Разложить 1 x 2: Разложение на множители онлайн

Содержание

разложение по формуле маклорена

1. Разложение функции f(x)=e^x в ряд Маклорена.

f(x)=f′(x)=f″(x)=…=f⁽ⁿ⁾(x)=…=e^x.

f(0)=f′(0)=f″(0)=…=f⁽ⁿ⁾(0)=…=1.

Составим для функции f(x)=e^x формально ряд Маклорена: 1+ .

Найдём области сходимости этого ряда.

при любых x, следовательно, областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Заметим, что так как ряд сходится абсолютно, то при любых хи тем более при любых х. Так как f⁽ⁿ⁺¹⁾(x

)=e^x и f⁽ⁿ⁺¹⁾(с)=e^с, то =e^c=0.

Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞)

e^x=1+ . (32)

2. Разложение функции f(x)=sinx в ряд Маклорена.

Вычислим производные данной функции.

f′(x)=cosx=sin(x+), f″(x)=-sinx=sin(x+),

f″′(x)=-cosx=sin(x+), f⁽⁴⁾(x)=sinx=sin(x+), …, f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x+), … . Вычислим значения f(x) и производных в точке

0: f(0)=0, f′(0)=1, f″(0)=0, f″′(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0, …, f^(2n-1)(0)=(-1)ⁿ^-1,f⁽²ⁿ⁾(0)=0.

Исследуем остаточный член ряда.

|R_n(x)|= = так как |sin(c+(n+1)|≤1. Переходя к пределу при n→∞, получаем следовательно, и . Рекомендуем показать самостоятельно, что областью сходимости ряда является промежуток (-∞;+∞). Таким образом, имеет место разложение при x(-∞;+∞):

sinx=x— . (33)

3. Разложение функции y=

cosx в ряд Маклорена. Дифференцируя ряд (33), получаем разложение при x(-∞;+∞):

cosx=1- . (34)

4. Биномиальный ряд.

Разложим в ряд Маклорена функцию f(x)=(1+x)^m, где m≠0 – любое действительное число. Для этого вычислим производные: f′(x)=m(1+x)^m^—¹, f″(x)=(m-1)m(1+x)^m^-2, f″′(x)=(m-2)(m-1)m(1+x)^m^-3, …, f⁽ⁿ⁾(x)=(m—n+1)…(m-2)^.

(m-1)m(1+x)^m^—ⁿ, … При x=0 получаем f(0)=1, f′(0)=m, f″(0)=(m-1)m, f″′(0)=(m—2)(m-1)m, …, f⁽ⁿ⁾(0)=(m—n+1)…(m-2)(m-1)m, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (-1;1) (на концах интервала ряд сходится или расходится в зависимости от конкретных значений m) и что . Таким образом, при x(-1;1) имеет место разложение:

(1+x)^m=1++++

+…+ . (35)

Ряд (35) называется биномиальным рядом.

5. Разложение функции f(x)=lnx в ряд Тейлора. При x=0 функция f(x)=lnx не определена, поэтому её нельзя разложить в ряд Маклорена. Разложим её в ряд Тейлора, например, по степеням (x-1). Для этого, вычислим производные: f′(x)=x^-1, f″(x)=-1^.x^-2=-1!x^-2, f″′(x)=1^.2^.x^-3=2!x^-3, f⁽⁴⁾(x)=-1^.2^. ^.3^.x^-4=-3!x^-4, …,

f⁽ⁿ⁾(x)=(-1)ⁿ^-1. ^.(n-1)!x^—ⁿ, … .

При x=1 получаем: f(1)=0, f′(1)=1, f″(1)=-1!, f″′(1)=2!, f⁽⁴⁾(1)=-3!, …, f⁽ⁿ⁾(1)=(-1)ⁿ^-1(n-1)!, … .

Можно показать, что областью сходимости ряда является промежуток (0;2] и что . Таким образом, при x(0;2] имеет место разложение:

lnx=. (36)

Заметим, что разложение функций в ряды Тейлора или Маклорена непосредственно часто связано с громоздкими вычислениями при нахождении производных и исследовании остаточного члена. На примерах покажем некоторые приёмы, позволяющие избежать этих трудностей.

Примеры.

1. Разложить в степенной ряд функцию .

В формуле (32) сделаем замену переменной x=-t², получим

при t(-∞;+∞). Переобозначая t на x, получим нужное разложение:

при x(-∞;+∞).

2. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=.

Очевидно, f(x)=. Обозначим x²=t и воспользуемся биноминальным рядом при m

=-1.

=1-t+t²—t³+…+(-1)ⁿ^.tⁿ+… , t(-1;1). (37)

Возвращаясь к переменной x, получаем разложение при x(-1;1):

=1-x²+x⁴—x⁶+…+(-1)ⁿ^.x²ⁿ+… . (38)

3. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x)=ln(1+x).

Проинтегрируем обе части равенства (37) от 0 до x при x(-1;1). Получим

или

ln(1+x)=x . (39)

Можно показать, что ряд (39) имеет область сходимости (-1;1].

4. Разложить в степенной ряд функцию f(x)=arctgx.

Проинтегрируем обе части равенства (38) от 0 до x при x(-1;1):

или

arctgx=x . (40)

Можно показать, что ряд (40) имеет область сходимости [-1;1].

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов | Презентация к уроку (алгебра, 7 класс) по теме:

Слайд 1

Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов

Слайд 2

Вынесение общего множителя Из каждого слагаемого ,входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые. Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен. 15а 3 b+3a 2 b 3 =3a 2 b(5a+b 2 ) 2y(x-5)+x(x-5)=(x-5)(2y+x)

Слайд 3

Группировка Если члены многочлена не имеют общего множителя, то после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом. 3а 2 +3а b-7a-7b=(3a 2 +3ab)-(7a+7b)= =3a(a+b)-7(a+b)=(a+b)(3a-7)

Слайд 4

Применение формул сокращенного умножения Выражение из двух, трёх слагаемых, входящее в одну из формул сокращенного умножения заменяется произведением многочленов x 2 +6х+9=(х+3) 2 49 m 4 -25n 2 =(7m 2 -5n)(7m 2 +5n)

Слайд 5

Математическая эстафета. 1-й ряд 2-й ряд 3-й ряд Разложить на множители: 1 . 3a+12 b 1.16a 2 +8ab+b 2 1.10a+15c 2. 2 a+2 b+a 2 +a b 2.3m-3n+mn-n 2 2.4a 2 -9b 2 3. 9a 2 – 16 b 2 3.5a-25 b 3.6xy-a b-2bx-3ay 4.7a 2 b – 14a b 2 +7a b 4.4a 2 -3a b+a-aq+3bq-q 4.4a 2 +28a b+49b 2 5.m 2 +mn-m-mq-nq+q 5.9a 2 -30ab+25 b 2 5. b(a+c)+2a+2c 6.4a 2 -4a b+b 2 6.2(a 2 +3bc)+a(3b+4c) 6.5a 3 c-20acb-10ac 7.2(3a 2 +bc)+a(4b+3c) 7.144a 2 -25b 2 7.x 2 -3x-5x+15 8.25a 2 +70ab+49b 2 8.9a 3 b-18ab 2 -9a b 8.9a 2 -6ac+c 2

Слайд 6

Математическая эстафета ( ответы) 1-й ряд 2- й ряд 3-й ряд 1. 3( a+4b) 1. (4a+b) 2 1 . 5(2a+3c) 2 . (2+a)(a+b) 2 . (3+n)(m-n) 2 . (2a-3b)(2a+3b) 3 . (3a-4b)(3a+4b) 3 . 5(a-5b) 3 . (3y-b)(2x-a) 4 . 7ab(a-2b+1) 4 . (a-q)(a-3b+1) 4 . (2a+4b) 2 5 . (m-q)(m+n-1) 5 . (3a-5b) 2 5 . (a+c)(b+2) 6 . (2a-b) 2 6 . (2a+3b)(a+2c) 6 . 5ac(a 2 -4b-2) 7 . (2a+c)(3a+2b) 7 . (12a-5b)(12a+5b) 7 .( x-3)(x-5) 8 . (5a+7b) 2 8 . 9ab(a 2 -2b-1) 8 . (3a-c) 2

Слайд 7

Разложите многочлен на множители и укажите какие приёмы использовались при этом Пример 1 36а 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 Решение 36а 6 b 3 -96a 4 b 4 +64a 2 b 5 = 4a 2 b 3 (9a 4 -24a 2 b+16b 2 )= 4a 2 b 3 (3a 2 -4b) 2 вынесение общего множителя за скобки использование формул сокращённого умножения

