0 5 в степени х больше или равно 4: СРОЧНОООО РЕШИТЕ 0,5 в степени (x^2-2) больше или равно 1/4

Содержание

Урок 21. показательная функция — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— какая функция называется показательной;

— какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

— какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

— примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Глоссарий по теме

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем больше значение функции).

Функция называется монотонно убывающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

http://fcior.edu.ru/ — Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Определение:

Функция вида y=ах, a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени

ах можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень ах для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

Множество значений показательной функции Е(y)=R+, или Е(y)=(0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

4. Монотонность.

При a>1 функция монотонно возрастает.

При 0<a<1 функция монотонно убывает.

5. При любом значении а значение функции y (0) = а0 =1.

6. График функции.

При a>1

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0<a<1

Рисунок 2 – График показательной функции при 0<a<1

Независимо от значения основания а график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0. Для 0<a<1 при х стремящемся к плюс бесконечности, для a>1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3х+1.

Решение:

1) Область определения функции любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3х>0, то –3х<0, значит,

–3х+1<1, то есть множество значений функции y=–3х+1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3х монотонно возрастает, то функция y=–3х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3х+1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3х+1=0, 3х=1, х=0.

5) График функции

Рисунок 3 – График функции y=–3х+1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N0·akt, N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P0·a-kh, P– давление на высоте h, P0 – давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D0·akt, D– изменение количества древесины во времени, D0 – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T0+(100– T0)e-kt.

5) Закон поглощения света средой: I=I0·e-ks, s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Если предположить, что поток информации изменялся по тому же закону до того года, который принят за начальный, то будем двигаться по оси абсцисс влево от начала координат и над значениями аргумента -10, -20 и т.д. будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — уменьшая каждый раз вдвое.

Рисунок 4 – График функции y=2х – изменение количества информации

Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

  1. y=3x-1
  2. y=(0,4)x+1
  3. y=(0,7)
  4. y=
  5. y=3-2х
  6. y=102x +1

Решение:

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Пример 2.

Найдите множество значений функции y=3x+1– 3.

Решение:

Рассмотрим функцию.

Так как 3x+1>0, то 3x+1– 3>–3, то есть множество значений:

(– 3; +∞).

Пример 3.

Найдите множество значений функции y=|2

x– 2|

Рассмотрим функцию.

2x–2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2x– 2|0.

Как найти область определения функции

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти область определения функции не очень сложно. Ненамного сложнее, чем Московскую область на карте.

Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых, решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно.

Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем уравнения и неравенства с одной переменной. А в конце урока обобщим понятие на уровне теории. Пока же — краткое определение.

Область определения функции y=f(x) — это множество значений X, для которых существуют значения Y.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Приступаем к практике. На рисунке изображён график функции . Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель нулю, получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции — это все значения «икса» от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения всех распространённых видов функций.

Пример 0. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Нужно всего лишь решить неравенство

x — 5 ≥ 0,

так как для того, чтобы мы получили действительное значение игрека, подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Получаем решение: область определения функции — все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху — фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в «плюсовом» направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[.

Пример 1. Найти область определения функции y = 2.

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x, следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

В случае, когда функция задана формулой и n — натуральное число:

Пример 2. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть, если — 1 ≤ x ≤ 1. Следовательно, область определения данной функции — [- 1; 1].

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху — это область определения данной функции.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a — положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[;

если a — отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[, то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы — так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции — вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если — положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[;

если — отрицательное, то областью определения функции является множество ]0; + ∞[.

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции — степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции — множество [0; + ∞[.

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Дробный показатель степени данной степенной функции — отрицательный. Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля::

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях «икса» не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции — вся числовая ось, или, что то же самое — множество R действительных чисел, или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Область определения функции y = cos(x) — так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) — множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция — десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь — синус «икса». Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при «иксе» равным нулю, «пи», два, умноженном на «пи» и вообще равным произведению числа «пи» и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k — целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) — множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) — так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) — множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) — так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции — отрезок [0; 1].

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции — множество ]- ∞; — 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого — данной функции — множество R действительных чисел, второго слагаемого — все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции — все x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции — вся числовая прямая или, что то же самое — множество R действительных чисел или, что то же самое — ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо «икса», знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции — ]- ∞; — 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение


Если функция задана формулой вида y = kx + b, то область определения функции — множество R действительных чисел.

А теперь обобщим решения рассмотренных примеров. Каждой точке графика функции соответствуют:

  • определённое значение «икса» — аргумента функции;
  • определённое значение «игрека» — самой функции.
Верны следующие факты.
  • От аргумента — «икса» — вычисляется «игрек» — значения функции.
  • Область определения функции — это множества всех значений «икса», для которых существует, то есть может быть вычислен «игрек» — значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором «функция работает».

Весь раздел «Исследование функций»

Функция СТЕПЕНЬ — Служба поддержки Office

Предположим, что вам нужно вычислить очень маленький допуск для детали механизма или огромное расстояние между двумя галактиками. Для возведения числа в степень используйте функцию СТЕПЕНЬ.

Описание

Возвращает результат возведения числа в степень.

Синтаксис

СТЕПЕНЬ(число;степень)

Аргументы функции СТЕПЕНЬ описаны ниже.

  • Число    — обязательный аргумент. Базовое число. Это может быть любое настоящее число.

  • Степень    Обязательный. 2.

    Пример

    Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel. Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

    Формула

    Описание

    Результат

    =СТЕПЕНЬ(5;2)

    Число 5 в квадрате.

    25

    =СТЕПЕНЬ(98,6;3,2)

    Число 98,6, возведенное в степень 3,2.

    2401077,222

    =СТЕПЕНЬ(4;5/4)

    Число 4, возведенное в степень 5/4.

    5,656854249

    Почему число в степени 0 равно 1?

    Существует правило, что любое число, кроме нуля, возведенное в нулевую степень, будет равно единице:
    20 = 1;      1.50 = 1;      100000 = 1

    Однако почему это так?

    Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:

    43 = 4 × 4 × 4;      26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

    Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель (если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени:

    181 = 18;      (–3. 4)1 = –3.4

    Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается?

    Попробуем пойти иным путем. Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом (если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого (если степени делятся):

    32 × 31 = 32+1 = 33 = 3 × 3 × 3 = 27
    45 ÷ 43 = 45–3 = 42 = 4 × 4 = 16

    А теперь рассмотрим такой пример:

    82 ÷ 82 = 82–2 = 80 = ?

    Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования:

    82 ÷ 82 = 64 ÷ 64 = 1

    Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя.

    И отсюда становится понятно, почему выражение 00 не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0.

    Можно рассуждать по-другому. Если имеется, например, умножение степеней 52 × 50 = 52+0 = 52, то отсюда следует, что 52 было умножено на 1. Следовательно, 50 = 1.

    Общие сведения о неравенствах

    Данный материал может показаться сложным для понимания. Рекомендуется изучать его маленькими частями.

    Предварительные навыки

    Определения и свойства

    Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

    Пример: 5 > 3

    Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

    Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

    Если 5 > 3, то 3 < 5. То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

    Если в неравенстве 5 > 3, не трогая левую и правую часть, поменять знак на <, то получится неравенство 5 < 3. Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

    Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

    Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3.
    В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

    Свойство 1.

    Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

    Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

    Например, перенесём в неравенстве 5 > 3, член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

    0 > 3 − 5

    0 > −2

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.


    Свойство 2.

    Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

    Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

    Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

    Свойство 3.

    Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.

    Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2. Тогда получим:

    Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

    Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

    Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

    Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

    Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3, нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3». Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

    Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

    Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

    Число a больше числа b, если разность a − b положительна. Число a меньше числа b, если разность a − b отрицательна.

    Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

    Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4. Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

    Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4. Составим разность, получим 3 − 4 = −1. Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

    Проверим верно ли неравенство 5 > 8. Составим разность, получим 5 − 8 = −3. Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 8. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.


    Строгие и нестрогие неравенства

    Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими. А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤  называют нестрогими.

    Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3, 7 < 9.

    Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5. Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5».

    Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

    2 < 5 или 2 = 5

    Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять».

    Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5». Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

    Пример 2. Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

    Пример 3. Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2.


    Двойное неравенство

    Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4. В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4. Такое неравенство называют двойным.

    Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7, то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

    Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

    Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

    Сначала записываем 6

    Слева записываем, что это число больше, чем число 4

    Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9


    Неравенство с переменной

    Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

    Например, неравенство x > 2 содержит переменную x. Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

    Решить неравенство означает найти такие значения переменной x, при которых данное неравенство становится верным.

    Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства.

    Неравенство > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

    Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

    3 > 2

    4 > 2

    5 > 2

    Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2, будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

    В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2. Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2).

    Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″. То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

    Если бы нам было дано нестрогое неравенство ≥ 2, то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2. Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2, поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.


    Как решать неравенства

    Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

    Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

    Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a, где a значение переменной x. В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

    А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

    Пример 1. Решить неравенство 2> 6

    Итак, нужно найти такие значения x, при подстановке которых в 2> 6 получится верное неравенство.

    Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

    В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2> 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2> 6. 

    Итак, разделим обе части неравенства на 2.

    В левой части осталась переменная x, а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

    Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство > 3 будет верным.

    4 > 3

    5 > 3

    6 > 3

    7 > 3

    Отметим, что неравенство > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

    А поскольку неравенство > 3 равносильно исходному неравенству 2> 6, то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству > 3, будут подходить и неравенству 2> 6. Покажем это.

    Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство > 3, а потом в исходное 2> 6.

    Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

    После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

    В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x, принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

    Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства > 3. Знак  в математике означает бесконечность.

    Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.


    Числовые промежутки

    Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

    Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

    Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

    Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

    Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков.

    Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить.

    На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

    Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

    В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

    На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

    Если границы не принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются круглыми скобками.

    Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками.

    На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

    На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок, поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

    На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок, поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

    С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ ≤ 8 записывается так:

    x ∈ [ 2 ; 8 ]

    То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

    Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8, а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

    Множество решений неравенства 2 ≤ ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

    Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

    В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми.

    Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой. Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

    А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

    Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

    Числовой луч

    Числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≥ a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

    Пусть = 3. Тогда неравенство x ≥ a примет вид ≥ 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

    Изобразим числовой луч, заданный неравенством ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

    Здесь точка 3 соответствует границе неравенства ≥ 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≥ 3.

    Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

    На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a, обозначается следующим образом:

    [ ; +∞ )

    Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

    Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом.

    Запишем ответ к неравенству ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

    x ∈  [ 3 ; +∞ )

    В этом выражении говорится, что переменная x, входящая в неравенство ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

    Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства ≥ 3. Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≥ 3 является нестрогим.

    Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a. Решениями неравенства x ≤ a являются все числа, которые меньше a, включая само число a. 

    К примеру, если = 2, то неравенство примет вид ≤ 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

    Здесь точка 2 соответствует границе неравенства ≤ 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства ≤ 2.

    Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

    Запишем ответ к неравенству ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

    x ∈  ( −∞ ; 2 ]

    В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ 2 является нестрогим.

    Открытый числовой луч

    Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

    Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

    Пусть = 3. Тогда неравенство примет вид > 3. Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

    На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

    Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x > 3. Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

    На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x > a, обозначается следующим образом:

    ( ; +∞ )

    Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

    Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

    x ∈  ( 3 ; +∞ )

    В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3. Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

    Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a, где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a, исключая число a. 

    К примеру, если = 2, то неравенство примет вид x < 2. На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

    Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства x < 2.  Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

    На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a, обозначается следующим образом:

    ( −∞ ; a )

    Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

    x ∈  ( −∞ ; 2 )

    В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.

    Отрезок

    Отрезком называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a ≤ x ≤ b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

    Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ ≤ 8. Решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ ≤ 8 является нестрогим.

    Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

    На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

    [ a ; b ]

    Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ ≤ 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  [ 2 ; 8 ]

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ ≤ 8.

    Интервал

    Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

    Пусть a = 2, b = 8. Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

    Изобразим интервал на координатной прямой:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < < 8. Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < < 8 не принадлежат множеству его решений.

    На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

    ( a ; b )

    Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < < 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  ( 2 ; 8 )

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < < 8.

    Полуинтервал

    Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b, где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

    Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b.

    Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

    В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

    А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

    Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

    Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x < 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

    Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

    А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

    На письме полуинтервал, заданный неравенством a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

    a ; b )

    Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  [ 2 ; 8 )

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8.

    Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b. Пусть = 2, = 8. Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < ≤ 8. Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

    Изобразим полуинтервал 2 < ≤ 8 на координатной прямой:

    Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < ≤ 8, а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, которые являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.

    Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

    А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

    На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: ( a ; b ]. Запишем ответ к неравенству 2 < ≤ 8 с помощью этого обозначения:

    x ∈  ( 2 ; 8 ]

    В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < ≤ 8.


