Частичная сумма ряда онлайн: Найти сумму ряда online

Понятие о числовом ряде Частичная сумма и числовой ряд, сходимость числового ряда. Тема 7

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

Часть 7 Тема 1
Понятие о числовом ряде
Частичная сумма и числовой ряд, сходимость числового ряда

2. В этом видео

1. Частичная сумма
В этом видео
последовательности
2. Числовой ряд
3. Сходимость ряда
Частичная сумма последовательности
Для последовательности
суммой будет называться
частичной
Например
Последовательность частичных сумм
Такая последовательность
в совокупности
с исходной последовательностью
и называется числовым рядом.
Обозначение числового ряда
— числовой ряд
Сходимость числового ряда
Числовой ряд
сходится, если сходится
последовательность его частичных сумм
Абсолютная сходимость
числового ряда
Числовой ряд
сходится абсолютно, если
сходится ряд из модулей его членов
Например:
Например:
Например:
Неразрешенные проблемы:
1. Дано определение частичных
сумм
Итоги
2. Сформировано понятие о
числовом ряде
3. Исследована сходимость
числовых рядов
Часть 7 Тема 2
Признаки сходимости
числовых рядов
Решение задачи о сходимости числового ряда

15. В этом видео

1. Признак д’Аламбера
В этом видео
2. Признак Коши
3. Признак Лагранжа
4. Признак Раабе
Признак д’Аламбера сходимости
числового ряда
— ряд сходится
— ряд
расходится
Например:
Например:
Признак Коши сходимости
числового ряда
Пусть заданы
тогда если
то расходится.
и
, то ряд сходится, если
,
,
Например:
Например:
Признак Лейбница сходимости
числового ряда
Пусть
Если
то ряд сходится.
И
,
Теорема Лейбница
Пусть
Тогда
Теорема Лейбница
Тогда
Теорема об оценке остатка ряда
Пусть
Если
то
и
,
Например:
— сходится условно
— сходится условно
Признак Раабе сходимости
числового ряда
Пусть заданы
Если
а если
и
, то ряд сходится,
, то ряд расходится
Например:
Вычисление суммы ряда
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
import math
def a(i):
return (-1)**n/(i**2)
acc = 0.0001
sum = 0
i=1
while (math.fabs(a(i)) > acc and math.fabs(a(i))>math.fabs(a(i+1)))
summ = summ + a(i)
i=i+1
print (i, summ)
1. Признаки сходимости
Итоги
различаются по силе
2. Все признаки сходимости
основаны на сравнении
Часть 7 Тема 3
Разложение функции
в ряд
Исследование аналитичности функций

32. В этом видео

1. Ряд Тейлора
2. Ряд Фурье
Ряд Тейлора
применяется для разложения функций в
бесконечный ряд степенных функций.

Ряд Тейлора
Например:
Например:
Многочлен Тейлора
Например:
Ряд Маклорена
Область сходимости ряда Тейлора
Например:
Формула Тейлора
Аналитичность функции
1. Наличие производной бесконечного порядка
Например:
Ряд Фурье
применяется для разложения функции с периодом
в бесконечный ряд
Ряд Фурье
Тригонометрический ряд Фурье
1. Ряд Тейлора служит для
Итоги
приближенных вычислений
2. Ряд Фурье применяется для
периодических функций

English     Русский Правила

1 + 2 + 3 + 4 +… / Хабр

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда

Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.

Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.

Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом

Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.

Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди

который тоже расходится, но известно, что метод суммирования Чезаро позволяет присвоить этому ряду конечное значение 1/2. Суммирование по Чезаро заключается в оперировании не частичными суммами ряда, а их арифметическими средними. Позволив себе порассуждать в вольном стиле, можно сказать, что то частичные суммы ряда Гранди осцилируют между 0 и 1, в зависимости от того какой член ряда является последним в сумме (+1 или -1), отсюда и значение 1/2, как арифметическое среднее двух возможных значений частичных сумм.

Другим интересным примером расходящегося ряда является знакопеременный ряд 1 — 2 + 3 — 4 +…, частичные суммы которого также осцилируют. Суммирование методом Абеля позволяет присвоить данному ряду конечное значение 1/4. Отметим, что метод Абеля является, своего рода, развитием метода суммирования по Чезаро, поэтому результат 1/4 несложно осмыслить с точки зрения интуиции.

Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.

Ни суммирование по Чезаро, ни метод Абеля, однако, не позволяют работать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +. .., т. к. средние арифметические частичных сумм, равно как и средние арифметические средних арифметических, расходятся. Кроме того, если значения 1/2 или 1/4 ещё как-то можно принять и соотнести с соответствующими рядами, то -1/12 сложно связать с рядом 1 + 2 + 3 + 4 +…, представляющим собой бесконечную последовательность положительных целых чисел.

Существует несколько способов прийти к результату -1/12. В этой заметке я лишь кратко остановлюсь на одном из них, а именно регуляризации дзета-функцией. Введём дзета-функцию

Подставляя s = -1, получим исходный числовой ряд 1+2+3+4+…. Проделаем над этой функцией ряд несложных математических действий

Где является эта-функцией Дирихле

При значении s = -1 эта-функция становится уже знакомым нам рядом 1 — 2 + 3 — 4 + 5 -… «сумма» которого равна 1/4. Теперь мы можем легко решить уравнение



Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:

Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира.

Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией


Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии, где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.

2 дюйма

изображения/sigma2.js

Что такое сигма?

Σ   Этот символ (называемый сигмой) означает «суммировать»

Используется так:

Sigma забавна в использовании и может делать много умных вещей. Узнайте больше о сигма-нотации.

