Частные производные. Примеры решений
На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производныхпервого и второго порядка, полного дифференциала функции. Студенты-заочники, как правило, сталкиваются с частными производными на 1 курсе во 2 семестре. Причем, по моим наблюдениям, задание на нахождение частных производных практически всегда встречается на экзамене.
Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? иПроизводная сложной функции. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Раздобыть справочный материал можно на страницеМатематические формулы и таблицы
Начнем с самого понятия функции двух переменных, я постараюсь ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными или аргументами.
Пример: – функция двух переменных.
Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква .
Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ, который никогда не давал списывать мой вузовский преподаватель является моим «коньком».
Переходим
к вопросу нахождения частных производных
первого и второго порядков.
Должен
сообщить хорошую новость для тех, кто
выпил несколько чашек кофе и настроился
на невообразимо трудный материал: частные
производные – это почти то же самое,
что и «обычные» производные функции
одной переменной.
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций. Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас.
Пример 1
Найти частные производные первого и второго порядка функции
Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две.
Обозначения: или – частная производная по «икс» или – частная производная по «игрек»
Начнем с . Когда мы находим частную производную по «икс», то переменная считается константой (постоянным числом).
Решаем. На данном уроке я буду приводить полное решение сразу, а комментарии давать ниже.
Комментарии к выполненным действиям:
(1)
Первое, что мы делаем при нахождении
частной производной – заключаем всю функцию
в скобки под штрих с
подстрочным индексом.
Внимание, важно! Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность).
Далее данный шаг комментироваться не будет, все сделанные замечания справедливы для любого примера по рассматриваемой теме.
(2) Используем правила дифференцирования , . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».
(3)
Используем табличные производные и .
(4) Упрощаем, или, как я люблю говорить, «причесываем» ответ.
Теперь . Когда мы находим частную производную по «игрек», то переменная считается константой (постоянным числом).
(1) Используем те же правила дифференцирования , . В первом слагаемом выносим константу за знак производной, во втором слагаемом ничего вынести нельзя поскольку – уже константа.
(2) Используем таблицу производным элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива и для (да и вообще почти для любой буквы). В частности, используемые нами формулы выглядят так: и .
Итак, частные производные первого порядка найдены
Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной:
1) Когда мы находим частную производную , переменная считается константой.
2)
Когда мы находим частную
производную , переменная считается
константой.
5.11.3 Частные производные. Полный дифференциал
Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных в точке частные производные определяются так:
,
,
Если эти пределы существуют.
Величина
Называется частным приращением функции в точке по аргументу (по аргументу ).
Используются и другие обозначения частных производных:
.
Символы как дроби трактовать нельзя (в отличие от случая одной переменной). Правила вычисления частных производных остаются теми же, что и для функций одной переменной.
Пример 1. Найти частные производные функции .
Решение. При нахождении считаем постоянной и дифференцируем по , пользуясь правилом дифференцирования суммы и степенной функции: .
При отыскании считаем постоянной и дифференцируем по , пользуясь правилом дифференцирования суммы, степенной, логарифмической и показательной функций:
.
Пример 2. Найти частные производные функции:
.
Решение. Рассуждая как в предыдущем примере, получим:
.
Пример 3. Пусть . Требуется найти ее частные производные.
Решение. Относительно аргумента функция является степенной, поэтому .
При нахождении и считаем постоянными, то есть относительно является показательной функцией, поэтому .
Рассуждая аналогично, находим .
Пример 4. Найти частные производные функции .
Решение. .
Ранее (в пункте 5.11.2.) полным приращением функции в точке назвали разность . Если полное приращение можно представить в виде
, (1)
Где и не зависят от и , а и стремятся к нулю при и , то функция называется дифференцируемой в точке , а линейная часть приращения функции (то есть та часть , которая зависит от и линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символом :
.
(2)
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней, так как при и . Из дифференцируемости функции в точке следует существование ее частных производных в этой точке. Действительно, полагая в (1) , имеем:
(частное приращения по ).
Деля на и переходя к пределу при , получаем , то есть .
Аналогично, . Тогда выражение (2) можно переписать в виде .
Полагают тогда
. (3)
Обращаем внимание на то, что одного только существования частных производных в точке недостаточно для дифференцируемости функции в этой точке. Надо еще потребовать выполнения дополнительного условия – эти производные должны быть непрерывны в этой точке (сравните с функцией одного переменного).
Дифференциал функции двух переменных обладает свойством инвариантности его формы, как и дифференциал функции одной переменной.
Пример 5. Найти полный дифференциал следующих функций:
1) , 2) .
Решение.
1) Найдем частные производные:
и
.
Тогда по формуле (3):
.
2) и .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Исчисление 3 Справка
- Войти
- Биографии репетитора
- Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
- ACT Репетиторство
- SAT Репетиторство
- Репетиторство PSAT
- ASPIRE Репетиторство
- ШСАТ Репетиторство
- Репетиторство STAAR
ВЫСШАЯ ШКОЛА
- Репетиторство MCAT
- Репетиторство GRE
- Репетиторство по LSAT
- Репетиторство по GMAT
К-8
- Репетиторство AIMS
- Репетиторство по HSPT
- Репетиторство ISEE
- Репетиторство ISAT
- Репетиторство по SSAT
- Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов
- Академическое обучение
репетиторство по математике
- Алгебра
- Исчисление
- Геометрия
- Предварительный расчет
- Статистика
- Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
- Анатомия
- Биология
- Химия
- Физика
- Физиология
иностранные языки
- Французский
- немецкий
- Латинский
- Китайский мандарин
- Испанский
начальное обучение
- Чтение
- Акустика
- Элементарная математика
прочее
- Бухгалтерия
- Информатика
- Экономика
- Английский
- Финансы
- История
- Письмо
- Лето
Поиск по 350+ темам
- О
- Обзор видео
- Процесс выбора наставника
- Онлайн-репетиторство
- Мобильное обучение
- Мгновенное обучение
- Как мы работаем
- Наша гарантия
- Влияние репетиторства
- Обзоры и отзывы
- Освещение в СМИ
- О преподавателях университета
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Учащиеся, нуждающиеся в помощи по программе Calculus 3, получат большую пользу от нашей интерактивной программы.
Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по исчислению 3.
Имея под рукой обязательные концепции обучения и актуальные практические вопросы, вы быстро получите много помощи по Calculus 3.
Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации по исчислению 3.
Расчет 3
Трехмерное пространство
Длина дуги и кривизна
Цилиндрические координаты
Уравнения прямых и плоскостей
Сферические координаты
Применение частных производных
Абсолютные минимумы и максимумы
Вектор градиента, касательные плоскости и нормальные линии
Множители Лагранжа
Относительные минимумы и максимумы
Касательные плоскости и линейные приближения
Анализ исчисления
Производные
Интеграция
Линейные интегралы
Завиток
Расхождение
Основная теорема линейных интегралов
Теорема Грина
Линейные интегралы векторных полей
Параметрические кривые
Множественная интеграция
Двойные интегралы
Двойное интегрирование в полярных координатах
Двойная интеграция по общим регионам
Двойное интегрирование с изменением переменных
Площадь поверхности
Тройные интегралы
Тройное интегрирование в декартовых координатах
Тройное интегрирование в цилиндрических координатах
Тройное интегрирование в сферических координатах
Частные производные
Ограничения
Цепное правило с несколькими переменными
Дифференциалы
Направленные производные
Частные производные
Поверхностные интегралы
Теорема о расходимости
Теорема Стокса
Векторы и векторные операции
Угол между векторами
Бинормали Векторы
Перекрестное произведение
Расстояние между векторами
Скалярный продукт
Матрицы
Нормальные векторы
Параметрические кривые
Добавление вектора
Вычитание векторов
Все ресурсы исчисления 3
6 Диагностические тесты 373 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Латексная частная производная — Javatpoint
следующий → ← предыдущая Производная Производная в математике означает скорость изменения. Команда \partial используется для записи частной производной в любом уравнении. Существуют разные порядки производных. Запишем порядок производных, используя код Latex. Мы можем рассмотреть выходное изображение для лучшего понимания. Код приведен ниже: 9{к}(х) \] \конец{документ} Вывод: Давайте воспользуемся приведенными выше производными, чтобы написать уравнение. Уравнение также состоит из дробей и раздела пределов. Код для такого примера приведен ниже: \documentclass[12pt]{статья} \usepackage{mathtools} \usepackage{xfrac} \начать{документ} \[ f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) — f(x)}{h} \] \конец{документ} Вывод: Частная производнаяСуществуют также различные порядки частной производной. Запишем порядок производных, используя код Latex. Вывод: Мы можем изменить уравнение и параметры в соответствии с требованиями. ДифференциацияКоманда \diff используется для отображения символа дифференцирования. Чтобы реализовать дифференцирование, нам нужно использовать пакет diffcoeff . Пакет записывается как: \usepackage{diffcoeff} Рассмотрим несколько примеров дифференцирования. В первом примере отображается дифференциальное уравнение первого порядка. Код указан ниже \documentclass[12pt]{статья} \usepackage{mathtools} \usepackage{diffcoeff} \начать{документ} \[ \diff[1]yx 3x = 3 \] \[ \ разность {у} {х} 2х = 2 \] % мы можем использовать любой из двух методов, чтобы написать дифференциальное уравнение первого порядка \конец{документ} 92 + 4х + 3) = 4х + 4 \] \конец{документ} Вывод: Дифференцирование с частными производными Команда \diffp используется для отображения символа дифференцирования с частными производными. Рассмотрим несколько примеров дифференцирования с частными производными. В первом примере показано дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Код приведен ниже: \documentclass[12pt]{статья} \usepackage{mathtools} \usepackage{diffcoeff} \начать{документ} \[ \diffp{u}{t} = \diffp{u}{x} + \diffp{u}{y} \] \конец{документ} Вывод: Второй пример — отображение дифференциального уравнения в частных производных второго порядка. Код приведен ниже: \documentclass[12pt]{статья} \usepackage{mathtools} \usepackage{diffcoeff} \начать{документ} \[ \diffp[2]ut = \diffp[2]ux + \diffp[2]uy \] \конец{документ} Вывод: В третьем примере будет показана частная производная, содержащая постоянное значение. Он также будет включать другие примеры, поясняющие концепцию. Код для такого примера приведен ниже: \documentclass[12pt]{статья}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{diffcoeff}
\начать{документ} \[
\ diffp {G (х, у)} х [(1,1)]
\]
\[
\diffp ST[D]
\]
\[
\разн[]
\]
\[
\diffp[1,3]F{х,у,г}
\]
\[
\diffp[2,3,2]F{x,y,z} % степень числителя равна сумме степеней переменных знаменателя. |
Частная производная определяется как метод сохранения постоянных переменных.
k}
\] \конец{документ}
93 F{\ парциальное х \ парциальное у \ парциальное г}
\] \конец{документ}
