1 n 2 сумма ряда: Mathway | Популярные задачи

3 6 Risolvere per ? cos(x)=1/2 7 Risolvere per x sin(x)=-1/2 8 Преобразовать из градусов в радианы 225 9 Risolvere per ? cos(x)=( квадратный корень из 2)/2 10 Risolvere per x cos(x)=( квадратный корень из 3)/2 11 Risolvere per x sin(x)=( квадратный корень из 3)/2 12 График g(x)=3/4* корень пятой степени из x
13 Найти центр и радиус x^2+y^2=9 14 Преобразовать из градусов в радианы 120 град. 2}4. $$

Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у $S_4(n)$ практически не видно общих делителей с $S_1(n)$ (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 на 11… Посмотрим на отношение $S_4/S_2$.

$n$ 1 2 3 4 5 6
$S_2$ 1 5 1430 55 91
$S_4$ 117 98354 979 2275
$S_4/S_2$ 117/5 759/589/5 25

Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125… Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна… Все же посмотрим на эти разности: 12, 18, 24, 30… — закономерность сразу видна!

Таким образом, гипотеза состоит в том, что $$ S_4(n)/S_2(n)= \frac{5+6\cdot2+6\cdot3+\ldots+6n}5= \frac{6\frac{n(n+1)}2-1}5= \frac{3n^2+3n-1}5, $$ и соответственно $$ S_4(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}. 2}6$ (т. е. значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии…

Содержание

Литература

  1. Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975)
    http://ilib.mccme.ru/djvu/polya/rassuzhdenija.htm
    Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу. Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.
  2. Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, 3–12
    http://kvant.mccme.ru/1989/01/akademik_izrail_moiseevich_gel.htm
    В решении выше сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков 20 века (собственно про это — небольшой фразмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).
  3. В. С. Абрамович. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // Квант, 1973, № 5, 22–25
    http://kvant. n)?

    06.02.2018, 13:13 

    25/11/08
    449

    Как можно посчитать сумму ряда ? С чего начинать?


       

                      

    pogulyat_vyshel 

     Re: Как посчитать сумму ряда n/(2^n)?

    06. n)?

    06.02.2018, 13:26 

    Заслуженный участник

    27/12/17
    1361
    Антарктика

    Рассмотрите и проинтегрируйте почленно в пределах . Затем — геометрическая прогрессия, дифференцирование и предел при . При этом Вы должны, случись чего, обосновать возможность таких операций, как почленное интегрирование и предельный переход.


       

                      

    [email protected] 

     Re: Как посчитать сумму ряда n/(2^n)?

    06. 02.2018, 13:49 

    26/05/12
    1414
    приходит весна?

    Ещё есть вариант разложить в двойную сумму. Внутренняя сумма будет обычной геометрической прогрессией, причём после подсчёта внутренней суммы окажется, что каждая следующая прогрессия будет давать результат вдвое меньший. То есть внешняя сумма тоже будет геометрической прогрессией.


       

                      

    grizzly 

     Re: Как посчитать сумму ряда n/(2^n)?

    06. 02.2018, 14:33 

    Заслуженный участник

    09/09/14
    6328

    ellipse в сообщении #1290550 писал(а):

    С чего начинать?

    Начните с чего-нибудь простого:
    А потом просуммируйте эти суммы и, наконец, то что получится.

    — 06.02.2018, 14:34 —

    Только отправив это сообщение, я понял, что повторил предыдущее, просто не такими умными словами


       

                      

    Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
       Страница 1 из 1
     [ Сообщений: 5 ] 

    Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы


    Ряды

    Ряды — это просто бесконечные суммы. Мы с ними уже несколько раз сталкивались — например, когда обсуждали, что некоторые функции оказываются равны своим рядам Тейлора (см. замечание 2 из лекции 22). Пришло время поговорить про ряды подробнее.

    28.1Сходящиеся и расходящие ряды

    28.1.1Определения и примеры

    Пусть есть какая-то последовательность {ak}.

    Определение 1. Бесконечным рядом (или просто рядом) называется такая бесконечная сумма:

    ∞∑k=1ak=a1+a2+a3+….

    Если вместо бесконечности взять первые n слагаемых, получится частичная сумма ряда:

    Sn:=n∑k=1ak=a1+a2+…+an.

    По определению, суммой ряда называется предел частичных сумм:

    ∞∑k=1ak:=limn→∞Sn=limn→∞n∑k=1ak.

    Конечно, этот предел может существовать, а может не существовать. В первом случае ряд называется сходящимся, во втором — расходящимся.

    Пример 1.

    Ряд

    ∞∑k=112k=12+14+18+…

    сходится. Это геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим 1, но сходимость здесь можно увидеть и непосредственно. Если у вас была одна шоколадка, вы съели от неё половину, потом половину от оставшейся половины (то есть четверть), потом половины от того, что осталось (то есть одну возьмую) и т.д. — в пределе ничего не останется, но и больше, чем целую шоколадку, вы не съедите. Значит, сумма съеденных кусочков стремится к единице.