    Изображение числовых промежутков на координатной прямой

    Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

    Пример 1. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством > 5

    Вспоминаем, что неравенством вида a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:


    Пример 2. Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

    Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

    Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

    Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:


    Пример 3. Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

    Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:


    Пример 4. Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

    Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

    Неравенством вида a < x < b, задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5, а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5, но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:


    Пример 5. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2] и [2; 5]

    В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка.

    Квадратными скобками с обеих сторон обозначаются отрезки. Границы отрезка принадлежат ему, поэтому границы отрезков [-1; 2] и [2; 5] будут изображаться на координатной прямой в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.

    Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2] и [2; 5], первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:


    Пример 6. Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

    Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

    В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

    А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде пустого кружка. Правая же граница будет изображаться в виде закрашенного кружка.

    Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:


    Примеры решения неравенств

    Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b), будем называть линейным неравенством с одной переменной.

    В линейном неравенстве ax > b, x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

    Например, неравенство 2> 4 является неравенством вида ax > b. В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

    Неравенство 2> 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство > 2

    Получившееся неравенство > 2 также является неравенством вида ax > b, то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

    Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

    Пример 1. Решить неравенство − 7 < 0

    Прибавим к обеим частям неравенства число 7

    − 7 + 7 < 0 + 7

    В левой части останется x, а правая часть станет равна 7

    < 7

    Путём элементарных преобразований мы привели неравенство − 7 < 0 к равносильному неравенству < 7. Решениями неравенства < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

    Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a), его можно считать уже решённым. Наше неравенство − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду < 7. Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

    Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как ( −∞ ; a)

    x ∈  ( −∞ ; 7 )

    На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

    Для проверки возьмём любое число из промежутка ( −∞ ; 7 ) и подставим его в неравенство < 7 вместо переменной x. Возьмём, например, число 2

    2 < 7

    Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

    4 < 7

    Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

    А поскольку неравенство < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0, то решения неравенства < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0. Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

    2 − 7 < 0

    −5 < 0 — Верное неравенство

    4 − 7 < 0

    −3 < 0 Верное неравенство


    Пример 2. Решить неравенство −4x < −16

    Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

    Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству > 4. Решениями неравенства > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

    Изобразим множество решений неравенства > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 3. Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

    Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

    3− 6y> 1 − 1

    Приведём подобные слагаемые:

    −3y > 0

    Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

    Решениями неравенства < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 4. Решить неравенство 5(− 1) + 7 ≤ 1 − 3(+ 2)

    Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

    Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

    Приведем подобные слагаемые:

    Разделим обе части получившегося неравенства на 8

    Решениями неравенства  являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

     


    Пример 5. Решить неравенство 

    Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

    Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

    После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6> 1. Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

    Решениями неравенства  являются все числа, которые больше . Граница  не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство  является строгим.

    Изобразим множество решений неравенства  на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 6. Решить неравенство 

    Умножим обе части на 6

    После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5< 30. Разделим обе части этого неравенства на 5

    Решениями неравенства < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является < 6 строгим.

    Изобразим множество решений неравенства < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 7. Решить неравенство 

    Умножим обе части неравенства на 10

    В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

    Перенесем члены без x в правую часть

    Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

    Разделим обе части получившегося неравенства на 10

    Решениями неравенства ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является ≤ 3,5 нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 8. Решить неравенство 4 < 4< 20

    Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

    Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4< 20

    Решениями неравенства 1 < < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < < 5 является строгим.

    Изобразим множество решений неравенства 1 < < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 9. Решить неравенство −1 ≤ −2≤ 0

    Разделим все члены неравенства на −2

    Получили неравенство 0,5 ≥ ≥ 0. Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

    0 ≤ ≤ 0,5

    Решениями неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ ≤ 0,5 является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 10. Решить неравенство 

    Умножим обе неравенства на 12

    Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

    Разделим обе части получившегося неравенства на 2

    Решениями неравенства ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство ≤ −0,5 является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Пример 11. Решить неравенство 

    Умножим все части неравенства на 3

    Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

    Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

    Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

    Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:


    Когда решений нет

    Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6> 2(3+ 1). В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

    Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6> 6+ 2. Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6− 6> 2. Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2, которое не является верным.

    Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

    Получили неравенство 0> 2. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0> 2 не имеет решений.

    А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0> 2, то не имеет решений и исходное неравенство 6> 2(3+ 1).


    Пример 2. Решить неравенство 

    Умножим обе части неравенства на 3

    В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

    Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0< −8 не имеет решений.

    А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0< −8, то не имеет решений и исходное неравенство .

    Ответ: решений нет.


    Когда решений бесконечно много

    Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x.

    Пример 1. Решить неравенство 5(3− 9) < 15x

    Раскроем скобки в правой части неравенства:

    Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

    Приведем подобные слагаемые в левой части:

    Получили неравенство 0x < 45. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

    А если приведённое равносильное неравенство 0x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3− 9) < 15x имеет те же решения.

    Ответ можно записать в виде числового промежутка:

    x ∈ ( −∞; +∞ )

    В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3− 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.


    Пример 2. Решить неравенство: 31(2+ 1) − 12> 50x

    Раскроем скобки в левой части неравенства:

    Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

    Приведём подобные слагаемые:

    Получили неравенство 0x > −31. В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x. А ноль больше, чем −31. Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

    А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2+ 1) − 12> 50x имеет те же решения.

    Запишем ответ в виде числового промежутка:

    x ∈ ( −∞; +∞ )


    Задания для самостоятельного решения

    Задание 1. Решите неравенство:

    Задание 2. Решите неравенство:

    Задание 3. Решите неравенство:

    Задание 4. Решите неравенство:

    Задание 5. Решите неравенство:

    Задание 6. Решите неравенство:

    Задание 7. Решите неравенство:

    Задание 8. Решите неравенство:

    Задание 9. Решите неравенство:

    Задание 10. Решите неравенство:

    Задание 11. Решите неравенство:

    Задание 12. Решите неравенство:


    Понравился урок?
    Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

    Возникло желание поддержать проект?
    Используй кнопку ниже

    Навигация по записям

    11.3.1. Показательная функция, ее свойства и график.

    Автор Татьяна Андрющенко На чтение 5 мин. Просмотров 6.7k. Опубликовано




    data-ad-client=»ca-pub-8602906481123293″
    data-ad-slot=»8834522701″
    data-ad-format=»auto»>
    • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
    • Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
    • Область значений показательной функции: E (y)=R+ — множество всех положительных чисел.
    • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.
    • Показательная функция y=ax убывает при 0<a<1.

    Справедливы все свойства степенной функции:

    • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
    •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.
    •  ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
    •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
    • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
    •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
    • (a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
    •   а=1/ax
    •  (a/b)-x=(b/a)x.

    Примеры.

