1 x уравнение: Mathway | Популярные задачи

Для вас: посмотрите, сможете ли вы выполнить шаги для создания этой инверсии!

Обратные общие функции

До сих пор это было легко, потому что мы знаем, что обратная функция умножения — это деление, а обратная функция сложения — вычитание, но как насчет других функций?

Вот список, который вам поможет:

(Примечание: вы можете прочитать больше об арксинусе, косинусе и тангенсе. )

Осторожно!

Вы видели «Осторожно!» колонка выше? Это потому, что некоторые инверсии работают с только с определенными значениями .

Пример: Возведение в квадрат и квадратный корень

Когда мы возводим в квадрат отрицательное число , а затем делаем обратное, получается следующее:

Квадрат:(−2) ² = 4

Обратное (квадратный корень): √(4) = 2

Но мы не вернули исходное значение! Мы получили 2 вместо −2 . Наша вина, что мы не были осторожны!

Таким образом, функция квадрата (в ее нынешнем виде) не имеет обратной

Но мы можем это исправить!

Ограничить домен (значения, которые могут быть переданы в функцию).

Пример: (продолжение)

Только убедитесь, что мы не используем отрицательные числа.

Другими словами, ограничьте его до x ≥ 0 , и тогда мы получим обратное.

Итак, у нас есть такая ситуация:

• x ² имеет ли , а не обратную
• но {х ² | x ≥ 0 } (что говорит «x в квадрате, так что x больше или равен нулю», используя нотацию построителя наборов) имеет ли инверсию.

Нет обратного?

Чтобы получить обратное значение, нам нужно уникальных значений .

Только подумайте… если есть два или более x-значений для одного y-значения , как мы узнаем, какое из них выбрать при возвращении?

Представьте, что мы пришли из x ₁ к определенному значению y, куда мы вернемся? х ₁ или х ₂ ?

В этом случае у нас не может быть обратного.

Но если мы можем иметь ровно один x для каждого y, мы можем получить обратное.

Это называется «однозначным соответствием» или Биективной функцией, например

Функция должна быть «биективной», чтобы иметь обратную.

Таким образом, биективная функция подчиняется более строгим правилам, чем общая функция, что позволяет нам иметь обратную функцию.

Домен и диапазон

Так о чем все эти разговоры о « Ограничение домена «?

В своей простейшей форме домен — это все значения, которые входят в функцию (а диапазон — это все значения, которые выходят).

В представленном выше виде функция , а не имеет обратную функцию, потому что некоторые значения y будут иметь более одного значения x.

Но мы могли бы ограничить домен, чтобы было уникальный x для каждого y …

… и теперь мы можем иметь обратное:

Обратите также внимание:

• Функция f(x) переходит из домена в диапазон ,
• Обратная функция f ^-1 (y) переходит из диапазона обратно в домен.

Давайте изобразим их обоих с точки зрения x . .. так что теперь f ^-1 (x) , а не f ^-1 (y) :

f(x) и f ^-1 (x) подобны зеркальным отражениям
(перевернуто по диагонали).

Другими словами:

График f(x) и f ^-1 (x) симметричен относительно прямой y=x

Пример:

)

Сначала , мы ограничиваем домен до x ≥ 0 :

• {x ² | x ≥ 0 } «x в квадрате так, что x больше или равен нулю»
• {√x | x ≥ 0 } «квадратный корень из x такой, что x больше или равен нулю»

И вы можете видеть, что они «зеркальные изображения»
относительно диагонали y=x.

Примечание. Когда мы ограничиваем домен до x ≤ 0 (меньше или равно 0), обратное значение равно 9.0009 f ^-1 (x) = −√x :

• {x ² | х ≤ 0 }
• {−√x | х ≥ 0 }

Которые тоже обратные.

Не всегда решаемо!

Иногда невозможно найти обратную функцию.

Пример: f(x) = x/2 + sin(x)

Мы не можем вычислить обратное, потому что мы не можем найти «x»:

y = x/2 + sin(x)

г … ? = х

Примечания к обозначениям

Несмотря на то, что мы пишем f ^-1 (x), «-1» равно , а не степени (или степени):

Резюме

• Обратное значение f(x) равно f ^-1 (y)
• Мы можем найти обратное, обратив «блок-схему»
• Или мы можем найти обратное, используя алгебру:
  • Поставьте «y» вместо «f(x)» и
  • Найти x
• Нам может понадобиться ограничить домен , чтобы функция имела обратную

Обратные функции

Содержание: Эта страница соответствует § 1. 7 (стр. 150) текста.

