Как решать неравенства из ОГЭ (ГИА)
Несмотря на то, что решение неравенств очень напоминает решение уравнений, все-таки неравенства вызывают у школьников больше затруднений.
Ученики часто спрашивают как решать неравенства те или иные, просят оценить решение неравенства, полученное у доски в школе или помочь в решении домашнего задания с неравенством. В основном они связаны не с решением неравенства как такового, а с проблемой записи решения и с проблемой знака неравенства, которое в определенные моменты заменяется на противоположный.
Решение неравенств – это материал, который помогает выявить у экзаменуемого сразу несколько умений и навыков: умение решать уравнения, работать со знаком неравенства, оценить полученное решение с точки зрения постановки неравенства. Поэтому неравенства включены в ОГЭ (ГИА).
Содержание
Как решать простейшие неравенства из ОГЭ (ГИА)
Итак, первое неравенство:
3х-4<6x-6
Решаем неравенство как уравнение – перенесем все неизвестные в левую часть, а все числа – в правую.
Неизвестные – это все выражения с х: 3х и 6х.
3х уже находится слева, а вот 6х – справа, и 6х мы перенесем в левую часть нашего неравенства. Не забываем, что когда мы переносим любые выражения и числа из одной части неравенства, как и равенства, в другую, то мы обязательно меняем знак. То есть слева у нас запишется:
3х-6х.
Что будет справа? Справа останется число -6 (со знаком минус), и еще мы перенесем 4 из левой части в правую. Перед четверкой в левой части неравенства стоит знак минус, значит, при переносе мы получим четверку со знаком +. Смотрите, что получилось:
3х-6х<-6+4
Упростим левую и правую части, получим:
-3х<-2
Если бы у нас вместо неравенства было уравнение: -3х=-2, то x мы бы нашли разделив -2 на -3. Точно также поступают и в неравенстве, но, помнят одно простое правило,
если мы делим или умножаем на отрицательное число (число со знаком минус), то знак неравенства меняется на противоположный.
То есть мы запишем решение нашего неравенства вот так:
Мы поменяли знак, так как делили на отрицательное число – -3.
При этом знак бы не менялся, если бы мы делили отрицательное число на положительное. Знак неравенства меняется только тогда – когда отрицательным является число на которое делят или умножают.
Итак, ответ у нас будет таким:
.
Как решать нестрогое неравенство
Нестрогим неравенством называется неравенство, у которого вместо строгого знака “больше” или “меньше”, стоит знак “больше или равно” или “меньше или равно”. Например, давайте решим нестрогое неравенство. Возьмем простое неравенство, чтобы вы поняли суть вопроса.
Решаем аналогично – только сначала упростим правую часть нашего неравенства. Переносим неизвестные в левую часть неравенства, а известные (числа) в правую часть неравенства:
Упрощаем правую часть:
Посчитаем, получим:
Ответ: .
Обратите внимание на запись ответа. Так как у нас неравенство нестрогое, то число 2 будет входить в решение этого неравенства, поэтому мы его включаем в ответ, отмечая квадратной скобкой.
Вот так:
Решение неравенств из сборника ОГЭ по математике ФИПИ
Неравенство 1
Укажите решение неравенства
Решение:
Перенесем неизвестные в левую часть неравенства, а известные – в правую часть неравенства:
Посчитаем:
, отсюда
искомый интервал: . Таким образом, из списка предложенных интервалов нам подходит интервал под номером 2.
Ответ 2.
Неравенство 2
Укажите множество решений неравенства:
Решение:
Как обычно, переносим неизвестные влево от знака неравенства, а известные величины – вправо:
Обратите внимание – здесь мы делим отрицательное число. Но делим то мы его на положительное число 6. Поэтому знак неравенства остается прежним!
или
Нам подходит вариант решения 4.
Ответ: 4.
Неравенство 3
Укажите решение неравенства
Решение:
Подходит вариант решения 2.
Ответ: 2
Неравенство 4
Укажите множество решений неравенства
Решение:
Итак, решение неравенство иллюстрируется графиком 3.
Ответ: 3.
Теперь вы знаете, как решать неравенства, которые даны в части “Алгебра” ОГЭ (ГИА).
Как решать линейные неравенства | Алгебра
Как решать линейные неравенства? Для начала неравенство надо упростить: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.
Рассмотрим примеры решения линейных неравенств с одной переменной.