    1) Построить график функции y=2xНайдем значения функции

    при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

    x=0, y=20=1;                   Точка А.

    x=1, y=21=2;                   Точка В.

    x=2, y=22=4;                   Точка С.

    x=3, y=23=8;                   Точка D.              

    x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

    x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

    x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

    Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

    2) Построить график функции y=(1/2)x. Найдем значения функции

    при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

    x=0, y=(½)0=1;                  Точка A.

    x=1, y=(½)1=½=0,5;          Точка B.

    x=2, y=(½)2=¼=0,25;        Точка C.

    x=3, y=(½)3=1/8=0,125;    Точка D.

    x=-1, y=(½)-1=21=2;          Точка K.

    x=-2, y=(½)-2=22=4;          Точка M.

    x=-3, y=(½)-3=23=8;          Точка N.

     

    Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(1/2)убывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции  0<(1/2)<1.

    3) В одной координатной плоскости построить графики функций: 

    y=2x, y=3x, y=5x, y=10x. Сделать выводы.

    График функции у=2х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

    Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля  (E (y)=R+).

    Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a>1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

    Все  данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

     

    4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

    y=(1/2)x, y=(1/3)x, y=(1/5)x, y=(1/10)x. Сделать выводы.

    Смотрите построение графика функции y=(1/2)x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

    Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R+.

    Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю.

    Чем меньше основание а (при 0<a<1) показательной функции у=ах, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

    Все  эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

    Решить графически уравнения:

    1) 3x=4-x.

    В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3х и у=4-х.

     

    Графики пересеклись в точке А(1; 3).

     

    Ответ: 1.

     

     

     

     

    2) 0,5х=х+3.

     

    В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5х

    (y=(1/2)x )

     и у=х+3.

    Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

    Ответ: -1.

     

     

    Найти область значений функции: 1) y=-2x; 2) y=(1/3)x+1; 3) y=3x+1-5.

    Решение.

     1) y=-2

    Область значений показательной функции y=2x – все положительные числа, т.е.

    0<2x<+∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

    — ∞<-2x<0.

    Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

     2) y=(1/3)x+1;

    0<(1/3)x<+∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

    0+1<(1/3)x+1<+∞+1;

    1<(1/3)x+1<+∞.

    Ответ: Е(у)=(1; +∞).

     3) y=3x+1-5.

    Запишем функцию в виде: у=3х∙3-5.

    0<3x<+∞;   умножаем все части двойного неравенства на 3:

    0∙3<3x3<(+∞)∙3;

    0<3x∙3<+∞;  из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

    0-5<3x∙3-5<+∞-5;

    — 5<3x∙3-5<+∞.

    Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

    Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!

    Как найти область определения функции?

    Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями.

    Что значит найти область определения

    После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

    Ограничение области определения

    Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

    Определение 1
    • при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
    • при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
    • при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
    • при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
    • при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
    • при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.

    При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

    Правила нахождения области определения

    Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

    Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

    На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

    При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

    Область определения суммы, разности и произведения функций

    Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

    Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn. Данное утверждение можно записать как:

    D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

    Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

    Пример 1

    Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.

    Решение

    Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.

    По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.

    Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.

    Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.

    Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

    Определение 2

    Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn, тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

    Запишется D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

    Пример 2

    Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.

    Решение

    Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1является постоянной функцией, f2является арктангенсом, f3– логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и  D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что

    D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)

    Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.

    Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

    Функция y=C·f(x)– произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x)является -∞, +∞D(f)=D(f).

    Получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x — [0, +∞).

    Области определения y=f(x) и y=−f(x)совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

    Пример 3

    Найти область определения  функции y=log3x−3·2x.

    Решение

    Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2.

    f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).

    Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).

    Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2x получим, что

    D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞

    Ответ: (0, +∞).

    Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

    Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

    Пример 4

    Найти область определения f1(x)=x5+7×3-2×2+12.

    Решение

    Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7×3-2×2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше  было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).

    Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).

    Ответ: (0, +∞).

    Область определения сложной функции

    Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f)является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

    Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

    x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

    Рассмотрим решение нескольких примеров.

    Пример 5

    Найти область определения y=ln x2.

    Решение

    Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.

    Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).

    Тогда получим систему неравенств вида

    x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)

    Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

    Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).

    Пример 6

    Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.

    Решение

    Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1].  Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида

    x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0

    Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].

    Преобразуем систему вида

    x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]

    Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].

    Ответ: (0, 1].

    Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

    Пример 7

    Найти область определения y=sin(lg x4).

    Решение

    Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3– логарифмическая функция.

    Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения  функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что

    x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞

    Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит

    x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)

    Ответ: [1, +∞).

    При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

    Область определения дроби

    Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

    Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

    Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

    Нужна помощь преподавателя?

    Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

    Описать задание Пример 8

    Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.

    Решение

    Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

    x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0

    Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3–это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4– это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:

    x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z

    Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что

    x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3

    Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.

    Область определения логарифма с переменной в основании

    Определение 3

    Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:

    x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

    А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

    y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

    Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

    x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

    Пример 9

    Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).

    Решение

    Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где  выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида

    x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)

    Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

    Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

    Область определения показательно-степенной функции

    Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

    Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

    Пример 10

    Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.

    Решение

    Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.

    Функция f1определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения  D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида

    x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)

    Значит, область определения для функции  f2имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

    Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)

    Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)

    В общем случае

    Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

    Таблицы основных результатов

    Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

    Функция Ее область определения

    Сумма, разность, произведение функций

    f1, f2,…, fn

    Пересечение множеств

    D(f1), D(f2), …, D(fn)

    Сложная функция

    y=f1(f2(f3(…fn(x))))

     

     

     

    В частности, 

    y=f1(f2(x))

    Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям

    x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),… ,f2(f3(…fn(x)))∈D(f1)

     

    x∈D(f2),f2(x)∈D(f1)

    Расположим функции и их области определения.

    Функция Ее область определения

    Прямая пропорциональность y=k·x

    R
    Линейная y=k·x+b R

    Обратная пропорциональность  y=kx

    -∞, 0∪0, +∞
    Квадратичная y=a·x2+b·x+c R
    y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 R
    Целая рациональная R
    y=C·f(x), где C — число D(f)

    Дробная y=f1(x)f2(x)

     

     

    В частности, если f1(x), f2(x) — многочлены

    Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям
    x∈D(f1), x∈D(f2), f2(x)≠0

     

    f2(x)≠0

    y=f(x)n, где n — четное x∈D(f1), f(x)≥0

    y=logf2(x)f1(x)

     

     

    В частности, y=logaf1(x)

     

    В частности, y=logf2(x)a

    x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1

     

    x∈D(f1), f1(x)>0

     

    x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1

    Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x) x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0

    Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

    Решайте неравенства и системы с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»

    Неравенства

    Раздел неравенств QuickMath позволяет решить практически любое неравенство или систему неравенств в одной переменной. В большинстве случаев можно найти точные решения. Даже когда это невозможно, QuickMath может дать вам приблизительные решения практически с любым требуемым уровнем точности. Кроме того, вы можете построить регионы, удовлетворяющие одному или нескольким неравенствам по двум переменным, четко видя, где происходят пересечения этих регионов.

