Построение графиков функций и исследование: Исследование функции и построение графика функции

Содержание

Практическая работа «Построение графиков функций при помощи производной»

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

Тема «Построение графиков функций при помощи производной»

Цель– выработка умений и навыков применять производную для исследования свойств функции, построения графиков функций. Развитие умений работать со справочным материалом, учебником.

Задачи: Законспектировать учебный материал, исследовать функции при помощи производных, построить графики функций, ответить на контрольные вопросы.

Содержание:

1. Теоретический материал.

2. Практическая часть.

3. Контрольные вопросы.

1.Теоретический материал

Понятие производной — одно из важнейших в математике. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной), можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, более точное построение их графиков, нахождение их наибольших и наименьших значений и т.д.

Исследование функций и построение графиков функций

При построении графиков функций с помощью производных можно придерживаться такого плана:

Схема исследования функции:

Находят область определения функции.
Выясняют, является ли функция четной или нечетной.
Определяют точки пересечения графика функции с координатными осями, если это возможно.
Находят стационарные точки функции.
Определяют промежутки монотонности и экстремумы функции.
Используя результаты исследования, соединяют полученные точки плавной кривой.

Этот план исследования функции и построения ее графика является примерным, его не всегда надо придерживаться пунктуально: можно менять порядок пунктов, некоторые совсем опускать, если они не подходят к данной функции. В частности, если нахождение точек пересечения с осями координат связано с большими трудностями, то этого можно не делать; если функция четная, то ее график симметричен относительно оси Оу, поэтому достаточно построить график для положительных значений аргумента, принадлежащих области определения функции, а затем отразить его симметрично относительно оси ординат, и т.п.

Задание №1: Исследуйте функцию и постройте ее график,

f(х) = х² + 2х — 3.

Решение.

1. Функция определена на промежутке (-∞; +∞). Точек разрыва нет.

Имеем f(-х) = (-х)² + 2(-х) — 3 = х² — 2х — 3.

f(x) = (x)² + 2(x) – 3 = x² + 2x — 3

Функция не является ни четной, ни нечетной, так как

f(-х) ≠ f(х) и f(-х) ≠ -f(х).

3. Если х=0, у= 0²+2•0 ─3= ─3, (0;─3) точка пересечения графика с осью ординат. Если у=0, то х²+2х─3=0. (─3;0) и (1;0) – точки пересечения графика с осью абсцисс.

4.Находим стационарные точки функции. Имеем у′ = 2х + 2,

2х + 2 = 0,

2х = -2,

х = -1.

5. Область определения функции разделится на промежутки (-∞; -1) и

(-1;+∞). Знаки производной f′(х) в каждом промежутке можно найти непосредственной подстановкой точки из рассматриваемого промежутка.

Так, f′(-2) = -2 f′(2)= 6 0.

— +

— 1

Следовательно, в промежутке (-∞; -1) функция убывает, а в промежутке

(-1;+∞) — возрастает.

При х = — 1 функция имеет минимум, равный

f(-1) = (-1)² + 2(-1) -3 = 1-2-3 =-4.

6. Отмечаем найденные точки в прямоугольной системе координат и соединяем их плавной линией.

Задание №2: Исследовать функцию и построить график:

У=

1. Область определения: (−∞,0) (0,∞).

2. Функция ни четна, ни нечетна, непериодическая.

3. Точек пересечения с осями координат нет.

4. Производная: у¹=

Находим стационарные точки функции =0

_х≠0х=±

5. Функция возрастает при х (─ ;─ ) ( ; ) и убывает при х (─ ;0) (0; )

Максимум функции:(─ ;1─2 ) Минимум функции ( ;1+2 )

Найдем промежутки выпуклости и вогнутости

У ^ˡˡ= = =0, х≠0

Функция вогнута при х (0; и выпукла при х (─ ;0)

6. Для более точного построения графика возьмем контрольные точки. Если х=1, у=7 (1;7)

Если х= ─1, у= ─5 (─1;─5)

Задание №3:

Учебник М.И.Башмаков. Алгебра и начала математического анализа, геометрия. Москва. «Академия» 2017. Занятие 6, стр. 183-186. Прочитайте и законспектируйте.

Требования к оформлению практической работы

Задание для выполнения практической работы должно быть перенесено в тетрадь для практических работ.

В тетради должно быть отражено:

название практической работы
решение заданий практической части.
ответы на контрольные вопросы.

2. Практическая часть

Задание: Исследовать функцию и построить ее график.

1 вариант

2 вариант

1. у = х³ — 3х² +4

2. у = х³ – 4х

3. у = х⁴ — 8х²

4. y =

1. у = х³ + 3х² -4

2. у = х³ — 12x

3. у = х⁴ – 2х²

4. y =

3. Контрольные вопросы

1.Какие промежутки называют промежутками монотонности функции?