    Рис. 28.1: Сумма бесконечной геометрической прогрессии «на шоколадках»

    Пример 2. Ряд

    ∞∑k=1k2=1+4+9+16+…

    расходится: поскольку все слагаемые больше или равны 1, частичные суммы неограничены: Sn≥n, и значит расходятся. Можно сказать, что сумма равна плюс бесконечности:

    ∞∑k=1k2=+∞.

    28.1.2Геометрическая прогрессия

    Важным примером рядов являются суммы геометрических прогрессий, то есть последовательностей вида {b0qk}, где q называется

    знаменателем прогрессии.

    Поскольку я никогда не могу запомнить формулу для суммы членов геометрической прогрессии и каждый раз вывожу её заново, приведу этот вывод и здесь.

    Утверждение 1. Для всяких b0∈R, q≠1 и n∈N справедливо утверждение

    n∑k=1b0qk=b0q1−qn1−q.

    Доказательство. Вынесем b0q за знак суммирования, а потом сделаем замену индекса суммирования m=k−1:

    n∑k=1b0qk=b0qn∑k=1qk−1=b0qn−1∑m=0qm.

    Остаётся найти, чему равна сумма ∑n−1m=0qm. Обозначим её через S. Тогда

    S=1+q+q2+…+qn−1qS=q+q2+…+qn−1+qn

    Вычитая из первого равенства второе, получаем:

    S−qS=1−qn,

    откуда

    S=1−qn1−q.

    Следствие 1. При |q|<1,

    ∞∑k=1b0qk=b0q1−q

    поскольку в этом случае qn стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности. При |q|>1 при b0≠0 ряд расходится, поскольку qn стремится к бесконечности. При q=1 последовательность является постоянной и ряд расходится при b0≠0.

    В примере 1, b0=1 и q=1/2, значит сумма равна

    ∞∑k=112k=1⋅121−12=1,

    как и ожидалось.

    28.1.3«Телескопические суммы»

    Вообще есть мало сколь-нибудь универсальных способов нахождения бесконечных сумм в явном виде. Но чтобы вам не казалось, что нет никаких поддающихся анализу рядов, кроме геометрической прогрессии, обсудим ещё один тип.

    Пример 3. Найдём сумму ряда

    ∞∑k=11k(k+1).(28.1)

    Для этого заметим, что

    1k(k+1)=1k−1k+1.

    Дальше хочется сделать такую штуку:

    ∞∑k=11k(k+1)=∞∑k=1(1k−1k+1)=(11−12)+(12−13)+(13−14)+…==11+(−12+12)+(−13+13)+…=11+0+0+…=1.

    ∞∑k=11k(k+1)=∞∑k=1(1k−1k+1)==(11−12)+(12−13)++(13−14)+…==11+(−12+12)++(−13+13)+…==11+0+0+…=1.

    Это преобразование выглядит реалистично — в самом деле, нас учили, что при суммировании неважно, как расставлять скобки — однако таит в себе опасность. Рассмотрим, например, такой ряд:

    ∞∑k=1(−1)k=−1+1−1+…(28.2)

    Его частичными суммами Sn будут числа −1 (при нечётных n) и 0 — при чётных. Мы знаем, что предела у такой последовательности нет. Однако, казалось бы, можно записать:

    ∞∑k=1(−1)k=−1+1−1+1−…=(−1+1)+(−1+1)+…=0+0+…=0.

    ∞∑k=1(−1)k=−1+1−1+1−…==(−1+1)+(−1+1)+…==0+0+…=0.

    Впрочем, с тем же успехом мы могли бы получить и −1, если бы сгруппировали слагаемые иначе (первое оставили отдельно, а второе сгруппировали с третьим, четвертой с пятым и т.д.)

    Пример с рядом ∑∞k=1(−1)k показывает, что бесконечные суммы могут быть коварными — привычные нам операции типа группировки слагаемых могут менять результат. Как же всё-таки найти сумму ряда (28. 1)?

    Если мы не уверены, что некоторое преобразование сработает с бесконечным рядом, мы можем вернуться в ту область, где всё просто и понятно — в область конечных сумм. Давайте рассмотрим частичные суммы этого ряда:

    n∑k=11k(k+1)=11−12+12−13+…+1n−1−1n+1n−1n+1.

    n∑k=11k(k+1)=11−12+12−13+…++1n−1−1n+1n−1n+1.

