ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I.  ЧИСЛО. ПЕРЕМЕННАЯ. ФУНКЦИЯ§ 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 20. Дифференциал § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента§ 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 7. О кратных корнях многочлена § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  Геометрическое изображение функции двух переменных§ 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6.  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9.  § 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
частные производные и обозначения Лейбница
23.1Функции нескольких переменных и частные производные
Материал этого раздела относится к курсу многомерного анализа, однако для других
курсов он вам может потребоваться очень скоро, так что мы его включили сюда,
немного забегая вперёд.
23.1.1Функции нескольких переменных
Ранее мы рассматривали функции одной переменной — например, f(x)=x2+3x−5. Подставляя значение x, мы получаем значение функции. Можно также сказать, что функция задаёт зависимость между x и какой-то другой переменной (вопреки традиции, обозначим её через z): z=f(x), меняем x, меняется z. Например, нас может интересовать, как меняется спрос в зависимости от цены, или как меняется рождаемость в зависимости от количества денег, выделяемых на поддержку семей с детьми. Однако, зависимости в реальном мире как правило выглядят сложнее. Спрос зависит не только от цены, но и от других факторов — например, от текущей даты (перед праздниками спрос может вырасти) или рекламного бюджета. Рождаемость может зависеть не только от величины детских пособий, но и от количества школ или ставки по ипотеке. Поэтому часто нас интересуют функции нескольких переменных.
Рассмотрим, например, функцию g(x,y)=x2y+2y3x. Её значение зависит от
значений двух переменных, x и y.
Формально, такая функция является
отображением:
g:R2→R,
где R2 — декартов квадрат множества вещественных чисел, то есть множество всевозможных упорядоченных пар (x,y). Иными словами, R2 — это просто декартова плоскость. Каждой точки этой плоскости соответствует пара чисел, x-координата и y-координата, а паре чисел соответствует значение функции g(x,y). То есть чтобы задать функцию двух переменных, нужно каждой точки плоскости (или какой-то области на плоскости) поставить в соответствие своё число.
Функции нескольких переменных сложнее представлять себе, чем функции одной переменной, потому что их графики живут в пространствах больших размерностей. Например, график функции двух переменных — это некоторая поверхность в трёхмерном пространстве: расположим нашу декартову плоскость (x,y) на полу комнаты, и над каждой точкой нарисуем точку графика; её высота над полом должна равняться значению функции в этой точке.
Пожалуй, самый естественные пример функций нескольких переменных получаются из
географических данных.
Высота точки с некоторой широтой и долгтой над уровнем
моря — это функция двух переменных — собственно, широты и долготы. Её график —
это просто соответствующий трёхмерный ландшафт. Максимумы соответствуют горам,
минимумы — впадинам.
Можно рассмотреть более сложную функцию — например, зависимость температуры от долготы, широты и времени. Это функция трёх аргументов, представить себе её график в виде какой-то картинки уже практически невозможно — она будет жить в четырёмерном пространстве!
На курсе анализа-2 вы будете более подробно обсуждать, как устроены функции нескольких переменных и как их изучать. Мы же пока поговорим про один маленький кусочек этой науки.
23.1.2Частные производные
Мы хотели бы определить некоторый аналог производной для функции нескольких
переменных. Для функции одной переменной, производная показывает, с какой
скоростью функция растёт или убывает вблизи данной точки, то есть показывает,
как меняется её значение, когда значение аргумента немножко увеличивается или
уменьшается.
Перенести на функции нескольких переменных это определение
буквально не получается — у нас теперь несколько аргументов, и непонятно, что
значит, что функция убывает или растёт вблизи какой-то точки — растёт при каком
изменении аргументов?
Общий ответ на этот вопрос также выходит за рамки нашего курса, но одна из конструкций достаточно проста, и мы её сейчас обсудим.
