Интегральные функции:
- Si(x)
- Интегральный синус от x
- Ci(x)
- Интегральный косинус от x
- Shi(x)
- Интегральный гиперболический синус от x
- Chi(x)
- Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
- Действительные числа
- вводить в виде 7. 3
- — возведение в степень
- x + 7
- — сложение
- x — 6
- — вычитание
- 15/7
- — дробь
Другие функции:
- asec(x)
- Функция — арксеканс от x
- acsc(x)
- Функция — арккосеканс от x
- sec(x)
- Функция — секанс от x
- csc(x)
- Функция — косеканс от x
- floor(x)
- Функция — округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
- ceiling(x)
- Функция — округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
- sign(x)
- Функция — Знак x
- erf(x)
- Функция ошибок (или интеграл вероятности)
- laplace(x)
- Функция Лапласа
- asech(x)
- Функция — гиперболический арксеканс от x
- csch(x)
- Функция — гиперболический косеканс от x
- sech(x)
- Функция — гиперболический секанс от x
- acsch(x)
- Функция — гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
- Число «Пи», которое примерно равно ~3. 14159..
- e
- Число e — основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183..
- i
- Комплексная единица
- oo
- Символ бесконечности — знак для бесконечности
Обратные функции
Обратная функция работает в обратном направлении!
Начнем с примера:
Здесь у нас есть функция f(x) = 2x+3 , записанная в виде блок-схемы:
Таким образом, инверсия: 2x+3 равна: (y-3)/2
Инверсия обычно отображается путем добавления небольшого «-1» после имени функции, например:
f -1 (y)
Мы говорим « f обратное y»
Итак, обратное выражение f(x) = 2x+3 записывается:
f -1 ) = (y-3)/2
(я также использовал y вместо x , чтобы показать, что мы используем другое значение). что она должна вернуть нам исходное значение:
Когда функция f превращает яблоко в банан,
Тогда обратная функция f -1 превращает банан обратно в яблоко
Пример:
Используя приведенные выше формулы, мы можем начать с x=4:
f(4) = 2×4 +3 = 11
Затем мы можем использовать обратное число 11:
f -1 (11) = (11-3)/2 = 4
И мы волшебным образом снова получаем 4 !
Мы можем записать это в одну строку:
f -1 ( f(4) ) = 4
0004
Таким образом, применение функции f, а затем обратной функции f -1 снова дает нам исходное значение:
f -1 ( f(x) ) = x
другой порядок, и он все еще работает:
f( f -1 (x)) = x
Пример:
Начните с:
f -1 (11) = (11-3)/2 = 4
И тогда:
f(4) = 2×4+3 = 11
Итак, мы можем сказать:
f( f -1 (11) ) = 11
«f от f, обратное 11, равно 11»
Решить с помощью алгебры
Мы можем решить обратное с помощью алгебры. Поместите «y» вместо «f(x)» и решите для x:
Функция: | ф(х) | = | 2x+3 | |
Поставьте «y» вместо «f(x)»: | г | = | 2x+3 | |
Вычесть 3 с обеих сторон: | у-3 | = | 2x | |
Разделите обе части на 2: | (у-3)/2 | = | х | |
Поменять стороны: | х | = | (у-3)/2 | |
Решение (поместите «f -1 (y)» вместо «x»): | ф -1 (у) | = | (у-3)/2 |
Этот метод хорошо работает для более сложных инверсий.
Фаренгейты в Цельсии
Полезным примером является преобразование Фаренгейтов в Цельсии:
Чтобы преобразовать Фаренгейты в Цельсии: f(F) = (F — 32) × 5 9
400 9 Обратная функция (обратно по Цельсию в градусы Фаренгейта): f -1 (C) = (C × 9 5 ) + 32Для вас: посмотрите, сможете ли вы выполнить шаги для создания этой инверсии!
Обратные общие функции
До сих пор это было легко, потому что мы знаем, что обратная функция умножения — это деление, а обратная функция сложения — вычитание, но как насчет других функций?
Вот список, который вам поможет:
Инверсия | Осторожно! | ||
<=> | |||
<=> | Не делить на ноль | ||
1 х | <=> | 1 г | x и y не равны нулю |
<=> | х и у ≥ 0 | ||
x нет | <=> | или | n не ноль (разные правила когда n нечетное, четное, отрицательное или положительное) |
е х | <=> | п(у) | г > 0 |
а х | <=> | журнал а (у) | у и а > 0 |
грех(х) | <=> | грех -1 (у) | от -π/2 до +π/2 |
кос(х) | <=> | соз -1 (у) | от 0 до π |
желто-коричневый(х) | <=> | рыжевато-коричневый -1 (у) | от -π/2 до +π/2 |
(Примечание: вы можете прочитать больше об арксинусе, косинусе и тангенсе. )
Осторожно!
Вы видели «Осторожно!» колонка выше? Это потому, что некоторые инверсии работают с только с определенными значениями .
Пример: Возведение в квадрат и квадратный корень
Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , а затем делаем обратное, получается следующее:
Квадрат:(−2) 2 = 4
Обратное (квадратный корень): √(4) = 2
Но мы не вернули исходное значение! Мы получили 2 вместо −2 . Наша вина, что мы не были осторожны!
Таким образом, функция квадрата (в ее нынешнем виде) не имеет обратной
Но мы можем это исправить!
Ограничить домен (значения, которые могут быть переданы в функцию).
Пример: (продолжение)
Только убедитесь, что мы не используем отрицательные числа.
Другими словами, ограничьте его до x ≥ 0 , и тогда мы получим обратное.
Итак, у нас есть такая ситуация:
- x 2 имеет ли , а не обратную
- но {х 2 | x ≥ 0 } (что говорит «x в квадрате, так что x больше или равен нулю», используя нотацию построителя наборов) имеет ли инверсию.
Нет обратного?
Чтобы получить обратное значение, нам нужно уникальных значений .
Только подумайте… если есть два или более x-значений для одного y-значения , как мы узнаем, какое из них выбрать при возвращении?
Общие функции |
Нет обратного |
Представьте, что мы пришли из x 1 к определенному значению y, куда мы вернемся? х 1 или х 2 ?
В этом случае у нас не может быть обратного.
Но если мы можем иметь ровно один x для каждого y, мы можем получить обратное.
Это называется «однозначным соответствием» или Биективной функцией, например
Биективной функцией |
Имеет обратную |
Функция должна быть «биективной», чтобы иметь обратную.
Таким образом, биективная функция подчиняется более строгим правилам, чем общая функция, что позволяет нам иметь обратную функцию.
Домен и диапазон
Так о чем все эти разговоры о « Ограничение домена «?
В своей простейшей форме домен — это все значения, которые входят в функцию (а диапазон — это все значения, которые выходят).
В представленном выше виде функция , а не имеет обратную функцию, потому что некоторые значения y будут иметь более одного значения x.
Но мы могли бы ограничить домен, чтобы было уникальный x для каждого y …
… и теперь мы можем иметь обратное:
Обратите также внимание:
- Функция f(x) переходит из домена в диапазон ,
- Обратная функция f -1 (y) переходит из диапазона обратно в домен.
Давайте изобразим их обоих с точки зрения x . .. так что теперь f -1 (x) , а не f -1 (y) :
f(x) и f -1 (x) подобны зеркальным отражениям
(перевернуто по диагонали).
Другими словами:
График f(x) и f -1 (x) симметричен относительно прямой y=x
Пример:
)
Сначала , мы ограничиваем домен до x ≥ 0 :
- {x 2 | x ≥ 0 } «x в квадрате так, что x больше или равен нулю»
- {√x | x ≥ 0 } «квадратный корень из x такой, что x больше или равен нулю»
И вы можете видеть, что они «зеркальные изображения»
относительно диагонали y=x.
Примечание. Когда мы ограничиваем домен до x ≤ 0 (меньше или равно 0), обратное значение равно 9.0009 f -1 (x) = −√x :
- {x 2 | х ≤ 0 }
- {−√x | х ≥ 0 }
Которые тоже обратные.
Не всегда решаемо!
Иногда невозможно найти обратную функцию.
Пример: f(x) = x/2 + sin(x)
Мы не можем вычислить обратное, потому что мы не можем найти «x»:
y = x/2 + sin(x)
г … ? = х
Примечания к обозначениям
Несмотря на то, что мы пишем f -1 (x), «-1» равно , а не степени (или степени):
f -1 (32) …отличается от… | ф(х) -1 | |
Обратная функция f | ф(х) -1 = 1/ф(х) (Взаимное) |
Резюме
- Обратное значение f(x) равно f -1 (y)
- Мы можем найти обратное, обратив «блок-схему»
- Или мы можем найти обратное, используя алгебру:
- Поставьте «y» вместо «f(x)» и
- Найти x
- Нам может понадобиться ограничить домен , чтобы функция имела обратную
Обратные функции
Обратные функции
|
Содержание: Эта страница соответствует § 1. 7 (стр. 150) текста.
Предполагаемые проблемы из сообщения
стр.158 #1-4, 5, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 21, 22, 27, 31, 34, 37, 46, 48, 51, 71, 74, 83
Определение обратной функции
Графики обратных функций
Существование инверсии
Нахождение инверсий
Определение обратной функции
Прежде чем определять обратную функцию, нам нужно иметь правильный мысленный образ функции.
Рассмотрим функцию f(x) = 2x + 1. Мы знаем, как вычислить f при 3, f(3) = 2*3 + 1 = 7. В этом разделе помогает думать о f как о преобразовании 3 в 7, а f превращает 5 в 11 и т. д.
Теперь, когда мы думаем о f как о «действии» на числа и их преобразовании, мы можем определить обратную функцию f как функцию, которая «отменяет» то, что сделал f. Другими словами, функция, обратная f, должна вернуть 7 к 3, и вернуть -3 обратно в -2 и т. д.
Пусть g(x) = (x — 1)/2. Тогда g(7) = 3, g(-3) = -2 и g(11) = 5, поэтому g, похоже, отменяет то, что сделал f, по крайней мере для этих трех значений. Чтобы доказать, что g является обратным значением f, мы должны показать, что это верно для любого значения x в домен ф. Другими словами, g должен вернуть f(x) обратно к x для всех значений x в области определения f. Итак, g(f(x)) = x должно выполняться для всех x в области определения f. Способ проверки этого условия состоит в том, чтобы убедиться, что формула для g(f(x)) упрощается до х.
г (f (х)) = г (2х + 1) = (2х + 1 -1)/2 = 2х/2 = х.
Это упрощение показывает, что если мы выберем любое число и позволим f воздействовать на него, то применение g к результату восстанавливает наш исходный номер. Нам также нужно увидеть, что этот процесс работает в обратном порядке, или что f также отменяет то, что делает g.
f(g(x)) = f((x — 1)/2) = 2(x — 1)/2 + 1 = x — 1 + 1 = x.
Обозначив f -1 , обратную f, мы только что показали, что g = f -1 .
Определение:
Пусть f и g — две функции. Если
f(g(x)) = x и g(f(x)) = x,
, то g является обратным значением f, а f является обратным значением g.
Упражнение 1:
(a) Откройте калькулятор Java и введите формулы для f и g. Обратите внимание, что вы берете куб корень путем повышения до (1/3), и вам нужно ввести показатель степени как (1/3), а не десятичное приближение. Таким образом, текст для поля g будет 9(1/3)
Используйте калькулятор для вычисления f(g(4)) и g(f(-3)). g обратна f, но из-за округления ошибка, калькулятор может не вернуть точное значение, с которого вы начали. Попробуйте f(g(-2)). Ответы будут разными для разные компьютеры. Однако на нашей тестовой машине функция f(g(4)) вернула 4; g(f(-3)) вернул 3; но f(g(-2)) вернул -1,9999999999999991, что довольно близко к -2.
Калькулятор может дать нам хорошее представление о том, что g является обратным значением f, но мы не можем проверить все возможные значения х.
(b) Докажите, что g является обратной величиной f, упростив формулы для f(g(x) и g(f(x)).
Вернуться к содержанию
Графики обратных функций
Мы видели примеры отражений в плоскости. Отражение точки (a,b) относительно оси x равно (a,-b), а отражение (a,b) относительно оси y равно (-a,b). Теперь мы хотим подумать о линии y = x.
Отражение точки (a,b) относительно прямой y = x является точкой (b,a) .