    Что такое неравенство?
    Неравенства состоят из двух или более алгебраических выражений, соединенных символами неравенства. Символы неравенства:
    < менее
    > больше
    <= меньше или равно
    > = больше или равно
    ! = Или <> не равно

    Вот несколько примеров неравенства:

    2 х — 9> 0

    x 2 — 3 x + 5 <= 0

    | 5x — 1 | <> 5

    х 3 + 1 <= 0

    Решить

    Команду Решить можно использовать для решения одного неравенства для одного неизвестно на основной странице решения или для одновременного решения системы многих неравенств в одном неизвестном на странице расширенного решения.2–5 <0

    Другими словами, QuickMath попытается найти решения, удовлетворяющие сразу обоим неравенствам.

    Перейти на страницу решения

    Участок

    Команда Plot из раздела Graphs построит график любого неравенства, связанного с две переменные. Чтобы построить область, удовлетворяющую единственному неравенству с участием x и y, перейдите к основному страница построения неравенства, где вы можете ввести неравенство и указать верхний и нижний пределы x и y, по которым вы хотите построить график для.Продвинутый Страница построения неравенства позволяет построить объединение или пересечение до 8 регионов на одном графике. Вы можете контролировать такие вещи, как или не показывать оси, где оси должны быть расположены и какой аспект соотношение сюжета должно быть. Кроме того, у вас есть возможность показать каждый отдельный регион самостоятельно.

    Уравнение говорит, что два выражения равны, а неравенство говорит что одно выражение больше, больше или равно, меньше или меньше или равно другому.Как и в случае с уравнениями, значение переменной для что неравенство истинно, является решением неравенства, а множество всех такое решение является множеством решений неравенства. Два неравенства с одинаковое множество решений являются эквивалентными неравенствами. Неравенства решаются с помощью следующие свойства неравенства.

    СВОЙСТВА НЕРАВЕНСТВА

    Для действительных чисел a, b и c:

    (a)

    (Одно и то же число может быть добавлено к обеим сторонам неравенства без изменения набор решений.)


    (б)

    (Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число без изменения набора раствора.)


    (в)


    (Обе части неравенства можно умножить на одно и то же отрицательное число без изменения множества решений, пока направление неравенства символ перевернут.)
    Замена <на> приводит к эквивалентным свойствам.

    ПРИМЕЧАНИЕ Поскольку деление определяется в терминах умножения, слово «умноженный» может быть заменен на «разделенный» на части (b) и (c) свойств неравенства.

    Обратите особое внимание на часть (c): если обе стороны неравенства умноженное на отрицательное число, направление символа неравенства должно быть наоборот. Например, начиная с истинного утверждения — 3 <5 и умножая обе стороны на положительное число 2 дают


    по-прежнему верное заявление. С другой стороны, начиная с — 3 <5 и умножение обеих сторон на отрицательное число -2 дает истинный результат только в том случае, если направление символа неравенства меняется на обратное.


    Аналогичная ситуация возникает при делении обеих сторон на отрицательное число. В Резюмируя, можно сделать следующее заявление.

    При умножении или делении обеих частей неравенства на минус числа, мы должны изменить направление символа неравенства, чтобы получить эквивалентное неравенство.

    ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Линейное неравенство определяется аналогично линейное уравнение.

    Линейное неравенство по одной переменной — это неравенство, которое можно записать в виде форма


    , где a <> 0.

    Пример 1
    Решите неравенство -3x + 5> -7.
    Воспользуйтесь свойствами неравенства. Сложение — 5 с обеих сторон дает

    Теперь умножьте обе стороны на -1/3. (Мы также можем разделить на -3.) Поскольку -1/3 < 0, поменяйте направление символа неравенства на противоположное.

    Исходному неравенству удовлетворяет любое действительное число меньше 4. множество решений можно записать как {x | x <4}. График множества решений показан на Фигура 2.6, где скобки используются, чтобы показать, что 4 само по себе не принадлежит к набору решений.


    Набор {x | x <4}, набор решений неравенства в Примере 1, является примером интервала. Упрощенное обозначение, называемое интервальным обозначением, используется для интервалы записи. В этих обозначениях интервал в примере 1 можно записать как (-oo, 4). Символ -oo не является действительным числом; он используется, чтобы показать, что интервал включает все действительные числа меньше 4. Интервал (-oo, 4) является примером открытый интервал, поскольку конечная точка 4 не является частью интервала.Примеры другие наборы, записанные в обозначении интервалов, показаны ниже. Квадратная скобка - это используется, чтобы показать, что число является частью графика, а круглые скобки используются для указывают, что число не является частью графика. Когда два действительных числа a и b используются для записи интервала в следующей диаграмме, предполагается, что a <б.



    Пример 2
    Решите 4 — 3y <7 + 2y. Запишите решение в интервальной записи и на графике решение на числовой прямой.Напишите следующую серию эквивалентных неравенства.


    В нотации создателя множеств набор решений равен {y | y> = 3/5}, а в интервале обозначение множество решений (-3/5, oo). График набора решений см. На рис. 2.7.

    Отныне решения всех неравенств будут записываться с интервалом обозначение.


    ТРЕХЧАСТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА Неравенство -2 <5 + 3m <20 в следующем пример говорит, что 5 + 3м составляет от -2 до 20.Это неравенство решаемо используя расширение приведенных выше свойств неравенства, работая со всеми три выражения одновременно.

    Решить -2 <5 + 3m <20.
    Запишите эквивалентные неравенства следующим образом.

    Решение показано на Рисунке 2.8


    КВАДРАТИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА Решение квадратичных неравенств зависит от решение квадратных уравнений.

    Квадратичное неравенство — это неравенство, которое можно записать в виде

    Мы обсудим квадратичные неравенства в следующем разделе.

    Перейти на страницу графика неравенств

    экспонентов

    Показатель степени числа говорит , сколько раз по использовать число при умножении.

