А в 4 степени минус б в 4 степени: Формулы сокращённого умножения

Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Номер	Название формулы	Короткая запись	Раскрытие скобок/разложение на множители
(1)	Разность квадратов	a2-b2	(a-b)(a+b)
(2)	Квадрат суммы/разности	(a±b)2	a2±2ab+b2
(3)	Квадрат суммы для n переменных	(a1+a2+…+an)2	a12+a22+…+an2+2∑i,jaiaj
(4)	Сумма/разность кубов	a3±b3	(a±b)(a2∓ab+b2)
(5)	Куб суммы/разности	(a±b)3	a3±3a2b+3ab2±b3
(6)	Куб суммы для n переменных	(a1+a2+. ..+an)3	a13+a23+…+an3+3∑i,jai2aj+6∑i,j,kaiajak
(7)	Разность четвертых степеней	a4-b4	(a-b)(a+b)(a2+b2)
(8)	Четвертая степень суммы/разности	(a±b)4	a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4
(9)	Сумма/разность nх степеней	an-bn	(a±b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+b n-3a2+bn-2a+bn-1)
(10)	Сумма (2n+1)х степеней	a2n+1+b2n+1	(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2+. ..+b2n-2a2-b2n-1a+b2n)
(11)	Nая степень суммы/разности	(a±b)n	an±(n1)an-1b+(n2)an-2b2±..+(nn-2)a2bn-2±(nn-1)abn-1+bn

— версия для печати

---

Определение

N^ая степень числа — результат умножения числа на себя n раз. Также квадратом числа называется результат возведения числа в степень n (в n^ую степень).

Пример:

(4a—3b)³ = 64a³ — 144a²b + 108ab² — 27b³

Пояснение

Под (ⁿ_k) подразумевается биномиальный коэффициент, равный

(nk) =

n! (n-k)!k!

Если у вас есть мысли по поводу данной страницы или предложение по созданию математической (см. раздел «Математика») вспомогательной памятки, мы обязательно рассмотрим ваше предложение. Просто воспользуйтесь обратной связью.

© Школяр. Математика (при поддержке «Ветвистого древа») 2009—2021

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения выражений, разложения многочленов на множители, приведения многочленов к стандартному виду используются формулы сокращенного умножения. Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть.

Пусть а, b   R. Тогда:

1. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

2. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

(a — b)² = a² — 2ab + b²

3. Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.

a² — b² = (a -b) (a+b)

4. Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

5. Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(a — b)³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³

6. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

a³ + b³ = (a + b) (a² — ab + b²)

7. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

a³ — b³ = (a — b) (a² + ab + b²)

8. Разность чисел в четвертой степени

(a — b)⁴ = a⁴ — 4a³b + 6a²b² — 4ab³ + b⁴

9. Сумма чисел в четвертой степени

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

10. Разность чисел в пятой степени

(a — b)⁵ = a⁵ — 5a⁴b + 10a³b² — 10a²b³ + 5ab⁴ — b⁵

11. Сумма чисел в пятой степени

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

12. Квадрат трехчлена

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

13. Квадрат линейной формы

(a + b + c + … + u + v)² = a² + b² + c² + … + u² + v² + 2(ab + ac + … + au + av + bc + … + bu + bv + … + uv)

14. Куб трехчлена

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

Формулы факторинга

Ниже приведены некоторые формулы факторинга, которые используются для факторизации некоторых общих математических выражений.

a ² — b ² = (a — b) × (a + b)

a ⁴ — b ⁴ = (a — b) × (a + b) × (a

2 + b ² )

a ⁶ — b ⁶ = ( a — b ) × ( a + b ) × ( a ² — ab + b ² ) × ( a ^{6 +}

6 +

6 аб + б ² )

а ⁸ — b ⁸ = ( a — b ) × ( a + b ) × ( a ² + b ² ) × ( a ⁴ + b ⁴ )

a +

3 b

³ = (a + b) × (a ² — ab + b ² )

a ³ — b ³ = (a — b) × (a ^{+ 2 ab 2} )

A ⁵ — B ⁵ = (A — B) × (A ⁴ + A ³ B + A ² B ² + AB ³ + B . 0005 4 )

A ⁵ + B ⁵ = (A + B) × (A ⁴ — A ³ B + A ² B ² — AB ³ + B ^{. 4} )

A ⁶ — B ⁶ = (A — B) × (A ⁵ + A ⁴ B + A ³ B ² + A ² B ³ B ² + A ² B ³ 6. + ab ⁴ + b ⁵ )

a ⁶ + b ⁶ = ( a ² + b ² ) × ( a ⁴ — A ² B ² + B ⁴ )

A ⁷ — B ⁷ = (A — B) × (A ⁶ + A ⁵ B + A ⁴ B ² + A ³ B ³ + A ² B ⁴ + AB ⁵ + B ⁶ )

A ⁴ + A ² B ² 6. + b ⁴ = (a ² + ab + b ² ) × (a ² — ab + b ² )

A ⁴ + 4B ⁴ = (A ² + 2AB + 2B ² ) × (A ² — 2AB + 2B ² )

Формитории Формии

Уловка, чтобы разложить a ⁿ — b ⁿ , когда n нечетное число. Вы не можете использовать этот прием, если n четно или разложить на множители a ⁿ + b ⁿ

Сначала начните с записи ( a — b ) × ( ………… . …………………………… )

Затем заполните скобки справа.