Слайд 8

Пример 2 a 2 +2ab+b 2 -c 2 Решение a 2 +2ab+b 2 — с 2 = ( a 2 +2ab+b 2 )-c 2 = (a+b) 2 -c 2 =(a+b-c)(a+b+c) группировка; использование формул сокращенного умножения. Разложите многочлен на множители и укажите какие приёмы использовались при этом

Слайд 9

Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом Пример 3 y 3 -3y 2 +6y-8 Решение y 3 -3y 2 +6y-8=(y 3 -8)-(3y 2 -6y)= = (y-2)(y 2 +2y+4)-3y(y-2)= = (y-2)(y 2 +2y+4-3y)=(y-2)(y 2 -y+4 ) -группировка -формулы сокращенного умножения -вынесение общего множителя за скобки

Слайд 10

Порядок разложения многочлена на множители 1.Вынести общий множитель за скобку (если он есть) 2. Попрбовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения 3. Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели)

Слайд 11

Разложите многочлен на множители и укажите, какие приемы использовались при этом Пример 4 n 3 +3n 2 +2n Решение n 3 +3n 2 +2n=n(n 2 +3n+2)= =n(n 2 +2n+n+2)= =n((n 2 +2n)+(n+2))= =n(n(n+2)+n+2)= =n(n+1)(n+2) -вынесение общего множителя за скобки; -предварительное преобразование; -группировка.

Слайд 12

Предварительное преобразование Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен, не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.

Слайд 13

Применение различных приемов разложения на множители a) x 2 -15x+56=0 Решение X 2 -7x-8x+56=0 (x 2 -7x)-(8x-56)=0 x(x-7)-8(x-7)=0 (x-7)(x-8)=0 x-7=0 или x-8=0 X=7 или x=8 Ответ: 7; 8. б) x 2 +10x+21=0 Решение x 2 +10x+25- 4=0 (x+5) 2 — 4=0 (x+5-2)(x+5+2)=0 (x+3)(x+7)=0 x+3=0 или x+7=0 x=-3 или x=-7 Ответ: -3; -7 Решить уравнения — метод выделения полного квадрата.

Слайд 14

Применение различных приемов разложения на множители Доказать, что при любом натуральном значение выражения (3 n- 4) 2 – n 2 кратно 8. Решение ( 3n – 4) 2 – n 2 = =(3n – 4 – n)(3n — 4 + n) = =(2n – 4)(4n – 4)= =2(n – 2)4(n – 1)= =8(n – 2)(n – 1) В полученном произведении один множитель делится на 8, то все произведение делится на 8.

Слайд 15

Применение различных приемов разложения на множители Вычислить 38,8 2 + 83 * 15,4 – 44,2 2 Решение 38,8 2 + 83 * 15,4 – 4 4 ,2 2 = = 83 * 15,4 – (44,2 2 — 38,8 2 ) = = 83*15,4 – (44,2 — 33,8)(44,2+33,8)= = 83*15 ,4 — 5,4*83 = =83(15,4 — 5,4) = 83*10 = 830

Слайд 16

Самостоятельная работа. Вариант I Вариант II Разложить на множители используя различные способы 1 . 5a 3 -125ab 2 1. 63ab3-7a 2 b 2. a 2 -2ab+b 2 -ac+bc 2. m 2 +6mn+9n 2 -m-3n 3. (c-a)(c+a)-b(b-2a) 3. (b-c)(b+c)-a(a+2c) 4. x 2 -3x+2 4. x 2 +4x+3 5. x 4 +5x 2 +9 5. x 3 +3x 2 +4

Слайд 17

Ответы к заданиям. Вариант I Вариант II 1 . 5a(a-5b)(a+5b) 1. 7ab(9b 2 -a) 2. (a-b)(a-b-c) 2. (m+3n)(m+3n-1) 3. (c-a+b)(c+a-b) 3. (b+a+c)(b-a-c) 4. (x-2)(x-1) 4. (x+3)(x+1) 5. (x 2 +3-x)(x 2 +3+x) 5. (x 2 +2-x)(x 2 +2+x)

Слайд 18

Дополнительные задания 1. Доказать тождество ( a 2 +3a) 2 +2(a 2 +3a)=a(a+1)(a+2)(a+3) 2. Доказать, что число 370*371*372*373+1 можно представить как произведение двух натуральных чисел

Слайд 19

Домашнее задание Пункт 37 № 998 (a, в) , 1002, 1004, 1007

Слайд 20

Список литературы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. учебник Алгебра, 7 класс, М.: Просвещение, 2004., Ю.Н. Макарычев.,Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8-9 кл.-М.: Просвещение, 1997. В.И. Жохов, Л.Б. Крайнева Уроки алгебры в 7 классе. М.: Вербум-М, 2000.