Вы также можете прочитать более сложную тему Частичные суммы.

Все функции

Операторы

  + Оператор сложения
  Оператор вычитания
  * Оператор умножения
  / Дивизион оператор 9 Оператор степени/экспоненты/индекса
  () Скобки

Функции

  кв Квадратный корень из значения или выражения.
  грех синус значения или выражения
  косинус значения или выражения
  желтовато-коричневый тангенс значения или выражения
  как арксинус (арксинус) значения или выражения
  акос арккосинус (arccos) значения или выражения
  атан арктангенс (арктангенс) значения или выражения
  синх Гиперболический синус значения или выражения
  кош Гиперболический косинус значения или выражения
  танх Гиперболический тангенс значения или выражения
  эксп e (константа Эйлера), возведенная в степень значения или выражения
  п Натуральный логарифм значения или выражения
  журнал Логарифм значения или выражения по основанию 10
  абс Абсолютное значение (расстояние от нуля) значения или выражения
  факт Факториальная функция!

Константы

  пи Константа π (3,141592654.
..)
  и Число Эйлера (2,71828…), основание натурального логарифма

 

Как найти сумму ряда


Решение математических задач >

Проще говоря, сумма ряда — это сумма списка чисел или терминов в ряду, до которой складываются. Если сумма ряда существует, то это будет одно число (или дробь), например 0, ½ или 99.

Проблема нахождения суммы ряда существует с древних времен. Сумма Архимеда 1 + 1/4 + 1/4 2 + … была одним из самых ранних примеров. Некоторые выводы были сложнее других; первая «действительно сложная» задача на суммирование была 1 + (1/2) 2 + (1/3) 2 + …, с которым Менголи и братья Якоб Бернулли и Иоганн Бернулли безуспешно справились. Именно Эйлер нашел решение (π 2 /6) в 1734 году, спустя много времени после смерти Якоба Бернулли [1].


Как найти сумму ряда: общие шаги

В большинстве случаев невозможно вычислить точную сумму ряда. На самом деле очень сложно узнать точную сумму большинства бесконечных рядов. Однако есть несколько исключений [2]:

  1. Геометрический ряд:

  2. Телескопическая серия:

Для других серий требуется небольшая работа. Первый шаг — использовать компьютер, чтобы увидеть, куда может быть направлена ​​сумма. Вы можете попробовать первую тысячу терминов из первых 10 000 терминов (или использовать один из различных калькуляторов, которые вы можете найти в Интернете!). Это может работать хорошо, если у вас есть компьютер и терпение, но оно не скажет вам, является ли полученное вами решение «лучшим».

Как найти сумму ряда с частичными суммами

Вы можете оценить сумму ряда с частичными суммами. Если предел бесконечного ряда существует и конечен, то этот предел также является суммой бесконечного ряда. Итак, если мы найдем предел его последовательности частичных сумм, мы сможем найти сумму ряда. Идея состоит в том, что вы можете найти сумму ряда в целом, найдя сумму небольших «частичных» частей суммы. Чем больше частей вы включаете, тем ближе вы подходите к пределу последовательности частичных сумм. Подобно подходу «сложения терминов», описанному выше, это не всегда очень практичный подход. Лучше использовать частичные суммы в сочетании с интегральным тестом и теорема об остатках .[3]

Чтобы использовать этот метод, сначала запустите интегральный тест и убедитесь, что ряд сходится. Тест даст вам остаточное значение , которое представляет ошибку при приближении бесконечной суммы ряда к частичной сумме n th . Остаток, R n , представляет собой разницу между истинной суммой ряда и суммой, полученной с помощью n частичных сумм:


Чем больше частичных сумм вы используете, тем лучше приближение и тем меньше остаток. Это означает, что это невозрастающая функция, которую можно описать интегралами, показанными на следующих графиках:


Результатом является теорема об остатках [3]:

Теорема верна для ряда, сходящегося по интегральному признаку, с остатком
R n = S – s n , где:

  • S является суммой ряда
  • s n – сумма, полученная частичными суммами.

Добавление s n к обеим сторонам равенства дает:


Примечание : Будьте осторожны при интерпретации тестов сходимости. Не все тесты на сходимость помогают найти сумму ряда. Например, тест на корень и тест на отношение предполагают установление предела. Хотя они могут сказать вам кое-что о сходимости, они ничего не говорят о значении суммы [4].


Как найти сумму ряда: Пример

Пример вопроса: Оцените сумму следующего ряда с 10-й частичной суммой:


Шаг 1: Запустите интегральный тест для подтверждения сходимости. Эта функция проходит этот тест.

Шаг 2: Применение теоремы об остатках:

Добавление s 10 к каждой стороне дает:

Где десятая частичная сумма:


Шаг 3: Используйте информацию из шага 2 для оценки, S что будет средним значением верхней и нижней границ: 9п)

Посмотреть это видео на YouTube.


Ссылки

[1] Стиллвелл, Дж. (2010). Математика и ее история. 3-е издание. Спрингер.
[2] Куча, A. Краткое изложение серии. https://www.geneseo.edu/~heap/courses/222/series_review.pdf
[3] Масланка, Д. Интегральный тест и теорема об остатках.
http://mypages.iit.edu/~maslanka/LN7.pdf
[4] Foy, C. (2013). Ситуация 1. Получено 18 августа 2021 г. с: http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6500/ClassSit/Foy/situation1.pdf

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Как найти сумму ряда» от StatisticsHowTo.com : элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/how-to-find-the-sum-of-a-series/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *