100 формул тригонометрия: Формулы по тригонометрии

Sin θ = \(\frac{P}{H}\)
Cos θ = \(\frac{B}{H}\)
Tan θ = \(\frac{P}{B}\)
Cosec θ = \(\frac{H}{P}\)
Sec θ = \(\frac{H}{B}\)
Cot θ = \(\frac{B}{P}\)

Пифагор Теорема

Теорема Пифагора: Для прямоугольного треугольника, как указано ниже, квадрат длины гипотенузы всегда равен сумме квадратов двух других сторон.

(CA) ² = (AB) ² + (BC) ²
H ² = P ² + B ²

Тригонометрическая таблица

Тригонометрическая таблица используется для получения значений тригонометрических отношений под определенным углом, которые определены в таблице. используя таблицу тригонометрии, мы можем легко вычислить значения тригонометрических соотношений при углах – 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270°, 360°

Таблица тригонометрии 1 : Угол составляют от 0° до 90° [Углы в градусах] – первые три тригонометрических соотношения

ϩ	0 °	30 °	45 °	60 °	90 °
SIN
SIN
°. )	\( \frac{1}{√2} \)	\( \frac{√3}{2} \)	1
Cos ∠A	1	\(frac {√3}{2} \)	\( \frac{1}{√2} \)	\( \frac{1}{2} \)	0
tan ∠A	0	\( \frac{1}{√3} \)	1	√3	Not Defined

Trigonometry Table 2 : Angle are from 0° to 360° [ Angles are in degree ] – All trigonometric ratios

∠θ	0 °	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Sin ∠θ	0	\( \frac{1} {2} \)	\( \frac{1}{√2} \)	\ (\ frac {√3} {2} \)	1	1	-1	0
COS тий	1	\ (\ FRAC it	1	1	1	1	1
1
\( \frac{1}{√2} \)	\( \frac{1}{2} \)	0	-1	0	-1
0	\( \frac{1}{√3} \)	1	√3	∞	0	-∞	0
Cosec θ	∞	2	√2	\ (\ frac {2} {√3} \)	1	1	-1	∞		-1	∞		88888888		89008				8	8		89008 8																		.				. \( \frac{2}{√3} \)	√2	2	∞	-1	0	-1
Cot ∠θ	∞	√3	1	\( \frac{1}{√3} \)	0	∞	0	∞

Trigonometry Table 3 : Angle are from 0 to 2π [ Angles are in radian ]

∠θ	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π
SIN RTIT	0	\ (\ FRAC {1 {2} \)	\)	\( \frac{√3}{2} \)	1	1	-1	0
Cos ∠θ	1	\( \frac{√3}{2} \)	\( \frac{1}{√2} \)	\( \frac{1}{2} \)	0	-1	0	-1
TAN тий	0	\ (\ FRAC {1} {√3} \)	\. ∞	0	-∞	0
Cosec θ	∞	2	√2	\( \frac{2}{√3} \)	1	1	-1	∞
Sec ϩ	1	\ (\ FRAC {2} {√3} \)	√2	2	эй}	. 0	-1
Cot ∠θ	∞	√3	1	\( \frac{1}{√3} \)	0	∞	0	∞

Тригонометрические соотношения отношение друг к другу

Все шесть тригонометрических соотношений связаны друг с другом обратной величиной следующим образом:

Sin θ = \(\frac{1}{Cosec \ θ }\) θ }\)
Tan θ = \(\frac{1}{Cot\ θ}\)
Cosec θ = \(\frac{1}{Sin \ θ}\)
Sec θ = \(\frac{1 }{Cos \ θ }\)
Cot θ = \(\frac{1}{tan\ θ }\)

Tan θ = \(\frac{Sin\ θ}{Cos \ θ }\)
Cot θ = \(\frac{Cos\ θ}{Sin\ θ}\)