    Тут уже скобки не важны, потому что группировка слагаемых в конечных суммах не меняет их значения. Мы видим, что слагаемые (−1/2) и 1/2 сокращаются, и дальше сократятся все пары слагаемых, заканчивая (−1/n) и 1/n. Останется только первое и последнее слагаемое. (Если вы чувствуете малейшие сомнения в этом месте, подставьте какое-нибудь небольшое конкретное n — например, n=3, и проследите, как это работает.) Итак:

    n∑k=1=11−1n+1

    и значит предел частичных сумм равен 1. То есть наше вычисление дало правильный результат, и теперь мы это аккуратно обосновали. (Проверьте, что будет, если попытаться применить то же самое рассуждение к ряду (28. 2).)

    Суммы такого вида, у которых слагаемые последовательно сокращаются, иногда называют «телескопическими» — в процессе сокращения сумма как бы складывается, как складная подзорная труба или телескоп.

    28.1.4Простейшие свойства

    Как показвает пример с рядом (28.2), не все привычные нам операции с конечными суммами можно применять к рядам. Однако, некоторые всё-таки можно.

    Утверждение 2. Пусть ряды ∑∞k=1ak и ∑∞k=1bk сходятся и c∈R — какая-то константа. Тогда

    1. ∞∑k=1(ak+bk)=∞∑k=1ak+∞∑k=1bk.
    2. ∞∑k=1(cak)=c∞∑k=1ak.

    Доказательство. Это прямое следствие из аналогичных свойств пределов. Докажем, например, первое свойство. Рассмотрим n-ю частичную сумму:

    n∑k=1(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=…

    n∑k=1(ak+bk)=(a1+b1)+(a2+b2)+…++(an+bn)=…

    Это конечная сумма, в ней можно раскрывать скобки и переставлять слагаемые, как нас учат в школе. Поэтому можно продолжить равенство:

    …=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=n∑k=1ak+n∑k=1bk.

    …=(a1+a2+…+an)++(b1+b2+…+bn)==n∑k=1ak+n∑k=1bk.

    Значит

    ∞∑k=1(ak+bk)=limn→∞n∑k=1(ak+bk)=limn→∞(n∑k=1ak+n∑k=1ak)==limn→∞n∑k=1ak+limn→∞n∑k=1bk=∞∑k=1ak+∞∑k=1bk.

    ∞∑k=1(ak+bk)=limn→∞n∑k=1(ak+bk)==limn→∞(n∑k=1ak+n∑k=1ak)==limn→∞n∑k=1ak+limn→∞n∑k=1bk==∞∑k=1ak+∞∑k=1bk.

    В третьем равенства мы использовали теорему о пределе суммы.

    Второе свойство доказывается аналогично, запишите доказательство самостоятельно.∎

    28.2Признаки сходимости и расходимости

    28.2.1Необходимое условие сходимости: члены стремятся к нулю

    Утверждение 3. Если ряд ∑∞k=1ak сходится, то

    limn→∞an=0.

    Доказательство. Обозначим через Sn частичную сумму нашего ряда:

    Sn:=n∑k=1ak.

    Тогда для всех n>1

    an=Sn−Sn−1.

    Рассмотрим предел последовательности {an}:

    limn→∞an=limn→∞(Sn−Sn−1)=limn→∞Sn−limn→∞Sn−1,

    но пределы Sn и Sn−1 — это фактически один и тот же предел (во втором случае последовательность просто сдвинута на один элемент вправо, но предел от этого не изменился). И оба предела существуют, потому что по определению, предел частичных сумм — это сумма ряда, а ряд сходится. Обозначим сумму ряда за S. Тогда

    limn→∞an=S−S=0.

    28.2.2Гармонический ряд

    Условие an→0 является необходимым для сходимости ряда, но является ли оно достаточным? Оказывается, нет. Приведём в качестве примере известный гармонический ряд.

    Утверждение 4. Ряд

    ∞∑k=11k=11+12+13+…(28.3)

    расходится.

    Доказательство. Заметим, что

    12≥1213+14≥2⋅14=1215+16+17+18≥4⋅18=1219+110+111+112+113+114+115+116≥8⋅116=12

    12≥1213+14≥2⋅14=1215+16+17+18≥4⋅18=1219+110+111+112+113+114+115+116≥8⋅116=12

    Каждая из сумм в левой части не меньше, чем своё последнее слагаемое (самое маленькое) умножить на число слагаемых. Понятно, что так можно продолжать и дальше. Для произвольного натурального m возьмём слагаемые с номерами от 2m+1 до 2m+1. Их количество равно разности между этими двумя числами, плюс один. (Потому что и первое и последнее число включатся в подсчёт: например, если бы эти числа совпадали, разность равнялась нулю, но при этом одно слагаемое мы бы взяли.) Значит, общее число слагаемых равно

    2m+1−(2m+1)+1=2m+1−2m=2m(21−1)=2m

    2m+1−(2m+1)+1=2m+1−2m==2m(21−1)=2m

    и каждое слагаемое не меньше последнего, то есть 1/2m+1. Итак:

    2m+1∑k=2m+11k≥2m12m+1=12.(28.4)

    Возьмём первые 2N слагаемых ряда (28.3). В них есть первое слагаемое, равное 1/1, и ещё N «блоков» вида (28.4), каждый из которых не меньше 1/2. Значит, их сумма не меньше, чем N12+1 и стремится к бесконечности. Значит, ряд расходится.∎

    28.2.3Признак сравнения

    Ну хорошо, у нас есть необходимое условие сходимости — может быть, есть и какие-то достаточные? Да, есть.

