства являются параллельными, когда содержат параллельные линии.
На основании утверждений можно сформулировать определение плоскости: геометрическая часть бесконечного пространства, ограниченная двумя || линиями.
Прямо пропорциональная зависимость
Существует понятие о прямой пропорциональности двух или нескольких величин. В качестве коэффициента пропорциональности выступает определенное число.
Прямо пропорциональную зависимость еще называют линейной функцией, графиком которой является луч или отрезок. Чтобы написать выражение, характеризующее ее, нужно знать формулу, имеющую следующий вид: s = k * t + m, где s — зависимая переменная, к — коэффициент пропорциональности, t — аргумент (независимый коэффициент) и m — константа (свободный член).
Коэффициент «m» может принимать любые значения.
Расположения линии зависит от k и m. В этом случае нужно разобрать некоторые свойства:
- При m=0 график будет проходить через начало декартовой системы координат.
- Если k>0, значения угла наклона луча относительно оси аргументов находится в пределах от 0 до 90 градусов.
- Когда k<0 и m эквивалентен некоторому значению (не равен 0), угол наклона, описанный во втором свойстве, будет тупым.
- При равенстве к=0 линия || оси абсцисс (аргументов).
В геометрии величина «к» называется угловым коэффициентом и вычисляется через тангенс угла наклона (f) по формуле: tg (g)=(m/k)+(k-m)/2k.
Таким образом, прямая линия нужна не только для построения различных фигур, но и графиков прямо пропорциональности двух и более физических величин.
Не успеваете написать работу?
Заполните форму и узнайте стоимость
Вид работыПоиск информацииДипломнаяВКРМагистерскаяРефератОтчет по практикеВопросыКурсовая теорияКурсовая практикаДругоеКонтрольная работаРезюмеБизнес-планДиплом MBAЭссеЗащитная речьДиссертацияТестыЗадачиДиплом техническийПлан к дипломуКонцепция к дипломуПакет для защитыСтатьиЧасть дипломаМагистерская диссертацияКандидатская диссертацияКонтактные данные — строго конфиденциальны!
Указывайте телефон без ошибок! — потребуется для входа в личный кабинет.
* Нажимая на кнопку, вы даёте согласие на обработку персональных данных и соглашаетесь с политикой конфиденциальности
Подтверждение
Ваша заявка принята.
Просьба при ответах не изменять тему письма и присвоенный заявке номер.
В ближайшее время мы свяжемся с Вами.
Ошибка оформления заказа
Кажется вы неправильно указали свой EMAIL, без которого мы не сможем ответить вам.
Пожалуйста проверте заполнение формы и при необходимости скорректируйте данные.
Счет, математика и статистика — Набор академических навыков
Уравнение прямой линии
Главное меню ContentsToggle 1 Определение 2 Примеры работы 3 Примеры видео 4 Рабочая тетрадь 5 Проверка себя 6 Внешние ресурсы
Определение
Уравнение прямой линии — это \[y = mx + c\] $m$ — это градиент , а $c$ — это высота, на которой линия пересекает ось $y$, также известная как точка пересечения $y$ .
градиент $m$ — наклон линии — величина, на которую координата $y$ увеличивается пропорционально координате $x$. Если у вас есть две точки $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ на линии, градиент равен \[m = \dfrac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1}\]
|center
Если известна одна точка $(x_1,y_1)$ на линии, а также ее градиент $m$, уравнение линии имеет вид \[(y — y_1) = m(x — x_1)\]
Если нам просто даны две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, мы должны сначала определить градиент, используя приведенную выше формулу градиента, а затем выбрать любую точку для подстановки в уравнение прямой линии с этим градиентом .
Примеры работы
Пример 1
Найдите уравнение прямой с градиентом $-2$, проходящей через точку $(3,-4)$.
Решение
Подставьте $m=-2$, $x_1=3$ и $y_1=-4$ прямо в формулу $y-y_1=m(x-x_1)$.
\[y-y_1=m(x-x_1)\] \[y+4=-2(x-3)\]
Раскройте скобки и упростите.
\[y+4=-2x+6\] \[y=-2x+2\]
|center
Пример 2
Найдите уравнение прямой через точки $(-5,7 )$ и $(1,3)$.
Решение
Сначала найдем градиент, подставив координаты $x_1 = -5$, $y_1 = 7$, $x_2=1$ и $y_2=3$ в формулу градиента:
\begin{ align} m &= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\\\ &= \frac{3-7}{1-(-5)}\\\\ &= \frac{-4} {6}\\\\ &= -\frac{2}{3} \end{align}
Выберите любую точку и подставьте в формулу $y-y_1=m(x-x_1)$:
\begin {align} y-y_1 &= m(x-x_1) \\ y-7 &= — \frac{2}{3}(x-(-5)) \end{align}
Раскройте скобки и упростите .
\begin{align} y — 7 &= -\frac{2}{3}x — \frac{10}{3} \\ y &= -\frac{2}{3}x +\frac{ 11}{3} \end{выравнивание}
|центр
Видеопримеры
Пример 1
Профессор Робин Джонсон находит уравнение прямой через точки $(1,2)$ и $(-3,4)$.
Пример 2
Профессор Робин Джонсон находит уравнение прямой с градиентом $m=-3$, проходящей через точку $(-1,2)$.
Пример 3
Хейли Бишоп находит уравнение прямой через точки $(0,2)$ и $(-1,4)$.
Рабочая тетрадь
Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим пособием по повторению, содержащим ключевые моменты для исправления и множество рабочих примеров.
- Прямая линия
Проверь себя
Проверь себя: найди уравнение прямой через две точки
Внешние ресурсы
- Градиент прямолинейного отрезка рабочей тетради в математическом центре.
- Рабочая тетрадь «Уравнения прямых» в центре по математике .
Что такое прямая линия? (Определение, видео и примеры)
Автор:
Malcolm McKinsey