Примеры решения системы линейных алгебраических уравнений 3-его порядка методом Гаусса, пример № 1
СЛАУ 3-его порядка:
1 —
2 —
3 —
4 —
5 —
6 —
7 —
8 —
9 —
10 —
11 —
12
СЛАУ 4-ого порядка:
1 —
2 —
3 —
4 —
5 —
6 —
7 —
8 —
9 —
10 —
11 —
12
Условие
|
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусс
Для проверки ответов можете воспользоваться нашим онлайн сервисом — Решение системы линейных уравнений методом Гаусса. Все действия описанные в данном разделе не противоречат правилам обращения с матрицами и являются элементарными преобразованиями матрицы.
Перепишем систему линейных алгебраических уравнений в матричную форму. Получится матрица 3 × 4, слева от разделительной линии стоят коэффициенты при переменных, а справа стоят свободные члены.
Проведём следующие действия:
- Из строки № 2 вычтем строку № 1 умноженную на 3 (Строка 2 — 3 × строка 1)
- Из строки № 3 вычтем строку № 1 (Строка 3 — строка 1)
Получим:
Проведём следующие действия:
- Строку № 2 умножим на -1 (Строка 2 = -1 × строка 2 )
- Из строки № 3 вычтем строку № 2 (Строка 3 — строка 1)
Получим:
Проведём следующие действия:
- Строку № 3 умножим на -1 (Строка 3 = -1 × строка 3 )
- Из строки № 2 вычтем строку № 3 умноженную на 2 (Строка 2 — 2 × строка 3)
- Из строки № 1 вычтем строку № 3 умноженную на 3 (Строка 1 — 3 × строка 3)
Получим:
Проведём следующие действия:
- Из строки № 1 вычтем строку № 2 умноженную на 2 (Строка 1 — 2 × строка 2)
Получим:
В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы.
х1 = -4
х2 = -13
х3 = 11
Вы поняли, как решать? Нет?
Другие примеры
Системы линейных алгебраических уравнений — презентация онлайн
1. Системы линейных алгебраических уравнений
Виды систем линейных алгебраических уравнений(СЛАУ)
Решение СЛАУ в матричном виде
Решение СЛАУ методом Крамера
Решение СЛАУ методом Гаусса
Решение СЛАУ в общем случае
2. Системы линейных алгебраических уравнений
Пусть задана система, состоящая из m уравненийс n неизвестными вида:
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x … a x b
21 1
22 2
2n n
2
,
………
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm
где
а
(1)
aij , bi , i 1, m, j 1, n — заданные числа,
x1 , x2 ,…, xn — неизвестные
3. Системы линейных алгебраических уравнений
Систему (1) можно записать в видеai1 x1 ai 2 x2 . .. ain xn bi , i 1, m
или
n
a x
j 1
ij
j
bi , i 1, m
Решением системы (1) называется такая
совокупность чисел x1 1 , x2 2 ,…, xn n ,
при подстановки которых каждое уравнение
системы обращается в верное тождество
4. Системы линейных алгебраических уравнений
Система (1) называется совместной, если у неесуществует решение. Если решения нет, то система
называется несовместной.
Система, имеющая единственное решение
называется определенной. Если система имеет более
одного решения, то она называется неопределенной
Система (1) называется однородной, если все
свободные члены в ней равны нулю. В противном
случае она называется неоднородной.
5. Решение СЛАУ в матричном виде
Коэффициенты при неизвестных в уравненияхсистемы (1) образуют матрицу размера m n,
которую обозначим
а11 а12
а21 а22
Am n
… …
a а
m1 m 2
… а1n
… а2 n
… …
… аmn
и назовем матрицей системы (1).
6. Решение СЛАУ в матричном виде
Вектор — столбец неизвестных системы (1):x1
x2
X n 1
…
x
n
Вектор — столбец свободных членов системы (1):
b1
b2
Bm 1
…
b
m
7. Решение СЛАУ в матричном виде
Рассмотрим произведение матриц:а11
а21
Am n X n 1
…
a
m1
b1
b2
Bm 1
…
b
m
а12 … а1n x1 а11×1 а12 x2 … а1n xn
а22 … а2 n x2 а21×1 а22 x2 … а2 n xn
… … … …
…
аm 2 … аmn xn аm1 x1 аm 2 x2 … аmn xn
Таким образом систему (1) можно
записать в матричном виде:
A X B
8. Решение СЛАУ в матричном виде
Рассмотрим случай, когда m=n, то естьколичество уравнений в системе (1) равно
количеству неизвестных. Матрица системы А –
квадратная матрица порядка n.