Предполагаемые проблемы из сообщения

стр.158 #1-4, 5, 8, 9, 12, 13, 15, 18, 21, 22, 27, 31, 34, 37, 46, 48, 51, 71, 74, 83

Определение обратной функции

Графики обратных функций

Существование инверсии

Нахождение инверсий

Определение обратной функции

Прежде чем определять обратную функцию, нам нужно иметь правильный мысленный образ функции.

Рассмотрим функцию f(x) = 2x + 1. Мы знаем, как вычислить f при 3, f(3) = 2*3 + 1 = 7. В этом разделе помогает думать о f как о преобразовании 3 в 7, а f превращает 5 в 11 и т. д.

Теперь, когда мы думаем о f как о «действии» на числа и их преобразовании, мы можем определить обратную функцию f как функцию, которая «отменяет» то, что сделал f. Другими словами, функция, обратная f, должна вернуть 7 к 3, и вернуть -3 обратно в -2 и т. д.

Пусть g(x) = (x — 1)/2. Тогда g(7) = 3, g(-3) = -2 и g(11) = 5, поэтому g, похоже, отменяет то, что сделал f, по крайней мере для этих трех значений. Чтобы доказать, что g является обратным значением f, мы должны показать, что это верно для любого значения x в домен ф. Другими словами, g должен вернуть f(x) обратно к x для всех значений x в области определения f. Итак, g(f(x)) = x должно выполняться для всех x в области определения f. Способ проверки этого условия состоит в том, чтобы убедиться, что формула для g(f(x)) упрощается до х.

г (f (х)) = г (2х + 1) = (2х + 1 -1)/2 = 2х/2 = х.

Это упрощение показывает, что если мы выберем любое число и позволим f воздействовать на него, то применение g к результату восстанавливает наш исходный номер. Нам также нужно увидеть, что этот процесс работает в обратном порядке, или что f также отменяет то, что делает g.

f(g(x)) = f((x — 1)/2) = 2(x — 1)/2 + 1 = x — 1 + 1 = x.

Обозначив f ^-1 , обратную f, мы только что показали, что g = f ^-1 .

Определение:

Пусть f и g — две функции. Если

f(g(x)) = x и g(f(x)) = x,

, то g является обратным значением f, а f является обратным значением g.

Упражнение 1:

(a) Откройте калькулятор Java и введите формулы для f и g. Обратите внимание, что вы берете куб корень путем повышения до (1/3), и вам нужно ввести показатель степени как (1/3), а не десятичное приближение. Таким образом, текст для поля g будет 9(1/3)

Используйте калькулятор для вычисления f(g(4)) и g(f(-3)). g обратна f, но из-за округления ошибка, калькулятор может не вернуть точное значение, с которого вы начали. Попробуйте f(g(-2)). Ответы будут разными для разные компьютеры. Однако на нашей тестовой машине функция f(g(4)) вернула 4; g(f(-3)) вернул 3; но f(g(-2)) вернул -1,9999999999999991, что довольно близко к -2.

Калькулятор может дать нам хорошее представление о том, что g является обратным значением f, но мы не можем проверить все возможные значения х.

(b) Докажите, что g является обратной величиной f, упростив формулы для f(g(x) и g(f(x)).

Вернуться к содержанию

Графики обратных функций

Мы видели примеры отражений в плоскости. Отражение точки (a,b) относительно оси x равно (a,-b), а отражение (a,b) относительно оси y равно (-a,b). Теперь мы хотим подумать о линии y = x.

Отражение точки (a,b) относительно прямой y = x является точкой (b,a) .

Пусть f(x) = x ³ + 2. Тогда f(2) = 10 и точка (2,10) находится на графике f. Обратное f должно вернуть 10 к 2, т. е. f ^-1 (10)=2, поэтому точка (10,2) находится на графике f ^-1 . Смысл (10,2) есть отражение на линии y = x точки (2,10). То же самое можно сделать для всех точек на графики f и f ^-1 .