Для этого следуйте этой инструкции.

Вычесть 1 из n. Например, если n = 7, как в a ⁷ — b ⁷ , вычтите 1 из 7, чтобы получить 6.

Первым членом всегда будет первая переменная, возведенная в степень 6.

Последним членом всегда будет вторая переменная, возведенная в степень 6.

Операция внутри всегда полезна.

Таким образом, это будет выглядеть как (a — b) × (a ⁶ + ………………………………………………………. .. + b ⁶ )

Теперь самое сложное!

Чтобы получить следующий член, это ⁵ b. Это делается путем вычитания 1 из 6 и включения другой переменной.

Теперь все, что вам нужно сделать, это продолжать вычитать 1 из показателя степени a и прибавлять 1 к показателю степени b, как показано ниже.

Следующим членом будет a ⁴ b ² .

Делайте это до тех пор, пока переменная a не исчезнет, ​​и вы не получите ответ, уже показанный выше. 92 Формула?

Формула а ² — b ²  задается следующим образом: умножьте (a — b) (a + b) и посмотрите, получится ли ²  — b ² .

Проверка a

²  — b ²  Формула

Давайте посмотрим на доказательство формулы квадрат минус b квадрат. Чтобы убедиться, что a ² — b ² = (a — b) (a + b), нам нужно доказать, что LHS = RHS. Попробуем решить уравнение:

а ² — б ² = (а — б) (а + б)
Умножаем (a — b) и (a + b) получаем
=а(а+б) -б(а+б)
=а ² + аб — ба — б ²
=а ² + 0 + б ²
=а ²  — б ²  
Следовательно, проверено
a ²  — b ²  = (a — b) (a + b)

Вы можете понять формулу a ²  — b ²  геометрически, используя следующий рисунок: 92 Формула

Доказательство того, что значение a ²  — b ²  равно (a + b)(a — b). Рассмотрим приведенный выше рисунок. Возьмите два квадрата со сторонами a единиц и b единиц соответственно. Это также может быть представлено как сумма площадей двух прямоугольников, как показано на рисунке ниже.

Один прямоугольник имеет длину в единицу и ширину в (a – b) единиц, с другой стороны второй прямоугольник имеет длину в (a – b) и ширину в b единиц. Теперь сложите площади двух прямоугольников, чтобы получить результирующие значения. Соответствующие площади двух прямоугольников равны (a – b) × a = a(a – b) и (a – b) × b = b(a – b). Сумма площадей прямоугольников представляет собой фактическое полученное результирующее выражение, т. е. a(a + b) + b(a — b) = (a + b)(a — b). Снова переставляя отдельные прямоугольники и квадраты, мы получаем: (a+b)(a−b)=a 92 формула.

Пример 1: Используя формулу ² — b ² , найдите значение 106 ²  — 6 ² .

Решение:  Чтобы найти: 100 ²  — 6 ² .

Предположим, что a = 100 и b = 6.
Мы заменим их в формуле a ² — b ² .
а ² — б ² = (а — б) (а + б)
106 ²   — 6 ²  = (106 — 6) (106 + 6)
= (100) (112)
= 11200

Ответ: 106 ² — 6 ² = 11200.

Пример 2: Фактор. — 64.
Мы будем использовать формулу a ² — b ²   , чтобы разложить это на множители.
Мы можем записать данное выражение как
25x ²  — 64 = (5x) ²  — 8 ²
Подставим a = 5x и b = 8 в формулу a ²  — b ² .
а ² — б ² = (а — б) (а + б)

: Упрощение 10 ²  — 5 ²  с использованием a ²  — b ²  формула

92 Формула

Что такое расширение формулы

² — b ² ?

a ² — b ² формула читается как квадрат минус b квадрат. Его разложение выражается как а ² — b ² = (a — b) (a + b)

Что такое а

² — b ² Формула в алгебре?

Формула a ² — b ² также известна как одна из важных алгебраических тождеств. Это читается как квадрат минус b квадрат. это ² — b ² формула выражается как a ² — b ²  = (a — b) (a + b)

?

Давайте разберемся в использовании формулы a ² — b ² на следующем примере.
Пример:  Найдите значение 10 ²  – 2 ² , используя формулу a ²   – b ² .
Найти: 10 ²  — 2 ²
Предположим, что a = 10 и b = 2,
Мы подставим их в формулу a ²  — b ² .
а ² — б ² = (а — б) (а + б)
10 ² -2 ²  = (10-2)(10 + 2)
= 10 (10 + 2) — 2 (10 + 2)
= 10(12) — 2(12)
=120 — 24 = 96
Ответ:  10 ²  — 2 ²  = 96.