а11
а21
An n
…
a
n1
b1
x1
а12 … а1n
а22 … а2 n
b2
x2
B
;
X
;
n
1
n
1
. .. … …
…
…
b
x
аn 2 … аnn
n
n
9. Решение СЛАУ в матричном виде
Будем считать, что матрица А – невырожденнаяматрица, то есть А 0
Пусть система записывается в матричном виде
A X B
(2)
У матрицы А существует, причем единственная
1
матрица А
. Умножим слева обе части
1
уравнения (2) на матрицу А .
1
1
А ( A X ) А B
1
1
( А A) X А B
1
Е X А B
1
X n 1 Аn n Bn 1 (3)
10. Решение СЛАУ в матричном виде
Если задано матричное уравнение вида:X A B
(4)
, то для его решения умножим обе части
уравнения (4) справа на матрицу А 1 .
1
1
( X A) А B А
1
1
X ( A А ) B А
1
X Е А B
1
X B А
(5)
11. Решение СЛАУ методом Крамера
Рассмотрим невырожденную линейную системуалгебраических уравнений в матричном виде
A X B,
где А – квадратная матрица порядка n и det A 0
1
Решение системы: X A B
Аn1
А21
А11 А21
А11
. ..
b1
b2
… bn
b1
x1
А
А
А
А
А
n
2
12
22
12
22
x
b
2
2 b1
…
b
… bn
2
…
…
…
… … … …
x А
b А
А
А
А2 n
2n
nn
1n
n
n 1n
…
b2
… bn
b1
Аn1
Аn 2
Аnn
12. Решение СЛАУ методом Крамера
Таким образом, имеем:1
x1 (b1 А11 b2 А21 … bn Аn1 )
……………………………………………
1
xn (b1 А1n b2 А2 n … bn Аnn )
13. Решение СЛАУ методом Крамера
Составим определитель 1 , который получаетсяиз определителя путем замены первого
столбца столбцом из свободных членов
b1 a12 … a1n
1
b2 a22 … a2 n
…
… … …
b1 А11 b2 А21 … bn Аn1 x1
bn an 2 … ann
1
x1
14. Решение СЛАУ методом Крамера
Составим определитель n , который получаетсяиз определителя путем замены n -ого
n
столбца столбцом из свободных членов
a11 a12 . .. b1
a21 a22 … b2
…
… … …
an1 an 2 … bn
b1 А1n b2 А2 n … bn Аnn xn
n
xn
15. Решение СЛАУ методом Крамера
Таким образом, была доказана следующаятеорема
Пусть — определитель матрицы системы А и
j — определитель матрицы, полученной из
матрицы А заменой j-ого столбца столбцом
свободных членов. Тогда, если 0, то система
имеет единственное решение, определяемое по
формулам Крамера
xj
j
, j 1, n
16. Решение СЛАУ методом Гаусса
Метод последовательного исключениянеизвестных
Этот метод заключается в том, что с помощью
элементарных преобразований система
уравнений приводится к равносильной
системе треугольного вида, из которой
последовательно, начиная с последних по
номеру элементов находятся все остальные
элементы
17. Решение СЛАУ в общем случае
Пусть дана произвольная система m линейныхуравнений с n неизвестными
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a x a x . .. a x b
21 1
22 2
2n n
2
,
………
am1 x1 am 2 x2 … amn xn bm
(1)
18. Решение СЛАУ в общем случае
Рассмотрим для системы (1) матрицу системы Аи расширенную матрицу А , дополненную
столбцом свободных членов
а11 а12
а21 а22
A
… …
a а
m1 m 2
… а1n
а11 а12
… а2 n
а21 а22
; A
… …
…
…
a а
… аmn
m1 m 2
… а1n b1
… а2 n b2
… … …
… аmn bm
19. Решение СЛАУ в общем случае
Исследуем систему (1) на совместностьДля того, чтобы система (1) была совместна
необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы
системы был равен рангу расширенной матрицы
r ( A) r ( A)
20. Решение СЛАУ в общем случае
Из теоремы Кронекера-Капелли следует:1. Если r ( A) r ( A) , то система (1) несовместна,
то есть не имеет решения.