Слайд 21

Информация об авторе Ратина Елена Анатольевна учитель математики МОУ ЭБЛ

3. Основы тензора — TensorLy: обучение тензорам в Python

3.1. Создание тензора

Тензор — это не что иное, как многомерный массив.

Возьмем для этого примера тензор \(\тильда X\), определяемый его фронтальными срезами:

\[ \begin{align}\begin{align}\begin{split}X_1 = \левый[ \begin{матрица} 0 и 2 и 4 и 6\\ 8 и 10 и 12 и 14\\ 16 и 18 и 20 и 22\\ \end{матрица} \right]\end{split}\\\text{and}\\\begin{split}X_2 = \левый[ \begin{матрица} 1 и 3 и 5 и 7\\ 9& 11 & 13 & 15\\ 17 и 19 и 21 и 23\\ \end{матрица} \right]\end{split}\end{align}\end{align} \]

В Python этот массив может быть выражен как массив numpy:

 >>> импортировать numpy как np
>>> импортировать тензорно как tl
>>> X = tl.tensor(np.arange(24).reshape((3, 4, 2)))

Вы можете просмотреть фронтальные срезы, зафиксировав последнюю ось:

 >>> Х[. .., 0]
массив([[ 0, 2, 4, 6],
       [8, 10, 12, 14],
       [16, 18, 20, 22]])
>>> Х[..., 1]
массив([[ 1, 3, 5, 7],
       [ 9, 11, 13, 15],
       [17, 19, 21, 23]])

3.2. Разворачивание

Также называется матризацией , развертыванием тензора выполняется путем чтения элемента заданным способом, чтобы получить матрицу вместо тензора.

Для тензора размера \((I_0, I_1, \cdots, I_N)\) n-модовое развертывание этого тензора будет иметь размер \((I_n, I_0 \times I_1 \times \cdots \times I_{ n-1} \times I_{n+1} \cdots \times I_N)\).

Important

В тензорном методе мы используем развертку, отличную от классической, как определено в [1], для лучшей производительности. 9N I_m.\end{split}\]

Предупреждение

Традиционно развертывание в режиме 1 означает развертывание по первому измерению. Однако, чтобы соответствовать индексации Python, которая всегда начинается с нуля, в тензоре развертывание также начинается с нуля!

Следовательно, unfold(tensor, 0) развернет указанный тензор по его первому измерению!

Например, при использовании ранее определенной \(\tilde X\) 0-режим развертывания \(\tilde X\):

\[\begin{split}\тильда X_{[0]} = \left[ \begin{матрица} 0 и 1 и 2 и 3 и 4 и 5 и 6 и 7\\ 8 и 9и 10 и 11 и 12 и 13 и 14 и 15\\ 16 и 17 и 18 и 19 и 20 и 21 и 22 и 23\\ \end{matrix} \right]\end{split}\]

Развертка 1-го режима задается:

\[\begin{split}\тильда X_{[1]} = \left[ \begin{матрица} 0 и 1 и 8 и 9 и 16 и 17\\ 2 и 3 и 10 и 11 и 18 и 19\\ 4 и 5 и 12 и 13 и 20 и 21\\ 6 и 7 и 14 и 15 и 22 и 23\\ \end{matrix} \right]\end{split}\]

Наконец, 2-режимная развертка — это развертка по последней оси:

\[\begin{split}\тильда X_{[2]} = \left[ \begin{матрица} 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22\\ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23\\ \end{matrix} \right]\end{split}\]

Тензорно:

 >>> из тензорного импорта развернуть
>>> unfold(X, 0) # mode-1 развертывание
массив([[ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7],
       [ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15],
       [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23]])
>>> unfold(X, 1) # mode-2 развертывание
массив([[ 0, 1, 8, 9, 16, 17],
       [2, 3, 10, 11, 18, 19],
       [4, 5, 12, 13, 20, 21],
       [ 6, 7, 14, 15, 22, 23]])
>>> unfold(X, 2) # mode-3 развертывание
массив([[ 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22],
       [ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23]])

3.