Пусть f(x) = x 3 + 2. Тогда f(2) = 10 и точка (2,10) находится на графике f. Обратное f должно вернуть 10 к 2, т. е. f -1 (10)=2, поэтому точка (10,2) находится на графике f -1 . Смысл (10,2) есть отражение на линии y = x точки (2,10). То же самое можно сделать для всех точек на графики f и f -1 .
График f -1 является отражением относительно линии y = x графика f.
- Видео: x 3 + c Анимированный Gif, Файл MS Avi, или Real Видео файл
- Видео: x 2 + c Анимированный Gif, Файл MS Avi, или Real Видео файл
Вернуться к содержанию
Существование инверсии
Некоторые функции не имеют обратных функций. Например, рассмотрим f(x) = x 2 . Есть два числа что f принимает значение 4, f(2) = 4 и f(-2) = 4. Если бы f было обратным, то тот факт, что f(2) = 4, подразумевал бы, что обратная функция f возвращает 4 обратно в 2. С другой стороны, поскольку f(-2) = 4, обратная функция f должна преобразовать 4 в -2. Следовательно, не существует функции, обратной f.
Посмотрите на ту же задачу с точки зрения графиков. Если бы у f была обратная, то ее график был бы отражением график f относительно прямой y = x. График f и его отражение относительно y = x нарисованы ниже.
Обратите внимание, что отраженный график не проходит тест вертикальной линии, так что это не график функции.
Это обобщается следующим образом: функция f имеет обратную тогда и только тогда, когда ее график отражается относительно линия y = x, результатом является график функции (проходит тест вертикальной линии). Но это можно упростить. Прежде чем отражать график, мы можем сказать, будет ли какая-либо вертикальная линия пересекаться более одного раза. как горизонтальные линии пересекают исходный график!
Проверка горизонтальной линии
Пусть f — функция.
Если любая горизонтальная линия пересекает график f более одного раза, то f не имеет обратной.
Если ни одна горизонтальная линия не пересекает график функции f более одного раза, то функция f имеет обратную.
Свойство наличия инверсии очень важно в математике, и у него есть имя.
Определение : Функция f является однозначной тогда и только тогда, когда f имеет обратную.
Следующее определение эквивалентно, и оно чаще всего дается для взаимно однозначного ответа.
Альтернативное определение : Функция f является однозначной , если для каждого a и b в своей области определения f(a) = f(b) влечет a = b.
Упражнение 2:
9(1/3) (кубический корень из х). Ответ
Вернуться к содержанию
Нахождение инверсий
Пример 1. Сначала рассмотрим простой пример f(x) = 3x + 2 .
График функции f представляет собой линию с наклоном 3, поэтому он проходит тест горизонтальной линии и имеет обратную сторону.
Для вычисления f по числу x требуется два шага. Сначала умножаем x на 3, затем прибавляем 2.
Думая об обратной функции как об отмене действия f, мы должны отменить эти шаги в обратном порядке.
Шаги, необходимые для вычисления f -1 , состоят в том, чтобы сначала отменить сложение 2 путем вычитания 2. Затем мы отменяем умножение на 3 делением на 3.
Следовательно, f -1 (х) = (х — 2)/3.
Шаги для нахождения обратной функции f.
- Замените f(x) на y в уравнении, описывающем функцию.
- Развязка x и y. Другими словами, замените каждый x на y и наоборот.
- Решите для y.
- Заменить y на f -1 (x).
Пример 2. f(x) = 6 — x/2
Этап 1 | у = 6 — х/2. |
Шаг 2 | х = 6 — у/2. |
Этап 3 | х = 6 — у/2. у/2 = 6 — х. у = 12 — 2х. |
Шаг 4 | ф -1 (х) = 12 — 2х. |
Шаг 2 часто сбивает учащихся с толку. Мы могли бы пропустить шаг 2 и найти x вместо y, но тогда мы получили бы с формулой в y вместо x. Формула будет та же, но переменная будет другой. Избегать это мы просто меняем роли x и y, прежде чем решить.
Пример 3. f(x) = x 3 + 2
Это функция, с которой мы работали в упражнении 1. Из ее графика (показанного выше) видно, что она имеет обратный. (На самом деле в упражнении 1 дано обратное значение)
Этап 1 у = х 3 + 2. Шаг 2 х = у 9(1/3).
Упражнение 3:
График f(x) = 1 — 2x 3 , чтобы увидеть, что у него есть обратный.