Тригонометрические преобразования и уравнения
Тригонометрические формулы
1) ; | 6) ; | |
2) ; | 7) ; | |
3) ; | 8) ; | |
4) ; | 9) ; | |
5) ; | 10) ; | |
11) ; | ||
13) ; | ||
14) ; | ||
15) ; | 16)
. | |
Пример 3. Преобразуем выражение и вычислим его значение, если .
Решение. По формулам 4) и 6)
, .
По формуле 5) .
По формулам 1) и 16) .
Задания для решения
Преобразуйте выражение и вычислите его значение:
а) ,если ;
б) , если ;
в) , если ;
г) , если ;
д) , если .
Упростите выражение:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) .
Решите уравнения:
1) . Отв. .
2) .
Отв. .
3) .
Отв. .
4) . Отв. .
Найдите значение выражения
1) ; | 3) ; | 5) ; |
2) ; | 4) ; | 6)
. |
Арифметическая и геометрическая прогрессии
Арифметическая прогрессия
– арифметическая прогрессия.
, – формулы n-го члена арифметической прогрессии.
D – разность арифметической прогрессии.
– сумма n первых членов арифметической прогрессии.
– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.
– формула для вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии.
арифметическая прогрессия.
первый член арифметической прогрессии,
десятый член арифметической прогрессии,
эн плюс первый член арифметической
прогрессии.
сумма десяти первых членов арифметической прогрессии.
?
Пример 1. Найти арифметическую прогрессию, если её четвёртый член равен 11, а седьмой член равен 20.
Решение. .
. Разность арифметической прогрессии . Найдём первый член: , .◄
Задачи.
Найти арифметическую прогрессию, если сумма второго и пятого членов равна 14, а сумма третьего и восьмого членов равна 6.
Найти арифметическую прогрессию, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма их квадратов равна 8.
Найти арифметическую прогрессию, в которой сумма первых трёх её членов равна 15, а произведение этих же членов равно 80.
В арифметической прогрессии найти:
Геометрическая прогрессия
– геометрическая прогрессия
– формула n-го
члена геометрической прогрессии.
– первый член геометрической прогрессии,
– n-ый (энный) член геометрической прогрессии,
q – знаменатель геометрической прогрессии,
– сумма n первых членов геометрической прогрессии,
– формула для вычисления суммы
Если – сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Пример 2. геометрическая прогрессия: первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии,
, , .
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии:
.
Пример 3. бесконечно убывающая геометрическая прогрессия,
первый член геометрической прогрессии, знаменатель геометрической прогрессии, второй член геометрической прогрессии, третий член геометрической прогрессии,
,
.
сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии.
Пример 4. Сумма первого и третьего членов геометрическая прогрессии равна 20, а сумма второго и четвёртого членов равна 60. Найти геометрическую прогрессию.
Решение. Сумма первого и третьего членов геометрическая прогрессии равна 20: . Сумма второго и четвёртого членов равна 60: .
Тогда , .
, .
– геометрическая прогрессия.◄
Задачи.
Разность между шестым и четвёртым членами геометрической прогрессии равна 216, а разность между третьим и первым членами равна 8. Найти сумму первых восьми членов этой прогрессии.
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, второй член которой равен , а знаменатель равен .
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её первого и четвёртого членов равна 54, а сумма второго и третьего равна 36.
В геометрической прогрессии найдите
Что такое геометрическая последовательность?
Формула геометрической последовательности:
A N = A 1 R (N-1)
A 1 = Первый термин
R = Общий коэффициент (число Mulleyed/Divedy Dived на посту каждый последующий термин в последовательности)
n = номер термина в последовательности
Всем привет и добро пожаловать в Mathsux! В этом посте мы собираемся ответить на вопрос , что такое геометрическая прогрессия (также известная как геометрическая прогрессия)? Мы добьемся этого, научившись идентифицировать геометрическую последовательность, а затем разберем формулу геометрической последовательности.0005 n =a 1 r (n-1) и решить два разных типа примеров. Как всегда, если вам нужны дополнительные вопросы, посмотрите видео ниже и практические задачи в конце этого поста.