Тригонометрическое отношение дополнительных/дополнительных углов

Вот все формулы тригонометрии дополнительных и дополнительных углов.
A. Тригонометрические формулы дополнительных углов
1. Cos ( \(\frac{π}{2}\) – x ) = Sin x
2. Cos (\(\frac{π}{2}\) + x ) = – Sin x
3. Sin (\(\frac{π}{2}\) + x ) = Cos x
4. Sin (\(\frac{π}{2}\) – x ) = Cos x

B. Тригонометрические формулы дополнительных углов
1. Sin (π – x) = Sin x
2. Sin (π + x )= – Sin x
3. Cos (π+ x ) = – cos x
4. Cos (π – x ) = -cos x

Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества – это отношения между всеми тригонометрическими отношениями одного или нескольких углов. Всего существует три тригонометрических тождества. Все тригонометрические тождества представлены ниже: —

a) Sin ² A +Cos ² A = 1
b) 1 + tan ² A = Sec ² A – для 0 ≤ A < 90
c) 1+ cot 2^{3 = Cosec 2 A – для 0 < A ≤ 90}

Тригонометрические формулы угла в виде градусов и радианов

Иногда мы используем углы в виде градусов, но некоторые вопросы решает угол в радианах. Итак, вот все формулы тригонометрии для углов в виде градусов и радианов.

Шестидесятеричная система (градусы)
1 прямой угол = 90 градусов (записывается как 90°)
1 градус (1°) = 60 минут (записывается как 60′)
1 минута (1′) = 60 секунд (записывается как 60″)

Столетняя система
1 прямой угол = 100 градусов (записывается как 100 ^g )
1 градус (1 ^g ) = 100 минут (записывается как 100′)
1 минута (10011 1 минута (100′) 100 минут (записывается как 100″ )

Круговая система
1 радиан = \(\frac{2}{π}\) rt ∠s

Связь между градусами и радианами
1 радиан = \(\frac{180°}{π}\) ⇒ π радиан = 180°
1 градус = \(\frac{π}{180°}\) ⇒ 180° = π радиан

Угол дуги Соотношение
θ = \(\frac{l}{r}\)

Тригонометрические функции

Вот формулы тригонометрии, связанные с суммой и произведением двух углов тригонометрических отношений

Sin ( x + y ) = Sin x cos y + cos x cos y
Sin ( x – y ) = Sin x cos y – cos x cos y
Sin ( x + x ) = Sin ( 2x ) = 2 sin x cos x
Cos ( x + y ) = Cos x cos y – sin x sin y
Cos ( x – y ) = Cos x cos y + sin x sin y
Cos ( x + x ) = Cos (2x) = Cos ² x -Sin ² x = 2Cos ² x – 1 = 1- 2Sin ² x

Tan (A+B) = \( \frac{ \ ( \ tan \ A \ + \ tan \ B \ ) }{ \ ( \ 1 \ – \ tan \ A \ tan \ B \ ) \ } \)

Tan (A-B) = \ (\frac{\tan{A}\ -\ \tan{B}}{1+\tan{A}\tan{B}} \)

Tan ( \( \frac{π}{4} \) + x ) = \( \frac{( \ 1 \ + \ tan \ x \ ) \ }{ \ ( \ 1 \ – \ tan \ x \ )} \) 92 \ A \ ) \ } \)

Sin (-x) = – sin x

Cos (-x) = Cos x

Tan (-x) = – tan x

Тригонометрическая формула произведений тригонометрических отношений

Формула тригонометрии, состоящая из произведения двух отношений, также полезна при решении вопросов тригонометрии. Вот тригонометрические формулы произведения тригонометрических отношений.

• 2 cos x cos y = cos(x – y ) + cos ( x + y )
• 2 sin x sin y = cos ( x — y ) — cos ( x + y )
• 2 sin x sin y = sin (x + y) + sin (x – y)
• 2 cos x sin y = sin (y + x) + sin (y – x) = sin (x + y) – sin (x – y)
• e ^it = стоимость t + i sin t

Тригонометрические формулы — список всех тригонометрических формул

Тригонометрические формулы — это наборы различных формул, включающих тригонометрические тождества, используемые для решения задач, основанных на сторонах и углах прямоугольного треугольника. Кроме того, существует множество тригонометрических тождеств и формул, которые можно использовать для упрощения выражений, решения уравнений и вычисления интегралов.