Допустим, нас интересует рождаемость, и в нашей модели она зависит от двух
переменных — от размера детских пособоий и процентной ставки по ипотеке. Если вы
министр социальной защиты, вы контролируете размер пособий, но процентная
ставка находится не в вашей власти, она зависит от действий Центробанка. В этом
случае вам может быть интересно, на сколько вырастет рождаемость, если вы
повысите размер пособий на некоторую небольшую величину, при том, что ставка по
ипотеке не изменится. Иными словами, с вашей точки зрения, ставка является
константой, а функция, с которой вы имеете дело — это функция одной переменной
— она зависит только от размера пособий.
Тогда вы можете найти производную этой
функции, просто пользуясь определением производной.
Конечно, может так статься, что при разных значениях ставки по ипотеке, производная, которую вы найдёте, будет разной. Например, если ставка по ипотеке слишком высока, увеличение небольшого пособия может не приводить к увеличению рождаемости, а при низких ставках — приводить. А если изначально пособие было большим, эффект может оказаться обратным. Так что ваша производная оказывается функцией двух переменных — текущей ставки по ипотеке и текущего размера пособий, и показывает, на сколько изменится значение рождаемости при увеличении размера пособий (относительно текущего уровня) при фиксированной ставке.
Эта штука называется частной производной.
Определение 1. Рассмотрим функцию двух переменных z=g(x,y). Зафиксируем некоторое
значение y=y0 и рассмотрим функцию h(x)=g(x,y0). Это функция одной
переменной. Её производная в точке x=x0 называется частной
производной функции g по x в точке (x0,y0).
Обозначается:
g′x(x0,y0):=h′(x0).
Аналогично определяется частная производной и по y. Если переменных больше, чем две, определение также аналогично: нужно зафиксировать все переменные, кроме одной, и найти производную от функции от этой оставшейся переменной.
Пример 1. Пусть g(x,y)=x2+2y3x. Найдём её частные производные. Чтобы найти g′x, нужно просто при дифференцировании этой функции считать y фиксированным параметром. Первое слагаемоей дифференцируется как обычно, получается 2x, а при дифференцировании второго нужно учесть, что раз y — фиксированное число, то и y3 — тоже фиксированное число, и его можно простов вынести за знак производной:
g′x(x,y)=(x2)′x+(2y3x)′x=2x+2y3⋅x′x=2x+2y3.
g′x(x,y)=(x2)′x+(2y3x)′x==2x+2y3⋅x′x=2x+2y3.
Вопрос 1. Найдите частную производную g′y(x,y):
2x+6y2x
Неверный ответ.
Нет, если x константа, то x2 тоже константа. А что такое
производная константы?
6y2x
Верный ответ. Да! По-моему, считать частные производные даже проще, чем объяснять, что это такое.
6y2
Неверный ответ. А куда делся x?
2y3
Неверный ответ. А куда делся x? И где производная по y?
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума) Пусть функция двух переменных z=f(x,y) определена в некоторой окрестности точки (x0,y0), то есть существуют такие окрестности Ux и Uy точек x0 и y0, что для всех x∈Ux, y∈Uy, функция определена в точке (x,y). Пусть также в точке (x0,y0) у функции f есть локальный максимум (то есть для любых x∈Ux, y∈Uy, f(x0,y0)≥f(x,y)) или минимум (определение аналогично). Пусть существуют частные производыне f′x(x0,y0) и f′y(x0,y0). Тогда они обязаны равняться нулю.
Доказательство.
Действительно, пусть, например, f′x(x0,y0)>0, но в точке (x0,y0)
у функции f локальный максимум. Рассмотрим функцию h(x)=f(x,y0).
Поскольку h′(x0)=f′x(x0,y0)>0, можно немножко увеличить значение x
и увеличить значение функции: найдётся такое δ>0, что для всякого
Δx∈(0,δ), h(x0+Δx)>h(x0). Иными словами,
f(x0+Δx,y0)>f(x0,y0). Значит, (x0,y0) не является
локальным максимумом функции f.