    Теорема 1. Рассмотрим два ряда:

    ∞∑k=1ak,∞∑k=1bk.

    Если известно, что для всех натуральных k верны неравенства

    0≤ak≤bk(28.5)

    и ряд

    ∞∑k=1bk(28.6)

    сходится, то ряд

    ∞∑k=1ak(28.7)

    тоже сходится.

    Доказательство. Доказательство полностью аналогично доказательству похожей теоремы для несобственных интегралов. Попробуйте написать его самостоятельно.

      Узнать ответ

    Верный ответ. Обозначим сумму ряда (28.6) через B, частичные суммы ряда (28.6) через Bn, а частичные суммы ряда (28.7) через An. Поскольку все слагаемые неотрицательны, обе последовательности {An} и {Bn} неубывают. Также в силу (28.5), для всех n, An≤Bn. С другой стороны, в силу неубывания, все элементы Bn не превосходят предела B (если бы какой-то элемент перескочил через предел, все следующие элементы были бы отделены от предела и не могли бы к нему стремиться). Значит, для всех n, An≤Bn≤B и значит последовательность {An} является неубывающей и ограниченной. Значит, по теоремe Вейерштрасса, у неё есть предел.

    Пример 4. Докажем, что ряд

    ∞∑k=11kk

    сходится. Действительно, для всех k≥2, kk≥2k и следовательно 1/kk≤1/2k. Никакое конечное число начальных членов на сходимость ряда не влияет и значит в признаке сравнения достаточно выполнения неравенства для всех k, начиная с некоторого. А ряд

    ∞∑k=112k

    сходится. Значит, и наш ряд сходится.

    Пример 5. Докажем, что ряд

    ∞∑k=1lnkk(28.8)

    расходится. Действительно, для всех k≥3, lnk≥1 и следовательно

    1k≤lnkk.

    Но если бы ряд (28.8) сходился, тогда и ограниченный им ряд ∑∞k=11/k тоже сходился бы. Но мы знаем, что последнее неверно. Значит, наш ряд расходится.

    28.2.4Интегральный признак сходимости

    Как мы уже отмечали, между несобственными интегралами и рядами много общего. При этом анализировать интегралы часто проще, чем ряды — есть разнообразные способы преобразования интегралов, которые к рядам применяются плохо. К счастью, есть теорема, которая позволяет переносить результаты о сходимости интегралов на ряды и наоборот.

    Теорема 2. Пусть функция f:[1,+∞)→R невозрастает, неотрицательна и интегрируема на любом отрезке [a,t], t>a. В этих условиях ряд

    n∑k=1f(k)(28.9)

    сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл

    ∫∞1f(x)dx.(28.10)

    Доказательство.

    Если интеграл сходится, то и ряд тоже сходится. Построим график функции y=f(x). Мы хотим представить сумму ряда (28.9) в виде некоторой площади, чтобы сравнить её с площадью, которая соответствует интегралу (28. 10). Для этого над каждым отрезком [k−1,k] построим прямоугольник высотой f(k), k=1,2,….

    Рис. 28.3: Интеграл оценивает сумму ряда, начиная со второго слагаемого

    Площадь k-го прямоугольника равна f(k), сумма всех площадей равна сумме ряда. Все прямогольники, кроме первого, находятся не выше графика функции: в силу неубывания на каждом отрезке [k−1,k] значение функции не меньше f(k). Разобьём наш ряд в сумму первого члена и всех остальных:

    ∞∑k=1=f(1)+∞∑k=2f(k).

    Слагаемое f(1) не меняет сходимости ряда, и значит достаточно изучить сходимость ∑∞k=2f(k). Любая частичная сумма этого ряда не превосходит значение интеграла (28.10) и последовательность частичных сумм неубывает в силу неотрицательности f. Значит, последовательность частичных сумм имеет предел и ряд сходится.

    Формально можно записать так. Заметим, что

    ∞∑k=2f(k)=∫+∞1f(⌈x⌉)dx,(28.11)

    где ⌈x⌉ — окугление «вверх» от числа x. Этот интеграл равен площади суммы всех прямоугольников, которую мы обсуждали выше (на каждом полуинтервале (k−1,k] мы интегрируем константу f(k)). С другой стороны, ⌈x⌉≥x и значит f(⌈x⌉)≤f(x). По признаку сравнения для интегралов, если интеграл (28.10) сходится, то и интеграл (28.11) сходится.