2. Когда функция возрастает на промежутке?

3. Когда функция убывает на промежутке?

4. Какие точки называют точками экстремума функции?

5. Какие точки называются стационарными?

6. Сформулируйте достаточное условие существования минимума в стационарной точке.

7. Сформулируйте достаточное условие существования максимума в стационарной точке

Общая схема исследования функции и построения графиков (Лекция №11)

1. Найти ОДЗ и точки разрыва функции.
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания.
Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости.
Найти асимптоты графика функции: а) вертикальные, b) наклонные.
На основании проведенного исследования построить график функции.

Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной.

Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: f(-x) = f(x) и функция называется нечетной, если

f(-x) = -f(x).

В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy, а для нечетной относительно начала координат.

Примеры. Исследовать функции и построить их графики.

. 1. Область определения функции D(у)= (–∞; +∞). Точек разрыва нет.
Пересечение с осью Ox: x = 0,у=0.

Функция нечетная, следовательно, можно исследовать ее только на промежутке [0, +∞).
2. . Критические точки: x₁ = 1; x₂= –1.

3.
4. а) Вертикальных асимптот нет
б) . Асимптота – y = 0.

.
1. D(y)=(–∞; +∞). Точек разрыва нет.
  Пересечение с осью Ox: .
3. .
4. а) Вертикальных асимптот нет
  б).
  
  Наклонных асимптот нет.
.
1. D(y)=(0; +∞). Функция непрерывна на области определения.
  
  Пересечение с осью :
4. а) .
  Вертикальная асимптота x = 0.
  
  б).
  
  Наклонная асимптота y = 0.
.
1. D(y)=( –∞;0)È(0;1)È(1;+∞).
  Функция имеет две точки разрыва x= 0 и x= 1.
  
  Точек пересечения с осями координат нет.
2. при любых действительных значениях x. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.
4. а)
  
  Вертикальные асимптоты x = 0, x = 1.
  
  б)
  
  Наклонная асимптота y = x + 1.

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:

– гиперболический синус.

– гиперболический косинус.

С помощью этих функций можно определить еще две функции.

– гиперболический тангенс.

– гиперболический котангенс.

Функции sh x, ch x, th x определены, очевидно, для всех значений x, т. е. их область определения (–∞; +∞). Функция же cthx определена всюду за исключением точки x = 0.

Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями.

Найдем: .

Т.е. .

Итак, .

Следовательно, .

Найдем производные гиперболических функций

Аналогично можно показать .

Т.е. и .

Графики гиперболических функций. Для того чтобы изобразить графики функций

shx и chx нужно вспомнить графики функций y = e^x и y = e^—^x

Проведем исследования функции y = th x.

1. D(f) = (–∞; +∞), точек разрыва нет.
2. Точка пересечения с осями координат .
, функция возрастает на (–∞; +∞).
1. Вертикальной асимптоты нет.
2. .

y = cth x

D. Точка разрыва x = 0 cth x = 0 – нет
убывает на .
2. При x → +∞

Исследование функций и их графиков учащимися с помощью Desmos – Technology Tools for Teaching in Higher Education, Серия практических руководств

Ана Дафф

Desmos Graphing Calculator — это открытый онлайн-инструмент с широкими числовыми и визуальными универсальными возможностями. Он позволяет пользователю отображать и маркировать точки на декартовой плоскости, демонстрировать решения уравнений и неравенств, графически отображать функции и создавать регрессионные модели из наборов данных, среди прочих возможностей. Он имеет мощный встроенный инструмент калькулятора и инструмент ползунка, который позволяет пользователю создавать динамические визуальные эффекты, иллюстрирующие изменения или привлекающие внимание к определенным компонентам.

Преимущества обучения с помощью Desmos

Открытый и бесплатный ресурс, не требующий регистрации или подписки
Позволяет статическую и динамическую графическую демонстрацию и количественный анализ 2-мерных моделей

Демонстрации и мероприятия могут быть предварительно построены
Требует от пользователей легко приобретаемых технологических навыков
Позволяет легко обмениваться демонстрациями с другими пользователями

Ресурсы

Ноутбук или мобильное устройство (Android или iOS)
Интернет-браузер или приложение Desmos Graphing Calculator

Шаг 1. Создайте учетную запись на Desmos.com (необязательно)

Перейдите на сайт Desmos.com и перейдите по ссылке, чтобы начать построение графиков. У вас есть возможность создать учетную запись и войти в систему, что позволит вам сохранять, называть и искать свою работу. Последующие шаги реализации будут основываться на предположении, что вы вошли в свою учетную запись, чтобы воспользоваться этими функциями. Тем не менее, графическая функциональность Desmos не ограничивается владельцами учетных записей, и в этом случае можно сохранить доступ к своей работе, создав ссылку для общего доступа и сохранив ее на потом.