    В 8 2 «2» означает использование 8 дважды при умножении,
    , поэтому 8 2 = 8 × 8 = 64

    Словами: 8 2 можно было бы назвать «8 в степени 2» или «8 во второй степени», или просто «8 в квадрате»

    Показатели также называются степенями или индексами.

    Еще несколько примеров:

    Пример:

    5 3 = 5 × 5 × 5 = 125
    • Прописью: 5 3 можно было бы назвать «5 в третьей степени», «5 в степени 3» или просто «5 кубов»

    Пример:

    2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
    • Словами: 2 4 можно было бы назвать «2 в четвертой степени» или «2 в степени 4» или просто «2–4»

    Показатели упрощают запись и использование множества умножений

    Пример: 9 6 легче писать и читать, чем 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9

    Вы можете умножить любое число на само сколько угодно раз , используя экспоненты.4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16

Отрицательные экспоненты

Отрицательный? Что может быть противоположностью умножения? Разделение!

Итак, мы каждый раз делим на число, что аналогично умножению на 1 число

Пример: 8 -1 = 1 8 = 0,125

Мы можем продолжить так:

Пример: 5 -3 = 1 5 × 1 5 × 1 5 = 0.008

Но зачастую проще сделать так:

5 -3 также можно рассчитать как:

1 5 × 5 × 5 = 1 5 3 = 1 125 = 0,008

Отрицательный? Переверните позитив!

Последний пример показал более простой способ работы с отрицательными показателями:

  • Вычислить положительный показатель степени (a n )
  • Затем возьмите ответный (т.е. 1 / а н )

Другие примеры:

Отрицательная экспонента Взаимное значение
положительной экспоненты
Ответ
4 -2 = 1/4 2 = 1/16 = 0,0625
10 -3 = 1/10 3 = 1/1000 = 0.001
(-2) -3 = 1 / (-2) 3 = 1 / (- 8) = -0,125

Что, если показатель степени равен 1 или 0?

1 Если показатель степени равен 1, то у вас есть только само число (например, 9 1 = 9 )
0 Если показатель степени равен 0, то вы получите 1 (например, 9 0 = 1 )
А как насчет 0 0 ? Это может быть либо 1, либо 0, поэтому люди говорят, что это «неопределенный» .

Все имеет смысл

Если вы посмотрите на эту таблицу, вы увидите положительный результат, ноль или отрицательные показатели на самом деле являются частью одного и того же (довольно простого) паттерна:

Пример: Полномочия 5
.. и т.д ..
5 2 5 × 5 25
5 1 5 5
5 0 1 1
5 -1 1 5 0.2
5 -2 1 5 × 1 5 0,04
.. и т.д ..

Будьте осторожны при группировке

Чтобы избежать путаницы, используйте круглые скобки () в таких случаях:

С (): (-2) 2 = (-2) × (-2) = 4
Без (): -2 2 = — (2 2 ) = — (2 × 2) = -4

С (): (ab) 2 = ab × ab
Без (): ab 2 = a × (b) 2 = a × b × b

Абсолютное значение в алгебре

Абсолютное значение означает…

насколько число от нуля:

«6» — это 6 от нуля,
и «−6» — , а также 6 от нуля.

Таким образом, абсолютное значение 6 равно 6 ,
, а абсолютное значение −6 также равно 6

.

Символ абсолютного значения

Чтобы показать, что нам нужно абсолютное значение, мы помещаем «|» отмечает обе стороны (называемые «стержнями»), как в этих примерах:


Знак «|» находится чуть выше клавиши ввода на большинстве клавиатур.

Более формальный

Формально:

Что говорит о том, что абсолютное значение x равно:

  • x, когда x больше нуля
  • 0, когда x равно 0
  • -x, когда x меньше нуля (это «переворачивает» число обратно в положительное значение)

Итак, когда число положительное или нулевое, мы оставляем его в покое, когда оно отрицательное, мы меняем его на положительное с помощью −x.

Пример: что такое | −17 | ?

Ну, это меньше нуля, поэтому нам нужно вычислить «−x»:

— (−17) = + 17

(Потому что два минуса составляют плюс)

Полезные свойства

Вот некоторые свойства абсолютных значений, которые могут быть полезны:

  • | а | ≥ 0 всегда!

    В этом есть смысл… | а | никогда не может быть меньше нуля.

  • | а | = √ (а 2 )

    Возведение a в квадрат делает его положительным или нулевым (для a как действительного числа). Тогда извлечение квадратного корня «отменит» возведение в квадрат, но оставит его положительным или нулевым.

  • | a × b | = | а | × | b |

    Значит, это то же самое:

    • абсолютное значение (a, умноженное на b), и
    • (абсолютное значение a) раз (абсолютное значение b)

    Что также может быть полезно при решении

  • | u | = a то же самое, что и u = ± a, и наоборот

    Что часто является ключом к решению большинства вопросов абсолютной ценности.

Пример: Решить | x + 2 | = 5

Использование «| u | = a то же самое, что и u = ± a «:

это: | x + 2 | = 5

то же самое, что и это: x + 2 = ± 5

Имеет два решения:

х + 2 = -5 х + 2 = +5
x = −7 х = 3

Графически

Давайте изобразим этот пример:

| x + 2 | = 5

Легче построить график, когда у нас есть уравнение «= 0», поэтому вычтите 5 из обеих частей:

| x + 2 | — 5 = 0

Итак, теперь мы можем построить график y = | x + 2 | −5 и найти, где оно равно нулю.

Вот график y = | x + 2 | −5, но ради удовольствия давайте создадим график , сдвинув его примерно на :

.
Начать с y = | x | затем сдвиньте его влево, чтобы сделать
это y = | x + 2 |
затем сдвиньте его вниз, чтобы сделать
это y = | x + 2 | −5

И два решения (в кружке): −7 и +3.

Неравенства абсолютных значений

Смешивание абсолютных ценностей и неравенств требует некоторой осторожности!

Есть 4 неравенства:

< >
менее меньше чем
или равно
больше больше чем
или равно

Меньше, Меньше или равно

Используя «<» и «≤», мы получаем один интервал с центром в нуле:

Пример: Решить | x |

<3

Это означает, что расстояние от x до нуля должно быть меньше 3:

.

Все, что находится между (но не включая) -3 и 3

Его можно переписать как:

−3 <х <3

В качестве интервала можно записать:

(-3, 3)

То же самое работает для «Меньше или равно»:

Пример: Решить | x | ≤ 3

Все между , включая -3 и 3

Его можно переписать как:

−3 ≤ х ≤ 3

В качестве интервала можно записать:

[−3, 3]

Как насчет более крупного примера?