Раскрываем скобки. Если перед скобками стоит множитель, умножаем его на каждое слагаемое в скобках. Если перед скобками стоит знак «плюс», знаки в скобках не меняются. Если перед скобками стоит знак «минус», знаки в скобках меняются на противоположные.
Приводим подобные слагаемые.
Получили неравенство вида ax+b≤cx+d. Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками (можно было сначала перенести неизвестные в одну сторону, известные в другую, а уже потом привести подобные слагаемые).
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 8 больше нуля, знак неравенства не меняется:
Так как неравенство нестрогое, точку -2 отмечаем на числовой прямой закрашенной. Штриховка идёт влево от -2, на минус бесконечность.
Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -2 записываем с квадратной скобкой.
Ответ:
Чтобы от десятичных дробей перейти к целым числам, можно обе части неравенства умножить на 10 (это не обязательно. Можно работать с десятичными дробями).
При умножении обеих частей на положительное число знак неравенства не меняется. Умножать на 10 надо каждое слагаемое. При умножении произведения на 10 используем сочетательное свойство умножения, то есть умножаем на 10 только один множитель.
Раскрываем скобки:
Приводим подобные слагаемые:
Переносим неизвестные в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом.
Поскольку -6 — отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
Сокращаем дробь:
Так как неравенство строгое, на числовой прямой -2/3 отмечаем выколотой точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:
Неравенство строгое, точка выколотая, поэтому в ответ -2/3 записываем с круглой скобкой:
Ответ:
Раскрываем скобки. Если перед произведением двух скобок стоит знак «минус», удобно сначала выполнить умножение, и только потом раскрывать скобки, изменяя знак каждого слагаемого на противоположный:
Приводим подобные слагаемые:
Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как -10<0, знак неравенства меняется на противоположный:
Поскольку неравенство строгое, 1,6 отмечаем на числовой прямой выколотой точкой.
Штриховка от 1,6 идёт влево, на минус бесконечность:
Так как неравенство строгое и точка выколотая, 1,6 в ответ записываем с круглой скобкой:
Ответ:
Произведение разности двух выражений на их сумму, стоящее в левой части неравенства, сворачиваем по формуле в разность квадратов.
В правой части неравенства — квадрат разности.
Перед скобками в обеих частях стоит знак «минус», поэтому сначала преобразуем выражения в скобках по формулам, и только потом раскрываем скобки, изменив при этом знак каждого слагаемого на противоположный:
Переносим неизвестные в одну чторону, известные — в другую с противоположными знаками:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:
Так как неравенство нестрогое, -0,4 на числовой прямой отмечаем закрашенной точкой. Штриховка идёт вправо, на плюс бесконечность:
Так как неравенство нестрогое и точка закрашенная, в ответ -0,4 записываем с квадратной скобкой:
Ответ:
Часто в алгебре требуется не просто решить линейное неравенство, а выбрать из множества решений конкретное значение, например, наибольшее целое или наименьшее натуральное решение.
Позже мы рассмотрим, как решать такие задачи.
Как использовать больше и меньше, чем знаки
Решение неравенства: как использовать больше, чем и меньше, чем знаки
Jana Russick
25 августа, 2021
онлайн -репетиторство
,
Математика
. как работает решение неравенств, нам нужно знать, что означают направления символов неравенства в следующих знаках неравенства:
Теперь давайте покажем вам, чем решение неравенств отличается от решения уравнений.
Что такое неравенство?
Решение неравенств очень похоже на решение обычных математических уравнений. Единственная разница в том, что они используют символы неравенства вместо знаков равенства:
Математические уравнения:
Математические неравенства:
У неравенства есть две стороны, но чтобы решить неравенство, мы хотите получить переменную x с левой стороны.
Это потребует вычитания, сложения, умножения и деления.
В приведенном выше примере неравенство x находится в правой части. Мы хотим решить для x и поменять стороны неравенства.
Как работает решение неравенств?
Вы должны использовать этот многошаговый процесс для решения приведенной ниже практической задачи:
1. Прибавьте или вычтите обе стороны
Нам нужно прибавить 2 к обеим сторонам. Это отменит значение отрицательного числа 2. Если 2 было положительным числом. Однако мы бы сделали обратное и вычли бы это значение с обеих сторон.
2. Разделить на коэффициент
Чтобы найти х, нужно разделить на -4.
Но поскольку это отрицательное число, нам придется…
3. Изменить направление знака неравенства
При делении или умножении на отрицательное число необходимо изменить направление знак неравенства. Это из-за этого правила неравенств:
Как видите, x изначально меньше у .