Шаг 2. Откройте графический калькулятор Desmos и создайте график

Нажмите «График без названия» и введите название графика (доступно только для зарегистрированных пользователей). Введите краткое описание действия: поместите курсор в строку 1, нажмите +
(Добавить элемент), затем примечание « » и добавьте описание в строку 1.

Шаг 3. Укажите функцию, компоненты функции или данные, которые должны быть смоделированы функцией

Desmos позволяет пользователю явно указать функцию (функции) и смоделировать данные с помощью функции, используя регрессию. Если задание используется как часть оценивания, попросите учащихся импортировать случайно сгенерированные данные (например, из документа Excel), чтобы получить вариативность в результирующих функциях.

Шаг 4. Создайте набор инструкций

Пусть результаты обучения определяют ваш набор инструкций. Обратите внимание, что задачи могут включать статическое и динамическое исследование модели, включая визуализацию изменений с помощью ползунка. Для лучшего прогресса задания можно организовать по папкам и руководствоваться примечаниями инструктора, встроенными в график Desmos. Оба могут быть добавлены, нажав на
+ (Добавить элемент), затем папку или заметку.

Шаг 4. Предложите учащимся ознакомиться с учебными пособиями по графическим инструментам Desmos

В разделе «Справка» представлен большой банк интерактивных обучающих ресурсов для новых и опытных пользователей Desmos. Учащиеся могут научиться создавать ползунки и таблицы, определять ограничения домена и диапазона и выполнять регрессию, следуя простым интерактивным турам, предоставляемым Desmos. Библиотека видеоуроков обширна и легкодоступна для поиска, а руководство пользователя Desmos содержит основное руководство по инструментам Desmos.

Шаг 5. Предоставьте учащимся график(ы)

Нажмите на инструмент «Поделиться графиком» в левом верхнем углу. Созданная ссылка направит учащихся к диаграмме и позволит каждому учащемуся просматривать и изменять ее отдельно от других пользователей и не затрагивать созданную вами диаграмму. Обратите внимание, что вы также можете использовать этот инструмент для сохранения изображения графика (за некоторыми исключениями) и встраивания его в другие платформы.

Шаг 6. Включите калькулятор Desmos Graph Calculator в оценки

Включайте результаты исследования и извлеченные уроки учащимися в оценки с помощью инструмента «Поделиться своим графиком», с помощью которого учащиеся делятся ссылкой или изображениями своей работы непосредственно или как часть отдельного документа для отправки. Обратите внимание, что ссылка будет включать диаграмму в том виде, в каком она была на момент создания ссылки.

Избегайте путаницы, сводя к минимуму двусмысленность- Разработайте инструкции, соответствующие результатам обучения. Разбейте активность на компоненты и организуйте их по папкам. Направляйте учащихся к конкретным ресурсам по мере необходимости, выполняя задания по темам, которые могут нуждаться в пояснении. Воспользуйтесь обширной библиотекой видеороликов с практическими рекомендациями от Desmos и ее пользователей (доступных через любую поисковую систему с «Desmos + тема по выбору») в качестве ресурса для учащихся по конкретным задачам.

Помните о времени и требуемых навыках. Проверьте, сколько времени вам потребуется для выполнения задания, а затем умножьте время на три. На протяжении всего теста размышляйте о своих знаниях учащихся, о диапазоне их навыков, связанных с технологиями и содержанием, и соответствующим образом корректируйте задание.
Поощряйте решение проблем и устранение неполадок с помощью одноранговой поддержки — Покажите учащимся, как делиться работой с помощью инструмента «Поделитесь своим графиком», чтобы обращаться за помощью к другим во время занятия. Наблюдение за работой учащегося поможет определить, где учащийся допустил ошибку или наткнулся на камень преткновения.

Цифровые ресурсы

Руководство пользователя Desmos

Примеры изучения функций через Desmos в действии:

Демонстрация односторонних пределов
Пример метода Ньютона
Функция против производной демонстрации
Данные моделирования с использованием примера функций

Экичи, Селил, и Плайли, Крис. «Моделирование динамики населения на основе запросов с помощью логистических дифференциальных и разностных уравнений». ПРИМУС 29.6 (2019): 553–570. Веб.

Годин, Шон. «В чем проблема? Ищем лжецов». Бюллетень — Математическая ассоциация Онтарио 56. 4 (2018): 11–13. Веб.

Хойлс, Селия. «Преобразование математических практик учащихся и учителей с помощью цифровых технологий». Исследования в области математического образования. 20.3 1–20. Веб.

Набб, Кейт, и Муравска, Жаклин. «Мотивация исчисления с помощью одного вопроса». ПРИМУС 29.10 (2019): 1140–1153. Веб.

