110. Арифметическая прогрессия
Арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и постоянного числа , где – это разность прогрессии: , .
Общий вид арифметической прогрессии:
; ; ; …; ; … .
Очевидно, что прогрессия является возрастающей, если , и убывающей, если .
Например, 2; 5; 8; 11; … () – возрастающая прогрессия;
12; 10; 8; 6; … () – убывающая прогрессия.
Если заданы первый член и разность , то —Й член прогрессии (любой член) Определяют по формуле:
.
Сумма первых членов Арифметической прогрессии вычисляется по формулам:
или ,
Где – количество членов прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии.
1. Каждый средний член равен полусумме равноотстоящих от него членов: , ().
2. В конечной арифметической прогрессии суммы двух членов, равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
; ; ; .
..; ; … ; ; …; ; ; .
Пример 1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии:
3; 7; 11: 15; … .
Решение. Найдем разность прогрессии: . Тогда .
Ответ. .
Пример 2. Разность арифметической прогрессии равна 3, а сумма первых ее шести членов равна 57. Найдите , .
Решение. ; . Тогда
; .
Ответ. ; .
Пример 3. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а седьмой 14. Сколько членов нужно взять, чтобы их сумма была равна 110?
Решение. ; . Запишем и , используя формулу и вычислим и :
; .
Подставим значения и в формулу и получим уравнение для вычисления :
; . Значение – не будет решением, так как .
Ответ. .
Пример 4. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма ее первых членов .
Решение. По условию: ; .
можно найти также как сумму первого и второго членов арифметической прогрессии, тогда:.
Отсюда .
Ответ. , или .
Пример 5. Найдите арифметическую прогрессию, если сумма первых трех ее членов равна 15, сумма трех последних членов равна 39, а сумма всех членов равна 63.
Решение. (из условия).
Сложим равенства: . По второму свойству арифметической прогрессии суммы в скобках равны между собой: . Найдем число членов прогрессии, используя формулу: . Подставим значение в исходную систему, получим:
и . Запишем прогрессию, зная и .
Ответ. 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15.
Пример 6. Между числами 1 и 25 напишите пять чисел, которые с данными числами составляют арифметическую прогрессию.
Решение. ; ; . Но, .
Ответ. 1; 5; 9; 13; 17; 21; 25; …
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
История- единое целое или арифметическая сумма цивилизаций | Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по истории (11 класс) по теме:
Эссе
История- единое целое или арифметическая сумма цивилизаций
Прошлое, настоящее и будущее… Связаны ли они между собой , или существуют сами по себе? Есть ли что-то общее между народами, их культурой, государственным строем и экономикой? Ответы на эти вопросы мы пытаемся найти в истории.
А что же такое история в целом? На сегодняшний день на этот вопрос даётся два ответа.
Согласно первому — история представляет собой единое целое. Такое представление заключается во взгляде на всемирную историю как на единый процесс поступательного , восходящего развития человечества. Такое понимание истории предполагает существование стадий развития человечества в целом. Стадиальность –общее свойство процесса исторического развития на всех его уровнях: каждая последующая стадия вытекает из предыдущей, подготавливается предшествующим состоянием , поэтому представляет собой его продолжение , затем отрицание и , наконец, формирование нового. Такой взгляд на историю был характерен для представителей гуманизма, историков и философов Просвещения, утопического социализма, позитивизма, классической немецкой философии, марксизма, философии истории экзистенциализма, сторонников концепций индустриального и постиндустриального общества: К.Ясперса, Ф.Броделя, К.Маркса, Гегеля и др.
По мнению этих историков и философов, подход «история- единое целое» единственно верный, потому что заключается 1.в единстве происхождения человека как вида, 2. в эволюции системы родства и семейно-брачных отношений. 3.в общности языков, 4. в сходной эволюции возникновения и развития религиозных верований, 5.в единой логике движения мировой истории и т.д.
Согласно второму подходу — история понимается как простая арифметическая сумма культур, стран, этносов, континентов, цивилизаций. Родоначальником этого подхода является российский историк Н.Я.Данилевский. Его теория культурно-исторических типов основана на отрицании всемирно-исторического процесса как целого и выделении в нем самостоятельных потоков — цивилизаций, создающихся ,прежде всего, по этническому признаку, с учетом социальных, территориальных и других факторов. Культурно-исторические типы, по мнению Н.Я.Данилевского, представляют собой живые организмы, они замкнуты, равноценны друг другу, обладают целостностью, не образуют общечеловеческую цивилизацию, являются единственными субъектами, носителями исторического действия.