2. Если r ( A) r ( A) n (n – число неизвестных
системы), то система имеет единственное
решение, которое можно найти, например, по
формулам Крамера.
3. Если r ( A) r ( A) n , то система (1) имеет
бесконечно много решений.
21. Пример
Исследовать систему на совместностьx1 x2 x4 1
x3 3
x1 x2 x3 x4 0
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
A 0 0 1 0 3 0 0 1 0 3 ~ 0 0 1 0 3
1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 4
r ( A) 3; r ( A) 2 r ( A) r ( A)
система несовместна
22. Решение систем линейных неоднородных уравнений
Алгоритм построения общего решениянеоднородной системы
1.Вычислить r (A) иr (A ) и установить совместность
системы (1). Пусть r ( A) r ( A) r .
2. Выделим в матрице А базисный минор:
а11
а
21
…
ar1
а12
а22
…
аr 2
…
…
…
…
а1r
а2 r 0
…
аrr
(считаем, что он расположен в левом верхнем
углу матрицы А)
23. Решение систем линейных неоднородных уравнений
3.Рассмотрим уравнения системы (1),
соответствующие базисному минору. Их будет r.
4. Неизвестные x1 , x2 ,. .., xr , коэффициенты
которых соответствуют базисному минору,
назовем базисными.
Неизвестные xr 1 , xr 2 ,…, xn назовем свободными.
24. Решение систем линейных неоднородных уравнений
5.Запишем уравнения системы (1),
соответствующие базисному минору, в виде:
слагаемые с базисными переменными оставим
в левой части, а слагаемые со свободными
переменными перенесем вправо:
a11 x1 a12 x2 … a1r xr b1 a1r 1 xr 1 … a1n xn
a x a x … a x b a x … a x
21 1 22 2
2r r
2
2 r 1 r 1
2n n
………
ar1 x1 ar 2 x2 … arr xr br arr 1 xr 1 … arn xn
25. Решение систем линейных неоднородных уравнений
6.Обозначим свободные переменные
xr 1 с1 , xr 2 с2 ,…, xn сn r
Выразим базисные переменные x1 , x2 ,…, xr по
формулам Крамера через параметры с1 , с2 ,…, сn r :
x1 x1 (c1 , c2 ,…, cn r )
x x (c , c ,…, c )
2
2 1 2
n r
…..
xr xr (c1 , c2 ,…, cn r )
26.
Решение систем линейных неоднородных уравненийВ результате получим решение системы (1),которое называю общим решением системы.
Если придать свободным переменным
конкретные числовые значения, то получим
частное решение системы (1).
27. Пример
Найти общее и указать некоторое частноерешение системы
x1 5 x2 4 x3 3×4 1
2 x1 x2 2 x3 x4 0
5 x1 3×2 8 x3 x4 1
1 5 4 3 1 1 5 4 3 1 1 5 4 3 1
A 2 1 2 1 0 2 1 2 1 0 ~ 2 1 2 1 0
5 3 8 1 1 4 2 4 2 0
r ( A) 2; r ( A) 2 r ( A) r ( A)
система совместна
28. Пример
Базисный минор:1
2
5 1 10 11 0
1
Система из двух уравнений, соответствующих
базисному минору:
x1 5 x2 4 x3 3 x4 1
2x x 2x x 0
3
4
1 2
x1 , x2 — базисные переменные
x3 , x4 — свободные переменные
29. Пример
Базисные переменные модели выразим черезсвободные:
x1 5 x2 1 4 x3 3 x4
2 x x 2 x x
3
4
1 2
Обозначим свободные переменные:
x3 с1 , x4 с2
Имеем:
x1 5 x2 1 4с1 3с2
2 x x 2с с
1
2
1 2