    Если ряд сходится, то и интеграл сходится. Доказательство полностью аналогично, только всю картинку с прямоугольниками нужно сдвинуть на одну позицию вправо. То есть на отрезке [k,k+1] нужно построить прямоугольник высотой f(k). Теперь верхние стороны наших прямуогльники будут ограничивать график функции y=f(x) сверху, и из сходимости ряда будет следовать сходимость интеграла.

    Рис. 28.4: Сумма ряда оценивает интеграл сверху

    Формально, можно записать:

    ∞∑k=1f(k)=∫+∞1f(⌊x⌋)dx,(28.12)

    гда ⌊x⌋ — округление вниз числа x, и использовать неравенство f(⌊x⌋)≥f(x). Значит ряд ограничивает интеграл и из сходимости ряда следует сходимость интеграла.∎

    Пример 6. Докажем, что ряд

    ∞∑k=11k2(28.13)

    сходится.

    Действительно, этот ряд можно представить в виде ряда ∑∞k=1f(k), где f(x)=1/x2 — невозрастающая неотрицательная функция. Значит сходимость этого ряда эквивалентна сходимости интеграла

    ∫∞11x2dx.

    Но мы уже доказывали, что этот интеграл сходится. Значит, ряд тоже сходится.

    28.2.5Знакочередующиеся ряды

    Признаки сравнения, обсуждающиеся выше, применимы к рядам с неотрицательными членами. Легко придумать их аналоги для рядов, чьи члены всегда неположительны. Если условие знакопостоянства верно для всех членов, начиная с некоторого, эти признаки тоже работают: никакое конечное число первых членов на сходимость ряда не влияют.

    Можно ли что-то сказать в том случае, когда среди членов ряда есть бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов (такие ряды называют знакопеременными)? В некоторых случаях — можно.

    Определение 2. Пусть ak — некоторая последовательность с положительными членами. Рассмотрим ряд

    ∞∑k=1(−1)k+1ak.(28.14)

    Он называется знакочередующимся. Также можно поставить коэффициент (−1)k, получится тоже знакочередующийся ряд.

    Про знакочередующиеся ряды обычно просто сказать, сходятся они или нет: необходимое условие сходимости в этом случае почти совпадает с достаточным (но не совсем совпадает, нужно дополнительное условие).

    Теорема 3. (Признак Лейбница.) Пусть для знакочередующегося ряда (28.14) модули членов невозрастают, то есть для всех k, ak+1≤ak. Если при этом

    limk→∞ak=0,

    то ряд сходится.

    Доказательство. Обозначим частичные суммы ряда через Sn. Тогда S1=a1, S2=a1−a2, S3=a1−a2+a3 и т.д. Будем откладывать эти точки на числовой прямой, см. рис. 28.5.

    Вот мы отложили точку S1. Затем нужно сдвинуться влево на a2, чтобы получить S2. Отсюда нужно сдвинуться вправо на a3, чтобы получить S3. Может ли оказаться, что мы «перескочим» при этом S1? Нет, потому что последовательность ak невозрастает, и значит a3≤a2, то есть сдвиг от S2 до S3 не превосходит длину отрезка [S2,S1]. Значит точка S3 лежит в отрезке [S2,S1].

    Рис. 28.5: Частичные суммы знакочередующегося ряда с убывающими членами

    Следующий шаг должен быть влево, и поскольку a4≤a3, точка S4 лежит на отрезке [S2,S3]. И так далее.

    Можно построить последовательность вложенных отрезков {Ik}, определяемых следующим образом:

    Ik=[min(Sk,Sk+1),max(Sk,Sk+1)],

    то есть концы k-го отрезка — это просто частичные суммы (k-я и k+1-я), записанные в правильном порядке (та, что больше, справа, а та, что меньше, слева). Тогда I1=[S2,S1],I2=[S2,S3],I3=[S4,S3],I4=[S4,S5], и т.д. По построению, Ik+1⊂Ik и |Ik|=ak+1→0 при k→0. Значит по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c, принадлежащая всем Ik, и концы отрезков стремятся к c. Но концами являются наши предельные суммы и значит если они стремятся к c, то ряд сходится к c.∎

    Пример 7. Ряд

    ∞∑k=1(−1)k+1k(28.15)

    является сходящимся.

    28.3Абсолютная и условная сходимость

    Определение 3. Рассмотрим ряд

    ∞∑k=1ak.(28.16)

    Если ряд из модулей

    ∞∑k=1|ak|

    сходится, ряд (28.16) называется абсолютно сходящимся.

    Утверждение 5. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится. (Звучит забавно, но, действительно, в определении абсолютной сходимости ничего не сказано про то, сходится сам ряд, или нет — сказано только про ряд из модулей.)