Эти формулы тригонометрии включают тригонометрические функции, такие как синус, косинус, тангенс, косеканс, секанс и котангенс для заданных углов. Давайте подробно изучим эти формулы, включающие тождества Пифагора, тождества произведения, тождества кофункций (углы сдвига), тождества суммы и разности, тождества двойного угла, тождества половинного угла и т. д., в следующих разделах.

1.	Что такое формулы тригонометрии?
2.	Основные формулы тригонометрии
3.	Взаимные тождества
4.	Пифагорейские тождества
5.	Таблица тригонометрических соотношений
6.	Формулы единичных окружностей
7.	Тригонометрические периодические тождества (в радианах)
8.	Идентичности кофункций (в градусах)
9.	Тождества суммы и разности
10.	Множественные и субмножественные углы
11.	Сумма и произведение тождеств
12.	Формулы обратной тригонометрии
13.	Законы синусов и косинусов
14.	Часто задаваемые вопросы о формулах тригонометрии

Что такое формулы тригонометрии?

Тригонометрические формулы — это математические выражения, связывающие углы и стороны прямоугольного треугольника. Они используются в тригонометрии для решения широкого круга задач, связанных с углами, расстояниями и высотами. Используя эти формулы, можно найти недостающую сторону или угол в прямоугольном треугольнике.

Помимо основных формул, таких как теорема Пифагора, существует множество тригонометрических тождеств и формул, которые можно использовать для упрощения выражений, решения уравнений и вычисления интегралов. Эти формулы являются важным инструментом для инженеров, математиков и ученых, работающих в различных областях.

Список всех формул тригонометрии

Давайте посмотрим на приведенные ниже наборы различных формул тригонометрии.

• Основные формулы тригонометрических отношений: формулы, относящиеся к основным тригонометрическим отношениям sin, cos, tan и т.
  д.
• Взаимные тождества: формулы, касающиеся взаимных отношений между коэффициентами триггера.
• Таблица тригонометрических соотношений: Значения тригонометрии представлены для стандартных углов в таблице тригонометрии.
• Периодические тождества: формулы тригонометрии, которые помогают найти значения тригонометрических функций для сдвига углов на π/2, π, 2π и т. д.
• Идентичности кофункций: формулы, отображающие взаимосвязи между тригонометрическими функциями.
• Тождества суммы и разности: формулы, используемые для нахождения значения тригонометрической функции суммы или разности углов.
• Половинные, двойные и тройные тождества: формулы, используемые для нахождения значений триггерных функций для половинных, двойных или тройных углов.
• Sum to Product Identities: формулы, используемые для представления произведения тригонометрических функций в виде их суммы или наоборот.
• Формулы обратной тригонометрии: формулы, относящиеся к обратным тригонометрическим функциям, таким как обратный синус, обратный косинус и т. д.
• Закон синусов и закон косинусов

Некоторые основные формулы тригонометрии можно увидеть на изображении ниже. Рассмотрим их подробно в следующих разделах.

Основные формулы тригонометрии

Основные формулы тригонометрии используются для нахождения соотношения между отношениями треугольников и отношением соответствующих сторон прямоугольного треугольника. В тригонометрии используются шесть основных тригонометрических отношений, также называемых тригонометрическими функциями: синус, косинус, секанс, косеканс, тангенс и котангенс, которые записываются как sin, cos, sec, csc, tan, cot. Тригонометрические функции и тождества выводятся с использованием прямоугольного треугольника в качестве эталона. Мы можем узнать значения синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса и котангенса, учитывая размеры прямоугольного треугольника, используя формулы тригонометрии как,