Остальные случаи рассматриваются полностью аналогично.∎
23.2Обозначения Лейбница
23.2.1Производные функции одной переменной
На протяжении нашего курса мы обозначали производные как f′(x), или, частные
производные, f′x(x,y) и f′y(x,y). Это обозначения Лагранжа. Есть и
другие способы обозначать производные. Например, производные по переменной t,
имеющей смысл времени, часто обозначается точкой: ˙f(t). В общем случае
часто используют также обозначения Лейбница, в которых некоторые формулы становятся
более естественными. О них — в этом разделе.
Чтобы ввести обозначения Лейбница, напомним определение производной:
f′(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.
Если обозначить числитель дроби через Δf(Δx), как мы иногда делали раньше, получится такое определение:
f′(x0)=limΔx→0Δf(Δx)Δx.
Иногда зависимость от Δx в числителе опускают и записывают просто
f′(x0)=limΔx→0ΔfΔx.
Из этой формулы происходит обозначение Лейбница для производных:
f′(x0)=df(x0)dx=dfdx(x0).
Выражение df/dx обычно не рассматривается как дробь в обычном смысле, а
рассматривается как некоторый неделимый символ, который, однако, происходит из
дроби Δf/Δx. Иногда говорят, что dx — это «бесконечно малое
приращение аргумента», а df — это соответствующее ему приращение функции (тоже
как правило «бесконечно малое»). Однако, каков у этих слов аккуратный
математичесий смысл, не очень понятно. Можно придать выражению df/dx смысл
именно как дроби, понимая под df и dx не числа, а некоторые линейные функции
(дифференциалы), но мы, пожалуй, не будет сейчас этого делать — соответствующие
понятия будет гораздо проще понять, когда вы познакомитесь с линейной алгеброй.
23.2.2Обозначения Лейбница и теоремы о производных
При использовании обозначений Лейбница некоторые теоремы о производных становятся более естественными, если договориться о некоторых не очень аккуратных соглашениях.
Производная обратной функции.
Например, рассмотрим теорему о производной обратной функции. У нас есть некоторая функция y=f(x), она задаёт зависимость y от x. Давайте мы вместо буквы f будем писать просто y:
y=y(x),
имея в виду ту же самую зависимость, что и раньше. Это, конечно, вносит некоторую путаницу — теперь одной и той же буквой обозначаются два разных объекта, функция и переменная, которой обозначаются её значения. Но из контекста будет ясно, что имеется в виду.
Обратная функция (x=f−1(y)), если она существует, тогда показывает зависимость x от y, которую мы будем просто обозначать через
x=x(y).
Таким образом, наши функции y(x) и x(y) — это соответственно f и f−1.
Теперь запишем их производные. В обозначениях Лейбница:
f′=dfdx,
и поскольку мы договорились вместо f писать просто y, получим:
f′=dydx
А производная обратной функции записывается в виде:
dxdy,
имея в виду, что теперь x в числителе — это имя функции x(y), обратной к f.
Неудивительно, что
dxdy=1dydx,
то есть производные прямой и обратной функции взаимно обратны (в произведении дают 1) — это равенство выглядит естественно, если использовать наши обозначения и воспринимать дроби dx/dy и dy/dx как «настоящие» дроби. Но, конечно, само по себе это не доказывает соответствующую теорему, да и даже полной формулировки тут нет, потому что наши обозначения скрывают, в каких точках берётся производная. Полностью формула из теоремы о производной обратной функции в обозначениях Лейбница может быть записана так:
dxdy∣∣∣y=y0=1dydx∣∣x=x(y0).
Производная сложной функции.
Рассмотрим теперь теорему о производной сложной функции. Рассмотрим функции y=f(x) и z=g(y), а также их композицию h(x)=g(f(x)). Функция f показывает, как y зависит от x, а функция g — как z зависит от y. Опять используем неоднозначную запись: вместо функции f(x) мы будем писать просто y(x), а вместо g — z(y). Рассматривая композицию функций g(f(x)), мы будем говорить, что у нас z в этом случае зависит не от y, а от x. Формула в теореме о производной сложной функции может быть кратко записана так:
dzdx=dzdydydx,
где dz/dx — это производная композиции (она показывет, как z меняется, когда меняется x), а dz/dy — это производная функции g. Опять же, «сокращая» dy в этой формуле, мы можем её «доказать» — хотя, конечно, это не настоящее доказательство, потому что это не совсем настоящие дроби (и ко всему прочему, непонятно, что делать, когда dy обнуляется).