График f ^-1 является отражением относительно линии y = x графика f.

• Видео: x ³ + c Анимированный Gif, Файл MS Avi, или Real Видео файл
• Видео: x ² + c Анимированный Gif, Файл MS Avi, или Real Видео файл

Вернуться к содержанию

Существование инверсии

Некоторые функции не имеют обратных функций. Например, рассмотрим f(x) = x ² . Есть два числа что f принимает значение 4, f(2) = 4 и f(-2) = 4. Если бы f было обратным, то тот факт, что f(2) = 4, подразумевал бы, что обратная функция f возвращает 4 обратно в 2. С другой стороны, поскольку f(-2) = 4, обратная функция f должна преобразовать 4 в -2. Следовательно, не существует функции, обратной f.

Посмотрите на ту же задачу с точки зрения графиков. Если бы у f была обратная, то ее график был бы отражением график f относительно прямой y = x. График f и его отражение относительно y = x нарисованы ниже.

Обратите внимание, что отраженный график не проходит тест вертикальной линии, так что это не график функции.

Это обобщается следующим образом: функция f имеет обратную тогда и только тогда, когда ее график отражается относительно линия y = x, результатом является график функции (проходит тест вертикальной линии). Но это можно упростить. Прежде чем отражать график, мы можем сказать, будет ли какая-либо вертикальная линия пересекаться более одного раза. как горизонтальные линии пересекают исходный график!

Проверка горизонтальной линии

Пусть f — функция.

Если любая горизонтальная линия пересекает график f более одного раза, то f не имеет обратной.

Если ни одна горизонтальная линия не пересекает график функции f более одного раза, то функция f имеет обратную.

Свойство наличия инверсии очень важно в математике, и у него есть имя.

Определение : Функция f является однозначной тогда и только тогда, когда f имеет обратную.

Следующее определение эквивалентно, и оно чаще всего дается для взаимно однозначного ответа.

Альтернативное определение : Функция f является однозначной , если для каждого a и b в своей области определения f(a) = f(b) влечет a = b.

Упражнение 2:

9(1/3) (кубический корень из х). Ответ

Вернуться к содержанию

Нахождение инверсий

Пример 1. Сначала рассмотрим простой пример f(x) = 3x + 2 .

График функции f представляет собой линию с наклоном 3, поэтому он проходит тест горизонтальной линии и имеет обратную сторону.

Для вычисления f по числу x требуется два шага. Сначала умножаем x на 3, затем прибавляем 2.

Думая об обратной функции как об отмене действия f, мы должны отменить эти шаги в обратном порядке.

Шаги, необходимые для вычисления f ^-1 , состоят в том, чтобы сначала отменить сложение 2 путем вычитания 2. Затем мы отменяем умножение на 3 делением на 3.

Следовательно, f ^-1 (х) = (х — 2)/3.

Шаги для нахождения обратной функции f.

1. Замените f(x) на y в уравнении, описывающем функцию.
2. Развязка x и y. Другими словами, замените каждый x на y и наоборот.
3. Решите для y.
4. Заменить y на f ^-1 (x).

Пример 2.   f(x) = 6 — x/2

Этап 1	у = 6 — х/2.
Шаг 2	х = 6 — у/2.
Этап 3	х = 6 — у/2. у/2 = 6 — х. у = 12 — 2х.
Шаг 4	ф -1 (х) = 12 — 2х.

Шаг 2 часто сбивает учащихся с толку. Мы могли бы пропустить шаг 2 и найти x вместо y, но тогда мы получили бы с формулой в y вместо x. Формула будет та же, но переменная будет другой. Избегать это мы просто меняем роли x и y, прежде чем решить.

Пример 3.   f(x) = x ³ + 2

Это функция, с которой мы работали в упражнении 1. Из ее графика (показанного выше) видно, что она имеет обратный. (На самом деле в упражнении 1 дано обратное значение)

Этап 1	у = х 3 + 2.
Шаг 2	х = у 9(1/3).

Упражнение 3:

График f(x) = 1 — 2x ³ , чтобы увидеть, что у него есть обратный.

No related posts.