Формулы тригонометрических соотношений

• sin θ = Перпендикуляр/Гипотенуза
• cos θ = основание/гипотенуза
• тангенс θ = Перпендикуляр/Основание
• сек θ = гипотенуза/основание
• косек θ = гипотенуза/перпендикуляр
• кроватка θ = основание/перпендикуляр

Взаимные тождества

Косеканс, секанс и котангенс являются обратными величинами основных тригонометрических отношений синуса, косинуса и тангенса соответственно. Все взаимные тождества также получены с использованием прямоугольного треугольника в качестве эталона. Эти взаимные тригонометрические тождества выводятся с использованием тригонометрических функций. Формулы тригонометрии на взаимных тождествах, приведенные ниже, часто используются для упрощения тригонометрических задач.

• cosec θ = 1/sin θ; sin θ = 1/cosec θ
• с θ = 1/cos θ; cos θ = 1/сек θ
• раскладушка θ = 1/тангенс θ; загар θ = 1/кот θ

Пифагорейские тождества

Теорема Пифагора гласит, что «в прямоугольном треугольнике, если ‘c’ — это гипотенуза, а ‘a’ и ‘b’ — два катета, то c ² = a ² + b ² «. Используя эту теорему и тригонометрические соотношения, выводятся тождества Пифагора. Эти тождества используются для преобразования одного коэффициента триггера в другой. Триггерные тождества Пифагора упомянуты ниже:

• sin ² θ + cos ² θ = 1
• сек ² θ — загар ² θ = 1
• csc ² θ — детская кроватка ² θ = 1

Таблица тригонометрических соотношений

Вот таблица тригонометрических формул для углов, которые обычно используются для решения тригонометрических задач.

Формулы единичного круга

Единичная окружность — это окружность радиусом 1 с центром в начале координат плоскости.

Вот некоторые формулы, связанные с единичным кругом:

• sin θ = y/1; csc θ = 1/год
• , потому что θ = х/1; сек θ = 1/x
• тангенс θ = sinθ/cosθ = y/x; кроватка θ = cosθ/sinθ = x/y

Тригонометрические периодические тождества (в радианах)

Тригонометрические формулы, включающие периодические тождества, используются для сдвига углов на π/2, π, 2π и т. д. Все тригонометрические тождества цикличны по своей природе, что означает, что они повторяются через точку. Этот период различен для разных формул тригонометрии периодических тождеств. Например, tan 30° = tan 210°, но это неверно для cos 30° и cos 210°. Вы можете обратиться к формулам тригонометрии, приведенным ниже, чтобы проверить периодичность функций синуса и косинуса в разных квадрантах.

Первый квадрант:

• sin (π/2 – θ) = cos θ
• cos (π/2 – θ) = sin θ
• грех (2π + θ) = грех θ
• , потому что (2π + θ) = потому что θ

Второй квадрант:

• sin (π/2 + θ) = cos θ
• cos (π/2 + θ) = – sin θ
• грех (π – θ) = грех θ
• соз (π — θ) = — соз θ

Третий квадрант:

• sin (π + θ) = – sin θ
• , потому что (π + θ) = – потому что θ
• sin (3π/2 – θ) = – cos θ
• cos (3π/2 – θ) = – sin θ

Четвертый квадрант:

• sin (3π/2 + θ) = – cos θ
• потому что (3π/2 + θ) = грех θ
• sin (2π – θ) = – sin θ
• соз (2π — θ) = соз θ

Идентичности кофункций (в градусах)

Тригонометрические формулы тождеств кофункций обеспечивают взаимосвязь между различными тригонометрическими функциями. Формулы тригонометрии кофункций представлены в градусах ниже:

• sin(90° − x) = cos x
• потому что (90° — х) = грех х
• загар (90° — x) = кроватка x
• кроватка(90° — х) = загар х
• сек(90° — х) = косек х
• косек(90° — х) = сек х

Тождества кофункций в радианах можно получить, заменив 90° на π/2 в приведенных выше формулах.