Пример: Решить | 3x-6 | ≤ 12

Записать как:

−12 ≤ 3x − 6 ≤ 12

Добавить 6:

−6 ≤ 3x ≤ 18

Наконец, умножьте на (1/3).Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся:

−2 ≤ х ≤ 6

Готово!

В качестве интервала можно записать:

[−2, 6]

Больше, больше или равно

Это другое … мы получаем два отдельных интервала :

Пример: Решить | x | > 3

Это выглядит так:

до -3 или с 3 и более

Его можно переписать как

x <−3 или x> 3

В качестве интервала можно записать:

(−∞, −3) U (3, + ∞)

Осторожно! Не записывать как

−3> х> 3

«x» не может быть меньше -3 и больше 3 одновременно

Это действительно:

x <−3 или x> 3

«x» меньше −3 или больше 3

То же самое работает для «Больше или равно»:

Пример: Решить | x | ≥ 3

Можно переписать как

x ≤ −3 или x ≥ 3

В качестве интервала можно записать:

(−∞, −3] U [3, + ∞)

Что такое экспонента?

MATH ОБЗОР: ПОЛЕЗНАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ВСЕХ

РАЗДЕЛ 3.2. ЧТО ТАКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬ?


назад к экспонентам, стр. 1

Сначала давайте посмотрим, как работать с переменными с заданной мощностью, например, 3 .

Там пять правил работы с экспонентами:

1. a м * a n = a (m + n)

2. (a * b) n = a n * b n

3.( м ) n = (m * n)

4. a м / a n = a (m-n)

5. (a / b) n = a n / b n

Давайте подробно рассмотрим каждый из них.

1. a m * a n = a (m + n) говорит, что когда вы берете число a, умноженное на себя m раз, и умножьте это на то же число a, умноженное само на себя n раз, это то же самое, что взять это число a и возвести его в степень, равную сумме m + n.

Вот пример, где

a = 3
m = 4
n = 5

a м * a n = a (m + n)

3 4 * 3 5 = 3 (4 + 5) = 3 9 = 19 683

2. (а * б) н = a n * b n говорит, что при умножении два числа, а затем умножьте это произведение на себя n раз, это то же самое, что умножить первое число на себя n раз и умножить что на второе число, умноженное на себя n раз.

Давайте рассмотрим пример, где

a = 3
b = 6
n = 5

(а * б) n = a n * b n

(3 * 6) 5 = 3 5 * 6 5

18 5 = 3 5 * 6 5 = 243 * 7,776 = 1,889,568

3. ( м ) n = а (м * п) говорит, что когда вы берете число, a, и умножьте его на себя m раз, затем умножьте это произведение на себя n раз, это то же самое, что умножение числа a само по себе m * n раз.

Давайте разберемся на примере где

a = 3
m = 4
n = 5

( м ) n = а (м * п)

(3 4 ) 5 = 3 (4 * 5) = 3 20 = 3 486 784 401

4. a м / a n = a (m-n) говорит, что когда вы возьмите число a и умножьте его на себя m раз, затем разделите этот продукт умножается на себя n раз, это то же самое как умноженное на себя m-n раз.

Вот пример, где

а = 3
м = 4
п = 5

a м / a n = a (m-n)

3 4 /3 5 = 3 (4-5) = 3 -1 (Помните, как поднять число до отрицательной степени.)

3 4 /3 5 = 1/3 1 = 1/3

5. (а / б) n = a n / b n говорит что когда вы делите число, a на другое число, b, а затем умножьте это частное само по себе n раз, это то же самое, что умножение числа на само себя n раз, а затем разделив этот продукт на число b, умноженное сам по себе n раз.

Давайте рассмотрим пример, где

а = 3
б = 6
п = 5

(a / b) n = a n / b n

(3/6) 5 = 3 5 /6 5

Помните, что 3/6 можно уменьшить до 1/2. Итак, имеем:

(1/2) 5 = 243 / 7,776 = 0.03125

Понимание экспонентов подготовит вас к использованию логарифмов.

в логарифмах


для подробнее об этом сайте свяжитесь с Distance Координатор по образованию.

Авторские права © 2004 г. регентами Миннесотского университета, равные возможности работодатель и педагог.

чисел — экспоненты — подробно

Показатель говорит сколько раз базовое число используется в качестве множителя.База из пяти поднятых во второй степени называется «пять в квадрате» и означает «пять». умножить на пять ». Пять в третьей степени называют« пятью в кубе ». и означает «пять раз по пять раз». База может быть любой число — целое число, десятичное число или дробь могут быть возведены в власть.

Здесь это несколько простых правил для использования с показателями.

  1. а 1 = а
    Любое число, возведенное в степень единицы, равно самому числу.
  2. Для любого число a, кроме 0, a 0 = 1
    Любое число, возведенное в степень нуля, кроме нуля, равно единице.
  3. Для любого числа a, b и c,
    а б х в = а б + в

    Это правило умножения говорит нам, что мы можем просто сложить экспоненты, когда умножение двух степеней с одинаковым основанием.

ВНИМАНИЕ! Это ошибки, которые студенты часто допускают при работе с экспонентами.

Ошибка! Не умножайте основание и показатель степени. 2 6 не равно 12, это 64!

Ошибка! Правило умножения применяется только к выражениям с одинаковым основанием. Четыре квадрат, умноженный на два в кубе — это не то же самое, что 8 в степени два плюс три.

Ошибка! Правило умножения применяется только к произведению, а не к сумме двух числа.

Научный Обозначение
Что происходит, когда вы используете калькулятор и ваш ответ слишком длинный, чтобы влезть в окно? Воспользуйтесь калькулятором, чтобы умножить эти 2 числа:

60 000 000 000 000 х 20 000 000 000
Вы откроете для себя короткий способ написания очень длинных чисел. Это называется научным обозначение или обозначение E на калькуляторе («E» означает «Exponent»). Число, записанное в научных обозначениях, записывается как произведение числа между 1 и 10 и степенью 10.