Но при умножении на отрицательное число x становится больше, чем y . Это потому, что меньшие отрицательные числа ближе к 0, что делает их более ценными. Вот почему при умножении на отрицательное число большее из двух значений будет меньше меньшего из двух значений.
Итак, поскольку мы поделили на минус 4, правила неравенства гласят, что мы должны перевернуть символ неравенства:
Вы также измените направление символа неравенства, когда измените направление уравнения. Это в основном переворачивает его так, чтобы переменная 4 x и константа -2 находится на другой стороне уравнения:
Решение неравенств
Решение неравенств похоже на решение обычных уравнений, за исключением того, что вы используете знаки неравенства: . Вы должны изменить направление этих знаков, когда вы делите или умножаете на отрицательный знак или переворачиваете сторону уравнения, в которой находится переменная.
В целом, изучение способов решения неравенств может помочь вам лучше понять, как работают знаки больше или меньше.
Дополнительная помощь с домашним заданием по математике
- Общий знаменатель
- Как работать с абсолютными неравенствами, шаг за шагом
- Линия с отрицательными числами: что это такое и как ее использовать
Как найти решение неравенства с умножением
Все ресурсы по алгебре 1
10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
Алгебра 1 Справка » Уравнения / Неравенства » Системы неравенств » Как найти решение неравенства с умножением
Решить неравенство:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы изолировать переменную, нам нужно удалить коэффициент.
Поскольку операция между и является умножением, мы можем разделить обе части неравенства на . Хотя это допустимый шаг, для упрощения вместо деления на мы можем умножить на .
(Примечание: деление на точно такое же, как и умножение на обратное, .)
Таким образом,
и после умножения и упрощения мы получаем .
Отчет о ошибке
Решение для:
Возможные ответы:
Ни один из других ответов
Правильный ответ:
9000Правильный ответ:
Объяснение:
Упростите , объединив похожие термины, чтобы получить .
Затем добавьте и к обеим сторонам, чтобы разделить знаки ‘s и целые числа.
Разделите обе стороны, чтобы получить . Поскольку мы не делили на отрицательное число, нет необходимости менять знак.
Сообщить об ошибке. Объяснение:
Взаимная отмена:
или, в интервальной форме, .
Сообщить об ошибке
Решить для :
Возможные ответы:
Неравенство не имеет решения.
Правильный ответ:
Объяснение:
Удаление дробей путем умножения на наименьший общий знаменатель — .
Кросс-отмена:
Report an Error
Find the solution set for :
Possible Answers:
Correct answer:
Объяснение:
Обратите внимание на переключатель в символах неравенства, когда числа умножаются на отрицательное число.
Кросс-отмена:
или, в форме интервала,
Отчет о ошибке
Решение для:
Возможные ответы:
Нет других ответов.
Правильный ответ:
Вычтите 4 с обеих сторон. Затем вычтите 9x:
Затем разделите обе части на -6. Не забудьте переставить неравенство из-за отрицательного знака!
Сообщить об ошибке
Решить для:
Возможные ответы:
Ни один из других ответов не является правильным.
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить неравенство, вычтите и прибавьте 12 к обеим частям, чтобы отделить 9 от целых чисел:
Разделите обе части на 2:
Примечание.
Знак неравенства меняется только при делении на отрицательные числа.
Сообщить об ошибке
Решить для :
Возможные ответы:
Ни один из других ответов не является правильным.
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала объедините одинаковые члены в правой части неравенства, чтобы получить .
Затем вычтите и с обеих сторон, чтобы получить .
Наконец, разделите обе части на :
Сообщить об ошибке
Решите это неравенство.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Изолируйте все термины с с одной стороны и другие термины с другой и найдите .
Сначала вычтите x из обеих частей неравенства. Вычесть 2 с каждой стороны. Это приводит к следующему неравенству.
Здесь нам нужно разделить обе части на . Однако всякий раз, когда мы делим или умножаем неравенство на отрицательное число, мы также должны изменить направление неравенства.
Окончательный ответ будет
.
Сообщить об ошибке
Найдите все решения этого неравенства.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить неравенство, изолируйте переменную с одной стороны от всех остальных констант с другой стороны. Для этого выполните противоположные операции для управления неравенством.
Сначала отделите x, умножив каждую сторону на два.
Все, что вы делаете с одной стороны, вы должны делать и с другой стороной.