Тождества суммы и разности

Тождества суммы и разности включают тригонометрические формулы sin(x + y), cos(x — y), cot(x + y) и т. д.

• sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• cos(x + y) = cos(x)cos(y) — sin(x)sin(y)
• tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1 — tan x • tan y)
• sin(x – y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x – y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)
• тангенс(х — у) = (тангенс х — тангенс у)/(1 + тангенс х • тангенс у)

Множественные и субмножественные углы

Тригонометрические формулы для кратных и дольных углов могут быть использованы для расчета значения тригонометрических функций для половинного угла, двойного угла, тройного угла и т. д.

Полуугольные тождества

Тригонометрические формулы половинного угла включают x/2 и выглядят следующим образом.

• sin (x/2) = ±√[(1 — cos x)/2]
• cos (x/2) = ± √[(1 + cos x)/2]
• тангенс (x/2) = ±√[(1 — cos x)/(1 + cos x)] (или) тангенс (x/2) = (1 — cos x)/sin x

Тождества двойного угла

Формулы тригонометрии двойного угла используются для нахождения двойного угла (2x) тригонометрических функций.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan ² х)]
• cos (2x) = cos ² (x) — sin ² (x) = [(1 — tan ² x)/(1 + tan ² x)] = 2cos ² (x) ) — 1 = 1 — 2sin ² (х)
• тангенс (2x) = [2tan(x)]/ [1 — тангенс ² (x)]
• сек (2x) = сек ² х/(2 — сек ² х)
• косек (2x) = (сек х • косек х)/2

Трехугольные тождества

Триггерные формулы для триггерного угла (3x) следующие:

• sin 3x = 3sin x — 4sin ³ x
• cos 3x = 4 cos ³ x — 3cos x
• tan 3x = [3tanx — tan ³ x]/[1 — 3tan ² x]

Идентичность суммы и произведения

Тригонометрические формулы для суммы или произведения тождеств используются для представления суммы любых двух тригонометрических функций в форме их произведения или наоборот.

Произведение для суммирования формул

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Формулы суммы в произведение

Комбинация двух острых углов A и B может быть представлена ​​через тригонометрические соотношения в приведенных ниже тригонометрических формулах.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx — siny = 2[cos((x + y)/2) sin((x — y)/2)]
• cosx + cosy = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx — уютный = -2 [sin ((x + y)/2) sin ((x — y)/2)]

Формулы обратной тригонометрии

Используя формулы обратной тригонометрии, тригонометрические соотношения инвертируются для создания обратных тригонометрических функций, таких как sin θ = x и θ = sin ⁻¹ x. Здесь x может иметь значения в целых числах, десятичных дробях, дробях и показателях степени.

• грех ^-1 (-х) = -греш ^-1 х
• cos ^-1 (-x) = π — cos ^-1 x
• тангенс ^-1 (-x) = -тангенс ^-1 x
• cosec ^-1 (-x) = -cosec ^-1 x
• сек ^-1 (-x) = π — сек ^-1 x
• детская кроватка ^-1 (-x) = π — детская кроватка ^-1 x

Законы синусов и косинусов

Закон синуса: Закон синуса и закон косинуса определяют отношение между сторонами и углами треугольника. Закон синусов дает отношение сторон и угла, противолежащего стороне. В качестве примера берется отношение стороны «а» и противолежащего ей угла «А».

(sin A)/a = (sin B)/b = (sin C)/c

Закон косинуса: Закон косинуса помогает найти длину стороны для заданных длин двух других сторон и прилежащий угол. Например, длину «а» можно найти с помощью двух других сторон «b» и «с» и прилежащего к ним угла «А».

• a ² = b ² + c ² — 2bc cosA
• b ² = a ² + c ² — 2ac cosB
• с ² = а ² + b ² — 2ab cosC

где, a, b, c — длины сторон треугольника, а A, B, C — углы треугольника.