    Доказательство. Докажите самостоятельно. Подсказка: пусть bn=an+|an|. Тогда bn≥0 и bn≤2|an|. Но an=bn−|an|.∎

    Определение 4. Если ряд сходится, но не является абсолютно сходящимся, говорят, что он сходится условно.

    Пример 8. Ряд (28.15) сходится условно, потому что соответствующий ему ряд из модулей является гармоническим (см. (28.3)) и расходится.

    Оказывается, что абсолютно и условно сходящиеся ряды ведут себя существенно по-разному — некоторые естественные операции можно безопасно делать с абсолютно сходящимися рядами, но нельзя с условно сходящимися. В частности, для условно сходящихся рядов не действует принцип «от перемены мест слагаемых сумма не меняется».

    Определение 5. Биективное отображение φ:N→N называется перестановкой натурального ряда.

    Если задана какая-то перестановка натурального ряда φ, с её помощью можно из ряда

    ∞∑k=1ak

    изготовить ряд

    ∞∑k=1aφ(k),

    то есть ряд, члены которого совпадают с {ak}, но их порядок изменён с помощью перестновки φ.

    Теорема 4. В результате перестановок членов абсолютно сходящегося ряда его сумма не меняется.

    Набросок доказательства. Если ряд имеет только положительные элементы, легко показать, что частичные суммы переставленного ряда оцениваются частичными суммами исходного, и наоборот. Ряд с положительными и отрицательными членами можно представить как разность двух рядов с положительными членами.∎

    Теорема 5. (Римана) Пусть есть какой-то условно сходящийся ряд ∑∞k=1ak. Тогда выбором подходящей перестановки его членов можно получить ряд с любой заранее заданной суммой. Иными словами, для всякого c найдётся такая перестановка φ, что в результате этой перестановки получается ряд, сумма которого равна c.

    Доказательство.

    Положительные и отрицательные члены. Будем для простоты считать, что в исходном ряду нет нулевых членов — если они есть, на сумму они никак не влияют, и в силу расходимости ряда из модулей, количество ненулевых членов не может быть конечным.

    Ключевой момент доказательства состоит в том, чтобы отдельно рассмотреть положительные и отрицательные члены ряда. Для этого введём такие обозначения:

    a+k:={ak,ak>0,0,ak<0,,a−k:={0,ak>0,ak,ak<0.

    Тогда ряд

    ∞∑k=1a+k(28.17)

    состоит только из его положительных слагаемых исходного ряда, а

    ∞∑k=1a−k(28.18)

    только из отрицательных. Заметим, что

    ak:=a+k+a−k,|ak|=a+k−a−k.

    Докажем, что оба ряда (28.17) и (28.18) расходятся. Действительно, пусть, например, ряд ∑∞k=1a+k сходится (другой случай рассматривается так же). Тогда

    ∞∑k=1a−k=∞∑k=1(ak−a+k)=∞∑k=1ak−∞∑k=1a+k

    тоже сходится, как разность сходящихся рядов (см. утверждение 2). Но в этом случае и ряд

    ∞∑k=1|ak|=∞∑k=1(a+k−a−k)=∞∑k=1a+k−∞∑k=1a−k

    тоже сходится, а это противоречит предположению, что исходный ряд ∑∞k=1ak сходится лишь условно, а не абсолютно.

    Итак, оба ряда (28.18) и (28.17) расходятся. Первый состоит только из неотрицательных слагаемых. Единственный способ, каким он может расходиться, то есть не иметь предела — это стремиться к плюс бесконечности. Действительно, последовательность частичных сумм {S+N} неубывает. Она не может быть ограниченной сверху, поскольку неубывающая ограниченная сверху последовательность имеет предел по теореме Вейерштрасса 2. Значит, она не является ограниченной, то есть для всякого C найдётся такое N, что S+N>C. Но в силу неубывания, для всех n>N, S+n≥S+N>C. Значит, S+n→+∞ при n→∞.

    Аналогично доказывается, что ряд (28.18) стремится к минус бесконечности.

    Точная подгонка. Пусть из последовательности {a+k} выкинули все нулевые члены. Подпоследовательность, составленную из оставшихся членов, назовём {b+m}. Порядок следования членов последовательности {b+m} — такой же, как в {a+k}, просто все нулевые пропущены.

    Аналогично определим последовательность {b−l} — последовательность из всех ненулевых членов {a−k}, идущих в том же порядке, в котором они были.

    Иными словами, {b+m} и {b−l} — это последовательности положительных и отрицательных членов исходной последовательности {ak}.