Немецкий философ и историк, О. Шпенглер , выдвинул концепцию о культурах как множестве замкнутых организмов, выражающих коллективную душу народа. По его мнению, история — ничто иное , как сосуществование, параллельное развитие культур, каждая из которых возникает, развивается и гибнет подобно биологическому организму и существует независимо одна от другой. Идея единства всемирной истории, согласно О. Шпенглеру, совершенно неприемлема.
Теория локальных цивилизаций А.Тойнби — одна из самых известных. В ней выражается суть цивилизационного подхода к истории. Цивилизации — это носители исторического процесса, замкнутые или почти замкнутые общности. Цивилизация — область особенного , своеобразного, индивидуально- неповторимого. Любая цивилизация характеризуется, по
мнению историка, тремя факторами — культурным, политическим и экономическим — при решающем значении культурного фактора.
Мне кажется, что более верным является первый подход, потому что любой исторический феномен, любое историческое событие может быть понято и объяснено лишь как часть чего-то более общего во времени и в пространстве.
Все исторические явления и процессы тесно взаимосвязаны и взаимообусловлены. Например, победа в битве на Куликовом поле 1380г. имела переломное значение в борьбе Руси с монгольским игом, а убийство Александра II в 1881 г. привело к остановке проведения реформ и т.д. и таких примеров можно привести много.
Именно поэтому история не может быть простой арифметической суммой событий, её составляющих; не может иметь исключительно физиологический смысл: рождение, развитие, смерть; единство истории- это не внешний скреп, а внутренний стержень, вокруг которого формируется историческая реальность.
Сумма арифметической формулы последовательности
Последовательность — это расположение любых вещей или группы чисел в определенном порядке, которое следует правилу. По сути, это набор чисел (или элементов), которые следуют определенному образцу. Например, 5, 10, 15, 20…. представляет собой последовательность, поскольку каждый раз значение увеличивается на 5. Если элементы последовательности расположены в порядке возрастания, порядок последовательности является возрастающим.
Если элементы последовательности расположены в порядке убывания, то порядок последовательности убывающий. Арифметическая последовательность, геометрическая последовательность, последовательность Фибоначчи, гармоническая последовательность, треугольная числовая последовательность, квадратная числовая последовательность и кубическая числовая последовательность — вот несколько примеров конкретных последовательностей.
Арифметическая последовательность — это числовой ряд, в котором каждый последующий член представляет собой сумму предыдущего члена и постоянного целого числа. Это постоянное число называется общей разностью. В результате разность между каждыми двумя последовательными членами арифметического ряда одинакова.
Сумма арифметической прогрессииЕсли первым членом арифметической последовательности является а, а общая разность равна d, то члены арифметической последовательности имеют вид:
а, а+г, а+2д, а+ 3д, а+4д, ….
Предположим, что n — это общее количество элементов в последовательности.
Для n = 1 последовательность а.
Для n = 2 последовательность будет a, a + d.
Для n = 3 последовательность будет a, a + d, a + 2d.
Для n = 4 последовательность следующая: a, a + d, a + 2d, a + 3d.
Следовательно, общий член последовательности равен a n = a + (n – 1)d.
Формула для вычисления суммы всех членов арифметической последовательности определяется как сумма формулы арифметической последовательности. Если арифметическая последовательность записывается в виде сложения ее членов, таких как а + (а + d) + (а + 2d) + (а + 3d) + … .., то она называется арифметической последовательностью. Сумма первых n членов арифметического ряда, в котором n-й член неизвестен, определяется как:
S n = n/2 [2a + (n – 1)d]
где,
S n = сумма арифметической последовательности,
a = первый член последовательности,
d = разница между двумя последовательными членами,
n = количество членов в последовательности.
Если мы запишем 2a в формуле как (a + a), формула примет вид S n = n/2 [a + a + (n – 1)d]
Мы знаем, a + (n – 1)d обозначается n . Следовательно, формула принимает вид: S n = n/2 [a + a n ]
Вывод
Примеры вопросовПредположим, что первый член последовательности равен a, общая разность равна d, а количество членов равно n.