☛ Связанные темы:

• Тригонометрические формулы для класса 10
• Тригонометрические формулы 11 класс
• Тригонометрические формулы для 12 класса

Примеры использования формул тригонометрии

1. Пример 1: Зная тригонометрическое отношение тангенса θ = 5/12, найдите тригонометрическое отношение cosec θ.

   Решение:

   Tan θ = перпендикуляр/ основа = 5/12

   Перпендикуляр = 5 и основание = 12

   Гипотеновая 5 ² + 12 ²

   Гипотенуза ² = 25 + 144

   Гипотенуза = √169

   Гипотенуза = 13

   Теперь, используя формулы тригонометрии,

   cosec θ = гипотенуза/перпендикуляр = 13/5

   Ответ: cosec θ = 13/5

2. Пример 2: Каково значение sin 15º?

   Подсказка: Используйте тригонометрические формулы суммы и разности.

   Решение:

   sin 15°

   = sin (45° — 30°)

   = sin 45°cos 30° — cos 45°sin 30°

   = [(1/√2) × (√3/2)] — [(1√2) × (1/2)] = (√3 — 1)/2√2

   Ответ: sin 15° = (√3 — 1)/2√2

3. Пример 3: Если sin θ cos θ = 5, найдите значение (sin θ + cos θ) ² , используя формулы тригонометрии.

   Решение:

   (sin θ + cos θ) ²

   = sin ² θ + cos ² θ + 2sinθcosθ

   = (1) + 2 (5) = 1 + 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10 = 10. 11

   Ответ: (sin θ + cos θ) ² = 11

перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных средств.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно когда вы понимаете концепции с помощью визуализаций.

Записаться на бесплатный пробный урок

Практические вопросы по тригонометрическим формулам

перейти к слайдуперейти к слайду

Часто задаваемые вопросы по тригонометрическим формулам

Что такое тригонометрические формулы?

Тригонометрические формулы — это формулы, используемые для решения задач на основе сторон и углов прямоугольного треугольника. Эти формулы можно использовать для вычисления тригонометрических отношений (также называемых тригонометрическими функциями), sin, cos, tan, csc, sec и cot.

Что такое Основная формула тригонометрии?

Основные формулы тригонометрии включают представление основных тригонометрических соотношений в терминах отношения соответствующих сторон прямоугольного треугольника. Они задаются следующим образом: sin θ = Противоположная сторона/Гипотенуза, cos θ = Прилегающая сторона/Гипотенуза, tan θ = Противоположная сторона/Прилегающая сторона.

Какие пифагорейские тождества используются в тригонометрии?

Три фундаментальные формулы тригонометрии, включающие пифагорейские тождества, задаются следующим образом:

Что такое формулы тригонометрических отношений?

В тригонометрии используются три основные функции: синус, косинус и тангенс. Формулы тригонометрических соотношений имеют следующий вид:

• Синусоидальная функция: sin(θ) = противоположность / гипотенуза
• Функция косинуса: cos(θ) = смежная / гипотенуза
• Функция касания: tan(θ) = Противоположный / Смежный

Что такое тригонометрические формулы для четных и нечетных тождеств?

Тригонометрические формулы, включающие четные и нечетные тождества, задаются следующим образом:

• sin(–x) = –sin x
• cos(-x) = cosx
• тангенс(–х) = –тангенс х
• csc (–x) = –csc x
• сек (–x) = сек х
• детская кроватка (-x) = -кроватка x

Что такое тригонометрические формулы сложения?

Тригонометрические формулы для тригонометрических соотношений, когда углы складываются, задаются следующим образом:

• sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• cos(x + y) = cos(x)cos(y) — sin(x)sin(y)
• tan(x + y) = (tan x + tan y)/(1 — tan x • tan y)

К какому треугольнику применимы тригонометрические формулы?

Формулы тригонометрии применимы к прямоугольным треугольникам.