Удачных расчетов! 🙂
Геометрические последовательности — это последовательности чисел, которые образуют шаблон, когда одно и то же число либо умножается на , либо делится на на каждый последующий член. Взгляните на пример геометрической последовательности ниже:
Пример:
Обратите внимание, что мы умножаем 2 на каждый член в приведенной выше последовательности. Если бы эта закономерность продолжалась, следующим членом приведенной выше последовательности было бы 64. Это геометрическая последовательность!
В этой геометрической последовательности нам легко увидеть следующий член, но что, если мы захотим узнать 15-й -й -й член? Вместо того, чтобы выписывать и умножать наши термины 15 раз, мы можем использовать сокращение, и именно здесь пригодится формула геометрической последовательности!
Формула геометрической последовательности: Взгляните на формулу геометрической последовательности ниже, где каждая часть нашей формулы обозначена с определенной целью.
a n =a 1 r (n-1)
a 1 = Первый член всегда будет начальным членом, с которого начинается наша геометрическая последовательность. В этом случае наша последовательность 4,8,16,32, …… поэтому наш первый член — это число 4.
r = Один ключевой момент, на который следует обратить внимание в приведенной ниже формуле, уникальной для геометрических последовательностей, называется Common Ratio . Обыкновенное отношение — это число, которое умножается или делится на каждый последующий член последовательности.
n= Еще одна интересная часть нашей формулы — это буква n , она всегда обозначает число терма, которое мы пытаемся найти. Отличный способ запомнить это — думать о термине, который мы пытаемся найти, как о nth срок , который неизвестен.
Теперь, когда мы разобрали нашу формулу геометрической последовательности, давайте попробуем ответить на наш первоначальный вопрос ниже:
Пример №1: Общее отношение r>1 Шаг 1 : Сначала давайте определим общее отношение между каждым и последующий член последовательности.
Обратите внимание, что каждый член в последовательности умножается на 2 (как мы определили ранее в этом посте). Следовательно, наше общее отношение для этой последовательности равно 2,9.0003
Шаг 2 : Далее, давайте напишем формулу геометрической последовательности и идентифицируем каждую часть нашей формулы (первый член = 4, номер члена = 15, обыкновенное отношение = 2).
Шаг 3 : Теперь давайте заполним нашу формулу и решим с заданными значениями.
Давайте посмотрим на другой пример, где обыкновенное отношение немного отличается, и вместо умножения числа на этот раз мы будем делить одно и то же число из каждого последующего члена (это также можно подумать умножения на обыкновенное отношение, которое является дробью):
Пример #2: Общее отношение 0 Шаг 1 : Сначала давайте определим общее отношение между каждым числом в последовательности. Обратите внимание, что каждый член последовательности делится на 2 (или умножается на 1/2, как показано ниже).
Шаг 2: Далее, давайте напишем формулу геометрической последовательности и идентифицируем каждую часть нашей формулы (первый член = 1000, номер члена = 10, обыкновенное отношение = 1/2).
Шаг 3: Теперь давайте заполним нашу формулу и решим с заданными значениями.
Думаете, вы готовы попрактиковаться в решении геометрических последовательностей самостоятельно? Попробуйте выполнить следующие практические вопросы с приведенными ниже решениями:
Практические вопросы:- Найдите 12 й член, учитывая следующую последовательность: 1250, 625, 312,5, 156,25, 78,125, ….
- Найдите 17-й -й -й член, учитывая следующую последовательность: 3, 9, 27, 81, 243,…..
- Найдите 10 -й член по заданной геометрической прогрессии: 5000, 1250, 312,5, 78,125 …..
- У Ширли есть 100 долларов, которые она положила на счет в банке. Она продолжает вносить в два раза больше денег каждый месяц. Сколько денег она внесет на счет на двенадцатом месяце в конце года?
Сколько денег она внесет на счет на двенадцатом месяце в конце года?Решения:
Интересный факт!