Мы знаем, что n -й член последовательности задается формулой
S n = a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… + a + (n – 1)d …… (2)
Из (1) уравнение (2) также может быть выражено как
S n = a n + a n – d + a n – 2d + a n – 3d + …… + a n – (n – 1 )d …… (3 )
Складывая (2) и (3) получаем,
2 S n = [a + (a + d) + (a + 2d) + (a + 3d) + …… + a + (n – 1)d] + [a n + a n – d + a n – 2d + a n – 3d + …… + a n – (n – 1)d]
900 02 2 S n = (а + а + а + ….2 S n = n (a + a n )
S n = n/2 [а + а n ]
Выводит формулу суммы арифметической прогрессии.
. n раз) + (а n + а n + a n + ….. n раз)Вопрос 1. Найдите сумму арифметической прогрессии: 4, 10, 16, 22, …… до 10 слагаемых.
Решение:
90 002 Вопрос 2. Найдите сумму арифметической прогрессии: 7, 9, 11, 13, …… до 15 членов.Имеем a = 4, d = 10 – 4 = 6 и n = 10,
Используйте формулу S n = n/2 [2a + (n – 1)d], чтобы найти нужную сумму.
S 10 = 10/2 [2(4) + (10 – 1)6]
= 5 (8 + 54)
= 5 (62)
= 310
Решение:
Мы имеем, a = 7, d = 9 — 7 = 2 и n = 15.
Используйте формулу S N = N/2 [2A + (N — 1) г] найти искомую сумму.
S 15 = 15/2 [2(7) + (15 – 1)2]
= 15/2 (14 + 28)
= 15/2 (42)
= 315
90 031Вопрос 3. Найдите первый член арифметической прогрессии, если она имеет сумму 240 для обычной разности 2 между 12 членами.
Решение:
Мы имеем, S = 200, D = 2 и N = 12.
Используйте формулу S N = N/2 [2A + (N — 1) D], чтобы найти требуемое значение.
=> 200 = 12/2 [2а + (12 – 1)2]
=> 240 = 6 (2а + 22)
=> 40 = 2а + 22
=> 2а = 18
=> а = 9
Вопрос 4. Найти общая разность арифметической прогрессии из 8 терминов, имеющих сумму 116, и первое термин как 4.
Решение:
Мы имеем, S = 116, A = 4, n = 8.
Используйте формулу S N = = n = 8.
. n/2 [2a + (n – 1)d], чтобы найти искомое значение.
=> 116 = 8/2 [2(4) + (8 – 1)d]
=> 116 = 4 (8 + 7d)
=> 29 = 8 + 7d
=> 7d = 21
=> d = 3
Вопрос 5.
Решение:
Имеем a = 4, n = 8 и a n = 10.
Используйте формулу S n = n/2 [a + a n ] до найти искомую сумму.
С 8 = 8/2 [4 + 10]
= 4 (14)
= 56
Вопрос 6. Найдите количество членов арифметической прогрессии, первый член, последний член и сумма которых равны 16, 12 и 140 соответственно.
Решение:
Имеем S = 140, a = 16 и a n = 12.
Используйте формулу S n = n/2 [ а + а n ] к найти нужное значение.
=> 140 = н/2 [16 + 12]
=> 140 = н/2 (28)
=> 14n = 140
=> n = 10
Вопрос 7. Найдите сумму арифметической прогрессии, у которой первый член, общая разность и последний член равны 8, 7 и 50 соответственно.
Решение:
Имеем a = 8, d = 7 и a n = 50.
Используйте формулу a n = a + (n – 1 )d, чтобы найти n.
=> 50 = 8 + (n – 1)7
=> 42 = 7 (n – 1)
=> n – 1 = 6
=> n = 7
Используйте формулу S n = n/2 [a + a n ], чтобы найти сумму последовательности.
S 7 = 7/2 (8 + 50)
= 7/2 (58)
= 203
Mathwords: Арифметический ряд
индекс: нажмите на букву индекс: предметные области
Арифметический ряд А ряды типа 3+7+11+ 15 + ··· + 99 или 10 + 20 + 30 + ··· + 1000, что имеет постоянную разницу между терминами.
Формула: или
Пример: 3 + 7 + 11 + 15 + ··· + 99 имеет a 1 = 3 и d = 4. Чтобы найти n , используйте явную формулу для арифметической прогрессии.
Решаем 3 + ( n – 1)·4 = 99, чтобы получить n = 25.
Найдите сумму арифметической последовательности 8 терминов, первый и последний термины равны 4 и 10 соответственно. 
Первый член a 1 , общая разница
это д ,
а количество терминов n . Сумма
арифметический ряд получается путем умножения числа
термины раз
среднее значение первого и последнего членов.