Обозначения Лейбница бывают полезны, потому что основаны на интуитивных
представлениях о производной как об отношении приращения функции к приращению
аргумента, однако часто формулы с ними записываются с сокращениями (например,
не указывается, в какой точке берутся те или иные производные), которые
усложняют понимание.
Если вы видите формулу с производными, записанными в обозначениях Лейбница, и чувствуете, что не вполне понимаете написанное или не можете с ним эффективно работать, может быть полезно переписать эту формулу в обозначениях Лагранжа в наиболее полном виде, ничего не пропуская — аккуратно разобраться, с какими функциями вы работаете, от каких переменных и в каких точках.
23.2.3Обозначения для частных производных
В случае частных производных часто используют такие обозначения: f′x(x,y)=∂f∂x(x,y)=∂f(x,y)∂x;g′y(x,y)=∂f∂y(x,y)=∂f(x,y)∂y. Здесь используется такое специальное круглое ∂ вместо обычного d, чтобы подчеркнуть, что нас интересует именно частная производная — в курсе многомерного анализа жизнь устроена сложнее, чем в одномерном, и там бывают разные понятия производной, которые нужно различать.
23.3Заключение
В математике есть разные способы обозначать одни и те же объекты, и вообще,
формулы можно записывать по-разному.
Часто на практике используются обозначения,
в которых опускаются какие-то вещи, понятные из контекста, чтобы сделать
запись более лаконичной и подчеркнуть основную мысль на фоне малозначительных
деталей. К сожалению, зачастую эти упрощения для неподготовленного читателя
могут наоборот усложнить понимание, иногда фатально. В этом курсе мы стараемся
использовать наиболее однозначные обозначения, чтобы упростить усвоения
материала — и поэтому, в частности, пользовались обозначениями Лагранжа для
производных. Однако нужно быть готовым к тому, что в других математических
текстах будет больше недоговорок. Чтобы иметь возможность с такими текстами
работать, вам нужно будет в них досконально разобраться, при необходимости,
привести все формулы к такому виду, когда вы абсолютно однозначно понимаете, что
стоит за каждом символом. Именно это означает, что вы действительно понимаете
написанное.
← Предыдущая глава Следующая глава →
Глава 13.
Функции многих переменных и частных производных- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 9038
- 13.0: Введение в функции нескольких переменных
- 13.1: Функции нескольких переменных
- Наш первый шаг — объяснить, что такое функция более чем одной переменной, начиная с функций двух независимых переменных. Этот шаг включает в себя определение домена и диапазона таких функций, а также обучение их графическому отображению. Мы также исследуем способы соотнесения графиков функций в трех измерениях с графиками более знакомых плоских функций.
- 13.
1E: Функции нескольких переменных (упражнения)
- 13.
- 13,2: Ограничения и непрерывность
- 13,2E: Упражнения для ограничений и непрерывности
- 13.3: Партитивные деривавы 9
- 13.3: Partial Derivates
- 0
- .3.3: Partial Derivative 9000
- 0
- 13.3: Partial Derivative 9000
- 0
- 13.3: Partial Derivates
- 13.3: Partial Derivates. )
- .3.3: Partial Derivative 9000
1E: Функции нескольких переменных (упражнения)- 13.4: Касательные плоскости, линейные аппроксимации и полный дифференциал
- 0010
- 13.5: The Chain Rule for Functions of Multiple Variables
- 13.5E: The Chain Rule for Functions of Multiple Variables (Exercises)
- 13. 6: Directional Derivatives and Градиент
- Функция \(z=f(x,y)\) имеет две частные производные: \(∂z/∂x\) и \(∂z/∂y\). Эти производные соответствуют каждой из независимых переменных и могут быть интерпретированы как мгновенные скорости изменения (то есть как наклоны касательной). Точно так же \(∂z/∂y\) представляет собой наклон касательной, параллельной оси y. Теперь рассмотрим возможность касательной, параллельной ни одной из осей.