3. Складной

Вы можете свернуть развернутый тензор обратно из матрицы в полный тензор, используя функция tensorly.base.fold .

 >>> из тензорно-импортной складки
>>> развертывание = развертывание (X, 1)
>>> original_shape = X.shape
>>> fold(развертывание, 1, original_shape)
массив([[[ 0, 1],
     [ 2, 3],
     [4, 5],
     [6, 7]],
    [[ 8, 9],
     [10, 11],
     [12, 13],
     [14, 15]],
    [[16, 17],
     [18, 19],
     [20, 21],
     [22, 23]]])

3.4. Ссылки

[1]

Т. Г. Колда и Б. В. Бадер, «Тензорные разложения и приложения», СИАМ ОБЗОР, том. 51, н. 3, стр. 455-500, 2009 г..

Развернуть полупостоянную татуировку. Длится 1-2 недели. Безболезненно и легко наносится. Органические чернила. Просмотрите больше или создайте свой собственный. | Чернильный ящик™

Магазин Похожие

€15 EUR

Красиво сидящая, несмотря на то, что у нее кружится голова, эта милая женщина была создана Алиной Рудой (rudaalina), художником-татуировщиком-самоучкой и иллюстратором из Берлина.

Размер холста для татуировки

3 х 3 дюйма

Количество

123456789101112131415161718192021222324252627282930

Покупайте больше, экономьте больше | СКИДКА до 40% на татуировки + полоски для ногтей

Не включает XL, распродажные и премиальные татуировки, наборы, маркеры и аксессуары. Подробнее см. в Справочном центре.

Мы предлагаем международную доставку из нашей штаб-квартиры в Торонто, Канада. Обработка вашего заказа занимает 1-4 рабочих дня. Как только ваш заказ будет отправлен, вы получите электронное письмо с подтверждением доставки, содержащее ваш номер для отслеживания. Посетите нашу страницу доставки, чтобы узнать актуальные сроки доставки.

Получили Inkbox и передумали? Вы можете вернуть неиспользованные товары в течение 30 дней с момента покупки, за некоторыми исключениями. Чтобы узнать больше о нашей политике возврата, посетите нашу страницу возврата или отправьте нам электронное письмо по адресу [email protected].

ОСТАВАЙТЕСЬ УВЛАЖНЕННЫМ

Ежедневное увлажнение сохранит вашу кожу увлажненной и здоровой, а ваш Inkbox дольше будет выглядеть свежим. Тем не менее, вы должны подождать не менее 8 часов после нанесения татуировки, чтобы увлажнить кожу.

ИЗБЕГАЙТЕ ОТШЕЛУШИВАНИЯ

Чтобы ваши чернила For Now Ink™ выглядели свежими, избегайте всего, что отшелушивает кожу. Поскольку Inkbox находится в верхнем слое вашей кожи, чем быстрее он отшелушивается, тем быстрее исчезнет ваша татуировка.

Пожалуйста, не переставайте принимать душ от нашего имени, только будьте осторожны, чтобы не стереть татуировку, намыливая ее. Вытирая полотенцем, обязательно промокните татуировку насухо, а не трите ее.

ДЛЯ СНА

В первую ночь, когда вы спите, убедитесь, что вы носите свободную одежду с длинными рукавами или одежду, закрывающую вашу татуировку, чтобы избежать переноса чернил на другую часть тела. Поверьте, вы удивитесь, когда проснетесь с двумя татуировками!

Цвет:
Хотя наши чернила подходят для всех оттенков кожи, конечный цвет будет различаться от человека к человеку, потому что наши чернила по-разному взаимодействуют с химическим составом вашей кожи.
Это означает, что конечный результат может быть от сине-зеленого до темно-сине-черного, а это означает, что цвет вашей татуировки полностью уникален для вас!
Исчезновение:
Наши чернила исчезнут, когда ваша кожа регенерирует естественным образом! Вот некоторые факторы, которые определяют, как долго продержится ваша татуировка:
Повседневная деятельность
Избегайте чрезмерного тепла, воды или трения, вызванных отшелушиванием.