    Эта лекция читается в конце декабря, так что можно представить себе, что {b+m} — это мешок с бесконечным количеством подарков, каждый подарок имеет свой размер, влияющий на то, насколько повышается настроение у человека, которому вы его дарите. Про этот мешок вы знаете, что подарки в нём пронумерованы, и что мешок этот бесконечно большой, подарков в нём достаточно, чтобы поднять настроение на любой уровень.

    Тогда {b−l} — это мешок антиподарков, которые снижают настроение, а не повышают его. Подарки в нём также пронумерованы и имеют в совокупности неограниченный потенциал для снижения настроения.

    Пусть теперь нам задано какое-то число c∈R. Мы будем выписывать элементы последовательностей b+m и b−l таким образом, чтобы сумма выписанных элементов стремилась к c. Каждый элемент будет выписан ровно один раз, и до любого элемента мы рано или поздно доберёмся.

    Алгоритм устроен так. Допустим, c≥0, обратный случай рассматривается аналогично. Мы начинаем из точки 0 и будем выписывать элементы из последовательности {b+m} по порядку, до тех пор, пока сумма выписанных элементов не превзойдёт c. Если в какой-то момент эта сумма попала ровно в c, выпишем ещё один элемент. Визуально это соответствует тому, что мы делаем скачки вправо на величину b+1, b+2 и т.д., до тех пор, пока не «перескочим» через c.

    Как только это произошло, мы меняем направление. Теперь будем выписывать элементы из последовательности {b−l} по порядку. Они отрицательные, поэтому сумма всех выписанных элементов будет каждый раз сдвигаться влево на модуль очередного выписанного элемента. В какой-то момент мы перескочим через c (теперь в обратном направлении, слева направо). Сразу после этого нужно снова сменить направление движения.

    Теперь мы опять должны выписывать элементы из {b+m}, продолжая ровно с того места, где остановились в прошлый раз. Если последний выписанный нами на предыдущем этапе элемент был {b+m1}, то начать надо с элемента {b+m1+1}. И снова мы выписываем элементы из {b+m} до тех пор, пока сумма всех элементов (включая все выписанные ранее) не превзойдёт c. В этот момент мы снова переключимся, и будем так продолжать до бесконечности.

    Почему этот алгоритм работает.

    Я утверждаю, что описанный нами алгоритм реализует искомую перестановку — а именно, что получится последовательность, которая является перестановкой исходной последовательности {ak}, и что предел её частичных сумм равен c.

    Во-первых, этот алгоритм никогда не остановится, и будет делать бесконечное количество переключений между движением вправо и движением влево. Почему так? Потому что сумммы (28.17) и (28.18) расходятся, и значит в наших «мешках с подарками и антиподарками» подарков достаточно, чтобы сделать сколь угодно хорошее и сколь угодно плохое настроение. Более того, поскольку начальные члены ряда не влияют на сумму, эти свойства сохранятся и после того, как какое-то конечное количество слагаемых из последовательностей {b+m} и {b−l} было выписано. Значит мы всегда можем взять достаточно много элементов из «хвостов» этих последовательностей, чтобы сдвинуться как угодно далеко вправо или как угодно далеко влево. Значит, нам всегда удастся перескочить через c и сменить направление движения.

    В ходе каждого этапа движения вправо или влево из соответстующей последовательности берётся по крайней мере один элемент. По построению, мы не пропускаем никакие элементы и не повторяем одни и тот же элемент дважды. Поскольку этапов бесконечно много, это означает, что любой элемент рано или поздно будет выписан, причём ровно один раз. Это означает, что новая последовательность — перестановка старой.

    Наконец, почему предел её частичных сумм стремится к c? Заметим, что в силу необходимого условия сходимости, ak→0 при k→∞ и значит a+k→0 и a−k→0. Это означает, что limm→∞b+m=0 и liml→∞b−l=0. То есть скачки, которые мы совершаем каждый раз, стремятся к нулю. Однако, расстояние от c до очередной частичной суммы не превосходит модуля длины последнего скачка, после которого мы перескочили через c. Этот скачок равен соответствующему элементу последовательности ak, и его номер стремится к бесконечности, поскольку при каждом проходе «вправо» мы берём как минимум один элемент из последовательности положительных членов, а при проходе «влево» берём как минимум один элемент из последовательности отрицательных членов. Значит, k как минимум не меньше, чем число проходов вправо и влево. Поэтому расстояние от c до очередной частичной суммы стремится к нулю.

    Теорема доказана.∎

    28.4Заключение

    Ряды естественным образом возникают в ситуациях, когда есть какая-то величина, меняющаяся дискретно (в отдельные моменты времени), и нас интересует, как это величина накапливается. Сложные проценты в финансах, расчёты платежей в теории игр, математические ожидания дискретных случайных величин в теории вероятностей — во всех этих областях появляются ряды. Особенно важно понимать, какие ряды сходятся, а какие нет — и мы подробно обсудили несколько достаточно универсальных признаков, применимых в широком спектре ситуаций. К сожалению, нахождение значений рядов — задача ещё более сложная, чем нахождение сумм интегралов. Впрочем, если вы хотите углубиться в эту тему, могу рекомендовать книгу «Конкретная математика. Основание информатики» (Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Поташник). Там эта тема обсуждается подробно.