Знаете ли вы, что формулу геометрической прогрессии можно рассматривать как явную формулу ? Явная формула означает, что даже если мы не знаем других членов последовательности, мы все же можем найти неизвестное значение любого члена в данной последовательности. Например, в первом примере, который мы сделали в этом посте (пример №1), мы хотели найти значение 15-го члена последовательности. Мы смогли сделать это, используя явную формулу геометрической последовательности, и, что наиболее важно, мы смогли сделать это, не находя первые 14 предыдущих членов один за другим… жизнь намного проще, когда в вашей памяти есть явная формула геометрической последовательности. жизнь!
Другие примеры явных формул можно найти в формуле арифметической прогрессии и гармоническом ряду.
Похожие сообщения:
Хотите узнать больше о последовательностях? Вы пришли в нужное место! Ознакомьтесь с этими ресурсами последовательности и сообщениями ниже.
Лично я рекомендую посмотреть следующие посты о конечной геометрической последовательности или бесконечной геометрической последовательности!
Арифметическая последовательность
Рекурсивная формула
Конечный арифметический ряд
Конечный геометрический ряд
Бесконечный геометрический ряд
Золотое сечение в реальном мире
Последовательность Фибоначчи
Остались вопросы? Без проблем! Не стесняйтесь оставлять комментарии ниже или обращаться по электронной почте. И если вы хотите увидеть больше контента MathSux, поддержите нас, подписавшись на одну из наших платформ. Большое спасибо, что заглянули и удачных расчетов!
Facebook ~ Twitter ~ TikTok ~ Youtube
Нравится:
Нравится Загрузка…
интуиция — Откуда берутся формулы арифметических и геометрических рядов? Было ли их открытие случайным?
Хотя другие предполагают, что это восходит к работам Евклида (которые я бы оставил для другого ответа, если у кого-то есть больше информации об этом), есть несколько источников, предполагающих, что арифметические и геометрические ряды и, возможно, также некоторые формулы/процедуры для их суммирования были уже известно египтянам где-то около $1650$ до н.
э. Хотя это, безусловно, считается до некоторой степени спекуляцией, я подумал, что стоит упомянуть (и это слишком коротко для комментария).В соответствии с расширениями и асимптотикой для статистики (Chapman & Hall/CRC Monographs on Statistics & Applied Probability, Page 1:
Например, древние египтяне работали с геометрическими рядами в практических задачах о разбиениях. Доказательства этого можно найти в папирусе Райнда, который датируется 1650$ до н.э. Задача $64$ этого папируса гласит следующее.
Разделите десять гекатов ячменя между десятью мужчинами так, чтобы общая разница составила одну восьмую геката ячменя.
Говоря более современным языком, эта задача требует, чтобы мы разделили десять гекат на арифметический ряд. $$10=a+\left(a+\frac{1}{8}\right)+\left(a+\frac{2}{8}\right)+\dots+\left(a+\frac{9}{8} \справа).$$ То есть найти значение $a$ в этом разделе. Самый простой способ решить эту задачу — использовать формулу суммы конечного арифметического ряда.
Студент, изучающий современный курс вводного курса теории вероятностей, должен делать то же самое, когда его просят вычислить нормализующую константу для функции вероятности заданной формы. Если мы посмотрим на решения таких задач в папирусе Райнда, то увидим, что древние египтяне хорошо понимали стандартную формулу простого конечного ряда.
Для геометрического ряда существует, например, следующая задача согласно математике в Древнем Египте: Контекстуальная история, стр. $79$-$80$:
Примером этого является номер $79$ папируса Райнда: \начать{массив} \текст{}\\ \text{Содержимое дома. }& &\text{дома:} 7& \\ .& 2801 & \text{кошки:} 49\\ 2& 5602 & \text{мыши:} 343\\ 4& 11204 & \text{зерно:} 2301\\ \text{Всего:}& 19607 & \text{ядра:} 16807 \\ & & \text{Всего:} 19607\\ \конец{массив}
Обычно это интерпретируется как следующая математическая задача: Есть 7$ домов, в каждом доме 7$ кошек, каждая кошка съела 7$ мышей, каждая мышь съела 7$ хлопьев зерна, в каждом зерне было 7$ зёрен.