- 13.6e: направленные производные и градиент (упражнения)
6: Directional Derivatives and Градиент- 13,7: Поличеном Тейлора Функции
- 13.7E: Taylors Polynom Polynom.
- 13.8: Оптимизация функций нескольких переменных как мы видели в предыдущих разделах этой главы, введение большего количества независимых переменных приводит к большему количеству возможных результатов вычислений. Основные идеи поиска критических точек и использования производных тестов по-прежнему актуальны, но появляются новые морщины при оценке результатов.
- 13.8E: Optimization of Functions of Several Variables (Exercises)
- 13.9: Constrained Optimization
- 13.9E: Optimization of Functions of Several Variables (Exercises)
- 13.10: Множители Лагранжа
- Решение задач оптимизации для функций двух или более переменных может быть похоже на решение таких задач в исчислении с одной переменной. Однако методы работы с несколькими переменными позволяют нам решать более разнообразные задачи оптимизации, для которых нам нужно иметь дело с дополнительными условиями или ограничениями. В этом разделе мы рассмотрим один из наиболее распространенных и полезных методов решения задач оптимизации с ограничениями.
- 13.10E: Упражнения для множителей Лагранжа
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Глава
- хайтоп
- решения
- Лицензия
- CC BY-NC-SA
- Показать страницу TOC
- да
- Включено
- да
- Теги
- расчет: да
Частные производные в функциях двух переменных — Криста Кинг Математика
Переход от производных функций одной переменной к частным производным функций многих переменных
К этому моменту мы уже научились находить производные функций одной переменной.
Изучив производные правила, такие как степенное правило, правило произведения, частное правило, цепное правило и другие, мы довольно легко можем обращаться с производными от таких функций: 9у}???Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать больше.
Нахождение производных функции с несколькими переменными, подобной этой, может оказаться менее сложной задачей, чем вы думаете, потому что на самом деле мы собираемся брать производную только по одной переменной за раз. Например, возьмем производную по ???x??? пока мы лечим ???y??? вроде константа. Затем мы возьмем другую производную от исходной функции, на этот раз по ???y???, и будем обрабатывать ???x??? как константа.
Таким образом, мы как бы сводим задачу к задаче о производной с одной переменной, с которой мы уже знаем, как обращаться!
Мы называем эти виды производных «частными производными», потому что мы берем производную только одной части (переменной) функции за раз.
Помните определение производной из исчисления с одной переменной (она же разностное частное)? Давайте адаптируем это определение, чтобы оно работало для нас для функций с несколькими переменными.
Мы знаем, что если ???z??? это функция, определенная в терминах ???x??? и ???y???, как ???z=f(x,y)???, тогда
Частная производная ???z??? относительно ???x???
???z_x=f_x(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}???
Частная производная от ???z??? относительно ???y???
???z_y=f_y(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}???
Определение в том виде, в котором мы его здесь написали, дает два разных вида записи частных производных от ???z???: ???z_x??? или ???з)у??? и ???f_x(x,y)??? или ???f_y(x,y)???. На самом деле существует множество способов определения частных производных.
Частные производные функции ???z??? определяется через ???x??? и ???й??? может быть записано всеми этими способами:
Частная производная от ???z??? относительно ???x???:
???f_x(x,y)=\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}=\ гидроразрыва {\ парциальное} {\ парциальное х} е (х, у) = f_x = z_x???
Частная производная от ???z??? относительно ???y???:
???f_y(x,y)=\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial y}=\ гидроразрыва {\ парциальное} {\ парциальное у} е (х, у) = f_y = z_y???
Как найти частные производные первого порядка в конкретной точке
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 3? У меня есть пошаговый курс для этого.
Изучив производные правила, такие как степенное правило, правило произведения, частное правило, цепное правило и другие, мы довольно легко можем обращаться с производными от таких функций: 9у}???