    А мы подходим к концу курса. Осталась буквально одна тема. И это будет что-то новое!


    ← Предыдущая глава Следующая глава →

    Сумма ряда на практике

    Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

    Пример 1. 4 Вычислить сумму рядов:
    а)
    Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0

    то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения

    В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов

    Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.

    На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
    Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
    б)
    Вычисления: Находим границу n-го члена суммы

    Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком «плюс» или «минус».
    Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа

    Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей

    Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.

    В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6.

    Пример 1.9 Найти сумму ряда:
    а)
    Вычисления: Вычислениям границы

    убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа

    Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые

    Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда

    Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
    б)
    Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю

    Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа

    Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов

    Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях

    Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

    Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
    а)

    Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю

    данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей

    Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов

    После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.

    Сумма числового ряда равна -1/30.
    б)
    Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,

    то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.

    При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание

    Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся

    Сумма ряда равна 4,5.

    Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
    а)
    Вычисления: Находим границу общего члена ряда

    Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби

    Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.

    В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
    б)
    Вычисления: Находим границу общего члена ряда

    и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.

    Через такие же дроби расписываем сумму ряда

    Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых

    Сумма ряда равна 1/4.
    На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

    • Назад
    • Вперёд

    Сумма ряда x в степени n – dj-sensor.ru

    Содержание

    1. Введите данные для подчета суммы ряда
    2. Сходимость ряда
    3. Правила ввода выражений и функций
    4. Лучшие эксперты в этом разделе

    Введите данные для подчета суммы ряда

    Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

    Сходимость ряда

    Данный калькулятор умеет определять – сходится ли ряд, также показывает – какие признаки сходимости срабатывают, а какие – нет.

    Также умеет определять сходимость степенных рядов.

    Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

    Правила ввода выражений и функций

    © Контрольная работа РУ – калькуляторы онлайн

    Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку

    то ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

    Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

    здесь и соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D 1 – расходится. При D = 1 – данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

    В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

    Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

    Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

    здесь n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D 1 – расходится. При D = 1 – данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

    В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для . Теперь найдем соответствующий предел:

    Читайте также:  Что означает три точки в математике

    Поскольку 1′ title=’15625/64>1′ /> , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

    Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

    Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

    Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

    Консультации и решение задач по алгебре, геометрии, анализу, дискретной математике.

    Лучшие эксперты в этом разделе

    Коцюрбенко Алексей Владимирович
    Статус: Модератор
    Рейтинг: 1690
    epimkin
    Статус: Бакалавр
    Рейтинг: 386
    Roman Chaplinsky / Химик CH
    Статус: Модератор
    Рейтинг: 380
    Перейти к консультации №:

    Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:Укажите, чему равна сумма ряда х в степени n:
    1) е в степени x (x-любое)
    2) 1/(x+1) (-1 Последнее редактирование 17.11.2016, 16:03 Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)

    Состояние: Консультация закрыта

    Здравствуйте, Алексей Валентинович!

    По-моему, правильный ответ 5).

    P. S. Как Вы сами правильно заметили в мини-форуме консультации, всё-таки правильный ответ 3), а не 5).

    0

    Отправлять сообщения
    модераторам могут
    только участники портала.
    ВОЙТИ НА ПОРТАЛ »
    регистрация »

    Елена Васильевна
    Бакалавр

    ID: 398750

    Прикрепите фото задания

    Гордиенко Андрей Владимирович
    Специалист

    ID: 17387

    Известны следующие “стандартные” разложения:

    Тимофеев Алексей Валентинович
    Профессионал

    ID: 304951

    Мне не переслать фото.Там написан такой ряд: Сигма от 0 до бесконечности x в степени n. И сумма этого ряда равна одному из четырёх вариантов. Извините, забыл написать пятый вариант
    5) Среди предложенных вариантов ответа нет верного

    Читайте также:  Что значит значок якоря в ворде

    Гордиенко Андрей Владимирович
    Специалист

    ID: 17387

    Тогда, по-моему, правильный ответ 5).

    Гордиенко Андрей Владимирович
    Специалист

    ID: 17387

    Почему-то невозможно отправить ответ и в этой консультации. 3+. при -1 Специалист

    ID: 17387

    Даже стыдно стало. Прошу извинить! Ответ, с Вашего согласия, исправлю. На будущее учту.

    Возможность оставлять сообщения в мини-форумах консультаций доступна только после входа в систему.
    Воспользуйтесь кнопкой входа вверху страницы, если Вы зарегистрированы или пройдите простую процедуру регистрации на Портале.

    • Автор: Мария Сухоруких