Например, чтобы записать 127 680 000 в экспоненциальном представлении, замените число на число от 1 до 10, переместив десятичную запятую на 8 разрядов влево. Затем умножьте на 10 в степени количества знаков, на которое вы должны были переместить десятичную дробь точка — то есть 108:

127 680 000 = 1,2768 x 10 8
В окне калькулятора основание 10 не отображается; буква E означает «10» возведен в следующую степень.«

Примеры
7 х 7 х 7 х 7 =? 7 4
2 х 2 х 2 х 2 х 2 х 2 =? 2 6
1 10 = 1
5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Напишите следующее числа в экспоненциальной записи.
565 000 = 5,65 х 10 5
7,325,000 = 7,325 x 10 6
91 247 000 000 = 9,1247 x 10 10

назад наверх

Exponents & Inequalities — GMAT Math Study Guide

Определения

  • Неравенство — сравнение двух значений или выражений.
    Например, 20x <40 - это неравенство, а x = 2 - это уравнение.
  • Equation — Утверждение, объявляющее равенство двух выражений.
    Например, 4x = 40 — это уравнение, а 4x> 40 — неравенство.
  • Экспонента — сколько раз величина умножается сама на себя.
    Например, в выражении 5 8 число 8 является показателем степени.

Оперирование неравенством: экспоненты

При работе с неравенствами, включающими показатели степени, эти неравенства ведут себя во многом как традиционные уравнения.Неравенства с четным показателем обычно имеют два решения, а неравенства с нечетным показателем имеют одно решение.

Нечетные экспоненты

Неравенство с нечетным показателем ведет себя точно так же, как неравенство без показателя степени или традиционное уравнение с нечетным показателем. Единственное предостережение — которое также относится к неравенствам без показателей — это то, что вы должны знать знак переменной, прежде чем вы сможете делить или умножать ее (см. Умножение и деление с неравенствами).

x 3 <27
(x 3 ) 1/3 <27 1/3
x <3 [переворачивать знак неравенства нет необходимости, поскольку отрицательные числа не используются]
В качестве проверки , если x = 4 (вне множества решений), x 3 = 64, что не соответствует неравенству (т.е. 64 не меньше 27). Однако, если x = 2 (внутри набора решений), x 3 = 8, что соответствует неравенству (т.е. 8 меньше 27).

2x 3 + 14> 30
2x 3 + 14-14> 30-14
2x 3 > 16
x 3 > 8
(x 3 ) 1/3 > 8 1/3
x> 2
В качестве проверки, если x = 0 (вне набора решений), 2x 3 + 14 = 14, что не соответствует неравенству (т.е., 14 не больше или равно 30). Однако, если x = 2 (внутри набора решений), 2x 3 + 14 = 30, что соответствует неравенству (т.е. 30 больше или равно 30).

Четные экспоненты

Как указано выше, неравенство с четным показателем обычно имеет два решения. Причина в том, что x может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно, при вычислении четного показателя в неравенстве мы имеем дело с двумя случаями: x положительный, x отрицательный.

2x 2 > 32
x 2 > 16

Случай 1: x положительный
x> 4

Случай 2: x отрицательный
x <-4
Примечание. Знак неравенства изменился, поскольку мы взяли корень отрицательного числа.

Решение можно представить графически.

В качестве проверки, если x = -5 (в наборе решений), 2x 2 = 50, что соответствует неравенству. Однако если x = -2 (вне набора решений), 2x 2 = 8, что не соответствует неравенству.

3x 2 <27
x 2 <9
Случай 1: x положителен
x <3
Случай 2: x отрицателен
x> -3

Множественные неравенства

Множественные неравенства с показателями решаются так же, как решаются множественные неравенства без показателей.

Если 2x 2 + 5 2 <9, каков диапазон возможных значений x?

1.) Решите каждое неравенство отдельно.
2x 2 + 5 <13
2x 2 <8
x 2 <4
x <2 AND x> -2

x 2 <9 9 1517 x <3 AND x> -3

2.) Объедините каждое неравенство и найдите перекрытие (т. Е. Области, в которых выполняется каждое неравенство — эта область является решением).
x <2
x> -2
x <3
x> -3

Область перекрытия, то есть решение набора неравенств, — это где x <2 и x> -2

Для многих студентов вышеуказанный набор неравенств лучше всего можно понять графически. Решением множества неравенств является перекрывающаяся графическая область.

Обучение абсолютному значению числа в математике

Урок 2: Разработка концепции

Материалы: Каталожные карточки или цифровые «карточки», которые могут быть распределены среди класса

.

Стандарты:

  • Под абсолютным значением рационального числа понимается его расстояние от 0 на числовой прямой.(6.NS.C.7.C)

Подготовка: Сделайте карточки для У меня есть… У кого есть?

Заключительная и оценочная игра

  • Попросите учащихся написать и поделиться своими определениями и примерами из реальной жизни ситуаций абсолютной ценности.
  • Играть У меня … у кого есть? Составьте набор из 15 учетных карточек с уравнениями абсолютных значений и 15 учетных карточек, содержащих значения для переменной. Если учетные карточки недоступны или вы адаптируете это для дистанционного обучения, создайте способ, чтобы 30 приведенных ниже уравнений были распределены среди ваших учеников как можно более равномерно.
Карты абсолютного значения Карты переменного значения
| x + 5 | = 20 x = 15
| 5 — x | = 30 x = –25
| x + 6 | = 41 x = 35
| –27 — x | = 20 x = –47
–7 + | x | = 0 x = –7
| 25 — x | = 18 x = 7
| x + –5 | = 38 x = 43
| 37 — x | = 70 x = –33
114 — | x | = 7 x = 107
| — x + 100 | = 21 x = 121
— | 1 + x | = -80 x = 79
| x | = 81 x = –81
| x + 3 | = 84 x = 81
| 25 + x | = 62 x = –87
| x — 26 | = 11 x = 37

Каждая указанная карта абсолютного значения имеет два значения: x .Эти значения перекрываются, так что каждая карта значений переменных удовлетворяет двум из заданных уравнений абсолютного значения (первое и второе значения удовлетворяют первому уравнению, второе и третье значения удовлетворяют второму уравнению и так далее, пока последнее и первое значения не удовлетворяют требованиям последнее уравнение).

Распределите карточки или уравнения поровну. Убедитесь, что все они были розданы. Выберите ученика, который скажет «У меня есть», а затем прочтите значение или уравнение на его карточке. Затем попросите учащегося сказать: «У кого есть совпадение для моей карты?» Любой ученик, у которого есть совпадение, должен сказать: «У меня есть… у кого есть…», и игра продолжается до тех пор, пока не будут прочитаны все карточки.Вы можете попросить учеников встать, когда игра начинается, и сесть, когда они предлагают ответ. Чтобы заинтересовать всех, предложите награду за успешное прохождение игры, поощряя вызовы к подозрительным ответам.

***

Ищете другие бесплатные уроки математики и мероприятия для учеников средней школы? Обязательно ознакомьтесь с нашим центром бесплатных учебных ресурсов.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.