Шахриари, Рази и др. «Влияние использования технологий на понимание студентами исчисления и алгебры в колледже». Издательство диссертаций ProQuest, 2019 г.. Веб.

Ана Дафф — научный сотрудник факультета бизнеса и информационных технологий Технического университета Онтарио, где она преподает математику на первом курсе. Ее исследовательский опыт связан с математикой, в которой она имеет докторскую степень. из Оттавского университета. До поступления в Технический университет Онтарио она преподавала математику в Оттавском университете, Королевском военном колледже Канады и Белградской международной школе в Сербии. Она также имеет большой опыт в разработке и управлении крупномасштабными программами мобилизации сообщества и образования в Канаде и за рубежом в рамках неправительственного и государственного секторов.

Asdspark1

Задание №1

по

Дэвид С. Парк

В этом кратком обзоре мы рассмотрим следующее уравнение для различных значений параметров «a» и «b». Мы будем исследовать форму графика для различных значений «а» и «b» и искать отношения между ними. Исследования будут проводиться с использованием графической программы.

Как выглядит эта функция? Давайте начнем исследование с рассмотрения простого случая уравнения, когда a = 4 и b = 1. График выглядит следующим образом.

График интересный (ну вроде как), он похож на общую функцию третьего порядка от x с более прохладными кривыми. График пересекает ось x в точке x = -2, 0, 2 и пересекает ось y в точке y = -1, 1, как и ожидалось из приведенного выше уравнения.

Изменение параметра «а»

Посмотрим, как изменение параметра «а» повлияет на форму графика. Мы сделаем это, начав с простого случая, когда a = 4 и b = 1, а затем нарисуем уравнение для различных диапазонов значений «a».

i) «а» выше 4

Когда значение ‘a’ превышает a = 4, размер цикла увеличивается как по вертикали, так и по горизонтали. Обратите внимание еще раз, где график пересекает ось x и ось y.

Корни графика можно найти, установив y = 0, что дает

и решение уравнения, которое дает

ii) «а» уменьшается с а = 4 до а = 1

Что произойдет, если мы уменьшим параметр ‘a’ с a = 4 до a = 1?

Паттерн такой, как и ожидалось, пока мы не достигнем a = 1, а затем вдруг происходит что-то странное и необычное. Почему это так?

Рассмотрим уравнение, когда a = 1. Уравнение

Мы можем преобразовать уравнение следующим образом:

и используйте уравнение факторинга, чтобы получить

, где последняя строка — уравнения прямой и эллипса соответственно.

iii) «а» меньше 1

Теперь давайте посмотрим, когда «а» меньше 1.

Мы видим, что при a < 1 направление петель изменилось, но форма осталась прежней. Когда «а» становится меньше, размер цикла также становится меньше.

Изменение параметра «b»

Теперь посмотрим, как параметр ‘b’ влияет на график. Мы будем поддерживать константу а при а = 1, увеличим значения b и посмотрим на график.

Увеличение значений ‘b’ увеличивает размер цикла до тех пор, пока b < 4, а затем при b = 4 (фиолетовый цвет) мы снова получаем форму эллипса и прямой линии. Когда b > 4, направление петли меняется, а размер петли увеличивается по мере того, как b увеличивается выше b = 4,9.0003

Таким образом, кажется, существует особая связь между относительным размером двух параметров «a» и «b». Обратите внимание, что при a = b мы получаем частный случай эллипса плюс линия, что можно доказать с помощью тех же уравнений факторизации, которые использовались выше. А направление раскрытия графика зависит от того, а > b или а < b.

Заключение

Таким образом, делаем вывод, что параметры взаимосвязаны, и именно относительный размер ‘a’ и ‘b’ определяет общий вид графика. Общий вид нашего основного уравнения

выглядит следующим образом:

Когда а > b,

Когда а = b,

Когда а < b

Дальнейшее исследование

Допустим, мы хотим построить график, который выглядит следующим образом:

Как построить такой граф?

Этот график имеет форму, аналогичную графикам в первом исследовании, но отличается размером петель. В частности, размер петель больше не симметричен.

Один из подходов заключается в наблюдении за корнями по оси X рассматриваемого графика и корректировке основного уравнения из первого исследования. Мы начнем с того же исходного уравнения из первого исследования,

и поэкспериментируйте с ним.

Поскольку кажется, что корни на приведенном выше графике проходят через ось абсцисс в точках х = -1,7, -0,7 и 2,2, давайте составим уравнение вида

и нарисуйте его.

Сладко! График очень близок к рассматриваемому.

Какими другими способами можно получить подобный граф? Это останется в качестве упражнения для дальнейших исследований. Возможно, между числами 1,7, 0,7, 2,2 есть связь с некоторыми комбинациями квадратного корня из целых чисел, что позволяет упростить уравнение.